FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd.
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011
Operasi Himpunan
Operasi Himpunan
Operasi Himpunan
Operasi Himpunan
Operasi Himpunan 4. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan Contoh Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10} maka 1. A B = {5} 2. A B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 3. A - B = {1, 3, 7, 9} 4. B - A = {4, 6, 8, 10} 5. A + B = {1, 3, 4, 7, 8, 9, 10}
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A,B A + B = (A B)/(A B) Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A,B A + B = (A/B) (B/A) Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A,B A+B=B+A Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A,B,C (A B)/C = (A/C) (B/C) (A B)/C = (A/C) (B/C)
Perkalian Kartesian Perkalian Kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai : AB = {(a, b) | aA bB}
Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c} AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}
Perkalian Kartesian Perhatikan bahwa:
A =
A =
Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong: AB AB BA
|AB| = |A||B|
Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih didefinisikan sebagai:
A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1 i n}
Sifat-sifat Operasi Himpunan Teorema 6.3.2 Komplemen Ganda. Untuk sembarang himpunan A berlaku: (Ac)c = A Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran). Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: A B = B A A B = B A
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Sifat-sifat Operasi Himpunan Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan). Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif). Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif).
Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)? Cara : xA(BC) xA x(BC) xA (xB xC) (xA xB) (xA xC) (hukum distributif untuk logika matematika) x(AB) x(AC) x(AB)(AC)
Sifat-sifat Operasi Himpunan Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten). Untuk sembarang himpunan A berlaku AA=A AA=A
Soal Buktikan bahwa: A (Ac B) = A B Jawab: A (Ac B) = A B (A Ac) (A B) = A B S (A B) = A B A B =A B Terbukti
dibukti sifat distributif sifat komplemen sifat identitas
Soal
Jika A B = S, maka Ac ⊆ B Jika A B = S, maka Bc ⊆ A A (Ac B) = A B (A B) (A Bc) = A A – B = A Bc
A
(Ac B) = A B
tugas Buatlah diagram venn dari operasi himpunan berikut: a. Cc (A B) d. (A C ) c B b. Ac (B C) e. (A B ) c C c. Bc (A C ) f. (B C ) c A
Diketahui :
Tentukan: a. Ac b. Bc c. Cc d. (A B ) c e. A c B c
S = { x I x < 10, x cacah} A = { 2, 5, 7. 8. 9 } B = { 1, 2, 4, 6, 8 } C = { 1, 3, 5, 7, 9 } f. A + B g. B + A h. A – C i. B – A j. A x Bc
k. (A + B) c l. (B – C) c m. A - Bc
Kardinalitas
Kardinalitas dari A adalah jumlah semua elemen (yg berbeda) pd himpunan A Notasi: |A| Jika kardinalitas adalah bilangan cacah (dalam N) maka himpunan tersebut dikatakan berhingga, jika tidak, dikatakan tak berhingga Contoh: N adalah tak berhingga karena |N| bukan bilangan cacah |A| = n, maka |P(A)| = 2n
Kardinalitas
Peggunaan Himpunan
Misal A dan B merupakan himpunan-himpunan yang saling bebas, maka: n (A B) = n (A – B) + n(A B) + n (B – A) =X+Y+Z =X+Y+Z+Y–Y = (X + Y) + (Z + Y) – Y n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B)
X Y Z
Soal Dalam suatu kelas terdapat 32 siswa diantaranya 15 siswa senang IPA dan 29 siswa senang IPS. Tentukan banyaknya siswa yang senang keduanya? Jawab: S = Jumlah Siswa n(S) = 32 A = Siswa yang senang IPA n(A) = 15 B = Siswa yang senang IPS n(B) = 29 n(A B) …? n(S) = n (A B) + n (A B)c 32 = n (A B) + 0 n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B) n (A B) = n (A) + n(B) – n(A B) = 15 + 29 – 32 = 12 Jadi yang senang keduanya adalah 12
3
12
17
Soal
Hasil penelitian yang dilakukan terhadap 300 orang siswa di suatu sekolah, menyatakan 60 orang senang olah raga, dan 150 orang senang seni musik. Jika diketahui pula ada 130 orang yang tidak senang olah raga dan seni musik, berapa orangkah yang senang kedua-duanya..?
Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa diantaranya 17 orang senang membaca, 15 orang siswa senang menulis, 22 orang siswa senang menghitung, 8 orang siswa senang membaca dan menulis, 12 orang siswa senang membaca dan menghitung, sedangkan 2 orang siswa tidak senang membaca, menulis dan menghitung. Tentukan banyaknya siswa yang senang ketiganya?
Soal
Banyaknya murid siswa di kelas XII SMA 1 ada 100 orang diketahui ada 68 orang pemain sepak bola, 65 orang pemain bulu tangkis, 45 orang pemain tenis meja, selain dari itu diketahui pula pemain sepak bola dan tenis meja ada 25 orang, pemain sepak bola dan bulu tangkis ada 40 orang, sedangkan pemain bulu tangkis dan tenis meja ada 25 orang, pemain tenis meja aja ada 5 orang a. Berapa orang yang hanya pemain bulu tangkis b. Berapa orang yang hanya pemain sepak bola c. Berapa orang yang tidak merupakan pemain sepak bola, bulu tangkis dan tenis meja. d. Berapa orang yang termasuk ketiganya.
