Fyzikální pojem energie a jeho použití nejen ve výuce fyziky Michal Musílek leden 2010
[email protected]
Jak se ve škole buduje pojem energie? ➲ ➲
➲
➲
Energie je hodně komplexní pojem, který nelze odbýt jednoduchou definicí. Proto se ve škole probírají postupně jednotlivé druhy energie. Zpravidla se začíná mechanickou energií. Lze říci o energii (jako obecném pojmu, nejen o mechanické) vůbec něco zásadního, co je pro tuto veličinu charakteristické? Zkuste odpovědět na otázky: ● Jaká veličina je energie? (přídavné jméno) ● Jaký důležitý zákon pro ni platí?
Energie je stavová veličina ➲ ➲
➲ ➲ ➲
Energie popisuje stav tělesa, nebo soustavy těles, nebo termodynamického systému, ... Práce, nebo teplo nejsou stavové, nýbrž dějové veličiny. Měříme je ve stejných jednotkách, ale mají jinou podstatu. Analogie mezi energií a stavem konta na jedné a prací a platbami na druhé straně. Feynmanovo „podobenství“ o energii a kostkách ze stavebnice. Mimochodem - na otázku: „Jaká veličina je energie?“ lze také odpovědět: „Skalární.“
Energie se zachovává ➲ ➲
Celková energie v uzavřené (izolované) soustavě se zachovává. (To platí vždy a všude ve vesmíru!) Jednotlivé typy energie se zachovávat mohou, ale nemusí. Např. celková mechanická energie zůstává beze změny pouze v systémech, kde nejsou žádné síly odporu proti pohybu (tření, odpor vzduchu, ...).
Různé druhy potenciální energie ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲
tělesa v homogenním tíhovém poli tělesa v radiálním gravitačním poli tělesa napínajícího pružinu (pružnosti v tahu) torzní pružnosti (pružnosti ve zkrutu) tlaku v kapalině (tlaková potenciální energie) nabitého tělesa v homogenním elektrostat. poli nabitého tělesa v radiálním elektrostatickém poli nabitého kondenzátoru
Různé druhy kinetické energie ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲
tuhého tělesa pohybujícího se translací pohybujícího se tělesa z pohledu STR rotujícího (otáčejícího se) tuhého tělesa pohybující se elektricky nabité částice (jednotka energie elektronvolt) energie fotonu (fotoelektrický jev) energie cívky protékané elektrickým proudem
Odvození rovnováhy na páce ze ZZE r1
h1
h2 m1
➲ ➲
r2 m2
Představme si soustavu dvojzvratné páky a závaží v rovnovážné poloze volné. Páku odchýlíme od rovnovážné polohy o malý úhel α od vodorovné polohy, aniž by se rovnováha porušila.
Odvození rovnováhy na páce ze ZZE r1
h1 m1
Δ E1 = Δ E2 G1 h1 = G2 h2 m1 g h1 = m2 g h2 m1 h1 = m2 h2
r2 h2 m2
m1 r1 sin α = m2 r2 sin α m1 r1 = m2 r2
Odvození vztahů pro nakloněnou rovinu F
W = Δ Ep Fl = Gh
l
G h
h F = G = G sin α l
Intermezzo – energie v chemii ➲
➲ ➲ ➲ ➲
V chemii se pracuje s různými termodynamickými potenciály a zpravidla už na střední škole se máme naučit jejich definiční vzorce (aniž bychom měli šanci jim do hloubky porozuměnt). Všechny termodynamické potenciály se definují pomocí stavových veličin a jejich diferenciálů. Zapamatovat si je můžeme pomocí mnemotechnické pomůcky „Velmi Těžce pamatovatelné Schéma“ Co znamenají písmena V – T – p – S ? Začneme tím, že si nakreslíme čtverec a jeho vrcholy označíme od levého dolního rohu proti směru hod. ručiček V, T, p, S.
