Fizika 112 21. Előadás
Kvantummechanika I. Planck és Einstein Bohr
De Broglie
Heisenberg
…és még sokan mások…
Pauli
VIZSGA
ELŐADÁS + JEGYZET
Előzmények I.
A fekete-test sugárzás
P = σAT 4
c 2h
1 gλ = λ5 exp ch − 1 kλT
b λmax = T
Planck állandó: h= 6,6∗10-34 Js
Előzmények II.
A fekete-test sugárzás
Max Planck (Nobel díj, 1918) Üreg-módusok
P = σAT 4 ∆E = hν En = nhν
n = 1, 2 , 3, ...
hν 3 gν = A ⋅ hν exp −1 k BT
Előzmények III.
A H-atom 1 1 ν mn = R 2 − 2 n m
?
m = 1,2,3, 4, 5, 6,....
n = m + 1, m + 2, m + 3, ...
v2 q2 q2 2 Fcp = m =k → mv = k 2 r r r
1 2 q2 kq 2 α E = mv − k =− =− 2 r 2r 2r
r Fcp
r
Körpályán mozgó elektron sugároz, tehát energiája csökken; így a körpálya sugara is csökken …
Előzmények IV.
???
A Bohr-féle H-atom modell
Niels Bohr (Nobel díj, 1922)
Bohr postulátumai: 1.)posztulátum: Az elektron a hidrogén atomban a proton által kifejtett Coulomb erő hatására körpályán mozog. De meghatározott energiájú körpályákon sugárzás nélkül tud keringeni. Így ezek a pályák stabilak. („Stacionárius” mozgási állapotok) 3.)posztulátum: Csak azok a (kör)pályák stabilak, amelyen az elektron pályamozgásból adódó perdülete: 2.)posztulátum: A Hidrogén akkor bocsát ki fényt, ha az elektronja egy magasabb energiájú pályáról egy alacsonyabb energiájú pályára "ugrik". Ekkor a kibocsátott fény frekvenciája a következő
Ln = n ⋅ h
ν nm =
En − E m h
Előzmények V. Láttuk:
A Bohr-féle H-atom modell
Ln = n ⋅ h = mvn rn
nh vn = mrn
v2 q2 q2 2 Fcp = m =k → mv = k 2 r r r
h2 2 rn = n mα
Azt is láttuk, hogy:
1 2 q2 kq 2 α =− =− E = mv − k 2 r 2r 2r
En = − R
1 n
2
En = −
mα 2 1 2h 2 n 2
Előzmények VI.
A Bohr-féle H-atom modell En = − R En = −
Eo n
1 n2
→ Eo = 13.6 eV
2
hν nm = En − Em
En − Em ν nm = h
Ln = mvn rn = pn rn Ln = n ⋅ h De Broglie (Nobel díj, 1929)
de Broglie hullámhossz
h λ= p
2rnπ = n ⋅ λ
Előzmények VII.
A foto-effektus
H.R. Hertz (1887), W.L.F.Hallwachs (1888), J.J.Thomson (1897)
Einstein → foton (Nobel díj, 1921)
Ek max = hν − A
E = hν Ek A
Kilépési munka
Compton-effektus
Energia-megmaradás:
hν + mec 2 = hν ′ + Impulzus-megmaradás: Láttuk (rel. elm.): Fotonra:
me c 2 1 − (u / c) 2
r r r ′ p f = p f + pe′ E ( p ) = m02c 4 + c 2 p 2
E hν mo = 0 → E = cp → p = = c c
meu cos Θ meu sin Θ hν hν ′ hν′ = cos ϕ + és 0 = sin ϕ − c c c 1 − (u / c) 2 1 − (u/c)2 A. H. Compton 1892-1962 (Nobel díj, 1927)
∆λ ≡ λ′ − λ = Λ ⋅ (1 − cos Θ)
Λ≡
h me c
Davisson & Germer
1937-es fizikai Nobel-díj
röntgen
elektron
Felmerülő kérdések: 1.) Milyen dinamika szerint (azaz milyen hullámegyenlet szerint) ) hullámzik az ami hullámzik 2.) Mi az a mi hullámzik? Karinthy Frigyes így tette volna fel a kérdést: „Mi az a valami, ami valamit, valahogyan csinál?”
