GEOMETRICKÉ PRAVDĚPODOBNOSTI NA PŘELOMU 19. A 20. STOLETÍ

GEOMETRICKÉ PRAVDĚPODOBNOSTI NA PŘELOMU 19. A 20. STOLETÍ

Mezinárodní konference Historie matematiky Jevíčko, 24. – 28. srpna 2007

GEOMETRICKÉ PRAVDĚPODOBNOSTI NA PŘELOMU 19. A 20. STOLETÍ České země: • Augustin Pánek (1843 – 1908), 1881 – 1891 • Emanuel Czuber (1851 – 1925), 1884 – 1914 • Bohuslav Hostinský (1884 – 1951), 1917 – 1926

KOŘENY TEORIE GEOMETRICKÉ PRAV. • Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707 – 1788), 1733/1777 Úloha o jehle a několik dalších problémů • Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), 1812 • Isaac Todhunter (1820 – 1884), 1857 • Od roku 1860: Francouzští matematikové: Gabriel Lamé (1795 – 1870) Joseph Bertrand (1822 – 1900) Joseph-Émile Barbier (1839 – 1889) • Od roku 1865: British journal Mathematical Questions with Their Solutions from the ‘Educational Times‘: různé problémy a úlohy týkající se geometrické pravděpodobnosti James Joseph Sylvester (1814 – 1897) Morgan William Crofton (1821 – 1895) Thomas Archer Hirst (1830 – 1892) Arthur Cayley (1821 – 1895) a další

AUGUSTIN PÁNEK (1843 – 1908) * 3. prosince 1843 v Praze středoškolský profesor 1872 soukromý docent na české technice v Praze 1896 mimořádný prof. tamtéž 1904 řádný profesor tamtéž † 10. prosince 1908 v Praze

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925) * 19. ledna 1851 v Praze studium na německé polytechnice profesor na německé reálce v Praze 1886 – 91 profesor matematiky na německé technice v Brně 1891 – 1921 prof. na technice ve Vídni † 22. srpna 1925 v Gniglu u Salcburku

BOHUSLAV HOSTINSKÝ (1884 – 1951) * 5.12.1884 v Praze 1907 titul PhDr. (filosofie) → suplující učitel na gymnáziu 1908/09 studium v Paříži 1912 habilitace na FF UK → soukromý doc. pro vyšší mat. 1920 řádný profesor PřF MU zakladatel a ředitel Ústavu teoretické fyziky, PřF MU 1920-1951 děkan PřF MU: 1921–22, 1927–28, 1945 † 13.4.1951 v Brně

GEOMETRICKÁ PRAVDĚPODOBNOST Klasická pravděpodobnost: – založena na kombinatorických úvahách – např.: pravděpodobnost, že ve dvou hodech padne dvakrát kachnička: P (2h2k) =

počet příznivých případů počet všech možných případů

Geometrická pravděpodobnost: – nespočetná množství případů – např.: pravděpodobnost, že bod, který leží v množině A, leží i v množině B: Míra množniny A P( X ↑ A | X ↑ B) = Míra množniny B


Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707 – 1788) francouzský přírodovědec odpůrce hazardních her – částka, kterou člověk může prohrát, je příliš vysoká na to, aby se dalo uvažovat o účasti ve hře (1777) Petrohradský problém, úmrtnostní tabulky použití geometrie a integrálního počtu k řešení pravděpodobnostních problémů 1733 – snaha o vstup do pařížské akad. věd Mémoire sur le jeu de franc-carreau nemohlo být publ. – nebyl členem AV, ale pomohlo k přijetí – 1734 otištěno v dodatku k práci Essai d’arithmétique morale, 1777 • úloha o dlaždici • úloha o jehle • úloha o mřížce

Buffonova úloha o jehle

Rovinná oblast odpovídající příznivým jevům: π

S příz . = ∫ l sin α dα = l 2 0

P ( l ↑ D) =

l = 2l π ⋅ d πd 2

l ↑ D ⇔ x ≤ l sin α 2

V dnešní terminologii: Pozice jehly je určena parametry x ∈ ⎡ 0,

⎢⎣

d ⎤ , α ∈ 0, π [ ] 2 ⎥⎦

Předpokládáme, že α, x mají rovnoměrná rozložení a jsou nezávislé na příslušných intervalech, osa jehly může padnout do kteréhokoli směru se stejnou pravděpodobností π 2l sin α

⇒ P ( l ↑ D) = ∫

∫

0

0

2 dx dα = 2l πd πd

l ↑ D ⇔ x ≤ l sin α 2

• Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), 1812 základě Bernoulliova slabého zákona velkých čísel navrhl použít Buffonem nalezenou pravděpodobnost 2l/πd, že jehla délky l, vržená na síť rovnoběžek vedených ve vzdálenostech d > l, protne některou rovnoběžku, k odhadu hodnoty čísla π

