2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
Formula Penyederhanaan Penjumlahan Angka Berurutan (Formula Simplification of Sequential Numbers Addition) Oleh (By): Yudi Wahyudin
ABSTRAK
ABSTRACT
Penjumlahan angka berurutan tidak lagi menjadi masalah, karena dapat disederhanakan, yaitu bilamana i merupakan sebuah angka berurutan dari mulai j sampai k, dimana i, j, dan k merupakan angka numerik, maka perhitungan penjumlahannya dapat dihitung dengan cara mengalikan k dengan hasil pertambahan k dengan 1 kemudian hasilnya dikurangi dengan hasil perkalian dari j yang dikalikan dengan hasil pertambahan j dikurangi 1, hasil keseluruhannya kemudian dibagi dengan angka 2.
The sum of sequentially numbers is no longer a problem, because it can be simplified, i.e. when i is a sequentially number starting from j to k, where i, j, and k is a numerical digit, then the sum calculation can be calculated by multiplying k with k-added results with 1 then the result is reduced to the multiplication of j are multiplied by yield increment j minus 1, the overall result is then divided by the number 2. Keywords:
sequentially numbers, formulas, sum sequentially numbers
Kata Kunci: angka berurutan, formula, penjumlahan angka berurutan
Terinspirasi oleh tayangan Metro TV “Penantang Terakhir” yang dimoderatori oleh Helmi Yahya pada Episode 5 (19 Oktober 2012). Pada pertanyaan terakhir yang disampaikan kepada Kontestan Terbaik adalah : “Bilamana angka 1 sampai dengan 100 dijumlahkan jumlahnya akan sama dengan 5050 (Benar atau Salah)?” Setelah diberikan waktu selama 1 menit (60 detik), kontestan menjawab Salah, pendekatan yang dilakukan adalah : dia menghitung dari mulai 1 + 100, 2 + 99, demikian seterusnya sampai dengan 49, dan dia bilang bahwa angka 50 sebagai angka terakhir dan dia yakin bahwa angkanya tidak akan sama dengan 5050, sehingga kontestan tidak dapat memberikan jawaban yang tepat, karena dia menjawab salah.
Inspired by impressions Metro TV "Challenger Last" which was moderated by Helmi Yahya in Episode 5 (October 19, 2012). In the last question submitted to Best Contestants are: "When the numbers 1 to 100 add up the amount will be equal to 5050 (True or False)?" After being given time for 1 minute (60 seconds), contestants answered False, the approach taken was: he counted ranging from 1 + 100, 2 + 99, and so on up to 49, and he said that the number 50 as the last digit, and he believed that the numbers might not be the same as 5050, so that the contestants could not gave an exact answer, because he answered incorrectly.
1|P a g e WP-2012.YDW
Electronic copy available at: http://ssrn.com/abstract=2165513
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
Dengan, pendekatan yang sama, Helmi Yahya, menerangkan bahwa dengan pendekatan yang sama tetapi beda cara, seharusnya perhitungannya dimulai dengan angka 1 + 99, 2 + 98, demikian seterusnya hingga 49 + 51, sehingga 49 x 100 sama dengan 4900 + 100 + 50 dan hasilnya adalah 5050.
With, the same approach, Helmi Yahya, explained that with the same approach but different way, the calculation should started with the numbers 1 + 99, 2 + 98, and so on up to 49 + 51, so 49 x 100 was equal to 4900 + 100 + 50 and the result was to be 5050.
Rumusan perhitungan penjumlahan tersebut dapat dikembangkan menjadi sebuah rumus yang lebih integratif dan dapat dilakukan secara universal terhadap perhitungan angka berurutan.
The sum calculation formula can be developed into a more integrative formula and can be made to the universal calculation of sequentially numbers.
Sebenarnya apa yang dipikirkan oleh kontestan tersebut tidaklah salah, kontestan telah melakukan pendekatan yang benar, karena dengan menjumlahkan 1 + 100 = 101 dan seterusnya jangan berhenti sampai angka 49, melainkan diteruskan hingga mencapai angka 50 + 51, sehingga hasilnya adalah 50 dikali dengan 101 yang tak lain adalah sebesar 5050.
Actually, it was nothing wrong with what was thought by the contestant. He has used the right way to have the answer due to by adding 1 + 100 = 101 and did not stop at 49, but continued till to 50 + 51, then we had 50 times 101 and would be valued as 5050.
