Handleiding Maple T.A. 9 Items Maken Deel C
Copyright © Metha Kamminga dec. 2013
Handleiding Maple T.A. 9 Items Maken Deel C
Contents 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C ....................................................................................................................... 1 1.1 Dynamische figuren ........................................................................................................................................... 1 1.1.1 Grafieken met Maple ................................................................................................................................... 1 1.1.1.1 Algemene grafieken .............................................................................................................................. 1 1.1.1.2 Grafieken met Gridlinestext .................................................................................................................... 6 1.1.1.3 Animaties ............................................................................................................................................ 9 1.1.1.4 Vectoren met plottools-pakket ............................................................................................................... 10 1.1.2 Labeled Images ......................................................................................................................................... 13 1.1.3 Plotting Applettext ..................................................................................................................................... 16 1.1.4 Geogebra Applets ...................................................................................................................................... 18 1.2 Kansrekenen en statistiek .................................................................................................................................. 21 1.2.1 Normale verdeling ..................................................................................................................................... 21 1.2.2 Binomiale verdeling ................................................................................................................................... 23 1.2.3 Poisson verdeling ...................................................................................................................................... 24 1.2.4 Students_t-verdeling ................................................................................................................................... 25 1.2.5 chi²-verdeling ............................................................................................................................................ 26 1.2.6 Data ........................................................................................................................................................ 26 1.2.7 Visualisaties ............................................................................................................................................. 28 Index ..................................................................................................................................................................... 31
iii
iv • Contents
List of Figures Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure Figure
1.1: Grafiek van een derdegraads functie met drie nulpunten .................................................................................... 2 1.2: Grafiek van cirkel en ellips .......................................................................................................................... 3 1.3: Een vraag over de normaalverdeling .............................................................................................................. 4 1.4: Visualisatie van de berekening over de normaalverdeling ................................................................................... 5 1.5: Figuur met gridlines 1 ................................................................................................................................. 6 1.6: Figuur met gridlines 2 ................................................................................................................................. 7 1.7: Animaties met een animatiegif in Maple gemaakt ........................................................................................... 10 1.8: Resultante van vijf vectoren met moment ...................................................................................................... 12 1.9: Situatieschets zonder gegevens .................................................................................................................... 13 1.10: Situatieschets met gegevens ....................................................................................................................... 14 1.11: Algorithm van de belaste balk-reactiekracht ................................................................................................. 14 1.12: Opmaak van de tekst in een leeg plaatje ...................................................................................................... 16 1.13: Plotting applet met een functie van x .......................................................................................................... 17 1.14: Geogebra-applet in de vraag ...................................................................................................................... 19 1.15: Normale verdeling ................................................................................................................................... 23 1.16: De Students_t-verdeling ............................................................................................................................ 26
v
vi • List of Figures
1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C dec. 2013
1.1 Dynamische figuren Er zijn vele mogelijkheden om met het wisselen van de algorithmische variabelen steeds bijpassende plaatjes aan te bieden ten behoeve van het illustreren van de vraag of ter verduidlijking bij de feed back. Maple kan daarbij van dienst zijn, maar er zijn ook nog andere mogelijkheden. Het is wel handig als u iets af weet van de mogelijkheden van randomiseren. Immers de kracht van dynamische plaatjes is dat de figuren zich steeds aanpassen aan de veranderende waarden van de variabelen. Niet alleen getallen maar ook tekst kan variëren. Er is een aparte handleiding om alles te weten te komen over het randomiseren van vragen binnen Maple T.A.
1.1.1 Grafieken met Maple Hebt u weinig verstand van zaken om met Maple grafieken te maken, kijk dan eens in het volgende boek waar hoofdstuk 3 geheel gewijd is aan het maken van grafieken. Handleiding Maple 16, Metha Kamminga ISBN: 9789039526750 Uitgeverij Academic Service 1.1.1.1 Algemene grafieken Grafieken ter illustratie van een wiskundig geörienteerd vraagstuk kunnen vaak gemakkelijk met behulp van de grafische mogelijkheden van Maple gemaakt worden. In het Algorithm kan een dergelijke grafiek voorbereid worden. Dit kan bij elk vraagtype verwezenlijkt worden en overal in de vraag of in de feedback of in de hints kan de variabele aangeroepen worden en verschijnt de grafiek.
