Geonext Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 1 Mgr. Michal Musílek
říjen 2006 -1-
-2-
Jak získat, nainstalovat a spustit Geonext Na domovské stránce http://geonext.uni-bayreuth.de/ změňte jazyk na [cz] Czech, klikněte na odkaz Stáhnout a zvolte instalační balíček podle Vámi používaného operačního systému. Já jsem instalaci vyzkoušel pod Windows 2000, Windows XP Home a pod Mandrake Linuxem 10.1 a proběhla rychle a naprosto bezproblémově. Geonext je programován v jazyce Java a pro jeho spuštění musíte mít nainstalován JavaTM 2 Runtime Environment (JRE). Pravděpodobně jej už ve svém počítači máte od chvíle, kdy jste spouštěli první JavaTM aplet. Pokud ne, na stránkách Geonextu jsou k dispozici instalační balíčky obsahující JRE. Pokud nechcete Geonext instalovat, ale jen rychle spustit, předvést nebo vyzkoušet, spusťte ho přímo v okně internetového prohlížeče jako JavaTM aplet. Sledujte odkaz http://geonext.uni-bayreuth.de/data/start.html?CT=cz , čili Spustit Geonext online! Pro vážnější práci Vám ovšem doporučuji Geonext standardně nainstalovat. Ovládání programu Geonext
Program Geonext lze ovládat pomocí menu nebo pomocí lišt s nástroji. Rozbalíme-li menu, vidíme vlevo vedle položek obrázková tlačítka, kterými lze danou funkci nebo nástroj zvolit na liště. To je vidět už na první dvojici obrázků s rozbalenou nabídkou Soubor a Úpravy. Nabídka Soubor obsahuje standardní položky. Za zmínku stojí možnost exportovat hotový obrázek jako webovou stránku (HTML), bitmapovou grafiku (PNG) nebo vektorovou grafiku (SVG). Z didaktického hlediska je však nejzajímavější možností export do webové stránky se sérií předem připravených bitmapových obrázků, která dokumentuje postup konstrukce, tzv. Diashow. -3-
Diashow ovšem musíme předem promyslet a jednotlivé „snímky“ připravit pomocí nabídky menu Kreslicí plocha > Vyvořit screenshot.
Pomocí nabídky Vlastnosti kreslicí plochy můžeme měnit například barvu „papíru“, na který kreslíme, hustotu zobrazované mřížky, vložit na pozadí fotografii, podepsat se (vložit jméno autora). Přichytíme-li bod na mřížku a pohybujeme-li jím, mění se jeho souřadnice skokem bez ohledu na to, zda je mřížka právě zobrazena, nebo ne. Opakovaným použitím této funkce bod z mřížky uvolníme a jeho souřadnice se opět mění spojitě. Vyzkoušejte si práci se souřadnicovou soustavou a s mřížkou.
-4-
Kreslení, čili vkládání objektů Jednotlivé geometrické objekty (body, úsečky, přímky, kružnice, ...) vkládáme tak, že je vybereme v nabídce menu nebo na liště nástrojů a pak postupně klikáme myší na kreslicí plochu. Sadu nástrojů získáme buď rozbalením nabídky menu Objekty, nebo poklepáním (dvojitým kliknutím) na odpovídající obrázkové tlačítko:
Vidíme, kolika způsoby můžeme získat bod konstrukce. Jako volný bod (Bod), bod vázaný na objekt1 (Vázaný bod), průsečík dvou objektů (Průsečík), střed úsečky (Střed), bod daný kartézskými souřadnicemi (Bod [x;y]), atd. Podobně je tomu s přímkou, kterou získáme nejen jako volnou přímku, přímku procházející dvěma danými body, ale také jako kolmici vztyčenou z bodu na jiné přímce, kolmici spuštěnou z daného bodu k dané přímce, rovnoběžku daným bodem k dané přímce, nebo osu úhlu. Kružnice může být dána středem a bodem, kterým prochází, nebo středem a úsečkou, jejíž délka je rovna poloměru kružnice, nebo středem a číslem (výrazem) určujícím poloměr kružnice, nebo třemi body, kterými prochází (kružnice opsaná trojúhelníku). Vyzkoušejte si kreslení různých objektů na kreslicí plochu, případně v kombinaci se souřadnicovou soustavou a mřížkou. Pak se již pustíme do ucelených konstrukcí. 1 Objektem rozumíme přímku, polopřímku, úsečku, kružnici, kuželosečku, nebo jinou křivku. -5-
