www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Fizika nyári hónapokra 1. Távolságmérés A mozgások mennyiségi leírásának egyik eleme a testek egymáshoz viszonyított távolságának számszer˝u jellemzése. Amikor azt mondjuk, hogy egy test távolodik t˝olünk, akkor azt gondoljuk, hogy a test t˝olünk mért távolsága n˝o. Két pont távolságának, egy szakasz hosszának mérése els˝o pillanatban elég nyilvánvalónak t˝unik. Abból kell kiindulnunk, hogy van egy beosztásokkal ellátott méterrudunk, amelyet merev testnek tekintünk, vagyis úgy gondoljuk, hogy a hossza ellen˝orizhetetlen, kiszámíthatatlan hatásokra és a mozgatás miatt nem változik meg. Ha felemeljük a méterrudat és átszállítjuk az ország másik végébe, akkor az azonos távolságokat azonosaknak találjuk. Nem tudnánk azt pontosan megmondani, hogy mit jelent az, hogy „azonos távolságokat azonosaknak találjuk”? Vagyis: mikor azonos két távolság? És hogyan találhatnánk azonos távolságokat különböz˝onek? Nagy nehézségekbe ütközne pontosan megmondani – s˝ot lehetetlen –, hogy mit jelent ez, hiszen mivel is ellen˝oriznénk, hogy a rúd hossza állandó. Ezek nyugtalanító kérdések, és arra kényszerítenek bennünket, hogy elmélkedjünk a távolságok „egyenletességér˝ol”. Az ember hosszú fejl˝odéstörténete során kialakult az állandó hossz érzete. Ez sokkal korábban történt, mint az embernek az az igénye, hogy megmérje – például – a fekhelye hosszát. Ha a világgal ismerked˝o ember minden rudat olyannak látott volna, mint egy kígyót, akkor a tér mai fogalmai, de még a hosszúság fogalma nem alakult volna ki elméjében. Elemi tapasztalatainak hosszú folyamatában jöttek létre azok a feltételek, amelyek lehet˝ové tették a távolság, hosszúság fogalmának megszületését. Ezek igen sokáig nem voltak tudatosak, és amikor azzá váltak, hamarosan megszületett a tudomány, a földmérés és a geometria. A távolság mérésének feltételei tudomány el˝ottiek, és ezeket adottnak kell tekinteni. Választottunk tehát egy rudat (méterrudat), egy olyan testet, amelynek a hossza természetesen nem változik. Az egység választásának lehet˝osége a távolság „maradandóságán”, egyenletesség hitén múlik. Ez a gondolatmenetünk kiindulópontja: a méterrúd hosszát állandónak tekintjük, és ehhez viszonyítjuk más rudak hosszát, és ellen˝orizzük más rudak állandó hosszát. Természetesnek vesszük, hogy nem csak mi rendelkezünk ilyen rúddal; tetsz˝oleges számban, kell˝o pontossággal reprodukálható. Azt is elfogadjuk, hogy a méterrudat egyenletesen beosztásokkal látjuk el. Azt is elfogadjuk, hogy ezek a beosztások „egyenletesek”. Az a kérdés, ugyanis, hogy mit is jelent, hogy egy méterrúdon száz egyenletes beosztást teszünk? Honnan tudjuk hogy az els˝o század ugyanolyan hosszú, mint az utolsó? Ezeket a feltevéseket sem bizonyíthatjuk mérésekkel. Rá kell térnünk a kit˝uzött feladat megoldására. Tegyük fel tehát, hogy adott valamely anyagi test két pontja és a két pontot összeköt˝o szakasz. A feladat a két pont távolságának, vagyis a szakasz hosszának mérése. A mérést a következ˝oképpen hajtjuk végre. A méterrúd egyik végét hozzáillesztjük az egyik ponthoz, és leolvassuk, hogy a másik pont a méterrúd melyik beosztásával esik egybe. A távolságmérés alapja tehát a méterrúd beosztásainak és a két pontnak, a vizsgált szakasz végpontjainak az egybeesése, (koincidenciája). Nem jelent igazi problémát az sem, ha a két pontot összeköt˝o szakasz hosszabb, mint a méterrúd. Ekkor a vizsgált szakasz egyik végpontjától kiindulva egymás után több méterrudat fektetünk le, és megszámoljuk, hogy hányszor fektethet˝o le úgy méterrúd, hogy a második 1
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
végpontot még nem érjük el, azután az utolsó méterrudat is lefektetve leolvashatjuk a beosztás mellett a pont helyzetét. E két adatból megkapjuk a két pont távolságát, azaz a két pontot összeköt˝o szakasz hosszát. A vázolt eljárás problémamentesnek látszik: valóban, a pontok egybeesését könynyen ellen˝orizhetjük mindaddig, amíg a méterrúdhoz képest a vizsgált szakasz áll. Sokkal nehezebb annak a problémának az átlátása, hogy mit tegyünk abban az esetben, amikor a vizsgált szakasz mozog hozzánk képest. Hogyan mérjük meg a mozgó szakasz hosszát álló mér˝oeszközzel? Arra kérjük az Olvasót, hogy gondolkozzon el ezen. Nagy sikernek könyvelnénk el, ha az Olvasó belátná, hogy ez a mérési feladat igen nehéz probléma. Nem lehet ugyanis visszavezetnünk a feladatot álló szakasz hosszának álló mér˝oeszközzel való mérésére: semmiféleképpen nem tolhatjuk a méterrudat a szakasszal együtt.1 A távolságméréssel kapcsolatban még egy fontos hallgatólagos feltételezésre hívjuk fel az Olvasó figyelmét. A távolságmérés leírásánál feltettük, hogy az a két pont, amelyek távolságát mérjük, úgy viselkedik, mintha geometriai pont lenne. Kiterjedés nélküli, és világosan megkülönböztethet˝o a környezetét˝ol. Egyediségükhöz sem férhet semmiféle kétség. Ezért a két pont távolsága elvben tetsz˝oleges pontossággal mérhet˝o: a mérés pontosságának a méterrúd „faragatlan” volta, meg a mi kényelmességünk szab határt. Makroszkopikus világunkban, mindennapi tapasztalataink szintjén a kis testeket valóban lehet úgy