Gömbháromszögek és néhány alkalmazásuk bemutatása a Lénárt-gömb segítségével Farkas Éva
Témavezető: Dr. Fodor Ferenc
Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2013
Tartalomjegyzék 1. Összegzés
3
2. Bevezetés
4
3. A gömbi geometria alapjai
8
4. Gömbi trigonometria
16
5. Csillagászati koordináta-rendszerek 5.1. Geocentrikus horizontális koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Első egyenlítői koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Második egyenlítői koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 23 25 26
6. Átszámítás koordináta-rendszerek között
29
7. Távolságok kiszámítása a Föld felszínén
33
8. Az égi testek kelésének és nyugvásának kiszámítása
37
2
1. fejezet Összegzés A dolgozatom célja, hogy bemutassa a gömbháromszögek egyfajta alkalmazhatóságát, illetve a feladatok, tételek kapcsán a Lénárt-gömb használatát. A bevezetésben egy rövid áttekintést nyújtunk az olvasónak a Lénárt-gömbről, a készlet tartozékairól, valamint megismerkedünk néhány ókori matematikussal, akik a dolgozat témájához hasonló problémákkal foglalkoztak. A bevezetés utáni első fejezetben megismerkedünk a gömbi geometria alapjaival. Rendszerezzük a gömbről tanultakat, majd a gömbi geometria legfontosabb definícióival, tételeivel foglalkozunk. Kiemelném itt a poláris gömbháromszöget, amelynek az euklideszi geometriában nincs megfelelője, ez a fogalom a gömbi geometria sajátossága. A következő fejezetben a gömbre vonatkozó szinusztétellel, és a gömb oldalaira, valamint szögeire vonatkozó koszinusztétellel foglalkozunk, ezeket be is bizonyítjuk. A tételek ismertetése előtt viszont rendszerezzük a vektorokról tanultakat, hisz a tételeinket a vektorok segítségével tudjuk bebizonyítani. Ezt követi a számunkra legfontosabb három csillagászati koordináta-rendszer bemutatása. Ezek ismerete feltétlenül szükséges a későbbi példáink megértéséhez. Mindhárom rendszernél a geocentrikus esettel foglalkozunk. A feladataink megoldásához elengedhetetlen, hogy át tudjunk számolni egyik koordinátarendszerből a másikba. Levezetjük az ehhez szükséges egyenleteinket. Végül az utolsó két fejezet a gömbháromszögek egyfajta alkalmazását mutatja be. Az első esetben ez két város távolságának megadása, míg a másodikban a Nap kelésének kiszámítása.
3
2. fejezet Bevezetés A matematika tanítása során gyakran találkozunk olyan kérdésekkel, mint például: "Ugyan mire jó ez az anyag, amit most tanulunk?", "Mire fogom ezt használni?." A dolgozatomban ezekre a kérdésekre szeretnék egyfajta választ adni a geometria témakörén belül. A példákat, amelyek valós, életszerű problémák, igyekszem minden esetben szemléltetni a Lénárt-gömb segítségével. Komoly gondot szokott okozni, hogy egy diák nem tudja elképzelni, nem látja maga előtt az adott problémát. A rajzgömbkészlet kiváló a szemléltetésre, segítségével fejleszthetjük a gyerekek térlátását. Alkalmazhatjuk a feladatokat csoportmunkában, ezzel elősegítve a csoporton belüli együttműködést. Közös a célkitűzésük, meg kell osztaniuk egymással gondolataikat, illetve a munka megosztása is az ő feladatuk. Versenyeztethetjük is a csoportokat a feladatok megoldása során, erősítve ezzel a versenyszellemet, amelyre a későbbi életükben is igen nagy szükségük lesz. A matematikát a kezdetektől fogva használták, gondoljunk csak arra, hogy már az ókori civilizációk is kiemelkedő eredményeket értek el a matematika különböző területein. Mezopotámiában és Egyiptomban az öntözéses földműveléshez naptárakat készítettek, amelyhez csillagászati és matematikai ismeretekre volt szükségük. Matematikatörténeti szempontból külön jelentőséggel bírnak az ókori görögök, akik új alapfogalmakat vezettek be, bizonyításra nem szoruló állításokat, vagyis axiómákat fogalmaztak meg, továbbá kimondtak tételeket is, amelyeket be is bizonyítottak. Elsősorban a geometria területén értek el kiemelkedő eredményeket. Két számunkra a dolgozat szempontjából fontos eredményeket elérő görög matematikussal fogunk kicsit bővebben foglalkozni, ők Arisztarkhosz és Eratoszthenész. A róluk szóló részt Sain Márton Nincs királyi út [9] című könyvének 241.-253. oldala alapján tárgyaljuk. 4
Arisztarkhosz, aki körülbelül i.e. 310 és i.e. 230 között élt, azt állította, hogy a Föld és a többi bolygó is a Nap körül kering, továbbá, hogy a Föld a saját tengelye körül is forog. Úgy, gondolta, hogy az égi egyenlítő síkja és a Föld keringési síkja egymással szöget zárnak be. Arisztarkhosz meghatározta a Föld és a Nap, valamint a Föld és a Hold távolságának arányát. Eredménye bár jóval eltér a valóságtól, nagy jelentőséggel bír, hiszen módszerével sikerült megbecsülnie a sin 3◦ értékét. A görög matematikusok közül megemlítenénk még Eratoszthenészt, aki szintén a kor legnagyobb matematikusai közé tartozik. A számunkra fontos eredménye a Föld sugarának, illetve délkörének hosszának meghatározása. Abból a megfigyelésből indult ki, hogy a nyári napforduló idején Szüénében a Nap megvilágította egy mély kút vizét. Ekkor a Nap épp a zenitben állt. Alexandriában, amely Szüénétől majdnem ugyanazon a meridiánkörön fek360◦ szöggel hajlik el. Tudjuk, hogy akkoriban szik, úgy mérték, hogy a Nap a zenittől α = 50◦ sztadionban mérték a távolságot, viszont az nem ismert, hogy Eratoszthenész milyen mértékegységgel számolt, mivel több átváltás is létezett. Azt az ereményt kapta, hogy a Föld kerülete 250000 sztadion. Bár nem ismerjük Eratoszthenész pontos eredményét, az akkori adatokból és a gondolatmenet helyességéből tudjuk, hogy nagyságrendileg jó eredményt kapott. Így láthatjuk, hogy már az ókorban is jelentős eredményeket értek el a matematika terén. A gömb fontosságáról gyakran keveset beszélünk, pedig ez az a test, amely kézzel fogható, a hétköznapi életben is mindig találkozunk vele. A Föld bolygón élünk, fontos lenne, hogy megismerkedjünk a bolygónk tulajdonságaival. Igaz, hogy a Föld nem szabályos gömb, viszont esetünkben tekinthetjük gömbfelületnek. A gömbi geometria oktatása terén kiemelkedő szerepet tölt be Lénárt István, aki matematikatanár és oktatáskutató. 1996-ban kifejlesztett egy a gömbi geometria oktatásához alkalmas oktatóeszközt, a Lénárt-gömböt. Továbbá a kaliforniai Key Curriculum Press kiadónál megjelent Non- Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere című könyve, amelyet később magyarra is fordítottak, és Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön [5] néven jelent meg hazánkban. A rajzgömböt azóta világszerte használják. A rajzgömbkészlet segítségével a gömbön ugyanolyan pontossággal és könnyedséggel tudunk szerkeszteni, mint ahogy azt a síkfelületen már megszoktuk. A példáim szemléltetésére a Lénárt-gömböt használom. A Lénárt gömb-készlet tartalmaz egy gyűrű-formájú tóruszt, amely amellett, hogy önmagában is érdekes alakzat, a gömb alátéteként szolgál. A készlet tartalmaz egy négy darabos filckészletet, amellyel szabadon írhatunk, rajzolhatunk a gömbre. Abban az esetben, ha
5
