GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten 8. hét ANALÍZIS Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

Vázlat

1

Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum

2

Sorozatok

3

Deriválás és integrálás

8. hét Lovics Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum Sorozatok Deriválás és integrálás

Nevezetes halmazok

Természetes számok halmaza: N. Természetes számok halmaza nullával kiegészülve: N0 . Egész számok halmaza: Z. Racionális számok halmaza: Q. Valós számok halmaza: R. Pozitív, negatív valós számok halmaza: R+ , R− . Nem negatív, illetve nem pozitív valós számok halmaza: R⊕ , R . Üres halmaz: ∅.


Jelölések Eleme: ∈. Például: 3 ∈ Z. Nem eleme: ∈ / . Például: π ∈ / Q. Valódi része, valódi részhalmaza: ⊂ vagy (. Része, részhalmaza:⊆. Például: Z ⊆ R. Létezik: ∃. Tagadása: nem létezik, @; vagy mindegyikre hamis. Állítás: Létezik lila fa. Tagadás: Nem létezik lila fa. Tagadás: Mindegyik fára igaz, hogy nem lila.

Minden: ∀. Tagadása: létezik, hogy nem igaz. Állítás: Minden fa zöld. Tagadás: Létezik olyan fa, amelyik nem zöld. Rossz tagadás: Nem létezik zöld fa.


Halmazok formális deníciói

8. hét Lovics

Halmazokat { } zárójelekkel adunk meg, és általában nagybet¶vel jelöljük. Elemek felsorolásával: S = {6; 22; 47}. Legtöbbször a következ® formát használjuk: S = {általános elem: deniáló tulajdonságok}.

P = {n : n = 2k , k ∈ Z}. Q∗ = {x : x ∈ R, x ∈ / Q}.

Például páros számok halmaza: Irracionális számok halmaza:

Egy origó középpontú, 5 egység sugarú körön lév® pontok halmaza:

K = {(x , y ) : x 2 + y 2 =

}

25 .

Intervallumok megadása. Legyenek a, b ∈ R, a < b. Ekkor (a, b ) = {x : x ∈ R, [a, b ) = {x : x ∈ R, (a, b ] = {x : x ∈ R, [a, b ] = {x : x ∈ R,

a < x < b} a ≤ x < b} a < x ≤ b} a ≤ x ≤ b}

,

, ,

.

Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum Sorozatok Deriválás és integrálás

Alsó és fels® határ Deníció Egészítsük ki a valós számok halmazát a minusz és plusz végtelennel. Az így kapott halmazt nevezzük kib®vített valós számok halmazának. ¯ = R ∪ {−∞; +∞} R

Deníció Legyen H ⊆ R tetsz®leges halmaz. A H halmazt felülr®l korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan f ∈ R, amire teljesül, hogy ¯ értéket h ≤ f , minden h ∈ H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró f ∈ R a H halmaz fels® korlátjának nevezzük. Hasonlóan a H halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan a ∈ R, hogy a ≤ h, minden h ∈ H-ra. Az ilyen tulajdonággal ¯ értéket a H halmaz alsó korlátjának nevezzük. A H bíró a ∈ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülr®l is korlátos.


Alsó és fels® határ (folyt.) A valós számokon deniált részhalmazakról általában nem mondható el, hogy létezik legnagyobb, illetve legkisebb elemük. A következ® egyszer¶ állítás mégis igaz.

Tétel ¯ a H halmaz Legyen H ⊆ R tetsz®leges halmaz, és jelölje A ⊆ R ¯ pedig a fels® korlátainak alsó korlátainak halmazát, F ⊆ R halmazát. Ekkor az A halmaznak létezik legnagyobb, az F halmaznak pedig létezik legkisebb eleme.

A tétel alapján pedig értelmes a következ® deníció.

Deníció Legyen H ⊆ R tetsz®leges halmaz, és jel®lje megint A az alsó, F pedig a fels® korlátok halmazát. Ekkor a H halmaz alsó határán vagy inmumán az A halmaz legnagyobb elemét értjük. Jele: inf H. A H halmaz fels® határán vagy szuprémumán pedig az F halmaz legkisebb elemét értjük. Jele sup H.