1
2 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C
Figure 1.1: Grafiek van een derdegraads functie met drie nulpunten
Deze grafiek verandert mee met de randomvariabelen. In het Algorithm wordt deze grafiek als volgt voorbereid. $a=switch(rint(2),range(-3,-1),range(1,3)); $b=switch(rint(2),range(-3,-1),range(1,3)); $c=switch(rint(2),range(-3,-1),range(1,3)); $d=switch(rint(2),range(-10,-1),range(1,10)); condition:not(eq($a,$b)); condition:not(eq($a,$c)); condition:not(eq($b,$c)); $f=maple("-($d)/(($a)*($b)*($c))*(x-($a))*(x-($b))*(x-($c))");
1.1 Dynamische figuren • 3 $kleur=switch(rint(3),"green","red","black"); $figuur=plotmaple("plot($f,x=-5..5,y=-20..20,color=$kleur,thickness=2),plotoptions='height=300, width=300'"); U maakt de grafiek door binnen de opdracht plotmaple(".........") de maple-commando's te geven die nodig zijn voor het maken van de grafiek. Dat mogen ook meer opdrachten achter elkaar zijn. In dit voorbeeld is het een eenvoudige grafiek van de functie $f. Let op dat de kleur hier zelfs ook gerandomiseerd is. Als u alleen de commando's geeft voor het maken van de grafiek, dan wordt er een grafiek gegenereerd met een grootte van standaard ongeveer 500 pixels in het vierkant. Dat is echter vaak te groot. binnen de opdracht plotmaple(" ") kan nog een extra optie worden gegeven voor het formaat van de grafiek met plotoptions='height=300, width=300' Deze optie komt buiten het Maple-commando maar nog binnen de opdracht plotmaple te staan. In de tekst van de vraag hoeft dan alleen nog de variabele $figuur aangeroepen te worden en meestal biedt u die gecentreerd in de tekst aan. De grootte ervan is dus al op voorhand vastgelegd zie Figure 1.1 (page 2) In een volgend voorbeeld ziet u de mogelijkheden om meer grafieken te genereren binnen één figuur:
Figure 1.2: Grafiek van cirkel en ellips
4 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C In het Algorithm is ook weer de figuur voorbereid. Deze figuur bestaat uit twee grafieken van impliciete functies met een aanpassing van de grootte van de grafiek. $a=range(1,4); $b=range(1,4); $c=range(2,4); $f=maple("x^2+y^2=1"); $fdisplay=maple("printf(MathML:-ExportPresentation( $f))"); $g=maple("(x-($a))^2+((y-($b))/$c)^2=1"); $gdisplay=maple("printf(MathML:-ExportPresentation( $g))"); $figuur=plotmaple("plots[implicitplot]([$f,$g],x=-1..1+$a,y=-3..$c+ $b,scaling=constrained,numpoints=900,color=[black,blue],thickness=[2,1],linestyle=[1,2]),plotoptions='height=400, width=400'"); Hier is met het Maple-commando implicitplot uit het plots-pakket gewerkt. In een lijstje worden $f en $g opgegeven en om goede grafieken te genereren wordt het domein en het bereik gegeven afhankelijk van de waarden van de variabelen $a en $b en $c. Om een echte cirkel ook een echte cirkel te laten zijn is scaling=constrained meegegeven. De assen zijn dan 1:1. Voor de zekerheid is het aantal punten waarmee de grafieken zijn gemaakt iets opgehoogd met numpoints=900 (standaard 200) en het lijstje met kleuren loopt in de pas met het lijstje van de functies. Let op dat de dikte en de stijl van de lijnen verschillend zijn. Ook hier zijn buiten het plotcommando maar nog binnen de opdracht plotmaple(" ") de opties voor de grootte van de grafiek meegegeven (400 × 400 pixels). TIP: De student kan bij dit vraagtype Maple-graded nog op Plot klikken om de grafiek te zien van zijn ingevoerde formule. De opdracht die bij Plotting dan nog gegeven moet worden is zuiver een Maple-commando en dat is hier: plots[implicitplot]($RESPONSE,x=-1..$a+$c+1,y=-3..$b+1,scaling=constrained,numpoints=900,thickness=2); Niet alleen in de tekst van de vraag maar ook bijvoorbeeld in de feedback kan een grafiek ondersteuning geven voor de visualisatie van het vraagstuk. In het volgende voorbeeld wordt er een vraag gesteld over de normaalverdeling.
Figure 1.3: Een vraag over de normaalverdeling
In deze vraag hebben de gemiddelde waarde, de standaarddeviatie en de kans steeds andere waarden. In de feedback verschijnt de grafiek om te visualiseren hoe het antwoord tot stand komt.
1.1 Dynamische figuren • 5
Figure 1.4: Visualisatie van de berekening over de normaalverdeling
Hoe dit plaatje gemaakt is in het Algorithm, zien we hieronder. $index=rint(2); $meerminder=switch($index,"meer","minder"); $gk=switch($index,">","<"); $mu=range(30,90); $sigma=range(3,8); $z=decimal(1,rand(0.5,2.3)); $lg=$mu-$z*$sigma; $rg=$mu+$z*$sigma; $grens=switch(rint(2),$lg,$rg); $pgmeer=maple("1-stats[statevalf,cdf,normald[$mu,$sigma]]($grens)"); $Pgmeer=decimal(4,$pgmeer); $pgminder=maple("stats[statevalf,cdf,normald[$mu,$sigma]]($grens)"); $Pgminder=decimal(4,$pgminder); $kans=switch($index,$Pgmeer,$Pgminder); $plot=plotmaple("p0:=plot(1/($sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-1/2*((x-($mu))/$sigma)^2),x=$mu-3*$sigma..($mu)+3*$sigma,thickness=2): p1:=plot(1/($sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-1/2*((x-($mu))/$sigma)^2),x=$mu-3*$sigma..$grens,filled=true,color=gray): p2:=plot(1/($sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-1/2*((x-($mu))/$sigma)^2),x=$grens..($mu)+3*$sigma,filled=true,color=yellow):
