FELSİGEODÉZIA. Dr. Bácsatyai László. Sopron - Székesfehérvár

FELSİGEODÉZIA

Dr. Bácsatyai László

Sopron - Székesfehérvár 2008

Bevezetés Az elektronika, a számítástechnika, az őrtechnika vívmányai a geodézia tudományágában is az utóbbi évtizedekben nagy változásokat indítottak el. Így született meg a geomatika elnevezés is. A geomatika fogalma Kanada Quebec tartományának Laval Egyetemén született, és a geodézia különbözı szakterületein jelentkezı automatizálási törekvésekre utal. Ez a kifejezés gyorsan elterjedt a tartományi adminisztrációban és a kanadai egyetemek geodéziai tanszékei, majd viszonylag gyorsan a világ minden táján is átvették az új elnevezést. A geomatika fogalmának definíciójaként a Kanadai Geomatikai Intézet (Canadian Institute of Geomatics) honlapján található megfogalmazást idézzük: „A geomatika az a szakterület, amely módszeresen integrálja azokat az eszközöket, amelyeket térbeli adatok győjtésére és kezelésére használnak. Ezeket az adatokat a tudományos, a közigazgatási, a jogi és a mőszaki feladatok végrehajtása során a térbeli információk elıállításának és kezelésének a folyamatában használják fel.” A geomatikának vannak részei, amelyek – jellegüknél fogva, de leginkább alapfogalmaik tekintetében – viszonylag kevés változáson mentek keresztül, s vannak olyan részei, amelyeket neves tudós elıdeink már meg sem értenének. Az elıbbi kategóriához tartoznak pl. a felsıgeodézia egyes hagyományos részei, az utóbbihoz pl. a GPS technika. A felsıgeodézia a Föld alakjának és méretének, valamint a földi vonatkoztatási rendszerek, s ezeken belül a vonatkoztatási ellipszoidok elméletének és gyakorlati megvalósításának a tudománya. A földi vonatkoztatási rendszerekhez kapcsolódó alappont-hálózatok és sík vetületek teremtik meg a helymeghatározás geometriai infrastruktúráját. A felsıgeodézia tudományát több, különbözı elnevezéső tantárgy keretében oktatják a világ szakirányú egyetemein. Ilyenek az elméleti geodézia, szferoidikus geodézia, fizikai geodézia, gravimetria, vetülettan, szatellita-geodézia, kozmikus geodézia, mőholdas helymeghatározás, globális navigációs mőholdas rendszerek, geodéziai alaphálózatok, geofizika. A különbözı témakörök bizonyos mértékig elkerülhetetlenül átfedik egymást, mind tartalmukban, mind jelölésrendszerükben. Utóbbi azt jelenti, hogy tartalmilag különbözı fogalmakhoz hasonló jelöléseket (kis és nagy latin, görög betőket) használnak. Sajnos, ez utóbbit én sem tudtam elkerülni. Pl. a geoidundulációt és a forgási ellipszoid haránt irányú görbületi sugarát – a magyar és a nemzetközi szokásnak megfelelıen - egységesen N-nel jelölöm, természetesen, mindig utalva rá, mikor, melyikrıl van szó. Mivel együtt, egy fejezetben ugyanaz a jelölés nem takar különbözı tartalmat, remélem, a megértés szempontjából ez nem okoz majd gondot. Anélkül, hogy a felsorolt tantárgymegnevezések mögötti tartalmakat kifejtenénk, látható, nincs könnyő dolgunk, amikor meg kell fontolnunk, hogy a Felsıgeodézia elnevezéső, a BScképzés keretében egy féléves, heti 3 elméleti és 1 gyakorlati óra terjedelmő tantárgy kereteibe mi fér bele és mi nem. Abból persze nem indulhatunk ki, hogy a többségükben a mindennapos geodéziai gyakorlat számára Székesfehérváron képzett szakemberek számára mire van konkrétan és feltétlenül szükség. Akkor ui. meglehetısen rövidre foghatnánk tárgyalásunkat, sıt, talán külön ilyen elnevezéső tárgyra sem lenne szükség. Induljunk ki abból, hogy a tantárgy oktatását - a felsıbb matematika oktatásához hasonlóan - a gyakorló mérnök általános mőszaki intelligenciájának igénye hívta-hívja életre. Amikor pl. a bennünket körülvevı szőkebb területrıl térképet készítünk, uram bocsá’, ingatlant „tartunk nyilván”, tudnunk kell, hogy ez a szőkebb terület a nagy egésznek, a Földnek része. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül ugyanakkor azt sem, hogy Magyarországon földmérı mérnök-oktatás Székesfehérváron kívül magas színvonalon folyik a Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen is. A BME-n BSc-szinten folyó oktatás egyik fontos pillére a, kü-

1

lönbözı elnevezések alatt oktatott, s a felsıgeodézia fogalomköréhez tartozó tantárgyak öszszessége. Dr. Joó István professzor úr a felsıgeodézia székesfehérvári oktatását 4 részre osztotta, éspedig sorrendben: csillagászati alapismeretek, a földrajzi helymeghatározás elemei, elméleti geodézia, felsırendő mérések. A „régi” kredites képzésben az oktatás két tantárgy keretében folyt, a Felsıgeodézia I. az elméleti geodéziát és a felsırendő méréseket, a Felsıgeodézia II. a csillagászati alapismereteket és a földrajzi helymeghatározás elemeit foglalta magába. A BScképzés bevezetésével létrejött két félév helyett csak egy féléves Felsıgeodézia tárgy Joó professzor úr által kidolgozott tematikája, részben a mőholdas technika (GPS) gyors fejlıdése, részben a lecsökkent óraszám miatt a Felsıgeodézia II. keretében oktatott ismereteket már nem tartalmazza, az oktatás gerincét az elméleti geodézia és a felsırendő mérések alkotják. A NyME Geoinformatikai Karán oktatott tantárgyak közül a Vetülettan, a Geodéziai hálózatok és a Mőholdas helymeghatározás tantárgyak tartoznak a szorosan vett Felsıgeodézia fogalmi keretébe. Törekedtem arra, hogy a Felsıgeodézia tartalma, ha vázlatosan is, de átfogja mindazt, ami e három tantárgy keretébe nem fér bele. Bizonyos fokú átfedések, sajnos, a megértés szempontjából elkerülhetetlenek voltak. A tantárgy anyaga tantárgyi programjában egybeesik Joó István professzor úr elképzeléseivel, de részleteiben több is, kevesebb is annál. Valószínő, hogy nem mentes teljesen a szubjektív szemléletmódtól sem. Részletesebben tárgyalom a valódi és a normál nehézségi erıtérhez kapcsolódó fizikaigeofizikai-geometriai ismereteket, a különbözı magasságfogalmakat, a függıvonalelhajláshoz és a geoid meghatározásához tartozó fogalmakat. Eltérı felfogásban, de Joó Istvánhoz nagyjából hasonló részletességgel térek ki a forgási ellipszoid és a gömb, mint a térképezés alapfelületei jellemzıinek ismertetésére és meghatározásuk módszereire. Végül, feltételezve, hogy ez irányú ismereteket a hallgatók más (nem feltétlenül csak felsıgeodéziai jellegő) tantárgyakból már szereztek, csak átfogóan szólok az országos felsırendő vízszintes és magassági hálózatokról, valamint az Országos GPS hálózatról. Elıre kell bocsátanom, hogy a tantárgy anyaga nem könnyő. Minden, általam fontosnak tartott képletet tartalmaz, nagyobb részben levezetés nélkül. Részben azért, mert a tárgy órakeretébe nem fér bele, részben azért, mert a hallgatóknak a levezetések megértéséhez szükséges matematikai (elsısorban differenciálgeometriai) alapjai feltehetıleg hiányosak. Megítélésem szerint azonban ezek az összefüggések egyszerően kihagyhatatlanok. A bemutatott levezetések viszont – szerintem - megérthetık a hallgatók matematikai ismeretei alapján. Szükségesnek tartom, hogy a hallgatók az órákon leadott tananyaggal ne csak a vizsgaidıszakban ismerkedjenek, hanem már az órákkal egy idıben, vagy nem sokkal utánuk, mert a vizsgaidıszak kapkodásai közepette nem lesz elég idı a tananyag elsajátítására.

2

A felsı- és alsógeodézia határa Hagyományosan azt mondjuk, hogy a felsıgeodézia feladatai ott végzıdnek, ahol a Föld – egyelıre nem részletezett szempontok szerint „idealizált” – felszínét már síknak tekinthetjük. Ez a határ pedig – kiindulva abból, hogy a geodézia végterméke a térkép – ott van, ahol a grafikus térképen az egymáshoz 0,1 mm-nél közelebb esı pontokat már nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. Ez pld. 1:10000 méretarány esetén a terepen (pontosabban a vetületen) 0,1 mm ⋅ 10000 = 1000 mm = 1 m -nek felel meg. Az alábbi ábrán a Föld felszínét az egyszerőség kedvéért gömbbel helyettesítjük.

Érintı sík

d s

K

R R

Vízszintes felület (közelítéssel: gömb)

γ C A földgömb R sugara mintegy 6380 km. A γ az s gömbi hosszhoz tartozó középponti szög. Az s hossznak az érintési síkra, más szóval, a K pont vízszintes síkjára vetített értéke d. A kettı különbsége az s hossz torzulásának a terepen megengedhetı mértéke, esetünkben 1 m = 0,001 km . Az ábrából

∆s = d − s = R ⋅ tan γ − s, ∆s = R ⋅ tan

s − s, R

∆s = 6380 ⋅ tan

s − s. 6380

A fenti egyenletet az s = 50 km érték elégíti ki, azaz a torzulást a K pont környezetében mintegy 50 km-es sugarú körben hagyhatjuk figyelmen kívül. Kisebb méretaránynál s értéke nagyobb, nagyobb méretaránynál kisebb. Pld. nagyobb, 1:1000 méretaránynál s = 23 km .

3

A valós világtól a térkép síkjáig geoid

Z

Y Vízszintes (2D) modell X Térbeli (3D, geocentrikus) modell Földünk – a valós világ Ellipszoid: kis területen legjobban illeszkedik

Felsıgeodézia Magassági (1D) modell

Vetülettan

forgástengely q b Egyenlítı meridián-

Kicsinyítve: térkép

Vonatkoztatási ellipszoid: alapfelület

A térképezés felüVetület síkja lete: képfelület

Vonatkoztatási rendszer: az ellipszoid fizikai és geometriai paraméterei, a kapcsolódó vetületi rendszerek, alaphálózat

A fenti kép a valós világtól a térkép síkjának létrehozásáig terjedı feladatok folyamatábrája. A valós Föld modelljét alkotó pontokat egy térbeli derékszögő, origójával lehetıleg a Föld tömegközéppontjával egybeesı X, Y, Z koordinátarendszerben lehet definiálni. A késıbbi síkban történı térképi ábrázolás lehetıvé tétele végett azonban a földfelszíni pontok térben elfoglalt helyét két részre bontjuk: gyerekkorunk óta kialakult szemléletmódunknak megfelelıen az ábrázolandó pontokat vízszintes (2D, azaz kétdimenziós modell), valamint magassági (1D, egydimenziós modell) helyzetükkel adjuk meg. A vízszintes modell a nehézségi erıtérben értelmezett idealizált felület, más néven középtengerszint vagy geoid. A geoid matematikailag zárt formában nem írható le, ezért a kezelhetıség érdekében a geoidon lévı pontokat egy, a geoidot helyettesítı alapfelületen, általában ellipszoidon, az ún. vonatkoztatási ellipszoidon értelmezzük. Az alapfelületen lévı pontokat egy síkba fejthetı idomra (hengerre, kúpra, vagy közvetlenül magára a síkra), mint képfelületre vetítjük. A képfelület síkba terítésével a vetület síkjához jutunk, amelynek a méretarány szerinti kicsinyítése a térkép. E jegyzetben a folyamatábra Felsıgeodézia részével foglalkozunk: ide soroljuk a Föld nehézségi erıterét, valódi alakját, az azt közelítı szferoidok és ellipszoidok fizikai és geometriai alapfogalmait, a vonatkoztatási rendszereket. Tárgyalásunkat kiegészítjük az e fogalmakat a fizikai földfelszínen megtestesítı alaphálózatokkal. A Felsıgeodézia feladata a Föld (vagy más égitest) méreteinek, alakjának, térbeli tájékozásának, külsı nehézségi erıterének és idıbeli változásaiknak meghatározása, a nagyobb kiterjedéső területek – országok, földrészek és az egész Föld – egységes felmérésének elméleti és gyakorlati megalapozása. 4

A Föld helyzetét a forgástengelyen a pólusmozgás, a forgástengelynek csillagokhoz viszonyított térbeli helyzetét a precesszió és a precessziózavar (vagy csillagászati nutáció) jellemzi. A felsıgeodézia ismeretanyaga alapvetıen a természettudományokból fejlıdött ki, így közvetlenül épül a matematika, (a felületek elmélete, a potenciálelmélet, stb.), a fizika (a tömegvonzás), a mechanika (a szabad tengely körüli forgó mozgás elmélete), a csillagászat (az asztrometria és az égi mechanika), a geofizika (a Föld alakját és méreteit befolyásoló fizikai folyamatok) valamint a geológia egyes fejezeteire. Az alapfelületrıl a képfelületre történı áttérés feladatainak, a vetületi sajátosságoknak tárgyalása a vetülettan feladata. Tantárgyunk szempontjából is érintjük azonban annyiban, amennyiben a fenti kép jobb alsó sarkában lévı definíció szerint a vetületi rendszerek a vonatkoztatási rendszer részei. Külön kategóriaként kezeljük a magassági modellt, amelynél a pontok vízszintes helyzetének meghatározásánál elfogadható közelítések nem engedhetık meg.

5

A felsıgeodézia koordinátarendszerei A csillagászat, a földtudományok és ezen belül a geodézia tudománya is, olyan koordináta rendszereket használ, amelyekben a természeti törvények érvényesülnek és azok a természetben egyértelmően kijelölhetık.

Kvázi inerciális égi koordináta rendszer A csillagászatban és a geodéziában használt inerciális (tehetetlenségi) koordinátarendszerek definícióját a Newton-féle mechanika alaptörvényei közvetett módon tartalmazzák. Inerciálisnak nevezzük azt a nyugalomban lévı, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végzı koordinátarendszert, amelyhez egy egyenletes idıskála is tartozik, és abban a Newtonféle mechanika alaptörvényei érvényesülnek. A természetben ilyen ideális koordinátarendszert azonban nem lehet kijelölni.

Z – északi világpólus Sarkcsillag

égitest

Vega

23,5o

ekliptika síkja

éggömb

Föld O

δ∗ ∗

égi egyenlítı síkja

Tavaszpont (γ)

α

Y 23,5o

X A Földhöz kapcsolódó méréseknél a háromdimenziós koordinátarendszer (3D) kezdıpontját célszerő a Föld tömegközéppontjában megválasztani (ábra). Mivel a Föld a Nap körül kis sebességgel kering, ezért csak kvázi, az inerciálist jól megközelítı geocentrikus rendszert jelölhetünk ki. A koordinátarendszer Z tengelyének a Föld forgástengelyét (az északi világpólus irányát), X tengelyének pedig az egyenlítıi síkban az un. tavaszpont (γ) irányát célszerő megválasztani. A tavaszpont iránya a Földnek a Napkörüli keringése alapján szintén egyértelmően kijelölhetı. A Föld forgástengelye azonban az inerciális térben a Nap gravitációs hatása miatt egy 23,5º nyílásszögő kúp palástja mentén kb. 26000 éves periódusú un. precessziós mozgást végez, amelyre a Hold gravitációs hatása miatt egy 18,3 éves periódusú, néhány ívmásodperces un. csillagászati nutációs komponens is rárakódik. Kb. 13 ezer év múlva a Vega lesz a sarkcsillag. Ezért a Z és a hozzá kapcsolódó X tengely közepes (a nutációval korrigált) irányát egy adott idıpontban kell megválasztani, amely általában a J2000 idıpont (2000. január 1. 12.00 óra). A harmadik, az Y tengelyt a jobbsodrású rendszernek megfelelıen választják. A fenti definíciók miatt ezt a rendszert konvencionális rendszernek is nevezik. A precesszió és a csillagászati nutáció pontosan kiszámítható jelenségek.

6

A mesterséges holdak pályaszámításánál elsı lépésben ilyen geocentrikus kvázi inerciális koordináta rendszert alkalmaznak. A csillagászatban az égi koordináta rendszer középpontját elméletileg a naprendszer súlypontjában választják meg, mivel ez felel meg a legjobban az inerciális rendszer definíciójának. A naprendszer mozgása miatt azonban ez sem tekinthetı inerciálisnak. A gyakorlati geodéziában a hagyományos földrajzi helymeghatározásnál olyan csillagkatalógusokat használtak, ahol a rendszer központja áthelyezhetı a Föld tömegközéppontjába. A csillagok pozícióit az α∗ rektaszcenzióval és a δ∗ deklinációval adják meg. A végtelen távoli csillagok koordinátái a kvázi-inerciális geocentrikus rendszerben változatlannak tekinthetık.

Kvázi inerciális földi koordináta rendszer Z

P

O Y

Greenwich X

Mivel a Föld tengelykörüli forgást is végez, ezért a Földhöz rögzített, a Földdel együtt forgó geocentrikus koordinátarendszerre is szükségünk van. (A forgás következtében centrifugális gyorsulás is fellép, ezért ez sem tekinthetı inerciális rendszernek.) A rendszer természetbeli kijelöléséhez a Föld tömegközéppontja és forgástengelye továbbra is felhasználható, de a tavaszpont helyett most a Greenwichi kezdı meridián által kijelölt irányt választották. A Föld pillanatnyi forgástengelye a Föld felszínéhez viszonyítva (de nem az inerciális térben) egy tehetetlenségi fıirány körül szabálytalan periodikus mozgást, un. pólusmozgást végez, ezért a koordinátarendszer Z tengelyének kijelöléséhez ezt az átlagos helyzetet is definiálni kell. Korábban az 1900 és 1905 évek közötti csillagászati megfigyelések átlagos helyzetét (CIO Conventional International Origin) használták. Újabban a korszerő megfigyelési technikák segítségével a Nemzetközi Földforgás és Vonatkoztatási Rendszerek Szolgálat (IERS – International Earth Rotation and Reference Systems Service) által meghatározott átlagos pólushelyzetet (IRP – IERS Reference Pole) használják. A kezdı meridián és a Z tengely kijelölése miatt ezt is konvencionális rendszernek nevezik. A pólusmozgást és a földforgás sebességét, amely kapcsolódik az idı fogalmához is, csak kozmikus geodéziai mérésekkel lehet kellı pontossággal meghatározni. Ezek a mennyiségek a kvázi inerciális és a földi koordinátarendszerek közötti átszámításhoz szükségesek. A nagy pontosságú GNSS alkalmazásoknál az átszámítás során az általános és speciális relativitáselmélet összefüggéseit is figyelembe kell venni.

7

Szintfelületi koordinátarendszer A gyakorlati feladatok könnyebb elvégzéséhez a 3D földi geocentrikus koordináta rendszerben további természetes koordináta rendszerek kijelölésére is szükségünk van, amit a Newton-féle mechanika és a tömegvonzási törvénynek megfelelıen a nehézségi erı és a földforgás következtében fellépı centrifugális erı tesz lehetıvé. A földi rendszerben, valamely a Föld tömegén kívüli tömegpontra a tömegvonzási és a centrifugális erı eredıje hat. Z A Föld forgástengelye függıvonal szintfelületi normális

P( Φ,Λ,H ) H

P'

P pont szintfelülete geoid

O

Λ

Φ

Y Egyenlítı síkja

X

A nehézségi erıtér zárt, konstans potenciálértékő szintfelületek végtelen sorozatát és a függıvonalakat hozza létre. A függıvonal olyan térgörbe, amelynek minden pontjában húzott érintıje merıleges az ugyanezen ponton áthaladó szintfelületre, vagyis a nehézségi erı irányát jelöli ki. A Föld elméleti alakját, a geoidot egy alkalmasan választott szintfelülettel definiálják, amely jól megközelíti a nyugalomban lévı tengerek felszínét. A gyakorlatban a közepes tengerszinteket mareográfok (vízszintregisztrálók) segítségével jelölik ki és az egyes pontok ″tengerszint feletti″ magasságát ettıl a nulla kezdıértéktıl vezetik le. Ezzel a módszerrel egy kétdimenziós szintfelületi (2D) és egy egydimenziós (1D) magassági hálózatot hoznak létre. Valamely pont normálisán átmenı és a forgástengellyel párhuzamos sík a földrajzi északi irány síkját jelöli ki. Egy adott pont normálisának az egyenlítı síkjával bezárt szögét Φ–vel, az adott ponthoz és a Greenwich-i kezdıponthoz tartozó földrajzi északi irányok síkjai által bezárt szöget Λ–val, a valamely ponton átmenı földrajzi északi irány síkja és a pont normálisán átmenı egy másik pont irányát tartalmazó sík által bezárt szöget A–val fogjuk jelölni. A fenti fogalmakra a szakirodalomban használatosak sorrendben vagy a szintfelületi földrajzi, vagy a csillagászati szélesség, hosszúság és azimut kifejezések. Az egyértelmőség és a rövidség kedvéért a segédletben Φ–re a szintfelületi szélesség, Λ–ra szintfelületi hosszúság, A-ra a szintfelületi azimut elnevezéseket fogjuk használni. A Φ, Λ, Α mennyiségeket a földrajzi helymeghatározás során csillagokra végzett mérések segítségével lehet meghatározni. Azokat a pontokat, ahol ezeket a mennyiségeket mérik, csillagászati (asztrogeodéziai) pontoknak fogjuk nevezni.

8

A szintfelületi rendszerben tetszıleges térbeli pont koordinátái a Φ, Λ, H értékekkel adhatók meg, ahol H a tengerszint feletti magasság a függıvonal mentén mérve.

A földrajzi helymeghatározás elve A szintfelületi szélesség, hosszúság és azimut meghatározása hagyományosan földrajzi helymeghatározással, nagypontosságú felsırendő teodolitok segítségével történik. A szintfelületi szélesség meghatározása szögmérést, a szintfelületi hosszúság meghatározása idımérést igényel. A szintfelületi szélesség meghatározását legegyszerőbben az alábbi ábrából érthetjük meg. Sarkcsillag

É

α

Föld

Helyi függıleges

Z P

Φ horizont

A Sarkcsillag a Föld valódi forgástengelyének meghosszabbításában helyezkedik el. Mivel a Föld méreteihez képest a Sarkcsillag végtelen távol van, a Földfelszín egy tetszıleges P pontjában teodolitunk távcsövével azt megirányozva, a teodolit irányzótengelye a helyi függılegessel a Z zenitszöget, ill. a helyi vízszintes síkkal (a horizont síkjával) az α magassági szöget zárja be (ábra). A merıleges szárú szögek tétele alapján viszont

α = Φ = 90 o − Z . A szintfelületi hosszúság meghatározásához tekintsük az alábbi ábrát! Föld Föld forgásiránya meridián

É

GT

γ

L

P

csillag

LT

G kezdımeridián

9

Az ábrán γ a tavaszpont iránya. Ha az idı mérésére ezt az irányt használjuk fel, akkor egy meghatározott idıpontban a helyi idı a kezdımeridiánon (a greenwichi meridiánon) GT. Ugyanebben a pillanatban egy P pontban a helyi idı LT (local time). A Föld nyugatról kelet felé forogva, egy teljes fordulatot (360o-ot) 24 óra alatt tesz meg. Így a két helyi idı különbsége, fok-perc-másodpercre átszámítva, megadja a P pont meridiánjának a kezdımeridiánnal bezárt lapszögét, azaz a Λ szintfelületi hosszúságot: Λ = LT − GT . A szintfelületi hosszúság meghatározása tehát helyi idık mérésébıl és ezek összehasonlításából áll. A helyi idı meghatározásához többfajta módszert dolgoztak ki, a greenwichi idıt pedig rádió segítségével vett tudományos idıjelek révén ismerjük. Az állócsillagok megirányzásához szükséges koordináták csillagkatalógusból kereshetık ki. Hozzáfőzzük még, hogy az ez úton végzett meghatározást késıbb még pontosítják a pólusingadozás adatainak figyelembe vételével.

Ellipszoidi felületi koordinátarendszer A sima lefutású, de szabálytalan geoidot gyakorlati szempontból célszerő egy matematikailag könnyebben kezelhetı forgási ellipszoiddal megközelíteni. A Φ, Λ, Α szintfelületi koordinátáknak és a szintfelületi azimutnak az ellipszoidon a ϕ ellipszoidi szélesség, a λ ellipszoidi hosszúság és az α ellipszoidi azimut felelnek meg. Ezek a mennyiségek a pont ellipszoidi normálisára vonatkoznak. A szintfelületi és az ellipszoidi normálisok eltérését függıvonal-elhajlásnak (két komponens), a geoidnak az ellipszoid feletti magasságát pedig geoidundulációnak nevezzük (harmadik komponens). ellipszoidi normális Z P(ϕ, λ, h) Greenwichi ellipszoidi meridián

h

α

P0 Q’ O

λ

X (Greenwich)

ϕ

A P pont ellipszoidi meridiánja Y

Ellipszoidi egyenlítı síkja

Az ellipszoidi rendszerben a pontok térbeli koordinátái a ϕ, λ, h értékekkel adhatók meg, ahol h az ellipszoid feletti magasság. Ha a forgási ellipszoidot a tengelyére merıleges síkokkal metsszük el, akkor az azonos szélességő pontokat összekötı ellipszoidi szélességi köröket (röviden: szélességi köröket) kapjuk. A nulla szélességi körtıl (az ellipszoidi egyenlítıtıl) északra pozitív (északi), délre negatív (déli) szélességekrıl beszélünk. Ha az ellipszoidot a tengelyén átmenı síkokkal metsszük el, az ellipszoidi meridiánokat (röviden: meridiánokat) kapjuk, amely az azonos hosszúságú pontokat köti össze (a metszet képe ellipszis). A kezdı meridiántól keletre pozitív (keleti), attól nyugatra negatív (nyugati) hosszúságról beszélünk.

