9
Gambar 1.1
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Probabilitas Dasar
Andrei Kolgomorov (1903-1987) meletakkan landasan matematis teori peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara. Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik dan dinamika nonlinear. Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke-
10 18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar probabilitas terhadap masalah fisis lainnya. Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak. Definisi 2.1 Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluarannya tidak diketahui secara pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi. Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut:
a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan. b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi. c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip.
2.2 Peubah Acak Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample. Definisi 2.2 Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan dengan keluaran dari suatu eksperimen acak.
2.2.1 Peubah Acak Diskrit
Definisi 2.3
11 Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋𝑋 adalah suatu himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 atau
𝑥𝑥1 ,
𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak diskrit 𝑋𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑃𝑥𝑥 (𝑥𝑥) sebagai:
𝑃𝑃𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥)
2.
Fungsi massa peluang 𝑃𝑃(𝑥𝑥) bernilai positif , untuk sejumlah nilai 𝑥𝑥 tercacah.
Dengan kata lain, jika 𝑋𝑋 mengambil salah satu dari nilai𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … maka peubah
acak diskrit X dengan nilai yang mungkin 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 fungsi massa peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut: 1). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛
2). � 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1 𝑖𝑖=1
3). 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )
2.2.2 Peubah Acak Kontinu
Definisi 2.5 Suatu peubah acak 𝑋𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi 𝑓𝑓 taknegatif,
terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil (berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh, keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval tertutup [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].
𝑏𝑏
𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 Berimplikasi pada:
12 ∞
𝑃𝑃(𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan 𝑏𝑏
∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) =
2.2
Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah acak
kontinu.
Fungsi
kepadatan
peluang
𝑓𝑓
dapat
digunakan
untuk
menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Memenuhi ketiga kaidah berikut: 1). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0 ∞
2). � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 −∞
𝑏𝑏
3). 𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎
Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋𝑋 dalam bentuk
kurva. Ketika 𝑋𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas 𝑋𝑋.
Jika 𝑋𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2 , … maka daftar
distribusi probabilitas berkaitan dengan 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛1 , 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛2 , …. Jumlah seluruh probabilitas selalu sama dengan 1.
Ingat bahwa 𝑋𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥𝑥 merupakan nilai spesifik dari variabel acak 𝑋𝑋. Berakibat jika 𝑥𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) berarti
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2), probabilitas bahwa 𝑋𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌𝑌 merupakan peubah acak maka 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 𝑦𝑦) probabilitas 𝑌𝑌 dengan nilai khusus 𝑦𝑦. 2.3 Ekspektasi dan Varians 2.3.1 Ekspektasi
13 Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali
menghasilkan
variasi.
Ukuran-ukuran
yang
menggambarkan
karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut: 1). Peubah acak diskrit 𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋] 𝑛𝑛
= � 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑃𝑃(𝑥𝑥𝑖𝑖 )
2.3
𝑖𝑖=1
2). Peubah acak kontinu 𝜇𝜇𝑥𝑥 = 𝐸𝐸[𝑋𝑋] ∞
= � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
2.4
−∞
Sifat-sifat nilai ekspektasi 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏
1.
𝐸𝐸[𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏] = 𝑎𝑎𝑎𝑎[𝑋𝑋] + 𝑏𝑏
2.
𝐸𝐸[𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋𝑛𝑛 ] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋1 ] + ⋯ + 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑛𝑛 ]
3.
𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋, 𝑌𝑌) ± h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)] ± E[h(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)]
4.
𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)]
5. 6. Bukti sifat 1.
𝐸𝐸(𝑋𝑋. 𝑌𝑌) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋) E(𝑌𝑌)
Pada peubah acak kontinu berlaku; ∞
𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
Sustitusi berlaku
𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏
∞
𝑋𝑋 = 𝑏𝑏 maka 𝐸𝐸[𝑏𝑏] = ∫−∞ 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 , karena b merupakan konstanta ∞
𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
14 ∞
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
−∞
𝐸𝐸[𝑏𝑏] = 𝑏𝑏 Bukti sifat 5.
𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± E[h(𝑋𝑋)] ∞
𝐸𝐸[𝑋𝑋] = � 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
Substitusi Y = 𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋) ∞
∞
−∞
−∞
𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑌𝑌𝑌𝑌(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � [ 𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Berlaku
∞
∞
−∞
−∞
𝐸𝐸[𝑌𝑌] = � 𝑔𝑔[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ∞
∞
𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = � 𝑔𝑔[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ± � ℎ[𝑋𝑋]𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
−∞
𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋) ± h(𝑋𝑋)] = 𝐸𝐸[𝑔𝑔(𝑋𝑋)] ± 𝐸𝐸[ℎ(𝑋𝑋)] 2.3.2 Varians.
Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 ], secara jelas diperlihatkan oleh: 1). Variabel acak diskrit 𝜎𝜎
2
𝑥𝑥
𝑛𝑛
= Var[X] = � (𝑋𝑋 𝑖𝑖=10
− 𝜇𝜇)2 𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖 )
2). Variabel acak kontinu
2.5
15 ∞
𝜎𝜎 2 𝑥𝑥 = Var[X] = �(𝑋𝑋 −∞
− 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut
2.6
Var[X] = 𝐸𝐸[(𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 ] ∞
Var[X] = � (𝑋𝑋 − 𝜇𝜇)2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
∞
= � (𝑋𝑋 2 − 2𝑋𝑋𝜇𝜇 + 𝜇𝜇 2 )𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
= � 𝑋𝑋 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2𝜇𝜇 � 𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜇𝜇 2 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 Var[X] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋 2 ] − 2𝜇𝜇𝜇𝜇[𝑋𝑋] + 𝜇𝜇 2
Karena 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸[X] maka diperoleh: Var[X] =
𝐸𝐸[𝑋𝑋 2 ] − (𝐸𝐸[X])2
Sifat-sifat varians: 1. 2. 3. 4.
Var[c] = 0
Var[𝑐𝑐X] = 𝑐𝑐 2 Var[X] Var[X + c] = Var[X]
Var[X1 + ⋯ + X𝑛𝑛 ] = Var[X1 ] + ⋯ + Var[X𝑛𝑛 ]
2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus Definisi 2.4
2.7
16 Jika 𝑓𝑓 adalah sebuah fungsi dan 𝑐𝑐 merupakan satu titik interior pada domain 𝑓𝑓. Jika 𝑓𝑓 memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di 𝑐𝑐, maka 𝑓𝑓 ′ (𝑐𝑐) = 0 atau 𝑓𝑓 ′ (𝑐𝑐) tidak ada 2.8
Teknik pengintegralan parsial 𝑑𝑑 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)] 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)
+ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)
2.9
Misalkan 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dan 𝑣𝑣 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) dan 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Persamaan 2.9 menjadi 𝑑𝑑 [𝑢𝑢𝑢𝑢] 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑢𝑢′ 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢𝑣𝑣 ′
Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh: �
𝑑𝑑 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)] = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
� 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)
− � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
17 � 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑢𝑢𝑢𝑢 − � 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑
2.10
Definisi improper integral tipe-I 𝑘𝑘
(a) Jika ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 ada untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≥ 𝑎𝑎, maka; ∞
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎
𝑘𝑘
= lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞ 𝑎𝑎
Menyatakan bahwa limit tersebut eksis. 𝑏𝑏
(b) Jika ∫𝑘𝑘 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 eksis untuk setiap bilangan 𝑘𝑘 ≤ 𝑏𝑏, maka 𝑏𝑏
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
𝑏𝑏
= lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→−∞ 𝑘𝑘
Menyatakan limit tersebut eksis ∞
𝑏𝑏
Improper integral ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dan ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dikatakan konvergen jika limit yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada. ∞
𝑎𝑎
(c) Jika ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 dan ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 konvergen, maka didefinisikan: ∞
𝑎𝑎
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞
−∞
∞
+ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎
2.4.1 Distribusi dan Fungsi Gamma Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate 𝜆𝜆 per unit waktu.
Misalkan variabel acak X menyatakann sebagai waktu tunggu kejadian ke − 𝑟𝑟.