modellezni, mintha pontok lennének, ezeket pontszer˝u testeknek vagy tömegpontoknak nevezzük. Ilyenek a merev testek szélei, a merev rudak végei. Ezek jól megkülönböztethet˝ok, világosan elütnek a környezetükt˝ol, individualitásuk szembeötl˝o.2 Meg kell állapodnunk abban, hogy mi legyen a távolság egysége, melyik rúd legyen egységnyi hosszú. A kultúra története azt mutatja, hogy az emberek sokféle tárgy hosszát tekintették már egységnyinek, így különböz˝o hosszúságegységek keletkeztek: hüvelyk, könyök, láb, yard stb. Az elmúlt egy-két évszázadban azonban egységessé vált a méter használata. Ennek a hosszúságegységnek a mindnyájunk számára kétségtelen egyetlen Földhöz van köze, olyan „tárgyat” választotunk mér˝oeszköz˝ul, amely mindig kéznél van és amelyet „nem hagyunk el”, a Földet. A Föld f˝okörének 40 milliomod részét tekintjük 1 méternek, a méter jele: m. A Föld egyenlít˝ojének a hossza tehát 40 000 000 m. A gyakori mértékegységek a méter többszörösei, például a kilométer (km) és törtrészei, például a centiméter (cm), a milliméter (mm). Használatos még több más mértékegység, például csillagászati méretekben a fényév. Ez az távolság, amelyet a fény 1 év alatt befut.3 1
A következ˝o ötlet megvalósítása célra vezethet. Tegyük fel, hogy egy hosszú u˝ rhajón utazók az u˝ rhajó hosszát L0 -nak mérik. Ennek az u˝ rhajónak a hosszát egy földi navigációs központban is szeretnék megmérni. Ezért megfigyelik, hogy menynyi id˝o telik el, amíg az u˝ rhajó eleje és a vége elhalad mellettük. Az u˝ rhajó utasai is megmérik, hogy mennyi id˝o alatt haladt el mellettük a navigációs központ. Ebb˝ol a két id˝otartamból és az u˝ rhajóban mért L0 saját hosszból meg lehetne határozni azt, hogy a navigációs központból mekkorának mérik a mozgó u˝ rhajó hosszát. A nehézséget nyilván az okozza, a hosszúságméréskor felhasználjuk az id˝otartamok mérésének – a következ˝o fejezetekben tanulmányozott – kérdéseit. 2 A nagyon kis objektumok világában furcsa módon a pontok nem igazán pontok, „elmosódnak”. 3 Jó lesz el˝ore jelezni, hogy a fizikai mennyiségeket általában d˝olt vagy félkövér bet˝uvel szedik a könyvekben, mértékegységeket pedig „közönséges” álló – versal – bet˝uvel. A távolságot méterben mérjük, a mértékegységet m-mel jelöljük. Legyen két pont távolsága d = 2 méter. Azt, hogy d mértékegysége m , a következ˝oképpen fejezzük ki: [d] = m. Más mennyiségek és mértékegységeik esetén is hasonló jelölést alkalmazunk.
2
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
2. Id˝otartamok mérése A mozgások mennyiségi leírásának másik eleme a történések idejének számszer˝u jellemzése. Az id˝o a történések folyama. A folyamatok mutatják, hogy múlik az id˝o: a hajó halad a híd alatt, a vonat mozog a pályán vagy a tárgyak a vonatban. Az id˝ot az anyagi testek hozzák létre. Különbözö testek különböz˝o id˝oket, vagy azonosokat? Ugyanúgy telik az id˝o a budapesti utcán, az esztergomi Bazilikában és távol a Naprendszert˝ol egy bolygón? Elméleti meggondolások, feladatmegoldás, valamint a hétköznapi fogalomhasználat szempontjából is fontos, hogy különbséget tegyünk két fogalom között, különböztessük meg az id˝opont és az id˝otartam fogalmát. Amikor id˝omérésr˝ol beszélünk, akkor ezen az id˝otartamok mérését értjük. Ha átgondoldjuk a problémát, nyilvánvalónak látszik, hogy id˝otartamot tudunk mérni, id˝opontot nem. Az id˝opontok „mérése” összetettebb kérdés, hasonlóan ahhoz, hogy két pont távolságát mérjük, és csak azután fogunk áttérni a térbeli pontok „helyének” jellemzésére. Id˝otartamot órával mérünk. A pontos gondolkodás érdekében részesítsük el˝onyben a másodpercmutatót, hiszen ez méri a tel˝o id˝ot; a másik két mutatónak egyel˝ore csak az a szerep jusson, hogy számolják a másodpercmutató körülfordulását (a nagymutató egyet ugrik egy körülfordulás után stb.) Elvárjuk az órától, hogy jól, helyesen járjon: ne késsen, ne siessen. Mi módon tudjuk ezt ellen˝orizni? Például a televízió képerny˝ojén felt˝un˝o óra segítségével: hozzáigazítom az órámat ma este, és holnap este megnézem, hogy ugyanazt mutatják-e, azaz ugyanannyi id˝otartamot mért-e a két óra a két összehasonlítás között. Gyakorlatban ezt helyesen tesszük, de a probléma nincs megoldva: ki a megmondhatója, hogy a televízió órája „valóban” jól m˝uködik-e? Mihez hasonlítsuk a televízió óráját? Az egyik óra járását másik órával ellen˝orizni nyilvánvalóan csak a probléma elodázása: az órákat emberi kéz alkotta, a természetben nem teremnek órák. A régi egyiptomi emberek leszúrtak egy rudat a földbe. Az árnyék mozgását figyelték a földön. Úgy gondolták, hogy az árnyék egyenletesen halad, hiszen – err˝ol meg voltak gy˝oz˝odve – a Napisten szekere egyenletesen megy az égen. Majd kés˝obb jöttek mások: o˝ k úgy gondolták, hogy a lecsorgó víz mozgása egyenletes, így alkották meg a vízórát. Mások arra esküdtek, hogy a homok egyenletesen pereg le egy kis nyíláson, o˝ k elkészítették a homokórát. Kés˝obb voltak olyanok, akik a leng˝o test mozgásának az egyenletességére fogadtak: o˝ k az ingaórával lepték meg a világot. Mostanában vannak olyanok, akik úgy vélik, hogy bizonyos kvarckristályok rezgése az egyenletes, ezek az emberek