Tuhé těleso, hmotný bod, počet stupňů volnosti • • •
hmotný bod je model tělesa, nemá tvar ani rozměr, ale má hmotnost tuhé těleso nepodléhá deformacím, pevné těleso ano Stupně volnosti • konstanta určující nejmenší potřebný počet parametrů, které jsou nutnou a postačující podmínkou k určení polohy • vypočítá se jako stupně volnosti bodů minus počet vazeb (ty omezují pohyb jednotlivých bodů soustavy) • hmotný bod v kartézské soustavě: 3 st. voln. hmotný bod na ploše: 2 st. voln. • tuhé těleso: 6 st. voln. • kyvadlo: 1 st. voln.
Práce, výkon, účinnost •
Práce •
dA= F d r
L
d r A=∫ F K
• • • • • •
Výkon •
P= • • • • • •
•
Účinnost •
= • • •
A F dr P ti
t2
A=∫ P dt t1
práce, kterou vykoná F po dráze mezi K a L [J] síla [N] dráha [m] výkon [W] čas [s]
dA F d r = = F v dt dt dA P t F r v
elementární práce [J] výkon [W] čas [s] síla působící na hmotný bod [N] dráha [m] rychlost hmotného bodu [m / s]
P P0 η P P0
účinnost [ / ] výkon [W] příkon [W]
Kinetická a potenciální energie •
Kinetická energie • charakterizuje pohybový stav hmotného bodu • je rovna práci, kterou hmotný bod vykoná svou setrvačnou silou, přejde-li z
pohybu o určité rychlosti do klidu (je stejně velká jako práce síly, která působí na hmotný bod, aby jej uvedla do určité rychlosti) 0
•
W k =∫ F s d r
F s =−ma
v
0
0
d v 1 ⇒ W k =−∫ m d r =−∫ mv dv = mv 2 dt 2 v v • • • • • • •
Wk Fs v dr m a
kinetická energie [J] setrvačná síla [N] rychlost [m / s] dráha hmotného bodu [m] hmotnost hmotného bodu [kg] zrychlení hmotného bodu [m / s2]
Potenciální energie • je rovna práci, kterou vykoná síla působící proti konzervativní síle, po dráze ze vztažného bodu do jiného bodu ( vztažný bod → Wp = 0) B
•
d r W p =−∫ F Vz
• • • • •
Wp Vz F r
potenciální energie [J] vztažný bod síla působící proti konzervativní síle [N] dráha
pro homogení tíhové pole (g = konst.) platí: W p =m g h • • • •
Wp m g h
potenciální energie [J] hmotnost tělesa [kg] gravitační zrychlení [m / s2] vzdálenost tělesa od povrchu vztažné soustavy [m]
Hmotný střed soustavy hmotných bodů •
střed hmotnosti soustavy se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna celá hmotnost soustavy a působila na něj výslednice vnějších sil n
•
rs= • • • • • •
1 ∑ m r m i =1 i i rs m mi ri n
polohový vektor středu hmotnosti soustavy [ / ] hmotnost soustavy [kg] hmotnost i-tého hmotného bodu soustavy [kg] polohový vektor i-tého hmotného bodu soustavy [ / ] počet hmotných bodů soustavy [ / ]
souřadnice hmotného středu soustavy: n n n 1 1 1 x s= ∑ mi x i y s = ∑ mi y i z s = ∑ mi z i m i=1 m i=1 m i=1
První věta Impulsová •
•
časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výslednici vnějších sil d p =F dt • • •
•
p t F
hybnost soustavy hmotných bodů [N s] čas [s] výslednice vnejších sil [N]
pro izolovanou soustavu platí:
d p =0 ⇒ p =konst. dt
→ zákon zachování hybnosti izolované soustavy • •
p t
hybnost soustavy hmotných bodů [N s] čas [s]
Moment síly vzhledem k bodu, moment hybnosti •
Moment síly • M =F q
•
M F q
•
r
•
α
• •
•
q=r sin
=r × F ⇒ M
