ˇ P. J. Vejvanovske ´ho Krome ˇr ˇ´ıˇ Konzervator z Materi´ aly pro v´ yuku IKT v hudbˇe (2015/2016)
Fyzik´aln´ı a matematick´e z´aklady hudby
ˇ ska Adam Siˇ
1
Stojat´ e vlnˇ en´ı na strunˇ e
ˇ ıˇ Jiˇz staˇr´ı Babyloˇ nan´e, Sumerov´e a C´ nan´e1 des´ıtky stolet´ı pˇr. n. l. znali z´akonitosti mezi t´ onem a d´elkou struny, kter´a ho vyd´av´a. Nelze si nepovˇsimnout zvl´aˇstn´ı podobnosti t´ on˚ u vyd´ avan´ ych strunami, z nichˇz jedna m´a poloviˇcn´ı d´elku neˇz druh´ a (toho nejsn´ aze doc´ıl´ıme tak, ˇze delˇs´ı strunu uprostˇred pˇridrˇz´ıme). Tyto t´ ony dnes pojmenov´ av´ ame stejnˇe, liˇs´ı se o okt´avu. Dalˇs´ımi libozvuˇcn´ ymi intervaly jsou kvinta a kvarta, na nichˇz je zaloˇzeno pythagorejsk´e2 ladˇen´ı. Ukazuje se, ˇze jednoduch´e pomˇery d´elek strun d´avaj´ı jednoduch´e (ˇcist´e, pˇrirozen´e) souzvuky, z tˇechto poznatk˚ u vych´az´ı didymick´e3 ladˇen´ı. V novovˇeku a modern´ı dobˇe se ukazuje komplexnost vlnˇen´ı struny v podobˇe vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych frekvenc´ı, nebo symetrie Chladniho4 obrazc˚ u vytv´aˇren´ ych vlnˇen´ım desky. Pro frekvenci f kmit´ an´ı struny d´elky l plat´ı: s n F f= 2l ρ F je s´ıla napnut´ı struny, ρ je hustota materi´alu struny a n je parametr vyˇsˇs´ı harmonick´e frekvence. Pro z´akladn´ı frekvenci bereme n = 1. 1 napˇ r. Lihui Yang and Deming An, with Jessica Anderson Turner, Handbook of Chinese Mythology. Santa Barbara, California: ABC CLIO, 2005, strana. 73 (viz heslo Ling Lung v encyklopedii Wikipedia). 2 Pythagoras ze Samu ˇ rec. Πυθαγόρας ο Σάμιος (570 – 510 pˇr. n. l) 3 Didymos ˇ rec. Δίδυμος (1. stol. pˇr. n. l.) 4 Ernst Chladni (1756 – 1827)
1
Zjednoduˇsenˇe vid´ıme nepˇr´ımou u ´mˇeru mezi d´elkou struny a frekvenc´ı t´onu, kter´ y vyd´ av´ a: 1 l D´ ale vid´ıme, ˇze struna nekmit´a pouze s jednou frekvenc´ı, ale jako souˇcet mnoha r˚ uzn´ ych kmit´ an´ı (tzv. alikvotn´ıch t´on˚ u, vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych frekvenc´ı), kter´e jsou n-n´ asobky z´ akladn´ı frekvence. f∼
Napˇr´ıklad pro z´ akladn´ı frekvenci 110 Hz dost´av´ame frekvence: 110 Hz, 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz, 550 Hz, 660 Hz, 770 Hz, 880 Hz, atd... Coˇz jsou alikvotn´ı t´ ony od A, tj. postupnˇe: A, a, e, a’, cis”, e”, g”, a”, atd... Chladniho vzorce Stojat´e vlnˇen´ı je charakteristick´e pˇr´ıtomnost´ı nehybn´ ych sedlov´ ych bod˚ u. V pˇr´ıpadˇe chvˇej´ıc´ıch se ploch tyto sedlov´e body tvoˇr´ı nejr˚ uznˇejˇs´ı kˇrivky. Obrazce vytv´ aˇren´e tˇemito kˇrivkami lze vytvoˇrit pr´avˇe d´ıky nehybnosti urˇcit´ ych ˇc´ast´ı plochy (napˇr. na zadn´ı stˇenˇe kytary), protoˇze pouze v tˇechto m´ıstech bude m´ıt moˇznost udrˇzet se jemn´ y pr´aˇsek, kter´ ym plochu pˇred dan´ ym kmit´an´ım posypeme. Je vhodn´e plochu rozezn´ıvat digit´aln´ım t´onov´ ym gener´atorem, neˇz smyˇccem jako v pˇr´ıpadˇe p˚ uvodn´ıho Chladniho experimentu5 . Kromˇe toho ˇze touto metodou jist´ ym zp˚ usobem vizualizujeme zvuk, lze ji napˇr´ıklad vyuˇz´ıt ke kontrole spr´avn´eho chov´an´ı ˇc´ast´ı hudebn´ıch n´astroj˚ u pˇri jejich v´ yrobˇe.