6 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C p3:=plot([$mu,t,t=0..1/($sigma*sqrt(2*Pi))],linestyle=2): p4:=plot([t,1/($sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-1/2),t=$mu-$sigma..($mu)+$sigma],color=black,linestyle=2): plots[display]({p0,p1,p2,p3,p4}),plotoptions='height=250, width=250' "); $kleur=switch($index,"geel","grijs"); $kansdisplay=maple("printf(MathML[ExportPresentation](P(x $gk grens)=$kans))"); Bij het maken van de grafiek $plot worden er meer grafieken voorbereid (p1 t/m p4) en vervolgens met behulp van het commando display uit het plots-pakket "over elkaar heen gelegd". Merk op dat binnen de opdracht plotmaple("....") verschillende Maplecommando's achter elkaar gedaan worden steeds afgesloten met dubbele punt en toekenningen worden gedaan met behulp van := waarbij geen $-teken gebruikt wordt om variabelen aan te maken. Immers alleen binnen het Maple commando worden deze aangemaakte variabelen gebruikt en daarbuiten niet. Verder moet u enig verstand hebben van statistische commando 's binnen Maple waarvoor een apart hoofdstuk bestaat in deze handleiding. (paragraaf ***) Ga hier eens na wat er allemaal gerandomiseerd is. Zelfs de vraag is gerandomiseerd in die zin dat soms de kans gevraagd wordt van P(x>grens) en de andere keer P(x
Figure 1.5: Figuur met gridlines 1
$b=range(0,4);
1.1 Dynamische figuren • 7 $p=plotmaple("plots[display]({ plots[display](plottools[polygon]([[0,$b1], [3,4], [4,3],[2,0]],color=gray)), plot({1,2,3,4},color=gray), plot({[1,t,t=0..4],[2,t,t=0..4],[3,t,t=0..4],[4,t,t=0..4]},color=gray)} ,view=[0..4,0..4]), plotoptions='height=250, width=250'"); Een andere manier is met behulp van het commando coordplot uit het plotpakket:
Figure 1.6: Figuur met gridlines 2
8 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C $a=range(-3,3); $b=range(-3,3); $p=maple("($a)*x+($b)"); $figuur=plotmaple("with(plots): p1:=coordplot(cartesian,color=gray,linestyle=[1,1],view=[-5..5,-5..5]): p2:=plot($p,x=-5..5,y=-5..5,thickness=2): display({p1,p2},axes=normal),plotoptions='height=400, width=400'"); Het aantal gridlines hoeft niet opgegeven te worden, dat redt zichzelf vaak wel en anders probeert u even uit met grid=[41,41] of iets dergelijks. De kleuren en lijnsoort van de gridlines kunt u ook zelf instellen. > ?coordplot > restart; > with(plots): > p1:=coordplot(cartesian,color=gray,linestyle=[1,1],view=[-5..5,-5..5],grid=[41,41]): > p2:=plot(3*x+8,x=-5..5,y=-5..5,thickness=2,color=blue): > display({p1,p2},axes=normal);
1.1 Dynamische figuren • 9 > plot(x^2, x = -10 .. 10, axis[1] = [gridlines = 10], axis[2] = [gridlines = 10]);
1.1.1.3 Animaties In hoofdstuk 3 van de Handleiding Maple 16 (zie (page 1)) is ook een paragraaf gewijd aan animaties: bewegende grafieken.
10 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C Een voorbeeld hiervan is het volgende:
Figure 1.7: Animaties met een animatiegif in Maple gemaakt
Deze vraag bevat een geanimeerd plaatje dat als volgt geprogrammeerd is: $R=range(1,5); $A=decimal(1,rand(0.1,1.4)); $a=numfmt("#0.0",$A); $boog=maple("$R*$a"); $opp=maple("1/2*$a*$R^2"); $p=plotmaple(" p1:=plots[polarplot]([1,phi,phi=0..2*Pi],scaling=constrained, color=black, linestyle=3,tickmarks=[0,0]): p2:=plots[polarplot]([1,phi,phi=0..$a],scaling=constrained,thickness=5,color=red),plot([t,tan($a)*t,t=0..cos($a)],color=green): p3:=plots[polarplot]([0.2,phi,phi=0..$a],thickness=2,color=blue),plot([t,0,t=0..1],color=green,thickness=3): p4:=plots[animate](plot,[[t,tan(A)*t,t=0..cos(A)],color=green,scaling=constrained], A=0..$a ,paraminfo=false): plots[display]({p1,p2,p3,p4}), plotoptions='height=250, width=250' "); Zie voor meer informatie over animaties die met Maple te maken zijn in hoofdstuk 3 van de Handleiding Maple16 (page 1). TIP: Let hier ook eens op dat binnen de plotmaple-opdracht de voorbereide plots een naam krijgen met toekenning (:=) en zonder dollarteken. Binnen deze plotmaple-opdracht kunnen deze variabelen aangeroepen worden en met het Maple-commando display uit het plots-pakket tesamen in één figuur gevoegd worden. Buiten deze opdracht zijn de variabelen niet bekend. TIP: kijk ook eens hoe het getal 0.9 in de tekst verschijnt met de opdracht numfmt (numeriek format voorschrift), zodat het getal als 0.9 en niet als .9 in de tekst verschijnt, wat altijd veel verwarring veroorzaakt. 1.1.1.4 Vectoren met plottools-pakket Grafieken met vectoren zijn gemakkelijk te maken met Maple. Berekeningen en figuren kunnen in het Algorithm volledig voorbereid worden.