kvarcórákat terveznek. Melyik óra jár egyenletesen? Hogy jobban megvilágítsuk a kérdést, képzeljük el, hogy valamilyen járványos betegség következtében a világon minden óra tönkremegy, elromlik, két órát kivéve. Az egyik a húszéves vekkerórám, a másik egy központi fizikai kutatóintézet bonyolult atomi rezgéseken alapuló órája. Nyilvánvaló, hogy a világ két táborra szakadna: az egyik tábor a vekkerórának hinne, lehet, hogy ezek lennének kevesebben, a másik tábor az atomi órának. Milyen értelmes érvet hozhatnának fel az egyik táborban, hogy a másik tábor híveit áttérítsék magukhoz? Semmiféle érvet: ha a vekkeróra hívei azt mondják, hogy az o˝ órájuk jár jól, és az atomi óra siet, akkor erre nyilván azzal válaszolnak az atomóra pártján állók, hogy bizony az o˝ drága órájuk jól jár, és a vekker késik. (Ezért félrevezet˝o az, amikor beszámolnak arról, hogy megalkották a legpontosabb órát, amely olyan pontos, hogy több 1000 évenként csak 1 3
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
másodpercet késik vagy siet. Mihez képest? A vekkerünkhöz képest? Ahhoz képest több napot is. Saját magához képest pedig abszolút pontosan jár. A beszámolónak úgy van értelme, hogy olyan precíz technológiát sikerült megvalósítani, amellyel el˝oállított két óra egymáshoz képesti eltérése több ezer évenként csak egy másodperc.) Az id˝otartamok mérése azzal kezd˝odik, hogy választunk egy mozgást, amelynek egyenletességében nem kételkedünk. Ezzel a mozgással definiáljuk az id˝otartam-mér˝o eszközt, az órát. Ezzel értelmezzük az id˝otartamok egységét is. Alapvet˝oen fontos: az ember, történelmi fejl˝odése során, el˝obb érezte az egyenletességet, mint ahogy kialakult az id˝otartam fogalma. Az egyenletesség érzete a vérében van, a biológiai ritmusában. Az egyenletesség érzete volt a feltétele annak, hogy kialakulhatott az id˝otartam meglehet˝osen elvont fogalma. Ha o˝ seink a történelem el˝otti korban nem tudták volna megkülönböztetni a mozgásokat aszerint, hogy melyik egyenletes és melyik nem, akkor az id˝otartamok méréséig soha nem jutottak volna el. Az, hogy melyik mozgást választjuk az id˝otartam-mérés alapjának, végs˝o soron nem fizikai kérdés. Ha valakinek a pszichikai érzéke azt súgná, hogy az elejtett kövek mozgása a legegyenletesebb mozgás, akkor a szabadon es˝o testek mozgásával is értelmezhetné, az azonos hosszúságú id˝otartamokat úgy, hogy egyenletes beosztást helyez el egy függ˝oleges pálcán, és azt mondja, hogy a szabadon es˝o test azonos távolságot azonos id˝otartam alatt tesz meg. Ha így járna el, akkor – feltéve, hogy jó megfigyel˝or˝ol és logikus gondolkodóról van szó – újraépíthetné a fizika tudományát, amely alapvet˝oen különböznék a mi általunk adott felépítést˝ol. Ennek ellenére h˝uen tükrözné a természet vonásait, mindent ugyanúgy ki lehetne számítani, mint a mi fizikánkban, csak sokkal bonyolultabban.4 A legegyszer˝ubb fizikai jelenségeket is öles képletekkel írná le. Helyes fizikát építene fel, csak rettent˝oen bonyolultan. Arról azonban még nem volt szó, hogy mi melyik mozgást választjuk az id˝otartam-mérés alapjául. Válasszuk a Nap mozgását, pontosabban: a Föld tengely körüli forgását. Nem ügyelve most túlságosan a pontos fogalmazásra, az id˝otartamok mértékegységéül a Föld körülfordulási idejének (1 nap) a 24-szer 3600-ad részét vesszük, és ezt másodpercnek nevezzük, jele s – a latin secundum szóból. (Az így definiált órához viszonyítva az atomok rezgései – igényeinknek megfelel˝oen – egyenletesek, és a kvarcórák járásában is megbízhatunk.)5 Az id˝otartamok mérését a Föld tengely körüli forgásával – tehát végs˝o soron a napórával – mérjük. A Föld forgásához igazított rugós órák, ingaórák, kvarcórák mutatói körbejárnak, és elmozdulásukról leolvasható a helyben eltelt id˝o. Gondoljunk bele: ezzel az id˝omérést is távolságmérésre vezetjük vissza. 6 Figyeljünk fel egy nagyon fontos dologra. Két esemény közötti id˝otartamot egy órával mérjük. Meg tudjuk mondani, hogy mennyi id˝o telt el két tapsolásunk között, mennyi id˝o telt el míg elolvastunk egy oldalt, vagy mennyi id˝ot vett igénybe, amíg bevásároltunk. Mindezt 4
Ptolemaiosz – Kr. u. 150. – körül kidolgozott az égitestek mozgásának leírására egy alkalmas modellt és egy matematikai eljárást, amellyel nagyon jól és pontosan el˝ore lehetett jelezni a bolygók mozgását, meg lehetett jósolni a Nap- és Holdfogyatkozásokat, a bolygók egybeesését. Ez az elmélet másfél ezer éven keresztül „tartotta magát”, és ma is alkalmas leírása lehetne a bolygók mozgásának, csak borzasztóan bonyolult. Van nála sokkal egyszer˝ubb és pontosabb. 5 Az alapvet˝o fizikai mennyiségeket ma – magas szint˝u fizikai, kémiai tudományos eredményekre támaszkodva – másként értelmezik, mint mi. Így van ez a távolsággal, az id˝otartammal, a tömeggel és néhány más mennyiséggel. Mi természetesen nem támaszkodhatunk ezekre a tudományos eredményekre, ezért a fizika története során korábban kialakult és kézenfekv˝o definíciókat használjuk. 6 Kivéve, ha az óra ütéseit számoljuk. Látni fogjuk: végs˝o soron minden mérés távolságmérés, kivételt képez a számlálás, mint például az óra ütéseinek vagy az elbomló atomoknak megszámolása.
