Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) §. HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) 1. Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az, hogy kiszámítsuk az f ( x ) függvény f ' ( x ) deriváltját, vagy a függvény df ( x ) = f ' ( x ) dx differenciálját.. Az integrálszámítás legfőbb feladata a fordított kérdés megoldása, azaz annak az F ( x ) függvénynek a megtalálása, amelynek a deriváltja az adott f ( x ) , azaz F ' ( x ) = f ( x ) vagy dF ( x ) = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx teljesüljön. Az integrálszámítást a geometria, mechanika, fizika és műszaki tárgyak tanulásánál gyakran alkalmazzuk. Definíció. Az F ( x ) , x ∈ ( a,b ) függvény f ( x ) primitív függvénye az ( a,b ) intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható, és ∀x ∈ ( a,b ) esetén F' ( x ) = f ( x ) vagy dF ( x ) = f ( x ) dx . Definíció. Egy adott f ( x ) függvényhez egy adott ( a,b ) , intervallumon hozzárendelt { F ( x ) + C} függvényhalmazt (a függvény primitívfüggvényeinek halmazát), ahol C egy konstans határozatlan integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . Az
∫
jelet integrálnak olvassuk, f ( x ) - az integrandus, x - az
integrálási változó, és a dx , az x differenciálja, jelzi, hogy melyik változó szerint keressük a primitív függvényt, a C- az integrálási konstans. Integrálási szabályok. ,
(∫
′ f ( x ) dx = f ( x ) d
)
( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx , 1
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált)
∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx , a - konstans, ∫ ( f1 ( x ) ± f2 ( x ) ) dx = ∫ f1 ( x ) dx ± ∫ f2 ( x ) dx . 1 f x dx = f ( x ) dAx , A - konstans,, ( ) ∫ ∫ A ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d ( x ± A) , A - konstans, ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇒ ∫ f ( u ( x ) ) du ( x ) = F ( u ( x ) ) + C ,
ahol u ( x ) egy differenciálható függvény
Általános szabályok d ∫ f ( u ) du = f ( u ) du ,
(
)
∫ dF ( u ) = F ( u ) + C ∫ af ( u ) du = a ∫ f ( u ) du , ∫ ( f1 ( u ) ± f2 ( u ) ) du = ∫ f1 ( u ) du ± ∫ f2 ( u ) du ,
ahol u egy differenciálható függvény
Alapintegrálok. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x n +1 + C,n ≠ −1 , x dx = n +1 n
e x dx = e x + C , ax a dx = + C,a ≠ 1, ln a x
dx = ln x + C , x
sin xdx = − cos x + C , cos xdx = sin x + C ,
2
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) (7) (8) (9) (10)
(11)
(12)
(13) (14) (15) (16) (17) (18)
∫ ∫ ∫ ∫
d π tgx C,x k = + ≠ 2 + 1 , ( ) 2 cos 2 x dx = −ctgx + C,x ≠ kπ , 2 sin x tgxdx = − ln cos x + C,x ≠ ( 2k + 1)
π 2
,
ctgxdx = ln sin x + C,x ≠ kπ ,
∫
⎧1 a+x ln + C, a ≠ 0 ⎪ dx ⎪ 2a a − x , =⎨ 2 2 a −x ⎪ 1 arctg x + C, x
∫
⎧1 x−a ln + C, а ≠ 0 ⎪ dx ⎪ 2a x + a , =⎨ 2 2 x −a ⎪ 1 arccotg x + C, x > a ⎪⎩ a a
∫ dx ∫ x ± a = ln x + x ± a + C, x > a , chxdx = shx + C , ∫ ∫ shxdx = chx + C , dx x = arcsin + C, x < a , ∫ a −x a x a x + a dx = x + a + ln x + x + a ∫ 2 2 dx 1 x = arctg + C, а ≠ 0 , a x2 + a2 a 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
+C,
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) (19)
∫
x 2 a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin + C . a 2 2 2
2
Maple utasítások > int(f,x); > Int(f,x); ahol f az integrandus, x - a változó Ellenőrzés J:=int(F,x) > diff(J,x);
.2. Integrálási módszerek Több integrálási módszert fogunk rendre megismerni. Elsősorban a (1)÷(19) képleteket használjuk, de gyakran szokás az egyszerű változócseréket is használni, amiknek az általános képlete a következő Az ∫ f ( x ).g' ( x ) dx integrált gyakran jelölik még ∫ f ( x ).dg ( x ) ., alakban is.
