Het eiland Ord Alexander Smakman Julian Lyczak Met tekeningen van: John Schleipen
Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010
Voorwoord Je leert in dit programma over het eiland Ord. Op dit eiland wil iedereen ervoor zorgen dat alles netjes in de goede volgorde staat. In het eerste hoofdstuk leer je meer over het eiland. Wat je eigenlijk gaat je leren, is hoe je getallen kunt sorteren: hoe zet je een rij getallen zo snel mogelijk in de juiste volgorde. Dat klinkt misschien een beetje saai, maar het is uitdagender dan je denkt. Sorteren gebeurt veel vaker dan je denkt: je legt een pak kaarten op volgorde. In de koelkast staan de pakken melk op houdbaarheidsdatum, zodat het pak dat tot morgen goed is, niet achterin de koelkast staat. Jij kunt zelf heel snel zien dat harten 4 tussen de harten 3 en harten 5 in moet, maar computers zijn niet zo goed in dat soort dingen. Maar, juist bij computers is sorteren heel belangrijk. Als je je e-mails bekijkt, staan ze netjes op datum. Wanneer je met je vrienden wil chatten en Messenger opent, staan de namen in alfabetische volgorde. Als je muziek luistert staan de nummers van de cd in de juiste volgorde. Sorteren gebeurt dus heel vaak. Je gaat hier leren hoe je dat doet, op een manier die de computer kan nadoen. Veel plezier!
Uitleg van de gebruikte symbolen: In de kantlijn staat een aantal speciale symbolen. Deze hebben de volgende betekenis: + betekent dat er achterin een hint bij deze opgave is te vinden.
Inhoudsopgave 1
Welkom op Ord
1
2
De lessen van juf Strent
4
2.1
Eerste les: de notatie van een rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Tweede les: doorstroomschema’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Derde les: verplaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
Het huisfeest
13
3.1
Visite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2
Aan tafel! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3
En dan de afwas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Hints bij de opgaven
18
Hoofdstuk 1
Welkom op Ord
Midden in de Grote Oceaan ligt een piepklein vulkaaneilandje, het eiland Ord. De vulkaan houdt zich de laatste tijd heel rustig, de laatste uitbarsting was meer dan 200 jaar geleden. De bewoners van het eiland willen dat graag zo houden en proberen de vulkaan daarom zo veel mogelijk te vereren. Het vereren van de vulkaan doen ze alleen op een beetje een rare manier: ze zorgen ervoor dat alles altijd netjes opgeruimd is. Want als ze niet netjes opruimen, dan wordt de vulkaan boos! (Waarschijnlijk is het bij jou thuis precies hetzelfde, alleen worden dan je ouders boos!)
1
2
Welkom op Ord
De bewoners van Ord zorgen er daarom voor dat op het eiland alles altijd netjes op volgorde staat. De hutjes op het eiland staan bijvoorbeeld geordend van groot naar klein. De oudere mensen wonen in de grotere hutjes en de jongere mensen in de kleinere. Zelfs bij het avondeten zitten ze aan tafel van klein naar groot.
In dit boekje gaan we een kijkje nemen bij dit gezin. Je hebt hun vader Kwik, moeder Hiep en hun twee kinderen Insur en Sjel. Ze willen gaan eten, maar ze moeten wel in de goede volgorde gaan staan voordat ze aan tafel gaan. Opgave 1.1 Als je telkens twee personen van plaats mag verwisselen, hoeveel omwisselingen heb je dan nodig voordat het gezin van klein naar groot staat? (Je mag ook personen die niet naast elkaar staan verwisselen.)
Opgave 1.2 Het is mogelijk om het gezin met maar twee verwisselingen in de goede volgorde te zetten. Welke verwisselingen doe je dan?
Welkom op Ord
3
Zo, de leden van het gezin staan netjes in de goede volgorde, nu kan het gezin gaan eten. Vanavond eten ze lekker frietjes, maar de frietjes moeten natuurlijk ook netjes op volgorde worden gelegd!
Opgave 1.3 Je ziet op het plaatje dat Sjel zes frietjes op haar bord heeft liggen. Welke verwisselingen zijn nodig om ze van klein naar groot te leggen? Ze zijn alvast genummerd op lengte.
Op Ord is de vakantie al weer afgelopen. Morgen gaan Sjel en Insur weer naar school. Op school leren ze dit jaar hoe je makkelijker kunt sorteren.
