Fysica
Fysica IIa Hoofdstuk 1: Inleiding Wat is fluido mechanica? Fluidum? Bestuderen van : o Fluïdo statica o Fluïdo dynamica 3 aggregatietoestanden o Vaste toestand Kenmerken: Grote cohesie krachten en kleine afstand tussen moleculen Gevolgen: welbepaalde vorm en grensoppervlak o Vloeibare toestand Kenmerken: Kleinere cohesie krachten en grotere afstand tussen moleculen Gevolgen: welbepaald grensvlak, maar geen welbepaalde vorm o Gasvormige toestand Kenmerken: geen / kleine cohesie krachten en grote afstand tussen moleculen Gevolgen: geen welbepaalde vorm en grensvlak Balk : hierop werkt een kracht F ⇒ vervorming ⇒ hoek θ o F : afschuifkracht (shear force) o φ : afschuifvervorming (shear strain ) Vaste stoffen: cte en afhankelijk van τ Toenemend zolang τ aanwezig is o F/S = afschuifspanning (shear stress)
Druk PN=FN/dS o P = druk → normaal spanning o FN= normaal component van F o S = oppervlakte OPM: 1 Torr = 1mm Hg waarbij 760 mm Hg = 101325 Pa PT=FT/dS o FT = tangentiële component van F o PT = afschuifspanning
Hoofdstuk 2: Eigenschappen van Fluida Soortelijke massa → Dit wordt ook de dichtheid genoemd: ρ = m/ V OPM: V afhankelijk van T, p ⇒ ρ afhankelijk van T,p ⇒ Samendrukbaarheidscoefficient: κ ⇒ Volumeuitzettingscoefficient: β
Samendrukbaarheidscoefficient κ δp δp κ= − V = ρ δV T δρ T
afhankelijk van T
Bij constante T kan κ worden benadert met: κ = - ∆p/(∆V/V) = ∆p/(∆ρ/ρ) OPM: gassen zijn sterk samendrukbaar, vloeistoffen niet
Volume uitzettingscoefficent β 1 δV 1 δρ β= =− V δT p ρ δT p
afhankelijk van p
Bij constante p kan β worden benadertmet: β = (∆V/V) / ∆T = -(∆ρ/ρ)/∆T OPM: Fluida bij T↑ → V↑ en ρ ↓ Water is hierop een uitzondering
Stijn Vandelanotte
-1-
Fysica II
Fysica
Viscositeit Wat? Inwendige wrijving bij een fluida Def? Viscositeit is een maat voor de inwendige weerstand tegen Vervormingen bij fluida en ontstaat door de wrijvingskrachten Die moleculen in vloeistoffen en gassen ondervinden als ze tov Elkaar bewegen (bij vloeistoffen zijn dit cohesiekrachten) Door inwerkende kracht F beweegt E naar E’ in ∆t → Afschuifspanning: τ = F/S → Tg φ = x/y ≈ φ (voor kleine φ) → Afschuifsnelheid: φ/t = x/ty = v/y → Afschuifspanning: τ = µ dµ/dy * µ = dynamische / absolute viscositeitscoefficient Wet: Newtoniaanse viscositeitswet: τ = µ dµ/dy o Newtoniaanse fluida zijn fluida die voldoen aan de wet o
µ voor gassen: µ =
αT 1 / 2 1+ b /T
o µ voor vloeistoffen: µ = α 10 b/(T-c) Niet newtoniaanse fluida o Plastics: minimale τ ndg voor er vervorming optreedt o Binghamplastics: minimale τ nodig, maar wel lineair verband (boter, tandpasta) o Pseudoplastics: melk, cement, verf, ketchup o Dilitant fluid: drijfzand, zetmeel, natte cement * v = kinematische viscositeitscoefficient = µ / ρ µ afhankelijk van T, niet afhankelijk van p → eenheid [µ] = Pa . s v afhankelijk van T, afhankelijk van p → eenheid [v] = m²/s
Oppervlaktespanning bij vloeistoffen Inleiding: Experimenteel stelt men vast dat vrije vloeistof oppervlakten zich als een vlak gedragen → insecten lopen op wateroppervlak En neemt dit vrij vloeistof oppervlak minimale afmetingen in → vloeistof druppels nemen bolvorm aan Oorzaak? Cohesie krachten tss moleculen vh fluida 1) Attractiekrachten heffen elkaar op 2) Meernaar beden gericht, kracht naar beneden 3) Bijna allemaal naar beneden gericht, kracht ng groter Deze kracht is afhankelijk vd plaats vd moleculen. Met plaatsafhankelijke kracht F kan men potentiele energie definieren: Moleculen aan oppervlak bezit oppervlakte potentiele energie ! ⇒ Een vloeistof opp. heeft een opp.energie, nl som van alle opp. potentiële energieën vd moleculen aan het oppervlak ⇒ De kracht per lengte nodig om dit vlies in stand te houden noemt men de oppervlaktespanningscoefficient γ γ = F/l dW = F.dx = γ l dx = γ dS ⇒ γ = dW / dS (=energie per oppervlakte) Dit verklaard waarom vloeistoffen spontaan een bolvorm aannemen. De natuur streeft naar minimale energie inhoud en dus ook een minimale opp. Energie inhoud en een bol is het voorwerp waarbij voor een gegeven hoeveelheid materie, de verhouding oppervlakte/ volume het kleinst is. ⇒ γ is afhankelijk van materiaal, temperatuur, onzuiverheden in de vloeistof. Toepassing: zepen en detergenten, longsurfactant de 2 krachten optellen (afhv. Soort vloeistof en soort vaste stof ) longsurfactant: verkleint oppervlaktespannningscoeffcient vh longweefsel Zeepbellen blazen met zeepzop en niet met water γwater > γzeepopl ↔ Fw >Fz een zeepoplossing = water + onzuiverheden
Stijn Vandelanotte
-2-
Fysica II
Fysica
Overdruk in een druppel De oppervlaktespanning werkt langs de oppervlakte vd druppel dus volgens de omtrek, hier horizontaal gericht. Deze F moet gecompenseerd worden door drukkracht afkomstig vh drukverschil buiten en binnenin de druppel. Deze drukkracht wordt gelijkmatig verdeeld op het oppervlak vd druppel en kan op iedere plaats verdeeld worden in een horizontale en verticale component. De verticale componenten heffen elkaar op waardoor je enkel een horizontale kracht krijgt. Deze kracht werkt in op een oppervlakte gelijk aan de doorsnede van de druppel. ⇒ 2π R γ = π R² ∆p ⇒ ∆p = 2γ/R
Overdruk in een zeepbel Voor de berekening van de overdruk in een zeepbel kan dezelfde redenering worden toegepast als bij een gewone druppel. Echter heeft een zeepbel 2 vrije oppervlaktes , binnen en buiten ⇒ 2 * (2π R γ) = π R² ∆p ⇒ ∆p = 4γ / R R↑ → ∆p↓
Contact tussen wand en vloeistof γ bij contactoppervlak tussen vloeistof en gas enkel afhankelijk vh vloeistof, in de attractiesfeer tussen gas en vloeistof veel meer vloeistof moleculen dan gasmoleculen die zelfs verwaarloosbaar zijn … Bij het contact met een vaste stof en vloeistof treden er wel aantrekkingskrachten op, adhesie krachten tussen vaste stof en vloeistof moleculen. Attractiesfeer in 2 delen: rechts vaste stoffen moleculen, links vloeistof moleculen (Ft1) Fad > Fco → natmakende vloeistof Het vrije oppervlak maakt een hoek φ , contact hoek, met de vaste stof Met φ < 90 ° bv. Water-glas → φ ≈ 0° (Ft2) Fco > Fad → niet natmakende vloeistof φ > 90 bv. Kwik – glas → φ≈ 130° Net als bij het vrije vloeistofoppervlak, kan men hier ook spreken over oppervlaktespanningscoefficient γLS γLS= oppervlakte energie / oppervlakte vh scheidingsvlak Liquid – solid (vloeistof – vast) γLS= kracht / lengte vh scheidingsvlak γSG= oppervlakte energie / oppervlakte vh scheidingsvlak solid – gas γSG= kracht / lengte vh scheidingsvlak Met : γLS < γSG ⇒ 0 <= φ <= 90° γLS >γSG ⇒ 90° <= φ <= 180°
Capilair effect Bij natmakende vloeistoffen, zal deze in een capilair stijgen tot een hoogte h > 0 Bij niet natmakende vloeistoffen, zal deze dalen tot een diepte h <0 Berekenen van h ? We beschouwen een vloeistof die stijgt tot hoogt h Op de rand vh vrije vloeistofoppervlak werkt een kracht F met grote: F= 2 πγ R Deze kracht maakt een contacthoek φ met de wand vh capilair. - de horizontale comp. Wordt gecompenseerd door de reactiekrachten vd vloeistof - de verticale comp. Wordt gecompenseerd door het gewicht W vd vloeistof erin ⇒ F cos φ = ρ h π R² g ↔ 2 πγ R = ρ h π R² g ⇒ h = (2γcos φ) / (ρ gR) Dit noemt men de wet. Jurin.
