GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten

9. hét RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

Vázlat

9. hét

Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás

1

Polinomok és egész számok

2

Parciális törtekre bontás

3

Integrálási szabályok


Az egész számok és a polinomok halmaza

Az egész számok és a polinomok halmaza között nagyon sok hasonlóság van, abban az értelemben, hogy ugyanolyan m¶veletekre nézve zártak. Két egész szám összege vagy különbsége egész szám, ahogyan a polinomok összege vagy különbsége is polinom. Ugyanígy két egész szám szorzata is egész szám, ahogyan két polinom szorzata is polinom, és ez a három m¶velet rendelkezik a szokásos m¶veleti tulajdonságokkal is. Két egész szám hányadosa azonban már nem feltétlenül lesz egész, ahogy két polinom hányadosa sem lesz minden esetben polinom. (Azokat a halmazokat, amelyeken ilyen típusú m¶veleteket tudunk végezni, az algebrában gy¶r¶knek nevezzük.) Ezt kihasználva, nagyon sok eredmény egy az egyben átvihet® az egész számok halmazáról a polinomokra. A valós együtthatós polinomok halmazát ezután R[x ]-szel jelöljük, és legyen p ∈ R[x ] p 6= 0 esetén gr (p ) a polinom foka.

9. hét

Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

9. hét

A maradékos osztás

Lovics


Tétel


Legyen a, b a

= qb + r

∈ Z, b 6= 0. és |b | > |r |.

Ekkor egyértelm¶en létezik q , r

∈ Z,

hogy

Tétel

Legyen p1 , p2 ∈ R[x ], p2 6= 0. Ekkor egyértelm¶en léteznek olyan ∈ R[x ] polinomok, melyekre p1 = p2 q + r és gr (p1 ) > gr (r )

q, r

vagy r

= 0.

A tétel alapján számos fogalom vihet® át az egész számokról a polinomok halmazára, mint például oszthatóság, prím tulajdonság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös stb.


A maradékos osztás egy speciális esete

9. hét

Lovics


Ha egy gy¶r¶n értelmeztük a maradékos osztást, akkor az oszthatóság fogalmát is értelmezni tudjuk, hiszen azt mondhatjuk, hogy az egyik polinom osztója egy másiknak, ha a maradékos osztás során a maradék 0. Ilyenkor lényegében szorzattá bontottuk az eredeti polinomunkat. Speciálisan ezért megvizsgálható, hogy egy els® fokú polinom osztója-e egy magasabb fokú polinomnak. Ennek a kérdésnek a vizsgálata nem más mint, a polinom egy gyökének megkeresése. Tegyük fel ugyanis, hogy egy p (x ) polinomnak osztója x − a els®fokú polinom, ahol a egy valós szám. Ekkor tudjuk, hogy p (x ) = (x − a)q (x ), ahol q (x ) egy harmadik polinom. A jobboldalnak nyílván gyöke az a, de akkor a baloldalnak is gyöke kell legyen.

Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

9. hét

A maradékos osztás a gyakorlatban

Lovics

Nem csak a tétel mondható ki nagyon hasonlóan a polinomok és az egész számok körében, de a maradékos osztás írásban nagyon hasonlóan végezhet® el mindkét gy¶r¶ben. Ezért most egy konkrét példán felelevenítjük, hogy hogyan is oszthatunk el maradékosan két számot egymással írásban. Osszuk el a 38 625-öt 8-cal. 38625 : 8 = Balról jobbra haladunk. A 3-at 8-cal osztva 0-t kapunk, ezért az els® szám, amit tényleg vizsgálunk a 38. 38625 : 8 =4 6

(38 − 4 · 8 = 6)

A mardék mellé lemásoljuk a következ® számjegyet, így azt vizsgáljuk, hogy a 26-ban hányszor van meg a 8. 38625 : 8 =48 66 2

(66 − 8 · 8 = 2)


A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.)

Az eljárást tovább folytatva a következ®ket kapjuk: 38625 : 8 =482 66 22 6 38625 : 8 =4828 66 22 65 1 Az eredmény alapján tehát 38625 = 8 · 4828 + 1.