Obr´ azek 1: Obrazce (angl. patterns nebo figures) jsou pˇrekvapivˇe sloˇzit´e a pˇritom symetrick´e a pravideln´e. 5 Die Akustik. Lepzig 1802. http://vlp.mpiwg-berlin.mpg.de/library/data/lit29494/index html (cit. 24.10.2015)
2
Efekt chybˇ ej´ıc´ıho z´ akladn´ıho t´ onu Pˇri reproduczi zvuku lze velmi vhodnˇe vyuˇz´ıt faktu, ˇze lidsk´e ucho vn´ım´a sadu alikv´ otn´ıch t´ on˚ u (i kdyˇz v nich nˇekter´e chyb´ı) jako t´on urˇcit´e barvy o z´akladn´ı (nejniˇzˇs´ı) frekvenci. Vˇetˇsina n´astroj˚ u umoˇzn ˇuje ovlivˇ novat zastoupen´ı alikv´ot v t´ onu pomoc´ı r˚ uzn´ ych technik a barvu t´onu tak upravovat. Digit´alnˇe lze ale vytvoˇrit zvuk sestaven´ y z libovoln´ ych alikv´ot, tˇreba bez prvn´ı (nejniˇzˇs´ı).To jak hlubok´ y t´ on m˚ uˇze reproduktor generovat je d´ano mimo jin´e i jeho pr˚ umˇerem. Vu ´vodu zm´ınˇen´ a v´ yhoda pak spoˇc´ıv´a v tom, ˇze lze sestavit reproduktor o mal´em pr˚ umˇeru a pro generov´ an´ı hlubok´ ych t´on˚ u pouˇz´ıvat modifikovan´e t´ony bez z´ akladn´ı frekvence, kter´e lidsk´e ucho vn´ım´a jako t´on o z´akladn´ı frekvenci (i kdyˇz opravdu nen´ı mezi produkovan´ ymi frekvencemi zastoupena6 ).
2
Kvintov´ e (pythagorejsk´ e) ladˇ en´ı
Po okt´ avˇe 2 : 1 je nejˇcistˇs´ım souzvukem kvinta 3 : 2. Obr´acen´a kvinta, tj. kvinta sestupn´ a, je pak intervalem kvarty 4 : 3. Po kvint´ach a kvart´ach projdeme postupnˇe vˇsechny t´ ony. Nejdˇr´ıve odvod´ıme durovou diatoniku, pot´e z´akladn´ı mollovou diatoniku a po dopoˇc´ıt´an´ı zb´ yvaj´ıc´ıch t´on˚ u chromatick´e stupnice dojdeme k tzv. pythagorejsk´emu komatu. Prvn´ı stupeˇ n oznaˇcen´ y I je pro n´as z´akladn´ı t´on s pomˇerem 1 : 1. Posledn´ı stupeˇ n oznaˇcen´ y VIII je se z´akladn´ım t´onem v pomˇeru okt´avy, tj. 2 : 1. Od prvn´ıho stupnˇe je o kvintu vzd´alen´ y p´at´ y (V) stupeˇ n, jeho pomˇer k z´akladn´ımu t´ onu je tedy 3 : 2. Dalˇs´ı kvintou nahoru dostaneme druh´ y stupeˇ n stupnice v druh´e okt´ avˇe, proto mus´ıme pomˇer (3 : 2) · (3 : 2) = 9 : 4 sn´ıˇzit o okt´avu, tj. podˇelit dvˇema. Druh´ y (II) stupˇen diatoniky je tedy se z´akladn´ım t´onem v pomˇeru 9 : 8. N´ aslednˇe m˚ uˇzeme pokraˇcovat kvintou od druh´eho stupnˇe. Z´ısk´ame tak pomˇer ˇsest´eho stupnˇe k z´ akladn´ımu t´onu (9 : 8) · (3 : 2) = 27 : 16. Dalˇs´ı kvintou se opˇet pˇresouv´ ame do druh´e okt´ avy, v´ ysledn´ y pomˇer tedy mus´ıme dvakr´at zmenˇsit. Tˇret´ı stupeˇ n durov´e diatoniky (III) m´a tedy pomˇer k z´akladn´ımu t´onu 81 : 64, coˇz je polovina z (27 : 16) · (3 : 2) = 81 : 32. Od tˇret´ıho