Példák inmumra és szuprémumra Legyen H ⊆ R nemüres, korlátos halmaz. Ha a halmaz korlátos, akkor mind a szuprémuma mind az inmuma valós szám. Ha a halmaz nem üres, és felür®l nem korlátos, akkor a szuprémuma ∞. Hasonlóan, ha nem üres, és aluról nem korlátos, akkor az inmuma −∞. Els® ránézésre logikusnak látszik, hogy egy halmaz szuprémuma sosem kisebb, mint az inmuma. Azonban gondoljuk végig mit mond a deníció, ha a halmaz üres. Az üres halmaz esetén minden számra teljesül, hogy nagyobb vagy egyenl®, mint a halmaz összes eleme, vagyis az üres halmaznak minden szám fels® korlátja. A fels® korlátok közül a legkisebb pedig a −∞ lesz. Vagyis az üres halmaz szuprémuma −∞. Hasonlóan az is teljesül minden valós számra, hogy kisebb vagy egyenl®, mint a halmazban lév® elemek. Így a az üres halamaz inmuma ∞.


Példák inmumra és szuprémumra (folyt.)

8. hét Lovics Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum Sorozatok

Ezt a speciális esetet leszámítva az inmum és a szuprémum valójában nem más, mint a halmaz minimumának és maximumának általánosítása, utóbbiak ugyanis nem mindig léteznek. Vizsgáljuk meg, a korlátos intervallum esetét. Legyen A = (a, b]. Ekkor a halmaznak maximuma b, minimuma viszont nem létezik. Az a nem a halmaz minimuma, mert az a nem eleme a halmaznak. Ezzel szemben az a inmuma az A halmaznak.


Részsorozat

8. hét Lovics

Deníció Legyen (an ) egy valós sorozat. Ekkor a (bn )-t az (an ) részsorozatának tekintjük, ha létezik olyan f : N → N szigorúan monoton növ® függvény, melyre bn = af (n) . Legyen például an = n1 , ekkor a bn = 21n az an részsorozata, az f (n) = 2n választással. Hasonlóan részsorozat a cn = n12 , az f (n) = n2 választással.

Tétel Legyen (an ) olyan valós sorozat, melyre limn→∞ an = a, ahol ¯ . Tegyük fel továbbá, hogy (bn ) részsorozata (an )-nek. a∈R Ekkor limn→∞ bn = a.


Alkalmazás

8. hét Lovics

n

Ismeretes, hogy az Euler-féle e szám nem más, mint az 1 + n1 sorozat határértéke, ha n tart végtelenbe. Az el®z® tétel alapján 2 n tudjuk, hogy az 1 + 21n sorozat határértéke is e. Mindezek

n+ 1

n

3 alapján, ha például sorozat határértékére vagyunk n kiváncsiak, akkor a következ® átalakításokat végezzük:

n+ n

1 3

!n

1 = 1+ 3n

n

" =

1 1+ 3n

3n # 13

1

→ e3.


Részsorozatok határértéke

8. hét Lovics

Korábban láttuk, hogy nem minden sorozatnak létezik határértéke. Nézzük például a következ® sorozatot: an =

 1  1+ ha n = 2k

k ∈N n .   6 + 1 ha n = 2k + 1 k ∈ N n

Ennek a sorozatnak nincs határértétéke. Egyértelm¶ az is azonban, hogy van olyan részsorozata, amelyik 1-hez és olyan is, amelyik 6-hoz tart.

Deníció Legyen an tetsz®leges sorozat, és vegyük ennek a sorozatnak az összes részsorozatát. A részsorozatok határérétékei közül a legkisebbet a sorozat limesz inferiorjának, a legnagyobbat pedig a limesz szuperiorjának nevezzük. A fenti fogalmak jelölése rendre: lim inf an ;

lim sup an .


Részsorozatok határértéke (folyt.) Tétel Legyen an tetsz®leges számsorozat. Ekkor a sorozatnak egyértelm¶en létezik a limesz inferiorja és a limesz szuperiorja. Egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke, ha a sorozat limesz inferiorja és a limesz szuperiorja megyegyzik, és ekkor lim an = lim inf an = lim sup an . A limesz inferior és szuperior fogalma inkább elméleti, mint gyakorlati jelent®ség¶. Egyes tételek általánosabban is megfogalmazhatók ezekkel a fogalmakkal, hiszen ekkor tetsz®leges sorozatra igaz lehet az állítás, és nem kell megkövetelni, hogy létezzen a a sorozatnak határértéke. A gyakorlatban általában ezeket a tételeket olyan sorozatokra alkalmazzuk, amelyeknek létezik határétéke, és az utolsó tételünk alapján ilyenkor elegend® ezt a határértéket megkereseni.


Deriválási szabályok Ahhoz, hogy az összes deriválási szabályt áttekinthessük, el®ször is be kell vezetnünk néhány új függvényt. Ezeket a függvényeket hiperbólikus függvényeknek nevezzük. e x − e −x 2 e x + e −x chx = 2 shx thx = chx chx cthx = shx shx =

A hiperbólikus függvények sok szempontból hasonlítanak a trigonometrikus függvényekre. Ahogy a trigonometrikus függvények esetében, úgy ezen függvényekneknél is érdemes deniálni az inverzet, amik rendre: arshx R → R; archx [1; ∞) → R; arthx (−1; 1) → R függvények.