Ilyenkor az integrálban lévő g' ( x ) -et kell elsősorban megtalálni.
Példa. Számítsa ki a következő integrált J1 = ∫ x 4 + 12 x3 − 3 x + 5 dx .
(
)
Matematikai megoldás Az (1) képlet alapján: J1 = ∫ x 4 dx + 12 ∫ x3dx − 3∫ xdx + 5∫ dx =
3x 2 x5 x4 x2 x5 4 = + 12. − 3. + 5 + C = + 3x − +5+C. 5 4 2 5 2 Megoldás a Maple-ben >J[1]:=int(x^4+12*x^3-3*x+5,x); 4
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) x5 3x 2 4 J1 := + 3x − +5+C. 5 2 3x 2 x5 4 + 3x − +5+C. Az eredmény: J1 + C , i.e. 5 2 Előnyösebb, ha a következő jelölést alkalmazzuk: >J[1]:=Int(x^4+12*x^3-3*x+5,x)= int(x^4+12*x^3-3*x+5,x); x5 3x 2 4 3 4 J1 := ∫ x + 12 x − 3x + 5 dx = + 3x − + 5. 5 2 Ellenőrzés: >diff(J[1],x); x 4 + 12 x3 − 3x + 5 .
(
)
Példa. Számítsa ki a következő integrált J 2 = ∫ 4 sin3 x.cos xdx Matematikai megoldás Az (1) képlet és egyszerű változócsere alapján. 4 sin x ( ) J 2 = 4 ∫ sin3 x.( cos x ) dx = 4 ∫ sin3 xd sin x = 4. = 4 4 = sin x + C . Megoldás a Maple-ben >J[2]:=Int(4*sin(x)^3*cos(x),x)= int(4*sin(x)^3*cos(x),x);; J 2 := ∫ 4 sin3 x.cos xdx = sin ( x )
4
Példa. Számítsa ki a következő integrált dx . I1 = 2 1 − 8x
∫
Matematikai megoldás A (17) képlet és egyszerű változócsere alapján
5
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált)
I1 =
1 2 2
∫
dx 2 2
(
1 − 2 2x
)
2
=
(
)
2 arcsin 2 2 x + C 4
Megoldás Maple-ben. >I[1]:=Int(1/sqrt(1-8*x^2),x)= int(1/sqrt(1-8*x^2),x); dx 2 I1 := = arcsin 2 2 x 2 4 1 − 8x
∫
(
)
Példa. Számítsa ki a következő integrált
I2 =
∫
1 + cos 2 x dx . cos 2 x
Matematikai megoldás A (7) képlet és egyszerű változócsere alapján 1 ⎛ 1 ⎞ I2 = ⎜ + dx = dx + 1dx = tgx + x + C . 1 ⎟ cos 2 x ⎝ cos 2 x ⎠ Megoldás a Maple-ben >I[2]:=int((1+cos(x)^2)/(cos(x)^2),x); sin ( x ) I 2 := + x, cos ( x )
∫
∫
∫
Példa. Számítsa ki a következő integrált 2x sin 2 x + cos 2 x I3 = dx , sin 2 x
∫
Matematikai megoldás Az (1) és (8) képletek és egyszerű változócsere alapján ⎛ 2 x sin 2 x cos 2 x ⎞ 1 − sin 2 x + I3 = ⎜ dx = 2 xdx + dx = 2 2 ⎟ 2 sin x ⎠ sin x ⎝ sin x
∫
x2 =2 + 2
∫ ∫
∫
∫
1 dx − 1dx = x 2 − cotgx − x + C . 2 sin x
Megoldás a Maple-ben 6
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) >I[3]:=int((2*x*sin(x)^2+cos(x)^2)/ sin(x)^2,x); I 3 := x 2 − cot g ( x ) − x
Példa. Számítsa ki a következő integrált dx I4 = , 2 2 ( arcsin x ) 1 − x
∫
