Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij
waarde
4
2
2
4
6
8
10
-2
KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
t
Samenvatting In deze bachelorscriptie behandelen we het Heston model. Het model wordt gebruikt om aandelenprijzen te simuleren aan de hand van een variatie op de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Van de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat wordt aangenomen dat de volatiliteit niet constant is, maar zich gedraagt als een Itˆo proces. De risiconeutrale maat introduceren we met het binomiale model over ´e´en periode. We kijken naar de Brownse beweging als een limietgeval van de stochastische wandeling. Vervolgens leiden we Itˆo’s formule af uit een taylorreeks, om daarna te kijken naar de geometrische Brownse beweging en de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Tenslotte kijken we naar de speciale eigenschappen van het Heston model vergeleken met het binomiale model.
Gegevens Titel: Het Heston model Auteur: Carlo Kuiper,
[email protected], 5935520 Begeleider: dr. Peter Spreij Einddatum: 27 augustus 2011 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24, 1018 TV Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave Inleiding
2
Risiconeutrale maat 1.1 Call en put opties . . . . . . . . . 1.2 Gegeneraliseerde rente . . . . . . 1.3 Binomiaal model over ´e´en periode 1.4 Risiconeutrale maat . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 4 5 6 8
Brownse beweging 2.1 Brownse beweging . . . . . . . . 2.2 Kwadratische variatie . . . . . . 2.3 Itˆo’s formule . . . . . . . . . . . 2.4 Geometrische Brownse beweging
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
11 11 16 17 20
. . . .
Twee financi¨ ele modellen 25 3.1 Binomiale model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Heston model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Populaire samenvatting
34
1
Inleiding Deze bachelorscriptie doet verslag van het Heston model, een financieel model om het gedrag van een aandelenprijs te simuleren. Het model werd gepubliceerd door de Amerikaanse wiskundige Steve Heston in 1993. Het model is ontwikkeld om een tekortkoming van het Black en Scholes model te verhelpen. In het Black en Scholes model wordt aangenomen dat de volatiliteit constant is. Uit observaties is echter gebleken dat de volatiliteit van aandelenprijzen niet constant is. Bij het Heston model wordt er net als in het Black en Scholes model aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Waarbij de volatiliteit niet constant is, maar zich gedraagt als een Itˆo proces. We gaan de theorie die wordt gebruikt in het Heston model bestuderen. Ook kijken we naar het verschil dat ontstaat door de volatiliteit niet constant te kiezen. We volgen hierbij in grote lijnen de aanpak die Kerry Back gebruikt in “A Course in Derivative Securities” [1]. We beginnen met het introduceren van een aantal belangrijke begrippen om naar de risiconeutrale maat toe te werken. We kijken naar call en put opties, dan naar de samengestelde rente en aan de hand van een binomiaal model over ´e´en periode naar de risiconeutrale maat Het volgende hoofdstuk staat in het teken van de geometrische Brownse beweging. We kijken eerst naar de Brownse beweging als een limietgeval van de stochastische wandeling. Dan leiden we Itˆo’s formule af met behulp van kwadratische variatie, om tenslotte met behulp van Itˆo’s formule de gewenste vorm van de geometrische Brownse beweging af te leiden. In het derde hoofdstuk kijken we naar het Heston model. We zien daar de speciale eigenschappen van het Heston model door het te vergelijken met het binomiale model.
2
Als laatste wil ik in de inleiding mijn begeleider Peter Spreij bedanken voor het aanreiken van dit interessante onderwerp en voor de tweewekelijkse afspraken. De afspraken hebben geholpen bij het beantwoorden van vragen en bij het begrijpen van de ingewikkelde details.
3
Risiconeutrale maat We willen aandelenprijzen gaan modelleren, maar voordat we daarmee beginnen kijken we eerst naar de begrippen en definities die daarbij een rol spelen. We beginnen met kijken naar call en put opties. Deze financi¨ele producten worden met de modellen die we gaan bestuderen gewaardeerd. Hierna bekijken we verschillende vormen van rente. Dan bekijken we uitgebreid het binomiale model over ´e´en periode en tot slot sluiten we af met de risiconeutrale maat.
1.1
Call en put opties
Call en put opties zijn financi¨ele producten. Ze worden derivaten genoemd, omdat de waarde ervan wordt afgeleid van een onderliggend fincieel product. De waarde van call en put opties op een zeker tijdstip t hangt onder andere af van de looptijd, T , en de prijs van het onderliggende product, S(t). Een call optie geeft het recht om een product tegen een vooraf afgesproken prijs, de uitoefenprijs, K, te kopen. Een put optie geeft het recht om een product tegen een uitoefenprijs, K, te verkopen. Er wordt onderscheid gemaakt tussen twee soorten put en call opties. De ene is een Europese optie. Deze kan alleen worden uitgeoefend aan het eind van de looptijd, ofwel bij expiratie. De waarde van een Europese call optie is ten alle tijden: max {S(T ) − K, 0} en voor een Europese put optie: max {K − S(T ), 0}. De optie wordt alleen bij winst uitgeoefend, daarom komt in de waarde van de optie een een maximum voor. De andere is een Amerikaanse optie. Een Amerikaanse optie kan op elk moment tijdens de looptijd worden uitgeoefend. De waarde van een Amerikaanse optie hangt daarom af van het tijdstip t waarop de optie wordt uitgeoefend. De waarde op t = 0 als het uitoefentijdstip onbekend is kan worden uitgedrukt met een ingewikkelde formule. Als de optie op tijdstip 0 ≤ t ≤ T wordt uitgeoefend, dan is de waarde voor een Amerikaanse call optie gelijk aan: max {S(t) − K, 0} en de waarde voor een Amerikaanse put optie is gelijk aan: max {K − S(t), 0}. 4
1.2
Gegeneraliseerde rente
Als geld op de bank staat wordt de rente vaak op vaste momenten uitbetaald. We willen eigenlijk weten hoeveel de investering over elke mogelijke periode meer waard zal worden, dit kan met de samengestelde rente. Bij samengestelde rente wordt gerekend alsof de rente er continu wordt bijgeschreven. We rekenen daarom de rente die op vaste momenten wordt uitbetaald om naar de samengestelde rente. Als r de samengestelde rente is en r0 de rente is van de bank en n het aantal uitbetalingen per jaar dan gebeurt het omrekenen met deze formule: n r0 = er . 1+ n In het vervolg gaan we ervan uit dat er over een investering altijd een risicovrije samengestelde rente wordt uitbetaald. Aangezien samengestelde rente het geval is waarbij direct rente wordt uitbetaald kun je het vergelijken met de situatie waarbij het aantal momenten n dat er rente wordt uitbetaald naar ∞ gaat. Er geldt dan r n = er . (1.1) lim 1 + n→∞ n Dit kunnen we inzien door eerst de logaritme te nemen en dan een taylorontwikkeling om 0 te maken, r r r2 1 lim n log 1 + = lim n − 2 + . . . = lim r + O = r. n→∞ n→∞ n→∞ n n 2n n Aangezien ex continu is over heel R volgt dat als we links en rechts de e-macht nemen we de formule (1.1) krijgen. We wilden weten hoeveel een investering over iedere mogelijke periode waard werd. Daarvoor is er een handige interpetatie van de formule (1.1). Gegeven een investering x(t) tegen rente r en een willekeurige periode [0, T ]. Dan kunnen we aannemen dat de rente over x(t) op elk “moment dt” wordt uitbetaald. De rente op zo’n moment is dan x(t)r dt. De toename van de investering op een moment kunnen we dan zien als dx(t) = x(t)r dt Hierin herkennen we een differentiaalvergelijking: dx(t) = x(t)r dt met als oplossing x(t) = x(0)ert .
