UNTVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua, Sidang Akademik 199912000 Februari 2000
MAT
122
-
Persamaan Pembezaan
I
Masa: t3 jaml
ARAHAN KEPADA CALON: Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi DUA PIILUH DUA soalan TUJUH halaman yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.
di
dalam
Kertas soalan ini mengandungi DUA bahagian.
BAHAGIAN
1:
BAHAGIAN
II:
20 soalan objektif (50 mnrkah). Sila jawab dalam borang OMR yang disediakan dengan pensil 29 sahaja. Jawab bahagian ini dahulu. Borang OMR serta kertas soalan Bahagian I akan dikutip l jam 30 minit selepas peperiksaan bermula. 2 soalan deskriptif (50 marknh).
Jawab SEMUA soalan dalam kedua-dua bahaeian.
BAHAGIAN
1.
1:
Jawab SEMUA 20 soalan. Setiap jawapan yang betul diberi ZYzmarkahl50il00l.
Pilih pernyataan yang tidak benar bagi persamaanpembezaan berikut: (
a'.\t - kx dw * -- o' k Pemalar fr -
lA- ) (a) (b) (c) (d) (e) 2.
satu persamaan pembezaan biasa
.
w merupakan pembolehubah bersandar , ;r merupakan pembolehubah tak bersandar, satu persamaan pembezaan berdarjah 2 satu persamaan pembezaan berperingkat2.,
Pilih persamaan pembezaan tak linear daripadaymg berikut:
(a)
)2i ^di 1. L;;* *;r*C,szv dv
(b) *'#* (c)
*=*+2y;
d3ydy.. + , =d; * tu?
Ewcoswt, L,R,C,E,w pemalar sinx
(cos2 "r)y
=
.:sr
...2t-
;
rir'g''
-2-
tNrAT L22l
(d), (r+t2)#-ff+,'=e, (e) ot**r4-4n=o d'v d 3.
Pertimbangkanpersama:rnpembezaan
lt.,rnI\x,y) = y. E=
(A)
Pilih pernyataan yang tidak benar bagi persamaan pembezaan (A).
(a)
f (x,y) O* Idy
(b)
melalui sebarang titik 1ro, )o ) , wujud satu dan hanya satu penyelesaian bagi persamaan pembezaan (A) v
(c)
y= *
(d)
,
=
*
memenuhi persamaan pembezaan (A) bersama syarat
adalah suatu penyelesaian
s}arat Y(0) =
(e) 4.
|
Pada selang
bagi persamaan
)(0) = I
pembezaan
(A)
bersama
(1,2)
y= adalah suatu penyelesaian * Y(0) = 1 Pada selang (-1, 1)
Satu fungsi
satahryr
selanjarpadaseluruh
bagi persamaan pembezaan (A) bersama syarat
N(x, y) supaya persamaan pembezaan
(x-zr-z + ry-z\da + N(-r, !)dy =
0
tepat ialah
(a)
- 2x-'y-3 ' -22 ry-" + k(y)
(b)
(c)
)2*'y-o + , +ft(y) -2x-'y-3 -]r'r-o L
(d)
(e) 5.
zx-t 'y-3 -
,
*'r-o + k(y) - 2-'' zx-'y-t - ,y-^ + k(y) 2' 2x-'y-3 '
^2
^?
Suatu faktor pengamir bagi persamaan pembezaan
xdx
+ ydy + Ayt(x' + yz)dy =
ialah
lfl0
_
g
(B)
IMAT r22l
-3-
6.
Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan (B) ialah
(a) (c)
(r,
(e)
;
(rz + yz1eat' = c 1
+ yz\ezto =
Ln(xz
L
7.
(b) (d)
c
(n(xz + y2) +
la
= (.n c
(r, + yzyeto = c
+ y') * y3 = ,(n c
Diberikan persamaan pembezaan
(2x+Y)4='+2Y+3, "dx
(C)
Penggantian yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan pembezaan (C) ialah
(a) (c) (e)
8.
X=x-|,Y =y+2 x=X-l,y=Y+2 X=x-2,Y =y*1
X=x+2,Y=y-7 x=X-2,y=Y+l
Persamaan pembezaan (C) boleh ditukarkan kepada satu persamaan pembezaan homogen. Pilih persamaan pembezaan homogen tersebut daripada yang berikut:
dY X+zY /\ tor ''o'r E= zx+y dY X +2Y +3 \-/ dX 2X+Y+3 \-/ 9.