Niet gezien in de les maar wel in prakticum OPM: meting van oppervlaktespanning … Losrukmethode (Du Nouy methode) Een metalen ring wordt met behulp van een kracht F losgerukt uit een vloeistofoppervlak. Deze kracht is gelijk aan het gewicht mg vd ring en de oppervlaktespankracht 2*2 πγ R, waarbij de factor 2 afkomstig is van de binnen en buitenkant vd ring , hieruit krijg je γ γ= (F-mg )/ (4 π R)
Stijn Vandelanotte
-3-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 3: Druk en fluido statica Druk in een punt onafhankelijk van de richting ⇒ als op een oppervlakte S een druk p werkt, dan is dit oppervlak onderhevig aan een kracht F loodrecht op S Begrippen o Absolute druk = druk gemeten tov vacuüm o Onderdruk = druk gemeten tov atmosferische druk Als pabs<patm , dan is pond = patm - pabs o Bovendruk = druk gemeten tov atmosferisch druk Als pabs > patm , dan is p pbov = pabs - patm
Fluida in rust Rust ⇒ som van alle krachten is 0 !
Met dpx=dpy=0 en dpz = - ρ g dz ⇒ Master formule voor druk in fluida: ∆p = p2 – p1 = ∫ ρgdz ⇒ p2 = p1 + ρgd bij vloeistoffen (ρ = cte ) : ∆p = - ρgh → p2 = p1 +ρgd bij gassen (ρ ≠ cte) : p1 → p1 + ∆p = p’1 p2 → p’2 = p’1 + ρgd = p1 + ∆p + ρ gd = p2 + ∆p Besluit: op beide plaatsen eenzelfde drukverhoging OPM: ~ Hydrostatische druk P1 = luchtdruk = p0 P2 = P1 + ρgd = druk op bodem hierbij is p1= de atmosferische druk ρgd = de hydrostatische druk p2 = de absolute druk.
Krachten op oppervlakten door fluida in rust Vlakke oppervlakten Fbodem= (p0+ρgh).S → kracht op bodem afkomstig uit vloeistof = ρ g. hc . S = Hydrostatische druk . oppervlak S Met : hc = diepte vd vloeistof op plaats c (het zwaartepunt) S = oppervlakte
Gebogenoppervlakten a) Onder vloeistof We zoeken FR: Beschouw volume ABC in rust ⇒ ∑F=0 op ABC Fx + Fy + Fg + FR = Fx + F y + Fg + FH + FV (hier moeten pijltjes op!!!!)
met : FR = FH + FV X-as projectie: Fx = Fh Y-as projectie: Fy + Fg = Fv met: Fx = ρg hAB SAB = Fh Fy = ρ g (h-hAC) SBC Fg = ρ g VABC
⇒ Fy+Fg = ρ g (VABC+VBoven abc) en Fr =
Fh ² + Fv ²
b) Boven vloeistof analoge aanduidingen ! met Fx = Fh en Fy – Fg = Fv = Fg – mg ! … de rest is allemaal analoog !!!
Stijn Vandelanotte
-4-
Fysica II
Fysica
Krachten op voorwerpen door fluida in rust – wet v. Archimedes Wet van Archimedes:
Een lichaam ondergedompeld in een fluïdum ondervindt een opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht vh verplaatste volume en die aangrijpt in het zwaartepunt vh verplaatste fluïdum. Omringend fluidum oefen een hydrostatische druk uit ρhydr= ρ g h P1 < p2 ⇒ F1 < F2 ⇒ p1 dS < p2 dS
⇒ op voorwerp 2 krachten: = gewicht voorwerp en
,
⇒ nettokracht =
= ρvoorwerp Vvoorwerp g - ρfluidum Vondergedompeld g
= gewicht vh volume verplaatste fluida
OPM: voorwerp volledig ondergedompeld →
= (ρ-ρ’)V.g
Aanvulling (niet in de cursus): Fluida in beweging Volledige hoeveelheid fluidum beweegt met eenzelfde versnelling â
Fx = p x dydz − ( p x + dp x )dy.dz = ρdxdydza x Fy = p y dxdz − ( p y + dp y )dx.dz = ρdxdydza y Fz = p z dydx − ( p z + dp z )dy.dx − ρdxdydzg = ρdxdydza z − dp x dy.dz = ρdxdydza x → − dp y dx.dz = ρdxdydza y − dp z dy.dx − ρdxdydzg = ρdxdydza z dpx / dx = − ρa x → dpy / dy = − ρa y dpz / dz = − ρ ( a z + g )............ ⇒ ∇p = − ρ (a + g )
Stijn Vandelanotte
-5-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 4: Stroming van Ideale fluida Soorten stromingen Stationair/ niet stationair: ^v1 ^v2 met ||^v1|| = ||^v2|| of v is niet tijdsafhankelijk Uniform/ niet uniform: : ^v1 ^v2 ^v1 = ^v2 of ^v is in elk punt gelijk ! Samendrukbare / niet samendrukbare stromen: ρ = cte Visceuze / niet visceuze stroming: inwendige weerstand Laminaire stroming / turbulente stroming:
Stroomlijnen – Stroombuis Stroombuis: verzameling stroomlijnen Stroomlijn: lijen die op elk moment in ieder punt vh fluidum raken aan de snelheid in dat punt op dat moment. OPM: 2 stroomlijnen kunnen elkaar niet snijden Voor stationaire fluida: stroomlijnen : de baan vd fluidum deeltjes
Continuiteitsvergelijking IN: na dt → dm1/dt = A1v1dtρ1/dt UIT: na dt → dm2/dt = A2v2dtρ2/dt Behoud van massa debiet: A1v1ρ1= A2v2ρ2 Q = massa debiet = ρAv = cte en v = gem. snelheid door A ALS: ρ = cte → nt samendrukbaar ⇒ A1v1= A2v2=vA = D (vol deb) ⇒ Behoud van volume debiet
Wet van Bernouilli p + ρv²/2 + ρ g h = cte ^F1 = p1A1 ^F2 = p2A2 ^FT = ^F2 - ^F1= p2A2 - p1A1 Behoud van mechanische energie: Mechanische energie (A) = mechanische energie (B) + W nt conservatieve krachten ⇔ (Ekin+Epot) (A1’ → A2) + (Ekin + Epot) (A2 → A2’) = (Ekin + Epot) (A1 → A1’) + (Ekin+Epot) (A1’→A2)+ arbeid F1 + arbeid F2 ⇔ (Ekin + Epot) (A2 → A2’) == (Ekin + Epot) (A1 → A1’) + arbeid F1 + arbeid F2 ⇔ A2v²2ρ2 l2 /2 + A2y2ρ2 g l2 = A1v²1ρ1 l1 /2 + A1y1ρ1 g l1 + A1p1 l1 - A2p2 l2 ⇔ A2v²2ρ2 l2 /2 + A2y2ρ2 g l2 + A2p2 l2 = A1v²1ρ1 l1 /2 + l1A1y1ρ1 g + A1p1 l1 ALS: ρ = cte → nt samendrukbaar ⇒ A1l1= A2l2 ⇒ v²2ρ /2 + y2ρ2 g + p2 = v²1ρ1 /2 + y1ρ1 g + p1 p + ρv²/2 + ρ g h = cte = Wet van Bernouilli Voorwaarden: - stationaire stroming - onsamendrukbare stroming - niet visceus - p1 en p2 liggen op dezelfde stroomlijn - geen warmte toevoer of afname aan he fluidum - geen arbeid geleverd op het fluidum (bv pomp) - geen arbeid geleverd door het fluidum (bv turbine) ALS: Energie verlies Ev en energie toevoer Et is bij overgang (A) → (B) (1) – Ev + Et = (2) ⇔ v²2ρ /2 + y2ρ2 g + p2 -Ev + Et = v²1ρ1 /2 + y1ρ1 g + p1 OPM : Bij een horizontale buis met variabele diameter met A1 < A2 , p1,v1, gekend zijn geldt er: ⇒ p + ρv²/2 = cte met A1v1= A2v2 = het volume debiet = cte ⇔ A1v1/A2 =v2
A 2 ⇒ p2 = p1 + ρ / 2 * 1 − 1 v ² A2
Stijn Vandelanotte
-6-
Fysica II
Fysica
Verschillende vormen vd wet van Bernouilli Met drukken p + ρv²/2 + ρ g h = cte p = hydraulische of statische druk ) ρv²/2 = dynamische of stuwdruk ) = Stagnatie druk ρgh = hydrostatische druk cte = totale druk OPM: p is de druk die het fluidum uitoefent als men mee beweegt met het fluidum :s
Met energieën p + ρv²/2 + ρ g h = cte p = statische druk per volume eenheid ρv²/2 = kinematische energie vh fluidum per volume eenheid ρgh = potentiele energie vh fluidum per volume eenheid cte = totale energie vh fluidum per volume eenheid
Met hoogtes p/gρ + v²/2g + h = H p/gρ = drukhoogte (pressure head) v²/2g = snelheidshoogte (velocity head) h = liggingshoogte (elevation) H = totale hoogte (Total head) Neem reservoir verbonden met een afvoerpijp met cte doorsnede Voor elk punt v/e stroomlijn is H cte o
V = 0 ⇒ enkel druk en liggingshoogte
Neem reservoir verbonden met een afvoer pijp met cte doorsnede V is niet 0 ! Niveaus in piëzometers zullen zaken met v²/2g
~ doorsnede is niet constant ! ~ ⇒ v is niet constant ~ S↑ → v↓ → ρv²/2 ↓
~met wrijving ! ⇒ energie verlies = ρ g hf ⇒ v²2/2g + y2 + p2/ρg +hf= v²1 /2g + y1 + p1ρg
Stijn Vandelanotte
-7-
Fysica II
Fysica
Toepassingen vd wet v. Bernouilli De pitot-buis Stroomlijnen rond een stomp voorwerp
De snelheid van (2) is telkens 0 → Toepassen op de wet v. Bernouilli op punten (1) en (2) van dezelfde stroomlijn
p1 + ρv1 ² / 2 + ρgy1 = p 2 + ρv 2 ² / 2 + ρgy 2
⇒ p1 + ρv1 ² / 2 = p 2 piezometer : p1 = ρgy1 → ρgy1 + ρv1 ² / 2 + ρv1 ² / 2 pitobuis : p 2 + ρv1 ² / 2
⇒ v1 = 2 g ( y 2 − y1) OPM: hier is de pitotbuis → een gebogen buis met statische vloeistofkolom welke tegen de stroomrichting in van een stromend vloeistof wordt geplaatst.