1.1 Dynamische figuren • 11 Zie handleiding Maple hoofdstuk 3 waarin alles over grafieken. Even vooraf voor het tekenen van pijlen een klein stukje Maple: > with(plottools):pijlF1 := arrow([1,0],[3,4],0.1, 0.6, 0.1, color=green): > pijlF2 := arrow(<0,2>,<3,4>,0.2, 1, 0.4, color=blue): > plots[display]({pijlF1,pijlF2},scaling=constrained);
Een pijl kunt u maken door beginpunt [1,0] of beginvector <0,2> mee te geven, en een eindpunt in de vorm van een punt of een richting in de vorm van een Vector. Dan een rijtje met getallen, achtereenvolgens: de dikte van de pijlpoot, de dikte van de punt en de verhouding van lengte van de punt tot de lengte van de gehele pijl. In het volgende voorbeeld wordt gevraagd naar de resultante van deze vijf krachten en het moment.
12 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C
Figure 1.8: Resultante van vijf vectoren met moment
In het Algorithm is te zien hoe een en ander geprogrammeerd is. $factor=range(5,15,5); $F1x=switch(rint(2),range(-25,-5,5),range(5,25,5)); $F1lengte=$factor*$F1x; $F2y=switch(rint(2),range(-25,-5,5),range(5,25,5)); $F2lengte=$factor*$F2y; $F3x=switch(rint(2),range(-25,-5,5),range(5,25,5)); $F3lengte=$factor*$F3x; $F4y=switch(rint(2),range(-25,-5,5),range(5,25,5)); $F4lengte=$factor*$F4y; $F5g=range(10,30,5); $F5lengte=$factor*$F5g; $F1=maple("<$F1x,0,0>"); $F2=maple("<0,$F2y,0>"); $F3=maple("<$F3x,0,0>"); $F4=maple("<0,$F4y,0>");
1.1 Dynamische figuren • 13 $F5=maple("<$F5g*cos(Pi/4),$F5g*sin(Pi/4),0>"); $R=range(5,10,5); $R1=maple("<0,$R,0>"); $R2=maple("<$R,0,0>"); $R3=maple("<0,-$R,0>"); $R4=maple("<-$R,0,0>"); $R5=maple("<0,0,0>"); $M1=maple("LinearAlgebra[CrossProduct]($R1,$F1)"); $M2=maple("LinearAlgebra[CrossProduct]($R2,$F2)"); $M3=maple("LinearAlgebra[CrossProduct]($R3,$F3)"); $M4=maple("LinearAlgebra[CrossProduct]($R4,$F4)"); $M5=maple("LinearAlgebra[CrossProduct]($R5,$F5)"); $Ftot=maple("$factor*($F1+$F2+$F3+$F4+$F5)"); $Ftotdisplay=maple("printf(MathML[ExportPresentation](evalf[4]($Ftot)))"); $Ftotx=maple("evalf[4]($Ftot[1])"); $Ftoty=maple("evalf[4]($Ftot[2])"); $Mtot=maple("$factor*($M1+$M2+$M3+$M4+$M5)[3]"); $plot=plotmaple("with(plottools): pijlF1 := arrow(<$R1[1],$R1[2]>, <$F1[1] ,$F1[2] >, 0.2, 2, 0.1, color=green): pijlF2 := arrow(<$R2[1],$R2[2]>, <$F2[1] ,$F2[2] >, 0.2, 2, 0.1, color=green): pijlF3 := arrow(<$R3[1],$R3[2]>, <$F3[1] ,$F3[2] >, 0.2, 2, 0.1, color=green): pijlF4 := arrow(<$R4[1],$R4[2]>, <$F4[1] ,$F4[2] >, 0.2, 2, 0.1, color=green): pijlF5 := arrow(<$R5[1],$R5[2]>, <$F5[1] ,$F5[2] >, 0.2, 2, 0.1, color=green): tekst1:=plots[textplot]({[$F1[1]+$R1[1],$F1[2]+$R1[2],`F1`]},align={ABOVE,RIGHT}): tekst2:=plots[textplot]({[$F2[1]+$R2[1],$F2[2]+$R2[2],`F2`]},align={ABOVE,RIGHT}): tekst3:=plots[textplot]({[$F3[1]+$R3[1],$F3[2]+$R3[2],`F3`]},align={ABOVE,RIGHT}): tekst4:=plots[textplot]({[$F4[1]+$R4[1],$F4[2]+$R4[2],`F4`]},align={ABOVE,RIGHT}): tekst5:=plots[textplot]({[$F5[1],$F5[2],`F5`]},align={ABOVE,RIGHT}): plots[display]({pijlF1,pijlF2,pijlF3,pijlF4,pijlF5,tekst1,tekst2,tekst3,tekst4,tekst5},scaling=constrained), plotoptions='height=400, width=400'"); Alle vectoren worden hierin drie dimensionaal gedefinieerd, zodat gemakkelijk met het cross product gewerkt kan worden om het moment te berekenen.
1.1.2 Labeled Images Het is mogelijk om dynamische plaatjes te maken terwijl het plaatje zelf statisch is, maar de dynamiek ligt erin dat u tekst of getallen in het plaatje kwijt kunt op een dynamische manier. Het wil zeggen dat u bijvoorbeeld een plaatje neemt van een situatieschets waarin de getallen van de gegevens steeds moeten veranderen. U moet dan eerst een plaatje hebben zonder getallen zoals hieronder afgebeeld, bijvoorbeeld een plaatje van een liggende balk met krachten en eenheden.
