HŐÁTADÁSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT ELEMZÉSE ÉS TERVEZÉSE POPULÁCIÓS MODELLEKKEL
Doktori (PhD) értekezés
Készítette: Süle Zoltán Témavezetők: Dr. Lakatos Béla Dr. Mihálykó Csaba
Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Informatikai Tudományok Doktori Iskola 2009
HŐÁTADÁSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT ELEMZÉSE ÉS TERVEZÉSE POPULÁCIÓS MODELLEKKEL Értekezés doktori (PhD) fokozat elnyerése érdekében Írta: Süle Zoltán Készült a Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskolája keretében Témavezető: Dr. Lakatos Béla Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) Témavezető: Dr. Mihálykó Csaba Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) A jelölt a doktori szigorlaton ……….. % -ot ért el. Veszprém,
……………………………. a Szigorlati Bizottság elnöke
Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: .................................................. (igen /nem) (aláírás) Bíráló neve: .................................................. (igen /nem) (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján …..........% - ot ért el. Veszprém,
…………………………. a Bíráló Bizottság elnöke
A doktori (PhD) oklevél minősítése…................................. ………………………… Az EDT elnöke 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék ............................................................................................................. 3 Tartalmi kivonat ............................................................................................................. 6 Abstract............................................................................................................................ 7 Zusammenfassung .......................................................................................................... 8 Köszönetnyilvánítás ........................................................................................................ 9 Jelölésjegyzék ................................................................................................................ 10 Bevezetés ........................................................................................................................ 13 1. Irodalmi áttekintés .................................................................................................... 16 1.1. Szemcsés rendszerek és alapvető tulajdonságaik ................................................ 16 1.2. Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs mérlegegyenletes megközelítés .................................................................................. 19 1.3. Populációs modellek: Markov folyamatok .......................................................... 23 1.3.1. Alapvetés ...................................................................................................... 23 1.3.2. Szemcsepopulációk kölcsönhatásai .............................................................. 26 1.3.3. Populációs mérlegegyenlet ........................................................................... 28 1.4. Célkitűzések ......................................................................................................... 31 2. Szemcse-szemcse és szemcse-fal hőátadási folyamatok modellezése populációs mérlegegyenlet alkalmazásával ................................................................................... 33 2.1. A vizsgált rendszer fizikai modellje .................................................................... 33 2.2. Matematikai modell ............................................................................................. 35 2.2.1. Alapösszefüggések a modell felírásához ...................................................... 41 2.3. A populációs mérlegegyenlet levezetése ............................................................. 45 2.3.1. Mérlegegyenlet a szemcsés fázisra ............................................................... 46 2.3.2. Mérlegegyenlet a fal populációs sűrűségfüggvényére .................................. 48 2.3.3. Mérlegegyenlet a gáz fázisra ........................................................................ 52 2.3.4. Mérlegegyenlet a külső folyadék fázisra ...................................................... 53 3
3. Momentumegyenlet-modell...................................................................................... 54 3.1. A momentummódszer .......................................................................................... 54 3.1.1. Momentumok és tulajdonságaik ................................................................... 55 3.2. A momentumegyenlet-modell bevezetése ........................................................... 56 3.2.1. A szemcse és gáz fázis közötti hőátadást jellemző momentum-kifejezés ............................................................................................... 57 3.2.2. A direkt szemcse-szemcse hőátadást jellemző momentum-kifejezés........... 57 3.2.3. A szemcse és fal fázis közötti hőátadást jellemző momentum-kifejezés ..... 58 4. Teljesen kevert rendszerek vizsgálata: szimulációs eredmények ......................... 66 4.1. Fluidizáció és alkalmazásai ................................................................................. 66 4.2. A fluidizált réteg hőátadási részfolyamatai és azok modellezése ........................ 68 4.3. Szimulációs eredmények ..................................................................................... 70 5. Térbeli hőmérséklet-eloszlás vizsgálata cellás modell segítségével ...................... 84 5.1. Az általános cellás modell ................................................................................... 84 5.1.1. A cellás modell mérlegegyenletei ................................................................. 85 5.1.2. Momentumegyenletek a cellás modell leírására ........................................... 88 5.1.3. A cellás modell eredményeinek bemutatása ................................................. 90 5.2. Turbulens fluidizáció leírása cellás modellel ....................................................... 94 5.3. Populációs mérlegegyenlet-modell fluidágyas hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak leírására ............................................................................................. 100 5.3.1. A hőcserélő rendszer matematikai modellje ............................................... 102 5.3.2. Momentumegyenletek és szimulációs eredmények .................................... 105 5.3.3. A kísérleti eredmények validálása .............................................................. 111 6. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell turbulens fluidizáció hőátadási folyamatainak vizsgálatára ....................................................................... 116 6.1. Bevezetés és alapösszefüggések ........................................................................ 117 6.2. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell ..................................... 119 7. Összefoglalás............................................................................................................ 128 8. Új tudományos eredmények .................................................................................. 131 4
9. New scientific results .............................................................................................. 134 Irodalomjegyzék.......................................................................................................... 137 Saját publikációk ........................................................................................................ 144 Az értekezés témájából született publikációk listája ................................................ 144 Az értekezés témájában elhangzott tudományos előadások listája ........................... 146
5
Tartalmi kivonat Hőátadási folyamatok számítógéppel segített elemzése és tervezése populációs modellekkel A disszertáció témája hőátadási folyamatok számítógéppel támogatott elemzése és modellezése. A Szerző az Euler- és Lagrange típusú megközelítésektől eltérőn egy teljesen más megközelítést tárgyal dolgozatában, egy populációs mérlegegyenlet modellt vezet be szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatára. E folyamatok vizsgálata napjainkban rendkívül aktuális és az energetikai folyamatok elemzése kiemelten fontos, hiszen a mai modern társadalom egyre több energiát használ fel, mindeközben a hagyományos energiahordozókból egyre kevesebb áll rendelkezésre. A munka középpontjában diszperz rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálata áll, melyben a szemcsék és a szemcsepopulációk sajátos tulajdonságait is figyelembe veszi a Szerző. Három modell-típus kerül bevezetésre a dolgozatban: elsőként egy teljesen kevertnek tekintett rendszert tekintünk, mely a szemcse-szemcse, gáz-szemcse, gáz-fal, fal-szemcse és a fal-környezet hőátadási folyamatokat írja le. A megadott modellt momentummódszer segítségével vizsgálja a Szerző, majd bemutatja a felírt modell tulajdonságait gáz-szemcse fluidizációs folyamatok esetén. Ezt követően a teljesen kevert rendszer modellje alapján az un. cellás/ populációs mérleg modell kerül ismertetésre, ahol a cellasorok alkalmas módon történő összekapcsolásával és a köztük levő kapcsolatok definiálásával a rendszer egyes komponenseinek térbeli hőmérséklet-eloszlását jellemezhetjük. Az így bevezetett modell intenzív szemcsemozgást tartalmazó folyamatok és hőcserélő rendszerek vizsgálatára alkalmas. A kidolgozott matematikai modell eredményeit fizikai kísérletekből származó adatokkal vetette egybe a Szerző és rámutatott a kiemelten jó egyezésre és így a modell helyességére. Végül a dolgozat egy axiális diszperziós/populációs modellt mutat be, melyben a műveleti egységek térbeli hőmérséklet-eloszlásait folytonos térbeli koordinátával írja le a Szerző, melynek segítségével elemezhetők a turbulens fluidizációban megfigyelhető hőátadási folyamatok. Az értekezés eredményei alkalmazhatók szilárd szemcse-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak modellezésére, elemzésére és tervezésére. A bevezetett cellás valamint axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell segítségével vizsgálhatók a szemcse-fluidum rendszerek hőmérsékletprofiljai, valamint a szemcsés fázis hőmérséklet-eloszlása is leírható segítségükkel. A megközelítés alkalmazható például turbulens fluidizáció valamint hőcserélő rendszerek tervezésekor és jellemzésekor. A kidolgozott modelleknek kiemelt szerepe lehet energetikai folyamatok vizsgálata során, hiszen az egyre jobb hatásfokú energiaátalakításoknak és energia-transzportnak, valamint a különféle ipari folyamatok melléktermékeként keletkező energiának minél hatékonyabb felhasználása elsődleges szereppel bírhat.
6
Abstract Computer aided analysis and design of heat transfer processes with the use of population models
The subject of the dissertation is computer aided analysis, design and modeling of heat transfer processes. The Author, contrary to the approaches of Euler and Lagrange, discusses an entirely different approach in his thesis; he introduces a population balance equation model for the analysis of the heat transfer processes of particle-fluid systems. The examination of these processes is extremely cutting-edge, nevertheless the analysis of the energetic processes is exceptionally important, since the modern society's energy consumption is increasing, while the availability of the conventional energy resources is decreasing. The analysis of the heat transfer processes of disperse systems serves as the core of the work, in which the Author takes into consideration the specific properties of the particles and particle populations, as well. Three model types will be introduced in the thesis: First, the Author analyzes a perfectly mixed system, which describes the particle-particle, gas-particle, gas-wall, wall-particle and wall-environment heat transfer processes. He analyzes the specified model with the help of the momentum method, and then he demonstrates the features of the specified model in the case of gas-particle fluidization processes. Subsequently, on the basis of the perfectly mixed system model, the Author introduces the cells-in-series/population balance model, which means the division of the analyzed system's volume into mixed cells. With the adequate linking of the cells and the definition of the connection between them, we can describe the spatial heat distribution of certain components of the system. The model constructed this way is able to analyze processes and heat exchanger systems containing intensive particle interactions. The Author compared the results of the mathematical model with data resulting from physical experiments, and pointed out the prominent accordance and the adequacy of the model. Finally, the dissertation introduces and analyzes the axial dispersion/population model in which the Author describes the spatial heat distribution of the operational units with continuous spatial coordinates, and with the help of which it is possible to analyze the heat transfer processes in turbulent fluidization. The Author’s results can be applied for modeling, analyzing and designing the heat transfer processes of solid particle-fluid systems. Modeling with the population balance equation allows us to analyze the particle-particle, particle-wall, particle-gas in addition to the gas-wall and wall-environment heat transfer processes, while avoiding the expensive physical experiments. The developed models may have prominent roles in the analysis of energetic processes, since the more efficient energy transformation and energy transport in addition to the more efficient utilization of the energy arising as the by-product of different industrial processes may have primary importance.
7
Zusammenfassung Analyse mit Computern der Wärmeübergabeprozesse und deren Planung mit Populationsmodelle Das Thema der Dissertation ist die Analyse mit Computern der Wärmeübergabe bzw. deren Planung und Modellisierung. Der Autor berichtet gegen Euler und Lagrange über eine ganz andere Methode in seinem Aufsatz. Er leitet eine popularisierte Bilanzausgleichung für die Analyse der Wärmeübergabeprozesse der festen Fluidumsysteme ein. Die Analyse solcher Prozesse ist heutzutage ziemlich aktuell, da die heutige moderne Gesellschaft immer mehr Energie verwendet, während die traditionellen Energiequellen immer weniger zur Verfügung stehen. Drei Modelltypen werden in der Arbeit eingeleitet. Zuerst behandelt die Arbeit ein gemischtes System der Wärmeübergabe, das die Wärmeübergabeprozesse von Partikel zu Partikel, von Gas zu Partikel, von Gas zu Wand, von Wand zu Partikel, von Wand zu Umwelt beschreibt. Diese Methode wird mit Momentummethode untersucht, und stellt dann die Eigenschaften des geschriebenen Modells in der von Gas zu Partikel Fluidisation dar. Danach wird aufgrund des Modells des vollständigen gemischten Systems das so genannte Zellen-Populations Bilanzmodell dargestellt, in dem die räumliche Wärmeverteilung der einzelnen Komponente des Systems mithilfe der Zusammenbindung der Zellenreihen und mit der Definierung ihrer Kontakte charakterisiert werden kann. Endlich stellt die Arbeit ein axiales-dispersiales Populationsmodell dar, in dem die räumlichen Wärmeverteilungen der einzelnen Systemkomponente mit ständigen Raumkoordinaten geschrieben werden. Damit kann die Wärmeübergabe in turbulenter Fluidisation analysiert werden. Diese ausgearbeiteten Modelle können eine große Rolle in der Untersuchung der energetischen Prozesse spielen, da die je effizienter Verwendung der Energieumformungen mit immer besserem Wirkungsgrad und des Energietransports, bzw. der Energie, die als Nebenprodukt während der verschiedenen industriellen Prozesse entsteht, eine primäre Bedeutung haben kann.
8
Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni témavezetőimnek Dr. Lakatos Bélának a Pannon Egyetem Folyamatmérnöki Intézeti Tanszék egyetemi docensének, és Dr. Mihálykó Csabának a Pannon Egyetem Matematikai és Számítástechnikai Tanszék egyetemi docensének kutatómunkám során nyújtott folyamatos útmutatásaikat. Köszönettel tartozom a Számítástudomány Alkalmazása Tanszék és a Matematikai és Számítástechnikai Tanszék munkatársainak a kutatásom során nyújtott segítségért, mindig fordulhattam hozzájuk bármilyen kérdésem, kérésem volt. Külön köszönöm Dr. Mihálykóné Dr. Orbán Éva tanárnő szakmai és emberi támogatását, mellyel nem csak a dolgozat készítését, hanem tudományos fejlődésemet is nyomon kísérte az évek során, valamint köszönöm Dr. Friedler Ferenc professzor úr támogatását is, mellyel hozzájárult értekezésem elkészítéséhez és benyújtásához. Mindezek felett szeretném megköszönni családomnak azt a céltudatos, elszánt és kitartó ösztönzést és támogatást, melyet tanulmányaim során számomra biztosítottak. Veszprém, 2009. június 29.
9
Jelölésjegyzék a Ar b B c d D Dl e f F g G h I K Kpg k m Mk mk N n N Nug Nul
o Ο
pj pk P Prg Prl Q q r R Reg Rel Rep s S
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
egységnyi térfogatra eső felület/érintkezési felület, m2 Archimedes szám, (Ar=gg dp3(p-g)/g2) konverziós sűrűségfüggvény konverziós eloszlásfüggvény hőkapacitás, J kg-1 K-1 Euklideszi távolság axiális diszperziós együttható/fluidágy átmérője, m hűtőköpeny átmérője, m exponenciális függvény sűrűségfüggvény eloszlásfüggvény nehézségi gyorsulás, m s-2 a szemcsék hőmérsékletének növekedési sebessége, K s-1 entalpia/hőátadási együttható, W m-2 K-1 időpontok halmaza cellaszám együttható, s-1 (Kpg=hpgapg/(mpcp)) hővezetőképesség, W m-1 K-1 tömeg, kg a szemcsés fázis hőmérsékletének k-adik momentuma szemcsés fázis hőmérsékletének normált k-adik momentuma szemcseszám, db populációs sűrűségfüggvény, db m-3 K-1 populációs eloszlásfüggvény, db m-3 Nusselt szám (gáz) (=hgwD/kg) Nusselt szám (folyadék) (=hlwD/kl) nagyságrend, kis ordó nagyságrend, nagy ordó súlyparaméter (=mkck/(mjcj+mkck)) súlyparaméter (=mjcj/(mjcj+mkck)) valószínűség/átmenetmérték Prandtl szám (gáz) (=gcg/kg) Prandtl szám (folyadék) (=lcl/kl) hőmennyiség, J térfogati áramlási sebesség, m3 s-1 forrásfüggvény visszakeveredési arányszám Reynolds szám (gáz) (=gugD/g) Reynolds szám (folyadék) (=lul(Dl-D)/l) Reynolds szám (szemcse) (=gugdp/g) időparaméter aktivációs függvény/ütközési gyakoriság 10
Si T t u umf ut U v V Vl V x y z y z Zi 1 .,.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – –
segédváltozó hőmérséklet, K idő, s segédfüggvény/térfogati áramlási sebesség, m s-1 fluidizálás minimális sebessége, m s-1 fluidizálás maximális sebessége, m s-1 intervallum vonalmenti sebesség a rendszer térfogata, m3 a folyadékfázis térfogata, m3 intervallum térbeli változók vektora (tulajdonság)vektor (tulajdonság)vektor (tulajdonság)változó (tulajdonság)változó segédváltozó Heaviside függvény skalár-szorzat
Görög szimbólumok
τ
2
Ω
– – – – – – – – – – – – – – – – –
kontaktidő, s véletlen paraméterek vektora béta-függvény sűrűség, kg m-3 Dirac delta függvény paraméter a hőátadás véletlen paramétere függvény viszkozitás, Pa s a gáz térfogati hányada tulajdonságvektor/axiális irányú változó időváltozó súly paraméter (0≤≤1) szemcsehőmérséklet szórásnégyzete paraméter, véletlen paraméter halmaz eloszlásfüggvény
Alsó- és felsőindexek
e g in
– – – –
véletlen paraméter környezet gáz input
11
l – max – mf – min – p – pg – pp – pw – t – w – wg – wl –
folyadék maximális érték fluidizálás minimális sebessége minimális érték szemcse szemcse-gáz szemcse-szemcse szemcse-fal idő fal fal-gáz fal-folyadék
12
Bevezetés Napjainkban az energetikai folyamatok vizsgálata egyre fontosabb szerepet játszik, ugyanis a modern társadalmi gyakorlat egyre több energiát igényel és használ fel, miközben a hagyományos energiahordozókból egyre kevesebb van. Ezért különös jelentősége van az újabb energiafajták kutatásának, az egyre jobb hatásfokú energiaátalakításnak és transzportnak, valamint a különböző termelési folyamatokban melléktermékként keletkező energiák hasznosításának, melyek egyrészt növelik a rendszerek energetikai hatékonyságát, másrészt hozzájárulnak a környezetvédelemhez. Az energiahasznosítás és újrahasznosítás egy fontos része a folyamat-iparban keletkező hőenergia kinyerése, megfelelő célokra történő átalakítása és felhasználása, melynek alapvető eszközei a hőcserélők, melyekből a fluidum-fluidum típusúak széles körben vizsgáltak, megfelelő szoftveres háttér segíti azok tervezhetőségét. Lényegesen kevesebb figyelmet kap azonban a szilárd szemcse-fluidum hőcserélők vizsgálata, melynek oka az, hogy a diszperz rendszerek modellezése és számítása összetettebb eljárásokat igényel,
mivel figyelembe kell venni a szemcsék, valamint a
szemcsepopulációk sajátos tulajdonságait is, amelyek fontos, alapvető befolyással vannak a termikus folyamatokra is. Erre alkalmas – többek között – a populációs modellekkel történő modellezés és számítás, mely értekezésem központi témája. Szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése során az egyik lehetséges megközelítési mód a populációs mérlegegyenlettel való modellezés. Ez a szemcsék hőmérséklet szerinti populációs sűrűségfüggvényére, a gáz, a hűtőfolyadék és a tekintett szilárd-fluidum rendszer falának hőmérsékletére felírt közönséges/parciális (integro-) differenciálegyenletek formájában adható meg. A folyamatok lejátszódásának különböző körülményeit figyelembe véve ezek az egyenletek formáikat tekintve különbözőek lesznek (sok esetben nemlineárisak). Célkitűzésem ezen különböző folyamatok modelljeinek megalkotása és azok vizsgálata, mely a jelenleg használatos modellezési technikákkal szemben sztochasztikus építőelemekkel képes leírni a szilárdfluidum rendszerek hőátadási folyamatait. A napjainkban alkalmazott modellezési módszerek vagy kontinuumként kezelik a szemcse-szemcse és szemcse-fal hőátadási 13
folyamatokat (ilyenek pl. az Euler-modellek) vagy olyan összetett modellrendszert adnak meg, melyek számítási és művelet igénye igen nagy (Lagrange-modellek), bizonyos kritikus rendszerekben megnehezítve azok alkalmazhatóságát. Munkámban az Euler- és Lagrange típusú megközelítésektől eltérőn, egy teljesen más megközelítést alkalmazok a folyamatok vizsgálatára. Ehhez egy olyan sztochasztikus modellt veszek alapul, mellyel modellezhetők a szemcse-szemcse és szemcse-fal
közötti
hőátadások
is,
elkülönítve
az
egyes
részfolyamatokat.
Kutatómunkámban ezen modell alapján kidolgoztam egy populációs mérlegegyenletrendszert, mellyel a direkt szemcse-szemcse hőátadáson túl a gáz-szemcse, szemcse-fal, gáz-fal és fal-környezet hőátadások is vizsgálhatóak. Értekezésem célja a különböző hőátadási folyamatokat leíró modellek létrehozása és vizsgálata, mely modellek matematikai programcsomagokkal történő megoldása hasznos információt nyújt, megkönnyítve például szilárd-fluidum rendszerek és hőcserélők hőátadási jellemzőinek feltérképezését. Dolgozatom első fejezetében röviden áttekintem a szemcsés rendszerek alapvető tulajdonságait, azok modellezésének eszköztárát, valamint a populációs modellek és a Markov folyamatok kapcsolatáról is szólok. Értekezésem következő részében az alkalmazott populációs mérlegegyenlet alapú megközelítést ismertetem és megadom a szilárd-fluidum rendszerek folyamatait leíró matematikai egyenleteket és az azokhoz szükséges egyéb összefüggéseket. Munkám harmadik része a kidolgozott modell momentumegyenleteinek vizsgálatát tartalmazza, melyben bemutatom ezen egyenletek részletes levezetését, és magyarázatot adok azok főbb jellemzőire. Az értekezés következő része a felépített matematikai modell számítógépes vizsgálatát ismerteti, ahol a fluidizációs eljárást alapul véve mutatom be a modellből származó eredményeimet. A dolgozat ötödik fejezetében a második és harmadik fejezetben bemutatott teljesen kevert rendszermodell általánosítását tűztem ki célul. Itt vezetem be az un. cellás modellt, melyet két konkrét esetben alkalmazok hőátadási folyamatok leírására: tárgyalom a turbulens fluidiziáció és a fluidágyas hőcserélő rendszerek populációs mérlegegyenlet-modelljeit, melyet a momentumegyenletmódszer segítségével vizsgálok, valamint bemutatom a vizsgált modell tulajdonságait. Ez utóbbi hőcserélő rendszert validálom, irodalomból származó fizikai kísérletek eredményeit felhasználva. A dolgozat hatodik részében populációs mérlegegyenleten alapuló axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modellt ismertetek turbulens
14
fluidizáció leírására, mely a cellás modellekhez hasonlóan képes a hőátadási folyamatok térbeli jellemzésére. Végül dolgozatomat összefoglalással, a megfogalmazott új tudományos eredményeim ismertetésével és irodalomjegyzékkel zárom.
15
1. Irodalmi áttekintés 1.1. Szemcsés rendszerek és alapvető tulajdonságaik A szilárd-fluidum rendszerek egy fontos osztályát a szemcsés rendszerek alkotják, melyek a szilárd szemcsék tulajdonságai okán felépítésükben és viselkedésükben is nagyon változatosak. A szilárd szemcsék lehetnek porózus vagy nemporózus szerkezetűek, a tekintett folyamat során változhat a méretük vagy éppen e tulajdonságuk változatlan is maradhat. Részt vehetnek katalitikus vagy nem katalitikus reakciókban, de éppúgy vizsgálhatók a különféle tulajdonságaik az oldás vagy kristályosítás, illetve az adszorpció vagy szárítás folyamatában. A szemcsés rendszerek mérettartományaikat megvizsgálva általában elmondható, hogy több nagyságrendet ölelnek fel, így például mikroheterogén rendszerekben a 10-7[m] - 10-2[m] értékekkel számolhatunk. E tulajdonság előrevetíti modellezésük egyik nehézségét is, nevezetesen azt, hogy a fent említett példában nyolc nagyságrendet kell alkalmas módon kezelnünk, melyet sok esetben nem könnyű áthidalni a numerikus számítások pontosságát szem előtt tartva. A szemcserendszerek jellemző tulajdonságaiként Blickle és szerzőtársai (2001) az alábbi szempontokat emelték ki:
mérettartomány;
szemcsealak;
porozitás;
diszperz elemek eloszlásmódja;
méretváltozás sebessége; valamint
a kölcsönhatások jellege közötti különbségek.
E tulajdonságokat az alábbi 1.1. ábra szemléletesen mutatja. A szemcsés rendszereket műveleti céljuk alapján vizsgálva három alapvető funkcionalitást
emelhetünk
ki.
Ezek
a
szemcsék
előállítása,
szemcsék
16
alakítása/formázása, valamint a szemcsés halmazok mozgatása. Tekintsük elsőként az 1.1. táblázatot, mely gáz-szemcsés rendszerekben mutatja az alapvető műveleteket.
Szemcseméret
Szemcsealak
A kölcsönhatás jellege
A méretváltozás sebessége
Porozitás
A folytonos fázisban való eloszlásmód
1.1. ábra: A szemcsés rendszerek jellemző tulajdonságai 1.1. táblázat: Gáz-szemcse rendszerek műveleti célok szerinti osztályozása (Blickle és szerzőtársai, 2001) Művelet
Relatív gáz/szemcse sebesség
Szemcsehalmazok tárolása
Zérus
Tárolók ürítése, mechanikus szállítás, szitálás, darabolás, szárítás tányéros szárítóban
Nagyon kicsi
Szárítás rotációs szárítóban, égetés forgó kemencében, mozgó ágyas érintkeztetés, keverés, őrlés golyósmalomban
Kicsi
Fluidizáció, sűrű-fázisú pneumatikus szállítás, porlasztva szárítás Híg-fázisú pneumatikus szállítás, őrlés sugármalomban, gyors fluidizáció, gáz/szemcse elválasztás gázciklonban
Közepes
Nagy
17
Általában elmondható, hogy a különféle szemcsés rendszerek modellezésének nehézségeit az abban megfigyelhető fizikai-kémiai folyamatok eredményezik. Ezek három részfolyamatot egyesítenek: a folytonos fázison belüli folyamatokat; a diszkrét fázison belüli folyamatokat és a két fázis határán végbemenő folyamatokat. A folytonos fázis vizsgálatakor a gáz/folyadék rendszerek ismert fizikai-kémiai folyamatait kell azonosítanunk. Hasonlóan a korábbi felosztáshoz, itt is megadhatjuk a műveleti célok szerinti besorolást folyadék/szemcse rendszerek esetén (1.2. táblázat). 1.2. táblázat: Folyadék/szemcse rendszerek műveleti célok szerinti osztályozása (Blickle et al., 2001) Művelet
Relatív sebesség
Granulálás, paszták és festékek keverése
Nagyon kicsi
Folyadék/szemcse elválasztás folyadékciklonban, fajtázás, flokkulálás, szűrés, zagyszivattyúzás
Kicsi
Oldás, kristályosítás, centrifugálás, hidraulikus szállítás, ülepítés
Közepes
Derítés
Nagy
Fontos hangsúlyoznunk, hogy a szemcsés fázison belül a szemcsék közötti és a szemcséken belüli folyamatok az elsődlegesek. Szemcsés fázison belüli folyamatként tekinthetjük az összetétel-, a hőmérséklet- vagy például a méretváltozást. E folyamatok nagymértékben bonyolítják a tekintett rendszer modellezését. Munkámban – mint a későbbi fejezetekben látni fogjuk – a szemcséken belüli folyamatokat mindig „elég gyorsnak” feltételezem majd; így például a szemcsék hőmérsékletét homogénnek tekintem a modellezés során. A szemcsék közötti kölcsönhatások lényegében ütközések során valósulnak meg, mely egyidejűleg
eredményezheti
a
részt
vevő
szemcsék
mozgásának
változását,
méretváltozást, vagy éppenséggel anyag- és/vagy hőátadást.
18
Végül szólnunk kell a folytonos és a diszkrét fázisok közötti folyamatokról is, melyek a szemcsék mozgását, valamint a folytonos fázisban való eloszlásmódját határozzák meg. Lényeges ilyen esetekben a hő és anyagátadási folyamatok számbavétele is. A fenti rövid bevezetés rámutat arra, hogy szemcsés rendszerek modellezésekor mely elemi folyamatokat kell figyelembe vennünk ahhoz, hogy a matematikai modell alappilléreit megadjuk, majd azokból, mint építőelemekből felépíthető legyen a teljes modell. Blickle és szerzőtársai (2001) valamint Lakatos és szerzőtársai (2006) egy ilyen modell felépítését végezték el, mely általánosan megadott megközelítés képezi munkám alapját, hiszen azt felhasználva és kibővítve jutottam fontos új eredményekre.
1.2. Termikus folyamatok modellezése: Euler, Lagrange modellek és populációs mérlegegyenletes megközelítés Számos modellezési megközelítést találunk az irodalomban szilárd-szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak leírására. A legfontosabbakat és tulajdonságaikat foglalom össze röviden a következőkben. A modellezési eljárásokat az alábbi három fő csoportba oszthatjuk:
Euler-féle megközelítés;
Lagrange-féle megközelítés; valamint
Populációs mérlegegyenletes megközelítés.
Tekintsük elsőként ezen csoportokat általános értelemben. Az Euler-féle modellek kulcsfogalma a folytonosság (Gidaspow, 1994; Schmidt és Renz, 1999). Minden fázisra, illetve részecskére kontinuumként tekintenek, s ezekben a modellekben a különböző megmaradási egyenletekből (tömeg, energia, momentum, …) származnak a modell lokális paraméterei és változói. A módszer súlyos hátránya egyrészt az, hogy a változók értékei gyakran módosulnak, másrészt negatívumként értékelhető a modellezés során alkalmazott egyszerűsítés is, miszerint a részecskéket folytonos változásúnak tekintik, mely komoly mértékű modellezési hibához vezethet. Előnyként említhető viszont, hogy a kapott egyenletek megoldására szolgáló numerikus módszerek irodalma gazdag és jól kidolgozott.
19
A modellezés egy másik iránya a Lagrange típusú modelleket használja (Berlemont et al., 1990; Kaneko et al., 1999). Ezek fő jellemzője az, hogy az összes szemcse pillanatnyi állapotáról ad információt. A Lagrange modellek alkalmazásakor a rendszer minden szilárd komponensére megoldjuk a newtoni mozgásegyenletet, figyelembe véve a részecskeütközést és a gáz részecskékre gyakorolt hatását. Összevetve a Lagrange modelleket az Euler-modellekkel, elmondható, hogy több időt, több számolást igényelnek, de általuk mélyebb betekintést nyerhetünk a szilárd-fluidum rendszerben végbemenő hőátadási folyamatokba. A Lagrange eljárások egyik nagy hátránya azonban a nagy számolási és nagy műveleti igényben keresendő. Több órát, néha napokat vesz igénybe egy-egy szimulációs kísérlet elvégzése, mely az alkalmazhatóságot nagyban csökkenti. A különféle technológiai folyamatok nagy részében mind a szemcsék, mind a szemcse-populációk tulajdonságai az időben változnak. Az ilyen rendszerek populációs modellekkel való leírásának alapelemeit Hulburt és Katz 1964-ben megjelent cikkükben adták meg, akik az un. statisztikus mechanika eszköztárát felhasználva kidolgozták diszperz rendszerek populációs modelljeinek az alapjait. Az így bevezetett megközelítés számos alkalmazási területen vált kulcsfontosságúvá, így például különféle matematikai modellek alapjául szolgál a kristályosítás (Randolph és Larson, 1988), a keverés (Naumann és Buffham, 1983), a granulálás (Sastry és Fuerstenau, 1970), az őrlés (Mihálykó és Blickle, 1996), az oldás (Leblanc és Fogler, 1987) valamint a fluidumszilárd szemcsék reakcióinak (Lakatos és Blickle, 1990) leírásánál. A populációs modellek általános értelemben vett leírásáról Ramkrishna (1985) valamint Ramkrishna és Borwanker (1973) publikációiban részletesen olvashatunk, ahol a szerzők egyúttal rámutatnak
a
populációs
mérlegegyenletek
és
a
különféle
sztochasztikus
pontfolyamatok momentumegyenlet-sorozatai közötti ekvivalenciára. A populációs mérlegegyenlet felírására az irodalomban több módot találunk, így például Nigmatulin (1979)
térbeli
átlagolás
révén,
Fan
és
munkatársai
(1991)
Markov-láncok
felhasználásával, míg Lakatos és szerzőtársai (2008) a tömegmérleg térfogati átlagolásával határozták azt meg. Szemcsés rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezésekor élünk azzal a feltételezéssel, hogy a tekintett szilárd-fluidum rendszerben a szemcséket sok, ismétlődő, véletlennek tekinthető hatás éri. Bizonyos folyamatokban elegendő csupán a szilárd szemcsék és a fluidum közötti kölcsönhatásokat figyelembe vennünk, a szemcse-szemcse kapcsolat során fellépő folyamatok
mellőzhetők.
