Špetka fyziky ve výtahu

Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 15

Špetka fyziky ve výtahu LUKÁŠ RICHTEREK Katedra experimentální fyziky PĜF UP Olomouc V pĜíspČvku je popsáno mČĜení dvou z Ĝady fyzikálních jevĤ, které lze zaznamenat a alespoĖ kvalitativnČ analyzovat pĜi jízdČ výtahem; konkrétnČ jde o pĜítomnost setrvaþných sil v neinerciální vztažné soustavČ a zmČnu tlaku vzduchu s nadmoĜskou výškou. Použit byl mČĜicí systém Vernier LabQuest spolu se þtyĜmi þidly: barometrem, low-g akcelerometrem, digitálním silomČrem a integrovaným teplotním þidlem. Rozbor získaných dat byl proveden pomocí lineární regrese a statistických funkcí programu Vernier Logger Pro kvĤli snazšímu exportování grafických závislostí; bylo by však možné využít jakýkoli jiný nástroj pro zpracování dat, napĜ. tabulkový kalkulátor typu Excel þi OpenOffice Calc nebo samotný LabQuest pĜímo na místČ „v terénu“.

Struþný teoretický popis sledovaných jevĤ aneb co od mČĜení oþekávat Projevy setrvaþných sil pĜi jízdČ výtahem patĜí k standardnímu stĜedoškolskému uþivu, které lze najít napĜ. v [1] nebo [11]. Pokud má zrychlení výtahu smČr vzhĤru (rozjíždČní cestou nahoru a brzdČní cestou dolĤ), pĤsobí tČleso na podložku nebo na závČs vČtší silou než je jeho tíha v klidu, naopak má-li zrychlení výtahu smČr dolĤ (rozjíždČní cestou dolĤ a brzdČní cestou nahoru), pĤsobí na závČs nebo podložku silou menší. V níže popsaných pĜípadech bylo použito závaží o hmotnosti 0,5 kg. Zkoumání závislosti tlaku vzduchu na nadmoĜské výšce se stalo námČtem k zajímavým školním experimentĤm Ĝady autorĤ (viz napĜ. [5], [9], [10]). UvnitĜ budov lze teplotu považovat za konstantní a závislost tlaku vzduchu p na nadmoĜské výšce z pĜi termodynamické teplotČ T v tíhovém poli s tíhovým zrychlením g modelovat tzv. barometrickým vzorcem (jeho odvození ze základní rovnice rovnováhy kontinua a stavové rovnice ideálního plynu lze najít v ĜadČ vysokoškolských uþebnic, viz napĜ. [4])

kde pro vzduch R/Mm = 289 J·kg-1·K-1. Protože v našem pĜípadČ bude rozdíl výšek (z – z1) malý, vystaþíme s lineární aproximací (prvními dvČma þleny MacLaurinova rozvoje exponenciální funkce)

Tento závČr podporuje i vypoþtený korelaþní koeficient lineární regrese, který se ve všech níže uvedených pĜípadech pohybuje v rozmezí 0,98 – 0,99. Dodejme, že závislost tlaku na nadmoĜské výšce jako první pĜedpovČdČl Blaise Pascal (a experimentálnČ ovČĜil jeho švagr Florin Périer výstupem na horu Puy-de-Dôme s rtuĢovým baro-

198

Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 15 metrem v roce 1648), exponenciální prĤbČh objevil Edmund Halley roku 1686 a vzorec teoreticky odvodil Pierre Simon de Laplace.

MČĜení MČĜení byla provedena ve tĜech rĤzných typech výtahĤ, a to v nové budovČ PĜF UP (6 podlaží), v RCO Olomouc (19 podlaží) a v panelovém domČ na pĜedmČstí Olomouce (9 podlaží). V prvním a tĜetím pĜípadČ byl nezávisle zmČĜen výškový rozdíl, pomocí nČj a zaznamenané doby jízdy výtahu byla urþena prĤmČrná rychlost výtahu.

Obr. 1. Záznam mČĜení z nové budovy PĜF UP (jízda nahoru, 25 vzorkĤ/1s) Z grafĤ je zĜejmé pĤsobení setrvaþné síly pĜi rozjíždČní i zastavování výtahu. MénČ uspokojivý se ukázal odhad rychlosti výtahu pomocí akcelerometru, neboĢ mČĜená zrychlení jsou pomČrnČ malá (napĜ. ve vlaku lze dosáhnout mnohem lepších výsledkĤ, viz [3]), k pĜijatelným hodnotám rychlosti vedlo použití údajĤ silomČru vydČlených hmotností použitého závaží 0,5 kg a nahrazení setrvaþné síly pĜi rozjíždČní její prĤmČrnou hodnotou (s výjimkou panelového domu, jehož starší výtah jede pomaleji a relativní chyba v urþení rychlosti tímto zpĤsobem byla velká, zde se osvČdþilo nezávislé urþení pĜekonaného výškového rozdílu).