Intermezzo – energie v chemii ➲
Zatímco vrcholy čtverce jsme označili symboly stavových veličin, strany čtverce označíme od dolní proti směru hod. ručiček písmeny F, G, H a U: ● ● ● ●
F G H U
… … … …
volná energie (angl. Free energy) Gibbsova energie entalpie (H … velké řecké éta) vnitřní energie
S
H
U V
p
G F
T
Intermezzo – energie v chemii
➲
Pravidla použití schématu ● ● ● ● ●
Zakroužkujeme potenciál, jehož diferenciál hledáme. Šipky v úhloříčkách čtverce směřují ke straně s kroužkem. Začátek šipky = veličina; konec šipky = její diferenciál. Šipka zdola nahorů = plus; shora dolů = mínus. Např. dU = T dS – p dV .
Úloha č. 1 ➲ ➲ ➲
Zadána ve II. Ročníku FO (v kategorii C) Autorské řešení založeno na energetických úvahách Zadání
Vlak o tíze G přijíždí po vodorovné rovině ke kopci, na němž stojí nádraží, rychlostí v1 a setrvačností dojíždí na kopec rychlostí v2. Vypočtěte výšku nádraží nad vodorov. rovinou, je-li délka svahu (o konstantním spádu), který vlak zmáhá, l a třecí síla Ft je rovna n-tině tíhy vlaku. Řešte obecně a také pro hodnoty v1 = 20 m s-1, v2 = 2 m s-1, l = 103 m, n = 250.
Úloha č. 1 ➲ ➲ ➲
Autorské řešení používalo ještě pro práci ozn. A Terminologie „práce se získává z kinetické energie“ Mimo výše uvedené není třeba na řešení nic měnit
➲
Vyjetím do kopce se zvýší potenciální tíhová energie vlaku
∆ Ep = m g h
➲
Současně se snižuje rychlost vlaku, tedy i kinetická energie
1 2 2 ∆ E k = m v 2−v 1 2
Úloha č. 1 ➲
Třetí změnou energie je zvýšení vnitřní energie vlaku a kolejí a zejména vzduchu, rozvířeného pohybem vlaku, které je rovno práci proti třecí síle
mg ∆U = W = Ft l = l n ➲
Nyní můžeme sestavit rovnici, která dává uvedené tři změny energie do souvislosti (a vychází ze ZZE)
∆ Ep ∆ U ∆ Ek = 0
mg 1 2 2 mgh l = m v 1 −v 2 n 2
Úloha č. 1 ➲
Úpravou rovnice získáme obecné řešení, výška nádraží nad vodorovnou rovinou je
1 l 2 2 h= v 1 −v 2 − 2g n ➲
Pro zadané hodnoty a g = 9,81 m.s-2 dostaneme
h = 16,2 m
Úlohy č. 2 a 3 ➲ ➲
➲
➲
Byly zadány před 30 lety účastníkům XXI. Ročníku FO, kategorie D. Tehdy jsem byl studentem 1. ročníku oboru Měřicí a automatizační technika na SPŠ elektrotechnické v Pardubicích a soutěže jsem se zúčastnil. Bohužel si už nepamatuji, zda jsem úlohy řešil pomocí energetických úvah (jako dnes), nebo pomocí dynamických úvah jako autoři úlohy ve vzorovém řešení. Zadání obou úloh je převzato z ročenky XXI. roč. FO, ale řešení je zcela jiné než v ročence.
Zadání úlohy č. 2 Účinkem nárazu lokomotivy se začal vagón pohybovat po přímém úseku trati AB, který svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Za dobu t1 = 30 s od počátku pohybu až do zastavení urazil dráhu s = 60 m. Potom se začal pohybovat zpět dolů, projel vzdálenost BA za dobu t2 = 40 s a přejel na vodorovný úsek trati. Určete délku dráhy po vodorovné trati z bodu A až do zastavení. Součinitel odporu považujeme za stálý. Řešte nejprve obecně, potom pro zadané hodnoty.