Matematikai megoldás Az (1) és (17) képletek és egyszerű változócsere alapján ⎞ I 4 = ( arcsin x ) ⎜ ⎟ dx = ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1− x ⎠ 1 −2 = ( arcsin x ) d arcsin x = − +C. arcsin x
∫
−2 ⎛
∫
1
Megoldás a Maple-ben >I[4]:=int(1/(arcsin(x)^2*sqrt(1-x^2)),x); I 4 := −
1 arcsin ( x )
Példa. Számítsa ki a következő integrált ln x I5 = dx , x
∫
Matematikai megoldás A (4) és (1) képletek és egyszerű változócsere alapján
I5 =
∫
( ln x )
1 2
⎛1⎞ ⎜ ⎟ dx = ⎝x⎠
∫ 7
( ln x )
1 2
d ln x =
( ln x ) 3 2
3 2
+C =
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) 2 ln x ln x +C. 3 Megoldás a Maple-ben >I[5]:=int(sqrt(ln(x))/x,x); 3 2 I 5 := ln ( x ) 2 3 =
Példa. Számítsa ki a következő integrált I 6 = ∫ e x .sin e x dx . Matematikai megoldás Az (5) és (1) képletek és egyszerű változócsere alapján
I6 =
∫
( )
sin e x e x dx =
∫
sin e x de x = − cos e x + C
Megoldás a Maple-ben >I[6]:=int(exp(x)*sin(exp(x)),x);
( )
I 6 := − cos e x
Példa. Számítsa ki a következő integrált x3 I7 = dx . 8 x −2
∫
Matematikai megoldás A (12) képlet és egyszerű változócsere alapján
( x ) dx = 1 3
I7 =
∫ x −2 8
4
∫ (x ) −( 1
4
x4 − 2 = +C. ln 8 2 x4 + 2 1
8
2
2
)
2
dx 4 =
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) Megoldás a Maple-ben >I[7]:=Int(x^3/(x^8-2),x)= int(x^3/(x^8-2),x); x3 ?? I 7 := ∫ 8 dx x −2
3. Gyakorló feladatok
Számítsa ki a következő integrált: (1) (2)
∫ (3
x
)
+ 33 x dx ,
∫ cos x , e ∫ e − e dx , sin xdx 2
2x
(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
−x
x
∫
2
1 ⎞ , ⎛ ⎜ x− ⎟ dx x ⎝ ⎠
( arccos x )3 − 1 dx ,
∫ ∫( ∫ ∫ ∫
1 − x2
5 x + 1) dx , 5
dx , 2x − 3 cos x 3
dx ,
sin x ln3 x dx , x
9
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
∫ ( x + 1) x , xdx ∫1+ x , dx ∫ 2 x (4 − x) , sin x cos x ∫ 1 + sin x dx , ∫ sin (3 − 2x ) dx , ∫ tgxdx , 1 + ln x ∫ x dx , x +x ∫ x + 1 dx , 1 + x ) dx , ( ∫ 2 x − arcsin x ∫ 1 − x dx , . ∫ . ∫ dx
4
2
3
(17) (18) (19)
(20) (21)
4
1 2 2
2
1 − x2 + 1 + x2
1− x 1 + ln x dx 2x
4
dx
4. Önellenőrző feladatok
10
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
xdx , 1 + x2 ecos
2x
sin 2 xdx ,
dx , x 2 − 4 x + 13 dx 2
−x − 2x + 8 dx
,
x.cos (1 + ln x ) 2
7
,
( x − 7 ) 2 dx ,
cos 3 xdx .
5. Önellenőrző kérdések
1. Adja meg a határozatlan integrál definícióját. 2. Adja meg az alapfüggvények primitív függvényeit. 3. Írja fel az ön által ismert integrálási szabályokat. 4. Magyarázza meg az int(f,x), Int(f,x), diff(f,x) Maple utasításokat, adjon példát a használatukra.
11
