Merkwaardig producten: Het kwadraat van een tweeterm a+b (a+b)² Even herhalen Wanneer een getal of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dan duid je dat aan door dat getal of die lettervorm één keer te schrijven en dan het cijfer 2 als exponent rechts naast het getal of de lettervorm te schrijven. Zo is 3² ( gelezen: het kwadraat van 3 of de tweedemacht van 3 de korte notatie van 3.3 en is 3² = 3.3 = 9
of
3 tot de tweede)
En ook : (-7)²=(-7).(-7)= 49 −5 6
2 =
(-5).(-5) 25 - 5 - 5 = . = 6 6 6.6 36
a²= a.a (-x)² = (-x).(-x) = x.x = x²
Opgave 1: Geef zelf nog twee voorbeelden van het kwadraat van een getal en bereken het resultaat: Voorbeeld 1: …………………………………………………………… Voorbeeld 2: …………………………………………………………… Ook van tweetermen, drietermen, viertermen,… kan het kwadraat berekend worden. Een aantal ervan komt heel dikwijls voor, zodat je het resultaat – of de “formule” - uit je hoofd moet kennen. Eén ervan is het kwadraat van de tweeterm a+b. Opgave 2: Weet je het nog? De twee termen van de tweeterm a+b zijn :….. en ….…
Merkwaardige producten - 1
Opgave 3: a+b is een tweeterm want ………………………………………………………………………………...
We berekenen nu het kwadraat van de tweeterm a+b, en noteren dat als (a +b)². Let op : De tweeterm is a+b, maar als je het kwadraat van die tweeterm wil berekenen, dan mag je niet vergeten om de haakjes te plaatsen. Doe je dat niet, dan bereken je a+b² en dit is wegens de volgorde van de bewerkingen de som van de eerste term a en het kwadraat van de tweede term b. Een beetje meetkunde Net zoals we aan 3² de betekenis kunnen geven van de oppervlakte van een vierkant met zijde 3,
3 3
3² = 9
kan ook je ook (a+b)² bekijken als de oppervlakte van een vierkant met zijde a+b (als a en b positieve getallen zijn).
a+b
(a+b)² a+b
We proberen nu de oppervlakte van dit grote vierkant op een andere manier te berekenen.
Merkwaardige producten - 2
Daarvoor verdelen we dit grote vierkant in vier zoals hieronder
a
b a
b
De oppervlakte van het grootste vierkant kan je nu ook bekomen als de som van de oppervlakte van de vier kleinere oppervlaktes
b²
ab a²
(a+b)²
ab
Opgave 4: Nog niet overtuigd? Knip dan zelf drie vierkanten met zijde 5cm, 7 cm en 12 cm uit. Knip ook twee rechthoeken met lengte 7cm en breedte 5 cm uit. Probeer nu zelf om het grootste vierkant volledig te bedekken met de vier kleinere stukjes. Lukt het? We leggen de puzzelstukjes samen :
a+b
a²
ab
ab
b²
a
b
a (a+b)² a+b b
Merkwaardige producten - 3
Opgave 5: Welk vermoeden kan je formuleren? Vul in met “+” of “=”: (a + b)² ……. a² ……. 2ab ……. b²
Nog enkele cijfervoorbeelden Vervolledig de volgende tabel met de getalwaarden van (a+b)² en van a² + 2ab + b² voor de opgegeven waarden van a en b. Gebruik de CALC functie ( ) van je rekentoestel om eerst alle getalwaarden van (a+b)² te berekenen voor de opgegeven waarden van a en b. Dit doe je als volgt:
Voer eerst (a+b)² in : ( Qz(A)+QX(B))d
Druk r. Je kan nu de waarde van a invoeren. In de eerste opgave is dit 5 Druk daarna op l
Je kan nu de waarde van b invoeren. Voer 7 in en druk op l
Lees de getalwaarde van (a+b)² af voor a=5 en b=7
Druk op l Je kan nu de volgende waarde van a invoeren….
Merkwaardige producten - 4
Opgave 6: Vul nu eerst de kolom waarin de getalwaarde van (a+b)² berekend wordt,verder aan: a
b
1.
5
7
2.
−5 3
3 2
3.
2011
-789
4.
31
−9 17
5.
−12 13
7 9
6.
