GOOGOL DAN GOOGOLPLEX
Sumardyono, M.Pd.
Pengertian Terkadang untuk suatu kepentingan, kita perlu memberi nama untuk suatu bilangan tertentu. Contohnya bilangan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, kita beri nama “pi”. Nah, “googol” dan “googolplex” juga adalah nama untuk bilangan-bilangan tertentu. Googol adalah nama untuk suatu bilangan super besar. Satu googol sama dengan 10100 yaitu bilangan dengan angka 1 diikuti oleh 100 angka nol. Sementara googolplex lebih besar lagi, 1 googolplex sama dengan 10googol. Jika dituliskan, 1 googol = 1000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000
10googol = 1010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Sejarah Bilangan googol diciptakan atau diungkapkan oleh matematikawan, Edward Kasner (1878-1855) [ada juga referensi yang menulis 1878 – 1955] untuk mengilustrasikan perbedaan antara bilangan superbesar yang tak “terbayangkan” dengan ketakhinggaan (infinity). Nama “googol” sendiri diberikan oleh kemenakan laki-lakinya yang berusia 9 tahun, Milton Sirotta, pada tahun 1938, ketika ia ditanya oleh Kasner untuk memberikan nama untuk bilangan super besar itu. Nama googol mungkin terinspirasi dari karakter Barney Google pada sebuah buku kartun. Sementara nama “googolplex” adalah nama yang kemudian diberikan oleh Kasner sendiri. Kasner mempopulerkan kedua nama untuk bilangan super besar ini pada buku, Mathematics and the Imagination pada tahun 1940, karangan Edward Kasner dan James Newman.
Berikut kover buku “Mathematics and the Imagination” dan beberapa buku terbitan yang terbaru.
Sumber: http://designarchives.aiga.org, http://www.mr-damon.com, dan http://en.wikipedia.org
Sifat Matematis Berikut ini beberapa sifat bilangan googol dan googolplex: •
• • • • • • •
•
Bilangan 1 googol memang tidak memiliki arti penting dalam matematika, namun berguna untuk memberikan gambaran begitu tak terbayangkan besarnya dari “tak-hingga” itu dengan melihat atau membandingkan dengan 1 googol. Walaupun bilangan googol sangat besar namun, konsep ketakhinggaan lebih tak terbayangkan, seperti dinyatakan oleh Carl Sagan dalam serial TV, “Cosmos”, bahwa “satu googolplex jauhnya dengan takhingga sama jauhnya dengan bilangan 1 ke tak-hingga”. Bilangan 1 googol hampir sama dengan 70! = 1,19785716699698917960727837.... × 10100. 1 googol ≈ 2332,19 . Faktor prima dari googol maupun googolplex hanyalah 2 dan 5. Satu googolplex ditambah 1 bukanlah bilangan prima. Salah satu faktornya adalah 316912650057057350374175801344000001 Bilangan prima pertama setelah 1 googol adalah googol + 267. Bilangan prima tepat sebelum googol adalah googol – 797 1 Googol! = 16294043324593373734179346529835421728218884267148....000. (diakhiri dengan (10101)/8 – 18 angka nol, dan angka terakhir yang tak-nol adalah 6). Bilangan 1 googol faktorial tersebut terdiri dari 99565705518096748172348871081083394917705602994196333433885546216834 1353507911292252707750506615682568 angka atau lebih dari 9,9 × 10101 angka. Sisa pembagian 1 googol jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan berikut ini. (Barisan A066298 dalam web Sloane)
•
0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 4, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 16, 10, 5, 0, 1, 4, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 31, 12, 10, 36, 27, 16, 11, 0, 4, 16, 28, 10, 45, 32, 28, 16, 16, 40, 47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 4, 13, 60, 20, 64, 72, 10, 25, 28, 67, 16, 67, 0, .... Sisa pembagian 1 googolplex jika dibagi n untuk n = 1, 2, 3, .... menghasilkan barisan berikut ini. (Barisan A067007 dalam web Sloane) 0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1, 18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16, 4, 0, 1, 16, 46, 10, 45, 32, 28, 24, 48, 40, 47, 36, 46, 0, 55, 34, 10, 52, 13, 60, 45, 64, 1, 10, 25, 28, 67, 16, 52, 0, .... 2
•
Barisan bilangan eksponensial 10 n untuk n = 1, 2, 3,.... adalah 10, 10000, 1000000000, ... . Bilangan 1 googol merupakan suku ke-10, sementara bilangan 1 googolplex 2
merupakan suku ke•
•
. Karena 10 n berkembang/membesar secara eksponential, ini
memberikan gambaran betapa besar bilangan 1 googolplex tersebut. Berdasarkan beberapa sistem penamaan bilangan super besar, maka 1 googol sama dengan 10 duotrigintillion (skala pendek), 10000 sexdecillion (skala panjang), atau 10 sexdecilliard (skala panjang Peletier). Dengan memikirkan bahwa istilah “plex” dalam “googolplex” berarti “sepuluh pangkat ...”, maka kemudian banyak muncul bilangan super besar lainnya dengan menggunakan akhiran “plex”, misalnya googolplexplex yaitu sepuluh pangkat googolplex, 10googolplex .
Interpretasi dan relasi dengan fisik/alam •
•
•
Mungkin cara termudah untuk mendekati interpretasi fisik dari googolplex adalah dengan menggunakan interpretasi kombinatorik. Sebagai contoh cara untuk menyusun 52 kartu adalah 8,065817... × 1067 atau banyak kombinasi untuk menyusun 46 kromoson dari 5,9 juta pasangan nukleotida adalah 3,01607 × 103576838408. Satu googol lebih besar dibanding banyaknya atom hidrogen di alam semesta yang kita kenal, yang diestimasi kira-kira antara 1079 dan 1081.
