HANDOUT
STATISTIKA LANJUT MAA 315
Oleh : Kismiantini, M.Si. NIP. 19790816 200112 2 001
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 1
: Analisis Korelasi
Analisis korelasi adalah analisis statistika yang membahas tentang derajat (kekuatan) hubungan antara peubah-peubah.
Koefisien korelasi linear mengukur kekuatan hubungan linear antara peubah X dan Y. Koefisien korelasi linear seringkali disebut juga dengan koefisien korelasi Pearson (ditemukan oleh Karl Pearson pada tahun 1857-1936). Rumus koefisien korelasi linear populasi =
∑ − ∑ ∑
∑ ∑ − ∑ − ∑
Rumus koefisien korelasi linear sampel =
(a) Korelasi positif antara X dan Y
∑ − ∑ ∑
∑ − ∑ ∑ − ∑
(b) Korelasi positif yang kuat (c) Korelasi positif sempurna antara X dan Y antara X dan Y
1
(d) Korelasi negatif antara X dan Y
(e) Korelasi negatif yang kuat antara X dan Y
(g) Tidak ada korelasi antara X dan Y
(f) Korelasi negatif sempurna antara X dan Y
(h) Hubungan nonlinear antara X dan Y
Koefisien Determinasi bagi sampel (r2)
Nilai r2 menyatakan persentase keragaman Y yang dapat dijelaskan oleh hubungan linear antara X dan Y. Contoh 1: Data berikut adalah tentang banyaknya keketidakhadiran dan nilai akhir dari tujuh mahasiswa yang dipilih secara acak dari suatu kelas Statistika. Mahasiswa A B C D E F G Banyaknya ketidakhadiran (X) 6 2 15 9 12 5 8 Nilai Akhir (Y) 82 86 43 74 58 90 78 a) Buatlah diagram pencar dari data tersebut. b) Tentukan koefisien korelasi dan maknanya. c) Tentukan koefisien determinasi dan maknanya.
2
Penyelesaian: a) Diagram pencar bagi X dan Y, terlihat bahwa titik-titik data mengikuti arah garis lurus.
Scatterplot of Y vs X 90
80
Y
70
60
50
40 2
4
6
8
10
12
14
16
X
b) Koefisien korelasi r = -0,944 artinya ada korelasi negatif yang kuat antara banyaknya ketidakhadiran dan nilai akhir, semakin banyak ketidakhadiran maka semakin menurun nilai akhirnya c) Koefisien determinasi r2 = 0,891, artinya sebesar 89,1% keragaman nilai akhir yang dapat dijelaskan oleh hubungan linear antara banyaknya ketidakhadiran dan nilai akhir. Pengujian Korelasi Populasi Nilai koefisien korelasi antara -1 dan +1. Bila nilai r dekat +1 atau -1 maka ada hubungan linear yang kuat. Bila nilai r dekat 0 maka hubungan linear itu lemah. Bila r samadengan 0 maka tidak ada hubungan linear antara dua peubah tersebut. Pengujian Hipotesis untuk signifikansi hubungan linear antara dua peubah. 1. Hipotesis H0 : = 0 (Tidak ada korelasi antara X dan Y) H1 : ≠ 0 (Ada korelasi signifikan antara X dan Y) 2. Taraf nyata: α 3. Statistik Uji:
=
4. Kriteria Keputusan H0 ditolak jika | | > (
!)
3
Hipotesis Nol H0 : = 0 H0 : = 0 H0 : ≥ 0 H0 : = 0 H0 : ≤ 0
Hipotesis Alternatif H1 : ≠ 0 H1 : < 0 H1 : > 0
Statistik Uji
−2 = # 1 −
Kriteria Keputusan H0 ditolak jika || > (
H0 ditolak jika t < - tα(n-2)
!)
H0 ditolak jika t > tα(n-2)
Latihan Pada soal-soal berikut, a. Tentukan mana yang sebagai peubah bebas dan peubah tak bebas b. Buatlah diagram pencar c. Tentukan koefisien korelasi dan maknanya d. Tentukan koefisien determinasi dan maknanya e. Apakah ada hubungan linear antara kedua peubah tersebut? Gunakan α = 0.05. f. Apakah ada hubungan linear positif antara kedua peubah tersebut? Gunakan α = 0.05. 1. Seorang pendidik ingin mengetahui hubungan antara nilai skor tes dan nilai IPK dari mahasiswa. Berikut data sampel. Nilai skor tes 98 105 100 100 106 95 116 112 IPK 2,1 2,4 3,2 2,7 2,2 2,3 3,8 3,4 2. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara umur dengan lamanya seseorang melakukan olahraga per minggu. Berikut data sampelnya. Umur 18 26 32 38 52 59 Lamanya olahraga (jam) 10 5 2 3 1,5 1 3. Seorang manajer perusahaan ingin mengetahui hubungan antara banyaknya iklan di radio per minggu dan banyaknya penjualan (dalam jutaan rupiah) untuk suatu barang. Berikut data sampelnya. Banyaknya iklan di radio 2 5 8 8 10 12 Banyaknya penjualan 2 4 7 6 9 10 4. Empatbelas mahasiswa telah dipilih secara acak dan diperiksa tekanan darahnya. Berikut data tekanan darah sistolik dan diastolik (dalam mmHg). Sistolik 138 130 135 140 120 125 120 130 130 144 143 140 130 150 Diastolik 82 91 100 100 80 90 80 80 80 98 105 85 70 100
4
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 2
: Analisis Regresi Linear Sederhana
Analisis regresi adalah analisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat diramalkan dari peubah lainnya. Model Regresi Linear Sederhana dengan Yi adalah nilai peubah tak bebas dalam pengamatan ke-i β0 dan β1 adalah parameter Xi adalah konstanta yang diketahui, yaitu nilai peubah bebas dari pengamatan ke-i εi adalah galat yang bersifat acak dengan rataan E[εi]=0 dan ragam Var [εi]=σ2; εi dan εj tidak berkorelasi sehingga peragam/kovariansi σ {εi, εj} =0 untuk semua i,j ; i ≠ j Model regresi linear sederhana: • Dikatakan “sederhana” karena hanya ada satu peubah bebas. • Dikatakan “linear dalam parameter” karena tidak ada parameter yang muncul sebagai suatu eksponen atau dikalikan atau dibagi oleh parameter lain. • Dikatakan “linear dalam peubah bebas” karena peubah dalam model tersebut berpangkat satu. • Model yang linear dalam parameter dan linear dalam peubah bebas juga dinamakan model ordo-pertama. Bila sudah diperoleh data sampel (Xi,Yi), selanjutnya hal yang penting adalah membuat diagram pencar antara X dan Y untuk mengetahui pola dari data. Bila pola data menunjukkan linear maka model regresi linear sederhana dapat digunakan. Perhatikan gambar berikut. Scatterplot of Y vs X 90
80
Y
70
60
50
40 2
4
6
8
10
12
14
16
X
(a)
(b)
5
(c)
(d)
13,82 13 48,60
ei (sisaan ke-i) i) adalah beda antara nilai amatan Yi dengan nilai dugaannya Bagaimana mendapatkan b0 dan b1? Penduga bagi β0 dan β1 dapat diperoleh dengan metode metode kuadrat terkecil, yaitu dengan meminimumkan inimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model regresi linear sederhana iid
dengan ε i ~ N 0, σ 2 maka .
(
n
n
∑ε i =1
)
2 i
n 2
2
= ∑ (Yi − E (Yi )) = ∑ (Yi − (β 0 + β1 X i )) = L i =1
i =1
Selanjutnya diturunkan terhadap masing-masing masing parameter. n ∂L = −2∑ (Yi − (β 0 + β1 X i )) = 0 ∂β 0 i =1 n ∂L = −2∑ (Yi − (β 0 + β1 X i ))X i = 0 ∂β1 i =1
Penduga bagi β0 adalah b0 dan penduga bagi β1 adalah b1 yang diperoleh dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut. Sehingga diperoleh
X Y ∑ X Y − ∑ n∑ = ( X) ∑X − ∑ i
i
i i
b1
2
2 i
i
,
b0 =
1 (∑ Yi − b1 ∑ X i ) = Y − b1 X . n
n
6
Makna dugaan koefisien regresi Misalkan ingin mengetahui hubungan jarak tempuh kendaraan mobil dalam km (X) dengan tingkat emisinya dalam ppm (Y). • Plot data ternyata menunjukkan ada hubungan linear antara X dan Y •
Dicobakan model linear Yi = β0 + β1Xi + εi, diperoleh persamaan regresi Yˆi = 364 + 5,47 X i .
• Apa makna b0 dan b1 pada konteks ini ? Makna dari b1 yaitu rata-rata emisi meningkat 5,47 ppm untuk setiap kenaikan jarak tempuh kendaraan mobil 1 km (atau kenaikan jarak tempuh kendaraan mobil 1 km akan meningkatkan ratarata emisi yang dihasilkan mobil sebesar 5,47 ppm). Makna dari b0 yaitu untuk mobil dengan jarak tempuh kendaraan mobil 0 km (mobil baru) maka rata-rata tingkat emisi yang dihasilkan sebesar 364 ppm. b0 tidak selalu bermakna
SOAL LATIHAN 1. Berikut data sampel tentang nilai mutu rata-rata (NMR) mahasiswa pada akhir tahun pertama (Y) dan nilai ujian masuk (X). i Xi Yi
1 5,5 3,1
2 4,8 2,3
3 4,7 3,0
4 3,9 1,9
5 4,5 2,5
6 6,2 3,7
7 6,0 3,4
8 5,2 2,6
9 4,7 2,8
10 4,3 1,6
11 4,9 2,0
12 5,4 2,9
13 5,0 2,3
14 6,3 3,2
15 4,6 1,8
16 4,3 1,4
17 5,0 2,0
18 5,9 3,8
19 4,1 2,2
20 4,7 1,5
a) Buatlah diagram pencar X dan Y. b) Tentukan persamaan regresi dugaannya beserta maknanya. 2. Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu) Nilai ulangan matematika 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95 Lama waktu belajar 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10 matematika a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y. b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya. 3. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara pengeluaran untuk iklan (X dalam jutaan rupiah) dengan penerimaan melalui penjualan (Y dalam jutaan rupiah) pada perusahaan tertentu. Berikut ringkasan datanya :
n = 10, ∑ X i = 120, ∑ Yi = 500, ∑ X iYi = 6106, ∑ X i2 = 1470, ∑ Yi 2 = 25440 a) Tentukan persamaan regresi dugaan! Berikan maknanya. b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah, berapakah penerimaan dari hasil penjualan?
7
4. Tabel ini menunjukkan skor tes penalaran verbal (X) dan skor tes Inggris (Y), untuk setiap sampel acak dari 8 anak yang mengikuti kedua tes tersebut: Anak A B C D E F G H X 112 113 110 113 112 114 109 113 Y 69 65 75 70 70 75 68 76 a) Plot data dengan diagram pencar. Berikan penjelasan dari plot tersebut. b) Tentukan persamaan regresi linear dugaan dan berikan maknanya
8
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 3
: Asumsi-asumsi dalam Analisis Regresi Linear Sederhana
Model regresi linear sederhana bergalat normal 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 dengan 0 dan 1 adalah parameter Xi adalah konstanta yang diketahui nilainya i adalah galat yang menyebar N(0,2) dan bebas satu sama lain Asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear sederhana adalah a. Galat memiliki ragam yang konstan b. Galat menyebar normal c. Galat bersifat saling bebas Penyelidikan terpenuhi atau tidak asumsi-asumsi tersebut dengan menggunakan analisis sisaan. Sisaan atau nilai dugaan galat didefinisikan sebagai 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 Galat memiliki ragam yang konstan Pendeteksian apakah galat memiliki ragam yang konstan atau tidak dengan menggunakan: a. Plot sisaan (ei) dengan nilai dugaan ( 𝑌𝑖 ) b. Plot sisaan (ei) dengan peubah bebas (Xi) Kriterianya : Bila sisaan-sisaan tidak membentuk suatu pola tertentu maka galat memiliki ragam yang konstan. Perhatikan gambar berikut.
(a) Galat memiliki ragam konstan (tidak berpola)
(b) Galat tidak memiliki ragam konstan (berpola)
Galat menyebar normal Pendeteksian apakah galat menyebar normal atau tidak dengan menggunakan plot peluang normal. Plot peluang normal bagi sisaan yaitu plot ei versus hi. Cara membuat plot peluang normal bagi sisaan: 1. Menghitung nilai sisaan, lalu diurutkan dari kecil ke besar, selanjutnya disebut sisaan terurut 2. Menghitung hi (nilai harapan di bawah asumsi kenormalan) dengan rumus 9
ℎ𝑖 = 𝐾𝑇𝐺 𝑧 𝐾𝑇𝐺 = 𝐽𝐾𝐺
𝑖−0,375 𝑛+0,25
𝑛 − 2 , 𝐽𝐾𝐺 =
𝑌𝑖2 − 𝑏0
𝑌𝑖 − 𝑏1
𝑋𝑖 𝑌𝑖
Kriterianya: bila titik-titik (sisaan-sisaan) mengikuti arah garis diagonal maka galat menyebar normal. Perhatikan contoh berikut: Dari data sampel ini diperoleh Ŷ = 10 + 2X dengan KTG = 7,5. Selanjutnya akan dibuat plot peluang normal bagi sisaan sebagai berikut.
i
Urutan naik i
ei terurut 𝑧
𝑖 − 0,375 𝑛 + 0,25
Xi
Yi
Ŷi
ei
hi
1
30
73
70
3
1
-3
-4,24
2
20
50
50
0
2
-2
-2,74
3
60
128
130
-2
3
-2
-1,79
4
80
170
170
0
4
-2
-1,02
5
40
87
90
-3
5
-1
-0,33
6
50
108
110
-2
6
0
0,33
7
60
135
130
5
7
0
1,02
8
30
69
70
-1
8
2
1,79
9
70
148
150
-2
9
3
2,74
10
60
132
130
2
10
5
4,24
Gambar disamping menunjukkan bahwa galat menyebar normal karena titik-titik mengikuti arah garis diagonal.
Galat saling bebas a. Bila data tidak diamati secara bersamaan, melainkan dalam suatu urutan waktu maka buatlah plot sisaan (ei) terhadap waktu. Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi antara suku galat dengan suku galat berikutnya. b. Bila data diamati bersamaan, untuk melihat keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai dugaan galat (ei) dengan nilai dugaan respons ( Ŷi )
10
Kriterianya : apabila titik-titik sisaan berfluktuasi secara acak di sekitar nol maka dapat dikatakan bahwa galat saling bebas. Perhatikan gambar berikut.
(a) (b) Gambar (a) Plot waktu versus sisaan menunjukkan bahwa titik-titik sisaan tidak berfluktuasi secara acak disekitar nol maka galat tidak saling bebas. Gambar (b) Plot nilai dugaan versus sisaan menunjukkan bahwa titik-titik sisaan berfluktuasi secara acak disekitar nol maka galat saling bebas.