Kružnice opsaná trojúhelníku Využijeme-li nástrojů Geonextu jde o velmi jednoduchou konstrukci: ● Nakreslíme trojúhelník ABC a) klikneme na liště na nástroj Polygon (vybereme jej v menu Objekty), b) klikneme třikrát na tři různá místa kreslicí plochy a tím postupně označíme vrcholy A, B a C, c) ukážeme myší znovu na první vrchol A a když „zezelená“ znovu na něj klikneme, tím dokončíme trojúhelník ABC. ● Sestrojíme kružnici opsanou a) poklepáním (dvojitým kliknutím) na ikonu nástroje Kružnice vyvoláme kontextové menu a vybereme Kružnice opsaná, b) postupně klikneme myší na body A, B a C (vždy musí „zezelenat“), c) zobrazí se kružnice opsaná trojúhelníku ABC, včetně svého středu D. Pokud se nám nelíbí, že se střed kružnice jmenuje D a ne S, můžeme ho jednoduše přejmenovat pomocí nabídky
Objekty > Speciální vlastnosti > Přejmenovat
Kružnice vepsaná trojúhelníku Konstrukce kružnice vepsané ∆ není na rozdíl od konstrukce kružnice opsané ∆ vestavěným nástrojem Geonextu, takže se díky ní naučíme používat celou řadu různých nástrojů. Nejprve si pomocí nabídky Soubor > Nová kreslicí plocha vezmeme „čistý list“ papíru, na který budeme „rýsovat“. Pak nakreslíme známým způsobem ∆ ABC. Zvolíme nástroj Objekty > Přímky > Osa úhlu a vyznačíme osy všech tří vnitřních úhlů trojúhelníku. ● Úhel je v Geonextu jednoznačně určen třemi body v pořadí „bod na výchozím rameni“ - „vrchol úhlu“ - „bod na koncovém rameni“ ! ● To znamená, že pro vyznačení osy úhlu α musím kliknout na body B - A - C ! -6-
Podobně pro osu úhlu β musíme kliknout na vrcholy ∆ v pořadí C - B - A ! ● Osu úhlu γ už určitě vyznačíte sami. Nyní zvolíme nástroj Objekty > Body > Průsečík a klikneme myší na dvě ze tří os úhlů. Tím vyznačíme střed kružnice vepsané ∆. Známým způsobem přejmenujeme bod D na střed S. Zbývá určit poloměr kružnice vepsané ∆. ● Zvolíme nástroj Objekty > Přímky > Kolmá úsečka. ● Klikneme na střed S a pak na stranu trojúhelníka AB. ● Vyznačí se úsečka SF, kolmá na stranu AB, tedy výška ∆ ABS. Nakonec zvolíme nástroj Objekty > Kružnice > Kružnice a vyznačíme kružnici se středem S procházející bodem F. Konstrukce je hotova. ●
Konstrukce trojúhelníka Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB| = 8 cm; α = 37°; |BC| = 5,5 cm. Geonext nás metodicky vede k nanášení délky úsečky kružítkem. Nemá nástroj pro konstrukci úsečky dané délky, takže musíme narýsovat polopřímku a použít nástroj pro konstrukci kružnice daného poloměru. Takže nejprve sestrojíme polopřímku AX (bod B přejmenujeme na X), pak kružnici se středem A o poloměru 8 cm a nakonec vyznačíme průsečík polopřímky a kružnice jako bod B (přejmenujeme). Nyní můžeme sestrojit úhel a o velikosti 37°: ● Z menu vybereme Objekty > Úhly > Úhel (zadat velikost) ● Označíme počáteční rameno úhlu - polopřímku AB (body v tomto pořadí!) ● V dialogovém okně zadáme velikost úhlu α ... 37 ● Vyznačí se bod Y, který vznikne otočením bodu B o úhel 37° kolem bodu A ● Sestrojíme polopřímku AY, koncové rameno úhlu α Dále sestrojíme kružnici se středem B a poloměrem 5,5 cm (při zadávání desetinného -7-
čísla musíme použít desetinnou tečku) a vyznačíme průsečíky C1 a C2 této kružnice s polopřímkou AY. Trojúhelníky ABC1 a ABC2 jsou řešením zadané úlohy.