Az
ilyen
rendszereket
pszeudofüggetlen 20
szemcsepopulációknak nevezi a szakirodalom. Más folyamatok vizsgálata esetén gyakran előfordul, hogy a direkt szemcse-szemcse kölcsönhatások is meghatározó jelentőségűek, hiszen e kölcsönhatások adják meg a folyamat alapvető jellegét, vagy más esetekben ugyan csak járulékos szerepet töltenek be, de ezen kölcsönhatások olyan gyakoriak, hogy elhanyagolásuk komoly modellezési hibához vezetne. Értekezésemben, mint később látni fogjuk, ezen folyamatokat vizsgálom majd részletesebben, hiszen az ilyen típusú folyamatok rendkívül fontos szerepet játszanak a folyamatmérnöki és műszaki tudományterületeken, azonban matematikai szempontú vizsgálataik ez idáig háttérbe
szorultak.
A
következőkben
néhány
olyan
publikációt/matematikai
megközelítést emelek ki az irodalomból, melyek a direkt szemcse-szemcse hőátadás leírását is célul tűzték ki. Li és Mason (2002) a szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat a DEM (Distinct Element Method) eljárás segítségével vizsgálta részletesen, szimulálva a nem-izoterm reakciókat. Lathouwers és Bellan (2001) nagy sűrűségű reagens elegyek dinamikai tulajdonságait elemezték kísérleteik során un. „multi-fluidum” megközelítési metodikát alkalmazva, mely műveletkor figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse hőátadási folyamatokat is. Mansoori és munkatársai (2002) munkájukban függőleges irányú turbulens gáz-szemcsés rendszereket vizsgáltak Euler-Lagrange modellek segítségével, melyben szintén figyelembe vették a direkt szemcse-szemcse ütközéseket és így az ekkor végbemenő hőátadási folyamatokat is. A folytonos folyamatokat az Euler modellekre jellemző módon tekintették, míg a szemcsés fázis jellemzőit Lagrange metodikával írták le. Burgschwieger és Tsotas (2002) un. generáció alapú eloszlás modellt (age distribution model) vezettek be a szemcse-szemcse hőátadási folyamatok modellezésére és leírására szárítási folyamatok vizsgálatakor. Zhou és munkatársai 2004-es munkájukban kőszén égetésének modelljét vizsgálták fluidágyakban un. DEMLES (discrete element method-large eddy simulation) metodika alkalmazásával. Matematikai modelljük felépítésekor vizsgálták a szemcse-szemcse hőátadást, mert mint munkájukban írják, komoly modellezési hiba lépne fel, ha mellőznék az ütközésekből származó hőátadási folyamatok hatásait. Mihálykó és szerzőtársai (2004a) a direkt szemcse-szemcse ütközéseket, valamint azok hatásait sztochasztikus modellel írták le. Az általuk bevezetett populációs mérlegegyenlet-modell véletlen paraméterek alkalmazásával definiálja a szemcsék közötti hőátadási folyamatokat. Mansoori és kollégái felismerve elsőként a szemcsék közötti direkt folyamatok jelentőségét 2005ben megjelent cikkükben már arról szólnak, hogy a szemcse és fal közötti 21
reakciófolyamatok is elsődleges fontosságúak szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Ezt a megállapításukat alátámasztandó, eredményeket és Euler-Lagrange típusú modellt adnak meg munkájukban, mellyel szilárd-szemcsés rendszerek turbulens fluidizációját elemzik. Ugyancsak a turbulens fluidizáció vizsgálata
állt
Chagras
és
munkatársai
2005-ben
megjelent
dolgozatának
középpontjában. Írásukban megadnak egy olyan Euler-Lagrange megközelítést, mellyel modellezhető egyrészt a direkt szemcse-szemcse hőátadás, másrészt a szemcsék és a fal ütközése
során
fellépő
hővezetési
folyamat
is
leírható.
Mindezt
egy
valószínűségelméleti modellből kiindulva adják meg. Az irodalomban megjelent hőátadási folyamatokat elemző és vizsgáló publikációk nagyobb hányada a szemcse-fal ütközési gyakoriságokat determinisztikus modellek segítségével írják le és sok esetben a Sun és Chen (1988) valamint Molerus (1997) publikációiban megadott analitikus összefüggéseket alkalmazzák. Kísérleti eredmények azonban azt igazolják, hogy a szemcse-fal hőátadások pontos leírásához ezen determinisztikus modellek és összefüggések nem elegendőek. Ezt a megállapítást támasztják alá Sommerfeld 2001 és 2002-ben megjelent munkái, ahol bizonyítást nyert fizikai kísérletei és szimulációi során, hogy a direkt szemcse-fal hőátadási folyamatnak meghatározó szerepe van a szemcse-fal ütközésekkor; alapvető véletlen paraméterek ilyen esetben a kontaktus ideje, vagy hasonlóan az érintkezési felület is elsődleges más egyéb paraméterek mellett. Mindezt kétfázisú turbulens fluidizációs készülékkel végzett eredményei alapján állapította meg. Hasonló eredményeket közöl Hamidipour 2005-ös cikkeiben is, aki radioaktív szemcsekövetést alkalmazva kísérletei során fluidágyban vizsgálta a szemcsék és a fal ütközésének jellemzőit és megállapította annak véletlenszerű voltát. Mihálykó és szerzőtársai (2004a) valamint Lakatos et al. (2006) munkái alapján egy olyan sztochasztikus modellezési megközelítés alkalmazására nyílik mód, melyben populációs mérlegegyenletek felhasználásával a direkt szemcse-szemcse ütközéseken és hőátadási folyamatokon túl, a szemcse és fal ütközési jellemzők és hőátadások is leírhatóvá válnak. Értekezésem egyik célkitűzése, a korábban Mihálykó et al. (2004a) és Lakatos et al. (2006) által közölt megközelítés továbbgondolása és kiegészítése olyan matematikai elemekkel, melyek tartalmazzák egyrészt a szemcsék-fluidum, a szemcseszemcse közötti hőátadások mellett a szemcse-fal ütközések során megjelenő hőátadási folyamatokat és módot adnak azok modellezésére.
22
Szilárd-fluidum rendszerek populációs mérlegegyenlettel történő modellezését az utóbbi években több publikációmban ismertettem (Süle et al., 2004, 2005, 2006, Lakatos et al. 2008). Felépítettem egy populációs mérlegegyenlet-rendszert szilárdfluidum rendszerek hőátadási folyamatainak leírására, mely megközelítés segítségével vizsgálhatók a direkt szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközések hatásai is. A megadott eszköztárat későbbi munkáimban (Süle et al., 2007a, 2007b, 2008, 2009a, 2009b) kiterjesztettem a szemcsék térbeli hőmérséklet-eloszlásának vizsgálatára is, mely megközelítést
turbulens
fluidizáció
és
hőcserélők
vizsgálatakor
alkalmaztam
elsősorban. A megközelítés részleteit az értekezésem későbbi fejezeteiben részletesen bemutatom. Dolgozatom következő, még az irodalmi áttekintéshez tartozó része szemcsés rendszerek modellezését mutatja be populációs mérlegegyenlet alkalmazásával, egy a korábban már említett sztochasztikus megközelítés felhasználásával. A modellek felépítésének ilyen értelmű tárgyalása kulcsfontosságú dolgozatomban, mivel e megközelítés kibővítése képezi új eredményeim alapjait.
1.3. Populációs modellek: Markov folyamatok 1.3.1. Alapvetés Vegyünk egy szemcsékből álló halmazt, amelyben a tekintett szemcsék jellemzőit egy
ξ (1, 2 ,..., K ) X , R K X tulajdonságvektorral írjuk le (Lakatos et al., 2006). A
ξ vektort a továbbiakban egy részecske állapotának, míg az R K halmazt a részecskék állapotterének nevezzük. ξ elemei a szemcsék egy-egy mérhető tulajdonságára utalnak, melyet Hulburt és Katz (1964) értelmezése alapján külső és belső tulajdonságokra bontunk szét. Külső tulajdonságként olyan jellemzőket veszünk figyelembe, mely a szemcséktől függetlenül is fennállnak (pl. idő, axiális koordináta, …), míg a szemcsékhez köthető tulajdonságokat belső jellemzőknek tekintjük (pl. a részecske tömege, mérete, sebessége, …). Mivel a tulajdonságok számos sztochasztikus hatástól függnek, így ξ -t vektor valószínűségi változónak tekintjük. A ξ tulajdonságvektor meghatározott, ha ismerjük annak eloszlását, illetve eloszlásfüggvényét. Ha egy szemcse állapota változik az időben (jelölje itt T az időpontok halmazát), akkor ezt az
23
állapotváltozást a ξ (t ) : t T vektor valószínűségi változók összessége írja le, mely egy sztochasztikus folyamat. Kijelenthető (Gardiner, 1983; Skorokhod, 1983; Sobczyk 1991) alapján az is, hogy
ξ (t ) : t T
egy Markov-folyamat, ahol az átmenet-
valószínűségek a következőképpen adottak:
Pξ (t ) x | ξ (s) y Ps, y; t , x
(1.1)
Ez azt jelenti, hogy Markov-folyamatok esetén – a teljes valószínűség tételét felhasználva – a rendszer teljes leírását egyszerű feltételes eloszlásfüggvényekkel (un. átmenetvalószínűségekkel) megadhatjuk. Jelölje
Pξ (s) x x, s a ξ (s) valószínűségi változó eloszlásfüggvényét
rögzített s időpillanatban. Ekkor a . , s eloszlásfüggvény tetszőleges t s esetén a következő összefüggéssel adható meg: ( x, t ) Ps, y; t , x (dy, s) ,
t>s.
(1.2)
X
Jelölje N (t ) a szemcsepopuláció darabszámát a t-edik időpillanatban. Kijelenthető, hogy ha a részecskék viselkedése egymáshoz hasonló és a szemcsék száma konstans, akkor az (1.2) egyenlet leírja a szemcsepopuláció egészének viselkedését. Ha a szemcsepopuláció darabszáma N (.) nem állandó, akkor a fenti egyenlet nem elegendő ahhoz, hogy a vizsgált populáció egészének tulajdonságait leírja, mivel a szemcsék darabszáma ez esetben ismeretlen. A következőkben az (1.1) és (1.2) összefüggések analógiájára modellt adunk meg, mellyel makroszinten leírhatók a szemcsefázis különféle tulajdonságai. Legyen N (.,t ) monoton nem-csökkenő függvény úgy, hogy az tetszőleges folytonos korlátos g függvény esetében elégítse ki az alábbi egyenlőséget:
g ( x) N (dx, t ) X
N (t )
g ( xn (t )) ,
(1.3)
n 1
ahol xn jelöli a szemcsehalmaz n-edik szemcséjének állapotát és N (t ) a szemcsék darabszámát mutatja a t-edik időpillanatban. A szemcsés fázis N (.,t ) populációs eloszlásfüggvénye megadható és teljesül az alábbi egyenlőség: N (t )
N (dx, t ) .
(1.4)
X
24
Az N (.,t ) függvényt a populáció t-edik időpillanatbeli állapotának nevezzük. Mivel diszperz rendszerek esetén a valószínűségi eloszlásfüggvény nem adható meg közvetlenül, ezért annak közelítésére az FN ( x, t ) függvényt alkalmazhatjuk a következő módon:
FN ( x, t )
N ( x, t )
N (dx, t )
N ( x, t ) . N (t )
(1.5)
X
Tegyük fel, hogy N (t ) elég nagy és így FN ( x, t ) egyenletesen közelíthető (x-ben és tben) egy x és t szerint differenciálható F ( x, t ) eloszláscsaláddal. Tekintsük F Kadrendű parciális deriváltját:
f ( x, t )
K F ( x, t ) . x1x2 ...x K
(1.6)
Jelölje most n( x, t ) N (t ) f ( x, t ). Az FN ( x, t ) és az F ( x, t ) közötti elhanyagolható különbség miatt a továbbiakban F ( x, t ) -t használjuk FN ( x, t ) helyett és ennek megfelelően N ( x, t ) -t az F ( x, t ) N (t ) szorzattal azonosítjuk. Természetesen ennek következtében az
n( x , t )
K N ( x, t ) x1x2 ...x K
(1.7)
egyenlőség is fenn fog állni, melyet populációs sűrűségfüggvénynek nevezünk. Az N (.,t ) szemcsepopuláció állapotának változásait az átmenetmértékek segítségével adjuk meg, melyet az (1.1) analógiájára fogalmazunk meg a következőképpen: A Pˆ : T X T X R0 függvényt a populációs rendszer átmenetmértékeinek nevezzük, ahol Pˆ (s, y; t , x), t s azon szemcsék „valószínű” számát adja meg, amelyek állapota a t időpontban x-nél kisebb értékkel rendelkezik, feltéve, hogy az s időpontban az y és y+dy állapotban található szemcsék száma N (dy, s) volt. Belátható (Blickle et al., 2001), hogy ezen átmenetértékek kielégítik a ChapmanKolmogorov egyenletet, azaz
Pˆ ( s, y; t , x ) Pˆ ( , z; t , x )Pˆ ( s, y; , dz ), s t ,
(1.8)
X
25
továbbá feltételezve, hogy valamely szemcsepopulációban elég nagyszámú szemcse található az egyes állapotokban, és azok viselkedése egymástól független, valamint felhasználva az (1.4) összefüggést, teljesül az alábbi (1.9) egyenlőség: N ( x, t ) Pˆ ( s, y; t , x )N (dy; s), s t
(1.9)
X
azaz a rendszer változását leíró Pˆ függvények ismeretében tetszőleges jövőbeli időpontban meg tudjuk határozni a szemcsék várható állapotát.
1.3.2. Szemcsepopulációk kölcsönhatásai A szemcséket alakító események és folyamatok jól definiálható feltételek mellett valósulnak meg. Itt sok esetben a szemcséken kívüli külső feltételekre kell gondolnunk, melyek hatását a továbbiakban egy statikus, időben nem változó Θ paraméterrel írjuk le. Így a szemcserendszer változásait megadó egyenletekben e Θ paraméter jelenik majd meg, meghatározva a külső körülmények hatását a rendszerre. Explicit módon a következő összefüggés írható fel:
N ( x, t )
Pˆ (s, y; t, x | Θ)N (dy; s),
st
(1.10)
X
A fenti kifejezés alapjában véve a szemcsepopuláció egyes egyedeire ható változásokat azonos, Θ értékű külső hatás mellett írja le. Gyakran azonban nem feltételezhető a külső hatások állandó értéke, hiszen az egyes szemcsékre érvényes hatások véletlenszerűen kialakuló értékeket jelentenek. Ekkor a Θ paraméter
nagyon
sok
realizációja
megvalósulhat
a
paraméter
FΘ (.)
eloszlásfüggvényének megfelelően, és így a Pˆ átmenetmértékekkel leírt változások a fenti (1.10) egyenlet randomizálásával az alábbi várható értékként írhatók fel:
N ( x, t )
Pˆ (s, y; t , x | Θ)N (dy; s) FΘ (dΘ),
st.
(1.11)
ΘX
A szemcsék különféle tulajdonságát alakító események és folyamatok létrejöttéhez sokszor nem elegendő valamely külső tulajdonság megléte, mert a szemcsepopuláció egy/több belső tulajdonsága is meghatározó. Ez nem jelent mást, minthogy egy Pˆ átmenetmértékekkel leírt eseményben az s időpillanatban a szemcsehalmaz szemcséi olyan mértékben vesznek részt, amilyen mértékben eleget tesznek valamely z belső 26
feltételnek is. Ez egy – vagy esetleg több – másik, adott állapotú szemcsével való kölcsönhatást (is) jelenthet. Általánosabban tekintve azonban a kérdéskört, ide sorolható például más diszperz elemekkel (például folyadékcseppekkel) való kölcsönhatás is. Ha a z Z feltétel az s időpontban az Fz (., s) eloszlásfüggvénnyel leírt eloszlással lép fel, akkor a feltételes valószínűségekre vonatkozó összefüggéseknek megfelelően az alábbi feltételes
Markov-folyamatot
leíró
egyenlet
adható
meg
(feltételezve,
hogy
Fz F , Z X ) :
N ( x, t )
Pˆc (s, y; t, x | z)N (dy; s) F (dz, s),
s t , ahol
(1.12)
XX
Pˆc feltételes átmenetmértéket definiál, mivel a leírt esemény eredménye függhet a z feltételtől, azaz attól, hogy az s időpontban z milyen realizációja jött létre. Szemléletesebben fogalmazva: a fenti (1.12) egyenlet adódik az (1.11) összefüggésből, ha valamely esemény létrejöttének feltétele az, hogy egy szemcse találkozzon egy másik, z állapotú szemcsével. A Pˆc átmenetmértékekkel leírt esemény akkor megy végbe, amikor egy y állapotú szemcse egy másik z állapotú szemcsével kerül kölcsönhatásba és e két állapot által meghatározott Pˆc mértékben (mennyiségben) eredményez x-nél kisebb állapotú szemcséket. Felhasználva a fent bevezetett mértékeket és feltéve, hogy a kétszemcsés rendszerek (olyan rendszerek, ahol két szemcse kölcsönhatásából eredő folyamatokat tekintünk csak) eseményeinek eredményei egy külső Θ véletlen paramétertől is függnek, melynek eloszlásfüggvényét továbbra is FΘ (.) jelöli, az alábbi (1.13) összefüggés adható meg (Blickle et al., 2001), mely tehát két szemcse véletlen jellegű kölcsönhatásának valamely véletlen paramétertől függő eseménye hatására létrejövő változásait írja le. A véletlen jellegű kölcsönhatás – mint a későbbiekben látni fogjuk – elsősorban ütközések formájában realizálódik.
N ( x, t )
1
N (s) Pˆc (s, y; t , x | z,Θ)N (dy, s) N (dz, s) FΘ (dΘ),
Θ
st
(1.13)
XX
A következőkben felhasználva a már megismert összefüggéseket, a szemcsés rendszerek populációs mérlegegyenletét vezetem be.
27
1.3.3. Populációs mérlegegyenlet Legyen
adott
továbbra
is
egy
szemcsehalmaz
annak
N (.,.)
populációs
eloszlásfüggvényével. Jelöljük tetszőleges 0 valós számra valamely y X állapot
-környezetét, valamint annak komplementerét az alábbi módon: U ( y ) { x : d ( y , x ) } V ( y) {x : d ( y, x) }
(1.14)
U ( y) V ( y) X , ahol
d ( y, x ) két állapot euklidészi távolságát jelöli. Tegyük fel, hogy a Pˆ átmenetmérték kielégíti az alábbi feltételeket: (a) Létezik az r függvény úgy, hogy bármely y X, 0 és t 0 -ra: 1 t 0 t lim
Pˆc (t, y; t t, dx | z,) r ( y, t | z, ) o( )
(1.15)
U ( y)
(b) Léteznek az u=[uk]K és D=[Djk]K×K
függvények úgy, hogy bármely
y X, 0 és t 0 -ra: 1 t 0 t lim
( x y) Pˆc (t , y; t t, dx | z,) u( y, t | z, Θ) o( )
(1.16)
U ( y)
és 1 t 0 t lim
( x y)( x y)
T
Pˆc (t , y; t t , dx | z,) D( y, t | z, Θ) o( )
(1.17)
U ( y)
(c) Bármely y X, 0, x V ( y) és t 0 -ra:
Pˆc (t , y; t t , dx | z,) q(t , y,x | z, Θ) , t t 0 lim
(1.18)
ahol q minden változójában folytonos függvény és a következő formában írható fel:
q(t , y,x | z, Θ) S ( y, t | z, Θ)[ B(t , y,x | z, Θ) 1].
(1.19)
A következőkben definiáljuk a fenti kifejezésekben található S és B függvényeket: Az
S : X T X Θ R0
függvényt aktivitási függvénynek nevezzük ahol
S ( y, t | z, Θ)t o(t ) annak valószínűségét mutatja, hogy egy ξ (t ) y jellemzőjű
28
szemcse állapota megváltozik a t 0 időpillanatban azon feltételek mellett, hogy ekkor egy Θ paraméterű állapotváltoztató folyamat megy végbe közte és egy z állapotú másik szemcse között a (t , t t ) időintervallumban. A B : T X X X Θ R0 függvényt konverziós eloszlásfüggvénynek nevezzük ahol B(t , y, x | z, Θ) annak mértékét mutatja, hogy egy ξ (t ) y jellemzőjű szemcse állapota a t 0 időpillanatban kisebb lesz mint x , azon feltételek mellett, hogy ekkor egy z állapotú szemcsével történő kölcsönhatás során Θ paraméterű állapotváltoztató folyamat megy végbe közöttük. Tegyük fel, hogy a Pˆc feltételes átmeneti mérték kielégíti az (1.15)-(1.19) feltételeket, továbbá S és B a fent bevezetett aktivitási és konverziós függvények. Ekkor a populációs sűrűségfüggvény kielégíti az alábbi integro-differenciálegyenletet: K n( x , t ) n( x , t ) u ( x , t | z , Θ ) n ( z , t ) d z F ( d Θ , t ) k Θ t x N ( t ) k k 1 ΘX K K 2 n( x , t ) D ( x , t | z , Θ ) n ( z , t ) d z F ( d Θ , t ) jk Θ x k x j 2 N (t ) k 1 j 1 ΘX
K
1
N (t ) S k ( x, t | z, Θ)bk (t , x, y | z, Θ)n( x, t )dyn( z, t )dzFΘ (dΘ, t )
k 1 Θ K
XX
1
N (t ) S k ( y, t | z, Θ)bk (t , y, x | z, Θ)n( y, t )dyn( z, t )dzFΘ (dΘ, t )
k 1 Θ
(1.20)
XX
1
N (t ) r ( x, t | z, Θ)n( z, t )dzFΘ (dΘ, t ),
Θ
X
N (t ) n( x, t )dx, X
ahol a konverziós sűrűségfüggvények az alábbi módon kerülnek bevezetésre: x
Bk (t , y, x | z, Θ)
bk (t, y, x' | z, Θ)dx'.
(1.21)
x
Bk (t , x, y | z, Θ)
bk (t , x, y' | z, Θ)dy'.
(1.22)
29
A fenti (1.20) egyenlet jobb oldalának első két tagja a konvekciós és diszperziós jellemzőket írja le (másként fogalmazva a szemcsék lokális tulajdonságait reprezentálják), míg a harmadik és a negyedik kifejezések a nem folytonos, azaz a nem lokális tulajdonságok matematikai megfelelői. A fenti állítás levezetése, az egyenlet további tulajdonságainak vizsgálata és részletei, valamint a bizonyítás megtalálható Lakatos és szerzőtársai (2006) valamint Blickle és szerzőtársai (2001) publikációiban. A következőkben az (1.20) általános egyenlet egy olyan módosítását vezetem be, mely a szemcse-szemcse ütközések mellett a szemcse-fal ütközések hatásait is reprezentálja. Ez megtehető az előbbi egyenlet mintájára, hiszen annak jobb oldalán található harmadik és negyedik tagok újbóli számbavételét kell figyelembe vennünk. Természetesen ilyen esetben ügyelnünk kell arra, hogy az aktivitási és konverziós függvények módosulnak, valamint a szemcsék közötti és a szemcse-fal ütközések leírásakor alkalmazott populációs sűrűségfüggvény is más lesz (ld. lent: n és nw függvények). E megállapításokat figyelembe véve az alábbi egyenletet írtam fel:
n( x , t ) n( x , t ) u k ( x , t | z , Θ )n( z , t )dzFΘ (dΘ, t ) t x k N (t ) ΘX 2 n( x , t ) D ( x , t | z , Θ ) n ( z , t ) d z F ( d Θ , t ) jk Θ x k x j 2 N (t ) ΘX 1 S pp ( x , t | z , Θ )bkpp (t , x, y | z , Θ )n( x , t )dyn( z , t )dzFΘ (dΘ, t ) N (t ) k Θ
XX
1
N (t ) S k
pp
Θ
XX
1
N (t ) S k
pw
Θ
( x , t | z , Θ )bkpw (t , x, y | z , Θ )n( x , t )dyn w ( z , t )dzFΘ (dΘ, t )
XX
1
N (t ) S k
pw
Θ
( y, t | z , Θ )bkpp (t , y, x | z , Θ )n( y, t )dyn( z , t )dzFΘ (dΘ, t )
( y, t | z , Θ )bkpw (t , y, x | z , Θ )n( y, t )dyn w ( z , t )dzFΘ (dΘ, t )
XX
1
N (t ) r ( x, t | z, Θ)n( z, t )dzFΘ (dΘ, t ),
Θ
X
(1.23)
N (t ) n( x, t )dx, X
ahol
30
x
B pp (t , y, x | z, Θ)
bk
pp
(t , y, x' | z, Θ)dx '
(1.24)
és x
B pw (t , x, y | z, Θ)
bk
pw
(t , x, y' | z, Θ)dy '.
(1.25)
Az (1.23) egyenlet kulcsfontosságú lesz munkám további részében.
1.4. Célkitűzések Amint azt az 1.3. alfejezetben ismertettem Blickle, Lakatos és Mihálykó megadtak (2004) egy olyan matematikai modellt (az (1.20-1.22) egyenleteket), mellyel vizsgálhatók szilárd-fluidum rendszerek lokális és nem lokális tulajdonságai. Értekezésem célja e modellt alapul véve szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálata. Célul tűztem ki az aktivitási és konverziós függvények bevezetését, melyekkel jellemezhetők a vizsgált folyamatok, továbbá feladatomnak tekintem az (1.23) egyenlet egy olyan alakjának bevezetését, mely alkalmas alapot ad a tekintett rendszerek jellemzőinek leírására. Elsődlegesen felépítendő egy teljesen kevertnek tekintett rendszer-modell, mely a szemcse-szemcse, gáz-szemcse, gáz-fal, fal-szemcse és a fal-környezet hőátadási folyamatokat írja le. A megadott modellt momentummódszer segítségével fogom átalakítani, majd feladatom annak vizsgálata fluidizációs folyamatok esetén. További feladatomnak tekintem a teljesen kevert rendszer modelljének alapján bevezetni egy un. cellás modellt, mely a vizsgált rendszer cellákra való osztását jelenti. E lépésben az egyes cellákat továbbra is teljesen kevertnek tekintem, azonban a cellasorok alkalmas módon történő összekapcsolása és a köztük levő kapcsolatok definiálása
lehetővé
teszi
egydimenzióban
a
rendszer
egyes
komponensei
hőmérsékletének jellemzését. Az így megkonstruált modell turbulens fluidizáció, majd hőcserélő rendszerek vizsgálatára lesz megfelelő. Fontos lépésnek tekintem a modell által szolgáltatott eredmények és a fizikai kísérletek eredményeinek összevetését. Feladatom munkámban rámutatni arra is, hogy a matematikai modell validálható
31
ténylegesen elvégzett fizikai kísérletekből származó adatokkal, azaz a modelleredmények és a fizikai kísérleti adatok megfelelő módon illeszthetők. Végezetül
értekezésemben
felépítek
egy
olyan
axiális/populációs
mérlegegyenletet, melyben az idő koordináta mellett megjelenik egy térbeli koordináta is, mely segítségével vizsgálhatóvá válnak cellás modellek mellőzésével is például a turbulens fluidizáció során megfigyelhető hőátadási folyamatok.
32
2. Szemcse-szemcse és szemcse-fal hőátadási folyamatok modellezése populációs mérlegegyenlet alkalmazásával Az
előző
fejezetben
bevezetett
általános
populációs
mérlegegyenlet
modell
kiterjesztését tárgyalom részletesen a dolgozat most következő részében. Új formájában adom meg az (1.23) populációs mérlegegyenletet, mellyel szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatait vizsgálom. Specializálom a korábban megadott aktivitási és konverziós függvényeket a vizsgált esetre, mellyel ezúttal már nem általános értelemben ismertetem a szemcsepopulációk kölcsönhatásait, hanem szigorúan a hőátadási folyamatok vizsgálata során szükséges összefüggésekre építve alakítom át a Lakatos és szerzőtársai által megadott modellt. A következő alfejezet elsőként a tekintett rendszer fizikai jellemzőit ismerteti, majd a munka további része a matematikai modellezés jellemzőit tárgyalja. A dolgozat ezen részében a direkt szemcse-szemcse hőátadásra jellemző összefüggéseket Blickle és szerzőtársai dolgozták ki, minden egyéb hőátadási folyamatra megadott modell azonban saját munkám eredménye.
2.1. A vizsgált rendszer fizikai modellje Tekintsünk egy folyamatosan működtetett szilárd-fluidum rendszert, melybe különböző hőmérsékletű szemcséket táplálnak be konstans térfogati áramlási sebességgel. Jelölje qp a szemcse, qg a gáz és ql a hűtőfolyadék konstans térfogati áramlási sebességértékeit. A 2.1. ábra mutatja a vizsgált szilárd-fluidum rendszer sematikus rajzát. A tartály méretét V, a betáplált populáció sűrűségfüggvényét nin(Tp,t), a beáramló gáz hőmérsékletét Tg,in(t) jelöli. Az indexek a következők: in a rendszerbe való beáramoltatásra, g a gázra, p a szemcsére, w a készülék falára és l a környezetre utaló rövidítések. Feltételezzük, hogy a szilárd-fluidum rendszert valamely hűtőfolyadékban helyeztük el.
33
Tg(t), qg Tw(t) n(Tp,t), qp
Tl(t), ql
n(Tp,t), V Tl,in(t), ql
nin(Tp,t), qp
Tg,in(t), qg 2.1. ábra: A vizsgált szilárd-fluidum rendszer sematikus rajza A betáplált részecskék hőmérsékletváltozását a fluidizáló közeggel való hőcsere, a szemcse-szemcse valamint a szemcse-fal ütközések eredményezik. Az állandó mennyiségben beáramló gáz kettős szerepet lát el, fluidizált állapotba hozza a szemcséket, másrészt fűti vagy hűti a szemcsés fázist. A vizsgált rendszer semmilyen mechanikus eszközt nem tartalmaz a komponensek helyzetének megváltoztatására, a szemcse-szemcse, szemcse-fal hőátadási folyamatok csak véletlen ütközések során következhetnek be. A rendszerben a következő hőátadási folyamatokat tekintjük: hőátadás megy végbe a gáz, a szemcsék és a fal között, valamint hőátadás történik a fal és az azt körülvevő környezet között. Az alább megadott feltételezésekkel egy olyan diszperz rendszer vizsgálatát végezzük el, melyben a szemcse-populáció intenzív mozgásban van. A matematikai modell felállításakor az előző fejezetben Lakatos és szerzőtársai által ismertetett modellezési technikát vesszük alapul, ahol a következő feltételezésekkel élünk: a) A szemcsék állandó méretűek és nem változnak meg a folyamat során. b) A szemcsék belsejében lévő hőmérséklet homogén eloszlású. c) A rendszer állandó hidrodinamikai feltételek mellett működik; a hőmérsékletnek a hidrodinamikára vonatkozó hatásától eltekintünk. d) A gáz és a részecskék, a gáz és a fal, valamint a fal és a környezet közötti hőátadást folytonos folyamatnak tekintjük, ezeket konstans együtthatójú lineáris hőátadási egyenletekkel írjuk le.
34
e) A szemcsék nem tartalmaznak hőforrást, sem nyelőt. f) A sugárzással történő hőátadástól eltekintünk. Mindezen feltételek mellett egy részecske állapotát megadhatjuk négy külső és egy belső változóval, nevezetesen az előbbi változóegyüttes alatt a térbeli koordinátákat és az időt értjük, míg az utóbbi változó a részecske hőmérsékletet definiálja. A következőkben a matematikai modell tárgyalására térek rá. A fent megfogalmazott korlátozó feltételek mellett felépíthető a részecskék hőmérséklet szerinti populációs sűrűségfüggvényére, a fal hőmérsékletére, a gáz hőmérsékletére és a külső folyadék hőmérsékletére vonatkozó parciális integro-differenciálegyenletből álló matematikai modell, melynek felépítéséről a fejezet további részében részletesen szólok.
