Form follows Force Robert-Jan Kustermans - 1390562 Docenten: Jan Engels, Tjalling Homans en Wim Kamerling Definitief rapport, 24-01-2013
0. Voorwoord en Leeswijzer Al sinds de oudheid maken mensen gebruik van boogconstructies. Wellicht in eerste instantie omdat men er achter kwam dat bogen heel sterk zijn bij het maken van overspanningen, maar bogen hebben ook een bepaalde esthetische waarde. Architecten als Calatrava, Candela en Saarinen weten goed gebruik te maken van de elegantie van bogen. In hun architectuur lijken de vorm en constructie samen te smelten in evenwichtige architectuur. Mijn fascinatie voor de gebouwen van deze architecten is het startpunt van dit onderzoek. Ik zal hierin niet alleen de architectonische kwaliteiten van de boog aantonen, maar juist ook de constructieve kant, want een boog zou kunnen gelden als ultieme constructievorm. Voor iedere kracht is er een boog af te leiden, zodanig dat er geen momenten in de constructie optreden. En momenten zijn nu juist precies de krachten waar constructeurs het meeste rekening mee moeten houden: probeer maar eens een stok te breken enkel door te drukken of te trekken: door hem te buigen zal dit veel eenvoudiger gaan. Omdat architectuur en constructie zo dicht bij elkaar liggen bij de keuze voor een boogconstructie heeft dit boekwerk wellicht een wat ongebruikelijke indeling. Ik zal van verschillende case-studies zowel architectonische als constructieve kwaliteiten benoemen. Ik maak dit boekwerk om af te studeren als architect, daarom vind ik het belangrijk dat het boek in eerste instantie aantrekkelijk is voor andere architecten. Je zult als je dit boekje doorbladert in eerste instantie weinig berekeningen vinden. Architectuur van bogen hoort naar mijn mening echter niet los te staan van haar constructie, daarom zal je op verschillende plaatsen in dit boekje vouwbladen vinden, waar op de binnenkant de constructieve en mathematische kwaliteiten worden geanalyseerd en benoemd. De eerste hoofdstukken zijn een inleiding op constructieve en architectonische kwaliteiten van bogen. Feitelijk zouden deze
theory
2
qmax V x y z
Verklaring letters in grafieken Linker oplegging. Rechter oplegging. Scharnierpunt. Constante in functies. Functie van de boog, afhankelijk van x. In m. Puntlast op een constructie in kN. Horizontale reactiekracht in punt a in kN. Verticale reactiekracht in punt b in kN. Hoogte in m. Lengte in m. Moment in kNm. Constante in machtsfuncties zonder eenheid. Rustende belasting in kN/m. Belasting werkende over een bepaalde lengte in kN/m. Functie van de belasting, afhankelijk van x. In kN/m. Resultante van q over een bepaalde lengte in kN/m. Kan ook geschreven worden als int(q). Maximale belasting. Van belang om de stijlheid te bepalen. Variabele zonder eenheid. Horizintale variabele in m. Verticale variabele in m. Meestal afhankelijk van x. Zwaartepunt van een belasting in m.
O J
Verklaring letters in functies Oppervlakte in m2 Soortelijk gewicht in kN/m3
A B C c f(x) F FHa FVb h l M n r q q(x) Q
Q
z F
q
qmax
C
x
h y
FHa
A FVa
3atheory
FHb
B
l
Figuur 0.1.1 Verklaring van gebruikte letters in dit boek.
FVb
theory
3b
0. Inhoudsopgave hoofdstukken naast elkaar kunnen liggen, voor het overzicht heb ik besloten eerst de architectonische kant, en daarna de constructieve kant te behandelen. Om de mechanica van een boog te begrijpen is behoorlijk wat kennis van wiskunde en mechanica nodig. Deze zal in het tweede hoofdstuk behandeld worden. De wiskunde en mechanica die nodig is voor het doorrekenen van een boog is hier stap voor stap uitgewerkt. Rekenregels zijn als algemeen bekende kennis beschouwd: ik zal bijvoorbeeld geen basisregels voor integreren uitleggen, omdat dit onderzoek gericht is op de architectuur van de boog, het boekje moet geen handleiding worden om te leren integreren. Na de architectonische en constructieve inleiding behandel ik een aantal case-studies die mij inspireren. Sommigen zal ik wat dieper behandelen dan anderen. Het doel van het boekje is om uiteindelijk in deel 4 conclusies te trekken uit de eerdere hoofdstukken. Van daaruit hoop ik door te kunnen gaan in een eigen zoektocht naar de ideale boog, waar de vorm van de boog haar krachten weerspiegelt. In een ideale boog bevinden zich dus in principe nooit momenten of dwarskrachten. Tot slot nog een korte uitleg over hoe er in dit onderzoek gebruik wordt gemaakt van een boog. In formules van de boog wordt steeds van een aantal variabelen en constanten gebruik gemaakt. Vooral in hoofdstuk 1 zijn deze nog niet kwantitatief. Wat de letters beteken staat binnen in dit vouwblad uitgelegd. Hierin vind je ook een grafiek van een standaardboog, met aangegeven wat ik bijvoorbeeld bedoel met de waarden x, y, h, l, etc.
3
theory
0.
Voorwoord en Leeswijzer
2.
1.
Architectonische inleiding 1.1 Inspiratie voor dit onderzoek 1.2 Candela, Saarinen en Calatrava
7. 8. 12.
2.
Technische onderzoek 2.1 Nut van een boog 2.2 Verschillende soorten bogen 2.3 Basiskennis statica 2.4 Berekeningen voor een boog 2.5 Berekeningen bij een kettinglijn 2.6 Berekeningen voor een (co)sinus 2.7 Berekeningen voor een cirkelboog 2.8 Belastingen combineren 2.9 Massa van de boog 2.10 Veranderlijke belasting 2.11 De ideale boog
21. 22. 25. 27. 36. 45. 50. 52. 54. 57. 66. 68.
3.
Case studies 71. 3.0 Selectie van de case studies 72. 3.1 Saarinen: Jefferson Expension Memorial 76. 3.2 Calatrava: Reggio Emilia Bridges 80. 3.3 Eiffel: Ponte Garabit 84. 3.4 Wilkinson Eyre: Gateshead Millennium Bridge 86. 3.5 Calatrava: Campo Volantin Footbridge 90. 3.6 Chan: Juscelino Kubitschek Bridge 92. 3.7 Saarinen: David S. Ingalls Hockey Rink 94. 3.8 Williams: LAX theme building 98. 3.9 Piano: Padre Pio Pilgrimage Church 100. 3.10 Saarinen: TWA Terminal 104. 3.11 Calatrava: Ciudad de las Artes y de las Ciencias 110. 3.12 Niemeyer: Palacio da Alvorada 112. 3.13 Kort Samengevat 116.
theory
4
4.
Conclusies
119.
5.
Ontwerpopgave 5.0 Ontwerpopgave 5.1 Scheveningen en de Pier 5.2 Cruise terminal 5.3 Opgave
123. 124. 125. 126. 127.
6.
Ontwerp
129.
7.
Berekeningen voor het ontwerp 7.1 Gevolg a-symmetrische vorm 7.2 Constructief schema 7.3 Belastingen 7.4 Berekeningen 7.5 Conclusie
141. 142. 145. 145. 169. 192.
8.
Reflectie
193.
9.
Bronnen 9.1 Bibliografie 9.2 Verantwoording afbeeldingen
197. 198. 204.
5
theory
6
Deel 1
Architectonische inleiding
7
1.1 Inspiratie voor dit onderzoek Bogen worden al toegepast sinds de Romeinen. Doordat bogen enkel op druk belast zijn, konden zij grote overspanningen maken uit enkel stenen. In het begin gebruikten ze deze vooral voor civiele bouwwerken als bruggen en aquaducten (afb. 1.1.1). Voor veel van deze overspanningen hadden ze een serie bogen nodig. Dit levert als extra voordeel op dat de spatkracht van de ene boog wordt opgeheven door de spatkracht van de volgende. Buiten bruggen zijn de meest bekende vroege voorbeelden van bogen de triomfbogen. Deze werden door de Romeinen gebruikt om legers te eren als ze een veldslag gewonnen hadden. Ook in andere bouwwerken, zoals in het colosseum (afb. 1.1.2) kwam de boog terug. De meeste bogen die door de jaren heen zijn gemaakt zijn gemaakt omdat de makers er grote overspanningen mee konden realiseren. Ook na het Romeinse tijdperk vond de boog zijn toepassing in bruggen. Abraham Darby maakte als één van de eersten een boogbrug in ijzer. De Iron Bridge in Shroshire (bij Birmingham) werd op nieuwjaarsdag in 1781 geopend (afb. 1.1.3) ter vervanging van een veer. Ook in andere civieltechnische gebouwen als stationsgebouwen die overkapt moesten worden bleken bogen functioneel. Aan het eind van de 19e eeuw werd architect Margadant aangenomen bij de Hollandsche IJzeren Spoorweg Maatschappij, waarvoor hij verschillende stations ontwierp (Bramer, 2012). De meest bekende nog bestaande zijn station Den Haag Hollands Spoor (afb. 1.1.4) en Haarlem (afb. 1.1.5). In plaats van series bogen naast elkaar worden in stations series bogen achter elkaar geplaatst, zodat treinen door het station heen kunnen. Bij deze bogen ontstaan echter wel spatkrachten, die vaak opgelost worden door een kabel tussen beide uiteinden (afb. 1.1.4 en 1.1.5). Een iets ouder voorbeeld van een civieltechnisch gebouw is het Crystal Palace, dat in 1850 werd gebouwd voor de wereldtentoonstelling in Londen. Ook hier was er een vraag naar een grote hal, die Paxton overspande met een serie gietijzeren bogen (afb. 1.1.6).
theory
8
9
theory
Afbeelding 1.1.1: aquaduct bij Nimes, 19 v. Chr. Afbeelding 1.1.2: collosseum in Rome, 1e eeuw n. Chr. Afbeelding 1.1.3: Iron Bridge, Shropshire, 1781. Afbeelding 1.1.4: Station Hollands Spoor, 1891. Afbeelding 1.1.5: Station Haarlem, 1906. Afbeelding 1.1.6: Crystal Palace, 1951.
De Spaanse architect Gaudi maakte ook veel gebruik van bogen. Zijn architectuur is een stijl apart, met veel organische vormen. Hij beschouwde natuurlijke vormen en geometrie als hulp bij zijn ontwerpen (Crippa, 2010). Voor zijn constructie gebruikte hij natuurlijke vormen: de meest bekende vorm is die van de Sagrada Familia (afb. 1.1.7 en 1.1.8), afgeleid van een draadmodel. Ook in eerdere ontwerpen maakte hij gebruik van series kettinglijnen. In het Collegio Terasiano uit 1888 (afb. 1.1.9) herken je de sacrale sfeer die de serie bogen oproept. De sfeer onder de kettinglijnbogen in Casa Battlo (afb. 1.1.10) is totaal anders: Erg strak en zakelijk. De boogconstructies houden niet op bij Gaudi: talloze andere architecten en constructeurs maakten nog gebruik van de boog. De mooiste voorbeelden zijn wat mij betreft van de handen van Calatrava en zijn inspiratiebronnen Candela (afb. 1.1.11) en Saarinen (afb. 1.1.12). Een aantal van hun gebouwen zal bij de case-studies terugkomen. Opvallend - en in mijn ogen niet geheel toevallig - is dat al deze drie architecten gefascineerd zijn door het krachtenspel in een gebouw. Ik denk dat de vormen die antwoord geven op dit krachtenspel essentieel zijn voor de schoonheid van hun architectuur.
theory
10
11
theory
Afbeelding 1.1.7: Draadmodel Sagrada Familia, 1883 Afbeelding 1.1.8: Sagrada Familia, 1883-1926 Afbeelding 1.1.9: Colegio Terasiano, 1888-1889. Afbeelding 1.1.10: Casa Battlo, 1904-1906. Afbeelding 1.1.11:Oceanographic, 1997 Afbeelding 1.1.12: Kresge auditorium, 1950-1955
1.2 Candela, Saarinen en Calatrava 1.2.0 Inspiratiebronnen De drie architecten die mij het meest hebben geïnspireerd om onderzoek te gaan doen naar boogconstructies zijn Felix Candela, Eero Saarinen en Santiago Calatrava. Zij maken boogstructuren die een bepaalde logica in hun vorm dragen die lastig te benoemen is. Deze architecten blijken deze logica ook volledig bewust in hun architectuur te hebben ‘gestopt’. Zij zochten in hun ontwerp naar de schoonheid van de mathematische precisie. Saarinen en Candela voorop, als voorbeelden voor Calatrava, die zo geïnspireerd was door Candela dat hij deze in 1994 uitnodigde om bij te dragen aan zijn Ciudad de las artes y de las ciencias in Valencia (Anda Alanís, 2008). [Opmerking: 19-04-2012: dit hele hoofdstuk moet nog een keer goed nagelezen worden: wat is waar, wat is relevant?]
1.2.1 Felix Candela Felix Candela werd in 1910 in Madrid geboren. Hij groeide hier op en genoot zijn opleiding tot architect. Kort na zijn afstuderen in 1935 brak in Spanje een burgeroorlog uit, waarna hij als republikein gevangen werd gezet in een Frans concentratiekamp. Candela had in 1939 het geluk als één van de weinigen te worden geëvacueerd naar Mexico (Norderson, 2008). In 1941 nam hij de Mexicaanse nationaliteit aan, leerde zichzelf de kunst van de civiele techniek en startte hier zijn carrière op. (Anda Alanís, 2008). Hij werd bekend om zijn schaalstructuren in gewapend beton, die vaak niet dikker dan 4 cm waren (afb. 1.2.1-1.2.5). Dit bereikte hij door zijn ontwerpen zó te engineeren dat de vorm antwoordde aan het krachtenspel in zijn ontwerp. Hij maakte weliswaar geen boogconstructies in de vorm waarop mijn onderzoek gebaseerd is, hij was wel bezig met de relatie tussen de vorm en het krachtenspel. Dit gegeven antwoordt wel volledig aan de titel van mijn onderzoek: “Form follows Force”. Candela was sterk gefascineerd van de hyperbolische paraboloïde (afb. 1.2.6): vrijwel al zijn structuren zijn op dit dubbel
theory
12
13
theory
Afbeelding 1.2.1: Oceanographic, 1997 Afbeelding 1.2.2: Lomas de Cuernavaca Chapel, 1959 Afbeelding 1.2.3: Santa Monica Church, 1960. Afbeelding 1.2.4: Lomas de Cuernavaca Chapel, 1959 Afbeelding 1.2.5: Los Manantiales Restaurant, 1958 Afbeelding 1.2.6: Hyperbolische Paraboloide (hypar)
gecurfde vlak gebaseerd. De reden dat hij gefascineerd was van juist deze vorm legt hij in het volgende citaat uit: “...But of all the shapes we can give to a shell, the easiest and the most practical to build is the hyperbolic paraboloid. [...] it is the only warped surface whose equation is simple enough to permit stress calculation by elementary mathematics.” (Candela, 1963). Hieruit valt op te maken dat Candela niet op zoek was naar een ideale vorm, maar naar een berekenbare vorm, die hierdoor dusdanig voorspelbaar was dat Candela hem ontzettend slank kon uitvoeren. Volgens de Anda Alanís (2008:7) is het principe dat het krachtenspel de vorm bepaalde erg belangrijk voor Candela: hij kraakte het ontwerp van Utzon voor het Sidney Opera House af, omdat hier achter de schaalstructuur veel te veel constructie ligt om aan de wil van de architect te voldoen. Op de vraag wat de basis van de vorm zou moeten zijn, het krachtenspel of de wil van de architect, zou hij zeker antwoorden dat het krachtenspel de doorslag moet geven. 1.2.2 Eero Saarinen Als zoon van een bekende Finse architect was de stap voor Eero Saarinen om ook architect te worden niet zo groot. Hij heeft nog een kort uitstapje gemaakt naar een kunstacademie, maar al snel besloot hij in de voetsporen van zijn vader te treden. Hij werd net als Candela in 1910 geboren, en emigreerde ook uit Europa naar Amerika, waar hij de rest van zijn leven werkzaam was. Verschil tussen Saarinen en Candela is dat Saarinen zijn krachtenspel niet volledig met de slankheid van de egale vorm uit, maar juist ook de massieve constructie wil laten zien. De schoonheid die Candela aan de constructieve juistheid van zijn schalen toeschrijft, schrijft Saarinen toe aan de expressie van de zichtbare constructie. In zijn ontwerpen voor bijvoorbeeld de David S. Ingalls Hockey Rink (afb. 1.2.7 en 1.2.8) en de TWA Terminal (afb. 1.2.9 en 1.2.10) is de constructie expres zichtbaar gemaakt. En toch is deze ook in een zekere zin geoptimaliseerd: de bogen en de constructie daartussen (die vooral belast zal zijn op trek) zijn
theory
14
immers vormgegeven met kettinglijnen, waardoor er alleen door veranderlijke belasting momenten in optreden. Volgens Serraino (2007) was het Saarinens doel om de functie van een bouwwerk tot uitdrukking te laten komen in haar constructie. Dit roept direct de vraag op of constructie een functie kan uiten: in de David S. Ingalls Hockey Rink zou je kunnen zeggen dat de grote overspanning die Saarinen maakt nodig is voor de functie. Maar uit de constructie dan ‘IJshockey zaal’ of is de constructie gemaakt om de zaal mogelijk te maken, met andere woorden: vertelt de constructie wel direct iets over de functie, of is de constructie vormgegeven om de functie te faciliteren? Ik denk dat het tweede geval waarheid is, en dat is ook de kritiek die Candela op zijn tijdgenoten uit: zij wensen een vorm, en de constructie wordt daar ondergeschikt aan (Anda Alanís, 2008). Volgens geschriften en uitspraken van Saarinen speelt het krach-
15
theory
Afbeelding 1.2.7: David S. Ingalls Hockey Rink, ‘53-’ 56 Afbeelding 1.2.8: Idem, interieur Afbeelding 1.2.9: TWA Terminal, 1955-1959 Afbeelding 1.2.10: idem, interieur, samenkomst van constructie
tenspel bij hem echter wel een doorslaggevende rol (Saarinen, 1959): de vorm van de hal is immers gebaseerd op de krachten die in de constructie plaatsvinden. Volgens mij sluit Saarinen redelijk aan bij Candela’s zoektocht naar een slanke vorm, die wiskundig afhankelijk is van het krachtenspel. Candela verdeelt het krachtenspel echter over de hele constructie, waar Saarinen de slankheid van de constructie tussen zware constructie-elementen plaatst. Beide benadering hebben materiaalbesparing tot gevolg, de extra potentie bij Saarinen ligt er echter in dat de overspanningen veel groter gemaakt kunnen worden. Ook Saarinen heeft een constructieve basis achter zijn ontwerpopvatting liggen, die hij functioneel expressionisme noemt (Serraino, 2007). Ook aan zijn doel de functie van een bouwwerk door zijn constructie tot uiting te brengen ligt de constructie (force) aan de basis van de vorm. 1.2.3 Santiago Calatrava Net als Candela is Calatrava geboren en opgeleid in Spanje, waar hij ook het grootste deel van zijn ontwerpen gebouwd heeft. Zijn insteek was artistieker dan die van Candela: net als Saarinen is hij begonnen aan een kunstacademie, waar hij snel stopte en opdat hij gefascineerd raakte door een boekje over Le Corubsier overstapte naar architectuur (Jodido, 2007). Zijn kunstzinnige insteek viel ook Michael Levin (2003) op, die besloot een boek samen te stellen met al zijn kunstwerken. Hij beschrijft hierin dat Calatrava - in tegenstelling tot Saarinen - zich volledig afzette tegen ‘form follows function’. In plaats daarvan stelt hij ‘form follows form’ voor, wat Calatrava’s kunstzinnige neiging naar een schone vorm benadrukt. Levin beschrijft het proces waarin Calatrava tot zijn vorm komt. Volgens hem begint Calatrava met een wiskundig onderzoek, experimenten naar beweging en integratie van bewegingen in de structuur. Functie is op deze manier ver ondergeschikt aan de afleiding van de vorm. In zijn werk komt dit ook terug: er zijn amper architecten te bedenken
theory
16
17atheory
Boven: afbeeldingserie 1.2.12: studie voor Lyon Airport Station Links: afbeeldingserie 1.2.13: studie voor een brug Rechts: afbeeldingserie 1.2.14: studie voor Alamillo brug
Afbeeldingserie 1.2.15: Studies van Calatrava naar spanningen in het menselijk lichaam. Met boven: ontwerp voor een tafel.
theory
17b
die zoveel bruggen hebben ontworpen als Calatrava. Een brug heeft geen programma, Levin stelt dat Calatrava bruggen maakt om geen rekening te hoeven houden met programma. Een belangrijke eigenschap die een brug met dit onderzoek verbindt, is het feit dat een brug per definitie een spel aangaat met de zwaartekracht. Een brug is per definitie een dek dat een overspanning maakt tussen twee plaatsen, waarmee zij een antwoord probeert te geven op het technische probleem overspanning (Webster, 1993). Wellicht is dit een tweede reden voor Calatrava om gefascineerd van bruggen te zijn: hij noemt zwaartekracht zijn fascinatie (in: Jodido, 2007). Tijdens zijn studie in Valencia raakte Calatrava gefascineerd door “de mathematische nauwgezetheid die hij in bepaalde historische werken bespeurde” (Jodido, 2007:7). Hij wist alleen niet wat hij hiermee moest, en besloot zijn architectuurstudie voort te zetten aan de ETH in Zurich, waar
17
theory
Afbeelding 1.2.11: Tekening van menselijk figuur. Deze tekening is wellicht representatief voor heel Calatrava’s oevre (Jodido, 2007:21)
hij promoveerde. Verspreid over de inleiding van het boek van Jodido citeert deze uit een interview dat hij voerde met Calatrava. Calatrava merkt in dit interview op welke richting hij in Zürich op is gegaan. Hij is geïnspireerd door de zwaartekracht en wat zij voor de statica betekent. Statica is aldus Calatrava een heel vreemd woord, omdat “alles potentiele beweging is” (in: Jodido, 2007:11). Bij veel van zijn projecten gebruikt Calatrava tekeningen van menselijke figuren (afb. 1.2.11-1.2.15), vrijwel altijd zijn aangespannen spieren te zien. Volgens eigen zeggen is hij geïnspireerd door een uitspraak van Michelangelo uit de 15e eeuw: “L’architettura depende dalle membra dell’uomo”, Architectuur hangt samen met het menselijk lichaam (in: Jodido, 2007:20). De analogie die Calatrava hier schept komt overeen met wat hij eerder in het interview noemt: Statica is een vreemd woord, omdat alles potentiele beweging is. Ik ben het met Levin (2003) eens dat het menselijk lichaam dat hij tekent weliswaar stilstaat, maar in gespannen toestand, klaar om een beweging te gaan maken. Volgens mij is dat waar Calatrava’s architectuur over gaat. Enkele van de meest recente ontwerpen van Calatrava slaan hierin wat mij betreft door: de potentiele beweging die voor hem zo belangrijk is, vertaalt hij meer en meer naar een daadwerkelijk aanwezige beweging. In ciudad de las artes y de las ciencias in Valencia (1991-2006) bijvoorbeeld bouwt hij motoren in de gebouwen, zodat bijvoorbeeld de vleugels open kunnen. De spanning die in zijn vroegere bouwwerken zit, haalt hij daarmee weg. De potentiele beweging, gespannen statische lichamen die zijn architectuur kenmerkten komen in beweging. Hierdoor hoef je je niet meer af te vragen hoe zo’n gebouw ooit stil kan blijven staan, dat doet het immers niet meer. 1.2.4 Ontwerpbenaderingen Het vermoeden dat ik had: dat de schoonheid in de werken van deze drie architecten voortkomt uit het krachtenspel, blijkt volgens critici op deze architecten te kloppen. De benaderingen van
theory
18
de drie architecten zijn echter verschillend: Candela probeerde zijn schalen door berekeningen zo dun mogelijk te dimentioneren. Saarinen probeerde volgens Serraino (2007) de functie te uiten in de constructie, ik ben wat kritisch over of dit kan en klopt. Calatrava probeert de spanningen in het menselijk lichaam te representeren in zijn gebouwen. Hij gebruikt daarbij de kunstzinnige insteek dat hij als architect vormen maakt om de vormen, niet om de functie. De drie architecten zouden volgens mij kort getypeerd kunnen worden in de volgende oneliners: Candela: “mathematische minimalisering” Saarinen: “expressieve constructie” Calatrava: “potentiële beweging vormgeven” Mijn eigen werkwijze - vooral aangetoond in het volgende deel - sluit vooral aan bij Candela’s ontwerpbenadering. De gebouwen die hij hiermee vormgeeft zijn door zijn mathematische benadering heel mooi en slank, maar er mist wat mij betreft ook iets van spanning in. De gebouwen van Saarinen en Calatrava spreken mij wat dat betreft veel meer aan. Vooral de spanning die de schuine bogen in de TWA-terminal oproepen vind ik geweldige vormen. Na het case-study onderzoek zal ik dieper ingaan op mijn ontwerpbenadering wat dit betreft.
19
theory
20
Deel 2
Technisch onderzoek
21
Figuur 2.1.1: Belastingen met hun momentenlijn. Bron: TUDelft.
theory
22
2.1. Nut van een boog Iedere constructie heeft als doel een bepaalde belasting af te dragen. Door deze belasting ontstaan er momenten, dwarskrachten en normaalkrachten in de constructie, die ervoor kunnen zorgen dat de constructie bezwijkt. Nu is het zo dat momenten in de grootste mate ervoor zorgen dat een constructie bezwijkt. Dat weet een kind intuïtief al: geef het een potlood en vraag het deze te breken, dan gaat hij niet trekken of drukken, maar probeert het deze te breken door het te buigen, door er een moment op te zetten. Iedere soort belasting levert een bepaalde momentenlijn op (zie fig. 2.1.1). Als de vorm van de constructie de vorm van de momentenlijn volgt, treedt er in deze constructie geen moment op. Dat is voordelig, want zoals in het voorwoord van dit onderzoek beschreven is een moment het meeste van belang bij het eventueel bezwijken van een constructie. Zoals je hiernaast kan zien is de momentenlijn van een q-belasting een boogvorm (fig. 2.1.1). Nu heeft iedere constructie een eigen-belasting in de vorm van een q-belasting, dus wordt het - tenzij er hele grote puntlasten op de constructie gezet worden - snel aantrekkelijk om een constructie te maken in een boogvorm. Een tweede groot voordeel van een boog is dat in een boog geen trekkrachten ontstaan. Vooral voor bogen in steenachtige materialen is dit nuttig, daar deze materialen heel slecht trekkrachten op kunnen nemen. Door bogen te gebruiken kunnen de fysische eigenschappen van dit soort materialen dus optimaal benut worden. In deze studie ga ik stapsgewijs onderzoeken hoe het krachtenspel in boogconstructies werkt. Allereerst door krachten op een lichaam te zetten en de vorm van de momentenlijnen te onderzoeken. Aan de hand daarvan leid ik de vorm van de boog af van deze krachten. De bogen die hieruit volgen hebben in principe geen massa: dit zijn enkel lijntjes. Later in dit hoofdstuk ga ik de bogen massa geven en door de vorm van het eigengewicht
23
theory
de vorm van een boog te bepalen. Door dit te doen ontstaat een vicueuze cirkel die uiteindelijk tot de ideaalvorm leidt bij alleen eigenbelasting. Ik eindig dit hoofdstuk met het plaatsen van belastingcombinaties op de bogen: hoe reageert een boog als er behalve het eigengewicht ook een puntlast of een vloerveld op gaat rusten.
theory
24
2.2. Verschillende soorten bogen Er zijn verschillende boogvormen, en allemaal hebben ze hun eigen voordelen. In de afbeelding hieronder (fig. 2.2.1) zie je de belangrijkste: van buiten naar binnen de cirkelboog, kettinglijn, parabool en (co)sinus. De rode lijn representeert de cirkelboog. Het grote voordeel van deze boogvorm is dat als je deze boog uit verschillende elementen opbouwt, deze elementen allemaal dezelfde vorm kunnen hebben. Hierdoor kunnen kosten voor het prefrabriceren van de elementen gedrukt worden en bovendien is dit eenvoudiger op de bouwplaats: alle stukken passen op elkaar. Een nadeel van deze boog is dat hij een vaste hoogte heeft, namelijk de helft van de lengte. Dit is op te lossen door er een ellips van te maken, maar dan verlies je het voordeel van gelijke bouwelementen. Ook voor de afdracht van een evenwijdige kracht is de cirkelboog niet ideaal: een cirkelboog vraagt om een radiale, naar het centrum gerichte belasting. Hier kom ik in een later hoofdstuk op terug. De gele lijn representeert de kettinglijn. De kettinglijn is precies gelijk aan haar eigen momentenlijn waardoor er nooit mo-
25
theory
Figuur 2.2.1: Verschillende boogsoorten. Van buiten naar binnen: Cirkelboog, Kettinglijn, Parabool en Sinusboog.
menten in de constructie optreden als er geen andere belasting op de constructie gezet wordt. Een nadeel is dat de vorm van een kettinglijn lastig in formule te voorspellen is als er andere belastingen op gezet worden, maar dat speelt alleen bij een zoektocht naar een ideale boogvorm. De kettinglijn is in deze zoektocht de enige boogvorm die de momentenlijn van haar eigen gewicht representeert, dus in de zoektocht naar de ideale boogvorm zal altijd een ingewikkelde kettinglijnformule besloten zitten. De blauwe lijn is een (kwadratische)parabool. De parabool is een ideale vorm bij een constante q-belasting (zie ook fig. 2.1.1). Naar mate er dus een grotere permanente belasting op een constructie komt gaat de boog meer naar deze vorm neigen. Het grote voordeel van een paraboolvorm is dat deze boogvorm zich eenvoudig laat voorspellen en opschrijven. De laatste lijn heeft de vorm van een sinus. Deze vorm heeft weinig voordelen, behalve als je op zoek bent naar een repeterende boog. Ik neem deze boogvorm wel mee in dit onderzoek, omdat dit de vierde algemeen bekende boogformule is.
theory
26
2.3. Basiskennis statica Voor de berekeningen in de rest van dit deel en in deel 3 is weinig basiskennis van de statica nodig. Voorlopig gaat het onderzoek niet dieper dan het berekenen van een boog zelf, met als uitgangspunt dat het moment in een constructie ten gevolge van de eigen belasting 0 is. De kennis die in dit deel en in deel 3 nodig is wordt hier bondig uitgelegd. 2.3.1 Puntlast op een eenvoudige balk Om dit te kunnen berekenen is het allereerst belangrijk om de oplegreacties te kunnen bepalen. Voor een balk is dit tamelijk eenvoudig. In figuur 2.3.1a zie je een ligger die belast is met een puntlast. Volgens de derde wet van Newton (Factie=-Freactie) zorgt deze puntlast voor een reactiekracht die even groot is. Deze wordt verdeeld over de twee opleggingen. Omdat de puntlast in het midden van het lichaam ligt is de reactiekracht in beide punten de helft van de puntlast (fig. 2.3.1b): Freactie|a=Freactie|B=-0,5 Factie. In de volgende figuur (2.3.2a) ligt de puntlast niet in het midden van de balk. Hier heb je andere middelen nodig om de reactiekrachten te berekenen. Omdat geen van beide opleggingen een moment op kunnen nemen, moet de som van de momenten bij beide opleggingen 0 zijn. Door dit als uitgangspunt te nemen kunnen we de oplegreactie van punt B berekenen door het moment om punt A gelijk aan 0 te stellen: ∑M |A = 0
∑M |A = F
z
⋅ arm − FB ⋅ arm
3 l − FB ⋅ l = 0 4 3 Fz ⋅ l = FB ⋅ l 4 3 Fz ⋅ l 4 FB = l 3 FB = Fz 4 Fz ⋅
27
theory
Figuur 2.3.1 a-c
Figuur 2.3.2 a-c
F
A
F
B
1/2l
1/2l
A
1/4l B
3/4l F
F
1/2F
1/2F
1/4F
3/4F
3/16Fl
1/4Fl
Figuur 2.3.3 a-c
Figuur 2.3.4
F2 A
1/2l
1/2F2 1/4F1
s 1/4l B
1/4l F2
F
F1
F1 1/2F2 3/4F1
1/8l s 1/8l s
1/4F2l+ 1/8F2l+ 1/8F1l 3/16F1l
Figuur 2.3.1-2.3.4 Krachten, oplegreacties en momentenlijnen.
1/2F
F
F2
1/8l
F1
3/4F
1/2F2 3/4F1
theory
28
De reactiekracht in oplegging B is dus 3/4 van de puntlast, dan moet volgens de wet van Newton de reactiekracht in oplegging A de rest van de reactiekracht leveren, dus 1/4 van de puntlast (figuur 2.3.2b). Dit werkt hetzelfde bij twee puntlasten (figuur 2.3.3a en 2.3.3b). De berekening staat hieronder uitgewerkt. Op dezelfde manier als in geval 2 is de belasting bij oplegging A gelijk aan de rest van de actiekracht, dus 3/4 Fz1+1/2 Fz2. ∑M |A = 0
∑M |A = F
z1
⋅ arm + Fz 2 − FB ⋅ arm
3 1 l + Fz 2 ⋅ l − FB ⋅ l = 0 4 2 1 3 Fz 1 ⋅ l + Fz 2 ⋅ l = FB ⋅ l 2 4 3 1 Fz 1 ⋅ l + Fz 2 ⋅ l 4 2 FB = l 1 3 FB = Fz 1 + Fz 2 4 2 2.3.2 Momentenlijn Door de hierboven beschreven belastingen ontstaat buiging, en dus een moment in de balk. Dit moment verschilt op ieder punt in de balk, en kan weergeven worden met een momentlijn. Voor het bepalen van het moment op een bepaald punt in een balk kan een algorithme opgesteld worden, waar een formule van afgeleid kan worden. Het moment in punt s, op 1/8 l van de oplegging in het bovenste geval van figuur 2.3.4 is te berekenen door de balk af te snijden, en naar éen van beide delen te kijken. Het moment is hier gelijk aan de kracht maal de arm van iedere kracht in dat onderdeel. Hier dus als volgt: Fz 1 ⋅
29
theory
3 7 l ⋅ Fz − l ⋅ FB 8 8 3 7 1 ∑ M | s = 8 l ⋅ Fz − 8l ⋅ 2 Fz 3 7 ∑ M | s = 8 l ⋅ Fz − 16l ⋅ Fz 1 ∑ M | s = − 16l ⋅ Fz Neem je in plaats van 1/8 l nu voor de afstand tot oplegging A x, dan ligt Fz 1/2l - x van punt x af. Dan krijg je de berekening hieronder: ⎞ ⎛1 ∑ M | x = ⎜⎝ 2 l − x ⎟⎠ ⋅ Fz − (l − x ) ⋅ FB 1 ⎞ ⎛1 ∑ M | x = ⎜⎝ 2 l − x ⎟⎠ ⋅ Fz − (l − x ) ⋅ 2 Fz
∑ M |s
=
1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 = ⎜ l − x ⎟ ⋅ Fz − ⎜ l − x ⎟ ⋅ Fz 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 1 ∑ M | x = − 2 x ⋅ Fz Hierbij moet wel opgemerkt worden dat zodra de snede voorbij de puntlast genomen wordt, het linker deel van de berekening komt te vervallen, waardoor de uitkomst (-1/2l+1/2x)Fz wordt. De momentenlijn die met deze formule gevormd wordt is te zien in afb. 2.3.1c. Voor gevallen 2 en 3 kan de vergelijking op dezelfde wijze worden uitgevoerd. Op de volgende pagina vind je de berekening voor de momenten bij x2 en x3. Ook bij deze beide reacties geldt dat zodra x zich voorbij de puntlasten bevindt, deze niet meer meedoen, en de formule zich beperkt tot het rechterdeel: (1/4l-1/4x)Fz bij geval 2, en afhankelijk of x alleen Fz1 of beide puntlasten voorbij is respectievelijk (1/4l-1/4x)Fz1-(1/2x)Fz2 of (1/4l-1/4x) Fz1-(1/2l-1/2x)Fz2. Beide momentenlijnen die deze formules representeren
∑M |x
theory
30
⎞ ⎛1 = ⎜ l − x 2 ⎟ ⋅ Fz − (l − x 2 ) ⋅ FB ⎠ ⎝4 1 ⎞ ⎛1 ∑ M | x 2 = ⎜⎝ 4 l − x 2 ⎟⎠ ⋅ Fz − (l − x 2 ) ⋅ 4 Fz 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ∑ M | x 2 = ⎜⎝ 4 l − x 2 ⎟⎠ ⋅ Fz − ⎜⎝ 4 l − 4 x 2 ⎟⎠ ⋅ Fz 3 ∑ M | x 2 = − 4 x 2 ⋅ Fz ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ∑ M | x 3 = ⎜⎝ 4 l − x 3 ⎟⎠ ⋅ Fz 1 + ⎜⎝ 2 l − x 3 ⎟⎠ ⋅ Fz 2 − (l − x 3 ) ⋅ FB 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 = ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 1 + ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 2 − ( l − x 3 ) ⋅ ⎜ Fz 1 − Fz 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4
∑M |x
2
1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 = ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 1 + ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 2 − ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 1 − ⎜ l − x 3 ⎟ ⋅ Fz 2 4 2 ⎝2 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎠ ⎝4 3 1 ∑ M | x 3 = − 4 x 3 ⋅ Fz 1 − 2 x 3 ⋅ Fz 2 zijn te vinden in figuren 2.3.2c en 2.3.3c. 2.3.3 Q-last op een eenvoudige balk De volgende stap is het doorrekenen van dezelfde balk met een q-last. Met de basiskennis die hierboven verkregen is kan dit redelijk eenvoudig. Een q-last is eigenlijk gewoon een oneindig grote serie puntlasten over lengte l. Deze is wordt dus standaard geschreven in de vorm van en kracht over een lengte: kN/m. Wil je op de zelfde manier als hierboven de oplegreacties bepalen, dan moet je dus eerst de q-last vermenigvuldigen met de lengte waarover hij werkt: l, en daarna met het zwaartepunt. Bij een regelmatige q-last ligt het zwaartepunt op de helft van de lengte waarover hij werkt. Nemen we weer de som van de momenten om oplegging A=0 dan wordt de berekening van de oplegreactie in punt B als volgt:
31
theory
∑ M | A =0 ∑ M | A =q ⋅ l ⋅ z − F
B
⋅l
1 l 2 1 q ⋅ l ⋅ l − FB ⋅ l = 0 2 1 FB ⋅ l = q ⋅ l 2 2 1 FB = ql 2 De totale actiekracht is ql, dus de andere helft van de reactiekracht, in punt A is 1/2ql: hetzelfde als de reactiekracht in punt B. Het moment op punt x kan nog steeds op dezelfde manier als hierboven worden uitgerekend: door de balk door te snijden op punt x, met een afstand x tot punt A. De berekening ziet er dan als volgt uit: z =
∑M |x z =
=q ⋅ (l − x ) ⋅ z − FB ⋅ (l − x )
1 (l − x ) 2
1 1 (l − x ) − ql ⋅ (l − x ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ∑ M | x = 2 ql − qlx + 2 qx − 2 ql + 2 qlx 1 1 ∑ M | x = 2 qx 2 − 2 qlx De momentenlijn met de opleggingen zijn hier naast te vinden in figuur 2.3.5a t/m c.
