Fizika
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK
2017. január 30.
Fizika Dinamika
Dinamika
˝ ˝ kilott ˝ Tapasztalatok az erovel kapcsolatban: elhajított ko, ˝ ásás, favágás nyílvesszo, Aristoteles: „az ero˝ a mozgás fenntartója” ˝ Galilei: „a mozgás fenntartásához nem szükséges ero”.
Fizika Dinamika
Dinamika
˝ ˝ kilott ˝ Tapasztalatok az erovel kapcsolatban: elhajított ko, ˝ ásás, favágás nyílvesszo, Aristoteles: „az ero˝ a mozgás fenntartója” ˝ Galilei: „a mozgás fenntartásához nem szükséges ero”.
Fizika Dinamika
Dinamika
˝ ˝ kilott ˝ Tapasztalatok az erovel kapcsolatban: elhajított ko, ˝ ásás, favágás nyílvesszo, Aristoteles: „az ero˝ a mozgás fenntartója” ˝ Galilei: „a mozgás fenntartásához nem szükséges ero”.
Fizika Dinamika
Dinamika
A tapasztalatok szerint: olyan vonatkoztatási rendszerben a legegyszerubb ˝ a mozgások leírása, amely egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Az egyenesvonalú egyenletes mozgást végzo˝ vonatkoztatási rendszert inerciarendszernek nevezzük. Ha egy rendszer inerciarendszer, akkor a hozzá képest minden egyenesvonalú egyenletes mozgást végzo˝ rendszer is inerciarendszer. Az inerciarendszerek között nem lehetséges kitüntetett (nyugvó) koordináta-rendszert találni. Ezt a felismerést Galilei-féle relativitási elvnek nevezzük
Fizika Dinamika
Dinamika
˝ Newton jött rá, hogy a mechanika négy alapfeltevésbol ˝ kiindulva tárgyalható. Az axiómák (axiómából vagy törvénybol) olyan alapigazságok, amelyeket nem lehet (vagy nem akarunk) ˝ igazolni. Helyességüket a belolük levont következtetéseknek a tapasztalatokkal való szélesköru˝ összevetése igazolja.
Fizika Dinamika
Dinamika
Newton elso˝ törvénye (A tehetetlenség törvénye): Minden test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez vagy nyugalomban marad mindaddig, amíg ero˝ nem hat rá. Másképpen fogalmazva: A testek természetes állapota nyugalom és az egyenes vonalú egyenletes mozgás.
Fizika Dinamika
A második axióma Newton második törvénye: A testre ható ero˝ egyenlo˝ a test ˝ lendületének (p = m v-nek) idobeli megváltozásával: F F F
q
= p dp d (m v) = = dt dt q
q
= m v + m v.
Abban aq speciális esetben, ha a tömeg nem változik a mozgás során (m = 0) q
F = mv
= m a.
Fizika Dinamika
A harmadik és negyedik axióma Newton harmadik törvénye (hatás-ellenhatás törvénye): Ha egy ˝ fejt ki egy B testre, akkor a B test is azonos A test erot ˝ fejt ki B testre. Az ero˝ és nagyságú, ellentétes irányú ellenerot az ellenero˝ különbözo˝ testekre hat. Másként megfogalmazva ˝ párosával jelennek meg. Elektrodinamikában ez az az erok állítás sérül. ˝ Newton negyedik törvénye: Viccesen fogalmazva nincsen noi és férfi ero˝ vektor. Ha lenne, akkor a hím-no˝ kölcsönhatás nem ˝ o˝ vagy a hím-hím kölcsönhatással. Ha egyezne meg a no-n ˝ egyidejuleg ˝ több ero˝ hat egy testre az eroket a vektori összeadás szabályai szerint adhatjuk össze.
Fizika Dinamika
A dinamika alapegyenlete
A második és a negyedik törvényt együttesen alkalmazva kapjuk meg a dinamika alapegyenletét: P qq F = m x i x X q qq P Fi = p ⇒ ⇒ 3 skalár e. i Fy = m y q q i P | {z } i Fz = m z Ilyen típusú differenciálegyenlet rendszer megoldása a matematika legnehezebb problémái közé tartozik.
Fizika Dinamika
A dinamika alapegyenlete
X
q
Fi =
p
i
ok
okozat
A dinamika alapegyenlete nem azonosságot fejez ki! A bal oldal az adott test környezetében található testek hatását fejezi ˝ forrásainak. Az egyenlet ki. Ezeket a testeket nevezzük az erok jobb oldala kizárólag azq m tömegu˝ testre vonatkozik. Tehát ˝ Másképpen fizikai értelemben az p vagy ma nem ero. ˝ fogalmazva ma formálisan egyenlo˝ az erovel, de fizikai értelemben nem ekvivalens vele.