(1.2)
Dus de aanname dat de rente op een moment x(t)r dt bedraagt is equivalent met de aanname dat de rente gelijk is aan r en we kunnen concluderen dat de investering aan het eind van de periode x(T ) = x(0)erT waard is. 5
Hoewel we steeds zullen aannemen dat de rente constant is, hoeft dat niet in het algemeen te gelden. Stel dat er een variabele rente is, dan is de rente die op elk “moment dt” wordt uitbetaald gelijk aan: dx(t)dt = x(t)r(t) dt, met als oplossing: Z x(t) = x(0) exp
t
r(s) ds .
(1.3)
0
Dus een investering x(0) is bij variabele rente aan het eind van de periode RT r(t) dt 0 x(T ) = x(0)e waard.
1.3
Binomiaal model over ´ e´ en periode
Het binomiale model over ´e´en periode gaat ervan uit dat een aandeel na ´e´en periode ´e´en van twee mogelijke waarden aanneemt. Dit levert ons een eenvoudig model op waarmee we belangrijke begrippen kunnen introduceren. Gegeven een aandeel met waarde S0 op tijdstip 0. Dan nemen we bij het binomiale model aan dat het aandeel aan het eind van de periode, op tijdstip T , de waarde Su of de waarde Sd heeft. Waarbij de up-toestand Su groter is dan de down-toestand Sd . Verder nemen we aan dat de rente r constant is. Om arbitragemogelijkheden uit te sluiten nemen we aan dat: Sd Su < erT < . (1.4) S0 S0 Stel dat de ongelijkheden niet gelden, dan is er wel arbitrage mogelijk. Als de linker ongelijkheid niet geldt is er arbitrage mogelijk door S0 geld te lenen en een aandeel te kopen. Als de rechter ongelijkheid niet geldt is er sprake van arbitrage wanneer men een aandeel verkoopt en S0 geld op de bank zet. Met dit model kunnen we handige vergelijkingen opstellen waarmee we een aantal belangrijke begrippen in de volgende paragraaf kunnen introduceren. Dit doen we aan de hand van twee constanten: πu en πd . Ook kijken we naar de waarde van een Europese call optie met looptijd T en uitvoerprijs K. De waarde is gelijk aan C0 op tijdstip 0 en waarde Cu = max(Su − K, 0) in de up-toestand en Cd = max(Sd − K, 0) in de down-toestand op tijdstip T . Dit brengt ons bij de vergelijkingen, die we zo gaan aantonen:
6
C 0 = π u C u + πd C d S0 = πu Su + πd Sd 1 = πu erT + πd erT
(1.5) (1.6) (1.7)
S0 − e−rT Sd e−rT Su − S0 > 0 en πd = > 0. (1.8) Su − Sd Su − Sd We kunnen aantonen dat de vergelijkingen kloppen door te kijken naar een transactie op tijdstip 0 waarbij je δ = (Cu − Cd )/(Su − Sd ) aandelen koopt en e−rT (δSu − Cu ) leent tegen de vaste rente r. Dan heb je op tijdstip T een lening van δSu − Cu . Handig is de keuze van δ zodat δ(Su − Sd ) = (Cu − Cd ) en dus δSu − Cu = δSd − Cd . De waarde van de portfolio is: met πu =
δ aandelen - lening = δSu − (δSu − Cu ) = Cu in de up-toestand en δ aandelen - lening = δSd − (δSd − Cd ) = Cd in de down-toestand. De waarde van de call optie is dus gelijk aan de waarde van de portfolio, ook op tijdstip 0, C0 = δS0 − e−rT (δSu − Cu ).
(1.9)
Door de keuze van δ en het omschrijven van de vergelijking krijgen we (1.5), (Cu − Cd )S0 − e−rT ((Cu − Cd )Su − (Su − Sd )Cu ) Su − Sd −rT Cu S0 − Cd S0 − e Cu Su + e−rT Cd Su + e−rT Su Cu − e−rT Sd Cu = Su − Sd −rT −rT S0 − e Sd e Su − S0 = Cu + Cd Su − Sd Su − Sd = πu C u + π d C d .
C0 =
Merk op dat uit verglijking (1.8) volgt dat πu + πd = e−rT en dat uit de keuze van δ volgt dat Cd = −δSu +δSd +Cu . Door vergelijking (1.9) te herschrijven krijgen we vergelijking (1.6):
7
δS0 = C0 + e−rT (δSu − Cu ) = πu Cu + πd Cd + (πu + πd )(δSu − Cu ) = πu Cu + πd (−δSu + δSd + Cu ) + (πu + πd )(δSu − Cu ) = (πu + πd )Cu − δπd Su + δπd Sd + (πu + πd )(δSu − Cu ) S0 = πu Su + πd Sd . Ook geeft het herschrijven van (1.9) dat vergelijking (1.7) geldt, δSu − Cu = erT (C0 − δS0 )) = erT (πu Cu + πd Cd − δπu Su + δπd Sd )) πu (δSu − Cu )erT + πd (δSd − Cd )erT δSu − Cu rT rT = πu e + πd e .
1=
Belangrijk om op te merken is dat de aanname πu > 0 en πd > 0 equivalent is met de aanname van (1.4) dat er geen arbitrage mogelijk is. Stel namelijk dat S0 − e−rT Sd ≤ 0 en dus Sd ≤ erT S0 . Stel dat πd ≤ 0, dan is πu ≤ 0, dan is Su − Sd e−rT Su − S0 ≤ 0 en dus Su ≤ erT S0 . Daarom hebben we met vergelijkingen Su − Sd (1.5)-(1.8) uitgesloten dat er in het binomiale model arbitrage mogelijk is. De vergelijkingen (1.5)-(1.7) hebben de volgende interpetatie: de waarde van een derivaat; call optie, aandeel of investering, is gelijk aan πu keer de waarde van het derivaat in de up-toestand plus πd keer de waarde van de derivaat in de down-toestand.
1.4
Risiconeutrale maat
De risiconeutrale maat maakt gebruik van een num´eraire. Num´eraire komt uit de Franse taal en betekent in het Nederlands letterlijk eenheid. De risiconeutrale maat gebruikt als eenheid een risicovrije investering. Met deze num´eraire worden alle prijzen herschaald. Het wordt gebruikt als een hulpmiddel bij het rekenen, zodat bij financi¨ele producten snel gezien kan worden hoeveel risico het met zich meedraagt. Een hogere waarde bij een gelijke investering onder de risiconeutrale maat betekent meestal meer risico. Zo kunnen heel gemakkelijk financi¨ele producten met elkaar vergeleken worden. 8
Voordat we de risiconeutrale maat precies gaan bestuderen, kijken we aan de hand van het binomiale model over ´e´en periode uit de vorige paragraaf naar een voorbeeld. Dit doen we aan de hand van de vergelijkingen (1.5) - (1.7). Als num´eraire gaan we een investering van R0 = 1 op tijdstip 0 gebruiken dat zonder risico tegen de vaste rente r wordt weggezet. Dan geldt voor de prijs op tijdstip T dat in zowel de up-toestand als in de downtoestand de investering Ru = Rd = erT bedraagt. We kiezen daarnaast twee constanten pu = πu erT en pd = πd erT . Hiermee verschalen we de prijzen: C0 , Cu , Cd , S0 , Su en Sd naar: C0 Cu Cd = pu + pd R0 Ru Rd S0 Su Sd = pu + pd R0 Ru Rd 1 = pu + pd .
