Kapitola 5
Goniometrick´e a hyperbolick´e funkce V t´eto kapitole budou uvedeny z´akladn´ı poznatky t´ykaj´ıc´ı se goniometrick´ych funkc´ı - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolick´ych funkc´ı - sinus hyperbolick´y, kosinus hyperbolick´y, tangens hyperbolick´y, kotangens hyperbolick´y.
5.1
Goniometrick´e funkce Motivace
Nejdˇr´ıve pˇripomenme ˇ zn´am´e vztahy z pravouhl´ ´ eho trojuheln´ ´ ıku. V trojuheln´ ´ ıku ABC s prav´ym uhlem ´ pˇri vrcholu C, uhlem ´ o velikosti α pˇri vrcholu A a se stranami o d´elk´ach a, b, c, viz obr. ??, jsou pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıch vztahu˚ definov´any trigonometrick´e funkce: sin α = a tak´e tg α =
d´elka protilehl´e strany a = , d´elka pˇrepony c
d´elka protilehl´e strany a = , d´elka pˇrilehl´e strany b
cos α =
cotg α =
d´elka pˇrilehl´e strany b = d´elka pˇrepony c
(5.1)
d´elka pˇrilehl´e strany b = · d´elka protilehl´e strany a
(5.2)
Takto zaveden´e funkce maj´ı definiˇcn´ı obor (0, π2 ). Pˇrirozen´ym zpusobem ˚ lze definiˇcn´ı obor rozˇs´ırˇit na celou
Obr´azek 5.1: mnoˇzinu re´aln´ych cˇ´ısel, pak hovoˇr´ıme o funkc´ıch goniometrick´ych. V n´asleduj´ıc´ı cˇ a´ sti se budeme zab´yvat vlastnostmi jednotliv´ych funkc´ı a to n´am pomuˇ ˚ ze bl´ızˇ e pochopit, jak se tyto funkce chovaj´ı na definiˇcn´ım oboru.
Vlastnosti funkc´ı sinus a kosinus Lze uk´azat, zˇ e tyto funkce maj´ı n´asleduj´ıc´ı vlastnosti. Vˇeta 5.1.1. 1. Funkce sin x a cos x jsou definov´any pro vˇsechna x ∈ R, takˇze pro jejich definiˇcn´ı obory plat´ı D(sin) = R a D(cos) = R. 2. Funkce sin x a cos x jsou na sv´ych definiˇcn´ıch oborech omezen´e, pˇriˇcemˇz pro vˇsechna x ∈ R plat´ı | sin x| ≤ 1, resp. | cos x| ≤ 1. 33
Pro jejich obory hodnot plat´ı pro sinus h−1, 1i a pro kosinus H(cos) = h−1, 1i. 3. Funkce sin x a cos x jsou periodick´e s minim´aln´ı periodou 2π. To znamen´a, zˇ e pro vˇsechna x ∈ R a pro vˇsechna k ∈ Z plat´ı sin(x + 2kπ) = sin x, resp. cos(x + 2kπ) = cos x. 4. Funkce sin x je lich´a a funkce cos x je sud´a, takˇze pro vˇsechna x ∈ R plat´ı sin(−x) = − sin x, resp. cos(−x) = cos x. Funkce sinus a kosinus jsou na nˇekter´ych intervalech kladn´e, resp. z´aporn´e. Na nˇekter´ych intervalech jsou rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı. Tyto vlastnosti jsou schematicky zaps´any v n´asleduj´ıc´ı tabulce interval x sin x cos x
(0, π2 ) +/rost. +/kles.
( π2 , π) +/kles. -/kles.
(π, 3π 2 ) -/kles. -/rost.
( 3π 2 , 2π) -/rost. +/rost.
´ Uloha 5.1.1 Pro x ∈ R plat´ı: a) cos(π/2 − x) = sin x, c) cos(x + π/2) = − sin x, e) cos(x + π) = − cos x,
b) sin(π/2 − x) = cos x, d) sin(x + π/2) = cos x, f) sin(x + π) = − sin x.
Rozmyslete si, jak tyto vztahy souvis´ı s grafy pˇr´ısluˇsn´ych funkc´ı.