2.2. Matematikai modell A 2.1. alfejezetben ismertetett a)-f) feltételeket kielégítő tökéletesen kevert szilárdfluidum rendszer egy 0-dimenziós térbeli eloszlású rendszerként interpretálható (elhagyva a fent említett térbeli koordinátákat), melynek eredményeképpen a részecske fázis állapota, az (x,Tp,t) rendezett hármast (hely, hőmérséklet, időpillanat) egyszerűsítve, egy (Tp,t) változó-párral reprezentálható. Ezt szem előtt tartva adjuk meg a szemcse fázis populációs sűrűségfüggvényét, melyet a továbbiakban n(Tp,t)-vel jelölök, s mely a szemcsék hőmérséklet-eloszlását definiálja. E populációs sűrűségfüggvény segítségével értelmezhetjük az
n(Tp,t)dTp függvényt, mely azon
szemcsék darabszámát jelenti, melyek hőmérséklete a (Tp , T p dTp ) intervallumban van a t-edik időpillanatban. A fenti megállapításokat felhasználva a szemcse-gáz, gáz-fal és fal-folyadék között folytonos lokális hőátadási folyamatok adhatók meg, míg a szemcse-szemcse ill. a szemcse-fal komponensek közötti hőátadási folyamatok nem folytonos, nem lokális folyamatokként értelmezhetők. A szemcsepopuláció kölcsönhatásainak sematikus ábrája alább látható.
35
Szemcse-fal kölcsönhatás
Kimeneti felület: qpn(Tp,t)
qpnin(Tp,t) Bemeneti felület: V·r(Tp,t)=qpnin(Tp,t) Szemcse-fluidum kölcsönhatás
Fal felülete
Szemcse-szemcse kölcsönhatás
2.2. ábra: A szemcse-populáció kölcsönhatásainak sematikus rajza szilárdfluidum rendszerben intenzív szemcsemozgás megléte esetén A szilárd-fluidum rendszer modelljének további felépítésekor a készülék falát, mint második populációt tekintem. Ekkor hasonlóan a szemcsés közeghez, megadható a készülék falának populációs „sűrűségfüggvénye”, mely természetesen nem a hagyományos értelemben vett sűrűségfüggvényként értelmezhető. Tekintettel arra, hogy a készülék fala valamely hőmérsékletértékkel rendelkezik a t-edik időpillanatban, ez a
Dirac-delta függvény felhasználásával modellezhető a következőképpen: Legyen n w T , t T Tw (t ) , ahol Tw(t) a fal hőmérsékletét definiálja a t-edik időpontban és nw T , t a falra vonatkozó populációs sűrűségfüggvény. Mint azt az előző fejezetben láttuk Lakatos, Mihálykó és Blickle bevezették az (1.20) integrodifferenciálegyenletet, mellyel leírhatók a szilárd-fluidum rendszerek lokális és nem lokális tulajdonságai. Ezt az egyenletet felhasználva a következőkben ismertetem a rendszerben jelen lévő direkt szemcse-szemcse, szemcse-fal, gáz-szemcse hőátadást illetve a szemcsék be- és kiáramlását leíró összefüggéseit. Következő lépésként figyelembe véve, hogy a tekintett kölcsönhatás a szemcsék illetve a szemcse-fal közötti hőátadás lesz, némileg átalakul az (1.23) összefüggés. A tekintett x tulajdonság a továbbiakban a szemcsék Tp hőmérséklet jellemzője lesz, a külső Θ véletlen paramétervektor a szemcsék közötti hőátadást jellemző pp véletlen paraméterértékkel lesz ekvivalens, míg a szemcse-fal közötti hőátadást az pw véletlen paraméter jellemzi majd.
36
Az S aktivitási függvény annak valószínűségét mutatja, hogy egy adott jellemzőjű szemcse állapota megváltozik a definícióban megadott feltételek megléte esetén, míg a konverziós eloszlásfüggvény értelmezése is változatlan. A hőátadásra specializált integro-differenciálegyenletet a fentiek figyelembevételével átalakítottam és az alábbi formában írtam fel:
V
n(T p , t ) t
1 N (t )
V
pp
V
pp
V
V
GTpg n(T p , t ) T p
T p ,max T p ,max
S pp (T p | z )b pp T p , y z, pp n(T p , t )n( z, t )dzdyF pp (d pp )
T p ,min T p ,min T p ,max T p ,max
1 N (t )
S pp ( y | z )b pp y, T p z, pp n( y, t )n( z, t )dydzF pp (d pp )
T p ,min T p ,min
T p ,max Tw,max
S pw (T p | z )b pw T p , y z, pw n(T p , t )nw ( z, t )dzdyF pw (d pw )
pw T p ,min Tw,min
V
Tw,max T p ,max
S pw ( y | z )b pw y, T p z, pw n( y, t )dyn w ( z, t )dzF pw (d pw )
pw Tw,min T p ,min
1 V N (t ) Θ
T p ,max
r T p , t z, θ n( z, t )dzFθ (dθ, t )
T p ,min
(2.1) Tp , max
n(T , t )dT
ahol N (t )
p
p
.
Tp , min
A következő észrevételek alkalmazásával kaptuk a fenti átalakított (2.1) formulát az (1.23) általános összefüggésből:
u k ( x ,t | z ,Θ ) : GTpg ; T p ,max
F pp (d pp ) 1 ;
T p ,min
az általunk vizsgált rendszerben feltételezzük, hogy a t időparaméter elhagyható az aktivációs és a konverziós függvények, valamint az F eloszlásfüggvény argumentumaiból;
37
A hőátadás modellje nem tartalmaz diffúzív jellemzőjű tagot, így a (2.1) egyenlet jobb oldalának második kifejezése elhagyható; valamint
Az S aktivációs függvény egyszerűsödik a fent látható formára. A szemcseszemcse és a szemcse-fal kölcsönhatások intenzitását az S pp és S pw aktivitási col függvények jellemzik majd, melyet az S col pp (T T ' ) , S pw (T T ' ) ütközési ex gyakoriságok, valamint a nekik megfeleltethető S ex pp (T T ' ) és S pw (T T ' )
hőátadási kifejezések szorzata definiál. Két szemcse ütközésekor azok között hőkiegyenlítődési folyamat indul meg, melynek minőségi jellemzőit a hőátadási kifejezések írják le. Más szóval ez azt jelenti, hogy ezen hőátadási kifejezések jellemzik a két szemcse ütközésekor megfigyelhető hőátadást. Mivel a hőátadás és így a szemcsék hőmérsékletértékeinek változása spontán módon megy végbe, azaz minden egyes ütközés hatással van az abban részt vevő szemcsék hőmérsékletére, így a hőátadást leíró aktivitási függvény második tényezője azonosan
1-nek
tekinthető,
azaz
ex S ex pp (T T ' ) S pw (T T ' ) 1.
Egy
más
interpretációban ez azt jelöli, hogy különböző hőmérsékletű szemcsék ütközésekor 1 valószínűséggel hőkiegyenlítődési folyamat indul meg a két tekintett szemcse között. Ennek eredményeképpen igaz, hogy: col S pp (T T ' ) S col pp (T T ' ) és S pw (T T ' ) S pw (T T ' ) .
Fontos itt megjegyeznünk, hogy az ütközési gyakoriságot indirekt módon az egyes komponensek hőmérsékletértékei befolyásolhatják, hiszen pl. a gáz fázis viszkozitása és fajsúlya hatással lehet e paraméterértékekre. E hatástól azonban a továbbiakban eltekintek, és így konstans értéknek veszem az aktivációs függvény értékeit (ellenkező esetben változó paraméterű modell alkalmazása lenne
szükséges).
Nevezetesen
a
dolgozat
további
részében
legyen
S pp : S pp (T T ' ) és S pw : S pw (T T ' ).
Vizsgáljuk meg a fenti (2.1) átalakított egyenletet részletesebben! A jobb oldal első kifejezése az n(Tp,t) populációs sűrűségfüggvény változásának gáz-szemcse hőátadásból pg fakadó részét adja meg. Kifejtve a GT tagot a következő összefüggést írhatjuk:
38
GTpg
dT p (t ) dt
G
pg T n(T p , t )
ahol K pg :
h pg a pg m pC p
0 és GTpg n(T p , t )
T p ,min
h pg a pg m pC p
Tg (t ) T p (t ) K pg Tg (t ) T p (t ) ,
T p ,max
(2.2)
0
.
Látható, hogy az összefüggés egy mp tömegű, Cp hőkapacitású szemcse és a Tg átlaghőmérsékletű gáz közötti hőátadást írja le (a h paraméter az egyes komponensek közötti hőátadást, míg az a paraméter az ezek közötti érintkezési felületet definiálja). A (2.1) egyenlet jobb oldalának második és harmadik kifejezése a populációs sűrűségfüggvény nem-lokális változásának szemcsék közötti ütközéséből származó, míg a harmadik és a negyedik tag az n(Tp,t) értékeknek a készülék falával való ütközés során bekövetkező változását mutatják. Mint ahogy a bevezető részben erre már utaltam, a hőátadási folyamatok a szemcsék között ill. a szemcse-fal között véletlen ütközések során mennek végbe. Ezen komponensek közötti ütközési gyakoriság értékeknek természetesen nem kell azonosaknak lenniük a szemcsék között illetve a szemcsék és a fal között. A (2.1) egyenletben ezen ütközési gyakoriságok mértékét rendre az S pp és S pw aktivitási függvények írják le. Modellünkben ezen függvényeket mint fent említettem tekintsük konstansnak.
Az egyenletben szerepelnek még a b pp y, T p z, pp és bpw y, Tp z, pw
tagok is,
melyek a következőképpen interpretálhatók:
B pp y, T p z, pp függvény annak valószínűségét adja, hogy egy eredetileg y hőmérsékletű szemcse hőmérséklete kisebb lesz mint Tp, ha a szemcse egy pp paraméterű hőátadási folyamatban hőt cserél egy másik z hőmérsékletű
szemcsével. B pp y, T p z, pp
egy eloszlásfüggvény, melynek Tp szerinti
deriváltját jelöli b pp y, T p z, pp .
B pw y, T p z, pw függvény annak valószínűségét adja, hogy egy eredetileg y hőmérsékletű szemcse hőmérséklete kisebb lesz mint Tp, ha a szemcse egy pw paraméterű hőátadási folyamatban hőt cserél a z hőmérsékletű fallal.
39
B pw y, T p z, pw szintén egy eloszlásfüggvény, melynek Tp szerinti deriváltját
és B pw y, T p z, pw
jelöli b pw y, T p z, pw .
B pp y, T p z, pp
Heaviside-féle függvények, általánosított
(disztribúció) értelemben léteznek a deriváltjaik, melyek a Dirac-féle függvény konstans-szorosai. Ezen függvények szerepét a későbbiekben részletesebben tárgyalom. A rendszer input és output jellemzőit vizsgálva csak a betáplálás és az elvétel folyamatát kell alkalmas módon megadnunk. Tekintettel arra, hogy egy betáplálási és egy elvételi pont található a rendszerünkben, az alábbi összefüggés definiálja az r forrástagot:
V r Tp , t z, θ q p t nin (Tp , t ) q p t n(Tp , t )
(2.3)
E kifejezést felhasználva a (2.1)-es egyenlet jobb oldalának utolsó tagja a következő formában írható fel:
1 V N (t ) Θ
T p ,max
r T p , t z, θn( z, t )dzFθ (dθ, t ) q p t nin (T p , t ) q p t n(T p , t )
(2.4)
T p ,min
Természetesen a (2.4) egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha feltesszük, hogy a betáplálás és az elvétel nem függ magától a szemcsepopulációtól és nincsenek véletlen komponensek. Mivel a falra vonatkozó populációs sűrűségfüggvény felírásakor egy „degenerált eloszlásfüggvényből” indultunk ki, így arra – mint „második populációra” – csak un. „gyenge formalizmust” adunk meg. A fal fázisra felírható populációs mérlegegyenlet az alábbi lesz:
,
n w (T , t ) , GTwg n w (T , t ) , GTwl n w (T , t ) t T T
,
T p ,max Tw,max
S wpbwp T , y z, wp nw (T , t )n( z, t )dydzF wp (dwp )
wp T p ,min Tw,min
,
T p ,max Tw,max
S wpbwp y, T z, wp nw ( y, t )n( z, t )dydzF wp (dwp )
wp T p ,min Tw,min
G
wg T n w (T p , t )
Tw,min
0 és GTwg nw (T p , t )
Tw,max
0
(2.5)
40
ahol T-nek véges tartójú differenciálható függvénye, és .,. egy skalárszorzat az alkalmas függvénytérben. A készülék fala és a gáz fázis, valamint a fal és a folyadék fázis között végbemenő hőátadási folyamatokat folytonos hőátadási folyamatoknak tekintjük és a GTwg és GTwl kifejezésekkel írjuk le (e tagokról részletesebben a későbbi alfejezetekben lesz szó, amikor a falra felírt mérlegegyenlet levezetésére kerül sor). A (2.5) egyenlet harmadik és negyedik tagjai szintén a fal hőmérsékletének változását írják le, mivel a fal és a szemcsék közötti ütközések során hőátadás megy végbe ezen komponensek között.
2.2.1. Alapösszefüggések a modell felírásához A modell felírásához következő lépésként a bpp, bpw és bwp konverziós függvényeket definiáljuk. Ehhez néhány alapösszefüggés és feltételezés szükséges. Tekintsünk két m j és mk tömegű, T j és Tk hőmérsékletű, valamint C j és Ck hőkapacitású komponenst. Ha ez a két komponens a t=0 időpontban ütközik egymással és ideig kontaktusban vannak, akkor közöttük hőkiegyenlítődési folyamat indul meg. A 2.3 ábra a két szemcse közötti hőkiegyenlítődési folyamatot illusztrálja, míg a 2.4. ábra a szemcse és fal komponensek közötti hőátadási folyamatot szemlélteti (a kontaktust követő hőmérsékletértékek a 2.6 egyenletrendszer alapján kerültek kiszámításra, mint ahogy azt a későbbi levezetések mutatják).
mj, Tp’
mj, Tp’(θ)=Tp’+ωpp(Tp”-Tp’)/2
mk, Tp”
mk, Tp”(θ)=Tp”-ωpp(Tp”-Tp’)/2
2.3. ábra: Hőátadási folyamat két szemcse között
41
mw, Tw(θ)=Tw’-ppωpw(Tw’-Tp’)
mj, Tp(θ)=Tp’+pwωpw(Tw’-Tp’)
mw, Tw’
mj, Tp’
2.4. ábra: Hőátadási folyamat egy szemcse és a készülék fala között Feltéve, hogy a h hőátadási együtthatóval jellemezhető a folyamat, az egyes szemcsék hőmérsékletváltozása az alábbi differenciálegyenlettel írható le: dT j (t )
ha Tk (t ) T j (t ) dt dTk (t ) mk C k ha Tk (t ) T j (t ) dt m jC j
(2.6)
ahol a kezdeti feltételek a következők: T j (0) T j 0 , Tk (0) Tk 0 . A fenti egyenletrendszert megvizsgálva látható, hogy összegezve a bal és jobb oldalon található kifejezéseket az entalpiamegmaradás törvényét kapjuk eredményként: m jC j
dT j (t ) dt
mk C k
dTk (t ) 0 dt
(2.7)
A (2.7)-es egyenletből kifejezve Tk (t ) -t és azt behelyettesítve (2.6)-ba, ha a két komponens kontaktusa ideig tart, akkor a következő összefüggések írhatók fel az első és a második komponens hőmérsékletére: 1 1 ha mk C k m j C j mk C k T j ( ) T j 0 Tk 0 T j 0 1 e m j C j mk C k T j 0 p j Tk 0 T j 0
(2.8)
42
1 1 ha m j C j mk C k Tk ( ) Tk 0 Tk 0 T j 0 1 e m j C j mk C k Tk 0 p k Tk 0 T j 0
m jC j
(2.9) m j C j mk Ck ha m j C j mk Ck ahol : 1 e
, p j
m jC j mk C k és p k . m j C j mk C k m j C j mk C k
A (2.8) és (2.9) egyenletekben az exponenciális tag kitevőjében szereplő h,a, paraméterek véletlen mennyiségként kezelhető paraméterek, hiszen az ütközések során a hőátadási együttható értéke, az érintkezési felület nagysága, valamint a hőátadási folyamat kontakt ideje véletlen paraméterek. Így az ezeket a hatásokat aggregáló változó szintén véletlen paraméter. A szemcsék közötti hőátadást alapvetően két tényező határozza meg (Mansoori et al., 2002): (i) a szemcsék közötti érintkezési pont; valamint (ii) az érintkezési pont körül kialakuló gázlencse. A végbemenő hőátadási folyamatra természetesen egyéb körülmények is hatással lehetnek; így például meghatározó szempont lehet a szemcsék alakja, vagy a szemcsék ütközési sebessége. Ezeket a véletlen hatásokat, mint az előzőekben láttuk az 0;1 paraméter tartalmazza, mely a (2.8) és (2.9) képletekben (mint megoldásokban) jelenik meg többek között, mutatva azok hatását. A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy a fent levezetett egyenletek, kifejezések hogyan alakulnak a szemcse-szemcse és a szemcse-fal hőátadási folyamatok során.
A szemcse-szemcse hőátadás Elsőként tekintsük a szemcse-szemcse hőátadás esetét: Tegyük fel, hogy két szemcse ütközik egymással, melyek tömege és hőkapacitása egyenlő. Ekkor m j C j mk Ck m p C p és így p j pk
1 . Bevezetve a T j 0 Tp ' , 2
Tk 0 Tp " jelöléseket, az alábbi alakban írható fel a (2.8)-as egyenlet: 2h pp a pp pp
pp 1 e
m pC p
és T p T p '(T p "T p ' )
pp 2
,
43
melyből
2 T p () T p ' pp A
T
p ' Tp".
T p T p '(T p "T p ' )
(2.10)
pp 2
eredményt és így a (2.10) egyenlőséget a
következőképpen értelmezhetjük: ahhoz, hogy egy pp paraméterű hőátadási folyamat során egy Tp’ hőmérsékletű szemcséből egy Tp hőmérsékletű szemcse legyen, egy Tp’’ hőmérsékletű szemcsével kell ütköznie. A konverziós függvény definícióját szem előtt tartva a szemcse-szemcse konverziós eloszlásfüggvény az alábbi alakban írható fel, ahol 1 Heaviside függvény:
2T Tp ' B pp Tp ' , Tp | Tp " , pp 1Tp p Tp ' Tp " . pp
(2.11)
A Bpp függvény sűrűségfüggvénye ekkor az alábbinak adódik:
2T Tp ' 2 bpp Tp ' , Tp | Tp " , pp Tp p Tp ' Tp " pp pp
(2.12)
A szemcse-fal hőátadás A szemcse-fal hőátadás vizsgálata során két szempontból is górcső alá kell vennünk a folyamatot. Elsőként a szemcse oldaláról nézve az alábbiakat mondhatjuk: Az ütközés során: m j c j m p c p , mk ck mwcw , továbbá p j p p pk p w
mwcw , m p c p mwcw
h a m c mwcw , : pw : wp : 1 exp pw pw pw p p . m p c p mwcw m p c p mwcw mpc p
(2.13) Legyen most T j 0 Tp ' és Tk 0 Tw ' . A (2.9)-ben megadott egyenlet ez esetben a következő alakban írható fel: Tp pw pw Tw 'Tp ' Tp ' ,
(2.14)
melyből
44
Tp Tp ' pw pw
Tp ' Tw '
(2.15)
adódik. A kapott összefüggés hasonlóan interpretálható, mint ahogy ezt korábban a szemcseszemcse hőátadásnál megtettük. Ennek ismeretében felírhatók a folyamatot jellemző eloszlás- és sűrűségfüggvények, melyek az alábbi formát öltik:
T Tp ' B pw Tp ' , Tp | Tw ' , pw 1Tp p Tp ' Tw ' , és pw pw
(2.16)
T Tp ' 1 bpw (Tp ' , Tp | Tw " , pw ) Tp p Tp ' Tw ' pw pw pw pw
(2.17)
Ha ugyanezen hőátadási folyamatot nem a szemcse, hanem a fal szempontjából vizsgáljuk, hasonló eredményre jutunk. Nevezetesen, a (2.9)-es egyenlet ebben az esetben az alábbi formában írható fel:
Tw Tw ' Tw ' Tp ' p p pw
(2.18)
A konverziós eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény az alábbi formában adható meg:
T T ' Bwp Tw ' , Tw | Tp ' , wp 1Tw w w Tw ' Tp ' , p pwp
(2.19)
T T ' 1 bwp Tw ' , Tw | Tp ' , wp Tw w w Tw ' Tp ' . p p wp p p wp
(2.20)
A fent bevezetett összefüggések alapján már felírhatók a (2.1) és (2.5) egyenletekből származtatható populációs mérlegegyenlet modellek, melyek ismertetése a következő alfejezetben található részleteiben.
2.3. A populációs mérlegegyenlet levezetése A mérlegegyenlet felírásához feltettük, hogy az egyes ütközési frekvenciák (szemcseszemcse, szemcse-fal között) konstans értékűek. Így azzal az egyszerűsítéssel élünk, hogy az egyes ütközési gyakoriságok értékei nem függnek bizonyos fizikai paraméterek
45
értékeitől, így például a gáz sebességétől vagy az egyes komponensek sűrűségétől. Ezt felhasználva elsőként a szemcsés fázisra, majd a fal fázisra vonatkozóan adjuk meg a populációs mérlegegyenletet.
2.3.1. Mérlegegyenlet a szemcsés fázisra A (2.1) egyenletből kiindulva és felhasználva az előző alfejezetben megadott (2.2, 2.3, 2.12, 2.17) segédösszefüggéseket az alábbi integro-differenciálegyenlet írható fel:
n(Tp , t ) t
q K pg Tg (t ) Tp n(Tp , t ) p nin (Tp , t ) n(Tp , t ) Tp V
T T 2 S pp 1 p ,max p ,max 2 y Tp pp N (t ) T T Tp pp Tp z n( z, t )dzn(Tp , t )dyF pp (d pp ) pp p , min p , min
T T 2 S pp 1 p ,max p ,max 2Tp y Tp y z n( y, t )n( z , t )dydz F pp (d pp ) pp N (t ) Tp ,min Tp ,min pp pp
pw
pw
(2.21)
T p z n(T p , t ) z Tw dzdyF pw ( d pw ) pw pw Tp,min Tw,min p pw pw T T S pw w ,max p ,max Tp y z n( y, t ) z Tw dydzF (d pw ) y T pw pw pw Tw,min Tp,min p pw pw S pw
T p , max Tw , max
y Tp
T
n( T p ,0 ) n0 ( T p )
Megvizsgálva a fenti egyenlet harmadik és ötödik tagját, azokon további egyszerűsítést végezhetünk el. Nevezetesen a harmadik tagon a következő átalakítások végezhetőek el:
46
pp
T p ,max T p ,max 2 y T p 1 T p z n( z , t )dzn( T p , t )dyF pp ( d pp ) Tp pp pp N ( t ) T p ,min T p ,min
2 S pp
pp
2 S pp n( T p , t ) 1 pp N( t )
T p ,max T p ,max
2 Tp pp T p ,min T p ,min
y pp z T p pp T p dy 2 2
F pp ( d pp )n( z ,t )dz
pp
1 S pp n( T p , t ) N( t )
T p ,max T p ,max
pp pp T p y z Tp T p 2 2 T p ,min T p ,min
n( z , t )dzdyF pp ( d pp )
pp
1 S pp n( T p , t ) N( t )
T p ,max
n( z ,t )dzF pp ( d pp ) S pp n( T p ,t )
T p ,min
(2.22) mivel
pp
pp T p T p,min , T p,max z 1 2 2 2 2 minden z, T p [T p, min , T p, max ] -ra, így adódik, hogy z Tp
T p , max
pp
Tp
pp
(2.23)
pp pp z Tp T p dy 1 . 2 2
T p y
T p , min
(2.24)
Hasonló gondolatmenettel az ötödik tag is egyszerűsíthető, azaz
S pw
pw
pw pw
pw
T p , max Tw, max
y T p T p z n(T p , t ) z Tw dzdyF pw (d pw ) pw pw
T p
T p , min Tw, min
S pwn(T p , t ) pw pw
T p , max Tw, max
T p , min Tw, min
T p
1
pw pw
y pw pw z T p pw pwT p
z Tw dzdyF pw (d pw )
T p , max Tw, max
S pwn(T p , t )
pw
T p y pw pw z T p pw pwT p
T p , min Tw, min
z Tw dzdyF pw (d pw )
pw
Tw, max
S pwn(T p , t )
z Tw dzF pw (d pw ) S pwnT p , t
Tw, min
(2.25)
47
mivel
pw pw z T p pw pwT p pw pw z 1 pw pw T p T p, min , T p, max minden z, T p T p, min , T p, max ra.
Behelyettesítve
(2.22)
és
(2.25)-öt
(2.1)-be
kapjuk
az
(2.26) alábbi
integro-
differenciálegyenletet: n(T p , t )
t
qp K pg Tg (t ) T p n(T p , t ) nin (T p , t ) n(T p , t ) T p V
S pp S pw n(T p , t )
pp
T
T
p , max p , max 2 Tp y 1 z n( y, t )n( z , t )dydz F (d pp ) y pp pp pp N (t ) T p ,min T p ,min
2 S pp
pw
Tw,max T p ,max
T p y y p w pw z n( y, t )dy( z Tw )dzF pw (d pw ) p w pw Tw,min T p ,min S pw
n(T p ,0) n0 (T p ) (2.27)
2.3.2. Mérlegegyenlet a fal populációs sűrűségfüggvényére A falra felírandó hőmérleg megkonstruálásához a (2.5) egyenletből indulunk ki, ahol a
T k , k 0,1,2,...
T
w, min
hatványfüggvényeket alkalmazunk φ függvényként a kompakt
, Tw, max intervallumon, hiszen a Dirac-delta függvény momentumai reprezentálják
megfelelő módon a fal hőmérséklet populációs sűrűségfüggvényét, melyek az alábbi formában írhatók fel:
T , T Tw (t ) k
Tw, max k
T T Tw (t )dT ,
k 0,1,2,...
(2.28)
Tw, min
A fal hőmérsékletére felírt momentumokat vizsgálva elsődlegesen az első momentum lesz számunkra hasznos, hiszen az írja le a fal Tw hőmérsékletét. A (2.5) egyenlet jobb oldalának első kifejezése a folytonos gáz-fal hőátadást mutatja, mely így adható meg:
48
T, G wg (T ) T Tw (t ) T T TGTwg (T ) T Tw (t )
Tw, max
Tw, max
T
Tw, min Tw, max
Tw, min
G wg (T ) T Tw (t ) dT T T
(2.29) GTwg (T ) T Tw (t )dT GTwg Tw (t )
Tw, min
melyből adódik a fal hőelnyelése a (t,t+dt) intervallumban:
dQwg hwg awg Tg (t ) Tw (t ) dt .
(2.30)
A fal és a külső folyadék közötti hőátadási folyamat hasonló módon formalizálható, melynek eredménye az alábbi összefüggés:
dQwl hwl awl Tw (t ) Tl (t )dt .
A
szemcse-fal
hőátadási
folyamat
(2.31)
vizsgálatakor
nyilvánvaló,
hogy
a
fal
hőmérsékletének változását a szemcse-fal ütközések során végbemenő hőátadási folyamatok határozzák meg. Így a fal hőmérsékletének felírásakor a következő kifejezés számítása szükséges:
T,
T p ,max Tw,max
S wpbwp Tw , y z, wp n( z, t )nw (T , t )dydzF wp (d wp )
wp T p ,min Tw,min
T,
T p ,max Tw,max
S wpbwp y, T z, wp n( z, t )nw ( y, t )dydzF wp (d wp )
wp T p ,min Tw,min
(2.32) A következő lépésekben a fenti formulát olyan alakra hozzuk, amely felhasználható a felírandó integrál-differenciálegyenlet részkifejezésében. Ennek első lépéseként definiáljuk a : R R függvényt a következőképpen: T , ha T [T p,min , T p,max ]
(T )
0, különben
(2.33)
Alkalmazva az így bevezetett φ függvényt és behelyettesítve azt a (2.5) egyenletbe, annak utolsó két tagja a (2.32)-ben megadott formulát adja. E formulába behelyettesítve a (2.20) sűrűségfüggvényt, a következő kifejezést kapjuk:
49
T p ,max Tw,max
T,
y T 1 w T Tw p p wp w z p p wp n( z, t )nw (T , t )dydzF wp (d wp ) T p ,min Tw,min
S wp
wp
T,
T p ,max Tw,max
S wp
wp
T y 1 y Tw p p wp z p p wp n( z, t )nw ( y, t )dydzF wp (dwp ) T p ,min Tw,min
(2.34) Vizsgáljuk meg elsőként a (2.34) összeg első tagját:
T,
T p ,max Tw,max
S wp
wp
y p p wp z Tw p p wpTw Tw p p wp T p ,min Tw,min
1 n w (T , t )dydzFwp (d wp ) p p wp
T,
wp
T p ,max Tw,max
Tw y p p wp z Tw p p wpTw
S wp
T p ,min Tw,min
n( z, t )dydzn w (T , t ) Fwp (d wp )
wp
wp
T p ,max
S wp
n( z, t )dz T , (T Tw ) Fwp (d wp )
T p ,min T p ,max
S wpTw (t )
n( z, t )dzFwp (d wp ) S wpTw (t )M 0 (t )
(2.35)
T p ,min Tw , max
A fenti levezetés helytálló, hiszen
y p Tw
p
wp
z 1 p p wp Tw dy 1 , valamint
Tw ,min
utalva már a következő fejezetben bevezetésre kerülő momentumokra igaz, hogy
M 0 (t ) N (t ) , ahol az N függvény – mint korábban láttuk – a szemcsék darabszámát jelöli. Hasonlóképpen a (2.34) összeg második tagja szintén egyszerűbb alakra hozható:
50
T,
T p , max Tw, max
S wp
wp
T,
T y 1 y Tw p p wp z p p wp n( z, t )n w ( y, t )dydzFwp (d wp ) T p , min Tw, min T p , max Tw, max
S wp
wp
T p p wp z y1 p p wp n( z, t )nw ( y, t )dydzF
wp
(d wp )
T p , max Tw, max
S wp
wp
Tw T p , min Tw, min
p p wp z y 1 p p wp n( z, t ) y Tw dydzFwp (d wp )
T p , min Tw, min T p , max
S wp
wp
p p wp z Tw (t )1 p p wp n( z, t )dzFwp (d wp )
T p , min
S wp p p m1,wp M 1 (t ) S wpTw (t ) 1 p p m1,wp M 0 (t )
(2.36) Az (2.35) és (2.36) eredményeket felhasználva a következő összefüggés igaz a (2.5) egyenlet utolsó két tagjának összegére:
T,
T p ,max Tw,max
S wp
wp
T,
wp
y T 1 w Tw z n( z , t )n w (T , t )dydzF wp (d wp ) p p p wp p wp T p ,min Tw,min
T p ,max Tw,max
S wp
T y 1 y z n( z , t )n w ( y, t )dydzF wp (d wp ) p p p wp p wp T p ,min Tw,min
T p ,max
T p Tw (t )n(T p , t )dT p F wp (d wp )
S wp p p wp
wp
T p ,min
S wp p p m1, wp Tw (t ) M 0 (t ) M 1 (t )
(2.37) A fenti egyenlet egyben azt is mutatja, hogy egy Tp hőmérsékletű szemcse és a Tw(t) hőmérsékletű fal ütközése során a fal hőmérsékletében bekövetkezett egységnyi hőmennyiség-változás a következőképpen adható meg:
dQwp mwcw S wp p p wp T p Tw (t ) n(T p , t )dT p dt
(2.38)
Mindezeket figyelembe véve a falra felírt hőmérleg az alábbinak adódik:
mw c w
dTw (t ) hwg a wgV Tg (t ) Tw (t ) hwl a wlVl Tw (t ) Tl (t ) dt
VS wp mw c w p p
T p ,max
wp Tw (t ) T p n(T p , t )dT p F wp (dwp )
(2.39a)
pw T p ,min
51
dTw (t ) hwg a wgV Tg (t ) Tw (t ) hwl a wlVl Tw (t ) Tl (t ) dt VS wp mw c w p p m1, wp Tw (t ) M 0 (t ) M 1 (t ) mw c w
(2.39b)
Tw (0) Tw0 ahol a jobb oldal első és második kifejezése a fal és a gáz, valamint a fal és a külső folyadék közötti teljes hőáramot írja le, míg az utolsó tag a teljes részecske populáció és a fal közötti hőáramot adja meg. Az konstans érték a gáz térfogathányadát jelöli (angol terminológiában void fraction), míg pl. fontos hangsúlyozni, hogy az awg paraméter az egységnyi térfogatra eső felületre utal és Vl a külső folyadékfázis térfogatát jelöli.