9. hét

Lovics


(22 − 2 · 8 = 6)

Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

(65 − 8 · 8 = 1)


Most pedig egy másik példán megnézzük, hogyan végezhetjük el nagyon hasonlóan ugyanezt a m¶veletet polinomok között. Nézzük a kövezkez®t: 5

4

2

2

(x + 3x − 2x + x − 2) : (x + x − 1) =

Az osztásnál a legnagyobb kitev®j¶ tagokat vesszük gyelembe. Ebben az esetben az osztandó legnagyobb kitev®s tagja x 5 , az osztójé x 2 . Ezért az eredménypolinom legynagyobb kitv®j¶ tagja x 3 lesz. Szorozzuk a kapott tagot az osztóval: x 3 (x 2 + x − 1) = x 5 + x 4 − x 3 . Az így kapott polinomot vonjuk ki az osztandóból, vagyis x 5 + 3x 4 + 2x 2 + x − 2 − (x 5 + x 4 − x 3 ) = 2x 4 − x 3 + 2x 2 + x − 2. Az eljárást ezzel a polinommal kezdjük el®r®l. Az egészet röviden a következ®képpen jelölhetjük. (x 5 + 3x 4 − 2x 2 + 4 3 2x − x − 2x 2 +

x x

− 2) : (x 2 + x − 1) = x 3 −2

9. hét

Lovics



Ezúttal a 2x 4 -et és az x 2 -et kell gyelembe venni. Ez alapján az eredménypolinom következ® tagja 2x 2 . Szorozzuk megint vissza az osztandó polinomot, és végezzük el a kivonást is. Így a következ® alakhoz jutunk. (x 5

+

3x 4

−

2x 2

+

2x 4 − x 3− 2x 2 + − 3x 3 +

x x x

− 2) : −2 −2

(x 2

+ x − 1) =

x3

+ 2x 2

Az eljárást folytatva a következ® alakokhoz jutunk. (x 5 + 3x 4 − 2x 2 4 3 2x − x − 2x 2 − 3x 3 3x 2

+ x + x + x − 2x

− − − −

2) : (x 2 + x − 1) = x 3 + 2x 2 − 3x 2 2 2

9. hét

Lovics



9. hét

Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre

(x 5 + 3x 4 − 2x 2 2x 4 − x 3− 2x 2 − 3x 3 3x 2

+ x + x + x − 2x − x

− − − − +

2) : (x 2 + x − 1) = x 3 + 2x 2 − 3x + 3 2 2 2 1

Az eredményünk alapján tehát: x

5

+ 3x 4 − 3x 2 + x − 2 = (x 2 + x − 1)(x 3 + 2x 2 − 3x + 3) + (−x + 1).

bontás Integrálási szabályok

9. hét

Racionális törtfüggvények

Lovics

Polinomok és

Legyen p1 (x ), p2 (x ) ∈ R[x ]. Ekkor a pp ((xx )) alakú függvényeket racionális törtfüggvényeknek nevezzük. Célunk meghatározni a racionális törtfüggvények primitív függvényeit. El®ször is feltehet®, hogy gr (p2 (x )) > gr (p1 (x )). Ugyanis, ha ez nem így lenne, akkor a polinomosztást felhasználva tudjuk, hogy p1 (x ) = p2 (x )q (x ) + r (x ), ebb®l Z

p1 (x ) p2 (x )

Z =

q (x ) +

r (x ) p2 ( x )

egész számok

1

Parciális törtekre

2

bontás

Z =

Z q (x ) +

r (x ) p2 ( x )

.

Az utolsó formában a két integrálból az els® egy egyszer¶ polinom integrálása, a második pedig olyan racionális törtfüggvény, ahol a számláló foka alacsonyabb, mint a nevez®jé.


9. hét

A törtek átalakítása

Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás

Tétel


Legyen p2 (x ) ∈ R[x ]. Ekkor p2 (x ) felbontható els®- és másodfokú polinomok szorzatára.