moment síly vzhledem k momentovému bodu [N m] síla s otáčivým účinkem [N] rameno síly (vzdálenost vektorové přímky síly od momentového bodu) [m] průvodič délky udávající vzdálenost působiště síly od moment. bodu [m] úhel mezi r a F [rad]
Moment hybnosti • b=r ×p=r ×m v • • • •
b r m v
moment hybnosti [kg m2 / s] průvodič délky udávající vzdálenost působiště síly od moment. bodu [m] hmotnost [kg] rychlost otáčení [m / s]
Druhá věta Impulsová •
•
časová změna celkového momentu hybnosti soustavy se rovná výslednému momentu vnějších sil d b M= ⇔ dt
n
n
∑ ri × Fi = dtd ∑ ri ×mi vi i=1 i=1
• • • • • • • •
•
M b t n ri
moment síly [N / m] moment hybnosti [kg m2 / s] čas [s] počet hmotných bodů v soustavě [ / ] i-tý průvodič délky udávající vzdálenost působiště síly od moment. bodu [m] i-tá otáčivá síla [N] hmotnost i-tého hmotného bodu [kg] rychlost otáčení i-tého hmotného bodu [m / s]
Fi mi vi
pro izolovanou soustavu platí:
d b =0 ⇒ b=konst. dt
→ zákon zachování momentu hybnosti • •
moment hybnosti [kg m2 / s] čas [s]
b t
Kyvadlo fyzické, matematické a reverzní • • • •
každý bod kyvadla koná pohyb po kruhovém oblouku okamžitá poloha kyvadla je určena úhlovou výchylkou z rovnovážné polohy kyvadlo má jeden stupeň volnosti Fyzické kyvadlo • jakékoliv těleso zavěšené v tíhovém poli otáčivě kolem vodorovné osy, která neprochází těžitěm • při vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy se kyvadlo díky momentu tíhové síly snaží vrátit do rovnovážné polohy d 2 • M =−m g a sin M =J = 2 dt 2 d ⇒ −m g a sin =J 2 dt M m g a α J ε t
• • • • • • • •
•
= • • • •
mg a J ω m g a
moment síly [N / m] hmotnost kyvadla [kg] gravitační zrychlení [m / s2] vzdálenost težiště kyvadla od bodu uchycení [m] úhel vychýlení kyvadla [rad] moment setrvačnosti kyvadla [m2 kg] úhlové zrychlení [1 / s2] čas [s] T=
2
f=
1 T
T J = = 2 mga
úhlová rychlost [1 / s] hmotnost kyvadla [kg] gravitační zrychlení [m / s2] vzdálenost těžiště kyvadla od bodu uchycení [m]
• • • • •
moment setrvačnosti kyvadla [m2 kg] perioda (doba kmitu) [s] frekvence kmitu [1 / s] doba kyvu [s] (vzorec pro α < 6°)
J T f τ
Matematické kyvadlo • hmotný bod zavěšený na tuhém nehmotném vláknu •
2
J =ml l =a → po dosazení do rovnice doby kyvu u fyzickeho kyvadla: m l2 l = = mgl g
• • • • • • •
moment setrvačnosti kyvadla [m2 kg] hmotnost kyvadla [kg] gravitační zrychlení [m / s2] vzdálenost těžiště od bodu uchycení [m] délka kyvadla [m] doba kyvu [s] (vzorec pro α < 6°)
J m g a l τ
Reverzní kyvadlo • fyzické kyvadlo, které se může kývat kolem dvou os uložených nesymetricky vůči těžišti, pro které má kyvadlo stejné doby kyvu
Newtonův gravitační zákon •
•
dva hmotné body o hmotnostech m1 a m2, které jsou od sebe vzdáleny r, na sebe působí přitažlivou silou ve směru spojnice těchto bodů, nepřímo úměrnou čtverci jejich vzdáleností a přímo úměrnou jejich hmotnostem F = • • • • • •
m1 m 2 r
⇔
2
F κ m1 m2 r r0
F =−
m1 m2 r
2
r0
gravitační síla [N] gravitační konstanta [N m2 / kg2] hmotnost prvního hmotného bodu [kg] hmotnost druhého hmotného bodu [kg] vzdálenost mezi oběma hmotnými body [m] jednotkový vektor ve směru r [ / ]