De statische pitot buis Hier is de statische pitobuis verbonden met een manometer → Gebruik: bv bij vliegtuig → bepalen van snelheid lucht tov vliegtuig We nemen aan dat a en b op dezelfde hoogte liggen Vb=0 ⇔ p a + ρv a ² / 2 + ρgy a = pb + ρv b ² / 2 + ρgy b ⇔
p a + ρv a ² / 2 = p b ⇔ ρv a ² / 2 = p b − p a = ( ρ '− ρ ) gh
⇒ v a 2 g ( ρ '− ρ ) gh / ρ De venturi buis doorsnede →
→ horizontale buis met doorsnede A1 en bezit een vernauwing met A2 verbonden aan manometer (… Wet v. Bernouilli) p1 + ρv1 ² / 2 = p 2 + ρv 2 ² / 2
⇔
ρ (v 2 ² − v1 ²)
= p1 − p 2 2 met : v 2 = A1. v1 / A2 ⇒ v1 = A2
Stijn Vandelanotte
-8-
2 g ( ρ '− ρ ) gh ρ ( A1 ² − A2 ²)
Fysica II
Fysica
Ledigen van een open vat via een kleine opening a)
berekening vh volume debiet Geg: vat met doorsnede A gevuld tot op hoogte h1, bevat opening met doorsnede A0 op hoogte h0 ⇒ Wet v. Bernouilli:
p1 + ρv1 ² / 2 + ρgy1 = p 2 + ρv0 ² / 2 + ρgy 0 en A1v1= A0v0 p1 = p 2 = p atm h = h1 − h0 ⇒ v 0 = 2 gh
Hierbij is A0 te verwaarlozen tov A1
OPM: dit is een theoretische waarde voor een ideaal vloeistof → reëel vloeistof → wrijving vloeistof randen ! ⇒ vwer=cv.v0 met c0= snelheidscoefficient <=1 OPM: straal vloeistof buiten buis is kleiner dan de straal vd buis. De versmalling gebeurt ter hoogte vd vena contractor ⇒ Aa=ccA0 met cc = contractiecoefficient <= 1 ⇒ D = Aa.vwo= ccA0 cv.v0=Cd A0
2 gh
met Cd = c0 cc = debietscoefficient <=1
b) tijd nodig om van h1 tot h2 te zakken Geg: vat met doorsnede A gevuld tot h1 ⇒ tijdens dt is hoogte van h1 tot h2 gezakt D = A . v1 = A (-dh/dt)= -Adh / dt → dt = - Adh/D = -A dh / . Cd A0 ⇒t=
− 2A Cd . A0 2 g
[h1 − h2
2 gh
]
Ledigen v/e open vat via een ondergedompelde kleine opening a)
berekening vh volume debiet Geg: Vat 1, doorsnede A1, hoogte h1 ; Vat 2, doorsnede A2, hoogte2 Verbonden via opening met doorsnede A0 op hoogte h0 → Wet van Bernouilli: Met En
p1 = patm A1v1=A2v2
En
v0 =
⇒ D = Cd A0
p1 + ρv1 ² / 2 + ρgy1 = p 2 + ρv0 ² / 2 + ρgy 0 en p2 = patm+ρg(h2-h1)
2 gh met A0 te verwaarlozen tov A1 2 gh
b) tijd nodig om van h1 tot h2 te zakken D = A1v1 = A2v2 = A1 (-dh/dt) = A2 (dh/dt) ⇔ dt D = - A1dh1 = A2dh2 en dh = dh1 – dh2 ⇒ dh1 = A2 dh / (A1+A2) ⇔ dt D = ⇔ dt =
−
A1 A2 dh Cd . A0 2 g ( A1 + A2 ) h
Stijn Vandelanotte
A1dh1 = - A1 A2 dh / (A1+A2) = C0 A0
⇒t=
−
A1 A2 Cd . A0 2 g ( A1 + A2 )
-9-
[h2 − h1
2 gh dt
]
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 5: Stroming van reële fluida in volledig gevulde leidingen Wrijving in reële fluida – Vergelijking van bernouilli voor reële fluida 1.
Wrijving met wanden: a. Oorzaak? Adhesie krachten b. Gevolg? Dunne fluidum laag dat niet beweegt tov de wand (non-slip condition) 2. Inwendige wrijving / viscositeit a. Oorzaak: cohesiekrachten die tegenwerken als moleculen van een fluidum tov elkaar bewegen i. We beperken ons tot Newtoniaanse fluida ⇒ µ = cte 3. Wrijving door obstakels in de leidingen waarin het fluidum stroomt ⇒ WRIJVING = ENERGIE VERLIES = DRUKVERLIES en HOOGTEVERLIES Wet v. Bernouilli (met drukken) p1 + ρv1 ² / 2 + ρgh1 = p 2 + ρv 2 ² / 2 + ρgh2 + p w met pw = druk verlies Wet v. Bernouilli (met hoogtes)
p1 / gρ + v1 ² / g 2 + h1 = p 2 / gρ + v 2 ² / g 2 + h2 + hw met hw = verlieshoogte
Laminaire en turbulente stroming Laminaire stroming: fluidum bestaande uit over elkaar bewegende laagjes o Bij traag stromende rivieren, kanalen of buizen (dit is de uitzondering) Turbulente stroming: moleculen vh fluidum bewegen chaotisch door elkaar en laagjes structuur is niet te vinden o Bij snel/ normaal stromende rivieren, kanalen of buizen (meestal heb je dit! ) OPM: Wnr is het juist laminair of turbulent? Onderscheidt?
Het getal van Reynolds
Re =
ρv gem Dh
µ ρ = dichtheid Vgem = snelheid vd stroming gemiddeld µ = dynamische viscositeits coefficient p = omtrek vd buis A = doorsende vd buis Dh = hydraulische diameter Regels voor cilindervormige buizen: Re <= 2000 laminaire stroming 2000 < Re< 4000 overgangsgebied Re >= 4000 turbulente stroming
....met : Dh = 4 A / p
Met :
Laminaire stroming in volledig gevulde leidingen We beperken ons tot: laminaire, stationaire , Newtioniaanse fluidums
Snelheids profiel Leiding: lengte L, straal R → laminaire stroming tvm reeks concentrische cilindersschilletjes die elk een stationaire / constante wrijving hebben. → vcentraal > vbinnen-buiten > vbuiten v(r) =
Stijn Vandelanotte
-10-
∆p ( R ² − r ²) 4 µL
Fysica II
Fysica Wet v. Poiseuille Debiet afkomstig vh schilletje dD = vdA = v 2 π r dr =
∆ p ( R ² − r ²) 4 µL
2 π r dr
Totale debiet – Wet v. Poiseuille R
D=
∫ dD = ∫ vdA = ∫ 0
πR ∆p 4
D=
8µL
=
∆p( R ² − r ²) .2rπdr 4µL
πd 4 ∆p 128µL
OPM: D = Vgem . A = d ∆p . d π 32µL 4 2
2
Druk verlies – hoogte verlies Druk begin leiding > druk einde leiding ⇒ drukverlies tgv stroming Voor horizontale leidingen met cte diameter is dit drukverschil ook gelijk aan druk 32 µLv gem verlies over een afstand L in de leiding ∆p = d² ⇒ bij dit type leidingen is alle wrijving te wijten aan viscositeit Druk verlies → verlieshoogte ! → hL=∆p/ρg Voor hellende leidingen en/of ledingen met variabele diameter is ∆p ≠ druk verlies ∆pL ⇒
p1 + ρv1 ² / 2 + ρgh1 = p 2 + ρv 2 ² / 2 + ρgh2 + ∆p L
∆p L = ( p1 − p 2 ) + ρ (v1 ² − v 2 ²) / 2 + ρg (h1 − h2 )
Leiding horizontaal Leiding cte diameter
⇒ h1-h2 = 0 ⇒ v1 ² − v2 ² = 0 waarom?