Vytváříme diashow - tečny z bodu ke kružnici Představme si, že chceme žákům prezentovat nějakou konstrukci, kterou by si měli trvale osvojit. Například konstrukci tečen z daného bodu k dané kružnici s využitím Thaletovy kružnice. Pak bude výhodné vytvořit prezentaci typu Diashow, kterou jim jednak ukážeme ve vyučovací hodině a jednak vystavíme na www stránkách školy jako pomůcku pro domácí přípravu a opakování. Pro první snímek si připravíme zadání úlohy, tj. kružnici k se středem S a poloměrem |SR| a bod A ležící vně této kružnice. Pak zvolíme z nabídky menu Kreslicí plocha > Vytvořit Screenshot a v levém horním rohu plochy se objeví symbol filmového pásu a číslo 1, znamenající první snímek diashow. Pro druhý snímek přidáme úsečku SA a konstrukci středu (osy) této úsečky pomocí průsečíků oblouků dvou kružnic o stejném poloměru se středy v koncových bodech úsečky. Průsečíky se automaticky označí jako D a E, hledaný střed úsečky je bod F. Vybereme z nabídky Objekty > Vlastnosti objektu a pro všechny pomocné objekty (dvě pomocné kružnice a osu úsečky) nastavíme vlastnost Obrys na méně nápadnou barvu. Pak opět zvolíme Kreslicí plocha > Vytvořit Screenshot a v levém horním rohu vidíme, že jsme uložili druhý snímek. Do třetího snímku nepřidáme žádný nový geometrický objekt, ale kvůli zpřehlednění konstrukce zneviditelníme všechny pomocné čáry. Vybereme z nabídky Objekty > Vlastnosti objektu a nastavíme vlastnosti Obrys a Popis na neviditelnou barvu . Tak zneviditelníme „čáry“, ale objekty dále existují a jsou součástí konstrukce. -8-
Do čtvrtého snímku zakreslíme Thaletovu kružnici se středem F a poloměrem |FA| a vyznačíme průsečíky kružnic T1 a T2, které jsou body dotyku tečen se zadanou kružnicí k. V posledním pátém snímku pak vyznačíme obě tečny a zesvětlíme úsečku SA (změnou barvy obrysu). Diashow uložíme pomocí volby Soubor > Exportovat > Diashow. Zvolíme vhodné jméno, např. tecny. Hlavní HTML soubor se pak uloží jako tecny.html, jednotlivé snímky jako tecny1.png až tecny5.png. Hotovou prezentaci otevřeme v libovolném webovém prohlížeči a jednotlivé snímky můžeme procházet buď ručně (obrázková tlačítka se šipkami) nebo automaticky (tlačítko AUTO) s časovou prodlevou nastavenou při ukládání prezentace. Stopa objektu a animace Body mohou při pohybu zanechávat za sebou stopu. Vyzkoušejte si jednoduchou hříčku. Do nákresny umístěte bod A, vedle něj přímku BC, která poslouží jako osa o a pomocí osové souměrnosti zobrazte bod A do bodu D. Potom vyberte z nabídky menu funkci Objekty > Speciální vlastnosti > Stopa a klikněte -9-
na vzor A i na obraz D. Uchopte bod A ukazovátkem Objekty > Pohybovat a napište jím nějaké slovo, např. . Uvidíte jak bod D zanechává zrcadlovou stopu. Stopu mohou zanechávat i další objekty (úsečky, kružnice, ...) - vyzkoušejte. Velmi často se stopa objektu využívá současně s automatickým pohybem některého bodu vázaného na objekt, tzv. animací. Ukažme si to např. na konstrukci kuželoseček (elipsy a paraboly).
Nejprve sestrojíme úsečku AB, její střed C, kružnici se středem C a poloměrem CA. Pak na kružnici umístíme vázaný bod D (Objekty > Body > Vázaný bod) a z něj spustíme kolmici na úsečku AB. Patu této kolmice označíme E a střed úsečky DE označíme F. Bod F označíme, aby zanechával stopu. Bod D bude svým pohybem po kružnici k bude řídit animaci. To musíme Geonextu předem sdělit pomocí volby Objekty > Vlastnosti objektů > Pohyblivý bod D , záložka Vlastnosti, na které zaškrtneme volbu Animovat a případně změníme délku kroku ve stupních. Animaci spustíme volbou Objekty > Animace > Začít animaci. Zkuste sami sestavit a spustit animaci paraboly podle druhého obrázku. Zadána je přímka AB a bod C. Bod D je vázaný na přímku AB a je také zde řídícím bodem animace. Stopu opět zanechává bod F. Myšlenka použité konstrukce vychází z jedné z možných definic paraboly jako množiny bodů, které mají od daného bodu a dané přímky stejnou vzdálenost. Animovat lze také několik pohyblivých bodů současně. Prohlédněte si další obrázek, který vznikl pohybem bodů E a F po dvou různých kružnicích. Umístění a rozměry kružnic odečtete pomocí zobrazené soustavy souřadnic a mřížky. Délku animačních kroků jsem zvolil 4,5° pro bod E a 2° pro bod F. Bod G, střed úsečky EF, zanechal stopu ve tvaru pětilistého květu.