11
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 4
: Inferensi dalam Analisis Regresi Linear Sederhana
Inferensi terhadap 1 a. Selang Kepercayaan bagi 1 b 1 Diketahui bahwa 1 ~ tn 2 , sehingga sb1
b P t ;n 2 1 1 t ;n2 1 2 2 sb1 → 𝑃 𝑏1 − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏1 ≤ 𝛽1 ≤ 𝑏1 + 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏1 2
dengan 𝑠 2 𝑏1 =
2
=1−𝛼
𝐾𝑇𝐺 𝑋𝑖2 −
𝑋𝑖 𝑛
2
Jadi selang kepercayaan 100(1-) bagi 1 adalah 𝑏1 − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏1 ≤ 𝛽1 ≤ 𝑏1 + 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏1 2
2
Misalkan diperoleh selang kepercayaan 95% bagi 1 1,89 1 2,11 Artinya diduga bahwa rata-rata Y naik sekitar antara 1,89 sampai 2,11 satuan untuk setiap kenaikan satu satuan X. b. Uji bagi 1 Uji bagi 1=0 lawan 10 Hipotesis H0 : 1=0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y) H1 : 1 0 (Ada hubungan linear antara X dan Y) Taraf nyata : Statistik Uji: Sumber db JK KT Fhit Keragaman Regresi 1 JKR KTR F = KTR/KTG Galat n – 2 JKG KTG Total n – 1 JKT Kriteria keputusan: H0 ditolak jika Fhit > F(1, n – 2) 12
Perhatikan simpangan total berikut: Y Y Yˆ Y Y Yˆ i
i
i
i
Jumlah kuadrat simpangan-simpangan tersebut :
Y Y Yˆ Y Y Yˆ 2
2
i
2
i
i
JKT JKR JKT Yi 2 nY 2
i
JKG
JKG Yi 2 b0 Yi b1 X iYi X i Yi X iYi 2 n Yi Yi 2 2 n X X i2 n i JKR JKT JKG 𝐽𝐾𝑅 = 𝑏12
𝑋𝑖 − 𝑋
2
2
Hipotesis Nol H0 : 1 = c
Hipotesis Alternatif H1 : 1 c
H0 : 1 c H0 : 1 = c H0 : 1 c H0 : 1 = c
H1 : 1 > c
Statistik Uji 𝑡=
𝑏1 − 𝑐 𝑠 𝑏1
H1 : 1 < c
Kriteria keputusan H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼
2
H0 ditolak jika thit > 𝑡𝛼
b 0 P t ;n2 0 t ;n2 1 2 sb0 2 → 𝑃 𝑏0 − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝑏0 + 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏0 2
dengan 𝑠 2 𝑏0 = 𝐾𝑇𝐺
2
1
+ 𝑛
𝑋2 𝑋𝑖2 −
𝑋𝑖 𝑛
2
Jadi selang kepercayaan 100(1-) bagi 0 adalah 𝑏0 − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝑏0 + 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑏0 2
𝑛 −2
H0 ditolak jika thit < −𝑡𝛼
Inferensi terhadap 0 a. Selang Kepercayaan bagi 0 b 0 ~ t n2 , sehingga Diketahui bahwa 0 sb0
2
13
= 1−𝛼
𝑛 −2
𝑛 −2
Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi 0 5,34 0 14,66 Artinya diduga bahwa rata-rata Y sekitar antara 5,34 sampai 14,66 satuan untuk X sebesar 0. Selang kepercayaan bagi 0 ini tidak selalu memberikan informasi yang bermanfaat. b. Uji bagi 0 Uji bagi 0=0 lawan 00 Hipotesis H0 : 0=0 H1 : 0 0 Taraf nyata : Statistik Uji:
𝑡=
𝑏0 𝑠 𝑏0
Kriteria keputusan: H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼
2
𝑛 −2
Selang kepercayaan bagi 𝑬 𝒀𝒉 𝑌ℎ − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑌ℎ ≤ 𝐸 𝑌ℎ ≤ 𝑌ℎ + 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑌ℎ 2
2
dengan 𝑠 2 𝑌ℎ = 𝐾𝑇𝐺
1 𝑋ℎ − 𝑋 2 + 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑌ℎ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋ℎ Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi 𝐸 𝑌ℎ dengan Xh = 65 277,4 ≤ 𝐸 𝑌ℎ ≤ 311,4 Maknanya dengan tingkat kepercayaan 90% maka rata-rata Y untuk X sebesar 65 adalah 277,4 sampai 311,4 satuan. Selang prediksi bagi Yh(baru) 𝑌ℎ − 𝑡𝛼 (𝑛 −2) 𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑑 ≤ 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) ≤ 𝑌ℎ + 𝑡𝛼 (𝑛−2) 𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑑 2
2
dengan 𝑠 2 𝑝𝑟𝑒𝑑 = 𝐾𝑇𝐺 1 +
1 𝑋ℎ − 𝑋 2 + 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑌ℎ = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋ℎ 14
Misalkan diperoleh selang prediksi 90% bagi 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) dengan Xh = 100 adalah 332,2 ≤ 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) ≤ 506,6 Maknanya dengan tingkat kepercayaan 90% dapat diprediksikan bahwa rata-rata Y untuk proses berikutnya pada X sebesar 100 adalah 332,2 sampai 506,6 satuan.
SOAL LATIHAN 1. Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu). Nilai ulangan matematika 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95 Lama waktu belajar matematika 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10 a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y! Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. b) Tentukan selang kepercayaan 99% bagi 0 dan 1 beserta maknanya! c) Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan taraf nyata = 0,01. d) Ujilah apakah 1 = 5 lawan 1 5 ? Gunakan taraf nyata = 0,01. e) Ujilah apakah 0 = 0 atau tidak? Gunakan taraf nyata = 0,01. f) Tentukan selang prediksi 95% bagi Yh(baru) dengan Xh = 15 2. Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35 tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas khusus (remedial class). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa yang mengikuti kuliah matematika yang biasa: 𝑋𝑖 = 1110;
𝑌𝑖 = 1173;
𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 67690;
𝑋𝑖2 = 67100;
𝑌𝑖2 = 74725
a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y! b. Tentukan persamaan regresi dugaan! c. Bila 60 adalah nilai terendah agar lulus dari pelajaran matematika tersebut, berapakah batas nilai tes terendah di masa mendatang untuk dapat diizinkan mengikuti kuliah tersebut? Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. d. Ujilah apakah ada hubungan linier antara nilai tes dan nilai akhir? Gunakan taraf nyata 0,05. e. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 0 dan 1 beserta maknanya. f. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝐸 𝑌ℎ dengan Xh = 75 beserta maknanya.
15
3. Suatu percobaan dilakukan pada jenis mobil baru merk tertentu, untuk menentukan jarak yang dibutuhkan untuk berhenti bila mobil tersebut direm pada berbagai kecepatan. Data yang diperoleh sebagai berikut: Kecepatan (kilometer per jam) 35 50 65 80 95 110 Jarak sampai berhenti (meter) 16 26 41 62 88 119 a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y! b. Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya! Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. c. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 1 dan berikan maknanya! d. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 0 dan berikan maknanya! e. Ujilah apakah ada hubungan linear antara kecepatan dan jarak sampai berhenti? Gunakan taraf nyata = 0,05. f. Ujilah apakah 1 positif? Gunakan taraf nyata = 0,05.
Analisis Variansi Uji F untuk Ketidakcocokkan Model Regresi Linear Sederhana • Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan Y untuk suatu X tertentu bersifat bebas, tersebar normal, memiliki ragam yang sama. • Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada satu atau lebih nilai X. Hipotesis H0 : E{Y} = 0+ 1X H1 : E{Y} 0+ 1X Atau H0 : Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data H1 : Ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data Atau H0 : Model regresi linear sederhana cocok H1 : Model regresi linear sederhana tidak cocok Taraf nyata: Statistik Uji :
F
J KKM k 2 JKGM n k
Kriteria keputusan : H0 ditolak jika Fhit > Fα(k-2,n-k) k= menyatakan banyaknya x yang berbeda n = banyaknya pengamatan
16
Perhatikan berikut ini:
Y
ij
Yˆij
Y 2
ij
JKG
2 Y j Y j Yˆij
JKGM
2
JKKM
Contoh: Lakukan uji kecocokan model regresi linear sederhana dengan taraf nyata 0,05 pada data sampel berikut. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Xi 125 100 200 75 150 175 75 175 125 200 100
Yi 160 112 124 28 152 156 42 124 150 104 136
Xi 75 100 125 150 175 200
Yi 28 42 112 136 160 150 152 156 124 124 104
𝑌𝑗 35 124 155 152 140 114
Hipotesis H0 : E{Y} = 0+ 1X H1 : E{Y} 0+ 1X Taraf nyata : = 0,05 Statistik Uji : F = KTKM/KTGM Kriteria keputusan: n=11, k=6, db(KM)=k-2=6-2=4 ,db(GM)=n-k=11-6=5 F0,05(4,5)=5,19 H0 ditolak jika Fhit > 5,19 Hitungan: JKG=170696-(50,722511288)-(0,48670 186200)=14742 JKGM=(28-35)2+(42-35)2+(112-124)2+(136-124)2+(160-155)2+(150-155)2+(152-152)2+(156-140)2+(124140)2+(124-114)2+(104-114)2=1148 JKKM=JKG-JKGM=14742-1148=13594 F=(13594/4)/(1148/5)=14,80 Kesimpulan : Karena Fhit=14,80>5,19 maka H0 ditolak Jadi dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa model regresi linear sederhana tidak cocok digunakan. 17
SOAL LATIHAN Seorang kimiawan mempelajari hubungan konsentrasi suatu larutan (Y) dengan waktu (X). Berikut data sampel yang diperoleh: i
Xi
Yi
1
9
0,07
2
9
0,09
3
9
0,08
4
7
0,16
5
7
0,17
6
7
0,21
7
5
0,49
8
5
0,58
9
5
0,53
10
3
1,22
11
3
1,15
12
3
1,07
13
1
2,84
14
1
2,57
15
1
3,10
a. Tentukan persamaan regresi linear dugaan b. Lakukan uji F untuk memeriksa apakah ada ketidakcocokan model bila digunakan model regresi linear sederhana, gunakan taraf nyata 0,05. c. Buatlah diagram pencar antara X dan Y.
18
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 5
: Pendekatan Matriks terhadap Analisis Regresi Linear Sederhana
Perhatikan kembali model regresi linear sederhana berikut Yi = β0+β1Xi+εi Bila diambil sebanyak n maka diperoleh
Y1 = β 0 + β1 X 1 + ε 1 Y2 = β 0 + β1 X 2 + ε 2 M
Yn = β 0 + β1 X n + ε n Dalam notasi matriks dituliskan sebagai berikut
Y1 1 Y 1 2 = M M 1 Yn
ε 1 X1 X 2 β 0 ε 2 + M β1 M X n ε n
atau
Y = Xβ + ε n×1
n×2 2×1
n×1
Perhatikan bahwa Xβ β adalah vektor nilai-nilai harapan bagi amatan-amatan Yi sebab E{Yi}= β0+β1Xi, sehingga
E{Y} = X β n×1
n×2 2×1
Asumsi : ε adalah suatu vektor peubah acak normal yang bebas dengan E{εε } = 0 dan = Persamaan normal regresi linear sederhana : + ∑ = ∑ ∑ + ∑ = ∑ Ditulis dalam notasi matriks
1 1 X X 2 1
1 K 1 1 K X n M 1
X1 Y1 X 2 b0 1 1 K 1 Y2 = M b1 X1 X 2 K X n M Xn Yn
= ′ → = ′ ′
19
1 1 X' X = X1 X 2
1 X 1 K 1 1 X 2 n = K X n M M ∑ X i 1 X n
1 1 X' Y = X1 X 2
Y1 K 1 Y2 ∑ Yi = K X n M ∑ X i Yi Yn
(X' X )
−1
=
1 n∑ X i2 − (∑ X i )
2
∑ X i2 − ∑ X i
∑X ∑X
i 2 i
− ∑ Xi n
Uji terhadap β1 Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara Y dengan X, dilakukan pengujian berikut : Hipotesis : H0 : β 1 = 0 H1 : β 1 ≠ 0 Taraf nyata : α Statistik Uji :
=
⁄ ⁄!
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Fhit > Fα(1,n-2)
JKG = Y' Y − b' X' Y ,
2 1 JKT = Y' Y − Y' JY , Y' Y = ∑ Yi 2 , Y' JY = (∑ Yi ) n
1 L 1 J = M M M 1 L 1 Selang Kepercayaan bagi βk
bk − tα / 2,(n − 2 ) s{bk } ≤ β k ≤ bk + tα / 2 ,(n − 2 ) s{bk } 2
s {b} = KTG (X' X )
−1
s 2 {b0 } s{b0 , b1 } 2 { } s b = , 2 s{b1 , b0 } s {b1 }
20
SOAL LATIHAN 1. Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah berat seekor kambing (dalam kilogram) dapat diprediksikan (setelah pada periode tertentu) berdasarkan jumlah makanan yang dimakan (dalam kilogram). Berikut data yang telah dinyatakan dalam notasi matriks.
379 10 825 X' X = , X' Y = , Y' Y = [70083], Y' JY = [680625] 379 14533 31726 Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. a) Tentukan persamaan regresi dugaan beserta maknanya. b) Bila jumlah makanan seekor kambing sebesar 300 kg, berapakah prediksi berat kambing tersebut? c) Buatlah selang kepercayaan 99% bagi β1 dan berikan maknanya. d) Tentukan koefisien korelasinya. 2.
Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika (dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama seminggu). Nilai ulangan matematika 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95 Lama waktu belajar matematika 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10 a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y! Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi. b) Tentukan selang kepercayaan 99% bagi β0 dan β1 beserta maknanya! c) Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan matematika? Gunakan taraf nyata α = 0,01.
21
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 6
: Analisis Regresi Linear Ganda
Analisis regresi linear ganda adalah analisis statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan linear antara satu peubah tak bebas Y dengan beberapa peubah bebas (X1, X2, …, Xp-1). Model regresi linear ganda Yi 0 1 X i1 2 X i 2 p 1 X i , p 1 i dengan : 0, 1, …, p-1 adalah parameter Xi1, …, Xi,p-1 adalah konstanta yang diketahui nilainya i saling bebas dan menyebar N(0,2) i = 1, 2, …, n Persamaan Normal b0 n b1 X i1 b2 X i 2 b p 1 X ip 1 Yi
b0 X i1 b1 X i21 b2 X i1 X i 2 b p 1 X i1 X ip 1 X i1Yi
b0 X i 2 b1 X i1 X i 2 b2 X i22 b p 1 X i 2 X ip 1 X i 2Yi b0 X ip 1 b1 X i1 X ip 1 b2 X i 2 X ip 1 b p 1 X ip2 1 X ip 1Yi Persamaan regresi dugaan Yˆ b b X b X b i
0
1
1 X' X X 11 X 12
1 X' Y X 11 X 12
i1
2
1
X 21 X 22
1 X 21 X 22
i2
p 1
X i , p 1
1 X 11 1 1 X 21 X n1 X n 2 1 X n1
X 12 n X 22 X i1 X i 2 X n2
Y 1 1 Yi Y X n1 2 X i1Yi X n 2 X i 2Yi Yn
b X' X X' Y 1
22
X X X X i1 2 i1
i2
X X X X
i1 i 2 2 i2 i2
i1
Memaknai Persamaan Regresi Dugaan Misalkan : Ingin mengetahui apakah volume penjualan (Y, gros) berhubungan dengan jumlah penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar). Diperoleh persamaan regresi dugaannya ialah Yˆ 3,453 0,496 X 0,00920 X 1
2
Persamaan ini menunjukkan bahwa rataan volume penjualan diharapkan akan naik 0,496 gros bila jumlah penduduk naik 1 ribu jiwa kalau pendapatan per kapita tetap, dan bahwa rataan volume penjualan diharapkan akan naik 0,0092 gros bila pendapatan per kapita naik 1 dolar kalau jumlah penduduk tetap. Bila jumlah penduduk sebesar 0 jiwa dan pendapatan per kapita 0 dollar maka rata-rata volume penjualan sebesar 3,453 gros (tidak bermakna). Uji terhadap Hubungan Regresi Untuk menguji apakah peubah tak bebas Y berhubungan dengan peubah-peubah bebas (X1, X2,…,Xp-1), dilakukan pengujian berikut : Hipotesis : H0 : 1 = 2 = … = p-1=0 H1 : Tidak semua k (k=1,2,…,p-1)sama dengan nol Taraf nyata : Statistik Uji : 𝐽𝐾𝑅
𝐹 = 𝐽𝐾𝐺
𝑝−1 𝑛 −𝑝
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F(p-1,n-p) 1 JKT Y' Y Y' JY , JKG Y' Y b' X' Y n Uji terhadap k Hipotesis Hipotesis Statistik Uji Nol Alternatif 𝑏𝑘 − 𝑐 H0 : k = c H1 : k c 𝑡= 𝑠 𝑏𝑘 H0 : k c H1 : k > c
H0 : k = c H0 : k c H0 : k = c
H1 : k < c
Kriteria keputusan H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼
2
H0 ditolak jika thit > 𝑡𝛼
𝑛 −𝑝
H0 ditolak jika thit < −𝑡𝛼
s 2 b KTGX' X
1
23
𝑛 −𝑝
𝑛 −𝑝
s 2 b0 sb0 , b1 sb0 , b p 1 sb1 , b0 s 2 b1 sb1 , b p 1 2 s b 2 sb p 1 , b0 sb p 1 , b1 s b p 1
Selang kepercayaan bagi k 𝑏𝑘 − 𝑡𝛼 (𝑛 −𝑝 ) 𝑠 𝑏𝑘 ≤ 𝛽𝑘 ≤ 𝑏𝑘 + 𝑡𝛼 (𝑛 −𝑝 ) 𝑠 𝑏𝑘 2
2
Makna Selang Kepercayaan bagi k Misal diperoleh selang kepercayaan 95% bagi β1 adalah 0,018 ≤ 1 ≤ 2,773 Artinya dengan tingkat kepercayaan 95% diduga bahwa rata-rata Y naik sekitar antara 0,018 sampai 2,773 satuan untuk setiap kenaikan satu satuan X1 bila X2 tetap. Selang Kepercayaan Serempak bagi k Selang kepercayaan bersama Bonferroni dapat digunakan untuk menduga beberapa koefisien regresi secara serempak. Jika g buah parameter akan diduga secara bersamaan (asalkan g ≤ p), maka batas-batas kepercayaan serempak dengan tingkat kepercayaan 1- adalah bk B sbk k bk B sbk dengan Bt 2g
n p
Makna Selang Kepercayaan Serempak Misalkan : Ingin mengetahui apakah volume penjualan (Y, gros) berhubungan dengan jumlah penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar). Diperoleh selang kepercayaan serempak 90% sebagai berikut : (g=2) 0,483≤1≤0,509; 0,0071 ≤2≤0,0113 Selang kepercayaan serempak ini mengindikasikan bahwa 1 dan 2 keduanya positif, hal ini sesuai harapan teoritis bahwa volume penjualan memang harus naik jika jumlah penduduk naik dan pendapatan per kapita naik, tentu saja asalkan peubah-peubah lain dipertahankan konstan.