• Isaac Todhunter (1820 – 1884), 1857 místo jehly uvažoval eliptický disk s hlavní poloosou délky l
• Gabriel Lamé (1795 – 1870) diskuse o zobecněné Buffonově úloze pro kruh, elipsu a pravidelné mnohoúhelníky zahrnul do přednášek na Université de Paris (jeden ze studentů: Joseph-Émile Barbier – abs. 1860)

Joseph-Émile Barbier (1839 – 1889) uvědomil si, že řešení všech dosud uvažovaných speciálních případů jsou téhož tvaru → rozšířil na libovolnou konvexní rovinnou oblast → na libovolnou nepřerušenou křivku

Elegantní řešení Buffonovy úlohy bez integrálů

X1 ... počet průsečíků; náhodná proměnná Střední hodnota:

pn ... pravděpodobnost, že průsečíků je právě n

Stále platí:

Obecně pro lomenou čáru:

f ( X1 + X 2 ) = f ( X1 ) + f ( X 2 ) f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⇒ f (0) = 0

f ( 2 X1 ) = f ( X1 + X1 ) = f ( X1 ) + f ( X1 ) = 2 f ( X1 )

f ( X ) = rX

li → 0

Y ... počet průsečíků křivky C délky Střední hodnota:

l≥0

, r = konst. E ( Y ) = rl

Určení hodnoty konstanty k: Za křivku C zvolíme kružnici o průměru d Počet průsečíků při libovolné poloze C:

Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd


Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd Libovolná křivka C :

2 E (Y ) = ⋅l πd


Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd Libovolná křivka C : Jehla délky l < d :

2 E (Y ) = ⋅l πd E ( Y ) = 0 ⋅ p0 + 1 ⋅ p1 = p1 = 2l πd

Odhad délky čárového systému

E (Y ) = 2 ⋅ l πd

π d [l] = ⋅ N 2

ho systému

π d [l ] = ⋅ N 2

popř.

[l] =

π E (d ) 2

⋅N

Délková intenzita testovacího systému:

a a⋅ LSA = 2d = 1 d a

π ⋅ 1 ⋅N l = [] 2 S LA

¬ místo rovnoběžek systém křivek

¬ lomená čára o délce LS

1 π [l] = ⋅ S ⋅ N 2 LA

S L LSA = A

π A [l] = ⋅ S ⋅ N 2 L

S 2 lL [ A] = π N

Ants estimate area using Buffon’s needle Eamonn B. Mallon, Nigel R. Franks

LS S 2 lL [ A] = π N

l

How Might Individual Honeybees Measure Massive Volumes? Nigel R. Franks, Anna Dornhaus

Jak mohou jednotlivé včely měřit velké objemy možných míst pro hnízdo pomocí zobecněné „Buffonovy metody“

AUGUSTIN PÁNEK (1843 – 1908) * 3. prosince 1843 v Praze středoškolský profesor 1872 soukromý docent na české technice v Praze 1896 mimořádný prof. tamtéž 1904 řádný profesor tamtéž † 10. prosince 1908 v Praze

AUGUSTIN PÁNEK (1843 – 1908) Experimentální určení Ludolfského čísla, ČPMF 10(1881) Počet pravděpodobnosti v geometrii, ČPMF 11(1882)

Příspěvek k počtu pravděpodobnosti, ČPMF 13(1884)

Úloha z počtu pravděpodobnosti, ČPMF 15(1886) Dva vlaky U a V, jichž délky jsou u a v, pohybují se směrem ke společné křižovatce libovolnou rychlostí; je-li první vlak od ní vzdálen o a, druhý o b, při čemž a > b, a supponujeme-li, že konec vlaku V jest buď bližší buď vzdálenější křižovatky než počátek vlaku U, jaká jest pravděpodobnosť, že nastane u křižovatky srážka obou vlakův? Nazvěmež rychlosti vlaků x, y i předpokládejme, že žádná není větší c.

V první ... b ≤ a ≤ b + v y

x

y

nebo U první ... a ≤ b ≤ a + u x

y

x


x

y

⇔

b ≤ y ≤ b+v a x a

⇔

a ≤ x ≤ a+u b y b


y

x


x

y

⇔


⇔

b ≤ y≤b a+u x a


y

x


x

y

⇔



y

x

⇔

b ≤ y≤b a+u x a

}

b ≤ y ≤ b+v a+u x a

Neštěstí nastane při poměru rychlostí

b ≤ y ≤ b+v a+u x a

b+v <1 a

b+v <1 a

⇔

b+v < a

Konec vlaku V je ke křižovatce blíž než začátek vlaku U

b+v <1 a

SOMN

(

2 c b + v b = − 2 a a+u

)

SOABC = c 2

Pravděpodobnost neštěstí:

(

p= 1 b+v − b 2 a a+u

)

b+v >1 a

b+v >1 a

⇔

b+v > a

Konec vlaku V je od křižovatky dále než začátek vlaku U

b+v >1 a

SOAM

2 1 bc = ⋅ 2 a+u

SONC

2 1 ac = ⋅ 2 b+v

SOABC = c 2

Pravděpodobnost neštěstí:

(

p = 1− 1 b − a 2 a+u b+v

)

Řešení Laurentovy úlohy z počtu pravděpodobnosti, ČPMF 15(1891) [problém setkání]

Formulace, nesprávné řešení: H. Laurent: Traité du calcul des probabilités, 1873 Srávné řešení: Miller, 1881 [Czuber, 1884 – neuveden]

Řešení Laurentovy úlohy z počtu pravděpodobnosti, ČPMF 15(1891) [problém setkání]

Formulace, nesprávné řešení: H. Laurent: Traité du calcul des probabilités, 1873 Srávné řešení: Miller, 1881 [Czuber, 1884 – neuveden]

Množina všech možných případů: Ω = {( t A , t B ) : 5 ≤ t A , t B ≤ 6} Množina příznivých případů: {( t A , t B ) : | t A − t B |≤ 1/ 6}

Množina všech možných případů: Ω = {( t A , t B ) : 5 ≤ t A , t B ≤ 6} Množina příznivých případů: {( t A , t B ) : | t A − t B |≤ 1/ 6} Pravděpodobnost setkání:

( )

p = 1− 5 6

2

= 11 36

Problém z geometrické pravděpodobnosti, ČPMF 15(1891)

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925) * 19. ledna 1851 v Praze studium na německé polytechnice profesor na německé reálce v Praze 1886 – 91 profesor matematiky na německé technice v Brně 1891 – 1921 prof. na technice ve Vídni † 22. srpna 1925 v Gniglu u Salcburku

EMANUEL CZUBER (1851 – 1925) Zur Theorie der Geometrischen Wahrscheinlichkeiten, 1884 Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien 90, 719 – 742 Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, 1884 z

První monografie věnovaná výhradně geometrické pravd.

z

Tehdejší stav teorie + nové myšlenky a zobecnění

z

Historický vývoj od Buffona po “současnost”

z

Explicitní citace francouzských a anglických předchůdců → most mezi Francií and Anglií

z

Zobecnění Croftonových výsledků (1968; největší uznání)

z

Teoretický výklad + příklady


Bohuslav Hostinský • Buffonova úloha (1917, 1920) Nové řešení Buffonovy úlohy o jehle. Rozpravy ČAVU 26(1917) Sur une nouvelle solluation du probléme d’aigulle. Bull. Sci. 44(1920) • Sur les probabilités géométriques (1925). Spisy Brno, 26 stran Rozšíření prací M. W. Croftona: On the theory of local probability, Phil. Trans. A158 (1868), 181–199; E. Czubera: Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, Leipzig 1884; Zur Theorie der geom. Wahrscheinlichkeiten, Sitz. Wien 1884, 719-742

• Geometrické pravděpodobnosti (1926) Nadlouho jediná česká publikace s touto tématikou Opět odkazuje na Czubera

Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, 1884 Úvod Věta: Vztah množin bodů obsažených ve dvou křivkách/ plochách/prostorových oblastech je vyjádřen vztahem délek těchto křivek/obsahů těchto ploch/objemů těchto oblastí.

Poznámka:

Příklad – ztracené klíče:

Příklad – ztracené klíče:

Jaká je pravděpodobnost, že klíče leží na AB?

| AB | P= | AC |

Body na přímce, křivce ... míra: délka P ( X ↑ CD | X ↑ AB ) = CD AB

Příklad – ztracená peněženka:

Body v rovině

Jaká je pravděpodobnost, že zasáhnu černý kruh, zasáhnu-li vůbec terč?

Jaká je pravděpodobnost, že zasáhnu černý kruh, zasáhnu-li vůbec terč?

P=

Obsah černého kruhu Obsah největšího kruhu

Pravděpodobnost, že bod X, který zasáhne množinu B, zasáhne také množinu A:

P(X ↑ A | X ↑ B) =

Míra množiny A Míra množiny B

Body v rovinné/prostorové oblasti ... míra: obsah/objem

P(X ↑ A | X ↑ B) =

m(A) m(B)

Věta: Vztah množin bodů obsažených ve dvou křivkách/ plochách/prostorových oblastech je vyjádřen vztahem délek těchto křivek/obsahů těchto ploch/objemů těchto oblastí. Počet

v B ... Z

Obsah B: Δ xα Δ y β = Z ⋅ 1 ∑ ∑ M α β

2

Z lim dxdy = ∫∫B M2 Z′ = lim dxdy ∫∫A M2

Z′ 2 ′ p = lim Z = lim M = Z Z M2

∫∫ A dxdy ∫∫B dxdy


P(X ↑ A | X ↑ B) =

m(A) m(B)


m(A) ⎛ Nzasah ⎞ P(X ↑ A | X ↑ B) = =⎜ ⎟ m(B) ⎝ Ncelk ⎠

B Řez tkání B o tloušťce d: zasažení body testovací mřížky

A

Bodová testovací mřížka

Řez lasturou Počet průsečíků hodnocené struktury s náhodnou sítí bodů superponovaných se snímkem