Deriválási szabályok (folyt.) A shx


Deriválási szabályok (folyt.) A chx


Deriválási szabályok (folyt.) A thx


Deriválási szabályok (folyt.)

8. hét

Függvények deriváltjai: [x a ]0 = ax a−1 , x ∈ R, a ∈ R [e x ]0 = e x , x ∈ R [ax ]0 = ax ln a x ∈ R, 1 6= a ∈ R+ [loga x ]0 = ln1a x1 , x ∈ R+ , 1 6= a ∈ R+ [ln x ]0 = x1 , x ∈ R+

[sin x ]0 = cos x, x ∈ R [cos x ]0 = − sin x, x ∈ R 1 cos2 x , k π 6= x ∈ R, k ∈ Z [ctgx ]0 = − sin12 x , π2 k π 6= x ∈ R, k ∈ [arcsin x ]0 = √11−x 2 , x ∈ (−1; 1) [arccos x ]0 = − √11−x 2 , x ∈ (−1; 1) [arctgx ]0 = 1+1x 2 , x ∈ R [arcctgx ]0 = − 1+1x 2 , x ∈ R

[tgx ]0 =

[shx ]0 = chx, x ∈ R

Z

Lovics Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum Sorozatok Deriválás és integrálás

Deriválási szabályok (folyt.)


[chx ]0 = shx, x ∈ R [thx ]0 = 1 − th2 x, x ∈ R [cthx ]0 = 1 − cth2 x, 0 6= x ∈ R [arshx ]0 =

√ 1 , x 2 −1

[arthx ]0 =

1 1−x 2 ,

x ∈R

x ∈ (−1; 1)


Deriválási szabályok (folyt.) Deriválás és m¶veletek: [cf (x )]0 = cf 0 (x ) [f (x ) ± g (x )]0 = f 0 (x ) ± g 0 (x ) [f (x ) · g (x )]0 = f 0 (x )g (x ) + f (x )g 0 (x ) h

f (x ) g (x )

i0

=

f 0 (x )g (x )−f (x )g 0 (x ) g 2 (x )

[f (g (x ))]0 = f 0 (g (x ))g 0 (x )

Speciális esetben:

[(g (x ))a ]0 = ag (x )a−1 g 0 (x ); [e g (x ) ]0 = e g (x ) g 0 (x ) 0 [ln g (x )]0 = gg ((xx)) ; g (x ) > 0

a∈R


Integrálási szabályok α+1 = xα+1 + c (x = e x + c (x ∈

8. hét Lovics

R

x α dx

R

e x dx

R

x x dx = lna a + c (x ∈ R, 1 6= a > 0) 1 x dx = ln |x | + c (x > 0 vagy x < 0) sin xdx = − cos x + c (x ∈ R) cos xdx = sin x + c (x ∈ R) 1 π π cos2 x dx = tgx + c (k π − 2 < x < k π + 2 k ∈ Z) 1 sin2 x dx = −ctgx + c (k π 6= x ∈ R, k ∈ Z)

R R R R R R

> 0, −1 6= α ∈ R) R)

x

√ 1 dx 1−x 2 √ 1 dx 1+x 2

= arcsinx + c (−1 < x < 1)

= arshx + c (x ∈ R) √ R 2 − 1 + c = √ 1 dx = ln x + x 2 x −1 ( archx + c (1 < x ∈ R) = −arch(−x ) + c (1 > x ∈ R) R 1 1+x 2 dx = arctgx + c (x ∈ R) R


Integrálási szabályok (folyt.)

R

x +1 1 1 dx = ln 2 1−x 2 x −1 + c =

(

arcthx + c (1 > |x | ∈ R) arccthx + c (1 > |x | ∈ R)

shxdx = chx + c (x ∈ R) chxdx = shx + c (x ∈ R) R 1 dx = −cthx + c (0 6= x ∈ R) sh2 x R 1 ch2 x dx = thx + c (x ∈ R) R R


Integrálási szabályok (folyt.)


Integrálás és m¶veletek: R R (f (x ) + g (x )) dx = f (x )dx + g (x )dx R R cf (x )dx = c f (x )dx R 0 R f (x )g (x )dx = f (x )g (x ) − f (x )g 0 (x )dx R R f (g (x ))g 0 (x )dx = f (u )du; u = g (x ) R


GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Recommend Documents