Maka X memiliki pdf 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥), di mana 𝜆𝜆 𝑟𝑟
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = (𝑟𝑟−1)! 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥
𝑥𝑥 > 0 Bukti
,
2.10
18 Pembuktian formula untuk 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi kumulatif, 𝐹𝐹𝑥𝑥 (𝑥𝑥). Misalkan 𝑋𝑋 sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka,
𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋 > 𝑥𝑥) 𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥)
= 1 − (sedikitnya ada 𝑟𝑟 kejadian terjadi pada interval [0, 𝑥𝑥])
=1
𝑟𝑟−1
− � 𝑒𝑒 −(𝜆𝜆𝜆𝜆 ) 𝑘𝑘=0
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 𝑘𝑘!
2.11
Untuk memperoleh fungsi padat peluannya maka fungsi kumulatif pada kejadian yang berlangsung dalam interval [0, x] adalah variabel acak Poisson dengan parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai berikut 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 ′ 𝑥𝑥 (𝑥𝑥)
=
𝑑𝑑 �1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟−1
− � 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑘𝑘=0
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 � 𝑘𝑘!
2.12
Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan (2.9), misalkan 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑣𝑣 = 𝑟𝑟−1
𝑓𝑓𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = ��� 𝜆𝜆𝜆𝜆 −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑘𝑘=0
𝑟𝑟−1
= � �𝜆𝜆𝑒𝑒 𝑘𝑘=0
−𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑟𝑟 −2
𝑟𝑟−1
𝑘𝑘=0
𝑟𝑟−1
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘−1 � − � �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 � 𝑘𝑘! (𝑘𝑘 − 1)! 𝑘𝑘=1
𝑟𝑟−2
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑟𝑟−1 (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 � + �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 �� − �� 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 �� (𝑟𝑟 − 1)! 𝑘𝑘! 𝑘𝑘!
𝑟𝑟−2 = ���∑𝑘𝑘=0 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
= �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
𝑘𝑘!
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘−1 −𝜆𝜆𝜆𝜆 � − �� 𝜆𝜆𝜆𝜆 �� 𝑘𝑘! (𝑘𝑘 − 1)!
= ���� 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑘𝑘=0
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘
(𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑟𝑟−1 � (𝑟𝑟 − 1)!
𝑘𝑘!
� + �𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑟𝑟−1
𝑘𝑘=0
𝑟𝑟−2 �� − �∑𝑘𝑘=0 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝑟𝑟 −1)!
(𝜆𝜆𝜆𝜆 )𝑘𝑘 𝑘𝑘!
��
19 =
𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝜆𝜆)𝑟𝑟−1 (𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 (𝑟𝑟 − 1)!
(𝜆𝜆)𝑟𝑟−1+1 (𝑥𝑥)𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 = (𝑟𝑟 − 1)!
𝜆𝜆𝑟𝑟 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝑟𝑟 − 1)!