4
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
mutatja az óra a karunkon. Nem tudjuk azonban megmondani, hogy mennyi id˝o telt el egy budapesti tapsolás és egy debreceni kiáltás között. Ezt egy órával nem lehet mérni. Nincs olyan óra, amely megmutatná két távoli esemény között eltelt id˝ot. Ebben a pontban arról volt szó, hogy a tér egy helyén hogyan lehet megmérni két esemény között eltelt id˝ot, az id˝otartamot. Szó sem volt arról, hogy mit jelent a tér különböz˝o helyein bekövetkezett események közötti id˝okülönbség, sem arról, hogy egy esemény mikor következett be. Ez összetettebb kérdést, az id˝o szinkronozálásáról szóló pontban fogjuk megvizsgálni.
3. Tér és koordinátarendszer A fizikai testek mozgása – így a pontszer˝u testek mozgása is – a természet többi részéhez viszonyítva vizsgálható. Egy anyagi test és a hozzá képest nyugvó testek együtt alkotják azt a teret, amelyben a jelenségeket, a testek mozgását vizsgáljuk. Ha a mozgó testek, például a járm˝uvek mozgását a talajhoz viszonyítva vizsgáljuk, akkor a talaj, a házak, a fák alkotják a teret. Ebben a térben mozognak az autók, az emberek stb. A mozgó autó jelenség ebben a térben, tehát – célszer˝u felfogásban – nem része a térnek. A teret anyagi testek hozzák lére, különböz˝o testek különböz˝o teret, tehát a tér viszonylagos, abszolút tér önmagában – mint üres színpad – nem létezik.7 A térben a tárgyak távolsága mindig megmérhet˝o. Két pontszer˝u test távolságát a közöttük lév˝o, az o˝ ket összeköt˝o legrövidebb úton (útvonalon) mérjük. A legrövidebb útvonal az egyenes szakasz. A térben kijelölhet˝ok olyan vonalak, amelyek a geometria egyeneseinek felelnek meg, így adott a két ponton átmen˝o szakasz is. Azt már tudjuk, hogy miként mérjük a szakasz hosszát, vagyis a két pont távolságát. Ha a térben rögzítünk egy pontot – ez a tér origója, kezd˝opontja –, akkor ebb˝ol a pontból kiindulva különböz˝o irányokban elhelyezked˝o tárgyak távolsága meghatározható. Szemléletünk szerint nyilvánvaló, hogy mit értsünk az adott pontból kiinduló egyenesek szögén. Azt is nyilvánvalónak tartjuk, hogy megadható az origón áthaladó három egymásra mer˝oleges egyenes. Ezek az egyenesek fizikailag kijelölhet˝ok, például úgy, hogy az adott pontot egy távoli csillaggal összeköt˝o fénysugár reprezentálja ezt az egyenest. Szemléletesebb példa: a szoba sarka és az ide összefutó élek. Az adott pontból kiindulva az egyenes mentén méterrúddal méréseket végezhetünk. A mérést mindkét irányban elvégezhetjük. Az egyik irányban mért távolságokat pozitív el˝ojellel látjuk el, a másik irányban mért távolságokat negatív el˝ojellel látjuk el. A három egymásra mer˝oleges tengelyt megfeleltetjük a geometriából ismert derékszög˝u koordinátarendszernek. A tengelyeket els˝o, második, harmadik tengelynek nevezzük, gyakoriak az x tengely, az y tengely és a z tengely elnevezések is. Az els˝o, a második és a harmadik tengely irányának megválasztása az 1. ábrán látható módon történik: az els˝o tengely pozitív iránya megfelel a jobb kezünk hüvelykujjának, a második tengely pozitív iránya a mutatóujjunknak, és a harmadik tengely pozitív iránya pedig a középs˝o ujjunknak. A három tengely mentén a méréseket ugyanazzal a méterrúddal végezzük, a tengelyek beosztása tehát ugyanaz, és a távolságot a tengelyek mentén méterben (vagy többszöröseiben, 7
A mozgás pontosan azért viszonylagos, mert a tér viszonylagos.
5
www.baranyi.hu
Y
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
x
Z
1. ábra. vagy törtrészeiben) mérjük. Egy olyan pont, amely valamelyik tengelyen helyezkedik el, ellemezhet˝o a tengelyek közös pontjától az egyenes mentén mért el˝ojeles távolsággal, a helykoordinátával. Ha a pont nincs rajta a három tengely egyikén sem, akkor általános esetben helyének a meghatározása három koordináta megadását jelenti. Ez azért lehetséges, mert a koordinátarendszert – az egymásra mer˝oleges, fizikailag kijelölt, irányított egyeneseket – megfeleltethetjük a geometriai háromdimenziós, derékszög˝u koordinátarendszernek. Ahogyan a derékszög˝u koordináta-rendszerben megadhatjuk egy geometriai pont három koordinátáját, ugyanúgy a térben is megadható egy tetsz˝oleges anyagi pont három koordinátája. Ezek a koordináták mérésekkel meghatározhatók. Ha a térben egy pontszer˝u test helyét az (5 m, 3 m, −2 m) rendezett koordinátahármas adja meg, akkor ez a következ˝oket jelenti: a pont a koordinátarendszerben a második és a harmadik koordinátatengely síkjától 5 méterre van, az els˝o tengely pozitív fele irányában; az els˝o és a harmadik tengely által meghatározott síktól 3 méterre van, pozitív irányban mérve; a harmadik tengely negatív fele irányában az els˝o és a második tengely által meghatározott síktól 2 méterre van, amint ez a ?? ábrán látható. A pont helyét adó vektort helyvektornak nevezzük: a helyvektort gyakran r-rel jelöljük: r = (x, y, z). A helyvektorok halmazát X3 -bel8 jelöljük: r = (5 m, 3 m, −2 m) ∈ X3 . Sok esetben a mozgás egy síkon megy végbe úgy, hogy ezt a síkot azonosítani lehet két koordinátatengely síkjával. Ekkor a harmadik koordinátától „eltekintünk”, a mozgást kétdimenziósnak tekintjük. Ilyenkor a helyvektor is kétdimenziós, a helyvektorok halmazát pedig X2 -tel jelöljük, például: r = (3 m, −1 m) ∈ X2 . Az is gyakori, hogy a mozgás egyetlen egyenesen megy végbe, a terünk egydimeziós. Ekkor a helyvektort azonosítjuk egyetlen koordinátájával: 2 m ∈ X1 = X.