10

Két pont közötti legrövidebb szakaszt geodéziai vonalnak nevezzük. Az ellipszoidon a geodéziai vonal képe görbe. Az ellipszoidhoz kapcsolódó részletesebb ismeretekre „A térképezés alapfelületei” c. fejezetben térünk vissza.

Gömbi felületi koordináta rendszer Kisebb országok térképi ábrázolásánál vagy globális földrajzi térképek szerkesztésénél az ellipszoidot gömbbel is helyettesíthetjük. Ekkor a meridiánok is hosszúsági körök lesznek és a számítások összefüggései is lényegesen leegyszerősödnek, mivel a gömbi normálisok a gömb középpontján mennek keresztül. A gömbön a geodéziai vonal a két pont közötti legrövidebb gömbi kör. A szélességi körök azonban (a hosszúsági köröktıl eltérıen) nem geodéziai vonalak. A gömb forgástengelye

P(ϕ, λ)

Pg Gömbi kezdımeridián Ψ

αg Q’

ϕ λ

gömbi normális

A P pont gömbi meridiánja Gömbi egyenlítı síkja

Az ábra jelölései: ϕ - gömbi szélesség; ψ – gömbi pólustávolság; λ – gömbi hosszúság; αg gömbi azimut.

Vetületi koordináta rendszerek A vetületi koordinátarendszerekkel a Vetülettan tantárgyban már megismerkedtünk. Itt röviden átismételjük az ott megismert fogalmakat. Az ellipszoidi és a gömbi koordináták segítségével az egyes pontok felületi távolságai és a különbözı irányok által bezárt szögek matematikailag viszonylag könnyen és egyértelmően meghatározhatók az ellipszoid, illetve a gömb geometriai paramétereinek az ismeretében.

11

A földfelszíni pontok hagyományos térképi ábrázolásánál, vagy a számítógépes megjelenítésnél, azonban síkkoordinátákra van szükségünk, ezért a felületi pontokat célszerő egy vetületi síkban is megadni, és a számításokat ebben a vetületi síkban definiált koordinátarendszerben végrehajtani. A síkot az ellipszoid, vagy a gömb felületéhez illesztett, vagy azt metszı síkba fejthetı felületekre való vetítés révén hozzák létre úgy, hogy a vetítés során elkerülhetetlen torzulások még elfogadhatók legyenek. +x

+y

yQ

yP K P

xP

d δPQ ∆x

∆yPQ Q

xQ

∆xPQ

δPQ d

PQ

δQP

xQ

Q ∆yPQ

xP K

a)

+x

δQP

P yQ

yP

+y

b)

A vetületi számítások során az ellipszoidi hosszúság és szélesség helyett vetületi sík koordinátákra térhetünk át, és az egyes feladatokat jóval egyszerőbb sík geometriai összefüggések segítségével hajthatjuk végre. A pontok magasságát továbbra is a tengerszintfeletti magassággal adjuk meg. A fenti ábrán délnyugati, ill. északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszert látunk, azaz a rendszer +x tengelye délre, ill. északra, +y tengelye nyugatra, ill. keletre mutat. Az ábra jelölései: y, x – sík derékszögő koordináták,

12

∆y = y Q − y Q , ∆x = x Q − xQ - koordinátakülönbségek,

δ – irányszög. +x

Ém Éf

Ét

µ

Meridián képe ∆

ϑ Q

Αm δ α P

+ y

K

A vetületi koordinátarendszerben értelmeztük még az alábbi fogalmakat: α - ellipszoidi azimut (szögtartó vetületeknél), Αm – mágneses azimut, δ - irányszög, µ – vetületi meridiánkonvergencia, ϑ – mágneses tájékozó szög, ∆ - deklináció. Az Éf, Ét és Ém jelölések az ellipszoidi, térképi és a mágneses északi irányokat jelentik.

Helyi szintfelületi (horizonti, mőszer-) koordináta rendszer ζ (helyi függıleges) P

df ζ

Z

∆H

α

O (mőszerálláspont) h

(kezdıirány)

β

η

dv ξ

η

h

ξ

(helyi vízszintes sík)

P'

Az ábrán a klasszikus földi geodéziai mérési eredményeket foglaljuk össze a geodéziai mőszerek koordináta rendszerében (mőszer-, vagy helyi szintfelületi koordinátarendszer).

13

A vízszintes szögmérések során, az álláspont függılegesén átmenı és az irányzott pontokat tartalmazó síkok által bezárt szögeket mérjük. A magassági szög a helyi vízszintes síknak a mért iránnyal bezárt szögét jelenti (a zenitszög a helyi normális irányával bezárt szög). Jelölések:

β - vízszintes szög, dv - vízszintes távolság, df - ferde távolság, α - magassági szög (nem tévesztendı össze az ellipszoidi aimuttal!), Z - zenitszög, ∆H – magasságkülönbség, h – mőszermagasság (nem tévesztendı össze az ellipszoid feletti magassággal!), ξ ,η , ζ - térbeli derékszögő mőszerkoordináták, ezeket a digitális mőszereknél a mért szögek és távolságok függvényében a beépített mikroszámítógép számítja. A β szög jelentése az x kezdıirány megválasztásától függ: I – irányérték, ha a kezdıirány a limbusz 0 osztása, Α - szintfelületi azimut, ha a kezdıirány a földrajzi észak, Αm – mágneses azimut, ha a kezdıirány a mágneses észak. A vetületi koordinátarendszer +x tengelyével bezárt δ irányszöget nem lehet közvetlenül mérni. A földfelszínen mért mennyiségeket elméletileg a geoidra és az ellipszoidra is redukálni kell. A szögmérések esetében a földfelszíni pont és annak geoidi normálisa közötti eltéréseket általában elhanyagolhatjuk.

GPS vevık koordinátarendszere A GPS vevık helymeghatározó adatai a WGS84 geocentrikus elhelyezéső ellipszoidon értelmezett ϕ ellipszoidi szélesség, λ ellipszoidi hosszúság és h ellipszoidi magasság. Ezeket a vevı a mőholdas távolságmérési eredményekbıl számítja. A ϕ, λ és h koordináták zárt, szigorú képletekkel átszámíthatók a földi geocentrikus X, Y, Z koordináta rendszerbe. Az átszámítás – hasonlóan szigorú képletekkel – visszafelé is elvégezhetı. Az átszámítás szigorú, zárt képleteire az „Összefüggések a földi geocentrikus és az ellipszoidi (felületi) koordináták között” c. fejezetben térünk vissza.

Magassági (1D) koordinátarendszer Egymáshoz közel fekvı pontok mi nyers magasságkülönbségeit (a rajtuk átmenı szintfelületek merıleges távolságát) geometriai szintezéssel határozzuk meg. Ha egyik pont magassága ismert, meghatározható a másik pont geoid (középtengerszint) feletti magassága. Mivel, mint látni fogjuk, a szintfelületek nem párhuzamosak, ezért a közöttük lévı távolság nem állandó. A gyakorlatban a közepes tengerszinteket mareográfok (vízszintregisztrálók) segítségével jelölik ki és az egyes pontok ″tengerszint feletti″ magasságát ettıl a nulla kezdıértéktıl vezetik le. Ha a szabatos, nagy területre kiterjedı szintezést a mareográftól kiindulva a szintezés útvonala mentén megfelelı sőrőségben végzett gi nehézségi mérésekkel (gravimetria) egészítjük ki, a kétféle mérés eredményébıl az ún. geopotenciális értékhez jutunk: P

K P ≈ − ∑ g i ⋅ mi , 0

14

léc elıre léc hátra szintezımőszer ∆

∆ le

lh Q

m P tengerszint szintezés iránya

Egy mőszerállásban két szomszédos kötıpont közötti nyers, szintezett magasságkülönbség (ábra):

m = l h − le . A magasságfogalmakkal részletesen a „Potenciálkülönbség és ortométeres magasság”, a „Normálmagasság és magassági rendellenesség”, „A kvázigeoid és a geoidunduláció”, majd összefoglalóan a „Magassági mérıszámok” c. fejezetekben ismerkedünk meg.

15

A felsıgeodézia vonatkoztatási rendszerei A felsıgeodéziában használt koordinátarendszereket, a koordinátarendszerek közötti átszámítás összefüggéseit, a Föld tömegét is magában foglaló ún. geocentrikus szintellipszoid fizikai és geometriai paramétereit, a kapcsolódó vetületi rendszereket, továbbá a földi koordinátarendszerben ismert alappontok hálózatát együttesen földi vonatkoztatási rendszereknek nevezzük. A gyakorlatban megvalósított vonatkoztatási rendszerek nem feltétlenül rendelkeznek a fenti elemek összességével, de minden esetben tartalmaznak egy alapponthálózatot (kerethálózat), amelynek a pontjait a Föld felszínén egyértelmően megjelölték, és a pontok koordinátáit az adott rendszerben meghatározták. A csillagászati rendszereknél az alappontok szerepét a csillagok veszik át. A gyakorlatban több földi vonatkoztatási rendszert is használnak. A GPS rendszer üzemeltetıi a WGS84 (World Geodetic System 1984) földi vonatkoztatási rendszert használják, amelynek a tengelyei a CIO rendszerben adottak. A rendszer alapponthálózatát a rendszert fenntartó állomások koordinátái reprezentálják. A GPS berendezések az új pontok koordinátáit is ebben a rendszerben határozzák meg. Az ITRSxxxx (International Terrestrial Reference System) nemzetközi földi vonatkoztatási rendszert, amelynek a tengelyei az IRP rendszerben adottak, nemzetközi tudományos együttmőködés keretében tartják fenn. A rendszerhez tartozó nemzetközi földi alapponthálózatot (ITRFxxxx - International Terrestrial Reference Frame) a rendszer fenntartásában résztvevı obszervatóriumok és permanens GPS állomások koordinátái reprezentálják. Az xxxx jelölés az aktuális reprezentáció évszáma. A litoszféra lemezek mozgása következtében az alappontok folyamatosan változtatják a helyzetüket, ezért a földi koordinátarendszerben a referencia idıpontra vonatkozó derékszögő koordinátákat és azok sebességét is folyamatosan meghatározzák. A rendszer nem tartalmaz külön szintellipszoidot. Jelenleg az ITRF2000 az aktuális reprezentáció, az alappontok koordinátái az Internetrıl is letölthetık. Az Európai Unióban az eurázsiai litoszféralemezhez kapcsolódó ETRSxxxx (European Terrestrial Reference System) európai földi vonatkoztatási rendszert és az ahhoz kapcsolódó európai földi alapponthálózatot (ETRFxxxx - European Terrestrial Reference Frame) használják. Az európai rendszert 1989-ben vezették be, ekkor az ITRF89 és az ETRF89 rendszerek azonosak voltak. Jelenleg az ETRF2000 az aktuális alapponthálózat. A rendszert az EUREF (European Reference Frame) szervezet koordinálásában tartják fenn. A rendszerhez külön forgási ellipszoid is tartozik, a koordináták az Internetrıl szintén letölthetık. A WGS-84 és az ETRS vonatkozási rendszerhez tartozó, továbbá a Magyarországon használt IUGG/1967 helyi elhelyezéső forgási ellipszoid geometriai paramétereit a 2.2 táblázatban foglaltuk össze. Az egyes rendszerek közötti átszámítás paraméterei is ismertek. Néhány vonatkoztatási rendszer és a kapcsolódó ellipszoidok Vonatkoztatási rendszer: ellipszoid neve és elhelyezése

WGS84 WGS84 geocentrikus

ETRS89 GRS80 regionális

hazai rendszer IUGG/1967 helyi

a b f

6 378 137,000 00 6 356 752,314 25 298,257 223 563

6 378 137,000 00 6 356 752,314 14 298,257 222 101

6 378 160,000 00 6 356 774,516 09 298,247 167 430

16

A Föld nehézségi erıtere A nehézségi erı A nehézségi erı az az erı, amely minden testet a Földhöz vonz. Mérıszáma a szabadon esı testre ható nehézségi gyorsulás (jele g). Hagyományos értelemben a nehézségi gyorsulás mértékegysége a gal: 1 gal = 10 -2

m s2

Az egységnyi tömegre ható nehézségi erı számértékben megegyezik a nehézségi gyorsulással, ezért e két fogalom között általában nem tesznek különbséget. A továbbiakban – kevés kivétellel - a nehézségi erı kifejezést fogjuk használni akkor is, ha az éppen aktuális összefüggésben szereplı mennyiség dimenziója gyorsulás. Az SI rendszerben a nehézségi erı egysége az erıegység, N (Newton), átlagos értéke pedig:

 kg ⋅ m  g = 9,81 N  2  = 9,81 ⋅ 10 2 ⋅ gal ⋅ kg .  s  Feltételezve, hogy Földünk felszíne közelében a kozmikus sugárzásból, illetve a Nap, a Hold, a bolygók tömegvonzásából adódó erıhatások (árapály) elhanyagolhatók, ill. figyelembe vehetık, a nyugalomban lévı testre ható nehézségi erıt két erı eredıjeként határozhatjuk meg (ábra): g =f +k. É f - A Newton-féle tömegvonzás a Föld felszínén lévı valamely P anyagi pontra: P

ρ f

O

g

f =G⋅

k

m⋅M , ahol R2

G = 6,67259 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 ⋅ kg -2 , vagy m 3 ⋅ kg -1 ⋅ s −2 a Newton-féle tömegvonzási állandó, M – a Föld tömege, R – a Föld sugara, m – a P anyagi pont tömege. k - Föld tengely körüli forgásából származó centrifugális erı: k = ω2 ⋅m⋅ ρ ,

ahol

ω – a P pont szögsebessége, ρ – távolság a forgástengelytıl. m =1 esetén: k = ω2 ⋅ ρ . O középpontú térbeli derékszögő koordinátarendszerben, amelyben a Z tengely a Föld forgástengelyével egyezik meg, a g vektor a koordinátarendszer X, Y, Z tengelyeinek irányába esı i, j és k egységvektorok segítségével fejezhetı ki:

g = g X ⋅ i + gY ⋅ j + g Z ⋅ k , ahol g X , g Y , g Z a g nehézségi erı X, Y, Z tengelyirányú komponensei, a g nehézségi erı nagysága pedig:

17

g = g 2X + g Y2 + g 2Z . A g vektor irányát a derékszögő koordinátarendszerben az alábbi iránykoszinuszok határozzák meg: cos( g , X ) =

gX g g , cos( g , Y ) = Y , cos( g , Z ) = Z . g g g

Az ismert tétel szerint az eredı vetülete egyenlı a komponensek összegének vetületével, vagyis a nehézségi erı tengelyirányú g X , g Y , g Z vetületeit az alábbi összefüggésekbıl kaphatjuk meg: gX = fX + kX , g Y = f Y + kY , g Z = f Z + kZ . Tetszıleges P és Q anyagi pontok között a Newton-féle tömegvonzási erı tengelyirányú vetületei (ábra): Z iránya f f

Q(a,b,c)

fZ γ P(X,Y,Z)

fX

X iránya

α

f

X Y Z

= f ⋅ cos α = f ⋅ cos( f , X ), = f ⋅ cos β = f ⋅ cos( f , Y ), = f ⋅ cos γ = f ⋅ cos( f , Z ) ,

f

ahol f = f .

β

A képletekben a tömegvonzás törvényének megfelelıen f a P és Q pontok tömegvonzása: m f = G ⋅ 2 , ahol r 2 2 2 2 r = (a − X ) + (b − Y ) + (c − Z ) .

fY

Y iránya

A Föld testén belüli rendkívül egyenlıtlen tömegeloszlás következtében a nehézségi erı a Föld felületén olyan bonyolult törvényszerőségek szerint változik, hogy a nehézségi erı és egy földfelületi pont között fennálló pontos függvénykapcsolat nem adható meg.

A nehézségi erı potenciálja A Föld nehézségi erıterének tanulmányozása jelentısen egyszerősödik, ha bevezetjük a potenciálfüggvény (vagy egyszerően potenciál) fogalmát. Potenciál alatt azt a függvényt értjük, amelynek a koordinátatengelyek irányában vett elsı parciális deriváltjai a ható erı megfelelı tengelyirányú komponenseivel (vetületeivel) egyenlık. Jelöljük a nehézségi erı potenciálját W-vel. Ekkor – a fenti definíciónak megfelelıen - a nehézségi erı koordinátatengely-irányú komponensei a következı összefüggésekkel fejezhetık ki:

18

∂W , ∂X ∂W gY = , ∂Y ∂W gZ = . ∂Z gX =

A nehézségi erı potenciálja egyenlı a Newton-féle tömegvonzási erı potenciáljának (V) és a centrifugális erı potenciáljának (VF) összegével:

W = V + VF . A Newton-féle tömegvonzás potenciálja a V =G ∫ M

dm r

összefüggésbıl számítható ki. Az integrálást a Föld egész tömegére kell elvégezni. A Föld forgásából eredı centrifugális erı potenciálja tisztán geometriai jellegő mennyiségeket tartalmaz:

(

)

1 1 V = ω2 ⋅ ρ 2 = ω2 X 2 + Y 2 . F 2 2 A fenti két képletben megtartottuk az eddigi jelöléseket.

zenit

A nehézségi erı potenciáljának differenciálja egységnyi tömeg végtelen kis ds távolságra történı elmozdulásakor az alábbi:

Z

dW = g ⋅ cos( g , s )ds ,

W

ahol a ( g, s ) szög a zenitszöget 180o-ra egészíti ki:

ds

(g , s ) = 180o − Z . W+dW

s

g

A fenti képlet lehetıvé teszi, hogy a nehézségi erı tetszıleges s irányba esı komponensét kiszámítsuk. Valóban, mivel g ⋅ cos( g , s ) = g s , kapjuk: gs =

dW . ds

A dW = g ⋅ cos( g , s )ds képletbıl látszik az is, hogy a potenciál differenciálja egyenlı a munka differenciáljával, vagyis, az a munka, amelyet a nehézségi erı végez egységnyi tömeg véges távolságban lévı két pont közötti elmozdulásakor, az e pontok közötti potenciálkülönbséggel egyenlı:

19

P

WP − WA = ∫ g ⋅ cos( g , s )ds . A

A nehézségi erı potenciálfüggvénye véges, folytonos és egyértékő. Ugyancsak véges, folyto∂W ∂W ∂W nos és egyértékő a potenciál , , három elsı parciális deriváltja. E függvények fi∂X ∂Y ∂Z ∂W ∂W ∂W képletekbıl, azaz a nehézségi erı X, Y, zikai értelme világos a g X = , gY = , gZ = ∂X ∂Y ∂Z Z tengelyirányú komponensei. A nehézségi erı potenciáljának létezik a hat második deriváltja: ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W , , , , , . ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ∂X ⋅ ∂Y ∂X ⋅ ∂Z ∂Y ⋅ ∂Z A nehézségi erı potenciálja a külsı, vonzásmentes térben a

∆W = 2 ⋅ ω 2 , a vonzó tömegen belül (a belsı térben) a

∆ W = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ ϑ + 2 ⋅ ω 2 ún. Laplace-egyenletet elégíti ki, ahol, az eddigi jelöléseken túl

ϑ - térfogati sőrőség, r ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 + + - a Laplace-féle operátor, a ∇ = ⋅i + ⋅ j+ ⋅ k nabla-operátor 2 2 2 ∂X ∂Y ∂Z ∂x ∂y ∂z önmagával vett skaláris szorzata.

∆=

A potenciál második parciális deriváltjainak összege

∆W =

∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W + + . ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2

A potenciál második deriváltjaiban szereplı sőrőség arra utal, hogy a potenciálfüggvény második deriváltjai (ill. közülük legalább egy) a vonzó tömegen belül a sőrőségi határfelületeken (ahol a sőrőség ugrásszerően változik) ugrásszerő változásokat szenvednek. A nehézségi erı potenciálja teljes mértékben jellemzi a Föld nehézségi erıterét, mivel, ha ismerjük, szükség esetén számíthatók a nehézségi erı gX =

∂W ∂W ∂W , gY = , gZ = ∂X ∂Y ∂Z

komponensei, ill., a már ismert g X , g Y , g Z értékek birtokában a nehézségi erı

g = g 2X + g Y2 + g 2Z nagysága, valamint a cos( g , X ) =

gX g g , cos( g , Y ) = Y , cos( g , Z ) = Z g g g

képletekbıl a nehézségi erı iránya a térben.

20

Függıvonalak és szintfelületek A Föld nehézségi erıterének fontos jellemzıi az erıtér erıvonalai, vagy függıvonalai. A függıvonalak olyan vonalak, amelyeknek tetszıleges pontjaiban húzott érintıi a nehézségi erı vektorának irányával esnek egybe. A függıvonalak mindig folytonos függvénnyel fejezhetık ki, az érintık iránya folyamatosan változik. A függıvonal kettıs csavarodású térbeli görbe vonal, amelynek görbületi vektora az alábbi képlettel határozható meg:

 1  ∂ 2W ∂ 2W =−  ⋅i + ⋅ j , ρ g  ∂X ⋅ ∂Z ∂Y ⋅ ∂Z 

n ahol a következı ábra szerint

n - a görbe fınormális irányú egységvektora (A fınormális irányú egységvektor merıleges az érintı irányú egységvektorra és a függıvonalnak, mint térgörbének a P pontbeli simulósíkjában fekszik), t – érintı irányú egységvektor, b – binormális egységvektor, az ábra síkjából merılegesen kifelé mutat,

ρ - a függıvonal görbületi sugara. A függıvonal görbületi vektora az eltérı sőrőségő tömegek határfelületein ugrásszerően változik. Ugyanakkor a vonzó tömegen kívül a W potenciál második deriváltjai folytonosak, ezért a külsı térben a függıvonalak görbületének változása is folytonos.

b

P t

A függıvonal mellett a nehézségi erıtér fontos jellemzıi a szintfelületek. A szintfelület olyan felület, amelynek minden pontjában a potenciál egyenlı, vagyis amelynek egyenlete

n

simulósík

W ( X , Y , Z ) = const.

függıvonal Különbözı konstans értékek mellett különbözı szintfelületeket kapunk. A konstans nagyságától függıen a szintfelületek a Föld tömegén kívül, azt metszıen, ill. a Föld tömegén belül helyezkedhetnek el. A nehézségi erı iránya a szintfelület minden pontjában a szintfelület normálisának iránya, vagyis a nehézségi erı vektora a szintfelületre annak minden pontjában merıleges. Ha egy egységnyi tömeget a szintfelület mentén a nehézségi erı irányára merılegesen mozgatunk, úgy ( g , s ) = 90 o minden esetben. Ekkor a

dW = g ⋅ cos( g , s )ds összefüggés szerint dW = 0 , azaz, a szintfelületen maradva, munkavégzés nem történik. A nyugalomban lévı víz felszíne, amelyre csak a nehézségi erı hat, egybeesik a szintfelületek egyikével. A szintfelületek egyensúlyi felületek, mivel a nehézségi erı szintfelületi tetszıle-

21

ges pontbeli érintıje irányába esı komponense zérus, vagyis, semmilyen tangenciális erı nem keletkezhet, amely a víztömegek mozgását saját felületükön elıidézheti. A nehézségi erınek azt a szintfelületét, amely a nyílt tengerek nyugalomban lévı felszínével esik egybe, Listing német fizikus 1873-ban geoidnak nevezte el. A szárazföldek a geoidot két részre osztják: egy, a tengerszinttel egybeesı külsı és egy, a szárazföldek alatt haladó, belsı részre. A nehézségi erı potenciálfüggvényének folytonosságából következik, hogy mind a vonzó tömegen kívül, mind az azt metszı, vagy a Föld belsejében lévı szintfelületek szakadásmentesek, a felületi érintısík hajlásszöge a szintfelületi érintési pontok változásával szintén folytonosan változik. Ugyanakkor a különbözı sőrőségő rétegeket metszı szintfelület görbülete ugrásszerően változik ott, ahol ugrásszerően változik a sőrőség. Ennek oka, hogy a szintfelület görbületét valamilyen A azimut mentén a potenciálfüggvény második deriváltjai határozzák meg:

−

g ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W 2 = ⋅ cos A + ⋅ sin 2 A + ⋅ sin 2 A , ρ ′ ∂X 2 ∂X ⋅ ∂Y ∂Y 2

ahol

ρ’ − a szintfelület normálmetszetének görbületi sugara, Α − a normálmetszet síkjának az X tengellyel bezárt szöge (szintfelületi azimut). Következésképpen, a geoid görbülete azokon a helyeken, ahol szárazföldi tömegeket metsz, ugrásszerően változik, ezért a vonzó tömeg belsejében a geoid felületének akármilyen analitikus módszerekkel történı folytatása nem felel meg a geoid tényleges helyzetének. Így a geoid görbületének egy analitikus függvénnyel való meghatározása komoly akadályokba ütközik (ld. „A geoid analitikus meghatározása” c. fejezetet). Nehézséget jelent az is, hogy a szárazföldek alatti geoid helyzetének pontos meghatározásához ismernünk kell a sőrőség (tömeg) eloszlását a földkéregben. X (É)

∂g iránya ∂X

A iránya A Y (K)

P

Z

A

∂g iránya ∂Y

Vizsgáljuk meg a továbbiakban a potenciálfüggvény második deriváltjainak fizikai értelmét. A derékszögő koordináták origója legyen most a földfelszín P pontjában. A Z tengely mutasson a függıvonal mentén a Föld belseje irányába, az X és az Y tengelyek megfelelıen északra és keletre (ábra). Egyértelmő, hogy e rendszerben ∂W = g. ∂Z

∂g iránya ∂Z

∂ 2W második deriváltját írjuk fel a következıképpen: ∂Z 2 ∂ 2W ∂  ∂W  ∂g , =  = 2 ∂Z  ∂Z  ∂Z ∂Z

ahonnan látható, hogy ez a második derivált a nehézségi erı függıleges gradiense.