Figure 1.9: Situatieschets zonder gegevens
In de uiteindelijke vraag willen we graag de gegevens, in dit geval de getallen op de lege plaatsen zien.
14 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C Deze getallen moeten dan natuurlijk steeds variëren met de algoritmische variabelen zoals hier onder te zien is. Niet alleen getallen maar ook tekst in het plaatje kunt u natuurlijk ook op deze manier "over het plaatje heen leggen".
Figure 1.10: Situatieschets met gegevens
Dit lege plaatje kunt u opslaan in de Website Editor van uw Class in het formaat .gif of .png of .jpg. De getallen (of tekst) worden er vervolgens als het ware overheen gelegd door middel van het bepalen van de coördinaten waar de getallen moeten staan. De getallen in het plaatje zijn de variabelen die u vooraf definieert in het Algorithm waar ook het correcte antwoord alvast wordt voorbereid.
Figure 1.11: Algorithm van de belaste balk-reactiekracht
Vervolgens gaat u naar de tekst van de vraag. Om de code in te voegen, gaat u naar de broncode van de tekst van de vraag met behulp van de knop Source. Het volgende script kan ingevoegd worden dus direct in de broncode van de tekst van de vraag.
1.1 Dynamische figuren • 15
$y
$x
$kracht
Begin eventueel met het centreren met
voor het centreren van het gehele plaatje. Vervolgens is de code voor het maken van het labelled Image:
Neem voor de width en height precies hetzelfde aantal pixels als het oorspronkelijke plaatje, maar deze moeten beslist wel ingevuld worden met het oog op de "coördinaten" waar de tekst en de getallen geplaatst moeten worden. Met de volgende parameter
wordt het plaatje (de lege situatieschets) aangeroepen. De url van het plaatje moet hier ingevuld worden. TIP: Als u niet direct de juiste url weet, dan kunt u vooraf in de tekst van de vraag het plaatje ook met de betreffende knop eerst invoeren en dan de url.kopiëren en vervolgens het ingevoegde plaatje weer weggooien. Gemakkelijk is nu een plek definiëren voor een item met de regel:
$x
Voor "centered" kunt u ook bijvoorbeeld "left" nemen. Eventueel kunt u kiezen voor een vette tekst in de figuur door bijvoorbeeld eenvoudig
$x te tikken. Met kleur werken kan ook voor gekleurde tekst color en een achtergrondkleur (highlighten) is ook mogelijk.
<strong><span style="color: rgb(255, 0, 0);">$x
TIP: Als u weer uit de broncode gaat, kunt u kijken hoe het er uitziet en dan ziet u Figure 1.12 (page 16)
16 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C U kunt dan vervolgens het tekstvakje aanklikken en met de knoppen van de Editor werken voor kleur en bold of italic en highlight, maar u kunt ook het tekstvakje verslepen naar een iets andere plaats:
Figure 1.12: Opmaak van de tekst in een leeg plaatje
TIP: Hoe u in eerste instantie aan de coördinaten van de plek in het plaatje komt, is snel te achterhalen door het plaatje eerst even bijvoorbeeld in het programma Paint te openen. Met de muis in het plaatje ergens gaan staan geeft onder in de context-bar van het programma bijvoorbeeld Paint de coördinaten te zien in pixels. Het plaatje inclusief de variabelen ingevuld, ziet er dan als volgt uit in de vraag, zoals de student die te zien krijgt (Figure 1.10 (page 14)). Voor de rest kan alles van de vraag weer ingevuld worden op de gekende manier.
1.1.3 Plotting Applettext Maple T.A. heeft de mogelijkheid om een grafiek te maken van gewone expliciete functies van x met gridlines. Met de mouse-over is het mogelijk om in deze grafiek zelfs de coördinaten af te lezen. U kunt ook met de muis slepen en
ingedrukt houden om in te zoomen en met de muis slepen en <Shift> ingedrukt houden om het venster te verplaatsen. Het is echter alleen mogelijk met grafieken van functies van x. Hieronder is de grafiek gemaakt van een functie van x die reeds gedefinieerd is met variabelen $a en $b.
1.1 Dynamische figuren • 17
Figure 1.13: Plotting applet met een functie van x
Als u bovenstaande code in de broncode invult en weer uit de broncode gaat, heeft het systeem uw code intussen vertaald naar de volgende code met een aantal regels ertussen, maar dat gaat verder automatisch en u hoeft daar niets aan te doen. TIP: Het aantal gridlines is horizontaal en verticaal hetzelfde. Maar als bijvoorbeeld de twee regels <param name="yMin" value="-6" /> en <param name="yMax" value="6" /> veranderd worden in <param name="yMin" value="2" /> en <param name="yMax" value="62" /> dan wordt de y-as wat inelkaar gedrukt en worden de horizontale gridlines (12 stuks) verdeeld over 60 eenheden. De tickmarks komen dan bij 5, 10, 15 enz. te staan. In het beginscherm zal dan het venster zichtbaar zijn tussen de waarden die genoemd zijn bij de parameters xMin, xMax en yMin en yMax. Maar er kan wel gezoomd worden en door te slepen kan het venster ook verplaatst worden, zodat meer waarden zichtbaar worden. TIP: U kunt gerust nog meer grafieken in het applet maken door er regels aan toe te voegen zoals: <param name="y2" value="($b)*x+($a)" /> De lijnen worden automatisch verschillend gekleurd. TIP: De Editor ondersteunt dit applet in de nieuweste versie van Maple T.A. ook, echter u kunt er niet veel aan veranderen alleen in de broncode. U ziet de grafiek in de Editor niet verschijnen in het plaatje want de functie waar de grafiek voor staat is een variabele. Het script moet u verder in de broncode van de Editor invoeren en eventueel aanpassen (te bereiken met de Source-knop). Na Finish komt het er uit te zien als in Figure 1.13 (page 17).