2.3.3. Mérlegegyenlet a gáz fázisra Hasonlóan definiálható a hőáram a gáz és a részecskék között is. A (Tp,Tp+dTp) hőmérsékletintervallumot vizsgálva az egységnyi térfogatra eső hőmennyiség a t-edik időpillanatban az alábbi:
h pg a pg Tg (t ) T p n(T p , t )dT p ,
ahol h pg a pg Tg (t ) T p
(2.40)
írja le a hőáramot egy részecske és a gáz fázis között. Ebből
következően a fluidum és a teljes részecske populáció közötti hőátadást az alábbi kifejezés reprezentálja: T p , max
Tg (t ) T p (t )n(T p , t )dT p .
Vh pg a pg
(2.41)
T p , min
Mindezt felhasználva a gáz fázisra felírt egyenlet az alábbi lesz: V g c g
dTg (t ) dt
T p ,max
Tg (t ) T p n(T p , t )dT p
Vh pg a pg
q g g c g Tg , in (t ) Tg (t ) hwg a wgV Tg (t ) Tw (t )
(2.42)
T p ,min
Tg (0) Tg 0
52
A gáz hőmérsékletváltozására felírt fenti egyenletben a jobb oldal első tagja a beáramló gáz hatását mutatja a rendszerben levő gáz hőmérsékletére, a második és harmadik tagok a gáz-fal illetve a gáz-szemcse hőátadást reprezentálják oly módon, ahogy azokat a (2.30) és a (2.40) egyenletekkel leírtuk.
2.3.4. Mérlegegyenlet a külső folyadék fázisra Végül a fentiekhez hasonló megfontolások alapján a külső hűtő/fűtő folyadék hőmérséklet-változására az alábbi egyenlet vezethető be:
dTl (t ) ql l cl Tl ,in (t ) Tl (t ) hwl a wlVl Tl (t ) Tw (t ) dt Tl (0) Tl 0
Vl l cl
(2.43)
A fenti alfejezetekben bevezetésre kerültek azon összefüggések, melyek megfelelő alapot adnak a szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak vizsgálatára oly módon, hogy figyelembe vesszük a direkt szemcse-szemcse ill. a szemcse-fal hőátadási folyamatokat is, melyek véletlen ütközések során következnek be. Ily módon tekintve a (2.27, 2.39, 2.42, 2.43) egyenleteket a populációs mérlegegyenletmodell teljes. A rendszer és a matematikai modell vizsgálatához a következő fejezetben momentumegyenlet modellt vezetek be.
Saját eredmények publikálása Jelen 2. fejezetben közölt eredményeimet a [P2], [P4] és [P12] munkáimban publikáltam.
53
3. Momentumegyenlet-modell Az előző fejezetben felépített populációs mérlegegyenlet-modell analitikus és numerikus megoldását nehéz feladat megadni. Sok esetben – így jelen vizsgálódásaim során is – meghatározhatók azonban a vizsgált szemcsepopuláció mérlegegyenletéhez tartozó momentumai. Nevezetesen: a nulladrendű momentum a rendszerben levő szemcsék darabszámáról, az első momentum a szemcsés fázis átlaghőmérsékletéről ad információt, míg a másodrendű momentum segítségével a hőmérséklethomogenitás vizsgálható a szemcsés fázis szórásnégyzet-értékeinek felhasználásával. A fejezet további részében elsőként a momentummódszer általános jellemzőit tárgyalom, majd bevezetem azt a momentumegyenlet-modellt, ami alkalmas a teljesen kevert
szilárd-fluidum
rendszerek
bizonyos
–
később
rögzítésre
kerülő
–
tulajdonságainak vizsgálatára. A felépített modellrendszert a dolgozatom további fejezeteiben cellás, majd az axiális diszperziós matematikai modell vizsgálatára adaptálom.
3.1. A momentummódszer Az előző fejezetben olyan populációs mérlegegyenletek kerültek bevezetésre, melyek szilárd-fluidum rendszerek kvantifikálható tulajdonsága szerint kialakuló eloszlásaiban fellépő változásokat írták le. Ezeket a populációs sűrűségfüggvényre vonatkozó parciális integro-differenciálegyenlet formájában adtam meg. Ezen egyenletek megoldása sajnos nem rutinfeladat, elegendő csak az egyenletekben megjelenő kettősintegrált tartalmazó tagokra gondolnunk. Nagy segítséget jelent azonban a szilárd-fluidum rendszerek – és általában a diszperz rendszerek – modellezésében az un. momentummódszer alkalmazása. Általában elmondható, hogy e módszer használatával a populációs mérlegegyenletet közönséges differenciálegyenlet-rendszerré transzformáljuk át, mely a vizsgált tulajdonságot reprezentáló valószínűségi változó véges számú momentumait jellemzi. Ennek az egyenletrendszernek a megoldása már általában könnyebben elvégezhető, sőt
54
sok esetben a szilárd-fluidum rendszerekre vonatkozó megmaradási elvek a populációs eloszlás- és sűrűségfüggvények momentumainak segítségével fejezhetők ki. A momentumegyenleteket Hulburt és Katz (1964) munkája után gyakran használják diszperz rendszerek modellezésére is.
3.1.1. Momentumok és tulajdonságaik Továbbra is jelölje n(T p , t ) a szemcse-populáció populációs sűrűségfüggvényét az előző fejezetben bevezetett módon, ahol az n(T p , t )dT p kifejezés a (T p , T p dT p ) hőmérsékletintervallumba eső szemcsék számát adja meg a t-edik időpillanatban a tekintett rendszer egységnyi térfogatára vonatkozólag. Ekkor T p -re, a hőmérsékletet jellemző változóra felírt k-adik momentum az alábbi integrállal határozható meg:
M k (t ) T pk n(T p , t )dT p , k 0,1,2,...
(3.1)
0
Itt k tetszőleges olyan valós szám lehet, melyre az integrál értelmezve van, de a munkám további részében, mint látni fogjuk csak a nemnegatív egész számú momentumok lesznek fontosak. A momentumok előállítása történhet az n(T p , t ) populációs sűrűségfüggvény T p szerinti
N ( s, t ) e
sT p
n(T p , t )dT p
(3.2)
0
Laplace-transzformáltjából a M k (t ) (1) k
k N ( s, t ) s k
(3.3) s 0
módon, vagy generálni tudjuk azokat közvetlenül a populációs mérlegegyenletből is az alábbi kifejezésben történő behelyettesítéssel és megfelelő átalakítások alkalmazásával: n(T p , t ) dM k (t ) T pk dT p , dt t
k 0,1,2,3,...
(3.4)
0
A fenti egyenletekben szereplő T p -szerinti differenciálhányadosok kiértékelése az alábbi módon történhet:
55
m n(T p , t )
T pk
T pm
0
dT p T pk
T pk i i 0
m i 1
T pk i i 0
m i 1
m
m
n(T p , t )
T pm i 1 n(T p , t )
T pm i 1
m 1
n(T p , t )
T pm 1
k 0
T pk 1
0
m 1
n(T p , t )
T pm 1
dT p
k (k 1) ... (k m) T pk m n(T p , t )dT p
(3.5)
0
0
k (k 1) ... (k m) M k m (t ),
m 1,2,...,
k m
0
A momentumok végtelen hierarchiáját két jellemző eredményezi: az n-ben nem lineáris tagok jelenléte, illetve az együtthatóknak a T p változótól való nemlineáris függése. Ilyen esetekben a momentummodell nem zárt, és különféle un. zárási modellek alkalmazása szükséges. Az egyes momentumokra vonatkozólag ismert az alábbi összefüggés, mely korlátok meghatározásakor hasznos segédeszköz lehet: 1 / k1
M k2 M0
a
momentummódszert
M k1 M 0 A
következő
fejezetben
1 / k2
, ha 0 k1 k2 . alkalmazom
a
populációs
mérlegegyenletek átalakítására.
3.2. A momentumegyenlet-modell bevezetése Jelen alfejezetben bevezetem az előbbiekben ismertetett integro-differenciálegyenlet rendszer populációs sűrűségfüggvényének momentumait az T p , max M k (t ) T pk n(T p , t )dT p , k 0,1,2,... T p , min
(3.6)
kifejezéssel. Rögtön látszik, hogy a nulladrendű momentum T p , max
M 0 (t )
n(Tp , t )dTp
(3.7)
T p , min
56
a rendszerben jelenlévő szemcsék darabszámát adja meg. Ezt az észrevételt felhasználva
N (t ) M 0 (t )
nyilvánvaló az
egyenlőség. A szemcsés fázisra felírt (2.27)
mérlegegyenlet mindkét oldalát Tpk-val (k=0,1,2,…) megszorozva és a [Tp,min,Tp,max] intervallumon integrálva, az alábbi egyenletet kapjuk: T p ,max
dM k (t ) dt
qp K pg Tg (t ) T p n(T p , t ) dT p M k , in (t ) M k (t ) T p V
T pk
T p ,min
S pp S pw M k (t ) T p ,max
T pk
pp
T p ,min
2S pp 1 pp N (t )
T p ,max T p ,max
2 T p y y z n( y , t ) pp
T p ,min T p ,min
n( z , t )dydzF pp (d pp )dT p T p ,max
T pk
pw
T p ,min
S pw p w pw
Tw,max T p ,max
T p y y z p w pw
Tw,min T p ,min
n( y, t ) z Tw (t )dydzF pw (d pw )dT p
k=0,1,2,…
(3.8)
3.2.1. A szemcse és gáz fázis közötti hőátadást jellemző momentumkifejezés A fenti (3.8) egyenlet jobb oldalának első tagját a következő egyszerűbb alakra hozhatjuk, felhasználva a korábban (2.64)-ben megadott peremfeltételeket: T p , max
T pk
T p , min
T pk K pg
K pg Tg (t ) T p n(T p , t ) dT p T p
Tg (t ) Tp n(Tp , t ) T
T p , max
p , min
T p , max
kK pg
T pk 1 Tg (t ) T p n(T p , t )dT p
T p , min
kK pg Tg (t ) M k 1(t ) M k (t ) , k 0,1,2,... (3.9)
3.2.2. A direkt szemcse-szemcse hőátadást jellemző momentumkifejezés A (3.8) integro-differenciálegyenlet negyedik tagja szintén tovább egyszerűsíthető:
57
T p , max
T pk
1 S pp N (t )
pp
T p , min
T p , max T p , max
pp y z 1 2 2 pp
T p
T p , min T p , min
n( y, t )n( z , t )dydzF pp (d pp )dT p
pp
1 S pp N (t )
T p , max T p , max k j k pp
j
T p , min T p , min j 0
pp
1 2 2
k j
z j yk j
n( y, t )n( z , t )dydzF pp (d pp )
k k 1 j pp
S pp
M 0 (t ) j 0
pp
1 j 2 2 0
k j
F pp (d pp )M j (t ) M k j (t ), k 0,1,2,...
(3.10) A fenti levezetés részleteiben megtalálható Mihálykó et al. (2004) munkájában, itt most csak a kiinduló kifejezést és a végeredményként kapott összefüggést mutattam be, ahol az utolsó lépésben a binomiális tétel alkalmazásával kapjuk a fent látható összeget tartalmazó összefüggést. A jelen fejezetben egyedül e levezetés nem saját munkám eredménye.
3.2.3. A szemcse és fal fázis közötti hőátadást jellemző momentumkifejezés Az ötödik tagot, mely a szemcsék és a fal közötti hőátadást írja le a következőképpen alakítottam át: T p ,max
T pk
T p ,min
T pk
T p ,max
T p ,min
p w pw
T pk
pw
T p y y Tw (t ) n( y, t )dyF pw (d pw )dT p p w pw
Tw,min
Tw,max
S pw
pw
T p ,min
pw
T p ,max
Tw,max
S pw
T p pw pwTw (t ) y1 pw pw n( y, t )dyF pw (d pw )dT p
Tw,min Tw,max
S pw
Tw,min
T p 1 pwppwTw (t ) y n( y, t )dy
1 p w pw
w pw
F pw (d pw )dT p , k 0,1,2,...
(3.11) A Dirac-delta függvény tulajdonságai miatt igaz az alábbi formula:
58
T p ,max
Tw,max
T pk
pw
T p ,min
S pw
T p 1 pwppwTw (t ) y n( y, t )dy
1 p w pw
Tw,min
w pw
F pw (d pw )dT p T p ,max
S pw
T pk
T p ,min
(3.12)
T p p w pwTw (t ) 1 n 1 pw pw , t 1 pw pw F pw (d pw )dT p pw
A következőkben célom az
~ M kpw
T p ,max
T pk
T p ,min
T p p w pwTw (t ) 1 n ,t F (d pw )dT p 1 p w pw pw 1 p w pw pw
(3.13)
integrálkifejezés átalakítása olyan formára, mely a szemcse-fal hőátadási folyamat momentummodelljét adja meg. Ehhez a következő átalakításokat teszem meg:
Tekintettel arra, hogy
T p, min
T p p w pwTw 1 p w pw
T p, max és pw 1
biztosan tudjuk, hogy
T p, max T p T p, min T p ; ;1 . p w T p, min Tw p w T p, max Tw
pw min
A (3.13) integrált ez alapján a következő formában is megadhatjuk: T p ,min T p
~ M kpw
p w T p ,min Tw
Tw
T pk
T p ,min
0
T p ,max T p
p w T p ,max Tw
T p ,max
Tw
T pk
0
T p p w pwTw 1 n ,t F (d pw )dT p 1 p w pw 1 p w pw pw
T p p w pwTw 1 n ,t F (d pw )dT p 1 p w pw 1 p w pw pw (3.14)
Bevezetve az u :
T p p w pwTw 1 pw p w
helyettesítést a fenti integrálegyenlet a következő
alakban írható fel, ahol f az F eloszlásfüggvény sűrűségfüggvénye:
59
T p ,min
Tw
~ M kpw
T p ,min T p ,max
u Tp
Tp
u Tp
nu, t pw (u Tw ) f pw pw (u Tw ) dudT p 1
Tp
Tw
nu, t
T pk
u
T p ,max
(3.15)
Tw
T p ,min
1
T p ,max
T pk
Tw
nu, t pw (u Tw ) f pw pw (u Tw ) dudT p
T pk
u
T pk
Tw
u Tp 1 dT p du f pw p w (Tw u ) p ( u T ) w w
u Tp
nu, t pw (u Tw ) f pw pw (u Tw ) dT p du 1
Tw
Egy újabb helyettesítési lépés elvégzésével megkapjuk a momentumegyenlet végső alakját. Legyen y
Tw
u Tp
p w u Tw
, ekkor
1 pw
k yp w (Tw u ) u nu, t f pw y dydu
~ M kpw
T p ,min 0
1 T p ,max p w
k yp w (Tw u ) u nu, t f pw y dydu
Tw
(3.16)
0
T p ,max 1
k yp w (Tw u ) u nu, t f pw y dydu ,
T p ,min 0
mivel biztosan tudjuk, hogy pw 1. Utolsó lépésként a binomiális tétel alkalmazásával a fenti kettős integrált tartalmazó kifejezés végül az alábbi alakot ölti:
~ M kpw
T p ,max 1 k
T p ,min
i i k i i j j k j yp i w j 1 Tw u n(u, t ) f pw ( y)dydu j 0 0 i 0
(3.17)
k i i pw i bipw j 1i j Tw j M k j (t ), i 0 j 0 k
ahol bipw
i
1
y f pw ( y )dy és M i (t ) i
0
T p ,max i
u
n(u, t )du .
T p ,min
60
Egyszerű elemi átalakításokat elvégezve a szemcse-fal hőátadást jellemző fenti egyenlet tovább egyszerűsíthető, elnyerve így annak végleges formáját: k ~ k j M kpw b jpw , k M j (t )Tw (t ), j 0
ahol
(3.18)
1 k j b jpw p w pw k j F pw (d pw ) , k j 1 p w pw 0
Figyelembe véve a fentiekben megadott (3.9-3.11, 3.18) egyenleteket, a következő közönséges differenciálegyenleteket kapjuk:
dM k (t ) q p M k ,in (t ) M k (t ) kK pg M k 1(t )Tg (t ) M k (t ) S pp S pw M k (t ) dt V k S pp k pp pw k j b M ( t ) M ( t ) S j k j pw b j , k M j (t )Tw (t ), k 0,1,2,... j , k M 0 (t ) j 0 j 0
M k (0) M k ,0 , k 0,1,2,...
(3.19)
ahol 1 k pp pp b j ,k j 2 0
j
pp 1 2
k j
F pp (d pp ), k 0,1,2,..., j 1,2,...k
és pw b j ,k
1
k 1 p w pw j p w pw k j F pw (d pw ), k 0,1,2,..., j 1,2,...k . j 0
Az előző alfejezetben bevezettem azokat a differenciálegyenleteket, melyek leírják a szemcsék
mellett
a
szilárd-fluidum
rendszerben
megjelenő
egyéb
fázisok
hőmérsékletprofiljait is. Nevezetesen: egyenletet adtam meg a szemcsék, a készülék fala, a gáz és a folyadék fázisok hőmérsékletének vizsgálatához. Ezen egyenletek a momentumegyenlet-modellben is fontos szerepet töltenek be. Emlékeztetőül, a továbbiakban az alábbi egyenleteket vizsgáljuk: Egyenlet a gáz fázis hőmérsékletváltozására:
61
dTg (t ) dt
h pg a pg
g cg
hwg a wg Tg (t ) Tw (t ) Tg , in (t ) Tg (t ) V c qg
g g
M 0 (t )Tg (t ) M1 (t )
(3.20)
Egyenlet a készülék fal hőmérsékletének leírására (a fal hőmérsékletének „átlaga”):
dTw (t ) hwg a wgV h a V Tg (t ) Tw (t ) wl wl l Tw (t ) Tl (t ) dt mw c w mw c w VS wp p p m1, wp M 0 (t )Tw (t ) M 1 (t )
(3.21) A folyadék hőmérsékletét az alábbi egyenlettel jellemezzük:
dTl (t ) ql h a Tl ,in (t ) Tl (t ) wl wl Tl (t ) Tw (t ) dt Vl l cl
(3.22)
A (3.19)-ben definiált egyenlet-alak egy végtelen rekurzív egyenletrendszert definiál, mely – figyelembe véve, hogy a szemcse hőmérsékletváltozását megadó egyenlet lineáris – bármely momentumnál lezárható. Ahhoz, hogy egy zárt hőmérleg egyenletrendszert adhassunk meg, mindössze a nulladik és az elsőrendű momentum szükséges. A második és magasabb rendű momentumokkal a részecskék hőmérsékleteloszlását jellemezhetjük. Munkámban a (3.19) egyenletet a második momentumnál zártam le, így összefüggést kaptam a szemcsék populációs sűrűségfüggvényének nulladik és első momentumára valamint a szemcsés fázis szórásnégyzet-értékeinek számítására. Az előbbi összefüggésekkel számolva az alábbi momentumegyenlet-rendszer adódik: A rendszerben jelen lévő szemcse-darabszámra utaló egyenletet a nulladik momentum határozza meg:
dM 0 (t ) q p M 0,in (t ) M 0 (t ) dt V
(3.23)
M 0 (0) M 0,0
A szemcsés fázis első momentumára az alábbi egyenlet vizsgálata során kaphatunk információt:
62
dM 1 (t ) q p M 1, in (t ) M 1 (t ) K pg M 0 (t )Tg (t ) M 1 (t ) dt V S pw p w m1, pw Tw (t ) M 0 (t ) M 1 (t )
M 1 (0) M 1,0
(3.24)
A szemcse fázis második momentumára kapott összefüggés:
dM 2 (t ) q p M 2,in (t ) M 2 (t ) 2 K pg M1(t )Tg (t ) M 2 (t ) dt V M 2 (t ) S pp pp 1 M 2 (t ) 2S pw pwm1, pw Tw (t ) M1(t ) M 2 (t ) M 0 (t )
2 S pw pw m2, pw M 2 (t ) 2Tw (t ) M1(t ) Tw2 (t ) M 0 (t )
(3.25)
M 2 (0) M 2,0
Ez utóbbi egyenletben a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközések során fellépő hőátadást az pp és pw véletlen paraméterek várható értékével és szórásnégyzetével jellemezzük. A fenti egyenletben
m1, pp pp m1, pp 1 2
pp . 2 2
(3.26)
Már most ki kell emelnünk a szimulációs számítás során alkalmazott egyszerűsítő műveletet, miszerint az
M k (t ) momentumfüggvények átlagolhatók a nulladik
momentumot felhasználva (itt ne a klasszikus értelemben vett [0;1] intervallumra történő normálásra gondoljunk):
mk (t )
M k (t ) , k 0,1,2... M 0 (t )
(3.27)
Az mk (t ) függvényekkel számolva „stabilabb” egyenletrendszert tudunk megoldani, hiszen a számolás során nagy szemcseszám esetén az M k (t ) függvények meglehetősen nagy értékeket tartalmazhatnak. Az m1(t) függvény ebben az esetben a szemcsés fázis átlaghőmérsékletét mutatja majd. Felhasználva az első kettő, m1(t) és m2(t) momentumokat, számolható a szemcsés fázis hőmérsékletének szórásnégyzete:
63
2
M (t ) M (t ) (t ) 2 1 m2 (t ) m12 (t ) M 0 (t ) M 0 (t ) 2
(3.28)
Az (3.23, 3.24, 3.25) egyenletekből megadható közvetlenül a szemcsés fázis szórásnégyzetére vonatkozó differenciálegyenlet az alábbi formulával:
q p M 0,in (t ) 2 d 2 (t ) 2 K pg S pp pp S pw pw 2m1, pw pwm2, pw (t ) dt V M ( t ) 0 2
q p M 0,in (t ) 2 M (t ) in (t ) S pwm2, pw pw2 1 Tw (t ) V M 0 (t ) M 0 (t ) q p M12,in (t ) M1,in (t ) M1(t ) M 0,in (t ) M12 (t ) 2 2 V M 0 (t ) M 0,in (t ) M 0 (t ) M 02 (t ) M ( t ) 0
2 (0) 02
(3.29)
ahol m1, pw és m2, pw az pw véletlen paraméterhez tartozó első és második momentumot jelenti. Nevezetesen, 1
m1, pw pw F pw (d pw )
(3.30)
0
és 1
m2, pw 2pw F pw (d pw ) .
(3.31)
0
Ha feltételezzük, hogy a rendszerben levő szemcsék száma minden időpillanatban állandó, azaz M0,in=M0(t)=const teljesül, akkor a fenti egyenlet tovább egyszerűsíthető. Ez a feltételezés sok esetben hasznos, és a vizsgált egyenletrendszer egyszerűsítését vonja maga után, hiszen ilyen esetekben az M0(t)-re felírt egyenlet jobb oldalán 0 szerepel, mutatva azt, hogy a rendszer szilárd szemcsekomponenseinek száma nem változik az idő függvényében. Ilyen esetben a szórásnégyzet-értékek leírására felírt differenciálegyenlet egyszerűsödik, az a következő formában írható fel:
qp 2 d 2 (t ) 2 K pg S pp pp S pw p w 2m1, pw p w m2, pw (t ) dt V qp 2 qp in (t ) S pw m2, pw p w2 m1 (t ) Tw (t ) 2 m1, in (t ) m1 (t ) 2 V V
(3.32)
64
A (3.32) egyenlet jobb oldalának első tagját vizsgálva biztosan állíthatjuk, hogy a
2 (t ) együtthatója nem pozitív, azaz a zárójelben levő összegek nem negatívak. Az
állítás igazolása triviális, abban csak a 2m1, pw p w m2, pw
zárójeles tag előjele
igényel további vizsgálatot. Ismerve azonban, hogy pw (0;1) , valamint felírva az
m1, pw és m2, pw integrál alakú összefüggéseit könnyen igazolható az állítás.
Saját eredmények publikálása Jelen 3. fejezetben közölt eredményeimet a [P2], [P4], [P10] és [P12] munkáimban publikáltam.
65
4. Teljesen kevert rendszerek vizsgálata: szimulációs eredmények A felépített matematikai modell eredményeit jelen fejezetben tárgyalom részletesebben. Szimulációs modellnek (modell eljárásnak) a fluidizációs eljárást választottam, hiszen ezen eljárás során a teljesen kevert rendszerek vizsgálata fontos feladat. A következő alfejezet elsőként a fluidizációs eljárást mutatja be röviden.
4.1. Fluidizáció és alkalmazásai A kémiai technológiákban az utóbbi évtizedekben egyre nagyobb teret hódítottak azok az eljárások, melyek csökkentik a munkaerő-szükségletet, növelik az üzembiztonságot és nem utolsó sorban a termelékenységet. A múlt század közepén indultak meg a fluidizációval kapcsolatos intenzív kutatások, több száz írás, könyv jelent meg a témában. A fluidizáció a kémiai technológiákban és így az iparban is meghatározó fontosságú. Legtöbbször olyan folyamatok megvalósításánál kerül előtérbe a fluidizációs eljárások alkalmazása, ahol szemcsés, gáz és/vagy folyadék fázisok egyidejű jelenlétére van szükség. Néhány ilyen alkalmazási terület az alábbi:
fluidizációs katalitikus krakkolás;
turbulens fluidizáció; energiatermelés fluidágyban történő égetéssel; forró szemcsés rendszerek energiájának hasznosítása (fluidizációs hőcserélők); szemcsés rendszerek intenzív szárítása; granulálás-bevonás fluidizációs eljárással, stb.
66
A fluidizált réteg hőátadási folyamatainak vizsgálatakor az alábbi öt részfolyamatot kell figyelembe vennünk: hőátadás megy végbe a gáz és a szemcsék, a gáz és a készülék fala, a szemcsék és a fal, a szemcsék között, illetve a fal és a környezet között. Tekintsünk egy olyan szemcsés anyagot tartalmazó készüléket, melyben alulról felfelé gáz áramlik át. Az áramoltatott gáz sebességétől függően a szemcsés réteg következő állapotait figyelhetjük meg. Kezdetben a szemcsés fázis nyugalmi állapotban van, majd növelve az átáramoltatott gáz sebességét és elérve egy bizonyos szintet a szemcsés réteg teteje megemelkedik. A sebesség további növelésével először a szemcsék a réteg tetején mozgásba jönnek, majd a sebesség intenzitásának további fokozásával a felső szemcseréteg mozgása átterjed az egész rétegre. Meghaladva egy bizonyos sebességértéket, a fluidum a szemcséket magával ragadja, ekkor azok ütköznek egymással és köztük anyag- és hőátadás megy végbe. Ezt a jelenséget fluidizációnak nevezzük. A szemcsék hőmérséklete a belépő meleg gáz hatására a réteg alsóbb részein magasabb, míg annak felső részein alacsonyabb lesz. A gáz áramlási sebességének növelésével – mint az várható és kísérleti eredményekkel igazolható – ez a különbség egyre inkább csökken (Blickle, 1963; Coulson et al., 1993). A fluidizációs eljárást elsősorban kémiai folyamatok megvalósításakor alkalmazzák, így például katalitikus és nem katalitikus reakciók esetén alapvető szerepet tölt be. A kémiai folyamatoktól eltekintve azonban számos más technológiai alkalmazás is megemlíthető, úgymint a szárítás, a szublimálás vagy az adszorpció. A fluidizáció egyik legnagyobb előnye a termelékenység, mely ez esetben a készülék egységnyi térfogatában időegység alatt előállítható gáz- vagy szilárd halmazállapotú termék mennyiségét jelenti. A termelékenység és a fluidizáció kölcsönhatásakor az egyik kulcsfogalom az áramoltatott gáz sebessége, hiszen nagyobb térfogati sebesség meglétekor nő a termelékenység mértéke, egyúttal azonban a szemcsemozgások felgyorsulnak, mely meggyorsítja a reakció sebességét. Ez a fluidizáció egyenletességére negatívan hat, mivel annak mértékét erőteljesen csökkentheti (Blickle, 1963). Fluidizáció során a hőátadás jelentősége is meghatározó, mivel sok reakciónál nagy mennyiségű hőt kell elvonni vagy közölni a reagáló anyagokkal. Így tehát az áramoltatott gáz sebessége és a rendszerben jelen lévő hőátadási folyamatok jelenléte kulcsfontosságú, melyek nagyban meghatározzák a fluidizáció minőségi jellemzőit. Geldart (1973)-ban megjelent cikkében a szemcsés anyag méretét és sűrűségét nevezte meg elsődleges jellemzőnek a fluidizációs 67
folyamatok során. Munkájában négy jellemző osztályba sorolta a szemcséket átmérőjük és sűrűségük alapján és a bevezetett kategóriacsoportok szerint jellemezte a fluidizációs folyamatok néhány meghatározó tulajdonságát. Wen és Yu (1966) munkájukban a beáramoltatott gáz-sebesség változtatásának hatását vizsgálták a fluidizáció során. Kutatásaik eredményeképpen ma már általánosan elfogadott és széles körben alkalmazott az alább megfogalmazott összefüggés, mely a gáz fázisra jellemző minimális sebességértékét definiálja a fluidizációs folyamat során:
U mf
g d p
1135.7 0.0408 Ar 33.7 ,
(4.1)
ahol a gáz viszkozitását, g a gáz sűrűségét, d p a szemcsék átmérőjét, g a nehézségi gyorsulást, valamint Ar az Archimedesz számot jelöli a következőképpen: Ar g d 3p
p g 2
g
(4.2)
A szemcsék átmérőjének meghatározására fokozott figyelmet kell fordítanunk, mint ahogy azt Geldart 1990-es cikkében írja, hiszen sok esetben nem feltételezhető, hogy a szemcsék gömbátmérőit alapul véve az nem eredményez hibás megközelítést. E témakörben Rhodes 1990-es könyve ad részletes áttekintést, melyben ismerteti a szerző a szemcsehalmazok jellemzésekor leggyakrabban használt fogalmakat és mérési módszereket.
4.2. A fluidizált réteg hőátadási részfolyamatai és azok modellezése Egy fluidizációs készülékben három alapvető folyamatot különíthetünk el egymástól:
áramlási folyamatokat,
anyagátadási folyamatokat, és
hőátadási folyamatokat.
Ez utóbbi folyamattal foglalkozom részletesebben a következőkben. Sok olyan publikáció érhető el, mely a fluidizált réteg hőátadási jellemzőivel foglalkozik. Ezek közül megemlítve néhányat, a korai időszakból kiemelendő Wamsley és Johanson (1954) munkája valamint Kettenring és szerzőtársai által 1950-ben közölt írása, míg a későbbi évek fontosabb publikációi közül e témakörben Schlünder (1984), Martin 68
(1984), Sun és Chen (1988), valamint Delvosalle et al., (1985) és Vanderschuren et al. (1980) munkái fontos mérföldkövei a témakörnek. Ezen tanulmányok és a kíséreti tapasztalatok alapján megállapítható, hogy szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor az alábbi öt részfolyamatot kell figyelembe vennünk: hőátadás megy végbe
a fluidum és a szemcsék,
a fluidum és a készülék fala,
a szemcsék és a fal,
a szemcse-szemcse, illetve
a fal és a környezet között.
A fluidum és a szemcsék közti hőátadás során több tényezőt kell számba vennünk. A beáramló fluidum és szemcse hőmérsékletek különbözősége miatt a folyamat során végbemegy a két komponens közti hőmérsékletkiegyenlítődés. A hőmérsékletváltozást meghatározza pl. a két komponens érintkezési felülete, mely érték pontos megadása nem könnyű feladat, hiszen a szemcsék formájából adódó különbség nehezíti munkánkat. Meghatározó szempont a hőátadási együttható értéke is, melyet nagy körültekintéssel kell meghatároznunk. Bizonyos speciális rendszerekben – így például gejzíres fluidizáció vizsgálatakor – a gáz sebességének hatását is figyelembe kell venni, hiszen annak növekedésével a hőátadási tényező is lineárisan nő (Rhodes, 1990). Szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak modellezésekor, mint láttuk, alapvetően öt részfolyamatot különíthetünk el egymástól. E rendszerekben a szemcsék intenzív mozgása indukálja a szemcse-szemcse, illetve a szemcse-fal ütközéseket, melyek egyúttal hőátadási folyamatot is eredményeznek a szemcsék, valamint a szemcsés közeg és a készülék fala között. Éppen ezért munkámban mind a kísérleti, mind az elméleti jellemzők ismerete és tárgyalása elsődleges fontosságú a folyamat matematikai modellezésekor. A szemcse-szemcse és a szemcse-fal hőátadás három mechanizmus eredménye lehet:
hőátadás sugárzással;
hővezetés az egymással ütközött két felület között; valamint
gázlencsék felületén történő hőátadás által.