⇒

odhad obsahu plošných oblastí (profil cévy, léze)

Bodová testovací mřížka – aorta apoE-deficientní myši

Věta: Vztah množin bodů obsažených ve dvou křivkách/ plochách/prostorových oblastech je vyjádřen vztahem délek těchto křivek/obsahů těchto ploch/objemů těchto oblastí.

dxdy ∫∫ A P ( X ↑ A| X ↑ B) = ∫∫B dxdy

= obsah oblasti A obsah oblasti B Analogicky v Rn :

L ∫ dx1dx 2 L dx n obsah oblasti A ∫∫ A P ( X ↑ A| X ↑ B) = = ∫∫ L ∫B dx1dx2 L dxn obsah oblasti B

Sonda do tkáně

Geologický průzkum

Ropný průzkum/vrt

Přímky v rovině Věta: Množství přímek, které procházejí daným bodem mezi dvěma danými přímkami, je měřeno úhlem, který tyto přímky svírají.

Přímky v rovině Věta: Množství přímek, které procházejí daným bodem mezi dvěma danými přímkami, je měřeno úhlem, který tyto přímky svírají.

Věta: Množství přímek, které jsou vedeny v daném směru mezi dvěma danými rovnoběžkami, je měřeno kolmou vzdáleností hraničních přímek.

n = (cos ϕ , sin ϕ ) x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ = c např. P ∈ r q ⋅ cos 2 ϕ + q ⋅ sin 2 ϕ = c q=c

r : x cos ϕ + y sin ϕ − q = 0

r : x cos ϕ + y sin ϕ − q = 0

q2

∫q

ϕ2

∫ϕ

dq

1

Míra přímek v rovině:

1

M = ∫∫ dqdϕ B

dϕ

Pravděpodobnost, že přímka (q, ϕ ) , náhodně zvolená v A, je rovněž obsažena v podmnožině A1:

P ((q , ϕ ) ↑ A1 | (q , ϕ ) ↑ A) =

∫∫ dqdϕ A1

∫∫ dqdϕ A

Hostinský, 1926: Aditivita: OK Translační a rotační invariance: Translace:

ϕ = ϕ ′ , q = q′ + c Rotace:

ϕ = ϕ ′ + α , q = q′ M = ∫∫ f ( q , ϕ ) dqdϕ = ∫∫ A

A′

f ( q′, ϕ ′ ) ⋅ 1 dq′ dϕ ′

⇒ f ( q , ϕ ) = konst .

Křivky v rovině, jejich interakce se soubory přímek K … uzavřená konvexní křivka (každou přímkou je proťata nejvýše ve dvou bodech)

Věta: Mírou všech přímek protínajících křivku K je obvod K

π

∫ bdϕ = L 0

Důsledek: Pravděpodobnost p, že přímka, protínající konvexní obrazec k1 o obvodě L1, protíná současně jiný konvexní obrazec k2, jenž leží uvnitř k1 a má obvod L2, je

p=

L2 L1 .

Využití: Buffonova úloha o jehle 2a ... vzdálenost sousedních rovnoběžek 2b ... délka jehly, 2a < 2b Místo jehly vrháme kotouč o průměru 2a, na němž je nakreslena úsečka (jehla) o délce 2b Pravděpodobnost, že přímka, jež protíná kružnici o obvodu 2πa, protíná současně úsečku délky 2b (tj. L=4b), položenou uvnitř kružnice:

p = 2 ⋅ 2b π ⋅ 2a

⇒ π = 2b ap

Interakce rovinných křivek se systémy přímek Ω ... plošný obsah obrazce vymezeného uzavř. konvex. křivkou L ... jeho obvod C ... délka tětivy

∫∫ Cdpdϕ = π Ω L Cdpdϕ = L ⋅ E C = π Ω Cdpd = ϕ ( ) ∫∫ L ∫∫ E (C ) = π Ω L

Croftonův vzorec: Ω ... plošný obsah obrazce vymezeného uzavř. konvex. křivkou L ... jeho obvod C ... délka tětivy

3dpdϕ = 3Ω 2 C ∫∫

3dpdϕ = L 3dpd ϕ = LE (C 3 ) = 3Ω 2 C C ∫∫ L ∫∫

Ω 2 = 1 LE (C 3 ) 3

Přímky v rovině Míra množiny všech přímek procházejících daným bodem = π = polovina obvodu jednotkové kružnice