∑M |x
=q ⋅ (l − x ) ⋅
theory
32
2.3.4 Belasting op een spant. Er gaan meer krachten meespelen als de balk op poten wordt gezet. In voorgaande voorbeelden traden er geen horizontale reactiekrachten op, of waren deze niet te berekenen omdat deze door alle punten in de balk gingen. Ze waren om dezelfde reden ook niet van invloed op de momentenlijn. Als de balk op poten gezet wordt, gaan deze krachten wel van invloed zijn, omdat ze een arm hebben ten opzichte van de plaats waar omheen het moment wordt berekend. Om de horizontale reactiekrachten te berekenen is het nodig dat de constructie statisch bepaald is. Statisch bepaald betekent niet meer dan dat de constructie door te rekenen is, dat er in voldoende punten een evenwichtsvergelijking opgesteld kan worden. Hartsuijker (2007) legt in zijn boek uit hoe te bepalen is of een constructie statisch bepaald of statisch onbepaald is, ik ga niet dieper dan vertellen dat het nodig is een derde scharnier in het spant in te voegen om hem eenvoudig door te kunnen rekenen. Voorlopig benader ik alle constructies alsof ze statisch bepaald zijn (statisch onbepaalde constructies zijn immers veel ingewikkelder door te rekenen). In dit onderzoek ga ik geen statisch bepaalde constructies doorrekenen. q
h l
l
1/2ql
1/2ql
1 ql2 8h
1 ql2 8h
1/2ql
1/2ql 2
1/8ql
2
1/8ql
2
1/8ql
Figuur 2.3.5 a-c Krachten, oplegreacties en momentenlijn bij een gelijkmatige q-belasting.
33
theory
Figuur 2.3.6 a-c Krachten, oplegreacties en momentenlijn bij een gelijkmatige q-belasting op een driescharnierspant
We hebben dus een driescharnierspant waar een q-last op rust (fig. 2.3.6). De verticale reactiekrachten zijn nu hetzelfde als voorheen te berekenen, deze zijn bij een symmetrische belasting de helft van de totale belasting, dus 1/2ql. Ne we deze reactiekracht weten, kunnen we de spatkrachten berekenen door de som van de momenten door punt C te nemen. Punt C is een scharnier, dus hier kunnen geen momenten optreden. De berekening ziet er dan als volgt uit: ∑ M |C = 0 1 1 l ⋅ FVa − l ⋅ q ⋅ z − FHa ⋅ h 2 2 1 1 1 z = ⋅ l = l 2 2 4 1 1 1 1 l ⋅ ql − ql ⋅ l − FHa ⋅ h = 0 4 2 2 2 1 2 1 2 ql − ql = FHa ⋅ h 4 8 1 FHa = ql 2 8h De spatkrachten zijn dus omgekeerd evenredig afhankelijk van h: wordt h 2x zo groot, dan wordt de spatkracht 2x zo klein. Deze spatkrachten vormen een nadeel voor boogconstructies: doordat de poten naar buiten willen, moet de fundering niet alleen verstevigd zijn in de verticale richting (met heipalen), maar ook in horizontale richting. In rotsachtige gebieden leveren de rotsen vaak zelf al genoeg horizontale reactiekracht. In Nederland wordt vaak een boogbrug met onderspanning toegepast. Omdat de poten aan beide kanten een gelijke spatkracht hebben, kan deze kracht met een kabel tussen beide poten opgenomen worden. Ook dit driescharnierspant kunnen we afsnijden en daarmee kunnen we weer het moment in de constructie doorrekenen. De formule voor dit moment wordt nu als volgt. Het opvallende is dat de laatste twee termen in de poten niet meedoen, waardoor de paraboolvorm pas in de ligger begint:
∑ M |C
=
theory
34
∑M |x
= FVa ⋅ (l − x ) − FHa ⋅ y − q ⋅ z ⋅ (l − x )
1 (l − x ) 2 1 1 1 2 ∑ M | x = 2 ql ⋅ (l − x ) − 8h ql 2 ⋅ y − q ⋅ 2 (l − x ) 1 1 1 1 1 ∑ M | x = 2 ql 2 − 2 qlx + 8h ql 2 y − 2 ql 2 + qlx − 2 qx 2 1y 1 1 ∑ M | x = 8h ql 2 + 2 qlx − 2 qx 2 De momentenlijn die hiermee gevormd wordt is weer te zien in figuur 2.3.6. Je ziet dat nu het moment behalve van een verticale component ook van een horizontale component afhangt. z =
35
theory
2.4. Berekeningen voor een boog. 2.4.0 Inleiding Met de basiskennis van het driescharnierspant kunnen we door naar de boogconstructie. In feite blijven de berekeningen hetzelfde, immers: de horizontale reactiekracht werkt puur horizontaal, en is enkel afhankelijk van een verticale arm. Op dezelfde manier werkt op de verticale reactiekracht alleen een horizontale arm. Het verschil met het driescharnierspant in de vorige paragraaf is echter dat nu als de snede wordt verplaatst, er zowel horizontaal als verticaal een verandering plaatsvindt: bij het driescharnierspant vond steeds óf een verticale, óf een horizontale verandering plaats. Voor de formule zelf maakt dit niet uit, alleen voor de uitkomst van het moment in het lichaam. Zoals ik in hoofdstuk 2.3 al aangaf zullen alle bogen die in dit onderzoek behandeld worden, beschouwd worden alsof ze een derde scharnier in de top hebben. Dit om de berekeningen eenvoudiger te houden. 2.4.1 Ideale boog bij een q-last zoeken Nu we de vastgesteld dat de formule waarmee we de momenten in een boog kunnen berekenen vergelijkbaar is aan die in een driescharnierspant, kunnen we de vorm van de ideale boog opstellen. In de ideale boog treden geen momenten op, dus moet gelden: ∑M |x = 0 We willen een formule in de vorm van y=ax. Dat wetende, kunnen we de formule die we hadden als volgt uitwerken: 1y 1 1 ∑ M | x = 8h ql 2 + 2 qlx − 2 qx 2 ∑M |x = 0 1y 1 1 ql 2 + qlx − qx 2 = 0 8h 2 2 1y 1 1 ql 2 = qx 2 − qlx 8h 2 2
theory
36
⎛1x2 1x ⎞ y = 8h ⋅ ⎜ − ⎟ 2 2 l ⎠ ⎝2 l hx 2 hx y =4 2 −4 l l 2.4.2 Ideale boog bij een andere belasting Deze berekening is gebaseerd op een gelijkmatig verdeelde q-belasting. De eigenbelasting van een boog is echter niet gelijkvormig: aan de zijkanten staat de boog meer verticaal, daar is de (verticale) zwaartekracht dus groter. Om niet te grote stappen te maken zullen we dit eerst narekenen bij een lineair aflopende belasting, zoals in figuur 2.4.1. De formule van deze belasting is tussen 0 en 1/2l: q ⋅x q = q max − max 1 l 2 Na 1/2l klopt de formule niet meer. Dit is te voorkomen door de formule absoluut te maken, maar daar de belasting symmetrisch is, is de momentenlijn en dus de boog dat ook. Dus is het voldoende de momentenlijn voor de helft van de boog uit te rekenen. Het eerste wat we moeten doen is de oplegreacties bepalen. Dit is wat lastiger dan bij een gewone q-last, omdat de belasting niet overal gelijk is. De grootte van de verticale reactiekracht is de helft van de totale belasting. De totale belasting bestaat uit twee driehoeken met basis 1/2l en hoogte qmax. Dan is de totale belasting 1/2 maal basis maal hoogte, dus: 1 ⎛1 ⎞ Ftotaal = ⋅ ⎜ l ⋅ q max ⎟ ⋅ 2 2 ⎝2 ⎠ 1 Ftotaal = q maxl 2 Dit is de oppervlakte onder de lijn van de q-last, dus ook te schrijven als integraal: l
Q = ∫ q ( x ) dx 0 De reactiekracht in punt A is dan de integraal van 0 tot 1/2l, dus:
37
theory
FVa =
∫
0,5l
FVa =
∫
0,5l
0
0
q ( x ) dx 2q max x ⎛ ⎜q max − l ⎝
⎞ ⎟ dx ⎠ 0,5l
FVa
⎡ 2q max x 2 ⎤ = ⎢q max x − ⎥ 2l ⎦0 ⎣
1 1 q maxl 2 q maxl − l 2 4 1 1 FVa = q maxl − q maxl 2 4 1 FVa = q maxl 4 Dit is niet geheel toevallig precies de helft van Ftotaal, de waarde die verwacht werd. De horizontale reactiekracht is te berekenen door het moment om punt C te nemen (fig. 2.4.2): ∑ M |C = 0 FVa =
∑ M |C
= FVa ⋅
1 l − FHa ⋅ h − Q ⋅ z 2
1 l − FHa ⋅ h − Q ⋅ z = 0 2 1 FVa ⋅ l − Q ⋅ z = FHa ⋅ h 2 1 FVa ⋅ l − Q ⋅ z 2 FHa = h Q in deze formule is de totale grootte van q over 0 tot 1/2l. Zwaartepunt z is volgens wiskundige basisregels te bepalen: het zwaartepunt van een driehoek ligt immers op 1/3 van haar totale lengte. In dit geval dus op 2/3 van punt C. De totale lengte van de driehoekige kracht is 1/2l, dus z bevindt zich in dit geval 1/3l van punt C. Als we alles invullen komen we verder: FVa ⋅
theory
38
1 1 ⎞ 1 ⎛1 q maxl ⋅ l − ⎜ q maxl ⎟ ⋅ l 4 2 ⎝4 ⎠ 3 FHa = h 1 1 FHa = q maxl 2 − q maxl 2 8h 12h 1 FHa = q maxl 2 24h Voor latere berekeningen is het handig om deze functie als een som van integralen te schrijven: Q is de totale grootte van de belasting, dus de integraal van q over 0 tot 1/2l. De wiskunde levert een algemene formule voor z. Links voor het zwaartepunt vanaf de x-as, rechts voor het zwaartepunt vanaf punt x: x
z
x
∫ xf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 0
z
x
0
∫ xf ( x ) dx =x − ∫ f ( x ) dx 0
x
0
Figuur 2.4.1 Lineair aflopende belasting op een boog.
q
h l
Figuur 2.4.2 Scharnierend punt C in een boog met de oplegreactie
C 1 2 8hql
B
A 1/2ql
39
1 2 8hql
1/2ql Figuur 2.4.3 Opdelen van een deel van de belasting in een driehoek en een rechthoek.
theory
Punt x in deze formule is 0,5l, q maal z is dan dus: Q =
∫
0,5l
0
q ( x )dx
1 z = l − 2
∫
0,5l
0
∫
0
Q ⋅z =
∫
0,5l
0
x ⋅ q ( x )dx
0,5l
q ( x )dx
⎛ 1 q ( x )dx ⋅ ⎜ l − ⎜⎜ 2 ⎝
∫
x ⋅ q ( x )dx ⎞ ⎟ 0,5l ⎟ ∫0 q ( x )dx ⎟⎠
0,5l
0
0,5l 0,5l 1 l ⋅ ∫ q ( x )dx − ∫ x ⋅ q ( x )dx 0 0 2 is dan te schrijven als:
Q ⋅z =
FHa
0,5l 0,5l 0,5l 1 ⎛1 ⎞ l ⋅ ∫ q ( x )dx − ⎜ l ⋅ ∫ q ( x )dx − ∫ x ⋅ q ( x )dx ⎟ 0 0 0 2 2 ⎝ ⎠ FHa = h 1 0,5l FHa = ⋅ ∫ x ⋅ q ( x )dx h 0 Werken we dit uit, dan komen we weer op: 2q max x ⎞ 1 0,5l ⎛ FHa = ⋅ ∫ x ⋅ ⎜q max − ⎟dx 0 h l ⎠ ⎝ 0,5l
FHa
2q max x 3 ⎤ 1 ⎡1 = ⋅ ⎢ q max x 2 − ⎥ h ⎣2 3l ⎦0
FHa =
2q maxl 3 ⎞ 1 ⎛1 ⋅ ⎜ q maxl 2 − ⎟ h ⎝8 24l ⎠
1 1 ⋅ q maaxl 2 h 24 Nu hebben we alle oplegreacties bepaald, de volgende stap is de functie van de ideale boog bepalen. Dit kan door de som van de momenten weer gelijk te stellen aan 0: FHa =
theory
40
∑M |x ∑M |x
Nu kunnen we de hele formule voor y invullen. Algemeen geldt: F ⋅ x −Q ⋅ z y = Va FHa
=0 = FVa ⋅ x − FHa ⋅ y − Q ⋅ z
FVa ⋅ x − FHa ⋅ y − Q ⋅ z = 0 FHa ⋅ y = FVa ⋅ x − Q ⋅ z FVa ⋅ x − Q ⋅ z FHa Deze formule geldt voor iedere boog bij iedere q-last. We kunnen haar nog niet helemaal uitwerken, omdat z en Q nog niet bepaald zijn. Beide zijn te bepalen door de belasting over 0 tot x als een rechthoek met een driehoek erop te beschouwen (figuur 2.4.3), het is echter handiger voor latere berekeningen om de eerder genoemde integralen te nemen. De integraal voor z is dan: y =
x
∫ xf ( x ) dx =x − ∫ f ( x ) dx 0
z
x
0
De grootte van Q is nu: x
q ( x ) dx Gecombineerd levert dit: ⎛ x Q ⋅ z = ∫ q ( x ) dx ⋅ ⎜ x − 0 ⎜⎜ ⎝
∫
0
)
(
x
x
0
0
∫ xq ( x ) dx ⎞⎟ ⎟ ∫ q ( x ) dx ⎟⎠ x
0
x
⎡1 ⎡ 2q max x 2 ⎤ 2q max x 3 ⎤ 2 − − q x = x ⎢q max x − max ⎥ ⎥ ⎢ 2l 3l ⎦0 ⎣ 2 ⎦0 ⎣ q 2q max 3 1 = q max x 2 − max x 3 − q max x 2 + x l 2 3l x3 1 1 = q max x 2 − q max l 2 3
41
theory
0,5l
0
x
x
0
0
q ( x )dx − x ∫ q ( x )dx + ∫ xq ( x )dx
1 0,5l xq ( x )dx h ∫0 Met de belasting in dit geval geldt dan: F ⋅ x −Q ⋅ z y = Va FHa
⎛1 1 1 x3 ⎞ q maxl ⋅ x − ⎜ q max x 2 − q max ⎟ 4 3 l ⎠ ⎝2 y = 1 q maxl 2 24h 2 6 xl − 12x 2l + 8x 3 y =h l3 x3 x2 x y = 8h 3 − 12h 2 + 6h l l l
x
0
= x ∫ q ( x ) dx − ∫ xq ( x ) dx x
y =
x∫
2.4.2 Basisformule afhankelijk van q Het valt mij nu op dat er een relatie lijkt te zijn tussen de belasting q=qmax(x/l)n en y. Het lijkt er op dat bij een paraboolvormige boog de formule van y geschreven kan worden afhankelijk van (x/l) als: n
q = q max
⎛ 2x ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ l ⎠
n +2
n +1
n
1
⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ + Vn +1 ⋅ h ⎜ ⎟ + Vn ⋅ h ⎜ ⎟ + ... + V1 ⋅ h ⎜ ⎟ y = Vn + 2 ⋅ h ⎜ ⎟ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ Om dit te testen is het nuttig eerst een formule voor q op te stellen, waarbij het dal of de top altijd door 1/2l gaat. Op die manier zijn de formules eenvoudig te vergelijken. De top
theory
42
y =h
x∫
0,5l
0
∫
0,5l
y =h
0,5l
0
x
0
xq ( x )dx
0
x∫
x
0
q ( x )dx − x ∫ q ( x )dx + ∫ xq ( x )dx n
x ⎞ ⎛ 2x q maxx ⋅ ⎜ − 1⎟ dx − x ∫ q max 0 ⎝ l ⎠
∫
0,5l
0
x
x
n +1 ⎡ l − 2x ) ⎤ ( x ⎢ −q max ⋅ ⎥ 2 (n + 1) l n ⎥⎦ ⎢⎣ 0
n +1 ⎡ (l − 2x ) (l + 2x (n + 1) ) ⎤ ⎢ −q max ⋅ ⎥ 4 (n 2 + 3n + 2) l n ⎢⎣ ⎥⎦ 0
0,5l
x (l ) −x ⋅ 2 (n + 1) l n n +1
q max y =h
n +1
n +1
q max ⋅ 2x ( l − 2x ) (n + 1)
n +1
y =h
−
(l
− 2x )
n +1
+ 2x (n + 1) )
l n +2 (n + 1) (n + 2)
2x ( n + 2 ) ( l − 2x )
42atheory
(l
(n + 1) (n + 2)
n +1
y =h
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(l − 2x ) (l + 2x (n + 1) ) x ( l − 2x ) x (l ) x (l ) l n +2 q q q q + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ max max max max 2 (n + 1) l n 2 (n + 1) l n 2 (n + 1) l n 4 (n 2 + 3n + 2) l n 4 (n 2 + 3n + 2) l n n +1
q max ⋅
n +1 ⎞ ⎛ (l − 2x ) (l + 2x (n + 1) ) l n +2 ⎜ − − q ⋅ ⎟ + −q max ⋅ max ⎟ ⎜ 4 (n 2 + 3n + 2) l n 4 (n 2 + 3n + 2) l n ⎠ ⎝ l n +2 ⋅ 4 (n 2 + 3n + 2) l n
n +1 n +1 ⎛ l − 2x ) l) ( ( + q max ⋅ ⎜ −q max ⋅ ⎜ 2 (n + 1) l n 2 (n + 1) l n ⎝
q max
y =h
n
⎛ 2x ⎞ ⋅⎜ − 1⎟ dx ⎝ l ⎠
n +1 n +1 ⎡ ⎡ (l − 2x ) (l + 2x (n + 1) ) ⎤ l − 2x ) ⎤ ( ⎥ − x ⎢ −q max ⋅ ⎥ + ⎢ −q max ⋅ 2 (n + 1) l n ⎥⎦ 4 (n 2 + 3n + 2) l n ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0
0,5l
y =h
xq max
n
x ⎞ ⎛ 2x ⋅⎜ − 1⎟ dx + ∫ xq max 0 ⎝ l ⎠ n ⎛ 2x ⎞ ⋅⎜ − 1⎟ dx ⎝ l ⎠
− ( l − 2x )
n +1
l n +2
(l
+
n +1
l n +2 4 (n 2 + 3n + 2) l n
l n +2 (n + 1) (n + 2)
+ 2x (n + 1) ) + l n + 2
theory
42b
y
y
y
y
⎛ ( 2xn + 4x ) (l − 2x )n +1 (l + 2xn + 2x ) (l − 2x )n +1 ⎞ =h⎜ − + 1⎟ n +2 n +2 ⎜ ⎟ l l ⎝ ⎠ n +1 ⎛ (l − 2x ) + 1⎞⎟ = h ⎜ ( ( 2xn + 4x ) − (l + 2xn + 2x ) ) ⎜ ⎟ l n +2 ⎝ ⎠ n +1 ⎛ (l − 2x ) + 1⎞⎟ = h ⎜ ( −l + 2x ) ⎜ ⎟ l n +2 ⎝ ⎠ n +1 ⎛ (l − 2x ) + 1⎞⎟ = h ⎜ −1(l − 2x ) ⎜ ⎟ l n +2 ⎝ ⎠
y = −h
(l
− 2x )
n +2
+h
l n +2
n +2
⎛ l − 2x ⎞ y = −h ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ l
+h n +2
⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ − 1⎟ ⎟ y = −h ⎜ − ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l
43atheory
+h
theory
43b
van xn ligt altijd op x=0. Om de top op 1/2l te krijgen moet x vervangen worden door (x-1/2l). Voor x=1/2l komt er dan uit (x-1/2l) = 0. En de top van een parabool ligt altijd bij x=0. Nu moet gelden dat bij x=0 en x=l dat q=qmax. Dan moet (x1/2l) daar dus gelijk zijn aan 1. Bij een machtsfunctie geldt y=1 bij x=1 en x=-1. Om y=1 te krijgen moet dus voor x=0 en x=l gaan gelden (x-1/2l)=1. Invullen levert 0-1/2l=1 en l-1/2l=1. Dus -1/2l=1 en 1/2l=1. Dit lukt voor beide vergelijkingen als we delen door 1/2l. X in de formule q=qmaxxn moet dus vervangen worden door: l ⎞ ⎛ ⎜x − 2⎟ ⎜ l ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎞ ⎛ 2x − 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝ l De algemene formule wordt dan: n
⎞ ⎛ 2x q = q max ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝ l Met deze formule kunnen we de integraal invullen en de algemene formule afleiden. De afleiding van de formule kost veel ruimte, en is om deze reden terug te vinden in de binnenzijde van dit vouwblad. De uitkomst van deze uitwerking is: 0,5l x x x ∫ q ( x )dx − x ∫ q ( x )dx + ∫ xq ( x )dx 0 0 0 y =h 0,5l ∫ xq ( x )dx 0
n +2
⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ +h y = −h ⎜ − ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l Om een idee te krijgen hoe deze formules geschreven kunnen worden staan hieronder een aantal voorbeelden waaraan valt te zien dat mijn vermoeden voor de schrijfwijze van klopte.
43
theory
⎛ 2x q( x ) = qmax ⎜ ⎝ l ⎛ 2x q( x ) = qmax ⎜ ⎝ l ⎛ 2x q( x ) = qmax ⎜ ⎝ l ⎛ 2x q( x ) = qmax ⎜ ⎝ l
0
⎞ − 1⎟ ⎠ 1 ⎞ − 1⎟ ⎠ 2 ⎞ − 1⎟ ⎠ 3 ⎞ − 1⎟ ⎠
hx 2 hx +4 2 l l 3 hx hx 2 hx y = 8 3 − 12 2 + 6 l l l 4 3 hx hx hx 2 hx y = −16 4 + 32 3 − 24 2 + 8 l l l l 5 4 3 hx hx hx hx 2 hx y = 32 5 − 80 4 + 80 3 − 40 2 + 10 l l l l l y = −4
2.4.3 Kort samengevat Uit bovenstaande formules valt een aantal zaken af te leiden: 1. voor iedere belastingvorm bestaat een formule voor y die als volgt geschreven kan worden: x x 0,5l x ∫ q ( x )dx − x ∫ q ( x )dx + ∫ xq ( x )dx 0 0 0 y =h 0,5l ∫0 xq ( x )dx 2. Als de formule voor q exponentieel afhangt van x volgens de linker formule, hangt y af van de rechter formule: n +2
n
⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ ⎞ ⎛ 2x +h y = −h ⎜ − ⎜ − 1⎟ ⎟ q = q max ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎠⎠ ⎠ ⎝ l ⎝ ⎝ l Het valt dus op dat de grootte van de maximale belasting geen invloed heeft op de hoogte en andersom. Verder is te zien dat de enige verandering die van de exponent is: deze is 2 hoger geworden. Tot slot wordt er een factor h bij de formule opgeteld. Deze verdwijnt weer in de alternatieve schrijfwijze hieronder: n +2
n +1
n
1
⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ + Vn +1 ⋅ h ⎜ ⎟ + Vn ⋅ h ⎜ ⎟ + ... + V1 ⋅ h ⎜ ⎟ y = Vn + 2 ⋅ h ⎜ ⎟ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ -h +h is immers 0. Wat hier vooral opvalt is dat de boog nooit de vorm van zijn eigen belasting in kan nemen: de exponent in de formule van de boog is altijd twee hoger dan de exponent in de formule van zijn belasting (fig. 2.5.1).
theory
44
2.5. Berekeningen bij een kettinglijn. 2.5.0 Inleiding op de cosinus hyperbolicus. In hoofdstuk 2.4 bekeken we de vorm van de parabolische boog afhankelijk van zijn belasting. De conclusie was dat deze boog nooit dezelfde vorm krijgt als haar eigenbelasting, omdat de macht van de boog altijd 2 hoger is dan de bijbehorende belasting. Nu is het wel wenselijk dat de vorm van de boog gelijk kan worden aan zijn eigenbelasting, omdat de momentenlijn van een boog dan dezelfde vorm heeft als hijzelf. De vorm die hiervoor gebruikt wordt is de kettinglijn. Deze kan op verschillende manieren geschreven worden, maar de eenvoudigste beschrijving luidt f(x)=cosh(x) De kettinglijn werd onder andere toegepast door Gaudi in verschillende van zijn gebouwen (afb. 2.5.1 en 2.5.2). Hij gebruikte hiervoor een draadmodel dat hij op zijn kop hing, waardoor de kabels zichzelf vormden naar hun eigen belasting. Ook Saarinen gebruikte de kettinglijn voor zijn St. Louis Gateway Arch (afb. 2.5.3). Zijn constructeur berekende de ideale vorm echter wiskundig, wat ertoe leidde dat dit bouwwerk een formule heeft. Hier kom ik in het volgende deel op terug.
45
theory
Links: afbeelding 2.5.1 en 2.5.2: Casa Battlo (boven) en draadmodel Sagrada Familia (onder). Rechts: afbeelding 2.5.3 St. Louis Gateway Arch. Bron: Flickr
2.5.1 Wat meer theorie bij een cosinus hyperbolicus De cosinus hyperbolicus heeft een aantal eigenschappen die handig zijn om te kennen als we ermee gaan rekenen. Allereerst: net als de meest basis kwadratische functie heeft een standaard cosinus hyperbolicus 1 dal, en is hij symmetrisch over de y-as. Een verschil is dat cosh(x) met x=0 uitkomst 1 geeft, terwijl een kwadratische functie (x2) 0 geeft (fig. 2.5.2). Net als bij een paraboolvormige boog, willen we het dal voor de kettinglijn niet op de y-as, maar op x=1/2l hebben. Hiervoor moeten we x vervangen door x-1/2l, net als bij de parabolische functie: l ⎞ ⎛ q ( x ) = cosh ⎜ x − ⎟ 2 ⎠ ⎝ Vullen we x=1/2l in dan krijgen we cosh(1-1), dus cosh(0), en dit is gelijk aan 1. We willen nog een vaste waarde voor qmax en een vaste plaats voor de top, zodat we de vorm van de boog aan de hand van deze variabelen kunnen manipuleren. qmax is nu lastiger te voorspellen dan bij een parabolische formule. We noemen de deler daarom b. Als we een gewenste qmax hebben kunnen we dan altijd nog de b berekenen:
⎛ 2x − l ⎞ q ( x ) = cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ Nu ligt het dal vast op 1, om ook deze te kunnen bepalen kunnen we de formule vermenigvuldigen met a. Dat is logisch, want dat betekent dat waar de boog vlak ligt, de belasting gelijk is aan a: a representeert dan de eigenbelasting van het materiaal: ⎛ 2x − l ⎞ q ( x ) = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ Door deze ingreep is qmax behalve van b ook afhankelijk van a. Bij q=qmax is nu de verhouding tussen b en a te bepalen: q=qmax geldt bij x=0 en x = l. Laten we invullen x=l: ⎛ 2x − l ⎞ q ( x ) = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠
theory
46
⎛ 2l − l ⎞ q max (l ) = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ q max (l ) = a + hdal −qmax ⎛ l ⎞ a + hdal −qmax = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ a + hdal −qmax ⎛ l ⎞ = cosh ⎜ ⎟ a ⎝ 2b ⎠ 2 ⎛⎛a + h ⎞ ⎛ a + hdal −qmax ⎞ l dal −q max ⎞ ⎟ = ln ⎜ ⎜ 1 + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟ 2b a a ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 l 2 b = 2 ⎛⎛a + h ⎞ ⎛ a + hdal −qmax ⎞ dal −q max ⎞ ⎜ ln ⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ⎟+ ⎜ ⎜⎝ a a ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
y (x ) = h
Figuur 2.5.1: een paraboolvormige belasting (rood) met haar boog (groen).
0,5l
0
x
x
0
0
q ( x ) dx − x ∫ q ( x ) dx + ∫ xq ( x ) dx
∫
0,5l
xq ( x ) dx
⎛ 2x − l ⎞ f ( x ) = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ 2.5.2 Bewijs van de kettinglijn Dit kunnen we bewijzen door simpel in te vullen. Omdat het bewijs zo groot is, kan je ook dit bewijs in het binnenblad vinden. Wat nu opvalt is dat de grootte van q wel invloed heeft op de grootte van h, in tegenstelling tot bij de machtsfunctie. De hoogte van de boog moet gelijk zijn aan de hoogte van de belasting (h=hdal-qmax). Dat klopt ook, want de belasting is gelijkvormig aan de vorm van de boog: waar de boog steiler wordt, wordt de belasting dat ook. Er kan wel een factorverschil tussen q en h zitten: vervang in de bovenstaande integraal q voor 2q, de 2 wordt gewoon weggedeeld. Kortom, de boog van een kettinglijn is gelijk-
Figuur 2.5.3: een belasting in de vorm van een kettinglijn (groen) met haar boog (rood). Figuur 2.5.4: een paraboolvormige belasting met afstand tot de x-as (rood) met haar boog (groen).
theory
x∫
0
Figuur 2.5.2: een paraboolvormige belasting (rood) met een belasting in de vorm van een kettinglijn (groen).
47
De formule van een boog behorende bij deze belasting moet andersom zijn: met een top in plaats van een dal. Om van deze dal-formule een berg-formule te maken kunnen we eerder genoemde formule vermenigvuldigen met -1: ⎛ 2x − l ⎞ f ( x ) = −a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ Nu ligt de boog echter onder de x-as. We willen de top op hoogte h krijgen. Deze ligt op -a. Om hem op de x-as te krijgen moeten we er dus eerst a bij optellen. Daarna moet er nog h bij opgeteld worden om de top op h te krijgen: ⎛ 2x − l ⎞ f ( x ) = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ Volgens het vorige hoofstuk zou nu moeten gelden f(x)=y: ⎛ 2x − l ⎞ q ( x ) = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠
Figuren 2.5.1-2.5.4: verschil tussen een parabool en een kettinglijn.
theory
48
y (x ) = h
x∫
0,5l
0
x
x
0
0
q ( x ) dx − x ∫ q ( x ) dx + ∫ xq ( x ) dx
∫
0,5l
0
y (x ) = h
y =h
x∫
0,5l
0
xq ( x ) dx
⎛ 2x − l a cosh ⎜ ⎝ 2b
⎡ ⎛ 2x − l x ⎢ab sinh ⎜ ⎝ 2b ⎣
0,5l
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦0
x x ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ ⎟ dx − x ∫0 a cosh ⎜ ⎟ dx + ∫0 xa cosh ⎜ ⎝ 2b ⎠ ⎝ 2b ⎠ 0,5l ⎛ 2x − l ⎞ ∫0 xa cosh ⎜⎝ 2b ⎟⎠ dx
⎡ ⎛ 2x − l − x ⎢ab sinh ⎜ ⎝ 2b ⎣
x
⎞ ⎟ dx ⎠
⎡ ⎞⎤ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x − l 2 ⎟ ⎥ + ⎢abx sinh ⎜ ⎟ − ab cosh ⎜ ⎠⎦0 ⎣ ⎝ 2b ⎝ 2b ⎠
⎡ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x − l 2 ⎢abx sinh ⎜ 2b ⎟ − ab cosh ⎜ 2b ⎝ ⎠ ⎝ ⎣
x
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦0
0,5l
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦0
⎛ ⎛ −l ⎞ ⎞ x ⎜ 0 − ab sinh ⎜ ⎟⎟ − x ⎝ 2b ⎠ ⎠ ⎝ y =h
⎛ ⎛ −l ⎞ ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ −l ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2x − l ⎞ 2 2 ⎜ ab sinh ⎜ 2b ⎟ − ab sinh ⎜ 2b ⎟ ⎟ + ⎜ abx sinh ⎜ 2b ⎟ − ab cosh ⎜ 2b ⎟ + ab cosh ⎜ 2b ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ −l ⎞ ⎞ 2 2 ⎜ 0 − ab + ab cosh ⎜ 2b ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ −l ⎞ 2 −ab 2 cosh ⎜ ⎟ + ab cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ ⎝ 2b ⎠ y =h ⎛ −l ⎞ −ab 2 + ab 2 cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ ⎛ −l ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ − cosh ⎜ ⎟ ⎟ + cosh ⎜ b 2 ⎝ 2b ⎠ ⎝ ⎠ y =h ⎛ −l ⎞ cosh ⎜ ⎟ −1 ⎝ 2b ⎠ 1 l 2 b (a ) = ⎛ a +h ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞ ⎛ dal −q max ⎞ max ⎜ ⎟⎟ + ln ⎜ ⎜ 1 − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎜ ⎟ ⎟⎟ a a ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠⎠ ⎝
48atheory
theory
48b
⎝
⎠
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −l ⎛ −l ⎞ ⎜ ⎟ = cosh ⎜ cosh ⎟ ⎞⎟ ⎜ ⎛ ⎝ 2b ⎠ ⎟⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ ⎜ l ⎟⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ 2⎜ ⎛ ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a + hdal −qmax ⎞ max ⎟ ⎟ − 1⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ln ⎜ ⎜ a a ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎠⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎛ −l ⎞ cosh ⎜ ⎟ = cosh ⎜ − ⎟ ⎛ a +h ⎝ 2b ⎠ ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞⎟ ⎜ ⎛ ⎞ dal − q max max ⎜ ⎟ ⎜ ln ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ⎟ ⎟ a a ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎝⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎛ −l ⎞ ⎛ a + hdal −qmax ⎞ cosh ⎜ ⎟ ⎟=⎜ a ⎝ 2b ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ a + hdal −qmax ⎞ − cosh ⎜ ⎟ ⎟+⎜ a ⎝ 2b ⎠ ⎝ ⎠ y =h ⎛ a + hdal −qmax ⎞ ⎜ ⎟ −1 a ⎝ ⎠
hdal −qmax ⎛ 2x − l ⎞ − cosh ⎜ ⎟ + 1+ a ⎝ 2b ⎠ y =h hdal −qmax 1+ −1 a hdal −qmax ⎛ 2x − l ⎞ − cosh ⎜ ⎟ + 1+ a ⎝ 2b ⎠ y =h hdal −qmax a y =h
a hdal −qmax
hdal −qmax ⎞ ⎛ ⎛ 2x − l ⎞ ⎜ − cosh ⎜ ⎟ ⎟ + 1+ a ⎝ 2b ⎠ ⎝ ⎠
h = hdal −qmax ⎛ h⎞ ⎛ 2x − l ⎞ y = a ⎜ − cosh ⎜ ⎟ + 1+ ⎟ a⎠ ⎝ 2b ⎠ ⎝ ⎛ 2x − l ⎞ y = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠
hdal −qmax ⎛ 2x − l ⎞ − cosh ⎜ ⎟ + 1+ a ⎝ 2b ⎠ y =h hdal −qmax 1+ −1 a
49atheory
theory
49b
2.6. Berekeningen voor een (co)sinus. vormig aan zijn eigenbelasting. De boog kan echter wel uitgerekt of ingedrukt worden zonder de eigenschap van ideale boog te verliezen. Zo ontstaat een familie bogen die gelijkvormig aan elkaar zijn, met als enig verschil de hoogte (fig. 2.5.3). 2.5.3 Reflecterend op de machtsfunctie Er is nu een verschil tussen de kettinglijn en de machtsfunctie. Behalve dat ze verschillend zijn van vorm, loopt de belasting van de machtsfunctie van 0 tot qmax, waar die van de kettinglijn van a tot qmax loopt. Dat is natuurlijk veel logischer, want bovenin een boog zit ook nog een belasting. Om de vergelijking meer te laten kloppen kunnen we onderstaande functies vervangen: n
⎞ ⎛ 2x q = q max ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝ l
n
⎞ ⎛ 2x q =a +b ⋅⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝ l q=qmax bij x=0 en x=l. Bij x=0 en x=l is het deel tussen haakjes gelijk aan -1 of 1, dus qmax = a+b. Vullen we dit nu weer in in de algemene integraal functie, dan krijgen we een meer realistische functie voor een exponentiële belasting. Deze laat zich echter niet eenvoudig schrijven. Als we aannemen dat b=a maal c, dan komen we ⎝ nog redelijk ver: ⎠ 4 (n + 1) (n + 2) x 2
8c (l − 2x ) 8cl n y =h + h −h n +2 n 2 1+ 8cl l + 2l l 2 + 8cl n + 2 Deze boog is te zien in figuur 2.5.4. Ik ga hier later pas dieper op in, voor alle boogvormen tegelijk. In hoofdstuk 2.8 ga ik verschillende krachten combineren. De vorm van de eigenbelasting van de boog is immers de ideale situatie (met de top op de x-as) + een q-last: de eigenbelasting is nergens 0.
49
theory
n +2
2.6.0 Inleiding op een (co)sinusboog. De volgende boog is die van een sinus. Een sinus heeft de eigenschap herhalend te zijn, voor deze boog is het dus extra van belang om een limiet op te stellen van 0 tot l. De algemene schrijfwijze van een cosinus is a+b sin(cx+d). Iedere letter in deze formule past de sinusvorm enigszins aan. Voor onze berekeningen is het handig om de sinus van 0 tot l te laten lopen, een sinus start automatisch op 0 (in tegenstelling tot een cosinus, vandaar dat we de sinus gaan gebruiken). Zij heeft een hoogte a+b en een lengte S. De sinusboog die wij gaan schrijven moet daarom vermenigvuldigd worden met S/l. De formules die wij voor de boog zullen gaan gebruiken zijn daarom: ⎛ xπ ⎞ y = h sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎛ xπ ⎞ q = a + b − b sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ Om de relatie met de vorige hoofdstukken te leggen: deze sinus kan ook geschreven worden als: ⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ y = h cos ⎜ π ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l 2.6.1 y behorende bij de belasting Ook voor deze belasting kunnen we eenvoudig de bijpassende boog bepalen. Vul je voor q in -b sin(x pi/l), dan krijg je de volgende formule voor y (zie binnenkant vouwblad hiernaast): ⎛ xπ ⎞ y = h sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ Het bizarre is dat deze functie dus exact hetzelfde is, op het - teken en h na. De q-last van -b sin(x) is echter volledig negatief (figuur 2.6.1). Deze belasting kan dus niet realistisch zijn. Maken we de belasting wel realistisch door er a+b bij op te tellen dan geeft dat een erg onleesbare formule voor y:
theory
50
y =h
x∫
0,5l
0
∫
0,5l
0
y =h
x∫
0,5l
0
x
x
0
0
q ( x ) dx − x ∫ q ( x ) dx + ∫ xq ( x ) dx ⎛ xπ −b siin ⎜ ⎝ l
xq ( x ) dx
x x ⎛ ⎛ xπ ⎞⎞ ⎛ xπ ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ dx ⎟ dx + ∫0 x ⎜ −b sin ⎜ ⎟ dx − x ∫0 −b sin ⎜ l ⎝ l ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0,5l ⎛ ⎛ xπ ⎞⎞ ∫0 x ⎜⎝ −b sin ⎜⎝ l ⎟⎠ ⎟⎠ dx 0,5l
y =h
⎡l ⎛ x π ⎞⎤ x ⎢ b cos ⎜ ⎟⎥ π ⎝ l ⎠⎦0 ⎣
x
2 ⎡l ⎡l ⎛ xπ ⎞ l ⎛ x π ⎞⎤ ⎛ xπ − + − x ⎢ b cos ⎜ bx cos b sin ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢π 2 π π l l ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦0 ⎣ ⎝ l ⎣
⎡l ⎛ xπ ⎢ π bx cos ⎜ l ⎝ ⎣
2 ⎛ xπ ⎞ l − b sin ⎜ ⎟ 2 ⎝ l ⎠ π
x
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦0
0,5l
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦0
2 ⎛l ⎛l ⎛ xπ ⎞ l ⎞ l ⎛π ⎞ l ⎞ ⎛ xπ ⎞ ⎛ xπ ⎞ l x ⎜ b cos ⎜ ⎟ − b ⎟ − x ⎜ b cos ⎜ ⎟ − b ⎟ + bx cos ⎜ ⎟−0 ⎟ − 2 b sin ⎜ π π ⎝ l ⎠ π ⎠ π ⎝2⎠ π ⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ π ⎝ ⎝ y =h 2 1 l ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ l b l cos ⎜ ⎟ − 2 b sin ⎜ ⎟ − 0 π 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ π 2 l l l l ⎛ xπ ⎞ ⎛ xπ ⎞ ⎛ xπ ⎞ l − x b − bx cos ⎜ ⎟ + x b + bx cos ⎜ ⎟ ⎟ − 2 b sin ⎜ π π π π ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ π y =h l2 − 2b π ⎛ xπ ⎞ y = h sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠
51a theory
theory
51b
2.7. Berekeningen bij een cirkelboog. ⎛ ⎛ x2 ⎞ 8b xπ 4⎜x − ( x − 1) ⎜ cos ⎛⎜ ⎟ (a + b ) + π l ⎝ l ⎝ ⎠ y =h ⎝ 8l al + bl − 2 b π
⎞ ⎞ 8bl ⎛ xπ ⎞ ⎟ − 1⎟ − 2 sin ⎜ ⎟ π ⎠ ⎠ ⎝ l ⎠
Deze boog is te zien in figuur 2.6.2. Wellicht is de sinusboog dus ook niet de meest ideale boog om door te rekenen. In hoofdstuk 2.8 kom ik hier nog op terug.