nem szeretnénk közvetlenül a gömbre rajzolni, használhatjuk a négy gömbi rajzlapot, félgömbfóliát. A felrajzolt alakzatokat nedves, illetve alkoholos ronggyal vagy papírzsebkendő segítségével tudjuk eltávolítani. A gömbi rajzlapokat kedvünk szerint formálhatjuk, ollóval a kívánt alakzatra vághatjuk. A készlet tartalmaz továbbá egy gömbi vonalzót, amivel a gömb felületére rajzolhatunk egyeneseket, különböző alakzatokat, így akár háromszöget is. A berajzolt háromszögnek, a gömbi szögmérő segítségével, meg tudjuk mérni a szögeinek nagyságát. A gömbi körző segítségével pedig köröket tudunk a gömbfelületre rajzolni. A gömbi körzőhöz tartozik egy középpontkereső, amelynek a közepén egy kis lyuk található, ide kell beilleszteni a gömbi körző csúcsát. Kétféle filctoll-rögzítő áll a rendelkezésünkre, ha valamilyen tollat akarunk a körző filctolltartójába illeszteni. A készlet tartalmaz továbbá egy posztert, a "Living Earth on the Lénárt Sphere-t. Ez az északi és déli félgömb vetületét tartalmazza, ha ezeket kivágjuk és két gömbi rajzlapba illesztjük, a rendelkezésünkre álló kapcsológyűrűket használva egy földgömböt kapunk. Ennek a felületére kedvünk szerint rajzolhatunk, bejelölhetünk két várost, vagy bármilyen más alakzatot felrajzolhatunk. A készletet tároló dobozban kapjuk meg, amely alkalmas a későbbi, állandó tárolásra is. Az oktatás során minden témakörnél fontosnak tartom, hogy felelevenítsük a már meglévő ismereteinket a témában. Hiszen a matematikában minden egymásra épül. Nagyon nehéz a dolguk a tanároknak és a diákoknak egyaránt az új anyag tárgyalásakor, ha nincs mire építeniük. Így az első fejezetben röviden átismételjük a gömbbel kapcsolatos korábbi ismereteinket. Áttekintjük a gömbi geometria legfontosabb definícióit, tételeit és bizonyításait. Rendkívül fontos, hogy egy téma tárgyalásakor vissza tudjunk csatolni korábbi ismereteinkre, össze tudjuk foglalni mindazt, amit már tudunk. A matematikában különösen fontos ez, hiszen minden egymásra épül, ha hiányosságaink vannak egy adott témában, akkor nehéz dolgunk lesz az arra épülő témakörökben is. Épp ezért fontos korábbi ismereteink áttekintése, rendszerezése. Mivel a szakdolgozatban tárgyalt példák földrajzi és csillagászati jellegűek, így szükségünk van egy rövid csillagászati ismertetőre is. Megismerkedünk a különböző csillagászati koordinátarendszerekkel, hiszen ezek eltérnek a matematikából már jól ismert koordináta-rendszertől. Majd megvizsgáljuk, hogy lehet átszámolni két különböző csillagászati koordináta-rendszer között. Végül az utolsó két fejezetben foglalkozunk a már említett földrajzi és csillagászati példánkkal. Először az általános esettel foglalkozunk, kiszámoljuk két pont távolságát a Föld felszínén. Majd ezt követően áttérünk két város távolságának kiszámítására. Azt tudnunk kell, hogy egy városnak nem egyetlen koordináta felel meg, így a koordináta, amivel számolunk a város egy kiválasztott pontja. Ha a távolságot a földrajz órán megismert tá-
6
volságméréssel határoznánk meg, akkor a távolság nem lenne pontos. Nyilván nagyon nehéz pontosan lemérni körzővel és vonalzóval egy adott távolságot, de a mérés pontatlansága nem csak ebből adódik. A térképek ugyanis valamennyire torzítanak, mivel egy gömb felületét nem lehet pontosan sík felületre leképezni. A második példánkban pedig az égitestek kelésének és nyugvásának kiszámításával foglalkozunk. Ezeknek az információknak az ismerete ma már természetesnek tűnik. De kevesen gondolkodnak el azon, hogy honnan tudjuk ezeket az adatokat. A példáinkban a gömbháromszögtani ismereteinket alkalmazzuk. Úgy gondolom fontos, hogy a tanulók betekintést nyerjenek a matematika alkalmazási területeibe, illetve törekednünk kell a matematika oktatás érdekesebbé tételére. Megjegyezném, hogy a dolgozatban előforduló ábrák geogebra program segítségével készültek.
7
3. fejezet A gömbi geometria alapjai Ebben a fejezetben szeretnék betekintést nyújtani az olvasónak a gömbi geometria alapjaiba. Mindenekelőtt tisztáznunk kell néhány fontos alapfogalmat, amelyeket Hajós György Bevezetés a geometriába [2] című könyve alapján tárgyalunk , összefoglalva ezzel korábbi ismereteinket a gömbről. Kezdjük azzal, hogy mit értünk gömb alatt: A gömb nem más, mint a tér olyan pontjainak összessége vagy másképp mondva mértani helye, amelyek egy megadott ponttól adott R > 0 távolságra helyezkednek el. A gömb középpontja (centruma) az a pont, amelyiktől a gömb pontjai egyenlő R távolságra vannak. Ez a távolság nem más, mint a gömb sugara, amelyek a középpontot a gömbfelület pontjaival összekötő szakaszok. A gömbfelület két pontját összekötő szakaszt a gömb húrjának nevezzük. A gömb átmérőjének nevezzük a középpontján áthaladó húrokat. A középpont az átmérőket két sugárra bontja fel, tehát mind egyenlő hosszúságúak. Közös hosszukat átmérőnek nevezzük, ami épp a sugár kétszerese. Egy átmérő két végpontját a gömb átellenes pontjainak nevezzük. Bármely az átmérőktől különböző húr a végpontjaihoz vezető sugarakkal együtt egy háromszöget határol. 1. Definíció. A gömb definíciójából adódik, hogy a gömb középpontján áthaladó sík a gömböt olyan körben metszi, amelynek középpontja és sugara a gömb középpontjával és sugarával azonos. Ezek a körök a gömb főkörei. A főkörök egyben a gömb felületén húzható legnagyobb sugarú körök is. Bármely két egymástól különböző főkör pontosan két pontban metszik egymást, ezáltal négy gömbkétszöget határoznak meg a gömb felületén. 8
A gömbháromszögtanban lényegtelen annak a gömbnek a sugara, amelynek felületén vizsgálódunk, ezért a továbbiakban mindig egység sugarú gömböt használunk. Tekintsünk a gömbön három olyan A, B, és C pontot, amelyek közül semelyik kettő nem átellenes egymással. Ez a három pont három főkört határoz meg. Ha két pont nem átellenes, akkor a rajtuk átmenő főkörívet egy rövidebb és egy hosszabb főkörívekre bontják. Válasszuk minden esetben a rövidebb főkörívet, ily módon egy ABC gömbháromszög keletkezett. A fogalom megértéséhez és szemléltetéséhez használjuk magát a Lénárt-gömböt, illetve a gömbkészlet tartozékait. Jelöljünk rajta egy gömbháromszöget úgy, hogy először vegyünk fel a gömbön három tetszőleges pontot. Majd rajzoljuk meg vonalzó segítségével a három pontra illeszkedő három főkört. Az ábrával a diákok térlátását fejlesztjük, illetve gyakorolhatják a gömbháromszögek szerkesztését. A gömbháromszög A csúcsával szemközti oldalát jelöljük a-val. Hasonlóan a B csúccsal szemben lévő oldalt b-vel és C csúccsal szemben elhelyezkedő oldalt c-vel. A gömbháromszög A csúcsánál levő szöge az α, amely az AB és az AC oldalakhoz A-ban húzott érintők szögét jelenti. Az α szögről továbbá el tudjuk mondani, hogy megegyezik az AOB és az AOC síkok által bezárt szöggel. Hasonlóképpen a B csúcsnál lévő szög a β, a C csúcsnál pedig a γ szög helyezkedik el. Geometriai vizsgálatokat tudunk a gömb felszínén is végezni, akárcsak síkban. Az egyenesnek a gömbi geometriában a főkör felel meg. 2. Definíció. Gömbi szakasznak nevezzük a félkörnél nem nagyobb főköríveket. Gömbi egyenesnek pedig a gömb főköreit nevezzük. Ha A és B a gömb két nem átellenes pontja, akkor az AOB sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek a főkörnek az A és B pont rövidebbik főkörívének a hossza a két pont gömbi távolsága lesz: 3. Definíció. Az A és B nem átellenes pontok gömbi távolsága, amelyet dG (A, B)-vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza. Ha A és B pontok átellenesek, akkor gömbi távolságuk π. A következő két tételt, Kurusa Árpád Nem euklideszi geometriák [4] című könyve alapján tárgyaljuk. 3.0.1. Tétel.
1. Egyenlő szárú gömbháromszög alapon fekvő szögei egyenlőek.
2. Általános háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög található. 9
3.1. ábra. ABC gömbháromszög (lásd Kurusa 4. oldal) Bizonyítás. 1. Tekintsük az a és b oldalt az ABC gömbháromszögben. 2. Vegyük az AB szakasz felező merőleges S síkját. A következőképpen tudjuk megszerkeszteni a szakasz felező merőlegesét: Az AB szakasz két végpontjából azonos körzőnyílással körzőzünk felette és alatta egyaránt. Így két metszéspontot kapunk. Ezeket összekötve megkapjuk a szakasz felezőmerőlegesét, hiszen a merőlegesen található pontok mindegyike a két végponttól azonos távolságra vannak. Ennek az egyenesnek az S síkja átmegy a gömb középpontján és az A pont tükörképe az S síkra épp a B pont lesz. 3. Tudjuk továbbá, hogy az S sík pontjai azok a pontok, amelyek egyaránt egyenlő távolságra vannak az A és B pontoktól. Így ha a C pont az S síkra esik, akkor a gömbfelület S síkra vonatkozó szimmetriája igazolja a tételünk első állítását. 4. Ha viszont a C pont nem illeszkedik az S síkra, akkor vagy az a vagy a b oldal metszeni fogja az S síkot, esetünkben legyen ez az a oldal, amely a D pontban metszi az S síkot. Ebben az esetben a b szakasz nem metszi az S síkot. Ekkor kijelenthetjük, hogy az AC húr rövidebb, mint a BC húr, amiből, az ívhossz és a húrhossz szigorúan monoton növő kapcsolata miatt adódik, hogy a b szakasz rövidebb az a szakasznál. 5. Mivel a D pont az A és B pontoktól egyenlő távolságra helyezkedik el, így az ADB háromszögünk egyenlőszárú lesz. Ebből pedig kapjuk, hogy a DAB gömbi szög megegyezik a β szöggel.