Úloha č. 2 ➲
Označme h výšku bodu B nad bodem A a potenciální energii v bodě A položme rovnu nule, pak
EpA = 0 ➲
EpB = m g h
Kinetická energie je jiná na počátku samostatného pohybu vagónu, jiná v bodě zvratu (nulová) a jiná při průchodu bodem A opačným směrem
1 1 2 2 E k 0 = m v0 E k 2 = m v2 2 2 Ek1 = 0
Úloha č. 2 ➲
Pohyb vagónu vzhůru z A do B i pohyb zpět (dolů) z B do A jsou rovnoměrně zrychlené pohyby, díky tomu můžeme určit okamžité rychlosti v bodě A:
s v2 = 2 t2
s v0 = 2 t1 ➲
Kinetické energie pak vyjádříme jako
2ms Ek0 = 2 t1
2
2ms Ek2 = 2 t2
Ek1 = 0
2
Úloha č. 2 Protože síla odporu proti pohybu je stejná při cestě vagónu nahoru jako při cestě dolů a stejná je také dráha s, musí být stejná také práce W = Ft s vykonaná vagónem proti síle odporu, která se projeví zvýšením vnitřní energie vagónu a kolejí a současně snížením celkové mechanické energie vagónu. Toto snížení je stejně velké pro cestu nahoru jako pro cestu dolů: 2
2ms 2ms − mgh= mgh− 2 2 t1 t2
2
Úloha č. 2 Postupnými úpravami rovnice získáme vztahy: 2
2
s s gh= 2 2 t1 t2
Rozepsat na tabuli!
h s 1 1 sin α = = 2 2 s g t1 t2 Nyní už můžeme vypočítat neznámý součinitel odporu f. V původní rovnici ponecháme beze změny levou stranu a na pravé vyjádříme práci vagónu proti odporové síle:
2
2ms 2ms − mgh= mgh− 2 2 t1 t2
2
2
2ms − m g s sin α = s m g f cos α 2 t1 2
2ms s 1 1 − mgs 2 = s m g f cos α 2 2 g t1 t 2 t1 A po úpravě a vyjádření cos α pomocí goniometrické jedničky získéme výsledný vztah pro součinitel odporu f :
Úloha č. 2 Vypočtený vztah pro součinitel odporu f
s f = g
1 1 − 2 2 t1 t2
[ ]
s 1 1 1− 2 2 g t1 t2
2
využijeme pro výpočet délky x dráhy po vodorovné trati z bodu A až do zastavení:
Úloha č. 2 Práce proti odporové síle na dráze délky x má stejnou velikost jako změna kietické energie z hodnoty v bodě A k nule v okamžiku zastavení vagónu.
[ ]
s 1 1 2ms 2s 1− 2 2 2 g t1 t 2 2 Ek 2 t2 2s x= ' = = = 2 2 m g f Ft g f t2 t2 − 1 2 t1 2
Číselně pro zadané hodnoty a g = 9,81 m.s dostáváme x = 153 m.
-2
2
Zadání úlohy č. 3 Dva mladí lyžaři Václav a Lída stojí na kopci ve výšce 40 m nad vodor. rovinou a začnou současně sjíždět po spádnici délky 120 m. Trať představuje nakloněnou rovinu, která na úpatí přechází v rovinu vodorovnou. Lída jede po vyjeté stopě, takže při pohybu z kopce lze tření zanedbat. Václav jede v čerstvém sněhu, přičemž součinitel smykového tření je 0,1. Při pohybu obou lyžařů po vodorovné rovině v hlubokém sněhu je součinitel smykového tření 0,2. ➲ Který z lyžařů se zastaví dříve? Jaký je časový rozdíl mezi zastavením obou lyžařů? ➲ Který z lyžařů dojede dále? Jaký je dráhový rozdíl obou lyžařů před zastavením?