24
Koefisien Determinasi Ganda (R2) R2 = JKR/JKT = 1- (JKG/JKT) Koefisien ini mengukur proporsi pengurangan keragaman total di dalam Y akibat digunakannya peubah-peubah bebas X1,X2, …, Xp-1. Sifat koefisien determinasi ganda : 0 R2 1. R2 akan bernilai 0 bila semua bk = 0 (k=1,…,p-1). R2 akan bernilai 1 bila semua amatan Y berada tepat pada permukaan respons dugaannya, Yi = Ŷi untuk semua i. Koefisien determinasi ganda terkoreksi (𝑹𝟐𝒂 ) Penambahan lebih banyak peubah bebas ke dalam model selalu akan menaikkan nilai R2 tidak pernah menurunkannya, sebab JKG tidak pernah menjadi lebih besar bila peubah bebasnya lebih banyak, sedangkan JKT tidak akan berubah bila data responsnya tetap sama. Karena R2 sering bisa dibuat besar dengan cara menyertakan peubah bebas, maka ada yang menyarankan agar ukuran ini dimodifikasi untuk mempertimbangkan banyaknya peubah bebas di dalam model. Koefisien determinasi ganda terkoreksi Ra2 1
n 1 JKG JKG n p 1 JKT n 1 n p JKT
Memaknai Koefisien Determinasi Ganda Misalkan : Ingin mengetahui apakah volume penjualan (Y, gros) berhubungan dengan jumlah penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar) Diperoleh R2 = 0,9989, artinya bila kedua peubah saling bebas, jumlah penduduk dan pendapatan per kapita ikut diperhitungkan maka keragaman volume penjualan dapat dikurangi sebanyak 99,9%. atau sebesar 99,9% keragaman dari volume penjualan yang dapat dijelaskan oleh jumlah penduduk dan pendapatan per kapita. Koefisien Korelasi Ganda Koefisien korelasi ganda R adalah akar kuadrat positif dari R2 R R2
Uji F untuk Kecocokan Model Regresi Linear Ganda • Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan Y untuk suatu X tertentu bersifat bebas, tersebar normal, memiliki ragam yang sama. • Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada satu atau lebih nilai X. 25
Hipotesis H0 : E{Y} = 0+ 1X1+ 2X2 + …+ p-1Xp-1 H1 : E{Y} 0+ 1X1 + 2X2 + …+ p-1Xp-1 Atau H0 : Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan data H1 : Ada ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan data Atau H0 : Model regresi linear ganda cocok H1 : Model regresi linear ganda tidak cocok Taraf nyata: Statistik Uji: JKKM k p F JKGM n k Kriteria Keputusan H0 ditolak jika Fhit > Fα(k-p,n-k) Dengan
JKGM Yij Y j , JKG Y' Y b' X' Y , JKKM JKG JKGM 2
Contoh Perhatikan data tentang kesukaan merk berikut i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Xi1
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
10
Xi2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
Yi 64 73 61 76 72 80 71 83 83 89 86 93 88 95 94 Y : derajat kesukaan terhadap merk , X1 : kandungan uap air, X2 : kemanisan produk k = 8, JKG = 94,3, Ŷ = 37,650 + 4,425 X1 + 4,375 X2 Ujilah ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan taraf nyata 0,01. Xi1
Xi2
Yij
4
2
64; 61
4
4
73; 76
6
2
72; 71
6
4
80; 83
8
2
Yj
26
100
8
4
10
2
10
4
Hipotesis H0 : E{Y} = 0+ 1X1+ 2X2 H1 : E{Y} 0+ 1X1+2X2 Taraf nyata : = 0,01 Statistik Uji: JKKM k p F JKGM n k Kriteria keputusan: n=16, k=8, db(KM)=k-p=8-3=5 ,db(GM)=n-k=16-8=8, F0,05(5,8)= 3,69 H0 ditolak jika Fhit > 3,69 Hitungan:
SOAL LATIHAN 1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara persentase kehadiran mahasiswa (X1) dan lama belajar dalam jam per minggu (X2) terhadap nilai akhir ujian suatu mata kuliah (Y). Sebanyak 30 mahasiswa telah dipilih secara acak untuk menjadi subyek penelitian. Diketahui :
XX
1
9,8866861 0,132528 0,640573 0,132528 0,0018375 0,010051 0,640573 0,010051 0,079075
Y 2440, Y 2016000, X Y 224670, X X X 9810, X 251674, X 409 2
i
i
i1
i2
i1 i
2 i1
Y 8880,
i2 i
2 i2
a) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan maknanya. b) Bila dianggap asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear ganda terpenuhi, ujilah apakah ada hubungan antara persentase kehadiran mahasiswa dan lama belajar dalam jam per minggu terhadap nilai akhir ujian suatu mata kuliah. Gunakan = 0,05. c) Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 1 dan maknanya. d) Buatlah selang kepercayaan serempak 95% bagi 1 dan 2 beserta maknanya e) Hitunglah koefisien determinasi ganda dan berikan maknanya. 27
f) Hitunglah koefisien korelasi ganda. 2. Seorang pegawai administrasi rumah sakit ingin mengetahui hubungan antara kepuasan pelanggan (Y) dan umur pasien (X1, dalam tahun), tingkat keparahan penyakit (X2, dalam indeks) dan tingkat kecemasan (X3, dalam indeks). Ia mengambil secara acak 23 pasien dan mengumpulkan data tersebut. Berikut datanya: i Xi1 Xi2 Xi3 Yi
1 50 51 2,3 48 i Xi1 Xi2 Xi3 Yi
2 36 46 2,3 57
13 38 55 2,2 47
3 40 48 2,2 66
14 34 51 2,3 51
4 41 44 1,8 70
15 53 54 2,2 57
5 28 43 1,8 89
16 36 49 2,0 66
6 49 54 2,9 36
17 33 56 2,5 79
7 42 50 2,2 46
18 29 46 1,9 88
8 45 48 2,4 54
19 33 49 2,1 60
9 52 62 2,9 26
20 55 51 2,4 49
10 29 50 2,1 77
21 29 52 2,3 77
11 29 48 2,4 89
22 44 58 2,9 52
12 43 53 2,4 67
23 43 50 2,3 60
Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda terpenuhi. a. Tentukan fungsi regresi dugaan b. Ujilah hubungan regresi, gunakan taraf nyata 0,01. c. Tentukan selang kepercayaan serempak bagi 1, 2 dan 3 dengan tingkat kepercayaan 90%. Interpretasikan hasilnya. d. Hitung koefisien korelasi ganda dan berikan maknanya. 3. Seorang peneliti ingin mengevaluasi hubungan antara gaji tahuan peneliti matematika golongan menengah dan senior (Y, dalam ribuan dolar) dan indeks kualitas publikasi (X1), jumlah tahun pengalaman (X2) dan indeks kesuksesan dalam memperoleh hibah (X3). Berikut data sampel 24 peneliti matematika golongan menengah dan senior. i Xi1 Xi2 Xi3 Yi
1 3,5 9 6,1 33,2
2 5,3 20 6,4 40,3
3 5,1 18 7,4 38,7
4 5,8 33 6,7 46,8
5 4,2 31 7,5 41,4
6 6,0 13 5,9 37,5
7 6,8 25 6,0 39,0
8 5,5 30 4,0 40,7
9 3,1 5 5,8 30,1
10 7,2 47 8,3 52,9
11 4,5 25 5,0 38,2
12 4,9 11 6,4 31,8
i Xi1 Xi2 Xi3 Yi
13 8,0 23 7,6 43,3
14 6,5 35 7,0 44,1
15 6,6 39 5,0 42,8
16 3,7 21 4,4 33,6
17 6,2 7 5,5 34,2
18 7,0 40 7,0 48,0
19 4,0 35 6,0 38,0
20 4,5 23 3,5 35,9
21 5,9 33 4,9 40,4
22 5,6 27 4,3 36,8
23 4,8 34 8,0 45,2
24 3,9 15 5,0 35,1
28
Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda terpenuhi. a. Tentukan fungsi regresi dugaan b. Ujilah hubungan regresi, gunakan taraf nyata 0,05. c. Ujilah apakah masing-masing k signifikan. Gunakan taraf nyata 0,05. d. Tentukan selang kepercayaan serempak bagi 1, 2 dan 3 dengan tingkat kepercayaan 95%. Interpretasikan hasilnya. e. Hitung koefisien korelasi determinasi dan berikan maknanya. f. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi masing-masing k.
29
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 7
: Asumsi-asumsi dalam Analisis Regresi Linear Ganda
Asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear ganda adalah a. Linearitas b. Tidak terjadi multikolinearitas c. Tidak terjadi heteroskedastisitas d. Normalitas e. Tidak ada autokorelasi Linearitas Model regresi linear ganda diasumsikan linear dalam parameter regresi. Asumsi linearitas dalam regresi ganda lebih sulit dipenuhi berkaitan dimensi data yang semakin tinggi. Asumsi ini dapat dideteksi dengan plot pencar sisaan dibakukan dengan masing-masing peubah bebas. Kriteria: asumsi ini terpenuhi bila pada plot ini menunjukkan titik-titik berpencar secara acak, bila berpola maka mengindikasikan terjadinya pelanggaran asumsi. Jika asumsi linearitas tidak terpenuhi maka lakukan transformasi pada Y dan atau peubah bebas tertentu.
Gambar 1. Plot sisaan dibakukan dengan masing-masing peubah bebas Pada Gambar 1, pada masing-masing plot menunjukkan bahwa titik-titik berpencar secara acak sehingga asumsi linearitas dalam parameter regresi terpenuhi.
Multikolinearitas Multikolinearitas atau kekolinearan ganda adalah terjadinya korelasi antar peubah bebas. Model regresi yang baik seharusnya tidak terjadi korelasi antar peubah bebas. Metode yang banyak digunakan untuk mendeteksi adanya multikolinearitas adalah faktor inflasi ragam (variance inflation factor/VIF) dengan rumus
VIFk (1 Rk2 ) 1 , k 1,2,..., p 1
Rk2 adalah koefisien determinasi ganda bila Xk diregresikan terhadap p-2 peubah lainnya di dalam model. 30
Kriteria terjadinya multikolinearitas adalah VIF > 10 atau nilai TOLERANCE < 0,1 (TOLERANCE = 1/VIF)
Heteroskedastisitas Ragam galat diasumsikan konstan dari satu pengamatan ke pengamatan lain, hal ini disebut homoskedastisitas. Jika ragam galat berbeda disebut heteroskedastisitas. Model regresi yang baik adalah tidak terjadi heteroskedastisitas. Untuk mendeteksi heteroskedastisitas adalah dengan membuat plot nilai dugaan yang dibakukan (standardized predicted value) dengan sisaan yang dibakukan (studentized residual). Jika ada pola tertentu (bergelombang, melebar kemudian menyempit) maka terjadi heteroskedastisitas. Jika tidak ada pola jelas, maka tidak terjadi heteroskedastisitas.
Gambar 2. Plot nilai dugaan dibakukan dengan sisaan dibakukan Pada Gambar 2, plot menunjukkan bahwa titik-titik berpencar secara acak (tidak berpola) yang mengindikasikan homoskedastisitas. (Galat memiliki ragam yang sama).
Normalitas
Galat diasumsikan berdistribusi Normal i ~ N 0, 2 .
Model regresi yang baik adalah distribusi data normal atau mendekati normal. Untuk mendeteksi normalitas digunakan normal p-p plot. Jika titik-titik (sisaan) menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal, maka model regresi memenuhi asumsi normalitas. Jika titik-titik (sisaan) menyebar jauh dari garis diagonal dan atau tidak mengikuti arah garis diagonal, maka model regresi tidak memenuhi asumsi normalitas.
31
Gambar 3. Plot P-P Normal Pada Gambar 3 terlihat bahwa titik-titik dekat dengan garis diagonal sehingga galat memiliki distribusi normal. Autokorelasi Bila dalam model regresi linear ganda ada korelasi antara galat pada periode t dengan galat pada periode t-1, maka dinamakan ada masalah autokorelasi. Model regresi yang baik adalah model regresi yang bebas dari autokorelasi. Autokorelasi sering ditemukan pada regresi yang datanya adalah time series atau berdasarkan waktu berkala seperti bulanan, tahunan. Deteksi autokorelasi dengan menggunakan besaran Durbin -Watson (D-W) n
d
(e e i 2
i 1
i
)2
n
e i 1
2 i
Hipotesis Hipotesis Alternatif Nol H0 : = 0 H1 : > 0 (Tidak ada (Ada autokorelasi autokorelasi) positif)
Taraf Kriteria Keputusan Nyata Jika d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi) Jika d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi positif) Jika dL ≤ d ≤ dU , maka uji tidak meyakinkan
H1 : < 0 (Ada autokorelasi negatif) H1 : ≠ 0 2 (Ada autokorelasi)
Jika 4-d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi) Jika 4-d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi negatif) Jika dL ≤ 4-D ≤ dU , maka uji tidak meyakinkan Jika d < dL atau 4-d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi) Jika d > dU dan 4-d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi ) Selain itu, maka uji dikatakan tidak meyakinkan
32
SOAL LATIHAN Sebuah studi untuk mengetahui hubungan lama bekerja dan kepuasan kerja dengan pendapatan. Berikut data sampel dari sembilan pekerja. Pendapatan per tahun (ribuan dolar) 47 42 54 48 56 59 53 62 66
Lama bekerja
Indeks kepuasan kerja
8 4 12 9 16 14 10 15 22
5,6 6,3 6,8 6,7 7,0 7,7 7,0 8,0 7,8
Selidiki pemenuhan asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda. Berikut output SPSS.