Ezek alapján a következ® alakba írható át az integrálandó: (x −

u1 )α1

. . . (x −

un )αn (a1 x 2

p1 (x )

+ b1 x + c1 )β . . . (ak x 2 + bk x + ck )βk 1

.

9. hét

A törtek átalakítása (folyt.)

Lovics

Tétel

Polinomok és

Legyen egy racionális törtfüggvény a fenti formában adott. Ekkor

bontás

egész számok Parciális törtekre

egyértelm¶en léteznek olyan A1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bl , C1 , . . . , Cl ∈ R számok (m = α1 + α2 + . . . αn ,

szabályok

= β1 + β2 + . . . βk ), melyre a fenti alakban adott racionális törtfüggvény a következ® alakba írható: l

A1

+

A2

(x − u1 )2

+ ··· +

Aα1

+ ··· +

Am

(x − (x − un )αn B1 x + C1 B2 x + C2 + + + ... (a1 x 2 + b1 x + c1 ) (a1 x 2 + b1 x + c1 )2 Bl x + Cl Bβ x + Cβ + + ··· + . (a1 x 2 + b1 x + c1 )β (ak x 2 + bk x + ck )βk ( x − u1 )

1

1

1

u1 )α1

Integrálási

+

9. hét

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban

Lovics

A következ® példán bemutatjuk, hogy a gyakorlatban hogyan végezhet® el a parciális törtekre bontás. El®ször azokat az A, B , C számokat keressük, melyekre teljesül, hogy A x

−1

+

B x

+2

+

C


(x + 2)

szabályok

. 2

Az összefüggés jobb oldalát közös nevez®re hozva kapjuk, hogy A(x

egész számok

Integrálási

x2

+x −1 = (x − 1)(x + 2)2

Polinomok és

+ 2)2 + B (x − 1)(x + 2) + C (x − 1) . (x − 1)(x + 2)2

Láthatjuk, hogy az ebben a formában felírt törtnek a nevez®je azonos az eredetivel. Ezért a továbbiakban elegend® a számlálóval foglalkoznunk. A számlálóban felbontva a zárójeleket, majd a megfelel® tagokat kiemelve kapjuk, hogy (A + B )x 2 + (4A + B + C )x + 4A − 2B − C .

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban (folyt.)

Ezt az eredményt az eredeti tört számlálójával összevetve kapjuk, hogy

9. hét

Lovics


A+B

=1

4A + B + C = 1 4A − 2B − C = −1. Ha a második két egyenletet összeadjuk, akkor azt kapjuk, hogy 8A − B = 0 8A = B . Ezt az els® egyenletbe visszahelyettesítve A + 8A A

=1 =

1 . 9



9. hét

Lovics


Amib®l visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy B

=

8 9

C

1 3

=− .

Összegezve tehát azt kaptuk, hogy x2

1 8 −1 +x −1 = + − . (x − 1)(x + 2)2 9(x − 1) 9(x + 2) 3(x + 2)2



Most keressük azokat az A, B , C számokat, melyekre az teljesül, hogy A Bx + C x2 + x − 1 = + 2 . 2 (x − 1)(x + 2) x −1 x +2 Hasonlóan az el®zöekhez el®ször közös nevez®re hozzuk: A(x 2

+ 2) + (Bx + C )(x − 1) , (x − 1)(x 2 + 2)

majd a nevez®ben felbontjuk a zárójeleket, és kiemeljük a megfelel® tagokat: (A + B )x 2 + (C − B )x + 2A − C .

Az eredeti tört nevez®jével ezt összevetve kapjuk, hogy =1 −B =1

A+B C

2A − C = −1.

9. hét

Lovics



9. hét

Lovics

Az els® két egyenletet összedva kapjuk, hogy Polinomok és

A+C

= 2.


Ehhez a harmadik egyenletet hozzáadva adódik, hogy 3A = 1 1 A= . 3 Ezek után visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy B

=

2 3

C

5 3

=− .