{A1v1 = A2 v 2 πd 2 ² πd1 ² 4 v1 = 4 v 2 ⇒ v1 = v 2
Turbulente stroming in volledig gevulde leidingen Darcy – weisbach vgl 2 2 f .L. ρv gem f .L. v gem verlieshoogte ∆p L = . → hL = . d 2 d 2g OPM: Verlies bij laminaire stroming is evenredig met de snelheid v en bij turbulente stroming met v² F is de Darcy-Weisbach wrijvingsfactor ⇒ deze wrijvingsfactor en is een empirische grootheid
De empirische wrijvingsfactor f f is afhankelijk van soort fluidum, soort stroming en dus van ook van het getal van Reynolds - voor laminaire stroming: f = 64/Re - voor nt laminaire stroming: f = 0,315/ Re ^0,25 = de formule van Blassius OPM: bij de formule v. Blassius werd geen rekening gehouden met de ruwheid vd leiding Ruwheid ↑ → ∆pL ↑ in sommige andere formules in de literatuur wordt wel rekening gehouden met de ruwheid
OPM over toepassingen Laminair / niet laminair is afhankelijk van het getal van Reynols en dat is de basis voor elke berekening ! Als je het reynoldsgetal niet kan berekenen moet je gokken of het laminaire stroming is of niet!. . Als je dan een uitkomst hebt moet je controleren of je wel juist gegokt hebt … zowel … oefening gedaan, zoniet moet je opnieuw beginnen.
Stijn Vandelanotte
-11-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 6: Stroming van reële fluida in open kanalen en onvolledig gevulde leidingen Kenmerken van stroming in open kanalen -
Vrij vloeistof oppervlak Atmosferische druk Patm Drijvende factor vd stroming = helling van het kanaal o Helling ↑ → vgem ↑ → diepte ↓ Snelheidsprofiel: o Afhankelijk vd diepte vh kanaal o Snelheid aan oppervlak ≠ grootste snelheid Soorten stroming: o Uniform / niet – uniform : vgem = cte (bi j cte D ⇒ diepte = cte ) / vgem ≠ cte o Stationair / niet – stationair: stroomdiepte tijdsonafhankelijk / stroomdiepte tijdsafhankelijk Stromingsgebieden o OPM: in deze cursus bespreken we enkel: uniform, stationair, 1 stromingsgebied
Geometrische parameters natte oppervlakte A natte omtrek p oppervlakte breedte B hydraulische straal Rh = A/p OPM: Wij moeten dit enkel kunnen voor rechthoek, driehoek, vierkant … andere moeilijke figuren niet !!!
Laminaire en turbulente stroming – Getal van Reynolds ρv gem Rh v gem Rh D.Rh Re = = = µ υ Aυ Met:
Re <= 500 Laminaire stroming 500 < Re <= 2000 Overgangsgebied Re >= 2000 Turbulente stroming OPM: Deze waarden zijn kleiner dan bij volle leidingen, vermits het getal van Reynolds gedefinieerd is met Rh
Gemiddelde stroomsnelheid – Debiet Dh = 4Rh … bewijs … Dh = 4A/p = 4 Rh … dit geldt altijd !!! Met S0=de relatieve helling =
h1 − h 2 = sin α L
o α klein ⇒ sin α ≈ α ≈ tg α D = A . vgem met A de natte oppervlakte Bij uniforme stroming … formule van Chezy o
v gem = C Rh.S 0
o
Met C de cte van Chezy → afhankelijk van Re en ruwheid van de wanden vh kanaal
Rh1 / 6 Vgl van Manning : C = n
Met n de cte van Manning → afhankelijk van soort open kanaal en soort wand
Rh2 / 3 S 01 / 2 n 5 / 3 1/ 2 A SO ⇒ D= nP 2 / 3
⇒
v gem =
OPM: Dit zijn formules voor turbulente stromingen … als je Re niet kan berekenen moet je veronderstellen dat het turbulent is … als je je eindwaarde hebt bekomen altijd controleren of het wel een turbulente stroming was … zoniet is het een laminaire stroming en kunnen we het gewoon niet bepalen !
Stijn Vandelanotte
-12-
Fysica II
Fysica
Fysica IIb: Thermodynamica Hoofdstuk 1: Inleiding Wat? Studie van energie en de verschillende energie vormen (warmte en omzettingen van warmte) Begrippen: o Systeem: materie of ruimte die men bestudeert o Omgeving: alles wat niet tot het systeem behoort Open: massa en energie transport tussen omgeving en systeem Gesloten: geen massa transport, wel energie transport Geïsoleerd: geen massa noch energie transport mogelijk o Toestandparameters: grootheden die het systeem beschrijven (p,V,T) o Evenwicht: toestandparameters veranderen niet! o Soorten evenwicht: mechanisch, thermisch, chemisch, faze Thermodynamisch evenwicht = mechanisch + thermisch + chemisch + faze o Proces of toestand verandering: 1 of meerdere toestandsparameters veranderen Isotherm: T = c Isobaar : p = c Isochoor: V=c OPM: komt het systeem na enkele toestandsveranderingen terug in de starttoestand → cyclisch proces
Warmte – Temperatuur – 0de wet vd Thermodynamica !!! Temperatuur ≠ warmte !!!! - warmte = maat voor de inwendige energie van een systeem - temperatuur = maat voor de kinetische energie van een systeem Verband? Warmte kan men overdragen door een temperatuursverschil ∆T (= 0de wet vd Thermodynamica) ⇒ Zelfde temperatuur ↔ thermisch evenwicht ↔ geen warmte overdracht
Uitzetting van vaste stoffen T↑ → V↑ zichtbaar op pot. Energie kromme - T=0K d(a1,a2) = r0 (zie grafiek , onderste punt!) - T↑ → T1 d(a1,a2) = periodiek tussen r’1 en r’’1 = r1 (gem.) ⇒ r1>r0 ⇒ onderlinge afstand tussen atomen neemt toe ⇒ stof zet uit !!! Lineaire uitzetting: ∆l = λ l ∆T λ = ∆l/(∆T*l) Kubieke uitzetting: ∆V=βV∆T β = ∆V/(∆T*V)
met λ = lineaire uitzettingcoefficient grote orde: 10-6K-1 met β = volume uitzettingscoefficient grote orde: 10-6K-1
OPM: - β = - ∆ρ/(∆T*ρ) - β=3λ - Holle lichamen zetten op dezelfde wijze uit als volle lichamen - Niet alle stoffen zetten uit bij T↑ → Neg. Uitzettingscoefficient OPM: Uitzetting voor vloeistoffen ⇒ zelfde formule voor kubieke uitzetting … ⇒∆V=βV∆T ↔ β = ∆V/(∆T*V) grote orde: 10-4K-1 ⇒ Vloeistoffen zetten veel meer uit dan vaste stoffen !!!
Temperatuursschalen – thermometers -
Kelvinschaal: K : 0K = -273,15°C (= het absolute nulpunt) Celsiusschaal: °C: 0°C = stol/vries temperatuur van water en 100°C = kooktemperatuur Fahrenheitschaal: °F: 0°C = 32°F ; 100°C = 212°F o y°C = 5/9 * x°F – 32
Stijn Vandelanotte
-13-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 2: Inwendige energie – warmte – warmtetransport Inwendige energie U – Warmte Q macroscopische energie (ballon in de lucht) o translatie energie (ballon beweegt) o rotatie energie (ballon roteert) o gravitatie potentiele energie (ballon in gravitatieveld vd aarde) Dus, energie geassocieerd met het systeem als geheel microscopische energie (moleculen in de ballon) o translatie energie (moleculen bewegen) o rotatie energie (moleculen roteren) o vibratie energie (moleculen vibreren (bij 2 of meer atomige moleculen) o potentiele energie (aantrekkingskrachten tussen moleculen) Dus, energie geassocieerd met de beweging vd moleculen in het systeem, dus som hiervan is: De inwendige energie U , met Q (de thermische energie) is de inwendige energie gassocieerd met kinetische energie.