33
34
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 8
: Jumlah Kuadrat Ekstra
Kegunaan Jumlah Kuadrat Ekstra: a. Mengukur pengurangan JKG akibat dimasukkannya 1 atau lebih peubah bebas ke dalam model regresi, jika diketahui peubah-peubah lain telah ada di dalam model b. Mengukur kenaikan JKR akibat dimasukkannya 1 atau beberapa peubah bebas ke dalam model regresi c. Untuk menguji apakah peubah Xk dapat dibuang dari model regresi ganda d. Untuk menguji apakah beberapa peubah bebas dapat dibuang dari model regresi ganda Definisi Jumlah kuadrat esktra 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 mengukur pengaruh marjinal akibat penambahan X2 dalam model regresi yang sudah ada X1. 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 Perluasan 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 , 𝑋2 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 , 𝑋2 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 Contoh 1 Perhatikan tabel berikut Yˆ 1,496 0,8572 X 1
Yˆ 23,634 0,8565 X 2
Sumber variasi
JK
db
KT
Sumber variasi
Regresi
JKR(X1)=352,27
1
352,27
Galat
JKG(X1)=143,12
18
7,95
Total
495,39
19
JK
Regresi
db
KT
Regresi
JKR(X2)=381,97
1
381,97
Galat
JKG(X2)=113,42
18
6,30
Total
495,39
19
Yˆ 117,08 4,334 X 1 2,857 X 2 2,186 X 3
Yˆ 19,174 0,2224 X 1 0,6594 X 2 Sumber variasi
JK
db
MS
Sumber variasi
JK
JKR(X1,X2)=385,44
2
192,72
Regresi
Galat
JKG(X1,X2)=109,95
17
6,47
Total
495,39
19
35
db
KT
JKR(X1,X2,X3)=396,98
3
132,33
Galat
JKG(X1,X2,X3)=98,41
16
6,15
Total
495,39
19
Jumlah kuadrat galat bila X1 dan X2 ada dalam model, 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 = 109,95 lebih kecil dibandingkan bila dalam model hanya ada X1, 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 = 143,12. Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjinal akibat penambahan X2 dalam model regresi yang sudah ada X1. 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 = 143,12 − 109,95 = 33,17 atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 = 385,44 − 352,27 = 33,17 Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjinal akibat penambahan X3 dalam model regresi yang sudah ada X1 dan X2. 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 , 𝑋2 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 = 109,95 − 98,41 = 11,54 atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 , 𝑋2 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 = 396,98 − 385,44 = 11,54
Dekomposisi JKR menjadi Jumlah Kuadrat Ekstra Dalam regresi ganda dapat diperoleh beberapa dekomposisi JKR menjadi Jumlah Kuadrat Ekstra. Misal untuk dua peubah bebas. 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 Lalu substitusi 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 dengan 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 sehingga 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 + 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 → 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 , 𝑋2 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 Tabel 1. Contoh Tabel ANOVA dengan Dekomposisi JKR untuk Tiga Peubah X Sumber Variasi JK db KT Regresi JKR(X1, X2, X3) 3 KTR(X1, X2, X3) X1 JKR(X1) 1 KTR(X1) X2|X1 JKR(X2|X1) 1 KTR(X2|X1) X3|X1,X2 JKR(X3|X1,X2) 1 KTR(X3|X1,X2) Galat JKG(X1, X2, X3) n-4 KTG(X1, X2, X3) Total JKT n-1 Uji masing-masing 𝜷𝒌 = 𝟎 Bentuk 𝛽𝑘 𝑋𝑘 dapat dikeluarkan dari model regresi ganda, dengan hipotesis alternatif sebagai berikut Hipotesis Nol H0 : 𝛽𝑘 = 0
Hipotesis Alternatif H1 : 𝛽𝑘 ≠ 0
Statistik Uji 𝑏𝑘 𝑡= 𝑠 𝑏𝑘
36
Kriteria keputusan H0 ditolak jika 𝑡 > 𝑡𝛼 (𝑛 −𝑝 ) 2
Hipotesis : H0 : k= 0 H1 : k 0 Taraf nyata : Statistik Uji : JKR X k X 1 ,, X k 1 , X k 1 ,, X p 1 JKG X 1 ,, X p 1 F : 1 n p
KTRX k X 1 ,, X k 1 , X k 1 ,, X p 1 KTG
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F(1,n-p) Uji Apakah Semua k = 0 Hipotesis : H0 : 1 = 2 = … = p-1 = 0 H1 : Tidak semua k (k=1, …, p-1) sama dengan nol Taraf nyata : Statistik Uji : JKR X 1 ,, X p 1 JKG X 1 ,, X p 1 KTR F : p 1 n p KTG Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F(p-1,n-p) Uji Apakah Beberapa k = 0 Hipotesis : H0 : q= q+1 = …= p-1= 0 H1 : Tidak semua k di dalam H0 sama dengan nol Taraf nyata : Statistik Uji : F
JKR X q ,, X p 1 X 1 ,, X q 1
pq
: JKG X ,, X
KTR X q ,, X p 1 X 1 ,, X q 1
1
n p
KTG
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Fhit > F(p-q,n-p)
37
p 1
Misalkan model regresi orde pertama dengan tiga peubah bebas 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + 𝜀𝑖 Uji apakah 𝛽3 = 0. Hipotesis Nol Hipotesis Alternatif H0 : 𝛽3 = 0 H1 : 𝛽3 ≠ 0
Statistik Uji
𝐹=
Kriteria keputusan
𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 , 𝑋2 1 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 𝑛 − 4
H0 ditolak jika 𝐹 > 𝐹𝛼 (1,𝑛 −4)
Contoh 2 Dari contoh 1. Apakah X3 dapat dikeluarkan dari model regresi? Gunakan taraf nyata 𝛼 = 0.01. Hipotesis H0 : 𝛽3 = 0 H1 : 𝛽3 ≠ 0 Taraf nyata: 𝛼 = 0,01 𝐽𝐾 𝑅 𝑋3 𝑋1 ,𝑋2
1
𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3
𝑛 −4
Statistik Uji: 𝐹 = 𝐽𝐾𝐺
Kriteria keputusan: F0,01(1,20-4) = F0,01(1,16) = 8,53 H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 8,53 Hitungan: 11,54 1
𝐹 = 98,41
16
= 1,88
Kesimpulan: Karena Fhit = 1,88 < 8,53 maka H0 diterima. (𝛽3 = 0) Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa X3 dapat dikeluarkan dari model regresi. Misalkan model regresi orde pertama dengan tiga peubah bebas 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖1 + 𝛽2 𝑋𝑖2 + 𝛽3 𝑋𝑖3 + 𝜀𝑖 (Model Lengkap) Apakah 𝑋2 and 𝑋3 dapat dikeluarkan dari model regresi. Null Hypothesis H0 : 𝛽2 = 𝛽3 = 0
Alternative Hypothesis H1 : Tidak semua 𝛽2 dan 𝛽3 sama dengan nol
Statistik Uji
𝐹=
𝐽𝐾𝑅 𝑋2 , 𝑋3 𝑋1 2 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 𝑛 − 4
Kriteria Keputusan H0 ditolak jika 𝐹 > 𝐹𝛼 (2,𝑛 −4)
Contoh 3 Dari contoh 1. Apakah X2 dan X3 dapat dikeluarkan dari model regresi? Gunakan taraf nyata 𝛼 = 0,01.
38
Hipotesis H0 : 𝛽2 = 𝛽3 = 0 H1 : Tidak semua 𝛽2 dan 𝛽3 sama dengan nol Taraf nyata: 𝛼 = 0,01 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 ,𝑋3 𝑋1
2
𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3
𝑛 −4
Statistik Uji: 𝐹 = 𝐽𝐾𝐺
Kriteria keputusan: F0,01(1,20-4) = F0,01(2,16) = 6,23 H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 3,63 Hitungan: 44,71/2
𝐹 = 98,41
16
= 3,63
Hitungan: Karena Fhit = 3,63 < 6,23 maka H0 diterima. (𝛽2 = 𝛽3 = 0) Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa X2 dan X3 dapat dikeluarkan dari model regresi. Koefisien Determinasi Parsial • Untuk mengukur sumbangan marjinal satu peubah bebas X, bila semua peubah bebas lain telah ada di dalam model. • Model regresi ganda ordo-pertama dengan 2 peubah bebas Yi 0 1 X i1 2 X i 2 i Maka koefisien determinasi parsial antara Y dan X1 bila dalam model sudah ada X2 adalah JKR X 1 X 2 rY21.2 JKG X 2 Ukuran ini mengukur proporsi penurunan keragaman Y yang diakibatkan oleh dimasukkannya X1 dalam model yang sebelumnya sudah ada X2. Misalkan diperoleh rY22.1
JKR X 2 X 1 JKG X 1
33,17 0,232 , artinya jika X2 dimasukkan ke dalam 143,12
model regresi yang di dalamnya sudah ada X1 maka JKG akan berkurang 23,2%. Berikut beberapa rumus koefisien determinasi parsial JKR X 1 X 2 2 JKR X 1 X 2 , X 3 2 JKR X 2 X 1 , X 3 2 JKR X 3 X 1 , X 2 , rY 1.23 , rY 2.13 , rY 3.12 rY21.2 JKG X 2 JKG X 2 , X 3 JKG X 1 , X 3 JKG X 1 , X 2 rY24.123
JKR X 4 X 1 , X 2 , X 3 JKG X 1 , X 2 , X 3
39
Koefisien Korelasi Parsial a. Koefisien korelasi parsial merupakan akar kuadrat koefisien determinasi parsial. b. Koefisien ini mempunyai tanda yang sama dengan koefisien regresi padanannya di dalam fungsi regresi dugaannya. Contoh 4 Dari contoh 1. Tentukan koefisien korelasi parsial X2 bila X1 sudah ada dalam model regresi? Yˆ 19,174 0,2224 X 0,6594 X 1
𝑟𝑌2|1 =
2 𝑅𝑌2|1
=
2
0,232 = 0,482
Koefisien 𝑟𝑌2|1 ini bernilai positif karena b2 = 0,6594 bernilai positif.
40
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 9
: Seleksi Model
Langkah-langkah dalam membangun model 1. Pilih satu set peubah bebas 2. Sesuaikan model regresi dengan nilai VIF 3. Jika nilai VIF > 5 maka eliminasi peubah bebas yang memiliki nilai VIF tertinggi, jika semua nilai VIF 5 maka lanjut ke langkah 5 4. Sesuaikan model regresi dengan nilai VIF untuk model yang baru (tanpa peubah yang telah dihapus) 5. Lakukan best-subsets regression dengan peubah bebas yang tersisa 6. Daftar seluruh model yang mempunyai Cp (p+1), dengan p adalah banyaknya peubah bebas dalam model 7. Pada langkah 6, pilih model terbaik dengan menggunakan kriteria Cp, R2adj, s 8. Lanjutkan analisis yang lengkap dengan analisis sisaan 9. Perbaiki model bila ada indikasi pelanggaran asumsi 10. Gunakan model terbaik yang telah diperoleh bisa untuk prediksi dan inferensi Best-Subset Regression Kriteria dalam memilih model terbaik pada best-subset regression: 1. Cp, pilih nilai Cp p+1 (Cp mengukur ketepatan model) 2. S, pilih nilai simpangan baku yang terkecil ( 𝑠 = 𝐾𝑇𝐺) 3. R2adj, pilih nilai R2adj mendekati 1 (100%) 4. Prinsip parsimony, model dengan peubah bebas yang lebih sedikit adalah lebih baik daripada lebih banyak peubah bebas. Contoh 1 Berikut hasil output Minitab Best Subsets Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Response is Y Vars 1 1 2 2 3 3 4
R-Sq 36.6 17.1 49.0 45.0 53.8 53.6 62.3
R-Sq(adj) 34.0 13.7 44.6 40.2 47.5 47.3 55.1
Mallows Cp 13.3 24.2 8.4 10.6 7.8 7.8 5.0
S 38.621 44.162 35.387 36.749 34.443 34.503 31.835
X X X X 1 2 3 4 X X X X X X X X X X X X X X X X
Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝛽4 𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2adj = 55,1 terbesar, R2 = 62,3 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,835 terkecil. 41
Forward Regression Pada metode forward regression, penambahan peubah bebas ke dalam model dilakukan satu per satu berdasarkan kekuatan koefisien korelasi.
Gambar 1. Diagram Alur untuk Forward Selection Contoh 2 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Forward selection.
Alpha-to-Enter: 0.25
Response is Y on 4 predictors, with N = 26 Step Constant X1 T-Value P-Value
1 -272.4
2 -330.7
3 -283.7
4 -330.8
1.42 3.72 0.001
1.76 4.66 0.000
1.75 4.75 0.000
1.25 3.02 0.006
-0.139 -2.36 0.027
-0.119 -2.02 0.055
-0.118 -2.18 0.041
-0.16 -1.48 0.153
-0.30 -2.52 0.020
X2 T-Value P-Value X3 T-Value P-Value X4 T-Value P-Value S R-Sq R-Sq(adj) Mallows Cp
0.131 2.20 0.039 38.6 36.60 33.96 13.3
35.4 48.99 44.56 8.4
34.5 53.62 47.29 7.8
31.8 62.31 55.13 5.0
42
Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝛽4 𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2adj = 55,13 terbesar, R2 = 62,31 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,8 terkecil.
Backward Regression Pada metode backward regression, diawali dengan memasukan semua peubah bebas ke dalam model lalu mengeluarkan peubah bebas yang memiliki nilai R2 terkecil.
Gambar 2. Diagram Alur untuk Backward Elimination Contoh 3 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Backward elimination.
Alpha-to-Remove: 0.1
Response is Y on 4 predictors, with N = 26 Step Constant
1 -330.8
X1 T-Value P-Value
1.25 3.02 0.006
X2 T-Value P-Value
-0.118 -2.18 0.041
X3 T-Value P-Value
-0.30 -2.52 0.020
X4 T-Value P-Value
0.131 2.20 0.039
43
S R-Sq R-Sq(adj) Mallows Cp
31.8 62.31 55.13 5.0
Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝛽4 𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2adj = 55,13 terbesar, R2 = 62,31 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,8 terkecil.
Stepwise Regression Pada metode stepwise regression merupakan kombinasi antara forward dan backward.
Contoh 4 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Alpha-to-Enter: 0.15
Alpha-to-Remove: 0.15
Response is Y on 4 predictors, with N = 26 Step Constant X1 T-Value P-Value
1 -272.4
2 -330.7
1.42 3.72 0.001
1.76 4.66 0.000
X2 T-Value P-Value S R-Sq R-Sq(adj) Mallows Cp
Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝜀, karena memiliki nilai R2adj = 44,56 terbesar, R2 = 48,99 terbesar , Cp Mallows = 8,4 (> 3) tidak memenuhi dan S = 35,4 terkecil.
-0.139 -2.36 0.027 38.6 36.60 33.96 13.3
35.4 48.99 44.56 8.4
44
SOAL LATIHAN
Data 1 Seorang direktur operasi penyiaran di suatu stasiun televisi ingin mempelajari tentang “jam siaga” . Ia ingin memperoleh model terbaik untuk memprediksikan berapa jumlah jam siaga per minggu (Y) bagi pekerja. Peubah bebas yang telah tersedia adalah jumlah pekerja yang hadir (X1), jumlah jam istirahat (X2), jumlah jam sibuk (X3) dan total jam kerja (X4). Berikut data selama 26 minggu. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Y 245 177 271 211 196 135 195 118 116 147 154 146 115
X1 338 333 358 372 339 289 334 293 325 311 304 312 283
X2 414 598 656 631 528 409 382 399 343 338 353 289 388
X3 323 340 340 352 380 339 331 311 328 353 518 440 276
X4 2001 2030 2226 2154 2078 2080 2073 1758 1624 1889 1988 2049 1796
i 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Y 161 274 245 201 183 237 175 152 188 188 197 261 232
X1 307 322 335 350 339 327 328 319 325 322 317 315 331
X2 402 151 228 271 440 475 347 449 336 267 235 164 270
X3 207 287 290 355 300 284 337 279 244 253 272 223 272
X4 1720 2056 1890 2187 2032 1856 2068 1813 1808 1834 1973 1839 1935
Tentukan model terbaik dengan kriteria best-subsets regression, forward selection dan backward elimination. Data 2 Data tentang rumah sakit. Peubah tak bebas adalah jumlah jam perawat bekerja per bulan (Y) dan peubah bebas adalah rata-rata jumlah pasien per hari (X1), jumlah pasien yang rontgen (X2), jumlah tempat tidur yang terisi per bulan (X3), rata-rata daya tampung pasien baru yang menginap (X4) dan rata-rata lama pasien menginap (X5). i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y 566,5 696,8 1033,2 1603,6 1611,4 1613,3 1854,2 2160,6 2305,6
X1 15,57 44,02 20,42 18,74 49,20 44,92 55,48 59,28 94,39
X2 2463 2048 3940 6505 5723 11520 5779 5969 8461 45
X3 472,9 1339,8 620,3 568,3 1497,6 1365,8 1687 1639,9 2872,3
X4 18 9,5 12,8 36,7 35,7 24 43,3 46,7 78,7
X5 4,45 6,92 4,28 3,9 5,5 4,6 5,62 5,15 6,18
10 11 12 13 14 15 16 17
3503,9 3571,9 3741,4 4026,5 10343,8 11732,2 15414,9 18854,4
128,02 96,00 131,42 127,21 252,90 409,20 463,70 510,22
20106 13313 10771 15543 36194 34703 39204 86533
3655,1 2912 3921 2865,7 7684,1 12446,3 14098,4 15524
180,5 60,9 103,7 126,8 157,7 169,4 331,4 371,6
6,15 5,88 4,88 5,5 7 10,78 7,05 6,35
Tentukan model terbaik dengan kriteria best-subsets regression, forward selection dan backward elimination. Data 3 Berikut data sampel. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Y 443 290 676 536 481 296 453 617 514 400 473 157 440 480 316 530 610 617 600 480 279 446 450 335 459 630 483
X1 49 27 115 92 67 31 105 114 98 15 62 25 45 92 27 111 78 106 97 67 38 56 54 53 61 60 83
X2 X3 79 76 70 31 92 130 62 92 42 94 54 34 60 47 85 84 72 71 59 99 62 81 11 7 65 84 75 63 26 82 52 93 102 84 87 82 98 71 65 62 26 44 32 99 100 50 55 60 53 79 108 104 78 71
46
X4 8 6 0 5 16 14 5 17 12 15 9 9 19 9 4 11 5 18 12 13 10 16 11 8 6 17 11
X5 15 6 9 8 3 11 10 20 -1 11 1 9 13 20 17 13 7 7 8 12 8 8 15 0 5 8 8
X6 205 129 339 247 202 119 212 285 242 174 207 45 195 232 134 256 266 276 266 196 110 188 205 170 193 273 233
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
617 74 125 66 16 4 265 605 89 121 71 8 8 283 388 64 30 81 10 10 176 351 34 44 65 7 9 143 366 71 34 56 8 9 162 493 88 30 87 13 0 207 648 112 105 123 5 12 340 449 57 69 72 5 4 200 340 61 35 55 13 0 152 292 29 45 47 13 13 123 688 82 105 81 20 9 268 408 80 55 61 11 1 197 461 82 88 54 14 7 225
Tentukan model terbaik dengan kriteria best-subsets regression, forward selection dan backward elimination.
47
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 10 : Analisis Variansi Analisis variansi digunakan untuk menguji kesamaan tiga rata-rata populasi atau lebih dengan hipotesis nol 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇𝑘 , dan hipotesis alternatif : paling sedikit ada sepasang rata-rata tidak sama dengan nol (𝐻1 : ∃ 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑖′, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘). Definisi Analisis variansi (ANAVA) adalah metode pengujian kesamaan tiga atau lebih rata-rata populasi dengan analisis variansi sampel. Metode ANAVA menggunakan distribusi F. Distribusi F mempunyai sifat-sifat berikut: 1. Distribusi F tidak simetri dengan kemiringan ke kanan. 2. Nilai F dapat 0 atau positif, tetapi tidak dapat bernilai negatif. 3. Distribusi F memiliki dua derajat bebas yaitu untuk pembilang dan penyebut.