(b) (d)
dY X+2Y+3 \cr dx= zx+y-3 dY X +2Y -3 dX zx+y+3
dY X+2y+6 dx= 2x+y
Pilih pernyataan yang tidak benar bagi persamaan pembezaan berikut:
(*'+3xy+yz)dx-xzdy=g
(a) (b)
satu persamaan pembezaan homogen berdarjah 2
? .*;? /"\ dv FlLl
(c) += ax
homogen berdarjah sifar
[r/
dv r,\ (d) ?=Glal ax \.y
i
(e)
Penggantian
| = vx akan menukarkan persamaan pembezaan di atas kepada g
persamaan pembolehubah terpisah
(1+ v2) dx
-
xdv = 0. AI
-4-
10.
Persamaan
Bernoull' i
dv I E*;y-ry
^
IMAT r22)
boleh ditukarkan kepada bentuk
persamaan
pembezaan linear. Pilih persamaan pembezaan linear tersebut daripada yang berikut:
11.
(a) 4*Lv=-x ctx x
(b)
or'-2v=-x (d) axx
(e)
Persamaan cirian bagi persamaan
(a)
(d)
12.
-)"-2 3L2 -)"-2=0
3L2
Diberi ht = p +
iq
dv1 v=-l axx dv,2 -i.f,-V=-X
v=-x
3y"
-Y'-2Y=oialah
(c)
(b)
3L2-L=0
(e)
Tiada jawapan yang lebih sesuai.
3L2
-L
ialah satu punca cirian bagi suatu persamaan pembezaan linear homogen
Euler (eia = cosO + isin
t4.
clx x
axx
peringkat kedua dengan koefisien malar nyata dan
13.
dvl
(C)
q,
+7e\' + r\')
ialah punca cirian kedua. Dari rumus
=
(a)
eP'sinqx
(b)
eP' cos qx
(d)
cosh (/",.r)
(e)
sinh
gy" + hy =
)",
(c)
ePr(cos qx
+ sin qx)
(2rx)
+ 3xz di mana I dan h adalah pemalar-pemalar, mempunyai penyelesaian pelengkap ! = c, cos 2.r + c, sin 2.x. Pilihan yang paling sesuai o untuk penyelesaian khusus ialah yo Persamaan pembezaan
6 sin 2x
(a)
Asin2x+ B cos 2x + Cx2 + Dx + E
(b)
x(A sin 2x + B cos2x) + Cxz + Dx + E
(c)
AsinZx+Bcos2x+Cxz
(d)
x(A sin 2x + B cos 2x) + Cxz + D
(e)
"r214 sin 2x + B cos2x) + Cx2 + Dx + E
Satu persamaan pembezaan tak homogen linear peringkat kedua mempunyai penyelesaian
= cre3' + crxe3'. Dengan kaedah ubahan parameter, dianggap penyelesaian khusus jr, = ue3' + vxe3', dengan u = u(x) dan v = v(x). Syarat yang boleh ditetapkan pelengkap
!,
untuk mencar\ u dan v ialah
(c)
(a)
ue3'+vxe3'=0
(b)
u'e3* =
(d)
U,e3, +V'Xe3, =O
(e)
Tiada jawapan yang lebih sesuai.
O
v'xe3' =
0
...5t-
r42
,
-5ARAHAN:
IMAT
1221
Jawab soalan-soalan (15), (16) dan (17) berpandukan maklumat berikut:
Diberi masalah nilai awal
,l y'=r-x+zy 15.
16.
Dengan menggunakan rumus Euler, pilih rumus untuk
(a)
t1, = (2h
(c)
yk = (l+2h)yo_, *
(e)
yk =
(1
-l)y*-t
+ lh)y
o-.,
+
xo-)
h(l-
(t hl; \"
\ I )
x*_r
(D)
yo daripada yang berikut:
G)
to = (1-2h)t*-tl_ O(+- "0. l \)
(d)
yk = (I + Lh)yo_, + h(t- xo_r)
. 4+- '* l \l IL
Pilih rumus untuk y, daripada yang berikut:
(a) (d) 17.