10
6. Ezekből adódik, hogy a DA főkörív kettévágja az α szögünket, így az nagyobb lesz, mint a β szög. Vagyis igazoltuk a tételünk második állítását is: Ha gömbi háromszögben b < a teljesül, akkor β < α. 4. Definíció. Elfajulónak nevezünk egy gömbi háromszöget, ha csúcsai ugyanazon főkörre illeszkednek.
3.2. ábra. Nem elfajuló gömbháromszög(lásd Kurusa 4.oldal) A gömbi háromszögekre is teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Vagyis: 3.0.2. Tétel. Nem elfajuló gömbi háromszög két oldalának összege a harmadik oldalánál nagyobb. Azaz a + b > c. Bizonyítás. Két esetet fogunk megkülönböztetni: 1. Ha a két oldal összege π-nél nagyobb: 11
a+b>π. A tétel nyilván teljesül, hiszen tudjuk, hogy egy gömbháromszög oldala legfeljebb rπ hosszúságú lehet. Egységnyi sugarú gömböket vizsgálunk, vagyis esetünkben egy gömbháromszög oldalának hossza legfeljebb π lehet. Így automatikusan teljesül a következő egyenlőtlenség: a+b>c 2. Ha a két oldal összege kisebb vagy egyenlő π-nél: a + b ≤ π. Ekkor a BC főkörívet hosszabbítsuk meg a C ponton túl addig, hogy a D végpontja b gömbi távolságra legyen a C ponttól. A B és a C pontok távolságára így teljesül: dG (BD) = a + b ≤ π. Valamint megállapíthatjuk, hogy a DCA háromszög egyenlőszárú, vagyis a D és az A pontnál ugyanaz a δ szög fekszik. A 2.1.-es tétel szerint δ < δ + α, ebből pedig már következik, hogy c ≤ a + b. Egyenlőség csak akkor állhat be, ha δ=δ+α teljesül, ami pedig csak akkor lehetséges, ha α=0 teljesülne, de mi most csak nem elfajuló háromszögeket vizsgáltunk. A következőkben kitérünk a polárgömbháromszögekre, melyeket Csikós Balázs Gömbi geometria című írása alapján tárgyalunk, amely a Hraskó András által szerkesztett Új matematikai mozaik [3] című könyvben olvasható. −−→ 5. Definíció. Válasszuk az A∗ pontot a gömbön úgy, hogy az OA∗ vektor az OBC síknak azon egységnormálisa legyen, amely a síknak az A-t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk B ∗ -ot és C ∗ -ot. Az A∗ B ∗ C ∗ gömbháromszöget az ABC gömbháromszög poláris gömbháromszögének, vagy polárgömbháromszögének nevezzük. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon a∗ , b∗ , c∗ és α∗ , β ∗ , γ ∗ betűkkel jelöljük.
12
3.3. ábra. Poláris gömbháromszög szerkesztése Itt nyomatékosítani szeretnénk, hogy az euklideszi geometriában nincs igazi síkbeli megfelelője a polárgömbháromszögnek, ez a gömbi geometria sajátosságai közé tartozik. A feladatunk, hogy megszerkesszük egy adott gömbháromszögnek a poláris gömbháromszögét. Csoportokat alakítunk, minden csoport kap egy Lénárt-gömbkészletet. A szerkesztést lépésekre bontva írjuk le, hogy a diákok jobba tudják követni. 1. Vegyünk fel a gömbön három pontot. 2. Rajzoljuk meg gömbi vonalzó segítségével a pontokra illeszkedő főköröket.Így a korábban ismertetett módon sikerül berajzolnunk egy gömbháromszöget. 3. Válasszunk ki az AB szakaszon egy tetszőleges pontot, jelöljük ezt D-vel. Lehetőség szerint ne legyen ez a pont se túl közel, se túl messze egyik végponttól sem. 4. Nyissuk ki a körzőnket tetszőleges körzőnyílásra, majd körzőzzünk az A, B és D pontokból. 5. Húzzuk meg vonalzó segítségével az A és D pontok között keletkezett metszéspontokra illeszkedő főkört. Ugyanezt tegyük meg D és B pontok esetén is. 6. Az így keletkezett két főkör két pontban metszi egymást. Válasszuk ki azt a pontot,
13
amely a síknak a C-t nem tartalmazó félterében található. Ez a pont lesz a C ∗ pont, a polárháromszögünk első csúcsa. 7. Hasonlóan meg tudjuk szerkeszteni az A∗ és B ∗ pontokat. 3.0.3. Tétel. Bármely gömbháromszög a saját polárgömbháromszögének polárgömbháromszöge. −−→ −→ −−→ −→ −→ Bizonyítás. 1. A definíció szerint OB ∗ ⊥ OA és OC ∗ ⊥ OA, vagyis az OA vektor a B ∗ OC ∗ sík egyik egységnormálisa. −→ π 2. Továbbá tudjuk, hogy a dG (A, A∗ ) > , amiből következik, hogy az OA vektor a B ∗ OC ∗ 2 sík A∗ -ot nem tartalmazó félterébe mutat, tehát A∗∗ = A. 3. Hasonló módon be lehet látni, hogy B ∗∗ = B és C ∗∗ = C, vagyis az A∗ B ∗ C ∗ gömbháromszög polárisa az ABC gömbháromszög. 3.0.4. Tétel. A poláris gömbháromszög oldalai az eredeti gömbháromszög megfelelő szögeit π-re egészítik ki. −→ Bizonyítás. 1. Az AB ∗ C ∗ gömbháromszög egyenlő szárú, hiszen az OA vektor merőleges az OB ∗ C ∗ síkra, mivel az AB ∗ C ∗ gömbháromszög befogói r hosszúságúak, vagyis az AOB ∗ ^ = AOC ∗ ^ =
π . 2
2. A szögek egyenlőségéből és nagyságából következik, hogy az AB ∗ és AC ∗ oldalszakaszok egyenlők és ezek épp negyedkörök. −−→ 3. A merőlegesség következtében az AB ∗ és AC ∗ ívek A-beli érintő egységvektorai az OB ∗ −−→ és az OC ∗ vektorok, amiből pedig az következik, hogy B ∗ AC ∗ ^ = B ∗ OC ∗ ^ = a∗ . Az ábra sokat segít abban, hogy ezeket meglássuk. A korábban Lénárt-gömbön elkészített polárgömbháromszögünk segítségével szemléltetni tudjuk a tanulóknak az egyes pontokban tárgyalt részeket. −→ 4. Az AB ∗ és AC ∗ ívek B ∗ -beli és C ∗ -beli érintő egységvektora az OA vektor. −→ 5. Az OA vektorról továbbá tudjuk, hogy merőleges az OB ∗ C ∗ sík minden vektorára, így AB ∗ C ∗ ^ = AC ∗ B ∗ ^ =
14
π . 2
3.4. ábra. A polárgömbháromszög (lásd Csikós 347.oldal, 7.ábra ) 5. Hasonló módon be lehet látni, hogy az AC ∗ B és AB ∗ C gömbháromszögek egyenlő szárúak és A-nál lévő szögük derékszög. 6. Az eddigiek szerint az A csúcsnál lévő teljes gömbi szöget az AB, AC, AB ∗ és AC ∗ gömbi szakaszok két derékszögre, egy α nagyságú szögre és egy a∗ nagyságú szögre bontják, amiből pedig az következik, hogy α + a∗ = π.
15
4. fejezet Gömbi trigonometria Mielőtt rátérnénk a gömbi trigonometria elemire, szükséges feleleveníteni a vektorokról szóló ismereteinket, amelyet Pogáts Ferenc Vektorok, koordinátageometria, trigonometria című könyvének 4., 5. és 6. fejezete alapján tesszük meg. A gömbi trigonometria tételeinek bizonyítására legtöbb esetben a vektorok skaláris szorzását, illetve a vektoriális szorzatát, vegyesszorzatát alkalmazzuk, valamint a kifejtési és felcserélési tételt. A tételek bizonyításától jelen esetben eltekintünk. A bizonyítások megtalálhatók például Hajós György Bevezetés a geometriába [2] című könyvében. A gömbközépponttól a csúcsokhoz vezető ~a, ~b és ~c egységvektorokat úgy választjuk meg, hogy ezek a megadott sorrendben jobbrendszert alkossanak.