, 𝑥𝑥 > 0
Definisi 2.5 Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi gamma pdf dengan parameter r dan λ jika: 𝜆𝜆𝑟𝑟 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝑟𝑟 − 1)! Fungsi Gamma
𝜆𝜆𝑟𝑟 𝑟𝑟−1 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 > 0 atau 𝐺𝐺(𝑥𝑥: 𝑟𝑟, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 𝑒𝑒 , 𝑥𝑥 > 0 Γ(𝑟𝑟)
Γ(𝑟𝑟)
∞
= � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
2.13
0
Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam 1
1
distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ �2�, substitusi nilai 𝑟𝑟 = 2
ke pers. (2.13)
∞
1 1 Γ � � = � 𝑥𝑥 2−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 2
1 Γ� � 2
0
𝑘𝑘
1
= lim � 𝑥𝑥 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
2.14
Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan sebagai berikut: 𝑑𝑑𝑑𝑑
Substitusi 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢2 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢 ke persamaan (2.14) 𝑘𝑘
1 1 2 1 Γ � � = lim �(𝑢𝑢2 )−2 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑘𝑘→∞ 2 2 0
20 𝑘𝑘
𝑘𝑘
1 1 2 1 2 Γ � � = lim � 𝑢𝑢−1 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = lim � 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞ 2 2 2 𝑘𝑘→∞ 2
∞
𝐼𝐼 = � 𝑒𝑒 2
0
𝐼𝐼 = �
−𝑢𝑢 2
2𝜋𝜋
0
0
∞
𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑒𝑒
∞
� 𝑒𝑒 0
0
−𝑟𝑟 2
𝑘𝑘
−𝑣𝑣 2
∞
∞
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �� 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 0
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �
2𝜋𝜋
0
0
∞
2 −𝑣𝑣 2
𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑
2
𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑒𝑒 −𝑟𝑟 2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 4π 0
𝑘𝑘
1 1 1 2 1 2 Γ � � = lim � 𝑢𝑢−1 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = lim � 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �2√𝜋𝜋� 𝑘𝑘→∞ 2 2 2 𝑘𝑘→∞ 2 0
0
1
Dihasilkan Γ �2� = √𝜋𝜋
Substitusi 𝑟𝑟 = 1 ke pers (2.13) diperoleh: ∞
Γ(1) = � 𝑥𝑥1−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
∞
= � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝑘𝑘
= lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
= lim �−𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 � = lim {(−𝑒𝑒 −𝑘𝑘 ) − (−𝑒𝑒 −0 )} 𝑘𝑘→∞
=−
1 + 𝑒𝑒 0 𝑒𝑒 ∞
𝑘𝑘→∞
=0+1
=1
Dihasilkan Γ(1) = 1 Substitusi 𝑟𝑟 = 2 ke pers (2.13) diperoleh: ∞
Γ(2) = � 𝑥𝑥 2−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
21 ∞
Γ (2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝑘𝑘
= lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
= lim − 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑘𝑘→∞
−𝑥𝑥
𝑘𝑘
+ lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
= lim �−𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 � + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
0
= lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(2) = (−∞𝑒𝑒 −∞ + 0𝑒𝑒 0 ) + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (0 + 0) + 1 𝑘𝑘→∞
∞
Γ(2 ) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
0
∞
Diperoleh nilai Γ(2) = � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 0
Substitusi 𝑟𝑟 = 3 ke pers (2.13) diperoleh: ∞
Γ(3) = � 𝑥𝑥 3−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝑘𝑘
Γ(3) = lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
= − lim � 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑘𝑘→∞
0
2 −𝑥𝑥
= − lim 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
+ 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
22
Γ(3) =
− lim �𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 � 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
+ lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(3) = −{(∞2 𝑒𝑒 −∞ ) − (02 𝑒𝑒 −0 )} + 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
0
Γ(3) = (0 + 0) + 2 lim � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
Γ(2) =
∞ ∫0
𝑘𝑘→∞
0
𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 maka
∞
Γ(3) = 2 � 𝑥𝑥𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
Γ(3) = 2Γ(2) Γ(3) = 2
∞
Diperoleh Γ(3) = � 𝑥𝑥 3−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 0
Substitusi 𝑟𝑟 = 4 ke pers (2.13) diperoleh: ∞
Γ(4) = � 𝑥𝑥 4−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝑘𝑘
Γ(4) = lim � 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
𝑘𝑘
