Fluks Listrik dan Teorema Divergensi
Dalam bab ini, Anda akan mempetajari:
4.1 1-2 1.3
Fluks Listrik
Tqrema
Dive4geresi
funggunann
l*hrn
Garrss
Medan Elektromagnetika
Terapan
41
4.1 Fluks Listfik Fluks listrik sebesar 4 Coulomb dipancarkan dari suatu permukaan ututup seluas yang S di dalamnya mengahdung muatan listrik'sebesar Coulomb. Besamya fluks listrik (0) yang 4 Aipancaitan
dari permukaan tertutup ini dijelaskan oleh hukum
Qu=fD..dS=4
Gauss-
Coulomb
(4.r)
.,9
di mana D = vektor rapat fluks listrik = tB(C/mz) E = vektor intensitas medan listrik (V/m) € = €oer = pemiitivitas dielbktrik medium (F/m) €r = permitivitas relatif (tidak memiliki dimensi) Berdasarkan definisi muatan 4 Coulomb yang menempati volume V, dengan kerapatan muatan ruang qv yang terdistribusi merata, diberikan oleh
I
s=Jqvdv
(4.2)
v
Dari Persamaan (4.1) dan (4.2), kita peroleh I
Qr={D.dS= !n,0, y -t
(4.3)
= volume
4.2
Teorema Divergensi Operator del
Y
didefinisikan sebagai operator vektor derivatif:
V=r.9*",9*"-3 'E: dx 'A
^
(4.4)
Divergensi vektor D, ditulis div D, adalah produk skal31 arr1r.u operator vektor derivatif dan vektor D:
Div D =
v.D
=
(",* *..,*.
".r1)
.(D*a, + D,a, + D,a,)
=dD' * 11 *dD'
Er ar
(4.5)
dz
Teorema divergensi menurut teori kalkulus adalah mengubah bentuk integral luas menjadi bentuk integral volume:
{o.m=
tin^
lv.nav --
(4.6)
u=*,u-.
Sisi kiri Persamaan (4.6) dapat ditulis
fn as =lJn.as
,l,u*
di mana: dD =dDoa, a* +dD:^, dr +dD^r^, -J
dx
Dy
a.
o,
dan
(4.7)
F 42
Bab
4
Fluks Listrik dan Teorema Divergensi
dS = d.yfza* + dxdza, + dxdyar, maka Persamaan (4.7) menjadi
s={: ^
=
JJJ
(*. ?. qr)
dxdydz
o'u
(4.8)
V.D=4,
(4.e)
=
"=i'":" Dari Persamaan (4.3) dan (4.6) diperoleh
Persamaan (4.9) mengisyaratkan bahwa divergensi veltor rapat fluks listrik tladalah fluks listrik Jglq1 yang dipancarkan per satuan volume yang m€mancarkao fluts t..r.bui=.==Dalam tiga dimensi, persamaan (4.9) menjadi
V.D=ED'+E4*dD.=o
(4.10)
Era,d
untuk sistem koordinat kartesian:
'
="!' -a?t - ? FpF,€
v'D
(4.11)
= *,
s
untuk sistem koordinat silinder:
V'D=9i2t+asboqt - b' r-dr rsinOiO riOl
=.rr
(4.t2)
untuk sistem koordinat bola.
4.3 Penggunaan Hukum Gauss Contoh penggunaan hukum Gauss adalah untuk me4llrt't timbulkan oleh muatan titik q atau muatan garis qt di rEtb-t-
[srrik yang di-
/nfensifas Medan Listrik oleh Muatan Titik Besarnya intensitas medan listrik yang dihasilkan muaftr
til.; J r
pCC ymg berjarak
rdarimuatantersebutdandalamSuaturuangyangdiff^grffimediumg
dapat diturunkan dari hukum Gauss.