stupnˇe z´ısk´ ame pomoc´ı kvinty sedm´ y stupeˇ n (VII) v t´eˇze okt´avˇe: (81 : 64) · (3 : 2) = 243 : 128. Do osmi t´ on˚ u durov´e diatoniky n´am sch´az´ı pouze ˇctvrt´ y stupeˇ n. Ten nez´ısk´ame, pokud budeme postupovat t´ımto smˇerem. Jak uˇz bylo ˇreˇceno, ˇctvr´ y stupeˇ n s osm´ ym sv´ıraj´ı spolu interval kvinty (kvarta je sestupn´a kvinta). Pomˇer ˇctvrt´eho stupnˇe (IV) tedy z´ısk´ ame dˇelen´ım 2 : (3 : 2) = 4 : 3. Vˇsechny stupnˇe jsou 6 V angliˇ ctinˇ e se hovoˇr´ı o Missing fundamental. http://homepage.ntu.edu.tw/∼karchung/Phonetics II page thirteen.htm (cit. 24.10.2015)
3
zn´ azornˇeny v tabulce. I 1
II 9:8
III 81 : 64
IV 4:3
V 3:2
VI 27 : 16
VII 243 : 128
VIII 2
Tabulka 1: Pomˇery t´on˚ u v durov´e diatonice. Pro z´ akladn´ı mollovou stupnici potˇrebujeme odvodit sn´ıˇzen´ y tˇret´ı, ˇsest´ y a sedm´ y stupeˇ n durov´e diatoniky. Pokud budeme postupovat po kvint´ach od ˇctvrt´eho stupnˇe durov´e stupnice sestupnˇe, dost´av´ame: (4 : 3) : (3 : 2) = 8 : 9. Tento pomˇer je pod z´ akladn´ım t´ onem, jeho zv´ yˇsen´ım o okt´avu z´ısk´ame sedm´ y stupeˇ n (VII[) v pomˇeru k z´ akladn´ımu t´onu 16 : 9. O dalˇs´ı kvintu n´ıˇze dost´av´ame tˇret´ı stupeˇ n (III[) v pomˇeru (16 : 9) : (3 : 2) = 32 : 27. Pokud postupujeme d´ale dost´ av´ ame pro ˇsest´ y stupeˇ n (VI[) pomˇer 128 : 81 jako dvojn´asobek pomˇeru (32 : 27) : (3 : 2) = 64 : 81. I 1
II 9:8
III[ 32 : 27
IV 4:3
V 3:2
VI[ 128 : 81
VII[ 16 : 9
VIII 2
Tabulka 2: Pomˇery t´on˚ u v mollov´e diatonice. K odvozen´ı chromatick´e stupnice n´am tedy zb´ yvaj´ı dva t´ony, sn´ıˇzen´ y druh´ y a p´ at´ y stupeˇ n. Pokraˇcov´ an´ım v odvozov´an´ı mollov´e diatoniky dost´av´ame stupeˇ n II[ jako (128 : 81) : (3 : 2) = 256 : 243. D´ale stupeˇ n V[ jako dvojn´asobek pomˇeru (256 : 243) : (3 : 2) = 512 : 729, tedy 1024 : 729. Pokud se vr´ at´ıme k postupu po kvint´ach nahoru a posledn´ımu odvozen´emu stupni, tj. VII stupeˇ n durov´e diatoniky s pomˇerem 243 : 128, mˇeli bychom jako n´ asleduj´ıc´ı dostat stupeˇ n IV] s pomˇerem 729 : 512, coˇz je polovina z pomˇeru (243 : 128) · (3 : 2) = 729 : 256. Stupeˇ n IV] je enharmonicky totoˇzn´ y se stupnˇem V[. Ale jejich pomˇery totoˇzn´e nejsou. Pomˇer mezi odvozen´ ymi stupni IV] a V[ naz´ yv´ ame pythagorejsk´e koma. Pˇresnˇe se jedn´a o ˇc´ıslo: 729 512 1024 729
=
729 · 729 531441 = = 1, 013643... 512 · 1024 524288
Chromatick´ a stupnice v pythagorejsk´em ladˇen´ı je tedy nutnˇe nejednoznaˇcn´ y pojem. Pˇresto pod´ av´ ame tabulky odvozen´ ych stupˇ n˚ u.