Gambar 1. Distribusi F Analisis Variansi Satu Arah Analisis variansi satu arah (analisis variansi satu faktor) digunakan untuk menguji tiga atau lebih rata-rata populasi dengan satu karakteristik dalam populasi. Analisis variansi digunakan pula untuk menganalisis data yang diperoleh dari rancangan percobaan. Berikut beberapa istilah yang digunakan dalam merancang percobaan. Definisi Perlakuan : suatu prosedur atau metode yang diterapkan pada unit percobaan. Setara dengan taraf dari faktor. Unit Percobaan : unit terkecil dalam suatu percobaan yang diberi suatu perlakuan. Unit dimana perlakuan diberikan secara acak. Satuan Pengamatan : anak gugus dari unit percobaan, tempat dimana respon perlakuan diukur.
48
Faktor : peubah bebas yang dicobakan dalam percobaan sebagai penyusun struktur perlakuan. Taraf : jenis-jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan Asumsi-asumsi dalam analisis variansi 1. Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal 2. Sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi sama 2 Ada dua pendekatan untuk menduga nilai 2 yaitu 1. Variansi antara sampel (variansi antar perlakuan) adalah penduga variansi populasi 2 berdasarkan variansi antar rata-rata sampel 2. Variansi dalam sampel (variansi akibat galat) adalah penduga variansi populasi 2 berdasarkan variansi sampel Statistik Uji untuk Anava satu arah 𝐹=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙
Perhatikan kedua kasus berikut. Pengaruh Rata-rata pada Statistik Uji F A ditambahkan 10 Sampel 1 Sampel 2 Sampel 1 Sampel 2 Sampel 3 17 16 7 6 4 3 5 7 13 15 6 5 6 16 15 6 8 7 16 18 n1 = 4 n2 = 4 n1 = 4 n1 = 4 n2 = 4 𝑥1 = 5,5 𝑥2 = 6,0 𝑥1 = 5,5 𝑥2 = 6,0 𝑥3 = 6,0 2 2 2 2 𝑠1 = 3,0 𝑠22 = 2,0 𝑠1 = 3,0 𝑠2 = 2,0 𝑠3 = 2,0 Tabel A Variansi antar sampel 𝑛𝑠𝑋2 = 4 0,0833 = 0,3332 Variansi dalam sampel 𝑠12 + 𝑠22 + 𝑠32 3,0 + 2,0 + 2,0 𝑠𝑝2 = = = 2,3333 3 3 Derajat Bebas Derajat bebas pembilang = k– 1 Derajat bebas penyebut = k(n - 1) k = banyaknya perlakuan, n = ukuran sampel
49
B Sampel 3 14 17 16 17 n1 = 4 𝑥3 = 6,0 𝑠32 = 2,0
Perhitungan analisis variansi untuk ukuran sampel sama Penduga bagi 𝜎 2
Sumber variasi Antar sampel
𝑛𝑆 2 =
𝑛
𝑘
Dalam sampel
Statistik Uji 2
𝑘 𝑖=1
𝑖=1
𝑋𝑖 − 𝑋 𝑘−1 𝑆𝑖2 𝑘
Kriteria keputusan H0 ditolak jika F > F(k-1, k(n-1))
𝑛𝑆 2 𝐹= 2 𝑘 𝑆𝑖 𝑖=1 𝑘
Perhitungan analisis variansi untuk ukuran sampel berbeda Sumber variasi Antar sampel
Penduga bagi 𝜎 2 𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖
Dalam sampel
Statistik Uji 2
2
𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖
𝑋𝑖 − 𝑋 𝑘−1 𝑘 2 𝑖=1 𝑛𝑖 − 1 𝑆𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 − 1
𝐹=
𝑋𝑖 − 𝑋 𝑘−1 𝑘 2 𝑖=1 𝑛𝑖 − 1 𝑆𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 − 1
Kriteria Keputusan H0 ditolak jika F > 𝐹𝛼(𝑘−1, 𝑛 𝑖 −1
Perhitungan diatas ekuivalen dengan menghitung komponen-komponen Anava berikut : 1) JKT (Jumlah Kuadrat Total) mengukur variasi total (sekitar 𝑋) dalam seluruh sampel. 𝐽𝐾𝑇 =
𝑥𝑖 − 𝑥
2
JKT dapat diuraikan menjadi komponen JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan) dan JKG (Jumlah Kuadrat Galat). 2) JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan), dimaksudkan untuk JK antar sampel, mengukur variasi antara rata-rata sampel. 𝐽𝐾𝑃 =
𝑛𝑗 𝑥𝑗 − 𝑥
2
3) JKG (Jumlah Kuadrat Galat), dimaksudkan untuk JK (dalam sampel), adalah jumlah kuadrat yang menunjukkan variasi dalam sampel. 𝐽𝐾𝐺 = Sumber variasi Perlakuan
Derajat bebas (db) k-1
Jumlah Kuadrat (JK)
Galat
n–k
𝑛𝑗 − 1 𝑠𝑗2
Total
n–1
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛𝑗 𝑥𝑗 − 𝑥
2
𝑛𝑗 − 1 𝑠𝑗2
Kuadrat Tengah (KT) JKP /(k-1) JKG/(n-k)
2
50
Statistik Uji 𝐹=
𝐾𝑇𝑃 𝐾𝑇𝐺
Kriteria keputusan H0 ditolak jika F > 𝐹𝛼(𝑘−1,𝑛−𝑘)
Contoh Seorang administrator perguruan tinggi mengklaim bahwa tidak ada perbedaan rata-rata nilai UAN siswa dari tiga SMA berbeda yang masuk perguruan tinggi tersebut. Data berikut adalah 15 mahasiswa tahun pertama yang dipilih secara acak dari tiga sekolah tersebut dengan masing-masing sekolah diambil 5 orang. Apakah pernyataan administrator tersebut cukup beralasan? Gunakan taraf nyata 0,05. SMA A SMA B SMA C 3,2 2,8 2,5 2,7 3,0 2,8 3,0 3,3 2,4 3,3 2,5 2,2 2,6 3,1 3,0 Penyelesaian: Misal 1: SMA A, 2: SMA B, 3: SMA C.
𝑥𝑗 𝑠𝑗 𝑛𝑗 𝑥𝑖 = 42,4 ;
SMA A SMA B SMA C 3,2 2,8 2,5 2,7 3,0 2,8 3,0 3,3 2,4 3,3 2,5 2,2 2,6 3,1 3,0 2,96 2,94 2,58 0,304959 0,304959 0,319374 5 5 5
𝑥𝑖2 = 121,46; 𝑥 = 2,8267
𝐽𝐾𝑇 =
𝑥𝑖2 − 𝑛𝑥 2 = 121,46 − 15 × 2,82672 = 1,6065
𝐽𝐾𝑃 =
𝑛𝑗 𝑥𝑗2 − 𝑛𝑥 2 =
5 × 2,962 + 5 × 2,942 + 5 × 2,582
𝑗
= 120,308 − 119,8535 = 0,4545 𝐽𝐾𝐺 = 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝑃 = 1,6065 − 0,4545 = 1,152
Hipotesis H0 : 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 H1 : ∃ 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑖′, 𝑖 = 1, 2, 3 Taraf nyata: = 0.05 Statistik Uji: 𝐽𝐾𝑃
𝐹 = 𝐽𝐾𝐺
𝑘−1 𝑛 −𝑘
Kriteria keputusan: k = 3, n = 15; F0,05(2,12) = 3,89 H0 ditolak jika Fhit > 3,89 Hitungan: 0,4545 /2
𝐹 = 1,152
12
= 2,367 51
− 15 × 2,82672
Kesimpulan: Karena Fhit = 2,367 < 3,89 maka H0 diterima. Jadi pada taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata nilai UAN siswa dari tiga SMA berbeda yang masuk perguruan tinggi tersebut.
SOAL LATIHAN 1. Lima belas siswa kelas XI di suatu sekolah menengah pertama dengan kemampuan relatif sama telah dipilih secara acak untuk dikelompokkan dalam 3 grup yang selanjutnya diberikan perlakuan tiga metode mengajar aritmetika yang berbeda. Pada akhir semester, tes yang sama diberikan kepada lima belas siswa tersebut. Berikut tabel hasil tes dari siswa tersebut. Metode I Metode II Metode III 48 55 84 73 85 68 51 70 95 65 69 74 87 90 67 Apakah dapat disimpulkan bahwa rata-rata hasil tes siswa dari ketiga metode itu berbeda? Gunakan taraf nyata 0,05 dan anggap bahwa asumsi-asumsi dalam analisis variansi terpenuhi.
2. Empat desain sirkuit komputer digital yang berbeda telah diteliti untuk dibandingkan volume suara yang muncul. Hasil berikut diperoleh: Desain Sirkuit Komputer Digital 1 2 3 4
Volume suara (dalam dB) 29; 26; 27; 30 36; 34; 33; 35; 30 36; 41; 35; 39 42; 38; 37; 41; 45
Apakah rata-rata volume suara yang muncul sama untuk semua desain sirkuit komputer digital? Gunakan α = 0,05. Anggap bahwa asumsi-asumsi dalam analisis variansi terpenuhi.
52
Rancangan Acak Lengkap (RAL) (Complete Randomized Design) Latar belakang dari rancangan acak lengkap: a. Biasanya digunakan jika kondisi unit percobaan relatif homogen b. Umumnya percobaan dilakukan di laboratorium c. Unit percobaan tidak cukup besar dan jumlah perlakuan terbatas d. Sederhana Beberapa keuntungan dari penggunaan RAL Bagan rancangan percobaan lebih mudah Analisis statistika terhadap subyek percobaan sederhana Fleksibel dalam penggunaan jumlah perlakuan dan jumlah ulangan Kehilangan informasi relatif sedikit dalam hal data hilang dibandingkan rancangan lain Pengacakan dan Bagan Percobaan Misalkan ada 3 perlakuan (A, B, C) 2 ulangan Maka diperlukan 3 2 = 6 unit percobaan Bagan percobaan
Salah satu hasil pengacakan adalah
1
2
1
C
2
A
3
4
3
A
4
B
5
6
5
C
6
B
Tabulasi data Ulangan
Perlakuan
Total Keseluruhan
A
B
C
1
Y11
Y21
Y31
2
Y12
Y22
Y32
Total Perlakuan (Yi.)
Y1.
Y2.
Y3.
53
Y..
Model linier aditif dalam RAL Model Tetap Model tetap merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang digunakan dalam percobaan berasal dari populasi yang terbatas dan pemilihan perlakuan ditentukan langsung oleh peneliti dan kesimpulan yang diperoleh terbatas hanya pada perlakuan-perlakuan yang dicobakan saja tidak bisa digeneralisasikan. Model Acak Model acak merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang dicobakan merupakan sampel acak dari populasi perlakuan dan kesimpulan yang diperoleh berlaku secara umum untuk seluruh populasi perlakuan. Model linier aditif dari RAL adalah Yij i ij dengan i 1, 2, , a j 1, 2, , r
ij ~ N 0, 2 iid
Yij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j μ : rataan umum i : pengaruh perlakuan ke-i ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i ulangan ke-j Asumsi untuk model tetap ialah 𝑎𝑖=1 𝜏𝑖 = 0 . Asumsi untuk model acak ialah 𝜏𝑖 𝑖𝑖𝑑~𝑁 0, 𝜎𝜏2 . Analisis pada Model Tetap Ingin menguji persamaan dari rata-rata a perlakuan, diketahui E Yij i i , i 1, 2,, a Sehingga bentuk hipotesis H0 : 1 2 a
(Semua perlakuan memberikan respons yang sama)
H1 : i i ' , i i, i 1, 2,, a Diketahui i i a
a
i 1
i 1
i i a
a
a
i 1
i 1
a i i
,
i 1
i
a
sehingga berakibat a
i 1
i
0
54
Sehingga bentuk hipotesis diatas ekuivalen dengan hipotesis berikut H0 : 1 2 a 0 (perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H1 : i 0, i 1, 2,, a Analisis pada Model Acak Diketahui Var Yij Var i ij
Var i ij , konstanta
Var i Var ij , i dan ij saling bebas 2 2
Sehingga bentuk hipotesisnya adalah H0 : 2 0 (Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H1 : 2 0 (Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) Dekomposisi Jumlah Kuadrat Total Keragaman total dapat diuraikan sebagai berikut:
Yij Y Yij Yi Yi Y
Y
ij
Jika kedua ruas dikuadratkan maka akan diperoleh
Y
ij
Y Yi Y Yij Yi
Y Yi Y Yij Yi 2Yi Y Yij Yi 2
2
Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan
Y a
r
i 1 j 1
ij Y Yi Y Yij Yi
karena
a
2
r
2
i 1 j 1
Y a
r
i 1 j 1
2
i
a
r
2
i 1 j 1
Y Yij Yi 0
Sehingga Jumlah Kuadrat Total = Jumlah Kuadrat Perlakuan + Jumlah Kuadrat Galat JKT = JKP + JKG
Perhitungan Analisis Variansi (Anava) Ulangan sama
FK
Ulangan tidak sama
2
Y ar
FK
a
JKP
Yi2 i 1
r a
Y2 a
r i 1
i
Yi2 FK i 1 ri a
JKP
FK
r
JKT Yij2 FK
a
r
JKT Yij2 FK
i 1 j 1
i 1 j 1
JKG JKT JKP
JKG JKT JKP 55
Tabel Analisis Variansi Ulangan sama
Ulangan tidak sama
SV
db
JK
KT
Fhitung
SV
db
JK
KT
Fhitung
Perlakuan
a-1
JKP
KTP
KTP/KTG
Perlakuan
a-1
JKP
KTP
KTP/KTG
Galat
a(r-1)
JKG
KTG
Galat
(ri -1)
JKG
KTG
Total
ar-1
JKT
JKT ri -1 Kriteria keputusan H0 ditolak jika Fhit > F(a-1, (ri -1)) Total
Kriteria keputusan H0 ditolak jika Fhit > F(a-1, a(r-1))
SOAL LATIHAN
1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39 menjadi 37. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak 25 penderita sakit panas dengan suhu 39 dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yang lain. Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan panas badan mereka turun menjadi 37 . KADAR PARACETAMOL 40%
50%
60%
75%
90%
7
9
5
3
2
6
7
4
5
3
9
8
8
2
4
4
6
6
3
1
7
9
3
7
4
Apakah ada pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39 menjadi 37? Gunakan taraf nyata 0,05. 2. Sebuah lembaga penelitian di suatu perguruan tinggi ingin mengetahui pengaruh metode mengajar yang digunakan dosen terhadap hasil belajar mahasiswa khusus untuk mata kuliah Statistika Elementer. Ada berbagai macam metode mengajar dalam pembelajaran, pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode yang dianggap sesuai dengan karakteristik mata kuliah tersebut yaitu metode ceramah, tanya jawab, problem solving dan diskusi. Untuk keperluan itu telah dipilih secara acak 20 kelas yang relatif seragam, dengan rata-rata kemampuan awal mahasiswa dalam Statistika Elementer yang relatif sama. Secara acak 20 kelas tersebut dibagi 56
menjadi 4 kelompok, masing-masing kelompok mendapatkan pembelajaran dengan salah satu metode tersebut. Dosen yang mengajar di kelas-kelas tersebut telah dipilih sedemikian hingga dapat dianggap mempunyai karakteristik yang hampir sama. Setelah pembelajaran selesai, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berikut ini adalah data tentang rata-rata nilai tes mahasiswa dari ke-20 kelas yang digunakan dalam penelitian. Kelas 1 2 3 4 5 Jumlah a) b) c) d)
Metode Mengajar Tanya Problem Ceramah Jawab Solving 8,2 7,0 8,7 9,2 6,8 7,5 9,4 5,8 9,3 7,5 5,3 8,9 6,2 8,0 7,6 40,5 32,9 42
Jumlah Diskusi 6,2 6,8 7,5 5,5 5,7 31,7
30,1 30,3 32,0 27,2 27,5 147,1
Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud. Tentukan model linear dan maknanya Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya. Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi, lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan penelitian yang dimaksud. Gunakan taraf nyata 0,05.