U = E kin,microscoopisch + E pot ,microscopisch
Bij deze figuur is U1 = U2
Q = E kin ,microscopisch ∝ T
OPM: o U is een toestandsfunctie o T niet afhankelijke vh aantal deeltjes, Q wel o Macroskopische Ekin ~ geordende beweging o Microscopische Ekin ~ ongeordende beweging U veranderen o Mechanische energie op uitoefenen: wrijven, uitrekken, vervormen vh systeem o Thermische energie toevoegen of ontrekken vh systeem o Massatransport naar of van systeem
Eerste wet vd Thermodynamica systeem ondergaat een toestandsverandering of proces ⇒ Energie verandering : ∆E = Ee-Eb - hierbij is E = U + Ekin + Epot = som van inwendige energie + macroscopisch kin en pot. Energie - in deze cursus enkel stationaire systemen ⇒ ∆Ekin = ∆Epot = O - ⇒ ∆E=∆U - In deze cursus altijd gesloten systemen ⇒ U verandering door warmte uitwisseling, arbeid Algemeen: ∆U = Q – W differentiaal vorm: dU = dQ – dW Bij stationaire systemen en U is een toestandsfunctie
Soortelijke warmte 1. Warmte toevoeging aan het systeem: T verandert, geen faseverandering Q = m.c.∆T dit is experimenteel bepaald !!!!! Q dQ ⇔c= ⇒c= ......( soortelijke...warmte) m∆T m.dT Q dQ ⇔c= ⇒c= .....( molaire....soortelijke..warmte) n∆T n.dT OPM: c is een materiaal constante en licht afhankelijk vd temperatuur, maar meestal beschouwt men deze als cte 2. Warmte toevoeging aan het systeem: T cte , faseverandering dit is experimenteel bepaald !!!! Q = L.m Met Lsm = smeltingswarmte Lverd = verdampingswarmte Lsub = sublimatiewarmte 3. Systeem bestaat uit verschillende materialen, dan geldt er: Q = w ∆T Met w de warmte nodig om de temperatuur van een voorwerp met 1K te laten stijgen
Stijn Vandelanotte
-14-
Fysica II
Fysica Calorimetrie 2 voorwerpen met verschillende temperatuur bij elkaar brengen in geisoleerd systeem ⇒ Uitwisseling van warmte tot ze een gelijke temperatuur bezitten ⇒ ∆U systeem = 0 = ∆U 2 + ∆U 2
⇒ m’c’(T’-Te)=(mc+w)(Te – Tb)
Mechanismen voor warmte uitwisseling Conductie wat? Geleiding van warmte hoe? Interactie tussen deeltjes met hogere energie en deeltjes met lagere energie eig.? geen massatransport tussen het gebied met hoge temperatuur en gebied met lage temperatuur Wet van Fourier Wand met oppervlakte S en temperatuur T1 en T2, dikte wand = δ ⇒ snelheid vd warmte overdracht = dQ = λS (T 1 − T 2) / δ dt Met : (T 1 − T 2) / δ is de temperatuurgradiënt ⇒ dQ = λ.S .(dT / dx) dt
Met λ = de warmtegeleidingscoefficient , deze is materiaal afhankelijk
Convectie Wat? Warmte stroming Hoe? Massatransport van deeltjes vh gebied met hogere temperatuur naar gebied met lagere temperatuur Waar? Bij warmtetransport tussen vaste stof en een fluidum Wet van Newton voor warmtestroming ⇒ snelheid vd warmte overdracht = dQ = kS (Ts − Tf ) dt
Met k = transmissiecoefficient ,deze is afhankelijk van soort fluidum, soort vaste stof, geometrie vh systeem, stromingssnelheid vh fluidum
Voorbeelden van warmte-uitwisseling Warmte-overdracht tussen 2 fluida, gescheiden dor een vlakke wand -
T1>T2 Temperaturen aan het oppervlak vd wand: T’, T” Dikte vd wand = δ en heeft warmtegeleidingscoefficient: λ ~ convectie: dQ =k 1S (T1 − T .' ) dt dQ ~ conductie: = λS (T .'−T " ) dt ~ convectie: dQ = k 2 S (T "−T2 ) dt
⇒
T1 − T2 = met :
dQ 1 1 1 1 + + dt S k1 λ k 2
dQ 1 1 = dt S k
⇒ dQ = kS (T 1 − T 2)
1 1 1 1 = + + = de..thermische...weers tan d k k1 λ k 2
dt
Warmtegeleiding in een cilindrische buis ⇒ dQ dt
=
analoge berekening als voorgaande 2πlλ (T 1 − T 2) r2 ln r1
Met : l = lengte buis; r1 en r2 = binnen en buitenstraal vd buis, T1 en T2 = binnen en buiten T
Stijn Vandelanotte
-15-
Fysica II
Fysica Warmte overdracht tussen 2 fluida, gescheiden door een cilindrische buiswand -
berekening zelf opstelleng dQ = 2π .l.k (T 1 − T 2) dt 1 1 1 r2 met : = + + ln k k 1 r1 k 2 r2 r1
hierbij is k1 transmissiecoefficient vh eerste fluidum, k2 ….
Afkoelen van een lichaam in contact met een fluidum Beschouw: lichaam met oppervlakte S, egale oppervlakte temperatuur T, temperatuur omringend fluidum Tf Als T vh lichaam groter is dan die vh fluidum, zal warmte worden afgestaan aan het fluidum ⇒ afkoeling ⇒ convectie − kS t t− w Te dT −w dT dQ dt = ⇔∫ dt = ∫ ...... ⇒ Te − Tf = (Tb − Tf )e w = kS (T − Tf ) ⇒ dQ = wdT ⇔ 0 kS Tb T − Tf dt kS T − Tf met w de warmte capaciteit vh lichaam en dT < 0
Warmtewisselaars -
-
Wat? Toestel die warmte tussen 2 stromende fluida uitwisselen, zonder mengen van fluida. De 2 fluida kunnen in dezelfde richting stromen (gelijkstroom) of in tegengestelde richting … (tegenstroom) Formule: Q / ∆t = − kS∆Tm ; ∆Tm = gemiddeld ∆T tss de 2 fluida
Bepaling ∆Tm bij gelijkstroom … 1 2 dQ = − kdSTv ⇒ Temperatuursverschil met Tv + dTv = dT -dT dt
→ 0 > dT1 = temperatuursdaling van het warme fluidum
Bepaling ∆Tm bij tegenstroom
→ 0 < dT2 = temperatuursstijging van het koude fluidum
dQ = − kdSTv dt dQ = D1c1dT 1 = + D2 c2 dT 2 dt 1 dQ 1 1 1 = − kdSTv ⇒ dTv = dT 1 − dT 2 = − − dt D1c1 D2 c2 D1c1 D2 c 2
dQ = D1c1dT 1 = − D2 c2 dT 2 dt 1 dQ 1 1 1 = − kdSTv ⇒ dTv = + + dt D1c1 D2 c2 D c D 1 1 2 c2 ⇒
1 dTv 1 = − kdS + Tv D c D 11 2 c2
⇒
met : Q 1 1 2 2 = D1c1 (Tu − Ti ) = − D2c2 (Tu − Ti ) ∆t dTv kdS 1 kdS kdS 1 2 2 ⇒ =− (T − Ti − Tu + Ti ) = − (Tvu − Tvi ) Q u Q Q Tv ∆t ∆t ∆ t kS Tvu ⇒ ln (Tvu − Tvi ) =− Q Tvi ∆t Q − kS − kS (Tvi − Tvu ) ⇒ = (Tvu − Tvi ) = = − kS∆Tm ∆t Tvu Tvi ln ln Tvi Tvu Tvi − Tvu met : ∆Tm = Tvi ln Tvu
Stijn Vandelanotte
-16-
1 dTv 1 = − kdS − Tv D c D 1 1 2 c2
met : Q 1 1 2 2 = D1c1 (Tu − Ti ) = − D2 c2 (Tu − Ti ) ∆t dTv kdS 1 kdS 1 2 2 (T − Ti − Tu + Ti ) = − (Tvu − Tvi ) ⇒ =− Q u Q Tv ∆t ∆t kS Tvu ⇒ ln (Tvu − Tvi ) =− Q Tvi ∆t Q − kS − kS (Tvi − Tvu ) ⇒ = (Tvu − Tvi ) = = − kS ∆Tm ∆t Tvu Tvi ln ln Tvi Tvu Tvi − Tvu met : ∆Tm = Tvi ln Tvu
Fysica II
Fysica Temperatuur verloop in de warmtewisselaar
1 1 ± dTv = − kdSTv D1 c1 D2 c 2 ⇒ dTv = − kdSTvα
Tv
met: + voor gelijkstroom en – voor tegenstroom
Bij gelijkstroom α>0 ⇒ Tv ↓
1 1 met : α = ± D c D 11 2c2 ⇒
Bij tegenstroom α=0 ⇒ Tv = cte
α>0 ⇒ Tv ↓
α<0 ⇒ Tv ↑
S
dTv ∫Tvi Tv = −kα ∫0 dS
⇒ Tv = Tvi e − kSα
Mechanische arbeid p-V arbeid Arbeid uitoefenen op een systeem ⇒ inwendige energie ↑ hoe? Door wrijven, uitrekken, vervormen Eig.? o Kracht wordt verplaatst → Arbeid door die kracht: W = ∫F.dr o Kracht wordt verplaatst → Systeem van toestand 1 naar toestand 2 p-V arbeid is een speciale vorm van mechanische arbeid: de arbeid nodig om het volume v/e systeem te veranderen door een drukverandering. Maw: ∆p → ∆V tgv de druk p vh gas ondervindt de zuiger een kracht : F = p . A → verplaatst de zuiver zich over een afstand dS ⇒ dW = F.dS = p A dS = p dV ⇒ W = ∫ p dV = oppervlak onderde kromme in p-V grafiek
OPM:
-
Arbeid door systeem > 0 ↔ ∆V > 0 Arbeid door omgeving (op systeem) > 0 ↔ ∆V<0 Enkel bij gassen, want vloeistoffen zijn niet samendrukbaar 1e wet van Thermodynamica: ∆U = Q – W’ – Wpv Bij isochoorproces: o Volume verandert niet … ⇒ p-V arbeid is dan ook nul Bij isobaarproces o Druk is constant … ⇒ p-V arbeid = W = p.∆V
Enthalpie H=U+pV Voor een verandering door een proces: ∆H = ∆U+p∆V+V∆p Voor een isobaar proces is ∆p = 0; ∆H = ∆U+p∆V = ∆U+Wpv ⇒ Eerste hoofdwet: ∆H = Q – W’ met W’ de niet pV arbeid
Stijn Vandelanotte
-17-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 3: Eigenschappen van zuivere stoffen – fazeveranderingen Zuivere stoffen Kenmerken o Constante chemische samenstelling o Niet noodzakelijk uit 1 chemisch element, zolang het mengsel vd elementen homogeen is Bv lucht is een homogeen mengsel van zuurstof en stikstof o Niet noodzakelijk 1 fase. Zolang die fazen dezelfde chemische samenstelling hebben Bv ijs en water als mengsel is een zuivere stof Kenmerken van de 3 voornaamste faezzn of aggregatietoestanden Vast Vloeibaar Gasvormig Afstand tussen moleculen klein Afstand tussen moleculen groter Afstand tussen moleculen groot Grote aantrekkingskracht tussen Minder grote aantrekkingskracht Zeer kleine aantrekkingskracht tussen moleculen tussen moleculen moleculen Moleculen trillen rond Moleculen bewegen over elkaar Moleculen bewegen door elkaar evenwichtspositities
Fazeveranderingen gebeurt wanneer warmte wordt toegevoegd aan een stof zonder dat de temperatuur ervan stijgt Vooral aggregatietoestand verandering, zie links
Overgang tussen vaste (V)en vloeibare (L) toestand Smelten: S → L Q toevoegen⇒T↑ →U en Ek ↑ → afstand tussen moleculen ↑ →stof zet uit Q toevoegen⇒ stof begint te smelten, smelttemperatuur Ts → T = cte Zolang er vaste stof aanwezig is blijft de T cte maar wel volumetoename Tgv vd grotere afstand tussen de moleculen in vergelijking met vast. ⇒ Q = m * Ls met Ls de latente smeltwarmte voor een vaste stof. Q toevoegen ⇒ T↑ → U en Ek ↑ → afstand tussen moleculen ↑→ uitzetten De volume toename is nu wel sneller dan voor het smelten, dit komt door een hogere volumeuitzettingscoefficient voor vloeistoffen dan voor vaste.
