FUNKCE
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2010
2
Funkce
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Funkce
3
Obsah Funkce a jejich vlastnosti ........................................................................................................... 7 Pojem funkce, graf ................................................................................................................. 7 Vlastnosti funkcí .................................................................................................................. 10 Funkce a jejich vlastnosti ................................................................................................. 12 Varianta A ........................................................................................................................ 12 Funkce a jejich vlastnosti ................................................................................................. 14 Varianta B ........................................................................................................................ 14 Funkce a jejich vlastnosti ................................................................................................. 16 Varianta C ........................................................................................................................ 16 Lineární funkce ........................................................................................................................ 20 Definice, graf, vlastnosti ...................................................................................................... 20 Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 22 Varianta A ........................................................................................................................ 22 Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 23 Varianta B ........................................................................................................................ 23 Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 26 Varianta C ........................................................................................................................ 26 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. ................................................. 28 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. ............................................. 29 Varianta A ........................................................................................................................ 29 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. ............................................. 31 Varianta B ........................................................................................................................ 31 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. ............................................. 35 Varianta C ........................................................................................................................ 35 Kvadratická funkce .................................................................................................................. 38 Definice, graf, vlastnosti ...................................................................................................... 38
4
Funkce
Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 39 Varianta A ........................................................................................................................ 39 Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 41 Varianta B ........................................................................................................................ 41 Definice, graf, vlastnosti .................................................................................................. 45 Varianta C ........................................................................................................................ 45 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou............................................................................................................. 48 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. ............................................................................................ 49 Varianta A ........................................................................................................................ 49 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. ............................................................................................ 51 Varianta B ........................................................................................................................ 51 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. ............................................................................................ 54 Varianta C ........................................................................................................................ 54 Lineární lomené funkce ............................................................................................................ 57 Lineární lomené funkce .................................................................................................... 58 Varianta A ........................................................................................................................ 58 Lineární lomené funkce .................................................................................................... 62 Varianta B ........................................................................................................................ 62 Lineární lomené funkce .................................................................................................... 65 Varianta C ........................................................................................................................ 65 Mocninné funkce ...................................................................................................................... 69 Mocninné funkce s přirozeným exponentem ....................................................................... 69 Mocninné funkce s celým záporným exponentem ............................................................... 70
Funkce
5
Mocninné funkce .............................................................................................................. 71 Varianta A ........................................................................................................................ 71 Mocninné funkce .............................................................................................................. 75 Varianta B ........................................................................................................................ 75 Mocninné funkce .............................................................................................................. 78 Varianta C ........................................................................................................................ 78 Mocniny a odmocniny .............................................................................................................. 83 N-tá mocnina ........................................................................................................................ 83 N-tá odmocnina .................................................................................................................... 84 Mocniny s racionálním exponentem .................................................................................... 87 Mocniny s iracionálním exponentem ................................................................................... 88 Mocniny a odmocniny ...................................................................................................... 89 Varianta A ........................................................................................................................ 89 Mocniny a odmocniny ...................................................................................................... 91 Varianta B ........................................................................................................................ 91 Mocniny a odmocniny ...................................................................................................... 93 Varianta C ........................................................................................................................ 93 Exponenciální funkce ............................................................................................................... 95 Exponenciální funkce ....................................................................................................... 96 Varianta A ........................................................................................................................ 96 Exponenciální funkce ....................................................................................................... 99 Varianta B ........................................................................................................................ 99 Exponenciální funkce ..................................................................................................... 102 Varianta C ...................................................................................................................... 102 Logaritmická funkce .......................................................................................................... 105 Logaritmus ......................................................................................................................... 106 Přirozená exponenciální funkce a logaritmus .................................................................... 107
6
Funkce
Logaritmická funkce a logaritmus.................................................................................. 108 Varianta A ...................................................................................................................... 108 Logaritmická funkce a logaritmus.................................................................................. 111 Varianta B ...................................................................................................................... 111 Logaritmická funkce a logaritmus.................................................................................. 113 Varianta C ...................................................................................................................... 113 Logaritmické a exponenciální rovnice ................................................................................... 116 Logaritmické a exponenciální rovnice ........................................................................... 117 Varianta A ...................................................................................................................... 117 Logaritmické a exponenciální rovnice ........................................................................... 118 Varianta B ...................................................................................................................... 118 Logaritmické a exponenciální rovnice ........................................................................... 120 Varianta C ...................................................................................................................... 120
Funkce
7
Funkce a jejich vlastnosti Pojem funkce, graf Definice: Funkce na množině
je předpis (přiřazení), který každému číslu z množiny
právě jedno reálné číslo. Množina
přiřazuje
se nazývá definiční obor funkce.
Již z dřívějška znáte pojem zobrazení: Zobrazení množiny každému prvku jednoznačně přiřadí nějaký prvek
do množiny .
je předpis, který
Označení funkcí- , , … Zápis- : Např.: :
2 nebo
2
… funkční hodnota funkce v čísle
nebo hodnota funkce v čísle
… nezávislá proměnná … závislá proměnná Definiční obor funkce je množina všech hodnot Obor hodnot funkce je množina všech z definičního oboru funkce tak, že
ozn.
nebo
.
, ke kterým existuje aspoň jedno . Obor hodnot značíme nebo
.
Graf funkce: Graf funkce ve zvolené soustavě souřadnic v rovině je množina všech bodů , , kde patří do definičního oboru funkce .
Způsoby zadání funkce: K zadání funkce je třeba stanovit (zvolit): 1.) Definiční obor funkce 2.) Funkční předpis, tj. pravidlo (formulované slovně nebo častěji pomocí matematických symbolů), podle kterého je ke každému číslu přiřazena jednoznačně funkční hodnota .
Funkce
8
Podle formy funkčního předpisu rozlišujeme tyto základní způsoby zadání funkce : a) Analytické zadání- funkční předpis je dán vzorcem, tj. rovnicí tvaru , kde je výraz s proměnnou , např. 2, 1 apod., anebo několika takovými rovnicemi platnými pro různé části definičního oboru funkce. Tento způsob zadání bývá nejčastější. b) Grafické zadání- funkční předpis je dán grafem funkce. c) Zadání výčtem (tabelární zadání)- funkční předpis je určen výčtem (zpravidla tabulkou) všech uspořádaných dvojic , hodnot argumentu a příslušných funkčních hodnot . Takový způsob zadání funkce lze ovšem použít jen pro funkce, jejichž definičním oborem je konečná množina. Výčtem funkčních hodnot lze zadat funkci, jejímž oborem funkčních hodnot je konečná množina.
Maximální definiční obor funkce: Je-li funkce dána rovnicí , pak maximálním definičním oborem se rozumí množina takových všech reálných čísel , pro něž má výraz smysl. Např.
,
\1
Rovnost funkcí: O dvou funkcích , říkáme, že jsou si rovny (píšeme ), právě když mají týž definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru je .
Funkce
9
Složená funkce: Protože funkce jsou zobrazení, můžeme je skládat. Pro dvojici skládaných funkcí , musí být ovšem splněny tyto předpoklady: Nechť funkce : má definiční obor , jemuž přísluší obor funkčních hodnot , a nechť funkce : má definiční obor takový, že platí . Z této podmínky plyne, že pro každé vytvořit funkci : s definičním oborem pro každé
je . Pak lze , jejíž funkční předpis je ;
tuto funkci nazýváme funkcí složenou z funkcí , (v uvedeném pořadí) a značíme ji . Funkci se říká vnější složka (funkce) a funkci vnitřní složka (funkce) složené funkce .
Příklad složené funkce: Funkci : s definičním oborem ∞; 1 lze pokládat za funkci složenou √1 z vnitřní funkce : 1 s definičním oborem ∞; 1 , jemuž přísluší obor funkčních hodnot 0, ∞ , a z vnější funkce : √ s definičním oborem 0; ∞ .
10
Funkce
Vlastnosti funkcí a) Definice: Funkce
se nazývá rostoucí, právě když pro všechna
,
platí: Je-li
, pak
,
platí: Je-li
, pak
. Funkce
se nazývá klesající, právě když pro všechna .
Je dána funkce , je interval (může být omezený či neomezený, uzavřený, polozavřený či otevřený), který je částí jejího definičního oboru( ). Funkce
se nazývá rostoucí v intervalu , právě když pro všechna , pak .
,
platí: Je-li
Funkce
se nazývá klesající v intervalu , právě když pro všechna , pak .
,
platí: Je-li
Funkce
se nazývá prostá, právě když pro všechna .
,
platí: Je-li
Je-li funkce rostoucí, pak je prostá. Je-li funkce klesající, pak je prostá. b) Funkce
se nazývá sudá, právě když zároveň platí:
1.) Pro každé 2.) Pro každé
je také je také
.
Graf sudé funkce je souměrný podle osy .
Funkce
se nazývá lichá, právě když zároveň platí:
1.) Pro každé 2.) Pro každé
je také je také
.
Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic
.
, pak
Funkce
11
c) Funkce
se nazývá zdola omezená, právě když existuje číslo je .
takové, že pro všechna
Funkce
se nazývá shora omezená, právě když existuje číslo je .
takové, že pro všechna
Funkce
se nazývá omezená, právě když je zdola omezená a zároveň shora omezená.
d) Říkáme, že funkce .
má v bodě
maximum, právě když pro všechna
je
Říkáme, že funkce .
má v bodě
minimum, právě když pro všechna
je
e) Inverzní funkce k prosté funkci
je funkce
, pro kterou platí:
1.) 2.) Každému
je přiřazeno právě to
, pro které je
Grafy funkcí a sestrojené v téže soustavě souřadnic na obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky .
.
se stejnou délkovou jednotkou
f) Funkce se nazývá periodická funkce, právě když existuje takové číslo platí následující podmínky: a) Je-li b) Číslo
0, že pro každé
, pak .
se nazývá perioda funkce .
Pokud v množině čísel, která jsou periodami funkce , existuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce .
12
Funkce
Funkce a jejich vlastnosti Varianta A Příklad: Zapište funkce na množině , které každému
přiřazují
a) jeho trojnásobek, b) jeho absolutní hodnotu zmenšenou o dvě, c) součet dvojnásobku jeho třetí mocniny a poloviny jeho druhé mocniny. Řešení: a)
3
b)
| |
c)
2
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
2
Funkce
13
Příklady k procvičení: 1) Zapište funkce, které vyjadřují závislost a) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce jeho odvěsny, b) obsahu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce jeho přepony. 2) Zapište funkce, které vyjadřují závislost: a) obvodu kruhu na jeho poloměru, b) obsahu kruhu na jeho poloměru. 3) Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je , délka jeho boční hrany je 0,5 . Zapište funkce udávající závislost a) součtu délek všech hran kvádru na , b) délky tělesové úhlopříčky na . 4) Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je , délka jeho boční hrany je 0,5 . Zapište funkce udávající závislost a) povrchu kvádru na , b) objemu kvádru na .
2
1.) a) 2) a)
2
√2 · , ;
0, b)
0, ∞ , b)
,
0
;
0, ∞
3.) a)
10 ;
0, ∞ , b)
1,5 ;
4.) a)
4
0, ∞ , b)
0,5
;
;
0, ∞ , 0, ∞
Funkce
14
Funkce a jejich vlastnosti Varianta B :
Příklad: Je dána funkce
.
a) Zapište její definiční obor pomocí sjednocení intervalů. 5 ,
b) Vypočítejte
11 .
c) Zjistěte, zda 3,5
;1
.
Řešení: ∞, 3
a) 5
b)
3, ∞ 11
,
c) 3,5 3,5
10,5
2,5
8,5 8,5 2,5
2
17 5
3,4
3,5 2 3
1 3 0
1
1
2
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Je dána funkce :
. b) zjistěte, zda 1
a) zapište definiční obor funkce 2) Je dána funkce :
. b) zjistěte, zda 0
a) zapište její definiční obor
3) Zapište definiční obory těchto funkcí pomocí intervalů a jejich sjednocení: a)
:
b)
:
4) Zapište definiční obory těchto funkcí pomocí intervalů a jejich sjednocení: a)
1.) a)
:
, b) 1
[Řešíme rovnici 4 2.) a)
b)
√
; [Řešíme rovnici 1 .]
, b) 0 ∞, 0
3.) a) b)
∞; 1,5
4.) a)
0, ∞ ,
b)
∞,
0, ∞ , 1,5; 5
, ∞
5, ∞
:
.] 4
.
; 4
15
16
Funkce
Funkce a jejich vlastnosti Varianta C | | a určete její vlastnosti.
Příklad: Sestrojte graf funkce : Řešení: 3
2 f ( x) 1
3
2
1
0
1
2
3
x
0, ∞
Graf funkce je souměrný dle osy . Funkce je sudá. V intervalu
∞, 0 je klesající.
V intervalu 0, ∞ je rostoucí. Je omezená zdola,
0.
Minimum je v bodě 0, jeho hodnota je 0.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce
Příklady k procvičení: |2
1) Sestrojte graf funkce :
1| a určete její vlastnosti.
4| | a určete její vlastnosti.
2) Sestrojte graf funkce : 3) Sestrojte graf funkce :
3 a určete její vlastnosti. 3·|
4) Sestrojte graf funkce :
|2
1.)
2| a určete její vlastnosti.
1| 3
2 f ( x) 1
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4| |
2.)
3
2
1
0 1 2
f ( x)
3 4 5 x
1
2
3
17
Funkce
18
3
3.)
5 4 3 2 1 f ( x)
5
4
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
2 3 4 5 x
3·|
4.)
2|
5 4 3 f ( x) 2 1
0
1
2 x
3
4
Funkce
19
Vlastnosti funkcí: Př. 1) , 0, ∞ , není sudá, není lichá,.v intervalu ∞, 0 je klesající, v intervalu 0, ∞ je rostoucí, je omezená zdola( 0 , minimum je v bodě 0, jeho hodnota je 0. Př. 2) , ∞, 0 , je sudá,.v intervalu ∞, 0 je rostoucí, v intervalu 0, ∞ je klesající, je omezená shora( 0 , maximum je v bodě 0, jeho hodnota je 0. Př. 3) , ∞, 3 , je sudá,.v intervalu ∞, 0 je rostoucí, v intervalu 0, ∞ je klesající, je omezená shora( 3 , maximum je v bodě 0, jeho hodnota je 3. Př. 4) , 0, ∞ , není sudá, není lichá,.v intervalu ∞, 2 je klesající, v intervalu 2, ∞ je rostoucí, je omezená zdola( 0 , minimum je v bodě 2, jeho hodnota je 0.
20
Funkce
Lineární funkce Definice, graf, vlastnosti
Lineární funkce je každá funkce na množině R (tj. funkce o definičním oboru R), která je dána ve tvaru
(1), kde a, b jsou reálná čísla. Speciálním případem lineárních
funkcí jsou funkce, pro něž je a=0, tj. funkce Pro lineární funkce dané vzorcem (1), v němž je
, které nazýváme konstantní funkce. 0, užíváme také název přímá úměrnost.
Grafem každé lineární funkce v soustavě souřadnic Oxy je přímka různoběžná s osou y. Jdeli speciálně o konstantní funkci, je jejím grafem přímka rovnoběžná s osou x; graf funkce přímá úměrnost prochází počátkem soustavy souřadnic. Platí také obráceně: Každá přímka různoběžná s osou y je grafem některé lineární funkce. K sestrojení grafu lineární funkce stačí tedy znát dva jeho různé body; k sestrojení grafu konstantní funkce dokonce pouze bod jediný.
Věta: Každá lineární funkce a) je rostoucí pro
0
b) je klesající pro
0
c) není prostá, je-li
0.
je
Funkce
Vlastnosti funkce 0 f ( x) := 1.5
0
f ( x) := x + 1 2
2
2
1.5
1.5
1
f ( x)
0.5 1
f ( x) := −x + 1
1.5 1
f ( x)
1
f ( x)
0.5 0
1
x
21
1
0.5 0
1
1
x
0
1
x
Oborem hodnot je {b}.
Oborem hodnot je R.
Oborem hodnot je R.
Není prostá, a tedy není
Je rostoucí.
Je klesající.
Není ani shora, ani
Není ani shora, ani zdola
zdola omezená.
omezená.
V každém x R má maximum
Nemá v žádném bodě
Nemá v žádném bodě ani
a minimum.
ani maximum,ani minimum. maximum, ani minimum.
ani rostoucí, ani klesající. Je omezená.
Funkce
22
Definice, graf, vlastnosti Varianta A Příklad: Vypočítejte hodnoty funkce : Řešení:
v bodech 0, 3, 5, 18.
0
2 0
3
3
3
2 3
3
3
2
5
3
5 18
2 18
3
13
33
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady: 1) Je dáno 1,0 ,
0, 1 . Napište rovnici funkce f, aby body A, B náležely grafu funkce f.
2) Uveďte tři body, které patří do grafu funkce: a)
1,5
3) Je dána funkce :
3
b) 3
1, x
2,1
3,3 . Které z bodů 0, 1 , 2,5 , 5,14 ,
6,8 ,
patří do grafu této funkce? 4) Pro lineární funci g platí:
1
1,
3,5
7. Vyjádřete ji předpisem
Výsledek řešení: 1
:
1
2) a) 0; 1,5 3
0; 1 2; 5
4
:
3,2
1; 1,5 1; 1,5 4,2
b) 0; 2,1 1; 5,1
2; 3,9
.
Funkce
23
Definice, graf, vlastnosti Varianta B Příklad: Zakreslete graf funkce : Řešení:
2
1.Určete její obor hodnot, je-li D(f)= (-2,6)
a)Určíme dva libovolné body grafu A, B 2 je
b)Určíme obor hodnot: pro 2.6
1
13
2.
2
1
3, pro
6 je
H(f)= (-3,13)
A[0,1], B[2,5] 5 4 3 2 1
f ( x) 4
3
2
11 0
1
2
3
4
2 3 4 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: 1) Načrtněte grafy funkcí a pak zapište jejich obory hodnot: a)
3
4,
4,10
b)
7
1,
0,6
c)
2
2,
4, 2 0,7
2) Načrtněte v téže soustavě souřadnic Oxy grafy funkcí
, pro
0; 3; 1,5; 1,5; 2. 3, pro
3) Načrtněte v téže soustavě souřadnic Oxy grafy funkcí 0; 2; 4; 1,4; 3. 4) Načrtněte grafy funkcí a pak zapište jejich obory hodnot a)
0,5
4,
4,2
b)
2
1,
5,4
24
Funkce
Výsledek řešení: 26; 16
1a.)
f ( x) := −3x + 4 16 5.5 4
f ( x)
2
5
0
2
4
6
8
10
15.5 26 x
1b.)