Hoofdstuk 2
De lessen van juf Strent 2.1
Eerste les: de notatie van een rij
De volgende ochtend gaan Insur en Sjel naar school. Vandaag is er een speciale les over sorteren. Juf Strent begint gelijk met de les. “Goedemorgen kinderen! Ik ben juf Strent. We gaan vandaag beginnen met de lessen over sorteren. De eerste les gaat over het opschrijven van een rij met getallen.”
“Om ervoor te zorgen dat het duidelijk is wat we doen, hebben we over de hele wereld één manier afgesproken om een rij met getallen op te schijven.” De juf schrijft dit op het bord: [3, 1, 4, 2] “Als je een rij opschrijft zet je er haakjes omheen en komma’s tussen de getallen. Zo kun je de rij op een eenvoudige en duidelijke manier opschrijven.”
4
De lessen van juf Strent
5
Opgave 2.1 Hoe zou je de rij getallen uit opgave 1.3 met deze methode opschrijven?
“Elk getal in een rij noem je een element. De rij in het voorbeeld heeft dus vier elementen.” Opgave 2.2 Hoeveel elementen heeft de rij uit de vorige opgave?
Opgave 2.3 Wat is het derde element uit de rij?
“Als je een rij in de goede volgorde wilt zetten, kun je telkens twee elementen verwisselen. Om dat duidelijk op te schrijven, kun je een streepje zetten onder de twee elementen die je wilt verwisselen. Daarna zet je een pijltje achter de rij en schrijf je de nieuwe rij weer op, zo dus:” [3, 1, 4, 2] → [1, 3, 4, 2] “Je kunt dit zo lezen: In de rij [3, 1, 4, 2] verwissel ik de 3 en de 1. Ik krijg dan de rij [1, 3, 4, 2].” “Je blijft telkens getallen verwisselen, totdat de rij in de goede volgorde staat:” [3, 1, 4, 2] → [1, 3, 4, 2] → [1, 2, 4, 3] → [1, 2, 3, 4]
Opgave 2.4 Schrijf de stappen die je bij opgave 1.3 hebt gedaan op deze nieuwe manier op.
Als je het niet snapt, vraag dan een begeleider om extra uitleg!
6
De lessen van juf Strent
Opgave 2.5 Hier zijn nog vier rijen, om mee te oefenen. Zet de elementen in de goede volgorde, door ze te verwisselen. [5, 4, 3, 2, 1]
[5, 1, 3, 2, 4]
[2, 6, 5, 4, 3, 1]
[1, 4, 7, 6, 5, 3, 2]
“Is iedereen klaar?”, vraagt de juf. “Dan mogen jullie nu naar huis voor de lunch.” Wanneer Sjel en Insur thuis zijn gekomen laten ze trots aan hun ouders zien wat ze hebben geleerd. Ze laten zien hoe je een rij opschrijft en die dan sorteert. Opgave 2.6 Verzin nu zelf een rij van zes elementen en zet deze vervolgens in de juiste volgorde, op de manier die je net geleerd hebt.
De lessen van juf Strent
2.2
7
Tweede les: doorstroomschema’s
De hebben kinderen lekker boterhammen met pindakaas gegeten en gaan nu weer naar school. “Goedemiddag kinderen! Als jullie in de grote pauze thuis geoefend hebben, dan hebben jullie vast gemerkt dat het sorteren nog best lastig is, zeker bij langere rijen”, zegt juf Strent. “Maar, wat je eigenlijk doet, is gewoon een simpele regel volgen: staat een element verkeerd, dan moet je het verwisselen met een ander element. Alleen is zo’n kort regeltje erg beperkt: waar begin je? Wanneer ben je klaar?” “Om dat beter uit te leggen, kun je het opschrijven in een schema. Zo wordt het veel duidelijker.” De juf tekent dit schema op het bord:
“Zo’n tekening heet een doorstroomschema. Door de pijlen te volgen kun je een rij sorteren. Ik zal het voordoen. We nemen de rij [4, 2, 5, 1, 3] en beginnen in het schema bovenaan in de ruit: staat de rij in de goede volgorde? Nee, dus we volgen de pijl naar beneden: zoek het eerste element dat verkeerd staat. Dat is gelijk het eerste element: de 4 staat niet op de goede plek. Volgende vakje: verwissel het met het element dat op zijn plek staat. Okee, we verwisselen de 4 met het 4e element.” [4, 1, 5, 2, 3] → [2, 1, 5, 4, 3]
8
De lessen van juf Strent
Opgave 2.7 Nu jij! Volg het doorstroomschema verder tot je bij ‘klaar’ bent en schrijf de stappen op: [4, 1, 5, 2, 3] → [2, 1, 5, 4, 3] → . . .
