Fyzik´aln´ı sekce pˇr´ırodovˇedeck´e fakulty Masarykovy univerzity v Brnˇe
´ ´I PRAKTIKUM FYZIKALN Fyzik´aln´ı praktikum 2 Zpracoval: Jakub Jur´anek Obor: UF
Roˇ cn´ık: II
´ Uloha ˇc. 5: T = 21, 6 ◦ C p = 993 hPa ϕ = 48 %
Namˇ eˇreno: 24. z´aˇr´ı 2012 Semestr: III
Testov´ ano:
Magnetick´ e pole
1. Teorie 1.1. Povinn´ aˇ c´ ast Mˇeˇren´ı horizont´ aln´ı sloˇzky intenzity magnetick´eho pole Zemˇe Gaussov´ym magnetometrem. V t´eto ˇc´asti budeme poˇc´ıtat horizont´ aln´ı sloˇzku intenzity magnetick´eho pole Zemˇe pomoc´ı v´ ychylky magnetky pˇri p˚ usoben´ı pole premanentn´ıho magnetu a kmit˚ u tohoto magnetu v magnetick´em poli Zemˇe. Nejprve tedy v´ ychylka magnetky pˇri p˚ usoben´ı pole premanentn´ıho magnetu.
Obr´azek 1 Um´ıst´ıme-li magnetku, viz Obr´ azek 1, do Gaussov´ ych poloh P1 , resp. P2 v okol´ı premanentn´ıho magnetu ve vzd´alenosti r, doch´ az´ı zde ke skl´ ad´ an´ı magnetick´eho pole zemˇe a pole premanentn´ıho magnetu. To zapˇr´ıˇcin´ı, ˇze se magnetka vych´ yl´ı o u ´hel ϕ1 , resp. ϕ2 . Nahrad´ıme-li magnet dvˇema magnetick´ ymi monop´oly o magnetick´em mnoˇzstv´ı +p a −p ve vzd´alenosti l od sebe a oznaˇc´ıme-li λ = 2rl a M = pl magnetick´ y moment magnetu, dostaneme pro velikosti intenzit H1 a H2 vztahy: 1 2M H1 = 3 4πµ0 r (1 − λ2 )2 H2 =
1 M 3 4πµ0 r (1 + λ2 )3/2 1
Pro v´ ychylky magnetky pak plat´ı vztahy: tg ϕ1 = tg ϕ2 =
H1 1 2M = 3 Hz 4πµ0 Hz r (1 − λ2 )2
1 M H2 = Hz 4πµ0 Hz r3 (1 + λ2 )3/2
Kombinac´ı obou vztah˚ u po vhodn´em umocnˇen´ı dost´av´ame vztah: 7 3 4 M 1 = r21 tg ϕ1 tg ϕ2 (1 − λ4 )6 4πµ0 Hz 8 ze kter´eho u ´vahou, ˇze r l a tedy λ4 1 a nahrazen´ı geomtrick´eho pr˚ umˇeru aritmetick´ ym dostaneme: 4πµ0 r3 3 tg ϕ1 M = + 4 tg ϕ2 A= Hz 7 2 Vezmeme-li jako veliˇciny tg ϕ1 a tg ϕ2 , spoˇc´ıt´ame pak nejistotu u(A) vzorcem: s 2 4πµ0 3r2 2 3 tg ϕ1 49 4πµ0 r3 2 2 4πµ0 r3 2 2 u(A) = + 4 tg ϕ2 u2 (r) + u (tg ϕ1 ) + 16 u (tg ϕ2 ) 7 2 4 7 7 Nyn´ı kmity magnetu v magnetick´em poli Zemˇe. Bude-li v´ ychylka ϕ osy magnetu v˚ uˇci magnetick´emu poli Zemˇe mal´a, m˚ uˇzeme aproximovat sin ϕ ≈ ϕ, a pˇri pouˇzit´ı vl´ akna s velmi mal´ ym torzn´ım momentem, m˚ uˇzeme zapsat pohybovou rovnici: J
d2 ϕ + M Hz ϕ = 0 dt2
kde J je moment setrvaˇcnosti magnetu, kter´ y pro v´alcov´ y magnet spoˇc´ıt´ame vzorcem: m D 2 l2 J= + 4 4 3 kde m je jeho hmotnost, D pr˚ umˇer a l d´elka. Nejistotu u(J) pot´e spoˇcteme: s m 2 D l2 2 m 2 D2 2l 2 1 D 2 l2 2 2 2 u(J) = + u (m) + + u (D) + + u2 (l) 16 4 3 4 2 3 4 4 3 Magnet harmonicky kmit´ a s kruhovou frekvenc´ı ω danou vztahem: ω2 =