(1.10) (1.11) (1.12)
De vergelijkingen zijn opmerkelijk. Bij het nemen van de verwachting met kansen pu en pd zien we dat de waarde op tijdstip 0 gelijk is aan de verwachte waarde op T . Dit is een eigenschap dankzij de numeraire R0 , waar we later in deze paragraaf op terug komen. Door te delen door de num´eraire zijn de kansen en de verwachtingen veranderd. We werken daarom voor kans en verwachting naar een nieuwe definitie toe. We kijken naar het binomiale model, dus is er een zekere kansu waarmee we in de up-toestand terecht komen en is er een kansd = 1 − kansu waarmee we in de down-toestand terecht komen. We herschrijven hier (1.10)-(1.12) met constanten: φu =
pd R0 pu R0 en φd = rT kansu Ru e kansd Rd erT
C0 = kansu Cu φu erT + kansd Cd φd erT S0 = kansu Su φu erT + kansd Sd φd erT R0 = kansu Ru φu erT + kansd Rd φd erT . Gegeven dat de functie φ(T ) die gelijk is aan φu in de up-toestand en gelijk aan φd in de down-toestand, herkennen we in de vergelijkingen aan de rechterkant een verwachting: van een variabele X, keer de functie φ, keer een schaalfactor: E X(t)φ(T )erT . 9
De verwachting van X(t) voor tijdstip T met een investering X0 = 1 op tijdstip 0 tegen de risicovrije rente is: E X(t)φ(T )erT = kansu Ru φu (T ) erT + kansd Rd φd (T ) erT = pu (T )X(T ) + pd (T )X(T ) = erT . We veralgemeniseren deze kans en verwachting als volgt. Zij de risicovrije rente r(t) variabel,dan nemen we de oplossing (1.3) van 0 tot t, R(t) = Rt R(0) exp 0 r(s)ds als num´eraire onder de risiconeutrale maat. Dan zijn de defnities voor algemene kans en voor algemene verwachting als volgt: Definitie 1.1. De (voorwaardelijke) kans op een gebeurtenis A onder de risiconeutrale maat is gedefinieerd als: R(T ) R Pt (A) = E 1A φ(T ) . (1.13) R(t) Definitie 1.2. De (voorwaardelijke) verwachting van een stochastisch proces X(t) onder de risiconeutrale maat is gedefinieerd als: R(T ) R Et (X(t)) = E X(t)φ(T ) . (1.14) R(t) Er valt nog wat belangrijks te melden over de functie φ(t). Als er geen arbitrage mogelijkheden zijn dan bestaat er een φ(T ) zodat op ieder moment t onder de standaard (voorwaardelijke) verwachting geldt: R(t) = Et (φ(T )R(T )). Ook geldt bij (1.10)-(1.12) dat de waarde op tijdstip t gelijk is aan de verwachte waarde op tijdstip T . Dit is een versimpeld begrip van een martingaal, de definitie die we in dit verslag gebruiken is de volgende. Definitie 1.3. Een stochastisch proces M (t) waarvan de huidige waarde altijd gelijk is aan de (voorwaardelijke) verwachting noemen we een martingaal: M (t) = Et (M (T )) voor t < T . Een gebruikelijke definitie van martingaal staat in [6]. Met een belangrijke formule, die we vanaf nu de fundamentele waardering formule noemen, volgt dat in het algemeen geldt dat elke derivaat X gedeeld door de num´eraire R(t) onder de risiconeutrale maat een martingaal is: X(T ) X(t) R . (1.15) = Et R(t) R(T ) Een bewijs hiervan is te vinden in [1]. Zo geldt dat in elk financieel model alle derivaten gedeeld door de num´eraire een martingaal zijn. 10
Brownse beweging De Brownse beweging is een stochastisch proces. Dit komt er intu¨ıtief op neer dat het proces willekeurig toeneemt of afneemt. Dit vindt zijn toepassing in de financi¨ele wiskunde bij het simuleren van aandelenkoersen. Er wordt dan vaak aangenomen de aandelenprijs zich deels gedraagt als een stochastisch proces. Hierbij worden geometrische Brownse bewegingen gebruikt. In dit hoofdstuk gaan we de theorie zo ontwikkelen dat we een geometrische Brownse beweging kunnen simuleren. We starten met theorie over de standaard Brownse beweging.
2.1
Brownse beweging
Voordat we gaan kijken naar een Brownse beweging, maken we een stochastische wandeling. Dit doen we door steeds een eerlijke munt op te gooien. Deze komt op kop, K, met kans een half en munt, M , met kans een half. Het rsultaat van een oneindige reeks worpen is ω, met ω = ω1 ω2 ω3 . . .. Waarbij het resultaat van de n-de worp wordt gegeven door ωn . Een mogelijke ω is bijvoorbeeld M K K . . .. Een stochastische wandeling begint bij nul en bij elke worp maakt het proces “een stap” naar boven of naar beneden, dit brengt ons bij de volgende definitie. Definitie 2.1. Gegeven een oneindige reeks onafhankelijke worpen ω met een eerlijke munt. Een P stochastische wandeling Mk (ω) met M0 = 0 over k-stappen is Mk (ω) = i≤k Xi (ω). Waarbij Xi (ω) gedefinieerd is als: ( 1 als ωi = K Xi (ω) = (2.1) −1 als ωi = M. Een stochastische wandeling valt goed te simuleren. Er volgt een voorbeeld van drie gesimuleerde stochastische wandelingen. Een van de eigenschappen van een stochastische wandeling is dat de incrementen onafhankelijk van elkaar zijn. Dat houdt in dat als we gehele getallen 11
waarde
10
5
10
20
30
40
50
k
-5
Figuur 2.1: Drie stochastische wandelingen Mk . kiezen 0 = k0 < k1 < . . . < km , de stochastische variabelen Mk1 = (Mk1 − Mk0 ), (Mk2 − Mk1 ), . . . , (Mkm − Mkm−1 ) onafhankelijk zijn. Elk van de variabelen Mki+1 − Mki =
ki+1 X
Xj
j=ki +1
wordt een increment genoemd. Het is de verandering van de stochastische wandeling tussen ki en ki+1 . De incrementen die elkaar niet overlappen zijn onafhankelijk omdat ze afhangen van verschillende onafhankelijke worpen van een eerlijke munt. We weten dat X1 , . . . , Xnt stochastische onafhankelijke identiek verdeelde stochasten zijn. Ze hebben eindige verwachting 1 1 µ = EXi = 1 + −1 = 0 2 2 en eindige variantie 1 1 σ 2 = VarXi = EXi2 = (1)2 + (−1)2 = 1. 2 2 12
Om een Brownse beweging te simuleren gaan we meer stappen doen op een interval en schalen we de stochastische wandeling. Hiervoor defini¨eren we de geschaalde stochastische wandeling B n (t). Definitie 2.2. De geschaalde stochastische wandeling B n (t) is gelijk aan: 1 B n (t) = √ Mnt , n
(2.2)
gegeven dat nt een geheel getal is. De variabele t staat voor de tijd en de variabele n geeft het aantal stappen per tijdseenheid aan. Als√nt geen geheel getal is dan ronden we nt naar beneden af, zodat B n (t) = 1/ n Mbntc waarde 1.5 1.0 0.5 1
2
3
4
5
t -0.5 -1.0 -1.5 -2.0
Figuur 2.2: Drie geschaalde stochastische wandelingen B n (t) met n gelijk aan 10. Deze geschaalde stochastische wandeling heeft drie eigenschappen die zo van pas gaan komen. De eerste hebben we al gezien en is dat twee incrementen die elkaar niet overlappen onafhankelijk zijn. De tweede eigenschap zegt dat de verwachting van een increment gelijk is aan nul. Dit zien we in met een berekening. Voor het gemak nemen we aan dat nt geheel is, anders wordt nt zoals gezegd naar beneden afgerond,
E(B n (ti+1 ) − B n (ti )) = E
nti+1 1 X √ Xj n j=nt +1 i
13
!