Γ(4) = lim � 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − lim � 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘→∞ 𝑘𝑘
0
= − lim 𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
=
−lim𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
+ 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
= lim (−𝑘𝑘 3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 + 03 𝑒𝑒 −0 ) + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
0
23 3 −∞
= −∞ 𝑒𝑒
3 −0
+ 0 𝑒𝑒
𝑘𝑘
𝑘𝑘
+ 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
0
= (0 + 0) + 3 lim � 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘→∞
Γ(4) = (0 + 0) + 3Γ(3)
0
Γ(4) = 6
∞
Diperoleh Γ(4) = � 𝑥𝑥 4−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 6 0
Akan dicari formula ke-r untuk fungsi gamma sebagai berikut: ∞
𝚪𝚪(𝒓𝒓) = � 𝒙𝒙𝒓𝒓−𝟏𝟏 𝒆𝒆−𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟎𝟎
𝑘𝑘
𝑘𝑘
Γ(𝑟𝑟) = lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
0
Γ(𝑟𝑟) = − lim 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 + lim � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
0
∞
= −∞𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −∞ + 0𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 0 + (𝑟𝑟 − 1) � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘
0
Γ(𝑟𝑟) = 0 + 0 + (𝑟𝑟 − 1) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘
𝑘𝑘→∞
0
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) � lim 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 − (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘→∞
0
24 Γ(𝑟𝑟)
= −(𝑟𝑟 − 1) �(∞𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −∞ ) − (0𝑟𝑟−2 𝑒𝑒 −0 ) 𝑘𝑘
− (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 2) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
0
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑥𝑥 � Γ(𝑟𝑟)
𝑘𝑘→∞
0
= −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �lim𝑥𝑥 𝑟𝑟 −3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 |𝑘𝑘0 − (𝑟𝑟 𝑘𝑘→∞
𝑘𝑘
− 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟 −4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑘𝑘→∞
0
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �(∞𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −∞ ) − (0𝑟𝑟−3 𝑒𝑒 −0 ) − (𝑟𝑟 𝑘𝑘
− 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑘𝑘→∞
0
𝑘𝑘
Γ(𝑟𝑟) = −(𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2) �0 − 0 − (𝑟𝑟 − 3) lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑘𝑘
𝑘𝑘→∞
0
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) � lim � 𝑥𝑥 𝑟𝑟−4 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑘𝑘→∞ ∞
0
Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) �� 𝑥𝑥 (𝑟𝑟−3)−1 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑� 0
25 Pada persamaan terakhir diketahui bahwa nilai terakhir adalah perkalian berulang menurun maka untuk nilai 𝑟𝑟 > 1 maka gamma 𝑟𝑟 menjadi: Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3){Γ(𝑟𝑟 − 3)} Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)Γ(𝑟𝑟 − 1) Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 2)(𝑟𝑟 − 3) … 3.2.1 Γ(𝑟𝑟) = (𝑟𝑟 − 1)!, di mana 𝑟𝑟 > 1 Γ(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥Γ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥!
Γ(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 Γ(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) Γ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛)! 𝑥𝑥! = (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛
Γ(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 > 0
di mana (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) untuk 𝑛𝑛 > 0
𝑥𝑥! =
𝑛𝑛! (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑥𝑥
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = lim 𝑛𝑛→∞ (𝑥𝑥 + 1)𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) lim
Diperoleh identitas
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)
Γ(𝑥𝑥) = lim
Identitas Weierstrass
𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) =
1 1 1 (𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1 2 3 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 𝑛𝑛 ⋯ 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛
26 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 𝑥𝑥 lim 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1) =
Γ(𝑥𝑥) =
Γ(𝑥𝑥) =