Invloed van Druk op de smeltlijn P↑ → V ↓, bij smelten V↑ ⇒ hoe meer druk hoe meer warmte er nodig is om te doen smelten. OPM: sommige stoffen waarbij hun volume afneemt bij smelten, zal hoe meer druk hoe minder warmte nodig zijn..
Stollen Q ontrekken ⇒ T ↓ → U en Ek↓ → afstand moleculen ↓ → stof krimpt in Q ontrekken ⇒ stof begint te stollen, stoltemperatuur = smelttemperatuur Ts → T = cte Zolang er vloeistof aanwezig is blijft de de T cte maar wel volume afname (of soms ook toename bv water .. ijs )
Stijn Vandelanotte
-18-
Fysica II
Fysica Overgan tussen vloeibare (L) en gasvormige toestand (G) Verdampen (L→G) Q toevoegen → T↑ → U, Ek en V ↑ Q toevoegen →Tsat bereikt saturatie-, kook- of verzadigingstemperatuur → moleculen gaan over van L → G ⇒ V ↑↑ en Tsat = T = cte ! tot alle vloeistofmoleculen zijn verdampt Q toevoegen → T↑ → U, Ek en V ↑ ! OPM: dit allemaal bij constante druk Punt 1: Vloeistof Punt 2: Verzadigde vloeistof Punt 3: verzadigd vloeistof – damp mengsel Punt 4: damp Punt 5: onverzadigde damp
Invloed van Druk op de smeltlijn P↑ → V ↓, bij verdampen V↑ ⇒ hoe meer druk hoe meer warmte er nodig is om te doen smelten. ⇒ hoe hoger de druk hoe kleiner de horizontale lijn en hoe hoger het kookpunt Op bepaald moment, druk zo hoog dat het kritische punt bereikt wordt, bijhorende temperatuur noemt men de kritische temperatuur. De kritische grootheden, materiaal afh. Op dit punt is er geen verschil tussen vloeistof en damp. Drukken hoger dan de kritische druk pk is er geen faze overgang tussen L → G
Verzadigde damplijn Geeft verband weer tussen de psat en Tsat … want bij elke druk is er een gepaste saturatietemperatuur. En bij temperatuur een saturatiedruk.
P-V diagram voor overgaan L→G Hier bij is de lijn een isotherme ⇒ elk punt bezit zelfde temperatuur. Bv water in een gesloten cilinder, druk vd cilinder varieren P↑ → V ↓ of P↓ → V↑ Bepaald moment Tsat wordt bereikt : L → G → V↑ met T en P cte, hierbij moet Q worden toegevoegd zonder T↑ omdat de inwendige energie vh vloeistof moet stijgen om over te gaan in gasfaze. Omdat de aantrekkingskracht vd vloeistofmoleculen moet overwonnen worden. Dit is te vergelijken met TV diagram
Stijn Vandelanotte
-19-
Fysica II
Fysica Verdampen – Koken Verdampen: overgang: L → G aan de scheiding van L – G faze o Moleculen die ontsnappen aan het vloeistofoppervlak Koken: overgang L → G aan de L-S faze of in L faze o Het ontstaan vd gasvormige toestand in een vloeistof Factoren die verdamping bevorderen o Drukverlaging boven de vloeistof o Verhoging van de temperatuur o Vergroten van het vloeistofoppervlak
Overgang tussen vaste (S) en gasvormige toestand. Sublimeren (S→G) Sublimatie: als de trillingsenergie vd moleculen groot genoeg is en de druk uitgeoefend door de verdampte moleculen zo laag is zodat de vloeistoffaze niet kan voorkomen.
Tripelpunt Het snijpunt vd sublimatielijn, verdampingslijn en smeltlijn Bij deze druk en temperatuur komen verzadigde damp, vloeistof en vastestof samen voor. (dit is materiaal afhankelijk)
Sublimatiewarmte = de energie nodig om de bindingsenergie vd moleculen te overwinnen. = Q = m. Lsu met Lsu = de latente sublimatiewarmte (dit is T afhankelijk)
Sublimeren (G→S) Als de kinetische energie vd moleculen klein genoeg is en de druk uitgeoefend hoog genoeg is kan het zijn dat de gasmoleculen terug de vaste toestand aannemen zonder eerste de vloeistoffaze te passeren. Toestandsoppervlak
Toestandsoppervlak voor stof die uitzet bij smelten
Stijn Vandelanotte
Toestandsoppervlak voo stof die krimpt bij smelten.
-20-
Fysica II
Fysica Toepassingen Vaccuum koelen – vaccuum vriezen Wat? Manier om water uit materiaal te verwijderen zonder warmte toe te voegen. ⇒ de structuur vh materiaal blijft intact. Voedsel blijft langer intact als er water is uit verwijderd Voedsel weegt minder als er water is uit verwijderd Werking? Vaccuum koelen Druk ↓ → onder verzadigde damplijn → water verdampt → Q die hiervoor nodig is wordt onttrokken uit het materiaal zelf. → T ↓ Werking? Vaccuum vriezen T ↓ → water vervriesd → P↓ → onder tripelpunt van water → water zal sublimeren en uit het materiaal verdwijnen.
Toestel van Watt - Distilleren De vloeistof gaan van links naar rechts omdat P2max < P1max ↔ T1 > T2
Relatieve vochtigheid – hygrometrie Lucht bevat een bepaalde max. volume waterdamp voor elke temperatuur. (meestal bevat lucht minder waterdamp dan max. mogelijk is!) Bevat de lucht wel de max. volume waterdamp bij een temperatuur dan is deze overzadigd met damp. e = md/mmax = hoeveelheid waterdamp in de lucht / max. hoeveelheid waterdamp in de lucht bij die temperatuur e = pd/pmax = dampdruk vd waterdamp / max. dampdruk vd waterdamp. ⇒ De relatieve vochtigheidsgraad is afk. v T Bepaling v/e via dauwpuntsbepaling Werking? Bepaal T waarbij er condensatie zou optreden in het beschouwde lucht damp mengsel ⇒ dit door meten van natteboltemperatuur → 2 thermometers in een luchtstroom (min. 5m/s) → ½ wordt kwikreservoir omgeven door een katoenen kousje →verbonden via katoenen draad met een waterreservoir Verdampen van water → Q ndg → ontrokken uit kwikreservoir → kwik koelt af → Tkousje < Tomgeving → Q: omgeving → kousje → Dt → Tkousje waarbij warmte stroom vd lucht naar kousje = warmte nodig voor de verdamping vh vocht in het kousje. Deze evenwicht T= nattebol T Besluiten: Hoe droger de lucht → hoe meer water er zal verdampen → natte boltemperatuur zal lager stabiliseren. → DT is maat voor vochtigheid
e=
Stijn Vandelanotte
pd p = max 2 e p max p max 1
-21-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 4: Ideale gassen – reële gassen Druk uitgeoefend door een gas = een gas (en damp) bestaat uit moleculen die door elkaar bewegen, met elkaar botsen en botsen met de wanden die hen omgeven. Na een botsing met de wand, verandert de impuls p^
r ∆pr ⇒ 2 wet van Newton: F = ∆t e
Botsingen ⇒ Kracht op wand ⇒ druk op wand Snelheid van alle moleculen is niet gelijk o Wel een bepaalde snelheidsverdeling of snelheidsdistributie o Snelheidsdistributie gekend ⇒ impuls verandering vd moleculen na botsingen met de wand berekenen Gevolg: men kan dan ook de kracht en de druk op de wanden berekenen.
