Het ontwikkelen van een robuustheidmaatstaf voor NS personeelsplannen

Proje t Number FP6-021235-2

I

A

lgorithms for

mproving the

V

R

ARRIVAL

obust and online

A

alidity and reli

R

ailway optimization:

bility of

L

arge s ale systems

STREP Member of the FET Open S heme

ARRIVAL TR 0143

Developing a measure for robustness for

rew s hedules of Netherlands Railways Chrissy Tan

July 2008

Het ontwikkelen van een robuustheidmaatstaf voor NS personeelsplannen Bachelorscriptie door Chrissy Tan - studentnummer 276818 Onder begeleiding van Dr. Dennis Huisman 22 juli 2007

Erasmus Universiteit Rotterdam Capaciteitsgroep Econometrie & Besliskunde Burgemeester Oudlaan 50 3062 PA ROTTERDAM

INHOUDSOPGAVE

1

Inhoudsopgave 1 Inleiding

2

2 Probleemomschrijving 2.1 Uitleg begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Personeelsplanningsprobleem . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Aspecten van personeelsplanning bij NS . . . 2.3 Robuustheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

4 4 5 5 6

3 Methoden 3.1 Robuustheidmaatstaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 LP-model voor het bepalen van gemiddelde vertragingen . . . . . . .

7 7 7

. . . .

. . . .

. . . .

4 Data 4.1 Data omschrijving personeelsplannen NS . . . . . . . . . . 4.2 Data aanpassing voor het vergelijken van personeelsplannen 4.3 GAMS model verificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Modelleren van kleine verstoringen . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

10 10 10 10 11

5 Resultaten op NS data 5.1 Punctualiteitsverandering door personeelsplan . . . . . . . . . . . . 5.2 Robuustheidmaatstaf vergelijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15

6 Conclusie & discussie

18

7 Bijlagen

20

A 35 meetstations

20

B Weggelaten taken uit de personeelsplannen

21

C Input file gebruikt in het GAMS model

22

D GAMS model

23

E Aankomstpunctualiteitscijfers

24

F Robuustheidmaatstaf

25

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 INLEIDING

2

1 Inleiding De Nederlandse Spoorwegen (NS) genereert personeelsplannen met het softwarepakket Turni. Maar voordat er een plan uitrolt moeten er eerst parameters gekozen worden. Door verschillende parameters te kiezen, ontstaan er ook verschillende personeelsplannen. Eén van de parameters die gekozen kunnen worden, is de tijd die een machinist krijgt om over te stappen op een volgende trein, verder in de scriptie aangeduid als de (machinist-)overgangstijd. Maar hoe weet de NS welk personeelsplan het beste is? En welk criteria worden er gebruikt om te bepalen wanneer men een plan als beste kan kwalificeren? Een veelvoorkomend criterium is de robuustheid van een plan. Bij een robuuster personeelsplan hebben vertragingen eerder op de dag minder invloed op ritten later op de dag of elders in het land en dat is een belangrijke eigenschap. Zo heeft de NS een stabieler personeelsplan, dat weinig aanpassingen nodig heeft bij kleine verstoringen en heeft de consument minder last van vertragingen die veroorzaakt worden door vertragingen die eerder op die dag ontstaan zijn. Er is veel onderzoek gedaan op het gebied van personeelsplanningsproblemen (PPP) (zie bijv. Housos en Elmroth [3], Cavique et al. [1], Yunes et al. [10] en Kroon en Fischetti [5]). In recenter onderzoek wordt de nadruk gelegd op het creëren van robuustere personeelsplannen. Dit zien we bij Lourenço, Paixão en Portugal [6] die het probleem verbeteren door meerdere doelfuncties te gebruiken bij het oplossen van het PPP. Waarna Ehrgott en Ryan [2] een robuustheidsdoelfunctie toevoegen aan de kosten doelfunctie. Shebalov en Klabjan [7] gaan een stap verder en hebben een model ontwikkeld voor vluchtroosters waarmee men robuustere personeelsplannen kan creëren door het aantal personeelsleden die kunnen wisselen van taken om zo vertragingen te reduceren te maximaliseren, waardoor dus ook robuustere plannen ontstaan. Dit is helaas niet toepasbaar voor instanties zoals treinmaatschappij de NS, omdat de NS niet bij elk station een depot met treinen heeft die elk moment inzetbaar zijn voor het opvangen van vertragingen. Een ander interessant onderzoek op het gebied van robuustere personeelsplannen ontwikkelen, is het onderzoek van Yen en Birge [9]. Door het personeelsplanningsprobleem stochastisch te modelleren, hebben Yen en Birge een methode bedacht om verstoringen mee te nemen bij het identificeren van robuustere personeelsplannen. Ondanks alle aanpassingen, met als doel robuustere plannen te genereren, valt er nog niets te vinden in de literatuur waarmee men personeelsplannen met elkaar kan vergelijken op basis van robuustheid. Daarom is een maatstaf voor robuustheid gewenst. In dit onderzoek draait het daarom om het vinden van een antwoord op de volgende hoofdvraag: Hoe kunnen personeelsplannen van de NS, waarbij de overgangstijden variëren, vergeleken worden op basis van robuustheid bij kleine verstoringen in de rijtijden? Om deze vraag te kunnen beantwoorden worden de volgende deelvragen eerst beantwoord:

1 INLEIDING

3

• Op basis van welke andere aspecten kunnen personeelsplannen van de NS worden vergeleken? • Welk aspect in het personeelsplan heeft invloed op de robuustheid van een personeels plan? • Wat is het nut van het vergelijken van personeelsplannen op basis van robuustheid? • Waarom ontwikkelen we een robuustheidmaatstaf op basis van kleine verstoringen in het personeelsplan van de NS? • Welke methode wordt er gebruikt om de robuustheidmaatstaf te ontwikkelen? Eerst wordt in hoofdstuk 2 het probleem omschreven door de te gebruiken begrippen toe te lichten. Daarna wordt er ingegaan op wat personeelsplanningsproblemen inhouden door te kijken naar aspecten waarmee zo’n plan rekening moet houden en wordt NS data omschreven die gebruikt worden in dit onderzoek. En als laatste wordt uitgelegd wat robuustheid inhoudt en wat de verwachtingen zijn van het onderzoek met betrekking tot de robuustheid van een personeelsplan. Dan introduceren we in hoofdstuk 3 de robuustheidmaatstaf en vervolgens stellen we een Lineair Programmerings (LP) model op voor het vinden van de benodigde elementen voor de maatstaf. Daarna wordt er in hoofdstuk 4 nader ingegaan op aanpassingen op de NS data om zo de verschillende plannen te kunnen vergelijken. Ook wordt er geverifieerd dat het LP model van hoofdstuk 3 goed ge¨ımplementeerd is, alvorens daarmee te simuleren. En als laatste wordt er een paragraaf gewijd aan het modelleren van kleine verstoringen. Hierna worden de resultaten getoond in hoofdstuk 5. Waarbij eerst de resultaten met betrekking tot de aankomstpunctualiteit van treinen worden bekeken en daarna de resultaten van de robuustheidmaatstaf. Tot slot wordt er in de conclusie en discussie een korte samenvatting gegeven van het onderzoek en vindt men het antwoord op de hoofdvraag. Afsluitend worden er suggesties voor vervolgonderzoek besproken.