1 1 1 (𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1 2 3 𝑛𝑛 lim 𝑒𝑒 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛 →∞ 𝑥𝑥 1
1 1 1 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑛𝑛)−1− − −⋯− � 1 2 3 𝑛𝑛 lim 𝑒𝑒 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥 1 𝑘𝑘=𝑛𝑛 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥/𝑘𝑘 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 lim � 𝑥𝑥 𝑛𝑛→+∞ 1 + 𝑥𝑥/𝑘𝑘 𝑘𝑘=1 ∞ 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥/𝑛𝑛 −𝛾𝛾𝛾𝛾
Γ(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒
�
𝑥𝑥 1 + 𝑛𝑛 Kedua ruas dilogaritmakan diperoleh 𝑥𝑥
𝑛𝑛 =1
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 𝑛𝑛 ⋯ + 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛
𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 𝑛𝑛 ⋯ + 𝑥𝑥/1 1 + 𝑥𝑥/2 1 + 𝑥𝑥/𝑛𝑛
∞
𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙{Γ(𝑥𝑥)} = −log(𝑥𝑥) − γ𝑥𝑥 + � � − 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + �� 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝=1
Berdasarkan persamaan terakhir diperoleh 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 atau 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 yang dinotasikan oleh ψ(𝑥𝑥) untuk suatu bilangan bulat tak nol atau negatif dinyatakan dalam turunan logaritma Γ(𝑥𝑥) 𝑑𝑑 {log [Γ(𝑥𝑥)]} 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∞ Γ′(𝑥𝑥) 1 1 1 ψ(x) = = −γ − + � − Γ(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝
ψ(x) =
∞
𝑝𝑝=1
Γ′(𝑥𝑥) 1 1 = −γ + � − Γ(𝑥𝑥) 𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 − 1 𝑝𝑝=1
𝑥𝑥 ≠ 0, 1, 2, …
1 1 𝛾𝛾 = lim �1 + + ⋯ + − log (𝑝𝑝)� = 0.5772156649 … 𝑝𝑝→∞ 2 𝑝𝑝
2.5 Estimasi
Estimator dalah kuantitas yang didasarkan dari observasi sampel yang nilainya diambil sebagai indikator dari nilai parameter populasi yang tidak diketahui (sebagai contoh, rata-rata sampel 𝑥𝑥̅ sering digunakan sebagai estimator dari mean populasi yang tidak diketahui 𝜇𝜇) semakin lama semakin besar. Peubah acak dalam bentuk fungsi
massa atau padat peluang adalah diketahui, tetapi distribusi bergantung pada
27 parameter tak diketahui yang memiliki nilai dalam himpunan yang disebut ruang parameter.
Dalam estimasi, sampel acak diambil dari distribusi untuk memperoleh beberapa informasi dari parameter tak diketahui. Dilakukan perulangan sebanyak 𝑛𝑛 eksperimen independen, sampel observasi pendugaan
nilai parameter menggunakan
𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 dan lakukan
observasi 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 . Fungsi
𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 digunakan menduga nilai parameter, statistik 𝑢𝑢(𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 )
disebut sebagai penduga parameter yang dicari. Perhitungan 𝑢𝑢(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
dilakukan mendekati nilai parameter sebenarnya. Karakteristik populasi oleh bilangan tunggal berdasarkan pada sampel data
dan mewakili nilai yang
menggambarkan karakteristik populasi disebut dugaan titik.
2.5.1 Moments Estimator (MMes)
Definisi 2.9 Secara sederhana estimasi 𝑘𝑘 parameter berdasarkan metode momen adalah dengan menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian, dituliskan oleh: 𝜇𝜇1 = 𝑚𝑚1 𝜇𝜇2 = 𝑚𝑚2 � ⋮ 𝜇𝜇𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘
Persamaan di sisi sebelah kiri bergantung kepada distribusi parameternya. Persamaan di sisi sebelah kanan dapat dihiting berdasarkan data yang digunakan. Momen populasi ke − 𝑘𝑘 didefinisikan sebagai
𝜇𝜇𝑘𝑘 = E(𝑋𝑋 𝑘𝑘 )
Momen sampel ke − 𝑘𝑘 disefinisikan oleh:
n
1 𝑚𝑚𝑘𝑘 = � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑘𝑘 n i=1
Mengestimasi 𝜇𝜇𝑘𝑘 dari sampel (𝑋𝑋1 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ). Momen sampel pertama adalah mean
sampel 𝑋𝑋
28
Misalkan 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 adalah peubah
merupakan fungsi padat peluang dengan
acak
kontinu
dan 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥)
𝑘𝑘 parameter tidak diketahui,
𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 . Momen 𝑘𝑘 pertama peubah 𝑋𝑋, jika ada diberikan oleh integral berikut:
𝑗𝑗
∞
𝐸𝐸�𝑋𝑋 � = � 𝑥𝑥 𝑗𝑗 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 )𝑑𝑑𝑑𝑑, −∞
𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑘
Momen sampel ke − 𝑗𝑗 merupakan aproksimasi terhadap moment teoretis ke − 𝑗𝑗. Metode