nti+1 1 X =√ E(Xj ) = 0. n j=nt +1 i
De derde eigenschap zegt dat de variantie van een increment gelijk is aan ti+1 − ti , ! nti+1 nti+1 X 1 1 X n n Var(B (ti+1 )−B (ti )) = Var √ Xj = √ Var(Xj ) = ti+1 −ti . n j=nt +1 n j=nt +1 i
i
We krijgen een Brownse beweging als we bij de geschaalde stochastische wandeling B n (t) het aantal stappen n naar oneindig laten gaan. De geschaalde stochastische wandeling behoudt de eigenschappen in het limietgeval. Met de centrale limietstelling kunnen we de verdeling van B n (t) bepalen. Rx Als de functie Φ(x) = −∞ φ(y) dy, x ∈ R, zoals gebruikelijk de standaardnormale verdelingsfunctie aangeeft dan geldt volgens de centrale limietstelling dat ! nt 1 X Xj − µ ≤ x = Φ(x), x ∈ R, lim P √ n→∞ σ nt j=1 in ons geval zegt de stelling: n
lim P
n→∞
1 X Xj √ ≤x nt j=1 1
We concluderen dat
!
= lim P n→∞
B n (t) √ ≤x t
= Φ(x), x ∈ R.
B n (t) √ in de limiet standaardnormaal verdeeld is. Aant
gezien
n
lim P(B (t) ≤ y) = lim P
n→∞
n→∞
B n (t) y √ ≤√ t t
=Φ
y √
t
geldt dat B n (t) in√de limiet normaal verdeeld is met verwachting 0 en variantie t (want σ = t). Samen met de drie vorige eigenschappen volgt dat in het limietgeval de geschaalde stochastische wandeling een Brownse beweging is. Dit brengt ons bij een definitie van de Brownse beweging. Definitie 2.3. Gegeven een kansruimte (Ω, F, P ) en gegeven dat er voor elke ω ∈ Ω een continue functie B(t) = B(t, ω) is voor t ≥ 0 die voldoet aan B(0) = 0. Dan is B(t) een Brownse beweging als voor alle partities 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t de incrementen Bt1 = (Bt1 − Bt0 ), (Bt2 − Bt1 ), . . . , (Btm − Btm−1 ) 14
onafhankelijk zijn en normaal verdeeld met E(B(ti+1 ) − B(ti )) = 0 en Var((B(ti+1 ) − (B(ti ))) = ti+1 − ti . waarde
4
2
2
4
6
8
10
t
-2
Figuur 2.3: Drie Brownse bewegingen B(t), gemaakt met drie geschaalde stochastische wandelingen B n (t) waarbij n gelijk is aan 500. We kunnen de Brownse beweging interpeteren alsof er “elk moment dt” een munt wordt opgegooid met een kleine positieve of negatieve bijdrage. Deze schommeling op elk moment noteren we met dBt . Dit levert ons twee differentialen op, dt en dBt , die we gaan gebruiken bij het modelleren van een aandelenprijs. Voordat we verder gaan, kijken we eerst naar een aanpassing van de definitie van correlatieco¨efficient tussen twee Brownse bewegingen. In hoofdstuk 3 gaan we hiervan gebruik maken. De Brownse bewegingen hoeven niet onafhankelijk van elkaar te zijn. De correlatiecoeffici¨ent kan ook een stochastisch proces zijn. We nemen daarom een aangepaste definitie van de correlatiecoeffici¨ent. Definitie 2.4. Zij Bx en By twee verschillende Brownse bewegingen en twee tijdstippen t < u. Als voor een stochastisch proces ρ geldt dat de voorwaardelijke covariantie van de twee normaal verdeelde Brownse bewegingen op 15
tijdstip t gelijk is aan, Z covt (Bx (u − t), By (u − t)) = Et
u
ρ(s) ds .
t
Dan noemen we ρ de correlatieco¨efficient van de twee Brownse bewegingen. Een reden waarom de voorwaardelijke verwachting van ρ een goede definitie voor de correlatieco¨effcient is de volgende. Wanneer de covariantie ρ van de veranderingen X = Bx (u) − Bx (t) en Y = By (u) − By (t) constant is, kunnen we de gebruikelijke correlatieco¨efficient berkenen. Deze wordt gegeven door √ cov(X, Y )/ VarXVarY . Aangezien Bx en By normaal verdeeld zijn geldt: Ru ρ ds cov(X, Y ) (u − t)ρ √ = ρ. =√ t √ = u−t u−t u−t VarXVarY Dus zien we dat een constante correlatieco¨efficient gelijk is aan de correlatiecoeffici¨ent ρ.
2.2
Kwadratische variatie
Voordat we de aandelenprijs gaan simuleren leiden we eerst een aantal handige rekenregels met betrekking tot de differentialen dt en dBt af. Deze rekenregels volgen uit de kwadratische variatie van B en van t. Eerst de definitie van kwadratische variatie. Definitie 2.5. Gegeven een partitie 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = T van het interval [0, T ]. Voor een functie f (t) berekenen we de som van de kwadratische veranderingen met n−1 X
(f (tj+1 ) − f (tj ))2 .
j=0
De limiet van deze som bij het kijken naar steeds fijnere partities waarbij de lengte van elk interval [ti , ti−1 ] naar nul gaat noemen we de kwadratische variatie. We zijn vertrouwd met continu differentieerbare functies. Al deze functies hebben een kwadratische variate van nul. Neem de lineaire functie f (t) = at voor een constante a en een partitie waarbij tj − tj−1 = ∆t = T /n. Dan is de kwadratische variatie: 16
lim
n−1 X
n→∞
(f (tj+1 ) − f (tj ))2 = lim
n→∞
j=0
n−1 X (atj+1 − atj )2 = lim na2 (∆t)2 j=0
n→∞
2 T a2 T 2 = 0. = lim = lim na n→∞ n n→∞ n 2
We zien dat de kwadratische variatie van een lineaire functie nul is. Met het argument dat iedere continue differentieerbare functie in elk punt lokaal lineair is, volgt dat de kwadratische variatie van een continue differentieerbare functie gelijk is aan nul. Voor een Brownse beweging geldt echter dat de kwadratische variatie niet gelijk is aan nul, maar aan T ! Een expliciete berekening van de volgende kwadratische variaties Pn−1is te vinden (B(tj+1 ) − in [6]. De kwadratische variatie van een Brownse beweging: j=0 2 B(tj )) convergeert met kans ´e´en naar T . Dit noteren we informeel met (dBt )2 = dt. De gemengde kwadratische variatie van een Brownse beweging met t is gelijk aan 0, (dt)(dBt ) = 0 en de kwadratische variatie van t is ook gelijk aan nul, (dt)(dBt ) = 0. We vatten deze rekenregels samen: (dt)2 = 0 (dt)(dBt ) = 0 (dBt )2 = dt.