1.1.4 Geogebra Applets Ervaren Geogebra-gebruikers kunnen gemakkelijk applets maken die in een vraag van Maple T.A. te gebruiken zijn en didactische waarde kunnen geven in hints of feed back door hun interactieve mogelijkheden.
1.1 Dynamische figuren • 19
Figure 1.14: Geogebra-applet in de vraag
Het programma Geogebra is gratis en eenvoudig te downloaden van http://www.geogebra.org waar de Nederlandse taal goed wordt ondersteund en uitgebreide handleidingen te vinden zijn. (We hebben nog niet kunnen ontdekken hoe de variabelen van het applet te koppelen zijn met de variabelen die gedefinieerd zijn in de vraag van Maple T.A..) Maak een Geogebra-bestandje (met extensie .ggb "MijnGeogebraBestand.ggb") en zet dat ergens neer op het web (niet noodzakelijkerwijs in de website Editor van uw Maple T.A.-Class, u kunt het wel proberen en als het niet lukt dus ergens anders op het web). Open de broncode van de vraag en zorg dat onderstaande code erin wordt opgenomen. Op deze manier hebt u een embedded Applet in de vraag, in de Hints of in de Feedback tot uw beschikking. Het beste is als er geen extra knoppen ter beschikking worden gesteld in het Applet dan strict noodzakelijk. Bijvoorbeeld het reseticon is altijd wel handig om de Applet weer in de oorspronkelijke staat te brengen (showreseticon="true"). Als u dit ingevoerd hebt, maakt het systeem de volgende code ervan: Deze extra code wordt automatisch gegenereerd en u hoeft deze niet in te tikken. TIP: Als er meer knoppen en mogelijkheden voor het Applet nodig zijn, dan kunnen die aangezet worden door ze op "true" te zetten. Bijvoorbeeld met enablerightclick="true" komt er een menuutje tevoorschijn als er op de rechter muisknop in het Applet wordt geklikt. Dit is niet altijd wenselijk! De volgorde van de opties die bij "applet" gegeven worden is niet belangrijk. De geogebra.jar wordt steeds rechtstreeks van de site van geogebra betrokken (archive). TIP: Zorg er met een tabel in de tekst van de vraag bijvoorbeeld voor dat het Applet naast de tekst verschijnt. TIP: In deze vraag is er geprogrammeerd dat het (numerieke) antwoord uit meer onderdelen bestaat en dat het ook mogelijk is om de vraag gedeeltelijk goed te rekenen.
1.2 Kansrekenen en statistiek Kies voor vraagstukken met kansen altijd voor de Numeric Question Type of Question Designer waarbij numerieke instellingen mogelijk zijn. Bijvoorbeeld met margin of error = 0.0001 of anders. Studenten rekenen de kans uit met rekenmachine of tabellenboek. In de rubriek Algorithm bereiden we het antwoord voor, eventueel met behulp van de functionaliteit van Maple. Bij de berekening met Maple komen altijd veel decimalen in het antwoord. Als u wilt dat een beperkt aantal decimalen wordt toegestaan, kan dat in tweede instantie geregeld worden met decimal(4,...). Als u Maple het werk laat doen, dan maakt u tegenwoordig gebruik van het pakket Statistics met daarin een aantal commando's die u kunt gebruiken. Het is een nieuw pakket waarin allerlei zaken die te maken hebben met dit onderwerp goed georganiseerd zijn. Hieronder staan een paar commando's genoemd die in aanmerking komen voor gebruik bij de kansberekeningen met Maple T.A. Statistics[CDF] = cumulative density function Statistics[Quantile] = inverse van de cumulatieve denstity function Statistics[ProbabilityFunction] = kansfunctie Deze commando's kunnen gebruikt worde bij allerlei verdelingen zoals Normale verdeling, Poissonverdeling of andere verdelingen zoals in de volgende paragrafen wordt besproken. Voor het manipuleren van data in het kader van beschrijvende statistiek zijn het de commando's: Statistics[Mean] Statistics[Mode] Statistics[Range] Statistics[Median] Statistics[Variance] Statistics[StandardDeviation]
1.2.1 Normale verdeling = Normale verdeling (variabele x) = Standaardnormale verdeling (variabele z) De kans P(x<=1) dat bij een normaal verdeelde kansvariabele met
en
de x-waarde kleiner is of gelijk aan 1.
