Geometriai Geometriai fázisok fázisok és és spin spin dinamika dinamika Zaránd Gergely Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Vázlat Vázlat • Hogyan manipulálnak egyetlen spint? • Mitől relaxál egy spin? Magspinek (hiperfinom kölcsönhatás) Elektromágneses tér fluktuációi Geometriai (Berry fázis) effektusok !!
• Lehet-e pusztán elektromos térrel manipulálni egy spint illetve spin áramot generálni? • Van-e T=0 hőmérsékleten spin relaxáció?
A A kísérleti kísérleti technológia… technológia…
Mezoszkópikus Mezoszkópikus áramkörök, áramkörök, kvantum kvantum pöttyök pöttyök Félvezető áramkörök:
„Top” elektróda
s Ga A As l A a G
2D elektron gáz
elektronok
Mesterséges atomok és molekulák Nanocsövek, vertikális dotok…
[Leo Kowenhoven weboldala] [Jarillo-Herrero et al., Nature 434, 484 (2005)]
[Sasaki et al., PRL 93, 017205 (2004) ]
Egy Egy spin spin kiolvasás kiolvasás Egyetlen elektron spinje mérhető áramkörök segítségével!
Kvantum pötty Akár egyetlen izolált elektron ! ionizációs enegria VP J. M. Elzerman, R. Hanson, et al. Nature 430, 431 (2004).
Két Két spin spin kvantummechanikai kvantummechanikai kontrollja kontrollja
Coherent Manipulation of Coupled Electron Spins in Semiconductor Quantum Dots J. R. Petta, et al. Science 309 2180 (2005)
Mitől Mitől relaxál relaxál egy egy spin spin ??
Magspinek Magspinek B hf ≈ 1 mT (100 ns)
Hiperfinom kölcsönhatás
[Khaetskii, Loss, Glazman, 2002]
A központi spin probléma:
r r H = − ∑ Sc ⋅ J i Si − B (g elµ B Scz + ∑ g N µ N Siz ) i
elektron spin
i
magspin
r 2 J i ~ A hf | ϕ( ri ) |
(Egzaktul megoldható
Richardson magmodellje) 6
• majdnem statikus N ~ 10 spin • spin echo technikával kezelhető
Fonon-indukálta Fonon-indukálta relaxáció relaxáció Piezoelektromos fononok + spin-pálya csatolás [Khaetskii, Nazarov (2001); Golovach, Khaetskii, Loss (2004); Stano, Fabian (2005)]
r gµ B r r r p2 B⋅σ H0 = + V ( r ) + H SO − * 2 2m
B=0
+δV(t) elektromos tér Fluktuációi (fononok)
Spin-pálya csatolás
Kramers degenerált spin-textúrák: ⇑ , ⇓ ⇑ δV ⇓
= 0
(időtükrözés)
B≠0 B≠0
⇑ δV ⇓
1 / T1 ~ B 2 B 3
~ B
Teljes Teljes aa kép? kép?
Amasha et al., PRL 2008
Kérdések:
• Mi történik, ha
B→0 ?
• Milyen más relaxációs forrás van ? • Létezik T=0 hőmérsékleten spin relaxáció
Berry fázis indukálta relaxáció Ohmikus fluktuációk Igen ???
Berry Berryfázis fáziskét két dimenzióban, dimenzióban, szemiklasszikus szemiklasszikuskép kép
2D elektrongáz
r p2 H = +α m(vyσx −vxσy ) 2m
Rashba kölcsönhatás (síkra merőleges elektromos tér) r
r r VSO ~ ( p × E ) ⋅ σ
Vigyük körbe az elektront!
y
δA lx
ly
v x ≠ 0 → Beff , y ≠ 0
Ux = e
− i l x 2αm σ y / 2
v y ≠ 0 → Beff , x ≠ 0
Uy = e
i l y 2αm σ x / 2
x
A ciklus utáni forgatás:
U = U +y U +x U y U x ≈ e i δϕ σ z / 2 δϕ = 8δA / λ2SO
(λ SO ~ 1 / mα)
Arányos az irányított területtel!