ˇ ast grafu˚ funkc´ı sinus a kosinus. Obr´azek 5.2: C´
Vlastnosti funkc´ı tangens a kotangens Lze uk´azat, zˇ e funkce tangens a kotangens maj´ı n´asleduj´ıc´ı vlastnosti. Vˇeta 5.1.2. 1. Funkce tg x je definov´ana pro vˇsechna x ∈ R, pro kter´a nen´ı cos x = 0, tj. s v´yjimkou bodu˚ x = (2k + 1)π/2, k ∈ Z. To znamen´a, zˇ e pro definiˇcn´ı obor funkce tg x plat´ı [
D(tg) = R \
π {(2k + 1) }. 2
k∈Z
Funkce cotg x je definov´ana pro vˇsechna x ∈ R, pro kter´a nen´ı sin x = 0, tj. s v´yjimkou bodu˚ x = kπ, k ∈ Z. To znamen´a, zˇ e pro definiˇcn´ı obor funkce cotg x plat´ı [ D(cotg) = R \ {kπ}. k∈Z
2. Funkce tg x a cotg x nejsou na sv´ych definiˇcn´ıch oborech omezen´e. Pro obory hodnot tˇechto funkc´ı plat´ı H(tg) = R, resp. H(cotg) = R. 34
3. Funkce tg x a cotg x jsou periodick´e s nejmenˇs´ı periodou π. To znamen´a, zˇ e pro vˇsechna x ∈ D(tg), resp. pro vˇsechna x ∈ D(cotg), a pro vˇsechna k ∈ Z plat´ı tg (x + kπ) = tg x, resp. cotg (x + kπ) = cotg x. 4. Funkce tg x a cotg x jsou lich´e, takˇze zˇ e pro vˇsechna x ∈ D(tg), resp. pro vˇsechna x ∈ D(cotg) plat´ı tg (−x) = −tg x, resp. cotg (−x) = −cotg x. Funkce tangens a kotangens jsou na nˇekter´ych intervalech kladn´e, resp. z´aporn´e. Na nˇekter´ych intervalech jsou rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı. Tyto vlastnosti jsou schematicky zaps´any v n´asleduj´ıc´ı tabulce. interval x tg x cotg x
(0, π2 ) +/rost. +/kles.
( π2 , π) -/rost. -/kles.
(π, 3π 2 ) +/rost. +/kles.
( 3π 2 , 2π) -/rost. -/kles
ˇ ast grafu˚ funkc´ı tangens a kotangens. Obr´azek 5.3: C´
Vztahy mezi goniometrickymi funkcemi. ´ Vˇeta 5.1.3 (Vz´ajemn´e vztahy). 1. Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı
sin2 x + cos2 x = 1. S π π plat´ı 2. Pro libovoln´e x ∈ D(tg) ∩ D(cotg) = k∈Z k , (k + 1) 2 2 tg x · cotg x = 1.
Vˇeta 5.1.4 (Souˇctov´e vzorce). Pro libovoln´a x, y ∈ R plat´ı sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y. ´ Vˇeta 5.1.5 (Dvojn´asobn´e uhly). Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x − sin2 x. 35
´ Vˇeta 5.1.6 (Poloviˇcn´ı uhly). Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı s x 1 − cos x , sin = 2 2 s x 1 + cos x . cos = 2 2 Vˇeta 5.1.7 (Souˇcty a rozd´ıly goniometrickych ´ funkc´ı). Pro vˇsechna x ∈ R a pro vˇsechna y ∈ R plat´ı vztahy sin x + sin y = 2 sin
x+y x−y cos , 2 2
sin x − sin y = 2 sin
x+y x−y cos , 2 2
cos x + cos y = 2 cos
x+y x−y cos , 2 2
cos x − cos y = −2 sin
x+y x−y sin . 2 2
ˇ sen´ı goniometrickych Reˇ ´ rovnic K rˇeˇsen´ı goniometrick´ych rovnic se vyuˇz´ıv´a v´ysˇe uveden´ych vlastnost´ı goniometrik´ych funkc´ı. Pˇr´ıklad 5.1.1. V mnoˇzinˇe R naleznˇetˇe vˇsechna rˇ eˇsen´ı rovnice 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0. ˇ sen´ı: 5.1.1. Pomoc´ı substituce u = sin x z´ısk´ame kvadratickou rovnici 2u2 + 3u − 2 = 0. Koˇreny t´eto Reˇ rovnice jsou u1 = −2, u2 = 21 . Je-li u = −2 z´ısk´ame rovnici sin x = −2, kter´a nem´a rˇ eˇsen´ı, protoˇze −2 neleˇz´ı v oboru hodnot funkce sinus. Je-li u = 12 , z´ısk´ame rovnici sin x = 12 , jej´ımˇz rˇ eˇsen´ım z´ısk´ame x1 = π6 + 2kπ nebo x2 = 56 π + 2kπ, k ∈ Z. Mnoˇzina rˇ eˇsen´ı je [ π 5 K= + 2kπ, π + 2kπ . 6 6 k∈Z