Fizika Dinamika
Az inerciarendszer
˝ Egy kölcsönhatás reprezentációja. Ennél Mi hát akkor az ero? pontosabban nem tudjuk megfogalmazni! Az elemi részecskék szintjén az ero˝ nem, az energia viszont fontos szerepet kap.
Fizika Dinamika
Az inerciarendszer Korábban hangsúlyoztuk, hogy a Newton-törvények csak egyenesvonalú egyenletes mozgást végzo˝ vonatkoztatási rendszerben (inerciarendszerben) érvényesek! Ha a vonatkoztatási rendszer gyorsul vagy lassul, akkor a Newton-egyenleteket korrekciókkal kell kiegészíteni. Ezeket a ˝ korrekciókat nevezik tehetetlenségi vagy inercia eroknek. ˝ mert nincs forrásuk. A Newtoni értelemben ezek nem erok, klasszkus mechanika egyik legrejtélyesebb elve a Mach-elv. A ˝ is valódi erok, ˝ melyek Mach-elv szerint a tehetetlenségi erok forrásai a világegyetem távoli nagy tömegu˝ objektumai (galaxisok, galaxishalmazok).
Fizika Dinamika
kényszermozgások ˝ A mindennapi életben gyakran az erohatást valamilyen eszköz kötél, rúd, csiga, lejto˝ segítségével fejtjük ki. Ezek a kényszerek a testek mozgását korlátozzák! Az összes kényszert deformálhatatlannak tekintjük! kényszer kötél rúd
csiga
funkció távoli testek elérése ˝ fejt ki csak húzóerot távoli testek elérése ˝ is húzó és nyomóerot ki tud fejteni az ero˝ hatásvonalának elforgatása, nem tudja ˝ megosztani az eroket
idealizáció „súlytalan” „súlytalan”
„súlytalan”
Fizika Dinamika
kényszermozgások
kényszer felület
síkcsukló
funkció lejto˝ típusú egyszeru˝ gép csak normál irányú ˝ fejt ki erot ajtópánt, zsanér csak síkbeli elfordu˝ lást tesz lehetové
idealizáció „súrlódásmentes”
„súrlódásmentes”
Fizika Dinamika
kényszermozgások A kényszerproblémákat a következo˝ lépésenként célszeru˝ megoldani: i) ii) iii) iv) v) vi)
˝ berajzoljuk a testekre ható eroket minden testre felírjuk Newton második törvényét annyi független egyenlet szükséges, ahány ismeretlen van az ismeretlenek száma a kényszerkapcsolatok meghatározásával csökken megoldjuk az egyenletrendszert diszkutáljuk a megoldást
Fizika Dinamika
kényszermozgások A fonalaknak feszítetteknek kell lenniük! Ha feszes a fonál ˝ fejt ki a vele érintkezo˝ testekre. mindkét vége erot N
N m
K2 K2
m K1 K1 K1 mg
mg N
K1 N
m
mg
Fizika Dinamika
kényszermozgások
N
N m
A kényszerfeltételek: A kötél nyújthatatlansága miatt ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 ⇒ a1 = a2 = a3 = a. A dinamikai egyenletek:
K2 K2
m K1 K1 K1 mg
mg N
K1 N
m
mg
m g − k1 = m a
(1)
K1 − K2 = m a
(2)
K2 = m a
(3)
N − mg = 0
(4)
N − mg = 0
(5)
Fizika Dinamika
kényszermozgások Az utolsó két egyenletnek, súrlódás hiányában nincs ˝ jelentosége. Ha a súrlódási ero˝ nem elhanyagolható, akkor ezek az egyenletek fejezik ki, hogy a testekre ható nyomóero˝ ˝ nagysága megegyezik a testekre ható nehézségi erovel. N − mg = 0 N = mg ˝ álló rendszert oldjuk meg. Tehát az elso˝ három egyenletbol m g − k1 = m a
(1)
K1 − K2 = m a
(2)
K2 = m a
(3)
Fizika Dinamika
kényszermozgások K✚ m g −✚ 1 = ma K✚ − — K2 = m a (+) ✚1 K2 — = ma Az ismeretlenek száma három (a, K1 , K2 ) és három független egyenletünk van. A gyorsulást úgy kaphatjuk meg, hogy az ˝ kiesnek. egyenleteket összeadjuk, ekkor a kötélerok m ✚g ✚
m = 3✚ ✚a
g = 3a g a = 3
Fizika Dinamika
kényszermozgások
˝ A kötéleroket a gyorsulás ismeretében könnyen meg tudjuk határozni: K2 = K1 =
mg 3 2mg 3
˝ Nagyon fontos, hogy algebrailag (elojelesen) összeadni a vektorokat csak abban a nagyon speciális esetben szabad, ha ˝ hatásvonala azonos (az erok ˝ egy egyenesbe esnek)! az erok
Fizika Dinamika
kényszermozgások Diszkusszió: a rendszer gyorsulásának kisebbnek kell lennie mint g, ez teljesül! Továbbá K1 -nek nagyobbnak kell lenni mint K2 , ez is teljesül! Ha visszahelyettesítjük az eredményeket az egyenletekbe, azonosságokat kell kapnunk: 2mg 3 2mg mg − 3 3 mg 3 mg −
ezek is teljesülnek!