69
Az elsőként említett sugárzással történő hőátadástól a legtöbb esetben eltekinthetünk, hiszen folyamatmérnöki/vegyészmérnöki ismeretek alapján állítható, hogy 600°C fok alatt ez elhanyagolható jelentőségű (Rhodes; 1990) így szilárd-fluidum rendszerek modellezése során munkámban ezt nem veszem/vettem figyelembe. A második pontban említett hővezetés leírására számos tanulmány látott már napvilágot, így például Schlünder (1984), Martin (1984), valamint Sun és Chen (1988) adtak meg olyan analitikus összefüggéseket, melyek segítségével jellemezhetők a szemcse-szemcse, valamint a szemcse-fal ütközések. Tudvalevő azonban az is, hogy a két felület közötti hővezetéssel történő hőátadás nehezen különíthető el a gázlencsék felületén történő hőátadástól. Delvosalle et al. (1985) és Vanderschuren et al. (1980) megadtak egy determinisztikus modellt, mellyel vizsgálták a szemcse-szemcse közötti hőátadást, míg Molerus (1997) a gázlencsék felületén történő hőátadás vizsgálatára dolgozott ki összefüggéseket. Blickle et al. (2001) és Mihálykó et al. (2000) munkáikban véletlen folyamatnak tekintették a szemcsék közötti hőátadást és azzal a feltételezéssel éltek modelljeik kidolgozásakor, hogy a szemcsék ütközési felületei között, valamint a gázlencsék felületén végbemenő hőátadásokat egy aggregált véletlen paraméterrel lehet jellemezni. E véletlen paramétert, mint azt a 2. fejezetben láttuk, három paraméter együttesen határozza meg. Elmondható, hogy ha ismerjük a véletlen paraméterek eloszlásfüggvényeit, akkor azokból meghatározható ezek együttes eloszlása is. Ezen értékek becslésére Sun és Chen 1988-as munkája szolgáltat hasznos tudnivalókat, ahol a szerzők a szemcse-szemcse ütközések során tapasztalható jellemzőket vizsgálták. Számítógépes szimulációs kísérleteim során természetesen figyelembe vettem a fluidizációs eljárás során alkalmazandó fizikai jellemzőket a modellparaméterek beállítása során. A továbbiakban részletesen ismertetem szimulációs eredményeimet, melyeket fluidizációs eljárások hőátadási folyamatainak vizsgálata során kaptam.
4.3. Szimulációs eredmények A szemcse-szemcse valamint a szemcse-fal ütközési gyakoriságok értékeit több tényező figyelembevételével tudjuk csak megbecsülni. Ilyen tényezők lehetnek például a gáz áramlási sebessége, a szemcsék mérete vagy éppen az egységnyi térfogatban található szemcsék száma. Ismert továbbá, hogy szilárd-fluid rendszerekben a fázisok
70
áramlási sebessége különböző értékeket vehetnek fel, ami a szemcse-szemcse ill. a szemcse-fal ütközési gyakoriságok változását eredményezheti. A jelenség leírása valószínűségi eloszlással kezelhető, ahol vagy a kinetikaelmélet, vagy kísérleti, tapasztalati ismeretek lehetnek segítségünkre. A szimulációs eredmények vizsgálata során az ütközési gyakoriságok értékeit állandónak tekintettem. A fluidizált ágy hidrodinamikai feltételeit a 4.1 táblázatban található (4.3) és (4.4) összefüggések segítségével számoltam, mely összefüggések garantálják például valós gázsebesség választását, míg a gáz-fal, fal-folyadék és a gáz-szemcse hőátadási paraméterek értékei a (4.5)-(4.7) egyenletekből származtak. 4.1. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott hidrodinamikai és hőátadási paraméterek összefüggései (Re – Reynold szám, Nu – Nusselt szám, Ar – Archimedes szám, Pr – Prandtl szám) Összefüggés
Re mf 33.7 2 0.0408 Ar
1 Ret
1/ 2 33.7
21.35 1 2.78 2.556 Ar Ar log 0.065
Nu gw 0.0175 Ar 0.46 Prg0.33 0.8 0.3 Nulw 0.023Relw Prl
Re p Nu p 0.054
1.28
Irodalmi hivatkozás
Egyenlet
(Wen és Yu, 1966)
(4.3)
(Gumz és Frössling, 1960)
(4.4)
(Baskakov és Suprun, 1972) Dittus-Boelter összefüggés (Richardson és Ayers, 1959)
(4.5) (4.6) (4.7)
A fizikai és a különféle hőtermikus paraméterek értékeit konstans értékeknek tekintettem a kísérletek során. Ezen értékeket, jelentésüket valamint mértékegységeiket az alábbi 4.2. és 4.3. táblázatokban foglaltam össze. A szimuláció során természetesen olyan paraméterek is szerepet kapnak (így pl. a különféle ütközési gyakoriságok, szemcseátmérő, stb.), melyek értékei változnak a numerikus kísérletek során. Ezeket és szerepüket a szimulációs kísérleteknél minden esetben külön hangsúlyozom majd.
71
4.2. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott fizikai és hőtermikus paraméterek Paraméter
Érték
Átmérő, dp
1.810-3 m
Sűrűség, p
1040 kg m -3
Fajhő, cp
944 J kg-1 K-1
Hővezetés, kp
36 W m-1 K-1
Sűrűség, g
0.946 kg m-3
Fajhő, cg
1010 J kg-1 K-1
Viszkozitás, g
2.17 10-5 Pa s
Hővezetés, kg
2.39 10-2 W m-1 K-1
A készülék fala: rozs-
Tömeg, mw
145 kg
damentes acél
Fajhő, cw
465 J kg-1 K-1
Hővezetés, kw
50.2 W m-1 K-1
Sűrűség, l
998 kg m-3
Fajhő, cl
4182 J kg-1 K-1
Hővezetés, kl
0.606 W m-1 K-1
Viszkozitás, l
1.0 10-3 Pa s
Szilárd szemcsék: timföld
Fluidum: levegő
Hűtőközeg: víz
4.3. Táblázat: A numerikus kísérletekben alkalmazott működési paraméterértékek Fluidizált ágy
Paraméter
Érték
Átmérő, D
0.65 m
Magasság, H
0.9 m
Szemcsék térfogati áramlási sebessége, qp Fluidum térfogati áramlási sebessége, qg Fluidum-részecske szuszpenzió Hűtőköpeny
1.010-3 m3 s-1 1.2×10-1 m3 s-1
gáz térfogathányad,
0.6
Átmérő, Dl
0.75 m
Folyadék térfogati áramlási sebessége, ql
1.0×10-3 m3 s-1
72
4.4. Táblázat: A numerikus kísérletekben az egyes komponensek kezdeti és input hőmérsékletértékei Beáramló komponensek hőmérsékletértékei
Kezdeti hőmérsékletértékek
Komponens
Érték
szemcse
20◦C
gáz
180◦C
külső folyadék
10◦C
szemcsék
20◦C
gáz
20◦C
külső folyadék
10◦C
a készülék fala
20◦C
A numerikus kísérletek futtatásakor az ωpp és ωpw paramétereket a [0;1] intervallumon béta-eloszlás szerint az alábbiak alapján számoltam:
1 p 1 q 1 , ha 0 1 ( p, q) (1 ) f ( ) , pp, pw 0, ha 0 és ha 1
(4.8)
beleértve a határértékként adódó degenerált Dirac-delta eloszlások sűrűségfüggvényeit is. A szimulációs kísérleteim során megengedett az is, hogy belépő szemcsepopulációt két különböző hőmérsékletű szemcsetömeg adja. Az első ilyen populáció darabszámát
M 0,in , míg a másik populáció mennyiségét jelölje (1 )M 0,in , ahol 0 1 . A két ( 2) ) különböző populáció hőmérsékletét rendre T p(1,in és T p,in mutatja.
A 4.1.ábrán
figyelhetjük meg a rendszerbe belépő szemcsepopulációk hőmérséklet szerinti megoszlását.
73
T T p ,max
2) T p(,in
T p(1,in)
M0
T p ,min
M 0,in
M 0,in
4.1. ábra: A rendszerbe belépő két különböző mennyiségű és hőmérsékletű szemcsepopuláció hőmérséklet szerinti megoszlása A fent leírt hőmérsékleteloszlást megadó populáció eloszlásfüggvény az alábbi formában adható meg, melyet grafikusan a 4.2. ábra szemlélet:
(1)
(2)
N in T p , t M 0,in 1T p T p,in (1 )M 0,in 1T p T p,in , 0 1
(4.9)
A (4.9) eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény ez esetben a következőképpen definiálható:
(1)
(2)
nin T p , t M 0,in T p T p,in (1 )M 0,in T p T p,in , 0 1
(4.10)
N in (T p t ) M 0,in 1
T p ,min
T p(1,in)
2) T p(,in
T p ,max
T
4.2. ábra: A rendszerbe belépő két különböző mennyiségű és hőmérsékletű szemcsepopuláció eloszlásfüggvénye A numerikus kísérletek során alkalmazott szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok értékeit az irodalomból vett eredményeknek megfelelően rögzítettem.
74
Sommerfeld (2001; 2002) és Hamidipour et al. (2005a; 2005b) kísérleti eredményei alapján
ezen
paraméterek
nagyságrendjei
(jelölése:
Ο)
számolásaim
során
Spp=Ο(10)÷Ο(100) és Spw=Ο(1) voltak. Tekintve, hogy az Spp és az Spw mértékegységei s-1, ez a másodpercenkénti ütközési gyakoriságokat mutatja. A matematikai modell megoldásához Matlab környezetet felhasználva egy szimulációs programrendszert hoztam létre, mellyel megkönnyítettem a különféle paraméterértékek beállítását és a megkonstruált modellegyenletek megoldását. Ezen egyenletek megoldására az ODE15s megoldót alkalmaztam. A következőkben néhány számítási eredményt mutatok be, ahol többek között az egyes paraméterértékek változtatásának hatását is vizsgáltam. A 4.3. ábra a gáz fázis áramlási sebesség változtatásának hatását mutatja stacionárius állapotban a szemcsék átlaghőmérsékletére, ill. a gáz, a fal és a folyadék fázisok hőmérsékletére. Látható, hogy a kezdeti gáz áramlási sebesség növelése monoton növeli a rendszer többi komponenseinek (szemcsék, fal és a külső hűtőfolyadék) hőmérsékletét. Megfigyelhető az is, hogy a gáz hőmérséklete elsőként eléri minimumát, majd a további gáz sebesség növelése a gáz hőmérsékletében is monoton növekedést eredményez.
T
Tg m1
Tw Tl
ug 4.3. ábra: A gáz fázis áramlási sebessége változtatásának hatása (a 4.1. táblázat alapján) a szemcsés fázis átlaghőmérsékletére ill. a gáz, a fal és a folyadék hőmérsékletére stacionárius állapotban
75
A szemcsék mérete – ahogy várható – szintén meghatározó a szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Az alábbi 4.4. ábra a részecskék átmérőjének változtatása mellett állandó áramlási sebességnél mutatja a rendszerben jelen levő komponensek hőmérséklet-jellemzőit. Megfigyelhető, hogy a dp átmérőparaméter értékének növelésével a gáz hőmérséklete és a szemcsék átlaghőmérséklete csökken, hiszen
nagyobb
szemcse
méret
esetén
a
szemcsék
felmelegítése
nagyobb
hőmennyiséget igényel, mely a gáz hőmérsékletének csökkenését eredményezni. Egyúttal azonban a nagyobb szemcseméretű populáció ellentétes irányban fejti ki hatását a fal illetve a folyadék fázis esetén. Azok hőmérséklete szigorúan monoton növő függvénnyel írható le. Fontos hangsúlyoznom, hogy a külső hűtőfolyadék hőmérséklete is lassú „ütemben”, de monoton növekedő tendenciát mutat.
T
Tg
m1 Tw
Tl
dp 4.4. ábra: A részecskék átmérőjének hatása a szemcsés fázis átlaghőmérsékletére és a gáz, a fal és a folyadék hőmérsékletértékeire Az előbbiekben külön-külön vizsgált és bemutatott paraméterek változtatásának eredményét mutatja be a 4.5. ábra, ahol három dimenzióban figyelhetjük meg a gáz áramlási sebességének és a szemcsék átmérőjének változtatásával járó, a szemcsékre vonatkozó
hőmérsékletprofilt.
Ahogy
az
természetesen
várható,
a
kapott
76
átlaghőmérséklet-felület mutatja a hőmérséklet növekedését az áramlási sebesség értékének növelésével, valamint a szemcsék átmérőjének csökkenésével. További
hasznos
információt
mutathat
az
előbbiekben
vizsgált
szemcsehőmérsékletek szórásnégyzeteinek alakulása is. A bemutatott átlaghőmérséklet grafikonokat kiegészítve a nulladik és második momentum felhasználásával számított szórásnégyzet-értékekkel már pontosabb képet adhatunk a szemcsés fázis jellemzőiről. A 4.6. ábra a részecskék hőmérsékletértékeinek szorásnégyzet-értékeit mutatja a gáz áramlási sebessége és a szemcseméret függvényében. Látható, hogy a szemcsék szórásnégyzet-értékei nőnek a gáz áramlási sebességének növelésével, ugyanakkor csökkennek a szemcseátmérők növelésével. Ezen eredmények ismeretében kimondható, hogy a 4.5. és 4.6. ábrák egyúttal azt is mutatják, hogy a kisebb átmérőjű szemcsék dinamikusabban tudnak viselkedni a hőátadás szempontjából, mint a nagyobb átmérőjű szemcse-komponensek.
m1
dp
ug 4.5. ábra: A szemcsepopuláció átlaghőmérsékletének változása a szemcseátmérő és a gáz térfogati áramlási sebességének változtatása mellett
77
A bemutatott ábrák alapján nyilvánvaló, hogy a gáz térfogati áramlási sebességének növelésével a szemcsék átlaghőmérséklete nő, és ezzel párhuzamosan a szemcse populáció szórásnégyzet-értékei is nőnek (nagyobb növekedési tendencia nagyobb szemcseátmérő esetén figyelhető meg). A megemelkedett szórásértékek kedvezőtlen hatása a szemcse-szemcse és a szemcse-fal ütközési gyakoriságok mértékének növekedésével csökken.
2
dp
ug 4.6. ábra: A szemcsepopuláció hőmérsékletének szórásnégyzet-értékei a szemcseátmérő és a gáz áramlási sebességének változtatása mellett Az alábbi grafikon a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok intenzitásának változásával előálló szórásnégyzet eredményeket mutatja be. E tulajdonság
vizsgálata
fontos,
hiszen
a
szemcse
populáció
hőmérsékleti
homogenitásának kérdése meghatározó pl. a nemlineáris hőmérsékletfüggő katalitikus reakcióknál vagy különféle szárítási eljárásoknál. Az egyes komponensek közötti hőátadási paraméterek értékeit nem változtattam a különféle futtatások során.
78
Az eredményekből látható, hogy a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok
intenzitásának
növelése
a
szórásnégyzet-értékek
csökkenését
eredményezi.
2 m1, pp 0.5 m1, pw 0.8
S pp
S pw
4.7. ábra: A szemcsepopuláció hőmérsékletének szórásnégyzet-értékei a szemcseszemcse és szemcse-fal ütközési gyakoriságok függvényében Ugyanakkor világos, hogy a direkt szemcse-szemcse ütközések gyakorisága nincs hatással a szemcse fázis átlag-hőmérsékletértékeinek alakulására. Ez mérnöki szempontból érthető, hiszen az átlaghőmérsékletet vizsgálva a szemcsés fázis átlaghőmérséklet-értékeire ez az ütközési gyakoriság nem lehet hatással, hiszen a rendszer hőmennyisége nem változik. Ezt támasztja alá a levezetett modellegyenletek (3.24)-es összefüggése is, mely egyenletben – mint látható – az S pp paraméter nem jelenik meg.
79
T Tg (t )
S pp 1, 10, 20, 40, 80, 100 S pw 1 m1, pp 0.5 m1, pw 0.8
m1 (t )
Tw (t ) Tl (t )
t 4.8. ábra: A rendszer egyes komponenseinek tranziens hőmérsékletértékei különböző szemcse-szemcse ütközési gyakoriságok mellett A 4.8. ábra a szilárd-fluidum rendszer komponenseinek hőmérsékletértékeit mutatja. Látható – mint korábban már utaltam is rá –, hogy a szemcse-szemcse ütközési gyakoriság mértékének módosítása a szemcse fázis átlaghőmérsékletére és a többi komponens hőmérsékletprofiljára sincs hatással. Látható, hogy a hat különböző szemcse-szemcse ütközési gyakorisági érték esetén (1, 10, 20, 40, 80, 100) a szemcsék átlaghőmérsékletét (és az egyéb komponensek hőmérsékletét) mutató görbék teljesen egybeesnek. A következő négy ábra (4.9, 4.10, 4.11, 4.12) a gáz fázis hőmérsékletét és a szemcsés fázis átlaghőmérsékletét mutatja a szemcse-fal ütközési gyakoriságok ill. az m1, pw paraméter függvényében. Nagyobb szemcse-fal ütközési gyakoriságok mellett mind a gáz, mind a szemcsés fázis hőmérséklete csökken. Ennek oka a szemcsés fázisból a fal irányába történő hőátadásában keresendő, hiszen a hidegebb fal a gyakoribb ütközések miatt melegebb lesz. Ennek hatása megjelenik a gáz és a szemcsék hőmérsékletében is. Az m1, pw paraméter a fal és a szemcsék közötti hőátadás minőségét jellemzi mint
80
láttuk korábban. Ahogy az várható, 0-hoz közeli értékek esetén a gáz fázis hőmérséklete sokkal kisebb mértékben csökken, mint 1-hez közeledve, hiszen az egyre jobb hőátadás következményeképpen a szemcsék egyre nagyobb mértékben adják át hőmérsékletüket a falnak, ami a szemcsék hőmérsékletének csökkenésében nyilvánul meg. Ilyen esetben a szemcsék jobban fűtik a falat, melynek eredménye a kisebb szemcse átlaghőmérséklet. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a szemcsék több hőt vonnak el a gáz fázistól is.
T g (t )
S pp 100 m1, pp 0.5 m1, pw 0.8
S pw 1 S pw 4 S pw 8
S pw 2 S pw 16
t 4.9. ábra: A gáz fázis tranziens hőmérsékletváltozása különböző szemcse-fal ütközési gyakoriságok esetén
81
Tg (t )
S pp 100 S pw 1 m1, pp 0.5
m1, pw 0.09 m1, pw 0.1 m1, pw 0.2 m1, pw 0.3 m1, pw 0.5 m1, pw 0.8 m1, pw 1 t
4.10. ábra: A gáz fázis tranziens hőmérsékletváltozása különböző m1, pw paraméter esetén
m1 (t )
S pp 100 m1, pp 0.5 m1, pw 0.8
S pw 1
S pw 2 S pw 4 S pw 8 S pw 16
t 4.11. ábra: A szemcsék tranziens átlaghőmérséklet-változása különböző szemcse-fal ütközési gyakoriságok esetén 82
m1 (t )
m1, pw 0.09
S pp 100 S pw 1 m1, pp 0.5
m1, pw 0.1 m1, pw 0.2
m1, pw 0.3 m1, pw 0.5 m1, pw 0.8 m1, pw 1 t 4.12. ábra: A szemcsék tranziens átlaghőmérséklet-változása különböző m1, pw paraméter esetén
Saját eredmények publikálása Jelen 4. fejezetben közölt eredményeimet a [P2], [P4], [P11] és [P12] munkáimban publikáltam.
83
5. Térbeli hőmérséklet-eloszlás vizsgálata cellás modell segítségével Az előző fejezetben megadtam egy matematikai modellt, mely segítségével szilárdfluidum rendszerekben vizsgálhatjuk a hőátadási folyamatokat. Jelen ismereteink alapján, a felírt modellt megoldva meg tudjuk mondani, hogy a t-edik időpillanatban hány szemcse van a rendszerben, ezen szemcséknek mennyi az átlaghőmérséklete, stb. A
munka
ezen
pontján
a
korábban
megismert
összefüggések/egyenletek
felhasználásával egy új megközelítést vezetek be, mellyel a rendszer térbeli (jelen állapotban egydimenziós) tulajdonságaira következtethetünk. A modellezés során elsőként egy un. cellás modellt alkalmazok a folyamatok vizsgálatára. Elsőként bevezetem ezen cellás megközelítés általános modelljét, majd a jelen fejezet további részeiben speciálisabb eseteket tekintek. Nevezetesen: a cellás modellt alkalmazom turbulens fluidizáció modellezésére, és – hasonlóképpen – fluidágyas hőcserélő rendszereket is vizsgálok.
5.1. Az általános cellás modell Tekintsük a 5.1. ábrán látható cellás modellt. Mint az látható, a vizsgált sematikus szilárd-fluidum rendszert K darab cellára osztjuk fel és vizsgáljuk az egyes cellákban található szemcseszámot, a szemcse halmaz átlaghőmérsékletét, a gáz hőmérsékletét, a fal hőmérsékletét és a szemcse populáció hőmérsékletértékeinek szórását. (1 R)q
q 1. cella
(1 R)q
…
2. cella
Rq
Rq
q K. cella
Rq
5.1. ábra: A cellás modell sematikus rajza, q – térfogati áramlási sebesség, R – visszakeveredési arányszám
84
Mint ahogy az 5.1 ábrán látható, a q paraméter jelöli a térfogati áramlási sebességet (m3s-1-ben mérve). A rajzon nem különböztettem meg a szemcsékre vonatkozó térfogati áramlási sebességet a fluidum térfogati áramlási sebességétől, de természetesen ez megtehető; a következő alfejezetekben bemutatott eredményeknél ezen értékeket különbözőnek tekintettem (qp a szemcsékre, qg a gáz, ql a hűtőfolyadékra utal). Hasonlóan, a folyamat modellezésekor R-rel jelöltem (Rp, Rg, Rl) a visszakeveredési arányszámot, mely lehetőséget ad a gáz, a szemcse és a hűtőfolyadék komponenseknek az i-edik cellából az i-1-edik cellába (i=2,…,K) történő áramlására, visszakeveredésére. Ezáltal elérhetjük, hogy a rendszerünket nem tökéletesen kevert rendszerként vizsgálhassuk. Az előbbi ábrán látható, hogy a készülékbe q térfogati áramlási sebességgel érkeznek az egyes komponensek. Az első és az utolsó cellát vizsgálva megfigyelhető, hogy a belépő térfogatáram nagysága (1+R)q, míg a rendszer további celláiban ez az érték (1+2R)q lesz (szintén megkülönböztethető a szemcsés fázisra, illetve a gázra vonatkozó R visszakeveredési arányszám is, ahogy azt fent már jelöltem). Ezt szem előtt tartva vizsgálhatjuk a szilárd-fluidum rendszerek térbeli hőmérsékleteloszlását is oly módon, hogy a készülék minden cellájára felírjuk a korábban bevezetett összefüggéseket. Nevezetesen egyenletet írunk fel a K darab cellában jelen levő szemcse darabszámra, szemcse-átlaghőmérsékletre, gáz és fal hőmérsékletre, valamint a szórásnégyzet értékekre.
5.1.1. A cellás modell mérlegegyenletei A második fejezetben bevezetett (2.27, 2.39b, 2.42, 2.43) mérlegegyenletek analógiájára az alábbi egyenleteket adhatjuk meg cellás modell esetén. A vizsgált rendszert K darab cellára osztottam fel, ahol minden cellát teljesen kevert állapotúnak tételezek fel a továbbiakban is. Ezen cellák alkalmas módon történő összekapcsolása biztosítja majd a hosszirányban nem teljesen kevert rendszerben a térbeli hőmérsékleteloszlás vizsgálatát. A következő egyenleteket adhatjuk meg. A szemcse populáció hőmérséklet eloszlását leíró egyenletet a k. cellában a következőképpen adhatjuk meg. Itt a (2.27)-es egyenletből kiindulva és azt egyszerűsítve áll elő az alább bemutatott összefüggés.
85
n k (T p , t ) t
S k 1 R p q p Vk
[ K pg T g ;k (t ) T p n k (T p , t )] 1 S k R p q p n k 1 (T p , t ) T p Vk
n k 1 (T p , t )
1 Z k R p q p Vk
n k (T p , t ) ( S pp S pw )n k (T p , t )
(5.1)
T p ,max 1
2(T p y ) n k ( y, t ) f ( pp ) 2 d pp dy n y , t k pp N k (t ) pp pp T p ,min 0 S pp
1 T p p w pwTw;k 1 S pw n k , t f pw ( pw ) d pw 1 p w pw 1 p w pw 0
k 1,2,..., K , t 0
ahol továbbra is 2h pp a pp pp
pp 1 e
m pC p
h pw a pw pw m p c p mw c w és pw 1 exp m p c p mw c w
,
K a cellák darabszáma, nk (T p , t ) a k-adik szemcsés cellára felírt populációs sűrűségfüggvény, Tg ; k (t ) a gáz hőmérsékletét mutatja a t-edik időpillanatban a k-adik cellában, míg Tw; k (t ) a k-adik cella falának hőmérsékletét jelenti ( k 1,2,...K ). Fontos hangsúlyozni, hogy míg a teljesen kevertnek tekintett modellben mw a készülék falának teljes tömegét jelentette, addig cellás modell esetén az adott cella tömegértékére utal a továbbiakban; hasonlóan a Vk térfogat egy cella térfogatát jelenti. Az egyes cellák közötti áramlás matematikai leírásában az S és Z egész értékű változókat használjuk a következők szerint: S1 0, S K 1, Z1 Z K 1 , S l 1 , Z l 2 , l 2, ..., K 1 . A fenti egyenletben levő tagok jelentései nagyrészt megegyeznek a teljesen kevert rendszer esetében alkalmazott kifejezésekkel. Nevezetesen, az egyenlet jobb oldalán lévő
első
tag
a
gáz-szemcse
hőátadásból
fakadóan
a
(Tp,Tp+dTp)
hőmérséklettartományba tartozó szemcsék darabszámának változását
mutatja, a
második, harmadik és negyedik kifejezés a populációs sűrűségfüggvény változását adja meg a k. cellában a be- és kiáramló szemcséket figyelembe véve, míg az utolsó két tag rendre a direkt szemcse-szemcse hőátadásból származó illetve a szemcsék és a fal közötti hőátadásból származó folyamatokat definiálják.
86
A gáz hőmérsékletére felírt egyenlet a k. cellában az alábbi formában adható meg, ahol k a k-adik cellára érvényes térfogathányadot jelöli: dTg ; k (t ) dt
(1 S k R g ) k 1q g Vk k
(1 Z k R g ) k q g Vk k hwg a wg g cg
Tg ; k (t )
Tg ; k 1 (t )
h pg a pg g cg k
R g k 1q g Vk k
Tg ; k 1 (t )
T p ,max
Tg ; k (t ) T p (t )
nk (T p , t )dT p
T p ,min
(Tg ; k (t ) Tw; k (t )),
k 1,2...K , t 0
(5.2) Az (5.2)-es egyenlet jobb oldalának első három kifejezése a hőmérsékletváltozást mutatja a beáramló fluidum hatására, míg az ezt követő két tag a teljes hőátadást jellemzi a gáz és a szemcsék illetve a gáz és a készülék fala között a k-adik cellában. A fal hőmérsékletére felírt egyenlet a k. cellában az alábbi:
dTw;k (t ) dt
hwg awgVk k mwcw
Tg ;k (t ) Tw;k (t ) hwlmawlcVl;k Tw;k (t ) Tl;k (t ) w w
T p , max 1
Vk S wp p p
wp Tw;k (t ) T p nk Tp , t Fwp (dwp ) dT p
T p , min 0
k 1,2...K , t 0 (5.3) Az (5.3)-as egyenlet jobb oldali első két tagja a gáz-fal és a fal-folyadék hőátadását mutatja a k-adik cellában, míg az utolsó kifejezés a fal hőmérsékletének változását adja meg a szemcse-fal ütközésekből adódóan. Végül utolsó komponensként a hűtőfolyadék hőmérsékletére felírt egyenletet adom meg a k. cellára a t-edik időpillanatban: dTl ;k (t ) dt
(1 Sk Rl )ql Rq (1 Z k Rl )ql Tl ;k 1(t ) l l Tl ;k 1(t ) Tl ;k (t ) Vl ;k Vl ;k Vl ;k
h a wl wl Tl ;k (t ) Tw;k (t ) l cl
(5.4)
Az (5.1, 5.2, 5.3 és 5.4) egyenletekhez tartozó kezdeti feltételek az alábbiak:
87
nk (Tp ,0) n0 (Tp ), Tg ;k (0) Tg ,0;k , Tw;k (0) Tw,0;k , és Tl ; k (0) Tl ,0; k , k 1,2...K
és n0 (Tp , t ) nin (Tp , t ) , Tg ;0 (t ) Tg ,in (t ) , Tl ;0 (t ) Tl , in (t ) .
Előre
definiált
segédfüggvényként
az
alábbi
hozzárendelések
biztosítják
az
egyenletekben szereplő (K+1)-ik cellára vonatkozó hivatkozások helyes leírását: nK 1(Tp , t ) 0 , Tg ;K 1 (t ) 0 és Tl ;K 1 (t ) 0 .
5.1.2. Momentumegyenletek a cellás modell leírására Bevezetve a szemcsék populációs sűrűségfüggvényének momentumait a korábban már tárgyalttal analóg módon az T p ,max M I ; k (t ) T pI nk (T p , t )dT p , T p ,min
m I ; k (t )
M I ; k (t ) M 0; k (t )
, I=0, 1, 2,…, k 0, 1...K
(5.5)
összefüggésekkel, a momentumegyenletek végtelen halmazát kapjuk: dM I ; k (t )
dt S pp M 0; k
IK pg ( M I 1; k (t )Tg ; k (t ) M I ; k (t )) ( S pp S pw ) M I ; k (t ) I
I
j 0
j 0
b jpp M j; k (t )M I j; k (t ) S pw b jpw M j; k (t )TwI ;k j (t ) , I , I (t )
(1 S k R p )q p Vk
M I ; k 1 (t )
Rpq p Vk
M I ; k 1 (t )
(1 Z k R p )q p Vk
(5.6)
M I ;k ,
ahol a kezdetiértékek: M I ; k (0) M I ; k ,0 , k 1,2...K , I 0,1,..., t 0 Az (5.6) egyenletet használom majd fel a következő fejezetben a szemcsés fázis térbeli hőmérséklet eloszlásának vizsgálatára. Figyelembe véve, hogy I értéke 0-tól egyesével nő, és hogy az egyenletet a második momentumnál zárom majd le, az alábbi összefüggéseket kapjuk néhány átalakítási lépés után:
dM 0; k (t ) dt
(1 S k R p )q p Vk
M 0; k 1 (t )
Rpq p Vk
M 0; k 1 (t )
(1 Z k R p )q p Vk
M 0; k (t ) (5.7)
88
dM 1; k (t )
K pg M 0; k (t )Tg ; k (t ) M 1; k (t ) S pw p w m1, pw M 0; k (t )Tw; k (t ) M 1; k (t ) dt (1 S k R p )q p Rpq p (1 Z k R p )q p M 1; k 1 (t ) M 1; k 1 (t ) M 1; k (t ) V V V
(5.8) A fluidumra és a falra felírt egyenletek átalakításával kapjuk az (5.9, 5.10) egyenleteket:
dTg ; k (t ) dt
(1 S k R g ) k 1q g Vk k
(1 Z k R g ) k q g Vk k hwg a wg g cg
dTw;k (t ) dt
Tg ; k (t )
Tg ; k 1 (t )
h pg a pg g cg
R g k 1 q g Vk k
Tg ; k 1 (t )
M 0 (t )Tg; k (t ) M1; k (t )
(5.9)
Tg; k (t ) Tw; k (t )
hwg awgVk k mwcw
Tg;k (t ) Tw;k (t ) Vk S pw p p m1, M 0 (t )Tw;k (t ) M1;k (t ) wp
h a V wl wl l ;k Tw;k (t ) Tl ;k (t ) mwcw
(5.10)
A szórásnégyzet és a momentumok között fennálló összefüggést felhasználva az alábbi egyenlet adódik:
d k 2 (t ) dt 2 K pg S pp pp S pw p w 2m1, pw p w m2, pw
qp Vk M 0; k
R p M 0; k 1 (t ) (1 S k R p ) M 0, k 1 (t ) k 2 (t ) (t )
2
q p (1 S k R p ) M 0, k 1 (t ) 2 2 M 1; k (t ) k 1 (t ) S pw m2, pw p w Tw; k (t ) M 0; k (t ) Vk M 0; k (t ) 2
q p (1 S k R p ) M 0; k 1 (t ) M 1; k 1 (t ) M 1; k (t ) R q M (t ) p p 0; k 1 2 (t ) k 1 M 0; k 1 (t ) M 0; k (t ) Vk M 0; k (t ) Vk M 0; k (t ) R p q p M 0; k 1 (t ) M 1; k 1 (t ) M 1; k (t ) Vk M 0; k (t ) M 0; k 1 (t ) M 0; k (t )
2
(5.11)
89
Mint az könnyen észrevehető, a (5.4), (5.7-5.11) egyenletek speciális eseteként (K=1) visszakapjuk az egy cellás modellünket, a (3.20-3.24 és 3.29) egyenleteket.