22

Hasonló módon átírva a ∂ 2W ∂  ∂W  ∂g , =  = ∂X ⋅ ∂Z ∂X  ∂Z  ∂X ∂ 2W ∂  ∂W  ∂g =  = ∂Y ⋅ ∂Z ∂Y  ∂Z  ∂Y

második deriváltakat, látjuk, hogy e deriváltak jellemzik a nehézségi erı változását a vízszin∂g ∂g tes síkban: a a meridián irányában, a pedig haránt (vertikális) irányban. Utóbbiakat a ∂X ∂Y nehézségi erı vízszintes gradienseinek nevezik. ∂g ∂g ∂g és a vektorok geometriai összege, vagyis az a vek∂X ∂Y ∂s tor, amelynek irányában a nehézségi erı a leggyorsabban nı (ill. csökken), s amelynek nagysága:

A teljes vízszintes gradiens a

2

2

 ∂ 2W   ∂ 2W  ∂g  ∂g   ∂g   +   . =   +   =  ∂s  ∂X   ∂Y   ∂X ⋅ ∂Z   ∂Y ⋅ ∂Z  2

2

A teljes vízszintes gradiensnek az észak felé mutató X tengellyel bezárt szöge pedig, vagyis az azimut, az alábbi: ∂g ∂ 2W tgA = ∂Y = ∂Y 2⋅ ∂Z . ∂g ∂W ∂X ∂X ⋅ ∂Z

A

∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W második deriváltak, ahogy azt feljebb, a , a és a ∂X ⋅ ∂Y ∂X 2 ∂Y 2 −

g

ρ

=

∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W 2 ⋅ cos A + ⋅ sin 2 A + ⋅ sin 2 A ∂X 2 ∂X ⋅ ∂Y ∂Y 2

képletben láttuk, a szintfelület normálmetszetének görbületét jellemzik. A fenti összefüggésben A = 0 -t helyettesítve, kapjuk:

∂ 2W g = − (a meridián irányú metszet görbülete), 2 ρ ∂X A=

π 2

- nél pedig

∂ 2W g = − (a szintfelület haránt irányú metszetének görbülete). 2 ρ ∂Y A második deriváltakat az Eötvös-féle tenzor egy 3x3 mérető mátrixban foglalja össze:

23

    E=    

∂ 2W ∂X 2 ∂ 2W ∂Y ⋅ ∂X ∂ 2W ∂Z ⋅ ∂X

∂ 2W ∂X ⋅ ∂Y ∂ 2W ∂Y 2 ∂ 2W ∂Z ⋅ ∂Y

∂ 2W   ∂X ⋅ ∂Z  ∂ 2W  . ∂Y ⋅ ∂Z  ∂ 2W   ∂Z 2 

Az Eötvös-féle tenzor a nehézségi erıtér g X , g Y , g Z összetevıi gradiensvektorának elemeit, vagyis a W potenciálfüggvény tiszta és vegyes második differenciálhányadosait tartalmazza. A tenzor ismerete lehetıvé teszi a nehézségi erı elemi kis ds elmozduláshoz tartozó elemi dg változásának kiszámítását a nehézségi erıtérben:

d g = E ⋅ ds . A tenzor elemeinek jelentıs részét mérni lehet az Eötvös-féle torziós ingával, ill. más (általában őreszközökön elhelyezett) gradiométerekkel. A potenciál elsı- és másodrendő deriváltjaival kapcsolatos néhány további kérdésre „A geoid analitikus meghatározása” c. fejezetben térünk vissza.

A nehézségi erı függıleges gradiense A nehézségi erı függıleges gradiensének alábbi képletét akkor célszerő használni, ha a szint∂ 2W ∂ 2W felület normálmetszeteinek görbületei ismertek. Helyettesítsük a és a második ∂X 2 ∂Y 2 deriváltakra kapott kifejezéseket a

∆ W = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ ϑ + 2 ⋅ ω 2 Laplace-egyenletbe! Kapjuk:

 1 ∂ 2W 1   − 4 ⋅ π ⋅ G ⋅ ϑ . = 2 ⋅ ω 2 + g ⋅  + 2 ∂Z  ρ X ρY  A fenti összefüggés a nehézségi erı függıleges gradiensét fejezi ki a sőrőség függvényében. Ebbıl következik, hogy csak a Föld tömeg- (sőrőség-) eloszlására vonatkozó megbízható ismeretek teszik lehetıvé a vonzó tömegen belül a szintfelületek (így a geoid) ezen a módon történı meghatározását. A vonzó tömegen kívüli külsı térben ϑ = 0 , így – az elızı esettel ellentétben – viszonylag egyszerő a nehézségi erıtér pontos meghatározása.

Potenciálkülönbség és ortométeres magasság A középtengerszinthez viszonyított potenciálkülönbség meghatározásához a geometriai szintezés eredményei szolgálnak alapul.

24

n

s

A geometriai szintezésnél a szintfelületek közötti dn elemi normális szakaszokat mérjük, amelyek úgy tekinthetık, mint a dl lécleolvasás-különbségek. Ekkor, az ábra szerint

ds

dn

dn = −ds ⋅ cos( g , s ) . Írjuk fel a

dW = g ⋅ cos( g , s )ds

(g,s)

összefüggést dW = − g ⋅ dn

g

alakban. A dn mennyiség úgy tekinthetı, mint végtelen közeli szintfelületek közötti elemi kis dm magasságkülönbség. Ezért a fenti összefüggésben a dn érték a dm értékkel, a (nyers) szintezett elemi magasságkülönbséggel helyettesíthetı. Integrálva a fenti összefüggést a szintezési vonal mentén a szintezési vonal 0 kezdıpontja (a mareográf) és a P magassági alappont között, a két pont közötti (véges) magasságkülönbség az alábbi képletbıl számítható: P

P

0

0

K P = WP − W0 = − ∫ g ⋅ dm ≈ −∑ g i ⋅ mi . A KP mennyiség a P pont geopotenciális értéke. A geopotenciális érték szabatos szintezéssel és hozzá kapcsolódó nehézségi mérésekkel feltevésmentesen meghatározható, egyszerő, természetes mérıszám a magasságra, melynek egyetlen hátránya az, hogy nem hosszúság jellegő. A geopotenciális érték mértékegysége a GPU (geopotencial unit):

1 GPU = 1

m2 J =1 2 . kg s

A dW = − g ⋅ dm képletbıl következik, hogy g=−

dW , dm

vagyis a nehézségi erı a potenciálnak a szintfelület külsı normálisa irányában értelmezett elsı deriváltja. Az egymáshoz közeli szintfelületek közötti távolság fordítottan arányos a nehézségi erı értékével az adott pontban. Valóban, a dW = − g ⋅ dm képletbıl dm = −

dW . g

Mivel a nehézségi erı a szintfelületen nem állandó, úgy két szintfelület közötti távolság a különbözı helyeken különbözı. A nehézségi erı értéke az egyenlítıtıl a sarkok felé nı, ezért a sarkok felé a szintfelületek közelednek egymáshoz, az egyenlítı irányában pedig távolodnak egymástól.

25

A szintfelületek tehát nem párhuzamosak, emiatt a földfelszín két pontja közötti elemi kis magasságkülönbségek összege nem határozható meg egyértelmően, mert az függ a szintezési vonal vezetésének irányától. Jelöljük a függıvonal geoid feletti véges hosszát Hg – vel (ábra) és integráljuk a dW = − g ⋅ dm kifejezést a PP’ függıvonal mentén. Kapjuk: P

P

P′

P′

K P = WP − W0 = − ∫ g ⋅ dm = − g k ⋅∫ dm = − g k ⋅ H g . P

W=WP

Innen

Hg = Hg

fizikai földfelszín

W=W0

P’

W0 − WP , gk

ahol gk – a nehézségi erı átlagos értéke a PP’ szakaszon.

geoid

Vegyük észre, hogy a függıvonal PP’ szakasza úgy is tekinthetı, mint a W=W0 normálisának része, mivel a két szakasz közti különbség a P és P’ pontok közötti még 10 km-es nagyságrendő távolságnál is kisebb, mint 0,01 mm. A P pont így kapott magasságát a tengerszint (geoid) felett ortométeres magasságnak nevezzük. A H feletti g index azt jelenti, hogy a H meghatározásához ismernünk kell a tényleges nehézségi erı gk átlagos értékét a PP’ szakaszon. Az ortométeres magasság képlete az alábbi alakban is felírható: P

1 1 P H = ⋅ ∫ g ⋅ dm ≈ ⋅ ∑ g i ⋅ mi . gk 0 gk 0 g

A fenti integrál (szumma) pontosan kiszámítható. Ehhez az szükséges, hogy a geoidot meghatározó mareográf (tengerszintmérı eszköz) és a P pont között olyan szintezési vonalat vezessünk, amely lehetıvé teszi a dm (nyers mi) szintezett magasságkülönbségek meghatározását, valamint e vonal pontjaiban mérjük a g nehézségi erı értékeit. A nehézségi erı gk átlagos értéke a PP’ szakaszon ismeretlen. Utóbbi meghatározásához ismernünk kellene a Föld felsı rétegeinek felépítését, az errıl szóló ismereteink azonban hiányosak. E hiányt valamilyen modell alapján lehet pótolni. Ennek több módja is lehetséges, egyik szokásos megoldás a nehézségi erıtér ún. Poincaré-Prey-féle modelljének alkalmazása (l. „A szárazföldön mért nehézségierı-értékek átszámítása a geoidra” c. fejezetet). Az ortométeres magasság hosszúság jellegő magassági mérıszám, hátránya, hogy az azonos ortométeres magasságú pontok általában nincsenek azonos szintfelületen, valamint az, hogy számításukhoz feltételezésekre van szükség.

26

A Föld külsı nehézségi erıtere és alakja meghatározásának problémája A Föld alakjának meghatározásához ismernünk kell a W potenciált. Ugyanakkor a potenciál pontos számítása a

W = V + VF képlet szerint nem lehetséges, mert a képletben szerepel a ϑ térfogati sőrőségtıl függı Newton-féle V tömegvonzási potenciál. A sőrőség változása a Föld belsejében viszont pontosan nem ismert. Ezért a Föld nehézségi erıterének vizsgálatakor hipotéziseket kellett felállítani a Föld belsı felépítésérıl. 1849-ben Stokes angol tudós bebizonyította, hogy a Föld külsı potenciálja meghatározható a Föld sőrőség- (tömeg-) eloszlásától függetlenül. Stokes elméleti vizsgálatai szerint, ha ismert a bolygó teljes tömege, forgási szögsebessége és a nehézségi erı vonzó tömegeket teljesen magában foglaló szintfelületének alakja, úgy a potenciál és maga a nehézségi erı egyértelmően meghatározható mind a külsı térben, mind magán a szintfelületen. Feltétel, hogy a szintfelületen kívül nem lehetnek vonzó tömegek. Ezzel megvan az elvi lehetısége annak, hogy a potenciált meghatározhassuk a sőrőség- (tömeg-) eloszlás ismerete nélkül, de nem ad választ arra a kérdésre, hogyan oldható meg a feladat egy adott konkrét szintfelületre. E kérdés felvetése az ún. Stokes-féle probléma. A megoldásra született Stokes-féle módszer a problémát olyan, viszonylag egyszerő felületekre oldja meg, mint a forgási és a háromtengelyő ellipszoid. Stokes a fordított feladattal is foglalkozott, azaz a nehézségi erı külsı szintfelülete alakjának és a külsı potenciálnak a meghatározásával, azzal a feltétellel, hogy ismert a forgási szögsebesség, valamint a nehézségi erı és a W0 potenciál a szintfelületen. Megoldásainál feltételezte, hogy a keresett W külsı potenciál elég közel van egy megadható U ún. normálpotenciálhoz. Így, a Stokes-féle feladatban csak a kicsi T = W – U értékeket kell meghatározni, amelynek második hatványai már elhanyagolhatók. Mivel 1. a geoid nem elégíti ki Stokes feltételeit, azaz nem külsı szintfelület és felette szárazföldi tömegek helyezkednek el, 2. a nehézségi erıt a Föld fizikai felszínén, s nem a geoid felületén mérik, a potenciál és a geoid alakjának meghatározásához Stokes elmélete csak akkor használható, ha a szárazföldi tömegeket figyelembe tudjuk venni, ill. a Föld felszínén mért nehézségi erıt a geoidra tudjuk redukálni. Stokes módszere sokáig csak elméleti jelentıséggel bírt, a földi gravitációs hálózat sőrősége azonban már több évtizede elérte azt a fokot, hogy kidolgozott képletei gyakorlati szempontból is hasznosíthatók. M. Sz. Mologyenszkij elképzelése (1945) szerint a geodézia elsıdleges feladata a Föld fizikai felszínének és külsı nehézségi erıterének meghatározása, amibe a földalak-elmélet szorosan nem tartozik bele. Igazolta, hogy ez a feladat elvileg szigorúan megoldható anélkül, hogy bármilyen elképzelésünk lenne a Föld belsı felépítésérıl. Azaz véleménye szerint a geodézia feladatai és a földalak-elmélet, azaz a geoid meghatározásának problémája szétválasztható. Mologyenszkij ezzel megkerülte a mért nehézségierı-értékek geoidra való redukálásának elvi nehézségeit, elı kellett állítania viszont a mért nehézségi erınek a fizikai földfelszín normáli-

27

sának irányába esı összetevıjét. A Mologyenszkij-féle elképzelés szorosan összefügg a gyakorló szakember számára leginkább fontos gyakorlati magasságmérés problémáival. A feladatot – Stokeshez hasonlóan – ı is azon feltételezés mellett oldotta meg, hogy a Föld W külsı potenciálja közel van egy ismert U normálpotenciálhoz. Vagyis épp úgy, mint a Stokesféle feladatban, ekkor is a kicsi T = W −U értékeket kell meghatározni, ahol T – a potenciálzavar. Mind a Stokes-féle, mind a Mologyenszkij-féle megoldásnál ismernünk kell U-t , valamint meg kell határoznunk a T potenciálzavart. Ekkor a keresett W potenciál a W =U +T képletbıl meghatározható.

28

A Föld normálalakja A normálpotenciál és a normál nehézségi erı Ha a nehézségi erı W ( X , Y , Z ) = const. potenciálfüggvényében a V vonzási potenciált kifejezı tagot számszerően is meg akarjuk határozni, akkor a benne elıírt integrálást a Föld belsı tömegeloszlása, ill. fizikai alakja ismeretének hiánya miatt nem tudjuk elvégezni. A vonzási potenciál leírására, s ezzel a szintfelületek valódi alakjának meghatározására alkalmasabb függvényalak a vonzási potenciálra felírható ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + ∆V = = 0, ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 Z

ψ

r

λ

Y

X

és a térbeli poláris koordinátákra (ld. ábra) átírt

∆V = r 2 ⋅

∂ 2V ∂ 2V 1 ∂ 2V ∂V ∂V + + ⋅ + 2⋅r ⋅ + cotψ ⋅ =0 2 2 2 2 ∂r ∂ψ ∂r ∂ψ sin ψ ∂λ

alakú Laplace-egyenlet megoldására kapott n = ∞ tagszámú gömbfüggvénysor. Ha a tagok összegzését valamely n = k < ∞ véges számnál abbahagyjuk, akkor a valódi potenciál helyett ennek egy k. fokú közelítését kapjuk. Ezt a közelítı függvényt a normálpotenciál függvényének (normálpotenciálnak) nevezzük és Uk-val jelöljük. Az e jelölésnek megfelelı U k ( X , Y , Z ) = const. összefüggés a k. fokú szintszferoid egyenletserege. Ezekbıl egy, a geoidnak megfelelı szintszferoid a Föld normálalakja. A Föld normálalakja, bizonyos határokon belül, mind geometriai, mind fizikai értelemben önkényesen is megválasztható. Minél alacsonyabb fokú (durvább) a közelítés, annál messzebb kerülünk a valódi elméleti földalaktól, ennek fejében viszont jóval egyszerőbb a normálalak matematikai kezelése. A célszerőség azt diktálja, hogy a Föld normálalakjaként olyan forgási ellipszoidot válasszunk, amelynek M tömege a Föld tömege, kitölti az ellipszoidot és amelynek kistengelye körül a Föld valódi, állandónak feltételezett szögsebességgel forog. Ekkor ez az ellipszoid alakú szintfelület, a szintellipszoid (normál ellipszoid) lesz a Föld normálalakja és külsı potenciálja a normálpotenciál. A szintellipszoid nem valamely szintszferoid közelítı felülete, hanem ténylegesen ellipszoid alakú szintfelület. Megjegyezzük, hogy a normálpoten29

ciálnak csak ez az egyetlen szintfelülete ellipszoid alakú, az összes többi külsı szintfelülete az ellipszoidnál nagyobb lapultságú szintszferoid. A normál nehézségi erıt γ -val jelöljük. A normál nehézségi erı tetszıleges s irányba esı komponense:

γs =

dU k . ds

A Stokes-féle elmélet szerint az M tömegnek a felületét képezı szintellipszoidon belüli eloszlása ismeretlen lehet. A szintellipszoid potenciálját a Stokes-probléma megoldásának eredményeként kapjuk. A problémát a következıképpen fogalmazhatjuk meg: Legyen ismert a szintellipszoid teljes M tömege és ω forgási szögsebessége. Meghatározandó a szintellipszoid potenciálja és a nehézségi erı mind a külsı térben, mind pedig az ellipszoid felületén. A szintellipszoid felületén a (normál) nehézségi erı a Somigliana olasz geodéta által megfogalmazott törvény szerint változik:

γ0 =

a ⋅ γ e ⋅ cos 2 ϕ + b ⋅ γ p ⋅ sin 2 ϕ a 2 ⋅ cos 2 ϕ + b 2 ⋅ sin 2 ϕ

,

ahol ϕ - ellipszoidi szélesség,

γ e - normál nehézségi erı az egyenlítın, γ p - normál nehézségi erı a sarkokon, a – az ellipszoid fél nagytengelye (egyenlítıi félátmérıje) b – az ellipszoid fél kistengelye. A képlet sorba fejtett alakja:

γ 0 = γ e ⋅ (1 + β ⋅ sin 2 ϕ − β 1 ⋅ sin 2 2ϕ ) .

ahol

β=

γp −γe , γe

1 8

1 4

β1 = ⋅ f 2 + ⋅ f ⋅ β és

f - az ellipszoid lapultsága. A mesterséges holdak méréseit is figyelembe vették az 1967-ben elfogadott és ajánlott alábbi képletben: γ 0 = 9,780318 ⋅ (1 + 0,0053024 ⋅ sin 2 ϕ − 0,00000059 ⋅ sin 2 2ϕ ) m A fenti képlet az IUGG/1967 vonatkoztatási ellipszoidra vonatkozik, a γ 0 értékét 2 egységs ben fejezi ki.

Összefüggések a szintellipszoid paraméterei között A szintellipszoid alakja, forgási szögsebessége, valamint a póluson és az egyenlítın érvényes nehézségierı-értékek között a Pizetti olasz tudós által felfedezett szigorú matematikai össze30

függés áll fenn. A képlet az f lapultság hatványai szerint sorba fejtve, az alábbi alakra hozható: γ p − γ e 17 5 f = ⋅q − − ⋅ f ⋅ q , (1) 2 γe 14 ahol q=

ω2 ⋅a . γe

A fenti képlet az egyik nevezetes Clairaut-féle összefüggés, amelynek jelentısége abban van, hogy lehetıséget nyújt a Föld elméleti alakját helyettesítı szintellipszoid f geometriai lapultságának meghatározására az ω forgási szögsebesség és az ellipszoid a egyenlítıi félátmérıjének ismeretében a normál nehézségi erı γp sarki és γe egyenlítıi értéke, vagyis fizikai jellegő mennyiségek alapján: γp −γe 5 ⋅q − 2 γe f = . 17 1+ ⋅ q 14 A q értékét ismertnek tekinthetjük. Nehézségierı-méréseket mind a szárazföldeken, mind a tengerek felszínén végeznek, ezért természetes, hogy a Clairaut-féle képlet útján meghatározható lapultság jobban jellemzi a Földalak egészét, mint a Föld kb. 1/3-át lefedı szárazföldeken végzett fokmérésekbıl levezetett lapultság (ld. a „Fokmérés” c. fejezetet). Az U0 normálpotenciál értékére a szintellipszoid felületén és a szintellipszoid M tömegére teljesen általános formában felírhatók az U 0 = U 0 (a, b, ω , γ e ) , (2) és a

G ⋅M = G ⋅ M (a, b, ω , γ e ) (3)

összefüggések, célszerően gömbfüggvénysor formájában. A Föld normálalakját és a normál nehézségi erıteret hét mennyiség határozza meg: a, f, ω, G ⋅ M , γ e , γ p , U0, ahol a G ⋅ M szorzat az ún. geocentrikus gravitációs állandó. A 7 mennyiség közül elegendı négyet ismernünk, mert az (1), (2) és (3) képletekkel a többi számítható. A földi mérések adatainak feldolgozásánál a 4 kiinduló mennyiség: a, f, ω, γ e . Példaképpen, a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió (IUGG) 1967. évi közgyőlésén ajánlott Geodéziai Vonatkoztatási Rendszer (GRS67) paraméterei az alábbiak: a = 6378160 m , 1 f = , 298,247 1 s

ω = 7,292115 ⋅ 10 −11 , G ⋅ M = 3,98603 ⋅ 1014

Nm 2 m3 (vagy 2 ) , kg s

31

N m (vagy 2 ) , kg s β = 0,0053024 ,

γ e = 9,780318

U 0 = 6,263703 ⋅ 10 7 J/kg (vagy

m2 ). s2

A γ e és a β függvényében a γ p is számítható. A GPS vonatkoztatási rendszere, a Geodéziai Világrendszer (World Geodetic System = WGS84) hasonló paraméterei: a = 6378137 m , 1 f = , 298,257223 1 s

ω = 7,292115 ⋅ 10 −11 , Nm 2 m3 G ⋅ M = 3,986005 ⋅ 10 (vagy 2 ) , kg s N m γ e = 9,7803267714 (vagy 2 ) , kg s N m γ p = 9,8321863685 (vagy 2 ) , kg s m2 U 0 = 6,263686085 ⋅ 10 7 J/kg (vagy 2 ) . s 14

Normál függıleges gradiens és normál görbület A normál függıleges gradiens a normál nehézségi erı változását fejezi ki a magasság függvényében és az alábbi összefüggésbıl számítható: ∂γ 2 ⋅γ mgal =− − 2 ⋅ ω 2 = −0,30855 ⋅ (1 + 0,00071 ⋅ cos 2ϕ ) = ∂n Rk m 1 = −3,0855 ⋅ 10 −6 ⋅ (1 + 0,00071 ⋅ cos 2ϕ ) 2 s

.

A fenti képletben n – a szintellipszoid külsı normálisának iránya, Rk – a szintellipszoid közepes görbülete. A normál függıleges gradiens igen csekély mértékben függ a pont ellipszoidi szélességétıl. Ezért kis magasságokon elhanyagolható, ekkor a normál nehézségi erı értéke az ellipszoid felett h magasságban az alábbi összefüggésbıl kapható meg:

γ =γ0 −

∂γ ⋅ h = γ 0 − 3,086 ⋅ 10 − 6 ⋅ h . ∂n

m -ben kell kifejezni. A s2 mínusz jel arra utal, hogy az ellipszoid feletti pozitív magasságoknál a normál nehézségi erı magassági javítása negatív.

A fenti képletben h–t méterben, a normál nehézségi erıt (gyorsulást)

32

A normál nehézségi erıtér függıvonalának görbülete: 1

ρ

=

β Rk

⋅ sin 2ϕ .

A normál nehézségi erıtér függıvonala – a tényleges nehézségi erıtérrel szemben – síkgörbe, amely a szabályos tömegeloszlás miatt mindig a meridián síkjában fekszik és a sarkok felé a homorú oldalát mutatja. Minthogy β az f lapultság nagyságrendő, ebbıl következik, hogy a függıvonal görbületi sugara kb. 200-szorosa a Föld sugarának.

33

A tényleges nehézségi erıtér és a normál nehézségi erıtér eltérései A potenciálzavar A fizikai földfelszín szintellipszoidtól való eltéréseit a potenciálzavar segítségével határozzuk meg. A geoid meghatározásakor a potenciálzavart értelmezni kell a földfelszíni pont geoidi megfelelıjében is. A

W = V + VF összefüggés analógiájára a normálpotenciált felírhatjuk az

U = V e + VFe alakban, ahol

V e - a szintellipszoid vonzási potenciálja, VFe - a szintellipszoidra vonatkozó centrifugális erı potenciálja. Behelyettesítve a potenciálzavar T = W − U képletébe, írhatjuk:

(

) (

)

T = V − V e − VF − VFe . Látható, hogy a potenciálzavar értéke jelentısen függ a normálpotenciál megválasztásától, vagyis attól, milyen ellipszoidot választunk szintellipszoidnak. Geocentrikus elhelyezéső ellipszoidok esetén ideális esetben amellett, hogy a szintellipszoid középpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával, forgástengelye is egybeesik a Föld forgástengelyével, tömege egyenlı a Föld tömegével, az ellipszoid felületén az U0 potenciál megegyezik a középtengerszint W0 potenciáljával. A regionális és helyi ellipszoidok egy földrész, vagy egy ország alappont-hálózati méréseinek feldolgozására szolgálnak, a Föld egy kisebb felületdarabján simulnak a geoidhoz és általában nem igazak, vagy csak részben igazak rájuk a fenti feltételek. Geocentrikus ellipszoidoknál VF = VFe , míg regionális, vagy helyi ellipszoidoknál általában VF ≠ VFe . Figyelembe véve ugyanakkor, hogy az ellipszoidok és a Föld forgástengelyeinek távolsága mindössze 100 m nagyságrendő, ezt az eltérést elhanyagolhatjuk. Következésképpen, a potenciálzavar úgy határozható meg, mint a Föld valódi vonzási potenciáljának és az ellipszoid vonzási potenciáljának a különbsége: T = V −V e . A potenciálzavar a vonzási potenciál minden tulajdonságával rendelkezik. A külsı térben a potenciálzavar harmonikus függvény, vagyis kielégíti a ∆T = 0 Laplace-egyenletet. A potenciálzavar közvetlenül nem mérhetı, ugyanakkor a földfelszíni pontokban mérésekbıl kapott mennyiségeken keresztül kifejezhetı. Azt a feltételt, amelyet a potenciálzavarnak a fizikai földfelszín, vagy a geoid pontjaiban ki kell elégítenie, peremfeltételnek nevezzük.