Intenzita a potenciál gravitačního pole, kosmické rychlosti •
Intenzita grav. pole • vektorová charakteristika grav. pole představující zrychlení, které je v daném místě stejné pro všechna tělesa bez závislosti na jejich hmotnosti •
=F K m • •
K F
intenzita grav. pole [m / s2] gravitační síla [N]
• •
V= • • • • • • •
r
Wp m
W p=−∫ F d r =− ∞
V Wp m F r κ M
mM r
potenciál grav. pole [J / kg] potenciální energie tělesa v grav. poli [J] hmotnost tělesa v grav. poli [kg] gravitační síla [N] vzdálenost mezi tělesy [m] gravitační konstanta [N m2 / kg2] hmotnost grav. centra [kg]
1. kosmická rychlost • kruhová rychlost tělesa obíhajícího v blízkosti povrchu Země •
F d =F g • • • • • • • •
•
hmotnost tělesa, na které grav. síla působí [kg]
Potenciál grav. pole • roven potenciální energii jednotkové hmotnosti •
•
m
m m m2 v2 ⇒ m1 = 1 2 2 ⇒ v = = g r r r r
Fd Fg m1 m2 v r κ g
dostředivá síla [N] gravitační síla [N] hmotnost tělesa, na které grav. síla působí hmotnost grav. centra 1. kosmická rychlost [m / s] poloměr kruhové dráhy [m] (poloměr Země) gravitační konstanta [N m2 / kg2] grav. zrychlení [m / s2]
2. kosmická rychlost • rychlost tělesa potřebná k úniku z dosahu gravitačního pole z místa s polohovým vektorem r vůči středu Země do nekonečna •
W k W p=0 ⇒ • • • • • • •
Wk Wp m1 m2 v κ r
m m 2 m2 1 m1 v 2− 1 2 =0 ⇒ v= 2 r r
kinetická energie [J] potenciální energie [J] hmotnost tělesa, na které působí grav. síla [kg] hmotnost grav. centra [kg] 2. kosmická rychlost [m / s] gravitační konstanta [N m2 / kg2] vzdálenost tělesa od středu Země [m]
Elektrostatické pole, Coulombův zákon, intenzita elektrického pole •
Elektrostatické pole • pole konzervativních sil
• • •
náboje bez pohybu → magnetická indukce nulová platí zákon zachování el. náboje (náboj se nedá ani vytvořit ani zničit)
Coulombův zákon • síla mezi bodovými náboji je přímo úměrná jejich nábojúm a nepřímo úměrná čtverci jejich vzájemné vzdálenosti, závisí na prostředí = F
•
1 Q1 Q 2 r 4 0 r 2 0 F ε0 Q1 Q2 r r0
• • • • • • •
síla, kterou je Q2 přitahováno ke Q1[N] permitivita vakua [F / m] el. náboj [C] el. náboj [C] vzdálenost náboje Q2 od náboje Q1 [m] jednotkový vektor ve směru r [m]
Intenzita elektrického pole • síla na jednotkový náboj • znázorňuje se siločarami F E= Q
•
E F Q
• • •
intenzita el. pole [N / C = V / m] síla mezi náboji [N] el. náboj [C]
Gaussova věta pro elektrostatické pole ve vakuu •
•
silový tok uzavřenou plochou je roven náboji uvnitř této plochy dělenému permitivitou vakua d =∬ E S • • • • •
ψ E S Q ε0
⇒
Q
∯ E d S =
0
silový tok [V m] intenzita el. pole [N / C = V / m] plocha, kterou silový tok prochází [m2] el. náboj [C] permitivita vakua [F / m]
Práce a potenciál v elektrostatickém poli •
Práce •
energie potřebná k přenesení náboje z jednoho bodu do druhého L
•
A=∫ F d r K
= F E Q0
L
d r ⇒ A=Q0 ∫ E K
• • • • •
•
A F E Q0
práce k přemístění náboje z bodu K do L [J] síla el. pole [N] intenita el. pole [N / C = V / m] přemisťovaný el. náboj [C]
práce po uzavřené dráze je rovna nule → elektrostatické pole je pole konzervativních sil