2 PROBLEEMOMSCHRIJVING

4

2 Probleemomschrijving De logistieke afdeling van de NS houdt zich o.a. bezig met het maken van de roosters voor machinisten en conducteurs. Er bestaat nu een software pakket dat een groot deel van het werk voor hen doet, maar voordat dat pakket met een optimaal rooster op de proppen komt, moeten er parameters worden ingevoerd. Een voorbeeld van zo’n parameter is de minimale overstaptijd voor de machinisten. Maar hoe weten zij deze parameters goed te kiezen? Wie kan zeggen of twintig minuten overstaptijd het plan “beter” maakt, dan wanneer men vijftien minuten gebruikt? En wat houdt een “beter” personeelsplan in? Welke maatstaven kunnen daarbij gebruikt worden? In dit onderzoek gaan we een maatstaf ontwikkelen die de robuustheid van een personeelsplan aangeeft, om zo via verschillende methoden verkregen personeelsplannen te kunnen vergelijken op robuustheid. Eerst wordt er uitgelegd in paragraaf 2.1 welke definities er gehanteerd worden in deze scriptie. Als tweede zal omschreven worden wat het personeelsplanningsprobleem inhoudt en hoe de NS daarmee te maken heeft (zie paragraaf 2.2). Vervolgens wordt er gekeken naar wat robuustheid is en hoe dit gemeten kan worden (zie paragraaf 2.3).

2.1 Uitleg begrippen Voor de duidelijkheid worden hier een aantal begrippen uitgelegd die worden gebruikt in dit onderzoek voor het NS personeelsplan. Rit

Een deel van een materieeldienst, m.a.w. een verplaatsing van het materieel van punt A naar punt B; Taak Een deel van een machinistdienst, m.a.w. bij elke rit hoort een taak van een machinist die die rit uitvoert; Rijtijd De tijd die een trein nodig heeft om e´ e´ n rit af te leggen; Geplande rijtijd Rijtijd die wordt opgehoogd met een buffer van 7%; Verstoring De tijd veroorzaakt door externe factoren die bij de rijtijd wordt opgeteld, waarbij de totale rijtijd nog steeds kleiner is dan de geplande rijtijd; Vertraging Het verschil tussen de geplande aankomsttijd en de werkelijke aankomsttijd, waarbij de werkelijke aankomsttijd later is dan geplande aankomsttijd. Een vertraging ontstaat dus pas als de verstoring van een rit zodanig groot wordt dat de trein niet meer voor of op de geplande tijd aankomt; Meetstation Een treinstation waar vertragingen worden gemeten (zie bijlage A voor de complete lijst met meetstations).


5

2.2 Personeelsplanningsprobleem Bij een personeelsplanningsprobleem probeert men taken toe te kennen aan het aanwezige personeel, opdat alle taken worden uitgevoerd, aan alle van tevoren vastgestelde voorwaarden worden voldaan en de kosten worden geminimaliseerd. Bij de voorwaarden kan men denken aan restricties opgelegd door de overheid en/of het bedrijf zelf die zijn opgenomen in de arbeidsvoorwaarden (bijv. rustperiode tussen twee taken, lunchpauzes, lengte dienst, minimale tijd die het materieel nodig heeft om zich klaar te maken voor zijn volgende rit). Maar ook is het logisch dat mensen of materieel vaak maar voor e´ e´ n taak op e´ e´ n moment kunnen worden ingezet. In paragraaf 2.2.1 wordt er gekeken naar drie belangrijke aspecten waar de NS rekening mee moet houden bij het opstellen van haar personeelsplan. 2.2.1 Aspecten van personeelsplanning bij NS De NS moet met veel tegenstrijdige aspecten rekening houden bij het ontwikkelen van een personeelsplan. Drie belangrijke aspecten worden hier toegelicht: kosten, sociale aspecten en robuustheid. Op het gebied van kosten wil de NS de kosten zo laag mogelijk houden door het minimum aantal diensten te vinden die toch alle taken uitvoert, waarbij het personeelsplan voldoet aan de arbeidsvoorwaarden (zie ook Huisman et al.[4]). Mensen kunnen niet langer dan acht uur per dag intensief werk doen. De NS heeft machinisten en conducteurs in dienst. Daardoor kan niet elk personeelslid ingezet worden om een machinistendienst uit te voeren door het ontbreken van bepaalde kwalificaties. Er moet dus een balans worden gevonden tussen het voldoen aan de arbeidsvoorwaarden en vraag naar vervoer aan de ene kant en het laag houden van de (personeels)kosten aan de andere kant. Maar alleen kijken naar kosten minimalisatie is niet voldoende, er zijn ook sociale aspecten waar de NS rekening mee moet houden. Denk hierbij aan de wensen van passagiers, maar ook het personeel heeft zijn eisen aan hun rooster. Tegenwoordig is veiligheid ook een aspect waar de NS rekening mee moet gaan houden. Passagiers voelen zich veiliger als er genoeg conducteurs rondlopen op de trein of op de perrons. Door deze wens, zien we een duidelijk conflict tussen het minimaliseren van de personeelskosten en het tegemoet komen aan de wensen van de treinreizigers. Veel van deze reizigerswensen worden meegenomen in het opstellen van het dienstrooster en het maken van het personeelsplan. Bovendien heeft het personeel ook nog wensen met betrekking tot hun rooster (“Sweet-and-Sour Rules” omschreven in Huisman et al.[4]). Een medewerker wil ook afwisseling in zijn werk en wenst niet de hele dag hetzelfde traject te rijden. Ook bestaat er de voorkeur voor trajecten waarop intercity treinen rijden. Deze zijn namelijk comfortabeler dan oude stoptreinen. Maar er zijn ook trajecten minder geliefd doordat die in beruchte delen van het land liggen en waar veel meer criminaliteit heerst. Door al deze wensen, moet in het personeelsplan ervoor gezorgd worden dat de taken