57
Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL) (Randomized Complete Block Design) Alasan penggunaan rancangan acak kelompok lengkap a. Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman b. Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan dalam jumlah besar c. Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi Pengacakan dan Bagan Percobaan • Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan 3 kelompok, maka ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok • Total unit percobaan ada 36 = 18 unit percobaan • Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok • Salah satu bagan percobaan \
Tabulasi data Kelompok
Perlakuan
Total kelompok (Y•j)
P1
P2
P3
P4
P5
P6
1
Y11
Y21
Y31
Y41
Y51
Y61
Y•1
2
Y12
Y22
Y32
Y42
Y52
Y62
Y•2
3
Y13
Y23
Y33
Y43
Y53
Y63
Y•3
Total Perlakuan (Yi•)
Y1•
Y2•
Y3•
Y4•
Y5•
Y6•
Total keseluruhan (Y••)
Model linier aditif dari RAKL Yij i j ij Dengan
i 1, 2, , a j 1, 2, , b
ij ~ N 0, 2 iid
Yij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j μ : rataan umum i : pengaruh perlakuan ke-i j : pengaruh kelompok ke-j ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i kelompok ke-j 58
Asumsi untuk model tetap ialah a
i 1
0 dan
i
b
j 1
j
0
Asumsi untuk model acak ialah
i ~ N 0, 2 dan j ~ N 0, 2 iid
iid
Hipotesis Model Tetap • Hipotesis pengaruh perlakuan H 0 :1 2 a 0 H1 : i 0 , i 1, 2,, a
•
(perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : 1 2 b 0 H1 : j 0 , j 1, 2,, b
(kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis Model Acak • Hipotesis pengaruh perlakuan
H 0 : 2 0 H1 : 0 2
•
(keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) (keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh kelompok H 0 : 2 0 H1 : 0 2
(keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) (keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
Perhitungan Analisis Variansi FK
b
Y2 ab
JKK
a
JKP
Y i 1
b
2 i
Y
2 j
j 1
a a
FK
b
JKT Yij2 FK
FK
i 1 j 1
JKG JKT JKP JKK Tabel Analisis Variansi SV
db
JK
KT
Fhitung
Perlakuan
a-1
JKP
KTP
KTP/KTG
Kelompok
b-1
JKK
KTK
KTK/KTG
Galat
(a-1)(b-1)
JKG
KTG
Total
ab-1
JKT
Kriteria Keputusan : 1. Ho ditolak jika Fhit > F(a-1, (a-1)(b-1)) 2. Ho ditolak jika Fhit > F(b-1, (a-1)(b-1)) 59
SOAL LATIHAN 1. Suatu penelitian akan dilakukan untuk membandingkan pengaruh jenis media pembelajaran yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa kelas 2 SMA khusus untuk pokok bahasan peluang. Jenis media yang dimaksudkan adalah cetak, audio, visual dan berbasis komputer. Untuk keperluan tersebut telah dipilih secara acak 12 kelas, namun setelah dilakukan tes kemampuan awal ternyata kelas-kelas tersebut dapat digolongkan menjadi 3 kelompok (kategori kemampuan awal rendah, kategori kemampuan awal sedang, kategori kemampuan awal tinggi). Masing-masing kelompok mendapatkan perlakuan 4 jenis media tersebut. Setelah pembelajaran selesai, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berikut adalah data tentang rata-rata nilai tes siswa dari keduabelas kelas yang digunakan dalam penelitian. Kategori kelas kemampuan awal
Cetak
Audio
Visual
Berbasis Komputer
Rendah
8,1
6,5
7,4
8,4
Sedang
8,9
6,8
6
7,4
Tinggi
7,7
5,9
5,9
9,4
24,7
19,2
19,3
25,2
Jumlah
Jenis Media
2. Suatu percobaan yang telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh berbagai suplemen makanan terhadap perkembangan kecerdasan anak (diukur dengan pertambahan skor IQ). Unit percobaan dalam hal ini anak yang tersedia berbeda umur, karenanya dilakukan pengelompokkan menjadi 4 kelompok umur. Berikut rata-rata pertambahan kecerdasan anak untuk keempat suplemen adalah Jenis Suplemen A B C Rata-rata pertambahan skor IQ 7,5 1,5 5,75
D 7
Diasumsikan asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. Kerjakanlah Anava berikut dengan cara melengkapi Tabel Anava berikut: Sumber Variasi Perlakuan
db
JK
KT
F hitung
F tabel
89,1875
Kelompok
4,7292
Galat Total
111,9375
Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud gunakan = 0,05 dalam menyimpulkannya.
60
UJI LANJUT SETELAH ANALISIS VARIANSI Uji lanjut ini hanya berlaku untuk pengujian model tetap bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak. Beda Nyata Terkecil (BNT) atau Least Significant Difference (LSD) • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’ • Taraf nyata : • Statistik Uji : BNT t 2
1 1 KTG ' ri ri
db( G )
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi Yi ' > BNT Beda Nyata Jujur (BNJ) atau Honest Significant Difference (Tukey test) • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’ • Taraf nyata : • Statistik Uji :
KTG
BNJ q a ,db( g )
a
1 r
a
i
i 1
•
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi Yi ' > BNJ
Uji Perbandingan Berganda Duncan atau Duncan Multiple Range Test (DMRT) • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’ • Taraf nyata : • Statistik Uji :
KTG
R p r p ,db( g )
a
a
1 r i 1
•
i
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi Yi ' > Rp
61
Contoh Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39 menjadi 37. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak 25 penderita sakit panas dengan suhu 39 dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yang lain. Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan panas badan mereka turun menjadi 37 . KADAR PARACETAMOL 40%
50%
60%
75%
90%
7
9
5
3
2
6
7
4
5
3
9
8
8
2
4
4
6
6
3
1
7
9
3
7
4
Lakukan uji lanjut setelah Anava bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak? Gunakan taraf nyata 0,05. Uji lanjut dengan BNT • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5 • Taraf nyata : =0,05 • Statistik Uji :
BNT t 2
•
db( G )
1 1 KTG ri ri '
Kriteria Keputusan : t0,025(20) = 2,086
1 1 BNT 2,086 2,880 2,2389 5 5 H0 ditolak jika Yi Yi ' > 2,2389 •
Hitungan: Y1 Y2 1,2
Y2 Y4 3,8
Y1 Y3 1,4
Y2 Y5 5
Y1 Y4 2,6
Y3 Y4 1,2
Y1 Y5 3,8
Y3 Y5 2,4
Y2 Y3 2,6
Y4 Y5 1,2
62
•
Kesimpulan 1=2, 1=3, 3=4, 4=5 14, 15, 25, 23, 24, 35
Uji lanjut dengan BNJ • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5 • Taraf nyata : =0,05 • Statistik Uji :
KTG
BNJ q a ,db( g )
a
a
1 r i 1
•
i
Kriteria Keputusan : q0,05(5,20) = 4,24
BNJ 4,24
2,880 3,2179 5
H0 ditolak jika Yi Yi ' > 3,2179 •
•
Hitungan:
Y1 Y2 1,2
Y2 Y4 3,8
Y1 Y3 1,4
Y2 Y5 5
Y1 Y4 2,6
Y3 Y4 1,2
Y1 Y5 3,8
Y3 Y5 2,4
Y2 Y3 2,6
Y4 Y5 1,2
Kesimpulan 1=2=3, 3=4=5, 1=3=4 15, 25, 24
Uji Lanjut dengan DMRT • Hipotesis H0 : μi = μi’ H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5 • Taraf nyata : = 0,05
63
•
KTG
Statistik Uji : R p r p ,db( g )
a
a
1 r i 1
•
i
Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi Yi ' > Rp p
2
3
4
5
rp
2,95
3,10
3,18
3,25
Rp Hitungan :
2,24
2,35
2,41
2,47
Y5
Y4
2,8
4
Y3
Y1
5,2 6,6 7,8
Y2 Y5 5 2,47 R5
Y2 Y4 3,8 2,41 R4
Y1 Y5 3,8 2,41 R4
Y2 Y3 2,6 2,35 R3
Y1 Y4 2,6 2,35 R3
Y3 Y5 2,4 2,35 R3
Y2 Y1 1,2 2,24 R2 Y1 Y3 1,4 2,24 R2
Y3 Y4 1,2 2,24 R2
Y4 Y5 1,2 2,24 R2 •
Y2
Kesimpulan 1=2, 1=3, 3=4, 4=5 14, 15, 25, 23, 24, 35
64
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 11 : Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi
Asumsi-asumsi dalam analisis variansi 1. Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal 2. Sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi sama 2 Uji Kesamaan Variansi (Uji Bartlett, 1937) Hipotesis H0 : 𝜎12 = 𝜎22 = ⋯ = 𝜎𝑘2 (Variansi k populasi adalah sama) H1 : ∃𝜎𝑖2 ≠ 𝜎𝑖′2 , 𝑖 ≠ 𝑖 ′ , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑘 (Variansi k populasi tidak sama) Taraf nyata: Statistik Uji: 𝐵 = 1+[
𝜈 𝑖 𝑙𝑛
𝜈 𝑖 𝑠𝑖2 /
1 𝜈 𝑖 −(1
𝜈 𝑖 − 𝜈 𝑖 𝑙𝑛 𝑠𝑖2 𝜈𝑖 )
3 𝑘−1 ]
dengan 𝑠𝑖2 =
𝑛𝑖 𝑗 =1
𝑥𝑖𝑗 − 𝑥
2
𝑛𝑖 − 1
k = banyaknya perlakuan, 𝜈𝑖 = 𝑛𝑖 − 1 Kriteria keputusan: 2 H0 ditolak jika B > 𝜒𝛼(𝑘−1) Uji Normalitas (Kolmogorov-Smirnov Test) Hipotesis H0 : Data mengikuti distribusi normal H1 : Data tidak mengikuti distribusi normal Taraf nyata : Statistik Uji:
Kriteria keputusan: H0 ditolak jika p-value < 65
Contoh Seorang peneliti ingin membandingkan tiga merk bola golf dengan melihat jarak bola yang dipukul oleh teknisi. Dalam hal ini, para teknisi memiliki kemampuan bermain golf yang sama. Berikut data tentang jarak dalam meter untuk ketiga merk bola golf. Merk A Merk B Merk C 246 243 265 231 246 260 236 243 265 217 235 253 246 235 291 Lakukan cek asumsi-asumsi dalam analisis variansi. Penyelesaian Uji Kesamaan Variansi Ketiga Populasi Hipotesis H0 : 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 = 𝜎𝐶2 (Variansi ketiga populasi adalah sama) H1 : ∃𝜎𝑖2 ≠ 𝜎𝑖′2 , 𝑖 ≠ 𝑖 ′ , 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 (Variansi ketiga populasi tidak sama) Taraf nyata: = 0,05 Statistik Uji: 𝜈 𝑖 − 𝜈 𝑖 𝑙𝑛 𝑠𝑖2 1 𝜈 𝑖 −(1 𝜈 𝑖 ) 3 𝑘−1 ] 2 keputusan: k = 3, 𝜒0,05(2) = 5,991
𝐵 = 1+[ Kriteria
𝜈 𝑖 𝑙𝑛
𝜈 𝑖 𝑠𝑖2 /
H0 ditolak jika B > 5,991 Hitungan 𝐵=
12𝑙𝑛 126,2328134 −54,26244104 1+ 0,75−0,08333 /6
= 3,415
Kesimpulan Karena B = 3,415 < 5,991 maka H0 diterima. Jadi dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa ketiga populasi memiliki variansi yang sama. Uji Normalitas (Kolmogorov-Smirnov Test) Hipotesis H0 : Data mengikuti distribusi normal H1 : Data tidak mengikuti distribusi normal Taraf nyata : = 0,01 Statistik Uji: 𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 𝐷+, 𝐷− 66
Kriteria keputusan: H0 ditolak jika p-value < 0,01 Hitungan: Merk A
Merk B
Merk C
Kesimpulan: a) p-value > 0,150 > 0,01 maka H0 diterima b) p-value > 0,150 > 0,01 maka H0 diterima c) p-value = 0,046 > 0,01 maka H0 diterima Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa masing-masing data sampel mengikuti distribusi normal.
67
Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika Topik 12 : Analisis Variansi Dua Arah Analisis variansi dua arah merupakan analisis variansi yang digunakan pada rancangan faktorial. Pengertian dua arah dalam hal ini berkaitan dengan jumlah faktor yang diteliti ada dua. Rancangan Faktorial Ciri : perlakuan merupakan kombinasi dari semua kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf dua faktor atau lebih. • Keuntungan adalah mampu mendeteksi respons dari 1. Taraf masing-masing faktor (pengaruh utama) 2. Interaksi antara dua faktor (pengaruh interaksi) Bila sudah ada dugaan kuat (ada literatur) bahwa faktor A dan faktor B tidak ada interaksi maka tidak perlu menggunakan rancangan faktorial. •
Asumsi-asumsi dalam rancangan faktorial: 1. Distribusi peubah respons adalah distribusi normal. 2. Variansi antar perlakuan adalah identik. 3. Sampel saling bebas. Berikut beberapa contoh plot faktor A dengan faktor B.
Bila pengaruh interaksi nyata/signifikan maka a. uji pada pengaruh utama tidak bermakna b. pengaruh faktor A dan B tidak saling bebas
Percobaan Dua Faktor dalam Rancangan Acak Lengkap • •
Latar Belakang : unit percobaan yang digunakan relatif homogen Misal ada dua faktor (A dan B) Faktor A mempunyai 3 taraf (A1, A2, A3) Faktor B mempunyai 2 taraf (B1, B2) 68
Maka kombinasi perlakuan ada 3 × 2 = 6 (A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2) Ulangan ada sebanyak 3 Maka unit percobaan yang diperlukan 3 × 2 × 3 = 18. Bagan Percobaan dan Cara Pengacakan 1
2
3
7
8
9
13
14
15
A1B1
4
5
10
11
12
16
17
18
A1B1
6
Tabulasi Data
B1
B2
Ulangan
A1
A2
A3
1
Y111
Y211
Y311
2
Y112
Y212
Y312
3
Y113
Y213
Y313
Total
Y11•
Y21•
Y31•
1
Y121
Y221
Y321
2
Y122
Y222
Y322
3
Y123
Y223
Y323
Total
Y12•
Y22•
Y32•
Y•2•
Y1••
Y2••
Y3••
Y•••
Total
Total
Y•1•
Model Linier Aditif dari Faktorial RAL
Yijk = µ + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk dengan
i = 1, 2, K, a j = 1, 2, K, b k = 1, 2,K , r iid
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k μ : rataan umum αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i βj : pengaruh utama faktor B taraf ke-j (αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k Asumsi untuk model tetap ialah a
b
a
b
∑ α i = 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0 i =1
j =1
i =1
j =1
69
A1B1
Asumsi untuk model acak ialah iid
iid
iid
2 α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ )
Model Tetap (Faktor A dan B tetap)
Model Acak (Faktor A dan B acak)
Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap)
70
Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak)
Hipotesis Model Tetap (Faktor A dan B tetap) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
•
H 0 : α1 = α 2 = K = α a = 0
(faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2,K , a
(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh utama faktor B
H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 H1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b •
(faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) (faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis pengaruh interaksi
H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )ab = 0
(Interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : ∃(αβ )ij ≠ 0 , i = 1, 2, K, a, j = 1, 2,K, b (Interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)
Hipotesis Model Acak (Faktor A dan B acak) • Hipotesis pengaruh utama faktor A
H 0 : σ α2 = 0 (Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) H1 : σ α2 > 0 (Keragaman faktor A berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) •
Hipotesis pengaruh utama faktor B H 0 : σ β2 = 0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H1 : σ β2 > 0 (Keragaman faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati) •
Hipotesis pengaruh interaksi 2 H 0 : σ αβ = 0 (Keragaman faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati) 2 H1 : σ αβ > 0 (Keragaman faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)
71
Perhitungan Analisis Variansi b
Y2 FK = ••• abr a
∑Y
2 • j•
JKB =
− FK
ar
b
∑∑ Y
2 ij •
JKP =
j =1
i =1 j =1
a
b
r
JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK
− FK
i =1 j =1 k =1
r
JKAB = JKP − JKA − JKB
a
JKG = JKT − JKP
∑Y
2 i ••
JKA =
i =1
− FK
br SOAL LATIHAN 1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh jenis pupuk dan varietas padi terhadap hasil produksi padi. Jenis pupuk yang diteliti adalah P1, P2, P3 dan P4. Dari berbagai varietas padi yang ada, telah dipilih secara acak 3 diantaranya yaitu V1, V2 dan V3. Mengingat terbatasnya lahan, ulangan hanya dilakukan sebanyak 3 kali untuk setiap kombinasi perlakuannya. Percobaan dilakukan di sawah percobaan, dengan kondisi tanah, pengairan dan penyinaran dapat dianggap relatif homogen, sehingga pengacakan secara lengkap dapat diterapkan pada petak-petak percobaan. Berikut ini adalah data hasil produksi padi untuk setiap petak percobaan, yang dicatat dalam kuintal. Analisislah data tersebut sesuai maksud penelitiannya. Gunakan taraf nyata 0,05. Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi
Jenis Pupuk
P1
Varietas Padi
Total
V1
V2
V3
64
72
74
66
81
51
70
64
65
65
57
47
63
43
58
58
52
67
59
66
58
68
71
39
65
59
42
Jumlah
P2
Jumlah
P3
Jumlah
72
P4
58
57
53
41
61
59
46
53
38
Jumlah Total Perhatikan berikut ! A : jenis pupuk B : varietas padi a = 4, b = 3, r = 3 Derajat Bebas
A
a-1 = (a) – (1)
B
b-1 = (b) – (1)
AB
(a-1)(b-1) = (ab) – (a) – (b) +(1)
Galat
ab(r-1) = (abr) – (ab)
Total
abr-1 = (abr) – (1)
2 1
+a +a +a br
2
+ b22 + b32 ar
(a ) → a
(b ) → b1
2 2
Sumber Keragaman
2 3
2
2
2 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(ab ) → ab11 + ab12 + ab13 + ab21 + ab22 + ab23 + ab31 + ab32 + ab33 + ab41 + ab42 + ab43 r
(abr ) → ∑∑∑
Yijk2
1 Y•2•• (1) → abr 2. Sebuah percobaan telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh diabetes dan berat badan terhadap tekanan darah diastolik. Berikut data tekanan darah diastolik (dalam mmHg) dari 20 peserta. Berat badan normal Berat badan berlebih Tanpa Diabetes 75, 80, 83, 85, 65 85, 80, 90, 95, 88 Diabetes 85, 90, 95, 90, 86 90, 95, 100, 105, 110 Apakah ada pengaruh interaksi antara diabetes dan berat badan terhadap tekanan darah diastolik? Gunakan taraf nyata 0,05.