5.1.3. A cellás modell eredményeinek bemutatása A hosszirányban nem teljesen kevert gáz-szilárd fluid-rendszer tulajdonságait leíró cellás modellt számítógépes szimulációval vizsgáltam. Megoldottam az (5.4) és (5.75.11) egyenletekből álló rendszert. A megoldások közül illusztrációként a K=3 esetben kapott eredményeimet ismertetem, de természetesen K értéke nagyobb felosztási mértéket is mutathat. Ezen nagyobb felosztásokra a későbbi alfejezetekben mutatok be példát, amikor a fluidágyas hőcserélő rendszerek vagy a turbulens fluidizáció hőátadási folyamatait vizsgálom cellás modellek segítségével. A jelenlegi kísérletek során a paraméterértékeket a fizikai követelményekhez igazodva az
alábbiaknak
választottam
(5.1.
táblázat).
A
táblázatban
nem
szereplő
paraméterértékek megegyeznek a 4. fejezetben bemutatott 4.1, 4.2, 4.3 és 4.4. táblázatokban ismertetett értékekkel. 5.1. táblázat: A legfontosabb paraméterek és értékeik
hwg 5 W/m 2 / K
Vl 1 m 3
M 0;k 2 10 8
q p 1.03 10 3 m 3 / s
h pg 10 W/m 2 / K
S pp 720 s 1
S pw 10 s 1
a pg 1.02 10 5 m 2
hwl 5 W/m 2 / K
a wg 4.84 m 2
V 1.5 m 3
Tl (t ) 20 C
q g 0.51 m 3 / s
m w 190.0 kg
a wl 4.84 m 2
Tg ,in (t ) 120 C
m p 3.2 10 6 kg
Rp=5
Rg=5
Rl=5
Az 5.2. ábrán a szemcsék átlaghőmérsékletét és a gáz hőmérsékletét láthatjuk az egyes cellákban. Mint az a grafikonról leolvasható, a legnagyobb hőmérsékletkülönbség az 1. cellában található. A fluidum hőmérséklete 80.06°C fokra állt be, míg a szemcsék átlaghőmérséklete 76.07°C foknak adódott. A kísérletek során mindhárom cella kezdő szemcse- és gáz-hőmérséklete 20-20°C fokos volt. A második cellában csökken a két komponens hőmérséklete közötti különbség, mindössze 0.6 °C fok az eltérés,
míg
a
harmadik
cellában
a
10.000-dik
időpillanatban
a
kapott 90
hőmérsékletértékek közötti differencia 0.2 °C. Természetesen ez az érték nagyobb ütközési gyakoriság és/vagy nagyobb hőátadási együttható esetén tovább csökkenthető.
5.2. ábra: A fluidum hőmérsékletének (-), és a szemcsék átlaghőmérsékletének (*) tranziensei az idő függvényében a különböző cellákban (K=3)
5.3. ábra: A fal hőmérsékletének változása az idő függvényében a különböző cellákban (K=3)
91
Az 5.3. ábrán a fal tranziens hőmérsékletértékei kísérhetők figyelemmel. Ahogy az várható volt, a kapott grafikonok követik a szemcsés fázis átlaghőmérsékletét. A legnagyobb falhőmérséklet-érték a második cellában adódott, míg az első és harmadik cella adatai közel azonosak a stacionárius állapotban. A jelenség magyarázatát a visszakeveredési arányszám értékei adják meg (a kísérlet során ezek egységesen 3.0 értékkel
rendelkeztek),
melyek
nagyban
meghatározzák
a
kialakuló
hőmérsékletértékeket, hiszen az egyes cellákból visszaáramló szemcsék eltérő hőmérsékletértékeket eredményezhetnek. Az 5.4. ábra a szemcsepopuláció szórásnégyzet értékeit mutatja tranziens állapotban. Ahogy azt vártuk, a legnagyobb értékek az első cellában adódnak. A rendszerbe beáramló 120 °C fokos gáz és a 20 °C fokos szemcse-átlaghőmérséklet a szórásnégyzet értékek ugrásához vezet, míg a második és a harmadik cellában a szemcse és gáz hőmérsékletértékek egyre inkább közelítenek egymáshoz, mely jóval szűkebb hőmérséklet-eloszlást eredményez.
5.4. ábra: A szemcse fázis szórásnégyzete az idő függvényében a különböző cellákban (K =3) Az 5.5. ábra a környezeti hűtőfolyadék hőmérsékletváltozását mutatja tranziens állapotban. Mint látható, nagyon kis mértékben ugyan, de a hőmérsékletértékek növekedése figyelhető meg a grafikonon.
92
5.5. ábra: A hűtő folyadék hőmérséklete az idő függvényében a különböző cellákban (K =3) Fontos megemlítenünk, hogy az Rp, Rg és Rl paraméterek értékeit például 0-nak választva elérhetjük, hogy egy olyan rendszert kapjunk, melyben nincsen szemcse, gáz és hűtőfolyadék visszakeveredés, míg ezen paraméterek értékét nagynak választva ( R ) tulajdonképpen egy egycellás modellt vizsgálunk. Egy másik szimulációs kísérletben azt vizsgáltam, hogy a visszakeveredési arányszám változtatása milyen hatást gyakorol a stacionárius állapotbeli hőmérsékletértékekre. Változtattam többek közt a folyamatot jellemző hőátadási paraméterek értékeit, hogy a különbséget hangsúlyosabban tudjam bemutatni. Az alábbi 5.6-os ábra ezen eredményeket szemlélteti. A három cellára vonatkozó hőmérsékletértékek láthatóak az alábbi ábrán stacionárius állapotban az Rp paraméterek változásának függvényében. Megfigyelhető, hogy Rp40 visszakeveredési arányszám esetén a rendszer a teljes kevertség állapota felé halad, míg Rp =0 esetén figyelhető meg a legnagyobb különbség az egyes cellákban található fázisok hőmérsékletértékei között.
93
Tg;k(t) m1;k(t) 1. cella 2. cella 3. cella
Rp 5.6. ábra: A fluidum fázis hőmérséklete (folytonos görbével) és a szemcsés fázis átlaghőmérséklete (diszkrét adatpontokkal szemléltetve) stacionárius állapotban különböző Rp értékek esetén A következő két alfejezetben a cellás modellek egy-egy konkrét alkalmazását mutatom be. Elsőként a turbulens fluidizáció, majd a fluidágyas hőcserélő rendszerek modelljét tárgyalom szimulációs eredményeimmel kiegészítve.
5.2. Turbulens fluidizáció leírása cellás modellel A
turbulens
fluidizációt
kismértékű
nyomásingadozás
és
fluidum-szemcse
interakciók jellemzik. Bi és munkatársai 2000-ben megjelent cikkükben rámutatnak a
gáz-szilárd
turbulens
fluidizáció
megannyi
tulajdonságára,
összefoglaló
munkájukban elemzik annak tulajdonságait. A turbulens áramlásra jellemző örvénylés e fluidizációs eljárásnál abból adódik, hogy a tér minden pontjában a sebesség igen gyorsan és véletlenszerűen változik mind irányát, mind nagyságát tekintve. Az áramlás alapvetően két tartományból épül fel: a fal mellett egy un. határréteg található, melyet lamináris áramlás jellemez és a gáz sebessége az áramlás egészére jellemző átlagos értékkel írható le. Az áramlás határrétegen kívüli része az
94
áramlás magja, melyre az a jellemző, hogy az időbeli átlagsebesség minden pontban gyakorlatilag azonos. A következőkben a megismert cellás modellt alkalmazom turbulens fluidizáció leírására. A fluidizált ágyat tekintve az alábbi sematikus ábra mutatja a vizsgált rendszert, egyúttal jelezve a modellezéskor használt cellákat és szerepüket. A K
K
K-1
K-1 H
2
2
1
1 V=H·A
5.7. ábra: A vizsgált kétfázisú szilárd-fluidum rendszer sematikus rajza A rendszer vizsgálatakor továbbra is öt hőátadási folyamatot veszünk figyelembe: a gáz-szemcse, a gáz-fal, a szemcse-szemcse, szemcse-fal, valamint a fal-környezet hőátadásokat.
A
rendszer
modellezésekor,
hasonlóan
az
előző
fejezetekben
alkalmazottakhoz, most is élünk a „2.1. A tekintett rendszer fizikai modellje” alfejezetben bevezetett a)–f) feltételezésekkel, valamint egy további ponttal ki is egészítjük azt, nevezetesen: g) A készülék falát homogénnek tekintjük. A
továbbiakban
bevezetem
a
hőátadási
folyamatokat
leíró
populációs
mérlegegyenleteket, az azokból levezethető momentumegyenlet tárgyalásától azonban eltekintek, mivel azokat az előző (al)fejezetekben már részletesen ismertettem. A szemcsés fázisra felírandó populációs mérlegegyenlet felépítésekor az (5.1) egyenletből indulok ki. A tekintett rendszer esetében egy tulajdonságra kell az
95
előbbiekkel ellentétben különös figyelmet fordítanunk. Ez a g) pont által meghatározott feltételezés, mely szerint a készülék falát homogénnek tekintjük, így annak hőmérsékletprofilját vizsgálva nem különítünk el cellákat; az egész rendszerre vonatkozóan a fal hőmérsékletét egy „átlagértékkel” jellemezzük, és a környezetet konstans hőmérsékletűnek tekintjük. Ez egyúttal azt jelenti, hogy az előző „5.1. Az általános
cellás
modell”
alfejezetben
bemutatott
egyenleteket
ennek
figyelembevételével kell megadnunk. Tekintettel arra, hogy a szemcsék magasság mentén fellépő darabszám-változását a folyamatban figyelembe kell vennünk, M0,k–val jelöljük a továbbiakban is a k. cellában található szemcsék összdarabszámát, melyet az alábbi összefüggéssel definiálunk:
M 0,k
6(1 k )Vk
d 3p
T p , max
nk (Tp , t )dTp
(5.12)
T p , min
Itt d p jelöli a szemcsék átmérőjét, k pedig a gázfázis térfogathányadának mértékét reprezentálja az egyes cellákban. A szemcsék darabszámának ilyen értelmű bevezetését az indokolja, hogy pontosabban tudjuk leírni a hőátadási folyamatokat akkor, ha nem feltételezzük azt, hogy a szemcsék a fluidizáló készülék minden cellájában azonos mennyiségben állnak rendelkezésre. Így pl. turbulens fluidizációnál igaz, hogy a szilárdfluidum rendszer kimenetéhez közelítve hosszirányban a szemcsék száma csökken. Ezt a jelenséget írjuk le az (5.12)-es összefüggéssel. Speciális esetben – ha
1 2 ... K
(5.13)
teljesül – természetesen ezt a jelenséget modellünkben mellőzhetjük. A fentiekben elmondottakat figyelembe véve a szemcse fázisra felírható populációs mérlegegyenlet az alábbi egyenletként adható meg:
96
nk (T p , t ) t
S k 1R p q p Vk
[ K pg Tg ;k (t ) T p nk (T p , t )] 1 S k R p q p nk 1 (T p , t ) T p Vk
nk 1 (T p , t )
1 Z k R p q p n Vk
k (T p , t ) ( S pp S pw ) nk (T p , t )
(5.14)
T p max 1
2(T p y ) nk ( y, t ) f ( pp ) 2 d pp dy n y , t k pp N k (t ) pp pp T p min 0 S pp
1 T p T (t ) 1 p w pw w S pw nk , t f pw ( pw ) d pw . 1 pw pw 1 pw pw 0
Látható, hogy az (5.1)-ben megadott egyenlettel összevetve a fenti (5.14) egyenletet, a fal hatását mutató Tw(t) egyenlet-hivatkozás megváltozott a mérlegegyenletben, hiszen ez esetben nem beszélünk cellákról a fal esetében. Tekintettel a gáz térfogathányad-értékekre, a fluidum fázis hőmérsékletváltozását az egyes cellákban a következő egyenletekkel írhatjuk le:
dTg ;k (t ) dt
h pg a pg g cg k
k 1(1 Sk Rg )q kVk
Tg ;k 1(t )
k 1Rg q kVk
T p , max
Tg ;k (t ) Tp (t )nk (Tp , t )dTp
T p , min
Tg ;k 1(t )
hwg awg g cg
(1 Z k Rg )q Vk
Tg ;k (t )
(Tg ;k (t ) Tw (t )),
k 1,2...K , t 0 (5.15) míg a fal hőmérsékletét leíró integro-differenciálegyenlet az alábbi lesz: h a V dTw (t ) hwg awgV k K Tg ;k (t ) Tw (t ) wl wl l ;k Tw (t ) Tl dt mwcw k 1 mwcw
K T p , max 1
S pw
p p Tw (t ) T p nk T p , t pw m1, pw ( pw ) d pw dT p
k 1T p , min 0
k 1,2...K , t 0
(5.16) A környezet/folyadék fázis hőmérsékletét jelen esetben konstans értéken tartjuk, de az előző alfejezetben megadott matematikai modell analógiájára könnyen felépíthető a neki megfeleltethető differenciálegyenlet. Momentumegyenlet-modell segítségével vizsgáltuk a rendszer tulajdonságait.
97
Bevezetve az T p ,max M I ; k (t ) T pI nk (T p , t )dT p , I 0,1,2 , k 1,2,...K T p ,min
(5.17)
szemcsés fázis momentumait a már korábban ismertetett módon vizsgálhatók a szilárdfluidum rendszer egyes tulajdonságai és hasonló módon az előzőek alapján már levezethetőek a momentumegyenletek. A szimuláció során az alapadatokat a 4. fejezet 4.1, 4.2 és 4.3 táblázata tartalmazza. A beáramló gáz hőmérsékletét 180ºC-nak választottam, a beáramló szemcsepopuláció hőmérséklete 20ºC és 60ºC fokos volt, míg a környezetet ez esetben állandó 20ºC-on tartottuk. Az alábbi ábrán a szemcse populáció átlaghőmérsékletét valamint a fluidum fázis hőmérsékletét figyelhetjük meg az egyes cellákban különböző visszakeveredési arányszám megléte esetén (5.8. ábra). Megfigyelhető, hogy nagy Rp paraméterérték esetén a rendszer a teljesen kevert esetet adta vissza, hiszen a szemcsés fázis hőmérsékletértékei stacionárius állapotban közel azonosnak adódtak. Csökkentve ezen visszakeveredési arányszám értékét, egyre inkább megfigyelhető az egyes cellák közötti hőmérsékletértékek
eltérése.
Szintén
megfigyelhető,
hogy
a
hőmérsékletek
kiegyenlítődésében alapvetően az első három cellában lejátszódó hőátadási folyamatok a mérvadóak. A fluidágy felső részében már nem tapasztalható számottevő változás a hőmérsékletprofilokban.
×
m1, Tg
-
Rp =0 Rp =100 Rp =1000 Rp=10000
fluidum szemcsék
1
2
3
4
5
6
7 8 cellák 5.8. ábra: A szemcsés fázis átlaghőmérséklete és a gáz fázis hőmérséklete stacionárius állapotban az egyes cellákban
98
A szilárd szemcse fázis szórásnégyzet-értékeit figyelhetjük meg az 5.9. ábrán az egyes cellákban. A szórásnégyzet értékek a fluidágy felsőbb részein egyre kisebbnek adódnak; a szemcsék hőmérsékletének különbsége az ütközések következtében egyre kisebb lesz. Vegyük észre azonban azt a jelenséget, miszerint a teljesen kevert rendszer esetében megy végbe a szórásnégyzet értékek „lecsengése” a leglassabban. Ennek oka a kezdeti szórásnégyzet-értékek különbsége. A nagy értékű visszakeveredési arányszám esetén szélsőséges esetben az is előfordulhat, hogy egy, a fluidágy felső részén levő szemcse/szemcsehalmaz visszajut a bemeneti cellák területére.
σ2
- Rp=0 × - Rp=100 - Rp=1000 - Rp=10000
1
2
3
4
5
6 7 8 cellák
5.9. ábra: A szemcsés fázis szórásnégyzetének alakulása az egyes cellákban Az alábbi 5.10-es ábra a gáz fázis és a szemcsés közeg hőmérsékletértékeit mutatja. Az ábra áttekinthetőségének javítása érdekében csak az első három cella hőmérsékletadatait tüntettem fel a grafikonon. Ahogy az várható, a gáz fázis hőmérsékletértékei csökkennek az egyes cellákban a stacionárius értékeket vizsgálva, és a gáz fázis hőmérséklete természetesen mindig magasabb, mint az adott cellában mért szemcse átlaghőmérséklet értékek. A részecske fázis átlaghőmérséklete az első cellában a legmagasabb, ez azonban a további cellákban csökken.
99
Tg ---…….
1. cella 2. cella 3. cella
m1 t 5.10. ábra: A gáz és a szemcsés fázis tranziens hőmérséklet és átlaghőmérséklet értékei az idő függvényében 8 cella és Rp=10 paraméterek esetén
5.3. Populációs mérlegegyenlet-modell fluidágyas hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak leírására A következőkben a cellás modell egy újabb alkalmazását tekintjük. Vizsgálódásaink során egy olyan hőcserélő rendszert tekintünk, melynek egységei között gáz, szemcsés anyag és folyadék áramlik. A rendszerbe ezen komponensek a meghatározott hőmérsékleten lépnek be és összetett technológiai rendszerben gondolkodva fontos feladat annak biztosítása, hogy a meghatározott hőmérsékleten lépjenek ki abból, majd egy másik készülékbe szintén az előírt hőmérsékleten lépjenek be. Célunk minden hőcserélő rendszer esetében egyrészt az, hogy az egyes áramok termikus tulajdonságait használjuk fel a kívánt komponensek hőmérséklet-értékeinek biztosításához, energiát takarítva meg ezzel. Értekezésem további részében egy hőcserélő rendszert vizsgálok és modellezek, melyben továbbra is a gáz, a szemcsés és a folyadék fázis valamint a készülék fala a meghatározó komponensek. A szemcsés fázist horizontális irányban áramoltatjuk keresztül a rendszeren, míg a gázfázis két módon jut be a hőcserélőbe: minden cellában függőleges (keresztirányú) beáramoltatás révén, mely biztosítja a fluidizációs folyamat bekövetkezését, valamint a cellák közötti áramlás segítségével. A hideg folyadékfázis hőmérsékletének növekedését várjuk a fluidizációs folyamat 100
előrehaladtával, mely folyadékfázist ellentétes irányban áramoltatjuk. A hőcserélő sematikus rajzát az alábbi 5.11-es ábra mutatja.
gáz
szemcse
fal
1
2
K-1
K
1
2
K-1
K
1
2
K-1
K
Szemcsék közötti hőátadás
Egyéb azonos fázisok közötti hőátadás Különböző fázisok közötti hőátadás
folyadék
1
2
K-1
K
5.11. ábra: A vizsgált hőcserélő rendszer sematikus rajza A fizikai modell vizsgálata során továbbra is feltételezzük a 2.1. alfejezetben definiált a)–f) pontokat, és ezeket a rendszer modelljének kialakítása során is alkalmaztam. A már ismert korlátozásokat kiegészítve, vizsgálataim során a következő anyagáramlási folyamatokat különítem el:
1.) qg térfogati áramlási sebességgel jut az egyes cellákba a keresztirányú fluidizáló gáz. A beáramlás eredményeképpen hőátadási folyamat indul meg a gáz és a szemcsés fázis, valamint a gáz és a készülék fala között. 2.) A szemcsék valamint a gáz horizontális mozgását cellás modellel írjuk le, ahol megengedjük a szomszédos cellák közötti visszakeveredést és azokat különböző visszakeveredési arányszámmal jellemezzük. 3.) A hő a falban vezetéssel terjed. A folyamatban a készülék fala felfűti az őt körülvevő folyadékközeget. 4.) A folyadékfázis hőmérsékletének változását szintén cellás modellel írjuk le. E fázis térfogati áramlási sebességét ql–lel jelöljük. Mint azt a fenti sematikus rajz mutatta, a folyadék fázis áramlási iránya ellentétes a szemcsék beáramlási irányával. 101
Ezen feltételek mellett a folyamatot leíró matematikai modellt az alábbiakban részletezett módon írhatjuk le.
5.3.1. A hőcserélő rendszer matematikai modellje A szemcse fázisra felírt parciális differenciálegyenlet az általános cellás modell alapján a következőképpen adható meg. Az első cellában érvényes összefüggés: n1 (T p , t ) t
Rpq p V1
K pg Tg ;1 (t ) T p n1 (T p , t ) T p
n2 (T p , t )
1 R p q p n (T 1
V1
qp V1
n0 (T p , t )
p , t ) ( S pw S pp ) n1 (T p , t )
T p ,max 1
2(T p y ) 2 n1 y, t n1 ( y, t ) F pp (d pp )dy pp M 0;1 pp T p ,min 0 S pp
(5.18a)
1 T p T 1 p w pw w;1 S pw n1 ,t F (d pw ), t 0 1 p w pw 1 p w pw pw 0
A k. cella szemcsés fázisára jellemző integro-differenciálegyenletek: nk (T p , t ) t
Rpq p Vk
K pg Tg ; k (t ) T p nk (T p , t ) T p
nk 1 (T p , t )
1 2R p q p n Vk
1 R p q p n Vk
k 1 (T p , t )
k (T p , t ) ( S pw S pp ) nk (T p , t )
T p ,max 1
2(T p y ) nk ( y, t ) 2 F (d pp )dy n y , t k pp M 0; k pp pp T p ,min 0 S pp
1 T p T 1 p w pw w; k S pw nk ,t F (d pw ), k 2,3,...K 1, t 0 1 p w pw 1 p w pw pw 0
(5.18b) Az utolsó K. cellára érvényes összefüggés:
102
n K (T p , t )
t
1 R p q p n VK
K pg Tg ; K (t ) T p n K (T p , t ) T p
1 R p q p n VK
K 1 (T p , t )
K (T p , t ) ( S pw S pp ) n K (T p , t )
(5.18c)
T p ,max 1
2(T p y ) S pp n K ( y, t ) 2 F (d pp )dy n y , t K pp M 0; K pp pp T p ,min 0 1 T p p w pwTw; K 1 S pw n K ,t F pw (d pw ), t 0 1 p 1 p w pw w pw 0
A gáz fázisra vonatkozó egyenletek felírásakor figyelembe kell vennünk a cellák közötti áramlást, beleértve a visszaáramlás lehetőségét is, valamint – ahogy azt a fizikai modell leírásánál már láttuk –, a modellnek tartalmaznia kell a keresztirányú fluidum beáramoltatást
is.
Ezen
ismérvek
alapján
a
darab
K
cellára
az
alábbi
differenciálegyenlet-rendszer adható meg. Az első cella hőmérsékletét leíró egyenlet:
dTg ;1(t ) dt
qg ;1
awg hwg
1V1
Tg ;1,in (t )
q g ;1 1V1
Tg ;1(t )
x1
2 Rg q 1V1
Tg ;2 (t )
1(1 Rg )q 1V1
Tg ;1(t )
T p , max
Tg ;1(t ) Tw ( x, t )dx cg g 1 Tg ;1(t ) Tp n1(Tp , t )dTp ,
cg g
a pg h pg
0
t0
T p , min
(5.19a) A köztes cellákra vonatkozó egyenlet-együttes:
dTg ;k (t ) dt
k 1Rg q kVk a pg h pg cg g k
q g ;k kVk
Tg ;k ,in (t )
Tg ;k 1(t )
q g ;k kVk
Tg ;k (t )
k (1 2 Rg )q kVk
k 1(1 Rg )q
Tg ;k (t )
kVk awg hwg cg g
Tg ;k 1(t )
xk
Tg ;k (t ) Tw ( x, t )dx
xk 1
T p , max
Tg ;k (t ) T p nk (T p , t )dT p
k 2...K 1, t 0
T p , min
(5.19b) Az utolsó cella gázhőmérsékletét az alábbi egyenlet írja le:
103
dTg ; K (t ) dt
qg ; K
KVK
K (1 Rg )q KVK a pg h pg cg g K
Tg ; K ,in (t )
Tg ; K (t )
qg ;K KVK
awg hwg cg g
Tg ; K (t )
K 1(1 Rg )q KVK
Tg ; K 1(t )
xK
Tg ; K (t ) Tw ( x, t )dx
(5.19c)
x K 1
T p , max
Tg ; K (t ) T p nK (T p , t )dT p ,
t 0
T p , min
A fal hőmérsékletének vizsgálatakor és modellezésekor egyrészt a hővezetésre kell különös figyelmet fordítanunk, másrészt három további, korábban már modellezett hőátadási folyamatot kell leírnunk: ezek rendre a gáz és a fal közötti, a fal és a folyadék fázis közötti valamint a fal és a szemcsék közötti hőátadásokat jelentik. Ezen megfontolások alapján – felhasználva az előző fejezetekben bevezetett modellezési
eszköztárat
és
kifejezéseket
–
a
készülék
falára
megadható
differenciálegyenlet az alábbi formát ölti: Tw ( x, t ) k 2Tw ( x, t ) a wg hwgV k w Tg ; k (t ) Tw ( x, t ) t wcw mw c w x 2 a h V wl wl l Tw ( x, t ) Tl ; k (t ) mw c w
T p ,max
S pw
1
p p pw Tw ( x, t ) T p nk T p , t f pw ( pw ) d pw dT p ,
T p ,min 0
t 0, x (k 1) x, k x , k 1,2...K
(5.20) ahol a peremfeltételek az alábbiak: k w Tw ( x, t ) 0 wcw x x 0
(5.21a)
k w Tw ( x, t ) 0 wcw x x X
(5.21b)
Végül a folyadékfázisra felírt mérlegegyenletet adjuk meg, melynek felírása során a beáramlás és a kiáramlás mellett a fallal történő hőátadást kell mindössze modelleznünk. Az első cellára érvényes egyenlet az alábbinak adódik:
104
dTl ;1(t ) dt
1 Rl ql T Vl ;1
(1 Rl )ql a h Tl ;1(t ) wl wl l ;2 (t ) Vl ;1 cl l
x1
Tw ( x, t ) Tl;1(t )dx,
0
(5.22a)
t 0 dTl ;k (t ) dt
1 Rl ql T (t ) (1 2 Rl )ql T (t ) Rq l l Tl ;k 1(t ) l ;k 1 l ;k Vl ;k Vl ;k Vl ;k
a h wl wl cl l
xk
Tw ( x, t ) Tl;k (t )dx
(5.22b) , k 1,2...K , t 0
xk 1
Végül az utolsó cellára vonatkozóan az alábbi egyenlet adható meg:
dTl ; K (t ) dt a h wl wl cl l
Rq q (1 Rl )ql l l Tl ; K 1(t ) l Tl ; K 1(t ) Tl ; K (t ) Vl ; K Vl ; K Vl ; K xK
Tw ( x, t ) Tl;K (t )dx,
(5.22c)
t 0
xk 1
A (5.18)-(5.22) egyenletekhez tartozó kezdeti- és peremfeltételek az alábbiak:
nk (Tp ,0) n0 (Tp ), Tg ;k (0) Tg ,0;k , Tw (0, t ) Tw;0 (t ),
Tl ; k (0) Tl ,0; k , k 1,2,..., K
és n0 (Tp , t ) nin (Tp , t ) , Tg ;0 (t ) Tg ,in (t ) , Tl ;0 (t ) Tl , in (t ) és Tl ; K 1 Tl ;in .
(5.23)
5.3.2. Momentumegyenletek és szimulációs eredmények A felépített matematikai modellt momentumok bevezetésével alakítottam át. Az (5.5)ben megadott összefüggés alapján vezettem be a momentumokat és ahogy azt korábbi (al)fejezetekben már részleteztem, felírtam a szemcsés fázis nulladik, első és második momentumait, melyek hasznos információforrásai a szemcsés fázis hőmérsékletprofiljainak, valamint a szórásnégyzet-értékeknek. Ebből következőleg az egyes cellákban található szemcsék darabszámát, azaz a nulladik momentumot az (5.7)-es egyenlet mutatja, a szemcsék átlaghőmérsékletét az (5.8)-as összefüggés segítségével definiálhatjuk, míg a szemcsék szórásnégyzetére vonatkozólag az (5.11)-es egyenlet kifejezéseiből nyerhetünk hasznos információt. A gáz és a fal fázisra felírt egyenletek a fejezet elején bemutatott hőcserélő rendszerek esetében más formában adhatóak meg, így ezeket a következőkben
105
részletesebben tárgyalom. Először a fal fázisra felírt (5.20)-as egyenletet vizsgáljuk. Néhány egyszerűbb számítást, levezetést elvégezve, és véges differencia módszerével diszkretizálva a megadott mérlegegyenletet a fal fázisra felírt összefüggések az alábbi módon vizsgálhatóak. Az első cellára érvényes diszkretizált egyenlet, ahol DT :
dTw;1(t ) dt
kw : wcw
awg hwgV11 Tg;1(t ) Tw;1(t ) T ( t ) T ( t ) w ; 2 w ; 1 2 m c
DT x
awl hwlVl ;1 mwcw
w w
T p , max 1
Tw;1(t ) Tl;1(t ) VS pw p p Tw;1(t ) Tp n1Tp , t
(5.24a)
T p , min 0
pw f pw ( pw ) d pw dT p ,
t 0
Általánosan megfogalmazva a 2, …, K-1-edig cellákra vonatkozó differenciálegyenlet: dTw;k (t ) dt
x
awl hwlVl ;k mwcw
awg hwgVk k Tg;k (t ) Tw;k (t ) T ( t ) 2 T ( t ) T ( t ) w ; k 1 w ; k w ; k 1 2 m c
DT
w w
T p , max 1
Tw;k (t ) Tl;k (t ) VS pw p p Tw;k (t ) T p nk T p , t T p , min 0
pw f pw ( pw ) d pw dT p , k 2,3...K 1, t 0
(5.24b) Az utolsó cella hőmérsékletértékeit az alább egyenletből nyerhetjük:
dTw; K (t ) dt
awg hwgVK K Tg;K (t ) Tw;K (t ) T ( t ) T ( t ) w ; K w ; K 1 2 m c
DT x
a h V wl wl l ; K Tw; K (t ) Tl ; K (t ) VS pw mwcw
w w T p , max 1
p p Tw;K (t ) T p nK Tp , t
T p , min 0
pw f pw ( pw ) d pw dT p , t 0 (5.24c)
A szimulációs eljárás elvégzéséhez az alábbi (5.25)-ös összefüggést ismerve és az annak megfelelő tagot az (5.24) egyenletekbe helyettesítve már elimináltuk az integrált tartalmazó tagokat.