Foton: részecske vagy hullám?
Elektron: részecske vagy hullám?
Mi az ”igazság”?
Mi a fizikai realitás?
Kétréses kísérlet elektronokkal:
Becsapódás, detektálás (elnyelés) részecske-tulajdonság
?
Interferencia hullám-tulajdonság
A Schrödinger-egyenlet I. L=
2L λ= n
λ 2
n ahol n = 1, 2, 3, ...
→
k=
2π
λ
=
π L
n
h 2π λ = →k = ⇒ p = hk p λ
hπ p = hk = n L p 2 h 2 k 2 h 2π 2 2 E= = = n 2 2m 2m 2mL Tehát a „dobozba zárt” részecske energiája kvantált lesz!!! de Broglie-féle állóhullám:
2π ψ o ( x ) = A sin x = A sin (kx ) λ
Feladatunk, hogy kitaláljuk azt az egyenletet, amelynek megoldása éppen ez a függvény.
A Schrödinger-egyenlet II. p = hk
p2 + Vo = E 2m Állóhullámra:
d2 dx
h 2k 2 + Vo = E 2m
Vo = 0
ψ = −k ψ o 2 o 2
k2 = −
1 d2
ψ o dx
2
ψo
h2 d 2 − ψ o + Vo ⋅ψ o = E ⋅ψ o 2 2m dx Általánosítás 3D-re:
Erwin Schrödinger (Nobel-díj 1933)
r r r r h2 − ∆ψ (r ) + V (r ) ⋅ψ (r ) = E ⋅ψ (r ) 2m ∗∗∗ Időfüggetlen Schrödinger egyenlet ∗∗∗
Born-féle értelmezés 1954
r 2 r ∗ r Ψ (r , t ) = Ψ (r , t )Ψ (r , t ) r 2 P∆V = Ψ (r , t ) ∆V Max Born (1882-1970)
r 2 P = ∫ Ψ (r , t ) dV V
+∞
r 2 P = ∫ Ψ (r , t ) dV = 1 −∞
Pontszerű részecskék vannak és a Kvantummechanika ezen pontszerű részecskék megtalálási valószínűségét határozza meg a Schrödinger egyenlet segítségével. (Nobel-díj 1954)
???
KVANTUMMECHANIKA
??? „NINCS KIRÁLYI ÚT!”
Axiómák A.
A Schrödinger-egyenlet
r 2 B. Ψ (r , t ) dV annak a valószínűségét adja, hogy a pontszerű elektron az helyvektor dV környezetében megtalálható.
C. Az állapotok szuperpozíciójának az elve.
Hullámokra ”működik”…
…és részecskékre?…
Állapotok szuperpozíciója I. E = E1 + E2
EMH-ra láttuk: Inkoherens hullámokra:
I 12 = I 1 + I 2
I12 = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ϕ
Koherens hullámokra:
ψ = c1 ⋅ ψ 1 + c 2 ⋅ ψ 2
C60 molekula átalgsebesség 200 m/s rés szélessége 50nm
A C60 molekulával végzett kétréses kísérlet interferencia képe.
Állapotok szuperpozíciója II. ψ = c1 ⋅ ψ 1 + c 2 ⋅ ψ 2 r r 2 r ∗ r P(r ) ≡ ψ (r ) ≡ ψ (r )ψ (r )
P = ψ = (c1ψ 1 + c 2 ψ 2 ) (c1ψ 1 + c 2 ψ 2 ) ∗
2
{
P = c1 ψ 1 + c2 ψ 2 + Re c1∗c2ψ 1∗ψ 2 2
2
2
2
{
P = c1 P1 + c 2 P2 + Re c1∗ c 2 ψ 1∗ ψ 2 2
2
Interferencia
}
}
Állapotok szuperpozíciója III.