, 1l(0)=1
yr =
(1
+2h)- x,
),
(1
+ 2h) +
=
(b) 1,r = (1 +2h)- xrfT (e) /1 = (1 + 2h) + xrf7
hlz
Ralat rumus setempat en*, dalam sebutan digunakan bagi masalah nilai awal (D) ialah
x
dan penyelesaian tepat 0
(a)
€n+t
=
(b)
€,+1
= [-27, + zQ(i,>lhz , x,
(c)
€n+t
=
(d)
€n+t
=17,+2Q(i,)fhz , *,
(e)
€n+t
= fx-^ + Q(i,)fh2 , ,^ < 7n < xn *
ARAHAN:
[-t, l-i,
+ 0(7)]h2 ,
+
(c) ),
=
jika
(1
+2h)+
x,
kaedah Euler
x, 17n < xn + h 1ln < xn + h
zQ(i)lh2 , x, 1 7n < xn + h
h
Jawab soalan-soalan (18), (19), (20) berpandukan maklumat berikut:
Diberi x, y dan z adalahfungsi r dan
.4' =-"-. t*+' y-.-rr,
i
Katakan
,/\ ["1 !(t) = ll t,.
dY
i
=
r -r-., + z, -x- +2y
laun Aadalahsuatumatriks
3x3
dz
fr
= 4x+ y
supaya x'7t1
-32.
= Ax(t).
J
...6t-
trs.3 ,;
-6-
18.
Matriks
A
ialah
(3
tttttl -t2
4)
(a) l1 rl l-2 1-3l ( + I -3)
(d) lrt-zl 1.-1
19.
z LJ
(zr-z\
(b) l-rz rl ( 4 1 _3/ (-r
3
,o lzrtl lr-z-3)
f-rz
t\
(c) l3r_21 4 | _3) |
4)
Nilai-nilai eigen bagi matriks A ialah
(a) (d) 20.
IMAT r22l
(b) (e)
l,I, 2 I,
-t, -2
Diberikan bahawa
(c)
l,l, - 2
0,
1.,
2
l, -1,2
y, y dn w adalah vektor-vektor
eigen sepadan dengan nilai-nilai eigen
A. Pilih penyelesaian am 1(t) bagi sistem persamaan di atas daripada yang berikut (c,c, dan c, pemalar sebarangan): bagi matriks
(a) (c)
!e' + cz !e' + c, w e2' ct/e'+czye'+cryt"-''
(e)
ct
c,
!e-'
+ cz
!e'
+ crw
(b)
cr
(d)
,r!.et +czye-t +c.yt"-r,
!e, * cz ye-, + c, w ezt
e3'
...7
rflil.
l-
BAHAGIAN 21.
II:
(a) (D
-7-
IMAT r22)
Jawab kedua-dua soalan.
Tunjukkan bahawa parabola J = x2 dan garis
!
= 2x
- 1 kedua-duanya
adalah
penyelesaian bagi persamaan
!'=2x-zJlcz-y (ii)
dengan )(1)
=
Adakah hal
ini
1.
bercanggah dengan Teorem kewujudan dan keunikan? Jelaskan
jawapan anda.
(b)
Pertimbangkanpersamaanpembezaanhomogen
(r-l)y"-ry'+1,=o (i)
Tentusahkan bahawa
J=
e'
adalah suatu penyelesaian bagi persamaan ini.
Seterusnya, dapatkan penyelesaian tak bersandar kedua.
(ii)
Gunakan keputusan dalam
(i) untuk mencari
penyelesaian am bagi persamzurn
pembezaan tak homogen
(x-l)y"-ry'+!=1. (2s/100) 22.
(a)
Dengan gantian
x - | = v, tunjukkan bahawa persamaan pembezaan d2
;:
-,
+ (x
-
r.'
1)'
#-
o<'
- l)v = o
boleh ditulis sebasai
dzy *+v'-'i ctv'
^ dv av
-4vy=9.
Seterusnya, cari dua penyelesaian siri kuasa yang tak bersandar linear baginya sekitar = 1. Tentukanjejari penumpuan bagi penyelesaian anda.
titik
biasa xo
(b)
Persamaan gerakan bagi suatu jisim m yang dipaut pada suatu spring diberikan oleh
*
o.'!
I dt'
+ lcr = F
di mana g ialah daya graviti (= 93m / saatz), x ialah pertukaran dalam kedudukan jisim tersebut pada masa t, k ialah pemalar spring dan F ialah daya yang dikenakan pada jisim tersebut.
Soalan
jisim beratnya 19.69 dipaut pada satu spring di mana k = 5oglm dan direhatkan. Dapatkan kedudukan jisim pada masa t jika suatu daya sama dengan 4sin2t dikenakan Suatu
padanya.
(2s/100) - ooo0coo -
l 45i \