- 10 -
Geonext v algebře Geonext je samozřejmě výborný nástroj pro znázorňování v analytické geometrii. Určitě vás okamžitě napadne řada příkladů. Souřadnicovou soustavu a mřížku však můžeme využít i na základní škole např. pro grafické řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme soustavu x + 2y = 7 x - y =1 Po úpravě dostaneme funkce 7x 2
f:
y =
g:
y = x1
A dosazením za x body f:
A = [-1, 4]; B = [5, 1]
g:
C = [-1, -2]; D = [5, 4]
Protože grafem lineární funkce je přímka a ta je určena dvěma body, stačí těmito body proložit přímky a pomocí mřížky zjistit jejich průsečík ... bod G = [3, 2], jehož souřadnice určují řešení soustavy x = 3; y = 2. - 11 -
Zobrazování grafů funkcí Geonext umí používat a zobrazit celou řadu obvyklých matematických funkcí. Jistá záludnost spočívá v nutnosti psát první písmeno názvu funkce vždy velké. Jinak se funkce nezobrazí. Vyzkoušejte Objekty > Grafy > Graf funkce a do vstupního pole napište Sin(x). Ještě jednou vyvolejte dialog a zapište funkci Sin(x-Pi/3).
Podobným způsobem můžeme vkládat další funkce, jejichž seznam a popis je uveden v nápovědě programu Geonext. Zajímavá je také možnost zobrazovat křivky dané parametricky. Vyzkoušejte Objekty > Grafy > Parametrická křivka a do vstupních polí pro x a y a meze parametru t zadejte 3*Sin(t), Cos(t), 0, 2*Pi. Jaká křivka vznikne? Podruhé zadejte Sin(2*t), 2*Cos(t), 0, 2*Pi a potřetí t/10*Sin(t), t/10*Cos(t), 0, 10*Pi. Co dostaneme tentokrát?
Posledním způsobem sestrojení grafu funkce je proložení křivky stopou objektu. Předem provedeme animaci s vykreslením stopy a pak zvolíme Objekty > Grafy > Křivka stopy ??? a klikneme na bod, který kreslí stopu. Pozor! Výpočet rovnice křivky často trvá poměrně dlouho, takže musíme být trpěliví. - 12 -
Geometrická optika Přecházíme k fyzikálním aplikacím programu Geonext. Geometrická optika je hezké cvičení práce s viditelností objektů. Ne/viditelnost objektů můžeme rychle přepínat výběrem Objekty > Speciální vlastnosti > Skrýt a kliknutím na objekt. Podobně můžeme odstranit nadbytečná jména bodů volbou Objekty > Speciální vlastnosti > Jméno zobrazit/odstranit a kliknutím na příslušné body. Takto vypadá výsledný dynamický obrázek zobrazení spojnou čočkou, ve kterém jsou zneviditelněny dvě rovnoběžky s optickou osou čočky a potlačena jména všech bodů kromě ohnisek a optického středu čočky:
Připomeňme si, že jinou možností „zneviditelnění“ objektu je vybrat pro jeho Obrys neviditelnou barvu. Z hlediska programu Geonext se jedná o dvě zcela různé situace. Všimněte si, že objekty zneviditelněné druhým způsobem se objevují, když nad ně najedeme kurzorem myši a naopak se neobjeví, když v menu aktivujeme volbu Objekty > Speciální vlastnosti > Skrýt. Zkuste vytvořit dynamický model zobrazení rozptylkou, dutým nebo vypuklým zrcadlem. Nezapomeňte, že v případě čočky jsou ohniska osově souměrná podle roviny čočky a že u rozptylky je předmětové ohnisko F v obrazovém poloprostoru (vpravo) a obrazové ohnisko F' v předmětovém poloprostoru (vlevo). Vektory a vektorové diagramy Geonext umožňuje vektor volně nakreslit Objekty > Vektory > Vektor (zadáme počáteční a koncový bod), nebo „klonovat“ Objekty > Vektory > Posunutý vektor (klikneme na vektor, který klonujeme a pak zadáme jen počáteční bod - fyzikálně řečeno působiště). Posunutý vektor je na původním vektoru závislý a mění svoji velikost a směr společně s ním. Jde vlastně o jiné umístění téhož volného vektoru. - 13 -