, Qz= feB.aS=q S
-
luas
di mana E = vektor intensitas medan listrik arah radiel = ErdS = vektor elemen luas kulit bola pada jarat r dri ft = rdQ . r sin 9dSa, Maka hukum Gauss menjadi O=180'0=36O'
J
0=0' eE? €cos qtto"
(il|'
(4.13)
Iez^,.a,rd0rsbOI=e Q=0"
= q; E =
q
4tw2
t
Medan Elektromagnetika
Terapan
43
lntensitas futeaan Listrik oleh Muatan Ga{is Intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan garis qtyang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus, pada suatu posisi yang berjarak p dari kawat, dapat dihitung dengan hukum Gauss melalui sistem koordinat silinder.
Qn=
$eE.dS=a
S=luas
di mana E
Eu,
dS
pdQdzao
2nL atau
J JenpaQaoz=a 00 eEP (2tr) (L) = g Vektorintensitasmedanlistrik E
4' 'P u. - 2trtp
(4.14)
ffi Tentukan kerapatan muatan fi'ming qv di titik P(3, 4, 5) m untuk masing-masing vektor rapat fluks listrik di bawah ini.
(a)
D=7*2*!r",^'
a^ (b) D=+pctm' p-
(c) n=)pc/mz Solusi
(a) Q,=Y
r=*'.+.*
222 .x- v- z= (-2/27 - 2164 -
2ll25l xlo-6 C,Ei =
-{Jll lClmi
| (b) ,4v-' n=Y D=-lp 9P"=-1= ap - p3- (.;=lr*'* =,f,.*' =
le
^ (c) q,-' = V
ttCtm.
D=
-+?p F'
,rro.-
toatu t
borr
t-:"' (r): drz D, I | =-FT=7-7==o
sa tucasi
r
Bab
4
Fluks Listrik dan Teorema Divergensi (
DenganmenggunakanhukumGaussdanteoremadivergensi,..n**un*ffi -2 I x < ) 3 y < 2m dan -2 s z < 2m unruk D = ^, -z yang dipancarkan dari s'inder dengan dari kubus
a^r,(b)
fluks listrik
;,"rf :f_ d,I "l;3:fiT::
:-,1* o =;;;;
D=
+ *2 *)
4-u^'
p'"
Solusi
(a)
Dengan menggunakan hukum Gauss kita peroleh fluks
Qo=
fo
as
S=luas
=
=
IJ ,o,", + 22
Dra, + Drar) . (dydz
a, + dxdz a, + dxdy ar)
j r, oro, *j r, *0,.j j r, ** i-z -2 J _2 lz lz _2
=(j)'-
G)?z
+(41_,"r,. (oL +(!),_,ah
=0+0+0 =Q Dengan menggunakan teorema divergensi kita peroleh fluks
Q"=lY
Ddv=-JlJ
&.3.il
dxdydz=(I)' ,,r_r(z)2_2+(\\' ,,r?.1,t2-( t \, ,..., , ., + \ x' )-2 lr, )_r'^'-t \')-2 17 )_rt't'-, ttl"-, =0+0+0=0 (b)
Dari hukum Gauss, kita peroleh fluks
a,
=
^{D.dS=
S=luas
=
II f
@ dQ dz)a,
il *la,=(|l,rot\'atl ntnttu
Dari teorema divergensi,
*,u o".or*'* a" = Iv .Ddv = =
Jila diketahui muatan ritik
q.
-llj
(|),ton, r.)i
=
fiaoo
ao a_
-
= 50 pC di O(0, 4, O) m. mualao gris 9l = 100 nC/m terdistribusi
,".urul ;"T;;,, G,& ffi**l*il.];"ii"Ii:11,^*1r"" ryL *,_*; es = 75nc/m2 terdistribusi Fdr pcrmutaan pelar darar togam';_ang bd;t,gH;;:=ff;T'"XsaI;;;:
Med a n Ele ktrom ag netika
(a) (b)
Tenlltukan
vektor intensitas medan listrik di ritik p(0, 0, 5)m.
Tentukan
veRrorTliiat"frifisl-rfimffaiTtik p(0, 0, 5)m.
Te
ra pa
n
45
Solusi
(a) E,= (9 x l0ex50 ' :J-tr 4nesr-=
* l0{) F4^, !:') u,^
x
4l(41)"'
= -6,856a) + 8,57a. kV/m
E:= ;!-j p. p= zrEeop-
-
(18
x t0exl00 x lo-e)
2€o ' " = $a-
E.