Potenciál • práce vykonaná vnějšími silami na přenesení náboje 1 C z jednoho bodu elektrostatického pole do druhého •
W = p Q0
B
B
A
A
W p=−∫ F d r =−Q0∫ E d r B
⇒ =−∫ E d r A
• • • • •
φ Wp Q0 F r
elektrický potenciál [V] potenciální energie [J] přemisťovaný el. náboj [C] síla pole [N] polohový vektor referenčního bodu A [ / ]
Vodič v elektrostatickém poli • • •
vodič je materiál, který má dostatečně velké množství volných nosičů náboje výsledná intenzita ve vodiči v elektrostatickém poli je rovna nule uvnitř vodiče je intenzita el. pole nulová, takže vnitřní náboj je také nulový, nenulový náboj je pouze na povrchu vodiče
Gaussova věta pro elektrické pole v látkovém prostředí • •
tok elektrické indukce uzavřenou plochou je roven volnému náboji uvnitř plochy
∯ D d S =Q • • •
el. indukce [C / m2] uzavřená plocha [m2] el. náboj uvnitř plochy [C]
D S Q
Elektrický proud, vektor hustoty elektrického proudu •
Elektrický proud • uspořádaný pohyb elektrických nábojů •
I=
dQ dt
• • • •
elektrický proud [A] elektrický náboj [C] čas [s]
I Q t
Proudová hustota j= dI • d S • • • • •
j = v proudová hustota [A / m2] elektrický proud [A] plocha průřezu vodiče [m2] hustota el. náboje [C / m2] rychlost el. náboje [m / s]
j I S ρ v
Jouleův zákon v integrálním a diferenciálním tvaru •
diferenciální tvar: dP p= P= F v =Q E v dV dQ ⇒ p= E v = E v dV
=n e
ne v =j
⇒ p= E j • • • • • • • • • • • •
hustota výkonu [W / m2] výkon [W] objem [m3] síla [N] driftová rychlost [m / s] intenzita el. pole [N / C = V / m] el. náboj [C] hustota náboje [C / m2] počet částic [ / ] elementární náboj [C] proudová hustota [A / m2]
p P V F v E Q ρ n e j
integrální tvar •
U2 P=I U =I R= R 2
• • • •
P I U R
výkon [W] el. proud [A] napětí [V] odpor [Ω]
Kondukční, konvekční a posuvný proud •
Kondukční proud • proud protékající vodičem v důsledku působení intenzity el. pole ve vodiči j= E • proudová hustota: j= v
• • • • •
Konvekční proud • pohyb náboje je vyvolán mechanicky (roztočením) u • proudová hustota: j= proudová hustota [A / m2] hustota náboje [C / m2] rychlost roztočení [m / s]
j ρ u
• • • •
proudová hustota [A / m2] hustota náboje [C / m2] driftová rychlost [m / s] měrná vodivost [S / m] intenzita el. pole [N / C = V / m]
j ρ v γ E
•
Posuvný proud • je dán změnou el. náboje ∂D • proudová hustota: j= ∂t proudová hustota [A / m2] elektrická indukce [C / m2] čas [s]
j D t
• • •
Indukce magnetického pole • •
silová charakteristika magnetického pole =Q v× F B • • • • • •
•
F Q v B I l
=I d l × dF B
Lorentzova síla [N] el. náboj [C] rychlost náboje [m / s] magnetická indukce [T] el. proud [A] délka [m]
integrace přes celý vodič: • • • • •
F L I l B
=∫ I d l × F B L
Ampérova síla [N] délka vodiče [m] el. proud [A] délka úseku vodiče [m] magnetická indukce [T]
Biotův - Savartův - Laplacův zákon •
I d B = 0 2 d l ×r 0 4 r
• • • • • •
B μ0 I r dl r0
magnetická indukce [T] permeabilita vakua [H / m] el. proud [A] poloha vůči dl [m] element délky vodiče [m] jednotkový vektor ve směru r [m]
Gaussova věta pro magnetické pole •
∯ B d S =0 • •
B S
magnetická indukce [T] uzavřená plocha [m2]
Zákon celkového proudu •