Míra množiny všech paprsků procházejících daným bodem = 2π

Přímky v prostoru Míra množiny všech přímek procházejících daným bodem = 2π = polovina povrchu jednotkové sféry

Míra množiny všech paprsků procházejících daným bodem = 4π

Přímky v prostoru Věta: Množství všech libovolných přímek, které protínají uzavřenou konvexní plochu, je měřeno jejím obsahem. Crofton, 1868 (závěrečná poznámka)

Ω ... míra množiny všech přímek protínajících S, rovnoběžných s m

Míra množiny všech přímek protínajících plochu S: ππ

M = ∫ ∫ Ω sin θ dθ dϕ = π S 2 00

Důsledek: Pravděpodobnost p, že přímka, protínající konvexní plochu K1 o obsahu S1, protíná současně jinou konvexní plochu K2, jež leží uvnitř K1 a má obsah S2, je

p=

S2 S1 .

Roviny v prostoru Míra množiny všech rovin obsahujících danou přímku = 2π Normály:

Míra množiny všech polorovin obsahujících danou přímku = 4π Míra množiny všech rovin procházejících daným bodem = 2π Normály = všechny přímky v prostoru procházející tímto bodem

Roviny v prostoru Míra množiny všech rovin ležících mezi dvěma danými rovnoběžnými rovinami = vzdálenost hraničních rovin

Roviny v prostoru Věta: Míra všech libovolných rovin, které protínají uzavřenou konvexní plochu S, je .

∫∫ p sin θ dϕdθ

O ... uvnitř S

τ ... tečná rovina k S p ... vzdálenost O od τ

Crofton, 1868 (závěrečná pozn.)

Úlohy o skupině více bodů – úlohy Interakce ploch se soubory rovin – úlohy Geometrické střední hodnoty

Croftonův (-Hostinského) vzorec: Ω ... plošný obsah obrazce vymezeného uzavř. konvex. křivkou L ... jeho obvod C ... délka tětivy

3 dpd ϕ = 3Ω 2 C ∫∫

3dpdϕ = L 3dpd ϕ = LE (C 3 ) = 3Ω 2 C C ∫∫ L ∫∫

Ω 2 = 1 LE (C 3 ) 3

Hostinský, 1925: zobecnění na plochy v prostoru Sur les probabilités géométriques (1925). Spisy Brno V ... objem oblasti v prostoru ohraničené uzavřenou konvexní plochou S C ... délka části sečny uvnitř S Ω ... prostorový úhel Q ... obsah rovnoběžníka v rovině Oxy

V 2 = 1 ∫ ∫ ∫ ∫ C 4d Qd Ω 6

πS 1 1 2 2 4 V = ∫ ∫ ∫ ∫ C dQd Ω = ⋅ 1 6 6 2πS 1

4dQd Ω = π SE (C 4 ) C ∫∫∫∫ 12

Stereologie Odhady geometrických charakteristik trojrozměrných struktur na základě pozorování sond nižší dimenze (rovin řezu, projekcí) Globální stereologické vzorce

VV = S S = LL = PP VV ... objemový podíl fáze v objemu vzorku SS ... střední plošný podíl fáze v rovině řezu LL ... střední délkový podíl fáze na lineární sondě PP ... střední podíl počtu bodů uvnitř fáze ku celkovému počtu bodů bodové sondy uvnitř vzorku

Strukturální analýza defektů a nečistot v materiálech

Sonda do tkáně

Geologický průzkum

Ropný průzkum/vrt

Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen, 1899 (Jahresbericht der DMV, 1– 271) z

Vývoj teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací

z

První část: základy teorie pravděpodobnosti – velká pozornost rovněž geometrické pravděpodobnosti

Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Lebensversicherung, 1903 (Teubner, Leipzig) [2. vyd. 1908 (1. díl) a 1910 (2. díl), 3. vyd. 1914] z

Samostatná kapitola: geometrická pravděpodobnost 3. vydání: odkazuje na A. A. Markova, Louise Bacheliera, diskuse Bertrandova paradoxu [1889]

Bertrandův paradox pravděpodobnost, že délka náhodně zvolené tětivy kruhu je větší než délka strany vepsaného rovnostran. trojúhelníka

p=

1 2


1 p= 3


π R2 / 4 1 p= = 2 4 πR


p=

1 2

p=

1 3

Czuber – ještě další tři jiné hodnoty

p=

1 4

Co znamená „náhodně zvolená tětiva“?