34

A potenciálzavar meghatározása a ∆T = 0 Laplace-egyenlet megoldására vezethetı vissza úgy, hogy a kapott T érték a fizikai földfelszín, vagy a geoid pontjaiban kielégítse a peremfeltételt. Ezeket a feladatokat a potenciálelmélet peremérték-feladatainak nevezzük.

A földfelszíni függıvonal-elhajlás A Föld valódi nehézségi erıterének a normál nehézségi erıtértıl való eltérése miatt a földfelszín adott P pontjában ható valódi g nehézségi erı iránya nem esik egybe a normál nehézségi erı irányával ugyanabban a P pontban. A földfelszíni P pontban a valódi és a normálpotenciál szintfelületének felületi normálisai által bezárt szöget földfelszíni, vagy Mologyenszkij-féle függıvonal-elhajlásnak nevezzük.

P

θ

geoid szintellipszoid

A függıvonal-elhajlás értéke egyenletes, síkhoz közeli terepen néhány szögmásodperc nagyságrendő, amely ugyanakkor a magasabb hegyekben akár az 1’-et is elérheti. Ennek következtében a földfelszíni pontok Φ , Λ szintfelületi koordinátái eltérnek a ϕ , λ ellipszoidi koordinátáktól. A földfelszíni függıvonal-elhajlás ξΜ meridián és ηΜ haránt irányú összetevıi, valamint a P pont ϕ normálszélessége és λ normálhosszúsága közötti összefüggések az alábbiak:

ϕ = Φ − ξM − κ , η λ =Λ− M cos Φ ahol, az ismert jelöléseken túl, κ - a normál nehézségi erıtér függıvonalának görbültsége miatti javítás:

κ = 1,71 ⋅ 10 −4 ⋅ h ⋅ sin 2ϕ . A javítást ”-ben kapjuk, ha a h-t méterben írjuk be. A képletben h – a P pont ellipszoidi magassága. A fenti összefüggés egyben kifejezi az ellipszoidi szélesség κ = ∆ϕ változását a h magasság függvényében. Mint látjuk, a λ ellipszoidi hosszúság nem kap javítást, ugyanis forgásfelületen a függıvonal – mint mondtuk a „Normál függıleges gradiens és normál görbület” c. fejezetben – a szabályos tömegeloszlás miatt a meridián síkjában van.

35

Α ξΜ meridián és az ηΜ haránt irányú összetevık elıjele pozitív, ha a szintfelületi zenit az ellipszoidi zenittıl északkeletre, negatív, ha délnyugatra hajlik el. A T potenciálzavar és a földfelszíni függıvonal-elhajlás között az alábbi összefüggések állnak fenn: 1 ∂T ξM = − ⋅ γ ⋅ Rk ∂ϕ , 1 ∂T ηM = − ⋅ γ ⋅ Rk ⋅ cos ϕ ∂λ

ahol Rk – a közepes földgörbület.

Normálmagasság és magassági rendellenesség Jelöljük hP-val a P pont szintellipszoidi normális mentén vett ellipszoidi (ellipszoid feletti) magasságát*. P

W=WP

ζ N

U=WP

fizikai földfelszín

h

telluroid

Hn

W=W0

geoid

U=W0

ellipszoid

P0

Ha ismernénk a P0 és a P pont közötti U0 − UP normálpotenciál-különbséget (ábra), úgy az ellipszoidi magasság az alábbi képletbıl lenne meghatározható:

hP =

U0 −UP

γk

,

ahol γ k - a normál nehézségi erı értéke a PP0 szakaszon. Ugyanakkor a mérési eredményekbıl a W 0 − W P valódi potenciálkülönbség határozható meg, ahol W 0 - a nehézségi erı potenciálja a középtengerszinten, W P - a nehézségi erı potenciálja a P pontban. Az U 0 − U P normálpotenciál-különbség helyett a W 0 − W P valódi potenciálkülönbségbıl az ellipszoidi magasságnak csak a Hn összetevıje, az ún. normálmagasság határozható meg. Ennek megfelelıen a normálmagasság értéke a P pontban: *

Az ortométeres magasság tárgyalásakor a Hg ortométeres magasságot, s így a P0 pont helyzetét az ellipszoidon a P pont függıvonala mentén értelmeztük. A Hn viszont a P pontból az ellipszoidra bocsátott merılegesen (a szintellipszoidi normálison) helyezkedik el. Emiatt a P0 pont helyzete sem ugyanaz. Az egyenesek közötti szög – mint láttuk feljebb - a földfelszíni függıvonal-elhajlás. Ezt az eltérést a PP0 távolságokra vonatkozóan most és a következı fejezetben figyelmen kívül hagyjuk.

36

H Pn =

W0 − WP

γk

.

A fenti képletben

γ k = γ e ⋅ (1 + β ⋅ sin 2 ϕ P − β1 ⋅ sin 2 2ϕ P ) +

∂γ H Pn ⋅ . ∂n 2

A P pont hP ellipszoidi és H Pn normálmagassága közötti

ζ P = hP − H Pn különbséget magassági rendellenességnek nevezzük. A ζ P magassági rendellenesség a P pontbeli ellipszoidi normális NP szakaszának hossza. A magassági rendellenesség a földfelszíni potenciálzavar függvényében az alábbi összefüggéssel fejezhetı ki: T ζP = P ,

γN

ahol γ N - a normál nehézségi erı értéke az N pontban (ld. ábra). A fenti képlet szemléletesen belátható, ha visszaidézzük „A potenciálzavar” c. fejezet „a potenciálzavar a vonzási potenciál minden tulajdonságával rendelkezik” megállapítását. Ha ui. a potenciálzavar (mint a potenciál maga) munka jellegő mennyiség, akkor az elıbbi képlet szerint kifejezhetı a nehézségi erınek és a ζ P útnak a szorzataként: TP = γ N ⋅ ζ P . A fentiek szerint tehát az ellipszoidi magasság két összetevı algebrai összege: hP = ζ P + H Pn . Az eddigiekbıl látszik, hogy az N pont a PP0 szakasz azon pontja, amelyben a normálpotenciál U számértéke a P pont valódi WP potenciálértékével egyenlı (ábra). Az N pontok által alkotott felületet az egész Föld viszonylatában telluroidnak nevezik. A telluroid tehát a fizikai földfelszín egy olyan közelítése, amelynél a magassági rendellenességet figyelmen kívül hagyjuk. A normálmagasság a geometriai szintezés mérési eredményeibıl feltevésmentesen számítható, gyakorlati célokra, így az országos magassági alappont-hálózat számára jól használható magassági mérıszám.

Dinamikai magasság Megemlítjük, hogy az ortométeres magasság azon hátrányát, miszerint az azonos ortométeres magasságú pontok nincsenek azonos szintfelületen, kiküszöbölhetjük úgy, hogy a pont geopotenciális értékét elosztjuk valamilyen – megállapodásban rögzített – normál nehézségierı-értékkel. Az így kapott magasság egy nemzetközi szinten elfogadott normál nehézségierı-képletbıl pl. a ϕ = 45 o ellipszoidi szélességre számított érték, az ún. dinamikai magasság: P 1 1 H Pd = − ⋅ KP ≈ ⋅ ∑ g i ⋅ mi

γ 45

o

γ 45

o

0

A dinamikai magasság a pont geopotenciális értékével arányos mennyiség, geometriai tartalma nincs. 37

A kvázigeoid és a geoidunduláció Láttuk, hogy a ζ érték a potenciálzavar függvénye és jellemzi a nehézségi erıtér rendellenességének mértékét. Ennek szemléltetése céljából a szintellipszoid felületi normálisa mentén hordjuk fel a fizikai földfelszín P pontjaiban meghatározott ζ magassági rendellenességeket. Az alábbi ábra alapján így a P” pontok halmaza jön létre. Az így definiált felületet M.Sz. Mologyenszkij kvázigeoidnak nevezte el. Ekkor a ζ magassági rendellenesség nem más, mint a kvázigeoid magassága az ellipszoid felett, a H Pn normálmagasság pedig a fizikai földfelszín P pontjának az ellipszoidi normális mentén értelmezett kvázigeoid feletti magassága. A kvázigeoid nem szintfelülete a nehézségi erınek. A kvázigeoid ∆ζ eltéréseit a geoidtól az alábbi képletbıl kaphatjuk meg:

∆ζ = ζ ′ − ζ = H n − H g =

γ k − gk gk

⋅Hn ,

ahol ζ - a kvázigeoid magassága (undulációja) az ellipszoid felett, ζ ' (a hazai és a nemzetközi irodalomban szokásos jelölése N) - a geoid magassága az ellipszoid felett (geoidunduláció*), P

W=WP

Hg

W=W0

Hn

P’

fizikai földfelszín geoid

P’’

ζ’=N

ζ

kvázigeoid

U=W0 P0

ellipszoid

gk és γk – a valódi és a normál nehézségi erı átlagos értékei a P pontban. A fenti képlettel végzett számítások szerint a ∆ζ eltérések nagyságrendje sík terepen néhány cm, a magasabb hegyekben viszont megközelítheti a 2 m-t. Minthogy a tengerek felszínén a

∫ g ⋅ dm potenci-

álkülönbségek értéke zérus, így mind a normál, mind az ortométeres magasságok is zérus értékőek, s emiatt ∆ζ = 0 . Ez azt jelenti, hogy a tengereken a geoid és a kvázigeoid egybeesnek. Következésképpen, a kvázigeoid csak a szárazföldön, s ott is jelentéktelen mértékben tér el a nehézségi erı „középtengerszintnek” (geoidnak) nevezett szintfelületétıl. Mivel a geoid hely*

Látjuk, hogy a geoidunduláció valójában nem a függıvonal, hanem az ellipszoid P0 pontbeli normálisa mentén értelmezett geoid-ellipszoid távolság. Nagyságrendje azonban – ellipszoidtól függıen változóan - mindössze néhányszor 10 m, ezért ez az értelmezésbeli különbség elhanyagolható.

38

zete a szárazföldek alatt nem határozható meg pontosan, ezért „középtengerszintnek” a kvázigeoid felülete is elfogadható. A szintvonalas térképeken ábrázolt, s a szintvonalakban megtestesülı normálmagasságok tehát a kvázigeoid felett értelmezhetık. A kvázigeoid bonyolult, az ellipszoidhoz viszonyítva „hullámos” felület, amelynek

ζ magasságai abszolút értelemben a 100 m-t nem haladják meg.

A mai gyakorlatban találkozunk mind a geoid, mind a kvázigeoid fogalmával. A kettı – mint láttuk - a tengereken egybeesik, a szárazföldeken pedig annyira különbözik, mint az ortométeres magasság a normálmagasságtól (<2 m). A két felület pontjait ugyanis úgy is értelmezhetjük, hogy a fizikai földfelszínen lévı pontból vagy az ortométeres magasságot, vagy a normálmagasságot mérjük vissza a pont függılegesén. Elsı esetben a geoid, második esetben a kvázigeoid pontjaira jutunk. Az ábrából látható, hogy az ellipszoidi magasság úgy is kifejezhetı, mint a geoidunduláció és az ortométeres magasság algebrai összege: hP = N P + H Pg . Az N geoidunduláció és a földfelszíni P pont P’ geoidi megfelelıjében a TP′ potenciálzavar között a „Normálmagasság és magassági rendellenesség” c. fejezet magassági rendellenességhez kapcsolódó indoklásával az alábbi kapcsolat írható fel: NP =

TP′

γP

*

,

0

ahol γ P0 - a normál nehézségi erı értéke a P0 pontban (ld. ábra).

A szárazföldön mért nehézségierı-értékek átszámítása a geoidra Ha a valódi nehézségi erıteret, ill. az erıteret jellemzı mennyiségeket össze akarjuk hasonlítani a normál erıtér megfelelı adataival, vagy meg akarjuk határozni ezek eltéréseit, ismernünk kell a valódi nehézségi erıt a geoid (középtengerszint) és a szint (normál-) ellipszoid felületének egymásnak megfelelı pontjaiban. A normál nehézségierı-értékeket számítani lehet „A Föld normálalakja” c. fejezetben bemutatott, ill. nemzetközi szervezetek által ajánlott képletek alapján, a valódi nehézségi erıt a szárazföldeken azonban csak a földfelszínen tudjuk mérni. Ráadásul ezeken a területeken – érthetı okokból – a nehézségi erıt a könnyen hozzáférhetı helyeken mérik, a nehezen megközelíthetı helyeken nehézségierı-méréseket nem (ritkán) végeznek. Minél nagyobb a szilárd földfelszín és a geoid felszíne közötti tömeg, annál nagyobb a mért nehézségi erı eltérése attól az értéktıl, amelyet – ha lehetne – a geoid felületén mérnénk. A felszíni tömegek hatása miatt tehát a szilárd földfelszín diszkrét pontjaiban mért nehézségi erıt a geoid felületére kell redukálnunk. A redukálás – mint a geodéziában általában – itt is a mért értékek megjavítását, korrekcióját jelenti. Elvileg minden mérési pontban a Föld egész tömege geoid feletti részének hatását figyelembe kellene venni. Ez a hatás a földfelszíni tömegek vonzásának a földfelszín adott P pontjában a „Függıvonalak és szintfelületek” c. fejezet koordinátarendszerében (a Z tengely a függıvonal mentén a Föld belseje irányába, az X és az Y tengelyek megfelelıen északra és keletre mutat) érvényes nehézségierı-irányú

*

Ez a képlet a nevezetes Bruns-féle összefüggés arra az esetre, amikor, mint már említettük „A potenciálzavar” c. fejezetben, a geocentrikus szintellipszoid felületén az U0 potenciál megegyezik a középtengerszint W0 potenciáljával. A képletnek majd a geoid meghatározásánál lesz szerepe.

39

f

Z

= δg

M′

összetevıjével fejezhetı ki. M’ - a Föld teljes geoid feletti domborzata. A távoli tömegek hatása viszont olyan csekély, hogy a δg redukálást elegendı a mérési pont (elıre meghatározott) környezetének hatására korlátoznunk. A földfelszíni mérések geoidra történı átszámításánál az alábbi korrekciókat értelmezik: kg átlagos sőrőségérték m3 mellett δg B = 1,119 ⋅ 10 −6 ⋅ H , G – tömegvonzási állandó, H - a vizsgált pont magassága. m Ha a H magasság értékét m-ben írjuk be, a javítás értékét 2 -ben kapjuk; s

- δg B = 2π ⋅ G ⋅ ϑ ⋅ H - a Bouguer-féle korrekció, értéke ϑ = 2670

- δg F ≈ +3,086 ⋅ 10 −6 ⋅ H - a Faye-féle (Free-air, szabad levegı) tiszta magassági javítás. Ha a m H magasság értékét m-ben írjuk be, a javítás értékét szintén 2 -ben kapjuk; s - δg T - topografikus javítás, a tömeghiányok, ill. tömegtöbbletek hatását veszi figyelembe; - δg kond - kondenzációs korrekció; - δg izo - izosztatikus korrekció. Attól függıen, hogy a fenti korrekciókat milyen kombinációban alkalmazzák, különbözı földmodell elképzelések alakultak ki. A modellekbıl kapott δg értékeket hozzáadva a P pontban mért gmért nehézségierı-értékhez, kapjuk a geoidra redukált gred nehézségi erıt: g red = g mért + δg .

Bouguer-féle modell E modellnél 1. eltávolítjuk a mérési pont és a geoid között lévı szárazföldi tömegek hatását. A valódi földfelszín és a geoid közötti tömegek hatását az alábbi ábrán látható H vastagságú, vízszintesen végtelen kiterjedéső lemez, az ún. Bouguer-lemez hatásával közelítjük. Ezzel olyan g értékre jutunk, amit a földfelszíni P pontban mérnénk, ha alatta a geoidig nem lennének tömegek (Bouguer-féle korrekció). földfelszín

mérési pont A

B

P

ϑ

H

vonatkoztatási szint P’

40

2. a mérési pontot a függıvonal mentén eltoljuk P’-be. Az ebbıl származó tiszta magassági javítás a gmért érték növelését jelenti, mert a Föld tömegközéppontja és a mérési pont közötti távolság csökken (Faye-féle javítás). A két korrekció összegzésével a Bouguer-féle modell az alábbi:

δg = −δg B + δg F . E modellel olyan nehézségierı-értéket kapunk, amelyet a geoidon mérnénk, ha felette nem lennének tömegek. Javított Bouguer-féle modell A Bouguer-féle korrekció a mérési pont és a vonatkoztatási szint közötti tömegek hatásának kiküszöbölésére csak az elsı lépés. Az ábrából látszik, hogy pl. a P és B pontok között kevés tömeget távolítunk el, míg pl. az A és P pontok között olyan tömeget feltételezünk, ami tulajdonképpen nem is létezik. A δg T topográfiai javítás a fizikai földfelszín és a Bouguer-lemez felsı határa közötti tömegek, ill. „tömeghiányok” hatását veszi figyelembe, azaz a megfigyelt ponton áthaladó H = const. vízszintes síktól való eltérést. A topográfiai javítás figyelembe vétele után olyan nehézségierı-értékhez jutunk, amelyet akkor kapnánk, ha a fizikai földfelszín a kiválasztott terület határain belül szigorúan vízszintes lenne. A topográfiai javítás értelemszerően pozitív elıjelő:

δg = −δg B + δg F + δg T . Mivel a sík anyagi réteg tömegvonzása független a pont rétegtıl való távolságától, azon feltétel mellett, hogy ez a távolság kicsi a réteg vastagságához képest, mondhatjuk, hogy a topográfiai javítás bevezetése egyenértékő a vonzó tömegek H = const. magasságban való sőrítésével. A topográfiai javítás számszerő értékének meghatározásához a fizikai földfelszínt a megfigyelt pont környezetében koncentrikus körökkel és radiális irányú sugarakkal kicsiny szegmensekre bontjuk. A koncentrikus körök sugarainak méretét, ill. a radiális irányú sugarak számát úgy állapítják meg, hogy minden szegmens belsejében a megfigyelt pont feletti m magasságot állandónak lehessen tekinteni.

ϑ 2π / n

m

P ri ri+1

A topográfiai javítás az egyes szegmensek összegzett hatásaként adódik:

δg T,1 =

2π ⋅ G ⋅ϑ ⋅ n

(∑ (r

i

2

)

+ m2 −

(r

2 i +1

)

)

+ m 2 + ri +1 − ri .

A fenti képletben 41

n – a sugarak száma, ϑ - a kızetsőrőség, m – a szegmens magassága a megfigyelt pont felett, ri – a belsı zóna sugara, ri+1 – a külsı zóna sugara.

Az így számított javítás a 100 m-en kívüli és 10 km-ig terjedı környezet hatását, az ún. térképhatást fejezi ki. Megjegyezzük, hogy a 100 m sugarú közvetlen környezet hatását, a δg T,2 ún. térszínhatást is figyelembe szokták venni. Ez a hatás ilyenkor hozzáadódik az elızı képlet jobboldalához: δg T = δg T,1 + δg T,1 . Faye-féle modell Az elsı két lépés megegyezik a Bouguer-féle modell lépéseivel. A 3. lépésben a geoid feletti tömegeket igen vékony, de nagy sőrőségő rétegben a geoid alá tömörítjük. Mivel, mint mondtuk feljebb, a sík anyagi réteg tömegvonzása független a pont rétegtıl való távolságától, de függ a benne foglalt tömeg nagyságától, a kondenzációs korrekció számítása legegyszerőbben a Bouguer-lemez mintájára történhet. Ez esetben viszont a kondenzációs korrekció abszolút értékben megegyezik a Bouguer-féle korrekcióval, de elıjele pozitív. A δg B = −δg kond korrekciót hozzáadva a Bouguer-féle modellhez, a

δg = −δg B + δg F + δg B = δg F nagyon egyszerő alakra jutunk, ahol a geoidra történı átszámításhoz csupán a tiszta magassági (Faye-féle) javításra van szükségünk. Poincaré-Prey-féle modell A középtengerszint (geoid) feletti (ortométeres) magasság számításához olyan nehézségierıértékre van szükségünk, amit a Föld belsejében mérnénk úgy, hogy minden tömeg a helyén van. A modell elsı két lépése itt is megegyezik a Bouguer-féle modell lépéseivel. A 3. lépésben az elsı lépésben eltávolított tömegeket visszahelyezzük és figyelembe vesszük vonzásukat a most már a geoidon lévı P’ pontra. Ennek figyelembe vétele ugyancsak a Bouguer-féle korrekcióval történik, ami most ismét csökkenti a gmért mennyiséget, mert a geoid P’ pontjában a földfelszíni P ponthoz képest ezeknek a tömegeknek a vonzása a Föld többi tömegeivel ellentétes irányba hat:

δg = −δg B + δg F − δg B = −2 ⋅ δg B + δg F . A Poincaré-Prey-féle modellnek a nehézségi erı gk átlagos értékének modellezésekor, az ortométeres magasság számításakor van szerepe. Az izosztatikus korrekcióval, ill. modellel az „Izosztázia és izosztatikus rendellenesség” c. fejezetben foglalkozunk majd.

A nehézségi erı rendellenességei Attól függıen, hogy a meghatározandó felületünk a Föld fizikai, vagy matematikai (elméleti) alakja, képezzük a nehézségi rendellenességet a földfelszíni, vagy geoidi pontban, és beszélünk földfelszíni, ill. geoidi nehézségi rendellenességrıl. A földfelszíni nehézségi rendellenesség számításakor a földfelszínen ténylegesen mért gmért értékeket vetjük össze a szintellipszoid felett Hn normálmagasságban, a „Normálmagasság és

42

magassági rendellenesség” c. fejezet ábrájának N pontjában, a telluroid felületén lévı γ N normál nehézségierı-értékkel, vagyis számítjuk a kettı ∆g f = g mért − γ N különbségét. Az így kapott mennyiség a nehézségi erı földfelszíni rendellenessége (röviden: földfelszíni nehézségi rendellenesség), vagy földfelszíni gravitációs anomália*. „A normálpotenciál és a normál nehézségi erı” c. fejezetben megadtuk a normál nehézségi erı szintellipszoid felületén való változására vonatkozó

γ0 =

a ⋅ γ e ⋅ cos 2 ϕ + b ⋅ γ p ⋅ sin 2 ϕ a 2 ⋅ cos 2 ϕ + b 2 ⋅ sin 2 ϕ

összefüggést, valamint ennek

γ 0 = γ e ⋅ (1 + β ⋅ sin 2 ϕ − β 1 ⋅ sin 2 2ϕ )

sorba fejtett alakját. A γ N érték „A normál függıleges gradiens és normál görbület” c. fejezet megfelelı képlete szerint, az ottani h helyett a Hn normálmagasságot helyettesítve, a

γ N = γ 0 − 3,086 ⋅ 10 −6 ⋅ H n összefüggésbıl számítható. A képlet jobboldalának második tagja valójában a Faye-féle tiszta magassági javítás, amit most, az ellipszoid felületétıl távolodva, a γ 0 értékbıl le kell vonni. Földfelszíni Bouguer-féle rendellenesség A földfelszínen mért nehézségi erı (gyorsulás) értékét csak a Bouguer-féle korrekcióval módosítjuk:

∆g Bf = g mért − δg B − γ N . Földfelszíni Faye-féle rendellenesség A mért nehézségierı-értéket csak a topográfiai javítással módosítjuk:

∆g Ff = g mért + δg T − γ N . A geoidi nehézségi rendellenességnél az elızı fejezetben tárgyalt g red = g mért + δg

összefüggésbıl kapott értéket vetjük össze az ugyanazon pont függılegesében az ellipszoid felületén számítható γ 0 értékkel, vagyis képezzük a kettı ∆g = g red − γ 0 különbségét. Az így kapott mennyiséget a nehézségi erı geoidi rendellenességének (röviden: geoidi nehézségi rendellenességnek), vagy geoidi gravitációs anomáliának nevezzük. A geoidi nehézségi rendellenességek meghatározásakor e különbségekbe a geoidra átszámított, s az elızı fejezetben a különbözı modelleknek megfelelı nehézségierı-értékeket helyettesítjük be. Geoidi Bouguer-féle rendellenesség A rendellenességet a javított Bouguer-féle modellbıl kapjuk:

∆g B = g mért − δg B + δg F + δg T − γ 0 .

*

A rendellenességekbıl a kivonási mővelet során a centrifugális tag kiesik, így a maradékban már csak a tömegvonzási (gravitációs) tag szerepel.