6

eerlijk worden verdeeld. Een wens die steeds meer meespeelt is robuustheid van een personeelsplan. Passagiers vinden het storend als treinen vertraagd vertrekken door externe factoren zoals slechte weersomstandigheden of defecte treinen. Hier valt helaas weinig aan te doen. Maar vaak veroorzaakt zo’n primaire vertraging vertragingen elders in het land, de zogenaamde secundaire vertragingen. Dit kan echter wel geminimaliseerd worden door het aantal wisselingen van treinen door machinisten zo klein mogelijk te houden en de overstaptijd voor machinisten naar de volgende trein te vergroten. Zo wordt er meer speling gecreëerd in het plan, waardoor het dus robuuster wordt voor verstoringen. Kortom het personeelsplanningsprobleem van de NS is zeer complex door hierboven omschreven aspecten. Het is dan ook nuttig om een maatstaf te hebben voor het bepalen van bijvoorbeeld de robuustheid om zo een betere afweging te kunnen maken tussen het al dan niet inleveren van robuustheid voor betere dienstverlening of lagere kosten.

2.3 Robuustheid Bij een robuuste oplossing zullen verstoringen in een personeelsplan weinig tot geen invloed hebben op de daarop volgende taken van een personeelslid (Yen en Birge [9]). Verstoringen zijn namelijk kostbaar door dure oplossingsmethoden. Denk hierbij aan het aanschaffen van computersoftwarepakketen die nieuwe personeelsplannen moeten herberekenen bij verstoringen, de extra personeelskosten die nodig zijn om de herberekende personeelsplannen uit te voeren en dit leidt automatisch tot inefficiënt gebruik van personeel en materieel. In deze scriptie kijken we alleen naar de vertragingen die worden veroorzaakt door machinisten die van trein wisselen, omdat naar verwachting langere overgangstijden tot een robuuster personeelsplan leiden door de langere buffertijden tot het begin van de volgende taak.

3 METHODEN

7

3 Methoden In dit hoofdstuk wordt er aandacht besteed aan het vinden van de robuustheidmaatstaf met behulp van een LP-model. Hiervoor gebruiken we het computerpakket GAMS. Eerst wordt in paragraaf 3.1 de robuustheidmaatstaf gepresenteerd die wordt gebruikt in dit scriptie onderzoek. Daarna wordt in paragraaf 3.2 het LP model opgesteld en toegelicht om zo de robuustheidmaatstaf te bepalen.

3.1 Robuustheidmaatstaf We gaan dus een robuustheidmaatstaf ontwikkelen voor NS personeelsplannen. De volgende maatstaf wordt hier gebruikt: GVm , (1) GVt met GVm = gemiddelde vertraging door diensten van machinisten en GVt = de gemiddelde vertraging die sowieso aanwezig is in een bepaald verstoringsscenario. Met vergelijking (1) verkrijgen we het percentage vertragingen veroorzaakt door machinistendiensten. GVm en GVt worden bepaald door LP modellen op te lossen (nader uitgelegd in paragraaf 3.2).

3.2 LP-model voor het bepalen van gemiddelde vertragingen Yen en Birge [9] hebben door het personeelsplanningsplobleem stochastisch te modelleren een methode gevonden om willekeurige verstoringen mee te nemen in het vinden van robuustere plannen. Hier hebben ze een twee stappen model gebruikt waarbij in de eerste fase een set covering probleem wordt opgelost waarbij materieel en personeel optimaal worden toegekend aan diensten rekening houdend met de in de tweede fase uitgevoerde niet-lineaire model waar de extra vertraging veroorzaakt door personeel die van materieel veranderen wordt beboet in de doelfunctie waarbij een vector met willekeurig gekozen verstoringen is gebruikt voor het bepalen van verschillende verstoringsscenario’s. Deze doelstellingsfunctie wordt vervolgens geminimaliseerd. Doordat in dit onderzoek de diensten worden aangeleverd door het pakket Turni, zijn de diensten dus bekend en reduceert het model uit Yen en Birge tot een lineair programmings (LP) probleem. Met behulp van het model omschreven in Yen en Birge is het hieronder omschreven LP model opgesteld voor het vinden van de gemiddelde vertraging door machinistendiensten en de gemiddelde totale vertraging.

3 METHODEN

8

Gegeven verzamelingen en constanten J N Ω tjω rjs dsj p gjω c gjn

ppj pcjn

verzameling ritten; verzameling machinistendiensten; verzameling met een eindig aantal verstoringsscenario’s; de rijtijd nodig voor rit j ∈ J in verstoringsscenario ω ∈ Ω ; de geplande aankomsttijd van trein op rit j ∈ J; de geplande vertrektijd van trein op rit j ∈ J; de tijd dat de trein van rit j ∈ J nodig heeft om zich klaar te (laten) maken voor de volgende rit in verstoringsscenario ω; de tijd dat de machinist van rit j ∈ J nodig heeft om zich klaar te maken voor zijn volgende taak; de vorige rit van de trein op rit j ∈ J; de vorige taak van de machinist van taak n ∈ N op rit j ∈ J.

Beslissingsvariabelen a rjω dajω ∆jω

de werkelijke aankomsttijd van de trein op rit j in verstoringsscenario ω ∈ Ω, de werkelijke vertrektijd van de trein op rit j in verstoringsscenario ω ∈ Ω, de totale vertraging van de trein op rit j in verstoringsscenario ω ∈ Ω.