Opgave 2.8 Het werkt ook heel goed voor langere rijen. Er is alvast een begin gemaakt aan deze rij. Maak hem zelf verder af: [9, 4, 7, 8, 3, 6, 1, 5, 2] → [2, 4, 7, 8, 3, 6, 1, 5, 9] → . . .
“Zoals je merkt kun je op deze manier eenvoudiger grote rijen sorteren, als je maar goed het doorstroomschema volgt.” “Nu is er alleen een probleem. Als je een rij neemt waar niet alle getallen in voorkomen, dan werkt het schema niet! De rij [8, 4, 100, 2, 23, 9] is zo niet te sorteren: je kunt de 8 niet verwisselen met het achtste element, want de rij is maar zes elementen lang.” “Dit vraagt om een andere aanpak. Er is dan ook een nieuw doorstroomschema nodig. Je kunt de rij op volgorde zetten door telkens twee elementen te verwisselen die naast elkaar staan.” + Opgave 2.9 Wanneer moet je twee elementen verwisselen?
De lessen van juf Strent
9
“We gaan hier ook een doorstroomschema voor maken. De eerste stap is dat we naar de eerste twee elementen kijken, daarna stellen we een vraag. Een ruit in een doorstroomschema geeft aan dat het een vraag is.”
Opgave 2.10 Welke vraag moet er komen te staan?
“Als we de eerste twee elementen hebben bekeken, dan vragen we ons af of ze in de goede volgorde staan.” Opgave 2.11 A. Wat moet je doen als dat niet zo is? Schrijf het op in de rechthoek.
B. Waar moet je na de rechthoek naartoe in het schema? Zet een pijl om dat aan te geven. “Als de getallen wel goed staan, dan moet je natuurlijk iets anders doen. Je gaat dan namelijk kijken naar de volgende twee elementen.”
10
De lessen van juf Strent
Opgave 2.12 Je kunt niet altijd naar de volgende twee elementen kijken. Wanneer kan dat niet?
Opgave 2.13 Vul nu de rest van het schema in.
2.3
Derde les: verplaatsen
“Tot nu toe hebben we alleen nog gesorteerd door elementen te verwisselen, maar dat kan ook anders! Je kunt namelijk ook een getal verplaatsen. Ik laat jullie zien dat dat soms sneller is.”
De lessen van juf Strent En de juf schrijft dit op het bord. [4, 1, 2, 3] → [1, 4, 2, 3] → [1, 2, 4, 3] → [1, 2, 3, 4] “Dat zijn normaal dus drie stappen, maar als je een element verplaatst kan het in één stap!” [4, 1, 2, 3 ↓ ] → [1, 2, 3, 4] “Het pijltje geeft aan waar het nieuwe getal moet komen te staan.” Opgave 2.14 Sorteer deze rij door telkens een element te verplaatsen: [3, 1, 5, 2, 4] Het kan in slechts twee stappen!
11
12
De lessen van juf Strent
“Ook als je sorteert door elementen te verplaatsen kun je een doorstroomschema maken.” De juf zet op het bord:
“Dit lijkt erg op het vorige schema. Wie kan mij vertellen wat er verder nog in dit schema moet staan?” Opgave 2.15 Dan kun jij vast wel! Vul de rest van het schema in. Dit was voor de kinderen de laatste opgave van vandaag. Ze mogen naar huis.
Hoofdstuk 3
Het huisfeest Hiep, de moeder van Insur en Sjel, is vandaag jarig! Hiep, Hiep, Hoera! Ze wordt 40 jaar. Er is een groot feest thuis met veel visite.
3.1
Visite.
De visite is erg benieuwd wat de kinderen hebben geleerd op school. Opa Sel vraagt daarom aan Insur: “Weet jij al wat een element is?” Opgave 3.1 Natuurlijk weet je dat! Leg het uit in je eigen woorden.
Ook tante Bubbel wil graag meer weten en vraagt aan Sjel: “En als je een element wilt verplaatsen, hoe schrijf je dat dan op?” Opgave 3.2 Schrijf op, stap voor stap, hoe het eruitziet als je de rij [2, 8, 10, 6, 3] in de goede volgorde zet, door te verplaatsen.
13
14
3.2
Het huisfeest
Aan tafel!
Het avondeten gaat beginnen, dus de tafel moet worden gedekt. Sjel gaat daarbij helpen. Maar... wat is dat, nou? De borden in de kast staan helemaal niet netjes opgestapeld!