E
(b)
5a: m
= 0,36a2 kV/m
ft-vm
75 x lO-e 2(8.854 x
-- a. 4.235a- ""' l0-rr)-(= ''----z "kyrm
= Er + E, + E, = -6,856a) + 13,165a. kV/m.
Vektor rapat fluks listrik di tirik p(0, 0, 5)m
D = €oE = 8,854 x l0=r2 (-6,g56a, + 13,165a.) x = 40,7ay + ll6,6a, nC/m2
103 C/m2
Dengan menggunakan teorema divergensi, tentukan fluks listrik yang dipancarkan dari permukaan bola dengan
jari-jari r = 2 munruk D =
4a,
pClm}.
,\'-
Solusi Transformasi vektor D =
pom: ke sistem koordinat bola menghasilkan 1", _\'D = D,a,+
D;a.e
+
Doao.
di mana
tr-----l(r sin 0 sin d)D6=(i" : L--.--------=tr-, D, = '
sln A stn d)-
I,t-
.
-l
-
.
r- sin- g sin- O s-os O sin O &r - _-_-r_____+_ I
r'
srn- 0 sin.
@)
dan
I ^ -= . '--:--.-1, -o (rsingsinor'
DivD =
lt=
cosd -----------:--,rsin0sind)2
ao1!)-a-91='= lo!= =0--J-,2a, ,sngig-rsin?aQ-
_: - -;;losroMaka fluks listrilnl'a adaldt
or=lDivDdv= 'o'"1 _2r2 drsinododo
I {*
13sin3osin3p
Jrin o-:, rI;i?;-
46
Bab
4
Fluks Listrik dan Teorema Divergensi
(
= -2(ln r)3 (-cor e\6'z
(-l-
.
\srn- @
\'
* z tn ro, Et2\o'' )o
=0 Selain secara eksak terbukti dr = 0, soal ini juga menunjukkan baik teorema divergensi maupun hukum Gauss jika tidak homogen maka mensyaratkan bahwa vektor r"apat fluks listrik D harus serbasama atau homogen, nol. fluks itu adalah
Dengan menggunakan teorema divergensi, tentukan fluks listrik yang dipancarkan dari permukaan bola dengan
jari-ja.i r = 2 muntuk D =
pClmz.
)",
Solusi
.2 , divD=4ff'l dx\ ) =-2=-. xl - ,l sinl 0 cos3 xt
4
Jadi fluks listriknya adalah
O"=ldivDdv= J JJotDr2sinodrdodQ 0 00
2 f tl .r2sin7drd7dQ -l{t;d'r-a;J? = (rn
r)i
rcot g)ff
.
.
'zit *'in o)l'" t,? , - ,,? .. * r7+(l , "'\ t - sln 4 '/,;o 1tt - srn4t3 (l + sin Ql3
(
= (-x0)(0) = 0
Diketahui vektor rapat fluks listrik O
J4".
nC/m:
serba sa.ma Tenurlan flr,ks
lisrik
yang dipancarkan
z
dari permukaankubus
4m<
txtkttut Gauss dan (b) teorema
x,y,z< 4 mdengan mengisrmatan.,lr
divergensi.
Solusi
(a)
Dengan menggunakan hukum Gauss, kita peroleh
Qt= $n 5=luas
as
y=4 z=4
=
fluts lr.'rril
x--4:=!
r={:=4
a=-J;=--l
-r={;=-'{
J !o"av,* J !o,*-
,=42=-4 ,
.-1
=o. o[+l \: /{ t-tr! rrrr. x lor =0nC
I
Jo,a*at
Medan Elektromagnetika Terapan
@f
47
Dengan menggunakan teorema divergensi,
d3;
(ruru dimensi) Div D = dz. '
-3
20 z
Maka fluks listriknya adalah
a"=lDivDdv =
-"
x-4 Y=4
z=4
1: J:)*i"
= 20(3)(8) (0
(+ - *)
='
ffi DiketahuiD=ra,mC/m2danr=Tu,pClm2masing-masinguntukr
lm.Tentukan kerapatan muatan ruang q! untuk (a)
r = 0,5 m,
dan (b)
r = 2 m.