Het LP-model min

X

∆jω

(2)

j

met voorwaarden: a rjω − dajω ≥ tjω ,

dajω ≥ dsj ,

∀j

∀j

a rjω − ∆jω ≤ rjs ,

(4) ∀j

p dajω − max rpap ω ≥ gjω , p pj

j

c dajω − (rpacjn ω + gjn ) ≥ 0,

∆jω ≥ 0,

(3)

∀j

(5) ∀j

∀j ∈ N

(6) (7) (8)

In vergelijking (2) zien we de doelstellingsfunctie waarin de totale vertraging in een gegeven verstoringsscenario ω gevonden kan worden van het personeelsplan. Restrictie (3) geeft de minimale werkelijke rijtijd tjω aan die nodig is in scenario ω voor

3 METHODEN

9

het afleggen van rit j. Vervolgens wordt er in restrictie (4) opgelegd dat een trein niet eerder mag vertrekken dan gepland. Deze restrictie is extra toegevoegd aan het model in Yen en Birge [9]. Bij restrictie (5) moet men in het achterhoofd houden dat een vertraging pas een vertraging is als de werkelijke aankomsttijd groter is dan de geplande aankomsttijd. De werkelijke aankomsttijd plus de vertraging is gelijk aan de geplande aankomsttijd, maar aangezien de trein ook eerder kan aankomen dan gepland, staat er in deze restrictie een kleiner dan of gelijk aan teken (≤). Daarna zien we in restrictie (6) dat de volgende trein pas kan vertrekken als de vorige trein is gearriveerd en gereed is gemaakt. Ook deze restrictie is iets aangepast, doordat de NS treinen kan koppelen en daardoor een trein soms afhankelijk is van twee voorgaande treinen. Ook restrictie (7) heeft te maken met afhankelijkheid van de voorganger, maar dan met betrekking tot de machinist i.p.v. het materieel. Als blijkt dat de machinist een eerdere taak heeft, dan kan de trein pas vertrekken als de trein waar de machinist voor deze trein op zit, is aangekomen en als hij genoeg tijd heeft gehad om op de nieuwe trein te stappen. In vergelijking (8) wordt opgelegd dat vertragingen niet negatief kunnen zijn. Los het LP-model op met alle restricties, dan verkrijg je de totale vertraging. Los je hem op zonder vergelijking (7) dan krijg je de totale vertraging zonder rekening te houden met het personeelsplan. Het verschil tussen de eerste en de tweede is dus de gemiddelde vertraging veroorzaakt door machinist-overgangen.

4 DATA

plan 10 min 15 min 20 min

10 aantal aantal diensten machinisttaken 911 12231 911 12231 913 12231

aantal passagierstaken 313 319 339

aantal overgangen 4321 4340 4331

aantal keringen 430 451 442

Tabel 1: Overzicht van de eigenschappen van de verschillende personeelsplannen. De naam van het plan geeft aan hoeveel minuten overgangstijd er is genomen.

4 Data In dit hoofdstuk gaan we kijken naar de uitvoering van de methoden. Eerst wordt in paragraaf 4.1 een korte uitleg gegeven van de gebruikte data. Dan wordt in paragraaf 4.2 besproken hoe de data is aangepast om zo de personeelsplannen op gelijke voet te vergelijken. Daarna wordt het GAMS model in paragraaf 4.3 nog voor de volledigheid op drie manieren geverifieerd. En aan het eind van dit hoofdstuk in paragraaf 4.4 wordt er gekeken naar het modelleren van kleine verstoringen.

4.1 Data omschrijving personeelsplannen NS De data die in dit onderzoek worden gebruikt zijn de data van het voorontwerp van de dienstregeling 2008. Het betreft de diensten op een donderdag. Er zijn drie runs gedaan met het pakket Turni en daarbij zijn alleen de overgangstijden tussen twee treinen gevarieerd met respectievelijk 20, 15 en 10 minuten.

4.2 Data aanpassing voor het vergelijken van personeelsplannen Om de drie personeelsplannen te kunnen vergelijken moeten de plannen gelijk gemaakt worden. Voor het gelijk maken van de plannen is er gekozen voor het weglaten van unieke taken uit de personeelsplannen (zie appendix B voor de weggelaten taken). Het plan waarbij de overgangstijden 20 minuten zijn bevat 913 diensten en 12570 taken. Het plan van 15 minuten bevat 911 diensten en 12550 taken en het laatste plan bevat ook 911 diensten maar 12544 taken. In alle drie personeelsplannen zijn er 12231 machinisttaken ofwel 12231 ritten en zijn de overige taken passagierstaken. Bij een passagierstaak moet de machinist een stuk reizen met de trein voordat deze aan een volgende machinisttaak kan beginnen.

4.3 GAMS model verificatie Om zeker te zijn dat het LP-model, dat ingevoerd is in het computerpakket GAMS geen onlogische uitkomsten geeft, is er gecontroleerd of het model logische oplossingen genereert. Dit is gedaan door het model te runnen met een personeelsplan zon-

4 DATA

11

Figuur 1: De dichtheidsfunctie van een exponentiële verdeling met verschillende parameters λ. Gevonden op de website http://cnx.org/content/m13128/latest/, datum 28 mei 2007.

der verstoringen. Naar verwachting genereerde het model als optimale oplossing nul minuten vertraging. Ook is er een deel van een dienst uitgelicht uit het personeelsplan met 10 minuten overgangstijd. De gegenereerde oplossing kwam overeen met de handmatig uitgerekende oplossing. En als laatste zijn voor drie plannen (met exponentieel verdeelde verstoringen λ = 2) de vertragingen zonder personeelsplan voor 1 simulatie vergeleken. Deze waren naar verwachting allen gelijk (zie ook appendix F).

4.4 Modelleren van kleine verstoringen In deze paragraaf wordt er uitgelegd wat kleine verstoringen zijn en waarom de robuustheid van een personeelsplan bij kleine verstoringen zo interessant is. Volgens Vromans [8] zijn de kleine verstoringen bij de NS exponentieel verdeeld met parameter λ=1 voor alle treinen. Met deze gekozen parameter krijg je verstoringen die niet afhankelijk zijn van voorgaande verstoringen. In dit scriptie onderzoek worden ook exponentieel verdeelde verstoringen gebruikt, maar worden ze wel van boven bij negen minuten afgekapt. Zo komen de verstoringen tussen 0 en 9 minuten te liggen. Dit is een redelijk interval voor kleine verstoringen, want bij verstoringen boven de 9 minuten zet de NS noodplannen in. Deze zijn namelijk nodig gezien de cyclische eigenschap van de dienstregeling. Het is voor te stellen dat er andere maatregelen genomen moeten worden als een intercity meer dan 9 minuten vertraging heeft met betrekking tot de volgende intercity die, oorspronkelijk 15 minuten later ingepland was te vertrekken, nu maar 6 minuten later vertrekt. Door o.a. veiligheidsredenen zou

4 DATA

12

Figuur 2: De aankomstpunctualiteitscijfers bij exponentieel verdeelde verstoringen met parameter λ=1.

de volgende intercity niet meer op tijd kunnen vertrekken. Het is ook aannemelijk om te zeggen dat de parameter λ niet verschilt per rit. Want op een lange rit zou de trein zijn opgelopen vertragingen makkelijker kunnen inhalen en bij een korte rit loopt een trein minder kans op een vertraging. In dit onderzoek is gekozen voor exponentieel verdeelde verstoringen met parameter λ ∈ {2, 3, 4}, omdat bij een parameter λ ≤ 1 de punctualiteitscijfers onrealistisch hoog zijn (zie tabel in figuur 2). Dit komt doordat de verstoringen bij de rijtijden worden opgeteld en aangezien de rijtijden, eigenlijk de reistijden verminderd met 7% buffertijden zijn, zullen verstoringen met parameter λ=1 vrijwel geen vertragingen opleveren. En bij een parameter λ > 4 zijn de punctualiteitscijfers wel erg laag en zal de NS noodplannen uitvoeren.