73
3. Sebuah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh televisi dan internet terhadap hasil prestasi mahasiswa. Berikut data nilai IPK sebagai peubah respons. Waktu penggunaan internet Waktu menonton televisi Sedikit Lama Sedikit 3,9; 4,0; 3,5 2,7; 2,5; 2,8 Lama 3,5; 3,3; 3,0 2,0; 2,4; 2,3 a) Buatlah tabel analisis variansi dua arah. b) Buatlah gambar pengaruh interaksi televisi dan internet, interpretasikan.
74
TABEL
4 Appendix A
Table A-1 Models with an intercept (from Savin and White) Durbin-Watson Statistic: 1 Per Cent Significance Points of dL and dU k’*=1
k’=2
k’=3
k’=4
k’=5
k’=6
k’=7
k’=8
k’=9
k’=10
n 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
dL 0.390 0.435 0.497 0.554 0.604 0.653 0.697 0.738 0.776 0.811 0.844 0.873 0.902 0.928 0.952 0.975 0.997 1.017 1.037 1.055
dU 1.142 1.036 1.003 0.998 1.001 1.010 1.023 1.038 1.054 1.070 1.086 1.102 1.118 1.133 1.147 1.161 1.174 1.186 1.199 1.210
dL ----0.294 0.345 0.408 0.466 0.519 0.569 0.616 0.660 0.700 0.738 0.773 0.805 0.835 0.862 0.889 0.915 0.938 0.959 0.981
dU ----1.676 1.489 1.389 1.333 1.297 1.274 1.261 1.254 1.252 1.253 1.255 1.259 1.264 1.270 1.276 1.284 1.290 1.298 1.305
dL --------0.229 0.279 0.340 0.396 0.449 0.499 0.547 0.591 0.633 0.672 0.708 0.742 0.774 0.803 0.832 0.858 0.881 0.906
dU --------2.102 1.875 1.733 1.640 1.575 1.526 1.490 1.465 1.447 1.432 1.422 1.416 1.410 1.408 1.407 1.407 1.407 1.408
dL ------------0.183 0.230 0.286 0.339 0.391 0.441 0.487 0.532 0.574 0.614 0.650 0.684 0.718 0.748 0.777 0.805 0.832
dU ------------2.433 2.193 2.030 1.913 1.826 1.757 1.705 1.664 1.631 1.604 1.583 1.567 1.554 1.543 1.535 1.527 1.521
dL ----------------0.150 0.193 0.244 0.294 0.343 0.390 0.437 0.481 0.522 0.561 0.598 0.634 0.666 0.699 0.728 0.756
dU ----------------2.690 2.453 2.280 2.150 2.049 1.967 1.901 1.847 1.803 1.767 1.736 1.712 1.691 1.674 1.659 1.645
dL --------------------0.124 0.164 0.211 0.257 0.303 0.349 0.393 0.435 0.476 0.515 0.552 0.587 0.620 0.652 0.682
dU --------------------2.892 2.665 2.490 2.354 2.244 2.153 2.078 2.015 1.963 1.918 1.881 1.849 1.821 1.797 1.776
dL ------------------------0.105 0.140 0.183 0.226 0.269 0.313 0.355 0.396 0.436 0.474 0.510 0.545 0.578 0.610
dU ------------------------3.053 2.838 2.667 2.530 2.416 2.319 2.238 2.169 2.110 2.059 2.015 1.977 1.944 1.915
dL ----------------------------0.090 0.122 0.161 0.200 0.241 0.282 0.322 0.362 0.400 0.437 0.473 0.507 0.540
dU ----------------------------3.182 2.981 2.817 2.681 2.566 2.467 2.381 2.308 2.244 2.188 2.140 2.097 2.059
dL --------------------------------0.078 0.107 0.142 0.179 0.216 0.255 0.294 0.331 0.368 0.404 0.439 0.473
dU --------------------------------3.287 3.101 2.944 2.811 2.697 2.597 2.510 2.434 2.367 2.308 2.255 2.209
dL ------------------------------------0.068 0.094 0.127 0.160 0.196 0.232 0.268 0.304 0.340 0.375 0.409
dU ------------------------------------3.374 3.201 3.053 2.925 2.813 2.174 2.625 2.548 2.479 2.417 2.362
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200
1.072 1.088 1.104 1.119 1.134 1.147 1.160 1.171 1.184 1.195 1.205 1.217 1.227 1.237 1.246 1.288 1.324 1.356 1.382 1.407 1.429 1.448 1.465 1.481 1.496 1.510 1.522 1.611 1.664
1.222 1.232 1.244 1.254 1.264 1.274 1.283 1.291 1.298 1.307 1.315 1.322 1.330 1.337 1.344 1.376 1.403 1.428 1.449 1.467 1.485 1.501 1.514 1.529 1.541 1.552 1.562 1.637 1.684
1.000 1.019 1.036 1.053 1.070 1.085 1.100 1.114 1.128 1.141 1.153 1.164 1.176 1.187 1.197 1.245 1.285 1.320 1.351 1.377 1.400 1.422 1.440 1.458 1.474 1.489 1.502 1.598 1.653
1.311 1.318 1.325 1.332 1.339 1.345 1.351 1.358 1.364 1.370 1.376 1.383 1.388 1.392 1.398 1.424 1.445 1.466 1.484 1.500 1.514 1.529 1.541 1.553 1.563 1.573 1.582 1.651 1.693
0.928 0.948 0.969 0.988 1.006 1.022 1.039 1.055 1.070 1.085 1.098 1.112 1.124 1.137 1.149 1.201 1.245 1.284 1.317 1.346 1.372 1.395 1.416 1.434 1.452 1.468 1.482 1.584 1.643
1.410 1.413 1.414 1.418 1.421 1.425 1.428 1.432 1.436 1.439 1.442 1.446 1.449 1.452 1.456 1.474 1.491 1.505 1.520 1.534 1.546 1.557 1.568 1.577 1.587 1.596 1.604 1.665 1.704
0.855 0.878 0.901 0.921 0.941 0.960 0.978 0.995 1.012 1.028 1.043 1.058 1.072 1.085 1.098 1.156 1.206 1.246 1.283 1.314 1.343 1.368 1.390 1.411 1.429 1.446 1.461 1.571 1.633
1.517 1.514 1.512 1.511 1.510 1.509 1.509 1.510 1.511 1.512 1.513 1.514 1.515 1.517 1.518 1.528 1.537 1.548 1.559 1.568 1.577 1.586 1.595 1.603 1.611 1.618 1.625 1.679 1.715
0.782 0.808 0.832 0.855 0.877 0.897 0.917 0.935 0.954 0.971 0.987 1.004 1.019 1.033 1.047 1.111 1.164 1.209 1.248 1.283 1.313 1.340 1.364 1.386 1.406 1.425 1.441 1.557 1.623
1.635 1.625 1.618 1.611 1.606 1.601 1.597 1.594 1.591 1.589 1.587 1.585 1.584 1.583 1.583 1.583 1.587 1.592 1.598 1.604 1.611 1.617 1.624 1.630 1.636 1.641 1.647 1.693 1.725
0.711 0.738 0.764 0.788 0.812 0.834 0.856 0.876 0.896 0.914 0.932 0.950 0.966 0.982 0.997 1.065 1.123 1.172 1.214 1.251 1.283 1.313 1.338 1.362 1.383 1.403 1.421 1.543 1.613
1.759 1.743 1.729 1.718 1.707 1.698 1.690 1.683 1.677 1.671 1.666 1.662 1.658 1.655 1.652 1.643 1.639 1.638 1.639 1.642 1.645 1.649 1.653 1.657 1.661 1.666 1.670 1.708 1.735
0.640 0.669 0.696 0.723 0.748 0.772 0.794 0.816 0.837 0.857 0.877 0.895 0.913 0.930 0.946 1.019 1.081 1.134 1.179 1.218 1.253 1.284 1.312 1.337 1.360 1.381 1.400 1.530 1.603
1.889 1.867 1.847 1.830 1.814 1.800 1.788 1.776 1.766 1.757 1.749 1.742 1.735 1.729 1.724 1.704 1.692 1.685 1.682 1.680 1.680 1.682 1.683 1.685 1.687 1.690 1.693 1.722 1.746
0.572 0.602 0.630 0.658 0.684 0.710 0.734 0.757 0.779 0.800 0.821 0.841 0.860 0.878 0.895 0.974 1.039 1.095 1.144 1.186 1.223 1.256 1.285 1.312 1.336 1.358 1.378 1.515 1.592
2.026 1.997 1.970 1.947 1.925 1.906 1.889 1.874 1.860 1.847 1.836 1.825 1.816 1.807 1.799 1.768 1.748 1.734 1.726 1.720 1.716 1.714 1.714 1.714 1.714 1.715 1.717 1.737 1.757
0.505 0.536 0.566 0.595 0.622 0.649 0.674 0.698 0.722 0.744 0.766 0.787 0.807 0.826 0.844 0.927 0.997 1.057 1.108 1.153 1.192 1.227 1.259 1.287 1.312 1.336 1.357 1.501 1.582
2.168 2.131 2.098 2.068 2.041 2.017 1.995 1.975 1.957 1.940 1.925 1.911 1.899 1.887 1.876 1.834 1.805 1.785 1.771 1.761 1.754 1.748 1.745 1.743 1.741 1.741 1.741 1.752 1.768
0.441 0.473 0.504 0.533 0.562 0.589 0.615 0.641 0.665 0.689 0.711 0.733 0.754 0.774 0.749 0.881 0.955 1.018 1.072 1.120 1.162 1.199 1.232 1.262 1.288 1.313 1.335 1.486 1.571
2.313 2.269 2.229 2.193 2.160 2.131 2.104 2.080 2.057 2.037 2.018 2.001 1.985 1.970 1.956 1.902 1.864 1.837 1.817 1.802 1.792 1.783 1.777 1.773 1.769 1.767 1.765 1.767 1.779
*k’ is the number of regressors excluding the intercept
5 Durbin-Watson Significance Tables
k’*=11 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200
dL 0.060 0.084 0.113 0.145 0.178 0.212 0.246 0.281 0.315 0.348 0.381 0.413 0.444 0.474 0.503 0.531 0.558 0.585 0.610 0.634 0.658 0.680 0.702 0.723 0.744 0.835 0.913 0.979 1.037 1.087 1.131 1.170 1.205 1.236 1.264 1.290 1.314 1.473 1.561
dU 3.446 3.286 3.146 3.023 2.914 2.817 2.729 2.651 2.580 2.517 2.460 2.409 2.363 2.321 2.283 2.248 2.216 2.187 2.160 2.136 2.113 2.092 2.073 2.055 2.039 1.972 1.925 1.891 1.865 1.845 1.831 1.819 1.810 1.803 1.798 1.793 1.790 1.783 1.791
k’=12 dL ----0.053 0.075 0.102 0.131 0.162 0.194 0.227 0.260 0.292 0.324 0.356 0.387 0.417 0.447 0.475 0.503 0.530 0.556 0.581 0.605 0.628 0.651 0.673 0.694 0.790 0.871 0.940 1.001 1.053 1.099 1.141 1.177 1.210 1.240 1.267 1.292 1.458 1.550
dU ----3.506 3.358 3.227 3.109 3.004 2.909 2.822 2.744 2.674 2.610 2.552 2.499 2.451 2.407 2.367 2.330 2.296 2.266 2.237 2.210 2.186 2.164 2.143 2.123 2.044 1.987 1.945 1.914 1.889 1.870 1.856 1.844 1.834 1.827 1.821 1.816 1.799 1.801
k’=13 dL --------0.047 0.067 0.092 0.119 0.148 0.178 0.209 0.240 0.272 0.303 0.333 0.363 0.393 0.422 0.450 0.477 0.503 0.529 0.554 0.578 0.601 0.623 0.645 0.744 0.829 0.902 0.965 1.020 1.068 1.111 1.150 1.184 1.215 1.244 1.270 1.444 1.539
dU --------3.557 3.420 3.297 3.185 3.084 2.991 2.906 2.829 2.758 2.694 2.635 2.582 2.533 2.487 2.446 2.408 2.373 2.340 2.310 2.282 2.256 2.232 2.210 2.118 2.051 2.002 1.964 1.934 1.911 1.893 1.878 1.866 1.856 1.848 1.841 1.814 1.813
k’=14 dL ------------0.043 0.061 0.084 0.109 0.136 0.165 0.194 0.224 0.253 0.283 0.313 0.342 0.371 0.399 0.426 0.452 0.478 0.504 0.528 0.552 0.575 0.597 0.700 0.787 0.863 0.929 0.986 1.037 1.082 1.122 1.158 1.191 1.221 1.248 1.429 1.528
dU ------------3.601 3.474 3.358 3.252 3.155 3.065 2.982 2.906 2.836 2.772 2.713 2.659 2.609 2.563 2.520 2.481 2.444 2.410 2.379 2.350 2.323 2.297 2.193 2.116 2.059 2.015 1.980 1.953 1.931 1.913 1.898 1.886 1.876 1.868 1.830 1.824
k’=15 dL ----------------0.038 0.055 0.077 0.100 0.125 0.152 0.180 0.208 0.237 0.266 0.294 0.322 0.350 0.377 0.404 0.430 0.455 0.480 0.504 0.528 0.551 0.655 0.746 0.825 0.893 0.953 1.005 1.052 1.094 1.132 1.166 1.197 1.225 1.414 1.518
*k’ is the number of regressors excluding the intercept
dU ----------------3.639 3.521 3.412 3.311 3.218 3.131 3.050 2.976 2.907 2.843 2.785 2.730 2.680 2.633 2.590 2.550 2.512 2.477 2.445 2.414 2.386 2.269 2.182 2.117 2.067 2.027 1.995 1.970 1.949 1.931 1.917 1.905 1.895 1.847 1.836
k’=16 dL --------------------0.035 0.050 0.070 0.092 0.116 0.141 0.167 0.194 0.222 0.249 0.277 0.304 0.331 0.357 0.383 0.409 0.434 0.458 0.482 0.505 0.612 0.705 0.786 0.857 0.919 0.974 1.023 1.066 1.106 1.141 1.174 1.203 1.400 1.507
dU --------------------3.671 3.562 3.459 3.363 3.274 3.191 3.113 3.040 2.972 2.909 2.851 2.797 2.746 2.699 2.655 2.614 2.576 2.540 2.507 2.476 2.346 2.250 2.176 2.120 2.075 2.038 2.009 1.984 1.965 1.948 1.943 1.922 1.863 1.847
k’=17 dL ------------------------0.032 0.046 0.065 0.085 0.107 0.131 0.156 0.182 0.208 0.234 0.261 0.287 0.313 0.339 0.364 0.389 0.414 0.438 0.461 0.570 0.665 0.748 0.822 0.886 0.943 0.993 1.039 1.080 1.116 1.150 1.181 1.385 1.495
dU ------------------------3.700 3.597 3.501 3.410 3.325 3.245 3.169 3.098 3.032 2.970 2.912 2.858 2.808 2.761 2.717 2.675 2.637 2.600 2.566 2.424 2.318 2.237 2.173 2.123 2.082 2.049 2.022 1.999 1.979 1.963 1.949 1.880 1.860
k’=18 dL ----------------------------0.029 0.043 0.060 0.079 0.100 0.122 0.146 0.171 0.193 0.221 0.246 0.272 0.297 0.322 0.347 0.371 0.395 0.418 0.528 0.625 0.711 0.786 0.852 0.911 0.964 1.011 1.053 1.091 1.126 1.158 1.370 1.484
dU ----------------------------3.725 3.629 3.538 3.452 3.371 3.294 3.220 3.152 3.087 3.026 2.969 2.915 2.865 2.818 2.774 2.733 2.694 2.657 2.503 2.387 2.298 2.227 2.172 2.127 2.090 2.059 2.033 2.012 1.993 1.977 1.897 1.871
k’=19 dL --------------------------------0.027 0.039 0.055 0.073 0.093 0.114 0.137 0.160 0.184 0.209 0.233 0.257 0.282 0.306 0.330 0.354 0.377 0.488 0.586 0.674 0.751 0.819 0.880 0.934 0.983 1.027 1.066 1.102 1.136 1.355 1.474
dU --------------------------------3.747 3.657 3.572 3.490 3.412 3.338 3.267 3.201 3.137 3.078 3.022 2.969 2.919 2.872 2.828 2.787 2.748 2.582 2.456 2.359 2.283 2.221 2.172 2.131 2.097 2.068 2.044 2.023 2.006 1.913 1.883
k’=20 dL ------------------------------------0.025 0.036 0.051 0.068 0.087 0.107 0.128 0.151 0.174 0.197 0.221 0.244 0.268 0.291 0.315 0.338 0.448 0.548 0.637 0.716 0.789 0.849 0.905 0.955 1.000 1.041 1.079 1.113 1.340 1.462