4
I
II[
II
III[
III
IV
V[/IV]
V
VI[
VI
VII[
VII
VIII
1
128 81
9 8
32 27
81 64
4 3
1024 729 729 512
3 2
128 81
27 16
1 16 9
243 128
2
Tabulka 3: Pomˇery t´on˚ u v pythagorejsk´e chromatice.
3
ˇ e (didymick´ Cist´ e) ladˇ en´ı
Druh´e ˇcist´e ladˇen´ı, kter´e v tomto textu pˇredstav´ıme, vych´az´ı z alikvotn´ıch t´on˚ u. Budou n´ as vˇzdy zaj´ımat pomˇery sousedn´ıch alikvotn´ıch t´on˚ u, jeˇz urˇcuj´ı ˇcist´e intervaly. Z prvn´ı ˇc´ asti textu v´ıme, ˇze ˇcetnost kmit´an´ı jednotliv´ ych t´on˚ u z´ısk´ame jako n´ asobky z´ akladn´ıho t´ onu. Pomˇer mezi druh´ ym alikvotn´ım t´onem a z´akladn´ım t´ onem je tedy 2 : 1 a tento interval oznaˇc´ıme jako ˇcistou okt´avu. Pomˇer mezi tˇret´ım a druh´ ym alikvotn´ım t´onem je 3 : 2, oznaˇc´ıme jej jako ˇcistou kvintu. Mezi tˇret´ım a ˇctvrt´ ym alikvotn´ım t´onem je interval ˇcist´e kvarty, jej´ı pomˇer je 4 : 3. Dalˇs´ı dva pomˇery 5 : 4 a 6 : 5 pˇri v´ yˇctu alikvotn´ıch t´on˚ u odpov´ıdaj´ı (ˇcist´e) velk´e a (ˇcist´e) mal´e tercii. N´asleduje sedm´ y alikvotn´ı t´on, kter´ y v odvozov´ an´ı pˇreskoˇc´ıme a pokraˇcujeme osm´ ym aˇz des´at´ ym alikvotn´ım t´onem. Jak mezi osm´ ym a dev´ at´ ym, tak mezi dev´at´ ym a des´at´ ym alikvotn´ım t´onem je rozsah cel´eho t´ onu. V didymick´em ladˇen´ı uvaˇzujeme oba tyto pomˇery 9 : 8 a 10 : 9 a oznaˇc´ıme je jako velk´ y a mal´ y cel´ y t´on. Interval jednoho p˚ ult´onu nakonec z´ısk´ ame jako pomˇer ˇsestn´ act´eho a patn´act´eho alikvotn´ıho t´onu, (ˇcist´ y) p˚ ult´on je tedy urˇcen pomˇerem 16 : 15.