2.7.0 Inleiding op een cirkelboog. Zoals bij de inleiding al aangekondigd is een cirkelboog ideaal te gebruiken bij het monteren: de componenten waarmee een cirkelboog opgebouwd kan worden zijn allemaal identiek, waardoor er weinig puzzelwerk nodig is. Nadeel is dat de hoogte van een cirkelboog altijd precies de helft van haar lengte is, wil dit eerstgenoemde voordeel blijven bestaan. De berekening voor een cirkelboog wordt wederom in de volgende paragraaf uitgelegd. 2.7.1 Berekeningen voor een cirkelboog. De formule voor een cirkelboog met haar belasting is: y =
( xl − x ) 2
1 l − ( xl − x 2 ) 2 Ook dit kunnen we weer invullen in de functie die we eerder hebben afgeleid. Bij de ideale q-belasting krijgen we dan de bovenste functie hiernaast. Bij de q-belasting zoals hierboven beschreven ontstaat ⎝ de tweede functie voor y: ⎠ 2 2 2 ⎛ ⎞ 1 x 6 x (l − 2x ) (l − x ) + x (l − 2x ) ( 3l − 4x ) ⎟ y =h⎜ + ⎜2 l ⎟ 6l 4 + 12xl 3 ⎝ ⎠ q =a +
Figuur 2.6.1: een belasting in de vorm van een Figuur 2.6.2: een sinusvormige belasting met sinusboog (rood) met haar boog (groen). afstand tot de x-as (rood) met haar boog (groen).
y =h
51
1 1 1 1 1 alx − x − ax 2 − lx 2 + l 2 x 2 4 2 4 4
⎛ ⎞ 1 2 1 ⎛ ⎛ x ⎞ 1 3 x ⎞ 1 2 −1 −1 n−1 ⎜ ⎜⎜ 1+ tan ⎟− l ⎟ − tan (1) ⎟⎟ + x − lx − l tan ⎜ 6 8 ⎝ l −x ⎠ 8 ⎝ l −x ⎠ ⎝ ⎠ 6 1 2 1 3 1 3 1 2 al + l − l tan−1 (1) + l 8 16 8 12
Waar andere functies onduidelijk waren, is het overduidelijk dat dit niet de meest ideale vorm voor een functie is: dit is ontzettend onleesbaar en onvormbaar. Ook logisch, want uit een cirkelvormige belasting komt gewoon geen cirkel. Nu blijkt het zo te zijn dat een cirkelboog wél een reactie is op een bepaalde belastingsoort, namelijk een radiale belasting (Kamerling, 2012). Er zijn 2 grote nadelen aan een cirkelboog: 1. deze is per definitie 2x zo lang als hoog, en 2. zijn belasting levert een boog
theory
Figuren 2.6.1-2.6.2: Sinusbelastingen met hun bogen.
theory
52
die niet meer lijkt op een cirkel. Het eerste nadeel is groot, maar niet onoverkomelijk. Het tweede nadeel is een groter probleem: een cirkelboog is geen ideale vorm bij een belasting van de zwaartekracht, maar bij een belasting die naar een centrum is gericht. In een gebouw is een dergelijke belasting lastig vorm te geven; evenals in formule. Om die reden zal ik vanaf dit punt minder aandacht besteden aan de cirkelboog, en haar in bepaalde hoofdstukken zelfs helemaal weglaten.
Figuur 2.7.1: een belasting in de vorm van een cirkelboog (groen) met haar boog (rood).
53
theory
Figuur 2.7.2: een belasting in de vorm van een cirkelboog (groen) met haar boog: hoogte=1/2l (rood).
Figuren 2.7.1-2.7.2: boogvormige belastingen met hun ideale bogen.
2.8. Belastingen combineren. 2.8.0 Inleiding. Er zijn maar heel weinig bogen die alleen belast worden door hun eigengewicht, deze zijn immers niet functioneel. Meestal hangt er een brugdek aan de boog, of rust er een dak op. Om deze reden is het praktisch om alle eerder genoemde formules de combineren met een q-last. Dit heeft een extra voordeel: op de kettinglijn na zijn alle belastingen onrealistisch. Die van de parabool heeft op haar top een belasting van 0, de sinus heeft een volledig negatieve belasting. Door bij deze bogen een q-last op te tellen worden deze belastingen realistischer. In dit hoofdstuk zal ik per boogsoort het gevolg van de belastingcombinatie afleiden. 2.8.1 Parabool Bij een parabool bestond de relatie tussen de oorspronkelijke formule van de belasting en de formule van de boog als: komt er nu een rustende belasting r bij, dan verandert deze ren +2
n
⎛ ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞⎞ q = q max ⋅ ⎜ − 1⎟ +h y = −h ⎜ − ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎠ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ ⎝ l latie. Feitelijk wordt de belasting de combinatie van de belasting van de boog (neem even aan dat de boog een parabool was, dus nb=2), en de rustende belasting, met nr=0. Het lijkt logisch dat de vorm van de boog dan een combinatie zal vormen tussen nb+2=4 en nr+2=2. Na veel proberen blijkt er een bepaalde verhouding tussen beide formules te bestaan die afhangt van qmax en r, waarbij r gelijk is aan r maal (2x/l-1)0: 2
4
⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ 6 ⋅r ⋅⎜ − 1⎟ − 1⎟ q max ⋅ ⎜ ⎞ ⎛ 2x q = r + q max ⋅ ⎜ − 1⎟ l l ⎝ ⎠ +h ⋅ ⎝ ⎠ y =h⋅ ⎠ ⎝ l q max + 6 ⋅ r q max + 6 ⋅ r Blijkbaar is de rustende belasting 6x zo veel van invloed op de vorm van de boog dan de eigenbelasting: de delers zijn gelijk. Dit klopt zelfs als r en qmax gelijk zijn. Met andere woorden, een hele zware boog met een heel licht vloertje neigt nog steeds meer naar een parabool dan naar haar eigen equivalent. Waar deze 2
theory
54
waarde 6 vandaan komt is mij niet helemaal duidelijk. Het doet er nu ook even niet toe, wellicht vinden we de reden later nog. Wel is het interessant om te kijken of deze waarde bij een andere waarde voor nb nog steeds 6 is (een andere waarde voor nr is onlogisch, daar de rustende belasting meestal gelijkmatig verdeeld is). We nemen nu dus nb=4: 2 6 ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ 4 15 1 1 r ⋅ − q ⋅ ⋅ − ⎞ ⎛ 2x ⎟ max ⎜ ⎜ ⎟ q = r + q max ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ +h ⋅ y h = ⋅ ⎠ ⎝ l q max + 15 ⋅ r q max + 15 ⋅ r Hier wordt de factor nóg groter. Voor nu gaan we er even van uit dat als we een eigenbelasting van een boog en een rustende belasting combineren, een paraboolvorm steeds meer gaat overheersen over de machtsfunctie naar mate de macht van de machtsfunctie hoger wordt. Dit maakt een paraboolboog dus een hele relevante boog. 2.8.2 Kettinglijn Een kettinglijn was de enige boogvorm die al een bepaalde q-belasting in zich had, namelijk precies de grootte van a: ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ q ( x ) = a cosh ⎜ f ( x ) = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2b ⎠ ⎝ 2b ⎠ Nu lijkt het het eenvoudigst om als er een rustende belasting wordt toegevoegd aan de formule, gewoon a wat te vergroten: de formule van de kettinglijn blijft dan het zelfde, de vorm verandert alleen wat. b is afhankelijk van a en zal dus mee veranderen, op die manier lijkt het eenvoudig om aan de kettinglijn een rustende belasting toe te voegen. In hoofdstuk 2.9 kunnen we dit controleren. 2.8.3 Sinus Bij een sinusvormige belasting kunnen we hetzelfde doen als bij een paraboolvormige belasting: de y-belasting zal een soort van combinatie worden tussen een sinus en een parabool. De basisformule die hieruit volgt zal er dus ongeveer als volgt uit
55
theory
2
q = r + q max
⎛πx ⎞ ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠
⎛ 2x ⎞ ⎛πx ⎞ C ⋅r ⋅⎜ − 1⎟ sin ⎜ ⎟ l ⎝ ⎠ +h ⋅ ⎝ l ⎠ y =h⋅ q max + C ⋅ r q max + C ⋅ r
gaan zien: Met proberen kunnen we hier ook de constante bepalen. Deze blijkt S2/8 te zijn. Deze waarde is ongeveer 1,25 waaruit blijkt dat de paraboolvorm ook hier domineert over de sinusvorm, maar in veel mindere mate. Ook hier betekent dit wel dat als er veel rustende belasting op een boog constructie komt te liggen, een paraboolboog een betere benadering is dan een sinusboog.
theory
56
2.9 Massa van de boog Tot dit punt liggen er alleen berekeningen van bogen gebaseerd op lijntjes: zowel de boog als de belasting zijn niet meer dan een lijntje, dat we interpreteren als gebouwde boog. Voordat we iets met deze lijntjes kunnen, is het nodig om nog uit te leggen hoe deze lijntjes volumes worden. 2.9.1 Eigengewicht van een kettinglijn Het eigengewicht van een boog is gelijk aan een aantal factoren: de oppervlakte van de doorsnede (O), en het soortelijk gewicht van het materiaal waarvan de constructie gemaakt is (J). De functie voor qs op boogdeel ds (fig. 2.9.1) is dus: q s = O ⋅ ds ⋅ γ Tot nu toe waren beide factoren niet te zien in de functie voor q(x). We hebben echter wel vermeld dat q(x) uitgerekt kon worden, feitelijk pasten we daarmee één van de twee constanten (O of J) aan. We er van uit dat beide waarden constant zijn, dus de oppervlakte van de doorsnede van de boog is overal gelijk, én de boog is overal van hetzelfde materiaal gemaakt. Bovenstaande formule is hieronder verder uitgewerkt: q s = O ⋅ ds ⋅ γ qf ( x ) =
qs dx
qf ( x ) = O ⋅
(ds )
2
ds ⋅γ dx
= (dx ) + (dy ) 2
ds =
(dx )
ds = dx
(dx ) + (dy ) 2 (dx )
2
+ (dy )
2
ds ⎛ dy ⎞ = 1+ ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
57
2
theory
2
2
2
dy = f ' (x ) dx ds 2 = 1+ f ' ( x ) dx q f ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 1+ f ' ( x ) Het is het handigste als we in deze formule meteen de kettinglijnfunctie invullen, omdat hier meteen zou moeten gelden dat de functie voor q(x) die er uit komt gelijk is aan de functie voor q die we eerder hadden bepaald. Dit blijkt bijna te kloppen: 2
⎛ 2x − l ⎞ q = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ ⎛ 2x − l ⎞ f ( x ) = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ q f = O ⋅ γ ⋅ 1+ f ' ( x ) f ' (x ) =
2
a ⎛ 2x − l ⎞ sinh ⎜ ⎟ b ⎝ 2b ⎠
ds dy dx
Figuur 2.9.1: deel van een boog met ds, dx en dy.
theory
58
1+ f ' ( x ) = 1+ 2
a2 ⎛ 2x − l ⎞ sinh2 ⎜ ⎟ 2 b ⎝ 2b ⎠
cosh ( x ) = 1+ sinh2 ( x ) b =a q f = O ⋅ γ ⋅ 1+
a2 ⎛ 2x − l ⎞ sinh2 ⎜ ⎟ 2 a ⎝ 2a ⎠
⎛ 2x − l ⎞ q f = O ⋅ γ ⋅ cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ O ⋅γ = a We hebben wat moeten doen om de formule te laten kloppen: omdat de afgeleide van cosh: sinh vermenigvuldigd werd met a/b, kon ik nuttige rekenregels in eerste instantie niet gebruiken. Als nu geldt dat a=b (en dat kan je laten gelden), dan blijkt de functie voor qf bijna gelijk te zijn aan de initiele functie voor q. Er moet enkel nog vermenigvuldigd worden met een constante: a. De totale formule voor de belasting wordt ook vermenigvuldigd met een constante: O maal J. Er geldt dus: a=b=OJ. Geldt dit niet, dan kan OJ niet constant zijn. Nu wordt de opzet van andere formules opeens een stuk duidelijker. Over het algemeen wordt er over een kettinglijn gesproken als de formule als onderstaand is: ⎛ 2x − l ⎞ q = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ Dit is eigenlijk een gewogen kettinglijn: in deze ‘lijn’ wordt rekening gehouden met een verlopende dikte van de doorsnede. De ongewogen kettinglijn schrijf je als: ⎛ 2x − l ⎞ q = a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ b kon worden afgeleid volgens de formule op de volgende pagina. Voor a is dit niet meer mogelijk, omdat er dan altijd een a in de vergelijking blijft zitten. Het is wel mogelijk om a nummeriek
59
theory
⎝
⎠ 1 l 2
b =
2 ⎞ ⎛⎛a + h ⎛ a + hdal −qmax ⎞ dal −q max ⎞ ⎟ ln ⎜ ⎜ − + 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎝ a a ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ te bepalen. In feite betekent dit niks meer dan gewoon proberen. Het is het eenvoudigste om dit met een rekenprogramma te doen.
2.9.2 Eigengewicht van andere functies Net als voor de kettinglijn is de fuctie voor qf ook geldig voor de andere boogvormen: q f ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 1+ f ' ( x ) Laten we deze functie achtereenvolgens voor de paraboolboog, sinusboog en cirkelboog invullen, dan krijgen we de volgende formules voor de eigenbelasting: 2
q f = O ⋅ γ 1+
( 2n + 4 ) l2
2
h 2 ⎛ 2x ⎞ ⋅⎜ − 1⎟ l ⎠ ⎝
2(n +1)
⎛πx ⎞ q f = O ⋅ γ 1+ π 2 cos 2 ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ qf = O ⋅ γ ⋅
l2 1 2 xl − x 2
Figuur 2.9.2: vormen van de bogen Figuur 2.9.3: vormen van de belastingen behorende bij de bogen in figuur 2.9.2
theory
60
De vorm van de eigenbelastingen van de bogen zijn stuk voor stuk opvallend, maar wel uitlegbaar. De kettinglijn had ik al behandeld, die is (bij dezelfde schaal) gelijk aan haar eigen vorm. De cirkelboog heeft een belasting die bij de poten ontzettend toeneemt. Logisch: de boog eindigt helemaal verticaal. De parabool heeft een bijna driehoekige belasting. Ook dit is begrijpelijk: als de boog beschreven wordt door de formule xn is de vorm van haar belasting ongeveer -xn-1. Opvallend aan de sinusboog is dat de belasting de vorm van een sinus heeft: hij ‘slingert’ één periode. Dit is te begrijpen als je beschouwt dat de belasting afhankelijk is van de steilheid van de boogvorm. Bij een sinusboog zou de boog weer negatief gaan worden op de x-as, waardoor de toename van de belasting hier afneemt, dus steeds minder steil wordt. 2.9.3 Eigenbelasting met rustende belasting Het valt wel op dat behalve de formule van de kettinglijn, geen van de eigenbelastingen gelijk is aan de vorm van de belasting die ik ingevoerd had in de voorafgaande hoofdstukken. Dit betekent dus niets meer of minder dan dat alleen met de kettinglijn een ideale boog verkregen wordt. We kunnen deze uitkomst wel combineren met het voorafgaande hoofdstuk, wat gebeurt er als we de eigenbelasting die we zojuist bepaald hebben combineren met een gelijkmatig verdeelde last? Allereerst de schijnbaar meest eenvoudige: de kettinglijn. In het vorige hoofdstuk hebben we bepaald dat we hier eenvoudig a konden aanpassen, en b was afhankelijk van a, waardoor b mee zou veranderen. Nu is b niet meer afhankelijk van, maar gelijk aan a. Daarbovenop heeft a nu een vaste waarde, die numeriek bepaald moet worden. Wat we in het vorige hoofdstuk dus zagen gaat niet meer op. We kunnen nog wel een nieuwe formule afleiden, deze zou er dan waarschijnlijk ongeveer als volgt uitzien: ⎛ 2x − l ⎞ q = r + a ⋅ cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠
61
theory
2
⎞ ⎛ 2x − l ⎞ ⎛ 2x C ⋅r ⋅⎜ − 1⎟ a + h − a ⋅ cosh ⎜ ⎟ l ⎝ ⎠ +h ⋅ ⎝ 2b ⎠ y =h⋅ h +C ⋅r h +C ⋅r Ook hier valt de constante weer uit te rekenen, hij is een fractie groter dan 3. De exacte grootte doet er niet heel erg toe, maar weer valt op dat de parabolische vorm belangrijker wordt dan de vorm van de kettinglijn. De overige formules zijn lastig te integreren. Beide functies lijken echter wel sterk op een eenvoudiger te integreren formule (zie ook figuren 2.9.4 en 2.9.5): q f ,macht = O ⋅ γ 1+
( 2n + 4 ) l2
2
h 2 ⎛ 2x ⎞ ⋅⎜ − 1⎟ l ⎠ ⎝
2(n +1)
⎛πx ⎞ q f ,sin = O ⋅ γ 1+ π 2 cos 2 ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ n +2 2
q f ,macht
⎞ ⎛ 2x ≈ 1+ O ⋅ γ ⋅ 7 ⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝ l
⎛ πx ⎞ q f ,sin ≈ 2, 2 + O ⋅ γ ⋅ 12 , ⋅ cos ⎜ ⎟ ⎝ 0, 5l ⎠
Figuren 2.9.4 en 2.9.5: verschillen tussen exacte formule (groen) en voorgesteld alternatief (rood).
theory
62
Beide formules zijn weer normale sinussen en cosinussen, waaruit valt af te leiden dat ook hier de combinatie met een regelmatige belasting zal leiden tot een bepaalde verhouding tussen de oorspronkelijke boogvorm en de belasting. De rustende belasting zal hier ook weer een grotere rol in gaan spelen dan de eigenbelasting. 2.9.4 Gevolgen door materiaaleigenschappen De boog is ooit ontstaan doordat men vooral steen als bouwmateriaal kon gebruiken, en steen geen momenten kon opnemen. Behalve geen momenten konden de steenachtige materialen vooral slecht trekkrachten en erg goed drukkrachten opnemen. Voor bogen zonder belasting is dit een interessant gegeven, maar doet het erg weinig. Zodra er belasting op de boog geplaatst wordt, ontstaat er een grotere nuance met plaatsen in de boog waar trek ontstaat, en plaatsen in de boog waar druk ontstaat. Hoe groter deze belasting wordt, des te groter de trekkrachten die ontstaan in de boog. De bogen die ik tot nu toe berekende hadden bijna allemaal een lengte van 10 en een hoogte van 10. Uit ervaring wist met een tijdje geleden dat er bij een lagere boog in het lichaam van de boog veel meer drukkrachten en veel minder trekkrachten ontstaan dan bij een hoge boog. Dit is een positief gegeven voor steenachtige materialen of constructies die uit veel kleine delen bestaan. Constructies die uit verschillende kleine delen bestaan drukken zichzelf namelijk vast als ze op druk belast worden, maar kunnen nog wel door trek uit elkaar genomen worden. Nadeel van een lage boog is echter dat de spatkrachten omgekeerd evenredig afhangen van de hoogte van de boog, waardoor deze enorm worden als je de boog verlaagt. Volgens Wim Kamerling (2012) is een veel gebruikte verhouding in dit soort bogen 1:8 (h:l). In vergelijking met mijn bogen van 10:10 betekent dat dat de spatkrachten 8x zo groot zijn. De aanpak die ik tot hier gebruikt heb (moment = 0) maakt het erg lastig om aan te tonen dat er inderdaad meer drukkrach-
63
theory
ten plaatsvinden in een lage boog dan in een hoge boog. Een andere methode die over het algemeen gebruikt wordt om bogen door te rekenen gaat ervan uit dat vanaf het middelpunt de belasting steeds een stukje van de reactiekrachten opheft. Deze methode is behalve om dit aan te tonen, later voor mijn ontwerp ook nuttig, dus het principe van deze methode zal ik hier uitleggen: We hebben een boog met een q-last. Door deze q-last ontstaan in de opleggingen A en B reactiekrachten, zoals weergegeven in figuur 2.9.6. Snijden we deze doormidden door punt C, dan ontstaan 2 halve bogen die tegen elkaar staan die een aan elkaar tegengestelde horizontale normaalkracht N moeten hebben in punt C (fig. 2.9.7). Omdat het moment in de boog overal 0 is, kunnen er geen dwarskrachten in de doorsnede zitten: dat zou immers betekenen dat er een moment ontstaat verderop in het lichaam. We zijn van de grootte van de dwarskracht hier uitgegaan van het feit dat de som van de krachten 0 moet zijn. We kunnen dit ook narekenen door de som van de momenten om punt A 0 te nemen: dan krijgen we 1/2 q maal 1/4 l/h = 1/8h ql2. Precies evenveel as de spatkracht, en dus precies de verwachte grootte. q
q
C
2 1 8hql
A 1 2
B ql
Figuur 2.9.6: boog met belasting
1 2
1 2 8hql
ql
theory
64
Snijden we nu een stukje verder door dan is de kracht die q levert al iets kleiner, de verticale reactiekracht blijft gelijk, evenals de horizontale reactiekracht. In de snede blijft de horizontale component van de normaalkracht dus gelijk, er moet alleen een stukje extra verticale normaalkracht bijkomen. Hierdoor staat V lichtelijk schuin (fig. 2.9.8). Je zult begrijpen dat weer een stukje verder de verticale component van de dwarskracht weer groter moet worden, zo blijft de dwarskracht steeds loodrecht op de snede staan. Tot hier heeft de hoogte van de boog weinig betekenis gehad, zolang er alleen eigenbelasting op rust maakt de hoogte van de boog niets uit. Zonder moment staat de dwarskracht recht op het lichaam en ontstaan er alleen drukkrachten (in de vorm van normaalkracht N). Als er veranderlijke belasting op de boog komt te staan gaat dit wel een rol spelen. Dit wordt omschreven in het volgende hoofdstuk.
q
q
C
2 1 8hql
65
2 1 8hql
A 1 2
2 1 8hql
ql
theory
A 1 2
ql
Figuren 2.9.7 en 2.9.8: resultante normaalkrachten in bij een snede.
2.10 Veranderlijke belasting 2.10.1 Hoogte van de boog Bij een veranderlijke belasting kan het efficiënter zijn een lagere boog te maken dan een hoge boog (zeg verhouding 1:1). Een lage boog (zeg verhouding 1:8) levert namelijk veel meer spatkrachten: de horizontale krachten in de boog zijn dus naar verhouding sterker aanwezig. Als er veranderlijke belasting op de boog geplaatst wordt - die qua vorm niet exact gelijk is aan de ideale belastingvorm van de boog - verandert het krachtenspel in de boog. Door deze verandering ontstaan er moment in de boog, en is de boog dus feitelijk niet meer ideaal. Dit moment ontstaat doordat de horizontale en de verticale reactiekracht anders reageren op de veranderde belasting. Is deze horizontale reactiekracht (de spatkracht) al erg groot, dan kan er in verhouding minder gebeuren, als er een klein beetje extra kracht op gezet wordt. Hierdoor kán het efficiënt zijn om een lage boog te gebruiken als er regelmatig kleine hoeveelheden veranderlijke belasting op de boog geplaatst worden. 2.10.2 Vorm van de boog Het grootste deel van het onderzoek hiervoor ging over de vorm van een boog. Deze was afhankelijk van de vorm van de eigenbelasting, de vorm van de rustende belasting en de verhouding ertussen. Hoe groter de rustende belasting werd ten opzichte van de eigenbelasting, des te meer de vorm van de boog moest neigen naar de vorm van een parabool. Een veranderlijke belasting kan verschillende vormen hebben: deze kan bestaan uit een (serie) puntlast(en), een gelijkmatig verdeelde belasting of een combinatie hiervan. Puntlasten zouden de vorm van de boog doen laten knikken, maar omdat we hier spreken over een veranderlijke belasting is het onaantrekkelijk om de boog door zo’n puntlast te laten knikken. Aantrekkelijkst is het om de puntlasten via een vloerveld af te dragen. Door de kracht te verdelen wordt deze per stukje boog niet alleen kleiner: hij gaat zich ook meer gedragen als een gelijkmatig verdeelde belasting.
theory
66
Een gelijkmatig verdeelde belasting kan ook weer onderverdeeld worden in twee categoriën: belastingen die over de hele lengte van de boog werken, en belastingen die op een stukje van de boog werken. Met het eerste geval is eenvoudig rekening te houden: al heel vroeg in dit onderzoek concludeerden we dat het niet uitmaakt hoe groot een belasting is, maar dat het uitmaakt welke vorm een belasting heeft. In hoofdstuk 2.8 concludeerden we dat een constante belasting veel meer invloed heeft op de vorm van een boog dan de eigenbelasting van de boog. Je kan op een constant verdeelde veranderlijke belasting dus inspelen door ervan uit te gaan dat er altijd een beetje extra constante belasting op de boog rust. Werkt de veranderlijke belasting maar op een klein deel van de boog dan is het lastiger om hier rekening mee te houden: dit zou immers betekenen dat er een lichte knik in de boog zou moeten komen. Over het algemeen zal een dergelijke belasting dus zorgen voor een moment in de boog. Je zou hier eventueel wel gebruik van kunnen maken door deze belasting zo veel mogelijk in het centrum van de boog te laten plaatsvinden. De eigenbelasting is hier immers het minst. Komt hier een rustende belasting bij, dan zal de totale belasting meer naar een constante belasting neigen, en daarmee sterker vragen om een parabool. Uiteraard is het afhankelijk van de grootte van de veranderlijke belasting hoe goed dit trucje werkt.
67
theory
2.11 De ideale boog De ideale boog in een ideale situatie is zonder meer de kettingboog. In deze ideale situatie werken er geen andere krachten dan de zwaartekracht, en hoeft de boog niets anders te dragen dan zichzelf. Deze ideale situatie bestaat echter niet, op zijn minst zal er een groot deel van de tijd een windbelasting op de boog staan, en de meeste bogen dragen een belasting. De ideale boog bij enkel een regelmatig verdeelde belasting is een parabool. Nu heeft deze boog ook eigengewicht dus zal deze boog nooit echt volledig toepasbaar zijn. In hoofdstuk 2.8 concludeerden we dat als de eigenbelasting van een boog en de rustende belasting op een boog gecombineerd worden, de boog eerder richting de parabool neigt (deze geeft antwoord op de rustende belasting), dan richting de vorm van de eigenbelasting. Om het even wat voor soort boog. Wel van invloed is de verhouding tussen de eigenbelasting en de rustende belasting, maar de rustende belasting zal hier ook van doorslaggevend belang zijn: is de verhouding tussen de belastingen bijvoorbeeld 3:1, dan is de verhouding tussen de belangrijkheid van de eigenbelasting van een 4e machts boog en een constante belasting 1:2. Hier kan je eenvoudig op inspelen door een paraboolvormige boog te maken, hoe groot de veranderlijke belasting dan ook is. Zolang deze over de gehele boog wordt verdeeld ontstaat er geen moment in de boog. Om momenten te voorkomen is het ook efficiënt om de boog zelf zo licht mogelijk te maken en er zo veel mogelijk gelijkmatig verdeelde massa op te zetten. De vorm van de belasting zal dan steeds meer neigen naar een gelijkmatig verdeelde belasting, en daarmee nog sterker vragen om de paraboolvorm. Momenten zijn echter niet de enige krachten die in een boog plaatsvinden. Hij kan uiteraard ook bezwijken op drukkrachten door uit te knikken. Dit is dus niet oneindig door te voeren. Als het constructiemateriaal beter met drukkrachten dan met trekkrachten om kan gaan is het aantrekkelijk om de boog lager te maken. Op deze manier kan de hoeveelheid trek in de constructie beperkt blijven. Hierdoor ontstaan echter wel giganti-
theory
68
sche spatkrachten, die op een andere manier opgelost moeten worden. Ook veranderlijke belasting vraagt om een bepaalde vorm. Het liefst zou je hier antwoord op geven door de veranderlijke belasting te verdelen over de gehele constructie. Hierdoor zal de vorm weer gelijken op een parabool. Hoe minder de veranderlijke belasting verdeeld kan worden, des te meer momenten er alsnog in de boog zullen plaatsvinden. Ook de plaats van een veranderlijke belasting kan invloed hebben op de ideale vorm van een boog. De boog die ik in bovenstaande stukje het meest heb aangeraden is een parabool. Op zich is dit helemaal geen ideale boog, maar doordat belastingen vaak gelijkmatig verdeeld zijn is de parabool toch een erg goed antwoord, zeker als je zorgt dat bepaalde krachten op de ideale plaats op de boog drukken. Zonder veranderlijke belastingen zou een kettinglijn weer ideaal zijn. Voor nu is de conclusie dus dat als er meer dan alleen eigenbelasting op de boog staat, de parabool het beste antwoord is. In het volgende deel zullen we zien dat verschillende architecten om verschillende redenen zich niet enkel aan deze twee boogvormen houden. Aan de hand van deze voorbeelden zal ik in deel 5 deze conclusie nog verder aanscherpen.
69
theory
70
Deel 3
Case studies
71
3.0 Selectie van de case studies In het volgende hoofdstuk heb ik 12 gebouwen en bruggen geselecteerd die ik inspirerend vind. Omdat ze parallel aan het opbouwen van de basiskennis onderzocht zijn, zijn ze geordend naar toenemende constructieve complexiteit. Niet alle 12 bouwwerken zijn even diepgaand geanalyseerd. In iedere categorie is één gebouw afgevallen, dat leek op één van de andere gebouwen. In totaal levert dat 8 case-studies die geanalyseerd zijn en 4 case-studies die met een korte tekst begeleid worden, zonder dat hiervan het constructieve aspect bekeken is. Het zou kunnen opvallen dat veel van de projecten van de hand van Saarinen en Calatrava zijn. Heel vreemd is dat natuurlijk niet omdat dat twee archticten zijn die - zoals in hoofdstuk 1.2 beschreven - ook bezig waren met het principe van Form follows Force. Grofweg valt dus behalve de horizontale 4-deling ook een verticale 3-deling te maken onder de architecten met 1. Saarinen, 2. Calatrava en 3. overige architecten. Candella is in deze lijst niet terug te vinden. Hij maakte immers meer schaalconstructies dan boogconstructies. Ik heb me in dit onderzoek gericht op de boogconstructies, en hem daarom hier achterwege gelaten. Zoals in de leeswijzer al verteld is iedere case-studie opgedeeld in een architectonisch deel en een engineering deel. Het engineering deel bevindt zich in het binnenblad, zodat architectuur en constructie naast elkaar bekeken kunnen worden. Onder op iedere pagina staat aangegeven of de tekst over architectuur of over engineering gaat. Te teksten over constructie en architectuur zijn los van elkaar te lezen. Om duidelijker te maken in welke tekst je aan het lezen bent heeft de tekst over constructie een grijze kleur, en de tekst over architectuur een zwarte kleur. Op de pagina hiernaast vind je nog een fact-sheet van de verschillende projecten. Hiermee zijn ze alle 12 te vergelijken.
architecture
72
Hoogte: 192m
Kettinglijn Beton
2007 xp e on es fers 1882 Jef rinen ridg b a a i Sa mil E o ggi it 2001 Re atrava rab l e g Ga Ca d i e d br duc ium n 1997 n Via el le mil Eiff d e a g d he Eyre tbri tes n foo 2002 Ga kinso n i nt Wil e ola g V d o bri mp hek 1959 Ca atrava c t i l ub Ca k K n i r ino ey cel ock 1961 h Jus n lls a Ch nga I . S vid ing Da rinen 1996 uild Saa me b rch u h e c X th age LA liams 1962 m i r l ilg Wi P o i re P as Pad atrava nci 2006 e i l l c Ca ina las de term y A s TW rinen 1957 arte las Saa e d dad a Ciu atrava vorad l l a A C a od aci yer l a P me Nie
192m 221m
70m 50m
Parabool Beton/ Cirkel Staal
165m
122m
Parabool IJzer
105m
50m
Parabool Staal
75m
15,3m Parabool Staal
3x 240m
60m
Parabool Beton/ Staal
85m
30m
Parabool Beton
100m
?
Parabool Beton
39m
?
Afwijkende Steen parabool
315ft 96m
50ft 15m
Schaal
Beton
200m
?
Parabool
Beton
?
?
Parabool
Beton
e nm
io ans
73
architecture
Materiaal:
Overspanning: 192m
Boogtype:
Bouwjaar: 1968
l
ria mo
Eenvoudige boogconstructies Jefferson National Expansion Memorial, Eero Saarinen, St. Louis, VS, 1934-1980 (afb. 3.0.1)
Gekantelde bogen in bruggen Gateshead Millennium Bridge, Wilkinson Eyre Architects, Gateshead, 1998-2002 (afb. 3.0.4)
Eenvoudige bogen in gebouwen David S. Ingalls Hockey Rink, Eero Saarinen, New Haven, VS, 1953-1956 (afb. 3.0.7)
Gekantelde bogen in gebouwen TWA Terminal, Eero Saarinen, New York, VS, 1955-1959 (afb. 3.0.10)
architecture
74
3.1 Eero Saarinen
Reggio Emilia Bridges, Santiago Calatrava, Reggio Emilia, Italie, 2002-2007 (afb. 3.0.2)
Pont de Garabit, Gustave Eiffel, Garabit, Frankrijk, 1880-1885 (afb. 3.0.3)
Campo Volantin Footbridge, Santiago Calatrava, Bilbao, Spanje, 1994-1997
Juscelino Kubitschek Bridge, Alexander Chan, Brasilia, Brasilie, 2000 - 2002 (afb. 3.0.6)
LAX theme building, Paul Williams, Los Angeles, VS, 1961 (afb. 3.0.8)
Padre Pio Pilgrimage Church, Renzo Piano, Foggia, Italie, 1991-2005 (afb. 3.0.9)
Ciudad de las artes y de las..., Santiago Calatrava, Valencia, Spanje, 1996-2006 (afb. 3.0.11)
Palacio da Alvorada, Oscar Niemeyer, Brasilia, Brasilie, 19571958 (afb. 3.0.12)
75
architecture
In 1934 wordt in St. Louis de Jefferson National Expansion Memorial Association opgericht, met als doel een monument op te zetten voor de Louisiana Purchase (Serraino, 2007). De Louisiana Purchase uit 1803 betekende door aankopen van Frans grondgebied door president Thomas Jefferson een verdubbeling van het grondgebied van de Verenigde Staten (afb. 2.1.1). Ruim tien jaar later werd een prijsvraag voor dit monument uitgeschreven, Eero Saarinen was in 1947 één van architecten die een ontwerp inzonden. De aard van het monument vroeg aldus Saarinen (1959b) om een monument dat van blijvende betekenis zou zijn en toch modern was. Voor dit doel leek hem een boog ideaal te passen: de triomfboog van de Louisiana Purchase. De boog staat op de rand van het gebied dat in 1803 door Jefferson werd aangekocht, en wordt daarom ook wel de ‘Gateway to the West’ genoemd. Saarinen (1959b) meende dat de boog een kettinglijn moest volgen, om hem een tijdloze vorm mee te geven. Ook de bekleding met roestvast staal was voor hem een
Afbeelding 3.1.1: The Jefferson Expension: het grondgebied dat in 1803 werd aangekocht.
architecture
76
3.1 Jefferson Expension Memorial
3.1 Eero Saarinen Het eerste uitgangspunt voor dit ontwerp van Saarinen (1959b) was dat de boog die hij in St. Louis zou maken de ideale natuurlijke vorm: die van de kettinglijn zou volgen. Voor hem representeerde dit de moderniteit van de vorm. Zij constructeur, F. Severud, stelde een functie voor de kettinglijn op (Román, 2003): ⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ − 1⎟ ⎟ y = h + O − O ⋅ cosh ⎜C ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l h O = Omax −1 Omin 2 ⎛ ⎞ ⎛ Omax ⎞ Omax ⎜ ⎟ C = ln + ⎜ − 1 ⎟ ⎜ Omin ⎟ O ⎝ min ⎠ ⎝ ⎠
Dit is, zoals je ziet geen standaardfunctie voor een kettinglijn, maar hierin wordt ook de oppervlakte van de doorsnede meegenomen. Dit wordt een gewogen kettinglijn genoemd, omdat de hoeveelheid materiaal wordt meegenomen. De formules die hier gebruikt worden had ik nog niet onderzocht in het vorige deel, maar kunnen wel praktisch gaan zijn bij het vervolg van het onderzoek. De basis-formule lijkt op mijn formule uit hoofdstuk 2.5, de overige formules ga ik onderzoeken op de volgende ‘engineering-pagina’. De doorsnede van de boog is driehoekig. Volgens mij heeft Saarinen hiertoe vooral uit esthetisch oogpunt besloten, maar ook om windbelasting op te vangen kan dit voordelig uitpakken. Hoe de wind ook staat: hij staat nooit op de volledige oppervlakte van de boog, en wordt altijd op de een of andere manier omgeleid.
76aengineering
engineering
76b
3.1 Jefferson Expension Memorial verwijzing naar zowel de permanentheid als eigentijdsheid van het monument. Saarinen heeft de voltooiïng van de boog nooit mee mogen maken: in de zomer van 1961 overleed hij aan de gevolgen van een hersentumor. In 1965 werd het laatste stukje van de boog geplaatst en pas in 1968 vond de feestelijke opening plaats. De aanleg van het park rondom het monument kwam pas gereed in 1980 (Serraino, 2007).
77
architecture
Afbeelding 3.1.2: Zicht op de boog vanaf het park.
architecture
78
Om de boog op te bouwen maakte Saarinen gebruik van verschillende componenten die op elkaar gestapeld werden (afb. 3.1.3). Tot op een hoogte van 300 ft werd dit beton versterkt met wapening in het beton, daarboven maakte Saarinen gebruik van wapening buiten het beton: tussen de betonconstructie en de roestvast stalen bekleding (Román, 2003). Het grootste deel van de boog kon zonder problemen in twee delen gebouwd worden. Toen de boog een hoogte van 530 ft bereikte moest er een stut tussen de twee delen gebouwd worden, om te voorkomen dat de inklemming het begaf (afb. 3.1.4).
De formules van de vorige pagina waren: ⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ − 1⎟ ⎟ y = h + O − O ⋅ cosh ⎜C ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l h O = Omax −1 Omin 2 ⎛ ⎞ ⎛ Omax ⎞ Omax ⎜ C = ln + ⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ⎜ Omin O ⎝ min ⎠ ⎝ ⎠
Die in deel 2:
⎛ 2x − l ⎞ y = a + h − a cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2b ⎠ 1 l 2 b (a ) = ⎛ a +h ⎞⎞ ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎛ dal −q max ⎞ max ⎜ ⎟⎟ ⎜ ln ⎜ 1 + − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎟ ⎟⎟ ⎜ a a ⎠ ⎠ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎝
Er is buiten de naam voor b en C geen verschil voor de formule tussen de haakjes van de cosh: de formule uit deel 2 is als volgt te herschrijven: de C die afgeleid wordt uit deel 2 is dan amper verschillend van de C van Saarinen:
78a engineering
Afbeelding 3.1.3:Elementen waaruit de boog bestaat Afbeelding 3.1.4 De stut tussen de bogen. bij het afsluiten.