5 RESULTATEN OP NS DATA

13

Tabel 2: De aankomstpunctualiteitscijfers bij drie verschillende personeelsplannen met exponentieel verdeelde verstoringen met parameter λ ∈ {2, 3, 4}.

5 Resultaten op NS data In dit hoofdstuk worden de resultaten besproken van de uitvoering van het onderzoek. Eerst wordt er in paragraaf 5.1 de punctualiteitscijfers bekeken van de verschillende simulaties van het model voor vertragingen. En daarna worden de resultaten voor de robuustheidmaatstaf getoond in paragraaf 5.2.

5.1 Punctualiteitsverandering door personeelsplan Voor de drie personeelsplannen is er gekeken naar de punctualiteit. Er is gebruik gemaakt van de 3 minuten regel, dat wil zeggen dat alle treinen met een vertraging kleiner of gelijk aan 3 minuten “op tijd” rijden. De verwachting is dat de treinen beter op tijd rijden in het plan waarbij de machinisten meer overgangstijd hebben. In dit onderzoek zou men dus verwachten dat de treinen van het plan met 20 minuten overgangstijd meer op tijd rijden dan het plan met 10 minuten overgangstijd. Echter blijkt uit tabel 2 dat eerder het omgekeerde het geval is. Ook zien we in figuur 3 dat er geen significant verschil te zien is in punctualiteit voor de verschillende plannen voor verschillende parameters λ. Wel is er te zien dat bij een hogere parameter λ, m.a.w. bij een hogere gemiddelde verstoring, de plannen allemaal naar verwachting een lagere punctualiteit hebben.


14

Figuur 3: De aankomstpunctualiteitspercentages bij drie verschillende personeelsplannen met exponentieel verdeelde verstoringen met parameter λ ∈ {2, 3, 4}. Naar verwachting daalt de punctualiteit voor elk personeelsplan wanneer de gemiddelde verstoring hoger wordt.


15

Tabel 3: De robuustheidmaatstaven van het 10 minuten overgang personeelsplan voor verschillende verstoringen met parameter λ ∈ {2, 3, 4}.

5.2 Robuustheidmaatstaf vergelijken Er is gekozen voor het genereren van 5 runs voor elk personeelsplan om toeval uit te sluiten. Logischerwijs moet de robuustheidmaatstaf lager zijn voor een personeelsplan dat robuuster is dan een plan dat minder robuust is. Want de maatstaf die in dit onderzoek wordt gebruikt, is het verschil tussen de vertraging zonder personeelsplan en de totale vertraging gedeeld door de totale vertraging. Bij een robuuster plan zou het verschil kleiner moeten zijn. Dus de verwachting is dat het plan met 20 minuten overgangstijd een lagere robuustheidmaatstaf heeft dan het plan met 10 minuten overgangstijd. Ook hier voldoen de resultaten uit tabellen 3, 4 en 5 niet aan de verwachting. Men kan niet spreken van een verandering in robuustheid, omdat de verschillen heel klein zijn. Dit betekent helaas dat de ontwikkelde robuustheidmaatstaf dus aantoont dat de personeelsplannen op basis van robuustheid niet verschillen. Dit is te verklaren doordat de extra vertraging veroorzaakt door het personeelsplan maar een kleine fractie is van de totale vertraging die al ontstaat door het rooster van het materieel.


16




Figuur 4: De robuustheidmaatstaf.

17

6 CONCLUSIE & DISCUSSIE

18

6 Conclusie & discussie Voor het vinden van de gemiddelde vertraging veroorzaakt door personeelsplan (LP1) en de totale gemiddelde vertraging (LP2) zijn er twee LP’s opgelost waarbij voor de robuustheidmaatstaf het verschil tussen de oplossing van LP1 en de oplossing van LP2 wordt gedeeld door de oplossing van LP2. De robuustheidmaatstaf geeft aan dat op basis van robuustheid van een personeelsplan, de drie plannen niet veel verschillen. Dit komt omdat de extra vertraging veroorzaakt door het personeelsplan maar een klein deel is van de totale vertraging. Kortom het variëren van machinist-overgangstijden heeft dus weinig invloed op de robuustheid van een personeelsplan bij kleine verstoringen. Voor vervolgonderzoek kan er gekeken worden naar de robuustheidmaatstaf bij grotere verstoringen. Zoals eerder aangegeven zal de NS bij grotere verstoringen maatregelen nemen zoals het eventueel laten uitvallen van treinen. Het is interessant om te kijken hoe robuust een plan dan is en hoe makkelijk het plan aan te passen valt. Daarnaast kan er ook gekeken worden in het TURNI pakket of er een ander aspect dan de overgangstijden gevarieerd kan worden om zo de robuustheidmaatstaf nogmaals te testen.

REFERENTIES

19

Referenties [1] L. Cavique, C. Rego, and I. Themido. New heuristic algorithms for the crew scheduling problem. [2] M. Ehrgott and D.M. Ryan. Constructing robust crew schedules with bicriteria optimization. Journal of Multicriteria Decision Analysis, 11(3):139–150, 2002. [3] E. Housos and T. Elmroth. Automatic optimization of subproblems in scheduling airline crews. Interfaces, 27(5):68–77, 1997. [4] D. Huisman, L.G. Kroon, R.M. Lentink, and M.J.C.M. Vromans. Operations research in passenger railway transport. Statistica Neerlandica, 59(4):467–497, 2005. [5] L. Kroon and M. Fischetti. Scheduling train drivers and guards: the dutch “noordoost” case. Proceedings of the 33rd Hawaii International Conference on System Sciences, 2000. [6] H.R. Lourenço, J.P. Paixão, and R. Portugal. Multiobjective metaheuristics for the bus driver scheduling problem. Transportation Science, 35(3):331–343, 2001. [7] S. Shebalov and D. Klabjan. Robust airline crew pairing: Move-up crews. Transportation Science, 40(3):300–312, 2006. [8] M.J.C.M. Vromans. Reliability of Railway Systems, volume 62 of RIM Ph. D series Research in Management. Erasmus Research Institute of Management, 2005. [9] J.W. Yen and J.R. Birge. A stochastic programming approach to the airline crew scheduling problem. Transportation Science, 40(1):3–14, 2006. [10] T.H. Yunes, A.V. Moura, and C.C. de Souza. Hybrid column generation approaches for urban transit crew management problems. Transportation Science, 39(2):273–288, 2005.