6. Definíció. Két vektor skaláris szorzatán (belső szorzatán) azt az ab-vel jelölt számot értjük, amely felírható a következőképpen: ab = |a| |b| cos(a, b), ahol (a, b) az ~a és ~b vektorok hajlásszögét jelöli. Tekintsük a skaláris szorzat tulajdonságait: 1. Ha ~a és ~b vektor valamelyike a nullvektor, akkor sem a két vektor hajlásszöge, sem ennek a koszinusza nem egyértelműen meghatározható. Ilyenkor azonban a skaláris szorzat értéke 0, mivel a definícióban 0 is szerepelhet tényezőként. 2. A skaláris szorzat kommutatív, vagyis ab = ba. 16
3. Egy ~a vektor önmagával képzett skaláris szorzatát az ~a vektor négyzetének nevezzük és a2 -tel jelöljük: aa = |a| |a| cos (a, a) = |a|2 cos 0 = |a|2 . 4. Egységvektorok skaláris szorzata hajlásszögük koszinuszával egyenlő. 5. A nullvektor bármely vektorral vett skaláris szorzata 0. 6. Egy ~a vektornak az irányába mutató egységvektorral való skaláris szorzata az ~a vektor hosszát adja meg. Ebből következik, hogy ha egy vektornak bármely vektorral alkotott skaláris szorzata 0, akkor ez a vektor csak a nullvektor lehet: aa0 = |a| |a0 | cos (a, a0 ) = |a|. 7. Definíció. A térbeli a és b vektorok a × b vektoriális szorzatának (külső szorzatának) nevezzük azt a vektort, • amelynek hossza |a||b|sin (a, b), ahol (a, b) a két vektor hajlásszögét jelöli, • amely merőleges az a, b vektorokra, • és amelynek iránya olyan, hogy a, b és az a × b vektoriális szorzat jobbrendszert alkot. A kifejtési tételt akkor használjuk,ha kettőnél többtényezős vektoriális szorzatot akarunk kiszámítani. 4.0.5. Tétel. (kifejtési tétel) (a×b)×c = (ac)b − (bc)a, a×(b×c) = (ac)b − (ab)c. 8. Definíció. Az ~a, ~b és ~c vektorok (a × b)c skaláris szorzatát az ~a, ~b, ~c vektorok vegyesszorzatának nevezzük, és (abc)-vel jelöljük. A skaláris szorzat és a vegyeszorzat definíciójából következik, hogy (abc) = (a × b)c = |a × b||c| cos (a × b, c).
17
A felcserélési tétel megmutatja, hogy hogyan változik a vegyesszorzat, ha a tényezői sorrendjét felcseréljük. 4.0.6. Tétel. (felcserélési tétel) (abc) = (a×b)·c = a·(b×c). Vagyis, ha a kétféle szorzásjelet megváltoztatjuk, felcseréljük, a szorzat értéke nem változik. Ez arra vezethető vissza, hogy a skaláris szorzat kommutatív, vagyis (abc) = (bca) = (cab). Tekintsük át a gömbi trigonometria legfontosabb tételeit. Mint már korábban említettük ezen tételek ismerete szükséges ahhoz, hogy tovább tudjunk haladni. A gömbi geometriában kétféle koszinusztételt különböztetünk meg egymástól, hiszen egyaránt létezik koszinusztétel oldalakra illetve szögekre vonatkozóan. Először tekintsük az oldalakra vonatkozó koszinusztételt: 4.0.7. Tétel. Ha egy gömbi háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor cos a = cos b cos c+sin b sin c cos α A tételt Marik Miklós Csillagászat [6] című könyve alapján bizonyítjuk. Bizonyítás. 1. A bizonyítás során felhasználjuk a polárgömbháromszögről tanultakat is. Vegyünk fel egy tetszőleges ABC gömbháromszöget az O középpontú gömbön. Továbbá jelöljük az O pontból A pontba mutató vektort ~x-val, az O-ból B-be mutató vektort ~y -vel és végül az O-ból C-be mutató vektort ~z vektorral. 2. Az ábrából világos, hogy a gömbháromszög a oldalát tartalmazó, a B, O és C pontok által meghatározott síkra merőleges az ~y ×~z vektor. Hasonlóan a b oldal síkjára a z×x, valamint a c oldal síkjára az ~x×~y vektor merőleges. 3. Ezen vektorok skaláris szorzata megegyezik az általuk bezárt szög koszinuszával,hiszen hosszuk 1: ~y ~z = cos a ~z ~x = cos b ~x ~y = cos c 4. A b és c oldalak által bezárt szög megegyezik a ~z×~x és a ~x×~y vektorok által bezárt szöggel, de ezeket a vektorokat a polárgömbháromszög megfelelő vektoraival is meg tudjuk adni: 18
~z×~x=y~∗ ~x×~y =z~∗ Valamint ~y ×~z=x~∗ Így a korábban említett vektorok által bezárt szög felírható: (y~∗ ; z~∗ )^ = α Hasonlóan kapjuk: (z~∗ ; x~∗ )^ = β (x~∗ ; y~∗ )^ = γ 5. Ezek ismeretében már fel tudjuk írni az (~z × ~x) és az (~x × ~y ) vektorok skaláris szorzatát: (~z × ~x)(~x × ~y ) = |~z × ~x||~x × ~y |cos α = sin b sin c cos α. Hiszen, a vektorok hossza 1, mivel egység sugarú gömbbel foglalkozunk. 6. Alkalmazzuk a kifejtési tételt, majd az egyenlőség bal oldalát a 3. pont felhasználásával átalakítjuk: (~z × ~x)(~x × ~y ) = ~z [~x×(~x × ~y )] = ~z [~y (~x2 )−~x(~x ~y )] = ~z [~y −~x cos c] = cos a−cos b cos c. 7. Ezt az egyenlőséget egybevetve az 5. egyenlőséggel kapjuk: cos a−cos b cos c = sin b sin c cos α 8. Rendezve az egyenletet kapjuk a koszinusztételt: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α. A gömbháromszög b és c oldalára a koszinusztételt a következőképpen írhatjuk fel: cos b = cos c cos a + sin c sin a cos β. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. 19
4.0.8. Tétel. (Gömbi szinusztétel) A gömbháromszög oldalainak szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti szögek szinuszai. Vagyis a szokásos jelölést használva: sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ. A tétel bizonyítása Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 56.oldaláról származik. −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ Bizonyítás. 1. Tekintsük az OC×OB, az OA×OB, valamint a OC×OB és OB×OC vektorok vektoriális szorzatának az abszolút értékét: −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ (1) |(OC×OA) × (OA×OB)| = |OC×OA| |OA×OB| sinα = sinb sinc sinα, −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ (2) |(OA×OB) × (OB×OC)| = |OA×OB| |OB×OC| sinβ = sinc sina sinβ. 2. Az egyenlőség bal oldalát átalakítva kapjuk: −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ −→ (1) |(OC×OA) × (OA×OB)| = |OA [OA OB OC] − OC[OA OA OB]| = [OA OB OC], −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −→ (2) |(OA×OB) × (OB×OC)| = |OB[OA OB OC] − OA[OB OB OC]| = [OA OB OC], ahol a kapcsos zárójellel ebben az esetben a vegyesszorzatot jelöltük. 3. Vagyis az 1.pontban szereplő egyenlőségek egyenlőek. Így kapjuk: sin b sin c sin α = sin c sin a sin β. 4. Rendezve ezt az egyenlőséget kapjuk: sin a sin α = . sin b sin β
Ezzel pedig már be is láttuk a tételünket.
Mint ahogy azt már korábban említettük, a gömbháromszögekre kétféle koszinusztétel is teljesül. Az oldalakra vonatkozóval már megismerkedtünk, így következzen a szögekre vonatkozó koszinusztétel:
4.0.9. Tétel. Ha egy gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon a, b, c és α, β, γ jelöli, akkor fennáll az alábbi összefüggés: cos γ = −cos α cos β + sin α sin β cos c. Természetesen ez az összefüggés teljesül akkor is, ha a γ szög szerepét más szög veszi át: 20
cos α = −cos β cos γ + sin β sin γ cos a. cos β = −cos α cos γ + sin α sin γ cos b. Ennek a tételnek a bizonyításától most eltekintünk. A tétel bizonyítását elolvashatjuk például Hajós György Bevezetés a geometriába [2] című könyvéből.