Alikvota
Pr˚ ubˇeh t´onu
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9
Interval } } } } }
okt´ava kvinta kvarta v. tercie m. tercie
} cel´ y t´on
Tabulka 4: Prvn´ıch devˇet alikvotn´ıch t´on˚ u a odvozen´e intervaly. Pˇri konstrukci didymick´eho ladˇen´ı vyjdeme od ˇcist´e okt´avy, pˇrid´ame kvintu a kvartu, druh´ y stupeˇ n jako velk´ y cel´ y t´on. Podle t´onorodu (dur, moll) dopln´ıme velkou nebo malou tercii. Zb´ yv´a z´ıskat ˇsest´ y a sedm´ y stupeˇ n durov´e diatoniky, 5
ˇ y stupeˇ kter´e spoˇc´ıt´ ame pomoc´ı velk´e tercie od ˇctvrt´eho a p´at´eho stupnˇe. Sest´ n m´ a tedy pomˇer (4 : 3) · (5 : 4) = 5 : 3 a sedm´ y stupeˇ n m´a pomˇer (3 : 2) · (5 : 4) = 15 : 8. Pomˇery vˇsech stupˇ n˚ u durov´e diatoniky v ˇcist´em (didymick´em) ladˇen´ı jsou v n´ asleduj´ıc´ı tabulce. I 1
II 9:8
III 5:4
IV 4:3
V 3:2
VI 5:3
VII 15 : 8
VIII 2
Tabulka 5: Pomˇery t´on˚ u v durov´e diatonice. ˇ y stupeˇ Pˇri odvozen´ı mollov´e diatoniky postupujeme obdobnˇe. Sest´ n z´ısk´ame jako malou tercii od ˇctvrt´eho stupnˇe (4 : 3) · (6 : 5) = 8 : 5. Sedm´ y stupeˇ n mollov´e diatoniky je jeden (velk´ y) cel´ y t´on pod okt´avou (2 : 1) : (9 : 8) = 16 : 9. Ladˇen´ı mollov´e diatoniky shrnuje n´asleduj´ıc´ı tabulka. I 1
II 9:8
III[ 6:5
IV 4:3
V 3:2
VI[ 8:5
VII[ 16 : 9
VIII 2
Tabulka 6: Pomˇery t´on˚ u v mollov´e diatonice. Pokud spoˇc´ıt´ ame pomˇery sousedn´ıch t´on˚ u v durov´e nebo mollov´e diatonice, vyjdou tˇri r˚ uzn´e vzd´ alenosti a to velk´ y cel´ y t´on, mal´ y cel´ y t´on a p˚ ult´on. V didymick´em ladˇen´ı lze zkonstruovat i chromatickou stupnici. Chyb´ı n´am sn´ıˇzen´ y druh´ y stupeˇ n a sn´ıˇzen´ y p´at´ y stupeˇ n (teoreticky l´epe zv´ yˇsen´ y prvn´ı a ˇctvrt´ y stupeˇ n). Sn´ıˇzen´ y druh´ y stupeˇ n je od z´akladn´ıho t´onu stupnice vzd´alen´ y o ˇcist´ y p˚ ult´ on 16 : 15. Stupeˇ n mezi kvartou a kvintou z´ısk´ame jako velkou tercii od druh´eho stupnˇe, tj. (9 : 8) · (5 : 4) = 45 : 32. Tento pomˇer v hudbˇe oznaˇcovan´ y jako trit´ on je nejm´enˇe znˇel´ ym intervalem didymick´eho ladˇen´ı (nejde o jednoduch´ y pomˇer mal´ ych ˇc´ısel, srv. s pythagorejsk´ ym ladˇen´ım). Pomˇery vˇsech t´ on˚ u chromatick´e stupnice ukazuje tabulka. I 1
I]
II
III[
III
IV
IV]
V
VI[
VI
VII[
VII
16 15
9 8
6 5
5 4
4 3
45 32
3 2
8 5
5 3
16 9
15 8
VIII 2
Tabulka 7: Pomˇery t´on˚ u v didymick´e chromatice. Pokud spoˇc´ıt´ ame pomˇery sousedn´ıch t´on˚ u v chromatick´e stupnici, z´ısk´ame tˇri r˚ uzn´e p˚ ult´ onov´e vzd´ alenosti a to ˇcist´ y p˚ ult´on a dva chromatick´e p˚ ult´ony, velk´ y 135 : 128 a mal´ y 25 : 24. Narozd´ıl od pythagorejsk´eho ladˇen´ı nejsou v didymick´em ladˇen´ı vˇsechny kvinty ˇcist´e. Tyto tzv. vlˇc´ı“ intervaly v´ yznamnˇe komplikuj´ı, ne-li znemoˇzn ˇuj´ı, hru ” v r˚ uzn´ ych t´ onin´ ach bez pˇreladˇen´ı n´astroje.