20

7 BIJLAGEN

7 Bijlagen A 35 meetstations Afkorting Ah Amf Aml Amr Apd Asd Bd Ddr Dvd Dv Ehv Gd Gn Gvc Gv Hgl Hlm Hn

Stationsnaam Arnhem Amersfoort Almelo Alkmaar Apeldoorn Amsterdam Centraal Breda Dordrecht Duivendrecht Deventer Eindhoven Gouda Groningen Den Haag Centraal Den Haag HS Hengelo Haarlem Hoorn

Afkorting Hrl Ht Ledn Lw Mt Nm Rm Rsd Rtd Shl Std Tb Ut Vl Vs Zl Zp

Stationsnaam Heerlen s Hertogenbosch Leiden Centraal Leeuwarden Maastricht Nijmegen Roermond Roosendaal Rotterdam Centraal Schiphol Sittard Tilburg Utrecht Venlo Vlissingen Zwolle Zutphen

Figuur 1: Alle meetstations die worden gebruikt door de NS bij het meten van vertragingen.

B WEGGELATEN TAKEN UIT DE PERSONEELSPLANNEN

21

B Weggelaten taken uit de personeelsplannen Deze regels zitten wel in 10min.crs maar niet in 15min.crs: 09:06 09:21 Ed Ah 007527-114 NR 08:37C08:53 Ah Ed 007526-214 NR 06:37C06:53 Ah Ed 007518-214 NR 10:42 11:03 Ah Zp 003730-214 NR 09:37 09:51 Ah Nm 003027-514 NR 06:06 06:36 Zp Ah 007518-114 NR 08:06 08:36 Zp Ah 007526-114 NR 07:22 07:54 Ah Zp 007519-214 NR 07:06 07:21 Ed Ah 007519-114 NR 10:28 10:41 Nm Ah 003730-114 NR Deze regels zitten wel in 15min.crs maar niet in 10min.crs: 20:44 20:56 Dv Zp 003779-214 NR 17:28 17:35 Hgl Es 001755-614 NR 16:50 17:27 Dv Hgl 001755-514 NR 20:20 20:42 Zl Dv 003779-114 NR 18:42 19:27 Aml Zl 007968-314 NR 15:44 16:04 Ut Amf 001755-314 NR 18:28 18:42 Hgl Aml 007968-214 NR 16:10 16:48 Amf Dv 001755-414 NR 14:46 15:23 Ah Ut 002050-114 NR 14:06 14:36 Zp Ah 007550-114 NR 18:17 18:27 Es Hgl 007968-114 NR Deze regels zitten wel in 10min.crs maar niet in 20min.crs: 12:28 12:50 Zp Ah 003745-314 NR 14:07 14:21 Ah Nm 003045-514 NR 18:58 19:11 Nm Ah 003764-114 NR 15:56 16:35 Ht Nm 004456-114 NR 14:53 15:32 Nm Ht 004453-114 NR 19:12 19:33 Ah Zp 003764-214 NR 17:51 18:05 Ah Nm 003765-414 NR 17:09K17:21 Nm Ah 003060-114 NR

Deze regels zitten wel in 20min.crs maar niet in 10min.crs: 20:44 20:56 Dv Zp 003779-214 NR 17:28 17:35 Hgl Es 001755-614 NR 16:50 17:27 Dv Hgl 001755-514 NR 20:20 20:42 Zl Dv 003779-114 NR 18:42 19:27 Aml Zl 007968-314 NR 15:44 16:04 Ut Amf 001755-314 NR 18:28 18:42 Hgl Aml 007968-214 NR 16:10 16:48 Amf Dv 001755-414 NR 14:46 15:23 Ah Ut 002050-114 NR 14:06 14:36 Zp Ah 007550-114 NR 18:17 18:27 Es Hgl 007968-114 NR Deze regels zitten wel in 15min.crs maar niet in 20min.crs: 12:28 12:50 Zp Ah 003745-314 NR 14:07 14:21 Ah Nm 003045-514 NR 18:58 19:11 Nm Ah 003764-114 NR 15:56 16:35 Ht Nm 004456-114 NR 14:53 15:32 Nm Ht 004453-114 NR 19:12 19:33 Ah Zp 003764-214 NR 17:51 18:05 Ah Nm 003765-414 NR 17:09K17:21 Nm Ah 003060-114 NR Deze regels zitten wel in 20min.crs maar niet in 15min.crs: 09:06 09:21 Ed Ah 007527-114 NR 08:37C08:53 Ah Ed 007526-214 NR 06:37C06:53 Ah Ed 007518-214 NR 10:42 11:03 Ah Zp 003730-214 NR 09:37 09:51 Ah Nm 003027-514 NR 06:06 06:36 Zp Ah 007518-114 NR 08:06 08:36 Zp Ah 007526-114 NR 07:22 07:54 Ah Zp 007519-214 NR 07:06 07:21 Ed Ah 007519-114 NR 10:28 10:41 Nm Ah 003730-114 NR

C INPUT FILE GEBRUIKT IN HET GAMS MODEL

22

C Input file gebruikt in het GAMS model line

ritnr_ prev2

taaknr_ dienstt starttijd_ eindtijd_ min_overs prev dienstnr aaknr min min taptijd reistype

taaknr

mstat_v mstat_ an naar treinnr matnr

1

1

9146

0

1

0

1

1

598

637

0

1

1

1

3030

2

2

958

7730

2

1

1

2

700

730

4

1

1

1

3034

3

3

2

0

3

2

1

3

733

768

0

1

1

1

3034

4

4

255

0

4

3

1

4

792

829

4

1

1

1

3049

5

5

4

0

5

4

1

5

832

859

0

1

1

1

3049

6

6

3434

0

6

5

1

6

895

922

4

1

1

1

848

7

7

6

0

7

6

1

7

925

966

0

1

1

1

848

8

8

7

0

8

7

1

8

969

987

0

1

1

0

848

t

…

0 36,4486 … 0 28,0374 … 0 32,7103 … 0 34,5794 … 0 25,2336 … 0 25,2336 … 863 38,3178 … 865 16,8224 …