vodič v ploše uzavřené smyčkou • ∮ B d l =0 I • • • •
•
B dl μ0 I
magnetická indukce [T] část smyčky [m] permeabilita vakua [H / m] el. proud [A]
vodič mimo smyčku • ∮ B d l =0 • •
B dl
magnetická indukce [T] část smyčky [m]
Faradayův zákon elektromagnetické indukce •
•
v uzavřené smyčce, která se pohybuje vůči magnetickému poli, se indukuje elektromotorické napětí číselně rovné změně magnetického toku za jednotku času d d = ∬ Bd S dt dt S L d r =− d ∬ ⇒∮ E Bd S dt S
U =∮ E d r
• • • • • • •
U E L Φ t B S
napětí [V] intenzita el. pole [N / C = V / m] obvodová smyčka plochy S indukční tok [V s] čas [s] magnetická indukce [T] plocha uzavřená smyčkou [m2]
Vlastní a vzájemná indukčnost, statická a dynamická definice
•
Vlastní indukčnost • je závislá na tvaru a rozměrech vodiče a na permeabilitě prostředí • většinou se nepočítá, ale stanovuje měřením •
=L I • • •
•
Φ L I
indukční tok [V s] vlastní indukčnost vodiče [H] el. proud [A]
Vzájemná indukčnost • závisí na vzájemné vzdálenosti, poloze a rozměrech smyček •
21=M 21 I 1 • • •
•
Φ21 M21 I1
magnetický indukční tok procházející oběma smyčkami [V s] vzájemná indukčnost [H] proud procházející první smyčkou [A]
při nekonstantním proudu: • • • • •
U2 Φ21 M21 I1 t
U 2=−
∂ 21 dI =−M 21 1 ∂t dt
napětí na druhé smyčce [V] magnetický indukční tok procházející oběma smyčkami [V s] vzájemná indukčnost [H] proud procházející první smyčkou [A] čas [s]
Energie magnetického pole, hustota energie magnetického pole •
Energie magnetického pole 1 • dW m= I d I =∮ H dl=H l 2 1 ⇒ dW m= H B dV 2 • • • • • • • •
•
dWm I Φ H l B dS dV
d =B dS
magnetická energie [J] el. proud v přímkovém vodiči [A] magnetický indukční tok [V s] intenzita magnetického pole [A / m] délka cívky [m] magnetická indukce [T] průřez indukční magnetické indukce kruhového tvaru [m2] elementární objem [m3]
Hustota energie magnetického pole dW m 1 • w= ⇒ w= H B (pro izotropní prostředí) dV 2 •
l dS =dV
1 B pro neizotropní prostředí platí pouze vektorově: w= H 2
• • • • •
w dWm dV H B
hustota magnetické energie [J / m3] magnetická energie [J] elementární objem [m3] intenzita magnetického pole [A / m] magnetická indukce [T]
Vedení elektřiny v kapalinách, Faradayovy zákony elektrolýzy • •
•
chemicky čisté kapaliny jsou většinou velmi špatné vodiče roztoky s disociovanými ionty (elektrolyty) vedou proud pohybem iontů (např. kuchyňská sůl ve vodě) 1. Faradayův zákon • hmotnost látky vyloučená na elektrodě, je úměrná el. proudu a času, po který proud elektrolytem prochází •
m= A I t • • • • •
•
hmotnost látky vyloučené na elektrodě [kg] elektrochemický ekvivalent (konstantní pro dané ionty) [kg / C] el. proud [A] čas, po který prochází elektrolytem el. proud [s] náboj, který vylučoval na elektrodě m látky [C]
2. Faradayův zákon M • A= vF • • • •
•
m A I t Q
m=A Q
A M v F
elektrochemický ekvivalent (konstantní pro dané ionty) [kg / C] hmotnost jednoho molu [kg / mol] valence (kolik element. náb. nese jeden iont) [ / ] Faradayova konstanta [C / mol]
Faradayovy zákony nezávisí na tvaru a velikosti elektrod, na teplotě ani na koncentraci v elektrolytu