21
5. fejezet Csillagászati koordináta-rendszerek A fejezet célja, hogy betekintést nyújtson a csillagászati koordináta-rendszerekbe, a témát Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 1. fejezete alapján tárgyaljuk. Fontos, hogy terjesszük a diákok látómezejét, bővítsük ismereteiket. Lényeges, hogy tudják, hogy melyik rendszer hogyan épülnek fel, mi a köztük lévő különbség. Ahhoz, hogy a későbbi példáinkat megértsük, meg tudjuk oldani, szükséges ezen koordináta-rendszerek ismerete. Földrajz órákon már találkoztunk egy olyan módszerrel, amelynek segítségével meg tudjuk határozni egy pont, város helyét, viszont ehhez ismernünk kell a földrajzi koordináta-rendszer felépítését. Tehát mielőtt rátérnénk a csillagászati koordináta-rendszerekre, tekintsük át ismereteinket a földrajzi koordináta-rendszerről. Földrajzi koordináta-rendszer alatt azt a rendszert értjük, amely földrajzi szélességet (ϕ) és földrajzi hosszúságot (λ) használ a Föld felszínén való helyzet-meghatározásra. Vagyis a földrajzi koordináta-rendszer is egyfajta gömbi polárkoordináta-rendszer, ahol a pontokat két szögkoordinátával adhatjuk meg. A Földön minden pont helye egyértelműen meghatározható két koordinátájának megadásával. Egyenlítői síknak nevezzük a Föld forgástengelyére merőleges, az O középponton áthaladó síkot, amely a Föld felszínét az Egyenlítőben metszi. A szélesség kezdővonalának az Egyenlítőt tekintjük, amely Földet az északi és a déli féltekére osztja. Az Egyenlítővel párhuzamos köröket szélességi köröknek nevezzük. Tegyük fel, hogy a megfigyelő a Föld felszínének M pontjában tartózkodik. Ekkor az M ponton és a Föld forgástengelyének a Föld felszínével vett metszéspontjain, legyenek ezek és D pontok, áthaladó síkot a meridián síkjának nevezzük. Ez a Föld felszínéből a meridiánt metszi ki. A kezdő meridián az angliai Greenwich-en keresztül húzható hosszúsági vonal. Ettől keletre illetve nyugatra 0◦ -tól 180◦ -ig mérjük a hosszúságot. Hosszúsági köröknek nevezzük a sarkokat összekötő, Egyenlítőre merőlegesen húzott vonalakat. A szögeket fokokban, percekben, 22
másodpercekben történelmi okokból fejezzük ki. A mértékegységek közötti átváltás pedig a következőképpen alakul: 1◦ =600 =3600”. A csillagok, bolygók a Földtől való távolságuk miatt a Földről csak egy apró pontként látszanak. Egy égitest vizsgálatakor nem szükséges megadnunk a távolságát a Földtől, elegendő megadni azok irányát. Ilyen méréseknél a tér pontjait egy gömb felületére képezzük le. Ezt a gömböt nevezzük éggömbnek. A csillagászatban több koordináta-rendszert is megkülönböztetünk egymástól, amelyek a középpontjukban térnek el egymástól. Mi most a topocentrikus, geocentrikus koordinátarendszerrel fogunk foglalkozni. 1. A topocentrikus koordináta-rendszer esetében az éggömb középppontja a megfigyelő szemében van, vagyis az éggömb középpontja ebben az esetben a Föld felszínén helyezkedik el. 2. A geocentrikus koordináta-rendszer esetén az éggömb középpontja a Föld geometriai középpontjával esik egybe. Beszélhetnénk még a leggyakoribbak közé tartozó heliocentrikus, baricentrikus illetve a galaktocentrikus koordináta-rendszerekről, ezek esetén a középpont az előbb említett két rendszerhez képest máshol helyezkedik el. Mi most ezek részletes ismertetésétől eltekintünk, ezek bemutatása megtalálható Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvében. A koordináta-rendszerek megkülönböztetésére létezik egy másik megközelítés is, amikor aszerint különböztetjük meg a rendszereket egymástól, hogy az éggömbön az alapsíkot és azon az alapirányt milyen módon adjuk meg. Ezek közül pedig a legfontosabbak: a horizontális, az egyenlítői, az ekliptikai és a galaktikai koordináta-rendszer. A következőkben néhány csillagászati koordináta-rendszert ismertetünk kicsit bővebben.
5.1. Geocentrikus horizontális koordináta-rendszer A geocentrikus horizontális koordináta-rendszerben a középpont a Föld középpontjával egyezik meg. Ha összekötjük az M megfigyelő helyét a Föld középpontjával, akkor ez az egyenes két pontban metszi az éggömböt. A geocentrikus koordináta-rendszer esetében ezt a két pontot nevezzük Z zenitnek és N nadírpontnak. A Föld középpontján keresztül a ZN egyenesre bocsátott merőleges sík metszi ki az éggömbből a horizontot. A Föld forgástengelye az éggömböt a P északi és a P 0 déli póluspontokban metszi. A P , Z, P 0 és N pontokon áthaladó sík az M megfigyelő meridián síkja lesz, amely az éggömbből a meridiánt metszi
23
ki. A meridián és a horizont két pontban metszik egymást, a horizont Dh délpontjában és az Eh északpontjában. Vertikális köröknek nevezzük a zenitet és a nadírt összekötő félköröket. Első vertikálisoknak nevezzük azokat a vertikálisokat, amelyeknek a síkja merőleges a meridián síkjára. Egy C égitest szférikus helyének meghatározásához szükségünk van a magasságának illetve azimutjának megadására is. Ehhez először is húzzunk meg a C-n keresztül egy vertikális kört. Ez a horizontot egy pontban fogja metszeni, amit horizontális talppontnak nevezünk és Th -val jelölünk. Ha összekötjük a C, Th és O pontokat, akkor a COTh ^ jelöli a C pont m magasságát. Kössük össze a Dh , O és a C pontokat is, a C pont A azimutja éppen a Dh OTh ^ lesz.
5.1. ábra. A geocentrikus horizontális koordináta-rendszer (lásd Marik 22.oldal,1.8.ábra) A topocentrikus és a geocentrikus horizontális koordináták eltérnek egymástól, mivel az égitestek más irányból látszanak, illetve más szabja meg a zenit-nadír irányt. Utóbbit topo24
centrikus rendszer esetén a függőón iránya adja meg, míg geocentrikus rendszer esetében a Föld középpontját az M megfigyelő helyével összekötő egyenes. Így geocentrikus horizontális koordináta-rendszerben a koordináták megadásakor az égitest távolságának ismeretén kívül tudnunk kell a függőón irányának eltérését a Föld középpontjának irányától. A horizontális koordináta-rendszert akkor célszerű használnunk, ha például arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy égitest mikor kel, delel és nyugszik. Ugyanis keléskor magassága 0◦ és növekszik, deleléskor éppen maximális, nyugváskor pedig újra 0◦ és csökken.
5.2. Első egyenlítői koordináta-rendszer
5.2. ábra. Első egyenlítői koordináta-rendszer (lásd Marik 23.oldal, 1.9.ábra) Továbbá meg kell említenünk az egyenlítői koordináta-rendszereket, amelyből két félét 25
különböztetünk meg. Ezek az első és második egyenlítői koordináta-rendszerek. Mindkét rendszer esetében beszélhetünk geocentrikus vagy topocentrikus koordináta-rendszerről. Mi most mindkettőnél a geocentrikus esettel fogunk foglalkozni. Vagyis ebben az esetben az éggömb középpontja a Föld középpontja lesz. Tekintsük először az első egyenlítői koordináta-rendszert, ami a következőképp néz ki. Az éggömb O középpontján keresztül húzzunk a Föld forgástengelyével párhuzamos egyenest, ami ebben az esetben egybeesik a Föld forgástengelyével. Ez az egyenes két pontban metszi az éggömböt, a P északi póluspontban és a P 0 déli póluspontban. Majd az O ponton keresztül állítsunk a P P 0 egyenesre egy merőleges síkot. Ez a sík nem más, mint az égi egyenlítő síkja. A továbbiakban az égi jelzőt elhagyjuk. Ez az éggömböt egy főkörben metszi, amelynek a neve egyenlítő, vagy ekvátor. Az éggömb középpontján keresztül a függőón irányával párhuzamosan húzzunk egy egyenest. Ez az egyenes két pontban metszi az éggömböt, a Z zenitpontban és az N nadírpontban. A P , Z, P 0 , N pontok az éggömbön a meridiánt határozzák meg. Ha a meridiánon a P pontból a Z pont felé haladunk, akkor a meridián és az egyenlítő metszéspontjai az egyenlítő De délpontja és az egyenlítő Ee északpontja. A kiinduló irány az ODe irány, a körüljárási irány pedig a P pontból nézve az óramutató járásával egyezik meg. Ebben a rendszerben egy C égitest szférikus helyét a következőképpen tudjuk megadni: Húzzunk meg az éggömbön a P , C és a P 0 pontokon áthaladó főkört. Az egyenlítőt ez a főkör a Te egyenlítői talppontban metszi. Ha összekötjük az O pontot a Te és a C pontokkal, akkor a COTe ^ az égitest δ deklinációja lesz, a De OTe ^ pedig a t óraszöge. A deklinációt fokokban mérjük, amelynek értéke az egyenlítőn 0◦ , az északi póluspontban +90◦ , a déli póluspontban pedig −90◦ . Az óramutató járásával megegyező irányban órákban mérjük az t óraszöget. A teljes (360◦ -os) szögnek a 24h felel meg. Az egyenlítővel párhuzamos köröket deklinációs köröknek nevezzük, a P és P 0 pontokat összekötő félköröket pedig óraköröknek.
5.3. Második egyenlítői koordináta-rendszer Mint már korábban említettük a második egyenlítői koordináta-rendszernél is a geocentrikus esettel foglalkozunk. Az éggömb O középpontján keresztül húzzunk a Föld forgástengelyével párhuzamos egyenest, amely az éggömböt a P északi és P 0 déli póluspontokban metszi. Az O pontban a P P 0 egyenesre merőlegesen állított sík az éggömböt az egyenlítőben metszi. Az éggömb közép-
26
5.3. ábra. Második egyenlítői koordináta-rendszer (lásd Marik 27.oldal, 1.11.ábra) pontján keresztül húzzunk a Föld Nap körüli keringésének síkjával párhuzamos síkot. Ezt a síkot az ekliptika síkjának nevezzük. Az ekliptika síkja az éggömböt az ekliptikában metszi. Az ekliptika és az egyenlítő két pontban metszik egymást, a tavaszpontban és az őszpontban. Tavaszpontnak a pontok közül, azt a pontot nevezzük, amelyben a Nap évi mozgása során a déli féltekéről az északi féltekére lép. A tavaszpont segítségével definiálni tudjuk a csillagidőt, ami nem más a tavaszpont óraszöge. A második egyenlítői koordináta-rendszerben egy C égitest szférikus helyét a következőképpen tudjuk megadni. Húzzunk a P , C és P 0 pontokon keresztül egy órakört. Ez az órakör az egyenlítőt a Te egyenlítői talppontban metszi. Kössük össze az O pontot a Te és a C pontokkal. Mint ahogy az első egyenlítői koordináta-rendszernél, úgy itt is a COTe szög lesz a δ deklináció. Továbbá a OTe ^-t α-val jelöljük, és rektaszcenziónak nevezzük. A 27
rektaszcenziót a P pontból nézve az óramutató járásával ellentétes irányban, azaz a Nap évi mozgásával megegyező irányban mérjük órákban.