1 l ⎛ 2x − l ⎞ l ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x − l ⎞ − 1⎟ ( 2x − l ) = ⎟= ⎜ ⎜ ⎟= ⎜ 2b ⎝ l ⎠ 2b ⎝ l ⎠ ⎝ 2b ⎠ 2b 1 l 2 b = ⎛ a +h ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞ ⎛ dal −q max ⎞ max ⎜ ⎟⎟ ln n⎜⎜ 1 − + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎜ ⎟ ⎟⎟ a a ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ a +h ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞ ⎛ 1 1 dal −q max ⎞ max ⎟ =C ⎟ ⎜ l ⋅ = ln ⎜ ⎜ 1 + − ⎟ ⎜ ⎟ hfst 2 ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ a a 2 b ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
engineering
78b
De formule die overblijft is: ⎛ ⎞⎞ ⎛ 2x y = h + a − a cosh ⎜Chfst 2 ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎠⎠ ⎝ l ⎝
Hierbij moeten alleen de twee C’s aan elkaar gelijk gesteld worden, waarbij volgens het eerste deel van de formule moet gelden dat a=O: Chfst 2
⎛ a +h ⎛ ⎛ a + hdal −q ⎞2 ⎞⎞ ⎛ dal −q max ⎞ max ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎜ ⎟ a a ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎝
2 ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛O ⎛ Omax ⎞ ⎞ max ⎜ + ⎜⎜ − 1⎟ ⎟ CSaarinen = ln ⎜ ⎜⎜ ⎝ Omin ⎟⎠ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ Omin ⎟⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ h a =O = Omax −1 Omin
Chfst 2 = ? = CSaarinen ⎛ a + hdal −qmax ⎞ ⎛ Omax ⎞ ⎜ ⎟=?=⎜ ⎟ a ⎝ Omin ⎠ ⎝ ⎠ ⎛Als we hier voor⎞ a de formule in de derde regel hier-
h ⎛ + hdal −qmax ⎜O max −1 ⎜ Omin ⎜ = ⎜ h ⎜ Omax ⎜⎜ −1 Omin ⎝ 1 ⎛ ⎞ + 1⎟ ⎜O ⎜ max − 1 ⎟ O ⎟ = ⎜ min ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ O max ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎝ Omin ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ 1 Omax ⎞ − 1⎟ ⎜ 1+ O min ⎟ =⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎞ ⎛O = ⎜ max ⎟ ⎝ Omin ⎠
boven invullen, dan blijkt dit inderdaad te kloppen: (zie hiernaast). De formule van Saarinen is dus identiek aan de formule die ik gebruikte, maar bij Saarinen is de waarde voor a (of O) niet willekeurig, maar gebaseerd op de oppervlakte van de doorsnede. Deze informatie is erg nuttig om te gebruiken bij het maken van mijn eigen ontwerp.
79a engineering
engineering
79b
3.2 Santiago Calatrava
79
architecture
Afbeelding 3.1.5: Panorama utizicht vanaf de gateway arch over het in 1803 aangekochte land.
Afbeelding 3.2.1: Luchtfoto van de reggio Emilia bruggen.
architecture
80
3.2 Reggio Emilia Bridges
3.2 Santiago Calatrava
Deze serie bruggen bestaat uit twee typen, die ik ieder apart zal behandelen, allereerst de tweelingbruggen. Op de afbeeldingen hiernaast (afb. 3.2.1 en 3.2.6) zie je duidelijk dat de brug bestaat uit twee bijna rechte staanders, die uitmonden in een boog. Links wordt de boog opgehesen, en hier is al te zien waar de kabels bevestigd gaan worden: aan de binnenzijde van de boog. Waar de kabels stoppen is het deel van de boog dat opgehesen gaat worden al bijna loodrecht. Dit heeft als gevolg dat de spatkrachten moeilijk afgedragen kunnen worden. Oude kerken hebben dit probleem ook vaak: in eerste instantie werd dit opgelost door massa toe te voegen aan de buitenzijde. Soms blijkt dit niet meer voldoende en wordt er een stalen kabel tussen beide uiteinden gespannen, die de spatkrachten kan opnemen (fig. 3.2.1). In dit geval heeft Calatrava een andere oplossing bedacht: de kabels lopen niet naar de buitenkant van het brugdek, maar naar de binnenkant. Hierdoor nemen de kabels zowel de horizontale als de vertikale krachten op. De krachten die overblijven zijn horizontaal. Deze boog is in dat opzicht helemaal gebaseerd op evenwicht: ook als je een dwarsaanzicht bekijkt, zie je dat de kabels links en rechts elkaar in evenwicht houden (fig. 3.2.2). Het mooie aan deze manier van de krachten oplossen is dat een prachtig spel ontstaat van een ‘web’ van elkaar kruisende kabels. Omdat de krachten gecentreerd worden, doordat de boog loodrecht op het brugdek staat, zou je een cirkelvormige of ellipsvormige boog verwachten. Zeker omdat de kabels vanaf het vooraanzicht naar één centrum lopen. Op afbeelding 3.2.3 zie je dat de vorm van de brug inderdaad wel in de buurt komt van de voorgestelde ellips.
81a engineering
Afbeelding 3.2.6: Bouw van één van de bruggen Figuur 3.2.1: opnemen spatkrachten Figuur 3.2.2: evenwicht in het dwarsaanzicht.
engineering
81b
3.2 Reggio Emilia Bridges De Reggio Emilia bruggen, ontworpen door Calatrava, zijn in 2007 voltooid. De bruggen zijn onderdeel van een nieuwe afrit van de A1 met een grotere capaciteit dan de voormalige afrit. Bovendien overspant de brug de nieuwe high-speed treinverbinding tussen Bologna en Milan (ECCS, 2009). De twee buitenste bruggen zijn identiek en bestaan uit een 70 meter hoge pijler, waar aan twee kanten op kabels het brugdek van 192 meter hoog houden. De bogen zelf zijn maar 15 meter breed. Volgens Herndandéz (2012) zijn beide bruggen geïnspireerd op het menselijk lichaam, waarbij de kabels de armen representeren. De middelste brug heeft de grootste overspanning: 221 meter. De pijler van deze brug is een stuk lager dan van de andere twee bruggen: 50 meter. De overspanningen die Calatrava hier maakt lijken vrij onnodig. Op afbeelding 3.2.1 zie je al dat bij de eerste van de drie bruggen makkelijk meer kolommen hadden kunnen staan, de rotonde is verder helemaal leeg. Op afbeelding 3.2.4 zie je dat de overspanning over de A1 ook opgelost had kunnen
81
architecture
Afbeelding 3.2.2 Aanzicht van de centrale brug over het brugdek.
Afbeeldingen 3.2.3 en 3.2.4. Aanzicht over het brugdek van een van de tweelingbruggen en aanzicht van de centrale brug over de A1.
architecture
82
Ook de centrale brug is vanuit een statisch oogpunt logisch vormgegeven. Het was al opgevallen dat de kabels aan deze brug naar binnen gericht staan. Dit heeft als gevolg dat er een radiale belasting op de brug staat: kabels kunnen immers alleen in hun eigen lengterichting krachten overdragen. Er is een boog die heel goed is in dit soort krachten overdragen: de cirkelboog. In het vorige hoofdstuk concludeerde ik dat deze boog eigenlijk weinig nut had omdat de belasting van de cirkelboog ver van haar eigen vorm lag, op deze manier lijkt de cirkelboog dus toch nuttig te zijn. Trekken we de lijnen van alle kabels door dan vinden we een middelpunt 110 meter onder het hoogste punt van de boog (fig. 3.2.3). Dit is meteen het middelpunt van de cirkel die we door zouden kunnen trekken rond de boog (afb. 3.2.3). De cirkelboog heeft boven de andere bogen een extra voordeel: er treden geen spatkrachten op als de cirkel tot de helft doorgetrokken wordt. Hier is de boog overduidelijk geen halve cirkel. Dat kan ook niet, want dan komen alle kabels in het middelpunt bij elkaar, dan hebben ze geen zin. Bij de voeten van de boog moet hierdoor een grote horizontale kracht opgenomen worden. Dit wordt al eeuwenlang opgelost door het brugdek als trekstaaf te laten fungeren: de spatkrachten aan beide kanten van de boog zijn even groot, maar tegengesteld van richting, dus het verbinden van beide uiteinden levert 0 als resultante op (fig. 3.2.4). Het valt bij deze boog op dat de ‘kabel’ bij beide uiteinden van de boog veel dikker gemaakt is. Dit zou ermee te maken kunnen hebben dat de voet van de boog alle horizontale krachten op moet nemen, die anders door de kabels die nog zouden volgen opgenomen zou worden (fig. 3.2.5).
83a engineering
Figuur 3.2.3: radiaal gevormde kabels. Figuur 3.2.4: oplossing laatste krachten Figuur 3.2.5: spatkracht vs. kracht in brugdek.
engineering
83b
3.3 Gustave Eiffel worden met wat extra kolommen. Het gebaar dat Calatrava hier maakt is echter groots. Wat opvalt aan de centrale brug (afb. 3.2.2 en 3.2.4) is dat de kabels niet recht naar beneden, maar enigszins naar binnen gericht staan. Calatrava laat dit aan beide zijden eindigen in de ogen, waarbij de massa enerzijds de vorm van de boog, anderzijds de draaiïng van de kabels doorzet. De cirkelvormige ogen herhalen hier de vorm van de boog: de boog is een deel van een cirkel. De tweeling-bogen aan beide zijden van de centrale brug zijn zeer interessant. Door de manier waarop Calatrava de kabels vanaf de buitenkant van de bogen naar het midden van het brugdek leidt, onstaat een heel interessante kruising van de kabels: als een spinnenweb (afb. 3.2.1, 3.2.3 en 3.2.5). Vanaf iedere hoek is het aanzicht naar de bruggen anders. Door de samenstelling van de bruggen ontstaat een heel spannende route vanaf de A1 langs de voet van één van de tweelingbruggen, over de centrale brug naar de andere tweelingbrug, met constant een ander perspectief (route: afb. 4-5-2-3).
83
architecture
Afbeelding 3.2.5: Aanzicht naar de voet van één van de tweelingbruggen.
De Ponte Garabit werd in 1882 geconstrueerd door Gustave Eiffel. Tot op de dag van vandaag wordt hij gebruikt door passagierstreinen van Clémont-Ferrant naar Béziers (wikipedia, 2012a). De overspanning is - net als de Eiffeltoren die in dezelfde tijd is gemaakt - gemaakt in gietijzer. De brug overspant met de boog 165 meter (wikipedia, 2012b). Dit is enorm, zelfs in vergelijking met de andere, hedendaagse bogen die ik beschouwd heb. Het principe van de boog is gelijk aan die van de Reggio Emilia Bridge, vandaar dat ik niet heel diep op de constructie in ga. Wel opvallend is dat de vorm van de boog niet optimaal is: op de boog rusten 3 puntlasten, die in een ideale boog te zien zouden moeten zijn als knikken. Bovendien kan het brugdek van de Reggio Emilia Bridge gebruikt worden als trekstaaf om de spatkrachten op te nemen. Het brugdek hier kan dat niet, omdat dit boven de boog ligt, in plaats van eronder. Dit betekent dat de stenen console links onderin weggeduwd wordt door de boog. Dat dit niet is gebeurd in de afgelopen 130 jaar betekent waarschijnlijk dat de stenen constructie ontzettend zwaar is, wat goed mogelijk is als je hem ziet staan.
architecture
84
3.3 Ponte Garabit
3.4 Wilkinson Eyre Architects In 2002 won Wilkinson Eyre Architects voor het tweede jaar op rij de Stirling Prize: een architectuurprijs die jaarlijks wordt uitgereikt aan Britse architecten. Er ontstond enige ophef toen bleek dat zij niet met een gebouw, maar met een brug wonnen (Chapman, 2006), maar wellicht kan deze brug ook architectuur genoemd worden. De brug is ontzettend slim vormgegeven. Er was een wens voor een voetgangersbrug tussen Newcastle en Gateshead. De brug moest incidenteel boten tot 25 meter hoog door kunnen laten, maar hij moest toegankelijk blijven voor rolstoelgangers en fietsers. De overspanning van 105 meter was te groot voor een eenvoudige ophaalbrug. De architecten van Wilkinson Eyre hadden kunnen besluiten de overspanning op te delen, maar in plaats daarvan besloten ze een boogbrug te maken. Door behalve de drager
85
Afbeelding 3.3.1: Foto van de brug.
architecture
Afbeelding 3.4.1-3.4.2. Vooraanzicht van de brug in dichte- en open toestand.
architecture
86
3.4 Gateshead Millennium Bridge
3.4 Wilkinson Eyre Architects Al eerder merkte ik op dat de Gateshead Millennium Bridge slim antwoord geeft op de architectonische opgave. Ook constructief zit de brug slim in elkaar: Een overspanning van 105 meter is lastig te maken. Een boog is een slimme oplossing, maar weinig bogen kunnen open. De boog is zo vormgegeven dat in open toestand de verticale belasting wordt opgevangen door de boog en de kabels ertussen. Aangenomen dat beide bogen even zwaar zijn is te beredeneren dat de belasting op iedere boog in elkaar zit als bij een normale boog. Het eenvoudigst is om dit eerst te beschouwen in geopende toestand (rechtse figuren van 3.4.1-3.4.8). Dan kan over de lengte van de brug een serie doorsneden gemaakt worden (figuur 3.4.9). Het lijkt erop dat de vorm van beide bogen gelijk is, dus de doorsnede zal er steeds hetzelfde uitzien, als in de rechtse figuren van 3.4.3-3.4.6. De belasting op de boog is dan in iedere boog 1,6 F (F/sin 40), waarbij F de zwaartekracht is die op het stukje boog rust vanaf het midden tot de doorsnedeplaats van de boog. Dus 1,6 kan dan steeds als een constante genomen worden, waardoor we kunnen concluderen dat voor deze boogbrug in open toestand geen andere formule geldt dan voor andere bogen. In gesloten toestand ontstaat er een probleem: je ziet dat er ergens bij het draaipunt een enorm moment opgenomen moet worden, wil de brug in gesloten toestand in rust kunnen blijven. Wellicht zijn de gewichten van beide bogen niet gelijk, dan zouden de pijler en het brugdek elkaar wel in evenwicht kunnen houden, maar dan ontstaat een enorm moment als de brug geopend is. Dit kan misschien in de motor en het scharnier zelf opgenomen worden (afb. 3.4.7), maar dat betekent dat het ontzettend veel kracht en energie gaat kosten om de brug te openen en te sluiten. Het is aannemelijker dat er een contragewicht aan het brugdek zit, zoals getekend in figuren 3.4.5 tot 3.4.8. Als de gewichten gelijk zijn, ligt dit contragewicht in het verlengde van de deellijn tussen beide bogen, op die manier vormt het namelijk geen moment als de brug geopend is. Afhankelijk van de verhou-
86a engineering
Figuren 3.4.1-3.4.8 Kantelen van de brug met optredende momenten. Figuur 3.4.9: doorsneden over de lengte.
engineering
86b
ding tussen de gewichten van beide bogen zou dit contragewicht enigszins gedraaid kunnen liggen. Met dit contragewicht kunnen we weer een serie doorsneden maken, en het krachtenspel bekijken. Allereerst moeten de horizontale afstanden tussen punten A en B en A en C bepaald worden (figuur 3.4.10). Vervolgens kan de horizontale afstand tot D bepaald worden door de som van de momenten om A=0 te nemen (figuur 3.4.11). Hierna is de kracht in pijler AC en brugdek AB eenvoudig te berekenen door de som van de momenten om punt B=0 en punt C=0 te nemen (figuur 3.4.12). De uitkomst is in beide gevallen weer te schrijven als een constante van F: respectievelijk 2cos75/cos10 x F en (4cos75/cos10-2cos5/cos10) x F. Zoals je ziet echter wel verschillende constanten. In deel 2 gaf ik al aan dat niet de grootte, maar de vorm van de belasting doorslaggevend is bij het bepalen van de vorm van een boog, dus ook hier geldt geen andere formule dan bij gewone bogen. Het interessante aan deze brug is zelfs dat dit één van de weinige bruggen is waarbij de ideale vorm gevormd wordt door een pure kettinglijn, zonder paraboolfunctie erin. Dit omdat de belasting van het brugdek hier dezelfde vorm heeft als de vorm van de eigenbelasting van de pijler. Behalve dit onzichtbare contragewicht, zijn er verschillende zichtbare aanpassingen aan de vorm gedaan die betrekking hebben op de krachtsafdracht. Allereerst staat de pijler van de boog onder een lichte hoek, zo’n 15 graden (afb. 3.4.3). Bovendien is het brugdek iets gebold (afb. 3.4.1), waardoor krachten ook iets eenvoudiger door het brugdek opgenomen kunnen worden. Tot slot is de doorsnede van de pijler aangepast aan de vorm: twee vlakke zijden staan loodrecht op de kabels, waardoor het traagheidsmoment groter wordt (afb. 3.4.8).
87a engineering
Afbeelding 3.4.7 Grootte van het scharnier. Afbeelding 3.4.8: Fragmentfoto van de pijler met de trapeziumvormige doorsnede.
engineering
87b
Gateshead Millennium Bridge ook het brugdek de vorm van een boog te geven ontstond een brug die door te kantelen voldoende ruimte biedt aan de boten die eronderdoor moesten kunnen. Op deze manier hoefde bovendien het brugdek voor de voetgangers amper te hellen: over de twee keer vijftig meter stijgt het brugdek nog niet eens 3 meter (afb. 3.4.1-3.4.3). Architectuurcriticus Giles Worsley (2002) merkte op dat de architecten behalve aan de eisen van de gemeente te voldoen, ze ook aan de locatie antwoord gaven: nog geen halve kilometer verderop staat een oudere boogbrug, die de architecten echoen, maar niet imiteren (Worsley, 2002:162), (afb. 3.4.8).
87
Afbeelding 3.4.4-3.4.6. Brug is aan het openen.
architecture
Afbeelding 3.4.3. Zijaanzicht van de brug in open en dichte toestand.
architecture
88
89
architecture
Afbeelding 3.4.9: “Echo” van de oude brug in de Gateshead Millennium Bridge. Afbeelding 3.4.10: Nachtaanzicht.
3.5 Santiago Calatrava De Campo Volantin Footbridge is misschien wel de beroemdste brug van Calatrava. Hij is te vinden in Bilbao, vlakbij het Gugenheim museum. Calatrava begon in 1994 te ontwerpen aan deze brug, in 1997 was hij klaar (Hernandéz, 2012). Deze brug combineert het horizontaal gebogen brugdek van de vorige analyse met de pijler die eroverheen hangt, vandaar deze brug niet uitgebreid geanalyseerd is. De brug bestaat uit een gerond brugdek (afb. 3.5.1) en een paraboolvormige pijler die eroverheen hangt en aan beide zijden aan de zuid-oostzijde van het brugdek landt. Aan de pijler hangen kabels die de krachten van beide zijden van de brug afdragen. In afbeelding 3.5.1 is te zien hoe de brug in zijn omgeving opgaat door de voortzetting van de kromming aan de noordzijde ervan. Behalve hierin zit de schoonheid van de brug zit hem voor mij met name in de ranke detaillering: 500 mm voor de pijler, en slechts 30 mm voor de kabels die de brug dragen. Behalve dit is in afbeelding 3.5.2 ook te zien hoe het brugdek als het ware verdwijnt onder de kromming, terwijl de kabels als een soort dak doorzetten. Calatrava weet op deze manier een fantastische beleving weg te zetten.
Afbeelding 3.5.1 Luchtfoto.
architecture
90
3.5 Campo Volantin Footbridge
3.6 Alexander Chan Deze hele bijzondere brug van Alexander Chan staat in Brasilia, de hoofdstad van Brasilie. Brasilia is apart opgebouwd: dwars door de stad ligt een meer van ruim 13 kilometer lang en ruim 1 kilometer breed (afb. 3.6.1). De oude stad ligt weliswaar geheel aan een kant van het meer, uitbereidingen vinden plaats rond het hele meer. Over het zuidelijkste puntje van dit meer lagen al 2 bruggen (afb. 3.6.1). Rond 2000 kreeg Chan de opdracht ook een brug te ontwerpen op 1/3 van het meer (afb. 3.6.1). Zijn uitgangspunt was om niet alleen de oversteek te maken tussen het oude centrum van Brasilia en de wijk aan de andere kant van het meer, maar ook een icoon te maken voor Brasilia. In 1998 won hij de prijsvraag voor de brug (Ernst, 2012) en twee jaar later werd begonnen aan de bouw. In december 2002 vond de feestelijke opening van de brug plaats. Net als de bruggen van Calatrava bij Bologna, bestaat ook deze brug uit drie bogen. Verschil is echter dat de bruggen van Calatrava over een drukke weg spannen, en deze brug over een meer. Bovendien zijn de drie bogen hier gelijk aan elkaar, waar de Reggio Emilia bruggen duidelijk verschillende bruggen waren.
91
architecture
Afbeelding 3.5.2 Campo Volantin voetgangersbrug.
architecture
92
3.6 Juscelino Kubitschek Bridge
3.6 Alexander Chan
1a
De drie overspanningen van de Juscelino Kubitschek brug in Brasilia zijn opgedeeld in drie gelijke delen van 240 meter. De totale overspanning komt daarmee op 720 meter. Buiten de drie delen die overspannen worden met bogen, bevindt zich aan beide kanten nog een stuk brugdek van nog eens 240 meter die overspannen zijn met pilonen op ongeveer 80 meter van elkaar (geschat op basis van foto’s). Het feit dat de bogen over de brug heen liggen heeft geen invloed op de verdeling van de belasting over de boog, de oppervlakte die iedere kabel draagt blijft gelijk (fig. 3.6.1). Het heeft echter wel gevolgen voor de torsiekrachten op de boog: in het midden is de horizontale factor van de krachten in de kabels aan beide zijden gelijk, dichter naar de voet van de bogen toe trekt de kabel aan de ene kant van het dek harder dan aan de andere kant (fig. 3.6.2). Het gevolg is dat er torsiekrachten ontstaan in de constructie. Het feit dat de boog over het dek ligt heeft als negatief gevolg dat de boog buiten het brugdek in het water moet landen. Hierdoor zouden kabels vanaf de boog erg laag over het wegdek liggen als het wegdek ook hier met kabels gedragen werd (fig. 3.6.3). Dan kunnen auto’s naturlijk niet meer passeren, dus moest Chan iets anders bedenken.Hij en zijn constructeur Verde hebben dit opgelost door extra pilonen te plaatsen waar de bogen in het water landen (fig. 3.6.4).
2
1b
3a
4a
3b
4b
92aengineering
Figuren 3.6.1 - 3.6.2: krachtenspel in de brug Figuren 3.6.3 - 3.6.4: oplossingen voor de overspanning.
engineering
92b
3.6 Juscelino Kubitschek Bridge
3.7 Eero Saarinen Saarinen noemde in 1959 de David S. Ingalls Hockey Rink een van zijn best gelukte gebouwen. Vaak werd volgens hem door critici onderschat hoe belangrijk dit gebouw geweest is voor onder andere zijn TWA terminal (Saarinen, 1959a). In 1953 werd Saarinen door de universiteit van Yale (New Haven, Connecticut) benaderd om een ijshockeyhal te maken. Zes jaar later werd hier de eerste wedstrijd gespeeld. Het ontwerp ontstond, aldus Saarinen, door een verzameling van logische randvoorwaarden: de belangrijkste was dat er een standaard ijshockeyveld in moest passen (85 bij 200 ft (26 bij 61m)). Bovendien moest het ruimte voor 2.800 - 5.000 toeschouwers bieden. De ruimte die nodig was werd overspannen met een boog. Het voordeel van een boog is dat deze bij de voet sneller stijgt dan bovenin, waardoor er veel ruimte onder ontstaat (fig. 3.7.1-3.7.4). Aan de boog hangen kabels die het dak dragen: deze hebben automatisch de vorm van een hangende kettinglijn.
93
architecture
Afbeelding 3.6.2 zijaanzicht van de brug. Afbeelding 3.6.3 zicht over het brugdek.
Figuren 3.7.1 - 3.7.4 Alternatieven voor de boogvorm.
architecture
94
3.7 David S. Ingalls Hockey Rink
3.7 Eero Saarinen In plaats van in de breedte richting te overspannen (ongeveer 57 meter) besloot Saarinen al in zijn eerste schetsen in de lengterichting te overspannen. Zo ontstond een overspanning van 85 meter (fig. 3.7.6). Het voordeel van deze constructiemethode is dat Saarinen met slechts één spant het hele gebouw kon construeren. Aan dit centrale spant hangen behalve kabels ook aan beide kanten contragewichten die eveneens de vorm van een boog hebben. De boogvorm van de contragewichten heeft als functie dat ze de horizontale krachten ten gevolge van de kabels eenvoudig op kunnen nemen. De overstekken die de ingang benadrukken hebben ook constructief extra nut. Zij vormen een contragewicht tegenover het gewicht van de rest van de dakconstructie, waardoor de spatkrachten enigszins worden verkleind. Ze heffen de spatkrachten niet op, daarvoor zouden de overstekken groter moeten zijn dan de 10 meter die ze nu uitkragen (fig. 3.7.8), afhankelijk van het gewicht dat erop rust ongeveer de helft van de lengte die de boog overspant. Het feit dat de uitkraging een andere hoogte heeft dan het midden van de boog werkt hierin niet mee, de factor 1/h ontstaat doordat de som van de momenten om het midden van de boog genomen worden: op hoogte h.
94aengineering
Figuur 3.7.6: afmetingen van de boog. Figuur 3.7.7: optredende krachten zonder uitkraging
Figuur 3.7.8: optredende krachten met uitkraging
engineering
94b
3.7 David S. Ingalls Hockey Rink De locatie was enigszins afgelegen van de campus, dus Saarinen besloot snel dat de hoofdingang aan de enige goed bereikbare kant zou komen. Door de boog een extra overstek te geven werd de ingang benadrukt (fig. 3.7.5, afb. 3.7.2)
95
architecture
Afbeelding 3.7.1: Zijaanzicht van de ijshockeyhal. Afbeelding 3.7.2: Benadrukte ingang van de hal.
Figuur 3.7.5: Benadrukken van de ingang.
architecture
96
Net als bij de Gateshead Millennium Bridge van Wilkinson Eyre, hangen hier aan de centrale boog nog twee bogen. Bij de brug van Wilkinson Eyre zagen we dat de tweede boog de belasting van de eerste boog aanvulde. In dit geval werkt dat voor de constructie zelf ook zo. Het verschil is echter dat het gewicht van de kabels tussen de bogen in Gateshead verwaarloosbaar was. Hier rust het gewicht van het dak ook op de kabels. Dit wordt juist groter in het midden, waardoor de belasting op de boog hier juist de tegenovergestelde vorm van de eigenbelasting van de boog krijgt (fig. 3.7.9). Hierdoor nadert de vorm van de boog nóg sterker de vorm van een parabool dan wanneer een evenredig verdeelde q-last op de boog zou rusten.
96a engineering
Figuur 3.7.9: Krachtsafdracht in de boog..
engineering
96b
97
Afbeelding 3.7.3: De hockeyhal van binnen.
architecture
3.8 Paul Williams Het LAX theme building is een interessant gebouw om naar te kijken, het doet science-fiction-achtig aan. Het is wat dat betreft vrij vroeg ontworpen: in 1961 ontwierp Paul Williams het gebouw in samenwerking met Pereira & Williams architects. Het ontwerp bestaat uit een centrale kern, waaromheen zich een restaurant bevindt. Deze is middels kabels verbonden aan twee bogen die in hun toppen kruisen. Het schijnbaar heel iele dak van het restaurant loopt naadloos over in de bogen (afb. 3.8.2). Het dak eindigt zo iel in de boog dat het lijkt alsof de verbinding nooit het hele restaurant kan dragen. Hoewel het theme building er in potentie interessant uitziet, lijken er vrij rigide ingrepen gedaan te zijn die tamelijk nutteloos zijn. De verhouding tussen de dikte van de kern en de uitkraging is dusdanig klein dat de bogen over het gebouw wellicht niet nodig waren, terwijl deze de hele vorm bepalen. De kabels aan de bogen doen vermoeden dat ze zeker wel een deel dragen, maar met deze kern in het midden lijkt het gebouw veel lomper dan het wellicht geweest zou kunnen zijn. Het gebouw zou pas écht spannend geworden zijn als de kern weggelaten was: de detaillering van de verbinding tussen dak en bogen zou daaraan meegewerkt hebben. Vraag die dan ontstaat is hoe je het gebouw inkomt, maar daar kunnen vast tal van oplossingen voor verzonnen worden die de spannende vorm niet teniet doen.
architecture
98
3.8 LAX theme building
3.9 Renzo Piano In 1991 krijgt Renzo Piano de opdracht een bedevaartskerk te bouwen in Foggia, Italië. Foggia was de woonplaats van Pater Pio, die in 2002 tot heilige werd verklaard. Sindsdien is Foggia het op één na populairste bedevaartsoord in het Christendom. Piano is van mening dat om een sacraal gevoel in het gebouw te krijgen, het nodig is om een contrast te creeren tussen eenvoudige materialen. Al snel besluit hij steen uit de nabijgelegen groeve te gebruiken, in combinatie met hout en roestvast staal (Buchanan, 2008). Nu vind ik persoonlijk dat er geen heel erge sacrale sfeer hangt in de kerk zelf, wel in de catacombe eronder (afb. 3.9.1 en 3.9.2) Door de huidige computertechnieken is het mogelijk de stenen eenvoudig in de juiste vorm te zagen, waardoor bogen gevormd worden. De bogen worden steeds een stukje kleiner, waardoor een spiraal je als het ware naar
99
architecture
Afbeelding 3.8.1 Aanzicht encounter restaurant Afbeelding 3.8.2 Detailaanzicht restaurant.
Afbeelding 3.9.1: De kerk van binnen.
architecture
100
3.9 Padre Pio Pilgrimage Church
3.9 Renzo Piano In de Padre Pio kerk maakte Piano voor het eerst gebruik van een stenen hoofdconstructie. Dit deed hij vooral om een sacrale ruimte te creëren, maar het had ook als voordeel ten opzichte van beton dat het ruim twee keer zo sterk is (Buchanan, 2008). De opbouw is simpel: op de betonnen fundering rusten uitgehakte stenen, die steeds per 5 op elkaar zijn gelijmd. Na 5 stenen volgt steeds een RVS stut voor het houten dak. Deze stutten hebben een V-vorm, waardoor ze een breder dakoppervlak dragen dan de eenvoudige boog zou kunnen. Piano gebruikt bovendien een V-vorm, omdat er steeds twee bogen versprongen ten opzichte van elkaar staan en de ene boog neemt met behulp van de V steeds de krachtsafdracht van de andere over (zie fig. 3.9.2). De vorm van de boog is hier ook op aangepast, ze dragen niet over de gehele lengte een deel van het dak, waardoor ze vlakker worden waar ze niets dragen. Dit is duidelijk te zien in de doorsnede in figuur 3.9.3. Helemaal vlak wordt de boog hier niet, dat heeft te maken met het feit dat het eigengewicht van de stenen draagconstructie relatief hoog is ten opzichte van de dakconstructie.
100aengineering
Figuur 3.9.1 vervorming door belasting op de helft van de boog Figuur 3.9.2 Totaalschema van de bogen.
Figuur 3.9.3 Precieze doorsnede door de kerk.
100b
engineering
3.9 Padre Pio Pilgrimage Church
101 architecture
Afbeelding 3.9.2: De catacombe onder de kerk. Afbeelding 3.9.3: aanzicht van de kerk vanaf het plein.
binnen trekt (figuur 3.9.5). De broederschap was echter van mening dat vanaf de hoofdingang meteen het altaar zichtbaar moest zijn. Daardoor Piano de hoofdingang niet in deze route heeft geplaatst, maar zelfs op een lastig te vinden plaats, weg van het plein. De route naar het plein heeft Piano gemarkeerd met een gallerij van klokkentorens langs een hellingbaan (afb. 3.9.3). Als je deze route naar het plein zou nemen, valt het op dat de route in de kerk tegengesteld draait ten opzichte van de route om het plein te bereiken (figuur 3.9.4) Door de overspanning te maken met twee bogen, deelt Piano de ruimtes op in verschillende segmenten, waardoor bij een kleine bijeenkomst de ruimte niet ontzettend groot en leeg voelt, en er toch ook een mogelijkheid is om een grote dienst te houden.
Afbeelding 3.9.4 Maquette van de kerk.
architecture
102
3.10 Eero Saarinen Terwijl hij nog bezig was met zijn David S. Ingalls hockey rink in New Haven, kreeg Saarinen de opdracht een terminal te maken in New York. Hoewel de gebouwen qua uiterlijk en innerlijk totaal verschillend zijn, heeft dit gebouw veel te danken aan de ervaringen die Saarinen opdeed bij het ontwerpen van de hockey rink (Saarinen, 1961). Vooral in het technische deel is dit goed te zien. Hier zal ik dit dan ook behandelen. De vorm van het interieur van de terminal is afkomstig van een bevinding die Saarinen bij een andere terminal in New York had. Volgens hem lopen mensen niet in rechte lijnen, maar in curves om obstakels te omzeilen. Dit leidde ertoe dat Saarinen in zijn TWA terminal geen grote vierkante ruimte wilde maken, zoals Yamasaki deed in zijn Lambert Airport terminal uit 1956, maar een ronde, gecurf-
103 architecture
Figuur 3.9.4 Route de kerk in. Figuur 3.9.5 Route door de kerk. Afbeelding 3.9.5 Route langs de klokkentorens.
Afbeelding 3.10.1: Foto van de wachtruimte met zicht op de vliegtuigen.
architecture
104
3.10 TWA terminal
3.10 Eero Saarinen De TWA terminal is misschien wel de spannendste casestudy die ik geselecteerd heb. Tegelijk is deze structuur misschien wel het minste boog van de geselecteerde gebouwen. Het bestaat uit vier steunpunten, die ieder uitmonden in een boogvormig element. Serraino (2007) meent dat deze verwijzen naar een kruisgewelf, waarschijnlijk omdat de bogen spits eindigen (afb. 3.10.2) en de nerven in het interieur te zien zijn (afb. 3.10.3). Toch is het niet echt een kruisgewelf. Ook Siegel (1960:272) weet niet hoe hij de boogvorm moet noemen, zoals duidelijk uit zijn analyse blijkt “Das Auge gewahrt keinen Kreis, keinen rechten Winkel und keine Parabel” (De ogen nemen noch een cirkel, noch een rechte hoek, noch een parabool waar). Bovenop deze boogvormige elementen staan schaaldaken, die een opwaartse kracht representeren (Saarinen, 1959). Maar volgens mij representeren niet de schaaldaken, maar vooral het spel met het licht deze opwaartse kracht. De terminal toont een schijnbaar evenwicht tussen een viertal bogen (fig. 3.10.1). De twee paren bogen lijken elkaars gewicht te compenseren. Ten tijde van de ingebruikname van het gebouw was het duidelijk dat dit niet het geval was: in 1962 werd de eerste vleugel in gebruik genomen, in 1970 was de tweede pas af (Román, 2003). Dit is ook duidelijk te zien op afbeelding 3.10.5, waar slechts één vleugel gebouwd is, en deze niet ondersteund wordt. Dit was ook de kritiek die Nervi (1960s) uitte op de terminal: dat de opwaartse kracht die Saarinen wilde uiten wordt bereikt met zóveel wapening en beton dat de vraag is of het doel van het representeren van de opwaartse kracht (lichtheid lijkt daarin een sleutelbegrip) wel gehaald wordt. Ik ben het met Saarinen eens dat het spel met licht dit gevoel zeker wel kan opwekken. Eén van de belangrijkste momenten in het ontwerpproces noemt Saarinen het ontwerp van de staanders (afb. 3.10.6), die het krachtenspel van twee bogen samenbrengen (fig. 3.10.2). De vier staanders samen dragen het hele dak, er zijn geen andere kolommen die tot dit doel meewerken. Doordat de ‘vleugels’ van
104aengineering
Figuur 3.10.1: Schijnbaar evenwicht in bogen. Figuur 3.10.2: Krachten in kolommen. Afbeelding 3.10.5:Zicht op de terminal.
engineering
104b
3.10 TWA terminal de ruimte (afb. 3.10.3) (Román, 2003). Behalve rekening te houden met de route die mensen lopen van punt a naar punt b wilde Saarinen in zijn hele gebouw ook de spanning van het reizen uitdrukken (Saarinen, 1959a). Niet alleen in de hoofdruimte van de terminal, met geweldig uitzicht uit het gigantische raam (afb. 3.10.1) uitte hij dit maar ook met de hangways naar de vliegvelden toe. De volledig gesloten ronde tubes die de passagiers naar de vliegvelden leiden geven uiting aan de spanning van het laatste stukje in de terminal, daarna zal de passagier gaan opstijgen (afb. 3.10.4). Eén van de meest opvallende elementen van het gebouw zijn de vier kolommen (afb. 3.10.6), die tot stand zijn gekomen doordat Pelli, de constructeur, een model maakte van waar het beton gewapend zou moeten worden bij
105 architecture
Afbeelding 3.10.2: Aanzicht TWA terminal Afbeelding 3.10.3: Interieur TWA terminal
Afbeelding 3.10.4: Zicht op de terminal met op de voorgrond één van de hangways.
architecture
106
het gebouw ieder individueel uitkragen en elkaar dus níet in evenwicht houden, ontstaan er behalve de neerwaartse krachten ook momenten in de kolommen (fig. 3.10.3). Door de dikte van het dak - 6 tot 36 inches (15 tot 90 cm) volgens Nervi (1960s) - moet dit moment enorm zijn. Dit wekt de vraag op hoe Saarinen dit ooit voor elkaar gekregen heeft, zeker met de stroken ramen tussen de verschillende schalen. Antwoord op deze vraag is te zien als je kijkt naar figuren 3.10.4 en 3.10.5: de plattegrond van de staanders met de schaaldaken laten zien dat de staanders steeds net niet halverwege het zwaartepunt van de schalen staan, waardoor er nog maar een klein moment overblijft. Waarschijnlijk houdt ieder dak zichzelf in evenwicht, en vinden er amper krachtsoverdrachten plaats op de plaatsen waar de schalen met elkaar verbonden zijn. Dit verklaart ook waarom er nerven te zien zijn in het interieur van het gebouw (afb. 3.10.3). De enige ingewikkelde krachten die de staanders dan nog moeten opnemen zijn spatkrachten, welke ze in ieder geval voor een deel opnemen door schuin te staan. Voor een ander deel doen ze dat doordat er op dezelfde kolom een tweede boog rust waarvan we net hadden geconcludeerd dat deze een moment zou geven op de kolom. Als twee schalen met elkaar verbonden zijn weet Saarinen de spatkrachten en de momenten van het overhellende dak heel slim (net als bij de Ingalls Hockey rink) met elkaar te compenseren (fig. 3.10.6). De keuze voor schaaldaken (en daarmee volgens Saarinen opwaartse kracht) in plaats van een hangend dak tussen de bogen heeft als gevolg dat het gebouw toch niet helemaal een boogconstructie te noemen is, maar eerder een schaalconstructie. De TWA terminal is dus opgebouwd uit een viertal schalen (afb. 3.10.8), die gedragen worden door vier staanders (iedere schaal heeft twee steunpunten). Door deze schaalvorm ontstaan spatkrachten in alle richtingen die waarschijnlijk met een ring rondom de schalen zijn opgevangen. Over het algemeen antwoordt de TWA terminal dus goed aan het principe van Form follows Force.
