4.2.15
Funkce kotangens
Předpoklady: 4214 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
B c
a
A
C b Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá • tgα = = , b přilehlá b přilehlá • cotgα = = . a protilehlá Definici kotangens všechna x ∈ R nemůže vycházet z pravoúhlého trojúhelníku. cos x Máme definovány funkce sin x a cos x pro všechna x ∈ R a vzorec cotg x = ⇒ sin x použijeme jej jako definiční vztah: Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem cotg x =
cos x . Tuto funkci sin x
značíme cotg x . Poznámka: Většina světa používá pro funkci kotangens označení cot x . Př. 1:
Urči definiční obor funkce y = cotg x .
cos x . Ve vztahu se dělí ⇒ nesmíme dělit nulou, sin x další problémové operace se v ní nevyskytují, obě funkce sin x i cos x jsou definovány pro všechna x ∈ R . Kdy je sin x = 0 ? Hodnota funkce y = sin x je dána jako y-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici. Vyjdeme z definičního vztahu cotg x =
1
1 cos(x)
T sin(x) R
sin(x) x cos(x)
S
-1
1
-1 Z obrázku je vidět, bod T bude mít nulovou y-vou souřadnici, pokud bude ležet na ose x. 1
x2
T
TR 1
S
-1
-1 V intervalu 0; 2π ) jde o čísla x1 = 0 a x2 = π .
Pokud zohledníme, že funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou 2π . Jde o dvě množiny čísel:
∪ {0 + k ⋅ 2π } a ∪ {π + k ⋅ 2π } .
k∈Z
k∈Z
0
Stejně jako v předchozí kapitole jsou jednotlivá vyřazená čísla x rovnoměrně rozmístěna po ose a jsou od sebe vzdálena o násobky π . Všechna vyřazená čísla bychom získali tak, že bychom se z bodu 0 posouvali o násobky π . ∪ {0 + k ⋅ 2π } + ∪ {π + k ⋅ 2π } = ∪ {kπ } k∈Z
k∈Z
k∈Z
⇒ Funkce kotangens je definována pro všechna čísla R − ∪ {kπ } . k∈Z
2
Př. 2:
Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = cos x . Pomocí nakreslených grafu odhadni tvar grafu funkce y = cotg x .
1
-1
•
V bodech, ve kterých graf funkce y = sin x protíná osu x, nebude mít funkce y = cotg x žádnou hodnotu (nulou nelze dělit).
1
-1
Funkce y = cotg x je definována jako y = cotg x =
cos x podíl dvou funkcí. Modrou křivku sin x
budeme v grafu dělit zelenou. • •
V bodě x =
π
je hodnota funkce y = cotg x rovna
0 = 0. 1
2 π V intervalu 0; dělíme hodnoty cos x , nejdříve velmi malými čísly, poté čísly, 2 která se zvětšují k jedničce. Pro x blížící se 0 budeme dělit velmi malými čísly. Pro x 3
blížící se k 0 se hodnoty budou blížit nekonečnu, pro x blížící se k
π 2
se hodnoty
budou blížit k nule.
1
-1
•
π Zkoumáme interval ; π . Dělíme hodnoty cos x (záporná čísla), nejdříve čísly 2 blízkými 1, poté čísly, která se zmenšují. Pro x blížící se π budeme dělit velmi malými kladnými čísly. Získané hodnoty budou vždy menší než hodnoty sin x (jsou to záporná čísla, jejich absolutní hodnota naopak poroste), pro menší čísla x se budou lišit více. Pro x blížící se k π se hodnoty budou blížit mínus nekonečnu.
1
-1
•
3 V intervalu π ; π nejdříve dělíme hodnoty cos x blížící se -1 zápornými čísly, 2 která se zmenšují od nuly k –1. Hodnoty podílu se na začátku intervalu blíží k
4
nekonečnu, pak se postupně zmenšují, až se dostanou k nule. Průběh funkce je π podobný jako v intervalu 0; . 2
1
-1
•
3π V intervalu ; 2π dělíme kladnou hodnotu cos x záporným číslem sin x , výsledek 2 tedy bude záporný. Hodnoty cos x se zvětšují od 0 k 1. Hodnota sin x se zvětšuje od – 1 k nule. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k nule, pak postupně klesá k π mínus nekonečnu. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ; π . 2
1
-1
•
Hodnoty v dalších intervalech můžeme zkopírovat z již nakreslené části grafu, protože funkce y = sin x a y = cos x jsou periodické s nejmenší periodou 2π a výsledek jejich dělení se musí opakovat se stejnou periodou.
5
1
-1
Př. 3:
V tabulce hodnot goniometrických funkcí doplň hodnoty pro kotangens.