28
6. fejezet Átszámítás koordináta-rendszerek között A fejezetben olvasható információkat Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 1.3.3. fejezete alapján ismertetjük. Az égitestek kelésének, illetve nyugvásának időpontjának kiszámolásához a horizontális és egyenlítői koordináta-rendszerek között kell tudnunk átszámolni. A két koordináta-rendszer elemeit feltüntetjük a gömbön, ennek szemléltetésére használjuk a Lénárt-gömböt. A diákok ismét csoportban végezzék el a következő lépéseket. Nem szükséges pontos ábrát készíteniük, a feladat lényege, hogy alkalmazni tudják a koordinátarendszerekről szerzett ismereteiket. Ezzel a feladattal rögzítjük a tanultakat. 1. Egységnyi sugarú, O középpontú gömbön jelöljük az P északi pólust és a P 0 déli pólust. 2. Az egyenlítőt jelöljük e-vel, a zenitpontot Z-vel és a nadírpontot N -nel, és végül a horizontot h-val. 3. Ebben az esetben a P , Z, P 0 és N pontokon átmenő főkör a meridián. Az egyenlítő délpontját jelöljük De -vel, a horizont délpontját pedig Dh -val. 4. C ponttal jelöljük a gömbön egy térbeli pont, csillag szférikus helyét. Húzzunk a C ponton keresztül egy vertikális kört. Ez a kör a horizontot a Th horizontális talppontban metszi. 5. Húzzunk továbbá a C-n keresztül egy órakört is, amely az egyenlítővel vett metszéspontja a Te egyenlítői talppont lesz. A P ZC gömbháromszöget csillagászati háromszögnek vagy más néven parallaktikus háromszögnek nevezzük. 6. A feladatunk meghatározni ennek a csillagászati háromszögnek az oldalait és a szögeit. A csillagászati háromszög CP Z szöge megegyezik a De OTe szöggel, ami nem más, mint a C csillag t óraszöge. Vagyis: CP Z^ = t 29
6.1. ábra. Átszámolás az egyenlítői és a horizontális koordináta-rendszer között (lásd marik 61.oldal, 1.24.ábra) 7. A De ZC^ pedig megegyezik a Dh Th ^-gel, ami épp a C csillagunk A azimutja. 8. A csillagászati háromszög Z zenitnél lévő szögére teljesül az alábbi összefüggés: P ZC^ = 180◦ − A. 9. Hiszen a Dh Th ^ és a P ZC^ 180◦ -ra egészítik ki egymást. 10. A Th OC szög megegyezik a C csillag m magasságával,ezért ZC = 90◦ − m = z. Hisz ezek 90◦ -ra egészítik ki egymást. Itt z-vel a csillag zenittávolságát jelöltük. 11. A Te OC szögről tudjuk továbbá, hogy ez épp a C csillag δ deklinációja, vagyis 30
P C = 90◦ − δ. 12. A P Z oldal pont a ϕ földrajzi szélesség kiegészítő szöge, vagyis: P Z = 90◦ − ϕ. A továbbiakban a csillagászati háromszögre koncentrálunk, ezért külön ki is rajzoljuk ezt a könnyebb áttekinthetőség kedvéért.
6.2. ábra. A csillagászati háromszög (lásd Marik 61.oldal, 1.25.ábra) 13. Először is írjuk fel a csillagászati háromszögre a gömbháromszögekre vonatkozó szinusztételt: cos δ sin t = cos m sin A. 14. A következő lépésünkben írjuk fel az oldalakra koszinusztételt a t, majd a 180◦ −A szögre is: 15. sin m = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t, 31
16. sin δ = sin ϕ cos z − cos ϕ sin z cos A. 17. Mielőtt folytatnánk a műveletet, fontos megjegyeznünk néhány egyenlőséget. A szférikus csillagászatban ugyanis előfordulnak a gömbháromszögtannak különböző összefüggései, amelyek bizonyításától most eltekintünk.(hivatkozás: Marik 56. oldal) 1. sina cosβ = cosb sinc − sinb cosc cosα 2. sinb cosγ = cosc sina − sinc cosa cosβ 3. sinc cosα = cosa sinb − sina cosb cosγ 18. Visszatérve az előző gondolatmenetünkre, a t és a 180◦ −A szögekre írjuk fel a gömbháromszögtannak a szférikus csillagászatban előforduló első összefüggését úgy, hogy a=90◦ −δ, b=90◦ −m legyen, ekkor kapjuk: cos δ cos t = sin m cos ϕ + cos m sin ϕ cos A. 19. Majd írjuk fel az összefüggést úgy, hogy a=90◦ −m és b=90◦ −δ legyen: cos m cos A = − sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ cos t. 20. Mi most az egyenlítői koordinátákból szeretnénk a horizontális koordinátákat kiszámítani. Az ehhez szükséges egyenleteket most a könnyebb áttekinthetőség miatt egymás alá rendezzük. 21. cos m sin A = cos δ sin t, 22. sin m = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t, 23. cos m cos A = − sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ cos t. 24. Ha viszont horizontális koordinátákból szeretnénk az egyenlítői koordinátákat kiszámolni, akkor a következő egyenletekre lenne szükségünk: 25. cos δ sin t = cos m sin A 26. sin δ = sin ϕ cos z − cos ϕ sin z cos A 27. cos δ cos t = sin m cos ϕ + cos m sin ϕ cos A 28. Ha nem az első egyenlítői koordináták vannak megadva, hanem az α rektaszcenzió és a δ deklináció van megadva, akkor is ki tudjuk számítani az óraszöget, a következő kifejezés segítségével: t=s−α Ezt a képletet fel fogjuk használni a Nap kelésének kiszámításakor. 32
7. fejezet Távolságok kiszámítása a Föld felszínén A fejezetet Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 1.3.2. fejezete alapján tárgyaljuk. Földrajz órákon mindenki találkozhatott olyan feladattal, amelyben meg kell mérni a térképen két pont, város távolságát. A méréshez szükségünk van egy körzőre és vonalzóra. Először mi is ezt a módszert alkalmazzuk. Legyen a két városunk Szeged és Berlin, amelyeknek a távolságát ki fogjuk számolni. A feladat megoldásához középiskolás földrajzi atlaszt [7] használunk. Körző segítségével kimérjük a két város távolságát a térképen. A térkép jobb felső sarkában található egy beosztás, illetve elolvashatjuk, hogy milyen arányban van lekicsinyítve a térképen látható terület a valósághoz képest. Jelen esetben az adott szakasz hossza 150 km-nek felel meg, 50 km-enként van rajta egy jelölés, hogy könnyebb legyen a távolságok mérése. A körzővel lemért távolság ezek szerint körülbelül 840 km-nek felel meg, vagyis Berlin 840 km-re fekszik Szegedtől. A térképek torzítanak, valamint nehéz a távolságokat precízen lemérnünk, így az eredményünk nem pontos. Viszont mint már említettük, ki lehet számítani két adott földfelszíni pont távolságát a gömbháromszögtani ismereteinket alkalmazva. Először megnézzük az általános esetet, hogyan kell kiszámítani két pont távolságát, majd áttérünk a konkrét példánkra, hogyan tudjuk két adott város távolságát kiszámítani. Az egyszerűség kedvéért a Földet jelen esetben tökéletes gömbnek tekintjük. A gömb sugara R = 6 378 160 m. Ekkor 111, 32 km felel meg a Föld felszínén az 1◦ szögtávolságnak. Adataink Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvéből származnak. Szemléltessük a feladatunkat egy ábrán (7.1.ábra). Jelöljük be a gömbön a Föld P északi pólusát és P 0 déli pólusát. Jelöljük be az e egyenlítőt, illetve a g greenwichi meridiánt. Az egyenlítő és a greenwichi meridián a TG pontban metszik egymást. Ahogy már említettük, a feladat két pont, A és B egymástól mért távolságának kiszámítása. 33
7.1. ábra. A földfelszíni pontok távolságának kiszámítása (lásd Marik 60.oldal, 1.23.ábra) Első lépésként A-n és B-n keresztül meg kell húznunk egy-egy hosszúsági kört. Jelöljük Ta -val az A ponton keresztülhaladó hosszúsági kör és az egyenlítő metszéspontját, Tb -vel pedig a B ponton keresztülhaladó hosszúsági kör és az egyenlítő metszéspontját. Majd rajzoljunk be egy A-n és B-n egyaránt áthaladó főkört. A P , A és a B pontok egy gömbháromszöget alkotnak. Tekintsük a P -nél lévő szöget, amelyre teljesül: α = TG TB ^ − TG TA ^ = λB − λA , ahol λA és λB az A és B pontok földrajzi hosszúságát jelöli. A TA A^ pedig az A pont földrajzi szélessége, a TB B^ pedig a B ponté. Így kapjuk a gömbháromszög P A és P B oldalára: P A = 90◦ − ϕa és P B = 90◦ − ϕB . 34
7.2. ábra. A P AB gömbháromszög Ezek ismeretében írjuk fel a P AB gömbháromszög x = AB oldalára a gömbháromszögtan koszinusztételét: cos x = cos(90◦ − ϕA ) cos(90◦ − ϕB ) + sin(90◦ − ϕA )sin(90◦ − ϕB )cos(ϕB − ϕA ). Ezt az egyenletet átalakítva kapjuk a két pont távolságának koszinuszát, amiből már ki fogjuk tudni fejezni a távolságot: cos x = sin ϕA sin ϕB + cos ϕA cos ϕB cos (λB − λA ). Kiadjuk feladatnak, hogy a tanulók Lénárt-gömböt használva jelöljék be a városainkat. A pontosabb ábrázolás érdekében felhasználjuk a rajzgömbkészlethez tartozó posztert, amely segítségével pontosabban be tudjuk jelölni Berlint és Szegedet. Az előző logikai menetet követve rajzolják be az említett pontokat, vonalakat. Ebbe képletbe már be tudjuk helyettesíteni a két város koordinátáit. megjegyeznénk, hogy ezeket a koordináták egy pontra mutatnak a városokon belül, így számításunk is hozzávetőleges értéket fog adni. Berlin koordinátái északi szélesség 52◦ 310 és keleti hosszúság 13◦ 240 , Szeged koordinátái pedig a következők: északi szélesség 46◦ 150 és keleti hosszúság 20◦ 80 . Így a képlet a következőképpen alakul: cos x = sin 52◦ 310 sin 46◦ 150 + cos 52◦ 310 cos 46◦ 150 cos (20◦ 80 − 13◦ 240 ). Az egyenlet jobb oldalát kiszámolva kapjuk: 35
cos x ≈ 0, 9911 Vagyis x ≈ 7, 6403◦ . Korábban megállapítottuk, hogy 1◦ -nak 111, 32 km felel meg. Vagyis Berlin és Szeged távolsága megközelítőleg: 850, 5236 km. Láthatjuk, hogy a kapott két eredmény között elég kicsi a különbség.