Ideaal gas Definitie van een ideaal gas Kenmerken o Moleculen bevinden zich ver van elkaar o Geen krachten op elkaar uitoefenen o Verwaarloosbare afmetingen o Willekeurige bewegingen
mv y2 mv z2 mv X2 = = 2 2 2
Beste reeele gassen? o Edelgassen o Verdunde gassen ⇒ Concentratie laag !
Druk uitgeoefend door een ideaal gas Snelheden verdeeld volgens maxwell boltzmann distributie
f (v) = Av ² e
−
mv ² 2 kT
hierbij is A =
4πN (
m 3/ 2 ) 2πkT
Hierbij is
N = aantal moleculen M = massa van een molecule k = constante van boltzmann = 1,381.10^-23 ⇒ Aantal moleculen met een snelheid tussen v en v+dv wordt gegeven door dn = f(v) dv OPM: hoe hoger de T , hoe meer moleculen met een hoger snelheid Afleidingen uit de curve
o
o
p=
N .m.v ² 3V
N aantal moleculen V volume v²^ = gemiddelde voor het kwadraat vd snelheden = gemiddeld kwadratische snelheid Q toevoegen → microscopische Ek ↑ → gem. microscopische Ek → T ↑ ↔ T is maat voor gem. Ek
1 3 mv ² = kT ..... ⇒ p = NkT / V en vervangen we N door n.Na ⇒ pV = nNAkT 2 2
pV = nRT
(ideale gaswet)
Mengsel van ideale gassen – wet van Dalton n = n1 + n 2 + n3 pV p1V p 2V p 3V = + + RT RT RT RT ⇒ p = p1 + p 2 + p 3 ⇒
Stijn Vandelanotte
-22-
Fysica II
Fysica Inwendige energie van een ideaal gas Inwendige energie U v/e ideaal gas bestaat enkel uit microscopisch kinetische energie , omdat er geen cohesie krachten! ⇒ U = f .N . k . T / 2 Hierbij is f het aantal vrijheidsgraden van een molecule = aantal wijzen waarop men de EkTOT kan verdelen 1 atomige moleculen: 3 richtingen ⇒ f = 3 o Enkel translatie kinetische energie Di atomige moleculen: 5 richtingen ⇒ f = 5 o Translatie kinetische energie en rotatie kinetische energie (x,y,z, links rechts draaien)
Soortelijke warmte van een ideaal gas Q toevoegen → T ↑ → 2 mogelijkheden: p = cte of V = cte Wil men beide gevallen eenzelfde temperatuursstijging bekomen, moet men meer Q toevoegen in het geval van constante druk dan in het geval van constant volume. Omdat ook arbeid geleverd moet worden om het volume van het gas te doen toenemen. Definitie: warmte nodig om temperatuur om 1 mol van een stof met 1 graad te laten stijgen OPM: bij gassen maken we een onderscheid tussen molaire soortelijke warmte bij cte volume en cte druk o Molaire warmte bij constant volumed 1ste hoofdwet → dQ = dU + dW Ideaal gas (enkel pV arbeid) → dQ = dU + pdV Mits er een cte volume is → dQ = dU
1 dQ 1 dU c = n dT V n dT Toon aan: voor een 1-atomig gas is Cv = 3R/2 CV =
o
1 dQ 1 dU 1 dT .k .N 1 dT .R.n = f = f = 3R / 2 = n dT V n dT n dT .2 n dT .2 Molaire warmte bij constante druk Definitie van enthalpie → dH = dU + pdV + Vdp Mits er een cte druk is → dH = du + pdV Uit voorgaande … → dH = dQ
o
1 dQ 1 dH = n dT p n dT Verband tussen Cv en Cp P dV = n R dT en ⇒ C p = 1 dQ = Cv + R n dT p
CV =
C p=
dQ = du + p dV = n Cv dT + p dV
Adiabatische toestandsverandering van een ideaal gas Adiabatisch proces = proces waarbij geen warmte wordt uigewisseld met omgeving ⇒ dQ = 0 pVγ = cte met γ = Cp/Cv Bewijsje … 1ste hoofdwet →dU = -dW = - p dV Definitie van Cv → dU = n Cv dT Ideale gaswet na differentiatie → n . Cv . dT + p . dV = 0 Eliminatie van dT → p..dV ( R + Cv ) + V ..dp..CV = 0 nR.Cv Verband Cv en Cp →p dV Cp + V dp Cv = 0 Delen door p. V. Cv → γ dV + dp = 0 V p Integreren: → γ ln(V) + ln (p) = cte Besluit: pVγ = cte
Stijn Vandelanotte
-23-
Fysica II
Fysica Berekening van ∆U, Q en W bij processen van een ideaal gas – grafische voorstelling Isotherm proces (T = cte) Ideaal gas → U enkel afh.van T en als T niet verandert ⇒ ∆U = 0 Arbeid geleverd door het gas, via definitie van pV arbeid
⇒W=
∫ pdV = nRT = ∫ dV / V = nRT ln(V 2 / V 1)
⇒W=Q Isobaar proces (p = cte) Geleverde arbeid? W = p (V2- V1) Definitie van Cp ⇒ Q = n. Cp (T2-T1) 1ste hoofdwet: ⇒∆U = n Cp (T2-T1) – p (V2-V1) = Q - W Isochoor proces (V=cte) Geleverde arbeid? Geen uitzetting → geen arbeid W=0 Definitie van Cv ⇒ Q = n. Cv (T2-T1) 1ste hoofdwet: ⇒ ∆U = Q Adiabatisch proces (dQ = 0) Geleverde arbeid? W = ∫p dV Met: pVγ=cte = p1V1=p2V2 ⇒ W = ∫ Cte . V-γ dV =
1 1 ( p2 .V2 − p1.V1 (Cte..V 21−γ − Cte..V11−γ )) ⇒ W = 1− γ 1− γ
Bewijsje: Rekening houdend met pV = nRT en de definitie van γ ⇒ Met P1V1=n R T1
en
P2V2=n R T2
⇒
W=
nR (T2 − .T1 ) 1− γ
Met γ = Cp/Cv ⇒ Cp = Cv + R ⇒ R = -Cv + Cv * γ = -Cv (1-γ) ⇒ R / ( 1- γ) = - Cv ⇒W = - n. Cv (T2- T1) Q=0 ∆U = - W
Polyprotische toestandsverandering van een ideaal gas Zuivere processen bestaand zelden. Men kan de toestandsveranderingen beschrijven met volgende wetmatigheid: pVK = cte Speciale gevallen van de polytropische toestandsveranderingen K = γ → adiabatisch proces K = 0 → isochoor proces K = 1 → isotherm proces K = ∞ → isobaar proces ( pV = cte ⇔ Geleverde arbeid? W = ∫p dV Met: pVK=cte = p1V1=p2V2 K
⇒ W = ∫ Cte . V-K dV =
p 1 / K V = cte1 / K met K → ∞ ⇒ V = Cte )
1 1 (Cte..V 21− K − Cte..V11− K ) ⇒ W = ( p2 .V2 − p1.V1 ) 1− K 1− K
C = molaire soortelijke warmte bij een polytropisch proces
C=
1 dQ 1 dQ 1 dQ ...Cp = ...Cv = n dT Polyt n dT P n dT V p 2V 2 p1V1 1 − Κ = − .C.W RT1 R RT2
⇒ Q = n C (T2- T1) ⇒ Q = n.C
Stijn Vandelanotte
-24-
Fysica II
Fysica Reeel gas
Moleculen met niet te verwaarlozen afmetingen Intermoleculaire krachten niet verwaarloosbaar
Toestandsvergelijking van een reëel gas – van der Waals vergelijking nRT Ideaal gas: V = p Reeel gas: Vexp = ? Het eenvoudigste verband tussen V, P, T voor reële gassen wordt weergegeven door de vanderwaals vergelijking n² 3 V met : a = pkVK en : b = k p + a .(V − nb) = nRT n² n..3 V² Hierbij corrigeert b het feit dat de moleculen een eigenvolume bezitten ⇒ het beschikbare volume ↓ a het feit dat de moleculen onderlinge attractie krachten bezitten ⇒ druk op wanden ↑
Grafische voorstelling van de Van der Waals vergelijking Bij hoge volumes / mol en voor lage temperaturen zijn b en a te verwaarlozen OPM: de vergelijking mag enkel gebruikt worden bij gassen, want: Neemt men de curve tussen A en B, zou deze moeten vervangen worden door een recht, dit betekent dat de VDW vgl niet in staat is het verzadigd vloeistof – damp mengsel op correcte wijze te beschrijven. OPM: Als men in de buurt zit van een kritisch punt van een gas, dan moet men de VDW vgl gebruiken omdat de afwijkingen dan te groot zijn
Arbeid bij processen v/e reëel gas Bij berekeningen altijd gebruik maken van p,V grafiek. Uit de definitie van pV arbeid volgt dat Wtot = oppervlakte onder de kromme in de pV grafiek. pV grafiek: o 3 gebieden onderscheidbaar Onverzadigde damp Verzadigd vloeistof – damp mengsel Vloeibare fase ⇒ Totale arbeid berekenen door de arbeid van elk gebied vd kromme te berekenen. Voor de onverzadigde damp gebruiken we de ideale gaswet, tenzij we in de buurt zitten van pK
Warmte bij processen met een reëel gas 1ste hoofdwet van pV arbeid: dQ = du + p dV Def. Van enthalpie: dH = du + p dV + V dp ⇒ dQ = dH – Vdp a) isobaar proces dQ = dH ⇒ Q = ∆H b) isotherm proces Gebied van onverzadigde damp: Q = W Gebiede van verzadigd damp – vloeistof mengsel: Q = ∆H o Omdat in dit gebied isothermen ook isobaren zijn. Zolang we een VVDM hebben is p = psat = cte c) ischoor proces Q = ∆H – Vdp OPM: Voor enthalpie in het VVDM gebied geldt: H = mLhL+ mGhG o Met hL en hG de soortelijke enthalpie vd vloeibare en gasvormige fase Voor enthalpie in het onverzadigde damp gebied geldt: H = m.h Enthalpie en inwendige energie zijn relatieve grootheden, omdat ze een bedrage hebben van Ep vd moleculen. Voor men een waarde kan toekennen aan H en U dient men eerst een nulpunt te kiezen. Meestal kiest men hiervoor het trippelpunt waar men hL = 0
Stijn Vandelanotte
-25-
Fysica II
Fysica
Hoofdstuk 5: Kringprocessen – Tweede hoofdwet Kringproces = proces waarbij een systeem toestandsveranderingen ondergaat en uiteindelijk naar z’n oorspronkelijke toestand terugkeert.