Podívejme se na tento obrázek skládání dvou rovnoběžných sil, působících na těleso tvaru tyče (úsečky) AB. Pomocí doposud známých prvků a vektorů jej můžeme nakreslit buď staticky, nebo si vyhrát se vzájemnými vazbami a narýsovat složitější dynamický obrázek, v němž se při změně vektorů F1 a F2 mění odpovídající rovnoběžníky sil a výslednice obou sil nakonec změní své působiště či velikost. Jiná možnost jak si s obrázkem vyhrát je vytvořit diashow, která žákům metodicky objasní vznik jednotlivých částí výsledného vektorového obrazce. Vyberte si jednu z možností, dynamický obrázek, či diashow, a vypracujte ji jako opakovací cvičení. Složitější konstrukce - přenášení délky úsečky Naučili jsme se ovládat základní nástroje a funkce programu Geonext, zdaleka však ne všechny. Řadu nových možností by nám přinesl modul výpočtů s velmi obsáhlou paletou nástrojů. Naučme se ještě přenést vzdálenost dvou bodů (délku úsečky) XY pomocí funkce Dist(X,Y). Do nákresny umístěme dvě úsečky AB a CD. Mimo ně narýsujeme polopřímku EF a pak z menu vybereme nástroj Objekty > Kružnice > Kružnice (zadat poloměr) a do vstupního pole zapíšeme Dist(A,B)+Dist(C,D). Vyznačíme průsečík kružnice a polopřímky - bod G. Úsečka EG je součtem úseček AB a CD. Polopřímku a kružnici můžeme zneviditelnit a úsečku EG vyznačit. Zajímavým doplněním je možnost zapsat součet také aritmeticky. Z nabídky menu vybereme Objekty > Texty a výpočty > Text a do vstupního pole zapíšeme:
Dist(A,B) +
Dist(C,D) =
Dist(E,G)
Přitom dvojici značek
vkládáme vždy stiskem tlačítka Výraz. S vhodným využitím vektorů a modulu výpočtů můžeme sestavit model kladkostroje, který vidíte na posledních dvou obrázcích. Vlevo je ve s břemenem dole, na obrázku vpravo jsme zatáhli za bod C a břemeno jsme zvedli. V pravém obrázku je také slabě vidět řada pomocných objektů, jejichž viditelnost je ve výsledném modelu potlačena. - 14 -
Proč jsem napsal tento text V uplynulých třech letech jsem jako certifikovaný lektor volitelného modulu „ICT ve výuce matematiky“ školení SIPVZ2 úrovně P3 seznámil více než šedesát učitelů matematiky základních a středních škol s obsluhou a využitím software pro podporu výuky matematiky, konkrétně s programy Cabri Geometrie II Plus, Derive 6, Excel a Imagine Logo. Uvedené programy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je rádi ve výuce alespoň občas používali, ale problém právem viděli ve finanční náročnosti licencování uvedeného software jak pro školu, tak pro žáky (pokud by měli s pomocí počítače vypracovávat domácí úkoly). Protože jsem příznivcem operačního systému Linux a Open Source Software, rozhodl jsem se vytipovat programy podobného zaměření, jejichž licence je pro školu i žáky zdarma, a připravit semináře určené určené učitelům matematiky a fyziky, kteří chtějí učit své předměty moderně a dát svým žákům k dispozici výkonné nástroje k rozvíjení matematických představ a řešení náročnějších fyzikálních a technických problémů. 2 SIPVZ … státní informační politika ve vzdělávání. 3 Úroveň P (poučený uživatel) dosáhne pedagogický pracovník, který absolvuje povinný úvodní modul a dva volitelné moduly z nabídky speciálně informatických a předmětových modulů. - 15 -
Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem „Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky“ a tři stejnojmenné brožurky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých programů: ● OSS ve výuce matematiky a fyziky 1 – Interaktivní geometrický náčrtník Geonext ● OSS ve výuce matematiky a fyziky 2 – Systém počítačové algebry Maxima ● OSS ve výuce matematiky a fyziky 3 – Tabulkový procesor OpenOffice.org Calc a editor vzorců OpenOffice.org Math
- 16 -