36
8. fejezet Az égi testek kelésének és nyugvásának kiszámítása Ezt a részt Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 1.3.6. fejezete alapján ismertetjük. Néhány napilapban, mint például a Délmagyarország, az időjárási adatok mellett elolvashatjuk a Nap, illetve a Hold kelésének valamint nyugvásának az időpontját. Viszont honnan tudjuk ezeket az időpontokat? Ezen adatokat gömbháromszögtani ismereteinket felhasználva ki tudjuk számolni. Tekintsünk el a légkör fénytörő hatásától, a refrakciótól, ekkor egy égitest kelése és nyugvása pillanatában pontosan a horizont síkjában helyezkedik el, vagyis a magassága m = 0◦ . Ha behelyettesítjük az m értékét az átszámítás koordináta-rendszerek között című 5. fejezetben megismert sin m = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t egyenletbe, akkor kapjuk: 0 = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t. Az egyenletet rendezve kapjuk: cos t = − tg δ tg ϕ. Ez a számítás azonban nem pontos. A hiba oka ott keresendő, hogy a refrakció nem elhanyagolható szempont. A refrakció nem más, mint légköri fénytörés, emiatt a horizonthoz közeli égitest magasabban látszik a valós helyénél. Vagyis az égitest már akkor látszik a horizontban, amikor az valójában még a horizont alatt helyezkedik el. Ez 340 -ot jelent. Ha pontosabb eredményt szeretnénk kapni, a pontszerű és végtelen távol lévő égitest látszó kelését és nyugvását akarjuk kiszámítani, akkor sin m = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t egyenletünkbe az m = −340 -t kell behelyettesítenünk. Így a következő egyenletet kapjuk: 37
cos t =
− sin 340 − sin δ sin ϕ . cos δ cos ϕ
Bizonyos fizikai okok, mint például a refrakció( lásd korábban), miatt azonban néhány égitest átmérője nem nulla. Így a Nap óraszöge: cos t = −
sin 500 + sin δ sin ϕ , cos δ cos ϕ
ahol most a δ értéke a napkorong középpontjára vonatkozik. A Hold esetében pedig az alábbi egyenletet kapjuk: cos t =
sin 70 − sin δ sin ϕ , cos δ cos ϕ
itt a δ értéke a holdkorong középpontjára vonatkozik. A t értékének kiszámításakor a pozitív előjelű érték az égitest nyugvására, a negatív előjelű érték pedig az égitest kelésére vonatkozik. Mielőtt rátérnénk az égitestek kelésének, illetve nyugvásának csillagidejének kiszámítására, tisztáznunk kell, mit értünk csillagidő alatt. Ehhez Marik Miklós Csillagászat [6] című könyvének 1.2.2.fejezetét használjuk). Csillagidőnek nevezzük az időnek azt a mértékét, amelynek használata esetén a Föld egyenletes szögsebességgel forog a tengelye körül. A csillagidőről tudnunk kell, hogy nem múlik egyenletesen, hiszen a Föld forgási sebességében ingadozások figyelhetők meg. A csillagidőt a geocentrikus első egyenlítői koordinátarendszerben vizsgáljuk, ahol a megfigyelőhöz tartozó meridián síkja legyen a papír síkjában és jelöljük C-vel az égitest szférikus helyét. A Föld forgásával a megfigyelő a meridiánnal együtt 360◦ -kal fordul körbe egy nap alatt, viszont ezzel szemben a C csillag t óraszöge állandóan növekszik. A csillagidő definíciójához szükségünk van a tavaszpontra, így a csillagidőt a következőképpen definiálhatjuk: A csillagidő, amit s-sel jelölünk, a tavaszpont óraszögével egyenlő. Amikor a tavaszpont az M megfigyelő helyén delel, akkor ott a csillagidő 0h. A csillagidő pillanatnyi értékének meghatározásához meg kell adnunk a tavaszpont óraszögét, amit azonban nem tehetünk meg követlenül, hiszen nincs jelölve a helye az éggömbön. Viszont a csillagidő egyenlő a csillag óraszögének és a rektaszcenziónak az összegével. s = α + t. A csillagidő kiszámításának, valamint az égitest t óraszög kiszámításának ismeretében fel tudjuk írni egy adott égitest kelési csillagidejének, illetve nyugvási csillagidejének képletét. sK = αK + t− , 38
illetve sN y = αN y + t+ . Érdekességként megjegyeznénk, hogy van néhány módosító tényező. A megfigyelő szempontjában eltérés figyelhető meg a napkelte és a napnyugta időpontjáról. Ugyanis a Nap fénye már akkor látható, amikor a Nap még a horizont alatt helyezkedik el. Vagyis ha a megfigyelő h méterrel a horizont síkja felett helyezkedik el, akkor a napkelte illetve a napnyugta akkor következik be a megfigyelő számára, amikor a Nap magassága körülbelül: m ≈ − 500 − 20 , 12
√
h.