Pˇr´ıklad 5.1.2. V mnoˇzinˇe R naleznˇetˇe vˇsechna rˇ eˇsen´ı rovnice 4 sin3 x + 4 sin2 x − 3 sin x = 3. ˇ sen´ı: 5.1.2. Vˇse pˇrevedeme na jednu stranu stranu rovnice 4 sin3 x + 4 sin2 x − 3 sin x − 3 = 0. Pot´e Reˇ vytkneme 4 sin2 x(sin x + 1) − 3(sin x + 1) = 0, celkovˇe (4 sin2 x − 3)(sin x + 1) = 0. Rovnost 0 nast´av´a, jestliˇze plat´ı nˇekter´a z podm´ınek (4 sin2 x − 3) = 0, (sin x + 1) = 0. 1) Pro (sin x + 1) = 0 plat´ı sin x = −1. Jej´ım rˇ eˇsen´ım je x1 = 3π + 2kπ, k ∈ Z. √ 2 2 2 3 3 2) Pro (4 sin x − 3) = 0 plat´ı sin x = 4 , tedy sin x = ± 2 . Jej´ım rˇ eˇsen´ım je x2 = π3 + 2kπ, x3 = 2π 4π 5π zina rˇ eˇsen´ı je 3 + 2kπ, x4 = 3 + 2kπ, x5 = 3 + 2kπ, k ∈ Z. Mnoˇ [ 3π π 2π 4π 5π K= + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ . 2 3 3 3 3 k∈Z
Pˇr´ıklad 5.1.3. V mnoˇzinˇe R naleznˇetˇe vˇsechna rˇ eˇsen´ı rovnice sin x + cos 2x = 0. ˇ sen´ı: 5.1.3. Pro upravu ´ Reˇ rovnice pouˇzijeme vzorec cos 2x = cos2 x − sin2 x, dost´av´ame sin x + cos2 x − 2 sin x = 0. D´ale vyuˇzijeme vztahu mezi sinem a kosinem sin2 x + cos2 x = 1, z nˇehoˇz vyj´adˇr´ıme cos2 x a dosad´ıme sin x + 1 − sin2 x − sin2 x = 0. Nyn´ı m´ame rovnici 2 sin2 x − sin x − 1 = 0, d´ame substituci sin x = t. Z´ısk´ame kvadratickou rovnici 2t2 − t − 1 = 0, jej´ı rˇ eˇsen´ı jsou t1 = 1, t2 = − 21 . Pro sin x = 1 je 11π x1 = π2 + 2kπ, k ∈ Z. Pro sin x = − 12 je x2 = 7π zina rˇ eˇsen´ı je 6 + 2kπ, x3 = 6 + 2kπ, k ∈ Z. Mnoˇ [ π 7π 11π + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ . K= 2 6 6 k∈Z
36
5.2
Hyperbolick´e funkce
V t´eto cˇ a´ sti se budeme zab´yvat funkcemi hyperbolick´ymi. Jejich n´azev vznikl z vlastnosti, zˇ e pomoc´ı hyperbolick´ych funkc´ı se d´a parametrizovat hyperbola. Kaˇzd´y bod leˇz´ıc´ı na hyperbole [x, y] v pravouhl´ ´ ych souˇradnic´ıch se d´a vyj´adˇrit rovnicemi x = a sinh t, y = b cosh t; a, b > 0 a t ∈ R. My se vˇsak v t´eto kapitole nebudeme zab´yvat tˇemito geometrick´ymi, tˇrebaˇze zaj´ımav´ymi vlastnostmi. Poznamenejme, zˇ e pomoc´ı goniometrick´ych funkc´ı se d´a podobn´ym zpusobem ˚ parametrizovat elipsa. Hyperbolick´e funkce se daj´ı zav´est ruzn´ ˚ ymi zpusoby. ˚ V t´eto kapitole si uk´azˇ eme zaveden´ı pomoc´ı Eulerova cˇ´ısla. ex −e−x . Definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina re´aln´ych cˇ´ısel a oborem hodnot Sinus hyperbolick´y je funkce sinh x = 2 x −x . Definiˇcn´ım oborem a oborem hodnot je mnoˇzina je interval (0, ∞). Kosinus hyperbolick´y je cosh x = e +e 2 x −x sinh x cn´ım oborem je mnoˇzina re´aln´ych re´aln´ych cˇ´ısel. Tangens hyperbolick´y je funkce tanh x = cosh x = eex −e +e−x . Definiˇ cˇ´ısel a obor hodnot je interval (−1, 1). ´ Uloha 5.2.2 R 1 ozmyslete si jak vypad´a kotangens hyperbolick´y, jestliˇze je to je funkce coth x = tanh x = samostatnˇe naˇcrtnout graf funkce. Jak´y je definiˇcn´ı obor a obor hodnot t´eto funkce?