Bezárt Bezárt elektron elektron fluktuáló fluktuáló klasszikus klasszikus térben térben r2 gµ B r r r p B⋅σ H0 = + V ( r ) + H SO − * 2 2m
+δV(t)
EM fluktuációk
Lassú fluktuációk:
δV( t ) = −e δE x ( t ) ⋅ xˆ − e δE y ( t ) ⋅ yˆ + K
(energiaszintek távolságához viszonyítva lassú) Formálisan:
ˆ δV( t ) = ∑ X k ( t ) ⋅ O k k
(fononok, töltés fluktuációk)
B=0 B=0 adiabatikus adiabatikus közelítés közelítés Az elektron minden pillanatban a Kramers-degenerált alapállapotban van:
r X( t ) (↔ δE x , y ( t ))
r r Ψ ( t ) ≈ a ↑ ( t ) Φ ↑ (X( t )) + a ↓ ( t ) Φ ↓ (X( t )) Pillanatnyi alapállapoti dublett
i
da σ eff = H σσ ' (t ) a σ' dt
r r dφ σ ( X t ) eff H σσ ' ( B = 0) = −i φσ ' ( X t ) dt nem-ábeli Berry fázis
Perturbatív Perturbatív számítás számítás Elektromos tér:
r r X = δE( t )
H eff ( t ) = Beff ( t ) σ z dδE y dδE x C ~ dA / dt δE y − δE x Beff ( t ) = dt dt
C = −i e
2
xˆ ↑,n yˆ n ,↑
∑ (ε n ≠σ
σ − εn )
δE y (t )
Fluktuációk
Véletlen területarányos spin forgatás RELAXÁCIÓ
δE x (t )
E. Abrahams, Phys. Rev. 107, 491 1957 !
2
Adiabatikus Adiabatikus közelítés: közelítés: B ≠ 0 Újrafelösszegezzük az S-mátrixot:
egy ‘foton’
t
U(t) =Tt exp[−i∫ dτδV(τ)]
Statikus két ‘foton’, Van Vleck cancellation
Berry fázis tag
Kvantum tárgyalás (pályaintegrál, korrespondencia elv) A környezetre vonatkozó információ a ρ δE (ω) spektrálfüggvényben van rejtve Például Berry fázis tag járuléka:
Fononok
ρ ph (ω) = x 0 λ ph ω3
Ohmikus fluktuációk
ρΩ (ω) = λ Ω ω
1 / TBerry ~ max{B9 , T 9 }
1 / TBerry ~ max{B5 , T 5 }
1 / T1−foton ~ B4 max{B, T}
1 / T1−foton ~ B2 max{B, T}
[P. San-Jose, G.Z., A. Shnirman, and G. Schon, PRL 97, 076803 (2006)]
Tisztán Tisztánkvantumos kvantumostárgyalás tárgyalás Térelmélet a redukált sűrűségmátrixra a Keldysh kontúron: Mozgásegyenlet:
i[~ ρD ( t ), H Z ] Dyson egyenlet :
Ezek tartalmazzák a Berry fázis járulékot [P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)]
Relaxáció Relaxáció [P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)] 2-foton
„geometriai relaxáció”
1-foton
Fémes elektródák hatása?
Fémes elektródák
Geometriai relaxáció picike… Megfigyelhető ??? • p-típusú kvantum dotok ! Gerardot et al, Nature 2008 M.Trif, P. Simon, D. Loss, PRL 103, 106601 (2009)
• picit nagyobb kvantum dotok.
Lehet-e Lehet-e ilyen ilyen geometriai geometriai effektusokat effektusokat használni? használni?
Két-dot Két-dot rendszerbeli rendszerbeli spin spin transzfer transzfer λ SO >> x 0
Messzire kell mozgatnunk az elektront
d
Hamilton operátor (szimmetriák): alagutazás aszimmetria ~ egzaktul kiszámítható
Forgatás szöge
~ d / λ SO
Spin-pumpálás Spin-pumpálás mezoszkópikus mezoszkópikus áramkörökben áramkörökben Csak elektródákat használva pumpálható-e adiabatikusan spin ? [Sharma and Brouwer, PRL 91, 166801 (2003).]
