Graphmatica
Afstandsmodule
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
2
Inleiding Graphmatica is een wiskundig programma om interactief algebraïsche vergelijkingen, of wiskundige grafieken te tekenen. • het tekent de grafiek van functies waarvan het voorschrift gegeven is. • het kan numeriek de nulpunten en extrema van een functie berekenen, net zoals de snijpunten van 2 grafieken • je kan zeer gemakkelijk de grafieken en functiewaardetabel exporteren naar andere programma’s zoals WORD • het is zelfs mogelijk om met parameters binnen de vergelijking te werken en deze te laten variëren. In deze cursus maak je eerst kennis met enkele algemene mogelijkheden en opties die handig zijn bij het werken met goniometrische functies • download • instellingen • grafiek van een functie • aanpassen van het gezichtsveld • de assen benoemen • annotations • visgraatdiagram • nulpunten, maxima en minima • exporteren naar een tekstverwerker Daarna leer je dat Graphmatica nog meer mogelijkheden heeft die handig zijn als je in de eerste twee graden wiskunde geeft. • doorsnede van twee grafieken • een raaklijn tekenen • impliciet voorschrift • domein voor de grafiek specifiëren • werken met parameters • bepalen van een passende kromme • ongelijkheden Wat we in deze cursus niet behandelen omdat je dat enkel in de derde graad nodig hebt zijn • de afgeleide functie • bepaalde integralen • primitieven • krommen in poolcoördinaten • krommen in parametervorm • de grafiek van de normale verdeling • berekenen van kansen • logaritmisch papier • regressie • voorspellen van de krimp
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
1
3
Download
Op http://www.graphmatica.com kan je het programma vrij downloaden. Volg de instructies die je op de site vindt. Graphmatica is onbeperkt bruikbaar. Het programma neemt bijna geen ruimte in op de harde schijf en kan zelfs gebruikt worden vanop een USB-stick.
2
Toolbar
Bovenaan het scherm zie je onder de menubalk een toolbar. Deze iconen laten toe een aantal opdrachten onmiddellijk te bereiken zonder dat je via het menu moet werken. Er zijn hier ook een aantal andere opdrachten beschikbaar. Open een nieuw assenstelsel Open een bestaande file. Opslaan van een file Print de huidige grafiek(en) Kopieer de grafiek(en) Teken de grafiek waarvan het voorschrift ingegeven is. Dit bekom je ook door na het ingeven van de vergelijking op Enter te klikken
Plot punten (zie 16) Visgraatdiagram (zie 8) Raaklijn (zie 12) Coördinaat van een punt op de grafiek Zet het gezichtsvenster in de standaard instellingen Zoom uit Zoom in Klik op een grafiek en daarna op dit icoon en de grafiek wordt gewist. Verberg de grafiek van het voorschrift dat te zien is. Wis al de grafieken zonder de voorschriften te wissen Teken al de grafieken waarvan de voorschriften ingegeven zijn
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
3
4
Instellingen
In de menubalk klikken we Options aan en daarna Graph paper… Je kan hier aanduiden met welk assenstelsel je wil werken. Meestal laat je de grafiek tekenen in een rechthoekig assenstelsel, maar wanneer je goniometrische functies wil tekenen kies je voor een assenstelsel waarbij op de horizontale assen veelvouden van π zijn aangeduid. Vink Trig aan Verder zie je dat Graphmatica ook toelaat om te werken met poolcoördinaten of in een logaritmische schaal. Dat zijn tools die gebruikt worden in de derde graad.