cosh x sinh x
=
ˇ ast grafu˚ funkc´ı sinus hyperbolicky´ a kosinus hyperbolicky. Obr´azek 5.4: C´ ´
ˇ ast grafu funkce tangens hyperbolicky. Obr´azek 5.5: C´ ´ Vˇeta 5.2.1 (Vz´ajemn´e vztahy). 1. Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı cosh2 x − sinh2 x = 1. 37
ex +e−x ex −e−x . Zkuste
2. Pro libovoln´e x ∈ R\{0} plat´ı tanh x · coth x = 1. Vˇeta 5.2.2 (Souˇctov´e vzorce). Pro libovoln´a x, y ∈ R plat´ı sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, sinh(x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y. ´ Vˇeta 5.2.3 (Dvojn´asobn´e uhly). Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x. ´ Vˇeta 5.2.4 (Dvojn´asobn´e uhly). Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x. ´ Vˇeta 5.2.5 (Poloviˇcn´ı uhly). Pro libovoln´e x ∈ R plat´ı r cosh x − 1 x , sinh = 2 2 r x 1 + cosh x . cosh = 2 2 Vˇeta 5.2.6 (Souˇcty a rozd´ıly goniometrickych ´ funkc´ı). Pro vˇsechna x ∈ R a pro vˇsechna y ∈ R plat´ı vztahy sinh x + sinh y = 2 sinh
x+y x−y cosh , 2 2
x−y x+y cosh , 2 2 x+y x−y cosh x + cos y = 2 cosh cosh , 2 2
sinh x − sinh y = 2 sinh
cosh x − cosh y = −2 sinh
x+y x−y sinh . 2 2
Hyperbolick´e funkce. Pˇr´ıklad 5.2.1. Vypoˇctˇete funkˇcn´ı hodnoty funkc´ı sinus hyperbolicky, ´ kosinus hyperbolicky, ´ tangens hyperbolicky, ´ kotangens hyperbolicky´ v bodˇe 0. ˇ sen´ı: 5.2.1. Dosazen´ım do vzorcu˚ z´ısk´ame pro sinus hyperbolicky´ sinh 0 = e0 −e−0 = 0, pro kosinus Reˇ 2 0 −0 sinh 0 0 hyperbolicky´ cosh 0 = e +e = 1. Tangens hyperbolicky´ je tanh 0 = cosh ze pro 2 0 = 1 = 0. Protoˇ 1 cosh x kotangens hyperbolicky´ plat´ı coth x = tanh x = sinh x , nen´ı v nule definov´an. Pˇr´ıklad 5.2.2. V mnoˇzinˇe R naleznˇetˇe vˇsechna rˇ eˇsen´ı rovnice sinh2 x + cosh2 x = 1. ˇ sen´ı: 5.2.2. Ze vztahu cosh2 x − sinh2 x = 1 vyj´adˇr´ıme napˇr´ıklad cosh2 = sinh2 x + 1 a dosad´ıme do Reˇ rovnice sinh2 x + sinh2 x + 1 = 1. Tedy hled´ame rˇ eˇsen´ı sinh2 x = 0, coˇz je splnˇeno pouze pro sinh x = 0. Rovnice m´a jedin´e rˇ eˇsen´ı x = 0.
38