1; 43
5c
10, 2
g ( x) := 7x + 1 43 32.5 g( x)
22 11.5 1
0
1
2
3
4
5
6
1
2
x
h ( x) := 2x − 2 2 4
3
2
1
0 2 4
h( x)
6 8 10 x
Funkce
2.) g ( x) := 0.7x − 1.5 h ( x) := 0.7x − 3 k( x) := 0.7x + 1.5 m( x) := 0.7x + 2
4 3 f ( x)
2
g( x)
1
h( x)
4
3
2
1
0
k( x)
1
m( x)
2
1
2
3
4
3 4 x
3.) f ( x) := 3x + 3 g ( x) := 3 h ( x) := − 2x + 3 k( x) := − 4x + 3 m( x) := 1.4x + 3
5 4 f ( x)
3
g( x)
2 1
h( x) k( x) m ( x)
4
3
2
1
1
0
1
2
3
4
2 3 4
4.)
a) klesající, H(f)= 3, 6 b) rostoucí, H(f)=
9,9
25
26
Funkce
Definice, graf, vlastnosti Varianta C
2
Příklad: Sestrojte graf lineární funkce
4 a zjistěte pak z něho, pro která
platí: 2
a) d) 2
4 4
0,
b) 2
5,
4
e) 2
4
0, 6,
Řešení: Sestrojíme graf lineární funkce :
2
c) 2
4
f) 4
2
0, 4
6
4
Z grafu je vidět, že a) funkční hodnota 0 nastává pro
2
b) nerovnost splňuje část grafu nad osou x, tedy ∈ ∞, 2 c) nerovnost splňuje část grafu pod osou x, tedy ∈ 2, ∞ d) funkční hodnota
5 pro
0,5, řešením nerovnice je tedy interval
6 pro
1, řešením nerovnice je tedy interval
0,5; ∞ e) funkční hodnota ∞, 1 6 pro
f) funkční hodnota pro
4 ⇒ ∈
1 ∧
1; 4
viz graf
f ( x)
6 5 4 3 2 1 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 2 3 4
4
Funkce
27
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady: 1) Řešte graficky i početně.tyto soustavy rovnic s neznámými x,y R: 3
a)
2
1
c)
1 b) 3
2 3
3
4
d) 3
5
6
0
a)
0
b)
3) Sestrojte graf funkce :
0 2
d)
3
9 2
18
2,5. Z grafu pak určete všechna
2) Sestrojte graf funkce m:
a)
15
, pro která platí: 3
c)
1,5. Z grafu pak určete všechna x R, pro která platí: b)
0
c)
0
e)
3
f) 1
1
4) Řešte graficky i početně soustavy rovnic s neznámými x,y R: 1
a) 2
2
2
1
b) 2
1
c) 2
1
d)
2
2
2
2
4
Výsledek řešení: 1.) ; 3.) 4.)
; 2; 1 ; 1,5
0; 1
,9
;
1,5 1; 0
3
2.) 1,5
;1
0,5
2,5 ;
2,5 ; 4,5
0,5 0,5; 4,5
28
Funkce
Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou.
Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo |a|, pro které platí: je-li a≥0, je |a|=a je-li a<0, je |a|=-a
Každému reálnému číslu je podle definice přiřazena jednoznačně jeho absolutní hodnota. Získáváme tak funkci na množině R danou předpisem
| | , hovoříme o funkci absolutní
hodnota. Věta: Pro každá dvě reálná čísla a, b platí: |
|
|
|
Geometrický význam absolutní hodnoty reálného Absolutní hodnota libovolného reálného čísla udává vzdálenost obrazu tohoto reálného čísla na číselné ose od jejího počátku. Poznámka: Při řešení jednoduchých rovnic s absolutní hodnotou ve tvaru |
|
stačí uvědomit, že hledáme reálná čísla, jejichž vzdálenost od čísla a je rovna číslu b.
si
Funkce
29
Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta A Příklad: Sestrojte graf funkce 0 je | |
Řešení: Pro každé
| | 0 je | |
, pro každé
| | můžeme tedy využít grafy funkcí
a
. K sestrojení grafu funkce .
Graf funkce y=|x| se skládá z grafů těchto dvou funkcí: ,
,
0, ∞
∞, 0
| |
2 1.5 2
2
1.5
1.5
1
f ( x)
0.5
1
f ( x)
0.5
0.5 0 0.5 1 1.5 2
2 1.5 1 0.5
x
Oborem hodnot funkce
1
f ( x)
2 0
x
| | je interval uzavřený
1
0
1
2
x
0,+∞). Je klesající v intervalu (-∞,0 ,
je rostoucí v intervalu 0,+∞). Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum. Poznámka: Úlohu je možné řešit také pomocí tzv. nulového bodu. Ten získáme tak, že výraz v absolutní hodnotě položíme roven nule, v našem příkladě je nulovým bodem 0. Pak rozdělíme definiční obor na disjunktní intervaly (-∞,0), 0,+∞) , odstraníme absolutní hodnotu v jednotlivých intervalech a postupujeme stejně jako je uvedeno v předcházejícím.. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
30
Funkce
Příklady: 1) Vypočítejte: a) |
15|
d) |7
||2|
11|
|5||
|
11|
9|
|9
6|
|
5
3 |
|
5| |
3|
|7| | | řešte v R tyto rovnice a nerovnice:
2) S využitím grafu funkce a) | |
b) |6
2
b) | |
2
c) | |
2
3) Řešte graficky rovnice s absolutní hodnotou: a) |
1|
2
b) |3
|
1
4) Řešte nerovnice s absolutní hodnotou: a) |
1|
2
(návod: výraz |
b) |
1|
1| upravte na |
2
c) |
1|
2
d) |
1|
2
1 |
Výsledek řešení: 1) a) 18, b) 0, c) 0 d) 22 2) a)
2,2
2, ∞
∞, 2
b)
c)
2,2
3) f ( x) := x − 1
f ( x) := 3 − x
g ( x) := 2
g ( x) := 1
3
2 2
f ( x)
1.5 f ( x)
g( x) 1
1
g( x)
0.5 2
1
0
1
2
3
4
x= -1,
x
1
0
1
2
3
4
5
6
x= 2,
x
x= 3 x= 4 4) a)
∞, 1
3, ∞
b)
1,3
c)
∞, 3
1, ∞
d)
3,1
Funkce
31
Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta B Příklad: Sestrojte graf funkce: f:
|
1|,
|
g:
1|,
|
h:
1|
2
Řešení: Nulové body jednotlivých funkcí jsou: 1, -1, 1 | | po ose x. Číslo 2.v předpisu funkce h
Tyto body rovněž určují posun grafu funkce určuje posun grafu téhož grafu po ose y. H(f)=
0; +∞)
H(g)=
0; +∞)
f ( x) := x − 1 g ( x) := x + 1 4 3 f ( x) 2
g( x)
1
2
1
0
1
2
3
4
1
2
3
x
h ( x) := x − 1 + 2 6 5 4 3
h( x)
2 1 2
1
1
0
x
H(h)=
2,+∞)
4
32
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady: 1) Vyjádřete pomocí intervalů definiční obory těchto funkcí: | |
a) y= b) y =
| |
c) y=
1 x +x
2) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) :
|
2|
b) :
|
2|
3
3) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) :
| |
b) :
| |
c) : y =
x x
4) Načrtněte grafy funkcí: a)
2| |
b)
2| |
c)
0,5| |
Funkce
Výsledek řešení: 1.) a) R
b) 0, ∞
c) R
2.) f ( x) := x − 2 g ( x) := x − 2 − 3
3 2 1 f ( x) 1
g( x)
1
0
1
2
3
4
5
2
3
6
2 3 4 x
3.) f ( x) := x + x
g ( x) := x − x 3 2 1
f ( x) 3
g( x)
2
1
0
1
1 2 3 x
h ( x) :=
x x
2 1 h( x )
10 8
6
4
2
0 2
1 2 x
D(f)=R- 0
4
6
8 10
33
34
Funkce
4.) f ( x) := 2 x g ( x) := −2 x h ( x) := −0.5 x 3 2 1
f ( x) g( x) h( x)
3
2
1
0 1 2 3
1
2
3
Funkce
35
Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta C Příklad: Sestrojte graf funkce :
|
2|
|
1|
Řešení: Budeme se snažit (stejně jako při sestrojování grafu funkce z předchozího příkladu) vyjádřit funkci f pomocí funkcí, v nichž se nevyskytují absolutní hodnoty: a) je-li
2
0, tj.
2, pak |
2|
b) je-li
2
0, tj.
2, pak |
2|
c) je-li
1
0, tj.
1, pak |
1|
d) je-li
1
0, tj.
1, pak |
1|
2 2 1 1
Nerovnosti z předchozích čtyř řádků nám umožňují rozložit množinu R na tři navzájem 1,2) , 2,+∞)
disjunktní intervaly: (-∞,-1),
(Všimněte si, že pro čísla -1,2 nabývá vždy jeden z výrazů | Nyní vyjádříme v každém z uvedených intervalů výraz |
2|, | 2|
1| nulové hodnoty.)
|
1| tak, aby se v něm
nevyskytovaly absolutní hodnoty:
1. Pro |
∞, 1 |
1|
2
1
1, 2 |
2. Pro 2
2|
1
2
1
2 ,| 2
1|
1
|
|
2|
2|
1.
2 ,|
1|
1,
|
1|
3
2, ∞ |
3. Pro
2|
2| 2
2, |
1|
1,
|
2|
1.
Řešení lze zapsat přehledněji do tabulky: 1,2)
2,+∞)
x
(-∞,-1)
|x-2|
-(x-2)
-(x-2)
x-2
|x+1|
-(x+1)
x+1
x+1
|x-2|+|x+1|
-2x+1
3
2x-1
|
1|
36
Funkce
Získané výsledky nám umožňují vyslovit následující závěr. Graf funkce f se skládá z grafů funkcí f, g, h, jež lze vyjádřit takto: :
2
:
3,
:
2
1,
∞, 1 1,2
1,
2, ∞
Graf funkce f je na obrázku:
8 7 6 5 4 3
f ( x)
2 1 5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 x
H(f)= 3, ∞ Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady: 1) Načrtněte graf funkce
|2
3 |
2) Načrtněte graf funkce
|
1|
|
3) Načrtněte graf funkce
|
2|
2. |
1| 5|
1
4) Načrtněte graf následující funkce; z grafu pak popište, ve kterých intervalech je funkce rostoucí, resp. klesající:
|
3|
|5
2 |
3. |1
|
Funkce
37
Výsledek řešení: 1.)