Dari sinilah perlu dilakukan penyederhanaan formula atau pendekatan perhitungan, sehingga bilamana kita tentukan bahwa angka 100 itu sama dengan k, maka untuk mendapatkan hasil sama dengan 50, angka k harus dibagi dengan angka 2, sedangkan untuk mendapatkan hasil sama dengan 101, maka angka k harus ditambah dengan nilai 1, sehingga secara sederhana dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut:
From this situation, we can simplify the formula or counting approaches, so that if we define 100 is equal to k, then to have the result is equal to 50, we have to divide k by 2, meanwhile to have the result is equal to 101, then we should add 100 with 1, so that as a simple way, the formula could be denoted as the following equation:
k
⎛ k (k + 1) ⎞ ⎟ ...............................................................................................................(1a) 2 ⎠
∑ (1...k ) = ⎜⎝ i =1
2|P a g e WP-2012.YDW
Electronic copy available at: http://ssrn.com/abstract=2165513
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
Lalu bagaimana bila angkanya tidak dimulai dari angka 1? Bilamana i merupakan angka berurutan dari mulai j sampai k, dimana i, j, dan k merupakan angka numerik, perhitungan penjumlahannya dapat dihitung dengan cara mengalikan k dengan hasil pertambahan k dengan 1 kemudian hasilnya dikurangi dengan hasil perkalian dari j yang dikalikan dengan hasil pertambahan j dikurangi 1, hasil keseluruhannya kemudian dibagi dengan angka 2.
Then, is the approach used to add all sequential numbers that not be begun with number 1? When i was the sequentially numbers starting from j to k, where i, j, and k was a numerical digit, then the sum calculation could be calculated by multiplying k with k-added results with 1 then the result was reduced to the multiplication of j were multiplied by yield increment j minus 1, the overall result was then divided by the number of 2.
Perhitungan angka berurutan dari j hingga k secara matematis dapat dinotasikan dengan persamaan sebagai berikut:
Calculation of the sequentially numbers of j to k can be denoted mathematically by the following equation:
k
⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ ⎟ ................................................................................................(1b) 2 ⎠
∑ ( j...k ) = ⎜⎝ i= j
The test is done by calculating the sum of the sequentially numbers from 1 through 100 that the numbers must be the same as the 5050, then if j = 1 and k = 100, then here are the results of tests using the formula as shown in equation (2):
Tes dilakukan dengan menghitung angka berurutan dari penjumlahan angka 1 sampai dengan 100 yang jumlahnya harus sama dengan 5050, maka jika j=1 dan k=100, maka berikut adalah hasil tes dengan menggunakan formula seperti yang dapat dilihat pada persamaan (2):
⎛ 100(100 + 1) − 1(1 − 1) ⎞ ⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ ⎟ ⎟ = ∑ (1...100) = ⎜ ∑ ( j...k ) = ⎜ 100
k
i= j
⎝
2
⎠
i =1
⎝
2
⎛ 100(101) − 1(0) ⎞ ⎛ 10100 − 0 ⎞ ⎛ 10100 − 0 ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ = 5050 ⎟=⎜ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bagaimana bila j=0 dan k=100, maka dengan formula pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil sebagai berikut: k
....................................(2)
What if j = 0 and k = 100, then the formula in equation (1) can be obtained the following results:
⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ 100 ⎛ 100(100 + 1) − 0(0 − 1) ⎞ ⎟ = ∑ (0...100 ) = ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ i =0 ⎝ ⎠
∑ ( j...k ) = ⎜⎝ i= j
⎠
⎛ 100(101) − 0(−1) ⎞ ⎛ 10100 − 0 ⎞ ⎛ 10100 − 0 ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ = 5050 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
..................................(3)
3|P a g e WP-2012.YDW
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
Persamaan (2) dan persamaan (3) membuktikan bahwa formula di atas dapat digunakan sebagai alat untuk menghitung penjumlahan angka berurutan dari 0 atau 1 sampai dengan 100.
Equation (2) and equation (3) to prove that the above formula can be used as a tool to calculate the sum of sequentially numbers from 0 or 1 to 100.
Untuk membuktikan bahwa formula tersebut berlaku universal, maka mari kita lakukan tes dengan menghitung jumlah angka mulai dari 20 sampai dengan 100. Untuk ini, perlu kiranya dilakukan penyederhanaan dengan melihat tabel berikut ini:
To prove that the formula is universally valid, then let's do a test by counting the number of digits ranging from 20 to 100. For this, we should bear in simplified by looking at the following table:
Sequence 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81
Dengan menggunakan formula pada persamaan (1), maka dapat diperoleh hasil sebagai berikut:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140
Results 100 x 20 = 140 x 20 = 60 x 1 Number
2000 2800 60 4860
By using the formula in equation (1), it can be obtained the following results:
⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ ⎛ 100(100 + 1) − 20(20 − 1) ⎞ ⎟ = ∑ (20...100) = ⎜ ⎟ ∑ ( j...k ) = ⎜ 100
k
i= j
⎝
2
⎠
i = 20
⎝
⎛ 100(101) − 20(19) ⎞ ⎛ 10100 − 380 ⎞ ⎛ 9720 ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 4860 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
⎠
............................(4)
4|P a g e WP-2012.YDW
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
Let us once again test the sequentially numbers from 13 up to 213, then the formula in equation (1) can be obtained sum the results as the follows:
Mari kita tes sekali lagi dengan angka berurutan dari mulai 13 sampai dengan 213, maka dengan rumus pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil penjumlahannya sebagai berikut: k
⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ 213 ⎛ 213(21 3 + 1) − 13(13 − 1) ⎞ ⎟ = ∑ (20...100 ) = ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ i =13 ⎝ ⎠
∑ ( j...k ) = ⎜⎝ i= j
⎛ 213(214) − 13(12) ⎞ ⎛ 45582 − 156 ⎞ ⎛ 45426 ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 22713 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Sequence 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
213 212 211 210 209 208 207 206 205 204 203 202 201 200 199 198 197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183 182 181 180 179 178 177
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226
63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
163 162 161 160 159 158 157 156 155 154 153 152 151 150 149 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226
.............................(5)
Results 226 x 100 = 113 x 1 = Number
22600 113 22713
5|P a g e WP-2012.YDW
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
+ + + + + + + + + + + + +
176 175 174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164
= = = = = = = = = = = = =
226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
+ + + + + + + + + + + + +
126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114
Untuk terakhir kalinya, mari kita tes sekali lagi dengan angka berurutan dari mulai -10 sampai dengan 190, maka dengan rumus pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil penjumlahannya sebagai berikut:
= = = = = = = = = = = = =
226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226
For the last time, let us once again test the sequentially numbers from minus 10 up to 190, then the formula in equation (1) can be obtained sum the results as the follows:
⎛ 190(190 + 1) − (−10)(−10 − 1) ⎞ ⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ ⎟ ⎟ = ∑ ( − 10...1 90) = ⎜ ∑ ( j...k ) = ⎜ 2 2 190
k
i= j
⎝
⎠
⎝
i = −10
⎛ 190(191) + 10(−11) ⎞ ⎛ 36290 − 110 ⎞ ⎛ 36180 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 18090 ⎟=⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ Perhitungan angka berurutan dari j hingga k dapat lebih disederhanakan lagi dengan menggunakan notasi sebagai berikut:
k ⎛ k (k + 1) − j ( j − 1) ⎞ ⎟ = ⎜⎜ ∑ ( j...k ) = ⎜ ⎛
k
i= j
⎝
2
⎠
⎝
2
⎠
..................(6)
Calculation of the sequentially numbers of j to k can be simplified by the following equation:
+ k − j2 + j ⎞ ⎟⎟ 2 ⎠
⎛ (k 2 − j 2 ) + (k + j ) ⎞ ⎛ (k − j )(k + j ) + (k + j ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜ = ⎜⎜ ⎟ ..................................................................(7) 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ k ⎛ (k − j + 1)(k + j ) ⎞ ⇒ ∑ ( j...k ) = ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ i= j Tes formula pada persamaan (7) dilakukan terhadap persamaan (2), (3), (4), (5) dan (6), dimana masing-masing menunjukkan hasil secara berurutan: 5050, 5050, 4860, 22713, dan 18090. Hasil ditunjukkan oleh persamaan (8), (9), (10), (11), dan (12).
The test for the formula in the equation (7) will be applied to each equation (2), (3), (4), (5) and (6), which are each shows the results as the following numbers: 5050, 5050, 4860, 22713 and 18090. The result shows in the equation (8), (9), (10), (11), and (12).
6|P a g e WP-2012.YDW
2012 | Formula Simplification of Sequential Numbers Addition
⎛ (100 − 1 + 1)(100 + 1) ⎞ ⎛ 100(101) ⎞ ⎛ (k − j + 1)(k + 1) ⎞ 100 ( j...k ) = ⎜ ⎟ = 5050 ......(8) ⎟=⎜ ⎟ = ∑ (1...100) = ⎜ ∑ 2 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ i =1 ⎝ i= j k
⎛ (100 − 0 + 1)(100 + 0) ⎞ ⎛ 101(100) ⎞ ⎛ (k − j + 1)(k + 1) ⎞ ⎟ = 5050 ....(9) ⎟=⎜ ⎟ = ∑ (0...100) = ⎜ ∑ ( j...k ) = ⎜ k
i= j
k
100
⎝
2
⎠
i =0
⎝
2
⎠
⎝
⎛ (100 − 20 + 1)(100 + 20) ⎞ ⎛ (k − j + 1)(k + 1) ⎞ 100 ⎟ ⎟ = ∑ (20...100) = ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎠ i = 20
∑ ( j...k ) = ⎜⎝ i= j
⎛ 81(120) ⎞ =⎜ ⎟ = 4860 ⎝ 2 ⎠ k
⎛ (k − j + 1)(k + 1) ⎞ 213 ⎛ (213 − 13 + 1)(213 + 13) ⎞ ⎟ = ∑ (13...213) = ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ i =13 ⎝ ⎠
∑ ( j...k ) = ⎜⎝ i= j
⎛ 201(216) ⎞ =⎜ ⎟ = 22713 2 ⎝ ⎠
⎠
2
.............................(10)
..............................(11)
⎛ (190 − (−10) + 1)(190 + (−10)) ⎞ ⎛ (k − j + 1)(k + 1) ⎞ ⎟ ⎟ = ∑ (− 10...190) = ⎜ ∑ ( j...k ) = ⎜ 2 2 k
i= j
190
⎝
⎛ 201(180) ⎞ =⎜ ⎟ = 18090 2 ⎝ ⎠
⎠
i = −10
⎝
⎠
................(12)
7|P a g e WP-2012.YDW