b
W =
∫ p.dV a
∆U
a
WA→ B > 0 ⇔ Wijzerzin ⇒ Q > 0 A → B < 0 ⇔ Tegenwijzerzin ⇒ Q < 0
∫ p.dV W
= ∆U (1) + ∆U ( 2)
W =
= (U B − U A ) + (U A − U B )
W = W(1) + W( 2)
a
⇒ Systeem dat een kringproces doorloopt in wijzerzin neemt warmte op ⇒ Systeem dat een kringproces doorloopt in tegenwijzerzin geeft warmte af
Warmtemachine Mechanische arbeid / energie kan men omzetten in warmte ⇒ bv door roeren in beker water Het omgekeerde proces: warmte omzetten energie gebeurt nooit vanzelf , hiervoor hebben we speciale toestellen voor nodig … warmtemachines. Werking: o Een warmtemachine zet warmte om in arbeid tijdens een kringproces. Aan een warmtemachine voegt men warmte toe afkomstig van een thermisch reservoir op een hoge temperatuur. Deze warmte wordt omgezet in arbeid en als warmte afgegeven aan een reservoir op lage temperatuur Rendement van een warmtemachine / Thermische coëfficiënt o ηth = verkregen output / nodige input o ηth = W / QH Daaruit kan men besluiten dat een warmte machine een kringproces doorloopt in wijzerzin
Koelmachine – Warmtepomp Normaal: warmte stroomt van lichaam met hoge temperatuur naar lichaam met lage temperatuur Omgekeerde? Mogelijk via koelmachine Doel/werking Koelmachine o Een thermisch reservoir op lage temperatuur houden door warmte er aan te ontrekken de gewenste output is dus warmte opnemen bij lage temperatuur Rendement van een koelmachine / performatantie pf o Pf = QL/ |W| Kringproces van koelmachine wordt in tegenwijzerzin doorlopen Doel/werking Warmtepomp o Een thermisch reservoir op hoge temperatuur houden door warmte toe te voegen afkomstig van een thermisch reservoir op lage temperatuur. Rendement van een warmtepomp / performantie pf o Pf = Qh / |W| Kringproces van een warmtemachine wordt in tegenwijzerzin doorlopen
Stijn Vandelanotte
-26-
Fysica II
Fysica De carnot – cyclus voor een ideaal gas = voorbeeld van Kringproces doorlopen in wijzerzin (⇒Q > 0 < W ) = 2 adiabatische + 2 isothermische omkeerbare toestandsveranderingen 1. A→B: isotherme compressie bij lage T van toestand A naar B ∆U1 = 0 Q1 = W1 = n R TL ln (VB/VA) <0 2. B →C: adiabatische compressie van toestand B naar C Q2 = 0 W2 = - ∆U2 = - n.Cv (TH – TL) <0 3. C → D: iostherme expansie bij hogte T van toestand C naar D ∆U3 = 0 Q3 = W3 = n R TH ln (VD/VC) >0 4. D → A: adiabatische expansie van toestand D naar B Q4 = 0 W4 = - ∆U4 = - n.Cv (TL – TH) >0 Hierbij wordt dus warmte omgezet in arbeid ⇒ warmtemachine Thermische efficiëntie hierbij is
n th =
W + W 4 + W 3 + W 2 Q1 + W 4 ( = 0) + Q 3 + W 2 ( = 0) W = 1 = QH Q H = Q3 Q3
n th =
Q1 + Q 3 Q1 = +1 Q3 Q3
Vb ln V V Va + 1....waarbij B = C V V Vd D A ln Vc T ⇒ n th = 1 − L TH T n th = L . TH
De inverse Carnot-cyclus voor een ideaalgas
pf = Q4 / W1 + W2 + W3 + W4
1. A → D: adiabatische compressie van toestand A naar D Q1 = 0 W1 = - ∆U1 = - n . Cv (TH – TL) <0 2. D → C: isotherme compressie van toestand D naar C ∆U2 = 0 W2 = Q2 = n . R TH . ln (Vc/VD) < 0 3. C → B: adiabatische expansei van toestand C naar B Q3 = 0 W3 = - ∆U3 = - n . Cv (TL – TH) >0 4. B → A: isotherme expansie van toestand B naar A ∆U4 = 0 W4 = Q4 = n . R TH . ln (VA/VB) > 0 Hierbij wordt warmte toegevoegd aan het systeem bij lage temperatuur en het systeem geeft warmte af bij hoge temperatuur ⇒ Koelmachine / warmte pomp ⇒ performantie hierbij is? pf = Q2 / W1 + W2 + W3 + W4
pf = Q4 / W2 + W4
pf = W2 / W2 + W4
1 / pf = W2 + W4 / W4 = 1 + W2 / W4
1 / pf = W2 + W4 / W2 = 1 + W4 / W2
1 / pf = 1 +
TH ln(Vc / Vd ) Va Vd ...waarbij = TL ln(Va / Vb Vb Vc
1 / pf = 1 +
1 / pf = 1 − TH / TL pf k =
1 / pf = 1 − TL / TH
TL TH − TL
Stijn Vandelanotte
TL ln(Va / Vb) Va Vd ...waarbij = TH ln(Vc / Vd Vb Vc
pf w =
-27-
TH TH − TL
Fysica II
Fysica Tweede hoofdwet vd Thermodynamica Thermisch proces o Spontaan warmte v. reservoir met hoge temperatuur naar reservoir met lagere temperatuur Omgekeerd o Niet spontaan, uitwendige arbeid nodig (zie koelmachine, warmtepomp) o Niet alle thermische energie in arbeid om te zetten (zie warmte machine) Eerste hoofdwet o Behoud v. energie, maar zegt niet over richting thermische processen 2e hoofdwet: o Zegt iets over richting thermische processen o Niet alle thermische energie is bruikbaar ⇒ thermische energie heeft “kwaliteit” o Volgens Kelvin-Planck Ieder systeem dat een kringproces ondergaat en in contact is met slechts 1 waterreservoir, kan onmogelijk warmte uit dit reservoir omzetten in arbeid o Volgens Clausius Een systeem dat een kringproces ondergaat en enkel warmte v/e reservoir op lage temperatuur naar een reservoir op hoge temperatuur transporteert kan niet bestaan zonder toegevoegde arbeid. OPM: ieder proces in de natuur is onderhevig aan deze 2 hoofdwetten, een toestel dat in tegenspraak is hiermee noemt men een perpetuum mobile. (1e en 2e soort mogelijk)
Entropie Geen energieverlies, maar kan geen warmtemachine doen draaien!. → “Kwaliteitsverlies” v. energie
Kwaliteit v. energie wordt bepaald door S dS = dQ / T met dQ warmte uitgewisseld bij temperatuur T Kringproces
o
∆S =
∫ dQ / T =m.c ∫ dT / T = 0
Ander proces 2
o
∆S =
∫ dQ / T = 1
m.c.∆T T
Als de entropie v/e systeem toeneemt met ∆S wordt een hoeveelheid energie E niet beschikbaar meer beschikbaar voor W. o E = Tmin. ∆S (met Tmin de kleinste temperatuur beschikbaar voor het systeem)
Stijn Vandelanotte
-28-
Fysica II