Kaotikus üreg: Szórási mátrix:
r S = LL t RL
t LR rRR
Id Λ L = L 0
Véletlen terek Pumpált spin pici…
0 0
Lehet Lehet kontrolláltan, kontrolláltan, rezonancián rezonancián keresztül? keresztül?
szimmetrikus dot
[V. Brosco et al. (preprint)]
Aszimmetrikus dot
Relaxál Relaxál aa spin spin T=0 T=0 hőmérsékleten? hőmérsékleten?
Elektron nn gy Elektron aa gyűr gyűr űn gy rrűn Túl sok közelítést tettünk (Markov folyamat, perturbatív tárgyalás) Egyszerű modell: Elektron gyűrűn, ohmikus (Caldeira Leggett) fluktuációkhoz csatolva
δr
Hamilton operátor Radiális beszorítás:
2r Tangenciális tagok:
Rashba
Határeset :
Dresselhaus
δr → 0, r finite
legalacsonyabb radiális móduson mozog
szögfüggő szögfüggő effektív effektív Hamilton Hamilton operátor operátor Radiális módus
Effective Hamilton operátor:
H ring (ϑ) = 0 H ' 0 − ∑ n ≠0
0 H' n n H' 0 En − E0
Analítikusan kiszámítható
• Szögfüggő effektív tér: • Megmaradó mennyiség: • Független a bezáró potenciáltól! [P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)]
Elektromos Elektromos fluktuációk fluktuációk H ring (θ) → H ring (θ) + V(θ, ξ)
Fluktuációk, pl.
V(θ, ξ) = ξ x cos(θ) + ξ y sin(θ)
Mozgásegyenlet: Helykoordináta:
Spin és
θ
szétcsatolódnak !!!
Spin:
r ( h (θ ) ≈ h0 zˆ ) „geometrikus” spinfejlődés
Nem Nem egyensúlyi egyensúlyi pályaintegrál pályaintegrál
kiszámítható
t
Merre mutat a spin ∞
∞
Effektív hatás (spinfüggetlen)
idő után? 2π
θt
θt
0
θ0
θ0
S ( t ) = ∫ dθ ∫ dθ ∫ dθ t ∫+ Dθ+ ∫− Dθ− ei (S[ θ+ ,ξ+ ]−S[ θ− ,ξ− ]) α
+ 0
−∞
×
− 0
−∞
∑
(
)
+
ξ
× −
(ρ particle ) G + G − ΨG* − (θ t )Sα ΨG + (θ t ) ei q + ( θ0 −θt ) e −i q − ( θ0 −θ t )
G + ,G −
kezdeti sűrűségmátrix
Végső kérdés:
Alapállapoti spinor
ei ρ θt
ξ
→∞ t → 0 ???
Spin-pálya momentum
Csillapodik-e Csillapodik-e aa spin? spin? Valószínűleg igen !!!
Imaginárius időben:
[H. Spohn and W. Zwerger, J. Stat. Phys. 94, 1037 (1999)]
θ& 2 sin 2 (θ(τ) − θ(τ' )) S[θ(τ)] = ∫ dτ + η ∫∫ dτdτ' 2M (τ − τ' ) 2 1 cos θ(τ) cos θ(τ' ) ~ (τ − τ' ) 2 Valós időben?
• szemiklasszikus számítás • pszeudofermionok • renormálási csoport
Nem tudjuk még Biztosan…
Konklúzió Konklúzió • A spin relaxációt egy geometriai effektus adja B → 0 esetén Nagy és p-típusú kvantum dotoknál jelentős Ohmikus fluktuációk szerepe
Pablo San-Jose (Lancester), Sasha Shnirman, Gerd Schön (Karlsruhe)
• Rezonáns spin pumpálás spin-pálya kölcsönhatás felhasználásával Valentina Brosco (Roma) Pablo San-Jose (Lancester), Sasha Shnirman, Gerd Schön (Karlsruhe)
• Algebrai spin relaxáció a gyűrűn T = 0 ? Baruch Horvitz (BerSheva), Pierre Le Doussal (Ecole Normale)
