Gázok viszkozitásának és a molekulák közepes szabad úthosszának meghatározása

Gázok viszkozitásának és a molekulák közepes szabad úthosszának meghatározása. Készítette: Vesztergom Soma. Mérésleírás a Fizikai kémia labor (kv1c4fz5) és Fizikai kémia labor (1) (kv1c4fzp) kurzusokhoz. Figyelem: a leírásban *-gal jelölt paragrafusok a laboratóriumi gyakorlaton nem képezik számonkérés alapját!

———— 1. §. Bevezetés. A gyakorlat célja három különböző, a mérés körülményei között ideálisnak tekinthető gáz (levegő, oxigén és nitrogén) viszkozitásának tanulmányozása. A gyakorlat sikeres elvégzésének feltétele a gázok kinetikus elmélete és a transzportfolyamatok alapjainak ismerete. A mérés során azonos térfogatú gázmintákat azonos közepes nyomáskülönbség mellett áramoltatunk át egy kapillárison, és az átáramlási idők méréséből számítjuk a gáz viszkozitását. A gyakorlat során tehát relatív mérést végzünk – az egyik gáz (esetünkben a levegő) abszolút viszkozitását a mérés hőmérsékletén irodalmi adatokból (illetve egy irodalmi adatokra illeszkedő tapasztalati képlet alapján) ismerjük; a másik két gáz viszkozitását ezen adat felhasználásával számítjuk, feltételezve, hogy a viszkozitások a mért átáramlási időkkel egyenesen arányosak:

ηismeretlen t ismeretlen  . ηismert t ismert

(1)

———— 2. §. Elméleti alapok. 2. 1. §. A viszkózus áramlás. Tekintsünk két, egymással párhuzamosan fekvő lemezt, melyek közét valamilyen fluidum tölti ki. Ha a felső lemezre adott nagyságú, a koordinátarendszerünk x irányába mutató F erővel hatunk, akkor az mozgásba jön, és állandó u sebességgel fog mozogni. A lemez tehát egyenletes sebességgel, azaz zérus gyorsulással 1. ábra. A viszkozitás jelenségének magyarázatához. mozog: a rá ható erők eredője zérus, vagyis az F erővel ellenhat egy azzal azonos nagyságú, de vele ellentétes irányú súrlódási erő. A tapasztalat szerint a lemez a hozzá legközelebb álló fluidumréteghez képest nem mozog, vagyis e súrlódási erő nem a lemez-közeg határfelületen,

–1–

hanem a közeg egyes rétegei között lép fel: a szomszédos fluidumrétegek különböző sebességgel mozognak. Viszkózus áramlás során tehát minden fluidumréteg a szomszédos réteg határán súrlódik: az elmozduló réteg molekulái belehatolnak a lassabb szomszédos rétegbe, igyekeznek magukkal vonni azt, a lassabb mozgású réteg pedig hátráltatja a nála gyorsabban mozgót. Két, egymással A felületen érintkező fluidumrétegre, melyek egymástól elemi dy távolságra vannak, és egymáshoz képest dux, az y irányra merőleges x irányú sebességgel mozognak, felírható a következő összefüggés, melyet Ne w t o n-törvénynek nevezünk:

F du  η . A dy

(2)

A 2. egyenletbeli η tényezőt a fluidum viszkozitásának nevezzük. A mérsékelten kis nyomású, áramló gázrétegek közötti impulzustranszport jelenségét M a xw el l a gázok kinetikus elmélete alapján magyarázta.

2. 2. §. A kinetikus gázelmélet néhány fontosabb eredménye.* A kinetikus gázelmélet a sűrűségfüggvénnyel írja le*:

molekulák

sebességeloszlását

a

M a xw el l – Bo l tz m a n n-féle

Mv2

3

 M  2 2  2 RT f v   4π .  v e  2πRT 

(3)

Ennek megfelelően a molekulák átlagsebessége – mint a sebesség első momentuma –, így adható meg: 

v  v f v  d v 

 0

8 RT . πM

(4)

Az átlagsebesség felhasználásával kifejezhető a gázmolekulák ütközésének gyakorisága, más szóval az ütközési frekvencia:

zσ 2 v N σ 2 v

p , kT

(5)

ahol a σ felület dimenziójú mennyiség a molekulák hatáskeresztmetszete, N pedig a részecskesűrűség (részecskeszám/térfogat dimenzióval). Azt az átlagos távolságot, amelyet az egyes részecskék az egymással való ütközések között megtesznek, közepes szabad úthossznak nevezzük, és λ-val jelöljük:

λ

*

v kT  . z 2 σp

Ld. a gázok kinetikus elméletéhez kapcsolódóan az (1, 2) forrásokat.