43

A ∆g B Bouguer-féle rendellenességek a geoid felszínén viszonylag sima lefutásúak, jól interpolálhatók. Hátrány, hogy megváltozik a Föld tömege, ill. ennek következtében áthelyezıdik a tömegközéppontja. Emiatt a geodéziában kevésbé használatos. Geoidi Faye-féle rendellenesség A Faye-féle modell alapján felírható:

∆g F = g mért + δg F − γ 0 . A Faye-féle rendellenességek jól tükrözik a domborzati formákat, emiatt igen változatos, nehezen interpolálható mennyiségek. Használatuk - számításuk egyszerősége miatt - mégis a legelterjedtebbek a geodéziában. A nehézségi rendellenességek legfontosabb felhasználási területe a Föld elméleti alakjának, a geoidnak a meghatározása. A geodéziai gyakorlatban ezért elsısorban a Faye-féle rendellenességet, míg a geofizikai gyakorlatban fıleg a Bouguer- és a Faye-féle rendellenességeket használják. A Poincaré-Preyféle modellhez nehézségi rendellenességet nem számítanak. A nehézségi rendellenességek mesterséges holdak segítségével történı meghatározására „A geoid meghatározása” c. fejezetben térünk majd ki.

A nehézségi erı rendellenességeinek predikciója A nehézségi rendellenességek meghatározása céljából a kérdéses területen részletes gravimetriai felmérést végeznek, a mért értékeket minden mérési pontban redukálják, majd minden egyes ponthoz számítják a nehézségi erı (gyorsulás) normális értékét, ill. ezek alapján a ∆g = g red − γ 0 rendellenességeket. A geodéziai gyakorlatban, illetve a különbözı (Bouguer, Faye) izoanomália-térképek (izoanomáliák az egyenlı rendellenességgel bíró pontokat összekötı vonalak) elıállításakor gyakran elıfordulhat, hogy olyan helyeken is szükség van a nehézségi erı rendellenességeire, ahol valójában nem végeztünk méréseket, ill. azokat nem ismerjük. A nehézségi rendellenességek legvalószínőbb értékeit ekkor az ún. predikcióval (interpolációval és/ vagy extrapolációval) határozhatjuk meg. Az alábbi megoldások elvileg minden típusú rendellenességre alkalmazhatók, de a különbözı rendellenességekre más-más megoldásokat javasolnak. Tételezzük fel, hogy az alábbi ábrán látható pontmezı diszkrét pontjaiban ismertek a ∆g1 , ∆g 2 ,..., ∆g n rendellenességek.

∆g1 ∆g3

∆g2

P

∆gP = ? ∆gi

∆gn

44

Feladatunk az, hogy a ∆g 1 , ∆g 2 ,..., ∆g n rendellenességek értékeinek felhasználásával megha-

tározzuk a ∆ g P rendellenesség értékét a P pontban. A feladat matematikailag az alábbi formában írható fel:

∆ g P = f (∆g1 , ∆g 2 ,..., ∆g n ) . A fenti függvény legegyszerőbben a n

∆ g P = a1 ⋅ ∆g 1 + a 2 ⋅ ∆g 2 + ...a n ⋅ ∆g n = ∑ a i ⋅∆g i i =1

lineáris alakban fogalmazható meg. Ez esetben az ai együtthatók értékei csak a P pont többi ponthoz viszonyított elhelyezkedésétıl függnek. Az ai együtthatók megválasztásának módjától függıen leginkább az alábbi predikciós módszerek használatosak: Zérus-rendellenesség: Nagyon ritka hálózatok esetén feltételezzük, hogy az ismeretlen pontokon a rendellenesség értéke zérus. Ez elsısorban az izosztatikus rendellenességekre igaz (ld. az „Izosztázia és izosztatikus rendellenesség” c. fejezetet!), hiszen az izosztatikus egyensúly esetén ez valóban zérus, vagy ahhoz igen közeli érték. Ez esetben minden együttható értéke zérus: a1 = a 2 = ... = a i = ... = a n = 0 .

Reprezentatív érték: A ritka (általában 10 km-nél kisebb pontsőrőségő) hálózatok esetén a leginkább jellemzı ∆gi értéket tekintjük a P pont ismeretlen rendellenesség-értékének, vagyis

∆ g P = ∆g i . Ekkor az i. pont rendellenesség-értékéhez az a i = 1 együttható tartozik, míg a többi együttható értéke zérus: a1 = a 2 = ... = a n = 0 .

Geometriai interpoláció: A módszer elve az alábbi ábrán követhetı nyomon.

∆g

∆g1

∆gP ∆g2

∆g3

P1(X1,Y1) P(X,Y) P2(X2,Y2)

X

Y

P3(X3,Y3)

45

A P1, P2 és P3 pontokban ismert rendellenességek felhasználásával a

∆ g P = a1 ⋅ ∆g1 + a 2 ⋅ ∆g 2 + a 3 ⋅ ∆g 3 összefüggés együtthatói a P, P1, P2 és P3 pontok koordinátáinak a1 = a1 ( X , Y , X 1 , Y1 , X 2 , Y2 , X 3 , Y3 ),

a 2 = a 2 ( X , Y , X 1 , Y1 , X 2 , Y2 , X 3 , Y3 ),

a 3 = a3 ( X , Y , X 1 , Y1 , X 2 , Y2 , X 3 , Y3 )

függvényei. A legkisebb négyzetek elve: A fenti eljárásoknál pontosabb megoldást szolgáltat a legkisebb négyzetek elve szerinti predikció. Legyen n

∆ g P = ∑ ai ⋅∆g i i =1

a rendellenesség lineáris predikcióval meghatározott értéke. Ha a rendellenesség valódi értéke (elméleti várható értéke) ∆g P , a kettı

ε P = ∆g P − ∆ g P eltérése a predikció hibája. Kiinduló feltételünk, hogy a predikció µ ε szórásnégyzete (középhiba-négyzete) minimális legyen:

µ ε2 = var(ε ) = min . A legkisebb négyzetek elve szerinti megoldást a

∆ g P = c T ⋅ C −1 ⋅ ∆g (1, n)

(n , n ) ( n ,1)

összefüggés szolgáltatja, ahol a

c T = (C P1 C P 2 ... C Pn )

T

(1, n)

transzponált vektor az új P pont és az ismert pontok közötti kovarianciákat, a

 ∆g 1     ∆g 2  ∆g =  .   ( n ,1)  .     ∆g n  vektor a mérésekbıl levezetett ismert rendellenesség-értékeket tartalmazza, a

 C11 C12 ..... C1n    C C . .... C   n 21 12 1 C −1 =  (n,n ) ...................................    C   n1 C n 2 ..... C nn 

−1

46

szimmetrikus mátrix pedig a mért pontok variancia-kovariancia mátrixának inverze. Az egyenlı kerek rendellenesség-értékő pontokat összekötı izoanomália vonalakat a szintvonal-szerkesztés ismert szabályai szerint szerkesztik meg. A szerkesztés eredményei az ún. izoanomália térképek. Az izoanomália vonalak szerkesztése a Bouguer-féle és az izosztatikus rendellenességek esetében egyszerő, mert ezek lineárisan interpolálhatók. A Faye-féle rendellenességek a magasság függvényei, s mint ilyenek, csak közvetve interpolálhatók. Magyarország területérıl 1:500 000 és 1:200 000 méretarányú Bouguer- és 1:500 000 méretarányú Faye-féle izoanomália térképek készültek. Az egész Föld területére a párizsi BGI (Bureau Gravimetric International), azaz a Nemzetközi Gravimetriai Iroda készített 1:100000, 1:10 000 000, valamint 1: 15 000 000 méretarányú Bouguer- és Faye-féle izoanomália térképeket.

A Föld szerkezete. Hidrosztatikus egyensúly és a Föld lapultsága. A Föld belsı felépítésének tanulmányozásakor - közvetlen kísérleti anyagok hiányában - közvetett (gravimetriai, szeizmológiai, stb. – nehézségi rendellenességek, földrengés hullámok terjedése, mélyfúrások) adatokat használnak. Elfogadható közelítéssel mondható, hogy a Föld koncentrikus gömbhéjak végtelen sokaságából áll. E rétegek sőrősége a mélység növekedésével nı. Belátható, hogy a sőrőség általánosan a

ϑ = f (r ) törvényszerőség szerint változik. A fenti képletben r – a Föld középpontjától való távolság. A Föld belsejében a sőrőségi eloszlás megfelel a Föld ismert M tömegének és a forgástengelyhez viszonyított C tehetetlenségi nyomatékának. A Föld teljes tömege kifejezhetı a koncentrikus elhelyezkedésőnek elfogadott gömbhéjak tömegei összegeként. Ekkor, ha egy héj sőrősége ϑ = f (r ) , vastagsága pedig dr, úgy e héj tömege dm = 4 ⋅ π ⋅ ϑ ⋅ r 2 ⋅ dr = 4 ⋅ π ⋅ f ( r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . Innen a Föld teljes tömege: R

M = 4 ⋅ π ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr , 0

ahol R – a közepes földsugár. A gömbalakú Föld térfogata V =

4 ⋅ π ⋅ R 3 , ahonnan a Föld átlagos sőrősége 3 R

M 3 ϑk = = 3 ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . V R 0 A C tehetetlenségi nyomatékra pedig a R

8 C = ⋅ π ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 4 ⋅ dr 3 0 összefüggés írható fel.

47

A Föld tömegére, átlagos sőrőségére és tehetetlenségi nyomatékára felírt 3 összefüggés alapján a ϑ = f (r ) függvény nem határozható meg egyértelmően. Ezért a feladatot rendszerint kísérleti úton oldják meg, azaz olyan földmodell megválasztására törekszenek, amely a legnagyobb mértékben összhangban van a megfigyelési adatokkal. A szeizmikus mérési eredmények jelenleg folytonos sőrőség eloszlást valószínősítenek a Föld belsejében. Az eddigi ismereteink szerinti, mintegy 10–60 km, ill. 2900 km mélységben lévı, egymástól élesen elkülönülı sőrőségi határok a Föld belsejét 3 fı övezetre osztják. Ezek a kéreg, a köpeny és a mag. E három fı övezeten belül is léteznek olyan sőrőségi határok, ahol az anyag fizikai tulajdonságai ugrásszerően változnak.

A kéreg és a köpeny között elhelyezkedı jellegzetes sőrőségi határ az ún. Mohorovicic-felület (a továbbiakban röviden „Moho”). Ez a felület az óceánok alatt kb. 10 km mélységben, a kontinensek alatt pedig, alacsony fekvéső alföldi vidékeken mintegy 30-40 km, hegyvidékek és felföldek alatt mintegy 60 km mélyen található (pl. Közép-Ázsiában), de pl. a chilei Andokban a 70 km-t is eléri. A köpeny a Mohotól a 2900 km mélységben található következı jelentıs sőrőségő határfelületig terjed. A Moho alatt a mintegy 60 km (az óceánoknál 50 km) vastag legfelsı köpeny található. A kéreg és a legfelsı köpeny együttesen alkotja a szilárd litoszférát. Ennek átlagos vastagsága kb. 100 km (az óceánoknál 80 km). A köpeny felsı – mintegy 1000 km mélységig terjedı – részében (felsı köpeny) az anyag részben olvadt állapotban van. A köpeny alsóbb részeiben (alsó köpeny) a szilikátok mellett magnézium és vasoxid található. A Föld magja külsı és belsı részbıl áll. A külsı mag a 2900 km mélységtıl mintegy 5100 km mélységig terjed. Anyaga „folyadékszerő” állapotban van. A belsı mag anyaga megint szilárd, de ez a mag feltehetıen nem központosan helyezkedik el. Az egyes rétegek Bomford által számított átlagos sőrőségét a következı táblázat tartalmazza: Mélység

ϑ (kg/m3)

0 – 33

2760

33 – 413

3320 – 3640

413 - 2900

3640 - 5680

2900 – 4982

9430 – 11540

4982 – 5121

11540 – 14200

5121 - 6371

16800 - 17200

48

A nagy szilárdságú litoszféra 8 nagyobb és több kisebb lemezre tagolódik. A lemezek különbözı sebességgel és irányban mozognak (úsznak) a jórészt megolvadt anyagú felsı-köpenyen. A korszerő geodinamikai vizsgálatok egyik fı törekvése a lemezek mozgási jellemzıinek meghatározása (lemeztektonika). A lemezek mozgási sebessége nagyságrendileg cm/év dimenzióban fejezhetı ki. Litoszféra lemezek mozgására látunk példát az alábbi ábrán.

A lemezek mellett vándorolnak a kontinensek is. Ezt a jelenséget Wegener ismerte fel elıször. Feltételezett ismert sőrőségeloszlás esetén a Föld belsejében a nehézségi erı és a nyomás számítható. Gömbhéjas szerkezető Föld esetén, a centrifugális erıt figyelmen kívül hagyva, a Föld középpontjától r0 távolságban a nehézségi erı az összes ettıl mélyebben fekvı ( r ≤ r0 ) réteg tömegvonzási erejével azonosítható, mivel a homogén rétegek belsı pontra gyakorolt tömegvonzása zérus. Ez esetben (ld. „A nehézségi erı” c. fejezet 2. ábráját is) G⋅m , r02

g= ahol az m az r0 sugarú gömb tömege. Az

R

M = 4 ⋅ π ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr 0

képlethez hasonlóan r0

m = 4 ⋅ π ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . 0

Behelyettesítve a g =

G⋅m összefüggésbe, g-re kapjuk: r02

49

4 ⋅π 0 g = G ⋅ 2 ⋅ ∫ f (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . r0 0 r

Számítsuk ki a nyomást Föld belsejében. A hidrosztatikus egyensúly egyenlete dp = ϑ ⋅ g ⋅ dr . A képlet jelölései: g – a nehézségi gyorsulás, ϑ – sőrőség. A kijelölt integrálás elvégzése után a nyomást a Föld középpontjától értelmezett r0 távolság alábbi függvényeként kapjuk: R

p = ∫ g ⋅ f ( r ) ⋅ dr . r0

A fenti képletekbıl következik, hogy a nehézségi erı és a nyomás értékeit a Föld belsejében a sőrőség változására elfogadott törvényszerőségek határozzák meg. Ha arra a kérdésre szeretnénk választ kapni, hogy a Föld hidrosztatikus egyensúlyban van-e, úgy össze kell hasonlítanunk a Föld nehézségi erıterét azzal az erıtérrel, amelyet a Föld úgy hozott volna létre, mintha az egyensúly a nehézségi erı hatására következett volna be. Írjuk át a hidrosztatikus egyensúly fenti képletét a dp = ϑ ⋅ dW alakba. Innen következik, hogy hidrosztatikus egyensúly esetén a szintfelületek egyben egyenlı nyomású és egyenlı sőrőségő felületek is. A Föld tengelykörüli forgásának hiányában ezek a felületek gömb alakúak; a tengelykörüli forgás által létrehozott centrifugális erı a szintfelületeken az ω forgási szögsebességtıl és a ϑ térfogati sőrőség mélység szerinti változási törvényszerőségeitıl függı lapultságot hoz létre. Ha az ω forgási szögsebesség kicsi, mint a Föld esetében, úgy a szintfelületek gömb alaktól való eltérése is kicsi. Tegyük fel, hogy a tengelye körül kis ω szögsebességgel forgó inhomogén, folyékony halmazállapotú bolygó végtelen számú kis lapultságú, közös középpontú és forgástengelyő szferoidikus rétegbıl áll. Önmagában minden réteg homogén (sőrőségük ϑ’ = const.), de a sőrőség rétegrıl rétegre tetszıleges

ϑ ′ = f (r ′) törvényszerőség szerint változik. A fenti összefüggésben r’ – a réteg távolsága a bolygó középpontjától. A belsı rétegek f’ lapultsága folytonosan változó, de mindig kis érték, amelynek sorba fejtés utáni másod- és magasabb rendő tagjait elhanyagolhatjuk. Feltételezzük, hogy minden belsı réteg f’ lapultsága az r’ mennyiség valamilyen

f ′ = ϕ (r ′) függvénye. A forgásban lévı inhomogén, folyékony halmazállapotú bolygó tetszıleges rétegének egyensúlyi feltételét (a másod- és magasabb rendő tagok megengedhetı elhanyagolhatóságával) Clairaut vezette le. Az egyensúlyi feltételt, kisebb átalakítások után, kiterjeszthetjük a bolygó egész külsı felületére:

50

q  ϑk 1  = ⋅ A, (1)  f0 −  ⋅ 2  3 5 ⋅ R2  ahol f 0 - a hidrosztatikus egyensúlyban lévı bolygó külsı felületének lapultsága, q = 1 / 288 – a centrifugális erı és a nehézségi erı aránya az egyenlítın,

ϑk - a bolygó közepes sőrősége, A – a szferoidikus rétegek ϑ’ belsı sőrőségeitıl és e rétegek f’ lapultságaitól függı együttható: R

A = ∫ϑ′ ⋅ 0

d ⋅ (r ′ 5 ⋅ f ′) ⋅ dr ′ . dr ′

Számítsuk ki az f0 lapultságot 1) homogén Föld esetére, 2) végletes inhomogenitású Föld esetére, amikor a bolygó egész tömege a középpontjában tömörül. Az 1) esettel Newton, a 2) esettel Huygens foglalkozott. 1. eset.

ϑ = ϑk = const. ,

R

A = ∫ϑ′ ⋅ 0

d ⋅ (r ′ 5 ⋅ f ′) ⋅ dr ′ = ϑk ⋅ R 5 ⋅ f 0 . dr ′

Behelyettesítve az (1) egyenletbe, kapjuk: f0 =

5 ⋅ q = 1 : 231 . 4

2. eset. Jelöljünk ki a Föld középpontja körül tetszılegesen kis r sugarú gömböt. Feltételezzük, hogy a Föld M tömege a gömb belsejében tömörül. E gömbön belül a sőrőség állandó és a

ϑ′ =

3⋅ M 4 ⋅π ⋅ r3

képlettel fejezhetı ki. Ekkor

d 3⋅ M d 3 M ⋅r2 ⋅ f 5 ′ ′ ′ A = ∫ϑ′ ⋅ ⋅ (r ′ 5 ⋅ f ′) ⋅ dr ′ = ⋅ ⋅ ( r ⋅ f ) ⋅ d r = ⋅ . dr ′ 4 π 4 ⋅ π ⋅ r 3 ∫0 dr ′ 0 R

R

E kifejezés értéke r → 0 mellett zérus, így az (1) képlet alapján f0 =

q = 1 : 577 . 2

A Föld valódi lapultsága e két szélsı érték között van; nyilvánvalóan közelebb a Newton-féle értékhez, mert a Föld szerkezete sokkal inkább a Newton, mint a Huygens által vizsgált felépítéshez van közelebb. A ϑ ′ = f (r ′) függvény ismerete lehetıvé tenné a valódi f’ hidrosztatikai lapultság kiszámítását. Ezt a függvényt azonban nem ismerjük, tehát a számítást e függvény ismerete nélkül kell

51

elvégeznünk. Ehhez az f0 hidrosztatikus lapultság és a Kövesligethy Radó* által bevezetett η 0 együttható közötti összefüggést kell felhasználnunk. Kövesligethy Radó meghatározása szerint

η=

d ln f r df = ⋅ . d ln r f dr

Az f0 és az η 0 fennáll az alábbi összefüggés:

η0 =

5⋅ q − 2 . (2) 2 ⋅ f0

Az η 0 paraméter és a Föld poláris tengelyére vonatkozó C tehetetlenségi nyomatéka között az alábbi összefüggés írható fel: C 2  2  = ⋅ 1 − ⋅ 1 + η 0  . (3) 2 3  5 M ⋅a  C értékét, úgy a (3) és (2) képletek alapján meghatározható az a lapultság, M ⋅ a2 amely a hidrosztatikus egyensúlyban lévı Földet jellemezné.

Ha ismerjük

A

C értékét a M ⋅ a2 J C = 2 2 H M ⋅a

képletbıl határozzák meg, ahol Ak – az A együttható átlagos értéke, a J2 =

C − Ak M ⋅ a2

a másodfokú ún. tömegfüggvény, vagy gömbfüggvény-együttható (a tömegvonzási erı potenciáljának második zonális harmonikusa), más néven az ellipszoid sztatikai lapultsága, amely a mesterséges holdakra vonatkozó megfigyelések útján határozható meg. A H=

C − Ak C

precessziós állandó, más néven dinamikai lapultság csillagászati mérésekbıl vezethetı le. H = 0,00327237 és J2 = 1082,86 értékek mellett

*

Kövesligethyt 1887-ben, Eötvös Loránd javaslatára nevezték ki a Királyi Tudomány Egyetem Kísérleti fizika tanszékének tanársegédjévé. Ekkoriban kezdett Eötvös kísérletezni a gravitációs mérésekkel, amelynek eredményeként 1890-ben megalkotta a róla elnevezett, nagy érzékenységő torziósmérleget (Eötvös-ingát). E munkájában nagy segítséget jelentett számára a fáradhatatlan szorgalmú és kitőnı matematikai felkészültségő Kövesligethy Radó. Szinte kezdettıl fogva részt vett az Eötvös-inga próbáin, és annak elsı, nagyszabású terepi alkalmazásán, a Vas megyei Ság-hegyi mérésekben. Ez utóbbi gyakorlati kivitelezése szinte teljesen Kövesligethy feladata volt.

52

C = 0,3309 . M ⋅ a2 Ennek figyelembe vételével a (2) és (3) képletekbıl a lapultságra f 0 = 1 : 299,8 érték adódott. A Föld tényleges f geometriai lapultsága eltér az f0 értéktıl. Ez a Föld nehézségi erıterének komoly anomális különlegessége.

Izosztázia és izosztatikus rendellenesség „A nehézségi erı rendellenességei” fejezetben láttuk, hogy ha a Faye-féle rendellenességbıl levonjuk a Bouguer-féle korrekciót és hozzáadjuk a topográfiai javítást, megkapjuk a Bouguer-féle rendellenességet:

∆g B = g − δg B + δg F + δg T − γ . A meglepı az, hogy ez a rendellenesség a szárazulaton* sokszor negatív és abszolút értékben nagyobb, mint a Faye-féle rendellenesség, mintha látszólag a vonatkoztatási szint (geoid, középtengerszint) feletti kızetlemeznek nem lenne tömege. Ez a jelenség, amely általánosnak tőnik, az izosztázia. Ez azt jelenti, hogy a függıleges kızetoszlop tömege a Földön mindenütt ugyanakkora, függetlenül a topográfiától és a magasságtól, a kontinenseken és az óceánokon egyaránt. Ha tehát a kızetoszlop sőrősége kisebb, akkor térfogata nagyobb (és ezért a felületrıl jobban kiemelkedik). A jelenség hasonló a hidrosztatikus egyensúlyhoz. Egy nyugalomban levı folyadékban egyazon felületen, az ekvipotenciális felszínen a nyomás ugyanakkora, máskülönben áramlás indulna meg. A folyadékfelszín alatti bármekkora mélységben a nyomás (azaz az egységnyi felületre ható erı) egyenlı a g és az egységnyi keresztmetszeti felülető anyaghasáb tömegének szorzatával, vagyis a kiegyenlítıdési szintnek hidrosztatikus úszási egyensúly esetén azonos nyomású (izobár) felületnek kell lennie. A kızetoszlopok tömegének azonosságára a legjobban alkalmazható az Airy-féle izosztatikus modell, amelynél feltételezik, hogy egy-egy kızetoszlopban eltérı arányban vesznek részt különbözı sőrőségő anyagok. Láttuk, hogy a köpeny a Moho alatt nagyobb sőrőségő, mint a kéreg a Moho felett. A tömegek egyenlısége e modell szerint úgy áll elı, hogy a kéreg a kiemelkedett területeken vastagabb, mint a mély területeken. Az Airy-féle izosztatikus modell szerint szárazulati területen adott H tengerszint feletti magassághoz kéregvastagodás, óceáni területen adott H bemélyedéshez kéregvékonyodás tartozik. Az alábbi ábra három különbözı típusú kéregblokkot mutat be, az A blokk óceáni, a B blokk kontinentális tengerszinti, a C és a D blokk kontinentális magashegységi blokk. A négy blokk közül a legmagasabb Moho helyzet az A blokkban, a legmélyebb Moho helyzet a D blokkban feltételezhetı. Az utóbbi blokkban a földkéregvastagság maximális. E korreláció helyességét szeizmikus adatok nagy vonalakban igazolták. A legmélyebb Moho helyzeteket eddig a Pamírban és a chilei Andokban mérték, 70 km körüli kéregvastagsággal.

*

Szárazulat: a hat kontinens és számtalan sziget, átlagos tengerszint feletti magasság 875 m. Arányuk az északi féltekén nagyobb. Az északi póluson tenger, a déli póluson szárazulat található. A szárazulatok lehetnek kontinentális vagy óceáni kéreglemezek részei is.

53

A

B

középtengerszint

C

H

D C

HD

ϑA H A dB~33 km

dA

földkéreg

dC

Moho Moho

ϑK

ϑF ~70 km

dD~70 km

felsı köpeny Moho

kiegyenlítıdési felület

p = const. Moho

A Föld területének legnagyobb része izosztatikus egyensúlyban van, de vannak anomális területek, ahol, általában hosszú, keskeny sávok mentén, izosztatikus rendellenességek jelentkeznek. Ezek olyan területek, ahol a Bouguer-féle rendellenességet sem a kéregvastagság, sem a sőrőség valószínősíthetı értékei nem redukálják nullára. Pozitív rendellenesség tömegtöbbletet, negatív rendellenesség tömeghiányt jelent. Pozitív rendellenesség van pl. Hawaii szigetén, ahol a friss lávatömegek alatt a kéreg még nem süllyedt megfelelı mélységre, további süllyedés várható.

A negatív rendellenességgel jellemezhetı területrészeknek az izosztatikus egyensúlyi helyzet kialakulása érdekében emelkedniük kell. Példa erre Skandinávia, amelynek területe a jégkorszakban a belföldi jég hatalmas súlya alatt megsüllyedt, majd, a jég elolvadása után emelkedésnek indult. Az emelkedés mértéke helyenként még ma is majdnem eléri az 1 cm-t (az alábbi ábrán 9 mm).