Solusi Untuk kasus sistem koordinat bola satu dimensi kita gunakan persilmaan Qv = div D.
(a)
ev
= div"=
(b) 4y:divD=
3 mC/m3, untuk
5+=
5y
=
r = 0,5 m
p ,",^' =12,5 ttctm3
ffi Dengan menggunakan hukum Gauss, tentukan fluks dari permukaan bola dengan jari-jari
D = 5)a, C/m2.
Solusi D=
r = I m untuk
DF,+ Drau + Dra,
=5rsin 0sin
@(sin
gsin Qla.+ 5rsin 0sin p(cos 0sin
@)
a, +5r
sin 0sin @(cos 0) aQC/m2.
Karena D pada sumbu-y, jadi 0 = 9O' = konstan: d = 90" = konstan; dS = 0, fluks = 0.
ffi Jika diketahui vektor rapar flr'ks listrik D = fa, C/m2. Tentukan: (a) kerapatan muatan ruang qdi r = 5 m, (b) fluks listrik yang dipancarkan dari permukaan bola berjari-jai r = 5 m dan berpusat di titik asal O(0,0, 0), (c) gradien potensial di r = 5 m, (d) beda potensial antara titik di permukaan bola dan titik asal, apabila
v dt O(0,0, 0) =
0.
Solusi
(a)
Kerapatan muatan ruang di
r = 5 m adalah
48
Bab
4
Fluks Listik dan Teorema Divergensi
'(
dt-4 Q,=DivD= r'dr '
Untuk sistem koordinat bola 1 dimensi dan notasi turunan parsial berubah, jadi turunan total atau
DivD= 4ro =4, rar = 20 C/m3.
(b)
Fluks listrik
Qs
=
! n, o, ='j'"f'=f" V=volume
4r dr . 12 sing do
dQ
r=0e=0 O=0
=
(c) (d)
(/):l
(cos flortfi @)8=3, =
i856,25 C
Gradien potensial
25 ,-a- v/m"' -E = -+ -' as = - 8,854 x l1-tz Beda potensial
r5 v=
-
I
fi,294
x
1010 12
dr = 4,i x lor2
v
r<)
Soal-soal 4.1
Diketahui
,
=
pclmz
i",
- Dengan
menggunakan reorema divergensi. hitunglah fluks yang r = 3 m.
dipancarkan dari permukaan bola dengan jari-jari 4.2
Tentukan fluks listrik yang dipancarkan dari permukan bola b€rjari_jari
(a) Q= ,-{'2 (b) q, = -|
("r- + ))
(c) 4.3
q, =
r = I m untuk muatan:
+ t2)ng nC/m
-o-\-__=(x'+y'+z')
nClm2
Diketahui muatan-muatan irlk Qt = 50 nC di titik A(3, 0. 0t rnO: = __i0 nC di ritik Br0. 3, 0) m, dan Qz= 5Q nC di titik C(0, 0,^3) m serta muatan er= l0O nOm rerdigltd rrr-aa dr sepanjang kawat lurus yang terletak di -r = 3 mi J = 4m. Hitunglah: (a) vektor rapat fluks listrik D di titik p(3, 3, 3) m, (b) fluks listrik yang dipancarkan dari kubus yang sisi-sisinra rhh'rr e:rlcb: { < < -l m; -4 < y < -r
4mdan4
(c) fluks listrik
yang menembus permukaan bola berjari-jari
o(0, 0, 0). 4.4
r=46 h
baprsat di titik
asal
Terdapattigabolayangmasing-masingberjari-jarir=3m:r=lu$trr=ltr.rraberpusatdititik asal O(0, 0, 0). Masing-masing bola tersebut diberi muatan Fi4 qr,,. = il €,m:: C,= = lf O0 "i#, dan qr, = 100 nC/m2 berturut-turut. Hitunglah: (a) fluks yang dipancarkan n".mutu* bora berjari-jai r = 4 a cr trrrpr d tirik asar o(0, 0, 0), (b) vektor rapat fluks listrikfqD di titik p(1, I, l) m.