dU ------------------------------------3.766 3.682 3.602 3.524 3.450 3.379 3.311 3.246 3.184 3.126 3.071 3.019 2.969 2.923 2.879 2.838 2.661 2.526 2.421 2.338 2.272 2.217 2.172 2.135 2.104 2.077 2.054 2.034 1.931 1.896
6 Appendix A
Table A-2 Models with an intercept (from Savin and White) Durbin-Watson Statistic: 5 Per Cent Significance Points of dL and dU k’*=1
k’=2
k’=3
k’=4
k’=5
k’=6
k’=7
k’=8
k’=9
k’=10
n 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
dL 0.610 0.700 0.763 0.824 0.879 0.927 0.971 1.010 1.045 1.077 1.106 1.133 1.158 1.180 1.201 1.221 1.239 1.257 1.273 1.288
dU 1.400 1.356 1.332 1.320 1.320 1.324 1.331 1.340 1.350 1.361 1.371 1.381 1.391 1.401 1.411 1.420 1.429 1.437 1.446 1.454
dL ----0.467 0.559 0.629 0.697 0.758 0.812 0.861 0.905 0.946 0.982 1.015 1.046 1.074 1.100 1.125 1.147 1.168 1.188 1.206
dU ----1.896 1.777 1.699 1.641 1.604 1.579 1.562 1.551 1.543 1.539 1.536 1.535 1.536 1.537 1.538 1.541 1.543 1.546 1.550
dL --------0.367 0.455 0.525 0.595 0.658 0.715 0.767 0.814 0.857 0.897 0.933 0.967 0.998 1.026 1.053 1.078 1.101 1.123
dU --------2.287 2.128 2.016 1.928 1.864 1.816 1.779 1.750 1.728 1.710 1.696 1.685 1.676 1.669 1.664 1.660 1.656 1.654
dL ------------0.296 0.376 0.444 0.512 0.574 0.632 0.685 0.734 0.779 0.820 0.859 0.894 0.927 0.958 0.986 1.013 1.038
dU ------------2.588 2.414 2.283 2.177 2.094 2.030 1.977 1.935 1.900 1.872 1.848 1.828 1.812 1.797 1.785 1.775 1.767
dL ----------------0.243 0.315 0.380 0.444 0.505 0.562 0.615 0.664 0.710 0.752 0.792 0.829 0.863 0.895 0.925 0.953
dU ----------------2.822 2.645 2.506 2.390 2.296 2.220 2.157 2.104 2.060 2.023 1.991 1.964 1.940 1.920 1.902 1.886
dL --------------------0.203 0.268 0.328 0.389 0.447 0.502 0.554 0.603 0.649 0.691 0.731 0.769 0.804 0.837 0.868
dU --------------------3.004 2.832 2.692 2.572 2.471 2.388 2.318 2.258 2.206 2.162 2.124 2.090 2.061 2.035 2.013
dL ------------------------0.171 0.230 0.286 0.343 0.398 0.451 0.502 0.549 0.595 0.637 0.677 0.715 0.750 0.784
dU ------------------------3.149 2.985 2.848 2.727 2.624 2.537 2.461 2.396 2.339 2.290 2.246 2.208 2.174 2.144
dL ----------------------------0.147 0.200 0.251 0.304 0.356 0.407 0.456 0.502 0.546 0.588 0.628 0.666 0.702
dU ----------------------------3.266 3.111 2.979 2.860 2.757 2.668 2.589 2.521 2.461 2.407 2.360 2.318 2.280
dL --------------------------------0.127 0.175 0.222 0.272 0.321 0.369 0.416 0.461 0.504 0.545 0.584 0.621
dU --------------------------------3.360 3.216 3.090 2.975 2.873 2.783 2.704 2.633 2.571 2.514 2.464 2.419
dL ------------------------------------0.111 0.155 0.198 0.244 0.290 0.336 0.380 0.424 0.465 0.506 0.544
dU ------------------------------------3.438 3.304 3.184 3.073 2.974 2.885 2.806 2.735 2.670 2.613 2.560
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200
1.302 1.316 1.328 1.341 1.352 1.363 1.373 1.383 1.393 1.402 1.411 1.419 1.427 1.435 1.442 1.475 1.503 1.528 1.549 1.567 1.583 1.598 1.611 1.624 1.635 1.645 1.654 1.720 1.758
1.461 1.469 1.476 1.483 1.489 1.496 1.502 1.508 1.514 1.519 1.525 1.530 1.535 1.540 1.544 1.566 1.585 1.601 1.616 1.629 1.641 1.652 1.662 1.671 1.679 1.687 1.694 1.747 1.779
1.224 1.240 1.255 1.270 1.284 1.297 1.309 1.321 1.333 1.343 1.354 1.364 1.373 1.382 1.391 1.430 1.462 1.490 1.514 1.536 1.554 1.571 1.586 1.600 1.612 1.623 1.634 1.706 1.748
1.553 1.556 1.560 1.563 1.567 1.570 1.574 1.577 1.580 1.584 1.587 1.590 1.594 1.597 1.600 1.615 1.628 1.641 1.652 1.662 1.672 1.680 1.688 1.696 1.703 1.709 1.715 1.760 1.789
1.143 1.162 1.181 1.198 1.214 1.229 1.244 1.258 1.271 1.283 1.295 1.307 1.318 1.328 1.338 1.383 1.421 1.452 1.480 1.503 1.525 1.543 1.560 1.575 1.589 1.602 1.613 1.693 1.738
1.652 1.651 1.650 1.650 1.650 1.650 1.650 1.651 1.652 1.653 1.654 1.655 1.656 1.658 1.659 1.666 1.674 1.681 1.689 1.696 1.703 1.709 1.715 1.721 1.726 1.732 1.736 1.774 1.799
1.062 1.084 1.104 1.124 1.143 1.160 1.177 1.193 1.208 1.222 1.236 1.249 1.261 1.273 1.285 1.336 1.378 1.414 1.444 1.471 1.494 1.515 1.534 1.550 1.566 1.579 1.592 1.679 1.728
1.759 1.753 1.747 1.743 1.739 1.735 1.732 1.730 1.728 1.726 1.724 1.723 1.722 1.722 1.721 1.720 1.721 1.724 1.727 1.731 1.735 1.739 1.743 1.747 1.751 1.755 1.758 1.788 1.809
0.979 1.004 1.028 1.050 1.071 1.090 1.109 1.127 1.144 1.160 1.175 1.190 1.204 1.218 1.230 1.287 1.335 1.374 1.408 1.438 1.464 1.487 1.507 1.525 1.542 1.557 1.571 1.665 1.718
1.873 1.861 1.850 1.841 1.833 1.825 1.819 1.813 1.808 1.803 1.799 1.795 1.792 1.789 1.786 1.776 1.771 1.768 1.767 1.767 1.768 1.770 1.772 1.774 1.776 1.778 1.780 1.802 1.820
0.897 0.925 0.951 0.975 0.998 1.020 1.041 1.061 1.079 1.097 1.114 1.131 1.146 1.161 1.175 1.238 1.291 1.334 1.372 1.404 1.433 1.458 1.480 1.500 1.518 1.535 1.550 1.651 1.707
1.992 1.974 1.959 1.944 1.931 1.920 1.909 1.900 1.891 1.884 1.876 1.870 1.864 1.859 1.854 1.835 1.822 1.814 1.808 1.805 1.802 1.801 1.801 1.801 1.801 1.802 1.803 1.817 1.831
0.816 0.845 0.874 0.900 0.926 0.950 0.972 0.994 1.015 1.034 1.053 1.071 1.088 1.104 1.120 1.189 1.246 1.294 1.335 1.370 1.401 1.428 1.453 1.474 1.494 1.512 1.528 1.637 1.697
2.117 2.093 2.071 2.052 2.034 2.018 2.004 1.991 1.978 1.967 1.957 1.948 1.939 1.932 1.924 1.895 1.875 1.861 1.850 1.843 1.838 1.834 1.831 1.829 1.827 1.827 1.826 1.832 1.841
0.735 0.767 0.798 0.826 0.854 0.879 0.904 0.927 0.950 0.971 0.991 1.011 1.029 1.047 1.064 1.139 1.201 1.253 1.298 1.336 1.369 1.399 1.425 1.448 1.469 1.489 1.506 1.622 1.686
2.246 2.216 2.188 2.164 2.141 2.120 2.102 2.085 2.069 2.054 2.041 2.029 2.017 2.007 1.997 1.958 1.930 1.909 1.894 1.882 1.874 1.867 1.861 1.857 1.854 1.852 1.850 1.846 1.852
0.657 0.691 0.723 0.753 0.782 0.810 0.836 0.861 0.885 0.908 0.930 0.951 0.970 0.990 1.008 1.089 1.156 1.212 1.260 1.301 1.337 1.369 1.397 1.422 1.445 1.465 1.484 1.608 1.675
2.379 2.342 2.309 2.278 2.251 2.226 2.203 2.181 2.162 2.144 2.127 2.112 2.098 2.085 2.072 2.022 1.986 1.959 1.939 1.923 1.910 1.901 1.893 1.886 1.881 1.877 1.874 1.862 1.863
0.581 0.616 0.649 0.681 0.712 0.741 0.769 0.796 0.821 0.845 0.868 0.891 0.912 0.932 0.952 1.038 1.110 1.170 1.222 1.266 1.305 1.339 1.369 1.396 1.420 1.442 1.462 1.593 1.665
2.513 2.470 2.431 2.396 2.363 2.333 2.306 2.281 2.257 2.236 2.216 2.197 2.180 2.164 2.149 2.088 2.044 2.010 1.984 1.964 1.948 1.935 1.925 1.916 1.909 1.903 1.898 1.877 1.874
*k’ is the number of regressors excluding the intercept
7 Durbin-Watson Significance Tables
k’*=11 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200
dL 0.098 0.138 0.177 0.220 0.263 0.307 0.349 0.391 0.431 0.470 0.508 0.544 0.578 0.612 0.643 0.674 0.703 0.731 0.758 0.783 0.808 0.831 0.854 0.875 0.896 0.988 1.064 1.129 1.184 1.231 1.272 1.308 1.340 1.369 1.395 1.418 1.439 1.579 1.654
dU 3.503 3.378 3.265 3.159 3.063 2.976 2.897 2.826 2.761 2.702 2.649 2.600 2.555 2.515 2.477 2.443 2.411 2.382 2.355 2.330 2.306 2.285 2.265 2.246 2.228 2.156 2.103 2.062 2.031 2.006 1.987 1.970 1.957 1.946 1.937 1.930 1.923 1.892 1.885
k’=12 dL ----0.087 0.123 0.160 0.200 0.240 0.281 0.322 0.362 0.400 0.438 0.475 0.510 0.544 0.577 0.608 0.638 0.668 0.695 0.722 0.748 0.772 0.796 0.819 0.840 0.938 1.019 1.087 1.145 1.195 1.239 1.277 1.311 1.342 1.369 1.394 1.416 1.564 1.643
dU ----3.557 3.441 3.335 3.234 3.141 3.057 2.979 2.908 2.844 2.784 2.730 2.680 2.634 2.592 2.553 2.517 2.484 2.454 2.425 2.398 2.374 2.351 2.329 2.309 2.225 2.163 2.116 2.079 2.049 2.026 2.006 1.991 1.977 1.966 1.956 1.948 1.908 1.896
k’=13 dL --------0.078 0.111 0.145 0.182 0.220 0.259 0.297 0.335 0.373 0.409 0.445 0.479 0.512 0.545 0.576 0.606 0.634 0.662 0.689 0.714 0.739 0.763 0.785 0.887 0.973 1.045 1.106 1.160 1.206 1.247 1.283 1.315 1.344 1.370 1.393 1.550 1.632
dU --------3.603 3.496 3.395 3.300 3.211 3.128 3.053 2.983 2.919 2.859 2.805 2.755 2.708 2.665 2.625 2.588 2.554 2.521 2.492 2.464 2.438 2.413 2.391 2.296 2.225 2.170 2.127 2.093 2.066 2.043 2.024 2.009 1.995 1.984 1.974 1.924 1.908
k’=14 dL ------------0.070 0.100 0.132 0.166 0.202 0.239 0.275 0.312 0.348 0.383 0.418 0.451 0.484 0.515 0.546 0.575 0.604 0.631 0.657 0.683 0.707 0.731 0.838 0.927 1.003 1.068 1.124 1.172 1.215 1.253 1.287 1.318 1.345 1.371 1.535 1.621
dU ------------3.642 3.542 3.448 3.358 3.272 3.193 3.119 3.051 2.987 2.928 2.874 2.823 2.776 2.733 2.692 2.654 2.619 2.586 2.555 2.526 2.499 2.473 2.367 2.287 2.225 2.177 2.138 2.106 2.080 2.059 2.040 2.025 2.012 2.000 1.940 1.919
k’=15 dL ----------------0.063 0.091 0.120 0.153 0.186 0.221 0.256 0.291 0.325 0.359 0.392 0.425 0.457 0.488 0.518 0.547 0.575 0.602 0.628 0.653 0.678 0.788 0.882 0.961 1.029 1.088 1.139 1.184 1.224 1.260 1.292 1.321 1.347 1.519 1.610
*K’ is the number of regressors excluding the intercept
dU ----------------3.676 3.583 3.495 3.409 3.327 3.251 3.179 3.112 3.050 2.992 2.937 2.887 2.840 2.796 2.754 2.716 2.680 2.646 2.614 2.585 2.557 2.439 2.350 2.281 2.227 2.183 2.148 2.118 2.093 2.073 2.055 2.040 2.026 1.956 1.931
k’=16 dL --------------------0.058 0.083 0.110 0.141 0.172 0.205 0.238 0.271 0.305 0.337 0.370 0.401 0.432 0.462 0.492 0.520 0.548 0.575 0.600 0.626 0.740 0.836 0.919 0.990 1.052 1.105 1.153 1.195 1.232 1.266 1.296 1.324 1.504 1.599
dU --------------------3.705 3.619 3.535 3.454 3.376 3.303 3.233 3.168 3.107 3.050 2.996 2.946 2.899 2.854 2.813 2.774 2.738 2.703 2.671 2.641 2.512 2.414 2.338 2.278 2.229 2.189 2.156 2.129 2.105 2.085 2.068 2.053 1.972 1.943
k’=17 dL ------------------------0.052 0.076 0.101 0.130 0.160 0.191 0.222 0.254 0.286 0.317 0.349 0.379 0.409 0.439 0.467 0.495 0.522 0.549 0.575 0.692 0.792 0.877 0.951 1.016 1.072 1.121 1.165 1.205 1.240 1.271 1.301 1.489 1.588
dU ------------------------3.731 3.650 3.572 3.494 3.420 3.349 3.283 3.219 3.160 3.103 3.050 3.000 2.954 2.910 2.868 2.829 2.792 2.757 2.724 2.586 2.479 2.396 2.330 2.276 2.232 2.195 2.165 2.139 2.116 2.097 2.080 1.989 1.955
k’=18 dL ----------------------------0.048 0.070 0.094 0.120 0.149 0.178 0.208 0.238 0.269 0.299 0.329 0.359 0.388 0.417 0.445 0.472 0.499 0.525 0.644 0.747 0.836 0.913 0.980 1.038 1.090 1.136 1.177 1.213 1.247 1.277 1.474 1.576
dU ----------------------------3.753 3.678 3.604 3.531 3.460 3.392 3.327 3.266 3.208 3.153 3.100 3.051 3.005 2.961 2.920 2.880 2.843 2.808 2.659 2.544 2.454 2.382 2.323 2.275 2.235 2.201 2.172 2.148 2.126 2.108 2.006 1.967
k’=19 dL --------------------------------0.044 0.065 0.087 0.112 0.138 0.166 0.195 0.224 0.253 0.283 0.312 0.340 0.369 0.397 0.424 0.451 0.477 0.598 0.703 0.795 0.874 0.944 1.005 1.058 1.106 1.149 1.187 1.222 1.253 1.458 1.565
dU --------------------------------3.773 3.702 3.632 3.563 3.495 3.431 3.368 3.309 3.252 3.198 3.147 3.099 3.053 3.009 2.968 2.929 2.829 2.733 2.610 2.512 2.434 2.371 2.318 2.275 2.238 2.206 2.179 2.156 2.135 2.023 1.979
k’=20 dL ------------------------------------0.041 0.060 0.081 0.104 0.129 0.156 0.183 0.211 0.239 0.267 0.295 0.323 0.351 0.378 0.404 0.430 0.553 0.660 0.754 0.836 0.908 0.971 1.027 1.076 1.121 1.160 1.197 1.229 1.443 1.554
dU ------------------------------------3.790 3.724 3.658 3.592 3.528 3.465 3.406 3.348 3.293 3.240 3.190 3.142 3.097 3.054 3.013 2.974 2.807 2.675 2.571 2.487 2.419 2.362 2.315 2.275 2.241 2.211 2.186 2.164 2.040 1.991