54

Az izosztatikus rendellenességek miatt az eddig megismert korrekciókat kiegészítik a δg izo izosztatikus korrekcióval. Ez a korrekció kiejti a földkéreg aljának hullámzásából származó gravitációs hatásokat. Az izosztatikus rendellenesség:

∆g izo = g − δg B + δg F + δg T + δg izo − γ . Az izosztatikus rendellenességek a legmunkaigényesebb és a legkevésbé feltevésmentes rendellenességek, viszont sima lefutásúak, ezért jól interpolálhatók.

55

A függıvonal-elhajlás Tisztán geometriai értelmezés szerint a függıvonal-elhajlás a helyi függıleges (a függıvonal érintıje) iránya és a vonatkoztatási ellipszoid megfelelı, a földfelszíni ponthoz kötött normálisa által közbezárt szög. Jelöljük ezt a szöget Θ −val.

ΘHelmert szintfelület P földfelszín

ΘPizetti P’

geoid

P0 ellipszoid

Attól függıen, hogy a függıvonal-elhajlást a P földfelszíni pontban, vagy ennek P' geoidi megfelelıjében értelmezzük, megkülönböztetjük a függıvonal Helmert-féle, illetve Pizettiféle elhajlásait. A függıvonal-elhajlás tehát olyan szög, amelynek egyik szára a helyi függıleges, a másik szára pedig az ellipszoid normálisa. Jelöljük a függıvonal-elhajlás meridián irányú összetevıjét ξ-vel, a szélességi kör (haránt-) irányú összetevıjét pedig η-val. A függıvonal-elhajlás a két összetevıbıl elıállítható:

Θ = ξ 2 +η 2 . helyi függıleges

Θ

ellipszoidi normális

∼Θ

hegység geoid

ellipszoid tömegtöbblet tenger tömeghiány

56

Az elızı ábrából látható, hogy a kiválasztott körzetben milyen szöget zár be egymással az ellipszoid és a geoid, ill. a földfelszín P észlelési pontjában a szintfelület. A merıleges szárú szögek miatt a függıvonal-elhajlás egyben a két felület egymáshoz viszonyított eltérését is mutatja. Az ábrából kiolvasható még az is, hogyan jelenik meg a tömegelrendezıdés különbözısége a Θ -ban, valamint az is, hogy az ellipszoid a tengereknél a geoid felett, a szárazulatokon pedig a geoid alatt helyezkedik el. Az ellipszoid Földhöz viszonyított elhelyezése szerint a függıvonal-elhajlás lehet geocentrikus (abszolút), vagy relatív. Ha az ellipszoid középpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával, vagyis geocentrikus elhelyezéső ellipszoidoknál, geocentrikus (függıvonal-elhajlásról, minden más esetben relatív függıvonal-elhajlásról beszélünk. A függıvonal-elhajlás és az ellipszoidi koordináták közötti összefüggéseket az alábbi ábra alapján tehetjük szemléletessé: helyi függıleges

Z

Ellipszoidi normális

Λ−λ ε Greenwich

Θ ξ η

Λ−λ cosϕ

O

ϕ

Φ

Φ

ϕ

λ Λ

A függıvonal-elhajlás észak-déli (meridián-) és kelet-nyugati (szélességi kör-, haránt-) irányú összetevıi az alábbi képletekbıl számíthatók:

ξ = Φ −ϕ . (1) η = (Λ − λ ) ⋅ cos ϕ A fenti képletben Φ és Λ a P pont szintfelületi, ϕ és λ a P pont ellipszoidi koordinátái. Az η haránt irányú összetevı kifejezhetı még a szintfelületi és ellipszoidi azimutok függvényében is:

η = ( A − α ) ⋅ ctgϕ , (2) ahol Α – a szintfelületi, α - az ellipszoidi azimut. A két utolsó összefüggés összevonása, majd rendezése után a háromszögelési hálózatok számításában fontos szerepet játszó Laplace-egyenlethez jutunk:

57

A − α = (Λ − λ ) ⋅ sinϕ . (3) Egy α azimutú síkban felírható még:

ϑ = ξ ⋅ cos α + η ⋅ sinα . A fenti ábra derékszögő háromszögébıl pedig: tgε =

η . ξ

A függıvonal-elhajlások meghatározási módszerei Topográfiai módszer A függıvonal-elhajlást jelentısen befolyásolják a földfelszín topográfiai adatai. Nyilvánvaló, hogy nagy domborzati tömegek, sıt, nagy mérnöki létesítmények közelében a függıvonal jobban eltér a normál helyzettıl, mint a topográfiailag jellegtelen területeken.

X ak

e

k

δ α

d

αk c b

d’

c’

a’

αk+1

b’

ak+1 γ

β

ai

α ri

ri+1

P

r

Y

Legyenek a P pont környezetében a nehézségi erı szintfelületétıl eltérı, a geoid felett, vagy a geoid alatt elhelyezkedı tömegtöbbletek, ill. tömeghiányok (domborzati formák, hegyek, mélyedések), stb. E tömegek hatására megváltozik a függıvonal iránya. Képzeljünk el a P pont környezetében különbözı rb, rc, rd, re stb. sugarú függıleges hengerfelületeket (hasábokat), s a hengerpalástra merıleges α1, α2, …, αk, αk+1, … stb. azimutú Pa1, Pa2, …, Pak, Pak+1, ... stb. radiális irányú függıleges síkokat (ábra). Az Α szintfelületi azimut helyett az α ellipszoidi azimut használata a függıvonal-elhajlás értékeire nincs érzékelhetı hatással. Ezzel a terepet különálló prizmákra bontottuk fel, legyen mindegyik prizma átlagos magassága H.

58

Határozzuk meg a (véges) αβγδ prizmának a P pontra gyakorolt f tömegvonzását. E célból keressük elıször az a’b’c’d’ elemi vékonyságú függıleges prizma tömegvonzását a k. futópontban. Jelöljük a prizma azimutját α-val. a’

d’

r

c’ b’

dα

α – a Pk irány azimutja, r – a k pont távolsága P-tıl, ϑ - a pont körüli kızetek sőrősége, H – a prizma magassága, G – a Newton-féle tömegvonzási állandó. Az ábra alapján a ′ ⋅ b ′ = r ⋅ dα ;

a ′ ⋅ d ′ = dr .

Az a’b’c’d’ elemi prizma térfogata r ⋅ dr ⋅ dα ⋅ H , tömege ϑ ⋅ r ⋅ dr ⋅ dα ⋅ H . „A nehézségi erı” c. fejezetben láttuk, hogy a tömegvonzási erı az m tömeggel egyenesen, az r távolság négyzetével fordítva arányos: m f = G⋅ 2 . r Ennek alapján az elemi prizma tömegvonzása: df = G ⋅ ϑ ⋅

r ⋅ dr ⋅ dα ⋅ H dr ⋅ dα ⋅ H = G ⋅ϑ ⋅ . 2 r r

A tömegvonzás meridián irányú komponense: df X = df ⋅ cos α = G ⋅ ϑ ⋅ H ⋅

dr ⋅ cos α ⋅ dα . r

A véges αβγδ prizma tömegvonzását a fenti képlet integrálásával kapjuk: f X = G ⋅ϑ ⋅ H ⋅

ri +1

∫ ri

dr ⋅ r

α k +1

∫ cos α ⋅ dα = G ⋅ ϑ ⋅ H ⋅ (sin α α

k +1

− sin α k ) ⋅ ln

k

ri +1 . ri

Ha most a radiális irányú függıleges síkok azimutját és a hengerek sugarait úgy választjuk meg, hogy r sin α k +1 − sin α k = konst. = χ N ; ln i +1 = konst. = κ , ri

f X az alábbi alakot ölti:

f X = G ⋅ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅ H .

A P ponttól északra fekvı prizmák tömegvonzása: f XN = ∑ f X = G ⋅ ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅ ∑ H N , ahol

∑H

N

- a P ponttól északra fekvı prizmák magasságainak összege.

Analóg módon, a P ponttól délre fekvı prizmák tömegvonzása f XS = G ⋅ ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅ ∑ H S , ahol

∑H

S

- a P ponttól délre fekvı prizmák magasságainak összege.

59

Az összegezett tömegvonzás a meridián síkjában f XNS = f XN − f XS = G ⋅ ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅

(∑ H

N

)

−∑HS .

Határozzuk meg a függıvonal elhajlását az f XNS meridián irányú tömegvonzás függvényében a meridián síkjában. Az alábbi ábrán vonalkázással jelölt vonzó tömeg hatására a függıvonal P pontbeli érintıje eltér a P pontbeli γ normál nehézségi erı irányától. Z

ξt

f XNS P

X (meridián síkja)

ξt γ N1

N

Az ábrán PN a γ tömegvonzási erı iránya*, a topográfiai földfelszín hatása nélkül. Az f XNS erı hatására a függıvonal PN iránya a tömegkiegyenlítıdésre való törekvés következtében az PN1 helyzetbe kerül. A ξ t = PNN1 szög kifejezi a földfelszíni topográfia függıvonalelhajlásra gyakorolt hatását a P pontban. Mivel a ξt szög kicsiny, a γ értéke a gömbre vonatkozó alábbi összefüggésbıl számítható: R 03 4 4 γ = ⋅ π ⋅ G ⋅ ϑ0 ⋅ 2 = ⋅ π ⋅ G ⋅ ϑ0 ⋅ R0 , 3 R0 3 ahol γ – a normál nehézségi erı, R0 - a Föld közepes sugara, ϑ0 - a Föld közepes sőrősége. Az ábra alapján

ξt =

f XNS

γ

, ill. ξ t′′ =

f XNS

γ

⋅ ρ ′′ ,

ahol ρ ′′ = 206265′′ - az 1 radián szögmásodpercben kifejezett értéke. Az f XNS és γ értékét helyettesítve, a függıvonal-elhajlás értéke ”-ben:

ξ t′′ =

(

)

4 G ⋅ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅ ∑ H N − ∑ H S ⋅ ⋅ ρ ′′ , 3 π ⋅ G ⋅ ϑ0 ⋅ R0

ill. átalakítással

ξ t′′ = 0,00773′′ ⋅

ϑ ⋅ χ N ⋅ κ ⋅ (∑ H N − ∑ H S ). ϑ0

*

A nehézségi erı helyett tömegvonzási erı írható, mert a centrifugális erıre a földfelszíni tömegtöbblet (tömeghiány) nincs hatással, ill. hatása minden komponensre egyforma.

60

A függıvonal-elhajlás meridiánra merıleges (haránt-) irányú η összetevıje a fenti képlethez hasonlóan az

η t′′ = 0,00773′′ ⋅

ϑ ⋅ χ E ⋅ κ ⋅ (∑ H E − ∑ H W ) ϑ0

képletbıl számítható. A képletben

∑H

E

és

∑H

W

- a P pont meridiánjától keleti, ill. nyugati irányban elhelyezkedı vonzó

tömegek, χ E = cos α k +1 − cos α k = konst. A földfelszíni tömegeknek hatása a topográfiai módszerrel kapott függıvonal-elhajlás komponenseire topográfiai térkép segítségével számítható. A számításokban ϑ = 2760 kg/m 3 ;

ϑ0 = 5520 kg/m 3 . A fenti levezetésben figyelmen kívül hagytuk a földfelszín nem sík voltát, így, ha a képletet mintegy 600 km sugarú körön kívül kívánjuk használni, figyelembe kell venni a Föld görbületét.

Csillagászati-geodéziai módszer Az országos felsırendő háromszögelési hálózatok kiválasztott I. rendő csillagászati pontjainak (a Laplace-pontoknak) földrajzi helymeghatározással meghatározott Φ, Λ szintfelületi koordinátái, vagy a megfelelı I. rendő irány Α szintfelületi azimutja összevethetık az ugyanazon pontok ϕ, λ vonatkoztatási ellipszoidi koordinátáival, vagy α ellipszoidi azimutjával. Ennek alapján a függıvonal elhajlás összetevıi „A függıvonal-elhajlás” c. fejezet (1), (2), (3) képletei alapján számíthatók. Az így meghatározott ξcs és ηcs függıvonalelhajlás-értékeket közvetlenül a csillagászati szintezésben használják. Az országos háromszögelési hálózatok alapfelületei általában helyi ellipszoidok, tehát az így kapott értékek relatív függıvonalelhajlások. A topográfiai módszerrel és a csillagászati-geodéziai módszerrel kapott függıvonal-elhajlások között jelentıs eltérések tapasztalhatók. A vizsgálatok azt mutatták, hogy ha a topográfiai módszerrel kapott függıvonal-elhajlások értékeinek számításánál figyelembe veszik az izosztatikus hatást (rendellenességet) és a függıvonal-elhajlást az izosztatikus redukcióval módosítják, úgy a topográfiai és a csillagászati-geodéziai módszerrel kapott függıvonalelhajlások értékei közötti különbség már minimális. Ezt szemlélteti az alábbi táblázat:

ξ” Csill. Santa Barbara (Észak-Amerika)

-18

η”

Topogr. Izoszt. Csill. -65

Topogr. Izoszt.

-12

Punta Arena (Észak-Amerika)

+17

Siliguri (India)

+18

+52

+12

Jalpaiguri (India)

+1

+45

+1

+105

+16

Geocentrikus függıvonal-elhajlás A geocentrikus függıvonal-elhajlásokat mesterséges holdak megfigyelésével, ill. a nehézségi rendellenességek ismeretében lehet meghatározni. A geocentrikus függıvonal-elhajlások nagy elınye, hogy lehetıvé teszik egymástól távol lévı geodéziai hálózatok összekapcsolását, ugyanazon az ellipszoidon (ld. még a „Geocentrikus elhelyezés és tájékozás” c. fejezetet). A

61

nagy hatótávolságú interkontinentális katonai rakéták pályaadatait ugyanezen adatokból számítják, így az egész Földre kiterjedı, ma már igen gazdag anyagot polgári célokra csak korlátozott mértékben lehet használni. A geocentrikus függıvonal-elhajlás a nehézségi erıtér függıvonala irányának a (geocentrikus) földi ellipszoid normálisával bezárt szöge. A meridián- és haránt irányú összetevık Vening-Meinesz alábbi képleteibıl számíthatók (ábra): N P α Rψ R

(g-γ) π 2π

ξ geoc.

1 =− ⋅ ∆g ⋅ Q(ψ ) ⋅ cos α ⋅ dα ⋅ dψ . 2 ⋅ π ∫0 ∫0

η geoc.

1 =− ⋅ ∆g ⋅ Q(ψ ) ⋅ sin α ⋅ dα ⋅ dψ . 2 ⋅ π ∫0 ∫0

k ∆g=g-γ

π 2π

S A képletek közelítık, közel sík, lankás terepen megfelelı pontosságúak. A Földet valamilyen átlagos sugarú gömbbel helyettesítjük. A fenti összefüggésekben

∆g – Faye-féle rendellenesség, ψ − gömbi pólustávolság, α − azimut (0o – 360o),    ρ ′′ ψ 1 ψ ψ 3 ψ  ψ ψ  ⋅ cos2  + 12 ⋅ sin − 32 ⋅ sin 2 + − 12 ⋅ sin 2 ⋅ ln sin + sin 2  Q(ψ ) = ψ 2⋅γ 2 ψ 2 2 2  2 2  sin 1 + sin   2 2 az ún. Vening-Meinesz-féle függvény. A képlet jobboldalát ρ”-cel szorozva, a Q (ψ ) értékét szögmásodpercben kapjuk. A Vening-Meinesz-féle függvény jobboldalán a γ normál nehézségi erı és a ψ pólustávolság számítható.

ξcs ξgeoc. ∆ξ

Helyi ellipszoidi normális

geocentrikus ellipszoidi normális

A helyi vonatkozási és a geocentrikus földi ellipszoidokhoz köthetı függıvonal-elhajlások között az alábbi összefüggések állnak fenn (ábra):

ξ cs = ξ geoc. + ∆ξ ; η cs = η geoc. + ∆η . E képletekben ∆ξ és ∆η a helyi és a geocentrikus földi ellipszoidhoz húzott normálisok közötti szög meridián- és haránt irányú komponensei.

Függıvonal iránya

62

Gravimetriai módszer Kis sugarú körön belül a Vening-Meinesz képleteiben elıírt integrálással e környezetben a függıvonal-elhajlás komponensei megfelelı pontossággal számíthatók. E célból a geocentrikus függıvonal-elhajlásokat a Σ és Σ ’ felületek függvényében két részre bontjuk:

Σ ∆g

ξ geoc. = ξ (Σ + Σ ') = ξ (Σ ) + ξ (Σ ' ) ,

< 1000 km

Σ'

η geoc. = η (Σ + Σ ') = η (Σ ) + η (Σ ' ) . A két hatást külön-külön számítjuk. A képletek jobboldalának második része csillagászati, gravimetriai és geodéziai adatok összességébıl kapható meg.

A ξ (Σ ) = ξ grav. és a η (Σ ) = η grav. mennyiségek a gravimetriai módszerrel kapott függıvonalelhajlás összetevıi. Visszatérve a Vening-Meinesz képletekhez, a függıvonal-elhajlás meridián irányú összetevıjére írhatjuk:

ξ grav. = ξ (Σ ) = −

ψ 2π

0 1 ⋅ ∫ ∫ ∆g ⋅ Q (ψ ) ⋅ cos α ⋅ dα ⋅ dψ . 2 ⋅π 0 0

A fenti képletben ψ 0 kis szögérték, az R hosszúságú sugárhoz tartozó gömbi pólustávolság (ábra). Hasonló képlet írható fel a haránt irányú összetevıre:

η grav.

ψ 2π

0 1 = η (Σ ) = − ⋅ ∫ ∫ ∆g ⋅ Q (ψ ) ⋅ sin α ⋅ dα ⋅ dψ . 2 ⋅π 0 0

A ψ 0 gömbi távolság kicsinységét figyelembe véve, az elızı fejezet Q(ψ ) függvényében cos 2

ψ

= 1 és a sin

ψ

= 0 * helyettesíthetık. Az egyszerőség kedvéért az alábbi levezetésben

2 2 legyenψ 0 = ψ . Kapjuk:

r/2 r

R

ψ O

*

A





 ρ ′′ 2 ⋅ R ρ ′′  1   Q(ψ ) = ⋅ + 3 = ⋅ + 3 , ψ 2⋅γ   2⋅γ  r  sin  

2

 

mert a baloldali ábra szerint r = 2 ⋅ R ⋅ sin

ψ 2

és

1 sin

ψ

=

2⋅ R . r

2

Q(ψ ) függvény zárójelen belüli összegének elsı tagjában nem, hiszen ott 0-sal kellene osztani. 63

Az ábrának megfelelıen térjünk át a ψ - rıl az r - re (a gyakorlatban az r értékét térképrıl veszik le)! A fenti baloldali képlet deriválásával dr = 2 ⋅ R ⋅ cos mert ψ kicsiny szög, ezért cos

ψ 2

ψ dψ 2

⋅

2

= R ⋅ dψ ,

≈ 1.

A fenti képletbıl dψ =

dr . R

Továbbá Q(ψ ) ⋅ dψ =

ρ ′′  2 ⋅ R  dr ρ dr 3 ρ dr ⋅ + 3 ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ . 2⋅γ  r  R γ r 2 γ R

A képlet jobboldalának második tagjában - megint ψ kicsinysége miatt - r << R , így jó közelítéssel elhagyható. Behelyettesítve:

ξ grav. = −

dr ρ ′′ r 2π ⋅ ∫ ∫ ∆g ⋅ ⋅ cos α ⋅ dα . r 2 ⋅π ⋅γ 0 0

A ∆g nehézségi rendellenességet a mérési eredményekbıl kapjuk. A ξ grav. számszerő értékét numerikus integrálással – kicsiny mennyiségek összegzésével – kapjuk.

É

ri-1 ri

Σ

αk-1

Ny

∆g = g − γ = konst.

αk K

D A területeket lehetıleg úgy kell megválasztani, hogy azok határain belül a ∆g rendellenességek állandóak legyenek (ábra). Ekkor a ∆g kiemelhetı az integráljel alól, s az integrálási határok módosításával végül

64

ξ grav.

ri

α

dr k = c ⋅ Σ ∆g ⋅ ∫ cos α ⋅ dα , r α∫k −1 ri −1

ahol

c=−

ρ ′′ . 2 ⋅π ⋅γ

A fenti képlet könnyen integrálható:

ξ grav. = c ⋅ Σ ∆g ⋅ ln

ri ⋅ (sin α k − sin α k −1 ) . ri −1

Végül kapjuk:

ξ grav. = C ⋅ Σ ∆g ,

αk-1

ahol C = c ⋅ ln

αk

ri ⋅ (sin α k − sin α k −1 ) . ri −1

Következésképpen, minden cellára a ∆g rendellenességet kell számítani, mert a fenti feltételek mellett C = konst. A meridián irányú függıvonal-elhajláshoz hasonlóan a függıvonal-elhajlás haránt irányban:

η grav. = C ′ ⋅ Σ ∆g , ahol

C ′ = c ⋅ ln

ri ⋅ (cos α k − cos α k −1 ) . ri −1

Az, hogy a függıvonal-elhajlások a földfelszínre, vagy a geoidra vonatkoznak, attól függ, hogy a fenti képletekben a ∆g mennyiség földfelszíni, vagy geoidi nehézségi rendellenesség.

A függıvonal-elhajlások sőrítése A függıvonal-elhajlások két legfontosabb alkalmazása a 1) geoidkép meghatározása 2) kiterjedt háromszögelési hálózatok számítása, ill. e célból a terepfelszínen mért adatok átszámítása (redukálása) az ellipszoidra. A geoidmeghatározáshoz elvileg olyan sőrőségben kellenének a ξ és η értékek, hogy a szomszédos pontok közötti változásuk már lineárisnak legyen tekinthetı. Ez azt jelenti, hogy a terepviszonyoktól függıen néhány km-enként (2-25 km) kellene ismerni a ξ és η értékeket. A háromszögelési hálózatok mérési eredményeinek ellipszoidra történı redukálásához pedig minden egyes pontban ismerni kellene a függıvonal-elhajlások értékét. Mint láttuk a „Csillagászati-geodéziai módszer” c. fejezetben, a csillagászati-geodéziai úton kapott függıvonalelhajlások összetevıit közvetlenül az I. rendő háromszögelési hálózatok azon pontjaiban tudják elıállítani, amelyekben földrajzi helymeghatározásra (szintfelületi koordináták meghatározására) is sor került (a Laplace-pontokon). A Laplace-pontok távolsága egymástól Magyar-

65

országon kb. 120-150 km. A függıvonal-elhajlás összetevıit tehát sőríteni kell. Vegyük figyelembe, hogy nem geocentrikus, azaz helyi vonatkoztatási ellipszoidok esetén a sőrítés eredményei is relatív függıvonal-elhajlások.

1) A sőrítés egyik módja az eddigi ismereteink birtokában kézenfekvı: a sőrítést a nehézségi rendellenesség alapján végezzük. Ez az ún. gravimetriai sőrítés. Írjuk fel az alábbi, már ismert összefüggéseket!

ξ cs = ξ geoc. + ∆ξ , η cs = η geoc. + ∆η ,

ξ geoc. = ξ (Σ + Σ ') = ξ (Σ ) + ξ (Σ ' ) , ξ (Σ ) = ξ grav. η geoc. = η (Σ + Σ ') = η (Σ ) + η (Σ ' ) , η (Σ ) = η grav. Ezekbıl

ξ cs = ξ grav. + ξ (Σ ' ) + ∆ξ , η cs = η grav. + η (Σ ' ) + ∆η .

Az elızı fejezet alapján a ξ grav. és az η grav. mennyiségek már ismertek. A sőrítés feladata az összefüggések jobboldalán lévı két-két tag meghatározása. Írjuk át az elızı két összefüggést az alábbi alakba: ξ cs − ξ grav. = ξ (Σ ' ) + ∆ξ ,

η cs − η grav. = η (Σ ' ) + ∆η .

Ezek a különbségek a Laplace-pontokon ismertek, következésképpen ismertek az összefüggések jobboldalai is. A fenti különbségek vizsgálata igazolta, hogy mintegy 100 km-es körön belül az összefüggések jobboldalainak változása lineáris. Ez közel van a magyarországi Laplace-pontok átlagos távolságához és megengedhetıvé teszi a lineáris interpolációt. Ha a linearitás fennáll, igazak a következı összefüggések:

ξ (Σ ' ) + ∆ξ = a ⋅Φ + b ⋅ Λ + c , η (Σ ' ) + ∆η = α ⋅Φ + β ⋅ Λ + γ . A képletekben Φ és Λ a szintfelületi szélesség és hosszúság. Az a, b, c, α, β és γ együtthatókat a földrajzi helymeghatározás, a gravimetriai mérések és a földi geodéziai mérések együttes feldolgozásával határozzák meg.

A

(ξ (ξ

A cs

)

,η csA ,

A grav.

,η

A grav.

)

~100 km

(ξ (ξ

P

D

(ξ (ξ

D cs

)

,η csD ,

D grav.

D ,η grav.

C

)

Az ábrán, mintegy 100 km sugarú körön belül legyenek A, B, C és D Laplace-pontok.

B B cs

)

,η csB ,

B grav.

B ,η grav.

(ξ (ξ

C cs

A 4 Laplace-pontra felírhatók a következı egyenletek:

) )

,η csC ,

C grav.

C ,η grav.

A)

)

A ξ csA − ξ grav. = a ⋅Φ A + b ⋅ ΛA + c , A η csA − η grav. = α ⋅Φ A + β ⋅ ΛA + γ ,

B)

B ξ csB − ξ grav. = a ⋅Φ B + b ⋅ ΛB + c , B η csB − η grav. = α ⋅ Φ B + β ⋅ ΛB + γ ,

66

C)

C ξ csC − ξ grav. = a ⋅Φ C + b ⋅ ΛC + c , C η csC − η grav. = α ⋅ Φ C + β ⋅ ΛC + γ ,

D)

D ξ csD − ξ grav. = a ⋅Φ D + b ⋅ ΛD + c , D η csD − η grav. = α ⋅ Φ D + β ⋅ ΛD + γ .