199


Obr. 2. Záznam mČĜení z RCO v Olomouci (jízda dolĤ, 25 vzorkĤ/1s); z namČĜených dat je vidČt, že výtah zastavil a pĜistoupil další cestující Pro úsek rovnomČrného pohybu výtahu byl vypoþten koeficient lineární regrese ǻp/ǻt (zmČna tlaku s þasem), jenž byl pĜeveden na koeficient ǻp/ǻz (zmČna tlaku s výškou) vystupující v barometrickém vzorci pomocí rychlosti výtahu v (proto jde z hlediska mČĜení o dĤležitý údaj) podle vztahu

a porovnán s teoretickou hodnotou

Za poþáteþní i koneþné hodnoty tlaku byly považovány prĤmČry hodnot pĜed rozjezdem resp. po zastavení výtahu. Získané výsledky a odpovídající teoretické hodnoty jsou shrnuty v následující tabulce (ve všech pĜípadech jde o jízdu nahoru):

PĜF UP RCO panelák

ǻt (s) 18,1 45,0 34,2

ǻz (m) 19 67 23

ǻp (kPa) – 0,23 – 0,70 – 0,27

200

ǻpteor (kPa) – 0,22 – 0,78 – 0,27

v (m/s) 1,0 1,5 0,7

ǻp/ǻz (kPa/m) – 0,0119 – 0,0118 – 0,0126

ǻp/ǻzteor (kPa/m) – 0,0115 – 0,0117 – 0,0116


Lanovkou z Pece pod SnČžkou na RĤžovou horu K obdobným mČĜením se pochopitelnČ nabízejí i jiné dopravní prostĜedky než výtah (viz napĜ. [3] a [6]). ZmČnu tlaku s nadmoĜskou výškou zaznamenáme i pĜi jízdČ lanovkou. V troposféĜe (tj. zhruba do výšky 11 km nad zemským povrchem) teplota klesá s konstantním teplotním gradientem – 6,5 mK/m (adiabatický model pro vzduch s ̃ = 1,4 dává – 9,7 mK/m [4]), lineární aproximace (první dva þleny mocninné Ĝady) závislosti tlaku na nadmoĜské výšce vychází stejná jako v pĜípadČ aproximace barometrického vzorce.

Obr. 3. Pokles tlaku a teploty pĜi jízdČ lanovkou Základní údaje o tomto úseku lanové dráhy zjistíme na internetových stránkách provozovatele http://www.snezkalanovka.cz: ǻz = 464 m, uražená vzdálenost 1560 m. Z doby pohybu 650 s vychází rychlost lanovky asi 2,4 m/s a (v pĜiblížení naklonČné roviny) prĤmČrná rychlost ve svislém smČru 0,71 m/s. Koeficient lineární regrese pro pokles teploty s þasem pĜepoþítaný pomocí rychlosti ve svislém smČru pak dává teplotní gradient –7 mK/m pĜi použití integrovaného teplotního þidla. NamČĜená zmČna tlaku – 5,3 kPa je také v Ĝádovém souladu s teoretickou hodnotou – 5,0 kPa plynoucí z uvažované lineární aproximace. Z prĤbČhu vrstevnic na mapČ (popĜ. pĜemČĜením vzdáleností jejich prĤseþíkĤ s trasou lanovky) zjistíme, že závislost tlaku na výšce vcelku dobĜe odpovídá výškovému profilu terénu.

201


ZávČr Ze získaných výsledkĤ je zĜejmé, že touto cestou lze pomČrnČ jednoduše ukázat pĤsobení setrvaþné síly ve zrychlenČ se pohybujícím výtahu (i skuteþnost, že pĜi rovnomČrném pohybu pĤsobí tČleso na podložku nebo na závČs stejnou silou, jako když výtah stojí). Pokles tlaku s výškou je pak ĜádovČ v souladu s teoretickými hodnotami odpovídající lineární aproximaci exponenciální závislosti dané barometrickým vzorcem. PodČkování Tento pĜíspČvek vznikl za podpory projektu "Moderní prostĜedky ICT v pĜírodovČdných a ekonomických oborech a jejich prezentaci," reg. þ. CZ.1.07/2.2.00/07.0062. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpoþtem ýeské republiky.

Literatura [1] BednaĜík M., Široká M.: Fyzika pro gymnázia. Mechanika. Praha, Prometheus 2005. [2] Berberan-Santos M. N., Bodunov E. N., Pogliani L.: On the barometric formula. Am. J. Phys. 65(5), 404 – 412. [3] Böhm, P.: Fyzika na (školním) výletČ aneb akcelerometr ve vlaku. http://fyzweb.cz/clanky/index.php?id=150. [4] Douglas J. F., Gasiorek J. M., Swaffield J. A.: Fluid mechanics. Longman Scientific & Technical, 1985. [5] Erhartová V.: Výlet s barometrem. http://fyzweb.cz/materialy/vylet-s-barometrem. [6] JermáĜ J.: Fyzika cestou do školy. http://fyzweb.cz/clanky/index.php?id=131. [7] Ʌɚɧɞaɭ Ʌ. Ⱦ., Ʌɢɮɲɢɰ E. M.: Ɇɟɯɚɧɢɤɚ ɫɩɥɨɲɧɵɯ ɫɪɟɞ. ɇɚɭɤɚ Ɇɨɫɤɜɚ, 1954. [8] Mikulþák J. a kol.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro stĜední školy. Praha: Prometheus, 2009. [9] Pazdera V.: LabQuest – mČĜení „v terénu“. In: Sborník konference Veletrh nápadĤ uþitelĤ fyziky 13. Ed.: Rauner K., ZUý PlzeĖ 2008, s. 147 – 151. [10] Pazdera V.: LabQuest – mČĜení „v terénu“. Matematika-Fyzika-Informatika 18(9), s. 543 – 547. [11] Svoboda E. a kol.: PĜehled stĜedoškolské fyziky. Prometheus Praha, 2006.

202

Špetka fyziky ve výtahu

Recommend Documents