9

9

8

0

9

8

1

9

997

1011

4

1

0

1

865

10

10

303

2254

10

9

1

10

1032

1069

4

1

1

1

3065

11

12

3440

0

12

10

1

11

1103

1142

0

1

1

1

12

13

58

0

13

0

2

1

502

534

0

1

1

1

3065 33065 36,4486 … 7523 7530 29,9065 …

13

14

13

0

14

13

2

2

546

576

4

1

1

1

7530

14

15

14

0

15

14

2

3

577

593

0

1

1

0

7530

15

16

15

0

16

15

2

4

606

621

4

1

0

1

7531

16

17

16

0

17

16

2

5

622

654

0

1

1

1

7531

17

18

229

0

18

17

2

6

696

726

4

1

1

1

7540

18

19

18

0

19

18

2

7

727

743

0

1

1

0

7540

19

20

0

0

20

19

2

8

786

801

4

1

0

1

7543

20

21

8887

0

21

0

3

1

988

1027

0

1

1

1

3056

21

23

11342

0

23

21

3

2

1063

1098

0

1

1

1

3056

22

24

23

0

24

23

3

3

1100

1136

0

1

1

0

3056

23

25

24

0

25

24

3

4

1174

1209

4

1

0

1

3077

24

26

8915

0

26

25

3

5

1272

1309

4

1

1

1

3081

25

29

9100

0

29

26

3

6

1408

1448

4

1

1

1

3084

26

31

0

0

31

0

4

1

358

378

0

1

1

1

3617

27

33

8219

0

33

31

4

2

450

485

4

1

1

28

34

33

0

34

33

4

3

505

540

4

1

1

1 13621 13626 32,7103 … 1 13626 16026 32,7103 …

29

35

34

0

35

34

4

4

542

559

2

1

1

0 16026

30

36

35

0

36

35

4

5

565

585

0

1

0

0 16026

31

37

36

0

37

36

4

6

585

589

0

1

0

1 16026

32

38

5877

0

38

37

4

7

653

692

4

1

1

1

33 …

ritnr_ prev1

ritnr

39 …

965 …

0 …

39 …

0 …

5 …

1 …

937 …

951 …

0 …

1 …

1 …

0 28,0374 … 7531 14,9533 … 0 14,0187 … 7538 29,9065 … 0 28,0374 … 0 14,9533 … 0 14,0187 … 0 36,4486 … 0 32,7103 … 3077 33,6449 … 0 32,7103 … 0 34,5794 … 0 37,3832 … 0 18,6916 …

0 15,8879 … 0 18,6916 …

6033 3,7383 … 3035 33035 36,4486 …

1 …

0 13,0841 … 0 34,5794 …

3051 …

3056 13,0841 … …

…

…

23

D GAMS MODEL

D GAMS model Set j(*),s(*); $GDXIN input gams 20min z vertr.gdx $LOAD j s Parameter TREIN(j,s); $LOAD TREIN $GDXIN alias (j,i); Variables ra(j) da(j) delta(j) z

werkelijke aankomsttijd na rit j werkelijke vertrektijd voor rit j totale vertraging van rit j totale vertraging in dit scenario ;

Positive variables ra, da, delta; Equations totaldelay traveltime begintime delay prematerial prematerial2 precrew

doelfuntie minimale reistijd rit j restrictie op de vertrektijd van rit j definitie van vertraging eerst huidige rit afronden voor volgende rit restrictie voor treinen die op twee vorige treinen moet wachten alvorens te vertrekken eerst huidige taak afronden voor volgende taak;

totaldelay.. z =e= sum(j$(TREIN(j,’mstat naar’)=1), delta(j)) ; traveltime(j).. ra(j) - da(j) =g= TREIN(j,’t’) ; begintime(j).. da(j) =g= TREIN(j,’stijdmin’); delay(j).. ra(j) - delta(j) =l= TREIN(j,’etijdmin’) ; prematerial(j).. da(j) - sum(m$(TREIN(j,’ritnr prev1’)= TREIN(m,’ritnr’)), ra(m)) =g= 0; prematerial2(j).. da(j) - sum(n$(TREIN(j,’ritnr prev2’)= TREIN(n,’ritnr’)), ra(n)) =g= 0; precrew(j).. da(j) - sum(i$(TREIN(j,’taaknr prev’)=TREIN(i,’taaknr’)), ra(i)) =g= 0 ; Model vertraging /all/ ; solve vertraging using lp minimizing z ; Execute Unload ’results z vertraging 20min.gdx’, delta, ra, da;

E AANKOMSTPUNCTUALITEITSCIJFERS

24

E Aankomstpunctualiteitscijfers

10min 15min 20min

run1 zpv totv 93,14% 93,00% 93,14% 92,96% 93,14% 92,97%

Aankomstpunctualiteit met lambda = 2 run2 run3 run4 run5 zpv totv zpv totv zpv totv zpv totv 92,68% 92,48% 92,20% 92,00% 93,24% 93,00% 92,69% 92,40% 92,68% 92,36% 92,20% 92,00% 93,24% 92,98% 92,69% 92,37% 92,68% 92,40% 92,20% 91,90% 93,24% 93,08% 92,69% 92,40%