In dit tabblad kan je ook aanduiden hoe je het rooster wil in beeld brengen. Je kan de roosterlijnen verbergen, roosterpunten of roosterlijnen wil zien. Meestal kies je hier Gridlines. Daaronder kan je aanvinken of je grafiek omkaderd moet zijn, of de assen en pijlen op de assen moeten te zien zijn. Wanneer je een verschillende grafieken met dezelfde instellingen wil maken, kan je deze instellingen opslaan als standaard.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
5
Daarna klik je het tabblad Legends aan. Bij Custom Spacing kan je aanduiden waar je op de assen de markeringen wil plaatsen en waar je de roosterlijnen wil tekenen. Merk op dat je het getal pi kan ingeven als “pi”
Met deze instellingen krijg je een volgend assenstelsel, dat handig is voor het tekenen van goniometrische functies.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
6
Vervolgens klik je het tabblad Colors aan. Je kan hier bepalen welke kleuren je wil gebruiken voor de achtergrond, de assen,…
Het is handiger de instellingen te veranderen in: Background X/Y Axes Legends Graph 1 Graph 3 Graph 5 Graph 7
→ → → → → → →
White Black Blue Black Dark Green Dark Blue Dark Yellow
Border Gridlines Annotations Graph 2 Graph 4 Graph 6
→ → → → → →
Black Dark Grey Black Red Blue Dark Red
Je klikt in de menubalk weer Options aan en daarna Settings… Je kiest het tabblad Point Tables en past dit aan zoals op de volgende figuur.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
4
7
Grafiek van een functie
Om de kennismaking met Graphmatica vlotter te laten verlopen vertrekken we vanuit een opgave. De getijdenbeweging in Oostende wordt bij benadering beschreven door h(t) = 1,85 ⋅ sin0,5t . Hierbij is h de hoogte in meter ten opzichte van de gemiddelde waterstand en t de tijd in uren. a. Schets de grafiek b. Hoe groot is de minimale en de maximale waterhoogte op een dag? c. Hoeveel uur verstrijken tussen twee opeenvolgende hoogwaterstanden? Geef het antwoord in uren en minuten nauwkeurig. Het functievoorschrift invoeren in Graphmatica gebeurt als volgt: • Typ y = • Vervolgens typ je het functievoorschrift en daarna druk je op Enter.
Merk op dat je: - steeds de volledige vorm van de vergelijking moet ingeven - * of niets moet ingeven voor een product, zeker geen “ . “ - haken moet ingeven rond het argument van een goniometrische functie - als veranderlijke steeds met x en y moet werken - zowel ^ als ** tussen grondtal en exponent kan zetten om een macht weer te geven - zowel een punt als een komma kan gebruiken om decimale getallen weer te geven Wanneer je speciale functies wil invoeren doe je dat op de volgende manier • absolute waarde abs • vierkantswortel sqrt • grootste gehele waarde uit int • goniometrische functies sin, cos, tan, cot, csc, sec
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
5
8
Aanpassen van het gezichtsveld
Aangezien we enkel geïnteresseerd zijn in het tijdsverloop op een dag gaan we enkel dit stuk goed in beeld brengen. We kunnen het gezichtsveld op twee manieren aanpassen.
5.1
Selectie met cursor
Net zoals in Office kan je met het ingedrukt houden van de linkermuisknop een gebied selecteren. Daarna klik je er met de rechtermuisknop op en selecteer je Grid Range. Uit- en inzoomen kan steeds met de vergrootglaasjes in de werkbalk.
5.2
Grid Range handmatig ingeven
In de menubalk selecteer je View en daarna Grid Range (ctrl+r). Je voert de gewenste grenzen in.
We krijgen dan het volgende beeld
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
9
Wanneer je wil werken met een georthonormeerd assenstelsel, vul je maar drie van de vier waarden in. Via de optie Autoscale krijg je dan een georthonormeerd assenstelsel.
Voor de toepassing die wij bekijken is dit niet nodig. Met de optie View en Scrollbars krijg je rechts en onderaan twee schuifbalkjes.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
6
10
Assen benoemen
Om de assen te labelen klik je op Options in de menubalk en daarna Graph Paper... Je selecteert het tabblad Labels. Daar typ je voor de x-as ‘Tijd (uren)’ in en voor de y-as ‘Hoogte (meter)’.
7
Annotations
Om de grafiek zelf een naam te geven kan je de functie Annotations gebruiken. Je klikt Edit aan in de menubalk en daarna Annotations (Ctrl+A). Je typt de naam in (De getijdenbeweging) en dan Place.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
11
Deze titel verschijnt op de plaats waar je in het scherm klikt.
8
Visgraatdiagram
Deze functie laat je toe voor elke x-waarde ook de y-waarde te vinden en andersom. Om er te geraken klik je op Tools in de menubalk en daarna selecteer je Evaluate... (Ctrl+E). Je kiest wat je wil berekenen en dan Calculate.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
12
Ben je meer geïnteresseerd in een volledige visgraat, dan kies je Options, Settings, Point Tables, Custom Increment = 1.