106aengineering
Figuur 3.10.3: moment op de kolommen Figuren 3.10.4-5: Evenwicht door de schalen Figuur 3.10.6: Evenwicht in spatkrachten en M.
106b
engineering
107 architecture
Afbeelding 3.10.6: Close-up van één van de kolommen.
de gegeven vorm. Dit vonden de architecten er zo goed uitzien, dat dit een leidraad werd in de rest van het ontwerp. De staanders dragen niet alleen het dak, de vorm gaf ook de mogelijkheid een strook ramen over het dak heen te trekken, iets wat een geweldig lichtspel geeft in het interieur van het gebouw (Román, 2003). Saarinen vond de grootte van zijn ontwerp gigantisch, vrij vreemd als je hem nu bekijkt tussen alle andere terminals (afb. 3.10.7): de TWA terminal staat nu leeg, en valt bijna niet meer op als één van de kleinste gebouwen van de vele terminals die samen het vliegveld vormen. Al net na de opening van het gebouw in 1962 uitte Reyner Banham (1975) hierover kritiek. Hij verwachtte dat Saarinen’s terminal niet lang stand zou houden als vliegterminal, precies díe typologie die volgens Banham het meest aan veranderingen onderhevig was. Op dit moment staat de terminal op de nominatie om gesloopt te worden: zoals Banham voorspelde voldoet de terminal al enkele jaren niet meer. De terminal komt echter in ieder boek dat de geschiedenis van de architectuur beschrijft terug (Curtis, Watkin, Banham) en kan wat mij betreft gezien worden als het hoogtepunt van Saarinen’s architectuur.
Afbeelding 3.10.7: luchtfoto van het vliegveld met op de voorgrond de TWA terminal
architecture
108
109 architecture
Afbeelding 3.10.8: luchtfoto van de terminal.
3.11 Santiago Calatrava De Ciudad de las Artes y de las Ciencias in Valencia beslaat een enorm gebied aan de noordrand van het oude stadscentrum. Wat dat betreft lijkt het misschien niet zo raar dat er ruim 15 jaar overheen gegaan is voor het gehele gebied af was. Het gehele complex is ontworpen door of onder Calatrava tussen 1991 en 2006. De zo geliefde boogvorm van Calatrava manifesteert zich hier overduidelijk, er is geen gebouw te ontdekken zónder boogvorm (afb. 3.11.2). De Ciudad is gesitueerd in de voormalige rivierbedding van de Turia, waarvan de loop veranderd is na een ernstige overstroming in 1957. De oude rivierbedding werd behouden als park rond het oude stadscentrum. In 1991 werd de opdracht gegeven de voormalige monding van de rivier te saneren en hier de stad van de kunsten en wetenschappen aan te leggen (Jodido, 2007). In het meest zuidelijke puntje van de Ciudad ligt het Oceánographic (links op afb. 3.11.2). Voor dit complex nodigde Calatrava Candela uit, die hier eveneens een ontwerp voor een boogvormig gebouw maakte. Samen hebben ze hier op die manier een zeer vreemd complex gebouwd, dat zich volledig afzet tegen haar omgeving. Het complex wordt gekenmerkt door een serie iconen die elkaars iconografische eigenschappen volledig teniet doen door de belangrijkste formele eigenschap (boog) van elkaar te imiteren. Uiteraard bereikt Calatrava hier tegelijk mee dat de Ciudad een volledig afgesloten wereld binnen Valencia vormt. De meest kenmerkende gebouwen zijn de opera en het planetarium (afb. 3.11.1) en het hoofdgebouw van het Océanographic (afb. 1.2.1, p.11). Allen zijn overduidelijk gebaseerd op gebogen vormen, telkens op een andere manier gebruik makend van de sterke eigenschappen van een boog. Het operagebouw gebruikt een ruggengraat over het gebouw heen, waaraan de dakconstructie lijkt opgehangen. Het planetarium bestaat uit een serie bogen die steeds meer gekanteld worden. Calatrava wilde hier een hele zijwand kunnen laten openen (als een oog) door deze gekantelde bogen op te trekken. Candela’s Océanographic bestaat zoals al zijn gebouwen uit Hyperbolische Paraboloiden.
architecture
110
3.11 Ciudad de las Artes y de las Ciencias
3.12 Oscar Niemeyer In 1957 ontwierp Oscar Niemeyer het Palacio da Alvorada (Portugees: Paleis van de Dagenraad). Het is gebaseerd op de modernistische glazen box, waar een gallerij omheen is geplaatst om inval van direct zonlicht te voorkomen. Niemeyer probeerde de dakrand zo iel mogelijk te houden waar zij aansloot op de kolommen, maar als je het vooraanzicht bekijkt, zie je dat dit enkel een verjonging van de totale dakrand is (afb. 3.12.3) Het concept van de glazen box met de overhellende dakrand en de gallerij herhaalde hij later verschillende keren. Onder andere het Supreme Court, Palacio Itamarati en het Palacio Planalto (afb. 3.12.4 - 3.12.6) lijken sterk op het ontwerp voor het Palacio da Alvorada. In veel van deze ontwerpen maakte hij gebruik van zijn omgekeerde bogen, welke hij gebruikte om het contact tussen de constructie en het dak zo gering mogelijk maakte (Hess, 2009). Behalve het feit dat deze iele verbinding een spannend beeld geeft, benadrukt het ook de bijna afwezige
111 architecture
Afbeelding 3.11.1: Zicht langs het oog op het operagebouw. Afbeelding 3.11.2: Luchtfoto van de Ciudad
Afbeelding 3.12.3: Verjonging van het dak van Palacio da Alvorada
architecture
112
3.12 Palacio da Alvorada
3.12 Oscar Niemeyer Het interessante aan het Palacio da Alvorada is dat de bogen in dit gebouw op zijn kop staan. Hierdoor zou je deze kunnen zien als ketting, maar wellicht is het interessanter om te bekijken wat een boog op zijn kop betekent. Als je een gewone parabolische boog ziet als een ‘gereedschap’ dat een gelijkmatig verdeelde belasting op een heel efficiënte manier omzet in twee puntlasten (fig. 3.12.1), zou hij op zijn kop dan tegengesteld gaan werken? (fig. 3.12.2). Beschouw je figuur 3.12.1 goed, dan zie je dat de ontstane puntlasten een horizontale component hebben, in het geval van het Palacio da Alvorada is die er niet. Deze kunnen we wel maken door het dak voor te spannen. Laten we dus aannemen dat de twee puntlasten een horizontale component hebben. Het figuur dat dan ontstaat is te zien in figuur 3.12.3. Net als bij een gewone boog kunnen we hier op verschillende punten het moment in de constructie gelijk stellen aan 0. Dan hebben we de formule van de boog en de verhouding tussen de horizontale en verticale component van de belasting nodig. Laten we voor nu even de standaard formules gebruiken uit het begin van dit onderzoek: 2 ⎞ ⎛ 2x y =h⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝ l 2 1 ql Fh = ⋅ 8 h 1 Fv = ⋅ ql 2 De verhouding tussen de verticale en horizontale kracht is dan: Fh : Fv 1 ql 2 1 : ql 8 h 2 1l :1 4h Laten we l en h 10 nemen, dan is de verhouding 1:4. Nemen we nu het moment om een punt A ergens op de
112aengineering
Figuur 3.12.1: Omzetten van q-last naar krachten Figuur 3.12.2: Werkt het andersom ook? Figuur 3.12.3: Voorgesteld principe.
engineering
112b
3.12 Palacio da Alvorada
113 architecture
Afbeelding 3.12.1: Aanzicht van het museum Afbeelding 3.12.2: Patio buiten het museum
Afbeelding 3.12.4: Palacio Itamarati Afbeelding 3.12.5: Supreme Court Afbeelding 3.12.6: Palacio Planalto
architecture
114
boog, dan zouden we q moeten kunnen bepalen afhankelijk van F: als deze gelijkmatig is, werkt de boog omgekeerd ook. ΣM | A = 0 1 ΣM | A = y ⋅ Fh − x ⋅ Fv + x 2 ⋅ q = 0 2 1 2 − y ⋅ Fh + x ⋅ Fv = x ⋅ q 2 2
1 ⎞ 1l ⎛ 2x −h ⋅ ⎜ − 1⎟ ⋅ F + x ⋅ F = qx 2 2 ⎝ l ⎠ 4h 2 ⎞ 1 ⎛ 4x 4x 1 − l⎜ 2 − − 1⎟ ⋅ F + xF = qx 2 l 4 ⎝ l 2 ⎠
vormige belasting op een fundering te laten rusten. De conclusie zal nu moeten zijn dat Oscar Niemeyer de elegante bogen in zijn constructie niet heeft gebruikt om tot een statisch slimme oplossing te komen, gewone kolommen hadden hier net zo goed gepast. In principe was dat al wel duidelijk omdat de ondersteboven bogen niet direct op de fundering geplaatst zijn, maar het principe van de ondersteboven boog dat mij zo interessant leek werkt dus niet. Het enige nut dat de bogen misschien nog hebben is, dat ze op een elegante manier de knik tegengaan, waar kolommen in het geheel veel dikker hadden moeten zijn.
1 1 x 2F + 2xF + lF = qx 2 4 2 l 2 x F 5F + 4xF − = qx 2 5 5F 4F 1 q = 2 + − F x x 5 De berekening hierboven betekent dat als de verticale kracht 4x zo groot is als de horizontale kracht en het moment in de boog moet 0 blijven, dán moet de reactiekracht de vorm krijgen van q. Zoals je ziet komt uit de som een formule die afhangt van x, hierdoor is het meteen duidelijk dat het niet werkt om een boog ondersteboven te plaatsen zodat er een gelijkmatig verdeelde belasting ontstaat. Nu zou ik nog kunnen kijken of dit principe wel werkt als je een op een kettinglijn gebaseerde boog wegzet: we hebben gezien dat een kettinglijn vormige belasting in het ideale geval voor een kettinglijn gevormde boog zorgt. Dit heeft echter totaal geen waarde, want voor de fundering zou het nuttig kunnen zijn als er een gelijkmatig verdeelde belasting op rust. Het is totaal nutteloos om een kettinglijn−
114aengineering
114b
engineering
overgang van binnen naar buiten. Het plafond loopt door de glazen wand door in de gallerij, en eindigt in het niets, slechts rustend op enkele naaldjes. Dit concept heeft Niemeyer op verschillende plaatsen doorgevoerd met vides, doorlopende balkons, de overloop van de bogen in de gallerij en detaillering van de glazen puien. Het mooiste is dit te zien op afbeelding 3.12.7, waar je duidelijk het doorlopen van de verschillende elementen naar de gallerij en uiteindelijk naar buiten ziet, in combinatie met de bijna afwezige glazen pui.
115 architecture
Afbeelding 3.12.7: Interieur van het Palacio da Alvorada
3.13 Kort samengevat Binnen de geselecteerde case-studies is de boog op verschillende manieren gebruikt. Ze waren weliswaar in eerste instantie gesorteerd op toenemende complexiteit, buiten deze ordening zijn ook andere overeenkomstige thema’s terug te vinden: Allereerst het thema van de boog die zich aanpast aan de belasting. Deze is overduidelijk terug te vinden in het Jefferson expansion memorial van Saarinen en de Padre Pio pilgrimmage church van Piano. Bij de eerste is dit letterlijk te zien in het feit dat de boog zijn eigen belasting volgt, bij de tweede in het feit dat de bogen sterk afvlakken waar geen belasting is. De bogen van beide projecten zijn als het ware naar hun belasting ‘gegoten’. Een tweede thema is dat van de belasting aanpassen aan de boog: zo wordt bij de Reggio Emilia bridges een gelijkmatig verdeelde belasting omgezet in een radiale belasting. Ook bij de David S. Ingalls rink van Saarinen zie je dat hij een ringvormige belasting aan de boog hangt, waardoor de optelsom zich als een min of meer gelijkmatig verdeelde belasting gaat gedragen. Een derde thema dat verschillende keren terugkomt is het invoegen van spanningen tussen verschillende bogen. Saarinen doet dit zowel in zijn ontwerp voor de David S. Ingalls hockey rink als voor zijn TWA terminal. Ook Wilkinson Eyre Architects verbindt twee bogen met een spanningsveld - gevormd door kabels - ertussen. De vierde thema zou die zijn van de ontmoeting tussen een lijnvormige boog met de belasting van een vlak. Chan en Calatrava bereiken dit beiden voor hun bruggen in Brasilia en Bilbao door dezelfde ingreep: de boog en het vlak laten kruisen, in het geval van Chan zelfs drie keer. Het LAX theme building doet hier ook iets mee, hier is de lijn echter een vlak geworden. Niemeyer gaat hier op een hele bijzondere manier mee om: het lijnvormige dak moet op de dunne puntjes van zijn bogen landen. Om ze met zo min mogelijk oppervlakte te laten raken, zet hij de bogen op zijn kop. Voor voordelige eigenschappen van de boog: geen moment en alleen normaalkrachten heeft dit echter niets te betekenen.
architecture
116
Behalve de thema’s van verschillende projecten, ben ik er door de eerste case-studie te analyseren achtergekomen dat mijn formule voor de kettinglijn handiger te schrijven is dan ik zelf deed. De formule die ik vanaf dit moment zal gebruiken staat hieronder geschreven. ⎛ ⎛ 2x ⎞⎞ − 1⎟ ⎟ y = h + O − O ⋅ cosh ⎜C ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎝ l O =
h Omax −1 Omin
2 ⎞ ⎛ ⎛O ⎞ O C = ln ⎜ max + ⎜ max ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎜ Omin ⎝ Omin ⎠ ⎠ ⎝ Ook de manipulatie van de krachten door Calatrava gaan nuttig zijn voor het vervolgonderzoek. Tot slot lijkt mij de manier waarop Saarinen een moment gebruikt om spatkrachten tegen te gaan erg nuttig om te gebruiken in mijn ontwerp.
117 architecture
118
Deel 4
Conclusie
119
4.1 Conclusie In het eerste hoofdstuk benoemde ik al voorzichtig dat de spanningen die Saarinen en Calatrava in hun ontwerpen stoppen een bepaalde krachtige esthetiek oproepen. In hoofdstuk 2 bleek dat er maar één soort boog is die de vorm heeft van zijn eigengewicht, de kettinglijn, maar dat door de verhouding tussen de rustende belasting (die over het algemeen om een parabolische boog vraagt) met het eigengewicht van de boogconstructie de boog in zeer veel gevallen toch een parabool benadert. De case-studies in hoofdstuk 3 geven extra voorbeelden van hoe bogen gebruikt kunnen worden. Wat mij in deze voorbeelden toch het meeste aansprak waren de voorbeelden van Saarinen en Wilkinson Eyre die een evenwicht vormden tussen twee bogen (afb. 4.1.1 en 4.1.2). Ook de voorbeelden van Piano en Eiffel (afb. 4.1.3 en 4.1.4) geven een (on)logisch antwoord op de relatie tussen belasting en vorm van een boog. Deze relatie werkt volgens mij mee in de esthetiek van de constructie. Het totaal levert een conclusie over hoe ik meen dat boogconstructies gebruikt moeten worden.
Afbeeldingen 4.1.1-4.1.4 afbeeldingen van de hierboven genoemde voorbeelden.
theory
120
Allereerst wil ik nogmaals opmerken dat spanning in een constructie volgens mij een bepaalde architectonische kwaliteit oplevert. Calatrava laat deze spanningen op een geweldige manier zien in de menselijke figuren die hij tekent, Saarinen en Wilkinson Eyre doen dat door bogen schuin te plaatsen in hun architectuur. Deze spanningen zijn niet terug te vinden in de gebouwen van Candela, omdat hij spanning wilde voorkomen door de constructie goed door te rekenen. Voor een kerk of een meditatiecentrum is dit wat mij betreft een prima benadering, maar het gebouw dat ik wil gaan maken, een cruise terminal, moet dynamiek uitstralen. De spanning in de gebouwen van Saarinen en Wilkinson Eyre bevindt zich niet in de bogen, maar in hetgeen de bogen verbindt: in de Gateshead Millennium bridge de kabels tussen het dek en de pijler, in de TWA terminal het dak. Het zou vreemd zijn om een boog te maken, en daar bewust spanningen in te plaatsen: bogen zijn juist functioneel vanwege de afwezigheid van deze spanning. De spanning tussen twee bogen zorgt wel voor een bepaalde esthetiek. De spanning van Calatrava zou ik spierkracht willen noemen die hij vertaalt in architectuur. Deze heeft een zeer bijzondere esthetische waarde, omdat hij behalve de spanning in zijn gebouwen, ook een soort logica oproept: de logica van een schuine pijler bijvoorbeeld, waarin de krachten door het lichaam in de benen worden opgelost (afb. 4.1.5). Ook deze benadering van een constructie spreekt mij zeer aan: het roept een logica op,
121 theory
Afbeelding 4.1.5a-b: Spanningen in het menseljik lichaam gerepresenteerd in een brug van Calatrava.
waar ik niet helemaal mijn vinger op kan leggen. Misschien heeft het met de menseljke proportie te maken, zoals Michelangelo zei met “L’arcitettura depende dalle membra dell’uomo” (In: Jodido, 2007:20). Misschien is het daadwerkelijk de spierspanning die onbewust leesbaar is voor de aanschouwers van zijn architectuur. In ieder geval wekt hij er een geweldige schoonheid mee op.
theory
122
Deel 5
Ontwerpopgave
123
5.0 Ontwerpopgave De opgave die ik mij na dit onderzoek stel heeft te maken met zowel het puur technisch onderzoek naar de boog en haar overspanning, als met de esthetica die ik vond in de case studies. Allereerst puur technisch: het moge duidelijk zijn dat de doelstelling wordt momenten in de constructie zo goed als het kan uit te bannen, om zo tot materiaalbesparing te komen. Om deze doelstelling te halen is het nodig een vrij grote overspanning te maken: de doorbuiging van een constructie hangt immers af van kln/EI. Afhankelijk van het soort overspanning kan n 2, 3 of 4 worden (nooit 1), wat betekent dat de lengte altijd zeer doorslaggevend is voor een doorbuiging en dus voor de hoeveelheid materiaal die gebruikt moet worden. Als er al bijna geen materiaal gebruikt wordt, kan er ook heel weinig materiaal bespaard worden. De technische vraag naar maat sluit goed aan bij de iconische waarde die een boog al bijna van nature heeft. Het booggebouw moet een nieuw icoon worden voor het toeristische Scheveningen, zoals het Jefferson Expansion Memorial van St. Louis. Verder sprak ik in het vorige deel al uit dat ik erg gefascineerd ben van de bogen die een evenwicht laten zien: de TWA terminal en de Gateshead Millennium Bridge zijn daarin erg sterke voorbeelden. Om antwoord te geven op de vraag welke van de drie typologische gebouwen hét voorbeeld voor mijn gebouw wordt (namelijk een door toeristen bezochte icoon, een brug of een gebouw) moeten we eerst even kort kijken naar Scheveningen en naar een passend programma.
design: task
124
5.1 Scheveningen en de pier Al sinds het begin van de 19e eeuw was Scheveningen dé badplaats van Nederland (De Pier, 2012): een positie die Scheveningen nooit meer heeft afgestaan. Halverwege de 20e eeuw begon Scheveningen zelfs internationaal veel bezoekers te trekken (Van Zijl, 2011). Wellicht heeft destijds de eerste Pier in die tijd een belangrijke rol gespeeld in het trekken van internationale bezoekers, in ieder geval wilde de Scheveningers deze terug nadat hij gedurende de tweede wereld oorlog was vernietigd. De nieuwe pier is een tijdje goed gebruikt geweest als icoon van Scheveningen, maar aan het einde van de 20e eeuw begon zij steeds minder aandacht te trekken, waarna het Van der Valk concern deze overkocht. Hoewel Van der Valk flink heeft geïnvesteerd in de Pier is zij helaas nooit de trekker geweest die Van der Valk zich ongetwijfeld had gewenst: anno 2013 is de Pier failliet verklaard, wat zou kunnen betekenen dat Scheveningen haar icoon gaat verliezen. Hoewel Scheveningen is ontstaan als vissersdorpje, en de visindustrie nog steeds aanwezig is, is het toerisme nu uitgegroeid tot de belangrijkste bron van inkomsten (Standpuntdenhaag, 2013). Het verlies van het icoon van Scheveningen zou hiervoor zonde zijn, laten we hier een nieuwe impuls aangeven, een een nieuwe toeristische trekpleister creëren. Het toeristische karakter van Scheveningen vraagt wellicht ook om een toerisitische functie; van daaruit is - samen met het feit dat de vraag naar cruises een flinke groei doormaakt - het idee ontstaan hier een cruiseterminal te bouwen. De eerste ingreep die hiervoor gedaan moet worden is het verlengen van de pier naar dieper water.
125 design: task
5.2 Cruise terminal Na een kort bezoek aan de cruiseterminal in Oostende welke veel kleiner is dan de grootte van de cruiseterminal die ik mij voor ogen heb - kwam ik tot de conclusie dat een cruiseterminal zelf praktisch geen programma is: het enige wat écht van belang is, is dat je op en van de boot moet kunnen. Een cruiseterminal trekt echter behalve toeristen óp de boot, ook toeristen die komen kijken naar de aankomst en afvaart van de boot. Havenmeester Goele Boydens (2012) vertelde dat het voor de nieuwe termianl van Oostende een eis was een uitkijkplatform te maken voor kijkers. Hierop wil ik inspelen in mijn gebouw, waarvan ik al vertelde dat het aan het verlengde van de pier kwam. Dat betekent dat het uitzichtspunt uitkijkt over zee naar de aankomst van het schip. Behalve een uitkijkpunt en een aanlegplaats, vraagt een dergelijke locatie natuurlijk ook om een plaats waar je op een hele bijzondere manier kan overnachten. Vandaar dat er behalve een aanlegplaats en een uitzichtspunt ook een hotel in het gebouw moet komen. Ik noemde al even dat de pier verlengd moet worden om diep genoeg water op te zoeken. Een cruiseschip vraagt om een minimale zeediepte van 10 meter. Iets anders wat van belang is voor de cruiseterminal is dat in deze regio eigenlijk nooit een buitengaarse terminal gemaakt wordt: de zee is daar te wild voor. Nu is het echter zo dat cruises hier bijna uitsluitend in de zomermaanden plaatsvinden. In deze maanden is er zelden een storm. Om te voorkomen dat een cruiseschip beschadigt, zal het daarom waarschijnlijk nodig zijn dat de terminal in de wintermaanden sluit voor cruiseschepen.
design: task
126
5.3 Opgave De conclusie van dit hoofdstuk mag zijn dat ik voor Scheveningen een icoon ga ontwerpen, dat internationaal extra bezoekers trekt. Het mooie aan het programma wat dat betreft is dat deze bezoekers niet alleen over het land, maar vooral ook over zee komen. Op deze manier krijgen het toerisme en de pier in Scheveningen een nieuwe impuls. Wat de vormentaal betreft en de vraag naar een grote overspanning zal de terminal zich vooral gedragen als brug en icoon. Verder is er een belangrijke vraag van mij uit naar een evenwicht, die het krachtenspel van het gebouw goed weergeeft.
127 design: task
128
Deel 6
Ontwerp
129
6.1 Ontwerp Het ontwerp voor de cruiseterminal ontstaat uit een drietal programma’s, die behalve een programmatische functie, ook een conceptuele functie hebben. Allereerst is het belangrijk de afleiding van de vorm uit te leggen. Ik vermeldde namelijk al dat ik op zoek was naar een evenwicht. Nu balanceert een boog in principe niet. Het interessante aan een boog is dat als je een boog op een willekeurige plaats doorsnijdt, je constant bepaalde reactiekrachten ziet: een horizontale component die in een ideale boog is altijd gelijk aan de spatkracht en een verticale component die altijd gelijk is aan de som van de belasting die tot aan dat punt op de boog gewerkt heeft. Deze krachten zijn aan twee kanten van de snede aan elkaar gelijk, en liggen (zoals alle normaalkrachten) loodrecht op de snede. Als je nu dus beide delen met de poten tegen elkaar aan zet, en deze met elkaar verbindt, dan zie je de vorm van mijn boog ontstaan (fig 6.1.1-6.1.4). q
q
q
C
2 1 8hql
C
A
B
1 2
1 2
ql
2 1 8hql
2 1 8hql
2 1 8hql
A 1 2
ql
q
2 1 8hql
ql
q
B
C
2 1 8hql
B
C
A A
ql
Figuren 6.1.1-6.1.4: Ondernomen aanpassingen aan een boog.
ql
design
130
In deze vorm ontstaat een spel tussen programmatische en draagconstructieve functies. Het gebouw kenmerkt zich namelijk door een duidelijk centrum (daar waar de boogdelen samenkomen) dat niet alleen als programmatisch centrum dient, maar tevens als draagconstructief centrum. Hier komen alle krachten bijeen. Zowel programmatisch als draagconstructief is het van belang dat het herkenbaar is dat dit het centrum van het gebouw is. Om dit voor elkaar te krijgen, zie je vanaf hier de ‘verkeersaders’ naar alle programma’s vertrekken. Bovendien herken je in de materialiteit de draagconstructieve functies (afb. 6.1.1). 6.1.1 Terminal Om de samenkomst in afbeelding 6.1.1 goed te kunnen lezen is het van belang te begrijpen wat er hier samenkomt. De hoofdfunctie van het gebouw is ‘cruiseterminal’ en het lijkt me
131 design
Afbeelding 6.1.1 Interieurbeeld van de terminal.
daarom niet vreemd dat de terminal tevens ‘het gedragene is’. Programmatisch is de terminal vooral de verbinding tussen hoofdgebouw en cruiseschip, en met die verbinding ook de gewenning aan de zee en de reis. Om deze reden is de terminal zeer open vormgegeven, met zowel een binnen- als een buitenruimte. De terminal opent zich niet voor niks naar zee: daar waar de reiziger naartoe gaat of is geweest. Draagconstructief betekent ‘de gedragene’ dat het doel (momenten verkleinen) vooral gehaald wordt met een lichte materiaalkeuze. Vandaar dat de terminal is gemaakt uit lichte composieten. De opening van de vorm heeft draagconstructief ook betekenis: doordat de opening een loodrechte hoek maakt met
Afbeelding 6.1.2 Bovenaanzicht van de cruiseterminal.
design
132
de kabels, treedt er geen of weinig torsie op in het lichaam. Uitbanning van deze krachten betekent weer dat er lichter ontworpen kan worden. Behalve draagconstructief hebben deze armen ook een betekenis voor de boot: ze houden de boot vast. Niet voor niks lopen de armen naar buiten uit: op deze manier wordt de boot in evenwicht gehouden: hij moet niet van de armen wegdraaien (afb. 6.1.2). 6.1.2 Uitzichtspunt/ restaurant Ik noemde de terminal al ‘het gedragene’, wat betekent dat er ook een drager is. De drager wordt gepersonificeerd door het uitzichtspunt. Het uitzichtspunt zit helemaal bovenin het uiterste puntje van het gebouw, zodat het uitzicht naar aankomende schepen erg goed is. Behalve kaal uitzichtspunt is het ook moge-
133 design
Afbeelding 6.1.3 Impressie van het interieur van het uitzichtspunt.
Afbeelding 6.1.4 Doorsnede door het uitzichtspunt. Afbeelding 6.1.5 Terugblik in het uitzichtspunt.
design
134
lijk hier een hapje te eten tijdens de beleving van de aankomst van een schip (afb. 6.1.3). Zo’n aankomst kan immers een paar uur duren. Van belang is dat dit punt zich echt opent naar het uitzicht (afb. 6.1.4) en om iedereen een zo optimaal mogelijk uitzicht te geven, heb ik gebruik gemaakt van verschillende typologiën eettafels (afb. 6.1.5). Beneden zijn ze georienteerd als tribune, zodat bezoeker goed over elkaar heen kunnen kijken, bij binnenkomst staan de tafels op een podium, zodat eters goed over de derde typologie heen kunnen kijken: aan de rand van de vide zitten iel gedimensioneerde tafeltjes, zodat bezoekers achter hen zo min mogelijk belemmerd worden in hun uitzicht. Draagconstructief betekent het uitzichtspunt en de poten er naar toe dat ze drager zijn. Doordat ze drager zijn en de terminal dragen, is de vorm van deze poten die van een parabool: naar deze vorm neigt een boog immers sneller dan naar een kettinglijn bij de combinatie van eigengewicht en gedragen constant gewicht. De drager is vormgegeven in een rood stalen vakwerk. Dit stalen vakwerk wordt gemaakt, omdat dit volgens mij typisch een drager representeerd. Het vakwerk is rood geschilderd zodat vanaf het strand dit (tevens voor dagjesmensen het meest toegankelijke) gebouwdeel altijd contrasteerd met de grijze lucht. Veel booggebouwen in Zuid-Europesche landen zijn wit geschilderd, waardoor ze goed contrasteren met de blauwe lucht, maar in Nederland is de lucht veel grijzer, waardoor het gebouw zou wegvallen in haar achtergrond. 6.1.3 Hotel Het meest statische programma is het hotel, wat het gebouw overeind houdt. Het hotel bestaat uit drie verschillende soorten kamers. Allereerst bevinden zich in de poten 66 standaardkamers. Deze kamers richten zich op de zijkant van het gebouw, en hebben daarmee een spectaculair uitzicht over Scheveningen en over zee. Kenmerkend aan de kamers is dat het licht op een bijzondere manier binnenvalt: de ene kamer heeft een heel hoog raam, de volgende juist een heel laag raam. Hoewel de indeling
135 design
Afbeelding 6.1.6 Kamer met een lage opening aan de zijkant Afbeelding 6.1.7 Kamer met licht uit het midden
design
136
van deze type kamers vrijwel identiek is, is de beleving van de kamers hierdoor juist erg verschillend (afb. 6.1.6 en 6.1.7). Behalve deze typologie zijn er 16 kamers te vinden met uitzicht over de terminal heen. Ook deze kamers hebben een ronde opening, die de balkons erg bijzonder maakt. Tot slot zijn er 12 suites te vinden in het hotel, met prachtig uitzicht over zee en over het Noorderstrand van Scheveningen (afb. 6.1.8). Voor het krachtenevenwicht is het hotel ook erg belangrijk: het dient als contragewicht voor de rest. Omdat het als contragewicht dient, wordt het ook zwaar uitgevoerd. Om deze reden was het al snel duidelijk dat dit deel in beton uitgevoerd zou worden. De typische vorm van het hotel (afbeelding 6.1.9) heeft te maken met de functie als contragewicht. Een contragewicht heeft namelijk het meeste effect ver van het draaipunt. Om deze reden
137 design
Afbeelding 6.1.8 Suite
zit het meeste massa ook ver van het draaipunt. Verder is de vorm in plaats van uit een parabool, opgebouwd uit een kettinglijn: behalve het eigengewicht dragen deze poten immers niks meer. 6.1.4 Gehele gebouw Nu ik alle materialen heb toegelicht, is het nog van belang uit te leggen wat er gebeurd waar de verschillende zaken samenkomen. De invulling van alle gebouwdelen wordt namelijk niet gemaakt uit het materiaal waarvan de verschillende gebouwdelen gemaakt worden. Alle vloervelden worden gemaakt van Lignatur houten kanaalplaatvloeren, zodat het binnen overal duidelijk blijft wat meedoet aan de gehele constructie (namelijk staal/ beton/ composiet) en wat invulling is. Ook de wandafwerking wordt niet van het ‘onderdeelmateriaal’ gemaakt, als de wand als invulling is gebruikt. De tussenwanden in het restaurant zijn zo van hout opgebouwd, en de wanden in het hotel zijn afgestuct. Waar de hotelkamers tegen het plafond aangebouwd zitten, zie je wel het beton terug: dit is daar immers wél onderdeel van de draagconstructie (zie contrast tussen afb. 6.1.6 en 6.1.7). Het totale gebouw lijkt mij zo in vorm en functie toegelicht. De volgende belangrijke vraag is natuurlijk of het gebouw blijft staan, dat wordt in het volgende hoofdstuk toegelicht.
Afbeelding 6.1.9: zijaanzicht van de terminal.
design
138
Tot slot rijst nog de vraag hoe het gebouw uiteindelijk landt op de grond. Je kan je voorstellen dat er enorme krachten uiteindelijk de grond in geleid moeten worden. Op zee worden verschillende principes toegepast. De vijf meest gebruikte manieren van offshore funderen staan hieronder gesommeerd (Cassedy e.a., 2005). Gezien ik overal bezig ben de krachten uit het materiaal te halen, en in de vorm te stoppen, lijkt de keuze voor de fundering mij evident: dit worden Jackets als in de middelste afbeelding hieronder. Met deze ingrepen en uitgangspunten ben ik tot de vorm van mijn cruiseterminal gekomen, zoals deze hiernaast is te zien.
139 design
Afbeelding 6.1.10: Funderingstypen op zee.
design
140
7.1 Gevolg a-symmetrische vorm Doordat de vorm niet symmetrisch is, klopt de formule voor de vorm zoals deze in eerste instantie is opgesteld niet meer: ik heb altijd de vorm berekend vanaf de helft van de vorm. De formule voor het afleiden van de formule moet nu dus enigszins aangepast worden. Op dezelfde manier als ik eerder heb gedaan, kunnen we de formule voor een a-symmetrische vorm ook afleiden aan de hand van een krachtenevenwicht: l x x x l ∫0 q ( x ) dx − l ∫0 x ⋅ q ( x ) dx − x ⋅ ∫0 q ( x ) dx − ∫0 x ⋅ q ( x ) dx y = l1 l l − 1 ∫ x ⋅ q ( x ) dx + ∫ x ⋅ q ( x ) dx 0 0 l l
Deel 7
Berekeningen voor het ontwerp
141
De afleiding is te vinden aan de binnenzijde van dit vouwblad. L1 is hierin de plaats vanwaar het moment berekend wordt, dus een willekeurig te bepalen plaats waar het moment 0 is. In het geval van mijn ontwerp zou dit het uiteinde van het uitzichtspunt zijn. Deze formule werkt, ik heb hem echter niet gebruikt voor mijn bogen, omdat het eigengewicht van de bogen afhangt van de integraal van de wortel van de afgeleide + 1 van deze formule: hier komt een onleesbaar getal uit. De eerste conclusie in dit hoofdstuk kan dus vast zijn dat het ontzettend lastig is om vanuit de belasting (die nog onbekend is) een boogvorm af te leiden. Wel had ik kunnen proberen de verhouding van 3,03 tussen kettinglijn en parabool te gebruiken, zoals gevonden in hoofdstuk 2.9. Ik heb echter de keuze gemaakt me minder te verdiepen in de formule, en meer in het architectonisch ontwerp.
engineering
142
y =
1
FV |a ⋅ x − Q x ⋅ z x FH |a
0
l
0
∫ q ( x ) dx −
l
0
0
Qx = zx
x ⋅ q ( x ) dx l
∫ q ( x ) dx
FV |a =
l
⋅ ∫ q ( x ) dx 0
0
l l
l
0
0
l ⋅ ∫ q ( x ) dx − ∫ x ⋅ q ( x ) dx
FV |a =
l x
∫
0
q ( x ) dx x
∫ =x −
∫
x
0
Qx ⋅ z x =
∫
0
0
∫
x ⋅ q ( x ) dx ⎞ l 1 ⎟ ⋅ q ( x ) dx l1 ⎟ ∫0 ∫0 q ( x ) dx ⎟⎠
l1
0
l l1 l1 l x ⋅ q ( x ) dx − l 1 ⋅ ∫ q ( x ) dx + ∫ x ⋅ q ( x ) dx ∫ 0 0 l 0
l1 l1 l x ⋅ q ( x ) dx + ∫ x ⋅ q ( x ) dx ∫ 0 l 0 l ⎛ x ⋅ q ( x ) dx ⎞ ⎜ l q ( x ) dx − ∫0 ⎟ ⋅ x − x ⋅ x q ( x ) dx − x x ⋅ q ( x ) dx ∫ ∫0 ∫0 0 ⎜⎜ ⎟⎟ l ⎝ ⎠ y = l1 l l − 1 ∫ x ⋅ q ( x ) dx + ∫ x ⋅ q ( x ) dx 0 l 0 x x l l x ∫0 q ( x ) dx − l ∫0 x ⋅ q ( x ) dx − x ⋅ ∫0 q ( x ) dx − ∫0 x ⋅ q ( x ) dx y = l1 l l − 1 ∫ x ⋅ q ( x ) dx + ∫ x ⋅ q ( x ) dx 0 l 0
x ⋅ q ( x ) dx
0
x
0
⎛ − ⎜l1 − ⎜⎜ ⎝
FH |a = −
l
l ⋅∫
l
l
0
0
l
l
l ⋅ ∫ q ( x ) dx − ∫ x ⋅ q ( x ) dx l
∫ q ( x ) dx ∫ x ⋅ q ( x ) dx = ∫ q ( x ) dx
z totaal
( )
FH |a = l 1 ⋅ ∫ q ( x ) dx −
l
Qtotaal =
0
FH |a = l 1 ⋅
Qtotaal (l − z totaal ) l
FV |a =
∫
q ( x ) dx
⎛ q ( x ) dx ⋅ ⎜ x − ⎜⎜ ⎝
∫
x ⋅ q ( x ) dx ⎞ ⎟ x ⎟ ∫0 q ( x ) dx ⎟⎠
x
0
x
x
0
0
Q x ⋅ z x = x ⋅ ∫ q ( x ) dx − ∫ x ⋅ q ( x ) dx FH |a = l 1 ⋅ FV |a − (l 1 − z 1 ) ⋅ Ql 1 z1
∫ =
l1
0
x ⋅ q ( x ) dx
∫
l1
l1
q ( x ) dx
0
Ql 1 =
∫
0
q ( x ) dx
142a engineering
engineering
142
⎛ x + 180 − 15 ⎞ y = 136 + 137, 5 − 136 cosh ⎜ ⎟ 136 ⎝ ⎠
]
⎛ x + 15 ⎞ y = 100 − 100 ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎝ 198, 75 ⎠
2
⎛ x + 180 − 15 ⎞ y = 136 + 137, 5 − 136 cosh ⎜ ⎟ 136 ⎝ ⎠
\
⎛ x + 15 ⎞ y = 100 − 100 ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎝ 198, 75 ⎠
2
143aengineering
Figuur 7.2.1 & 7.2.2 aanzichten met afmetingen
engineering
143b
7.2 Constructief schema Aan de binnenkant van dit vouwblad is een aanzicht van de terminal te vinden met de maten van overspanningen en formules van de bogen. Wat hier vooral opvalt is dat de maten van de overspanning tussen twee kabels steeds 7,5 meter is, en dat de rest van de maten van de rode boog horizontaal steeds veelvouden van 3,75 en 7,5 zijn. Behalve de maten zijn ook de formules van beide boogdelen van belang: de rode boog heeft de vorm van een parabool, omdat deze het gewicht van de armen naar het schip draagt. In hoofdstuk 2.9 zagen we al dat de ideale vorm van een boog die een q-last en zichzelf draagt 3x zo veel neigt naar de vorm van een parabool dan naar de vorm van de kettinglijn. Vandaar dat deze boog een paraboolboog is. De formule voor de parabool beschrijft de hoogte (100 meter), de oorsprong vóór de y-as (15 meter) en de lengte van de halve boog (198,75 meter). De formule wordt dan dus: 2
⎛ x + 15 ⎞ y = 100 − 100 ⋅ ⎜ − 1⎟ ⎝ 198, 75 ⎠ Het contragewicht draagt geen constante belasting, en heeft daarom de vorm van een kettinglijn. Ook in deze formule zijn een aantal zaken terug te lezen, hiervoor moet echter nog stap gemaakt worden aan de hand van de afbeelding binnen het vouwblad. De rode poten naar het restaurant zijn namelijk 221,25m lang, terwijl de helft van de boog op 198,75m ligt. De totale boog beschrijft dus 221,25/(198,75 x 2) = 5/9 van de totale boog. De boog waar het hotel zich in bevindt, beschrijft dus 4/9 van een hele boog. De lengte van dit boogdeel is af te lezen: 160 meter, de hele boog is dan dus 160/4 x 9 = 360 meter lang. Met deze gegevens zien we weer een aantal waarden terug: hij beschrijft de hoogte (137,5 meter), de oorsprong ná de y-as (15 meter) en de lengte van de halve
143
engineering
boog (180 meter). Verder zie je in de formule nog een waarde 136. Deze waarde is a, uit de standaardformule van een kettinglijn: ⎛ 2x + l ⎞ y = a + h − a ⋅ cosh ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ met: a =
1 l 2
2 ⎞ ⎛a + h ⎛a + h ⎞ ⎟ ln ⎜ + ⎜ − 1 ⎟ ⎜ a ⎟ a ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Vandaar dat de formule voor dit deel van de boog als hieronder staat beschreven: ⎛ x + 180 − 15 ⎞ y = 136 + 137, 5 − 136 cosh ⎜ ⎟ 136 ⎠ ⎝
Tot slot is het nog belangrijk waar beide hoogtes vandaan komen: de hoogte 100 meter is aangenomen; de hoogte 137,5 meter is afgeleid met de formule van de rode poten: neem je de hoogte afgeleide op het uiterste puntje van de boog (206,25 meter), krijg je een beginhoogte en een helling van de kabel die het hotel en het restaurant verbindt: y (206, 25 ) = 98, 7 y '(206, 25 ) = −0,114 De afgeleide toont de helling die de rode poot op dit punt heeft, de kabel grijpt hier parallel op aan, om de krachten over te kunnen brengen op het andere deel van de boog. De afstand tussen beide uiteinden is 351,25 meter. De hoogte van de tweede boog is dan 351,25 x 0,114 + 98,7=138m. Op deze manier lijkt het mij duidelijk hoe de vorm van de bogen is opgebouwd.
engineering
144
7.3 Belastingen 7.3.0 Te behandelen onderdelen In dit hoofdstuk behandel ik twee zaken: allereerst benoem ik de uitgangspunten voor de constructie, ten tweede behandel ik de belastingen die invloed hebben op de constructie, en tot slot benoem een aantal belastinggevallen die hierop betrekking hebben. Aan de hand van deze belastinggevallen zal ik in hoofdstuk 7.4 verdere berekeningen doen. 7.3.1 Uitgangspunten: spatkrachten en momenten Wil het gebouw als boog kunnen blijven staan moeten er een aantal evenwichten kloppen: allereerst zeg ik namelijk dat deze vorm als boog werkt, waardoor het evenwicht in figuren 7.3.1a en b moet kloppen: de rode spatkrachten en de blauwe spatkrachten moeten aan elkaar gelijk zijn. Het krachtenevenwicht vertelt dat beide blauwe spatkrachten aan elkaar gelijk moeten zijn, evenals de rode. Als de rode en de blauwe spatkrachten niet aan elkaar gelijk zijn, is er geen krachtenevenwicht, en gaat het lichaam in het geheel bewegen tot er wel een evenwicht is, en dan staan de bogen buiten hun momentenlijn. Dat moeten we voorkomen. Behalve de spatkrachten moeten het moment in punt A in het tweede figuur 0 zijn. Met andere woorden: het rode en het blauwe moment moeten aan elkaar gelijk, echter tegengesteld zijn. Is dat niet het geval, dan gaat de boog de ene of de andere kant op kantelen, óf moet de fundering een moment opnemen. Dat moeten we gezien het concept ook proberen te vermijden. Verderop in dit hoofdstuk ga ik laten zien dat zowel de spatkrachten aan elkaar gelijk zijn, en het moment in punt A 0 is bij een halfvol gebouw. 7.3.2 Belastingen Bekijken we de constructie, dan zijn een aantal belastingen die invloed hebben op de vervorming van de constructie. Deze verdeel ik hier onder in 5 groepen.