6
4
Rovnomˇ ern´ e (temperovan´ e) ladˇ en´ı
Ukazuje se, ˇze pomoc´ı ˇcist´ ych interval˚ u nelze vytvoˇrit ladˇen´ı, ve kter´em nebudou zmˇenˇeny vzd´ alenosti mezi t´ ony v r˚ uzn´ ych t´onin´ach. Tento probl´em je zp˚ usoben t´ım, ˇze ˇz´ adn´ y ˇcist´ y interval nelze rozdˇelit pˇresnˇe na polovinu tak, aby bylo moˇzn´e tuto polovinu vyj´ adˇrit jako pomˇer dvou cel´ ych ˇc´ısel (zlomek, racion´aln´ı ˇc´ıslo). Pro u ´plnost v´ ykladu si tento fakt prok´aˇzeme. √ aln´ı. Vˇ eta: 2 nen´ı racion´ √ D˚ ukaz: (Sporem) Pˇredpokl´ adejme opak dokazovan´eho tvrzen´ı, tedy 2 je racion´ aln´ı. Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze odmocninu ze dvou √ lze vyj´adˇrit jako pomˇer dvou nesoudˇeln´ ych ˇc´ısel (zlomek v z´akladn´ım tvaru): 2 = pq . Umocnˇen´ım obou stran rovnice dost´ av´ ame: 2=
2 p p2 = 2 q q
Po jednoduch´e u ´pravˇe lze vidˇet, ˇze p2 a tedy i p jsou sud´a ˇc´ısla. Prok´az´an´ı faktu, ˇze mocnina sud´eho (resp. lich´eho) ˇc´ısla je vˇzdy ˇc´ıslo sud´e (resp. lich´e) ponech´ av´ ame ˇcten´ aˇri. p2 = 2 · q 2 Jelikoˇz je ˇc´ıslo p sud´e, lze ho vyj´adˇrit jako dvojn´asobek jin´eho ˇc´ısla, tj. p = 2 · r. Po dosazen´ı do pˇredchoz´ı rovnice dost´av´ame: (2 · r)2 = 2 · q 2 4 · r2 = 2 · q2 2 · r2 = q2 Z posledn´ı odvozen´e rovnice vid´ıme, ˇze i ˇc´ıslo q 2 , a tedy i q jsou ˇc´ısla sud´a. M´ame tedy, ˇze p i q jsou sud´ a ˇc´ısla, to je ale ve sporu s pˇredpokladem, ˇze to jsou ˇc´ısla nesoudˇeln´ a (v pomˇeru tvoˇr´ı zlomek v z´akladn´ım tvaru). Podle principu d˚ ukazu sporem tedy dost´ av´ ame platnost dokazovan´eho tvrzen´ı, ˇze odmocnina ze dvou nen´ı racion´ aln´ı ˇc´ıslo.
Lze tedy vidˇet, ˇze nelze vytvoˇrit ladˇen´ı splˇ nuj´ıc´ı poˇzadavek na ˇcistotu vˇsech interval˚ u v r˚ uzn´ ych t´ onin´ ach. V dalˇs´ı textu tedy slev´ıme z n´aroku na dokonalou ˇcistotu souzvuk˚ u vych´ azej´ıc´ı z vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych frekvenc´ı. Nov´e ladˇen´ı odvod´ıme pˇr´ımo z hudebn´ı teorie dvan´actit´onov´e chromatick´e stupnice, sloˇzen´e ze stupˇ n˚ u oddˇelen´ ych vˇzdy stejnˇe velk´ ym intervalem p˚ ult´onu (a plat´ı, ˇze sloˇzen´ım dvou p˚ ult´ on˚ u dost´ av´ ame cel´ y t´on). Princip rovnomˇern´eho ladˇen´ı tedy vych´az´ı z jednoduch´e u ´vahy. Jedin´ y ˇcist´ y interval v ladˇen´ı je okt´ ava (pomˇer 2:1), kter´a je rozdˇelena na dvan´act stejn´ ych
7
ˇc´ ast´ı. Form´ alnˇe lze tento fakt vyj´adˇrit n´asleduj´ıc´ı rovnic´ı (p˚ ult´onov´ y interval oznaˇc´ıme x): x12 = 2 Odmocnˇen´ım dost´ av´ ame, ˇze velikost jednoho p˚ ult´onu je: x=
√
12
2 ' 1, 059463...
Rovnomˇernou kvintu od nˇejak´eho z´akladn´ıho t´onu tedy dostaneme pokud pˇrin´asob´ıme z´ıskan´e ˇc´ıslo x sedm kr´at. Pˇresnˇe jde o hodnotu: x7 =
√ 7 7 12 2 = 2 12 = 1, 498307...