Vervolgens kies je voor View, Point Tables en een visgraatdiagram verschijnt langs de grafiek. Het interval tussen de x-waarden is afhankelijk van het interval op de x-as, maar ook dat kan anders ingesteld worden. Options, Settings..., Point Table,...
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
9
13
Nulpunten, maxima en minima
We klikken Calculus aan in de menubalk en daarna Find Critical Points... Indien je meerdere vergelijkingen hebt ingegeven, selecteer je de juiste vergelijking en je leest de nulpunten (zero), maxima en minima af.
De maximale hoogte en minimale waterhoogte op een dag kan je op deze manier aflezen. Een andere manier om deze informatie af te lezen is via het aflezen van de coördinaat van een punt van de grafiek. Klik op Tools in de menubalk en daarna op Coordinate cursor (Ctrl+U). Het pijltje van de cursor verandert in een zwart kruis en de coördinaat wordt weergegeven in de linkerbenedenhoek van het venster. Als je met dat kruis in de nabijheid van de grafiek komt, dan zie je de aantrekkingskracht. Staat het kruis op een punt van de grafiek, dan kan je het kruis op de grafiek bewegen met de cursorpijltjes van je toetsenbord en de vergelijking van de grafiek verschijnt naast de coördinaat in eigen kleur.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
10
14
Exporteren naar een tekstverwerker
Klik op Edit in de menubalk. Je hebt de keuze om de grafiek te exporteren als BMP- of als EMF-formaat via Copy Graphs BMP of Copy Graphs EMF. Bij beide opties heb je dan nog eens de keuze om dit in kleur of monochroom te doen.
Hoogte (meter) De getijdenbeweging
3 2 1
Tijd (uren) 0
0,5π
π
1,5π
2π
2,5π
3π
3,5π
4π
4,5π
5π
5,5π
6π
6,5π
7π
7,5π
-1 -2 -3
Indien je de kader rond de grafiek liever niet ziet, kan je dat instellen bij Options en Graph Paper. Je verwijdert het vinkje bij Draw Border. Ook kan je hier kiezen om de assen en pijlen op de assen al dan niet te laten zien. Ook de functiewaardetabel kan geëxporteerd worden. Kies voor Edit en Copy Tables. Equation(s): y=1,85*sin(0,5*x) x y 6,0 0,26 7,0 -0,65 8,0 -1,4 9,0 -1,81 10,0 -1,77 11,0 -1,31 12,0 -0,52 13,0 0,4 14,0 1,22 15,0 1,74 16,0 1,83 17,0 1,48 18,0 0,76 19,0 -0,14 20,0 -1,01 21,0 -1,63 22,0 -1,85 23,0 -1,62 24,0 -0,99
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
11
15
Doorsnede van twee grafieken
Wanneer we willen aflezen hoeveel uur verstrijken tussen twee opeenvolgende hoogwaterstanden kunnen we dat door de snijpunten van twee grafieken te laten berekenen. Plot de rechte y = 1,85. Met de schuifbalk onderaan de grafiek kan je ervoor zorgen dat je twee hoogwaterstanden te zien krijgt. Je klikt Tools aan in de menubalk en selecteert daarna Find Intersection... Je selecteert de twee grafieken waarvan je de snijpunten wil berekenen en klikt op Calculate.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
12
16
Een raaklijn tekenen
Je kan een raaklijn laten tekenen aan een grafiek via Calculus, Draw Tangent (Ctrl + T) Vervolgens klik je in de grafiek op de plaats waar je de raaklijn wil tekenen. Merk op dat je ook de vergelijking van de raaklijn krijgt.