Přímočarý pohyb se koná z klidu se zrychlením, které rovnoměrně roste tak, že v okamžiku t1 má hodnotu a1. Urči závislost rychlosti a dráhy pohybu na čase. nerovnoměrně zrychlený pohyb → t
a t =k ta 0, a 0=0
k=
a1 t1
t
a1 a1 2 dt = t 2t1 0 0 t1 t t a a s t=∫ v t dt=∫ 1 t 2 dt= 1 t 3 6 t1 0 0 2 t1
v t =∫ a t dt =∫
zrychlení [m/s2] konstanta udávající závislost zrychlení na čase [m/s3] čas [s] rychlost [m/s] dráha [m]
a k t v s
Pod jakým elevančním úhlem α musí být vystřelena střela počáteční rychlostí v0, aby zasáhla cíl C (x1, y1)? v 0x =v 0 cos v x =v 0x =v 0 cos
v 0y =v 0 sin v y =v 0y −g t =v 0 sin −g t
t
s=∫ v 0 dt
→
x=t v 0 cos
0
x1 =t v 0 cos ⇒ t=
(zpomalování gravitačním polem)
1 y=t v 0 sin − g t 2 2
x1 v 0 cos
1 y 1=t v 0 sin − g t 2 Ted uz jen matematicky vyjadrit α v0 v0x v0y g t x1 y1
úhel výstřelu [rad] počáteční rychlost střely [m/s] x-ová složka počáteční rychlosti střely [m/s] y-ová slžka počáteční rychlosti střely [m/s] gravitační zrychlení [m/s2] čas [s] x-ová souřadnice cíle y-ová souřadnice cíle
Setrvačník se otáčí s frekvencí n otáček za minutu. Bržděním přejde do pohybu rovnoměrně zpožděného a zastaví se za čas t0 od začátku brždění. Urči úhlové zrychlení a počet otáček, které vykoná od začátku brždění do zastavení. t=0 t 0 =2 f
t 0 = 0t 0=0 ⇒ =−
0 2 f n ⇒ =− ⇒ =− t0 t0 30 t 0
t0
t0
0
0
0=∫ t dt =∫ 0 t dt= 0 t
t2 2
N= 0 2 ω0 ω (t) ω (t0) ε t t0 f n N α0
počáteční úhlová rychlost [1/s = Hz] úhlová rychlost v čase t [1/s = Hz] úhlová rychlost v čase t0 [1/s = Hz] úhlové zrychlení [1/s2 = Hz2] čas [s] čas, kdy se zastaví otáčení [s] frekvence [1/s = Hz] počet otáček před bržděním [ / ] počet otáček za dobu brždění [ / ] celkový úhel brždění [rad]
2 2 Vypočítej práci proměnné síly F= x −2xy i y −2xy j po dráze parametrickými rovnicemi x =t , y=t 2 z bodu A1 (1,1) do bodu A2 (-1,1).
dané
A2
A=∫ F d r
d r =i dxj dy ⇒ derivace x a y ⇒ d r =i dt j 2 t dt
A1
A2
A2
⇒ A=∫ [ x −2xy i y −2xy j] i dxj dy=∫ x 2−2xy dx y 2−2xy dy 2
2
A1
A1
x=t , y=t 2 ⇒ y=t x ⇒ t=
y ⇒ t 1=1, t 2=−1 x
d x=dt , dy=2 t dt t2
⇒ A=∫ t 2−2 t 3 dtt 4−2 t 3 2 t dt= t1
−1
t 3 t 4 t 6 4 t 5 −1 14 =∫ t −2 t 2 t −4 t dt=[ − − ] = J 3 2 3 5 1 15 1 2
A F dr i j t
3
5
4
práce síly F [J] síla [N] změna polohového vektoru [ / ] jednotkový vektror na ose x [ / ] jednotkový vektor na ose y [ / ] parametr [ / ]
Sáňky jedou z kopce rovnoměrně zrychleně po dráze AB a pod svahem rovnoměrně zpožděně po vodorovné dráze BC, na které se zastaví. Urči koeficient tření, je-li dán úhel sklonu svahu a délky drah AB a BC. W kB =F tBC ⇒
1 1 1 m v 2B =F t s 2 ⇒ m v 2B =F n s 2 ⇒ m v 2B =m g s 2 2 2 2
1 1 2 2 m v B = m g sin − F n s1 ⇒ m v B =sin −cos m g s 1 2 2 2 m g s 1 sin − cos ⇒ v 2B = ⇒ v 2B=2 g s 1 sin − cos m
W kB =G sin −F t s 1 ⇒
⇒ m g s 1 sin −cos =m g s 2 ⇒ s 1 sin −cos = s 2 ⇒ = WkB Ft FtBC m vB s1 s2 Fn α μ g
s 1 sin s 2s 1 cos
kinetická energie v bodě zlomu [J] třecí síla [N] třecí síla po dráze pod svahem [N] hmotnost sáněk [kg] rychlost v bodě zlomu [m/s] dráha AB [m] dráha BC [m] normálová síla [N] úhel sklonu svahu [rad] koeficient tření [ / ] gravitační zrychlení [m/s2]