Jak je vidˇet z pˇr´ıkladu, rovnomˇern´a kvinta a ˇcist´a kvinta (tj. 3 : 2 = 1, 5) se nepatrnˇe liˇs´ı. Abychom mohli tyto rozd´ıly nˇejak n´azornˇe vyj´adˇrit, zavedeme v dalˇs´ı ˇc´ asti jednotku cent. Pro n´ azornost tak´e uv´ ad´ıme frekvence t´on˚ u diatonick´e durov´e stupnice od tzv. komorn´ıho A, kter´e m´ a stanovenu frekcenci 440 Hz7 . A 440
H 493, 88
C] 554, 37
D 587, 33
E 659, 26
F] 739, 99
G] 830, 61
A 880
Tabulka 8: Frekvence t´on˚ u (v Hz) v diatonice A dur. Zb´ yv´ a doplnit, odkud se v n´azvu kapitoly (a potaˇzmo ladˇen´ı) vzalo slovo tem” perovan´e“. Tento term´ın vznikl historicky d´ıky v´ yvoji, kter´ ym ladˇen´ı od pozd´ıho stˇredovˇeku do novovˇeku proch´azelo. D´avno pˇred vyn´alezem klav´ıru8 bylo naprosto zˇrejm´e, ˇze k uplatnˇen´ı r˚ uzn´ ych t´onin v hudbˇe (kter´a zaˇcala novˇe podstatnˇe z´ aviset na rozliˇsen´ı velk´e a mal´e tercie a odtud t´onorodu dur, moll) pˇrirozen´e ˇcist´e ladˇen´ı nestaˇc´ı. Na u ´vahu s dvan´actou odmocninou okt´avy pro urˇcen´ı p˚ ult´ onu ale bylo tak´e brzo“. V pˇr´ıpadˇe didymick´eho ladˇen´ı jsme vidˇeli, ˇze ” disonantn´ıch interval˚ u nen´ı v z´akladn´ım ladˇen´ı mnoho. Prvn´ı pokusy jak vyladit komplikovanˇejˇs´ı n´ astroje, tak vych´azely z jemn´eho upravov´an´ı (temperov´an´ı) tˇechto vlˇc´ıch“ interval˚ u, aby se dos´ahlo nejlepˇs´ıho kompromisu pro vˇsechny ” t´ oniny. Takto vzniklo mnoho nejr˚ uznˇejˇs´ı pˇr´ıstup˚ u, napˇr. ladˇen´ı Parejovo, Schlickovo, Grammateovo nebo nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı stˇredot´onov´e ladˇen´ı (viz encyklopedii Wikipedia).
5
Mˇ eˇ ren´ı interval˚ u v centech
Pro mˇeˇren´ı a porovn´ av´ an´ı interval˚ u je vhodn´e zav´est logaritmickou jednotku cent. Oznaˇcen´ı (podobnˇe jako u nˇekter´ ych mˇen) plyne z rozdˇelen´ı jednoho 7 Od
konference ISO v Lond´ ynˇ e v roce 1939, dnes ISO 16:1975. Bartolomeo Cristofori di Francesco, zaˇ c´ atek 18. stolet´ı.
8 Fortepiano,
8
p˚ ult´ onu jako z´ akladn´ı vzd´ alenosti v rovnomˇern´em ladˇen´ı na sto stejn´ ych ˇc´ast´ı. Jeden cent je setina p˚ ult´ onu, sto cent˚ u je p˚ ult´on. Cel´ y t´on m´a velikost 200 cent˚ u, rovnomˇern´ a kvarta 500 cent˚ u, rovnomˇern´a kvinta 700 cent˚ u. Okt´ava 1200 cent˚ u, jelikoˇz ji tvoˇr´ı 12 p˚ ult´ on˚ u. Vyvst´ av´ a ot´ azka, jak urˇcit rozsah intervalu (re´aln´eho ˇc´ısla) v centech obecnˇe a n´ aslednˇe pak urˇcit o kolik cent˚ u se napˇr´ıklad liˇs´ı ˇcist´a a rovnomˇern´a kvinta. Bez dalˇs´ıho vysvˇetlen´ı (pˇripomeneme pouze, ˇze d´ıky n´asoben´ı“ interval˚ u se ” jedn´ a o logaritmickou ˇsk´ alu – podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe decibelu [dB]) uv´ad´ıme vzorec pro v´ ypoˇcet9 cent˚ u z pomˇeru frekvenc´ı f2 /f1 : f2 v = 1200 · log2 f1 Posledn´ı tabulka uv´ ad´ı v centech rozmˇery interval˚ u r˚ uzn´ ych ladˇen´ı pˇredstaven´ ych v tomto textu. Ladˇen´ı Pythagorejsk´e Didymick´e Rovnomˇern´e
Kvinta 701,96 701,96 700
Kvarta 498,04 498,04 500
Velk´a tercie 407,82 386,31 400
Mal´a tercie 294,13 315,64 300
Cel´ y t´on 203,91 203,91 200
Tabulka 9: Velikosti interval˚ u v centech.