22 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C We gebruiken hier de functie CDF de cumulative density function. In figuur Figure 1.15 (page 23) is te zien hoe deze commando's in de rubriek Algorithm gebruikt kunnen worden. > Statistics[CDF](Normal(3,2),1,numeric); (1.1)
TIP: Als u de optie numeric weglaat, dan geeft Maple het exacte antwoord geformuleerd met de functie erf. Echter u kunt in plaats van het getal 1 ook 1.0 invoeren en dan is de optie numeric niet meer nodig. De kans is 68% dat de variabele tussen - en + zit. > Statistics[CDF](Normal(0,1),1,numeric)-Statistics[CDF](Normal(0,1),-1,numeric); (1.2)
De kans is 95.5% dat de variabele tussen -
en +
zit.
> Statistics[CDF](Normal(0,1),2.0)-Statistics[CDF](Normal(0,1),-2.0); (1.3)
De grenswaarde g waarvoor geldt dat P(z<=g) = 0.6 bij standaard normale verdeling. We gebruiken hierbij de functie Statistics[Quantile] (de inverse cumulative density function) en kijken in het programma Maple wat het effect is. Als duidelijk is wat we willen, kan deze functionaliteit gebruikt worden in de rubriek Algorithm om variabelen aan te maken. > g:=Statistics[Quantile](Normal(0,1),0.6); (1.4)
> g1:=Statistics[Quantile](Normal(3,2),0.6); (1.5)
Inderdaad is de grenswaarde g1 t.o.v. de vorige grenswaarde gverschoven met 3 eenheden. Bovendien is de sigma tweemaal zo groot geworden, zodat het antwoord van de grenswaarde g1 in de lijn der verwachtig ligt. TIP: Behalve dat u Maple het werk kunt laten doen voor deze acties, kunt u ook voor veel dingen direct het systeem gebruiken met de functie erf((x-mu)/sigma) en de inverse daarvan inverf. Echter deze laatste laat zich alleen gebruiken voor de standaard normale verdeling. Met inverf(0.6) krijgt u dus de z-waarde 0.253.
1.2 Kansrekenen en statistiek • 23 Bovenstaande berekeningen kunnen dan als volgt gedaan worden in het Algorithm:
Figure 1.15: Normale verdeling
1.2.2 Binomiale verdeling Binomiale verdeling Binomial( De kans op precies
). Met n het aantal pogingen en
successen P(
de kans op succes.
) bij een binomiale verdeling met
en
.
Gebruik dan de kansfunctie: ProbabilityFunction . > Statistics[ProbabilityFunction](Binomial(15,0.7),4); (1.6)
> Statistics[ProbabilityFunction](Binomial(15,0.7),1); (1.7)
De kans P(k<=4) op 4 successen of minder van de 15 pogingen bij een binomiale verdeling met
en
.
24 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C Gebruik dan de functie CDF cumulative density function. > Statistics[CDF](Binomial(15,0.7),4); (1.8)
Deze zelfde functie CDF kan ook gebruikt worden voor: P(k=4): > Statistics[CDF](Binomial(15,0.7),4)-Statistics[CDF](Binomial(15,0.7),3); (1.9)
Kans op 11 pech (kans op pech = 0.3) of meer van de 15 pogingen is gelijk aan 1 - de kans op 10 pech of minder. > 1-Statistics[CDF](Binomial(15,0.3),10); (1.10)
Kans op 4 succes of meer = P(k>=4) = 1 - P(k<=3). > 1-Statistics[CDF](Binomial(15,0.7),3); (1.11)
U kunt ook doen de kans op pech = 0.3 en dan is de kans op pech dus P(pech<=11) als u wilt berekenen de kans op 4 succes of meer. > Statistics[CDF](Binomial(15,0.3),11); (1.12)
Als de kans 0.5 is, wat was dan de waarde van k? bij een binomiale verdeling met
en
.
Quantile is de inverse cumulative probability function. (Let op in dit geval discrete waarden met discontinuïteit.) > Statistics[Quantile](Binomial(15,0.7),0.5); Dus P(k<=11) is 0.5 bij een binomiaalverdeling met 15 pogingen en 0.7 kans op succes. TIP: Het Maple T.A.-systeem bevat ook de binomiaalfunctie binomial(n,k) maar hiermee kan slechts het binomium berekend worden bijvoorbeeld
om bijvoorbeeld te berekenen op hoeveel manieren k objecten gekozen kunnen worden uit een verzameling
van n objecten.
1.2.3 Poisson verdeling De Poissonverdeling heeft maar één parameter: Poisson( ) . De kans P(k=2) bij een poissonverdeling met
berekenen we als volgt:
> Statistics[ProbabilityFunction](Poisson(3),2); (1.13)
Dit is precies de exacte waarde zoals de kansformule van Poisson voorschrijft. Als u de numerieke waarde wilt, geeft u de optie numeric mee of u schrijft voor het getal 2 een decimaal getal 2.0.
1.2 Kansrekenen en statistiek • 25 > Statistics[ProbabilityFunction](Poisson(3),2.0); (1.14)
De kans (P(k<=2) bij een Poissonverdeling met
berekent u met de cumulatieve kansdichtheidsfunctie:
> Statistics[CDF](Poisson(3),2.0); (1.15)
De inverse van de cumulatieve kansdichtheid is weer Quantile: > Statistics[Quantile](Poisson(3),0.42); (1.16)
Als de kans gelijk is aan 0.42 dan is dat de kans P(k<=2) bij discontinu).
van Poisson (Let wel op dat dit een discrete kansverdeling is dus
1.2.4 Students_t-verdeling Students_t wordt gebruikt bij steekproeven als
en
van een verdeling onbekend zijn om betrouwbaarheidsintervallen aan te geven.