145 engineering
1. 2. 3. 4. 5.
De daadwerkelijke draagconstructie Secundaire draagconstructie (terminal/kabels) Rustende belasting Verticale veranderlijke belasting: personen Horizontale veranderlijke belasting: wind/stroming.
Groep 1: daadwerkelijke draagconstructie De vorm van de daadwerkelijke draagconstructie (groep 1) hangt af van formules, vandaar dat ik deze in een aparte groep onderverdeel. De formules van de constructieonderdelen zijn in hoofdstuk 7.2 behandeld, hoe deze omgerekend kunnen worden tot belastingen is in hoofdstuk 2.9 behandeld. De formule die we toen hadden afgeleid was: q f ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 1+ f ' ( x ) Omdat we geen formule van de belasting willen, maar een grootte, moeten we deze formule omschrijven tot een integraal: 2
max
Ff ( x ) = ∫ O ⋅ γ ⋅ 1+ f ' ( x ) min Daar we max en min weten (namelijk het beginpunt van beide bogen: op 15m en -15m, en de eindpunten van beide bogen: op 206,25m en -145m). Kunnen we voor beide bogen de totale belasting (Q) bepalen. De berekening hiervoor is te vinden aan de binnenzijde van dit vouwblad, de uitkomsten komen neer op: 2
Ffrestaurant ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 251 en (in deze berekening kom ik later terug op de 88%):
Ffhotel ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 217 ⋅ 88% waarbij onder het restaurant de rode poot wordt verstaan in figuren 7.2.1 en 7.2.2, en onder het hotel wordt de grijze poot verstaan. Om iets met deze waarden te kunnen hebben we
engineering
146
Gewicht rode boog (restaurant):
Ffrestaurant ( x ) = Ffrestaurant ( x ) =
∫
max
∫
206,25
min
O ⋅ γ ⋅ 1+ frestaurant ' ( x )
−15
2
⎛ 200 ⎛ ⎛ 15 ⎞⎞⎞ O ⋅ γ ⋅ 1+ ⎜⎜ − x + 200 ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎟⎟ 2 ⎜ ⎝ 198, 75 ⎠⎠⎠ ⎝ 198, 75 ⎝
2
Ffrestaurant ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 251
Gewicht grijze boog (hotel): max
Ffhotel ( x ) =
∫
Ffhotel ( x ) =
⎛ ⎛ x + 165 ⎞ ⎞ ∫−145 O ⋅ γ ⋅ 1+ ⎜⎝ − sinh ⎜⎝ 136 ⎟⎠ ⎟⎠
min
O ⋅ γ ⋅ 1+ fhotel ' ( x )
2
15
2
Ffhotel ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 217 ⋅ 88%
Zwaartepunt beide bogen: 2 ⎛ ⎛ x + 15 ⎞ ⎞ x ⋅ − − 100 100 1 ⎜ ⎜ 198, 75 ⎟ ⎟⎟ dx ∫−15 ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ (x ) = 2 206,25 ⎛ x + 15 ⎞ ∫−15 100 − 100 ⎜⎝ 198, 75 − 1⎟⎠ dx 206,25
z restaurant
z restaurant ( x ) = 122
z hotel z hotel
⎛ ⎛ x − 15 ⎞ ⎞ x ⋅ ⎜ 136 + 137, 5 − 136 cosh ⎜ ⎟ ⎟ dx ⎝ 136 ⎠ ⎠ ⎝ (x ) = 15 ⎛ x − 15 ⎞ ∫−145 136 + 137, 5 − 136 cosh ⎜⎝ 136 ⎟⎠ dx ( x ) = −85, 0
∫
15
−145
146a engineering
Figuur 7.3.1a en b (boven) krachtenevenwichten. Figuur 7.3.2a en b (onder) opbouw armen naar restaurant (links) en hotel (rechts).
engineering
146b
ook het zwaartepunt nodig. In hoofdstuk 2 wordt al beschreven dat het zwaartepunt gevonden wordt met: x
z
∫ xf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
booglengte (min=-145) is de oppervlakte dus 10,1m2, bij de minimale booglengte (min=15) hoort de 2,96m2. Dan hangt de oppervlakte op punt x dus af van:
0
x
O
0
Vullen we dit in dan krijgen we van beide bogen de zwaartepunten vanaf de y-as. Te zien is dat punt A niet op de y-as ligt, maar op 4,04 (berekend met Maple). Dit neem ik nu niet mee, maar pas als ik ga berekenen met punt A. De zwaartepunten vanaf de x-as zijn dan (berekening te vinden op p158a): z restaurant ( x ) = 122 z hotel ( x ) = −85, 0 Nu zijn er van iedere boog nog twee gegevens nodig om de bogen door te kunnen rekenen: de oppervlakte van de doorsnede van de bogen (O) en het soortelijk gewicht van het materiaal (J). Het soortelijk gewicht van beton is 24,5 kN/m3, dat van staal is 78,5 kN/m3. De stalen boog uit het restaurant is opgebouwd als in figuur 7.3.2a op het vouwblad hiernaast te zien is: uit 4 stalen profielen van 400 x 400 x 20 mm. Het oppervlakte van ieder profiel is 0,030m2, dus het totaaloppervlakte is 0,120m2. De betonnen boog naar het hotel is opgebouwd uit beton zoals te zien in figuur 7.3.2b op het vouwblad hiernaast, en bestaat uit een buitenschil van 0,07m en een binnenschil van 0,13m dik. De breedte van dit profiel vergroot echter naar het uiteinde toe van 4 meter vierkant naar 13 meter vierkant. De afmeting vergroot lineair over de kromming van de boog, dus over 217 meter. De formule voor de het oppervlakte hangt dan dus af van de lengte over de kromming, dus van: 15
l =∫ 1+ f ' ( x ) dx min Het oppervlakte behorende bij het vierkant van 4 meter is 4x 3,7m x (0,07 +0,13) = 2,96m2, en de oppervlakte bij het vierkant van 13 meter is 4x 12,7m x 0,2m=10,1m2. Bij de volledige 2
147 engineering
∫ = 2, 96 + (10,1− 2, 96 )
15
x
1+ fhotel ' ( x )
2
217 2
⎛ ⎛ x + 165 ⎞ ⎞ ∫x 1+ ⎜⎝ sinh ⎜⎝ 136 ⎟⎠ ⎟⎠ O = 2, 96 + 7,14 217 Hiermee kunnen we de totale formules invullen. Dan kunnen we de formules op pagina 158 helemaal invullen. Omdat de oppervlakte van de doorsnede over de hotelpoten lineair toeneemt over de kromming van de boog, wordt de gemiddelde oppervlakte niet gewogen, en is dus 10,1+2,96 /2 = 6,53. Tot slot zitten er openingen in het beton die samen 12% van het oppervlakte innemen: Ffrestaurant ( x ) = 0,12 ⋅ 78, 5 ⋅ 251 15
en:
Ffrestaurant ( x ) = 2.360
Ffhotel
( ) ( x ) = 6, 53 ⋅ 24, 5 ⋅ 217 ⋅ 88% ( x ) = 30.600
Ffhotel Beide waarden zijn in kN.
Groep 2: Secundaire draagconstructie Aan de binnenzijde van dit vouwblad zijn een aantal tekeningen weergegeven van de terminal. Het deel van de belasting dat we onder het eerste kopje hebben behandeld is rood aangegeven. Nu gaan we de secundaire draagconstructie behandelen: deze zijn geel en blauw aangegeven. Hierbij moet bij het bovenaanzicht vermeld worden, dat zojuist de halve constructie is berekend, de constructie is echter symmetrisch, dus geldt ook voor de tweede helft.
engineering
148
]
)OREE\
)KRWHO
)WEHWRQ )WVWDDO
)UHVWDXUDQW
)DUPHQ
148a engineering
Figuur 7.3.3 & 7.3.4 aanzichten met behandelde constructie (rood) en te behandelen constructie (geel/blauw)
Figuur 7.3.5 afmetingen element restaurant Figuur 7.3.6 afmetingen element bij schuinte van 45 graden.
engineering
148b
Beginnend links in figuren 7.3.3 en 7.3.4, zien we dat er een betonnen overspanning gemaakt wordt tussen de twee hotelpoten. Deze is 33,3m. Voor het gewicht ga ik ervan uit dat deze wordt overspannen met 2x 0,5m beton. De lengte van de kromming van de boog over dit stuk is weer te berekenen met de integraal: de lobby loopt van -142,5 tot -90. De oppervlakte van de doorsnede met 2x 0,5m beton wordt 1mx 33,3m = 33,3m2:
Fflobby ( x ) =
∫
−90
−142,5
O ⋅ γ ⋅ 1+ fhotel ' ( x )
2
Fflobby ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 56, 3 ⋅ 88% Fflobby ( x ) = 33, 3 ⋅ 24, 5 ⋅ 56, 3 ⋅ 88% Fflobby ( x ) = 40.400 Behalve bovenin wordt ook onderin in de centrale ruimte van de terminal een overspanning in beton gemaakt. Deze overspanning is tevens 33,3m, en de diktes zijn hier ook 2x 0,5m. De overspanning loopt hier van 0 tot 15, waardoor de integraal hier als volgt kan worden opgesteld:
Ftbeton ( x ) =
∫
15
0
O ⋅ γ ⋅ 1+ fhotel ' ( x )
2
Ftbeton ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 28, 8
Ftbeton ( x ) = 33, 3 ⋅ 24, 5 ⋅ 28, 8
Ftbeton ( x ) = 23.500 Deze beide waarden worden verdeeld over beide poten.
Stalen delen Nu hebben we alle dragende delen in het betonnen gedeelte van het hotel gehad. De volgende stap is het stalen geheel afmaken. In figuur 7.3.2a was te zien dat de stalen bogen steeds met elkaar verbonden worden door nog meer metalen staven. Deze hebben dezelfde afmetingen: 400 x 400 x 20mm en vormen steeds een vierkant van 7,5 x 7,5 meter, waarbij we de hoeken van 400mm dik zojuist al hebben meegerekend. De vierkanten zijn dan dus 6,7 x 6,7 meter. De totale lengte per vierkant
149 engineering
is dan 6,7m x 4 = 26,8m. De oppervlakte van de doorsnede was 0,030m2. Zo kunnen we berekenen dat ieder vierkant dus 26,8 x 0,03 = 0,804m3 staal bevat, met een gewicht van 78,5kN/m3. In totaal dus 63,1kN. Om de 7,5m zitten er twee van deze vierkanten (zie ook de figuur op pagina 158b). De totale lengte van de boog is 221,25m, dus zijn er 221/7,5 x 2 = 59 van deze vierkanten. In totaal dus 3.720kN extra gewicht. Behalve deze vierkanten zijn er ook steeds diagonalen die zorgen voor de stijfheid van het geheel. Ook deze diagonalen zijn gemaakt van deze 400 x 400 x 20mm profielen. De lengte van deze schoren verschilt steeds, omdat alle elementjes (zoals in figuur 7.3.1) in de x-richting steeds gelijk zijn: niet in de richting van de boogkromming. Ik neem aan dat de gemiddelde lengte van de schoren het gemiddelde tussen de maximale en de minimale lengte van een schoor is. De minimale lengte van een schoor is waar een element vlak ligt: zowel de hoogte als de lengte aan de binnenkant van het element is 6,7m (figuur 7.3.5):
schoormin = 6, 72 + 6, 72 = 9, 5
De maximale lengte van een schoor is daar waar een element een hoek van 45 graden maakt. De lengte van een element is dan 6,7 / cos(45) = 9,5m. De hoogte blijft 6,7m, dan is de schoorlengte (figuur 7.3.6):
schoormax = 9, 52 + 6, 72 = 116 ,
De gemiddelde schoorlengte is dan 10,6m. Ieder element heeft 4 schoren, er zijn 221/7,5 = 29,5 elementen, dus 118 schoren. De totale schoorlengte is dan dus 10,6 x 118 = 1.250m. Met het gegeven dat de schoren wederom uit dezelfde buisprofielen bestaan, valt te berekenen dat dit neerkomt op een gewicht van 1.250 x 78,5 x 0,03 = 2.940kN extra gewicht.
engineering
150
150a engineering
Figuur 7.3.7. Niet behandelde constructie in het restuarant (rood) en 7.3.8, niet behandelde stalen constructie in de terminal (rood)
Figuur 7.3.9 Opbouw van de armen van de terminal
engineering
150b
Tot slot is er nog wat extra draagconstructie nodig voor de terminal en het uitzichtpunt. Figuur 7.3.7 laat zien welke constructie-elementen nog niet waren meegerekend: 22 kolommen van 7,5m en 20 liggers van gemiddeld 7,5m. Dit is in totaal weer 42 x 7,5 = 315m extra, wat neerkomt op een gewicht van 315 x 78,5 x 0,03 = 742kN (2x 371kN) In de centrale ruimte van de terminal zitten 4 x 4 elementen extra. Deze zijn opgebouwd uit ieder 4 kolommen van 6,7m, dus in totaal 429m. Verder zijn er stalen liggers die nog steeds 33,3m in de z-richting overspannen: 4 per elementje (2 boven, 2 onder), waardoor er weer 4 x 4 x 33,3 = 533m stalen profielen wordt toegevoegd. In de x-richting is de lengte weer afhankelijk van de kromming van de boog:
Ftstaal ( x ) =
∫
15
−15
O ⋅ γ ⋅ 1+ frestaurant ' ( x )
2
Ftstaal ( x ) = O ⋅ γ ⋅ 410 , In totaal zijn er 8 van deze liggers, dus 328m. Zo wordt er dus 429 + 533 + 328 = 1.290m profiel toegevoegd ter plaatse van de terminal. Dit komt neer op 1.290 x 0,03 x 78,5 = 3.040kN (2x 1.520kN) Terminal Nu hebben we ook alle dragende delen van de poten naar het restaurant gehad. Er blijven nog twee delen over die binnen de secundaire draagconstructie vallen: de (tui)kabels en de armen van de terminal. Beginnend met de armen van de terminal. Deze is opgebouwd uit 12 stalen profielen van elk 7,5 meter lang. Hier worden echter SFB- en kokerprofielen voor gebruikt. De 6 liggers tussen de twee ophang-profielen (toegevoegd in de 3e stap in figuur 7.3.9) zijn SFB-profielen van HEB200 + 400x15. Deze wegen 1,06 kN/m1. Over de totale lengte van de armen naar de boot zijn er hier steeds 6 van, dus wegen ze samen per meter 6,38 kN/m1 terminal. De ophangingen (in de eerste stap in figuur 7.3.9) bestaan
151 engineering
uit kokerprofielen van 200 x 200 x 10m. Gemiddeld is ieder kokerprofiel 7,5m lang, per ophanging is er dus 22,5m van dit profiel. De kokerprofielen wegen 0,577 kN/m1, per ophanging dus 130kN. Deze ophangingen bestaan elke 7,5 meter, dus per strekkende meter wegen de ophangingen 130/7,5 = 17,3 kN/m1. Tot slot worden de profielen opgevuld met een stijve betonnen vloer, van 200mm dik. De overspanning bestaat steeds uit twee delen (zoals te zien in de vierde stap in figuur 7.3.9), en is samen steeds 7,5m. Zo ontstaan twee doorsnedes van 2x 7,5 x 0,2m = 3m2. Het soortelijk gewicht van beton was 24,5kN/m3, het gewicht van het beton per strekkende meter is dus 24,5 x 3 = 73,5kN/m1. Het totale gewicht per strekkende meter van de terminal is dan dus 6,38 + 17,3 + 73,5 = 97,2kN/m1. De lengte van beide armen naar de boot is 195 meter, zoals te zien op pagina 155b.Verder is er een verbinding tussen beide armen van 2x 30 meter, in totaal is er dus 225m arm. Het gewicht van deze arm is dan dus Farmen= 225 x 97,2 = 21.900kN. Kabels De laatste dragers zijn de (tui)kabels. Op 3 plaatsen zijn er kabels toegepast: allereerst de kabel die beide bogen verbindt, ten tweede de tuikabels, en tot slot zijn er kabels toegepast als kruisverband voor de armen van de terminal. Deze zijn goed te zien in figuur 7.3.10. Beginnend met de (conceptueel) belangrijkste kabels: de kabels die de bogen verbinden. Deze hebben een diameter van 500mm. De lengte van de kabels is: Lhoofdkabel = 35125 , 2 + (137, 5 − 100 )
2
Lhoofdkabel = 353
engineering
152
Hotel
152a engineering
Figuur 7.3.10 Bovenaanzicht met de schoorkabels van de armen van de terminal
Terminal
Figuur 7.3.11 Doorsnede door de centrale ruimtes.
Restaurant
engineering
152b
Dan kunnen we het gewicht van de kabels bepalen: Fhoofdkabel = 353 ⋅ π r 2 ⋅ γ Fhoofdkabel = 353 ⋅ π ⋅ 0, 252 ⋅ 78, 5 Fhoofdkabel = 5.440 De volgende kabels die berekend kunnen worden zijn de tuikabels. Deze hebben een diameter van 40mm. De lengte van de kabels varieert en is per kabel te bepalen door in de formule van de boog van het restaurant steeds de afstand tot de y-as in te vullen. Vervolgens moet de hoogte van de armen (15+7,5m) nog vanaf getrokken worden. Dit heb ik gedaan in excel, en deze zijn vervolgens bij elkaar opgeteld: ik kwam op 1.720m kabel per arm. Dan kan weer het totaalgewicht van de tuikabels worden uitgerekend: Ftuikabels = 1.720 ⋅ π r 2 ⋅ γ Ftuikabels = 1.720 ⋅ π ⋅ 0, 022 ⋅ 78, 5 Ftuikabels = 170 De laatste kabels die nog als belasting meewegen zijn de schoorkabels van de terminal (figuur 7.3.10). Deze hebben een diameter van 100mm en door de lengte te berekenen kunnen we ook het gewicht bepalen: Lschoorkabels = 1952 + 452 Lschoorkabels = 200 Fschoorkabels = 200 ⋅ π r 2 ⋅ γ Fschoorkabels = 200 ⋅ π ⋅ 0,12 ⋅ 78, 5 Fschoorkabels = 493 Nu groepen 1 en 2 volledig zijn behandeld is het handig even een overzicht van alle gewichten te krijgen. Deze vind je aan de binnenkant van dit vouwblad (fig. 7.3.12) Groep 3: Permanent rustende belasting Behalve de dragende delen bestaat er ook permanent rus-
153 engineering
tende belasting. Deze wordt gevormd door: 1. de vloervelden; 2. de buitenwanden (en daken); 3. de binnenwanden; 4. trappen. 1. Vloervelden De vloervelden die nodig waren voor de stijfheid van de constructie zijn al meegenomen in groep 2. De enige vloervelden die dus overblijven bevinden zich in de drie centrale ruimtes van het restaurant, hotel en de terminal (fig 7.3.11). Het oppervlakte van ieder deel is eenvoudig af te lezen in AutoCAD: het restaurant is 900m2; de centrale ruimte van de terminal 631m2 en alle vloervelden van het hotel samen hebben een oppervlakte van 5.270m2. De vloervelden staan als invulling tegenover de constructie en zijn dan ook van een ander materiaal dan het staal en het beton dat samen een evenwicht vormt. Omdat alle vloervelden beschermd zijn tegen het zoute zeewater, kunnen deze van hout gemaakt worden. Als ik nu een hele precieze berekening zou maken, zou ik van ieder stukje van het gebouw de overspanning die het hout maakt moeten bepalen, en aan de hand daarvan een bepaalde dikte afleiden. Dat is enorm veel werk, waardoor ik een uitkomst krijg, die hoogstwaarschijnlijk niet significant meespeelt voor de belasting van de constructie. Ik ga er daarom van uit dat de overspanning overal 10 meter is, en daardoor makkelijk gemaakt wordt met LignaturFlächen-elementen (REI30) van 240mm hoog. Het gewicht van deze elementen is 0,42 kN/m2. (Lignatur, 2013). Het gewicht van de vloervelden is dan eenvoudig te berekenen: - Restaurant: 0,42 x 900 = 378kN (2x 189kN) - Terminal: 0,42 x 631 = 265kN (2x 133kN); - Hotel: 0,42 x 5.270 = 2.210kN (2x 1.110kN). In verhouding met het gewicht van de draagconstructies
engineering
154
)KRRIGNDEHOV N1 )OREE\ [N1 [N1
)KRWHO N1
)VFKRRUNDEHOV N1
)WEHWRQ [N1
)WVWDDO [N1
)WXLNDEHOV N1
)UHVWDXUDQW N1
)YLHUNDQWHQ N1
)DUPHQ N1
)YHUELQGLQJ [N1 )XLW]LFKW [N1
)VFKRUHQ N1
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ
154a engineering
Figuur 7.3.12: Verschillende onderdelen van de draagconstructie met haar belasting.
engineering
154b
(fig. 7.3.12) gaat de aanname dat over dezelfde type vloer ligt dan inderdaad nooit een significant verschil meer maken: de draagconstructie van het restaurant woog 2x 9.390kN, de vloervelden nog minder dan 1% hiervan. 2. Buitenwanden (en daken). Evenals bij de vloeren zijn er drie centrale ruimtes die buitenwanden hebben. De buitenwanden van het hotel zijn reeds in groepen 1 en 2 meegenomen: deze zijn immers van constructief beton. Enkel de uiteinden van de constructie bevatten nog materiaal dat niet is meegenomen, deze zal ik dus zodadelijk nog behandelen. Verder houd ik dezelfde driedeling aan als zojuist voor de vloeren. Allereerst de buitenwanden van de armen van de terminal: deze zijn nog niet meegenomen. Deze zijn bijna volledig van glas, om het uitzicht zo groot mogelijk te maken. In figuur 7.3.13 zie je aangegeven waar dit glas zich in de doorsnede bevindt. De totale hoogte van dit glas is 12.000mm. De omtrek waarom het glas is bevestigd is (o.a.) af te lezen in figuur 7.3.12: 2x 195m+ 60m+ 30m= 480m. Het totale oppervlakte glas is dan 12x 480= 5.760m2. Standaard enkel glas is zo’n 7mm dik, en de dichtheid van glas varieert tussen de 19,6 en 25,5 kN/m3 (CES, 2012). De buitenwanden van de terminal wegen dan samen 0,007x 5.760x 24,5= 989kN. In deze berekening is meteen de voorste buitenwand van de centrale ruimte van de terminal meegenomen: deze sluit namelijk direct aan aan de armen van de terminal. De betonnen afwerking van de terminal hadden we al bijna volledig meegenomen in de berekening. Er is echter nog een stuk beton dat niet meegenomen was (fig 7.3.14). Deze boog is 48,5 meter lang, en 5,0 meter hoog. Net als bij de rest van het beton is dit beton opgebouwd uit een sandwitchpaneel van 70+130mm dik. In totaal hebben we het dus over 48,5m3 beton, wat met een dichtheid van 24,5 kN/m3 neerkomt op 1.190kN (2x 594kN). Behalve een betonnen bekleding heeft de terminal ook voor een groot deel een stalen bekleding. In het detail in figuur
155 engineering
7.3.15 zien we hoe dit is opgebouwd. Het gewicht van de buitenafwerking met isolatie neem ik over uit Draagconstructies Basis (TUDelft, 2007:112), namelijk 0,30 kN/m2, de binnenafwerking weegt 0,88 lbs/sf (Armstrong, 2013), wat neerkomt op 42,1N/m2. Tot slot moeten de gordingen voor de binnenafwerking nog meegerekend worden. Dit zijn T-liggers die steeds zijn gemaakt uit halve IPE-120 profielen. Deze liggen om de 750mm, wat betekent dat in een vlak van 7.500 x 7.500mm er zich 10 halve IPE-120 profielen van 7.500mm lang bevinden. Een IPE-120 profiel weegt 102N/m1, daarmee kunnen we het gewicht van de gordingen per vierkante meter berekenen: 102/ 2x 10x 7,5/ 7,52=68N/m2. In totaal weegt de stalen binnenafwerking dus 110N/m2, samen met de buitenafwerking is dit 410N/m2. Hierbij moet opgemerkt worden dat de maten
van de T-profielen niet goed beargumenteerd zijn: een overspanning van 7,5m vraagt om IPE-200 profielen (7.500/40=188mm hoog). In werkelijkheid zal deze constructie dus nog iets zwaarder worden.
Het oppervlakte van de buitenafwerking rond de terminal kan weer uit het boven- en onder aanzicht in AutoCAD worden overgenomen: ieder 658m2. Dit vlak ligt echter onder een hoek van 41 graden, waardoor het werkelijke oppervlakte 658/cos(41) = 872m2 is. Tot slot hebben we de zijkanten die ook afgewerkt zijn met deze stalen bekleding: in totaal 125 meter van 7,5 meter hoog, dus 938m2. Het totale oppervlakte is dan dus 2.680m2; de belasting dus 0,41 x 2.680 = 1.100kN (2x 550kN). De belsting van het restaurant is hetzelfde. Uit AutoCAD kunnen we wederom de oppverlaktes van alle vlakken halen: de zijvlakken hebben ieder een oppervlak van 349m2, het dakoppervlak is 937m2 en de oppervlakte van de onderkant 906m2, samen dus 2.540m2. De rustende belasting is dan 2.540x 0,41= 1.040kN (2x 520kN). Tot slot bevindt zich in het restaurant nog een glaspui van 30x 15m. Deze is wel geïsoleerd en bestaat dus uit
engineering
156
7.000mm 5.000mm
156a engineering
Figuur 7.3.13: Plaatsen waar het glas in de terminal zit.
Figuur 7.3.14 (boven): Stuk beton dat nog niet meegenomen is in de berekeningen. Figuur 7.3.15 (onder): detail van de staalopbouw
engineering
156b
glas van 2x 7mm. Met de dichtheid van glas kunnen we dan het gewicht van de pui berekenen: 30x 15x 0,014x 24,5=154kN (2x 77kN). Als laatste buitenmuur gelden de glazen puien van het hotel. Deze zijn 2x 13x13 meter; 1x 12,5x 33m en 1x 61x 10m. Samen hebben deze dus een oppervlak van 1.360m2, wat met een dikte van 2x 7mm een belasting betekent van 467kN (2x 233kN). 3. Binnenwanden De binnenwanden zijn snel te berekenen: de terminal heeft geen scheidingswanden, en het restaurant en het hotel hebben geen bijzondere binnenwanden, waardoor we een gelijkmatig verdeelde belasting van 0,5kN/m2 kunnen nemen (TUDelft, 2007). Voor het restaurant komt dit dan neer op 900x 0,5= 450kN (2x 225kN). Voor het hotel op 5.270x 0,5= 2.640kN (2x 1.320kN). 4. Trappen De laatste grote gewichtspost in de constructie zijn de trappen. Voor de berekening ga ik ervan uit dat de trappen naar zowel het restaurant als naar het hotel van beton zijn, 1,2m breed en 0,2m dik. Het soortelijk gewicht van beton is 24,5kN/m3, dan weegt een trap dus 5,88kN/m1. De trappen hebben een optrede van 0,17m en een aantrede van 0,29m, de hoek die de trappen dan maken is tan-1 (17/29)=30 graden. Het gewicht per strekkende meter in de horizontale richting is dan dus 5,88/cos(30)=6,79kN/ m1. De trappen naar het restaurant liggen over 184m (fig 7.3.16), dus deze betekenen een belasting van 1.250kN; de trappen naar het hotel liggen over 145m, waarbij ze over de laatste 52,5m dubbel liggen (fig 7.3.17). Samen dus 198m. Dit betekent een belasting van 1.340kN. Het overzicht van al deze permanente belastingen is te vinden in figuur 7.3.18. Groep 4: veranderlijke verticale belasting De veranderlijke verticale belasting bestaat uit de belasting
157 engineering
van personen, meubels e.d. op de vloeren, en van sneeuw e.d. op het dak. Ook hiervoor zijn standaardwaarden te vinden in draagconstructies basis. Voor de belasting op daken is dit 1kN/m2, voor de andere delen ga ik dit per geval uitleggen. Terminal In de terminal zal zich gedurende de grootste tijd bijna niemand bevinden. Als er een schip aankomt kunnen er echter grote groepen mensen tegelijk bevinden. Dit is geen joelende, springende mensenmassa die op één plaats blijft staan, maar in principe een grote groep mensen die zich zo snel mogelijk van het land naar het schip verplaatst. Vandaar dat ik voor de veranderlijke belasting hier 4kN/m2 neem. Het vloeroppervlakte van de terminal is 4.630m2. De veranderlijke belasting op de vloeren is dus 18.500kN (2x 9.260kN); die op het dak 4.630kN (2x 2.320kN). Restaurant Ook in het restaurant zullen nooit feestjes gehouden worden, waarbij er zich één grote mensenmassa in het restaurant bevindt. Met deze reden is ook hier de veranderlijke belasting 4kN/m2. Verder zullen de trappenhuizen leeg zijn,als het restaurant vol is, waardoor ik hier een veranderlijke belasting van 0 aanneem. Het enige moment dat het trappenhuis vol is, is als mensen uit het restaurant vluchten; dan is het restaurant dus leeg. Het vloer- en dakoppervlakte had ik al berekend op 900 en 937m2 , waardoor de veranderlijke belasting hier 3.600kN (2x 1.800kN) is, met een veranderlijke belasting op het dak van 937kN (2x 469kN). Hotel Het hotel heeft een logiefunctie, waarvoor een veranderlijke belasting van 2,5kN/m2 mag worden aangenomen. Dit betekent dat de veranderlijke belasting hier 5.270x 2,5=
engineering
158
158a engineering
Figuur 7.3.16 (boven): schema aanmering boot Figuur 7.3.17 (onder): doorsnede over de trappen.
engineering
158b
)WYORHUHQ [N1
)KWUDSSHQ [N1 )KYORHUHQ [N1
)KVFKHLGLQJVZDQGHQ [N1
)WEHWRQJU [ N1
)UWUDSSHQ [N1
)WVWDDOJU [N1
)UYORHUHQ [ N1 )EXLWHQPXUHQ [ N1
)KJODVSXL [N1
)UVFKHLGLQJVZDQGHQ [N1 )UJODVSXL [N1 [N1 )UVWDDO
)UYHUDQGHUOLMN [N1 [ N1
)WYHUDQGHUOLMN [ N1 [N1
)KYHUDQGHUOLMN [N1 [N1
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ
159 engineering
Figuur 7.3.18: belastingen in groepen 3 en 4
engineering
160
)VWURPLQJERRW N1 [ )ZLQGERRW [ N1 [ RI N1 ] )K[ZLQG [N1
)U]ZLQG N1
)K]ZLQG N1
)U[ZLQG [N1
] [
160a engineering
)W]ZLQG N1RI N1P
)W[ZLQG [N1RI N1P
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ Figuur 7.3.19: Belastingen in groep 5.
engineering
160b
13.200kN (2x 6.600kN) is. Ook hier zal het niet voorkomen dat het trappenhuis vol is als de rest van het hotel al vol is, vandaar dat ik als veranderlijke belasting van de trappen wederom 0 neem. Het dakoppervlak van het bovenaanzicht is 4.480m2, wat dus een veranderlijke belasting van 4.480kN (2x 2.240kN) betekent. Al deze waarden zijn terug te vinden in figuur 7.3.19. Groep 5: veranderlijke horizontale belasting De laatste groep belastingen bestaat uit belastingen door wind en stroming. Hierin kunnen we onderscheid maken in twee soorten belasting, namelijk groep 5a: windbelasting direct op het gebouw en groep 5b: wind-en stromingsbelasting overgedragen via de boot. 5a windbelasting op het gebouw We beginnen met de windbelasting direct op het gebouw zelf. Allereerst van de terminal: deze hangt op 15 meter (fig 7.2.2) en heeft een hoogte van 7,5 meter; de maximale hoogte is dus 22,5 meter. In draagconstructies basis is dan de winddruk af te lezen (TUDelft, 2007:113), namelijk pw=1,37kN/m2. Gezien het gebouw op zee ligt, neem ik het ongunstigste gebied: gebied 1, hoewel scheveningen zelf in gebied 2 ligt. De windbelasting is dan prep=pw x 6Cpe, dus 1,37 x 1,1 = 1,5kN/m2. Het oppervlakte van het zijvlak is 7,5x 195m (fig 7.2.2), dus 1.460m2, de maximale winddruk in de z-richting is dus 2.190kN (of 11,2kN/m1). Op de voorzijde van de armen is de druk tevens 11,2kN/m1 (hoogte is hier gelijk), deze zijde is echter 75m breed, dus in puntlast uitgedrukt is de maximale winddruk in de x-richting 840kN (2x 420kN). Het restaurant bestaat voor een deel uit een open structuur (fig 7.3.1): ieder element van 7,5x 7,5m bestaat uit profielen van 400mm. Voor iedere 7,5x 7,5m is er dus 6,7x 6,7m: 80% open. Omdat er ook nog een diagonaal in het vlak zit, rekenen we met
161 engineering
70% open. De hoogte van dit gebouwdeel is 100m, wat een winddruk van 1,9kN/m2 met zich meebrengt, vermenigvuldigd met de windvormfactoren komen we op 1,9x 1,1=2,09kN/m2. Het oppervlakte van de zijgevel is te berekenen door de integraal van de formule te berekenen. De eerste 180 meter (van x=-15 tot x=165) wegen maar voor 30% mee, Het laatste deel hadden we al eerder uit autocad gehaald: dit was 349m2. Ik heb de integraal al eerder laten zien, als ik hem invul komen we op een booglengte van 210m. De bijbehorende oppervlakte is dan 0,3x 210x 7,5= 473m2. De maximale winddruk in de z-richting is dus (473+349)x 2,09= 1.720kN. In de x-richting speelt de openheid een veel kleinere rol, omdat staven elkaar in dit aanzicht kruisen (afb. 7.3.1 moet nog gemaakt worden). Ik ga hier dus uit van twee massieve torens van 7,5m breed en 100m hoog. De winddruk werkt hier dan over een oppervlakte van 1.500m2 en is 3.130kN (2x 1.570kN). Omdat het gebouw hier niet lineair verloopt, is deze waarde lastig in kN/m1 uit te drukken. Het hotel is 137m hoog, waardoor voor pw 2,04kN/m2 genomen moet worden. Samen met de windvormfactoren van 1,1 betekent dit een waarde van 2,24kN/m2. Het oppervlakte van het hotel hangt wederom af van de booglengte, we hadden eerder al bepaald dat deze 217m was. De hoogte van de boog varieert lineair over de booglengte van 4 naar 13 meter, en is dus gemiddeld 8,5m. De oppervlakte waarover de wind in de z-richting werkt is dan dus 8,5x 217= 1.840m2. Dit betekent een maximale winddruk van 1.840x 2,24= 4.120kN. In de x-richting is de oppervlakte van de poten 2x 137x 8,5= 2.330m2. Het bebouwde gedeelte tussen beide poten is 33m breed en ongeveer 25m hoog, dus 825m2. Samen komen we dus op een oppervlakte van 3.160m2. De maximale winddruk in de x-richting wordt dan dus 3.160x 2,24= 7.080kN (2x 3.540kN). Wederom zijn deze krachten lastig in kN/m1 om te rekenen
engineering
162
vanwege de complexe vorm van de gebogen delen. Deze waarden zijn terug te vinden in figuur 7.3.19. 5b wind- en stromingsbelasting via een cruiseschip Behalve winddruk direct op het gebouw, kan er ook een flinke belasting op het gebouw plaatsvinden via het schip. Het schip is bevestigd als in het schema in figuur 7.3.16. Je ziet dat alle krachten in de z-richting door de kabels opgenomen moeten worden, waarbij mogelijk reactiekrachten in de x-richting ontstaan. Doordat beide kabels een hoek van 45 graden maken met de grootst mogelijke boot, is de reactiekracht die de terminal moet leveren in de x-richting ten gevolge van een een kracht in de kabels in de z-richting, nooit groter dan deze kracht in de zrichting. Wordt deze hoek immers kleiner, dan is de component in de kabel in de z-richting immers groter dan die in de x-richting. De grootst mogelijke boot is de Queen Mary 2, welke 350 meter lang is, 41 meter breed, een diepgang van 10 meter heeft met een hoogte van 60 meter. Voor deze boot gaan we de belastingen berekenen tot windkracht 7: daarna is het weer stormachtig (KNMI, 2012), en zal een cruiseschip nooit meer buitengaars aanmeren. Het KNMI geeft standaardwaarden voor de winddruk bij een bepaalde windkracht, zonder de extra krachten voor windvlagen. Vandaar dat ik de druk die het KNMI bij windkracht 12 geeft (>660N/m2) vergelijk met de druk die Draagconstructies basis geeft (voor 60 meter hoogte 1.690N/m2), en ik hieruit eerst een ‘vlaagfactor’ afleid, die ik doorvoer naar windkracht 7. Deze vlaagfactor is 1.690/660 = 2,56. Omdat het KNMI geen absolute waarde geeft voor windkracht 12, maar “groter dan” 660, is de vlaagfactor dus kleiner dan 2,56. De winddruk die het KNMI geeft bij windkracht 7 = 183N/m2, de rekenwaarde voor de maximale winddruk is dus “kleiner dan” 2,56x 183= 468N/m2. Voor het gemak neem ik deze waarde als kloppend aan: mocht deze waarde in werkelijkheid lager zijn, is dit alleen maar positief voor
163 engineering
de sterkte van het gebouw. Het cruiseschip heeft in de x-richting een oppervlakte van 60x 350= 21.000m2, wat betekent dat de maximale druk ten gevolge van wind op het schip 9.830kN (2x 4.920kN) bedraagt. In de z-richting is de oppervlakte slechts 60x 41= 2.460m2, wat een winddruk in de z-richting (en dús op de terminal ook in de xrichting) van 1.150kN oplevert. Deze kracht wordt niet gelijkmatig over beide armen verdeeld, vandaar dat de rekenwaarde voor iedere poot 1.150kN blijft. De krachten op de boot ten gevolge van de stroming zijn ook een interessant geval: behalve dat de stroming gedurende de dag draait, is ook bij iedere richting de grootte van de kracht verschillend. Ik heb de terminal in een dusdanige richting gelegd, dat de grootste stroming op het kleinste oppervlakte grijpt. De kracht van de stroming hangt af van de formule: O ⋅ c ⋅ ρ ⋅v 2 Fstroom = boot w 2 Waarin cw de weerstandscoëfficient van een boot is: tussen de 1,0 en 1,5 (Kepers, 2012) en rho is de dichtheid van water: 1021. De maximale stroomsnelheid in de Noordzee is 1,5 m/s, deze werkt op de kop van het schip (x-richting). De maximale stroming in de z-richting is 0,6m/s. Als we deze formule 2x invullen, komen we bij een stroming in de x-richting op 10x 41x 1,5x 1.021x 1,52= 1.410kN. In de z-richting is dit 10x 350x 1,5x 1.021x 0,62= 1.290kN (2x 645kN). De maximale belasting door de stroming op de terminal is dus 1.410kN: ik had immers al uitgelegd dat krachten in de x-richting om een even grote reactiekracht in de armen van de terminal in de z-richting vragen. Het is niet interessant beide waarden te onthouden, omdat de zeestroming in de terminal enkel een kracht in de z-richting oplevert. De maximale waarde is dan de waarde waarop de terminal eventueel zou kunnen bezwijken. Al deze waarden zijn terug te vinden in figuur 7.3.19.