Úloha č. 3 – I. jízda ze svahu Lída
Václav
∆ E p1 = ∆ E k1 1 2 m1 g h = m1 v 1 2 v1 = 2 g h
2l t = g h I 1
∆ E p2 = ∆ E k2 ∆ U 1 m 2 g h = m 2 v 22 f čs m 2 g l cos α 2
v 2 = 2 g h − f čs l −h
I 2
t =
2
2
2 l
g h − f čs l 2−h2
Úloha č. 3 – II. vodorovný dojezd Lída
Václav
∆ E k2 = ∆ U 2 ∆ E k2 = W 2
∆ E k1 = ∆ U 1 ∆ E p1 = W 1
1 2 m2 v 2 = f hs m 2 g s 2 2
m1 g h = f hs m1 g s1
h s1 = f hs
2h II t1 = f hs g
v h− f čs l −h s2 = = f hs 2 f hs g 2 2
2
2h− f l −h = 2
t
II 2
2
čs
f hs g
2
Úloha č. 3 – porovnání doby jízdy Lída
Václav
2l t = g h I 1
2h t = f hs g II 1
8,6 s + 14,3 s = 22,9 s
I 2
t =
2 l
g h − f l −h 2h− f l −h = 2
2
2
2
čs
t
II 2
čs
f hs g
10,1 s + 12,1 s = 22,2 s
Václav zastaví o 0,7 s dříve než Lída.
Úloha č. 3 – II. vodorovný dojezd Lída
Václav
h s1 = f hs 200 m
h− f čs l −h s2 = f hs 2
143 m
Lída dojede o 57 m dál než Václav.
2
Konstatování na závěr Energetické úvahy (úvahy založené na pojmu energie a na zákonu zachování energie) jsou cenným nástrojem v rukou fyzika i v rukou studenta střední školy se zájmem o pochopení přírodních jevů a dějů nebo o technické aplikace fyzikálních principů.
Nabídka seminářů z informatiky Hlavolamy a hry řešené pomocí orientovaných grafů. ➲ Geometrie, aritmetika a zobrazení grafů funkcí v prostředí dynamické interaktivní geometrie GEONExT. ➲ Piškvorky stokrát jinak, vždy chutné a lehce stravitelné. ➲
Hlavolamy a hry řešené pomocí orientovaných grafů ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲
Různé obměny hry NIM. Cesta figurky po grafu. Klasické hlavolamy (převozník, koza, vlk a zelí). Řešení uvedených her a hlavolamů s využitím orientovaných grafů. Jak se kreslí jednotažky. Seznámení s Open Source visualizačním nástrojem GraphViz, pomocí nějž grafy snadno vykreslíme. Hledání strategie náročnějších her pomocí grafů (Budějovické kostky, Minipylos, Pylos). Hranice možností analýzy her automatizovaným prohledáváním grafů současnými počítači.
Geometrie, aritmetika a grafy funkcí v prostředí DIG GEONExT ➲ ➲
➲ ➲ ➲ ➲
DIG … Dynamická interaktivní geometrie. GEONExT … Open Source náčrtník typu DIG, vyvinutý v prostředí Java, spustitelný z webu jako aplet, nebo s instalací (Mac OS, Linux i Windows). Pracovní nástroje GEONExTu. Úlohy z geometrie trojúhelníka (těžnice, výšky, kružnice ops. a veps.). Vytváření dynamických konstrukcí. Od kuželoseček k analytické geometrii a řešení rovnic a soustav. Stopa objektu. Hvězdy, květiny a dělitenost čísel. Grafy funkcí y = f(x) a funkcí daných parametricky.
Piškvorky stokrát jinak, vždy chutné a lehce stravitelné ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲ ➲
Hry, které mají určitou souvislost s piškvorkami. 3D minipiškvorky a nalezení vyhrávající strategie. Piškvorky na hrací desce Go (Gomoku, Ninuki). Moderní deskové hry Quarto a Gobblet. Hra Othello a její zajímavá historie. Karetní podoba Quarto a netradiční karetní hra Set. Počítačové varianty některých her (piškvorky, 3D minipiškvorky, Othello, Set). První počítačový program Billa Gatese.
Konec