1 p= 2

Také Hostinský oponuje Bertrandově skeptickému stanovisku: Podle Borela: je nutno přihlédnout ke způsobu, jímž se děje náhod. volba tětivy – co znamená „náhodně vybraná tětiva“? Bertrand: nepřihlíží k experimentálním podmínkám, za kterých se náhodná volba děje → rozumný výpočet pravděpodobnosti se může provést jen se zřetelem k nim

Každý z důkazů má dobrý smysl, každý odpovídá různým podmínkám pokusu

vrh kotouče na rovinu s ekvidistantními rovnoběžkami

Také Hostinský oponuje Bertrandově skeptickému stanovisku: Podle Borela: je nutno přihlédnout ke způsobu, jímž se děje náhod. volba tětivy – co znamená „náhodně vybraná tětiva“? Bertrand: nepřihlíží k experimentálním podmínkám, za kterých se náhodná volba děje → rozumný výpočet pravděpodobnosti se může provést jen se zřetelem k nim


pevná přímka AB, roztočíme kotouč s trojúhelníkem kolem B

Také Hostinský oponuje Bertrandově skeptickému stanovisku: Podle Borela: je nutno přihlédnout ke způsobu, jímž se děje náhodná volba tětivy Bertrand: nepřihlíží k experimentálním podmínkám, za kterých se náhodná volba děje → rozumný výpočet pravděpodobnosti se může provést jen se zřetelem k nim


vrh semínka na kruh – kam padne, to bude střed tětivy

Závěr: Bertrandovo paradoxon má základ v tom, že se naprosto nepřihlíží k experimentálním podmínkám, za kterých se děje „náhodná volba“ tětivy. Rozumný výpočet pravděpodobnosti může se však provésti jen se zřetelem k nim….

Každý z důkazů I, II, III má svůj dobrý smysl; odpovídají však po řadě různým podmínkám pokusu I’, II’, III’.

Janes, E. T.: The Well-Posed Problem, 1973

Kdy mají takovéto problémy řešení? Za jakých podmínek jsou řešení experimentálně ověřitelná?

Požadavky invariance (rotace, translace, změna měřítka) Poloha sečny určena polárními souřadnicemi jejího středu Závěr: hustota pravděpodobnosti uvnitř kruhu:

f

( r , θ ) = 2π1Rr , 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π

Což odpovídá způsobu I a pravděpodobnosti 1/2

Janes, E. T.: The Well-Posed Problem, 1973 Požadavky invariance (rotace, translace, změna měřítka) Poloha sečny určena polárními souřadnicemi jejího středu Závěr: hustota pravděpodobnosti uvnitř kruhu:

f

( r , θ ) = 2π1Rr , 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π


Janes, E. T.: The Well-Posed Problem, 1973 Požadavky invariance (rotace, translace, změna měřítka) Poloha sečny určena polárními souřadnicemi jejího středu Závěr: hustota pravděpodobnosti uvnitř kruhu:

f

( r , θ ) = 2π1Rr , 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π


BOHUSLAV HOSTINSKÝ (1884 – 1951) * 5.12.1884 v Praze 1907 titul PhDr. (filosofie) → suplující učitel na gymnáziu 1908/09 studium v Paříži 1912 habilitace na FF UK → soukromý doc. pro vyšší mat. 1920 řádný profesor PřF MU zakladatel a ředitel Ústavu teoretické fyziky, PřF MU 1920-1951 děkan PřF MU: 1921–22, 1927–28, 1945 † 13.4.1951 v Brně

Obory zájmu • Analytická a diferenciální geometrie (zejm. 1906 – 1915) • Matematická analýza • Teorie pravděpodobnosti (od r. 1917) o Geometrická pravděpodobnost (od r. 1917 – Buffonova úloha) o Markovské procesy, časový vývoj soustav

• Fyzika (od r. 1917) o Odraz světla na rovinné křivce o Mechanické a elektromagnetické kmity o Pohyb bodu v silovém poli o Kinetická teorie plynů

Geometrická pravděpodobnost • Buffonova úloha (1917, 1920) Nové řešení Buffonovy úlohy o jehle. Rozpravy ČAVU 26(1917) Sur une nouvelle solluation du probléme d’aigulle. Bull. Sci. 44(1920) • Sur les probabilités géométriques (1925). Spisy Brno, 26 stran Rozšíření prací M. W. Croftona: On the theory of local probability, Phil. Trans. A158 (1868), 181–199; E. Czubera: Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, Leipzig 1884; Zur Theorie der geom. Wahrscheinlichkeiten, Sitz. Wien 1884, 719-742

• Geometrické pravděpodobnosti (1926) Nadlouho jediná česká publikace s touto tématikou Opět odkazuje na Czubera

Geometrická pravděpodobnost Motivace: • studium kinetické teorie plynů • Bertrandovy paradoxy (→ obecný zájem o geom. prav.)

Buffonova úloha o jehle • Nové řešení Buffonovy úlohy o jehle Rozpravy ČAVU 26(1917) • Sur une nouvelle solluation du probléme d’aigulle Bull. Sci. Math. 44 (1920), 125–136.