2.3
(2.3) (2.4) (2.5)
Itˆ o’s formule
In deze paragraaf gaan we de aandelenprijs simuleren aan de hand van een Itˆo proces. We gaan ervan uit dat de aandelenprijs een vaste toename heeft en een variabele toename. Bij de vaste toename kan je denken aan de rente min de dividend. Om het niet nodeloos ingewikkeld te maken gaan we er in deze scriptie altijd van uit dat een aandeel geen dividend uitbetaalt. Met de variabele toename worden de kenmerkende schommelingen van de aandelenprijs gemodelleerd. Definitie 2.6. Een Itˆo proces is een stochastisch proces X = X(t), t ≥ 0 dat verandert over de tijd volgens de stochastische differentiaalvergelijking, dX = µt dt + σt dBt .
(2.6)
We noteren de vaste toename met µt en deze staat beter bekend als drift. We noteren de schommeling met σt en deze staat beter bekend als volatiliteit. 17
Merk op dat zowel de drift als de volatiteit functies afhankelijk van tijd en stochastisch kunnen zijn. Als we de veranderingen bij elkaar optellen krijgen we een simulatie van de aandelenprijs op tijdstip T > 0, Z T Z T µt dt + σt dBt . (2.7) X(T ) = X(0) + 0
0
Bovendien is (2.6) een afkorting van (2.7). Nemen we µt = 0 en σt = 1 dan hebben we een Brownse beweging. In het geval dat µt en σt constant zijn wordt het proces ook wel een algemene Brownse beweging genoemd. We kunnen µt en σt zo kiezen dat ze zo goed mogelijk een aandelenprijs simuleren. Bij het simuleren van (2.6) maken we gebruik van een gediscretiseerde versie: X(ti+1 ) − X(ti ) = µ(ti ) (ti+1 − ti ) + σ(ti ) (B(ti+1 ) − B(ti )). Dit schrijven we korter op met de volgende notatie: ∆X = µt ∆t + σt ∆B. Bij het rekenen met Itˆo processen is er een belangrijke formule, waarmee je de differentiaal van een functie f (t, X(t)) die zowel afhangt van de tijd als van een Itˆo proces X(t) kan berekenen. Deze formule staat bekent als Itˆo’s formule. We leiden Itˆo’s formule af door te kijken naar een taylorontwikkeling van f (t, X(t)) om punt f (t, X(t)), waarbij X(t) een Itˆo proces is met drift µt en volatiliteit σt , ∂f (t, X(t)) ∂f (t, X(t)) (X(t) − X(t)) + (t − t) ∂X(t) ∂t 1 ∂ 2 f (t, X(t)) + (X(t) − X(t))2 2 2! ∂X(t) ∂ 2 f (t, X(t)) 1 ∂ 2 f (t, X(t)) + (t − t)2 (X(t) − X(t))(t − t) + ∂X(t)∂t 2! ∂t2 1 ∂ 3 f (t, X(t)) + (X(t) − X(t))3 + . . . 3! ∂X(t)3
f (t, X(t)) =f (t, X(t)) +
Als we het verschil tussen t en t nul laten naderen en de term f (t, X(t)) naar links halen krijgen we differentialen:
18
∂f (t, X(t)) 1 ∂ 2 f (t, X(t)) ∂f (t, X(t)) (dX(t)) + dt + (dX(t)) ∂X(t) ∂t 2! ∂X(t)2 ∂ 2 f (t, X(t)) 1 ∂ 2 f (t, X(t)) + (dX(t))(dt) + (dt)2 2 ∂X(t)∂t 2! ∂t 3 1 ∂ f (t, X(t)) + (dX(t))3 + . . . 3! ∂X(t)3
df (t, X(t)) =
Aangezien het verschil tussen t en t naar nul gaat, geldt dat f (t, X(t)) → f (t, X(t)). Daarnaast weten dat (dt)2 = 0, (2.3), en dus dat alle hoge orde termen dt vallen weg. Dit brengt ons bij de vergelijking
df =
∂f ∂f 1 ∂ 2f ∂ 2f 2 dt + (dX(t)) + (dX(t)) + (dX(t))(dt) ∂t ∂X(t) 2! ∂X(t)2 ∂X(t)∂t 1 ∂ 3f (dX(t))3 + . . . + 3! ∂X(t)3
We weten ook dat dX(t) = µt dt + σt dBt ∂f 1 ∂ 2f ∂f (µt dt + σt dBt ) + dt + (µt dt + σt dBt )2 df = 2 ∂X(t) ∂t 2! ∂X(t) 2 ∂ f 1 ∂ 3f + (µt dt + σt dBt )(dt) + (µt dt + σt dBt )3 + . . . 3 ∂X(t)∂t 3! ∂X(t) Met de rekenregels (2.3)-(2.5) zien we dat (dBt )3 = (dt)(dBt ) = 0, waardoor alle hogere orde termen dBt wegvallen. Ook weten we dat (dt)(dBt ) = 0, waardoor alle gemengde termen weg vallen. We houden de volgende termen over
df =
∂f ∂f ∂f 1 ∂ 2f µt dt + σt dBt + dt + σt (dBt )2 . ∂X(t) ∂X(t) ∂t 2 ∂X(t)2
Dit kunnen we herschrijven tot Itˆo’s formule: ∂f ∂f ∂f 1 ∂ 2f 2 df = σt dt + µt + + σt dBt . 2 ∂X(t) ∂t 2 ∂X(t) ∂X(t)
19
(2.8)
2.4
Geometrische Brownse beweging
Definitie 2.7. Zij S0 een willekeurige startwaarde dan wordt de geometrische Brownse beweging wordt gegeven door de vergelijking σ2 S(t) = S0 exp µt − t + σB(t) . (2.9) 2 Met het gemiddelde µ en de volatiliteit σ constant en B(t) een Brownse beweging. Met behulp van Itˆo’s formule kunnen we (2.9) omschrijven naar een differentiaal. Stel f (t, B(t)) = S = S0 exp (µt − σ 2 t/2 + σB(t)), dan kunnen we Itˆo’s formule toepassen. Merk op dat de Brownse beweging B(t) een Itˆo proces is met verwachting µB = 0 en volatiliteit σB = 1: ∂f 1 ∂ 2f 2 ∂f ∂f µB + + σB dt + σB dBt . df = 2 ∂B(t) ∂t 2 ∂B(t) ∂X(t) Het uitrekenen van de parti¨ele afgeleiden geeft σ2 1 2 dS = 0 + µ − S + σ S dt + σS dBt . 2 2 We werken dit uit tot dS = µ dt + σ dBt . (2.10) S Dit is ´e´en van de twee equivalente formules voor de differentiaal van een geometrische Brownse beweging. We herkennen hierin een Itˆo proces met µt = µS(t) en σt = σS(t), dS = µt dt + σt dBt . Gaan we dit simuleren dan discretiseren we de (2.10) tot: ∆S = µ ∆t + σ ∆Bt . S Dit gaat fout bij een uitschieter van ∆B, de aandelenprijs S(t) kan dan negatief worden! Terwijl in de oplossing S0 vermenigvuldigd wordt met een exponenti¨ele functie en S(t) dus nooit negatief wordt. Daarom gebruiken we bij het simuleren van een aandelenprijs de log van de oplossing: 1 2 log S(t) = log S(0) + µ − σ + σB(t). 2 20
De differentiaal van deze formule is: 1 2 dt + σ dBt . (2.11) d log S = µ − σ 2 De differentialen hebben dezelfde oplossing en zijn dus equivalent aan elkaar. Bij het discretiseren van (2.11) krijgen we, 1 2 ∆t + σ ∆B. ∆ log S = µ − σ 2 Deze formule geeft zoals gewild altijd een positief getal voor de aandelenprijs omdat we de exponent nemen. Bij de financi¨ele modellen die we gaan bestuderen in het volgende hoofdstuk maken we gebruik van een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Door het gebruik van de nieuwe kansmaat veranderen een aantal dingen. Als we bijvoorbeeld de Brownse beweging B(t) bekijken onder een andere kansmaat kunnen we niet verwachten dat het een Brownse beweging blijft. Desondanks wordt de herschaalde Brownse beweging wel een Itˆo proces onder de risiconeutrale maat. Het is zelfs zo dat ieder Itˆo proces onder de risiconeutrale maat nog steeds een Itˆo proces is en andersom. Dit alles onder de veronderstelling dat de maattransformatie absoluut continu is. We gaan nu berekenen wat er gebeurt met de drift en de volatiliteit als we overstappen op de risiconeutrale maat. We beginnen Zij X(t) een Itˆo proces en zij zoals gebruikelijk Rmet de drift. t R(t) = exp 0 r(s) ds . Dan defini¨eren we Z(t) als, Z t X(t) r(s) ds X(t). Z(t) = = exp − R(t) 0 Ondanks dat X(t) een stochastisch proces is, geldt de gewone productregel want R(t)−1 is differentieerbaar, dZ(t) = d