3.) f ( x) := x + 2 − 3x
f ( x) := x − 2 + 2 x − 5 + 1
6
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 1 2
5 4 3
f ( x)
f ( x)
2 1 2
1
0
1
2
x
3 4
5 6
7 8 9
x
2.) 4.) f ( x) := x − 1 + x + 1 f ( x) := x − 3 + 5 − 2x + 3 1 − x 8 7 6 5 4 3 2 1
f ( x)
4
3
2
1
1
10 9 8 7 6 0
1
2
3
4
5 4 3 2 1 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Klesající:
∞; 1
Rostoucí: 2,5; ∞ Konstantní: 1; 2,5
38
Funkce
Kvadratická funkce Definice, graf, vlastnosti Kvadratická funkce je každá funkce na množině , kde
ve tvaru
\0, ,
(tj. o definičním oboru ) daná
.
Funkce
0
0
0
4 3 2
4 3 2
1 f ( x)
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4
f ( x)
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4
x
x
, ∞ .
Oborem hodnot je Je rostoucí v Je klesající v
∞,
Oborem hodnot je
, ∞ .
Je rostoucí v
.
Je klesající v
Je zdola omezená, není shora
∞,
∞,
. .
, ∞ .
Je shora omezená, není zdola omezená.
omezená. V bodě
má minimum.
V bodě
má maximum.
Funkce
39
Definice, graf, vlastnosti Varianta A Do jednoho obrázku zakreslete grafy funkcí :
pro a
2, 1, , 1, , 2 .
Řešení: 2
,
,
1 2
,
,
3 2
,
2
4
3
2
f ( x)
1
g( x) h( x) j ( x)
4
3
2
1
0
k( x) l( x)
1
2
3
4 x
Závěr: 0 => funkce má minimum 0 => funkce má maximum
1
2
3
4
40
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklad: 1) Zapište funkci, která vyjadřuje závislost obsahu kruhu na jeho poloměru. 2) Určete předpisem 0
kvadratickou funkci , pro kterou platí:
0,
2
4,
3
6.
3) Je dána kvadratická funkce :
6
11. Zjistěte, zda existuje aspoň jedno
, pro které platí: 1
a)
b)
4) Které z bodů 0,4 , 3
1.)
2
,
5
1, 10 , 3,25 patří do grafu kvadratické funkce 5?
0, ∞ ; 2.) :
, řešíme soustavu
rovnic 0=a.02+b.0+c, 4=a.(-2)2+b.(-2)+c, 6=a.32+b.3+c; 3.) a) NE, b) ANO- řešíme kvadratické rovnice 6 4)
1, 10
11
1,
6
11
5.
Funkce
41
Definice, graf, vlastnosti Varianta B Sestrojte do jednoho obrázku grafy funkcí: ;
a) :
0,5; 0; 2; 3
b) :
2;
2; 1; 0; 1; 2
Řešení: ad a) x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x): y=(x+2)2
8,5
3,5
0,5
-0,5
0,5
3,5
8,5
g(x): y= (x+1)2
9
4
1
0
1
4
9
11
6
3
2
3
6
11
12
7
4
3
4
7
12
h(x): y= x
2 2
j(x): y= (x-1)
9 8 7 6 5 f ( x) 4
g( x) h( x)
3
j ( x) 2 1
4
3
2
1
0 1 2 x
1
2
3
4
Funkce
42 ad b) x
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
0
1
4
9
16
25
4
1
0
1
4
9
16
h(x): y= x2
9
4
1
0
1
4
9
j(x): y= (x-1)2
16
9
4
1
0
1
4
k(x): y=(x-2)2
25
16
9
4
1
0
1
f(x): y=(x+2)
2
g(x): y= (x+1)
2
10 9
8
7 f ( x)
6
g( x) h( x)
5
j ( x) 4
k( x)
3
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Závěr: a) graf funkce :
získáme tak, že graf funkce
:
posuneme o c
jednotek ve směru osy y b) graf funkce : k jednotek ve směru osy x.
získáme tak, že graf funkce
:
posuneme o
Funkce
43
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklad: 1) Na obrázku je graf funkce : :
. Sestrojte pomocí něho graf funkce
3.
5 4 3 h( x)
2 1 3
2
1
0
1
2
3
x
2) Sestrojte graf funkce
:
1 , a to opět využitím grafu funkce :
3) Sestrojte graf funkce
:
1
3 pomocí grafu funkce :
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 2
,
2
3 ,
2
3 ,
2
3
.
.
Funkce
44 1.)
2.) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1
h( x)
3
2
h( x)
1 1 0 2 3 4 5
1
2
6
5
4
3
2
11 0 1
2
3
2 3 4 5
3
x
x
3.)
4.)
5 5 4 3 2 1 h( x)
6
5
4
3
2
11 0 1 2 3 4 5 x
f ( x) g( x) h( x) 2
3
j ( x)
4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x
Funkce
Definice, graf, vlastnosti Varianta C Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí: a) :
2
2
b)
8
5
ad a) 2
2
f ( x) := x
g ( x) := 2x 4 3
f ( x) 2
g( x)
1
3
2
1
0
1
2
3
ad b) Určíme vrchol (vytkneme 2 a doplníme na čtverec) 8
2
5
2
5 2
4
2
2
2
2
4
5 2
3
Vrchol je v bodě V[2,-3]. √
Průsečíky s osou x jsou body
4
3
2
1
1 2 3 4
0
x
Varianta A Varianta B Varianta C
; 0 ; s osou y bod [0,5].
5 4 3 2 1
f ( x)
Příklad:
√
;0 ,
1
2
3
4
2
2
3 2
45
Funkce
46
1) Načrtněte grafy těchto funkcí: 2
a)
5
6
b) 2
2) Načrtněte graf funkce
5
8
1
3) Načrtněte grafy funkcí: a)
c)
2
3
b)
4
1
d)
b)
2
2
2
2
4) Načrtněte grafy funkcí: 2
a)
8
9
1.)
2
2
2.) 10
5 4 3 2 1
9 8 7 6
f( x)
f ( x)
5
5
4
3
2
11 0 1 2 3 4 5
4 3 5
4
3
2
1
2
0
1
2
3
4
5
x
f ( x)
5
4
3
2
x
50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 1 0 x
1
2
3
4
5
2
3.)
4.) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f ( x) g( x) h( x) j ( x)
5
4
3
2
1 1 0 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
7 6 5 4 3 2 1
f ( x) g( x)
5
4
3
2
1 1 0 2 3 4 5 6 7 8 x
1
2
3
4
5
48
Funkce
Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou.
Při řešení kvadratických rovnic a nerovnic využíváme často graf kvadratické funkce. Stačí najít průsečíky grafu s osou x (rozkladem, doplněním na čtverec nebo užitím vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) a na základě zadání rozhodnout o řešení viz řešený příklad varianty A. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou sestrojujeme obdobně jako grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Tzn. pomocí nulových bodů nebo užitím definice absolutní hodnoty. Graf funkce :
|
| získáme tak, že sestrojíme graf funkce
a všechny jeho části,
které leží pod osou x(jsou záporné), zobrazíme v osové souměrnosti podle osy x.
Funkce
Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta A Užitím grafu funkce :
6 řešte
a) –
6
0
b)
6
0
d)
6
0
e)
6
0
6
c)
Řešení: :
6
1 2
, 0
0
,
,
1 2
1
1 4
24 4
1 2
25 4 6
√1 24 2
1
5 2
3,
8 7 6 5 4 3 2
f ( x)
1 5
4
3
2
1
1 2 3 4
x
a) x
3,2
b) x
3,2
c) x
∞, 3
d) x
3,2
e) x
∞, 3
25 4
2, ∞ 2, ∞
0
1
2
3
2
0
49
Funkce
50
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad:
1) Z grafu funkce
9
9 zjistěte všechna
0
9
b)
, pro která platí:¨
0
9
c)
0
d)
9
2) S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou a)
5
6
0
2
b)
3
5
2
0
b) 2
6
9
4) Řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou a) 2
7
15
0, 2
b)
3
10
0,
3
∞, 3
1.) a) x1= 3, x2=-3 b)
7
15
0
3.) a) x 4.) a)
∞, 2 0,5; 2 b)
∞, 5
3, ∞ b) žádné řešení. . 1,5; ∞ ,
0
3, ∞ c) x (-3,3) d)
3,3 . 2.) a)
0
:
10
:
0
3) S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou a) 2
0
:
Funkce
Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta B Sestrojte grafy funkcí: a)
:
|2 |
1
b)
:
|2
1|
Řešení: ad a ) ∞,0
0, ∞
2
1
2
1
1
1.0
1.0
1
1
1
1
8 7 6 5 4 3 x)
2 1 4
3
2
1
1
0 1 2 3 x
1
2
3
4
51
Funkce
52 ad b)
∞,
1 2
2
1 , ∞ 2
1
2
2
1
1
2
2 1.0
2,4
1
1
,
2
√4 2
4
1
2
2√2
1
2
√2
6 5 4 3 2 1
5
4
3
2
1
0 1 2 3
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1 1
1. 2 0,4,
1
1
2
3
4
5
Funkce
Příklad: 1) Sestrojte graf funkce :
·| |
2) Sestrojte garf funkce :
2 ·|
1|
3) Načrtněte do téže soustavy souřadnic Oxy graf funkce
|
,
3
4) Načrtněte graf funkce :
|
3 |1
2
|
1.)