engineering
164
7.3.3 Belastingcombinaties Voor de berekening van de constructie zijn verschillende belastingcombinaties van belang. Omdat vervormingen in dit gebouw momenten tot gevolg hebben, is er allereerst een uitgangssituatie: BG1. Uitgangssituatie Het eerste belastinggeval gaat ervan uit dat behalve de permanente belasting (groepen 1 tot 3), er 50% van de maximale veranderlijke belasting aanwezig is. Op deze manier werkt de vervorming in BG2 en BG3 straks zo min mogelijk tegen de constructie (waar in principe geen momenten in (mogen) zitten). Er is in dit belastinggeval geen wind aanwezig, omdat de windrichting nooit gelijk is. Uitgangspunt van dit belastinggeval is dat dit de ‘ideaalsituatie’ is, als we rekening houden met wind uit de ene richting, werkt dit negatief wanneer wind uit de tegenoverliggende richting komt. Wél wordt 50% van de maximale druk door de boot meegerekend: deze ligt immers altijd in dezelfde positie, en geeft altijd krachten in dezelfde richting. Kort samengevat bestaat BG1 uit 100% van groep 1,2 en 3; 50% van groepen 4 en 5b, en 0% van groep 5. BG2. Minimumsituatie Dit belastinggeval houdt enkel rekening met de permanente belastingen: andere belastingen worden niet meegerekend. Doordat er nu minder belasting aanwezig is, komt de constructie uit zijn ideale vorm staan, waardoor momenten ontstaan die de constructie moet kunnen weerstaan. Behalve de 0-situatie wordt hier ook rekening gehouden met 4 andere sub-situaties: BG2b Maximale wind loodrecht op het gebouw excl. schip; BG2c Maximale wind parallel aan het gebouw excl. schip; BG2d Windkracht 7 loodrecht op het gebouw incl. schip; BG2e Windkracht 7 parallel aan het gebouw incl. schip. Hierbij moet aangemerkt worden dat eerst BG2a wordt berekend, mocht het gebouw neigen te kantelen, dan wordt de meest ne-
165
engineering
gatieve windbelasting gekozen (parallel kan zowel zuiging als druk betekenen). Verder moge het duidelijk zijn dat er nooit een schip aanmeert boven windkracht 7, dus als er een schip aanwezig is, zal het nooit harder dan windkracht 7 waaien. Het is dus onnodig in BG2d en BG2e de maximale wind op het gebouw mee te nemen. De maximale druk die veroorzaakt door windkracht 7 is 183N/m2, bij windkracht 12 is dit >660N/m2 (KNMI, 2012), de belastingfactor bij windkracht 7 is dan dus 183/660 = 0,28. BG3. Maximumsituatie Nu geldt hetzelfde als in de vorige situatie, echter is er nu juist maximale belasting aanwezig. Net als bij BG2 zijn er 5 subsituaties: namelijk mét en zónder aanwezigheid van horizontale belastingen: deze kunnen immers meewerken of tegenwerken met de vervormingen. BG4. Maximale belasting restaurant/terminal Deze situatieis van belang omdat de halve bogen van de constructie elkaar in evenwicht houden: is de belasting in de ene helft maximaal, en is er niemand in het andere deel van het gebouw aanwezig, dan moet het geheel toch blijven staan. Net als bij de vorige belastinggevallen worden hier 5 sub-situaties onderscheiden. BG5. Maximale belasting hotel Dit geval is gelijk aan BG4, maar nu is het hotel volledig belast. Dit geval is om dezelfde reden als BG4 van belang. UG1. Maximale belasting restaurant negatief Tot slot doe ik nog twee berekeningen in de uiterste grenstoestand: namelijk bij volledige belasting. In UG1 neem ik belastingfactoren aan zoals in de tabel hieronder
engineering
166
166a engineering
Figuur 7.4.1 (onder): (mogelijk) zwaarst belaste onderdelen.
engineering
166b
te zien is. Ik ga er hierbij van uit dat het hotel gunstige belasting is voor het evenwicht met het restaurant, andersom zijn de terminal en het restaurant dus ongunstig. In dit belastinggeval zal de wind maximaal waaien parallel aan het gebouw, van het hotel richting het restaurant. Er zullen hier twee situaties berekend worden: 1 met boot en 1 zonder boot. UG2. Maximale belasting, hotel negatief Dit belastinggeval werkt het zelfde als UG1. Echter werkt nu het hotel als negatieve belasting, en het restaurant en de terminal als positieve belasting. De wind staat nu in tegengestelde richting ten opzichte van UG1, en wederom zullen er twee situaties berekend worden: mét en zonder boot.
167 engineering
Belastingfactoren: Gr.1 Gr.2 Gr.3 Gr.4 Gr.5a Gr.5b BG1 1 1 1 0,5 0 0,5 BG2a 1 1 1 0 0 0 BG2b 1 1 1 0 1 0 BG2c 1 1 1 0 1 0 BG2d 1 1 1 0 0,28 1 BG2e 1 1 1 0 0,28 1 BG3a 1 1 1 1 0 0 BG3b 1 1 1 1 1 0 BG3c 1 1 1 1 1 0 BG3d 1 1 1 1 0,28 1 BG3e 1 1 1 1 0,28 1 BG4a 1 1 1 1,0/0 0 0 BG4b 1 1 1 1,0/0 1 0 BG4c 1 1 1 1,0/0 1 0 BG4d 1 1 1 1,0/0 0,28 1 BG4e 1 1 1 1,0/0 0,28 1 BG5a 1 1 1 0/1,0 0 0 BG5b 1 1 1 0/1,0 1 0 BG5c 1 1 1 0/1,0 1 0 BG5d 1 1 1 0/1,0 0,28 1 BG5e 1 1 1 0/1,0 0,28 1 UG1a 1,2/0,9 1,2/0,9 1,2/0,9 1,5 1,2 0 UG1b 1,2/0,9 1,2/0,9 1,2/0,9 1,5 0,33 1,2 UG2a 0,9/1,2 0,9/1,2 0,9/1,2 1,5 1,2 0 UG2b 0,9/1,2 0,9/1,2 0,9/1,2 1,5 0,33 1,2 Waar twee waarden staan staat eerst de waarde voor het restaurant+terminal, dan de waarde voor het hotel.
engineering
168
ΣM | A = 10.400 ⋅ 118 + 22.900 ⋅ 109 + 1.380 ⋅ 195 + 5.440 ⋅ 28, 5 + 5.790 ⋅ 109 + 1.140 ⋅ 195 −14.800 ⋅ 4, 04 − 31.900 ⋅ 89, 0 − 22.800 ⋅ 121− 4.420 ⋅ 121− 0, 6 ⋅ 3.170 )KRRIGNDEHOV ΣM | A = 5.000.000 − 6.200.000 N1 )OREE\ )KRWHO )WEHWRQ ΣM | A = −1.200.000kNm [N1 N1 [N1
)VFKRRUNDEHOV N1 )WVWDDO [N1
)WXLNDEHOV N1
)UHVWDXUDQW N1
)YHUELQGLQJ [N1
)DUPHQ N1
)XLW]LFKW [N1
[N1
)YLHUNDQWHQ N1
)VFKRUHQ N1
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ
)WYORHUHQ
)KWUDSSHQ
[N1
[N1
)KYORHUHQ [N1
)KVFKHLGLQJVZDQGHQ [N1
)UWUDSSHQ
)WEHWRQJU [ N1
[N1
)WVWDDOJU [N1
)VWURPLQJERRW N1 [
)UYORHUHQ
[ N1
)EXLWHQPXUHQ [ N1
)KJODVSXL [N1
)ZLQGERRW [ N1 [ RI N1 ]
)UVFKHLGLQJVZDQGHQ [N1 )UVWDDO )UJODVSXL [N1 [N1
)K[ZLQG [N1
)U]ZLQG N1
)K]ZLQG N1
)U[ZLQG [N1
Berekening voor het moment (boven)
] [
)W]ZLQG N1RI N1P
)W[ZLQG
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ
168a engineering
)UYHUDQGHUOLMN [N1 [ N1
)WYHUDQGHUOLMN [ N1 [N1
)KYHUDQGHUOLMN [N1 [N1
[N1RI N1P
2SPHUNLQJ ZDDU[N1VWDDWLVKHWJHKHOHJHZLFKWEHUHNHQGHQJHGHHOGGRRUZDDUGLWQLHWVWDDWLV KHWJHZLFKWSHUKHOIWEHUHNHQG+HWWRWDDOJHZLFKWLVGXV[GHRSWHOVRPYDQDOOHJHQRHPGHEHODVWLQJHQ
Figuur 7.4.2-7.4.4: Belastingen op de constructie.
engineering
168b
7.4 Berekeningen Berekeningen De berekeningen die belangrijk zijn voor de constructie zijn straks: - Spatkrachten gelijk / momenten gelijk bij BG1. - Belasting zwaarst belaste onderdeel/ onderdelen (als in figuur 7.4.1) (UG1/UG2) - Vervorming geheel - Afdracht naar de fundering Bij een aantal van deze berekeningen zullen aanpassingen gemaakt moeten worden. Sommigen hiervan voer ik door, andere aanpassingen zijn lastig door te voeren in MatrixFrame of zorgen voro problemen bij andere berekeningen. Om deze reden zal ik steeds na iedere paragraaf aangeven welke aanpassingen ik heb doorgevoerd, en welke niet. Ook heb ik bij het nalezen van dit hoofdstuk een aantal fouten gevonden, welke invloed hebben op alle berekeningen. Deze fouten zijn nooit significant (orde van grootte 100kN), en heb ik voor de helderheid dus niet aangepast in de verdere doorrekening. 7.4.1 Spatkrachten gelijk, momenten gelijk De berekening waarmee het concept valt of staat zijn die waarin de spatkrachten en momenten van beide boogdelen worden berekend en vergeleken. Zoals in het vorige hoofdstuk aangegeven maak ik deze berekeningen voor BG1, waarna de constructie in de andere gevallen vooral moet kunnen blijven staan. De belastingen zijn getekend in figuur 7.4.2. Om het overzichtelijk te houden heb ik alle krachten met een gemeenschappelijk zwaartepunt, en een overeenkomstige belastingfactor bij elkaar opgeteld, dus: Frestaurant, tot=Frestaurant+Fvierkanten+Fschoren+Ftuikabels+Frtrappen=10.400kN Fuitzicht,tot=Fuitzicht+Frvloeren+Frstaal+Frglaspui+Frscheidingswanden=1.380kN Fterminal,tot=Farmen+Fschoorkabels+Fbuitenmuren=22.900kN Fhotelpoten,tot=Fhotel+Ftrappen=31.900kN Fhotel,tot=Flobby+Fhglaspui+Fhvloeren+Fhscheidingswanden=22.800kN Fterminal,tot=Ftbeton(2x)+Ftstaal(2x)+Ftvloeren=14.800kN
169 engineering
Frveranderlijk=Frveranderlijk(2x)x0,5=1.140kN Fhveranderlijk=Fhveranderlijk(2x)x0,5=4.420kN Frveranderlijk=Frveranderlijk(2x)x0,5=5.790kN Fboot=Fstromingbootx0,5+ Fwindbootx0,5=3170kN De zwaartepunten zijn ofwel al eerder berekend, of op de helft van de belasting bepaald (te controleren met de maatvoering bij alle tekeningen). A ligt op de kruising van beide grafieken. De coördinaten hiervan heb ik nummeriek bepaald (met Maple) op (4,04;18,2). Met dit gegeven kunnen we het verschil tussen de momenten berekenen: ΣM | A = 5.000.000 − 6.200.000 ΣM | A = −1.200.000kNm De precieze berekening staat op pagina 180a hiernaast. Wat opvalt is dat vooral de lobby van het hotel een grote belasting vormt. Deze heb ik ook later pas in deze grootte toegevoegd, omdat dat beter uitkwam met bepaalde ruimtes zonder verder de terugkoppeling te maken naar het momentevenwicht, mijn uitgangspunt was om vanuit de belasting te werken, ik kom er nu achter dat ik dit hier niet helemaal goed gedaan heb. Het moment dat nu dus veel te groot is, wil ik terugdringen door de lobby te verkleinen: er moet 1.190.000kNm teruggewonnen worden, de arm naar de lobby is 117+4m, dus het gewicht van de lobby moet met 1.190.000/121 = 9.830kN verminderd worden. Er zijn 4 belastingen waarop deze verkleining invloed gaat hebben: - Eigen belasting; 21,6kN/m2 - Vloeren; 0,42kN/m2 - Scheidingswanden; 0,5kN/m2 - Veranderlijke belasting (50%). 4kN/m2+ 1kN/m2 De belastingen per m2 staan er achter genoemd. In totaal verdwijnt er dus 25,0kN/m2 dat de lobby verkleind. Het is eenvoudig te berekenen dat de lobby dan 9.830/ 25= 393m2 kleiner moet worden, wat met een breedte van
engineering
170
ΣM | B = 2.140 ⋅ 180 + 22.900 ⋅ 70, 8 + 10.400 ⋅ 618 , + 5.790 ⋅ 618 , − 705 ⋅ 812 , −41.200 ⋅ 180 + 705 ⋅ 812 , − Fspat ⋅ 818 , =0 ΣM | B = −4.410.000 − Fspat ⋅ 81, 8 = 0 Fspat |B = 53.900 ΣM |C = 12.700 ⋅ 141+ 1.380 ⋅ 344 + 31.900 ⋅ 60 + 12.400 ⋅ 22 + 3.380 ⋅ 22 + 1.14 40 ⋅ 344 + 5.440 ⋅ 178 −68.300 ⋅ 149 − Fspat ⋅ 119 = 0 ΣM |C = −4.300.000 − Fspat ⋅ 119 = 0 Fspat |C = 36.100
+RWHO
+RWHO
5HVWDXUDQW
:LQG
7HUPLQDO :LQG
7HUPLQDO +RWHO
170a engineering
Berekening voor de spatkrachten (boven)
Figuur 7.4.5 (onder): Maten waarover de krachten uit figuren 7.4.2-7.4.4 werken.
engineering
170b
33,3m neerkomt op 11,8 meter korter, daardoor verschuift het zwaartepunt ook 5,9 meter. Om dit te corrigeren maak ik de vloer 12,5 meter kort (zwaartepunt verschuift 6,2 meter), waardoor de belasting met 12,5x 33,3x 25=10.400 verkleint. In figuur 7.4.3 zie je een waarde van 12.400kN terugkomen: dat is de waarde na deze ingreep. Hier kom ik later op terug. Kijken we naar de berekening met deze nieuwe waarde komen we op: ΣM | A = 5.000.000 − 5.010.000 ΣM | A = −10.000kNm Dit is geen 0, maar gezien de verhouding tussen het moment links en het moment rechts, kunnen we wel stellen dat het moment dat overblijft verwaarloosbaar is. Als ik voor dit moment nog een aanpassing doe, verdwijnt de aanpassing automatisch in de afronding op 3 significante cijfers.
Fspat |C = 36.100 Je ziet dat de spatkrachten niet gelijk zijn. Hier is wat aan te doen door de massa dicht bij punt C te vergroten, of de massa dicht bij punt B te verkleinen. Dit heeft namelijk veel effect op de reactiekracht in punt A door een grote arm en weinig effect op de neerwaartse kracht, door een kleinere arm. Kort gezegd, zouden we de ingreep die we net gedaan hebben om de momenten gelijk te krijgen dus moeten terugdraaien. Dat heb ik in excel gedaan, de spatkrachten zijn dan Fspat|B=53.900 en Fspat|C=47.000.
Spatkrachten gelijk Om de spatkracht te berekenen moeten we het moment nemen om punten B en C, waarbij het gewicht Fuitzicht,tot (rechts van B, voorbij de helft van de rode boog) meewerkt met het hotel. De coördinaten van B zijn (183,75;100), van C (-145;137,5). Verder moet het gewicht onderin de terminal goed worden verdeeld: de betonnen kant is zwaarder, en draagt via de betonnen boog af, dus eenvoudig door 2 delen werkt niet. Ik heb deze op deze manier opgesplitst: FterminalH=Ftbeton(2x)+0,5Ftvloeren=12.700kN (zp=-4,04). FterminalR=Ftstaal(2x)+0,5Ftvloeren=2.140kN (zp=4,04). Voor deze berekening zijn behalve de hiervoor gegeven belastingen, ook de reactiekrachten in punt A van belang. Deze is voor de restaurantboog (berekening vanaf punt B) FterminalR+ Fter+ Frestaurant+ Ftveranderlijk=41.200kN verticaal en Fboot=705kN hominal rizontaal. Voor de hotelboog is dit FterminalH+ Fuitzicht+ Fhotelpoten+ Fho+ Fhveranderljik+Frveranderlijk+Fhoofdkabel=68.300kN. De berekening ziet tel er dan als volgt uit, de krachten die hierboven weergeven staan hebben ook betrekking op de berekeningen hieronder:
De conclusie kan hier dus zijn dat het in de huidige vorm onmogelijk is om zowel de spatkrachten als de momenten gelijk te krijgen. Het biedt wel een opening om de hoogte van de hotel-boog te verlagen: dat betekent namelijk weliswaar dat het gewicht ietsje afneemt (de lengte van de kromming van de boog wordt immers kleiner) en daarmee ook het moment; het betekent ook dat de spatkracht om C snel vergroot. De ‘virtuele’ nieuwe hoogte valt te berekenen door de som van de momenten om C te delen door Fspat|C, gewenst. de gewenste spatkracht in C is namelijk gelijk aan Fspat|B. Doen we dit komen we op een waarde van 104 meter. Dit hoogteverschil is veel kleiner dan ik me zou wensen. De boog verkorten (in de horizontale richting) heeft weinig effect op de spatkracht, wel op het moment. De oplossing voor dit gebouw had moeten zijn dat de hotelpoot verkleind wordt in de horizontale richting. Tevens zou deze poot verzwaard moeten worden, om de spatkracht te vergroten. Uiteraard is dezelfde ingreep omgekeerd mogelijk
171 engineering
ΣM | B = −4.410.000 − Fspat ⋅ 81, 8 = 0 Fspat |B = 53.900 ΣM |C = −4.300.000 − Fspat ⋅ 119 = 0
engineering
172
172a engineering
Berekening 7.4.1: Berekeningen voor de terminal
engineering
172b
bij de restaurantpoot, dus zou deze verlengd en lichter gemaakt moeten worden. Ik ben hier bij het ontwikkelen van de vorm in tekort geschoten: ik ga dit niet meer oplossen, en houd de waarden zoals in eerste instantie bepaald: er is dus een moment van 1.200.000kNm en de spatkrachten die optreden zijn 53.900kN en 47.000kN. 7.4.2 Zwaarst belaste onderdelen. In figuur 7.4.1 staan een aantal onderdelen weergegeven die het zwaarst belast zouden moeten zijn. Van elk van deze onderdelen ga ik in deze paragraaf berekenen of ze sterk genoeg zijn om de krachten in UG1 en UG2 te weerstaan. Als in beide extreme gevallen sterk genoeg zijn, voldoen ze ook voor alle BGgevallen. Voor deze berekeningen heb ik één van beide poten in MatrixFrame (Gebouw3Dok1) gezet, op een dusdanige manier dat alle krachten er op een zo eerlijk mogelijke manier instaan. De namen van de krachten kon ik niet veranderen, deze zijn op de volgende manier terug te vinden: LC1 Groep 1, Restaurant LC2 Groep 1, Hotel LC3 Groep 2, Restaurant LC4 Groep 2, Hotel LC5 Groep 3, Restaurant LC6 Groep 3, Hotel LC7 Groep 4, Restaurant LC8 Groep 4, Hotel LC9 Groep 5a, Hotel LC10 Groep 5a, Restaurant LC11 Groep 5b Alle krachten zijn bepaald door de krachten in figuren 7.4.3 en 7.4.4 over te nemen, en waar ze verdeeld worden over een bepaalde lengte, ze om te rekenen naar Q-lasten. De belastingen voor ieder deel werken over de lengtes zoals aangegeven in figuur 7.4.5.
173 engineering
Vervolgens kan ik de namen van de belastinggevallen niet aanpassen. De belastinggevallen hier komen als volgt overeen: BG1 Characteristic BG2 Mass (/Characatristic) BG3 Persistent BG4 Accidental BG5 Frequent UG1 Quasi-Permanent UG2 Buckling Verder heb ik de zijwaardse wind overgeslagen, omdat de berekening hier niet eerlijk zou zijn, daar slechts de helft van de constructie geprogrammeerd is. In plaats daarvan heb ik steeds zowel wind van links als wind van rechts ingevoerd. Uit het MatrixFrame-model komen de volgende waarden. Hieronder staat steeds de extreemste waarde onder gevallen UG1a, UG1b, UG2a en UG2b vermeld, de lagere waarden zijn terug te vinden in het Matrix-Frame model. De S-nummers die steeds achter de titels genoemd staan zijn de member-nummers in MatrixFrame. Normaalkrachten in constructie-onderdelen (- = druk; + = trek). Hoofdkabels (S418): +76.100kN Tuikabels (S485): +1.540kN Armen terminal (S487): -7.750kN Poten restaurant (1)(S5): -40.500kN/+42.500kN (S35): -80.300kN (S126): -25.600kN/+56.100kN (S156): -61.200kN Poten restaurant (2)(S1): -28.200kN (S31): -70.100kN (S122): -14.700kN
engineering
174
174a engineering
Berekening 7.4.2: Berekeningen voor de poten van het restaurant
engineering
174b
(S152): Poot hotel (boven) (S370): Poot hotel (onder) (S364):
-78.500kN -12.700kN -84.000kN
Dwarskrahten in constructie-onderdelen (richting onbelangrijk) Hoofdkabels (S418): Tuikabels (S485): Armen terminal (S487): 14.200kN Poten restaurant (1)(S5): 267kN (S35): 316kN (S126): 436kN (S156): 351kN Poten restaurant (2)(S1): 15,4kN (S31): 184kN (S122): 208kN (S152): 228kN Poot hotel (boven) (S370): 18.000kN Poot hotel (onder) (S364): 82.200kN Momenten in constructie-onderdelen (richting onbelangrijk) Hoofdkabels (S418): Tuikabels (S485): Armen terminal (S487): 93.200kNm Poten restaurant (1)(S5): 302kNm (S35): 70,1kNm (S126): 80,5kNm (S156): 168kNm Poten restaurant (2)(S1): 16,1kNm (S31): 24,9kNm (S122): 16,3kNm (S152): 19,2kNm Poot hotel (boven) (S370): 47.100kNm Poot hotel (onder) (S364): 52.700kNm
175 engineering
Met deze krachten kunnen we verschillende spanningscontroles doen. Om niet te veel berekeningen te hoeven doen, maak ik er maar 1 voor alle staven van het restaurant. Hiervoor neem ik steeds de grootste waarden, Normaalkracht van S35 (trek S126); Dwarskracht van S126 en Moment van S156. Voor de kabels is er enkel controle nodig op de trekspanning. Hoofdkabels: er moet gelden: Vt>f t;d. f t;d=235N/mm2 Ohoofdkabel=S x r2; r=250mm; O=196.000mm2 Vt=76.100.000N/196.000mm2=388N/mm2. 235N/mm2<388N/mm2. De kracht in de kabel is dus te groot, dat kunnen we op twee manieren oplossen: Ofwel door een andere staalkwaliteit te nemen (S420), ofwel door de diameter te vergroten: de oppervlakte moet 76.100.000/235=324.000mm2 zijn, dus de straal 321mm. Omdat een grotere straal ook een groter gewicht betekent, wordt dit spanningsprobleem ondervangen door een sterkere staalkwaliteit te gebruiken. Tuikabels: er moet gelden: Vt>f t;d. f t;d=235N/mm2 Ohoofdkabel=S x r2; r=20mm; O=1.260mm2 Vt=1.540.000N/1.260mm2=1.220N/mm2. 235N/mm2<1.220N/mm2. De spanning in de kabels is significant te groot. Vandaar dat ik hier wel de dikte van de kabels ga veranderen: 1.540.000/235=6.550mm2, dus de straal moet 45,7mm worden. Hier door wordt het (eigen)gewicht dat op de kabels rust ook iets vergroot, dus ik ga kabels met een straal van 46mm gebruiken. Ftuikabels wordt hierdoor 1.720 x Sx 78,5 x 0,0462 = 898 kN.
engineering
176
176a engineering
Berekening 7.4.3: Nieuwe berekening voor de poten van het restaurant
engineering
176b
Armen terminal: er moet gelden: σc σ n + ⋅ m ≤1 ω ⋅ fc ;d n − 1 fm ;d τ ≤ fv ;d Omdat iedere waarde in deze berekening eenvoudig, maar toch met een behoorlijke omweg te bepalen is, heb ik dit steeds met de hand gedaan. De berekeningen hiervoor zijn steeds binnen in de vouwbladen te vinden (Berekening 7.4.1). Verder neem ik bij de armen van de terminal aan dat ze geheel van massief beton gemaakt zijn; zo zijn de armen ook geprogrammeerd in MatrixFrame. Anders worden de berekeningen wederom erg complex. De controle voor de armen van de terminal ziet er dan als volgt uit: σc σ n + ⋅ m ≤1 ω ⋅ fc ;d n − 1 fm ;d
τ ≤ fv ;d 175 7,11 5, 45 , + ⋅ = 0, 093 + 0, 235 = 0, 328 0, 7 ⋅ 27 6,11 27 6, 05 ≤ 5, 4 Helaas moet de conclusie zijn dat de constructie net niet voldoet op de schuifspanning. Dit is eenvoudig op te lossen door de flens breder te maken waar hij aansluit op de rest van het lichaam van het I-profiel. Als deze 1,5x zo groot wordt, wordt de schuifspanning 1,5x zo klein. Dan zitten we op 4,03 en dan voldoet de constructie op dit punt. Poten restaurant: de controles die gemaakt moeten worden zijn: σt σ + m ≤1 fc ;d fm ;d
σc σ n + ⋅ m ≤1 ω ⋅ fc ;d n − 1 fm ;d τ ≤ fv ;d
177 engineering
De berekeningen van de spanningen zijn weer binnen in het vouwblad te vinden (Berekening 7.4.2). Invullen levert: 1.850 45, 8 + = 8, 07 5 235 235 2.640 0,17 45, 8 + ⋅ = 20, 4 + 0,195 = 20, 6 0, 55 ⋅ 235 235 ... 22, 6 ≤ 136 Deze constructie moet dus ernstig verstevigd worden. In de handberekeningen is te zien dat vooral het oppervlakte waarover de kracht verdeeld wordt vergroot moet worden. Laten we ervan uitgaan dat de drukkracht 50% van de toelaatbare spanning mag zijn (het moment eist namelijk ook een deel op, en de omega factor gaat nog een rol spelen), dan zien we dat het oppervlakte van de profielen N/ (0,5 x 235) = 80.300kN/118 = 680.000mm2 moet zijn: dat is een vierkant massief stalen profiel van 825 x 825mm. We kunnen nog een beetje spelen met sterkteklasses, maar de enige manier om dit haalbaar te krijgen is door de normaalkracht flink te verkleinen of de oppervlakte van de doorsnede flink te vergroten. De normaalkrachten kunnen we niet binnen de bestaande maten gaan verkleinen, de eenvoudigste oplossing is dus - willen we de massieve profielen voorkomen - de vier profielen gaan verbinden om zo oppervlakte te winnen. Wat ik ga doen om de elementen sterk genoeg te maken, is de vier profielen steeds met elkaar verbinden met stalen platen, om zo het oppervlakte van de doorsnede te vergroten. Voordat ik bereken hoe dik deze platen moeten zijn, vind ik het van belang te kijken of de constructie bovenin wél voldoet. Is dit namelijk niet zo, dan is de eerste ingreep de profielen groter maken. Dat heeft namelijk tot gevolg dat de oppervlakte al iets vergroot, en dat maakt de noodzaak voor nóg meer extra oppervlakte kleiner.
engineering
178
178a engineering
Berekening 7.4.4: Berekeningen voor de poten van het hotel
engineering
178b
De profielen die ik had toegepast hebben ieder een oppervlakte van 30.4000mm. Gaan we nog steeds uit van een toelaatbare spanning van 118N/mm2, dan kunnen we berekenen dat de toelaatbare normaalkracht in ieder profiel 118 x 30.400 = 3.590kN is. Als we in MatrixFrame kijken of er een set profielen is waarbinnen alle profielen daaraan voldoen, zien we zelfs de profielen aan het uiteinde nog een kracht tussen de 10.000kN en 30.000kN in zich hebben. Logisch: in de hoofdkabel zit een spanning van ruim 75.000kN, en deze wordt over 4 staven verdeeld. Wat me nu wel opvalt is dat de kabel niet goed in het midden aangrijpt, maar veel dichter bij de hogere staven. K180 ga ik dus een stukje verplaatsen, zodat deze krachten eerlijker worden verdeeld (Zie het MatrixFrame model Gebouw3dOK2). De krachten aan het uiteinde van de constructie zijn nu eerlijk verdeeld: zo’n 20.600kN per profiel. Kijken we nog wat verder, dan zien we dat er nog wat ingrepen gedaan moeten worden om de krachten eerlijk te verdelen. De normaalkrachten in de linker kant van de constructie zijn veel groter dan aan de rechter kant. Ik had schoren in één richting toegevoegd, ik ga er dus ook in de andere richting toevoegen. Om toevoeging van gewicht te voorkomen, verdun ik de schoren van 20mm naar 10mm. De totale hoeveelheid staal in de schoren, en daarmee het gewicht aan schoren blijft dan gelijk. Nu zie ik dat er een grote fout in het vorige model zat: de boog naar het Hotel stond op coördinaat y=0, terwijl die van het restaurant op y=3,75 (gemiddeld) stond. Hierdoor ontstonden spanningen in de helft van het restaurant. Al deze ingrepen samen zorgen voor een betere krachtsverdeling: in UG1 is de kracht per profiel nog maar zo’n -16.000 tot -17.000kN, in UG2 zit hij tussen de -33.000kN en de -3.800kN. In UG2 is dit ongelijker omdat het hotel hier zwaarder is dan het restaurant, waardoor het uitzichtspunt als het ware naar boven getrokken wordt. Het liefst hebben we altijd 4 krachten die zo dicht mogelijk bij elkaar liggen. Volgens mij kunnen we een
179 engineering
ingreep doen met twee kabels, die de top van de boog verbinden met het kruispunt van beide bogen, maar volgens MatrixFrame werkt dit niet. Ik houd MatrixFrame aan: dus de bovenste profielen moeten maximaal 33.700kN (S156, UG2) aankunnen, de onderste 15.800kN (S5, UG1). Hieronder staan nog een keer kort de grootste krachten na deze ingreep samengevat zijn de zwaarst belaste profielen: Bovenste profielen: Normaalkracht (S156, UG2) Dwarskracht (S156, UG1) Moment (S35, UG2)
33.700kN 272kN 25,6kNm
Onderste profielen: Normaalkracht (S156, UG1) Dwarskracht (S126, UG2) Moment (S126, UG2)
15.800kN 102kN 69,9kNm
De kleinste maximale normaalkracht in de bovenste profielen is 12.100kN (S56, UG2). Dit gaan we nog steeds niet redden met de huidige profielen. Voor de uiteindelijke berekeningen zullen deze dus sowieso moeten worden verzwaard (MatrixFrame model Gebouw3dok2). Met deze nieuwe kracht kan de oppervlakte van de profielen berekend worden: 33.700.000/118=286.000mm2 (534mm vierkant). Onderin de boog mag het volume massief zijn. Er waren 4 profielen, als we nu aannemen dat deze vier profielen hoekprofielen worden in plaats van buisprofielen (dan vormen ze samen één grote buis), dan kunnen we de nodige dikte van de hoekprofielen berekenen. Beide flenzen zijn 3,75m lang, de totale lengte staal is dus 7,5m. Dan is de dikte van de flenzen 286.000/7.500=38,1mm. We gaan dus hoekprofielen toepassen van 40mm dik,
engineering
180
180a engineering
Figuur 7.4.5: Schematisch zijaanzicht met doorsnedes na de laatste ingreep
engineering
180b
waarbij de dikte over de hele boog gelijk blijft, alleen de lengte van de flenzen neemt af naar mate de kracht kleiner wordt. De lichtst belaste flens heeft 12.100kN op zich rusten, wat vraagt om een dikte van 12.100kN/118=103.000mm2, de totale nodige lengte van de flenzen is dan 2.580mm, dus 1.290mm per hoek. In figuur 7.4.5 is schematisch te zien wat hier het zijaanzicht van wordt, met de doorsnedes door de hoekprofielen. De kleinste maximale belasting in de onderste profielen neemt juist toe naar boven. Waardoor dit komt kan ik niet helemaal verklaren. Voor de uiteindelijke uitwerking betekent dit dat de constructie aan de onderkant zich juist sluit naar boven toe. Het beeld dat daarmee geschapen wordt lijkt mij nog vrij interessant ook. Helaas is er geen tijd meer om dit in de architectonische afbeeldingen te verwerken. In berekening 7.4.3 vindt je de nieuwe waarden voor de spanningen nog. Hierbij is het extra gewicht niet meegerekend. Hieronder vind je vervolgens de controleberekening: σc σ n + ⋅ m ≤1 ω ⋅ fc ;d n − 1 fm ;d
τ ≤ fv ;d 369.000 0, 000356 112 + ⋅ = 0, 477 + 0, 00000151 = 0, 477 235 1⋅ 235 369.000 0, 28 ≤ 134 Nu voldoet de constructie zo ruim, dat hij eigenlijk weer een stuk lichter gemaakt moet worden. Omdat het extra gewicht van het extra staal nog niet is meegerekend, zal de dikte niet halveren, maar ongeveer 30mm worden in plaats van 40. Poot hotel boven en onder. De controleberekeningen hierbij zijn: σc σ n + ⋅ m ≤1 ω ⋅ fc ;d n − 1 fm ;d
τ ≤ fv ;d
181 engineering
Om niet weer 2 A4-tjes vol te schrijven, staat steeds eerst de waarde voor boven, en daarna voor onder bij de handberekeningen genoemd. Dan krijgen we voor poot boven (Berekening 7.4.4): 0, 81 0, 00796 3, 31 + ⋅ = 0, 409 + 0, 000295 = 0, 409 27 0, 3 ⋅ 27 ... 7, 30 ≤ 5, 4 En voor poot onder: 0, 61 0, 0144 27, 6 + ⋅ = 5,11+ 0, 000533 = 5,11 27 0, 2 ⋅ 27 ... 42, 6 ≤ 5, 4 Er valt dus te zien op beide plaatsen de constructie bezwijkt op de schuifkracht. Om dit te voorkomen zal de oppervlakte waarover de schuifkracht werkt groter gemaakt moeten worden: in plaats van 200mm wordt hij bij het bovenste deel 300mm; onderaan kan hij als het moet massief gemaakt worden: hier zit geen functie meer in. Hier zal dus niet zo snel een probleem ontstaan, er is altijd een (extreme) oplossing. Verder is in beide poten het knikgetal te klein. Ook dit wordt verholpen door de doorsnede dikker te maken. Deze ingreep zorgt meteen dat de boog onderin aan de spanningscheck gaat voldoen. 7.4.3 Vervormingen geheel Ik heb de aanpassingen die ik hierboven benoem verwerkt in MatrixFrame: het beton wordt 0,3mm dik; de stalen profielen worden vervangen door hoekprofielen. Met deze nieuwe waarden staan hieronder de verplaatsingen van de uiterste punten van het gebouw (K179, K62 en K234) per belastinggeval in MatrixFrame. Van ieder belastinggeval is enkel de waarde die het meeste verschilt van BG1 ingevuld. Dit omdat de vervorming in de uitgangssituatie, zoals eerder uitgelegd met voorspanning teniet gedaan worden (Gebouw3dok3).
engineering
182
Vervormingen
BG1 BG2 BG3 BG4 BG5 UG1 UG2
K62 (x)
K62 (z)
0.22m
k179 (x)
K179 (z)
K234 (x)
K234 (z)
2.33m
-0.37m 1.30m
0.01m
2.27m
-0.09m 0.93m
-0.91m 1.95m
-0.02m 0.87m
0.64m
3.81m
0.21m
0.58m
0.04m
3.75m
1.60m
6.80m
1.77m
-1.78m 0.11m
6.75m
-1.12m -2.05m -2.48m 4.32m 2.36m
9.74m
2.84m
-0.09m -2.13m
-3.17m 0.16m
-1.07m -1.44m -2.58m 4.70m
9.70m
-0.10m -1.53m
Vervolgens is het interessant om het verschil te bepalen met BG1: ik gaf al aan dat BG1 de uitgangssituatie is, dus in deze situatie zouden er geen momenten in de constructie optreden, en in deze situatie is de vervorming 0. We willen weten hoe groot de vervorming daadwerkelijk is. De onderste twee rijen tonen de maximale vervorming in meters en procenten. De procenten hangen af van de lengte en hoogte van de constructieonderdelen (K62: h=100m; l=210m; K179: h=138m; l=145m; K234: h=7,5m; l=195m). Vervormingen t.o.v. BG1 K62 (x) BG1 BG2 BG3 BG4 BG5 UG1 UG2 MAX MAX%
0
K62 (z) 0
k179 (x) 0
K179 (z) 0
-0.31m -1.40m -0.54m 0.65m
K234 (x) 0
K234 (z) 0
-0.03m -1.40m
0.42m
1.48m
0.58m
-0.72m 0.03m
1.48m
1.38m
4.47m
2.14m
-3.08m 0.10m
4.48m
-1.34m -4.38m -2.11m 3.02m 2.14m
7.41m
3.21m
-0.10m -4.40m
-4.47m 0.15m
-1.29m -3.77m -2.21m 3.40m
7.43m
-0.11m -3.80m
2.14m
7.41m
3.21m
-4.47m 0.15m
7.43m
2,14%
3,53%
2,33%
3,08%
3,81%
183 engineering
2,00%
De maximale doorbuiging mag 0,3% van de lengte zijn. We zien meteen dat de constructie nergens voldoet aan de bouweisen. Hier en daar valt met ingrepen nog wat verbeteren. De doorbuiging van een uitkraging hangt echter af van: 1 ql 4 8 EI Hier wordt weliswaar geen echte uitkraging gemaakt, maar het geeft wel een idee welke factoren van belang zijn in de doorbuiging. De lengte van de boog en de belasting van de boog liggen min of meer vast. De enige ingrepen die we dus kunnen doen is E of I vergroten. E van staal ligt vast op 210.000N/mm2, ongeacht de sterkteklasse; de E van beton kan nog lichtelijk vergroot worden door een andere sterkteklasse te gebruiken van 33.500N/ mm2 naar 38.500N/mm2. Om de doorbuiging nu 10x te verkleinen, moet dus ofwel I 10x vergroot worden, ofwel een ander materiaal gebruikt worden. We kunnen wel even kijken welke krachten hoeveel invloed hebben op de vervorming: immers, een mensenmassa loopt gestaag naar binnen, de eigenmassa is constant. De vervormingen die aldus vervelend zijn als je binnen zit, hangen vooral af van de spontane krachten door de wind. In de tabel hieronder zie je welke belastingen welke gevolgen hebben: w
Mensen restaurant Mensen hotel Wind oost-west Wind west-oost Boot
Vervorming k62 (x) 1.18m -0.77m 0.099m -0.025m -0.026m
Vervorming k62 (z) 3.98m -2.41m 0.31m -0.066m -0.066m
Het valt op dat enkel door de wind de vervorming helemaal niet zo groot is: hij zou zelfs aan de eisen voldoen. Echter: dit betekent wel dat het uitkijkpunt bij iedere windvlaag 0,31m op en neer
engineering
184
deinst. Niet erg prettig dus... Ik wil hiermee concluderen dat de overspanning een beetje te groot is geworden om zonder vervormingen te kunnen blijven functioneren: eerder merkte ik al op dat het erg goed gelukt was om momenten uit de constructie te halen, maar dat de dwarskrachten nog erg groot bleven; nu zien we dat de momenten toch nog zo groot zijn, dat ze te veel vervormingen veroorzaken om het gebouw bij grote windsnelheden bruikbaar te houden. Wil ik dit oplossen zodat ik binnen de eisen kom, is de eenvoudigste oplossing de lengte van de uitkraging verkleinen. De doorbuiging moet ongeveer 10x verkleinen, dus moet het gebouw met de 4e machts wortel van 10 verkleind worden (1,78x). Hierbij moet wel even opgemerkt worden dat deze 4e machts wortel gebaseerd is op een uitkraging, en dit is geen echte uitkraging. Andere overwegingen die ik heb gehad waren het versterken van de hoofdkabel: bij een dubbele dikte verwachtte ik dat deze nog maar de helft zou verlengen, en daardoor zou de vervorming veel minder kunnen worden. Dit bleek echter niet het geval: de vervorming veranderde minimaal: ongeveer 3 promille. Verder valt op dat alle maximale vervormingen optreden in UG1. We kunnen dit voor een deel ondervangen door het evenwicht in de belastinggeval te herstellen (het hotel verzwaren). Dat betekent echter dat in de andere belastinggevallen de vervorming meeverandert, waardoor het nieuwe probleem komt te liggen bij BG5 en UG2; en vergroot wordt. Daarmee kunnen we maximaal ongeveer een procent winnen. Tot slot kan het helpen om het traagheidsmoment te vergroten door de staaldelen verder uit elkaar te zetten. De poten van het restaurant worden dan 10 meter in plaats van 7,5 meter. Dit is lastig te veranderen in MatrixFrame (betekent een bijna volledig nieuw model maken), dus deze laatste ingreep ga ik niet proberen. Wél kan ik de poot van het hotel onderin verdikken: dit is het zwakste punt van de poten naar het hotel, dus de kans is groot dat ik hier veel kan oplossen.