Az id˝o szinkronizálása A teret, mint láttuk, anyagi testek hozzák létre. Az id˝o múlását is az anyagit testek folyamatai határozzák meg. Lényeges különbség, hogy a tér pontjai kézzelfogható objektumok, ilyen pontok között mérjük a távolságot. Az id˝opontok korántsem ilyen egyszer˝u és szemléletes dolgok. Egy óra (a másodpercmutatójával) az el˝oz˝oekben mondottak szerint id˝otartamokat mér, de mindig csak az o˝ két eseménye közötti id˝otartamokat. Egyetlen órával nem lehet megmérni, 8
Ejtsd: „x köb” vagy „x ad három”.
6
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
hogy mennyi id˝o telt el két különböz˝o helyen lejátszódó esemény között (például egy budapesti koccintás és egy debreceni pofon között)! Más szóval megfogalmazva: az óra – most csak a m˝uköd˝o szerkezetére gondoljunk, a fogaskerekekre, az ingára, a kvarackristályra stb. – nem mondja meg az eseménynek az id˝opontját. Profán példával: a gyomrunk is egy óra, az éhség fokával méri, mennyi id˝o telt el a reggeli és az ebéd között. De azt nem mondja meg, mikor volt a reggeli és mikor az ebéd. Nem mondja meg azt sem, hogy én ugyanakkor reggeliztem-e mint a város másik vegében lév˝o barátom, vagy hogy mi történik az utcán, amikor kinézek az ablakon. Ez a kérdés azonban sokáig nem volt kérdés, az emberek „tudták” a választ. Arra a kérdésre, hogy mi történik most az utcán, a válaszhoz elég volt kinézni az ablakon, és látni, hogy mi történik. Mi történik most a távoli hegy oldalán? Elég ha odanézünk, és látjuk, hogy ott egy ember éppen jön le a hegyen. Mondhatom, hogy a vadász pontosan akkor süti el elsüti a puskáját, amikor én felhörpintem az italomat. Az egyidej˝uség problémáját az ember mindig megoldotta, és ennek az eszköze a „ végtelen sebességgel” terjed˝o fény volt: oda nézett és azonnal látta,. . . . A hétköznapi egyidej˝uség-fogalom az egyszerre látáshoz köt˝odik. De ha nem látunk rá a hegyoldalra, mert a vadász a hegy túloldalán halad, akkor nem tudom megmondani, hogy éppen most mi történik azon a távoli helyen. Persze, rendelkezésre állnak a mobil-telefonok. Fel kell hívni, és azonnal tudjuk, hogy most mit tesz a vadász? Tudjuk jól, hogy a mobiltelefon jele nem végtelen sebességgel terjed. Amikor megismertük a fény és más elektromos jelek természetét, a terjedés véges gyorsaságát, akkor látszott, hogy az ilyen kérdések súlyos problémákat vetnek fel. A kérdés tehát a követekez˝o. Mit jelent az, hogy most, amikor felhörpintem az italomat, abban a pillanatban (id˝opontban) a vadász a hegy túloldalán elsüti a puskáját? Id˝opontokat úgy adunk meg, hogy valamely eljárással meghatározzuk, az órák mely kettyenései egyidej˝uek. Egy mesébe ill˝o történettel világítsuk meg a problémának és megoldásának lényegét! Képzeljük el, hogy egy tengerparti város nagyhatalmú polgármestere fejébe veszi, hogy a kiköt˝oben horgonyzó összes hajón a kapitányok órája együtt járjon az o˝ órájával. Ezért megajándékozza a hajók parancsnokait ugyanazon gyártmányú zsebórával. Természetes feltételnek t˝unik, és elvben biztosítható, hogy a térben minden óra azonos elven m˝uködik, szerkezetük azonos, vagyis ugyanabból a gyárból kerültek ki, és ugyanabban a sorozatban készültek. Ezután a polgármester megkéri a kapitányokat, hogy állapítsák meg, milyen messze horgonyoznak a világítótoronytól. Osszák el ezt a – méterben mért – távolságot 330 m/s -mal, a hang sebességével. Állítsák el˝ore – az álló – órájukat déli 12 óra után pontosan annyival, amennyi id˝ore szüksége van a hangnak, ahhoz, hogy a világítótoronytól a hajóig érjen. Ekkor – el˝ore megbeszélve – az órát pontosan akkor indítsák el, amikor a világítótoronyban 12 órakor elsütött ágyú hangja a hajóhoz érkezik. Ezzel az eljárással, össze lehet igazítani a tér pontjaiban nyugvó órák járását, vagyis értelmezhetjük az egyidej˝uséget, az id˝opontokat; például egy koccintás az egyik hajón és egy pofon a másik hajón azonos id˝opontban, egyidej˝uleg történik, ha a két hajón az órák ugyanazt – például délután 4 óra 10 percet – mutatják. Hangsúlyoztuk, hogy a hajók a kiköt˝oben horgonyoztak. Kérdés: hogyan igazítható hozzá a világítótorony órájához a kiköt˝ob˝ol kihajózó, vagy közeled˝o hajókat irányító parancsnokok órája? Könny˝u azt mondani, hogy ugyanazt kell tenni, mint a nyugvó hajók esetén. Tegyük is meg. Gondoljuk el, hogy a kiköt˝ob˝ol távolodó hajó épp ott van az egyik horgonyzó hajónál a koccintáskor, a kiköt˝obe érkez˝o hajó pedig épp ott van a másik horgonyzó hajónál a pofon
7
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
elcsattanásakor. Igaz-e hogy a két mozgó hajó órája is 4 óra 10 percet mutat? Nem egyszer˝u a válasz. A mindennapi érzésünk azt mondja, igen: az egyidej˝uség abszolút, azaz független attól, milyen mozgásállapotú órákat igazítunk egymáshoz.9 A nehézséget az okozza, hogy nem tudjuk, hogy milyen sebességgel érkezik az ágyúlövés jele a mozgó hajóhoz. Összeadódnak a sebességek? Erre a kérdésre még többször visszatérünk. Az órák összeigazításának a hangjel nem igazán megfelel˝o, csak az érzékletes példa kedvéért hoztuk szóba. A gyakorlatban a hangnál sokkal stabilabb és sokkal gyorsabb jellel, a fénnyel, pontosabban rádiójellel hajtjuk ezt végre, mindenki ismeri a pontos id˝ojelzést a rádióban. Ebben az eljárásban, noha tökéletesnek látszik a módszer, van egy „egyenletességi” önkény, csak úgy, mint a távolságok