A hullámfüggvény matematikai tulajdonságai h2 − ψ ′′( x ) + V (x ) ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) 2m 2m ψ ′′ = 2 ⋅ [V ( x) − E ]⋅ψ h
A harmonikus oszcillátor I. A ”kvantummechanika” Max Planck – al kezdődött (1900)
∆E = hν
Klasszikus harmonikus oszcillátor:
1 2 1 E = mx& + mω 2 x 2 2 2 x(t ) = a ⋅ sin (ωt + α ) x& (t ) = aω ⋅ cos(ωt + α )
1 E = mω 2 a 2 2 A klasszikus oszcillátor energiája folytonosan változhat!!!
A harmonikus oszcillátor II. h2 d 2 1 − ψ + mω 2 x 2ψ = E ⋅ψ 2m dx 2 2
nullponti energia=alapállapoti energia
1 EnSCH = n + ⋅ hω 2
A harmonikus oszcillátor III.
Alkalmazás: molekula rezgés, kristályrács rezgései, stb.
Az egydimenziós potenciáldoboz V0 → ∞ V ( x) = 0
ψ (x ) ≡ 0
ha x < 0 é s x > L ha 0 ≤ x ≤ L
ha x < 0 vagy x > L
h2 − ψ ′′ + 0 ⋅ψ = Eψ 2m
x L
p 2 h 2 k 2 h 2π 2 2 E= = = n 2 2m 2m 2mL
ψ ′′ = − k 2ψ 2π ψ o ( x ) = A sin λ
E = Eo n 2
x = A sin (kx )
Megtalálási valószínűség:
P∆x ( x ) = ψ n ( x ) ∆x = 2
2 π sin 2 n x ∆x L L
Miért sárga a sárgarépa? Karotin molekula hossza kb. 2-3 nm
E n = Eo ⋅ n 2
hv = 3E0
∆E21 = E2 − E1 = Eo (4 − 1) = 3Eo
hc
λ
= 3E0
hc λ= 3E0 L ≈ 2nm
Eo =
∆E ≈ 2eV
h 2π 2 2mL2
λ ≈ 500nm A fehér fényből ezt nyeli el.
3D potenciáldoboz és az állapotok grafikus ábrázolása I. h ∂ ψ ∂ ψ
∂ 2ψ 2 + 2 + 2 − 2m ∂x ∂y ∂x 2
ψ ( x, y , z ) =
2
(
ψ ( x, y , z ) =
a b
= Eψ
n yπ 8 n xπ nzπ ⋅ sin x ⋅ sin y ⋅ sin z 3 L L L L
h 2π 2 2 2 2 E= n + n + n x y z 2 2mL
c
2
)
n x , n y , n z = 1,2,3,...
n yπ 8 n π n π ⋅ sin x x ⋅ sin y ⋅ sin z z abc c a b
2 2 2 n2 2 h π nx y nz E= + + 2 2 2 2m
a
b
c
3D potenciáldoboz és az állapotok grafikus ábrázolása II. ψ
nx
ny
nz
E
ψ111
1
1
1
3E0
ψ211
2
1
1
6E0
ψ121
1
2
1
6E0
ψ112
1
1
2
6E0
ψ122
1
2
2
9E0
ψ212
2
1
2
9E0
ψ221
2
2
1
9E0
ψ311
3
1
1
11E0
ψ131
1
3
1
11E0
ψ113
1
1
3
11E0
ψ222
2
2
2
12E0
(
E = Eo n x2 + n 2y + n z2
)
A kétdimenziós elektrongáz
2 n2 2 n h π nx y E= + + z 2m a 2 b 2 c 2 2 2
c << a, b
Andre Geim 1958
Konstantin Novoselov 1974
E
Fizikai Nobel Díj 2010 „ … a kétdimenziós „grafénnel” kapcsolatos úttörő kísérleti munkásságukért.”
A szabadon mozgó elektron hullámfüggvénye Dobozba zárt részecske: Szabad részecske:
ψ~ (x, t ) = ϕ (x )e −iωt
2π ψ ( x ) = A sin λ
x = A sin (kx )
L→∞
2 2 ~ ψ ( x, t ) = ϕ ( x )
ψ~ (x ) = Aeikx
ψ~1 (x, t ) = Ae −ikx eiωt = Aei ( − kx +ωt ) ψ~2 ( x, t ) = Aeikx eiωt = Aei ( kx +ωt )
(
ψ~ (x, t ) = ψ~1 ( x, t ) +ψ~2 ( x, t ) = Aeiωt eikx − e −ikx P− + = ψ
2
= A2 sin 2 (kx )
L→∞
Értelmezés???