6
Dvakr´ at hlasitˇ eji?
Na z´ avˇer textu uvedeme p´ar zaj´ımav´ ych experimentu osvˇetluj´ıc´ıch probl´em skl´ ad´ an´ı (interference) zvuk˚ u. Pˇredstavme si z´ astup stovky fl´etnist˚ u10 , kteˇr´ı ˇcekaj´ı na povel k hran´ı, zat´ım je ticho (zde je vhodn´e upozornit na pojem pr´ ah sluchu). Rozd´ıl mezi tichem a t´ım, kdyˇz kter´ ykoliv jeden z fl´etnist˚ u nasad´ı“ libovoln´ y t´on je markantn´ı. Kdyˇz ” nech´ ame nastoupit druhou fl´etnu na stejn´em t´onu, je v´ ysledn´ y zvuk dvakr´at silnˇejˇs´ı (nebo hlasitˇejˇs´ı)? Pˇri postupn´em pˇrid´av´an´ı dalˇs´ıch fl´eten do souzvuku tvoˇren´eho stejn´ ymi t´ ony je st´ale jasnˇejˇs´ı, ˇze o dvojn´asobn´e, trojn´asobn´e, atd. hlasitosti se mluvit ned´ a. Kdyˇz zaˇcne hr´at st´ y fl´etnista, rozd´ıl stˇeˇz´ı pozn´ame. Pˇritom s´ am by dok´ azal zp˚ usobit stejnou zmˇenu jako prvn´ı v tomto pokusu. Nechceme ted’ prim´ arnˇe c´ılit na problematiku mˇeˇren´ı akustick´e hladiny tlaku v decibelech a tˇreba hygienick´e limitu hluku. Uvedeme logick´ y a patˇriˇcnˇe vˇedecky zvl´ aˇstn´ı pˇr´ıklad z akustiky11 . Je tˇreba tak´e upozornit na to, ˇze do objeven´ı 9 Pˇ ri pouˇ zit´ı bˇ eˇ zn´ eho kalkul´ atoru nedisponuj´ıc´ıho obecnou funkc´ı logaritmov´ an´ı je potˇreba zn´ at metodu v´ ypoˇ ctu, zde: log2 (x) = log(x)/log(2) pro libovoln´ y jin´ y logaritmus. 10 Powell, J. Jak funguje hudba? Praha: Dokoˇ r´ an, 2012, str. 82. 11 anglicky Active Noise Control
9
elektˇriny nelze tento jev simulovat, ˇci nˇejak uplatnit, coˇz radik´alnˇe mˇen´ı dneˇsn´ı digit´ aln´ı technika – z n´ azvu pˇredmˇetu toho ˇcasu informaˇcn´ı a komunikaˇcn´ı technika (IKT/ICT). Komorn´ı A m´ a (jak bylo uvedeno v´ yˇse) frekvenci 440 Hz. To znamen´a, ˇze 440 kr´at za sekundu tlak vzduchu stoupne, klesne a stoupne na p˚ uvodn´ı hladinu. Pr˚ ubˇeh tohoto v´ ykyvu (pˇrirozenˇe velmi sloˇzit´eho) urˇcuje souˇcet jednoduch´ ych kmit´an´ı formy: y = A · sin(ω · x + t) Pˇri poslechu digit´ alnˇe generovan´eho komorn´ıho A pˇribliˇznˇe kaˇzdou milisekundu prob´ıh´ a r˚ ust a druhou milisekundu kles´an´ı tlaku. Zkusme si pˇredstavit, co by se stalo, pokud bychom st´ ali v dosahu jin´eho gener´atoru, kter´ y by byl pˇresnˇe o milisekundu zpoˇzdˇen´ y? Bylo by ticho, neslyˇseli bychom nic12 .
12 Tohoto neˇ cekan´ eho(?) efektu doc´ılil jiˇ z roku 1936 pomoc´ı obr´ acen´ e f´ aze reproduktoru Paul Lueg, jde o U.S. Patent 2043416, digit´ aln´ı kopie je dostupn´ a napˇr. na adrese http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?patentnumber=2043416
10