és az id˝otartamok mérésében. Ugyanis honnan tudjuk, hogy a hang sebessége 330 m/s? Milyen feltetéleknek kell teljesülni ahhoz, hogy sebességr˝ol beszélhessünk egyáltalán? Nem megyünk bele a részletekbe, csak megemlítjük: ahhoz, hogy a hang (vagy a fény) sebességének a nagyságát megállapítsuk, fel kell tennünk, hogy a hang (a fény) minden irányban ugyanolyan gyorsan terjed, így a jel a hang (vagy a fény) az A pontból a B pontba ugyanolyan sebességgel halad, mint a B pontból az A pontba. Tekintsük át az eredményeket. Nem lehet eléggé hangsúlyozni, hogy a térben elhelyezett órák összeigazítását többféleképpen valósíthajuk meg. Emlékeztet˝oül: — a hagyományos, hétköznapi egyidej˝uség-fogalom az egyszerre látáshoz köt˝odik; — nagyon régi módszer a Nap és a csillagok állásával értelmezi az egyidej˝uséget; — rádiójelek használatával (aminek szemléletes leírása a horgonyzó hajók óráinak összeigazítása volt). Ezek az eljárásokkal definiálhatjuk az egyidej˝uséget, és ezek különböz˝o eredményhez vezethetnek. Az egyidej˝uség tehát emberi konvenció, választás kérdése és nem fizikai valóság. Ezt az tevékenységet, vagyis az egyidej˝uség folyamatos létrehozását az id˝o (az órák) szinkronizálásának nevezzük. A teret – a koordinátarendszerrel – és egy szinkronizálást együtt vonatkoztási rendszernek nevezzük. Ha vonatkoztatási rendszerr˝ol beszélünk, akkor ezen anyagi testek – egymáshoz képest nyugvó – rendszerét (a teret), a tér pontjaihoz illesztett háromdimeziós koordinátarendszert értjük, a tér pontjaiba elhelyezett órákkal, amelyeknek az együttjárását az origóba helyezett órával valamilyen eljárással biztosítottuk. Láttuk, hogy a tér pontjait miként jellemeztük a tér pontjaihoz rögzített koordinátarendszerrel. Hasonlóan ábrázoljuk az id˝opontokat. Az id˝opontok összességét T-vel jelöljük. Ha egy esemény id˝opontja −2 s ∈ T, akkor ez azt jelenti, hogy az esemény az id˝omérés kezdete el˝ott 2 másodperccel történt, ha pedig 10 s ∈ T, ez azt jelenti, hogy az esemény az id˝omérés kezdete után 10 másodperccel következett be. Igen gyakran az eseményekkel kapcsolatosan az id˝opontokat is egy számegyenesen – az id˝otengelyen – szemléltetjük. A számegyenes pontjait id˝opontok ábrázolására használjuk. Az id˝otengely a T halmaz geometriai megjelenítése. Az ábráinkon ezért a leghelyesebb lenne az id˝otengely mellé a T szimbólumot írni. Ez a szokás azonban még nem terjedt el.10 9
Ez a meggy˝oz˝odésünk tükröz˝odik a szokásos fizikai leírásokban is; ez a gyakorlati pontosság keretein belül kielégít˝o, ha egymáshoz képest nem túl gyorsan – a fénysebességnél jóval lassabban – mozgó testekr˝ol van szó. A relativitáselmelet alapja éppen az, hogy az egyidej˝uség nem abszolút, azaz relativ. 10 A középiskolában is használatos fogalmakkal kifejezve ez a következ˝ot jelenti. A valós számok halmazát szokás szerint jelöljük R-rel. Ekkor T := R × {s} halmaz elemei rendezett párok: az els˝o komponensük az id˝o számértéke, a második komponens az id˝o mértékegységét jelöl˝o szimbólum.
8
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
A másik megoldás az, hogy az id˝otengelyre kiírjuk, hogy id˝otengely vagy id˝o. Ezzel a lehet˝oséggel is ritkán élnek, különösen kisméret˝u ábrák esetén. A leggyakoribb az, hogy az id˝otengelyre az id˝o szó angol megfelel˝ojének (time) els˝o bet˝ujét írjuk: t. (Írhatnánk ugyanilyen alapon i bet˝ut is.) Az id˝otengely mellett látható t bet˝u tehát az id˝opontok összességét jelöli, ugyanúgy, mint a T. Ebb˝ol sok zavar és félreértés származhat. Ha egy konkrét id˝opontot t-vel jelölünk, mint szokás, akkor t ∈ t. Nyomtatott szövegben ezt azzal kerülhetjük el, hogy az id˝otengely jelét álló t-vel, a konkrét id˝opontot d˝olt t-vel jelöljük. Kézírásban azonban használjuk a T szimbólumot, vagy írjuk ki, hogy id˝o vagy id˝otengely. A többi fizikai mennyiség ábrázolásakor is hasonló problémákkal találkozunk, a megoldásuk is hasonló. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a koordinátarendszereknek a mozgás leírásában betöltött praktikus szerepe mellet van egy hátránya: elfed bizonyos lényeges különbségeket. Nevezetesen, térpontokat a választott kezd˝oponttól (origótól) mért távolságokkal jellemez, tehát térpontok és távolságok összemosódnak; hasonlóan, id˝opontokat a választott kezdeti id˝oponttól mért id˝otartamokkal jellemez, tehát id˝opontok és id˝otartamok összemosódnak. A következ˝o problémákban adott egy vonatkoztatási rendszer a hely megadásához szükséges koordinátarendszerrel, adott az id˝omérés kezd˝opontja és egysége, tehát adott a tér és id˝o koordinátarendszere. A jelenségek – mozgások – jellemzéséhez szükséges az id˝o és térkoordináták megadása. A legegyszer˝ubb esemény: a pontszer˝u test egy adott pillanatban valamely adott helyen van. Például: egy pont a −3 s id˝opontban a r = (5 m, 3 m, −2 m) helyen található, ezt szemlélteti a ?? ábra. Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy egy pontszer˝u test a koordinátarendszer els˝o tengelyén mozog. A tengely pontjai mellett feltüntetett adatok megadják, a test origótól mért el˝ojeles távolságát. A tengely pontjaiban órákat helyeztünk el, amelyek együtt járnak az origóba helyezett órával. Ekkor van értelme annak, hogy a test a t1 id˝opontban az x1 koordinátájú helyen van, és a t2 id˝opontban az x2 koordinátájú helyen van. A két test két helyzetének távolságát jelöljük Δx-szel: Δx := x2 − x1 . Másrészt adottak a t1 , t2 ∈ T id˝opontok, t1 < t2 . A [t1 , t2 ] := {t ∈ T | t1 ≤ t ≤ t2 } halmaz a t1 és t2 id˝opontok között id˝opontok halmaza, azaz id˝ointervallum. Mi legtöbbször id˝oszaknak, id˝oszakasznak nevezzük. A [t1 , t2 ] id˝oszakasz hossza, a t2 −t1 a t1 és t2 között eltelt id˝otartam, amelyet gyakran Δt - vel jelölünk. Nem lehet eléggé hangsúlyozni, hogy itt Δt nem valamely órával – a tér egy pontjában mért – id˝otartam. Ezt nem lehet egyetlen órával mérni! A t1 -et az x1 helyen elhelyezett órával, t2 -et másutt, az x2 helyen egy másik órával mérjük. Δt két különböz˝o helyen elhelyezett, ámde valamilyen szinkronizálási eljárással összeigazított óra által mutatott különböz˝o id˝opontok különbsége; ez a szinkronizálási id˝okülönbség. Ha a test egyenletesen elmozdul az x1 pontból az x2 pontba, akkor a mozgást a x 2 − x1 Δx = Δt t2 − t1 hányadossal jellemezhetjük. Ezt a test sebességének nevezzük. Ez a fogalom összhangban azzal, amit a sebességr˝ol a következ˝o pontokban fogunk megismerni. Most azt kell igen er˝osen hangyúlyozni, hogy szinkronizálás nélkül a navigációs sebeségr˝ol sem lehet beszélni. A sebességet szolgátató tört nevez˝ojében két különböz˝o helyen különböz˝o
9
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
órákkal mért id˝opontok szerepelnek. Ezért nem lehet aggodalom nélkül egyszer˝uen szinkronizálás értelmezése és megvalósítása el˝ott a szinkronizáló jelek sebességét˝ol beszélni.11 Szinkronizálás nélkül két dologról lehet beszélni ebben a vonatkozásban. Az egyik az, hogy két mozgás közül – ugyanazon vonalon – melyik a mozgás a gyorsabb. Hiszen ha egy pontból egyszrre indítunk két különböz˝o mozgást ugyanazon az útvonalon, akkor szinkronizálás nélkül meg tudjuk állapítani, hogy melyik érkezik meg el˝obb. (Ha két futó ugyanazon pályán fut és egyszerre indulnak, mindenképpen eldönthet˝o, hogy melyikük érkezett el˝obb, vagyis eldönthet˝o, hogy melyik mozgás volt gyorsabb.) A másik amir˝ok szinkronizálás nélkül lehet beszélni, az a kétutas sebesség. Arról van szó, hogy egy jelet vagy egy testet valamely helyr˝ol indítunk a cél felé, amely ott megfordul és visszatér az indulás helyére. Világos, hogy ekkor az oda-vissza utat egyetlen órával mérhetjük. Fontos szem el˝ott tartani, hogy a fény sebességének minden ismert hagyományos mérése kétutas sebesség-mérés volt! Ezekben a pontokban a távolságok és id˝otartamok mérésének legfontosabb elveit rögzítettük. Rávilágítottunk arra, hogy az id˝opontok értelmezése, az térben elhelyezked˝o órák szinkronizálása többféle módon is megvalósítható, és a szinkronizációt megvalósító eljárástól függ például a mozgó testek sebessége is. A lehetséges szinkronizálási eljárások közül ki kell választanunk azt, amely a továbbiakban tárgyalt fizikai fejezetekben a legalkalmasabb lesz. A klasszikus elképzelést fogadjuk el, vagyis az abszolút egyidej˝uség létezését. Úgy gondoljuk tehát, hogy a tér minden pontjában azonos szerkezet˝u órákat helyezünk el, parányi rezg˝o kvarckristályokot, ketyeg˝o kronométereket, amelyek valamilyen szinkronizálási eljárással úgy vannak beállítva, hogy együtt járjanak. Így a tér különböz˝o pontjaiban végbemen˝o események egyidej˝uségét ellen˝orizhetjük. Azt is nehézség nélkül megállapíthatjuk, hogy az egyik pontban végbemen˝o esemény korábban következik be, mint a másik pontban végbemen˝o másik esemény: világos és egyértelm˝u dolog annak a megállapítása, hogy a villám korábban csapott bele egy nyárfába a Balaton partján, mint egy másik villám egy tölgyfába a Mátrában. Balatont és a Mátrát, azért említettük, mert a különböz˝o helyeken történt események egyidej˝uségének a nem nyilvánvaló volta akkor domborodik ki jól, ha egymástól távoli helyekr˝ol van szó, amelyeket nem láthatunk egyszerre. 11
Idézzük emlékezetünkbe egy korábbi lábjegyzetet a 2. oldalon. Azt vizsgáltuk, hogy miként lehet megmérni egy mozgó szakasz hosszát álló mér˝oeszközzel. Feltettük, hogy egy hosszú u˝ rhajón utazók az u˝ rhajó hosszát L0 ˝ nak mérik, ezt megtehetik, hiszen az u˝ rhajó hozzájuk képest áll. Urhajó hosszát egy földi navigációs központban is szeretnék megmérni, az o˝ feladatuk tehát mozgó szakasz L hosszát álló mér˝oeszközzel megmérni. Megfigyelik, hogy Δ0 t id˝o telik el, amíg az u˝ rhajó eleje és a vége elhalad mellettük, ezt az id˝otartamot a navigációs központban egy helyen egy órával mérik. Az u˝ rhajó utasai is megmérik, hogy mennyi id˝o alatt haladt el mellettük a navigációs központ, pontosabban mennyi id˝o telik el a következ˝o két távoli esemény között: az egyik: navigációs központ elhalad az u˝ rhajó orra mellett; a másik: a navigációs központ elhalad az u˝ rhajó farok-része mellett. Ezt Δt-nek mérik. A Δt id˝otartam azonban nem mérhet˝o egyetlen órával. Az u˝ rhajó sebessége a navigációs központhoz képest egyenl˝o a navigációs központ u˝ rhajóhoz viszonyított sebességével. Ezt az u˝ rhajón L0 /Δt-nek, a navigációs központban L/Δ0 t-nak mérik. Innen L meghatározható. Távolságméréshez szükség van az u˝ rhajó különböz˝o helyein járó órák összeigazítására. A távolságmérés feladata nem oldható meg az id˝o szinkronizálása nélkül. Ezért az eredetileg felvetett probléma megoldása, a „mozgó szakasz hosszának mérésére”, és a mozgó szakasz hossza függ attól, hogy milyen eljárással hajtjuk végre az órák összeigazítását.