13
Impliciet voorschrift
Bij het werken met Graphmatica is het niet nodig het voorschrift in de vorm y = … te zetten. Je kan ook werken met een implidiet voorschrift. Voorbeeld: een cirkel met vergelijking x² + y² =1
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
14
17
Domein voor de grafiek specifiëren
Door na de vergelijking ‘{ m, n }’ te plaatsen waarbij m het begin van het domein aanduidt en n het einde ervan, baken je het domein van de grafiek af. Werk je met decimale getallen, dan kan je voor het decimale getal zelf best een punt gebruiken. Klik je Tools aan en daarna Set Domain dan kan je het domein zeer snel aanduiden met de cursor die voor de gelegenheid ook weer in een zwart kruis verandert om het domein te selecteren met de linkermuisknop. Dit is handig wanneer je de grafiek van functies met een meervoudig voorschrift wil tekenen. Voorbeeld Teken de grafiek van
4 f(x) = x² x
x < −2 −2 ≤ x ≤ 1 x >1
Typ achtereenvolgens y = 4 {x : , -2 } y = x¨2 { x : -2 , 1 } y=x{x:1, }
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
15
18
Werken met parameters
Wil je de invloed onderzoeken van een parameter in het voorschrift van een functie, dan kan je in Graphmatica in beperkte mate gebruik maken van parameters. Enerzijds heb je de parameter a, anderzijds de parameters b en c. De functie y = b sin(cx) Typ: y = b * sin(c*x) en er verschijnt automatisch y = b sin(cx) { b : 1 } { c : 1 } Wil je nu wat experimenteren met de parameters b en c dan open je best het dialoogvenster View en Variables Panel.
Met het Variables Panel kan je de in de vergelijking ingevoerde variabelen verschillende waarden laten aannemen. Zo kan heel duidelijk de rol v/d variabele weergegeven worden. De functie y = ax² Typ: y=a*x^2. en er verschijnt automatisch y = a * x^2 { a : 1 , 3 , 1 } Je kan nu onderzoeken welke invloed het teken en de absolute waarde van a hebben op het functieverloop. We klikken View en daarna selecteren we Variables Panel. We laten a variëren van 1 tot 5 met stapjes van 0,2.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
19
Je krijgt onmiddellijk zo’n 20 parabolen te zien.
16
Bepalen van de best passende kromme
16.1 Vergelijking van een rechte door twee punten Voorbeeld: je zoekt de vergelijking van de rechte door de punten A(1,-2) en B(3,3). Kies voor View en Data Plot Editor. Kies voor Insert Point en geef de coördinaatgetallen van de punten A en B in.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
20
Klik op Options en kies voor Polynomial.
Kies voor Curve Fit. De rechte wordt getekend en wanneer je er op klikt verschijnt de gevraagde vergelijking.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
21
16.2 Vergelijking van een parabool door drie punten Voorbeeld: je zoekt de vergelijking van de parabool door de punten A(-1,-5), B(2,8) en C(5,-7). Kies voor View en Data Plot Editor. Kies voor Insert Point en geef de coördinaatgetallen van de punten A, B en C.
De namen van de punten kan je erbij plaatsen via Edit en Annotations. Klik op Options en kies voor Polynomial. Kies voor Curve Fit. De parabool wordt getekend en wanneer je er op klikt verschijnt de gevraagde vergelijking.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
22
16.3 Sinusoïdale regressie Joris is op vakantie in een klein vissersdorpje. Zaterdag komt zijn vriend Arne hem vergezellen op een zeiltocht. Omdat je de haven slechts in en uit mag varen bij een waterstand van minstens 4,5 meter, besluit Joris om de waterstanden vandaag (woensdag) in het oog te houden. Hij noteert volgende metingen. Uur 6u waterstand 5,28
8u 3,49
11u 3,59
13u 5,43
14u 6,31
16u 6,98
19u 4,85
20u 3,91
22u 3,00
Gevraagd: • We veronderstellen dat de waterstand sinusoïdaal verloopt. Bepaal de constanten a, b, c en d uit het voorschrift van de algemene sinusfunctie. • Rond welk uur kunnen Joris en Arne zaterdagnamiddag uitvaren, rond welk uur moeten ze terug zijn? Je voert de gegevens in via View en Data Plot Editor. Pas via View en Grid Range het gezichtsvenster aan en kies via Options, Graph Paper en Legends voor een gepast assenstelsel.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
23
Klik op Options en kies voor sinusoïdaal.
Wanneer je klikt op Curve Fit verschijnt de best passende kromme en de vergelijking. Wanneer je de ingevoerde punten niet langer wil zien kan je de Data Plot sluiten via het kruisje rechts boven.
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
Graphmatica
17
24
Ongelijkheden
Geef achtereenvolgens de volgende ongelijkheden in. abs(x) + abs(y) < 2 (x-3)^2 + (y-3)^2 < 4 y + (x-3)^2 + 1 < 0
Wiskunde 2b
Greet Verhelst