Die moeten natuurlijk in een stapel van klein naar groot worden gezet, alleen is in de kast niet genoeg ruimte om alle borden netjes te sorteren. En, als je de stapel in een keer op wilt tillen, valt ie om. Insur zal dus telkens het bovenste bord moeten pakken en die op tafel zetten. Dan kan ze op tafel een mooie stapel maken. Je kunt de stapel in de kast natuurlijk als een rij opschrijven. Opgave 3.3 Hoe noteer je de rij van de stapel borden zoals die nu in de kast staat?
Pappa Kwik ziet wat er aan de hand is, en geeft Insur een tip: “Als je de borden uit de kast haalt en op tafel zet, maak je eigenlijk een nieuwe rij! Je verplaatst telkens een element naar een nieuwe rij: die op tafel.” “Maar er staan nog geen borden op tafel, er is dus nog helemaal geen rij!” Zegt Insur. “Dat klopt!” Zegt Kwik, “Maar een lege rij, is stiekem ook een rij. Dat noemen we een lege rij. Heb je dat gehad op school?” “Nee, maar dat heb je toch ook niet nodig?”
Het huisfeest
15
“Jawel. Als ik aan jou vraag of je de borden die nu op tafel liggen opschrijft als een rij, wat doe je dan?” Vraagt pappa Kwik. “Ja, maar, de borden staan in de kast!” “Precies, op tafel staat een ‘lege rij’ van borden. Een lege rij schrijf je als een rij met daarin een nul met een schuine streep erdoor. Zo: [ ]” Opgave 3.4 Maak het sorteren van de borden op tafel verder af. Je verplaatst dan elementen (of borden) naar een nieuwe rij (op tafel). Het begin is voor je gedaan, maak het verder af. [6, 1, 5, 9, 7, 3, 4, 2, 8], [ ] → [6, 1, 5, 9, 7, 3, 4, 2, 8], [↓ ] → [1, 5, 9, 7, 3, 4, 2, 8], [↓ 6] →
+ Opgave 3.5 Het is soms handig om een nieuwe rij te beginnen, in plaats van de oude te sorteren. Wanneer zou dat zijn, denk je?
De borden staan netjes op de stapel, nu kunnen ze bij de stoelen worden geplaatst. Pappa heeft inmiddels het bestek al gedaan en iedereen kan aan tafel. Oma heeft het favoriete eten van Hiep gekookt: spaghetti met gehaktballen. Alle sliertjes heeft ze even lang, en de ballen even groot gemaakt. Spaghetti sorteren is namelijk niet zo’n goed idee!
3.3
En dan de afwas
Het gezin en het bezoek heeft lekker gegeten. Alleen moet er nog wel worden afgewassen. Dat doet pappa met de kinderen, want mamma is jarig en het bezoek hoeft natuurlijk ook niet af te wassen. Gelukkig hebben ze in hun huis een afwasmachine. Kwik werkt namelijk bij de fabriek die de
16
Het huisfeest
machines maakt. Zij hebben het allernieuwste model in huis, dat de borden automatisch voor je sorteert! Dat systeem heeft Kwik ontwikkeld: De machine heeft tien rekjes waar een bord in kan. Een arm in de machine pakt een bord op, wast het en zet het terug in een leeg rekje. De machine heeft een klein mechanisch oogje om te kijken hoe groot elk bord is.
“We hebben met negen mensen gegeten. Dat is mooi, want er zijn maar tien rekjes in de afwasmachine!” Zegt Kwik. + Opgave 3.6 Waarom is dat zo mooi?
Het huisfeest
17
Opgave 3.7 De borden zitten zo in de machine: [8, 4, 5, 7, 1, 3, 9, 6, 2, ×] Het kruisje geeft aan welk rekje leeg is. Schrijf op hoe je de borden in de goede volgorde zou zetten. Let op! Je kunt alleen borden verplaatsen naar het lege rekje!
De afwas is gedaan en de borden zijn in de kast gezet. Insur en Sjel komen nog even bij de visite zitten, maar ze zijn toch wel erg moe van deze spannende dag. Dus na een kwartiertje luisteren naar de visite gaan ze lekker naar bed.
Hints bij de opgaven Opgave 2.9 Bij een goed gesorteerde rij worden de getallen steeds groter. Opgave 3.5 Als je maar een paar keer hoeft te verwisselen of te verplaatsen is een nieuwe rij natuurlijk niet handig. Maar... Opgave 3.6 Wat gebeurt er als je tien borden in de machine zou doen?
18