X(t) dX(t) 1 = + X(t)d + 0. R(t) R(t) R(t)
We kunnen de differentiaal van R(t)−1 met de vertrouwde calculus berekenen, omdat het een continu differentieerbare functie is. Door te differenti¨eren zien we dat dR(t)−1 = −rR(t)−1 dt. Dit invullen geeft:
dZ(t) = d
X(t) dX(t) X(t) dX(t) = −r dt = Z(t) − rZ(t) dt R(t) R(t) R(t) X(t) 21
en dus
dZ(t) dX(t) = − r dt. Z(t) X(t)
(2.12)
Met de fundamentele waardering formule (1.15) weten we dat Z(t) onder de risiconeutrale maat een martingaal is. Daarom moet de drift van dZ(t) gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt dat de drift van dZ(t)/Z(t) ook gelijk is aan nul. Uit de formule (2.12) kunnen we concluderen dat de drift van dX(t)/X(t) gelijk is aan r onder de risiconeutrale maat. Dan rest nog de vraag wat er gebeurt met de volatiliteit onder de risiconeutrale maat. Het antwoord hierop is simpel: niets. Bij het veranderen van kansmaat blijft de volatiliteit hetzelfde. De reden dat de volatiliteit niet verandert komt door de eis die we stellen bij het wisselen van kansmaat. We eisen dat er tussen de kansmaat P en de nieuwe kansmaat P ∗ absolute continu¨ıteit is. Per definitie geldt dan dat P (A) = 0 impliceert dat P ∗ (A) = 0 en dat P (A) > 0 impliceert dat P ∗ (A) > 0, voor iedere gebeurtenis A. Nemen we het complement van A dan krijgen we dat P (Ac ) = 1 impliceert dat P ∗ (Ac ) = 1. We zagen dat de kwadratische variatie van de Brownse beweging met kans ´e´en naar T convergeerde. Door absolute continu¨ıteit convergeert hij ook onder de nieuwe kansmaat naar T . Dus verandert er niks aan de volatiliteit σt onder de nieuwe kansmaat. Hetzelfde argument gaat op voor de correlatie tussen twee Brownse bewegingen bij het wisselen van kansmaat. We vatten het als volgt samen: zij S(t) een Itˆo proces met drift S(t)µt en volatiliteit S(t)σt en zij B ∗ (t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat dan volgt uit (2.12), dS(t) = r dt + σt dBt∗ S(t) en dus dat r = µt .
22
(2.13)
waarde 250
200
150
100
50
2
4
6
8
10
t
Figuur 2.4: Twee geometrische Brownse bewegingen (rood en blauw) met parameters: S(0) = 10, σ = 0, 2 en een risicovrije rente van 25%. Samen met een risicovrije investering (groen) met startwaarde S(0) = 10.
23
Een ander mooi voorbeeld krijgen we als we naar een Brownse beweging kijken bij het wisselen naar de risiconeutrale maat. Dan is S(µt dt + σt dBt ) = dS(t) = S(r dt + σt dBt∗ ). Hieruit kunnen we concluderen dat µt dt + σt dBt = r dt + σt dBt∗ . We wisten dat r = µt waardoor we de volgende relatie tussen de Brownse beweging en de Brownse beweging onder de risiconeutrale maat kunnen afleiden, r − µt dBt = dBt∗ + dt. (2.14) σt waarde 3
2
1
2
4
6
8
10
t
-1
Figuur 2.5: Onder de risiconeutrale maat een voormalige Brownse beweging (rood) en een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat (blauw) bij een risicovrije rente van 25%.
24
Twee financi¨ ele modellen Voortbouwend op de vorige hoofdstukken wordt nu gekeken naar twee financi¨ele modellen die het gedrag van een aandelenprijs simuleren met behulp van Monte Carlo simulatie. De eerste is het binomiale model. Met het binomiale model simuleren we een aandelenprijs dat zich als een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat gedraagt. Het heeft dus dezelfde aannamen als het Black en Scholes model, waardoor het ook eenzelfde schatting van de aandelenprijs oplevert. De tweede is het Heston model. Dit model is speciaal omdat wordt aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een variatie op een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Nu is de volatiliteit niet constant, maar wel een Itˆo proces. Ook wordt de invloed van de aandelenprijs op de volatiliteit meegenomen door de twee processen aan elkaar te correleren. Uit observaties blijkt namelijk dat de aandelenprijs invloed heeft op de volatiliteit. Zo is bijvoorbeeld na een heftige beweging van de aandelenprijs, de kans groter dat er nog een heftige beweging van de aandelenprijs komt.
3.1
Binomiale model
Het binomiale model gebruiken we om een geometrische Brownse beweging te benaderen. We veronderstellen onder de risiconeutrale maat (2.11) dat B ∗ gelijk is aan een Brownse beweging, zodat σ2 dt + σdBt∗ . d log S = r − 2 Het model werkt als volgt. Na een periode kan het aandeel in de up-toestand Su = uS of in de down-toestand Sd = dS zijn. Dit betekent dat het rendement gelijk is aan ∆S/S = u−1 in de up-toestand en gelijk aan ∆S/S = d−1 in de down-toestand. Er zijn drie parameters in het model: u, d, en p, met p de kans om in de up-toestand te komen. Dan is natuurlijk 1 − p de kans om in de down-toestand te komen. Over meerdere perioden kan je het binomiale model weergeven met een “boom.” Door de parameters over de meerdere 25
perioden N hetzelfde te laten scheelt het aanzienlijk veel rekenwerk. Veel toestanden vallen er na een periode samen. Per periode komt er steeds maar ´e´en toestand bij. Zouden we niet eisen dat de parameters gelijk blijven, dan neemt het aantal toestanden niet lineair toe maar exponentieel, volgens 2N .