2.)
4 3 2 1
4 3 2 1 f(x)
4 3 2 1
1
g( x)
4
3
2
1
0 1 2 3 4
1
0
1
2
2 3 4
2 3
x
4
3.)
4.) 4 3 f ( x) g( x)
2 1 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
h( x)
x
8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 11 01 2 3 4 5 6 2 3 x
3
4
53
54
Funkce
Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta C Sestrojte graf funkcí: a)
|
4
1|
b)
|
2 |
4
Řešení: ad a)
4
1
4
1
√
2
2
5
2
V[2.5], x=0 => y=1 y=0 =>
√
,
√
4,2;
√5;
7 6 5 4 3
f ( x)
2 1 3
2
1
0
1
2
1 x
3
4
5
6
0,2
5
Funkce
2 |
|
ad b)
4;
2 , nulové body 0,2
∞,0
0,2
2
2
2
1
5,
0
4
2
2
2
1, 5 , 2
√4 2
4
,
0
2, ∞
16
2
1
0,
2
4
2√5 2 3
4
1
√5,
1
3,2 ;
3,
1,2
1, 3
4
0
,
2
√4 2
16
á ř š
í.
7
6
5
4 g( x) 3
2
1
4
3
2
1
0
1 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
2
3
4
5
6
4
55
56
Funkce
Příklad: 1) Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí: a) :
5| |
6
|
b) :
2) Načrtněte graf funkce
| 1
|
3) Načrtněte graf funkce
| 1
|
5| |
6|
. |
4|.
4) Načrtněte v soustavě souřadnic Oxy graf funkce 2
2,
2| |
|
2,
1.)
2| |
2|.
2.) 4 3 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f ( x) g( x)
1
h( x) 4
3
2
1
0
1
2
3
4
1 2
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
x
x
3.)
4.)
j( x)
3
2
1
8 7.4 6.8 6.2 5.6 5 4.4 3.8 3.2 2.6 2
5 4 3 2 f ( x) g( x) 0 x
1
2
3
h( x)
1 5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
Funkce
57
Lineární lomené funkce Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině R\{0} daná ve tvaru
, kde
je reálné
číslo různé od nuly. Kolikrát se zvětší velikost jedné strany parcely s danou výměrou, tolikrát se zmenší velikost strany s ní sousední. Říkáme, že velikost jedné strany parcely je nepřímo úměrná velikosti strany s ní sousední.
Lineární lomená funkce je každá funkce na množině R\{ kde , , ,
jsou reálná čísla,
Pro
je
0a
0 a výraz
}, vyjádřená ve tvaru
0. nemá význam.
Speciálním případem lineární lomené funkce(
0) je funkce
, což je
nepřímá úměrnost. Při sestrojování grafu lineární lomené funkce převedeme rovnici ´
´
na rovnici
tím způsobem, že čitatele dané rovnice vydělíme jmenovatelem.
,
58
Funkce
Lineární lomené funkce Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku zakreslete grafy funkcí: a) :
b) :
:
: :
2
,
Řešení: a)
5
4
3
2
1 f ( x) g( x)
5
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5 x
\0,
\0
1
2
3
4
5
Funkce
59
2
b) 5
4
3
2
1
f ( x) g( x) 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
h( x) 1
2
3
4
5 x
\0,
\0
Průsečíky s osami: funkce
protíná osu y v bodě [0,2], funkce
[0,0]. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf funkce
,
a popište vlastnosti této funkce.
2) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)
,
b)
,
protíná osy v bodě
5
Funkce
60
3) Načrtněte grafy těchto funkcí: ,
a)
:
4) Je dána funkce
,
b)
0,5; 4 . Rozhodněte, zda existuje
, 0
a)
0
b)
, pro které platí: 7
c)
0,6
d) Výsledek řešení:
∞, 0 a 0, ∞ ; je lichá ; není shora omezená ani zdola
1.) Je klesající v intervalech
omezená; nemá maximum ani minimum v žádném bodě. 5 4 3 2 1 f ( x)
3
2
1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 x
b)
2.) a) 5
5
4
4
3
3
2
2
1 f ( x)
1 3
2
1
0
1
2
3
g( x)
1
3
2
1
0
2
1
3
2
4
3
5 x
4 5 x
1
2
3
3.) a)
f ( x)
b)
3
2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
0
1
2
3
g( x)
3
2
1
1 2
2
3
3
4
4 5
5
x
x
4.) a) NE; pro žádné s neznámou
0 1
0,5; 4 není
0,5; 4 d) ano,
0 b) ne c) ne, řešíme rovnici 7
1
2
3
62
Funkce
Lineární lomené funkce Varianta B definované na množině R\{2}
Příklad: Sestrojte graf funkce Řešení: Nejdříve upravíme výraz
tak, abychom mohli užít poznatky o grafu nepřímé 1 dvojčlenem
úměrnosti. Vydělíme dvojčlen
2;
1 :
2
1
2, zbytek 3 1
Je tedy
, a funkci
můžeme proto vyjádřit ve tvaru :
postupně sestrojíme graf funkce
:
1
definované na R\{0} a graf funkce získáme z grafu funkce
definované na R\{2}. Graf funkce
jednotky ve směru kladné poloosy . Graf funkce
. Nyní :
pomocí posunutí o dvě
dostaneme z grafu funkce
posunutím o
jednu jednotku ve směru kladné poloosy .
6
5
4
3
2
1
g1( x) g2( x) 7
6
5
4
3
2
1
0
g( x) 1
2
3
4
5
6 x
1
2
3
4
5
6
7
Funkce
63
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf této funkce:
.
2) Načrtněte graf této funkce:
.
3) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 1 , 2
1 2
1
2,
2
1
1
,
2
2
1
.
4) Načrtněte graf této funkce:
2.)
1.) 5
3
4
2
3
1
2 f ( x)
f ( x)
1 5
4
3
2
1
0 1
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
0 1 2
2
3 x
x
1
2
3
4
5
64
Funkce
3.) 1 , 2
1 2
1
2,
2
1
1
,
2
5 4 3 2 f ( x) 1 g( x) h( x)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
j( x)
2 3 4 5 x
4.) 4 3 2 1 f ( x)
4
3
2
1
0 1 2 3 4 x
1
2
3
4
5
1
2
Funkce
Lineární lomené funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 1 5
1 , | | 5
,
1 | | 5
Řešení: a) f ( x) :=
1 x− 5
5 4 3 2 1 f ( x)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 x
4
5
6
7
8
9
10
65
66
Funkce
b) g ( x) :=
1 x −5 5 4 3 2 1
g( x)
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1 2 3 4 5 x
c)
h ( x) :=
1 x −5 5 4 3 2 1
h( x)
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 1 2 3 4 5 x
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf této funkce:
.
2) Načrtněte graf této funkce:
.
1.
3) Načrtněte graf funkce
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: 1 1
1 , | | 1
,
1 | | 1
1.) 7 6 5 4 3
f ( x)
2 1 4
3
2
1
0 1 x
1
2
3
4
67
68
Funkce
2.) 7 6 5 4 3
f ( x)
2 1 4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1 x
3.) 7 6 5 4 3
f ( x)
2 1 4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1 x
,
4.)
,
| |
| |
6 5 4 3 2 f ( x)
1
g( x) 6 h( x)
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 x
1
2
3
4
5
6
Funkce
69
Mocninné funkce Mocninné funkce s přirozeným exponentem Mocninná funkce s přirozeným exponentem je funkce : 1, je to lineární funkce :
Speciálně je-li :
,
.
2 základní kvadratická funkce
, pro
3 základní kubická funkce :
, pro
,
atd.
1 přímka (osa prvního a třetího kvadrantu) a pro
Grafem této mocninné funkce je pro 1 parabola - tého stupně. Vlastnosti mocninných funkcí :
,
liché
sudé
,
f(x) g(x)
,
, 4
7
3
6
2
5
1 2
1
0
h(x)
,
1
1
f(x)
4
g(x)
3
h(x)
2
2
1
2 3
2
1
0
1
1
4
x
x
,
,
0, ∞
Je lichá.
Je sudá.
Není ani shora omezená, ani zdola omezená.
Je zdola omezená, není shora omezená.
Je rostoucí.
Je rostoucí v 0, ∞ , je klesající v
Nemá ani minimum, ani maximum.
∞, 0 .
Má ostré minimum v bodě 0, nemá maximum.
2
70
Funkce
Mocninné funkce s celým záporným exponentem Mocninná funkce se záporným celým exponentem je funkce :
,
,
\0. Grafem této mocninné funkce je hyperbola stupně
.
Pozn.: Lze definovat též mocninnou funkci s nulovým exponentem: ,
:
\ 0 ! Jedná se však o konstantní funkci. ,
Vlastnosti funkce
f ( x)
3
2
liché
sudé
3
6
2
5
1
4
1
0
1
2
3
3
f ( x)
1
2
2
1
3
3
2
1
Oborem hodnot je \ 0 .
0
1
2
x
x
Oborem hodnot je
.
Je rostoucí v ( ∞, 0), Je klesající v ( ∞, 0), v (0, ∞).
Je klesající v (0, ∞).
Není ani zdola omezená, ani shora omezená.
Je zdola omezená, není shora omezená.
Nemá v žádném bodě ani minimum, ani
Nemá v žádném bodě ani minimum, ani
maximum.
maximum.
Je lichá.
Je sudá.
3
Funkce
71
Mocninné funkce Varianta A 1,2,3,4,5,6 .