–2–

(6)

2. 3. §. Ideális gázok viszkozitása.* Tekintsük az áramló gázrétegeket olyan λ magasságú téglatesteknek, amelyek A területű alapjukon, egymáson x irányban csúsznak (vagyis az egyes rétegek különböző x irányú sebességgel mozognak). Alkalmazzunk egy olyan közelítést, mely szerint egy rétegen belül minden gázmolekula azonos v nagyságú hőmozgási sebességgel mozog a három lehetséges, egymásra merőleges koordinátatengely mentén, vagyis a hat lehetséges irány egyikében. E közelítés egyenértékű azzal, hogy a részecskék közötti nem-centrális ütközéseket elhanyagoljuk.† Belátható, hogy ekkor a réteghatárt egyik oldalról átlépő molekulák száma időegység alatt 61 v NA. A réteghatárt egy oldalról átlépő tömegáram ennek megfelelően 61 v ρA , ahol ρ a gáz sűrűsége.

2. ábra. A gázviszkozitás kinetikus alapú levezetéséhez.

Mivel a rétegekben mozgó molekulákra elmondható, hogy azok a legutóbbi, x irányú sebességüket befolyásoló ütközés óta λ távot tettek meg, a gyorsabb mozgású rétegre igaz, hogy azokban a molekulák x irányú sebessége a tárgyalt réteghatáron u  λ dd uy , míg a lassabb rétegből érkező

molekulák x irányú sebessége ugyanitt u  λ dd uy . A réteghatáron időegység alatt a két oldalról áthaladó x irányú impulzusokat összegezve megkapható a belső súrlódást okozó erő:

F

  1 du  1 du  1 du   v ρA u  λ    v ρAλ v ρA u  λ    6 dy  6 dy  3 dy  

(7)

Az így kapott 7. összefüggés és a 2. egyenlet által leírt New to n-törvény összevetéséből adódik, hogy nem túlságosan kis nyomású ideális gázok viszkozitása a közepes szabad úthossz segítségével mint

η

1 v ρλ 3

(8)

fejezhető ki.

† Ez az egyszerűsítés persze igen durva, de az így kapott modell időátlagban jól írja le a rendszert. A modell további lényeges közelítése és egyben nagy hibaforrása, hogy az előbbiek értelmében a statisztikus sebességeloszlást a konvekció által nem befolyásoltnak tekinti.

–3–

———— 3. §. A mérés módja. A mérőberendezés (3) vázlata a 3. ábrán tekinthető meg. Mérés előtt a mérendő viszkozitású gázt rákötjük a bevezetőcsőre, majd a feltöltőcsapot kinyitva és a terelőcsapot elzárva, óvatos, lassú áramban kb. 1 atm túlnyomással indítjuk meg a gáz áramlását. Ennek hatására a mérőgömböt megtöltő paraffinolaj szintje lassan az alsó jel alá süllyed. A gázbevezető csapot elzárva, a beengedett gáz a terelőcsap segítségével a kivezető csövön, vagy a mérőkapillárison keresztül kiengedhető a rendszerből. A fent leírt lépéseket három-négy alkalommal megismételve, a rendszert a mérendő gázzal alaposan átmossuk. Fontos, hogy a mosás során, lehetőleg az utolsó lépésben, a mérőkapillárist is öblítsük át a gázzal. Az utolsó mosást követően a rendszert ismét feltöltjük, a terelőcsapot a mérőkapilláris felé irányítjuk, és mérjük azt az időt, mely a folyadékszint számára az alsó és felső jel közötti út megtételéhez szükséges. Mind a három gázra (levegő, nitrogén, oxigén) vonatkozólag nyolc-tíz mérést végzünk. A mérés során feljegyezzük a laboratórium hőmérsékletét és a légnyomást is.

3. ábra. A gázviszkoziméter vázlata.

———— 4. §. A mérés kiértékelése. 4. 1. §. A számítások menete. Az egyes gázokra vonatkozó mért időértékekből átlagot számolunk, a szórásból a

Δt  t 0 ,05 , f

σ* n

(9)

képlet segítségével az egyes gázok átfolyási ideje konfidenciaintervallumának félszélességét is megbecsüljük. Itt t 0 ,05 , f az 5%-os szignifikanciaszintre vonatkozó, f szabadsági fokú S tud e nt-

–4–

eloszlású valószínűségi változó értéke, σ* az n számú mért időérték korrigált empirikus szórása. A kiugró értékek elhanyagolandók.‡ Kiszámítjuk az oxigén és a nitrogén levegőre vonatkoztatott relatív viszkozitását a 10.a egyenlet szerint:

ηrel 

t , t levegő

(10.a)

a relatív viszkozitás konfidenciaintervallumának félszélességét a G a u ß-féle hibaterjedési törvény alapján becsüljük meg: 2

Δηrel

2  η   η  rel   Δt    rel Δt   t levegő   t   

 tΔt levegő   2  t levegő 

2

  Δt     t levegő  

2

(10.b)

  .  