)
Az alagúteffektus I.
x1
∫ ψ ( x) dx > 0 2
−∞
+∞
2 ∫ ψ (x ) dx > 0
x2
Aei ( − kx +ωt ) Cei ( + kx +ωt )
Bei ( − kx +ωt )
C R= A B T= A
2
2
Az alagúteffektus II.
E=0 Elektromos tér
E≠0
Hidegemisszió
Lézer-indukált ionizáció
Az alagúteffektus III.
Leo Esaki (1925-) Nobel-díj:1973 Egyetemi Tanulmányit Tokióban végezte. Doktori dolgozata a Sony cégnél, 1957-ben folytatott kísérleti munkájának a feldolgozása és értékelése volt. Ez az erősen adalékolt germánium p-n átmenetében létrehozott alagúteffektusról szólt. Ezek az eredmények alapozták meg az „alagútdióda” létrejöttét. A megosztott Nobel díjat:
STM
Fém-félvezető dióda 1938 Walter Hermann Schottky Német kutató fizikus (1886-1976)
„a félvezetőkben lévő alagút-jelenségekkel kapcsolatos kísérleti felfedezésekért” kapta 1973-ban.
Partnerei (I.Giaever és B.D.Josephson) a szupravezetőkben zajló alagúteffektusokkal kapcsolatos kísérleti és elméleti munkát végeztek.
potenciálgát = szigetelő
fém
szigetelő
fém
A H-atom I.
Kémia 9. oszt.
A H-atom II. e2 1 h2 − ∆ψ + − ⋅ ⋅ψ = E ⋅ψ 4πε 0 r 2m ψ n , l , m → En = −
L = h l (l + 1) Lz = hmL
13.6eV n2
l = 0, 1, 2,...(n − 1) ml = 0, ± 1, ± 2,... ± l
2 r P (r ) = ψ 4,3,1
Az elektronspin Stern–Gerlach-kísérlet
ψ n,l , m → ψ n, l , m, s
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció
h ∆x∆p ≥ 2
∆x
∆E∆t ≥
h 2
Gerjesztés élettartama → nívó kiszélesedése
Isten nem kockázik… De igen…!!!
Mikroszkóp felbontása:
0.61λ ∆x = sin α A foton által meglökött elektron impulzusbizonytalansága:
∆p = p sin α =
h
λ
sin α
Csak szemléltetés, nem bizonyítás!!!
A lézer I. E = hω
N2
N2
∆E N1
N1 abszorpció
spontán emisszió
dN12 = B12 gν N1dt
′ = A12 N 2 dt dN 21
Termikus egyensúly:
′ + dN 21 ′′ dN12 = dN 21
B12 = B21
A21 hν 3π = B12 c3
E = hω
N2
N1 indukált emisszió
′′ = B21gν N 2 dt dN 21
hν 3 gν = A ⋅ hν exp −1 Nagy energiájú fotonok esetén a spontán emisszió dominál! k BT
A lézer II. Első lézer: 1960
gáz-lézer félvezető-lézer szilárdtest-lézer Lézerintenzitás: Legrövidebb impulzus: ≈ 5fs attoszekundumos imp.
1960: 1010 W/cm2 1980: 1015 W/cm2 2000: 1020 W/cm2 2015: ELI 1025 W/cm2
A kvantumradír D1 D2
D1
D1 D2
D2
P2 P2 P1 P1
D1 tükör
D2
polarizátorok
P2
Lézer
B.S.
Detektorok
B.S.
tükör
P1 B.S.: nyalábosztó (beam splitter)
b
+ 45o ↔ − 45o
nyalábtágító
Lézer
B.S.
B.S.
tükör Lézer-tápegység
Polarizáció-beállító (polarizáció-sík forgató)