u³S u²S uS
du²S
S
udS ud²S
dS d²S
d³S Figuur 3.1: Binomiaal model over drie perioden. Dan rest ons nog de vraag hoe we de parameters: u, d, en p moeten kiezen. We willen dat als het aantal periodes naar oneindig gaat het model een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat benadert. We simuleren de prijs over een periode [0, T ]. We delen het interval steeds op in kleinere perioden ∆t = T /N waarop we ons model toepassen. In dit geval willen we dus dat de aandelenprijs zich gedraagt als: σ2 ∆t + σ∆B. ∆ log S = r − 2 De verwachting en variantie onder de risiconeutrale maat van ∆ log S over een tijdsinterval ∆t zijn: σ2 R R R E (∆ log S) = E (ν∆t) + E (σ∆B) = r − ∆t 2 VarR (∆ log S) = VarR (ν∆t) + VarR (σ∆B) = σ 2 ∆t. 26
Oftewel ER (∆ log S) σ2 = r− ∆t ∆t 2 VarR (∆ log S) = σ 2 ∆t. ∆t Nu willen we weten wat in het binomiale model de verwachting ER (∆ log S) en de variantie VarR (∆ log S) zijn. Voor de verwachting geldt dat ER (∆ log S) = p log(uS) + (1 − p) log(dS) − log S = p log u + (1 − p) log d + p log S + (1 − p) log S − log S = p log u + (1 − p) log d en voor de variantie geldt VarR (∆ log S) = p log(uS)2 + (1 − p) log(dS)2 − (log S)2 − (ER (∆ log S))2 = p(log u)2 + (1 − p)(log d)2 − (p log u + (1 − p) log d)2 = p(1 − p)(log u)2 − 2p(1 − p) log u log d + p(1 − p) log u log d = p(1 − p)(log u − log d)2 . Uit deze gegevens leiden we af dat voor het binomiale model geldt dat: ER (∆ log S) p log u + (1 − p) log d = ∆t ∆t R p(1 − p)(log u − log d)2 Var (∆ log S) = . ∆t ∆t Voor convergentie naar het continue geval als het aantal perioden N → ∞ gaat terwijl T gelijk blijft is het voldoende als: p log u + (1 − p) log d σ2 → r− ∆t 2 p(1 − p)(log u − log d)2 → σ2. ∆t Het model dat het meest gebruikt wordt komt van Cox, Ross en Rubinstein [2], zij stellen d = 1/u en stelt dat u = eσ p=
√
∆t
er∆t − d . u−d 27
Een ander vaak gebruikte model is die van Jarrow en Rudd [3]. Dit model hebben we al stilzijgend gebruikt bij het simuleren van de geometrische Brownse bewegingen in de vorige paragraaf. Zij kiezen p = 1/2 en √ 1 2 u = exp r − σ ∆t + σ ∆t 2 √ 1 2 p = exp r − σ ∆t − σ ∆t . 2
3.2
Heston model
Het binomiale model is dus een handig model om de aandelenprijs te simuleren. Doorgaans is het simuleren lastiger. Dit komt doordat de aandelenprijs wordt gesimuleerd met een Itˆo proces waarvan de volatiliteit variabel is. De in het echt berekende volatiliteit uit optieprijzen, ook wel de ge¨ımpliceerde volatiliteit, heeft een bepaalde curve. Voor aandelenprijzen is de ge¨ımpliceerde volatiliteit vaak een “smile.” De smile wordt onder meer veroorzaakt door de dikke linkerstaarten in de verdeling van de aandelenprijzen. Ook is er na de beurscrash in 1987 een zekere angst voor een nieuwe crash. Dit resulteert in een hogere volatiliteit als een aandeel laag staat [5]. We gaan het Heston model bestuderen dat rekening houdt met een variabele volatiliteit. Geïmpliceerde volatiliteit
Waarde aandeel
Figuur 3.2: Kenmerkende volatiliteit van aandelenprijzen.
28
Het model werd in 1993 door de Amerikaanse wiskundige Steve Hetson gepubliceerd. In het model is de volatiliteit een stochastisch proces, het wordt vandaar ook wel een stochastische volatiliteit model genoemd. Het Heston model is ´e´en van de stochastische volatiliteit modellen die gemaakt zijn om het gebrek van constante volatiliteit in het Black en Scholes model te verhelpen. Een andere bekende stochastische volatiliteit model is het GARCH(p, q) model. In het Heston model wordt aangenomen dat de volatiliteit zich als een zeker Itˆo proces gedraagt. Het speciale van het Heston model is dat door de parameters goed te kiezen, we een “smile” voor de volatiliteit kunnen simuleren. Heston formuleerde zijn model als volgt, zij BS (t) en Bv (t) twee Brownse bewegingen, waarbij Bv (t) een constante correlatie ρ met BS (t) heeft. Dan gedraagt de aandelenprijs zich gedraagt als een variatie op de geometrische Brownse beweging: p dS = µ dt + v(t) dBS . (3.1) S p De parameter µ is constant, maar de volatiliteit v(t) gedraagt zich als een Ornstein-Uhlenbeck proces met constante parameters β en δ: p p (3.2) d v(t) = −β v(t) dt + δ dBv (t). p Met Itˆo’s formule (2.8), waarbij f (x) = x2 en x = v(t) volgt dat: dx2 = δ 2 dt + 2x dx en dus dat p p v(t) d v(t) p p = δ 2 dt + 2 v(t) (−β v(t) dt + δ dBv ) p = (δ 2 − 2βv(t)) dt + 2δ v(t) dBv .
dv(t) = δ 2 dt + 2
Het proces kan worden herschreven als een ”square-root”proces, door γ = 2δ, κ = 2β en θ = γ 2 /(4κ) te kiezen: p dv(t) = (δ 2 − 2βv(t)) dt + 2δ v(t) dBv p 1 2 = 4δ − κv(t) dt + γ v(t) dBv 4 2 p γ = κ − κv(t) dt + γ v(t) dBv 4κ p = κ(θ − v(t)) dt + γ v(t) dBv . 29
(3.3)
Bij het simuleren van de aandelenprijs heeft de andere equivalente formule van een geometrische Brownse beweging (2.11) de voorkeur: 1 2 dt + σ(t) dBS . d log S = µ − σ(t) 2 Het theoretische model is nu bijna klaar, we hoeven alleen nog erin te verwerken dat we werken onder de risiconeutrale maat. Dit heeft als gevolg voor de aandelenprijs dat µ = r, zie (2.13), zodat: 1 2 (3.4) dt + σ(t) dBS∗ d log S(t) = r − σ(t) 2 met BS∗ (t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Voor de volatiliteit komt het erop neer dat we de constanten opnieuw zo goed mogelijk moeten kiezen onder de risiconeutrale maat: dv(t) = κ(θ − v(t)) dt + γ
p v(t) dBv∗
(3.5)
met Bv∗ (t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Dit is het Heston model waarmee we gaan werken. De constante parameters hebben de volgende betekenis. Voor de risicovrije rente staat zoals gebruikelijk r. Voor de volatiliteit van de volatiliteit staat γ. Met deze parameter simuleren we het effect dat er na een heftige beweging van de aandelenprijs relatief vaak een heftige beweging volgt. Voor de volatiliteit geldt over het algemeen dat na een uitschieter de volatiliteit weer terug keert naar zijn gemiddelde θ. Hoe snel dit gebeurt hangt af van κ. Tot slot treden een aantal uitschieters in de volatiliteit willekeurig op, dit wordt in het model gesimuleerd door de correlatie ρ tusssen Bv∗ met BS∗ . S(0) v(0) r γ θ κ ρ
waarde van de aandelenprijs op tijdstip 0 waarde van de volatiliteit op tijdstip 0 risicovrije rente volatiliteit van de volatiliteit lange termijn variantie snelheid waarmee de variantie terugkeerd naar zijn gemiddelde correlatie van Bv met BS Tabel 3.1: De parameters van het Heston model.