gemiddeld zpv totv 92,79% 92,58% 92,79% 92,53% 92,79% 92,55%

10min 15min 20min

run1 zpv totv 85,76% 85,34% 85,76% 85,21% 85,76% 85,33%



10min 15min 20min

run1 zpv totv 80,56% 79,99% 80,56% 79,88% 80,56% 79,93%



F ROBUUSTHEIDMAATSTAF

25

F Robuustheidmaatstaf Lambda = 2 zpv 10-run1

maatstaf

18168,2702

0,0298

18184,2165

0,0306

meetstations

11654,5289

12000,0028

0,0288 15-run1

12055,3412

0,0332 20-run1

12052,1513

0,0330

5972,5139

6118,3326

0,0238

6112,9290

0,0230

6132,0652

0,0260

alle stations

17662,5262

18200,1792

0,0295

18260,6041

0,0328

18322,9578

0,0360

meetstations

11817,8559

12231,2432

0,0338 15-run2

12290,9051

0,0385 20-run2

12318,6935

0,0407

5844,6703

5968,9360

0,0208

5969,6990

0,0209

6004,2643

0,0266

alle stations

17755,1037

18286,6751

0,0291

18363,7453

0,0331

18377,3814

0,0339

meetstations

11859,0197

12245,6825

0,0316 15-run3

12329,1698

0,0381 20-run3

12355,8574

0,0402

5896,0840

6040,9926

0,0240

6034,5755

0,0229

6021,5240

0,0208

alle stations

17267,7922

17791,9128

0,0295

17842,5313

0,0322

17856,8685

0,0330

meetstations

11502,3057

11890,4936

0,0326 15-run4

11934,8621

0,0362 20-run4

11934,9093

0,0362

5765,4865

5901,4192

0,0230

5907,6692

0,0241

5921,9592

0,0264

alle stations

17413,3502

17987,5363

0,0319

18015,0290

0,0334

18023,7221

0,0339

meetstations

11608,0756

12028,7729

0,0350 15-run5

12093,0293

0,0401 20-run5

12054,3866

0,0370

5805,2746

5958,7634

0,0258

5921,9997

0,0197

5969,3355

0,0275

alle stations

17545,1630

18076,9278

0,0294

18130,0360

0,0323

18153,0293

0,0335

meetstations

11688,3572

12079,2390

0,0324 15-avg

12140,6615

0,0372 20-avg

12143,1996

0,0374

5856,8059

5997,6888

6009,8296

0,0255

niet meetstations 10-avg

totv

0,0271

niet meetstations 10-run5

maatstaf

18118,3354


totv

17627,0428


maatstaf

alle stations niet meetstations 10-run2

totv

niet meetstations

0,0235

5989,3745

0,0221

Lambda = 3 zpv 10-run1

maatstaf

30328,0386

0,0332

30385,4526

0,0351

meetstations

19801,1527

20501,4364

0,0342 15-run1

20597,2915

0,0387 20-run1

20618,0503

0,0396

9519,0856

9742,4913

0,0229

9730,7471

0,0218

9767,4023

0,0254

alle stations

28889,9957

29814,0598

0,0310

29879,5578

0,0331

29892,8426

0,0335

meetstations

19474,2948

20158,9987

0,0340 15-run2

20209,7100

0,0364 20-run2

20215,8735

0,0367

9415,7009

9655,0611

0,0248

9669,8478

0,0263

9676,9691

0,0270

alle stations

29523,4544

30431,5874

0,0298

30551,0397

0,0336

30557,1023

0,0338

meetstations

20115,8699

20761,4636

0,0311 15-run3

20890,6894

0,0371 20-run3

20874,3400

0,0363

9407,5845

9670,1238

0,0271

9660,3503

0,0262

9682,7623

0,0284

alle stations

29714,9395

30530,5674

0,0267

30526,6174

0,0266

30612,6537

0,0293

meetstations

20147,2228

20780,8220

0,0305 15-run4

20810,1227

0,0319 20-run4

20866,0596

0,0345

9567,7167

9749,7454

0,0187

9716,4947

0,0153

9746,5941

0,0184

alle stations

29342,3103

30233,8945

0,0295

30306,1049

0,0318

30478,2825

0,0373

meetstations

20086,5059

20788,2085

0,0338 15-run5

20885,7457

0,0383 20-run5

21015,3741

0,0442

9255,8044

9445,6860

0,0201

9420,3592

0,0175

9462,9084

0,0219

alle stations

29358,1876

30250,8074

0,0295

30318,2717

0,0317

30385,2667

0,0338

meetstations

19925,0092

20598,1858

0,0327 15-avg

20678,7119

0,0365 20-avg

20717,9395

0,0383

9433,1784

9652,6215

9667,3272

0,0242

niet meetstations 10-avg

totv

0,0305


maatstaf

30243,9277


totv

29320,2383


maatstaf

alle stations niet meetstations 10-run2

totv

niet meetstations

0,0227

9639,5598

0,0214

26

F ROBUUSTHEIDMAATSTAF . Lambda = 4 zpv 10-run1

10-run2

10-run3

10-run4

10-run5

10-avg

totv

maatstaf

totv

maatstaf

totv

maatstaf

alle stations

38290,0846

39600,8845

0,0331

39677,7165

0,0350

39732,9190

meetstations

26247,3372

27261,4381

0,0372 15-run1

27348,4556

0,0403 20-run1

27342,9559

0,0363 0,0401

niet meetstations

12042,7474

12339,4464

0,0240

12329,2609

0,0232

12389,9631

0,0280

alle stations

38620,4884

39997,5571

0,0344

40028,6076

0,0352

40078,0531

0,0364

meetstations

26616,5892

27682,5920

0,0385 15-run2

27706,3624

0,0393 20-run2

27720,3089

0,0398

niet meetstations

12003,8992

12314,9651

0,0253

12322,2452

0,0258

12357,7442

0,0286

alle stations

37313,9655

38713,7921

0,0362

38698,6641

0,0358

38659,1202

0,0348

meetstations

25407,4211

26459,7265

0,0398 15-run3

26515,6435

0,0418 20-run3

26435,7533

0,0389

niet meetstations

11906,5444

12254,0656

0,0284

12183,0206

0,0227

12223,3669

0,0259

alle stations

38158,7829

39246,3676

0,0277

39362,2654

0,0306

39453,7121

0,0328

meetstations

26144,9186

26945,0956

0,0297 15-run4

27081,8770

0,0346 20-run4

27149,5564

0,0370

niet meetstations

12013,8643

12301,2720

0,0234

12280,3884

0,0217

12304,1557

0,0236

alle stations

37914,9662

39371,8542

0,0370

39365,7283

0,0369

39433,1179

0,0385

meetstations

26202,8598

27202,9809

0,0368 15-run5

27283,3356

0,0396 20-run5

27332,3435

0,0413

niet meetstations

11712,1064

12168,8733

0,0375

12082,3927

0,0306

12100,7744

0,0321

alle stations

38059,6575

39386,0911

0,0337

39426,5964

0,0347

39471,3845

0,0358

meetstations

26123,8252

27110,3666

0,0364 15-avg

27187,1348

0,0391 20-avg

27196,1836

0,0394

niet meetstations

11935,8323

12275,7245

0,0277

12239,4616

0,0248

12275,2009

0,0277

Het ontwikkelen van een robuustheidmaatstaf voor NS personeelsplannen

Recommend Documents