momen
mengestimasi
parameter
tidak
diketahui
𝜃𝜃�1 , 𝜃𝜃�2 , … dan 𝜃𝜃�𝑘𝑘 terhadap model yang parameternya tidak diketahui adalah
penyelesaian dari 𝑛𝑛 persamaan simultan ∞
𝑛𝑛
1 � 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
−∞ ∞
𝑛𝑛
1 � 𝑥𝑥 2 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 𝑛𝑛
−∞
∞
⋮
⋮
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
1 � 𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
−∞
Peubah acak diskrit dengan pmf
𝑖𝑖=1
𝑝𝑝𝑥𝑥 (𝑥𝑥: 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) metode momen
mengestimasi penyelesaian persamaan simultan
1 � 𝑥𝑥 𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑥𝑥 (𝑥𝑥: 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) = � � � 𝑥𝑥 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑥𝑥
𝑥𝑥
2.5.1.1 Prosedur Metode Moments Tahapan pendugaan metode moments melibatkan tiga langkah dasar berikut ini: Misalkan terdapat 𝑘𝑘 paramerter yang akan diestimasi, msalkan 𝜃𝜃 = (𝜃𝜃1 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ). 1. Tentukan 𝑘𝑘 momen pupulasi, 𝜇𝜇𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘. 𝜇𝜇𝑙𝑙 akan memuat satu atau lebih parameter 𝜃𝜃1 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘
29 2. Tentukan hubungkan 𝑘𝑘 momen sampel , 𝑚𝑚𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘.
Banyaknya sampel moment harus sama banyak dengan parameter yang akan di estimasi.
3. Dari sistem persamaan, 𝜇𝜇𝑛𝑛 = 𝑚𝑚𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 = 1, 2, … , 𝑘𝑘, selesaikan parameter 𝜃𝜃 = (𝜃𝜃1 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) yang merupakan penduga momen untuk 𝜃𝜃�.
2.5.2 Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Definisi 2.6 Misalkan 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 merupakan sampel acak berukuran n dengan variabel acak
diskrit pmf 𝑝𝑝𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃), di mana 𝜃𝜃(𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) adalah parameter tidak diketahui. Fungsi likelihood, L(θ), adalah perkalian pmf yang dikaitkan dengan n ke-k. 𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥1 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛
𝐿𝐿(𝜃𝜃) = � 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛
𝐿𝐿(𝜃𝜃) = � 𝑝𝑝𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑖𝑖 : 𝜃𝜃) 𝑖𝑖=1
Andaikan 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 adalah sampel acak berukuran n dari pdf kontinu,
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝜃𝜃) di mana 𝜃𝜃(𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) merupakan parameter tak diketahui, fungsi likelihood dituliskan:
𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝑓𝑓(𝑋𝑋1 = 𝑥𝑥1 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) 𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ; 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ). 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ; 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) … . 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 ; 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 )
Pandang sebagai fungsi 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 , disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan
[𝑢𝑢1 ( 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ), 𝑢𝑢2 ( 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ), … , 𝑢𝑢𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )]
Adalah tupel-k yang memaksimalkan 𝐿𝐿 ( 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 ) sehingga: 𝜃𝜃�1 = 𝑢𝑢1 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 )
30 𝜃𝜃�2 = 𝑢𝑢2 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ) 𝜃𝜃�3 = 𝑢𝑢3 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ) ⋮
𝜃𝜃�𝑘𝑘 = 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 )
Adalah penduga kemungkinan maksimum dari 𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , … , 𝜃𝜃𝑘𝑘 . Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut 𝑛𝑛
𝐿𝐿(𝜃𝜃) = � 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝜃𝜃) 𝑖𝑖=1
2.5.2.1 Prosedur untuk menentukan MLE Definisikan Fungsi Likelihood, 𝐿𝐿(𝜃𝜃).
1.
Gunakan logaritma natural, ln[𝐿𝐿(𝜃𝜃)].
2.
Ketika diterapkan, differensialkan ln[𝐿𝐿(𝜃𝜃)] terhadap 𝜃𝜃, dan
3.
samakan dengan nol.