Als x (gemiddelde waarde van de steekproef) een schatter is van , en s (standaarddeviatie van een steekproef) is een schatter van van de polulatie, dan is het betrouwbaarheidsinterval: Zie voor deze schatters in paragraaf Data (page 26) <
De students_t[ ] heeft dus één parameter en dat is
het aantal vrijheidsgraden is gelijk aan
als n de steekproefgrootte is.
Als de steekproef groter is dan 30, kan de normale verdeling gebruikt worden. De kans dat bij een steekproef van 5 stuks (aantal vrijheidsgraden = 4), de t-waarde kleiner is of gelijk aan 2, is gelijk aan P(t<=2). > kans:=Statistics[CDF](StudentT(4),2.0); (1.17)
Het 95% betrouwbaarheidsinterval wordt bepaald door de volgende t-waarde met een steekproefgrootte van > t:=Statistics[Quantile](StudentT(4),0.975); (1.18)
Voor een steekproef van 5 stuks is het aantal vrijheidsgraden en geldt dat het betrouwbaarheidsinterval tussen +2.776 en - 2.776 maal de "sigma" verwijderd ligt van het gemeten gemiddelde van de steekproef, bij een rechteroverschrijdingskans van 0.975 wat correspondeert met een 95% betrouwbaarheidsinterval. TIP: Het Maple T.A.-systeem bevat ook de students_t-kansdichtheidsfunctie students(v,x) en de inverse ervan invstudentst(v,P).
26 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C
Figure 1.16: De Students_t-verdeling
1.2.5 chi²-verdeling De chi²-verdeling Bij een berekende waarde van chi² van 10.5 bij een situatie van 4 vrijheidsgraden is de kans verschillen onstaan door toevalligheden.
= (100 - 96.7)% = 3.3% dat de
> Kans:=Statistics[CDF](ChiSquare(4),10.5); (1.19)
Kritieke grens voor chi² bij een overschrijdingskans van 0.05. > kritieke_grens=Statistics[Quantile](ChiSquare(4),0.95); (1.20)
Als chi²(4) dus groter is dan 9.4877, dan is de kans dat de afwijkingen op toeval berusten 5%. > kritieke_grens=Statistics[Quantile](ChiSquare(4),0.99); (1.21)
Als chi²[4] groter is dan 13.2767, dan is de kans dat de afwijkingen op toeval berusten nog maar 1%.
1.2.6 Data Hieronder volgen enkele tools om in voorkomende gevallen met data om te gaan. > restart; data:=[6.7,8.5,11.8,9.4,7.6,9.2,10,8.8,10,12,11,6,8]; (1.22)
1.2 Kansrekenen en statistiek • 27 De operanden van de lijst: > op(data); (1.23)
De minimumwaarde: > min(data); (1.24)
De maximumwaarde: > max(data); (1.25)
Gemiddelde waarde: > Statistics[Mean](data); (1.26)
De modus (welke meting het vaakst voorkomt) > Statistics[Mode](data); (1.27)
De Range (verschil tussen hoogste en laagste waarde) > Statistics[Range](data); (1.28)
De mediaan (middelste waarneming nadat alles op volgorde gezet is) > Statistics[Median](data); (1.29)
Eerste, tweede en derde kwartiel: > Statistics[Quartile](data,1); (1.30)
> Statistics[Quartile](data,2); (1.31)
> Statistics[Quartile](data,3); (1.32)
> Statistics[Decile](data,1); (1.33)
> Statistics[Decile](data,5); (1.34)
28 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C > Statistics[Decile](data,6); (1.35)
Variantie van de steekproef: (1.36)
> Statistics[Variance](data); (1.37)
Standaarddeviatie van de steekproef. > Statistics[StandardDeviation](data); (1.38)
> sort(data); (1.39)
> Statistics[Count](data); (1.40)
> data; (1.41)
> lijst:=[[3,4,5],[6,7,8]]; (1.42)
> lijst[1]; (1.43)
1.2.7 Visualisaties Een voorbeeld van een grafiek gebaseerd op data: Maak eerst een lijst of een matrix met data. Vervolgens kunt u in het Algorithm de grafiek voorbereiden als variabele. $data=maple("[6.7, 8.5, 11.8, 9.4, 7.6, 9.2, 10, 8.8, 10, 12, 11, 6, 8]"); $boxplot=plotmaple("Statistics[BoxPlot]($data),plotoptions='height=300, width=300'"); Echter u kunt met extra opties bij het plotcommando de figuur nog verder aanpassen. Het is ook mogelijk van grotere datasystemen een gecombineerd boxplot te maken. > data:=[6.7,8.5,11.8,9.4,7.6,9.2,10,8.8,10,12,11,6,8];
1.2 Kansrekenen en statistiek • 29
Statistics[BoxPlot] (data,orientation=horizontal,deciles=true,color=gray,axes=boxed,outliers=true);
> M:=Matrix([[ 1 , 4 ], [ [ [ [ [ [
4 5 7 4 3 6
, , , , , ,
6 ], 9 ], 10 ], 3 ], 0 ], 7 ]]);
(1.45)
30 • 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C > Statistics[BoxPlot] (M,orientation=horizontal,deciles=true,color=[blue,gray],axes=boxed,outliers=true);
Index
31
32 • Index
