Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou
Název a číslo projektu
Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/01.0065
Název modulu
Matematika jinak
Re al izát or e m to h oto p r oje ktu j e Ob ch od n í ak ad e mi e a St ř ed n í od b o rn é u či li št ě V e se lí n ad Mor a vou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Pracovní list č. 17 Finanční matematika Při studiu matematiky na střední škole není mnoho příležitostí ukázat přímé uplatnění matematických poznatků v praxi. Finanční matematika je jednou z nich a v současné době i velmi důležitou v životě. Patří sem i úrokování, střádání a umořování dluhů.
1. Úrokování Úrok je odměna za zapůjčenou peněžní částku, kterou nazýváme jistinou. Výše úroky závisí na úrokové době, tj. době, na kterou je jistina zapůjčena a na úrokové míře, tj. výši odměny vyjádřené v procentech ze zapůjčené jistiny za určité úrokovací období. Úrok označíme ú, jistinu J, úrokovou dobu n, úrokovací období pro nás bude jeden rok, a proto je úroková míra vyjádřená v procentech a vztahující se k ročnímu období označena p % p.a. Rozlišujeme dva druhy úrokování: a) Jednoduché úrokování Při jednoduchém úrokování se úrok za stejné úrokovací doby nemění a počítá se stále z téže původní jistiny, kterou nazýváme počáteční jistinou J0. V praxi se jednoduché úrokování používá tehdy, je-li úroková doba kratší než úrokovací období. Označme si velikost jistiny na konci prvého úrokovacího období J1, na konci druhého úrokovacího období J2 atd., až na konci n-tého období Jn. Tuto jistinu nazýváme konečnou jistinou. Sledujme vzrůst počáteční jistiny J0 za n úrokovacích období:
……
Posloupnost J0, J1, J2,…., Jn je aritmetická posloupnost s prvním členem J0 a diferencí . b) Složené úrokování Tento způsob je častější a spočívá v tom, že se na konci úrokovacího období připíše úrok za uplynulé období a v příštím úrokovacím období se počítá úrok nejenom z původní počáteční jistiny, ale též z připsaných úroků. Počítejme nyní jistiny J1, J2,…Jn při složeném úrokování:
strana 2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
…..
Výraz se nazývá úročitel a označuje se r. Konečnou jistinu po n-úrokovacích obdobích můžeme vyjádřit vzorcem
Posloupnost jistin J0, J1, J2,…., Jn je geometrická posloupnost s prvním členem J0 a kvocientem r.
2. Střádání Pravidelnému i nepravidelnému ukládání peněžních částek říkáme střádání. My se budeme zabývat matematicky nejjednodušším případem, kdy pravidelně, ve stejných časových intervalech ukládáme stále stejnou částku – vklad neboli anuitu. Označíme ji . Úrokovou míru značíme opět p (popřípadě ji vyjádříme úročitelem r). Nastřádanou částku po n úrokovacích obdobích označíme Vn. Předpokládáme, že vklady ukládáme vždy počátkem úrokovacího období. Jednotlivé vklady se do konce n-tého období zúročí nestejně. Prvý vklad se úročí po celých n období a vzroste podle vzorce na Druhý vklad se úročí jen (n-1) období a jeho konečná výše je , a tak dále, až poslední vklad je úročen jen jedno období a má hodnotu Nastřádaná částka se rovná součtu všech zúročených vkladů:
Jedná se o součet prvních n členů geometrické posloupnosti s prvním členem kvocientem r.
a
3. Umořování dluhů Umořováním dluhů rozumíme splácení dluhu a z něho plynoucích úroků pravidelnými, stále stejně velkými částkami, po dobu několika úrokovacích období. Budeme předpokládat roční splátky placené koncem roku. Označíme si dnešní hodnotu dluhu Dn, roční splátku placenou pravidelně koncem roku počet let splácení dluhů a úroků n a úrokovou míru p (popřípadě úročitel r). Dnešní hodnota dluhu Dn se rovná součtu dnešních hodnot jednotlivých anuit. První anuita je splatná na konci
strana 3
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
prvého úrokovacího období a její dnešní hodnota je
. Hodnota druhé anuity je
atd.
Poslední anuita je splatná po n úrokovacích obdobích a její dnešní hodnota je Platí tedy: Jako první člen uvažujme
Na pravé straně je součet členů geometrické posloupnosti. , abychom dostali kvocient r.
Příklady k procvičení 1. Jaká bude jistina 12 000 Kč za 3 roky při úrokové míře 12,5 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet konečné jistiny
2. způsob – řešeno vložením funkce BUDHODNOTA
strana 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
2. Jakou jistinu musíme uložit, abychom měli za 12 let 100 000 Kč při 9 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet počáteční jistiny
2. způsob – řešeno vložením funkce SOUČHODNOTA
strana 5
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
3. Za jak dlouho se počáteční jistina 12 000 Kč při 12,5 % p. a. zvýší na 17 085,94 Kč? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet počtu let
2. způsob – řešeno vložením funkce POČET.OBDOBÍ
strana 6
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
4. Na kolik % p. a. musíme uložit jistinu, aby za 12 let vzrostla ze 7 250 Kč na 17 268 Kč? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet úrokové míry
2. způsob – řešeno vložením funkce ÚROKOVÁ.MÍRA
strana 7
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
5. Kolik nastřádáme za 10 let pravidelnými ročními vklady 24 000 Kč při 8 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet nastřádané částky
2. způsob – řešeno vložením funkce BUDHODNOTA
strana 8
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
6. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 5 let nastřádali 1 000 000 Kč při 9,5 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet pravidelných vkladů
2. způsob – řešeno vložením funkce PLATBA
strana 9
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
7. Za jak dlouho nastřádám 90 000 Kč pravidelnými ročními vklady 2 000 Kč při 2 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet počtu let
2. způsob – řešeno vložením funkce POČET.OBDOBÍ
strana 10
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
8. Jaké musí být roční splátky, abychom za 7 let splatili dluh 180 000 Kč při 11 % p. a.? Řešení: řešeno v programu Excel 1. způsob – řešeno zadáním vzorce pro výpočet splátky
2. způsob – řešeno vložením funkce PLATBA
strana 11
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
Použité zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 7. aktualiz. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 608 s. ISBN 80-7196-196-5. POMYKALOVÁ, Eva. Matematiky pro gymnázia: Planimetrie. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2004, 206 s. ISBN 80-7196-174-4. KLODNER, Jaroslav. Matematika pro obchodní akademie. 2., upr. vyd. Svitavy: Jaroslav Klodner, 2000, 77 s.
strana 12
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