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707 – 1788) francouzský přírodovědec odpůrce hazardních her – částka, kterou člověk může prohrát, je příliš vysoká na to, aby se dalo uvažovat o účasti ve hře (1777) Petrohradský problém, úmrtnostní tabulky použití geometrie a integrálního počtu k řešení pravděpodobnostních problémů 1733 – snaha o vstup do pařížské akad. věd Mémoire sur le jeu de franc-carreau nemohlo být publ. – nebyl členem AV, ale pomohlo k přijetí – 1734 otištěno v dodatku k práci Essai d’arithmétique morale, 1777 • úloha o dlaždici • úloha o jehle • úloha o mřížce

Buffonova úloha o jehle

Rovinná oblast odpovídající příznivým jevům: π

S příz . = ∫ l sin α dα = l 2 0

P ( l ↑ D) =

l = 2l π ⋅ d πd 2

l ↑ D ⇔ x ≤ l sin α 2

V dnešní terminologii: Pozice jehly je určena parametry x ∈ ⎡ 0,

⎢⎣

d ⎤ , α ∈ 0, π [ ] 2 ⎥⎦

Předpokládáme, že α, x mají rovnoměrná rozložení a jsou nezávislé na příslušných intervalech, osa jehly může padnout do kteréhokoli směru se stejnou pravděpodobností π 2l sin α

⇒ P ( l ↑ D) = ∫ 0

∫ 0

2 dx dα = 2l πd πd

l ↑ D ⇔ x ≤ l sin α 2

• Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), 1812 základě Bernoulliova slabého zákona velkých čísel navrhl použít Buffonem nalezenou pravděpodobnost 2l/πd, že jehla délky l, vržená na síť rovnoběžek vedených ve vzdálenostech d > l, protne některou rovnoběžku, k odhadu hodnoty čísla π

• Isaac Todhunter (1820 – 1884), 1857 místo jehly uvažoval eliptický disk s hlavní poloosou délky l
• Gabriel Lamé (1795 – 1870) diskuse o zobecněné Buffonově úloze pro kruh, elipsu a pravidelné mnohoúhelníky zahrnul do přednášek na Université de Paris (jeden ze studentů: Joseph-Émile Barbier – abs. 1860)

Předpoklady v pozadí “klasického řešení”: z z

z

Rovnoběžky jsou narýsovány na neomezené desce Pravděpodobnost, že střed jehly dopadne do oblasti o obsahu ε je úměrná tomuto obsahu a je nezávislá na poloze oblasti Osa jehly může dopadnout do libovolného směru se stejnou pravděpodobností

Předpoklady v pozadí “klasického řešení”: z z

z


Hostinský, 1917, 1920: Žádný reálný experiment nemůže tyto předpoklady splňovat

6. Poincaréova metoda libovolných funkcí H. Poincaré, 1912: Calcul des Probabilités, 2. vyd. Ne vždy můžeme všechny případy, které se mohou vyskytnout, považovat za stejně pravděpodobné Problém rulety I když je ruleta dokonale vyrobena, nemůžeme tvrdit, že pravděpodobnost zastavení jehly u určité výseče je pro všechny výseče naprosto stejná. Např. ke konci pohybu stačí zrnko prachu na to, aby se jehla zastavila u určité výseče

Problém rulety Pravděpodobnost, že se jehla zastaví v ( θ , θ + dθ ) ... ϕ ( θ ) dθ ∞

∫−∞ ϕ (θ ) dθ = 1

Pravděpodobnost, že vyjde červená:

pn = ∑ k ∫

∃ K ∀ θ : ϕ ′ ( θ ) < K ⇒ lim pn = 1 2 n→∞

a2 k

a 2 k −1

ϕ ( θ ) dθ

Hostinský – zobecnění A ... souvislá oblast v R3 Objem oblasti A ... V A =

∫∫∫

A

dxdydz

Rozdělme oblast A na m elementárních oborů o objemu

VA ε= m lim diam ε = 0

m →∞

Hostinský – zobecnění A ... souvislá oblast v R3 Objem oblasti A ... V A =

∫∫∫

A

dxdydz

Rozdělme každý elem. obor na 2 části o objemech

λε , ( 1 − λ ) ε , kde λ je stejné pro všechny elem. obory

A1

ϕ : R3 → R ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , spoj. v R 3 ∂x ∂y ∂z ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , < K, ∂x ∂y ∂z kde K je konstanta

⇓

A1

ϕ ( x , y , z ) dxdydz ∫∫∫ A m →∞ =λ ∫∫∫ A ϕ ( x, y, z ) dxdydz lim

1

Využití k řešení Buffonovy úlohy (1917, 1920) Předpoklady v pozadí “klasického řešení”: z z

z


Využití k řešení Buffonovy úlohy (1917, 1920) Předpoklady v pozadí “klasického řešení”: z z

z


Hostinský, 1917, 1920: Žádný reálný experiment nemůže tyto předpoklady splňovat

Hostinský, 1917, 1920: Realističtější předpoklady: z

Rovnoběžky jsou narýsovány na čtvercové desce, střed jehly musí dopadnout na desku