(lásd Marik [6] 73. oldal) A megfigyelő h tengerszint feletti magasságából adódó korrekciót horizontális depressziónak nevezzük. Abban az esetben, ha a vizsgált égitest olyan gyorsan mozog, hogy rektaszcenziója és deklinációja lényegesen változik egy nap folyamán, akkor a kelésének és nyugvásának idejét úgynevezett iterációval határozzuk meg. Az iteráció annyit tesz, hogy megadjuk a kelés és a nyugvás közelítő időpontjában az α és δ értékét, ezekkel kiszámítjuk a kelés és a nyugvás időpontját, majd α-t és δ-t erre az időpontra interpoláljuk, és a számítást ismét elvégezzük. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg két egymás utáni lépésben kapott eredmények a megadott pontosságon belül nem lesznek. Ezek ismeretében már ki tudjuk számítani a Nap kelését adott időpontban. Mi most a 2013.11.28.-i napfelkeltét szeretnénk kiszámítani. Az eredményünket később összehasonlítjuk a Csillagászati Évkönyvben található eredményekkel, épp ezért azokkal az adatokkal fogunk dolgozni, amelyek a Csillagászati Évkönyvben találhatóak. 1. Számolásunkat azzal kezdjük, hogy összegyűjtjük a szükséges adatokat. A Nap a deklinációja 00 : 00 KÖZEI (Közép Európai Zónaidőben) időpontban 2013.11.28.-án −21◦ 170 06”, a rektaszcenziója pedig 16:15:54, illetve 2013.11.29.-én a deklináció szintén 00 : 00 KÖZEI időpontban −21◦ 270 31” és a rektaszcenzió 16:20:22. A rektaszcenzióra a továbbiakban az α, a deklinációra pedig a δ jelölést használjuk. Az adataink meghatározása az égi mechanika feladata,amit mi most a dolgozatunkban nem tárgyalunk, hiszen ez a fizika területéhez tartozik. Így a deklinációt és a rektaszcenziót egy planetárium program segítségével határoztuk meg, amely internetről ingyenesen letölthető a www.stellarium.org oldalról. Ezen adatok csillagászati évkönyvekben is megtalálhatók, viszont csak 2007-ig találhatók meg, a későbbi évekhez tartozó adatokat nem tárgyalják. 39
2. Az adatainkat át kell számolnunk fokokba, ehhez a következő ismereteink szükségesek. Tudjuk, hogy 24 óra 360◦ -nak felel meg. Így kapjuk a szokásos jelölések mellett(az órát h-val, a percet min-nel és a másodpercet s-sel jelöljük), hogy 1h=15◦ , 1min=0, 25◦ , 1s=
1 ◦ . 240
Továbbá tudjuk, hogy 1h=60min=3600s. 3. Így az adataink a következőképpen alakulnak: • 2013.11.28: α = 16·15◦ +15·0, 25◦ +54· • 2013.11.28: δ=−(21 +
6 ◦ 17 + ) =−21, 285◦ 60 3600
• 2013.11.29.: α= 16·15◦ +20·0, 25◦ +22· • 2013.11.28.: δ=−(21 +
1 ◦ =243, 975◦ 240
1 ◦ =245, 0917◦ 240
27 31 ◦ + ) =−21, 4586◦ 60 3600
4. Most már ki tudjuk számolni a Nap kelésének tk óraszögét: 50 sin − sin(−21, 285) sin 47, 5 sin 500 + sin δ sin ϕ 60 cos t=− =− = 0, 402◦ , cos δ cos ϕ cos −21, 285 cos 47, 5 ahol ϕ a vizsgált hely, jelen esetben közelítőleg Budapest hosszúsági koordinátáját takarja. Azért ezzel az adattal számolunk, mert a Csillagászati évkönyvben [1] is ez az érték szerepelt. Így az összehasonlíthatóság érdekében mi is ezzel az adattal végezzük el számításainkat. 5. Elvégezve a számolást, ahol minden esetben négy tizedes jegyre kerekítettünk, a t-re kapjuk: t=66, 2967◦ 6. Ezzel nem kaptuk még meg a kelés óraszögét, hiszen tudjuk, hogy a kelés óraszöge negatív, míg a nyugvásé pozitív előjelű. Vagyis a kapott eredmény a nyugvás óraszöge lesz, ez meg kell szoroznunk −1-gyel, hogy megkapjuk a Nap kelésének óraszögét, ami: tk =−66, 2967◦ 40
7. A kelés s csillagidejének kiszámítására a következő képletet használjuk: sk =α+tk A kapott eredményünket behelyettesítve kapjuk: sk =243, 975◦ −66, 2967◦ =177, 6783◦ 8. Mielőtt tovább haladnánk meg kell adnunk, hogy Magyarországon 00 : 00 KÖZEI időpontban mennyi a csillagidő. A Csillagászati Évkönyvből kiolvastuk, hogy a 0 hosszúsági fokon 00 : 00-kor 04 : 28 : 13 a csillagidő. Magyarország a 19 hosszúsági fokon fekszik, vagyis az eltérés a két hely között pontosan 19◦ , ami átváltva 1h 16min. Magyarország viszont más időzónában található, mint a 0◦ -on fekvő Greenwich, kicsivel több, mint 1 óra az eltérés az időzónák között. Ez azzal magyarázható, hogy a csillagidő gyorsabban telik, mint az időzóna. Ami 24 óra, az csillagidőben 24 óra 3 perc és 56 másodperc csillagidőben. Azaz amíg eltelik 1 zónaóra, addig körülbelül 1 óra 10 másodperc telik el. Ezért a csillagidő a következőképpen módosul: 04 : 28 : 13 + 1 : 16 : 00 − 1 : 00 : 10 = 04 : 44 : 03 9. Ahhoz, hogy számolni tudjunk ezzel az adattal, át kell váltanunk fokokba: 4·15◦ +44·0, 25◦ +3·
1 ◦ =71, 0125◦ 240
10. Térjünk vissza a 7. pontban kapott eredményhez. Ahhoz, hogy a Magyarországi kelés időpontját kapjuk meg, még a hely között kiszámolt különbséget ki kell vonnunk a kapott sk csillagidőből. 177, 6783◦ −71, 0125◦ =106, 6658◦ 11. Meg kell jegyeznünk, hogy a csillagidő gyorsabban telik. így az eredményünk egy kis korrekcióra szorul. Ami 1 nap, vagyis 86400s, az csillagidőben 3min, 56s-mal több, mint 86400 =0, 997276 be kell szoroznunk a csillagidőnket. 24h. Vagyis ezzel az aránnyal: 86636 106, 6658◦ ·0, 997276=106, 3752◦ . 12. Ezt az eredményt már csak át kell váltani órákba és megkapjuk a Nap kelésének időpontját. Az átszámoláshoz megint csak azt használjuk, hogy 1h = 15◦ ; 1min = 0, 25◦ valamint 1 ◦ 1s = . Ezek alapján 07 : 05 : 30-kor kel fel a Nap Budapesten 2013.11.28.-án. 240 41
13. Az eredményünket még pontosíthatjuk, ha elvégzünk egy úgynevezett iterációs eljárást, ami annyiból áll, hogy kiszámoljuk először a 28.-i rektaszcenzió és deklináció segítségével a formulát használva az első közelítést a kelés időpontjára. Ezzel a lépésünkkel már meg is vagyunk. Majd lineáris interpolációval megbecsüljük, hogy ebben az időpontban mennyi volt a Nap deklinációja és rektaszcenziója. Ami annyit tesz, hogy a 29.-i és 28.-i értékeket egymásból kivonjuk, és az arányos részt hozzáadjuk a 28.-i értékhez. Ezzel az új értékkel újraszámoljuk a Nap kelésének időpontját. A második iteráció után már elég pontos adatot fogunk kapni, ez abból következik, hogy a Nap deklinációja és rektaszcenziója egy nap alatt nagyon keveset változik. Így az iterációt nem érdemes tovább számolni. 14. Kapjuk, hogy ∆δ = 1, 1167◦ és ∆α = −0, 1736 15. Az új rektaszcenzió és deklináció így a következőképpen alakul: α=1, 1167
106, 3752◦ + 243, 975◦ =244, 305◦ 360
és hasonló logika mellett a deklináció δ=−21, 3363◦ 16. Számoljuk újra a t óraszögét. cos t = −
0, 01454 − 0, 7373 · 0, 3638 =0, 4031 0, 6756 · 0, 9315
Vagyis a t=66, 2269◦ . A kelés óraszöge tk =−66, 2269◦ . 17. Ezt hozzáadva a 29.-i csillagidőhöz, a kelés csillagideje: sk =244, 305◦ − 66, 2269◦ =178, 0781◦ . 18. 178, 0781◦ −71, 0125◦ =107, 0656◦ . 19. Korrigáljuk ezt az eredményt: 107, 0656 · 0, 997276 = 106, 774◦ . Vagyis az első iteráció után a Nap kelésének időpontja: 07 : 07 : 06. 20. Az előző logika alapján alkalmazva újra az iterációs eljárást kapjuk, hogy 2013.11.28.án a Nap 07 : 06 : 00-kor kelt fel. Eredményünk természetesen teljesen pontos. A tanulóknak otthon le kell ellenőrizniük a számolást.
42
21. Az iterációs eljárást többször is megismételhetnénk, az eltérés nagyon minimális lenne. Mi most nem számolunk tovább, hisz az eredményünk Csillagászati Évkönyvben [1] olvasható adatokkal jobban már nem is egyezhetne. Az időpontot módosítaná a horizontális depresszió, amelyet mi most nem veszünk figyelembe. A Csillagászati Évkönyvben ugyanis a következő adatok szerepelnek: A Nap kelésének időpontja 2013.11.28.-án 07 : 06, illetve a Nap 15 : 57-kor nyugszik. A másodpercek ott nincsenek megadva. Vagyis összevetve az adatokat az eltérés minimális lehet. A diákoknak feladhatunk egy másik dátumot házi feladatnak, hogy ezek alapján számítsák a Nap kelésének idejét más időpontban is vagy akár a képlet és az adatok ismeretében a Nap nyugvását is kiszámolhatják 2013.11.28.-án. A Nap deklinációjának és rektaszcenziójának megadására használhatnak 2007-nél korábbi Csillagászati Évkönyveket, vagy planetárium programot. Célszerű ezeket az adatokat megadni, hogy egységes adatokkal dolgozzanak.
43
Irodalomjegyzék [1] Benkő József, Mizser Attila (szerk.), Meteor Csillagászati Évkönyv 2013, Magyar Csillagászati Egyesület, Budapest, 2012 [2] Hajós György, Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1999 [3] Csikós Balázs, Gömbi geometria, in Hraskó András, Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 337-374 o. [4] Kurusa Árpád, Nemeuklideszi geometriák, Polygon, Szeged, 2009 [5] Lénárt István, Sík és gömb: nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön: Munkalapok a síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlításához, Múzsák, Budapest, 1997 [6] Marik Miklós, Csillagászat, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1989 [7] szerk.: Nagymihály Mátyás, Földrajzi atlasz középiskolásoknak, Mozaik Kiadó, Szeged, 2009 [8] Pogáts Ferenc, Vektorok, koordinátageometria, trigonometria, Typotex, Budapest, 2005 [9] Sain Márton, Nincs királyi út!: matematikatörténet, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986 [10] Simonovits András, Válogatott fejezetek a matematika történetéből, Typotex, Budapest, 2009
44
Nyilatkozat Alulírott Farkas Éva kijelentem, hogy a szakdolgozatban foglaltak saját munkám eredményei, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy szakdolgozatomat a Szegedi Tudományegyetem könyvtárában a kölcsönözhető könyvek között helyezik el, és az interneten is nyilvánosságra hozhatják.
Farkas Éva 2013.12.06.