Selesaikan parameter 𝜃𝜃 dan akan diperoleh 𝜃𝜃�.
4.
2.5.3 Sifat-sifat estimator
Sifat yang diharapkan dari sebuah penduga adalah bahwa penduga tersebut berada sedekat-dekatnya dengan nilai sebenarnya parameter yang tidak diketahui. Bila diperhatikan mean bukanlah satu-satunya lokasi yang mungkin parameter dimana parameter berada.. Untuk praktisi statisi, pertanyaan penting adalah mendapatkan sampel statistik seperti mean, median, observasi terkecil atau obeservasi terbesar, sebaiknya
dipilih
mempersentasikan
seluruh
sampel.
Untuk
memahami
matematika pendugaan, maka pertama-tama ingat bahwa setiap penduga adalah fungsi dari sekelompok peubah acak
1. Tidak Bias
31 Estimator tidak bias adalah estimator yang nilai harapannya sama dengan nilai sesungguhnya dari parameter yang akan ditaksir. Didefinisikan sebagai berikut Andaikan 𝜃𝜃� merupakan estimasi titik untuk suatu parameter 𝜃𝜃. Maka 𝜃𝜃� disebut sebagai estimator tidak bias apabila 𝐸𝐸�𝜃𝜃�� = 𝜃𝜃. Jika 𝐸𝐸�𝜃𝜃�� ≠ 𝜃𝜃, maka 𝜃𝜃� dikatakan bias. Bias suatu penaksir titik 𝜃𝜃� diberikan oleh 𝐵𝐵�𝜃𝜃�� = 𝐸𝐸�𝜃𝜃�� − 𝜃𝜃. 2. Efisien
Jika distribusi Sampling dari dua buah statistik mempunyai mean atau ekspektasi yang sama, maka statistik varians yang lebih kecil disebut sebagai estimator efisien dari mean, sementara statistik yang kedua adalah estimator tak efisien. Nilai dari kedua statistik masing-masing disebut estimasi efisien dan estimasi tak efisien. Dan dinotasikan andaikan bahwa 𝜃𝜃�1 dan 𝜃𝜃�2 adalah dua penduga takbias untuk parameter 𝜃𝜃. suatu penduga adalah efisien terhadap 𝜃𝜃 apabila penduga memiliki varians yang lebih kecil. Ef(𝜃𝜃�2 , 𝜃𝜃�1 ) = Ef�𝜃𝜃�2 , 𝜃𝜃�1 � = Ef�𝜃𝜃�2 , 𝜃𝜃�1 � =
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 (𝜃𝜃�1 ) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 (𝜃𝜃�2 )
2 E�𝜃𝜃�1 − 𝜃𝜃�
2 E�𝜃𝜃�2 − 𝜃𝜃�
2 E�𝜃𝜃�1 − 𝐸𝐸�𝜃𝜃�1 ��
2 E�𝜃𝜃�2 − 𝐸𝐸�𝜃𝜃�2 ��
Jika 𝐸𝐸𝐸𝐸 > 1 maka 𝜃𝜃�1 > 𝜃𝜃�2 artinya secara relative 𝜃𝜃�2 lebih efisien daripada
𝜃𝜃�1 , dan jika 𝐸𝐸𝐸𝐸 < 1 maka 𝜃𝜃�1 < 𝜃𝜃�2 secara relative 𝜃𝜃�1 lebih efisien daripada 𝜃𝜃�2 .
3. Konsisten
Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sarna dengan nilai sebenarnya
32 meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar. Suatu penduga dikatakan konsisten jika memenuhi syarat berikut: 1. Jika ukuran sampel bertambah maka penduga akan mendekati nilai parameter sebenarnya. Jika sampel menjadi tak terhingga maka penduga konsisten harus
dapat memberi suatu titik yang sempurna terhadap
parameternya. Sehingga, � 𝜃𝜃� � merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika:
2
𝐸𝐸 � θ� − E(θ)� → 0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛 → ∞
2. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis normal diatas parameter sama dengan 1