⇓ pravděpodobnost, že střed jehly padne do čtverce obsahu ε, který leží poblíž okraje desky, je menší než pravděpodobnost, že padne do čtverce téhož obsahu poblíž středu desky

Hostinský, 1917, 1920: Realističtější předpoklady:

• Střed jehly vždy dopadne dovnitř čtverce C ve vodorovné rovině

ϕ ( x , y ) dxdy ∫∫ P ( S ↑ M ) = s Ms ∫0 ∫0 ϕ ( x , y ) dxdy ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , < K, ∂x ∂y ∂z

spoj. v R 3

• Pravděpodobnost, že úhel, který osa jehly svírá s pevnou přímkou roviny Oxy, leží v ( ω1 , ω 2 ) , je úměrná ω 2 − ω1

∫∫∫ A ϕ ( x , y ) dxdydω P ( jehla ↑ rov . ) = 2 na 2 na π / 2 ∫0 ∫0 ∫0 ϕ ( x, y ) dxdydω 1

0 < x < 2 na

2a

2ν a − b < y < 2ν a 0 < ω < arccos

2ν a − y b

2ν a < y < 2ν a + b 0 < ω < arccos

y − 2ν a b

∫∫∫ A ϕ ( x , y ) dxdydω P ( jehla ↑ rov . ) = →λ ∫∫∫ A ϕ ( x , y ) dxdydω 1

A

λ = 2 ⋅ b ⋅ 2a = 2b 2a ⋅ 2a ⋅ π π a 2

π /2

∫0

b cos ω d ω = b

Nové řešení Buffonovy úlohy o jehle. Rozpravy ČAVU 26(1917) Sur une nouvelle solluation du probléme d’aigulle. Bull. Sci. 44(1920)

Řešení založené na Poincaréově metodě libovolných funkcí → klasické řešení jako limitní případ 1920: Hostinský zasílá článek do Bulletin des Sciences Mathém. → diskuse v korespondenci s Mauricem Fréchetem → možná probudil Fréchetův zájem o teorii pravděpodobnosti

Joseph-Émile Barbier (1839 – 1889) uvědomil si, že řešení všech dosud uvažovaných speciálních případů jsou téhož tvaru → rozšířil na libovolnou konvexní rovinnou oblast → na libovolnou nepřerušenou křivku Elegantní řešení Buffonovy úlohy bez integrálů

X1 ... počet průsečíků; náhodná proměnná Střední hodnota:

pn ... pravděpodobnost, že průsečíků je právě n

Stále platí:

Obecně pro lomenou čáru:

f ( X1 + X 2 ) = f ( X1 ) + f ( X 2 ) f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⇒ f (0) = 0

f ( 2 X1 ) = f ( X1 + X1 ) = f ( X1 ) + f ( X1 ) = 2 f ( X1 )

f ( X ) = rX

li → 0

Y ... počet průsečíků křivky C délky Střední hodnota:

l≥0

E ( Y ) = rl , r = konst.

Určení hodnoty konstanty r: Za křivku C zvolíme kružnici o průměru d Počet průsečíků při libovolné poloze C:

Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd


Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd Libovolná křivka C :

2 E (Y ) = ⋅l πd


Y=2

E (Y ) = r ⋅ l = r ⋅ π d = 2

r= 2 πd Libovolná křivka C : Jehla délky l < d :

2 E (Y ) = ⋅l πd E ( Y ) = 0 ⋅ p0 + 1 ⋅ p1 = p1 = 2l πd

Odhad délky čárového systému

E (Y ) = 2 ⋅ l πd

π d [l] = ⋅ N 2

ho systému

π d [l ] = ⋅ N 2

popř.

[l] =

π E (d ) 2

⋅N

Délková intenzita testovacího systému:

a a⋅ LSA = 2d = 1 d a

π ⋅ 1 ⋅N l = [] 2 S LA

¬ místo rovnoběžek systém křivek

¬ lomená čára o délce LS

1 π [l] = ⋅ S ⋅ N 2 LA

S L LSA = A

π A [l] = ⋅ S ⋅ N 2 L

S 2 lL [ A] = π N

Ants estimate area using Buffon’s needle Eamonn B. Mallon, Nigel R. Franks 2000

LS S 2 lL [ A] = π N

l

How Might Individual Honeybees Measure Massive Volumes? Nigel R. Franks, Anna Dornhaus

Jak mohou jednotlivé včely měřit velké objemy možných míst pro hnízdo pomocí zobecněné „Buffonovy metody“

GEOMETRICKÉ PRAVDĚPODOBNOSTI NA PŘELOMU 19. A 20. STOLETÍ

Recommend Documents