Összegezve tehát azt kaptuk, hogy x2

+x −1 1 2x + 5 = + . (x − 1)(x 2 + 2) 3(x − 1) 3(x 2 + 2)


9. hét

Integrálás

Lovics

Polinomok és

A parciális törtekre bontás során tehát a következ® alakú racionális törtfüggvényekhez juthatunk:

egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

C x

−a C

(x − a)k Cx + D ax 2 + bx + c Cx + D , 2 (ax + bx + c )k

ahol C , D , a, b, c tetsz®leges valós, szám.

k

pedig egynél nagyobb egész

9. hét

Integrálás (folyt.)

Lovics

Az ilyen alakú függvények integrálásához a követekez®kre van szükségünk: dx

Z x

Z

−a


1

1

= +c (x − a)k −k + 1 (x − a)k −1 Z Z A Aa Ax + B 2 (2x + a) + B − 2 dx = = x 2 + ax + b x 2 + ax + b Z Z A 2x + a C = + = 2 x 2 + ax + b x 2 + ax + b Z Z A C 2x + a = = + 2 a 2 x 2 + ax + b x + 2 + b − a4 1 2x + a =ln(x 2 + ax + b ) + arctg + c, 2

2D

D

ahol

C

= B − Aa 2 ;

D

=

q

b

− a4 . 2


= ln |x − a| + c

dx

Polinomok és

9. hét

Integrálás (folyt.)

Lovics

Polinomok és

Az utolsó integráltípus meghatározásához egy kicsit általánosabb tételt kell alkalmaznunk.

egész számok

Tétel

Integrálási

Legyen r (x )


szabályok

= x 2 + ax + b és g (x ) ∈ R[x ]. Z Z g (x ) A(x ) dx = + r m (x ) r m−1 (x )

ahol A(x ) egy

(2m − 3)-ad

Ekkor B (x ) r (x )

,

fokú, B (x ) pedig els®fokú polinom.

Az A(x ) és B (x ) meghatározásához írjuk fel a polinomokat ismeretlen együtthatókkal, majd deriváljuk a tételben felírt egyenletet.

9. hét

Feladat

Lovics

Határozzuk meg a következ® integrált Polinomok és

Z

x3

egész számok

+ x2

+ 3x − 2 ! (x 2 + 2)2

Parciális törtekre bontás Integrálási

Megoldás A feladat megoldható lenne a parciális törtekre bontással is, azonban most alkalmazzuk a fenti tételt. Mivel ebben a példában m = 2, ezért 1 = 2m − 3 = m − 1, vagyis az A(x ) els® fokú polinom, és az integrálon kívüli tag nevez®je is els®fokon szerepel. Ez alapján a tétel a következ® formában írható fel Z

x3

+ x 2 + 3x − 2 dx = (x 2 + 2)2

Ax x2

+B + +2

Z

Cx + D dx . x2 + 2

Deriváljuk az összefüggés mindkét oldalát: x3

+ x 2 + 3x − 2 = (x 2 + 2)2

A(x 2

+ 2) − (Ax + B )2x + (x 2 + 2)2

Cx + D . x2 + 2

szabályok

9. hét

Feladat (folyt.) A jobboldalt hozzuk közös nevez®re A(x 2

Lovics

+ 2) − (Ax + B )2x + (Cx + D )(x 2 + 2) , (x 2 + 2)2

majd bontsuk fel a számlálóban szerepl® zárójeleket és emeljük ki a megfelel® tagokat: Cx

3

+ (D − A)x 2 + (2C − 2B )x + 2A + 2D .

Ezt az eredeti tört számlálójával összeveteve kapjuk, hogy C D

=1

−A=1

2C − 2B = 3 2A + 2D = −2. Az els® egyenletet a harmadikba helyettesítve kapjuk, hogy B

1 2

=− .


9. hét

Feladat (folyt.)

Lovics


A második és a negyedik egyenletekb®l pedig adódik, hogy

Parciális törtekre bontás Integrálási

A

= −1,

D

szabályok

= 0.

Összegezve tehát azt kaptuk, hogy Z

=

x3

−x − 12 + x 2 + 3x − 2 = + (x 2 + 2)2 x2 + 2

−x − 21 1 + ln(x 2 + 2) + c . 2 x +2 2

x

Z x2

+2

dx

=

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Recommend Documents