Carl Sagan, seorang saintis, dalam sebuah episode televisi menyatakan bahwa menulis bilangan 1 googolplex dalam bentuk desimal (1000....) secara fisik tidaklah mungkin karena membutuhkan ruang untuk menulis yang lebih besar daripada yang tersedia di alam semesta yang kita ketahui.
•
•
•
•
•
Rata-rata buku setebal 60 inchi kubik memuat tulisan angka nol sebanyak 5 × 105 (dengan asumsi 5 karakter per kata, 10 kata per baris, 25 baris per halaman, dan ada sebanyak 480 halaman) atau ada 8,3 × 103 nol per inchi kubik. Alam semesta yang telah kita ketahui memiliki volum 6 × 1083 inchi kubik (dengan rumus bola, (4/3).π.(14×109 tahun cahaya-dalam inchi)3). Ini artinya jika alam semesta yang kita kenal sejauh ini disesaki dengan kertas yang ditulisi angka nol maka hanya memuat 5,3 × 1087 angka nol, masih jauh di bawah 1 googol. Kenyataannya, hanya terdapat 2,5 partikel dasar dalam alam semesta yang telah kita ketahui. Dengan demikian, seandainya untuk satu angka nol dibutuhkan satu partikel dasar, maka alam semesta ini tidak cukup untuk mewakili 1 googol angka. Anggap kita akan mengetik bentuk desimal 1 googolplex dengan ukuran huruf 1 point-pt (yaitu 0,535 mm per angka). Untuk itu dibutuhkan 3,5 × 1096 meter untuk menulis 1 googolplex dalam ukuran font 1 pt. Padahal alam semesta yang kita ketahui kira-kira berdiameter 8,8 × 1026 meter atau 93 juta tahun-cahaya, sehingga jarak yang dibutuhkan untuk “menulis angka 1 googolplex’ tersebut masih sangat-sangat besar yaitu 4,0 × 1069 kali jarak alam semesta kita. Jika saja seseorang (tanpa lelah) dapat menulis 2 angka tiap detik, maka ia membutuhkan waktu 1,51 × 1092 tahun untuk menulis angka-angka 1 googolplex. Kurun waktu tersebut kira-kira 1,1 × 1082 kali umur alam semesta kita ini. Ruang Planck merupakan ruang super kecil dalam studi fisika inti. Volum ruang Planck kira-kira 4,222 × 10−105 m3 = 4,222 × 10−99 cm3. Jadi, 2,5 cm3 memuat kira-kira 1 googol ruang Planck. Diketahui alam semesta ini memiliki ukuran hanya ada 3 × 1080 m3 yang berarti kira-kira memuat 7,1 × 10184 ruang Planck. Jadi, banyak ruang Planck (yaitu ruang terkecil dalam partikel dasar) di alam semesta ini masih sangat sedikit dibanding 1 googolplex.
Tentang Nama “Google”
Sumber: https://math.byu.edu & http://www.rimanews.com
Nama googol juga menginspirasi nama sebuah mesin pencari di internet yang terkenal, yaitu Google. Adalah dua orang mahasiswa, Lawrence Page dan Sergey Brin, yang membuat sebuah mesin pencari di internet dengan nama “BackRub”. Lantaran ingin meningkatkan kemampuan mesin pencari tersebut maka mereka sepakat mengganti namanya dengan sesuatu yang mendeskripsikan misi perusahaan yaitu membuat tak hingga indeks konten informasi yang mungkin di jaringan internet. Salah satu mahasiswa, Sean Anderson, dalam suatu forum mengusulkan nama “googolplex”, namun
kemudian dipilih nama “googol” karena lebih singkat. Celakanya (atau untungnya?), Sean salah mengetik yang seharusnya “Googol.com” tapi diketik “Google.com” untuk mendaftar nama domain baru di internet. Keterlanjuran ini dimaklumi oleh Page dan Brin karena mereka sangat menyukai plesetan nama itu. Jadilah kemudian nama “google” yang terkenal. Markas besar perusahaan “Google” di Santa Clara County, California sendiri diberi nama “Googleplex”, juga suatu plesetan dari nama “googolplex”.
Daftar Bacaan Antonacci, Katia. 2013. From Googol to Google. dalam http://www.marconimagicbox.net/magic/en/globalvillage/ideas/174-da-googol-a-google.pdf Origlio, Vincenzo and Weisstein, Eric W. Googol. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/Googol.html Page, Don. 2013. How to Get A Googolplex. dalam http://mrob.com/pub/math/numbers.html Robert Munafo's home pages on HostMDS © 1996-2013 Robert P. Munafo di Sloane. 2013. Integer sequences. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. dalam http://oeis.org/search?q=googol&sort=&language=&go=Search Steven Schwartzman. 1994. The Words of Mathematics. The Mathematical Association of America Thomas Foregger, Pedro Sanchez, Matte, John Smith. 2012. Googol.. PlanetMath.org. dalam http://planetmath.org/Googol.html. Weisstein, Eric W. Googolplex. MathWorld--A http://mathworld.wolfram.com/Googolplex.html
Wolfram
Web
Resource.
dalam
Wikipedia. 2013. Edward Kasner. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Kasner Wikipedia. 2013. Googol. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googol (diakses Februari 2013) Wikipedia. 2013. Googolplex. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Googolplex (diakses Februari 2013)