M Hz J
ze kter´eho pak dost´ av´ ame vyj´ adˇren´ı pomoc´ı doby kyvu τ = B = M Hz =
T 2,
kde T je perioda kmit˚ u:
π2J τ2
Nejistotu u(B) vyj´ adˇr´ıme jako: r u(B) =
π4 2 π4J 2 2 u (J) + u (τ ) τ4 9τ 6
Nakonec poˇzadovanou velikost horizont´ aln´ı sloˇzky intenzity magnetick´eho pole Zemˇe dost´av´ame jako: r B Hz = A s nejistotou r u(Hz ) =
4B 2 4 2 u (A) + u (B) 3 A AB 2
1.2. Varianta B Mˇeˇren´ı intenzity magnetick´eho pole Zemˇe tangentovou buzolou. V t´eto ˇc´asti opˇet vyuˇzijeme vych´ ylen´ı magnetky v dalˇs´ım magnetick´em poli, tentokr´at budezen´eho c´ıvkou. Um´ıst´ıme-li magnetky do stˇredu c´ıvky o polomˇeru R s N z´avity, kterou prot´ek´a proud I, p˚ usob´ı na ni magnetick´e pole c´ıvky o intenzitˇe: NI H= 2R Nastav´ıme-li c´ıvku tak, aby magnetick´e pole v jej´ım stˇredu smˇeˇrovalo kolmo k magnetick´emu poli Zemˇe, m˚ uˇzeme tangentu v´ ychylky magnetky spoˇc´ıtat jako: tg ϕ =
H Hz
Horizont´aln´ı sloˇzku magnetick´eho pole Zemˇe Hz pak m˚ uˇzeme urˇcit ze vztahu: Hz =
NI 2R tg ϕ
Pro praktick´e mˇeˇren´ı vyj´ adˇr´ıme z´ avislost tg ϕ na proudu tg ϕ = ve kter´em oznaˇc´ıme k=
1 N I Hz 2R 1 N Hz 2R
Nejistotu u(k) dostaneme po proloˇzen´ı namˇeˇren´e z´avislosti line´arn´ı funkc´ı, z ˇcehoˇz pak dostaneme pro nejistotu u(Hz ) vyj´ adˇren´ı: u(k) Hz u(Hz ) = K
2. Mˇ eˇ ren´ı 2.1. Povinn´ aˇ c´ ast Z praktick´ ych d˚ uvod˚ u a z konstrukce mˇeˇr´ıc´ı aparatury, budeme h´ ybat magnetem, zat´ımco poloha megnetky bude pevn´ a. Mˇeˇren´ı provedeme pro tˇri r˚ uzn´e vzd´ alenosti r od magnetky, na obou jej´ıch stran´ach a to i pro magnet otoˇcen´ y o 180◦ . Ze ˇctyˇr u ´hl˚ u pro jednu vzd´ alenost a Gaussovu polohu urˇc´ıme pr˚ umˇern´ yu ´hel a statistickou nejistotu, ke kter´e pot´e pˇrid´ ame systematickou nejistotu 1◦ a pot´e vˇse pˇrevedeme na tangens. Za nejistotu r zvol´ıme 1 mm, tedy u(r) = 1 mm. Namˇeˇren´e hodnoty: r[cm] ϕ1 [◦ ] 50 32, 4 36, 9 34, 2 35, 1 45 38, 7 47, 7 41, 4 43, 2 40 52, 2 59, 4 55, 8 56, 7
ϕ2 [◦ ] 18, 0 18, 9 18, 0 20, 7 20, 7 27, 0 21, 6 24, 3 27, 0 30, 6 30, 6 32, 4
r[cm] tg ϕ1 tg ϕ2 50 0, 69 ± 0, 02 0, 33 ± 0, 02 45 0, 91 ± 0, 04 0, 42 ± 0, 03 40 1, 50 ± 0, 03 0, 59 ± 0, 03
3