A 6 együttható az A, B, C pontokra felírt 6 egyenletbıl meghatározható. A D, vagy esetleges újabb pontok (ha vannak) lehetıvé teszik a kiegyenlítést, ill. a pontosságbecslést is. Az együtthatók ismeretében a keresett P pont csillagászati-geodéziai módszerrel kapott függıvonal-elhajlás komponensei: P ξ csP = ξ grav. + a ⋅Φ P + b ⋅ ΛP + c , P η csP = η grav. + α ⋅ Φ P + β ⋅ ΛP + γ .

Hasonló összefüggés írható fel, természetesen, bármely közbensı, sőrítendı pontra. A kb. 100 km-es zónán belül meghatározott csillagászati függıvonal-elhajlások középhibája mintegy ± 0,6′′ . A zónán kívül a linearitás romlik és ezzel a középhiba értéke jelentısen nıhet.

2) A függıvonal-elhajlások a gravimetriai megoldás helyett sőríthetık topográfiai úton, a topográfiai módszerrel kapott és az izosztatikus redukcióval módosított függıvonal-elhajlások értékeinek felhasználásával. A „Csillagászati-geodéziai módszer” fejezet végén a táblázat azt mutatta, hogy ezek az értékek jó összhangban vannak a Laplace-pontokon számítható függıvonal-elhajlásokkal. 3) Magyarország igen pontos és részletes geoidképe a GPS mérések kiterjedt felhasználhatósága szempontjából igen fontos gyakorlati jelentıségő. A részletes geoidkép meghatározásához viszont a függıvonal-elhajlás értékek sőrő hálózatára van szükségünk. A függıvonal-elhajlás értékek gravimetriai sőrítési lehetıségei a gyakorlati alkalmazhatóság szempontjából meglehetısen korlátozottak, mivel kellı pontosság csak akkor érhetı el, ha a meghatározandó pont környezetében több száz km távolságig részletes nehézségi adatok állnak rendelkezésre. Emellett a gravimetriai sőrítési módszer túlzottan számításigényes és nehezen programozható. A függıvonal-elhajlások sőríthetık (interpolálhatók) a nehézségi erıtér potenciálja szintfelületei görbületi viszonyainak ismeretében az Eötvös-ingával végzett mérések adatai alapján. A hazai adottságok mellett ez a módszer rendkívül gazdaságos lehet, hiszen az Eötvös-inga mérésekbıl Magyarország területének jelentıs részén rendelkezésre állnak a függıvonal görbüle∂ 2W ∂ 2W tét kifejezı W XZ = és WYZ = vízszintes gradiensek mellett az igen nagy pon∂X ⋅ ∂Z ∂Y ⋅ ∂Z ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W tosságú, a szintfelületek alakját jellemzı W XY = és a W∆ = WYY − W XX = − ∂X ⋅ ∂Y ∂Y 2 ∂Y 2 görbületi gradiensek. Mivel a korábbi Eötvös-inga méréseket fıként nyersanyagkutatás céljából végezték, ezért többnyire csak a vízszintes gradienseket dolgozták fel. A geodézia számára fontos görbületi gradiensek mindeddig feldolgozatlanok maradtak, így ezek óriási lehetıséget rejtenek a függıvonal- elhajlások részletes meghatározására. Ezzel a kérdéssel eddig viszonylag kevesen foglalkoztak, de jelenleg ez tőnik a legolcsóbb lehetıségnek a függıvonalelhajlások sőrítésére és ezen keresztül a geoid részletes meghatározására.

67

Az Eötvös-inga méréseknél azt a körülményt használják ki, hogy két pont viszonylatában a ξ és η értékek változása a g és a γ (a valódi és a normál nehézségi erı) potenciálja vízszintes irányú elsı differenciálhányadosainak különbségével arányos. Ezeket a differenciálhányadosokat az Eötvös-ingával végzett mérésekbıl kapott adatok (második deriváltak) vonalintegrálásával kapják. A kérdéssel az utóbbi idıben Magyarországon Völgyesi Lajos foglalkozott, többek között a „Függıvonal-elhajlás interpoláció Eötvös-inga mérések alapján” c. habilitációs értekezésében.

68

A geoid meghatározása „A kvázigeoid és a geoidunduláció” c. fejezetben láttuk, hogy a kvázigeoid helyettesítheti a geoidot, így a meghatározás elvileg mind a geoid, mind a kvázigeoid felületére irányulhat. Elsı esetben az ortométeres magasságokra, második esetben a normálmagasságokra vonatkozó felületet kapjuk. A GPS mérések távolságmérési eredményeibıl ellipszoidi magasságokat számítunk (a GPS vevık ezt jelzik ki), amikbıl a geoidunduláció ismeretében a

H g = h − N , H n = h −ζ összefüggésbıl kaphatjuk meg a geoid (középtengerszint) feletti ortométeres, vagy a kvázigeoid feletti normálmagasságokat. A geoid alakjának meghatározásán most a geoidunduláció felületszerő meghatározását fogjuk érteni, tekintettel arra, hogy az alaphálózati pontoknak, mint a geoid ellipszoidi normálisán fekvı pontoknak vízszintes helyzete ismert, azaz ϕ, λ ellipszoidi koordinátáik megegyeznek a földfelszíni hálózati pontokéval. A meghatározás módszerei többféleképpen csoportosíthatók. Elfogadott csoportosítási elképzelés szerint a meghatározásnak elvileg két plasztikusan elkülönülı útja van: az egyik az analitikus, a másik a pontonkénti eljárás. Az analitikus eljárás alkalmazhatósága – mint látni fogjuk, napjainkban is – gyakorlati korlátokba ütközik, így a pontonkénti eljárásokat részesítik elınyben. Mindkét eljárásnál szükség van azonban a függıvonal-elhajlások ismeretére, ill., mivel utóbbiakat általában csak ritka hálózatban határozzák meg, szükség van ezek megfelelı módszerrel történı sőrítésére. Az eljárások között vannak tisztán geometriai, tisztán fizikai és vegyes megoldások, de használhatók a szatellita-geodézia módszerei is.

A geoid analitikus meghatározása A „Függıvonalak és szintfelületek” c. fejezetben találkoztunk a nehézségi erı potenciáljának elsı és második parciális deriváltjaival. Az elsı deriváltak a nehézségi erı tengelyirányú komponensei, a második deriváltakat pedig az Eötvös-féle tenzorban foglaltuk össze. A jelzett fejezetben alkalmazott jelöléseket szokásosan az alábbi formába írják át:

∂W = WX , ∂X ∂W gY = = WY , ; ∂Y ∂W gZ = = WZ . ∂Z gX =

    E=    

∂ 2W ∂X 2 ∂ 2W ∂Y ⋅ ∂X ∂ 2W ∂Z ⋅ ∂X

∂ 2W ∂X ⋅ ∂Y ∂ 2W ∂Y 2 ∂ 2W ∂Z ⋅ ∂Y

∂ 2W   ∂X ⋅ ∂Z  W XX ∂ 2W    = WYX ∂Y ⋅ ∂Z   W ∂ 2W   ZX  ∂Z 2 

W XY WYY WZY

W XZ   WYZ  . WZZ 

Ugyancsak az e fejezetben szereplı ábrán a derékszögő koordináták origója a földfelszín P pontjában volt, a Z tengely a függıvonal mentén a Föld belseje irányába, az X és az Y tengelyek megfelelıen északra és keletre mutattak. Egyértelmő volt, hogy e rendszerben WZ = g .

Láttuk, hogy ebben a koordinátarendszerben a szintfelület (így a geoid) görbülete, a nehézségi erı függıleges és teljes vízszintes gradiense, a teljes vízszintes gradiensnek az észak felé mutató X tengellyel bezárt szöge pedig, a szintfelületi azimut, valamint a szintfelület meridián- és haránt irányú metszetének görbülete az Eötvös-féle tenzor W XX , WYY , WZZ WXY , WXZ , WYZ elemeinek függvényei.

69

X (É) W X iránya

α iránya α Y (K)

P

WY iránya

WZ iránya Z

A differenciál-geometria Bonnet-tétele szerint 6, egymás között bizonyos feltételeket kielégítı mennyiség egyértelmően meghatározza a felületet. Ez a 6, Gaussról elnevezett mennyiség (a Gauss-féle fundamentális mennyiségek) elıállíthatók a felület függvényének, esetünkben a W potenciálfüggvénynek elsı és második parciális deriváltjaiból. A fenti ábra szintfelületi érintısíkú koordináta-rendszerében a 6 mennyiség az alábbi:

E = 1; F = 0; G = 1;

W XX ; g W M = - XY ; g W N = - YY . g L=-

Az elsı és második parciális deriváltak a szintfelület minden tulajdonságát meghatározzák, így a 6 fundamentális mennyiség alapján a „szintfelület egyenlete” levezethetı lenne. torziós szál

fényforrás

tükör

m

D n n0 h

szintfelületek

m

70

Az Eötvös-féle torziós inga* megadja az ingarúd felfüggesztési pontján áthaladó szintfelületre a szintfelületek alakját (gömbalaktól való eltérését) jellemzı W XY és a W∆ = WYY − W XX görbületi gradienseket. Ha megmérjük a nehézségi gyorsulás g = WZ értékét és meg tudjuk határozni a WZZ -t is, úgy a külsı, vonzásmentes térre vonatkozó

∆W = W XX + WYY + WZZ = 2 ⋅ ω 2 Laplace-egyenletbıl számítható a W XX + WYY összeg is. Így rendelkezésre állna minden adat, ami a fundamentális mennyiségek képzéséhez és ezek révén a szintfelület egyenletének elıállításához szükséges. A szintfelületek analitikus meghatározása két gyakorlati korlátba ütközik: 1. Sokáig nem sikerült olyan berendezést szerkeszteni, amelyik a WZZ -t az Eötvös-ingával meghatározott mennyiségekkel azonos megbízhatósággal adta volna meg. A nehézségi erı WZZ függıleges gradiensének mérése, egészen a legutóbbi idıkig a többinél csak 1-2 nagyságrenddel kisebb megbízhatósággal sikerült, a mai eszközökkel (gradiométerekkel) azonban ez a különbség megszőnıben van.

2. A mérést nem lehet olyan ponton végezni, hogy az ingarúd felfüggesztésén áthaladó szintfelület ne messen bele a Föld tömegébe. Ekkor viszont a felület további részét már másik függvénnyel kellene leírni. Természetesen, igaz ez a geoidra is, amely mélyen a mőszerálláspont alatt fekszik. A tengerek esetében a mőszert elvileg a geoid magasságába tehetnénk, de ott az Eötvös-inga nem használható. A tömegeloszlásra vonatkozó mai ismereteink sem elegendıek a geoid kellı megbízhatóságú és részletességő meghatározására ezen a módon, így erre a célra más megoldást (is) kell keresnünk.

A geoid pontonkénti meghatározása A Földhöz tartozó szintfelületek (így a geoid) alakját a Föld fizikai felszínének és belsı sőrőség- (tömeg-) eloszlásának szabálytalanságai befolyásolják. Ebbıl kiindulva, a geoid alakjának meghatározásakor is csak azt tehetjük, amit a fizikai földfelszín alsógeodéziai szintő térképezésekor: a geoid felületét pontonként határozzuk meg és ezekbıl a pontokból „rakjuk össze” az egészet, azaz a geoidot. Az egyes pontok térbeli koordinátahármasát megadhatjuk X, Y, Z térbeli derékszögő koordinátáival a földi geocentrikus koordinátarendszerben. „A valós világtól a térkép síkjáig” c. fejezetben mondottak miatt a térbeli derékszögő koordináták helyett kettıt az eddigiekben va*

Eötvös gravitációs méréseiben kétféle alakú torziós ingát használt. Az elsı alak: a torziós dróton függı vízszintes rúd mindkét végére platinasúly van erısítve, azaz a rúd végein elhelyezkedı tömegek egyenlı magasságban helyezkednek el (görbületi variométer). A görbületi variométer a Coulomb-mérleg pontosabbá és stabillá tett változata, amivel a nehézségi erı potenciáljának második deriváltjait lehet meghatározni. Ebbıl elvileg levezethetı a szintfelület alakja. A második alak: a vízszintes rúd egyik végére ugyancsak platinasúly van erısítve, másik végén vékony szálra erısített platinahenger lóg alá, szóval a rúd végein levı tömegek különbözı magasságban vannak, így a szintfelületek párhuzamosságát jellemzı W XZ és WYZ vízszintes gradienseket is meg lehet határozni (horizontális variométer, ábra). A horizontális variométer — Eötvös fımőve — a tulajdonképpeni Eötvös-inga. A horizontális variométer, az elsı Eötvös-inga, 1891 májusában készült el. A mőszer elve, hogy, ha a két tömegre ható vonzóerı nem teljesen egyenlı, egymástól nagyságban vagy irányban eltér, akkor a rúd a vízszintes síkban elfordul, és a felfüggesztı platina szál megcsavarodik. A megcsavart drót rugalmassága a rudat eredeti helyzetébe igyekszik visszafordítani.

71

lamilyen görbe felülethez kötöttünk (vízszintes modell), a harmadikat pedig e görbe felülettıl való távolsággal azonosítottuk (magassági modell). A könnyebb kezelhetıség miatt görbe felületnek egy matematikai tárgyalásra alkalmas szabályos ún. alapfelületet, legegyszerőbb esetben ellipszoidot választottunk. Ezt neveztük vonatkoztatási ellipszoidnak. A csillagászati pontokban mind a szintfelületi, mind az ellipszoidi koordináták ismertek, következésképpen a függıvonal-elhajlások is. A felület további pontjait a kezdıponthoz képest kellı sőrőségig megfelelı matematikai eljárással, legegyszerőbb esetben lineáris predikcióval interpoláljuk. Eredményként egy koordináta-jegyzéket (számítógépen adatbázist) kapunk. Szükség esetén analóg, vagy számítógépes eljárással a geoid felületét rajzban, legtöbbször izovonalak formájában is ábrázolnunk kell.

A csillagászati szintezés „A kvázigeoid és a geoidunduláció” c fejezetben a geoidundulációt a geoid felületén lévı P’ pontbeli potenciálzavar és a szintellipszoid felületén lévı P0 pontbeli normál nehézségi erı függvényében az

NP =

TP′

γP

0

Bruns-féle képlettel adtuk meg. Az összefüggésben TP′ - a potenciálzavar értéke a földfelszíni P pont P’ geoidi megfelelıjében, γ P0 - a normál nehézségi erı értéke a P0 pontban, a szintellipszoid felületén. A potenciálzavart nem ismerjük. A geometriai megoldás érdekében dN képezzük az N geoidunduláció elsı deriváltját. E derivált értéke a függıvonal-elhajlás s ds irányú összetevıje, amit a „Függıvonal-elhajlás” c. fejezetben ϑ -val jelöltünk: dN = ϑ *. ds Egyszerősítési célból a P indexet elhagytuk. A derivált a geoid felületén lévı P’ pontból kiinduló tetszıleges azimutú s ív mentén megadja a geoidunduláció változását.

Α ξ meridián- és η haránt-irányú összetevıkre, természetesen, fennállnak a dN =ξ dϕ

dN =η dλ

és

összefüggések. E képletekben ξ és η szigorúan véve a valódi és a normálpotenciál szintfelületének felületi normálisai által bezárt szög geoidra vonatkozó összetevıi, általános esetben azonban ezeket az adott ország vonatkoztatási ellipszoidjára vonatkozó függıvonal-elhajlás értékekkel helyettesítjük. Ez egyébként elınyös is, mert így az N értékek alapfelülete (ellipszoidja) azonos lesz a vízszintes mérések alapfelületével. A fenti összefüggések integrálásával általános esetben N (s ) = ∫ ϑ ⋅ ds *, a meridián- és a haránt-irányú összetevık esetén az

N (ϕ ) = ∫ ξ ⋅ dϕ

és

N ( λ ) = ∫ η ⋅ dλ

Itt a ϑ Pizetti-féle függıvonal-elhajlás (ld. „A függıvonal-elhajlás” c. fejezetet). A zárójelbe tett indexek ugyanazon geoid-unduláció számítási módjára utalnak.

*

72

összefüggésekhez jutunk. Ha megfelelı sőrőségben ismerjük a függıvonal-elhajlások értékeit a geoid valamilyen azimutú metszete (szelvénye) mentén, úgy az integrálokat a Σ jellel, azaz algebrai összegzéssel helyettesíthetjük (numerikus integrálás). Valamilyen adott N0 geoidundulációjú pontból kiindulva, az i-ik geoidundulációt a kezdı ponthoz képest az k

N i′ = ∑ ϑi −1 ⋅ s i −1,i . 1

összefüggésbıl számíthatjuk. A végrehajtás lényegét az alábbi ábrán követhetjük nyomon. Az ismert függıvonal-elhajlású pontok olyan közel helyezkednek el egymáshoz, hogy a geoid, ill. az ellipszoid közöttük lévı ívei egyeneseknek, az N’i (az ábrán csak az N’1 és N’2 láthatók) szemközti befogójú, a befogóval szemben lévı ϑ igen kis hegyesszögő háromszögek derékszögőeknek tekinthetık. A kis szögek miatt

N 1′ = ϑ0 ⋅ s 0,1 , N 2′ = ϑ0 ⋅ s 0,1 + ϑ1 ⋅ s1, 2 , ……., N k′ = ϑ0 ⋅ s 0,1 + ϑ1 ⋅ s1, 2 + .... + ϑ k −1 ⋅ s k −1,k .

ϑ0

ϑ1 ϑ0

ϑ2

ϑ1

geoid

N’1

N0 s01

ϑ2

N0 N’2 s12

N0

N’k

ellipszoid

Mivel a függıvonal-elhajlás gyorsan változik, célszerő a ϑi −1 mennyiségek helyett a fenti képletekbe a 1 ϑi −1,i = ⋅ (ϑi −1 + ϑi ) 2 középértékeket helyettesíteni. A kezdı pont ismert N0 értékét az N i′ értékekhez még hozzá kell adnunk:

N i = N i′ + N 0 . Az N0 értékét általában önkényesen választják meg, pl. egy hálózati kezdıpontban 0-nak. Ezért egy geoidunduláció-térkép mindig relatív, s természetesen függ a vonatkoztatási ellipszoidunktól. A szelvényeket rendszerint észak-dél (meridián-), vagy kelet-nyugat (haránt-) irányban jelölik ki. Ekkor, a „Függıvonal-elhajlás” fejezet szerint

ξ = Φ −ϕ , η = (Λ − λ ) ⋅ cos ϕ

73

R ⋅ cos ϕ

Pólus s = R ⋅ ∆ϕ

R

∆λ

s

s

∆ϕ

ϕ

s = R ⋅ cos ϕ ⋅ ∆λ

és

η = ( A − α ) ⋅ ctgϕ .

Az s ívhosszakat ilyenkor a szelvény menti szomszédos pontok szélesség-, ill. hosszúságkülönbségeinek és a földgömb sugarának, vagy a szélességi kör sugarának szorzataiként célszerő kifejezni.

A csillagászati szintezés fontos követelménye, hogy a tervezett szelvények mentén a képletek alkalmazhatóságához elegendı számú pontban ismerjük a függıvonal-elhajlásokat. Mivel a mind a szintfelületi, mind az ellipszoidi koordinátákkal rendelkezı csillagászati pontok (az ún. Laplace-pontok) egymástól való távolsága 100 km körüli, vagy akár nagyobb, azokat megfelelı módszerrel sőríteni kell (ld. a „A függıvonal-elhajlások sőrítése” c. fejezetet). Az eddigi gyakorlat szerint csillagászati szintezéssel nagyobb területre geoidképet úgy határoznak meg, hogy elıször megfelelı sőrőségő hosszúsági és szélességi vonalak metszéspontjaiban (gyakorlatilag négyzethálózat sarokpontjaiban) meghatározzák a ξ és az η függıvonalelhajlás összetevık értékét. Ezt követıen a szélességi vonalak mentén a η összetevık-, a hoszszúsági vonalak mentén pedig a ξ összetevık felhasználásával számítják a geoid metszeteket.

λi

λi+1

ϕj

N’i N’i+3

N’i+1 N’i+2

ϕ j+1

A hagyományos szintezési poligonokhoz hasonlóan, egy zárt négyzetben az egyik sarokpontból kiindulva, majd ugyanoda visszatérve, ugyanazt a geoidunduláció-értéket kellene kapnunk. Miután ez nem teljesül, a rács egészére a feltételes mérések módszere szerinti kiegyenlítést célszerő alkalmazni. A kiegyenlített geoidunduláció-értékek között az interpolálással kapott azonos, kerek értékő geoidundulációkból - a szintvonal-szerkesztéshez hasonlóan – grafikusan, vagy számítógépes szoftverrel izovonalas geoidunduláció-térképeket készítenek.

A csillagászati szintezést a Bruns-féle összefüggésre, azaz fizikai alapra vezettük vissza. A megoldás viszont tisztán geometriai szemléletet igényelt. A megoldásban szereplı függıvonal-elhajlások meghatározása az egyes országok geodéziai alaphálózataihoz kapcsolódik, s mivel az egyes országok alaphálózatait különbözı alapfelületeken (ellipszoidokon) értelmezik, a különbözı geoid-részletek nem kapcsolhatók össze. Az egyes szelvények kezdıpontjaiban az N0 értékek ismeretlenek, a geoidkép relatív. Hosszadalmas és fáradságos meghatározásuk következtében függıvonal-elhajlás értékek viszonylagosan kis számban állnak rendelkezésre, emiatt a csillagászati szintezés, azaz a függıvonal-elhajlás adatok felhasználása a geoid meghatározásában az utóbbi két évtizedben háttérbe szorult, pl. a gravimetriai módszerekkel szemben.

A geoid meghatározása fizikai módszerrel A csillagászati szintezés elızı fejezetben említett hátrányai a nehézségi rendellenességeken alapuló fizikai módszerrel kiküszöbölhetık. E módszernél az alapfelület a Föld egész felületén közös, ún. földi ellipszoid. A földi ellipszoid méretei összhangban vannak a normál nehézségi erı nemzetközi szervezetek által javasolt képletében szereplı, a nehézségi rendelle-

74

nességek képzéséhez is használt együtthatókkal. Elıny az is, hogy a nehézségi erı a tengereken is mérhetı, míg a csillagászati szintezésbıl a tengerek, óceánok területe kimaradt. A módszer kiindulópontja az

NP =

TP′

γP

0

Bruns-féle összefüggés. A potenciálzavart a potenciálelmélet ún. harmadik peremértékfeladatának megoldása eredményeként kapjuk meg. A P pont geoidi P’ megfelelıjében ugyanis a TP′ potenciálzavarnak ki kell elégítenie a

∂T 2 + ⋅ T = −( g − γ ) ∂R R összefüggést. Utóbbi a fizikai geodézia „alap” differenciálegyenlete, amely kapcsolatot teremt a potenciálzavar és valamelyik ∆g = g − γ nehézségi rendellenesség között. A nehézségi rendellenesség ismeretében a differenciálegyenletbıl meghatározzuk a potenciálzavart, majd, a Bruns-féle képletbe helyettesítve, megkaphatjuk a P’ pontbeli geoidundulációt. A képletben

R – a közepes földsugár, g – a tényleges nehézségi erı a geoidon, γ – a normál nehézségi erı a szintellipszoidon. Az egyszerőség kedvéért az indexeket elhagytuk. A feladat megoldását egy elvi nehézség nehezíti. A peremérték-feladatokban általában azt a felületet, amelyre a feltételt kikötjük, ismernünk kell. Ugyanakkor esetünkben a határfelület – ez most a geoid – saját maga is meghatározásra szorul. Ezért a feladatot közelítések útján oldják meg. Kétfajta közelítési lehetıség kínálkozik: 1) megoldás gömbfüggvény sorral 2) megoldás a Stokes-féle képlettel és a Stokes-féle függvénnyel. Az alábbiakban ez utóbbi megoldást vázoljuk. A megoldás módja hasonlít a „Gravimetriai módszer” fejezetben bemutatott eljáráshoz. N P α Rψ

(g-γ) Az alábbi képletekben az általánosítás kedvéért az indexeket elhagyjuk.

k

∆g=g-γ

S

Az ellipszoid felületét gömbfelülettel helyettesítjük. A fizikai geodézia differenciálegyenletének megoldása Stokes képlete szerint: π 2π R T= ⋅ ∆g ⋅ S (ψ ) ⋅ sinψ ⋅ dψ ⋅ dα . 4 ⋅ π ∫0 ∫0

A fenti képletben

S (ψ ) =

1 sin

ψ

− 6 ⋅ sin

ψ

ψ  ψ + 1 − 5 ⋅ cosψ − 3 ⋅ cosψ ⋅ ln sin + sin 2  2 2 2 

2

75

az ún. Stokes-féle függvény, vagy Stokes-féle integrál. Ekkor, az N =

T

γ

szerint a geoidunduláció:

N=

π 2π

R 4 ⋅π ⋅γ

⋅ ∫ ∫ ∆g ⋅ S (ψ ) ⋅ sinψ ⋅ dψ ⋅ dα . 0 0

Az α szerinti integrálást elvégezve, írhatjuk:

N=

π

R ⋅ ∆g ⋅ S (ψ ) ⋅ sinψ ⋅ dψ . 2 ⋅ γ ∫0

Bevezetve az

F (ψ ) =

1 ⋅ S (ψ ) ⋅ sinψ 2

jelölést és a kijelölt integrálást numerikus integrálással helyettesítve, a geoidundulációra végül az

N = ∑ C ⋅ ∆g képletet kapjuk, ahol

C =

R

γ

⋅ F (ψ ) ⋅ dψ .