106
T p , max 1
p p pw Tw;k (t ) T p nk T p , t pw f pw ( pw ) d pw dT p
T p , min 0
p p m1,wp M 0;k (t )Tw;k (t ) M1;k (t )
(5.25) Végül szükségesek a gázra vonatkozó összefüggések, melyek felírása során az alábbi egyenlőséget és a fent bevezetett diszkretizációt kell figyelembe vennünk. T p ,max
a pg h pg
c T p ,min g g k
Tg;k (t ) T p nk (T p , t )dT p ca pghpg M 0;k (t )Tg;k (t ) M1;k (t ) g g k
(5.26) Az átalakítási lépések eredményképpen általános formában a gáz fázis k-adik cellájára a (5.27)-es egyenlet érvényes:
dTg ; k (t ) dt
k 1R g q k Vk a pg h pg cg g k
q g;k
k Vk
Tg ; k , in (t )
Tg ; k 1 (t )
q g;k
k Vk
Tg ; k (t )
k (1 Z k R g )q k Vk
M 0; k Tg ; k (t ) M1; k ,
k 1 (1 S k R g )q
Tg ; k (t )
k Vk a wg hwg cg g
Tg ; k 1 (t )
Tg; k (t ) Tw;k (t )
(5.27)
k 1,2,..., K
A megadott momentumegyenlet-rendszert számítógépes szimulációval vizsgáltam. A későbbi modellvalidálás miatt a paraméterértékek néhány esetben eltérnek a dolgozat 4. fejezetében megadott értékektől, ezért a következő táblázatban tételesen ismertetem a paraméterek értékeit:
107
5.2. táblázat: A kísérlet során alkalmazott paraméterek és értékeik Paraméter
Értéke
Szilárd szemcse:
átmérő, dp
2.5410-4 m
homok
sűrűség, p
2650 kg m-3
hőkapacitás, cp
835 J kg-1 K-1
hővezető képesség, kp
0.35 W m-1 K-1
térfogati áramlási sebesség, qp
1.510-5 m3 s-1
Átlagos belépő szemcse hőmérséklet, m1in
460 oC
sűrűség, g
0.946 kg m-3
hőkapacitás, cg
1010 J kg-1 K-1
viszkozitás, g
2.17 10-5 Pa s
hővezető képesség, kg
2.39 10-2 W m-1 K-1
térfogati áramlási sebesség, qg
1.4 10-2 m3 s-1
fluidum belépő hőmérséklete
25 oC
A készülékben levő vízcsövek:
Átmérő, Dl
0.0065 m
rozsdamentes acél
tömeg, mw
1.2 kg
hőkapacitás, cw
465 J kg-1 K-1
hővezető képesség, kw
44 W m-1 K-1
sűrűség, l
998 kg m-3
hőkapacitás, cl
4182 J kg-1 K-1
Hővezető képesség, kl
0.606 Wm-1K-1
viszkozitás, l
1.0 10-3 Pa s
térfogati áramlási sebesség, ql
1.5·10-5 m3 s-1
a folyadék belépő hőmérséklete
10 oC
Fluidum: levegő
Felfűtendő közeg: víz
108
Fluidizált ágy
Visszakeveredési arányszám
Szélesség, W
0.15 m
Hossz, L
0.9 m
Ütközési frekvencia, Spp, Spw
103 s-1, 10 s-1
Hőátadási hatásfok m1,ωpp, m1,ωpw
0.5, 0.8
R p , Rg , Rl
1, 0.1, 0.01
Az első szimuláció eredménye a gáz és a szemcse fázisok hőmérsékletprofiljait mutatja (5.12. ábra). A vizsgálatok során ezúttal 9 cellával dolgoztam, melynek oka az, hogy a következő alfejezetben elvégzett modellvalidálás során az irodalomból vett adatokhoz is 9 cellával történő fizikai kísérletek eredményei álltak rendelkezésemre. Így kézenfekvő volt a numerikus szimulációt is 9 cellával elvégezni. Az ábráról leolvasható, hogy a forró szemcsés fázis a folyamat előrehaladtával gyorsan veszít hőmérsékletéből, ideiglenesen felmelegíti a jóval hidegebb gáz fázist, majd a folyamat végére a szemcsés fázis és a gáz fázis hőmérséklet-értékei közel azonos értékre állnak be. A következő 5.13. ábra egyúttal azt mutatja, hogy a 10oC-on belépő folyadékfázist a készülék fala felfűtötte, majd az a folyamat későbbi részében, stacionárius állapotban beállt egy kb. 26oC-os hőmérsékletértékre. A szimuláció eredményeképpen elmondható, hogy a fal hőmérséklete is (mely kezdetben 20 oC-os volt) nagyon hasonló karakterisztikát mutat, mint a folyadék hőmérsékletgrafikonja, ezért azt itt külön nem ábrázoljuk.
109
T, oC
m1;k(t)
9. cella 1. cella
Tg;k(t)
9. cella 1. cella t, s
5.12. ábra: A szemcsés fázis átlaghőmérséklete és a fluidum fázis hőmérséklete az egyes cellákban a tranziens változása alatt
30 o
T, C 28 26 24
9. cella
22 20 18
1. cella
16 14 12 10 -2 10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
t, s 10
5.13. ábra: A folyadékfázis hőmérsékletértékei az egyes cellákban a tranziens változása alatt
Az alábbi 5.14-es ábra azt mutatja, hogy miként alakulnak a szemcsés fázis szórásnégyzet-értékei az idő függvényében. Az 5.2. táblázatból láttuk, hogy a belépő szemcsehalmaz homogén volt, azaz 460oC-on léptek be a forró szemcsék a hőcserélő
110
rendszerbe. A fal-szemcse ütközések hatására valamint a rendszerben fennálló kezdeti alacsony fal, gáz és szemcse hőmérsékletek eredményeként a szórásnégyzetértékek megnőnek. Mint látható, az első cellában tranziens állapotban akár 3000 értékű szórásnégyzetérték is megfigyelhető. Ez a várakozásoknak megfelelően, az egyes cellákban egyre kisebb értékű lesz, míg a folyamat előrehaladtával ezen értékek nagyságrendekkel alacsonyabbak lesznek. A jelenség magyarázatát a tranziens állapotbeli nagy hőmérsékletkülönbségekkel indokolhatjuk, hiszen a szemcse-fal ütközési gyakoriságok miatt a hideg falat a szemcsék fokozatosan fűtik, míg ezzel párhuzamosan természetesen a szemcsék hőmérséklete csökken, előidézve a kezdeti teljesen homogén hőmérsékletű szemcsepopuláció szórásnégyzetértékeinek változását.
2, oC2
1. cella
9. cella
t, s
5.14. ábra: A szemcsepopuláció szórásnégyzet-értékei az egyes cellákban a tranziens változása alatt
5.3.3. A kísérleti eredmények validálása Korábban már tettem utalást a kapott szimulációs eredmények későbbi validálására. Kutatómunkám során nem volt lehetőségem arra, hogy fizikai kísérleteket végezzek és a kapott adatokat összehasonlítsam a felépített modell által szolgáltatott eredményekkel, ezért az irodalomban publikált értékekre támaszkodva végeztem el a modelleredmények és a fizikai kísérletekből származó adatok illesztését. A validálás elvégzésére két irodalmi hivatkozást vettem alapul:
111
Rodriguez és szerzőtársai 2002-es cikkükben egy hőcserélő rendszert vizsgáltak, és eredményeket közöltek a rendszer különféle paraméterek mellett történő működtetése során kapott eredményekről. Nevezetesen, kétfajta (szemcseátmérőben különböző) szemcsepopulációt tekintettek, és külön-külön vizsgálták a forró szemcséktől nyerhető hőmennyiséget akkor, ha más-más fizikai körülmények között megy végbe a hőcsere. A folyamat célja az, hogy felmelegítse a rendszert körülvevő hideg folyadékfázist. Ilyen különféle fizikai paraméter-együttes a szemcsék térfogati áramlási sebessége vagy a gázra vonatkoztatott térfogati áramlási sebesség, melyek döntőek lehetnek a folyamat lefolyásának tulajdonságaiban. A hőcserélő rendszer több pontján mérve az egyes komponensek hőmérsékletprofiljait a szerzők eredményeket mutatnak be a mért értékekről és következtetéseket vonnak le a hőátadási paraméterek kívánt értékeire vonatkozólag. Rodriguez et al. cikke a fent elmondottak alapján számomra rendkívül hasznosnak bizonyult, hiszen a közölt paraméterértékek ismeretében lehetőség adódott a felépített matematikai modell és a megadott momentumegyenlet modell vizsgálatára és az eredmények illesztésére. Áttanulmányozva a cikk adatait, a Rodriguezék által elvégzett
kísérlet
paramétereit
megfeleltettem
a
modellemben
alkalmazott
paramétereknek. Az előző alfejezetben bevezetett 5.2. táblázat értékeit már ezt szem előtt tartva határoztam meg. A cikk alapján vizsgálataim során én is kétfajta átmérőjű szemcséket tekintettem és illesztést végeztem el a fizikai mért eredményeket és a modelleredményeimet
figyelembe véve. A
modell
paraméterértékei
közül
a
visszakeveredési arányszámot, a szemcse-gáz hőátadási paramétert valamint a szemcse és fal közötti hőátadás minőségét választottam optimalizálandó paraméternek. Legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva az alábbi ábra mutatja a kapott eredményeket, ahol az eltérést a fizikai kísérletek során mért adatok és a modell adataim különbségének négyzetével minimalizáltam.
112
T, oC
dp=385 m × Modelladatok Mért adatok (Rodriguez)
dp=254 m
Cella szám 5.15. ábra: A populációs mérlegegyenlet-modell valamint Rodriguez és szerzőtársai (2002) által mért fizikai eredményeinek összevetése Az 5.15-ös ábra meglehetősen jó korrelációt mutat a mért adatok és a modell által szolgáltatott eredmények között. Eredményként az alábbi adatokat kaptuk: Ha a belépő szemcsepopuláció átmérője dp=385 m, akkor a visszakeveredési arányszám Rp=3.63, a szemcse és a gáz fázis közötti hőátadási paraméter értéke hpg=0.0153, valamint a hőátadás minőségét jelző paraméter m1, pw 0.002 -nek adódott. A kisebb szemcseátmérővel végzett kísérlet esetén az alábbi értékeket kaptuk: Ha dp=254 m, akkor Rp=3.11, hpg=0.018 és m1, pw 0.002 , ami szintén jó illesztést eredményez. Rodriguez szerzőtársai egy későbbi cikkükben (Pécora et al., 2006) egyéb kísérleteket is végeztek hőcserélő rendszerek hőátadási együtthatóinak vizsgálatára. E 2006-ban megjelent cikkükben további eredményeket is közölnek, melyek szintén hasznos kísérleti adatoknak bizonyultak a megadott populációs mérlegegyenlet modell validálására. A közölt eredményeket és a populációs modell egyezőségét 9 cellás hőcserélő rendszer esetén vizsgáltam. Az 5.16 és 5.17-es grafikonokon különböző bemeneti hőmérséklettel rendelkező szemcsés fázis esetén láthatjuk Pécora és munkatársai által mért hőmérsékleteredményeit. Továbbra is a legkisebb négyzetek módszerét alkalmaztam a
113
modellparaméterek és a fizikai kísérletből származó eredmények összevetésére. Az eltérések négyzetösszege ez esetben 3.1×103-nak adódott, Rp=0.93, hpg=0.09 és
q p 9.6 105 értékek mellett, melyek egyben az optimalizálandó paraméterek voltak. Az alábbi ábra jó egyezést mutat.
T, oC
Cella szám 5.16. ábra: A populációs mérlegegyenlet-modell és a fizikai kísérlet (Pécora, 2006) eredményeinek összevetése 650oC-os bemeneti szemcsehőmérséklet esetén
Pécora és szerzőtársai több fizikai kísérletből származó eredményt mutattak be munkájukban. Egy ilyen eredménysorra való illesztést figyelhetünk meg az 5.17-es ábrán is, ahol szintén 9 cellával dolgoztak. Az ábra mutatja a mért- és a modelleredményeim összevetését. A modellillesztési algoritmust lefuttatva látható, hogy milyen mértékben közelítik meg a populációs mérlegegyenlet modellből származó adatok a fizikai kísérlet során kapott mért eredményeket. A legkisebb négyzetek módszerével történő illesztés ez esetben 1.7×103 eltérést eredményezett a számítási folyamat során, ami jó közelítésnek mondható. Az optimalizálandó paraméterek megegyeztek az előbbi illesztési feladat paramétereivel; értékei a következőknek adódtak: Rp=1.74, hpg=0.29 és q p 8.8 105 .
114
T, oC
Cella szám 5.17. ábra: A populációs mérlegegyenlet-modell és a fizikai kísérlet (Pécora, 2006) eredményeinek összevetése 708oC-os bemeneti szemcsehőmérséklet esetén
Saját eredmények publikálása Jelen 5. fejezetben közölt eredményeimet a [P1], [P2], [P4], [P5], [P6] és [P7] munkáimban publikáltam.
115
6. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell turbulens fluidizáció hőátadási folyamatainak vizsgálatára Dolgozatom e fejezetében egy axiális diszperziós modellt mutatok be, melynek építőelemeit a 2. fejezet teljesen kevert modelljének hőátadásra felírt összefüggései adják. Az axiális diszperziós modell segítségével többek közt vizsgálható a szilárdfluidum rendszer különböző komponenseinek térbeli hőmérséklet-eloszlása. Az előző fejezetben ezen hőmérséklet-eloszlás értékeire az un. cellás modell segítségével kaptam közelítő eredményeket, míg jelen fejezetben alkalmazott modellezés pontosabb, és más módon nyert eredmények vizsgálatát teszi lehetővé. Míg a cellás modellek esetében teljesen kevert rendszert leíró „építőelemekből” állítottuk össze modellünket, és ezen teljesen kevert cellák adhattak bővebb információt a vizsgált eszköz bizonyos pontjain tapasztalt hőmérsékletértékekről és azok eloszlásáról, addig ez esetben az idő- és hőmérsékletváltozó mellett egy térbeli koordinátát is figyelembe veszünk. E térbeli koordináta segítségével egy adott időpontban kiszámíthatóvá válnak az adott pozíciónál mérhető hőmérsékletértékek. Axiális diszperziós modell-rendszereket széles körben alkalmaznak pl. kétfázisú turbulens
fluidágyas
reaktorok
szemcsés
és
fluidum
fázisai
keveredésének
modellezésére (Bi et al., 2000; Foka et al., 1996; Thompson et al., 1999). Általában elmondható, hogy ezen modellekben mindkét fázist kontinuumnak tekintik, mivel a szemcsés fázis ütközéseit és az ebből eredő hatásokat nem veszik figyelembe. Populációs mérlegegyenlettel történő modellezés esetén azonban leírhatók és modellezhetőek a szemcse-szemcse és szemcse-fal ütközések, és ezen folyamatokat elkülönítve is kezelhetjük. Mindez lehetőséget ad számunkra, hogy egy olyan axiális diszperziós modellt vezessünk be és vizsgáljunk, melyben az előbb említett folyamatokat is figyelembe vesszük.
116
6.1. Bevezetés és alapösszefüggések A modell megalkotásához elsőként a gáz és a szemcsés fázisokat figyelembe véve az azokra felírható kontinuitási egyenletből indulunk ki:
j 0, t 0, x 0, X t x
(6.1)
ahol ειjι, (ι=g, s) a gáz és a szemcsés fázis fluxus-sűrűségét írja le axiális x irányban. A gáz fázist a rendszerben kontinuumnak tekintjük, egyúttal megemlítjük, hogy a gázszemcsés fázis közötti turbulens fluduizáció folyamatában a szemcsés fázis véletlen mozgását a gáz fázis turbulens jellemzői, a szemcsék közötti valamint a szemcse-fal közötti ütközések határozzák meg. Az egyenletek felírásához vezessük be az alábbi kifejezést:
Jelölje n x, T p , t dT p a fluidágy egységnyi térfogatában található azon szemcsék
darabszámát a t. időpillanatban, melyek hőmérséklete a T p , T p dT p , míg az axiális koordinátájuk az
x, x dx
intervallumban található. Alkalmazva az így bevezetett
formulát a következő egyenlőség áll fent:
s x, t s x, t m pN x, t , ahol N jelöli a t. időpillanatban az
(6.2)
x, x dx
intervallum egységnyi térfogatában
található szemcsék darabszámát, azaz
N x, t
T p , max
n( x, T p , t )dT p .
(6.3)
T p , min
Az egyes fázisok h entalpiáját az alábbi összefüggés definiálja:
h cT , g , s, w, w 1
(6.4)
ahol c az egyes fázisok hőkapacitását, míg T azok hőmérsékletét jelöli. Figyelembe véve a (6.2) egyenletet a részecske fázis teljes entalpiája a következőképpen adható meg:
hs x, t c p m pN x, t T p x, t c p m p
T p , max
Tp n( x,Tp , t )dTp
(6.5)
T p , min
117
ahol T p x, t a részecske fázis átlaghőmérsékletét jelenti a t. időpillanatban az
x, x dx
axiális koordináták esetén. Rögtön látszik, hogy a korábbi jelölésekre
hivatkozva ez az m1x, t kifejezéssel is azonosítható. Tudjuk továbbá, hogy
1 T p x, t N x, t
T p , max
T p n( x, T p , t )dT p
(6.6)
T p , min
A modellezés során továbbra is érvényesek a 2.1. alfejezetben ismertetett a)-f) feltételezések, azonban további feltételeket is megadunk. Ezek a kiegészítő pontok az alábbiak: i) A gáz és a szemcse fázis entalpiájának változását a fluidágyban az alábbi axiális diszperziós modellel írjuk le: j (.) v (.) D
. , g, s x
(6.7)
ahol v a vonalmenti sebességet, míg D az axiális diszperziós együtthatót jelöli. ii) A falban a hő hővezetéssel terjed tovább. iii) A környezetet konstans hőmérsékletű fázisnak feltételezzük, hőkapacitását végtelennek tekintjük. A vizsgált szilárd-fluidum rendszer sematikus rajzát az alábbi ábra mutatja:
Szemcsés fázis és hőtranszport Gáz fázis és hőtranszport Környezet Hőátadás
6.1. ábra: A modellezendő rendszer sematikus rajza
118
A 6.1. ábrán láthatóak az egyes fázisok, továbbá a rendszerben megjelenő és modellezésre kerülő hőátadási folyamatok.
6.2. Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell A fenti feltételeket figyelembe véve a szemcsés, a gáz és a fal fázisokra az alábbi mérlegegyenletek adhatók meg (Süle et al., 2009a). A gáz fázis tulajdonságait leíró differenciálegyenlet az alábbi formába írható fel. Látható, hogy az egyenlet elsőként a diffúzív és konvektív tagokkal bővült, mely tagokat a gáz és a szemcse fázis, majd a gáz és a fal közötti hőátadást leíró – már ismert – kifejezések követnek:
Tg t
Dg
2Tg ( x, t ) x
2
vg
Tg ( x, t ) x
1 1 H gp h , t 0, x 0, X , g c g g c g gw (6.8)
ahol T p ,max
H gp a pg
h pg Tg ( x, t ) T p n( x,T p , t )dT p
(6.9)
T p ,min
és
hgw awg hwg Tg ( x, t ) Tw ( x, t )
(6.10)
A szemcsés fázis hőátadási folyamatainak leírásakor a modell tulajdonságaiból következően a diffúziót és a konvekciót leíró tagokat rögzítettem az egyenletben, majd a szemcsékkel hőátadási kapcsolatban levő komponensek kifejezéseit adtam meg. Nevezetesen: a korábbi egyenletekhez hasonló módon megadtam a szemcse-gáz, a szemcse-szemcse, majd a szemcse-fal hőátadási folyamatokat leíró kifejezéseket, az alábbiak szerint:
n( x, T p , t ) t
Dp
2 n ( x, T p , t ) x 2
vp
n( x, T p , t ) x
h pg c pmp
H pp c pmp
t 0, x 0, X
H pw c pmp
,
(6.11) ahol
119
h pg a pg h pg
Tg ( x, t ) T p n( x, T p , t ) T p
,
(6.12)
H pp n( x, T p , t ) c p m p S pp n( x, T p , t ) c p m p
2S pp
pp
T p ,max
1 pp N ( x, t )
(6.13)
2 Tp y n x, y, t n( x, y, t )dyF pp (d pp ), pp T p ,min és H pw [n( x, T p , t ), Tw ( x, t )] c p m p S pw n( x, T p , t ) T p p w pwTw ( x, t ) 1 c p m p S pw n x, ,t F d pw 1 p w pw 1 p w pw 0 1
(6.14)
A falhőmérsékletre vonatkozó egyenlet a következőképpen adható meg. Látható, hogy itt egy diffúziós tag jelenik meg, míg konvektív hőáramlás ez esetben nem játszik szerepet. Megadjuk továbbá a készülék fala és a gáz, a készülék fala és a szemcsés fázis, valamint a fal és a környezet közötti hőátadási folyamatokat. Tw ( x, t ) k 2Tw ( x, t ) 1 1 1 w hwg H wp hwe , t wcw mw c w mw c w mw c w x 2 t 0, x 0, X
ahol
hwg awg hwg Tg ( x, t ) Tw ( x, t ) , H wp S pw mwcw
(6.15)
(6.16)
T p ,max
p p pw T p Tw ( x, t )n( x,T p , t )dT p F wp (d pw ) ,
(6.17)
pw T p ,min
hwe awehwe Tw ( x, t ) Te ,
(6.18)
Te=const=20ºC, ahol e a környezetre utaló rövidítés és kw a fal hővezető-képességét jelöli. A fenti egyenletekhez tartozó peremfeltételek az alábbiak:
Tg (0, t ) Tg ( X , t ) 0. , x x n 0, T p , t n X , T p , t v p,innin T p , t v p n 0, T p , t D p 0. , x x
v g ,inTg ,in (t ) v gTg (0, t ) Dg
(6.19) (6.20)
120
Tw (0, t ) Tw ( X , t ) 0, 0. x x
(6.21)
A továbbiakban a fent ismertetett differenciálegyenlet-rendszert vizsgáljuk. Ennek első lépéseként a momentumok kerülnek bevezetésre, majd végezzük el a felírt egyenletek dimenziómentesítését az alábbi (dimenziómentes) változók bevezetésével:
vp X vg X t X X x , , Pe g , tg , Pe p , tp . X tp Dg vg vp Dp
Néhány egyszerű és technikainak mondható lépést elvégezve az egyenletek az alábbi formában írhatók fel. Dimenziómentes egyenlet a gáz fázisra:
Tg ( , ) tg X
T
2 h pg a pg p ,max 1 Tg ( , ) Tg ( , ) tg Tg ( , ) T p n( , T p , )dT p Pe g g cg 2 T p ,min
hwg a wg 1
g cg
Tg ( , ) Tw ( )d ,
0, 0,1
0
(6.22) Dimenziómentes egyenlet a szemcsés fázisra:
n(, T p , ) 1 Pe p
pp
T p
tp
t g 2 n(, T p , ) tp
t g K pg Tg (, ) T p n(, T p , )
2
t g n(, T p , ) tp
T
S pp S pw t g n(, T p , )
p , max 2 Tp y 1 n , y, n(, y, ) pp N (, ) pp T p , min
2 S ppt g
dyF pp (d pp )
(6.23)
T p pw pwTw (, ) n 1 pw pw , 1 pw pw , pw S pwt g X
n(, y, ) F pw (d pw )
0, 0,1
A peremfeltételek a következőképpen módosultak:
Tg ,in ( ) Tg (0, )
1 Tg (0, ) Tg (1, ) 0 , Pe g
(6.24)
121
nin T p , n 0, T p ,
1 n 0, T p , n 1, T p , 0 , Pe p
(6.25)
A megadott (6.11) egyenletet a másodrendű momentum-egyenlet redukcióval alakítsuk tovább. Nevezetesen, vezessük be a szemcsés fázis momentumait az alábbi összefüggés felhasználásával: T p , max M k ( , ) T pk n( , T p , )dT p , k 0,1,2,3... T p , min
(6.26)
A (6.26)-ban megadott momentumrendszer bármely momentumnál lezárható és segítségükkel leírhatjuk a részecske fázis hőmérséklet-eloszlását. A nulladrendű momentum a teljes szemcseszámot adja meg, azaz M0(,)=N(,). A szemcsés fázis átlaghőmérsékletét és a szórásnégyzetét az első és második momentum biztosítja a következőképpen: T p , m1( , )
M1 , M 0 ,
M , M1 , , 2 M 0 , M 0 ,
(6.27) 2
2
(6.28)
A (6.26) egyenlet szerinti momentumokat meghatározva munkámban a kapott hierarchiát a második momentumnál zártam le. Ez egy zárt momentumegyenletrendszer, segítségével vizsgálhatók az egyes hőátadási folyamatok. Összefoglalva az egyes egyenletek az alábbi formában írhatók fel:
Nulladik momentum: M 0 ( , ) 1 t g 2 M 0 ( , ) t g M 0 ( , ) , 0, 0,1 Pe p t p tp 2
(6.29)
Első momentum:
tg M1( , ) 1 t g 2 M1( , ) t g M1( , ) K M 0 ( , )Tg ( , ) M1( , ) pg Pe p t p tp tp 2 S pw pwm1, pw t g M1( , ) Tw ( , ) M 0 ( , ) , 0, 0,1 (6.30) Második momentum:
122
tg M 2 ( , ) 1 t g 2 M 2 ( , ) t g M 2 ( , ) 2 K pg ( M1( , )Tg ( , ) Pe p t p tp tp 2 M12 ( , ) M 2 ( , )) S pp ppt g M 2 ( , ) M 0 ( , )
(6.31)
2 2 S pw pwm1, pw t g Tw ( , ) M1 ( , ) M 2 ( , ) S pw pw m2, pw t g
M 2 ( , ) 2Tw ( , ) M1( , ) Tw2 ( ) M 0 ( , ) ,
0, 0,1
A gáz fázis hőmérsékletváltozását leíró egyenlet:
Tg (, ) tg X
2 h pg a pg 1 Tg (, ) Tg (, ) t M 0 (, )Tg (, ) M1(, ) g Pe g g cg 2
hwg awg g cg
Tg (, ) Tw (, ),
0, 0,1 (6.32)
Adiabatikus esetet feltételezve és bevezetve a t w
w cw X 2 kw
dimenziómentes változót
a következő egyenlet írható fel a készülék falának hőmérsékletére:
Tw (, ) t g 2Tw (, ) hwg awg t g Tg (, ) Tw (, ) tw mwcw 2
a h tg S wp p p m1, pw t g M1(, ) Tw ( x, t ) M 0 (, ) we we Tw (, ) Te () , wc w
(6.33)
0, 0,1
ahol a peremfeltétel az alábbi lesz:
Tw (0, ) Tw (1, ) 0, 0.
(6.34)
Matlab környezetben pdepe-megoldó segítségével vizsgáltam a fenti egyenletrendszer viselkedését különböző paraméteregyüttesek megléte esetén. Az (M0, M1, M2, Tg, Tw) egyenletek megoldásakor kapott eredményeimet foglalom össze a következőkben. A futtatás során alkalmazott fizikai paraméterek értékei megegyeztek a 4.2 és 4.3 táblázatokban ismertetett értékekkel. Futtatásaim során a belépő gáz hőmérsékletét 540oC-nak a betáplált szemcsés fázis hőmérsékletét 20 oC-nak választottam. A szemcsék közötti illetve a szemcse-fal ütközési gyakoriságok értékei rendre Spp=20s-1, Spw=1 s-1 voltak.
123
Az alábbi 6.2. ábrán az m1,ωpp véletlen paraméter értékei változtatásának hatását vizsgáltam. Szimulációk során arra kerestem a választ a felépített modell segítségével, hogy miként változnak a szemcsés fázis szórásnégyzet-értékei akkor, ha a szemcsék ütközései során fennálló hőátadási paraméter várható értékét „kicsinek” választjuk, vagy éppen növeljük azt. A hőátadás mindezen tulajdonságait az m1, pp paraméter határozza meg. A kísérletek során a szemcsék méretét 10-4m-nek választottam. Az alábbi ábrán látható, hogy a kísérletek futtatásakor a szemcsés fázis szórásnégyzetértékeinek alakulása a készülék axiális irányában haladva csökken, viszont az is megfigyelhető, hogy a legnagyobb értékű m1, pp paraméter-értékekkel futtatott kísérletben lesznek a legkisebbek a szemcsés fázis szórásnégyzet-értékei. Ez egybecseng a fizikai elvárásokkal.
σ2(ξ) m1, pp
0.02 0.05 0.1 0.2 0.5
ξ 6.2. ábra: Az m1,ωpp paraméterértékek változtatásának hatása stacionárius állapotban a szemcse fázis szórásnégyzet értékeire A 6.3. ábrán a részecske fázis átlaghőmérséklet-értékeit láthatjuk az idő és az axiális koordináta függvényében. Itt az átlagértékeket mutatja a grafikon, amit összevetve a 6.2. ábrával pontosabb információt kapunk a lezajlott hőátadási folyamatokról.
124
150
T p ,
125 100 75 50 25 0 10
8
6
4
0.8
2
0 0
0.2
0.4
1
0.6
6.3. ábra: A szemcsés fázis átlaghőmérséklet-értékei az idő és az axiális koordináta függvényében m1, pp 0.2 paraméterérték megléte esetén
A folyamatok és fázisok jellemzőinek még pontosabb megismerése érdekében a 6.4. ábra az idő és az axiális koordináta függvényében mutatja a szemcsés fázis szórásnégyzet értékeinek alakulását egy más paraméteregyüttes esetén. Megfigyelhető, hogy axiális irányban eleinte kis mértékű, majd intenzívebb csökkenő tendenciát tapasztalunk a függvény-értékek alakulásában. Mint az várható, a készülék betáplálásának helyén a szórásnégyzetek értékek mindig magasabb értékűek, mint bármely más helyen; a cső hossza mentén output irányban haladva egyre inkább homogénebb lesz a vizsgált szilárd fázis.
125
300
, 250 2
200 150 100 50 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
2
4
6
8
10
6.4. ábra: A szemcsés fázis szórásnégyzet értékei az idő és az axiális koordináta mentén m1, pp 0.2 paraméterérték megléte esetén
σ2(ξ) dp 1.0×10-4 2.0×10-4 3.0×10-4 4.0×10-4
ξ 6.5. ábra: A szemcseméret változtatásának hatása a szemcsés fázis szórásnégyzetértékeire stacionárius állapotban
126
A fenti 6.5. ábra a szemcsék méretének (átmérőjének) hatását mutatja a szemcsepopuláció szórásnégyzet jellemzőjére. Látható, hogy a rendszerben levő szemcsék méretének növelésével a szemcsés fázis homogenitása egyre inkább érvényesül. A készülék vége felé haladva megfigyelhető a homogenitási tulajdonság erősödése mind a négy szemcseátmérő érték esetén.
Saját eredmények publikálása Jelen 6. fejezetben közölt eredményeimet a [P1], [P3] és [P8] munkáimban publikáltam.
127
7. Összefoglalás Értekezésem középpontjában szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálata áll. Mint dolgozatom elején rámutattam, meghatározó szerepet töltenek be a különféle szemcsés rendszerek az energetika és az ipar számos területén, hiszen kulcsfontosságú kérdés a napjainkra megnövekedett energiaszükséglet kiszolgálása oly módon, hogy minél inkább hozzájáruljunk a környezetvédelemhez. Ezt egyrészt a melléktermékként keletkező energiák hatékonyabb felhasználásával, valamint a folyamatiparban keletkező hőenergia minél hatékonyabb kinyerésével tudjuk biztosítani. A fluidum-fluidum hőcserélő
rendszerek
mellett
a
szemcse-fluidum
hőcserélők
alkalmazása
is
mindennapossá vált az energetika területén, azonban az ilyen diszperz rendszerek modellezése és számítása olyan összetett eljárásokat igényel, melyek nagy számítási és időigényük miatt sokszor megnehezítik azok alkalmazhatóságát. Munkámban egy olyan modellrendszer felállítását és vizsgálatát tűztem ki célként, melyben a különféle folytonos hőátadási folyamatokon túlmenőleg vizsgálhatók a direkt szemcse-szemcse és szemcse-fal hőátadások is. Az irodalmi áttekintésben rámutattam e részfolyamatok meghatározó szerepére, mely alátámasztja vizsgálódásaim és munkám jogosságát. Értekezésem elején röviden áttekintettem a szilárd-fluidum rendszerek alapvető tulajdonságait, majd ismertettem az ilyen rendszerekben fellépő hőátadási folyamatokat és azok modellezésére alkalmazható megközelítéseket. Nevezetesen szóltam az Euler, a Lagrange modellek egy-egy csoportjáról, kiemeltem azok előnyeit, de egyúttal rámutattam hátrányukra is. Euler modelleknél ez főként abban jelentkezik, hogy minden fázisra kontinuumként tekintenek, míg a Lagrange modellek sajátja az, hogy minden egyes részecskét egyenként vizsgálnak, mely hatalmas számítási kapacitást emészthet fel. Dolgozatomban egy harmadik megközelítést alkalmaztam szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak leírására. Egy sztochasztikus modellt vezettem be, ahol véletlen paraméterek segítségével jellemeztem a különféle hőátadási folyamatokat. Blickle Tibor, Lakatos Béla és Mihálykó Csaba megadtak egy olyan általános matematikai modellt, mellyel vizsgálhatók a szilárd-fluidum rendszerek lokális és nem
128
lokális tulajdonságai. E modellt alapul véve és ebből kiindulva levezettem és integráltam azon összefüggéseket, melyeket felhasználva a bevezetett általános modellegyenlet alkalmassá válik hőátadási folyamatok leírására. Az általános modell megalkotói a direkt szemcse-szemcse hőátadás alapösszefüggéseit alkalmazták modelljeik felállításakor, ugyanakkor számos más hőátadási folyamat nem jelent meg vizsgálataik során. Ilyen hőátadási folyamatok például a szemcsék és a készülék fala közötti hőátadás vagy a szemcsék és a gáz, a gáz és a fal vagy a készülék fala és a kísérleti rendszert körülvevő fűtőfolyadék/környezet közötti hőátadások, melyek figyelembevétele alapvető fontosságú lehet a tekintett rendszer hőátadási folyamatainak vizsgálatakor. Munkámban megadtam a hiányzó hőátadási folyamatok modelljeit populációs
mérlegegyenletek
alakjában,
melyek
formáikat
tekintve
integro/parciális/közönséges-differenciálegyenletként írhatók le. Az így felállított összefüggések vizsgálatát szintén elvégeztem és eredményeimről értekezésemben beszámoltam.