Z vrcholu dokonale hladké koule o poloměru R se po jejím povrchu začne pohybovat hmotný bod. Urči vertikální polohu místa, ve kterém opustí povrch koule, dráhu, kterou do tohoto okamžiku urazil, a velikost rychlosti, se kterou povrch koule opustí. G cos=F o cos=
R−h R
v2 v2 ⇒ m g cos =m ⇒ g cos = R R ⇒ v 2=g R−h
1 W p =W k ⇒ m g h= mv 2 ⇒ v 2=2 g h ⇒ v= 2 g h 2 ⇒ 2 g h= g R−h ⇒ 2 h= R−h ⇒ h=
R 3
s=R R−h ⇒ =arccos R 1 ⇒ s=R arccos R− 3
=arccos
R G Fo m g v h
R− R
R 3
1 ⇒ =arccos R− 3
poloměr koule [m] gravitační síla [N] odstředivá síla [N] hmotnost hmotného bodu [kg] gravitační zrychlení [m/s2] rychlost hmotného bodu [m/s] vertikální poloha místa, kde hmotný bod opustí povrch koule [m]
α s
úhel od vrcholu koule k místu, kde ji hmotný bod opustí [rad] dráha, kterou hmotný bod urazí po povrchu koule [m]
Homogenní nosník hmotnosti m a délky l spočívá na dvou podpěrách. Ve vzdálenosti x od jednoho konce je zatížen hmotností m1. Sestav podmínky rovnováhy nosníku a urči reakce na podpěrách. G1=0 ⇒ F 1F 2−G−G1 =0 F 1 F 2G
1 G lG 1 l−x −F 1 l=0 (pro počátek v F2) 2 1 G lG 1 l−x G lG 1 l−x m g lm1 g l− x 2 ⇒ F 1= = = l 2l 2l ⇒ F 2=GG1 − m l x m1 F1 F2 G G1 g
G lG 1 l−x m g lm1 g l− x =m g m1 g− 2l 2l
hmotnost nosníku [kg] délka nosníku [m] vzdálenost od okraje nosníku F2 [m] hmotnost zátěže [kg] síla působící na nosník na jedné podpěře [N] síla působící na nosník na druhé podpěře [N] gravitační síla působící na nosník [N] gravitační síla působící na zátěž [N] gravitační zrychlení [m/s2]
Z bodu A nakloněné roviny úhlu α se začne valit beze smyku homogenní kotouč. Urči jeho rychlost v bodě B a čas potřebný k proběhnutí dráhy mezi A a B. W A=W p=m g h=m g s sin 1 1 1 v W B=W k = m v 2 J 2 , J = mr 2, = 2 2 2 r 1 1 3 ⇒ W B= m v 2 m v 2= mv 2 2 4 4
3 4 W A=W B ⇒ m g s sin = m v 2 ⇒ 4 g s sin =3 v 2 ⇒ v= g s sin 4 3 v=
WA WB Wp Wk m
ds ds ds ⇒ dt= ⇒ dt= ⇒ dt v 4 g s sin 3
energie v bodě A [J] energie v bodě B [J] potenciální energie [J] kinetická energie [J] hmotnost kotouče [kg]
∫ dt=
3 3s ∫ ds ⇒ t= g sin 4 g sin s
g s v h J ω α r
gravitační zrychlení [m/s2] dráha mezi A a B [m] rychlost valení [m/s] počáteční výška kotouče [m] moment setrvačnosti [kg/m2] úhlová rychlost [m/s] úhel sklonu nakloněné roviny [rad] poloměr kotouče [m]
Odvoď vztah pro kapacitu kulového kondenzátoru. R2
U =∫ E dr
E=
R1
Q 2 4 r
R2
Q dr Q 1 R Q R 2−R1 ⇒ U= = [− ] = ∫ 4 R r 2 4 r 2 R 4 R1 R2 2
1
C= U E R1 R2 Q ε r C
1
R R Q ⇒ C=4 1 2 U R2 −R1 napětí mezi kulovými plochami [V] intenzita el. pole [V/m] poloměr vnitřní koule [m] poloměr vnější koule [m] elektrický náboj [C] permitivita dielektrika [ / ] střední poloměr [m] kapacita kondenzátoru [F]
Odvoď vztah pro kapacitu válcového kondenzátoru. R2
U =∫ E dr R1
E=
Q 2 l r
R2
R Q dr Q ⇒ U= = ln 2 ∫ 2 l R r 2 l R1 1
C=
U E R1 R2 Q ε r C l
2 l Q ⇒ C= U R ln 2 R1 napětí mezi válci [V] intenzita el. pole [V/m] poloměr vnitřního válce [m] poloměr vnějšího válce [m] elektrický náboj [C] permitivita dielektrika [ / ] střední poloměr [m] kapacita kondenzátoru [F] délka válců [m]