Az abszolút dinamikai viszkozitás kiszámításához szükségünk van a levegő viszkozitásának ismeretére. Lévén, hogy ennek pontos értékét a mérés hőmérsékletén nem ismerjük, egy tapasztalati formulát, az ún. S ut herl a nd -képletet használjuk fel becslésére: 3

0 ηlevegő  ηleveg ő

T0 C  T 2   , T C T0 

(11)

0 6 Pa s, illetve az ahol a 0 index rögzített referencia értéket jelöl, T 0  291,15 K és ηleveg ő  18 ,27  10

anyagi minőségtől függő C empirikus állandó értéke levegőre 120 K. A levegő viszkozitásának ismeretében a 12. egyenlet segítségével megadhatjuk a nitrogén és az oxigén viszkozitását is:

η  ηrel ηlevegő ,

(12.a)

Δη  Δηrel ηlevegő .

(12.b)

természetesen

Az abszolút viszkozitások ismeretében pedig kiszámíthatjuk (nitrogénre és oxigénre) a molekulák közepes szabad úthosszát:

λ

3η p

RTπ , 8M

(13.a)

Az elhanyagolás jogossága mellett a g-statisztika segítségével érvelhetünk, ezzel kapcsolatban a (4) forrás nyújt bővebb segítséget. ‡

–5–

Δλ 

3Δη RTπ . p 8M

(13.b)

4. 2. §. A jegyzőkönyvben megadandó mért és számított eredmények. A jegyzőkönyvnek tartalmaznia kell a következőket: — a három gázra vonatkozó nyolc-tíz átáramlási idő érték; — a laboratórium hőmérséklete (K) és a légnyomás értéke (hPa); — az egyes gázokra vonatkozó átáramlási idők átlaga és hibája, megfelelő számú értékes jeggyel megadva; — a levegő 11. egyenletből számított dinamikai viszkozitása; — az oxigén és a nitrogén levegőre vonatkoztatott relatív, illetőleg abszolút dinamikai viszkozitása (a 10.a–10.b, illetve a 12.a–12.b egyenletek alapján, a megfelelő konfidenciaintervallum és mértékegység feltüntetésével, megfelelő számú értékes jegyre megadva); — a 13.a–13.b egyenletek alapján az oxigén és a nitrogén molekulák közepes szabad úthossza, a megfelelő konfidenciaintervallum és mértékegység, illetve a kellő számú értékes jegy feltüntetésével.

———— 5. §. Beugró kérdések. A gyakorlaton a hallgatók felkészültségét beugró zárthelyi íratásával ellenőrizzük. Az ebben előforduló kérdések a következők közül kerülnek ki: 1. Írja fel az általános transzportegyenlet skalarikus alakját, nevezze meg a benne szereplő mennyiségek jellegét! 2. Definiálja a viszkozitás fogalmát az impulzus-transzportra vonatkozó Ne wto ntörvény felírásával! Nevezze meg az összefüggésben szereplő fizikai mennyiségeket is, adja meg a viszkozitás dimenzióját! 3. Adja meg a közepes szabad úthossz definícióját! 4. Ön szerint egy gáz viszkozitása a hőmérséklet növelésével nő vagy csökken? Indokolja válaszát! Vajon hasonló a helyzet folyadékoknál is? 5. A mai gyakorlat során milyen gázokkal végez mérést? Melyik gáz adja a viszkozitás mérésének vonatkoztatási alapját? 6. Írja le, mi célt szolgál a gázpalackokra szerelt reduktor! Milyen elven működik?

–6–

———— Irodalomjegyzék. 1. 2. 3. 4.

P. W. Atkins: Fizikai Kémia. Harmadik kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002. I. kötet (Egyensúly), pp. 29–31. Erdey-Grúz Tibor, Schay Géza: Elméleti fizikai kémia. Első kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1955. I. kötet, pp. 422–423. Farkas József, Kaposi Olivér, Mihályi László, Mika József, Riedel Miklós: Bevezetés a fizikai-kémiai mérésekbe. Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. I. kötet, pp. 323–325. Szalma József, Láng Győző, Péter László: Alapvető fizikai kémiai mérések és a kísérleti adatok feldolgozása. Eötvös Kiadó, Budapest, 2007. p. 25.

A gyakorlat elvégzéséhez sok sikert kíván a gyakorlatvezető,

Ves z ter go m S o m a

–7–