g 3 g = m 3 g = m 3
= m
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás
Készítsük el a következo˝ próbatestet és fejtsünk ki rá akkora ˝ hogy a vontatás sebessége állandó legyen. vonóerot,
Fs Fs
F F
Fs
F
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás Newton II. axiómája értelmében ha v =állandó, akkor P F = 0 ⇒ F + F súrl = 0. Mivel F = −F súrl , tehát a ˝ próbatestre hat egy a vonóerovel ellentétes irányú, a ˝ ˝ Ez a súrlódási ero. ˝ vonóerovel egyenlo˝ nagyságú ero. Tapasztalat szerint a próbatest mindhárom pozíciójában ˝ A csúszási súrlódási ero˝ tehát azonos a súrlódási ero. ˝ és a vontatás független az érintkezo˝ testek felületétol ˝ is. A csúszási súrlódási erot ˝ csak kis mértékben sebességtol ˝ okozzák a felületek felületi egyenetlenségei. Jelentosebb a ˝ felületekre tapadt szennyezodések hatása és a felületek közötti ˝ molekuláris kölcsönhatások hatása. Ha csak szennyezodések ˝ vannak jele „száraz súrlódásról”, kenoanyagok alkalmazásával (gépek alkatrészei) „nedves súrlódásról” beszélünk.
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás A csúszási súrlódási ero˝ matematikai alakban: F cs = − µ súrl. e.
F ny
v , v
v az elmozdulás irányába mutató egységnyi hosszú vektor. A v csúszási súrlódási ero˝ ezzel a vektorral ellentétes irányú. A csúszási súrlódás szükséges feltétele, hogy az érintkezo˝ testek között relatív sebességkülönbség legyen! A csúszási súrlódásra vonatkozó törvény nagyjából jól írja le a jelenségeket, de nem pontosan.
Fizika Dinamika
A tapadási súrlódás Nagyon simára csiszolt felületek között ˝ ébredhetnek. Ekkor a óriási tapadási erok felületek nem mozdulnak el egymáshoz ˝ képest. Ennek a tapadási eronek a nagysága Ft = µ Fny
F
Ft
tap. s. Fs
t
Egy nehéz bútor eltolása során a tapadási ero˝ egy ideig no˝ , majd a test megindul és a tapadó súrlódásból hirtelen csúszó súrlódás válik. Tapasztalatból tudjuk, hogy egy súlyos bútort nehezebb megindítan mint csúsztatni.
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás Egy m tömegu˝ test v0 sebességgel átcsúszik egy µ csúszási súrlódási együtthatóval rendelkezo˝ M tömegu˝ kocsira. A feladat akkor a legegyszerubb, ˝ ha a rögzítjük az M tömegu˝ kocsit. Számítsuk ki mekkora S útat tesz meg a test a rögzített kocsin (feltételezzük, hogy a kocsi elég hosszú)! S
m v0 µ
M
11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás A számolást a dinamika alapegyenlete és a harmadik kinematikai egyenlet alapján végezzük. −Fs = ma S
m v0
m m −µ ✚ ✚a ✚g = ✚ −µ g = a (lassulás)
FS µ
M
11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111
0 = v0 2 − 2µ g S v0 2 = 2µ g S v0 2 S = 2µ g
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás Oldjuk fel a kocsi kerekeinek rögzítését! Feltételezzük, hogy m < M. A tapadási súrlódási ero˝ a M tömegu˝ kocsit is gyorsítja! x S∗
m v0
v0
FS µ
M
x1 (t) = v0 − µ g t
FS
11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111
u x2 (t) = µ 0
τ
m M
gt t
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás Részletes számítások nélkül a m tömegu˝ test elmozdulása a M tömegu˝ kocsin: M v0 2 2µ g m + M M = S m+M M 1 = = m m+M 1+ M
S∗ = S∗ S∗ S
S ∗ = S ha az M tömegu˝ kocsi tömege végtelen nagy mert m = 0. M→∞ M lim
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás A probléma tovább bonyolítható, ha a mozgás iránya rugalmas ütközés során változik. v
00 11
A
v0
00 h 11 00 11 00 11 m v0 00 11 µ v 00 11 0M 000000000000000000 111111111111111111 B
00 11 111111111111111111 000000000000000000 00 11 x t
α
t
0
C −u D β
−v0 B∗
Fizika Dinamika
A csúszási súrlódás Nagyon tanúlságos, hogy a CD szakaszon az m tömegu˝ testet a csúszási súrlódási ero˝ gyorsítja! v
A
v0
B
Gyorsul! α
t
0
C −u D β
−v0 B∗