10
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
0.1. A mozgás viszonylagossága A mozgás viszonylagos. A vonat robog a vasúti pályán. Kitekintünk a vonat ablakán: a házakat, a fákat elszaladni látjuk. Ha azt mondjuk valamilyen tárgyról, egy házról, egy fáról, egy autóról, egy lóról, hogy mozog, akkor ennek a kijelentésnek csak akkor van értelme, ha legalább hallgatólagosan megállapodtunk abban, hogy mihez viszonyítjuk a testek mozgását. Hasonló ez ahhoz, amikor azt mondjuk, hogy „a labda pirosabb”; ennek a kijelentésnek csak akkor van értelme, ha azt is megmondjuk, hogy minél pirosabb a labda: „a labda pirosabb, mint az alma”. Ugyanígy, „a labda mozog”, önmagában értelmetlen mondat, csak akkor lesz értelme, ha megmondjuk, hogy mihez viszonyítva mozog a labda: „a labda mozog az almához képest” – így már jó. Sok esetben a megállapodás valóban hallgatólagos: ha azt mondja nekünk valaki a Keleti Pályaudvaron, hogy a vonat éppen most indult, akkor ezen azt értjük, hogy a forgalmista jelt adott, és a vonat kigördült a síneken. A fizikában azonban nem magától ért˝odik, hogy minden test mozgását a talajhoz viszonyítjuk, hiszen a bolygók mozgását például a Naphoz, a Nap mozgását pedig a Tejútrendszerhez viszonyítjuk. Nyilvánvaló, hogy ha egy test, mondjuk az A test mozog a másik testhez – mondjuk B-hez – képest, akkor a B test is mozog az A testhez képest. Egyik mozgás sem valóságosabb vagy látszólagosabb, mint a másik. Világítsuk meg ezt egy klasszikus példával.12 Ismert, hogy a régi görögök világképében – a geocentrikus világképben – a Földet állónak tekintették, és úgy gondolták, hogy a nyugvó Föld körül kering a Nap, a nyugvó Föld körül mozognak a bolygók. Mintegy kétezer év múlva a csillagászok forradalmi módosítást hoztak a világképbe. Kepler, Kopernikusz úgy értelmezte a világot, hogy a Nap áll, és a Nap körül kering a Föld és a többi bolygó. Ez a új világkép – amelyben nem a Föld, hanem a Nap a „világmindenség” középpontja – a heliocentrikus világkép.13 A világkép átalakulását kopernikuszi fordulatnak nevezik. Melyik a helyes néz˝opont? Melyik írja le a valóságot helyesen? Nyelvünkön a válasz: természetesen a kopernikuszi szemlélet a helyes, legfeljebb vannak precízebb, pontosabb változatai. Pedig a kett˝o egyszerre igaz, – vagy egyszerre nem. Ha a Föld kering a Nap körül, akkor a Nap kering a Földhöz viszonyítva. Egyik állítás sem igazabb, mint a másik. Olyan ez, mint a bögre füle. Ha a bögre füle nekem jobb kéz felé esik, akkor a barátom azon er˝osködik, hogy neki meg balra. Ez a két kijelentés nem zárja ki egymást, s˝ot, a valóság két oldala: kiegészítik egymást. Ha már így állunk a kopernikuszi és a ptolemaioszi világképpel, akkor jogosan vet˝odik fel a következ˝o kérdés: ha ez egyik sem igazabb, mint a másik, s˝ot a valóság teljesebb leírásához egyaránt hozzátartoznak, akkor miért tekintjük mégis a kopernikuszi szemléletet jobbnak, mi szól mellette, szembeállítva a ptolemaioszi szemlélettel. Ha csak a Nap és a Föld mozgását tekintjük, akkor úgyszólván semmi. A különbség akkor látszik, amikor a többi bolygó mozgását akarjuk 12 A mozgás viszonylagosságát Nicolaus Oresmius – Lisieux püspöke – 1350 körül kifejtette, hogy minden megfigyel˝o csak a relatív mozgást tudja észlelni. 13 Az igazság kedvéért meg kell említenünk, hogy Kr. e. 270 körül a számoszi Arisztarkhosz pontosan felállította a kopernikuszi medellt. Ptolemaiosz (Kr. u. 150.) csallagászati elmélete azért uralkodott – példátlan módon – másfél ezer éven keresztül, mert nagyon hatékony volt, minden fontos csillagászati jelenséget ki lehetett segítségével számítani. Kopernikusz jól ismerte a ptolemaioszi számítási technikát. Bonyolult rendszerét egyszer˝usíteni kívánta, ezért tért rá a heliocentrikus világképre.
11
www.baranyi.hu
2010. augusztus 11.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
leírni. A kopernikuszi világképben a nyugvó Nap körül (majdnem) körpályán keringenek a bolygók, a ptolemaioszi szemlélet szerint a nyugvó Föld körül bonyolult mozgást végeznek a bolygók. A különbség tehát nem abban van, hogy az egyik igaz, a másik nem, hanem abban, hogy az egyik egyszer˝ubb, a másik bonyolult. Kicsit er˝oltetett hasonlattal élve: olyan ez, mint a római birodalomban a matematika helyzete. A 22 + 34 = 56, XXII + XXXIV = LVI egyaránt igaz állítások, de a második állítás formája bonyolultabb.14 A matematika fejl˝odésének fontos összetev˝oje volt a szerencsésebb számrendszer kialakulása. Gondoljuk csak el, egy egyszer˝u osztási algoritmus is milyen bonyolult lehetett a római birodalomban. Lehetséges, hogy csak a matematika professzora tudott osztani. A gondolatmenetet a mozgás viszonylagosságának további vizsgálatával hamarosan folytatjuk.
14
Ez azért van így, mert a els˝onél az eredmény az összeadandók alakjából az ismert 2+3=5 es 2+4=6 alapján adódik, míg a másodiknál az eredmény alakja nem következik az összeadandók alakjából.
12