Příklad: Sestrojte grafy mocninných funkcí pro Řešení: -1,1
-1
-0,5
0
0,5
1
1,1
-1,1
-1
-0,5
0
0,5
1
1,1
1,21
1
0,25
0
0,25
1
1,21
-1,331
-1
-0,125
0
0,125
1
1,331
1,4641
1
0,0625
0
0,0625
1
1,4641
-1,61051
-1
-0,03125
0
0,03125
1
1,61051
1,771561
1
0,015625
0
0,015625
1
1,771561
4
3
2 f ( x) 1
g( x) h(x) i(x)
4
3
2
1
0
j( x) k(x)
1
2
3
4 x
Čím je n větší, tím: a) V intervalu 0,1 je funkce „pozvolnější“ b) V intervalu 1, ∞ je funkce „strmější“
1
2
3
4
Funkce
72
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: , kde
1) Porovnejte podle velikosti následující čísla(využijte přitom grafy funkcí ): a)
,
b) 0,7 ,
0,7
c) 0,7 ,
0,7
2) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)
1
1
b)
3) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)
1
4) Řešte tyto rovnice a nerovnice s neznámou a)
2
b)
b)
:
d)
1 ,
1
Funkce
1.) 3
2
1
f ( x) g( x) h( x)
2
1
0
1
2
j( x) 1
2
3 x
, 0,7
0,7 , 0,7
0,7 ,
2.) 1,
1 4 3 2 1
f ( x) g( x)
4
3
2
1
0 1 2 3 4 x
1
2
3
4
1
1
73
74
Funkce
3.) 1 ,
2 4 3 2 1
f ( x) g( x)
5
4
3
2
1
0
1
1 2 3 4 x
4.) a)
0, ∞ , b)
1,
0
2
3
4
Funkce
Mocninné funkce Varianta B ,
Příklad: Načrtněte grafy funkcí
,
,
Řešení: x
-4
-2
-1
-1/2
-1/4
1/4
1/2
1
2
4
-1/4
-1/2
-1
-2
-4
4
2
1
14/2
1/4
1/16
¼
1
4
16
16
4
1
¼
1/16
-1/64
-1/8
-1
-8
-64
64
8
1
1/8
1/64
1/256
1/16
1
16
256
256
16
1
1/16
1/256
7 6 5 4 3 2 f ( x) 1
g( x) h( x) j( x)
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x
1
2
3
75
76
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Porovnejte podle velikosti tato čísla (využijte při tom grafy funkcí 0,5
a)
, 0,5
b) 4,8
2,3
, 2,3
4,8
b)
):
pro
):
, 4,9
2) Porovnejte podle velikosti tato čísla(využijte při tom grafy funkcí a)
pro
,
4,9
3) Načrtněte grafy těchto funkcí: 2
a)
2
b)
4) Načrtněte grafy těchto funkcí: 1
a)
b)
1.)
2.) 2
2
1 f ( x)
f ( x) 1
g( x)
g( x)
5
4
3
2
1
0 1 1
2
1
0
1
2
3
4
2
5
x
0,5
0,5
, 4,8
4,9
x
2,3 4,9
2,3
,
4,8
2
3
4
5
Funkce
3.) 2
,
2
15 14 13 12 11 10 9 8
f ( x)
7
g( x)
6 5 4 3 2 1 5
4
3
2
1
1
0
1
2
3
x
4.) 1
1,
1
20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5
f ( x) g( x)
5
3.75
2.5
1.25
2.5
0
5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 x
1.25
2.5
3.75
5
77
78
Funkce
Mocninné funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: | |
4 ,
| | |
4 ,
4 |
Řešení: | |
4 ,
| | |
4 ,
4 |
100 90 80 70 60 50 40 30 20 f ( x) g( x) h( x)
10 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: 2
,
2
2 ,
2
2
1
2) Načrtněte grafy těchto funkcí: ,
2
,
2
3) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: | |
|| |
4,
4|
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: | | ,
|
1|
1.) 7 6 5 4 3 2 f ( x) g( x)
1 4
3
2
1
h( x)
0 1 2 3 4 5 6 7
x
1
2
1
79
80
Funkce
2.) 7
6
5
4 f ( x) g( x)
3
h( x) 2
1
4
3
2
1
0
1
2
1 x
3.) | |
4,
0
1
|| |
5 4 3 2 1 f ( x) g( x)
3
2
1 1 2 3 4 5
x
2
3
4|
Funkce
4.) | | ,
|
1|
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f ( x) g( x)
4
3
2
1
1
0
1
2
3
x
Rozkreslení řešeného příkladu varianty C f ( x) := ( x − 4)
3
5 4 3 2 1 f ( x)
1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 x
4
5
6
7
81
82
Funkce
6 5 4 3 2 1 g( x)
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 x
h ( x) := ( x − 4)
3
4 3 2 1 h( x)
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 x
1
Funkce
Mocniny a odmocniny N-tá mocnina Pro všechna
a pro všechna
definujeme
·
· …· á
… základ odmocniny (mocněnec) … exponent (mocnitel). Pro všechna reálná čísla , a pro všechna přirozená čísla , je a)
·
b)
c)
·
d) Pro
\ 0 definujeme
1.
Pro
definujeme
.
Pro všechna reálná čísla , různá od nuly a pro všechna celá čísla , platí: a) d)
·
b)
c)
·
83
84
Funkce
N-tá odmocnina Pro každé
je
něž platí
tá odmocnina z nezáporného čísla a takové nezáporné číslo , pro
. Budeme zapisovat
odmocniny), číslo
√ . Číslo
se nazývá odmocnitel (exponent
odmocněnec (základ odmocniny).
Funkce
√ je inverzní k funkci
,
0, ∞ .
Funkce
√ je inverzní k funkci
,
0, ∞ .
,
,
√
3
2 f ( x) g( x) h( x) 1
0
1
2 x
3
Funkce
,
,
√
3
2 f ( x) g( x) h( x) 1
0
1
2
3
x
Pro všechna přirozená čísla , a pro všechna nezáporná reálná čísla · …·
Např. √2 · √3 · √4
√2 · 3 · 4
,…,
je
· …·
√24.
Pro každé nezáporné reálné číslo , každé kladné reálné číslo
a každé přirozené číslo
platí: √ √ tých odmocnin čísel , je roven
„Podíl
Např.
√
√4,
√
√
√
√
.
Pro každé celé číslo , každé kladné reálné číslo √
Např.
√5
√5
.
té odmocnině jejich podílu.“
a každé přirozené číslo √
platí:
85
86
Funkce
0, tj. pro všechna nezáporná čísla .
Je-li přirozené číslo, pak tato věta platí i pro Je-li speciálně
,
Např. √8,1
, pak pro každé nezáporné číslo
8,1
8,1.
Pro všechna přirozená čísla
,
a pro každé nezáporné reálné číslo √
√ Např.
√8
√8
√2
·
√
, , a pro každé nezáporné reálné číslo √
·
platí:
√8.
Pro všechna přirozená čísla
Např. √2
dostáváme √
√2 .
√
platí:
√
.
Funkce
Mocniny s racionálním exponentem Pro každé kladné reálné číslo , pro každé celé číslo √
. Číslo
a pro každé přirozené číslo
budeme nazývat základ mocniny čili mocněnec, číslo
exponent čili mocnitel.
Pro všechna kladná reálná čísla , a pro všechna racionální čísla , je a) d)
·
b) .
c)
·
je
se nazývá
87
Funkce
88
Mocniny s iracionálním exponentem V matematice lze také zavádět čísla typu 2√ , 2√ …, obecně
, kde
a zároveň
Pro všechna kladná reálná čísla , a pro všechna reálná čísla , platí: a) d)
·
b) .
c)
·
.