Momentummódszer
felhasználásával,
kiindulva
a
populációs
mérlegegyenletekből, levezettem a szemcsék momentumainak hierarchiáját, melyet – mint láttuk – tetszőleges rendnél lezárva egy zárt hőmérleget kaptam. A megfelelő pontosságú hőátadás leírásához ezt az egyenletrendszert a második momentumnál zártam le. Egyenletet kaptam így a szemcsék időtől függő darabszámára, a szemcsék átlaghőmérsékletére valamint szórásnégyzet-értékeire. Ez utóbbi egyenlet különösen hasznos eszköznek bizonyult, hiszen az átlagértékek mellett pontosabban tudjuk jellemezni a hőátadási folyamatokat akkor, ha a hőmérsékletátlag-értéktől való eltérésről is információval rendelkezünk. A szemcséket jellemző egyenleteken túlmenőleg összefüggéseket vezettem be a rendszerben áramoltatott gáz fázis hőmérsékletére, a készülék falának hőmérsékletére valamint a rendszer környezetére. Az így megadott modell egy teljesen kevert rendszert írt le, melyet számítógépes szimulációval részletesen vizsgáltam, eredményeimet dolgozatomban bemutattam. A teljesen kevert rendszert értekezésem további részében továbbfejlesztettem un. cellás modell segítségével. A tekintett rendszert cellákra osztottam fel, és definiáltam az ezen cellák közötti kapcsolatokat. E megközelítés egyik nagy előnye az, hogy nem a rendszer egészének hőmérsékletéről és a szemcsés fázis egészének hőmérsékleteloszlásáról szolgáltat információt, hanem ezen információk rendelkezésünkre állnak minden cellában, mely megfelelő alapot ad például arra, hogy a szilárd-fluidum rendszerekben azonosítsuk a forró pontokat, vagy egyszerűen vizsgálhatóvá váljanak általa a szilárd-fluidum rendszer bizonyos résztartományai is. Munkámban megadtam a 129
cellás modell populációs mérlegegyenleteit, valamint levezettem az ezekhez tartozó momentumegyenleteket is, melyeket számítógépes támogatással megoldottam. Az általánosan megfogalmazott modellt két oldalról is vizsgáltam. Egyrészt az ipari folyamatokban gyakran alkalmazott turbulens fluidizációt modelleztem segítségével, másrészt hőcserélő rendszerek hőmérséklet-alapú tulajdonságait is vizsgáltam. A kapott eredményeket dolgozatomban ismertettem, valamint fizikai kísérleti eredményekkel vetettem össze. A validálási eljárás eredménye egyértelműen mutatja a bevezetett matematikai modell és a fizikai kísérletek eredményei közötti jó illeszkedést, mely igazolja a bevezetett sztochasztikus megközelítés alkalmazhatóságát hőátadási folyamatok leírására. Dolgozatom utolsó, 6. fejezetében egy axiális/populációs mérlegegyenletmodellt ismertettem turbulens fluidizáció modellezésére és vizsgálatára. A bevezetett parciális differenciálegyenlet-rendszer az idő és hőmérsékletváltozó mellett egy helykoordinátát is tartalmaz, így a cellás modellekhez képest pontosabban írja le a szilárd-fluidum rendszer hőmérsékletjellemzőit. Az axiális mérlegegyenlet modell eredményeit dolgozatomban részletesen ismertettem. Munkám szimulációs eredményei azt bizonyítják, hogy az értekezésemben bemutatott populációs mérlegegyenlettel történő megközelítéssel és a kapott modellrendszerrel leírhatók és vizsgálhatók szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatai, mely segítségével elkerülhetők a költséges fizikai kísérletek.
130
8. Új tudományos eredmények Az értekezés új tudományos eredményei az alábbiakban foglalhatók össze: 1. Populációs mérlegegyenlet-modellt dolgoztam ki teljesen kevertnek tekintett szilárd-fluidum rendszerek hőátadási folyamatainak vizsgálatára és modellezésére, mellyel leírhatók a szemcse-szemcse, a szemcse-fal, a fal-gáz, a szemcsegáz és a fal-környezet hőátadás folyamatai. 1.1. Alkalmazva Lakatos és szerzőtársai (2004; 2006) által megadott általános leírást, megadtam a hőátadási folyamatokat jellemző aktivitási és konverziós függvényeket, melyek alapelemei a matematikai modellnek és elenged-hetetlen
eszközei
a
hőátadási
folyamatok
populációs
mérlegegyenlettel történő vizsgálatainak. 1.2. Az általános populációs mérlegegyenlet több fontos részfolyamata közül kidolgoztam a szemcse-fal és szemcse-gáz hőátadás matematikai leírását, melynek segítségével vizsgálhatók a tekintett komponensek közötti hőátadási folyamatok. 1.3. Kiegészítettem a mérlegegyenlet-rendszert a gázra és a környezetre vonatkozó összefüggésekkel. Így olyan matematikai modellt kaptam, mely alkalmas szilárd-fluidum rendszerek meghatározó hőátadási folyamatainak leírására, és segítségével vizsgálhatók a szilárd-fluidum rendszerek komponenseinek hőmérséklet-jellemzői.
[P2], [P4], [P12]
2.
A momentummódszer alkalmazásával meghatároztam a szilárd-fluidum rendszerek teljes hőátadási folyamatára jellemző momentum-egyenleteket és
131
segítségükkel, valamint a kidolgozott számítógépes algoritmussal vizsgáltam a rendszer tulajdonságait. 2.1. Momentummódszer felhasználásával közönséges differenciálegyenletek egy zárt hierarchiáját adtam meg szilárd-fluidum rendszerek momentumainak számítására. Általánosítottam Lakatos és szerzőtársai (2004; 2006) korábbi eredményeit a szemcse-szemcse hőátadási folyamatok mellett meg-jelenő egyéb – szemcse-fal, szemcse-gáz, gáz-fal és falkörnyezet – hőátadási folyamatok vizsgálatával. 2.2. A kidolgozott számítógépes algoritmussal megoldottam és szimulációval vizsgáltam a felállított matematikai modell, és ezáltal a szilárd-fluidum rendszer tulajdonságait. Ismertettem a populációs mérlegegyenletből származtatott momentumegyenlet-rendszer eredményeit, melyek egy teljesen
kevertnek
feltételezett
szilárd-fluidum
rendszer
főbb
hőmérsékletjellemzőit írják le.
[P2], [P4], [P11], [P12]
3.
Kiterjesztettem a felépített populációs modellt a szemcsék térbeli hőmérsékleteloszlásának vizsgálatára cellás modell segítségével, továbbá megadtam e modellezési megközelítés momentumegyenleteit. 3.1. Bevezettem az általános cellás modell építőelemeit szilárd-fluidum rendszerek modellezésére és vizsgáltam számítógépes szimulációval annak tulajdonságait. Rámutattam arra, hogy a bevezetett cellás modell alkalmas eszköz a szemcsék egydimenziós hőmérséklet-eloszlásának modellezésére. 3.2. A turbulens fluidizáció vizsgálatára cellás modellt adtam és számítógépes szimulációval vizsgáltam annak jellemzőit szilárd-fluidum rendszerekben. 3.3. Alkalmaztam a populációs mérlegegyenletek alapján felépített cellás modelleket hőcserélő rendszerek modellezésére. A bemutatott eredményeim
132
ellenáramú folyadékfázis esetén mutatják a hőcserélő rendszerek hőátadási jellemzőit az egyes komponensek esetén. 3.4. A hőcserélő rendszerek leírására alkalmas matematikai, és az abból származtatott
momentumegyenlet-modell
eredményeit
összevetettem
irodalomban található valós kísérletek (Rodriguez et al., 2002; Pécora et al., 2006) eredményeivel, melyek mutatják a populációs mérlegegyenlettel történő modellezés és a felépített modell alkalmazhatóságát.
[P1], [P2], [P4], [P5], [P6], [P7]
4.
Axiális diszperziós/populációs mérleg modellt dolgoztam ki turbulens fluidizáció hőátadási folyamatainak leírására. 4.1. Megadtam egy axiális diszperziós/populációs modellt turbulens fluidizáció hőátadási folyamatainak modellezésére és vizsgálatára. A modell segítségével az axiális koordináta mentén jellemeztem és vizsgáltam a szilárd-fluidum rendszer különféle komponenseinek hőmérséklet eloszlásait: nevezetesen a szemcsék átlaghőmérsékletét, a gáz, a fal valamint a környezet hőmérséklet jellemzőit. 4.2. Elvégeztem az axiális modell dimenziómentesítését, és momentummódszer alkalmazásával áttranszformáltam a felépített mérlegegyenleteket momentumegyenletekké, mely parciális differenciálegyenlet-rendszert a kidolgozott számítógépes programtámogatással oldottam meg. 4.3. Számítógépes szimulációval vizsgáltam az axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet tulajdonságait, rámutattam a szilárd-fluidum rendszerek szemcse-szemcse hőátadási jellemzőinek meghatározó szerepére.
[P1], [P3], [P8]
133
9. New scientific results New scientific results of my dissertation can be summarized hereinafter: 1. I developed a population balance equation model for the analysis and modeling of the heat transfer processes of perfectly mixed particle-fluid systems, which allows us to describe particle-particle, particle-wall, wall-gas, particle-gas and wall-environment heat transfer processes.
1.1. By applying the description given by Lakatos and coauthors (2004; 2006), I specified the activity and conversion functions describing heat transfer processes. These functions are fundamentals of the mathematical model and essential tools of the examination of heat transfer processes with population balance equation. 1.2. Among other important process segments of the general population balance equation I developed the mathematical description of the particle-wall and particle-gas heat transfer, which allows to analyze the heat transfer processes between the components under consideration. 1.3. I complemented the balance equation system with the connections of gas and environment. This way, I got a mathematical model which is able to describe decisive heat transfer processes of particle-fluid systems. Additionally with the help of this model, it is possible to analyze the heat properties of the components of particle-fluid systems.
[P2], [P4], [P12]
2. With the momentum method, I defined the momentum-equations describing the full heat transfer process of the particle-fluid systems. I analyzed the
134
system's properties by means of these equations in addition to the developed computational algorithm.
2.1. With the use of the momentum method I specified a closed hierarchy of ordinary differential equations for computing the momentum of particlefluid systems. I generalized the previous results of Lakatos and coauthors (2004; 2006) by the analysis of other (particle-wall, particle-gas, gas-wall and wall-environment) heat transfer processes apart from the particleparticle heat transfer processes. 2.2. With the developed computational algorithm, I solved and with simulation I analyzed the properties of the specified mathematical model and hereby the particle-fluid system. I defined the results of the momentum equation system derived from the population balance equation, which describe the main heat properties of a perfectly mixed particle-fluid system.
[P2], [P4], [P11], [P12]
3. With the help of a cells-in-series model, I extended the constructed population model for the spatial heat distribution analysis of the particles, furthermore I specified the momentum equations of this modeling approach.
3.1. I introduced the elements of the general cells-in-series model for particlefluid system modeling, and analyzed its properties with computational simulation. I have showed that the introduced cellular model is an adequate tool for modeling the one-dimensional heat distribution of the particles. 3.2. I specified a cells-in-series model for the analysis of the turbulent fludization and I examined its properties in particle-fluid systems with computational simulation. 3.3. I applied the cells-in-series models constructed on the basis of the population balance equation for the modeling of heat exchanger systems. My results indicate the heat transfer properties of the heat exchanger systems in case of a counter-current liquid phase.
135
3.4. I have compared the results of the mathematical model for describing heat exchanger systems and the results of the momentum equation model derived from it with the results of the real life experiments (Rodriguez et al., 2002; Pécora et al., 2006) published in literature. This comparison proves the applicability of modeling with population balance equation and the constructed model.
[P1], [P2], [P4], [P5], [P6], [P7]
4. I developed an axial dispersion/population balance model for the description of the heat transfer processes of turbulent fluidization.
4.1. I specified an axial dispersion/population model for modeling and analyzing the heat transfer processes of turbulent fluidization. By means of the model I described and analyzed the heat distribution of the different components of the particle-fluid system along the axial coordinate: namely the average temperature of the particles in addition to the heat properties of the gas, the wall and the environment. 4.2. I introduced the dimensionless variables and parameters, and by applying the momentum method I transformed the constructed balance equations into momentum equations. I solved this partial differential equation system with the developed computational program support. 4.3. I have analyzed the properties of the axial dispersion/population balance equation with computational simulation, furthermore I have showed the decisive role of the particle-particle heat transfer properties of the particlefluid systems.
[P1], [P3], [P8]
136
Irodalomjegyzék Baskakov, A.P., Suprun, V.M.: The determination of the convective component of the coefficient of heat transfer to a gas in a fluidized bed, Int. Chem. Eng. 12, (1972), 5362. Berlemont, A., Desjonqueres, P., Gouesbet, G.: Particle Lagrangian simulation in turbulent flows, Int. J. Multiphase Flow 16, (1990), 19–34 Bi, H.T., Ellis, N., Abba, A., Grace, J.R.: A state-of-the-art review of gas–solid turbulent fluidization, Chem. Eng. Sci., 55, (2000), 4789-4825. Blickle T.: A fluidizációs eljárás készülékei alkalmazásai és számításai, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1963 Blickle T., Lakatos G.B., Mihálykó Cs.: Szemcsés rendszerek matematikai modelljei, A kémia újabb eredményei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2001 Blickle, T., Mihálykó, Cs., Süle, Z., Lakatos, B.G.: Hőátadási modellek összehasonlító vizsgálata, a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004), 335-338. Burgschweiger, J., Tsotas, E.: Experimental investigation and modelling of continuous fluidized drying under steady-state and dynamic conditions, Chem. Eng. Sci., 57, (2002), 5021-5038. Chagras, V., Osterlé, B., Boulet, P.: On heat transfer in gas-solid pipe flows: Effects of collision induced alterations on the flow dynamics, Int. J. Heat Mass Transfer, 48, (2005), 1649-1661. Coulson J.M., Richardson J.F., Backhurst J.R., Harker J.H.: Chemical Engineering Volume 2 – Particle Technology and Separation Processes, Pergamon Press, 1993 Delvosalle, C., Vanderschuren, J.: Gas-to-particle and particle-to-particle heat transfer in fluidized beds of large particles, Chem. Eng. Sci. 40 (5), (1985), 769-779.
137
Fan, L. T., Chiu, Y.Y., Schlup, J.R., Chou, S.T.: The Master Equation for Linear Adsorption and Desorption of Gases on Solid Surfaces, Chem. Eng. Comm., 108, (1991), 127-146. Foka, M., Chaouki, J., Guy, C., Klvana, D.: Gas phase hydrodynamics of a gas-solid turbulent fluidized bed reactor, Chem. Eng. Sci., 51, (1996), 713-723. Frain, M.: Investigation of the Influence of Gas and Solid Particle Interaction ont he Heat Transfer Effectiveness of a Falling-Bed Heat Exchanger, PhD disszertáció, University of Massachusetts Amherst, (2004) Gardiner, C.W.: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, Springer, Berlin, 1983 Geldart, D.: Types of gas fluidization, Powder Technology, 7, (1973), 285-292. Geldart, D.: Estimation of basic particle properties for use in fluid-particle process calculations, Powder Technology, 60, (1990) 1. Gidaspow, D.: Multiphase Flow and Fluidization, Academic Press, San Diego, (1994) Hamidipour, M., Mostoufi, N., Sotudeh-Gharebagh, R., Chaouki, J.: Monitoring the particle-wall contact in a gas fluidized bed by RPT, Powder Technology, 153, (2005a) 119-126. Hamidipour, M., Mostoufi, N., Sotudeh-Gharebagh, R., Chaouki, J.: Experimental invest-igation of particle contact time at thewall of gas fluidized beds, Chem. Eng. Sci. 60, (2005b), 4349–4357. Hulburt, H.M., Katz, S.: Some problems in particle technology: a statistical mechanical formulation, Chem.Eng.Sci., 19, (1964), 555-574. Kaneko, Y., Shiojima, T., Horio, M.: DEM simulation of fluidized beds for gas-phase olefin polymerization, Chem. Eng. Sci., 54, (1999), 5809-5821. Kettenring, K.N., Manderfield, E.L., Smidth, J.M.: Heat and Mass Transfer in Fluidized System, Chem. Engng. Progr., 46., (1950), 139-145. Kölbel, H., Borchers, E., Martins, J.: Wärmeübergang in Blasensäulen III. Messungen an gasdurchströmten Suspensionen, Chem.-Ing.-Techn., 32, (1960), 84-88. Lakatos, G.B., Blickle, T.: Effect of particle size distribution on liquid–solid reaction kinetics in solutions, Acta Chim. Hung. - Models in Chemistry, 127, (1990), 395-405.
138
Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs., Blickle, T.: Modelling of interactive populations of disperse systems, Proc. 2nd Int. Conf. Population Balance Modelling, Valencia, (2004), 72-86. Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs., Blickle, T.: Modelling of interactive populations of disperse systems, Chem.Eng.Sci., 61, (2006), 54-62. Lakatos, B.G., Süle, Z., Mihálykó, Cs.: Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Particulate Systems, International Journal of Heat and Mass Transfer, 51, (2008), 1633-1645. Lathouwers, D., Bellan, J.:Modeling of dense gas-solid reactive mixtures applied to biomass pyrolysis in a fluidized bed, Int. J. Multiphase Flow, 27, (2001), 2155-2187. Le Blanc, S.E., Fogler, H.S.: Population balance modeling of the dissolution of polydisperse solids: rate limiting regimes. AIChE J., 33, (1987), 54-63. Li, J., Mason, D.J.: A computational investigation of transient heat transfer in pneumatic transport of granular particles, Powder Technology 112, (2002), 273-282. Mansoori, Z., Saffar-Avval, M., Basirat-Tabrizi, H., Ahmadi, G., Lain, S.: Thermomechanical modeling of turbulent heat transfer in gas-solid flows including particle collisions, Int. J. Heat Fluid Flow Transfer, 23, (2002), 792-806. Mansoori, Z., Saffar-Avval, M., Basirat-Tabrizi, H., Dabir, B., Ahmadi, G.: Interparticle heat transfer in a riser of gas-solid turbulent flows, Powder Technology, 159, (2005), 35-45. Martin, H.: Heat transfer between gas fluidized bed of solid particles and the surfaces of immersed heat transfer exchanger elements, Chem. Eng. Proc., 18, (1984), 199-223. Molerus, O.: Heat transfer in moving beds with a stagnant interstitial gas, Int. J. Heat Mass Transfer 40, (1997), 4151-4159. Mihálykó Cs., Blickle T.: A szakaszos őrlés modelljének matematikai vizsgálata, Magyar Kémikusok Lapja, 51, (1996), 150-152. Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Matejdesz, A., Blickle, T.: Population balance model for particle-to-particle heat transfer in gas-solid systems, Int. J. Heat Mass Transfer, 47, (2004a), 1325-1334.
139
Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Süle, Z., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével I. Kvalitatív vizsgálat, a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004b), 339-342. Naumann, E.B., Buffham, B.A.: Mixing in Continuous Flow Systems, J. Wiley, New York, 1983 Nigmatulin R. I.: Spatial averaging in the mechanics of heterogeneous and dispersed systems, Int. J. Multiphase Flow, 5, (1979), 353-385. Pécora A.A.B., Parise M.R.: Heat transfer coefficient in a shallow fluidized bed heat exchanger with a continuous flow of solid particles. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 28, (2006). Ramkrishna, D.: The status of population balance, Rev. Chem. Engng., 3, (1985), 4995. Ramkrishna, D., Borwanker, J.D.: A puristic analysis of population balance, Chem. Eng. Sci., 28, (1973), 1423-1435. Ramkrishna D.: Population balances. San-Diego: Academic Press, (2000) Randolph, A.D., Larson, M.A.: Theory of Particulate Processes, Academic Press, New York, 1988. Richardson, J.F., Ayers, P.: Heat transfer between particles and a gas in a fluidised bed, Trans. Inst. Chem. Eng. 37 (1959), 314-321. Rodriguez O.M.H., Pecora A.A.B., Bizzo W.A.: Heat recovery from hot solid particles in a shallow fluidized bed, Appl. Therm. Eng. 22, (2002), 145. Sastry, K.V.S., Fuerstenau, D.W.: Size distribution of agglomerates in coalescing dispersed phase systems, Ind. Eng. Chem. Fund, 9, (1970), 145-149. Schouten, J.C., Zijerveld, R.S., van den Bleek, C.M.: Scale-up of bottom-bed dynamics and axial solids-distribution in circulating fluidized beds of Geldart-B particles, Chem. Eng. Sci., 54, (1999), 2103-2112. Schlünder, E.U.: Heat transfer to packed and stirred beds from the surface of immersed bodies, Chem. Eng. Proc. 18, (1984), 31-53. Schmidt A., Renz, U.: Eulerian computation of heat transfer in fluidized beds, Chem. Eng. Sci. 54, (1999), 5515–5522.
140
Skorokhod, A.V.: Stochastic Differential Equations of Complex
Systems, Nauka,
Moszkva, 1983 Sobczyk, K.: Stochastic Differential Equations with Applications to Physics and Engineering, Kluwer Academic, Dordrecht, 1991 Sommerfeld, M.: Validation of a stochastic Lagrangian modelling approach for inter particle collisions in homogeneous isotropic turbulence, Int. J. Multiphase Flow 27, (2001), 1829-1858. Sommerfeld, M.: Kinetic simulations for analysing the wall collision process of nonspherical particles, Proc. ASME FEDSM’02, (2002), 1-9. Sun, J., Chen, M.M.: A theoretical analysis of heat transfer due to particle impact, Int. J. Heat Mass Transfer 31, (1988), 969-975. Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Axial dispersion/population balance model of heat transfer in turbulent fluidization, Computers and Chemical Engineering (publikálásra elküldve) Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Axial dispersion/population balance model of heat transfer in gas-solid turbulent fluidization, Proc. 19th European Symposium on Computer Aided Process Engineering - ESCAPE19, Computer-Aided Chemical Engineering, Krakkó, Lengyelország, 26, (2009a), 719-724. Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Modelling of Heat Transfer Processes with Compartment/Population Balance Model, Proc. CD of 6th Vienna Conference on Mathematical Modelling - MATHMOD09, Full Papers CD Volume, Bécs, Ausztria, (2009b), 1602-1611. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of Gas-Solid Fluidized Bed Heat Exchangers, Chemical and Process Engineering, 29, (2008), 201213. Süle, Z., Effect of Solid Particles on the Heat Transfer Efficiency of Heat Exchangers, Proc. of the 5th PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2007), 31-33. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Turbulent Fluidization, Proc. CD of 17th European Symposium on Computer Aided Process Engineering - ESCAPE17, Computer-Aided Chemical Engineering, Bukarest, Románia, 24 (2007a)
141
Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of Ga--Solid Fluidized Bed Heat Exchangers, Proc. of XIX Polish Conference of Chemical and Process Engineering, Rzeszów, Lengyelország, (2007b), 199-202. Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Fluidized Bed Heat Exchangers, Proc. of the 4th PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2006), 40-42. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Fluidizált rétegű hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése, a Műszaki Kémiai Napok'06 konferencia kiadványa, Veszprém, (2006a), 53-56. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Modeling of Heat Transfer Process in Particulate Systems, Proc. of 16th European Symposium on Computer Aided Process Engineering - ESCAPE16, Computer-Aided Chemical Engineering, GarmischPartenkirchen, Németország, 21A, (2006b), 589-594. Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Particulate Systems, Proc. of the 3rd PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2005), 52-54. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Mizonov, V.: Szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése, a Műszaki Kémiai Napok'05 konferencia kiadványa, Veszprém, (2005), 190-193. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével II. Kvantitatív vizsgálat, a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004), 343-346. Thompson, M.L., Bi, H., Grace, J.R.: A generalized bubbling/turbulent fluidized-bed reactor model, Chem. Eng.. Sci., 54, (1999), 2175-2185. Vanderschuren, J., Delvosalle, C.: Particle-to-particle heat transfer in fluidized bed drying, Chem. Eng. Sci. 35 (8), (1980), 1741-1748 Wamsley, W. W., Johanson, L. N.: Fluidized Bed Heat Transfer, Chem. Engng. Progr., 50, (1954), 347-355. Wen, C.Y., Yu, Y.H.: A generalized method for predicting minimum fluidization velocity, AIChE Journal, 12, (1966), 610-618.
142
You, C., Zhao, H., Haiying, Y.C., Qi, H., Xu, X.: Experimental investigation of interparticle collision rate in particulate flow, Int. J. Multiphase Flow, 30 (2004), 11211138. Zhou, H., Flamant, G., Gauthier, D.: DEM-LES simulation of coal combustion in a bubbling fluidized bed. Part II: coal combustion at the particulate level, Chem. Eng. Sci. 59, (2004), 4205-4215.
143
Saját publikációk Az értekezés témájából született publikációk listája Lektorált, nemzetközi folyóiratban megjelent publikációk
[P1]
Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of GasSolid Fluidized Bed Heat Exchangers Chemical and Process Engineering, 29, (2008), 201-213., IF=0.115
[P2]
Lakatos, B.G., Süle, Z., Mihálykó, Cs.: Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Particulate Systems International Journal of Heat and Mass Transfer, 51, (2008), 1633-1645., IF=1.500
[P3]
Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Axial Dispersion/Population Balance Model of Heat Transfer in Turbulent Fluidization Computers and Chemical Engineering (publikálásra elküldve)
Konferenciakiadványban megjelent publikációk
[P4]
Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Modeling of Heat Transfer Process in Particulate Systems Proc. of 16th European Symposium on Computer Aided Process Engineering ESCAPE16, Computer-Aided Chemical Engineering, Garmisch-Partenkirchen, Németország, 21A, (2006), 589-594.
[P5]
Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of GasSolid Fluidized Bed Heat Exchangers Proc. of XIX Polish Conference of Chemical and Process Engineering, Rzeszów, Lengyelország, (2007), 199-202.
144
[P6]
Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Turbulent Fluidization Proc. CD of 17th European Symposium on Computer Aided Process Engineering - ESCAPE17, Computer-Aided Chemical Engineering, Bukarest, Románia, 24, (2007)
[P7]
Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Modelling of Heat Transfer Processes with Compartment/Population Balance Model Proc. CD of 6th Vienna Conference on Mathematical Modelling MATHMOD09, Full Papers CD Volume, Bécs, Ausztria, (2009), 1602-1611.
[P8] Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Axial Dispersion/Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Turbulent Fluidization Proc. 19th European Symposium on Computer Aided Process Engineering ESCAPE19, Computer-Aided Chemical Engineering, Krakkó, Lengyelország, 26, (2009), 719-724. [P9]
Blickle, T., Mihálykó, Cs., Süle, Z., Lakatos, B.G.: Hőátadási modellek összehasonlító vizsgálat a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004), 335338.
[P10] Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Süle, Z., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével I. Kvalitatív vizsgálat a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004), 339342. [P11] Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével II. Kvantitatív vizsgálat a Műszaki Kémiai Napok'04 konferencia kiadványa, Veszprém, (2004), 343346. [P12] Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Particulate Systems Proc. of the 3rd PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2005), 52-54. [P13] Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Mizonov, V.: Szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése a Műszaki Kémiai Napok'05 konferencia kiadványa, Veszprém, (2005), 190193. 145
[P14] Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Fluidized Bed Heat Exchangers Proc. of the 4th PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2006), 40-42. [P15] Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Fluidizált rétegű hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése a Műszaki Kémiai Napok'06 konferencia kiadványa, Veszprém, (2006), 53-56. [P16] Süle, Z., Effect of Solid Particles on the Heat Transfer Efficiency of Heat Exchangers Proc. of the 5th PhD Mini-Symposium, Veszprém, (2007), 31-33.
Az értekezés témájában elhangzott tudományos előadások listája 1. Mihálykó, Cs., Süle, Z., Lakatos, B.G.: Hőátadási modellek összehasonlító vizsgálata Műszaki Kémiai Napok'04 Konferencia, Veszprém, 2004. április, szóbeli szekcióelőadás 2. Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Süle, Z., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével I. Kvalitatív vizsgálat Műszaki Kémiai Napok'04 Konferencia, Veszprém, 2004. április, szóbeli szekcióelőadás 3. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Blickle, T.: Szilárd-fluidum rendszer hőátadási folyamatainak elemzése momentumok segítségével II. Kvantitatív vizsgálat Műszaki Kémiai Napok'04 Konferencia, Veszprém, 2004. április, szóbeli szekcióelőadás 4. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G., Mizonov, V.: Szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése Műszaki Kémiai Napok'05 Konferencia, Veszprém, 2005. április, szóbeli szekcióelőadás
146
5. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Szemcsés rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése VEAB Analízis és Alkalmazásai munkabizottság tudományos ülése, Veszprém, 2005. május, szóbeli előadás 6. Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Particulate Systems The 3rd PhD Mini-Symposium, Veszprém, 2005. június, szóbeli szekcióelőadás 7. Süle, Z.: Modelling of Heat Transfer Processes in Fluidized Bed Heat Exchangers 4th PhD Mini-Symposium, Veszprém, 2006. június, szóbeli szekcióelőadás 8. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Fluidizált rétegű hőcserélő rendszerek hőátadási folyamatainak modellezése Műszaki Kémiai Napok'06 Konferencia, Veszprém, 2006. április, szóbeli szekcióelőadás 9. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Modeling of Heat Transfer Process in Particulate Systems 16th European Symposium on Computer Aided Process Engineering ESCAPE16, Garmisch-Partenkirchen, Németország, 2006. július, poszter előadás 10. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Hőátadási folyamatok populációs modelljei VEAB Analízis és Alkalmazásai munkabizottság tudományos ülése, Veszprém, 2006. október, szóbeli előadás 11. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Turbulent Fluidization 17th European Symposium on Computer Aided Process Engineering ESCAPE17, Bukarest, Románia, 2007. május, szóbeli szekcióelőadás 12. Süle, Z.: Effect of Solid Particles on the Heat Transfer Efficiency of Heat Exchangers The 5th PhD Mini-Symposium, Veszprém, 2007. június, szóbeli szekcióelőadás 13. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of GasSolid Fluidized Bed Heat Exchangers XIX Polish Conference of Chemical and Process Engineering, Rzeszów, Lengyelország, 2007. szeptember, szóbeli szekcióelőadás
147
14. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Population Balance Model of GasSolid Fluidized Bed Heat Exchangers XXVII International Workshop on Chemical Engineering Mathematics, Veszprém, 2007. szeptember, szóbeli szekcióelőadás 15. Süle,
Z.,
Mihálykó,
Cs.,
Lakatos,
B.G.:
Hőcserélők
populáció
mérlegegyenletes matematikai modellje VEAB Analízis és Alkalmazásai munkabizottság tudományos ülése, Veszprém, 2007. október, szóbeli előadás 16. Süle, Z., Mihálykó, Cs., Lakatos, B.G.: Axiális diszperziós/populációs mérlegegyenlet modell hőátadási folyamatok leírására VEAB Analízis és Alkalmazásai munkabizottság tudományos ülése, Veszprém, 2008. október, szóbeli előadás 17. Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Modelling of Heat Transfer Processes with Compartment/Population Balance Model 6th Vienna Conference on Mathematical Modelling - MATHMOD09, Bécs, Ausztria, 2009. február, szóbeli szekcióelőadás 18. Süle, Z., Lakatos, B.G., Mihálykó, Cs.: Axial Dispersion/Population Balance Model of Heat Transfer in Gas-Solid Turbulent Fluidization 19th European Symposium on Computer Aided Process Engineering ESCAPE19, Krakkó, Lengyelország, 2009. június, szóbeli szekcióelőadás
148