Als we simulaties maken met het Heston model maken we gebruik van een gediscretiseerde versie. We discretiseren het model door te kijken naar een verandering van de aandelenprijs over kleine tijdsintervallen: 30
log S(ti+1 ) = log S(ti ) + (r − 1/2 v(ti )) ∆ti+1 +
p v(ti ) ∆BS∗
en v(ti+1 ) = v(ti ) + κ(θ − v(ti )) ∆ti+1 + γ
p v(ti ) ∆Bv∗ .
Er zijn twee problemen waar we tegenaan lopen. Het eerste is dat het nu wel kan voorkomen dat v(t) negatief wordt (doordat de ∆Bv∗ een normaal verdeelde stochast is). Maar in het continue geval wordt de volatiliteit nooit nul! Dit volgt uit de formule, als v(t) dicht bij nul komt, neemt v(t) toe met κθ dt: p dv(t) = κ(θ − v(t)) dt + γ v(t) dBv∗ . We vervangen daarom v(t) als deze toevallig negatief wordt door nul: n o p v(ti+1 ) = max 0 , v(ti ) + κ(θ − v(ti )) ∆ti+1 + γ v(ti ) ∆Bv∗ . ´ en Het tweede probleem is hoe we de correlatie ρ erin moeten verwerken. E´ manier om dit te doen is met twee onafhankelijke standaardnormale verdeelde trekkingen z1 en z2 . We defini¨eren p z = z1 en z ∗ = ρz1 + 1 − ρ2 z2 (3.6) en ∆BS∗ =
√ ∆tz
en ∆Bv∗ =
√ ∆tz ∗ .
(3.7)
∗ ∗ ∗ Zodat p de verwachting gelijk is aan E(BS + Bv ) = E(z) + E(z ) = E(ρz1 ) + E( 1 − ρ2 z2 ) = 0 en de variantie gelijk is aan Var(BS∗ + Bv∗ ) = Var(z1 ) + p Var(ρz1 ) = Var(ρz1 ) + Var( 1 − ρ2 z2 ) = ρ. De formules (3.7) en (3.9) brengen ons bij de twee formules waarmee we simulaties maken met het Heston model. We simuleren de aandelenprijs met p √ (3.8) log S(ti+1 ) = log S(ti ) + (r − 1/2 v(ti )) ∆ti+1 + v(ti ) ∆tz
en de volatiliteit met n o p √ v(ti+1 ) = max 0 , v(ti ) + κ(θ − v(ti )) ∆ti+1 + γ v(ti ) ∆tz ∗ .
31
(3.9)
Figuur 3.3: Een simulatie met het Heston model volgens de afgeleide formules (3.8) en (3.9) met parameters: S(0) = 10, r = 3%, ∆t = 0, 01, T = 500, γ = 0, 2, θ = 0, 5, κ = 0, 5, ρ = −0, 1 en v(0) = 0, 03.
32
Dan resteert nog de vraag hoe de parameters in het Heston model worden gekozen. We blikken eerst terug op het binomiale model. Dat heeft vijf onbekende parameters: de aandelenprijs, de periode, het aantal stappen, de risicovrije rente en de volatiliteit. Twee variabelen zijn onbekend: de risicovrije rente en de volatiliteit. Voor deze twee parameters kunnen we gewoon het gemiddelde nemen op basis van metingen uit een trekking. Voor het Heston model zijn er de extra parameters: γ, θ, κ en ρ, Voor γ, κ en ρ wordt vaak de kleinste kwadraten methode gebruikt. De lange termijn volatiliteit θ wordt ook speciaal geschat. Voor θ kunnen we het gemiddelde nemen op basis van de recentste metingen uit een trekking. Voor het schatten van de parameters bestaan verschillende aanpakken die we niet in deze scriptie behandelen. Tot slot kijken we naar een figuur waar we het verschil tussen het binomiale model en het Heston model goed kunnen zien.
Spot Return
Figuur 3.4: Het Binomiale model vs het Heston model: als ρ = 0 hebben we een verdeling zoals in het binomiale model. Voor de waarden van ρ ongelijk aan nul zien we dat we met het Heston model afwijkt en andere verdelingen kan benaderen.
33
Populaire samenvatting Elke beurshandelaar is ge¨ınteresseerd wat een aandeel van vandaag morgen waard is. Vele factoren hebben invloed op de aandelenprijs, waardoor deze vraag nagenoeg onmogelijk is om te beantwoorden. Wat kunnen we dan wel over de aandelenprijs van morgen zeggen? Met historische data van de aandelenprijs kunnen we een schatting maken. Deze schattingen geven vaak een goede indicatie wat de aandelenprijs zal zijn. We zijn daarom opzoek naar een antwoord op de volgende vraag. Hoe kunnen we een goede schatting van de toekomstige aandelenprijs maken? Er wordt aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een stochastisch proces. Dit proces beschrijft de verandering van de aandelenprijs. Voor een deel is er een vaste toename, door bijvoorbeeld de rente. Voor een ander deel zijn er schommelingen van de aandelenprijs, vaak door onverwachte gebeurtenissen. Hoeveel een aandeel schommelt noemen we de volatiliteit. De verandering van de aandelenprijs bekijken we steeds over een korte periode. De aandelenprijs gaat als het ware een stap vooruit. Als we de stappen allemaal achter elkaar plaatsen krijgen we een simulatie van de aandelenprijs.
34
waarde
30
25
20
15
2
4
6
8
10
t
Figuur 4.1: Een stochastisch proces opgebouwd uit stappen. Vaak wordt voor het gemak aangenomen dat de vaste toename en de volatiliteit constant blijven. Voor de vaste toename gaat dit redelijk op met een truc. Door het proces te verschalen onder de risiconeutrale maat, wordt de vaste toename precies gelijk aan de risicovrije rente. In het echt gaat dit niet zo makkelijk op want de risicovrije rente is niet bekend. Deze kan ook nog eens vari¨eren over tijd. waarde 250
200
150
100
50
t 2
4
6
8
10
Figuur 4.2: Twee stochastische processen (rood en blauw). Bij deze processen is de vaste toename gelijk aan de risicovrije rente. Dit is in te zien door het te vergelijken met een risicovrije investering (groen). 35
De volatiliteit van een aandelenprijs kan wel vari¨eren. Het gevolg is dat de aandelenprijs niet normaalverdeeld is. De oude modellen gingen er juist van uit dat de aandelenprijs wel normaalverdeeld is! Het Heston model is ´e´en van de modellen die zijn ontwikkeld om rekening te houden met een volatiliteit die wel kan vari¨eren.
Volatiliteit
Waarde aandeel
Figuur 4.3: De kenmerkende, niet constante volatiliteit van aandelenprijzen.
Op deze manier kunnen we met het Heston model betere simulaties van de aandelenprijs maken dan met de voorheen gangbare modellen. Door veel simulaties te maken kunnen we vervolgens beter de toekomstige aandelenprijs schatten. Zo zijn we een stap dichter bij een antwoord op de vraag hoe we een goede schatting van de toekomstige aandelenprijs kunnen maken.
36
Bibliografie [1] Kerry Back, A course in derivative securities - Introduction to theory and computation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. [2] ‘Option pricing: a simplified approach’, J. Cox, S. Ross en M. Rubinstein, in: Journal of Financial Economics 7 (1979), 229-263. [3] Robert A. Jarrow en Andrew Rudd, Option pricing, Dow Jones-Irwin, 1983. [4] ‘A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options’, S. Heston, in: Review of Financial Studies 6 (1993), 327-344. [5] John C. Hull, Options, futures and other derivatives, 7e druk, Pearson Prentice Hall, 2008. [6] Steven E. Shreve, Stochastic calculus for finance II - Continious-time models, Springer Science + Business Media, LLC, 2004.
37