Funkce
Mocniny a odmocniny Varianta A Příklad: Vyjádřete ve tvaru jediné odmocniny ·
a)
0,5
b) 4· c)
√
d)
√
√
√
e) 2 √2 Řešení: ·
a)
b) 4·
·
0,5
c)
√
d)
√
√
√
√
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
4 ·
√4 · 2
√10
√
√
e) 2 √2
4 · 0,5
·
√2 √2 · 2
√2
√16
·
√64 · 8
√512
√2
89
90
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: a) √3 · √12
b) √2 · √32
2) Určete, pro která
c) √3 · √9
f)
√
c) √
b) √
3) Rozhodněte, pro která , , 4
√
jsou definovány dané odmocniny, a pak je upravte:
a) √
a) 4
d) √4 · √16 e)
3
·√
d) √
mají následující výrazy smysl, a potom je zjednodušte: b) 4
2
c)
2
·2 · 2
·
·3
·
4) Vyjádřete dané výrazy v co nejjednodušším tvaru pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem:
·
a)
· ·
c)
:
b)
·
1.) a) 6, b) 8, c) 3, d) 4, e) 5, f) 1,5 0; a)
2.) Ve všech případech d)
· √ , c)
· √ ,
· √
3.) a) , 4.) a)
· √ , b)
,2 , b)
, b) , c)
, 64
, c) ,
, 24
Funkce
91
Mocniny a odmocniny Varianta B Příklad: Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: √3
a)
2 ·
d)
4
√3
g)
7 1
b)
√5
5
c)
√3
e)
√
4
f)
√7
√5
5
3
h)
Řešení: a) 3
0,
b) 5
5
3,
0,
c)
∞, 3
d)
2
e) f) 7
1, 1, ∞ , 2
3
1 ∞,
h)
4
0
0,
Varianta A Varianta B Varianta C
7, 2
∞, 2 2,
2
7, ∞ 2,
∞, 2
2, ∞
, 0, 1
5 ∞, 5
Příklad:
1,3
2
0, 4
∞, 3 1, ∞
7;
2
g) 3
3,
√
,
√7
√
1
3
√7 3
0, 4, ∞
4
√
,
, ∞ 5,
4
0
5,
4
5
92
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Zapište definiční obory následujících funkcí pomocí intervalů: a)
√
3
√5
b)
2
√4
c)
√
2) Zapište definiční obory následujících funkcí pomocí intervalů: a)
√
3) Rozhodněte, pro která a) √
1
√
b)
c)
je definována:
b) √
d) √
c) √
4) Zjednodušte dané výrazy: a) √3 √5
√6
√5 √3
√6
√6 √3
1.) a) 3, ∞ , b)
∞; 2,5 , c) 3,4
2.) a) 0, ∞ , b)
∞, 1
3.) a)
0, ∞ , c)
, b)
4.) a) 2√15, b) 8
√5
1, ∞ , c) 2, 4 , d)
0, ∞
b)
√
√
√
√
√
√
√
√
3
Funkce
93
Mocniny a odmocniny Varianta C ·
·
; , , jsou kladná reálná čísla
Příklad: a) Zjednodušte výraz ·
b) Částečně odmocněte √ c) Vyjádřete součin √ · √
·
, předpokládejte; že ·√
je kladné číslo
ve tvaru jediné odmocniny; předpokládejte, že
je kladné číslo ; ,
d) Pomocí jediné odmocniny vyjádřete
jsou kladná čísla
Řešení: ·
·
·
·
a) ·
·
·
·
·
b) √ c) √ · √ d)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
·
·√
·
·
·
·
·
·√ √
·
·
·
Funkce
94
Příklady k procvičení: 1) Zapište ve tvaru mocniny s racionálním exponentem: √15,
,
14 , √ ,
,
,
3 ,
13
·
·
2) Vypočtěte: a) 5,6 :
b) 2 2 · 2
c)
· 18
3) Uvedené výrazy vyjádřete pomocí jediné odmocniny; , jsou kladná čísla: a)
b)
√
c)
√ ·√ ·√ √
d)
·
2 √2
4) Udejte, pro která , jsou definovány dále uvedené výrazy s odmocninami, a pak je vyjádřete v co nejjednodušším tvaru: a) 2 √
3√
c) 3√
2
b) 3√
3√ 8 √
√25
d)
√
2
2 4√
5
·√
5) Upravte výrazy s odmocninami tak, aby ve jmenovateli nebyla odmocnina: a)
b)
√
e)
√
√
√
√
1.) 15 ,
f)
, 14 ,
c)
√ √
√
√
√
,
,
√
d)
√
.3 ,3
2.) a) 2, b) 2 , c) 0,5 , c) √
3.) a) √
. b)
4.) a)
0, 4 · √ , b)
c)
0,
0, 9
5.) a)
√3
e) 5
2√6, f)
4 , d)
1 , b) √
√5
, d) √2 0,
0, 9
4
0, · √ · 14 1 , c) √3
√2, d)
12
,
5 3
2√6 ,
√
Funkce
95
Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce o základu
je funkce na množině
vyjádřená ve tvaru
, kde
je kladné číslo různé od 1. Vlastnosti: ;
Funkce
\1
1
f ( x)
3
2
1
0
1
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
f ( x)
1
1
0.5
0.5 0
1
2
3
3
2
x
1
0
1
2
3
x
Definiční obor je R.
Definiční obor je R.
Obor hodnot je 0, ∞ .
Obor hodnot je 0, ∞ .
Je rostoucí, a tedy je prostá.
Je klesající, a tedy je prostá.
Je zdola omezená, není shora omezená.
Je zdola omezená, není shora omezená.
Nemá v žádném bodě ani maximum, ani
Nemá v žádném bodě ani maximum, ani
minimum.
minimum.
Funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1.
Funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1.
Pro posunování grafů exponenciálních funkcí platí stejná pravidla jako pro předešlé typy funkcí: : Graf funkce
,
získáme posunutím grafu funkce
: o
jednotek doprava a
jednotek nahoru.
96
Funkce
Exponenciální funkce Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: :
3 , 1 3
:
:
,
4 ,
:
1 4
:
,
10 1 10
:
Řešení: 3 ,
4 ,
10
10 9 8 7 f ( x)
6
g( x)
5
h( x)
4 3 2 1 5
4
3
2
1
0 x
1
2
3
4
5
Funkce
1 3
1 4
,
1 10
,
10 9 8 7 i( x)
6
j ( x)
5
k( x)
4 3 2 1 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
10 9 8 f ( x)
7
g( x)
6
h( x) 5
i( x) j ( x)
4
k( x)
3 2 1 5
4
3
2
1
0 x
Můžeme využít toho, že pro každé jsou souměrně sdruženy podle osy .
platí
2 . Grafy funkcí
2 a
97
Funkce
98
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Na základě vlastností exponenciální funkce určete, které z následujících mocnin jsou větší než jedna, rovny jedné, menší než jedna: 2 5
,
5 4
; 2,18
,
; 0,45
,
2) Rozhodněte, zda jsou pravdivé výroky: a)
,
,
,
b)
3) Rozhodněte, který ze vztahů 0
1,
a)
,
1 platí, je-li:
b) 2 ,
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí
4 a dále graf funkce
2,5 . 1; ,
1.)
1; 2,18
,
1; 0,45
,
1
2) a) ano, b) ne 3.) a)
1, b) 0
1 0, ∞
4.) Pro všechna
2 ,
4 ,
2,5
10 9 8 7 f ( x)
6
g( x)
5
h( x)
4 3 2 1 3
2
1
0 x
1
2
3
Funkce
Exponenciální funkce Varianta B Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 2 ,
2
,
2
Řešení: 2 ,
2
,
2
10 9 8 7 6
f ( x) g( x)
5
h( x) 4 3 2 1
3
2
1
0 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
2
3
99
100
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,2 ,
0,2 ,
0, 2
2
2) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 1 2
1 2
,
,
1 2
3) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: 4 ,
4
2,
4
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: 0,4 , 0,2 ,
1.)
0,4 ,
0,2 ,
0, 2
0,4 2
5 4 3 2 f ( x) g( x)
1 3
2
1
0
h( x)
1
2
3
1 2 3 4 5 x
,
2.)
,
2
5
4
f ( x)
3
g( x) h( x)
2
1
3
2
1
0 x
1
2
3
2
Funkce
4 ,
3.)
4
2,
4 10 9 8 7
f ( x)
6
g( x)
5
h( x)
4 3 2 1 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
3
4
5
x
0,4 ,
4.)
0,4 ,
0,4 5 4 3 2
f ( x) g( x) h( x)
1 5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x
1
2
101
102
Funkce
Exponenciální funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 1,5| | ,
1,5 ,
1,5| | ,
1,5
| |
Řešení: 1,5| | ,
1,5 ,
1,5| | ,
1,5
5 4 3 2 f ( x) 1 g( x) h( x) i( x)
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
2
3
4
5
| |
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,7
0,7|
,
|
2) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,7|
|
,
|
0,7
|
3) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: |2
3,
2
3|
4) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 2
0,7
1.)
2|
3,
|
0,7|
,
2|
3,
|
5
4
3
f ( x) g( x)
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
x
0,7|
2.)
|
,
|
0,7
|
5 4 3 2
f ( x)
1 g( x) 5
4
3
2
1
0 1 2 3 x
1
2
3
4
5
|
3
103
104
Funkce
2
3.)
|2
3,
3| 5 4 3 2
f ( x)
1 g( x) 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
|
3
5
1 2 3 x
2
4.)
2|
3,
|
2|
3, 5 4 3
f ( x)
2 1
g( x) h( x)
5
4
3
2
1
0 1 2 3 x
1
2
3
4
5
Funkce
105
Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce o základu ;
je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci
je libovolné kladné číslo různé od jedné.
Uvažujme exponenciální funkci : se volí speciální označení: „log základu
. Pro hodnotu funce
“. Čteme logaritmus
, která je přiřazena číslu ,
o základu
nebo „logaritmus o
čísla .“ V souladu s tímto označením budeme logaritmickou funkci log
zapisovat ve tvaru
.
Definičním oborem logaritmické funkce hodnot funkce :
o základu
je množina 0, ∞ ; to plyne z toho, že obor
je 0, ∞ .
Vlastnosti: Funkce
log
;
\1
1
0
3
3
2
2
1
1
f ( x)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f ( x)
0
1
1
2
2
3
3
0.5
x
1
1
1.5
2
2.5
3
x
Definiční obor je 0, ∞ .
Definiční obor je 0, ∞ .
Obor hodnot je .
Obor hodnot je .
Je rostoucí, a tedy je prostá.
Je klesající, a tedy je prostá.
Není ani shora omezená, ani zdola omezená.
Není ani shora omezená, ani zdola omezená.
Nemá v žádném bodě ani maximum, ani
Nemá v žádném bodě ani maximum, ani
minimum.
minimum.
Funkční hodnota v bodě 1 je rovna 0.
Funkční hodnota v bodě 1 je rovna 0.
106
Funkce
Logaritmus Definice: Logaritmus čísla
o základu
je takové číslo , pro které platí log
, právě když
.
.
Věty o logaritmech: Pro každé
0,
1 a pro všechna kladná reálná čísla , je log
·
log
log
.
„Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů.“
Pro každé
0,
1, pro všechna kladná reálná čísla , je log
log
log
.
„Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele (v tomto pořadí).“
Pro každé
0,
1, pro všechna
a pro všechna log
· log
je
.
„Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny.“
Logaritmy o základu 10 obvykle označujeme jako dekadické logaritmy. V zápisu „log většinou „10“ vynecháváme, píšeme jen „log “(např. místo log a čteme „logaritmus .“
“
0,25 pouze log 0,25 apod.)
Funkce
107
Přirozená exponenciální funkce a logaritmus Exponenciální funkce o základu , tj. funkce
, se nazývá přirozená exponenciální
funkce. Tato funkce má značný význam v teoretické matematice, pomocí ní se popisuje řada čí
jevů a procesů ve fyzice, chemii, biologii atd. Označme
přičemž jeho
hodnota je přibližně 2,718281828. Na obrázku níže je sestrojen graf funkce log
a graf funkce k ní inverzní, tj. graf funkce
. 5 4 3 2 1
f ( x) g( x)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 x
Místo log
je zvykem psát ln ; hovoříme o přirozeném logaritmu čísla
logaritmické funkci
a o přirozené
ln .
Pro všechna kladná reálná čísla , různá od jedné a pro každé kladné reálné číslo je log
log log
108
Funkce
Logaritmická funkce a logaritmus Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: : :
2 , 1 2
: ,
log :
log
Řešení: 2 ,
log
5 4 3 2 1 f ( x) g( x)
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
Funkce
1 2
,
log
5 4 3 2 1 f ( x) g( x)
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
2
3
4
5
109
Funkce
110
Příklady k procvičení: 1) Rozhodněte, které z dále uvedených výroků jsou pravdivé: a) log 5
log 8
c) log 10
log 10
b) log
,
7
log
,
8
d) log
,
7
log
,
6
[Využijte poznatky o vlastnostech logaritmických funkcí] 2) Najděte všechna
, pro něž platí:
a) log
log 4
c) log 3
log 11
b) log
log
,
,
3) Zjistěte definiční obory následujících funkcí: log
a)
3
b)
log
3
b)
log
,
4) Načrtněte grafy funkcí: log
a)
1
Zapište jejich definiční obory a obory hodnot. 1.) a) ano, b) ne, c) ano, d) ano 4, b)
2) a)
2, c)
3, ∞ , b)
3.) a)
4.) a) 3, ∞ ,
1
∞, 0
b) 0
∞ ,
2
1
f ( x) 0
g( x)
1
2
3
4
5
1
2 x
6
7
8
9
10
2
Funkce
Logaritmická funkce a logaritmus Varianta B Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 2 ,
2
,
2
Řešení: 2 ,
2
,
2
10 9 8 7 6
f ( x) g( x)
5
h( x) 4 3 2 1
5
4
3
2
1
0 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
2
3
4
5
111
112
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: a) log
1000
b) log
10
c) log
10
d) log
0,01
2) Vypočítejte: a) log
,
2
b) log
,
0,5
c) log
,
8
d) log
,
√2
3) Vypočítejte: a) log 1
b) log
c) log
d) log 3√3
√
4) Vypočítejte: a) log
1.) a) 3; 1000
log
4.) a) 0, b) -4
log 243
10 , b) 5, c) 0, d) -2; 0,01
2.) a) -1; 2 3.) a) 0, b) -0,5;
10
b) log
10
, b) 1, c) -3, d) -0,5 , √
3
,
, c) -2, d) 1,5
0,001 · log 9
log
Funkce
113
Logaritmická funkce a logaritmus Varianta C Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy těchto funkcí: :
log
,
log
,
:
log | | ,
:
|log | ||
Řešení: log | | ,
|log | ||
7 6 5 4 3 2 f ( x)
g( x) h( x)
1 5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
2
3
4
5
114
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Načrtněte grafy těchto funkcí: log
,
,
log
,
| |,
log
,
| |
2) Načrtněte grafy funkcí: |log
|,
log | |
Zapište definiční obory a obory hodnot jednotlivých funkcí. Popište vlastnosti funkcí. 3) Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: 1
log
4
,
log 5
2
4) Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: log
log
1.)
,
3,
,
log
log
,
| |,
3
log
,
| |
7
6
5
4
f ( x)
3
g( x)
2
h( x)
1
5
4
3
2
1
0 1
2
3 x
1
2
3
4
5
Funkce
|log
2.)
|,
115
log | | 4 3 2
f ( x)
1
g( x) 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1 2 3 x
: 0, ∞ , 0, ∞ ; je klesající v intervalu 0, 1 , rostoucí v intervalu 1, ∞ , je zdola omezená, není shora omezená, má minimum v bodě 1, nemá maximum v žádném bodě :
∞, 0
0, ∞ , ; je klesající v intervalu
∞, 0 , rostoucí v intervalu 0, ∞ ,
není shora omezená ani zdola omezená, nemá v žádném bodě maximum ani minimum, je sudá 3.) a) 4, ∞ , b) ∞, √3
4.) a) 3
1.]
∞; 2,5 √3, ∞ , b)
∞, 2
2, ∞ ; [Musí být log
3
0, a tedy
116
Funkce
Logaritmické a exponenciální rovnice Definice: Logaritmickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou
.
Nejjednodušším případem logaritmické rovnice je rovnice log
,
0,
1,
jež má (podle definice logaritmu) řešení
,
(1)
.
Složitější logaritmickou rovnici obvykle řešíme tak, že ji upravíme na rovnici tvaru log Kde výrazy
,
log
,
0,
1,
(2)
vyjadřují funkční hodnoty dvou daných funkcí ,
proměnné ,
z nichž jedna může být speciálně konstanta. Protože logaritmická funkce je prostá (rostoucí 1, klesající pro 0
pro
1), z logaritmické rovnice (2) plyne rovnice .
(3)
Rovnice (2), (3) jsou však ekvivalentní jenom při splnění podmínek:
0a
0.
Pokud je nestanovíme předem, musí být nutnou součástí řešení zkouška. Řešení složitějších logaritmických rovnic též často usnadňuje vhodná substituce, např. y
log
0,
1 , kterou se převede logaritmická rovnice na algebraickou rovnici.
Funkce
117
Logaritmické a exponenciální rovnice Varianta A Příklad: Řešte rovnici 2 log
1
0,5 log
log
s neznámou
.
Řešení: 2 log
1
0,5 log
log
2 log
1
0,5 log
2 log
1
0,5 log
2 log
1
2 log
log
1
log
1 Odtud je už vidět, že žádné
nemůže být kořenem řešené rovnice.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnice s neznámou a) log
5
: log 2
2) Řešte rovnice s neznámou
:
a) log
5
2
log
3) Řešte rovnice s neznámou a) log
3
log
2
4) Řešte rovnice s neznámou a)
·
1
1.) a)
6, b)
2) a)
20, b)
3.) a)
2, b)
4.) a)
2, b)
1
b) log
2
5
log
3
14
log
2
6
5
log
1
1
log
40
: 1
log
2
b) log 2
: b) log
5
17
b) log
√
4
log
√3
1
1
118
Funkce
Logaritmické a exponenciální rovnice Varianta B Příklad: Řešte rovnici
2
3 s neznámou
.
Řešení: Upravujeme nejprve levou stranu dané rovnice: 3
2
3
9·3
2
3
Dále dostaneme: 2
8·3 3
0,25
Od výrazů, které tvoří jednotlivé strany poslední rovnice, přejdeme k jejich logaritmům o základu 10; říkáme, že rovnici logaritmujeme: log
3
log
0,25
Podle věty o logaritmu mocniny dostaneme · log
3
log
0,25
a odtud log 0,25 log 3 Pomocí kalkulátoru můžeme zjistit, že 1,262.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnice s neznámou
: b) 3
a) 5
2) Řešte rovnice s neznámou a) 5
·2
: 4 · 100
3) Řešte rovnice s neznámou a) 5
b) 2
4) Řešte rovnice s neznámou
1.) a)
2,748, b)
2.) a) t
1,423;
2 4.) a)
b) 4
1
5
1,557 0,423, b)
; log 5 7 · log 2
10
:
0,1
3.) a)
b) 2
:
3
a) 8
5
log 3 , b) 3
, b)
5
0,533 ;
·3
119
120
Funkce
Logaritmické a exponenciální rovnice Varianta C 100 s neznámou
Příklad: Řešte rovnici
.
Řešení: Nejprve budeme danou rovnici logaritmovat, užijeme při tom dekadické logaritmy: log
log 100
Podle vět o logaritmech a na základě definice logaritmu dále dostaneme: log · log
log 100
log
log
log
2
0
Užijeme substituci log
(1)
a budeme řešit kvadratickou rovnici s neznámou
2
0
1
4·
(2)
: 2
1 ,
Dosadíme za
do (1) po řadě čísla 2 a
s neznámou
:
a) log
100
2,
3 2
2, b)
Rovnice (2) má dva různé kořeny: a)
b) log
b)
100
100
100
100
100 · 100
10
100
100 ,
0,1
0,1
0,1
100 · 0,1
0,1
0,1
Kořeny rovnice
0,1
1.
1 a budeme řešit odpovídající logaritmické rovnice
Provedeme zkoušku dosazením: a)
9
10
10
10
100 jsou čísla 100 a 0,1.
1,
0,1
Funkce
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnice s neznámou a) log
:
3 log
10
0
2
b) log
[Užijte metodu substituce] 2) Řešte rovnice s neznámou
: b) √
100
a)
243
[Rovnice logaritmujte] 3) Řešte rovnice s neznámou
:
1000
a)
4) Řešte soustavy rovnic s neznámými , a) log
log
5
log
log
3
1.) a)
3 ,
2.) a)
0,01;
3.) a)
10,
4.) a)
10 ,
10, b)
[log
log
log
8
b) : 34
b)
log
log
3 , b)
5
10. b)
3
10 , b)
0,125; 2,
,
32, 64]
2 32,
2
6
121