−7 32
−3 8
(a + b)²
a² + 2ab + b²
Is (a+b)²=a²+2ab+b²?
Voor het invullen van de volgende kolom, waarin de getalwaarde van a² + 2ab + b² berekend wordt, ga je als volgt te werk
Voer a² + 2ab + b² in: Qz(A) d+2 Qz(A) QX(B)+ QX(B)+ d
Druk r. Je kan nu de waarde van a invoeren. In de eerste opgave is dit 5 Druk daarna op l
Je kan nu de waarde van b invoeren. Voer 7 in en druk op l
Merkwaardige producten - 5
Lees de getalwaarde van a² + 2ab + b² af voor a=5 en b=7
Druk op l Je kan nu de volgende waarde van a invoeren…
… Opgave 7: Vul nu de kolom met de getalwaarden van a² + 2ab + b² voor de opgegeven waarden van a en b verder aan. Opgave 8: Vergelijk de bekomen waarden in de tweede en de derde kolom en vul de laatste kolom met “ja” of “neen” aan. In deze tabel heb je een aantal cijfervoorbeelden bestudeerd. We maken nu de algemene berekening, zodat we een formule kunnen afleiden.
Berekening Het kwadraat van een tweeterm kan je berekenen door de tweeterm met zichzelf te vermenigvuldigen. Je gaat dan tewerk zoals bij het vermenigvuldigen van veeltermen (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2 ab + b²
Formule Aan de hand van bovenstaande berekening leiden we de volgende formule af:
(a+b)² = a²+ 2ab + b² Dit is één van de zeer belangrijke “merkwaardige” producten, die je uit het hoofd moet kennen in symbolen, maar ook in woorden. In woorden Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van o het kwadraat van de eerste term o het kwadraat van de tweede term o twee keer het product van de twee termen ( of : het dubbel product van de twee termen )
Merkwaardige producten - 6
Opmerking Een kwadraat is steeds positief. Het dubbel product kan wel negatief zijn. Dit is het geval wanneer de twee termen een verschillend teken hebben. Controle Met het rekentoestel kunnen we nog eens controleren dat deze formule juist is.
Ga naar de modus “VERIF” ( van “verifiëren” of “nagaan”) w
Kies 5 (VERIF)
Voer eerst (a+b)² in, en ga na of dit gelijk is aan a²+2ab+b² ( Qz(A)+QX(B))dp Qz(A) d+2 Qz(A) QX(B)+ QX(B)+ d
Druk op l. Op het scherm verschijnt de tekst “TRUE” (waar). Dit betekent dat (a+b)² inderdaad gelijk is aan a²+2ab+b². Opmerking Als je iets zou invoeren dat niet correct is, dan verschijnt de boodschap “FALSE” (onwaar of vals) op het scherm.
Merkwaardige producten - 7
Uitbreiding Je kan op dezelfde manier tewerk gaan voor de berekening van het product van twee toegevoegde tweetermen (a+b)(a-b). Je kan dit “merkwaardig” product bekijken als de oppervlakte van een rechthoek met lengte a+b en breedte a-b. We zetten je alvast voor het meetkundig gedeelte op weg a+b a
a b
a(a-b)
(a+b)b
a² a-b
a-b a
b
ab
b²
Opgave 9: Kleur op de figuur hierboven de rechthoek met lengte a+b en breedte a-b. Opgave 10: Welk vermoeden kan je formuleren? Vul in met “+”, “-“ of “=”:
(a + b)(a-b)
……. a² ……. b²
Merkwaardige producten - 8
b²
b
Antwoordsleutel Opgave 1: Verschillende goede antwoorden Opgave 2: De twee termen van de tweeterm a+b zijn : a en b Opgave 3: a+b is een tweeterm want a+b is de som van de twee termen a en b Opgave 5: Vul in met “+” of “=”: Opgave 6, 7 en 8: a b
1.
5
(a + b)²
= a² + 2ab + b²
(a + b)²
a² + 2ab + b²
Is (a+b)²=a²+2ab+b²?
7
ja
2.
3.
−5 3
3 2
2011
-789
ja
ja
4.
5.
6.
31
−9 17
−12 13
7 9
−7 32
−3 8
Opgave 10: Vul in met “+”, “-“ of “=”:
ja
ja
ja
(a + b)(a-b)
= a² - b² 9