185 engineering
Voer ik bovenstaande ingrepen door, dan kom ik op de volgende nieuwe waarden (alleen BG1, BG5, UG1 en UG2 meegenomen, de andere belastinggevallen gaven daarstraks veel kleinere problemen). Zoals gezegd blijven de poten van het restaurant even groot als ze waren. Verder is het hotel verzwaard door het beton te verdikken: dit heeft meteen gevolgen voor de stijfheid van de poten van het hotel. Onderaan worden de poten van het hotel niet dunner meer dan 5,5m
BG1 BG5 dBG5 UG1 dUG1 UG2 dUG2 dMAX MAX%
K62 (x)
K62 (z)
k179 (x)
K179 (z)
K234 (x)
K234 (z)
0.23m
1.77m
0.12m
0.53m
0.01m
1.81m
-0.80m -1.61m -1.45m 2.82m
-0.06m -1.55m
-1.03m -3.38m -1.57m 2.29m
-0.07m -3.36m
1.92m
7.53m
2.62m
-2.98m 0.14m
7.52m
1.69m
5.76m
2.50m
-3.51m 0.13m
5.71m
-0.79m -1.29m -1.50m 3.09m
-0.07m -1.23m
-1.02m -3.06m -1.62m 2.56m
-0.08m -3.04m
1.69m
5.76m
2.50m
-3.51m 0.13m
5.71m
1.69%
2.74%
1.82%
2.42%
2.93%
1.73%
Je ziet dat we al een stuk verder komen. Gaan we door met het hotel verzwaren, dan valt op dat het verschil tussen BG1 en de andere gevallen eigenlijk niet verandert. Het hotel verzwaren heeft dus geen zin: alle belastinggevallen veranderen gewoon mee. Wel kunnen we de hotelpoot onderaan nóg dikker maken (min 7,0m) en de hoofdkabel verdikken:
BG1 BG5
K62 (x)
K62 (z)
0.03m
1.12m
k179 (x)
K179 (z)
-0.08m 0.71m
-0.92m -2.00m -1.52m 2.84m
K234 (x) 0
K234 (z) 1.16m
-0.07m -1.94m
engineering
186
dBG5 -0.95m -3.12m -1.44m 2.13m -0.07m -3.10m 1.58m 6.47m 2.25m -2.62m 0.11m 6.47m UG1 dUG1 1.55m 5.35m 2.33m -3.33m 0.11m 5.31m -0.96m -1.82m -1.60m 3.14m -0.08m -1.76m UG2 dUG2 -0.99m -2.94m -1.52m 2.43m -0.08m -2.92m dMAX 1.55m 5.35m 2.33m -3.33m 0.11m 5.31m MAX% 1.55% 2.55% 1.69% 2.30% 1.47% 2.72% We zien dat deze laatste slag weinig extra oplevert. Waarschijnlijk betekent dat dat nu de stijfheid van het restaurant verhoogd zal moeten worden. De laatste berekening die ik ga voor de vervroming van het geheel is de stalen constructie sterker maken. Allereerst verhoog ik de dikte van de stalen delen naar 60mm. Vooral om te onderzoeken of dit significant effect heeft. Deze test laat ik hier niet zien: dit heeft zeker effect, maar niet voldoende. De laatste ingreep die ik doe is ook hier de minimale dikte van de constructie aanpassen: de kleinste afmeting van de hoekprofielen wordt 2,0 meter. De vervormingen die we dan krijgen zijn (MatrixFrame Gebouw3DOK3):
BG1 BG5 dBG5 UG1 dUG1 UG2 dUG2 dMAX MAX%
K62 (x)
K62 (z)
k179 (x)
K179 (z)
K234 (x)
K234 (z)
0.36m
1.91m
0.38m
0.05m
0.02m
1.96m
-0.45m -0.72m -0.85m 1.86m
-0.04m -0.65m
-0.81m -2.63m -1.23m 1.91m
-0.06m -2.61m
1.74m
6.59m
2.44m
-2.89m 0.13m
6.63m
1.38m
4.68m
2.06m
-2.94m 0.11m
4.67m
-0.51m -0.67m -0.97m 2.22m
-0.05m -0.61m
-0.87m -2.58m -1.35m 2.17m
-0.07m -2.57m
1.38m
4.68m
2.06m
-2.94m 0.11m
4.67m
1.38%
2.23%
1.50%
2.02%
2.39%
1.47%
We komen weer verder: natuurlijk kunnen we nu nog meer
187
engineering
ingrepen maken, en nog meer constructie toevoegen, maar daarmee schieten we het doel voorbij: we wilden de momenten verminderen om materiaal te besparen. Ik denk dat de conclusie moet zijn dat we niet een zo grote overspanning moeten willen maken om materiaal te besparen. Het zou een interessant onderzoek zijn waar dan de grens ligt om een bepaalde materiaal-efficiëntie te krijgen. Omdat de laatste aanpassingen te weinig deden voor de vervormingen, en te veel kostten, gebruik ik voor de rest van de berekeningen het gebouw zoals deze was aan het begin van hoofdstuk 7.4.3. 7.4.4 Afdracht naar de fundering Voor de krachtsafdracht naar de fundering is het belangrijk wat voor reactiekrachten er in de voeten van de constructie zitten. Ook dit kunnen we uit MatrixFrame halen. In de tabel hieronder zie je voor de vijf opleggingen die geprogrammeerd zijn steeds de extreme waarden voor de reactiekracht. Ik heb hier niet alle belastinggevallen gesommeerd om het overzicht te behouden: Fz,max BG/UG Fz,min BG/UG O1 (hotel) -162.000kN UG1b -84.600kN BG5c O2 (rest.) -32.200kN UG1a -10.500kN BG5d O3 (rest.) -28.600kN UG2b +16.900kN UG1b O4 (rest.) -28.600kN UG2b +17.000kN UG1b O5 (rest.) -32.300kN UG1a -10.600kN BG5d Behalve de krachten in de z-richting, zijn ook de krachten in de x-richting belangrijk voor de fundering: O1 (hotel) O2 (rest.) O3 (rest.)
Fx,max -76.000kN +5.730kN -11.300kN
BG/UG UG2a BG5c UG1b
Fx,min -46.700kN +31.100kN +28.400kN
engineering
BG/UG BG4d BG4b UG2b
188
188a engineering
Figuur 7.4.6: Sondering Scheveningse kust
Figuur 7.4.7: Sondering Scheveningse kust afgelezen
engineering
188b
O4 (rest.) O5 (rest.)
-11.300kN +5.820kN
UG1b BG5c
+28.400kN +31.200kN
UG2b BG4b
Het valt nu niet alleen op dat de er nog grote krachten in de x-richting in de fundering zitten, maar ook dat de krachten in O1 tegengesteld van richting zijn aan die in opleggingen O2 t/m O5. (Dit valt vooral op als je gelijke belastinggevallen met elkaar vergelijkt, helaas niet goed zichtbaar in deze tabel, wel in het MatrixFrame-model (Gebouw3dOK3)) De verbinding heeft de spatkrachten in het model dus niet goed opgenomen. Voor de doorrekening van de fundering is het wel van belang dat er zo min mogelijk krachten in het horizontale vlak in de fundering zitten. Om deze reden neem ik in het model aan (Gebouw3dOK5) dat opleggingen O2 t/m O5 geen krachten in de X-richting op kunnen nemen. In werkelijkheid zal de spatkracht die overblijft worden verdeeld over beide poten. De nieuwe waarden die we dan vinden zijn: Fz,max O1 (hotel) -136.000kN O2 (rest.) -91.600kN O3 (rest.) +1.670kN O4 (rest.) +1.780kN O5 (rest.) -91.700kN en in de x-richting: O1 O2 O3 O4 O5
(hotel) (rest.) (rest.) (rest.) (rest.)
Fx,max -6.620kN 0 0 0 0
BG/UG UG1b UG1a BG5c BG5c UG1a
Fz,min -51.900kN -53.500kN +61.000kN +61.100kN -53.600kN
BG/UG BG5c BG5d UG1b UG1b BG5d
BG/UG UG2a
Fx,min +9.430kN 0 0 0 0
BG/UG UG2b
Ik had al aangegeven een stalen jacket te gebruiken die
189 engineering
aansluit op de funderingspalen. Deze is voor het hotel uitgewerkt in een MatrixFrame model, om te zien wat voor krachten er op de funderingspalen komen (Fundering1). Voor het restaurant is dit niet zo interessant, omdat er geen krachten in het horizontale vlak liggen. Voor het model heb ik de kracht opgelegd als een gelijkmatig verdeelde belasting, omdat in werkelijkheid de kracht ook over een veld op de fundering aangrijpt. Begrijpelijk lijkt me dat ik hier 2 van de 4 palen maak, en dus de krachten halveer. De maximale kracht die volgens MatrixFrame op één van de funderingspalen in de hotelpoten aangrijpt is 39.200kN. In knopen O2 en O5 van het restaurant was deze kracht nog veel groter: 91.700kN. Dit wordt dus de rekenwaarde voor de funderingspalen. Het eerste gegeven waar de paalkeuze afhankelijk van is is de grond. Er is een sonderingsrapport beschikbaar voor de zeebodem, 500 meter uit de kust, ter hoogte van museum beelden aan zee. Voor mijn berekening neem ik dit sonderingsrapport over (figuur 7.4.6), hoewel de zeebodem ter plaatse van mijn cruise-terminal anders zou kunnen zijn. Om de berekeningen voor de grond te kunnen maken, is het wel nodig om de diameter van de paal te bepalen. Uitgaande van een maximale drukspanning van beton van 27N/mm2 (Beton van sterkteklasse C35/45), komen we op een benodigd oppervlakte van 91.700.000/ 27=3.400.000mm2 (diameter van 2.080mm). Dan kunnen we de maximale grondspanning berekenen met: σ I + σ II + σ III 2 pt ,punt = 2 Waarbij VI en VII 4x de diameter onder de funderingspaal worden berekend (dus ongeveer 8 meter) en VIII 8x de diameter boven de funderingspaal (16 meter). Dan zien we in de sondering meteen datwe in de tweede zandlaag moeten gaan zitten: op 19
engineering
190
meter diepte. VI is dan de gemiddelde spanning over het traject van 19 meter tot 27 meter, waarbij een maximale spanning van 20N/mm2 wordt aangenomen. De sondering loopt tot 24,5 meter, waarbij de grondspanning hier flink toeneemt, we nemen dus aan dat de spanning hier boven de 20N/mm2 blijft. In figuur 7.4.7 geeft de rode kleur VI aan: dit is gemiddeld 19,1N/mm2. VII is de minimale grondspanning over hetzelfde interval. In figuur 7.4.7 aangegeven in het paars. Deze waarde is 14,2N/ mm2. VIII is de gemiddelde waarde 16 meter boven de paal. Dit betekent dat we in het zeewater uitkomen. De waarde die ik hier aanneem is 0. Dit deel is in figuur 7.4.7 aangegeven in het groen. De waarde hier is 11,1N/mm2. Nu kunnen we bovenstaande formule invullen: 19,1+ 14, 2 + 111 , 2 = 13, 9 pt ,punt = 2 Met deze spanning kunnen we de definitieve oppervlakte van de paalpunt berekenen: 91.700.000/13,9= 6.600.000mm2: een ronde paal met een diameter van 2.900mm. Deze diameter is zo groot dat de dwarsbelasting makkelijk in het lichaam opgenomen moet kunnen worden.
191 engineering
7.5 Conclusie Na al deze berekeningen kunnen we concluderen dat het gebouw niet geheel voldeed aan de sterkte-eisen, en na een aantal ingrepen beter voldoet aan de sterkte-eisen, maar nog niet helemaal. Mijn verwachting dat door het uitbannen van momenten onder het eigengewicht, een uitkraging ontzettend groot kan worden - zonder dat al te veel materiaal nodig is - komt daarmee dus helaas niet uit. Bij de overspanning die ik genomen heb: 200 meter gaan de normaalkrachten het overnemen van de momenten. Een iets kleinere uitkraging was dus waarschijnlijjk een beter idee geweest. De funderingspalen zijn bijna 3 meter in doorsnede. Dat had ik wel verwacht en geaccepteerd, maar ook dit betekent natuurlijk een enorme hoeveelheid materiaal. De vraag is of ook dit niet tegen mijn bedoelingen indruist. In dit geval valt daar tegenin te brengen dat doordat het materiaalgebruik beperkt blijft door het uitbannen van momenten, het gebouw in zijn geheel minder zwaar is. Dit betekent natuurlijk weer dat er minder materiaal nodig is voor de fundering... Hoe dan ook valt de concluderen dat het zeker mogelijk is om momenten uit te bannen in een constructie door de constructie de vorm van de krachten te laten vormen. Als je kijkt naar de berekeningen in hoofdstuk 7.4.3 zie je dat de momenten amper nog invloed hebben op het bezwijken van de constructie. Alleen is het vervolgens dus wel van belang de grootte van de normaalkrachten erg goed in de gaten te houden.
engineering
192
Deel 8
Reflectie
193
8. Reflectie 8.1 Relatie tussen het onderzoek en het ontwerp Het onderzoek dat ik in het eerste semester heb gedaan richtte zich vooral op de krachtswerking in bogen. Het hele ontwerp van nu is daar ook op gericht: met één steunpunt wilde ik een grote overspanning maken, en om dit mogelijk te maken heb ik een boogvorm gemaakt, die in een bepaalde toestand geen momenten in zich heeft, waardoor de constructie ieler kan worden gedimensioneerd. Uiteindelijk blijkt wel dat de normaalkrachten in de constructie enorm worden, en de momenten ten gevolge van veranderlijke belasting nog groter. Dat was natuurlijk ook niet anders te verwachten met zo een groot gebouw. 8.2 Relatie tussen thema van de studio en het onderzoek De studio van Architectural Engineering vraagt om een onderzoek op een technisch aspect aan de hand waarvan architectuur gevormd kan worden. Ik was erg gefascineerd door bogen van Candela, Calatrava en Saarinen, en ben daardoor de krachtsafdracht in bogen gaan onderzoeken. Het ‘technisch’ aspect haalt de studio door een tweede docent van Building Technology. ‘Technisch’ betekent hier dus in feite dat het onderzoek binnen een stoel van Building Technology moet passen, of een nieuwe stoel binnen Building Technology zou moeten kunnen zijn natuurlijk. Dit onderwerpt past wat dat betreft prima binnen de lijnen van Architectural Engineering: dit onderzoek past prima binnen de stoel ‘draagconstructies’ van Building Technology. 8.3 Relatie tussen methode van de studio en mijn methode Het doel van de studio Architectural Engineering is architectuur te vormen aan de hand van een technisch aspect, en op die manier tijdens het ontwerp als architect de combinatie tussen ontwerper en ingenieur te zijn. In mijn geval heeft het technisch aspect betrekking op de draagconstructie, daar ben ik dan ook vrij diep in gegaan. Gevolg is echter wel dat ik minder diep op andere aspecten van building technology in gegaan ben: klimaat-
reflection
194
ontwerp komt bijvoorbeeld amper aan de orde. De verregaande relatie tussen krachtsafdracht en vorm heeft wel gevolgen voor de iconische waarde van het ontwerp. De vorm is letterlijk het gevolg van het onderzoek, en is hier en daar extra gemodificeerd om een mooier beeld te genereren of om ruimte mogelijk te maken. Architectuur gaat immers om het faciliteren van ruimte. Wat dat betreft had er misschien nog een betere relatie kunnen zijn als de ruimte ook een dominantere positie had gehad: nu is de ruimte op sommige plaatsen achteraf in de vorm ingepast, terwijl juist de ruimte belangrijk is voor architectuur. Kort samengevat komen de architect en ingenieur in dit gebouw dus samen door de nauwe samenhang tussen vorm en krachtsafdracht. 8.4 Relatie tussen het ontwerp en het brede sociale vlak Het doel van bogen maken is tweeledig: enerzijds het technische aspect van momenten verminderen; momenten die hele vervelende krachten zijn voor een constructie; anderzijds hebben bogen een estethische waarde. Dit tweede aspect is een kwestie van smaak, en in die zin lastig te plaatsen binnen een breed sociaal vlak. Het eerste aspect heeft enorme materiaalbesparing tot gevolg. Gedurende de doorrekening van het gebouw kwam ik tot de conclusie dat momenten door enkel windbelasting tien keer zo cruciaal zijn voor een constructie dan normaalkrachten ten gevolge van permanente belasting en wind samen. Hoe veel invloed heeft een moment ten gevolge van een permanent aanwezige belasting dan wel niet? Gedurende het ontwerp ben ik er steeds van uitgegaan dat de vervelende krachten uit het materiaal gehaald moesten worden, en zo veel mogelijk door de vorm van de constructie opgenomen moest worden. Dit levert een behoorlijke materiaalbesparing op.
195 reflection
8.5 Terugkijkend op het geheel Voor het onderzoek hoopte ik rekenwerk uit te sparen door te beginnen met een constructie zonder momenten. Dit bleek absoluut niet het geval: berekeningen worden ontzettend ingewikkeld doordat de constructie scheef is. Gelijkmatig verdeelde belastingen zijn niet meer gelijkmatig verdeeld, maar hangen af van differentiaal die weer afhangt van de wortel van een afgeleide. Het rekenwerk is zo niet meer eenvoudig uit te voeren. Het zou aantrekkelijk zijn om een standaard algoritme te kunnen ontwerpen, die belangrijke gegevens tot formulevorm kan genereren. Daarbuiten begon ik met de positie dat de vorm van het gebouw zich aan moest passen aan haar belasting. De belasting bleek echter lastig in formulevorm te vertalen, waardoor de formule van de boog zich weer niet aan kon passen aan de belasting. Daarbuiten bleken het rekenprogramma dat ik heb gebruikt: Maple, niet bestand tegen het differentiëren van differentialen van kettinglijnen met q-lasten: na de eerste keer differentiëren liep hij vast, en kwam er geen formule meer uit. Dit heb ik de hele tijd ondervangen door een conclusie die ik in het tweede deel heb gedaan: bij de combinatie van een kettinglijnvormige belasting en een paraboolvormige belasting neigt de constructie het sterktst (3x zo sterk) naar een paraboolvormige belasting. Het feit dat het vooraf berekenen geen rekenwerk bespaart neemt natuurlijk niet weg dat deze manier van construeren tot materiaalbesparing leidt. Het mag wel tot méér rekenwerk leiden dan ik had verwacht, het eerste doel: materiaalbesparing blijft nog steeds behouden.
reflection
196
Deel 9
Bronnen
197
9.1 Bibliografie 9.1.1 Boeken en tijdschriften Ajamil, B. (2008). Final cruise market studie Scheveningen. Bernello Ajamil & Partners: 23 september 2008. Anda Alanís, E. X. de (2008). Candela. The mastering of boundaries. Keulen: Taschen. Bouma, A.L. (1989). Mechanica van constructies. Elastostatica van slanke structuren. Delft: Delft University Press. Boydens, G. (2012). Interview met de auteur. Oostende, 22 mei 2012. Buchanan, P. (2008). Renzo Piano Building Workshop. Volume five. New York: Phaidon Press Inc. Candela, F. (1963). The hyperbolic paraboloid. In: Faber, C. (1963). Candela/ the shell builder. New York: Reinhold Publishing Corporation. Cassidy, M. (ed) and Gourvenec, S. (ed). (2005). Frontiers in offshore geotechnics. Taylor & Francis. Chapman, T. (2006). The Stirling prize. Ten years of architecture and innovation. London: Merrel. Cripa, M. A. (2010). Gaudi. Van natuur naar architectuur. Keulen: Taschen. De Pier. (2012). Informatie over de pier op de pier. Scheveningen. Gemeente Den Haag. (2009). Masterplan Scheveningen kust. Concept. Den Haag: Dienst stedelijke ontwikkeling.
sources
198
Hess, A. en Weintraub, A. (2009). Oscar Niemeyer buildings. New York: Rizzoli International Publications Inc. Jodido, P. (2007). Santiago Calatrava. Architect, ingenieur, kunstenaar. Keulen: Taschen. Kamerling, W. (2012). Serie gesprekken ten behoeve van dit onderzoek. Delft. Keepers, A. (2012). Gesprekken over de haalbaarheid van verschillende maritieme aspecten. Breda. Klomp, A.J.G. en Runhaar, J. (1968). Hogere wiskunde 1. In vraagstukken met beknopte theorie. Den Haag: Uitgeverij Nijgh & Van Ditmar. Knight, R. (2008). Saarinen’s quest. A memoir. San Fransisco: William Stout publishers. Levin, M. (2003). Santiago Calatrava. The Artworks. A laboratory of ideas, forms and structures. Basel: Birkhauser. Nervi, P.L. (1960s). Shaping a two acre sculpture. In: Román, A. (2003). p.60. Norderson, G. (ed.) (2008). Seven structural engineers: the Felix Candela lectures. New York The museum of modern art. Román, A. (2003). Eero Saarinen. An architecture of mutiplicity. New York: Princeton Architectural Press. Provoost, M. (2003). Hugh Maaskant. De architect van de vooruitgang. Rotterdam: Uitgeverij 010. Saarinen, E. (1959a). Trans World Airlines Idlewild. In: Saarinen,
199sources
A. (1962). p.60. Saarinen, E. (1959b). Jefferson National Expansion Memorial St. Louis, Missouri. In: Saarinen, A. (1962). p. 18. Saarinen, E. (1961). Ingalls Rink. In: Saarinen, A. (1962). p.54. Saarinen, A. (1962). Saarinen on his work. New Haven: Yale University Press. Schmitt, M., Jansen, B. (2008). The Hague International. Den Haag. Serraino, P. (2007). Eero Saarinen, Een functioneel expressionist. Keulen: Taschen. Van der Valk. (2012). Van der Valk vakanties. Vertrouwd, verzorgd en voordelig. Alphen a/d Rijn. Webster, A.C. (1993). New solutions to an old problem. In: Frampton, K., Webster, A.C. en Tischhauser, A. (1993). Calatrava Bridges. Zurich: Artemis. pp. 176-197. Worsley, G. (2002). The Stirling prize 2002. In: Chapman, T. (2006). pp.162-163. Zanen, K. van. (2011). Nieuwe structuurvisie. Ruimtelijk antwoord op maatschappelijke vraagstukken. In: Borst, K. (2010). Plan Amsterdam. Jaargang 17, nr. 1, maart 2011. Amsterdam: Dienst Ruimtelijke Ordening Amsterdam. Zijl, A. van der. (2011). Sonny Boy. Amsterdam: Querido. ZKA. (2006). Scheveningen 2020: een levendige badplaats. Breda.
sources
200
7.1.2 Elektronische bronnen Bramer, W. (2012). Stationsweb - de grootste verzameling foto’s van Nederlandse stations. www.stationsweb.nl. Bezocht op 1204-2012. Brouwer, L., Jansen, W., Koteris, M., Minderhoud, J., Visser, A. de, Wisse, R. (2012). Scheveningen.com. www.scheveningen. com. Bezocht op 18-04-2012. CBS. (2010). Gasten logiesaccomodaties; woonland per toeristengebied. http://statline.cbs.nl/. Bezocht op 18-04-2012. Cruiseportthehague. (2009). Cruiseport the Hague Holland. Port of Holland. http://www.cruiseportthehague.nl/. Bezocht op 18-042012. Dutch Cruise Council. (2012). DCC. Dutch Cruise Council. Discover the world of cruises. http://www.dutchcruisecouncil.nl/. Bezocht op 22-04-2012. ECCS. (2012). Steelconstruct.com. The European portal dedicated to steel in construction and architecture. http://www.steelconstruct.com/. Bezocht op 18-05-2012. Ernst, W. (2012). Structurae. International database and gallery of structures. www.structurae.de structures/data/index. cfm?id=s0000838. Bezocht op 13-04-2012. Hernández, J.M.H. (2012). José Miguel Hernández Hernández’s blog. http://www.jmhdezhdez.com. Bezocht op 18-05-2012. KNMI (2012). Windsnelheid en winddruk. http://www.knmi.nl/samenw/hydra/faq/druk.html. Bezocht op 1-12-2012.
201sources
Lignatur (2012). Lignatur Workboek. http://www.lignatur.ch/fileadmin/ablage/downloads/workbook/20_workbook_0911-page_82-91.pdf. Bezocht op 3-1-2013. Moojen, W. (2011). Nieuwe cruise-terminal in IJmuiden. In: Weekblad huis aan huis. http://www.weekbladhuisaanhuis.nl/ nieuws/233411-nieuwe-cruise-terminal-in-ijmuiden. Bezocht op 18-04-2012. NRC. (2009). Scheveningen wil meer allure. http://vorige.nrc.nl/ binnenland/article2297917.ece/Scheveningen_wil_meer_allure. Bezocht op 22-04-2012. Omroep West. (2009a). Haagse VVD tegen cruise-terminal. http://www.omroepwest.nl/nieuws/haagse-vvd-tegen-cruiseterminal. Bezocht op 18-04-2012. Omroep West. (2009b). Geld onderzoek cruiseterminal naar bestreiding crisis. http://www.omroepwest.nl/nieuws/geld-onderzoek-cruiseterminal-naar-bestrijding-crisis. Bezocht op 18-042012. Omroep West. (2009c). PvdA Den Haag: geen cruise terminal. http://www.omroepwest.nl/nieuws/pvda-den-haag-geen-cruiseterminal. Bezocht op 18-04-2012. Seegers, J. (2012). Familie van der Valk zet Scheveningse pier te koop. http://www.nrc.nl/nieuws/2012/03/19/familie-van-dervalk-zet-scheveningse-pier-te-koop/. Bezocht op 22-04-2012. Standpuntdenhaag (2013). Bevolking. http://www.standpuntdenhaag.nl/index.php?option=com_content&view=article&id=119:b evolking&catid=88:standpunt-centrum-algemeen&Itemid=16 Ster, W. van der. (2010). Zeeland cruise port. Sparkling Holland.
sources
202
http://www.zeelandcruiseport.com/index.php/thuis. Bezocht op 22-04-2012. VSF. (2012). Volker staal en funderingen - stalen buispalen. http://www.vsf.nl/nl/funderingen/palen/stalen-buispalen. Bezocht op 3-12-2012. Wikipedia. (2012a). Viaduc de Garabit. http://nl.wikipedia.org/ wiki/Viaduc_de_Garabit. Bezocht op 24-04-2012. Wikipedia. (2012b). Garabit Viaduct. http://en.wikipedia.org/wiki/ Garabit_viaduct. Bezocht op 24-04-2012. Zandmotor. (2012). Zandmotor. Delflandse kust. http://www.dezandmotor.nl/. Bezocht op 20-06-2012.
203sources
9.2 Verantwoording afbeeldingen 9.2.1 Figuren Figuren zijn allen getekend door de auteur, behalve: Figuur 2.1.1 Fragment van het formuleblad mechanica aan de TUDelft. blackboard.tudelft.nl Figuren 6.1.1 - 7.4.8: figuren van de auteur. 9.2.2 Afbeeldingen Afbeelding 1.1.1 http://www.flickr.com/photos/uncle_buddha/1761056657/ Afbeelding 1.1.2 http://www.flickr.com/photos/oh-rome/5703493216/ Afbeelding 1.1.3 http://www.flickr.com/photos/30248153@ N06/3949667703/ Afbeelding 1.1.4 http://www.stationsweb.nl/afbeelding. asp?dir=denhaaghs&num=106 Afbeelding 1.1.5 http://www.stationsweb.nl/afbeelding. asp?dir=haarlem&num=144 Afbeelding 1.1.6 Giedion, S. (1941). Space, time & architecture. The growth of a new tradition. Harvard university press: Cambridge, Massachusetts. Afbeelding 1.1.7 http://www.flickr.com/photos/photor1/6946062089/ Afbeelding 1.1.8 http://www.flickr.com/photos/34419196@ N07/5655353842/ Afbeelding 1.1.9 Zerbst, R. (2005). Antonio Gaudi i Cornet - een leven in de architectuur. Taschen: Keulen. p. 91. Afbeelding 1.1.10 http://www.flickr.com/photos/erikvanhannen/2445552331/ Afbeelding 1.1.11 http://www.flickr.com/photos/71498684@ N00/48539943/ Afbeelding 1.1.12 http://www.flickr.com/photos/garyhymes/180976063/in/gallery-44161583@N0672157622565982313/ Afbeelding 1.2.1 http://www.flickr.com/photos/28171787@ N07/4708148185/
sources
204
Afbeelding 1.2.2 http://www.flashcardmachine.com/cee262-bridgesstudyguide.html Afbeeldingen 1.2.3 - 1.2.5 Anda Alanís, E. X. de (2008). Afbeelding 1.2.6 http://www.flickr.com/photos/fdecomite/6842871084/ Afbeelding 1.2.7 http://www.flickr.com/photos/efigueres/4383063401/ Afbeelding 1.2.8 http://www.flickr.com/photos/joevare/5524171419/in/set-72157621700174779 Afbeelding 1.2.9 Román, A. (2003). Afbeelding 1.2.10 http://www.ultraswank.net/architecture/eerosaarinen/ Afbeelding 1.2.11 Jodido, P. (2007). Afbeeldingserie 1.2.12 Levin, M. (2003). Afbeeldingserie 1.2.13 Tzonis, A., Donadei, R. C. (2005). Calatrava. Bridges. Thames & Hudson ltd.: London. Afbeeldingserie 1.2.14 Jodido, P. (2007). Afbeeldingserie 1.2.15 Levin, M. (2003). Afbeelding 2.5.1 http://www.flickr.com/photos/erikvanhannen/2445552331/ Afbeelding 2.5.2 http://www.flickr.com/photos/photor1/6946062089/ Afbeelding 2.5.3 http://www.flickr.com/groups/beautifulcapture/ discuss/72157620680352204/ Afbeelding 3.0.1 http://www.flickr.com/photos/ markwhitt/4927816607/ Afbeelding 3.0.2 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 3.0.3 http://www.flickr.com/photos/44425842@ N00/3808766076/ Afbeeldingen 3.0.4 - 3.0.5 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 3.0.6 http://www.flickr.com/photos/chris_diewald/2552407016/in/set-72157600045990441/ Afbeelding 3.0.7 http://www.flickr.com/photos/efigue-
205sources
res/4383063401/ Afbeelding 3.0.8 http://www.flickr.com/photos/krobbie/369498457/sizes/o/in/photostream/ Afbeelding 3.0.9 Buchanan, P. (2008). Afbeelding 3.0.10 http://www.flickr.com/photos/66446743@ N00/345685871/ Afbeelding 3.0.11 http://www.flickr.com/photos/rgpontes/1399510169/ Afbeelding 3.0.12 http://www.flickr.com/photos/41683796@ N02/3843337237/ Afbeelding 3.1.1 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ en/1/18/United_States_Louisiana_Purchase_states.png Afbeelding 3.1.2 http://stlcin.missouri.org/history/displayimage. cfm?Image_ID=794 Afbeelding 3.1.3 - 3.1.4 Román, A. (2003). Afbeelding 3.1.5 http://www.flickriver.com/groups/392223@N23/ pool/interesting/ Afbeeldingen 3.2.1-3.2.2 http://www.jmhdezhdez.com/2011/05/ reggio-emilia-bridges-calatrava-bologna.html. Afbeelding 3.2.3-3.2.5 http://maps.google.nl (streetview). Afbeelding 3.2.6 ECCS. (2009). Afbeelding 3.3.1 http://www.flickr.com/photos/44425842@ N00/3808766076/ Afbeeldingen 3.4.1 - 3.4.4 Chapman, T. (2006). Afbeeldingen 3.4.4 - 3.4.8 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 3.4.9 http://farm5.static.flickr. com/4136/4774548166_94b08ce416.jpg Afbeelding 3.4.10 http://www.flickr.com/photos/ratboy2008/6015337283/ Afbeelding 3.5.1 maps.google.nl Afbeelding 3.5.2 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 3.6.1 Google Earth Afbeelding 3.6.2 - 3.6.3 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 3.7.1 http://www.flickr.com/photos/rippinkittin8/ Afbeelding 3.7.2 http://www.yalebulldogs.com/information/facili-
sources
206
ties/ingalls_rink/index Afbeelding 3.7.3 http://www.flickr.com/photos/joevare/ Afbeelding 3.8.1 http://www.flickr.com/photos/mbejan/247622683/sizes/o/in/photostream/ Afbeelding 3.8.2 http://www.flickr.com/photos/ opencc/5474736821/sizes/l/in/photostream/ Afbeelding 3.8.3 http://www.flickr.com/photos/krobbie/369498457/sizes/o/in/photostream/ Afbeelding 3.8.1 http://www.calatrava.com/ Afbeeldingen 3.9.1 - 3.9.5 Buchanan, P. (2008). Afbeelding 3.10.1 http://www.flickr.com/photos/telstar/44360811/ Afbeelding 3.10.2 http://www.flickr.com/photos/ ouno/3186083426/ Afbeelding 3.10.3 http://maps.bing.com/ Afbeelding 3.11.1 http://www.flickr.com/photos/41683796@ N02/3843337237/ Afbeelding 3.12.1 http://www.flickr.com/photos/rgpontes/1399510169/ Afbeelding 3.12.2 Hess, A. en Weintraub, A. (2009). p. 310. Afbeelding 4.1.1 Saarinen, A. (1962). Afbeelding 4.1.2 Hernández, J.M.H. (2012). Afbeelding 4.1.3 Buchanan, P. (2008). Afbeelding 4.1.4 http://www.flickr.com/photos/44425842@ N00/3808766076/ Afbeelding 4.1.5a-b Jodidio, P. (2007). Afbeeldingen 5.2.1 - 5.2.2 http://maps.google.nl met bewerkingen van de auteur Afbeelding 5.1.1 Gemeente Den Haag. (2009). Afbeeldingen 5.1.2 - 5.1.5 Foto’s van de auteur. Afbeelding 5.1.6 kaartenkamer.tudelft.nl Afbeelding 5.1.7 http://vorige.nrc.nl/binnenland/article2297917. ece/Scheveningen_wil_meer_allure.
207sources
Afbeelding 5.4.1 TheMap 10vr3d Afbeelding 5.4.2 Foto van de auteur. Afbeeldingen 6.1.1-6.1.9 Afbeeldingen van de auteur Afbeelding 6.1.10. Cassidy, M. (ed) and Gourvenec, S. (ed) (2005)
sources
208