Úhel [°]
0
Úhel [rad]
0
sin ( x )
0
cos ( x )
1
tg ( x )
0
30
45
60
90
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2 2 2
3 3 2 1 2
2
1
3
3 2 3 3
cotg ( x )
3
Úhel [°]
180
Úhel [rad]
π
sin ( x )
0
cos ( x )
-1
tg ( x )
0
cotg ( x )
210 7 π 6 1 − 2 −
3 2 3 3 3
1 225 5 π 4 2 − 2 2 − 2
3 3 240 4 π 3 3 − 2 1 − 2
1
3
1
3 3
1 0
0 270 3 π 2 -1 0
0
6
120 2 π 3 3 2 1 − 2
135 3 π 4 2 2 2 − 2
− 3
-1
150 5 π 6 1 2 3 2 3 − 3 −
3 3 300 5 π 3 3 − 2 1 2
-1
− 3
315 7 π 4 2 − 2 2 2
330 11 π 6 1 − 2
− 3
-1
3 3
-1
−
−
3 2 3 − 3 − 3
180
π 0 -1 0
360 2π 0 1 0
Př. 4:
Zakresli hodnoty spočtené v tabulce do odhadnutého grafu funkce y = cotg x a ověř tak správnost odhadu.
1
-1
Tabulkové hodnoty potvrzují odhadnutý tvar grafu.
Př. 5:
Z grafu funkce y = cotg x urči její vlastnosti.
D ( f ) = R − ∪ {0 + kπ }
Periodická s nejmenší periodou π .
k∈Z
H(f)=R Není omezená ⇒ nemá maximum ani minimum. Lichá. Klesající v intervalu ( 0; π ) , dále pak v intervalu (π ; 2π ) , …, tedy ve všech intervalech
( 0 + kπ ; π + kπ ) .
π Kladné hodnoty v intervalech 0 + k ⋅ π ; + k ⋅ π . 2 π Záporné hodnoty v intervalech + k ⋅ π ; π + k ⋅ π . 2 Př. 6:
Dokaž pomocí její definice, že funkce y = cotg x je lichá.
Potřebujeme cotg ( − x ) = − cotg ( x ) .
cotg ( − x ) =
cos ( − x )
sin ( − x ) Použijeme vlastnosti goniometrických funkcí: • sinus je lichý: sin ( − x ) = − sin ( x ) , •
cosinus je sudý: cos ( − x ) = cos ( x ) .
7
cotg ( − x ) =
Př. 7:
cos ( − x ) sin ( − x )
=
cos ( x )
− sin ( x )
= − cotg ( x )
Najdi zobrazení hodnot funkce y = cotg x v jednotkové kružnici.
cos x . sin x Upravíme výraz tak, abychom mohli použít poměr stran u podobných trojúhelníků: cotg x cos x = . 1 si n x Zelený trojúhelník už známe, červený trojúhelník musí být podobný zelenému a jeho kratší (svislá) odvěsna musí mít délku 1 ⇒ trojúhelník získáme, když v bodě [ 0;1] sestrojíme vodorovnou přímku a necháme ji protnout s koncovým ramenem úhlu x. Vodorovná odvěsna má délku cotg x . cotg(x) 1 Definice: cotg x =
cos(x)
T
sin(x) x -1
S
R 1
-1
8
Př. 8:
Pomocí znázornění funkce y = cotg x na jednotkové kružnici zdůvodni, proč je π v intervalu 0; funkce y = cotg x klesající. 2
cotg(x)
1
T
x -1
S
R 1
-1 Z obrázku je zřejmé, že při zvětšování úhlu x se zmenšuje hodnota cotg x . V tomto okamžiku můžeme s klidem prohlásit naše grafy za správné. Graf funkce y = cotg x vypadá takto:
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
9
Správnost grafu můžeme ověřit i pomocí počítačového programu: Nakresleny jsou grafy funkcí y = cotg x , y = sin x , y = cos x
Nebo dynamickým modelem jednotkové kružnice.
Př. 9:
Vytvoř tabulku se dvěma sloupci, ve které porovnáš vlastnosti funkcí y = tg x a y = cotg x . y = tg x
y = cotg x
4 4
3 3
2
2
1
1
-1
-1 -2
-2
-3
-3 -4
-4
π D ( f ) = R − ∪ + kπ k∈Z 2 periodická s nejmenší periodou π H(f)=R
periodická s nejmenší periodou π H(f)=R
není omezená
není omezená
D ( f ) = R − ∪ {0 + kπ } k∈Z
10
nemá maximum ani minimum lichá π π rostoucí v intervalu − + kπ ; + kπ 2 2
nemá maximum ani minimum lichá klesající v intervalu ( 0 + kπ ; π + kπ )
Př. 10: Petáková: strana 43/cvičení 28 g3 , g5 , g 7
Shrnutí: Funkce kotangens je definována jako podíl y = cotg x = periodu π a definiční obor D ( f ) = R − ∪ {0 + kπ } . k∈Z
11
cos x . Má nejmenší sin x