4-5
Diketahui muatan titik q = 50 gC di titik A( r. r. l rm dm crr sepanjang garis x = 2 m. ; = 2 m. di udara bebas- Tcl.n*(a) vektor rapat fluks D di ririk 43. {. _imrb) r'ektor intensiras rEdan lijrit E d utit 6- 7r m-
er5.
g:ris hmogen QL=
rN
nc/m di
49
Medan Elektromagnetika TeraPan
4.6
Vektor-vektor intensitas medan listrik berikut berada di ruang vakum:
(a) f = 4u, * (b) . (c)
B
"
= =
59-u, V/m di titik P(3. 4, 5) m
[Puor * +L.a., y. *1 pz #u,V/mdititik
V/m
dititik P(5 m.30o.4
P(5 m, 0
=
45", Q
=
m)
45")
Hitunglah kerapatan muatan ruang dari vektor-vektor intensitas medan listrik di atas pada masingmasing titiknya. 4.7
Bidang x = 0 merupakan bidang dengan muatan permukaan 4sr = 100 nC/m2, bidang y = 0 merupakan bidang dengan muatan permukaan esz = -lO0 nC/m2, dan bidang z = 0 merupakan bidang dengan muatan permukaan 4sr = 100 nC/m2 di udara bebas. Tentukan vektor rapat fluks listrik D di titik P(1,
2.3) 4.8
m.
Dikerahui vektor keraparan fluks listrik D = 50r3a, 1tClm2 di dalam bola yang pusatnya di titik asal O(0, 0, 0) dan jari-jarinla r = 1 m. Di posisi r = 0,5 m, hitunglah:
(a) kerapatan muatan ruang qv, (b) fluks lishik yang dipancarkan
4.g
oleh bola dengan jari-jari
r = I m dan berpusat di titik asal O(0, 0' 0).
pluks listrik O = f + + ZO"-') nC/m2. ,-'r.-.-----'---Diketahui vektor rapat
\r, ) (a) Tentukan kerapatan muatan ruang 4v di r = 5 m. (b) Berapakah fluks listrik yang dipancarkan dari permukaan bola yang berjari-jari r = 5 m
dan
berpusat di titik asal O(0, 0, 0). rapat fluks listrik D = ar+a) 7rC/m2. Nyatakan D di dalam sistem koordinat bola. Tentukan muatan listrik yang dicakup oleh bola jari-jari
4.10 Diketahui vektor
(a) (b)
4.L1
Diketahui muatan rrrffiE ev =
berjari-jari
)
r=2m
pAmz .Tentukan fluks listrik yang dipancarkan oleh: (a) bola yang
r = 2 m dan berpulat di titik asal O(0, 0, 0), (b) kubus yang sisi-sisinya
dibatasi oleh
-2<x,y,232m. 4.12 Diketahuivektorrapatflukslistrik D=
10-9
r;nz Q^p+ffrot'1tC/m2.Tentukanmuatantotaldi
dalam setengah silinder 0,1 < p( 5 cml 0 < @<.lr' dan 0 Gauss dan (b) teorema divergensi.
4.13 Diketahui sebuah silinder
dengan
jari-jari p = 5
".
cm dengan menggunakan (a) hukum
dan sumbu-z = 25 cm. dan vektor rapat fluks
listrik
o = 4"" pCtm2. p"
(a) (b)
Tentukan kerapatan muatan ruang qv di p = 4
.-.
Tentukan Q di dalam bola jari-jari 2 < r < 5 cm.
4.14 Diketahui vektor
rapat fluks listnk D = -50ra. .rflm: di dalam bola berjad-jari
(a) Tentukan Dir D. (b) Hitunglah mrr.tan total l ang berafu .li dffirfl 0 5 r < 0. 5 4.15
r=
I
m.
m.
Diketahui muatan guis qt= 5 I{Jm crdisrrbusi Err Fda Larr-ar berbentuk lingkaran dengan jarijari r = 25 cm, pusatnya di titik asal OlO, O- Ol, dd kawat lingkeran terletak di bidang XOf. Tentukan potensial V dan vektor intensitas medan listrik E di titik Pt0. 0, 25) cm.