Z tˇechto hodnot urˇc´ıme A pro tyto tˇri vzd´alenosti zvl´aˇst’, kaˇzdou s vlastn´ı odchylkou. V´ ysledn´a A pak dostaneme jako jejich pr˚ umˇer a v´ yslednou nejistotu jako kombinaci pr˚ umˇeru nejistot a statistick´e nejistoty. r[cm] A NA−2 m3 50 (67 ± 2) · 10−8 45 (63 ± 3) · 10−8 40 (67 ± 2) · 10−8 A = (67 ± 2) · 10−8 NA−2 m3 Dobu kyvu zavˇeˇsen´eho magnetu budeme mˇeˇrit tˇrikr´at, a to tak, ˇze vˇzdy zmˇeˇr´ıme deset period. Tyto hodnoty zpr˚ umˇerujeme a vydˇel´ıme dvaceti, takˇze dostaneme dobu kyvu τ . Nejistototu u(10T ) dostaneme kombinac´ı statistick´e nejitoty se systematickou nejistotou 1 s, zp˚ usebenou reakˇcn´ı dobou. Z tohoto pak dost´ av´ ame u(τ ) 10T [s] 103, 96 102, 80 101, 84 = (5, 14 ± 0, 06) s
τ
D´ale potˇrebujeme zjistit rozmˇery magnetu, kter´e zmˇeˇr´ıme ˇsupl´erou s nejistotou ±0, 2 mm/100 mm. l = (122, 7 ± 0, 2) mm D = (20, 7 ± 0, 1) mm Nakonec uˇz jen potˇrebujeme urˇcit hmotnost m magnetu, kter´ y, abychom vylouˇcili jeho vliv na v´ ahy, zv´aˇz´ıme nejprve v obalu, dostaneme hmotnost M , a pot´e zv´aˇz´ıme samotn´ y obal o hmotnosti mo . Pot´e plat´ı m = M − m0 . M
= (873, 95 ± 0, 02) g
mo = (569, 47 ± 0, 02) g m = (304, 48 ± 0, 03) g Moment setrvaˇcnosti J je tedy: J
= (391 ± 1) kg m2
Celkem tedy: B = (1461 ± 7) · 10−7 Nm Velikost horizont´ aln´ı sloˇzky magnetick´e pole Zemˇe je tedy: Hz = (15 ± 1) A m−1
4
2.2. Varianta B Parametry c´ıvky: N
= 80
2R = 62 cm Pro mˇeˇren´ı proudov´e z´ avislosti zvol´ıme krok asi toku proudu. I[mA] 189, 8 175, 0 159, 9 145, 0 130, 1 115, 1 100, 2 85, 1 69, 9 54, 8
15 mA, pˇriˇcemˇz v´ ychylku zmˇeˇr´ıme pro oba smˇery ϕ[◦ ] 52 54 51 52 48 50 46 48 43 45 39 41 36 38 31 33 27 29 22 24
Nyn´ı vloˇz´ıme do grafu z´ avislos tg ϕ na proudu I a line´arn´ım proloˇzen´ım dostaneme koeficient k.
k = (6, 7 ± 0, 1) A−1 Z ˇcehoˇz jiˇz urˇc´ıme intenzitu horizont´ aln´ı sloˇzky magnetick´eho pole Zemˇe: Hz = (19, 3 ± 0, 4) A m−1
5
3. Z´ avˇ er Provedli jsme dvˇe r˚ uzn´ a mˇeˇren´ı velikosti horizont´aln´ı sloˇzky intenzity magnetick´eho pole Zemˇe. ˇ Po pˇreveden´ı dost´ av´ ame hodnoty (19 ± 1) µT a (24, 2 ± 0, 5) µT, pˇriˇcemˇz ud´avan´a hodnota pro Ceskou republiku je asi 21 µT. Dostali jsme tedy na jednoduchost pouˇzit´ ych pˇr´ıstroj˚ u pomˇernˇe sluˇsn´e v´ ysledky. Menˇs´ı relativn´ı nejistota v druh´em mˇeˇren´ı je d´ana jednak t´ım, ˇze veliˇciny N a 2R byly d´any bez nejistoty, jednak t´ım, ˇze v prvn´ı ˇc´ asti m´ ame vˇetˇs´ı nejistotu tangenty u ´hlu v poloze P1 ve vzd´alenosti 45 cm a ˇze n´am pro tuto situaci vyˇsla odliˇsnˇejˇs´ı hodnota A, coˇz se pak projevilo ve statistick´e chybˇe. Souvisej´ıc´ı pˇr´ıˇcinou rozd´ıln´ ych relativn´ıch nejistot je jistˇe zp˚ usobena t´ım, ˇze magnetka v druh´em pˇr´ıpadˇe byla evidentnˇe v lepˇs´ım stavu.
6