A C konstans értéke a „Gravimetriai módszer” c. fejezet 3. ábrájához, valamint az ott leírtakhoz hasonlóan határozható meg, a vizsgált pont köré rajzolt koncentrikus körök és a pontból kiinduló sugarak révén, vagy úgy, hogy a szélességi és hosszúsági vonalakkal foknégyszögeket állítanak elı. Ha a ψ gömbi távolság eléggé kicsi, a F(ψ) függvény a ψ - hez tartozó felületelemen belül konstansnak tekinthetı. A felületelemhez tartozó geoidi ∆g értékek izoanomália térképekrıl olvashatók le, ennek feltétele a kellı sőrőségő gravitációs hálózat megléte. Mint azt „A nehézségi erı rendellenességeinek predikciója” fejezetben említettük, nagyon ritka hálózatok esetén feltételezzük, hogy az ismeretlen pontokon a rendellenesség értéke zérus. Ez elsısorban a tengereken, az izosztatikus rendellenességekre igaz, hiszen az izosztatikus egyensúly esetén a ∆g valóban zérus, vagy ahhoz igen közeli érték. Megemlítjük még a geometriai és a fizikai módszerek együttes feldolgozását, amely a tágabb értelemben vett kiegyenlítı számításban a kollokáció módszerével történik.

A geoid meghatározása szatellita-geodéziai módszerekkel A mesterséges holdak (ma már egyre inkább a GPS) megfigyeléséhez kapcsolódó módszerek alkalmazásával létrehozott geodéziai alappont-hálózat (Magyarországon az OGPSH – Országos GPS Hálózat) pontjainak térbeli koordinátáit egyetlen eljárás eredményeként kapjuk. A ϕ, λ és h ellipszoidi koordinátákkal azonban a földfelszínt csak „geometriailag” határoztuk meg, a felhasználó részére viszont a geoid (a középtengerszint) feletti magasságokra is szükség van*. A mesterséges holdakra alapozott helymeghatározási technikák (a GPS) ma már egyre fokozódó mennyiségben rendelkezésünkre álló adatainak magassági részét csak akkor tudjuk hasznosítani, ha ismerjük a geoid-ellipszoid távolságokat, a geoidundulációkat, egyszóval, a

*

Tulajdonképpen csak ez utóbbiakra van szükség, hiszen pl. egy út, vagy vasúttervezı mérnök az ellipszoidi (a tervezés szempontjából lényegében teljesen „fiktív”) magasságokkal semmit nem tud kezdeni.

76

minél részletesebb geoidképet. Ennek és más jellemzıknek** a meghatározására az eltelt viszonylag rövid idı alatt geometriai és dinamikai módszerek is kialakultak.

A szatellita-geodézia geometriai alkalmazása A címben foglalt „geometriai” szó csak a mesterséges holdak megfigyelésébıl meghatározott geometriai jellegő helymeghatározási adatokra (helyvektorra, vagy a helyvektor térbeli összetevıire) vonatkozik. Természetesen, tudjuk ugyanakkor, hogy a mesterséges holdak pályamozgása már fizikai törvényeken alapul. A megoldást olyan földfelszíni pontokban tudjuk használni, amelyeknek a geoidhoz viszonyított H magassági helyzetét geometriai szintezéssel (esetleg igen pontos trigonometriai magasságméréssel) meghatároztuk. Ez esetben a pontnak a mesterséges holdas technikával meghatározzuk a (GPS esetében a WGS84) ellipszoidi felületi helyzetét (ϕ, λ koordinátáit) és h ellipszoidi magasságát. Az ellipszoidi magasságból a pont geoid feletti magasságát levonva, megkapjuk a geoidnak az ellipszoid feletti magasságát (a geoidundulációt, a földfelszíni pont ellipszoidi normálisán mérve):

N = h−H . Nagyszámú így meghatározott pont esetén a geoidi pontokból metszeteket készíthetünk, vagy megszerkeszthetjük az azonos geoidundulációjú pontok mértani helyeit, azaz elkészíthetjük a geoidkép izovonalas ábrázolását. Az így meghatározott geoidkép a mesterséges holdas (ma már többnyire a GPS) helymeghatározás vonatkoztatási rendszerére vonatkozik. Ha most a geoid meghatározásában felhasznált pontok ϕ, λ felületi helyzetét valamilyen más, helyi ellipszoidon (ilyen az EOV IUGG/1967 ellipszoid magyarországi simuló változata) ismerjük, akkor a kapott geoidkép erre az ellipszoidra vonatkozik. A módszer elınye, hogy a földfelszín bármely helyén így meghatározott geoidi pont ellipszoid feletti N magassága ugyanazon geocentrikus elhelyezéső ellipszoidhoz tartozik. Ez lehetıvé teszi az egymástól független geodéziai hálózatokban csillagászati szintezéssel meghatározott relatív geoid-ábrázolások közös geocentrikus rendszerbe kapcsolását.

Dinamikai szatellita-geodéziai módszerek A Föld közelében mozgó égitestek, mesterséges holdak pályáját elsısorban a Föld nehézségi erıtere befolyásolja, így, az égitestek mozgását követve, következtetni lehet az egymással szorosan összefüggı olyan jellemzıkre, mint a nehézségi erıtér szerkezete, a geoid alakja és a nehézségi rendellenességek.

**

Ilyenek: − egymástól több ezer (sıt tízezer) km-re lévı pontok összekapcsolása, kontinentális, sıt világhálózatok kialakítása kiemelkedı megbízhatósággal, − a Föld körüli térség nehézségi erıtere jellemzıinek részletes és gyors meghatározása, aminek eredményeként a részletesebb és pontosabb geoidkép is kialakítható, − kéregmozgások hatékony tanulmányozása (lemeztektonika), − a Föld tengelykörüli forgásának, továbbá az árapály hatásainak részletesebb megismerése, stb. A továbbiakban a geoidmeghatározás szatellita-geodéziai lehetıségeit tekintjük át, a kérdés széleskörő volta miatt a teljességre törekvés igénye nélkül.

77

Z

Yω

Zω leszálló csomópont

ν Föld O

Ω

égi egyenlítı síkja

kezdı irány (γ)

h

r

ω

P

mesterséges hold Xω

perigeum Y

i

felszálló csomópont

X pályasík

A mesterséges holdak pályáját (ld. a „Kvázi inerciális égi koordináta rendszer” c. fejezet ábráját is) részben a Föld tömegvonzási rendellenességei, a Hold és a Nap árapálykeltı hatása, részben az ún. „nemkonzervatív” erık, fıképpen a légköri ellenállás és a napszél befolyásolják. Gömbszimmetrikus tömeg vonzási erıterében mozgó mesterséges holdak pályája – ha nem lennének ezek a zavaró hatások – a térben állandó helyzető ellipszis lenne. Az ellipszis pályáját a 6 Kepler-féle pályaelem határozza meg:

a – az ellipszis fél nagytengelye, e2 – elsı numerikus excentricitás, Ω - a felszálló csomópont rektaszcenziója, ω - a perigeum (ún. földközelpont) szöge (perigeum: a Föld körül keringı mesterséges hold pályájának a Föld tömegközéppontjához legközelebb esı pontja) i – pályahajlás (inklináció), ν − a mesterséges hold pillanatnyi helyzetét jellemzı szög (ún. közép-rendellenesség, vagy középanomália). A fenti ábrán a P az ún. szubszatellita pont (a mesterséges hold alatti földfelszíni pont, amely rajta van a Föld O tömegközéppontja és a mesterséges hold összekötı egyenesén). Mivel a Föld vonzási erıtere nem gömbszimmetrikus, a körülötte keringı mesterséges holdak pályája ellipszis helyett bonyolult térgörbe lesz. Az erıtér gömbszimmetrikustól való eltérése nem nagy, ezért a pályát valamely adott idıpontra vonatkoztatott Kepler-féle pályaelemekkel jellemezzük, megadva a pályaelemek idıbeli változásának mértékét. Az árapálykeltı és a nemkonzervatív erıhatások kiszőrése után e térgörbe perturbációi a Föld tömegvonzási rendellenességeire vezethetık vissza. „A normálpotenciál és a normál nehézségi erı” c. fejezet elején utaltunk arra, hogy a Föld vonzási potenciálját a Laplace-egyenlet megoldására kapott gömbfüggvénysorral írják le. E gömbfüggvénysorból a gömbszimmetrikus rész egyszerően számítható vonzási potenciálját levonva, kapjuk azt a „zavarfüggvényt”, ami a bonyolult, ún. perturbált pályát okozza. Matematikai úton (a Lagrange-féle másodrendő differenciálegyenletek megoldásából) az egyes pályaelemek perturbációi (azok idıbeli változásai) kifejezhetık a „zavarfüggvény” együtthatóinak függvényében. Az idıbeli változások tapasztalati úton meghatározhatók, így az együtthatók e függvényekbıl kiszámíthatók.

78

Mivel a T = W – U potenciálzavar gömbfüggvény sorában is ugyanezek az együtthatók szerepelnek, ezek behelyettesítésével megkaphatjuk a potenciálzavart. Az így kapott értéket az

N=

T

γ

Bruns-féle képletbe beírva, a geoidunduláció N értéke kiszámítható. Ha ismert a potenciálzavar, úgy a fizikai geodéziának a nehézségi rendellenesség és a potenciálzavar között felírható

∂T 2 + ⋅ T = −( g − γ ) = − ∆g ∂R R alap differenciálegyenletébıl a ∆g nehézségi rendellenesség értékét is számítani tudjuk. Az így kapott nehézségi erıt csak a geoidra redukáljuk, egyéb javítással nem látjuk el, ezért a kapott mennyiség Faye-féle rendellenesség:

∆g = ∆g F . A dinamikai módszerek felhasználásával vezetik le a Föld-modelleket. Az így levezetett Földmodellek tartalmazzák

− a megfigyelı állomások geocentrikus koordinátáit, − a nehézségi erıtér potenciálfüggvényében szereplı nagyszámú együtthatót, amelyek segítségével, mint mondtuk feljebb, megszerkeszthetı a geoidkép, az izoanomália-térképek, valamint egyéb jellemzık. A fentebb leírt módszer a nehézségi erıtér, ill. a geoid globális leírására ad lehetıséget. Ha több információra van szükség, más, új mesterséges holdas eljárásokat is igénybe vehetünk. Ilyen pl. az őrgravimetria.

Őrgravimetria A teljes Föld tömegeloszlásával, nehézségi erıterével kapcsolatos eddigi becslések mindegyike meglehetısen inhomogén eloszlású méréseken alapult: a sőrőbben lakott területekrıl, így például Európáról jellemzıen sokkal több adat áll rendelkezésre, mint az elhagyottabb vidékekrıl, például Grönlandról, Szibériáról vagy az Antarktiszról. Ezen változtatnak a gravimetriai mőholdak. Bár nem tudják teljes egészében megoldani ezt a problémát, mégis jóval egységesebb megoldást nyújtanak, mivel az általuk észlelt adatok mennyiségének eloszlása pusztán a szélesség függvénye, tehát egy-egy meridián mentén ugyanannyi és ugyanolyan minıségő észlelést végeznek. Az őrgravimetria, vagy mesterséges holdas gravimetria egy olyan új eljárás, aminek a célja a globális tömegátrendezıdések nyomon követése. A gravimetriai mőholdak 2000-ben a német CHAMP fellövésével kezdték meg mőködésüket, amelyet 2002-ben a GRACE elnevezéső mőhold páros követett A mőholdak mérési eljárásainak a hátterében a mőhold szabadesése és az azt kiváltó nehézségi erıtér kapcsolata áll. A mőholdak méréseinek feldolgozása korántsem egyértelmő tudományos feladat, évek óta foglalkoztatja a geofizikai és a geodéziai közösséget*. A GRACE elnevezés két mőholdat takar közel azonos pályán, ahol a két mőhold között folyamatos távolságmérés történik (ábra). Az energia megmaradás törvénye lehetıvé teszi a két

*

A Magyar Őrkutatási Iroda honlapján több információt is találhat az érdeklıdı olvasó: http://www.hso.hu/cgi-bin/page.php?page=201.

79

mőhold belsı energiája különbségének regisztrálását, s ezen keresztül a gravitációs gyorsulás térbeli megváltozásainak meghatározását.

A fenti ábrán a gravimetriai mőholdak rendszerét látjuk (balra lent: CHAMP, jobbra lent: GRACE, jobbra fent: GOCE)*

Szatellita-altimetria

S

altiméter

h

óceán felszín geoid tenger-fenék ellipszoid

A szatellita-altimetria a Föld (pontosabban az óceánok) felszínének alakjáról szolgáltat információt. A mesterséges holdon elhelyezett altiméter (radar magasságmérı) a saját magasságát méri az óceán felszíne felett. Az altiméteres mérés elvét az ábrán mutatjuk be. A folyamatos mérések eredményeként igen nagy részletességgel ismerhetı meg az óceán felszíne. Az altiméter győjti a h magassági adatokat, amelyeket elıbb kiegyenlítenek, majd 1o ⋅ 1o -os hálóban számítják közepes értékeiket. Az így megismert adatokat több célra lehet felhasználni, a számunkra érdekes geoid-, ill. a nehézségi rendellenesség-meghatározást vázlatosan mutatjuk be az alábbi ábrán. *

Forrás: Institute für Astronomische und Physikalische Geodäsie, Technische Universität München

80

S h

P

h rS

∆h1 ∆h2

N P0

RP0

POF KÁOF geoid

földi ellipszoid

terepfelszín O Az ábra jelölései: O – a Föld tömegközéppontja, S – a mesterséges hold pillanatnyi helyzete P – a szubszatellita pont, P0 – a P pont ellipszoidi megfelelıje, POF – a pillanatnyi óceán felszín, KÁOF – a kvázi állandó óceánfelszín, rS – a mesterséges hold geocentrikus helyzeti vektora, R P 0 - a P0 pont geocentrikus helyzete,

h - az altiméterrel mért érték, amely S-nek a POF feletti magasságát adja, h – a POF magassága az ellipszoid felett, ∆h1 – a pillanatnyi és a kvázi állandó óceánfelszín közötti magassági eltérés, ∆h2 – a geoid és a KÁOF közötti magasságkülönbség, N – a geoidunduláció. Az ábrából

h = rS − R P0 − h , mivel pedig rS ismert, így h számítható. Felírható továbbá, hogy

N + ∆h2 = h − ∆h1 . A ∆h1 értéke meteorológiai és óceáni hatások figyelembevételével ismerhetı meg. A tényleges N értéket tehát úgy lehet levezetni, ha kellı ismeretünk van ∆h2 – rıl. Kellı ismeretek hiányában az N + ∆h2 összeg határozható meg, amely 1-2 m-es eltérést jelent. A geoidundulációk birtokában a Stokes-függvény inverz megoldásával a nehézségi rendellenességek is levezethetık (ld. a „A geoid meghatározása fizikai módszerrel” c. fejezetet).

81

A nehézségi erı mérése A nehézségi erı (gyorsulás) meghatározása lényegében elvégezhetı minden olyan jelenség, vagy állapot megfigyelése révén, amely jelenség, vagy állapot létrejöttében a nehézségi erınek szerepe van: szabadesés, inga lengése, rugó megnyúlása terhelés hatására, stb. A kérdés csak az, hogy az adott jelenség, ill. állapot megfigyelésébıl nyert mérési eredményekbıl a g értéke kellı megbízhatósággal számítható-e. A nehézségi erı mérési módszerei alapvetıen két csoportra oszthatók: 1) dinamikai módszerek, 2) statikai módszerek. A dinamikai módszereknél valójában gyorsulást mérnek a mozgásban lévı test megfigyelése útján, a statikai módszereknél térerısséget mérnek a megfigyelt test nyugalmi állapotában. 1) A dinamikai módszerekhez soroljuk:

− inga nehézségi erı hatására bekövetkezett lengésidejének mérése, − inga nehézségi erı és rugalmas lemez együttes hatására bekövetkezett lengésidejének mérése, − testek esési sebességének mérése, − húr rezgési frekvenciájának mérése, − folyadék kiáramlási sebességének mérése keskeny nyíláson át. 2) A statikai módszerekhez soroljuk:

− hipszometrikus módszer – higanybarométerrel és hipszométerrel (termobarométer, magasság mérésére szolgáló hımérı) mért légnyomások összehasonlítása, − barométeres módszer – higanyoszlop magasságának mérése a rugalmas gázerı és a nehézségi erı egyensúlyi helyzetében, − a nehézségi erı és valamilyen más erı (pl. rugóerı) hatására egyensúlyban lévı tömeg elmozdulásának mérése. A nehézségi erı mérése céljából megalkotott mőszerek közül terepi használatra a legelterjedtebbek az

− ingás mőszerek, − ballisztikus elven mőködı mőszerek, − a rugalmas erıhatás elvén mőködı graviméterek. Ezek a rugalmas erıhatás, túlnyomó többségben a rugóerı-hatás elvén mőködnek. Megkülönböztetünk még 1) abszolút g-mérést, 2) relatív g-mérést. Az abszolút g-mérés a mérés helyére vonatkozó „teljes” nehézségi erıre vonatkozik, a kérdéses egyetlen ponton. Ekkor vagy a fizikai inga lengésidejét mérik, vagy a testek esésének megfigyelésén alapuló ún. ballisztikus módszerek valamelyikét használják. A relatív g-mérésnél a meghatározandó és az ismert pontok közötti

∆g = g 2 − g1 különbséget mérik, ahol g 2 - nehézségi erı a meghatározandó, g1 - nehézségi erı az ismert kezdıponton.

82

Abszolút g-mérés fizikai ingával A nyugalmi helyzetébıl kimozdított és magára hagyott tömegpont nyugalmi helyzet körüli lengı mozgását a nehézségi erı hozza létre. A matematikai inga azon jellegzetességét, hogy az inga lengésideje független a kimozdulás amplitúdójától (izochronizmus*), még Galilei fedezte fel 1589-ben. 1673-ban Huygens a matematikai inga végtelen kis amplitúdójú féllengésidejére az alábbi összefüggést állította fel:

t =π ⋅

l . g

A fenti összefüggésben

t – a fél-lengésidı, l – az inga hossza, g – a nehézségi gyorsulás. Huygens tudta, hogy a fizikai (valóságos) inga szigorúan véve nem izochron, azaz a nagyobb amplitúdójú lengések valamivel lassabbak a kisebb amplitúdójúaknál. A lengés amplitúdója és a lengésidı közötti szigorú összefüggést elsıként Euler állította fel 1736-ban:

t =π ⋅

l  1 α 9 α  ⋅ 1 + ⋅ sin 2 + ⋅ sin 4 + ...  , g  4 2 64 2 

ahol, az eddigi jelöléseken túl α – amplitúdó. Az abszolút g-mérésekre az ún. reverziós ingákat használják. Az elsı reverziós ingát (ábra) H. Kater angol fizikus készítette 1818-ban. A reverziós inga körülbelül 1 m hosszú rúd, amelyen a csavarokkal rögzíthetı két forgástengely egymással szemben áll. Az eltolható nehezékek a lengésidıt meghatározó paraméterek a tehetetlenségi nyomaték, súlyponttávolság - változtatására szolgálnak.

2

1 a2

t1

a1 a2 t2

C

t1 C 2

t2

a1 1

Ha sikerült elérnünk azt, hogy - az ingát a két tengely körül lengetve - a két lengésidı egyenlı, akkor az ékek távolsága éppen az inga l r ún. redukált hosszával egyenlı. E távolság és a lengésidı mérése után a nehézségi gyorsulás:

*

Izochronizmus: az ingalengések idıtartamának egyenlısége

83

g=

π 2 ⋅ lr t2

.

Késıbb Bessel olyan megfigyelési módszert javasolt, amely – megfelelı javítás bevezetésével - lehetıvé teszi a izochron helyzettıl való eltérést. Repsold Bessel javaslatai alapján készítette el a róla elnevezett ingát (ábra jobboldali része). Az ékek távolsága változatlan, a lengési idık nem egyeznek meg ( t1 ≠ t 2 ). A matematikai inga képletébe a

t = t1 + ∆t idıt helyettesítik, ahol

∆t =

a2 ⋅ (t1 − t 2 ) . a1 − a 2

m ) középhibával akars2 juk a g nehézségi erıt meghatározni, úgy az idıt µ t = ±3,5 ⋅ 10 −7 s , az ingahosszat

t = 1 s és l = a1 + a 2 = 1 m esetén, ha pl. µ g = ±1 mgal ( 10 −3 gal, 10 −5 ⋅

µ l = ±7,1 ⋅ 10 −7 m középhibával kell ismerni. A t idıt az amplitúdó, a hımérséklet, a levegı sőrősége, az órajárás, az ék alakja és az ún. állványegyüttlengés miatt javításokkal kell ellátni. A nehézségi erıt a π 2 ⋅l g= 2 t0 képletbıl számítják, ahol t0 a javítások figyelembe vételével kapott lengésidı. A Repsold-féle ingával Magyarországon Gruber Lajos végzett méréseket, amelyeknek eredményeit Oltay Károly dolgozta fel. Reverziós ingával még a XX. század elején határozták meg a Potsdami Geodéziai Intézet adott pontjára vonatkozó alábbi nehézségi erı értéket:

g Potsdam = 981,274 ± 0,003 gal . 1971-ben egységes gravimetriai rendszert hoztak létre (ISGN-71). Ekkor a Potsdamra vonatkozó g-érték is korrekcióra szorult, mintegy 13-14 mgal nagyságrendben.

Abszolút g-mérés ballisztikus módszerekkel Az abszolút g-mérésnél alkalmazott ballisztikus módszerek alapja a szabadon esı test egyenes vonalú, egyenletes gyorsulásának ismert törvényszerősége:

g ⋅t2 h = h0 + v0 ⋅ t + . 2 A fenti képletben

h0, v0 – a test kiinduló helyzete és sebessége, h – a test által t idı alatt megtett út, g – a nehézségi erı értéke, amelyet a h úton változatlannak fogadunk el. Ha egy skálán regisztráljuk a ti idıpontokban mért hi mért útszakasz értékeket, a fenti egyenlet alapján felírható egyenletrendszer legkisebb négyzetek módszere szerinti megoldása szolgáltatja a g nehézségi gyorsulás ismeretlen értékét. A közelmúltban több új, ballisztikus elven mőködı abszolút g-mérı mőszert készítettek a világ több országában. Ezeknek két változata létezik:

84

1) obszervatóriumi (telepített) és 2) szállítható (terepi) változat. Sakuma japán kutató a szabadesés megfigyelésére szerkesztett egy igen pontos berendezést, amellyel a korábbi ingamérések pontosságát kb. két nagyságrenddel sikerült megjavítani és így csaknem elérte a ± 1 µgal = ±10 -6 gal pontosságot. A terepi változatok pontossága valamivel kisebb, mintegy ± (8 − 10 ) ⋅ 10 -6 gal középhibával jellemezhetı.

Relatív nehézségi gyorsulás mérés Bár a korszerő technika következtében az utóbbi idıben egyre pontosabbá váltak az abszolút g-mérı mőszerek, a különbözı külsı hatások (légnyomás, hımérséklet, rugalmas deformáció, stb.) miatt az abszolút mérések pontossága nem éri el a relatív g-mérések pontosságát. A relatív g-mérések dinamikai módszerénél az ún. relatív ingákat, a statikai módszerénél a gravimétereket alkalmazzák.

Relatív ingák Az eljárás lényege az azonos inga lengésidejének mérése két ponton. Így egy ismeretlen ponton a nehézségi gyorsulást egy alapállomáshoz viszonyítva határozzák meg. Nem kell ismerni az inga hosszát, csak arról kell gondoskodni, hogy az a két észlelés között ne változzék. A már ismert

t =π ⋅

l g

összefüggésbıl felírható a

g 2 t12 = g1 t 22 aránypár, ahonnan az ismeretlen g2 értéke kifejezhetı:

g 2 = g1 ⋅

t12 . t 22

A t1 és a t2 egymástól szélsı esetben az 5., vagy a 4. értékes jegyben különböznek. Ekkor

t 2 = t1 + ∆t . Mivel a ∆t kicsi, a binomiális sor felhasználásával

g 2 = g1 ⋅

t12

(t1 + ∆t )

2    ∆t  ∆t   = g1 ⋅ = g ⋅ 1 − 2 ⋅ + 3 ⋅ + ... 1   2   t t  ∆t  1  1   t1 ⋅ 1 +  t  1 

t12

2

−2

= g1 − 2 ⋅

g1 ⋅ ∆t , t1

így

g1 ⋅ ∆t . t1 Ha csak a lengésidıket mérjük, eredményül megkapjuk ∆g -t. A nehézségi gyorsulás értéke az ismeretlen pontban: g 2 = g1 + ∆g . g 2 − g1 = ∆g = −2 ⋅

85

A mért idıt az amplitúdó, a hımérséklet, a levegı sőrősége, az órajárás és az állványegyüttlengés miatt itt is meg kell javítani. Ha most közelítıleg g1 ≈ 980 gal és t1 = 0,5 s , úgy

−

2 ⋅ g1 gal mgal ≈ −4 ⋅ 10 +3 = −0,4 ⋅ 10 +7 . t s s

Innen következik, hogy ∆t - ben 10 −7 s egységre esı hiba a ∆g - ben 0,4 mgal hibát okoz, vagy másképpen, a ∆g - ben 1 mgal nagyságú hiba a lengésidıben kb. − 2,5 ⋅ 10 −7 s - et jelent. Relatív ingákat a relatív g-mérésre ma már nem használnak.

Graviméterek A graviméter a nehézségi erı változásának statikus módszerrel való mérésére szolgáló, a nehézségi erıt rugalmas erıhatás révén ellensúlyozó mőszer. A graviméterek kisebb része a nyomás alatt lévı levegı (gáz) tömeg rugalmas erejét használja, a többiben a rugalmas ellensúlyt fém, vagy kvarcrugó képviseli. A rugalmas rendszer mőködésének jellege alapján a graviméterek lehetnek egyenes és torziós (forgó) tömegmozgású graviméterek. Az egyenes tömegmozgású graviméternél az egyensúly feltétele akkor teljesül, ha a rendszerben ható minden erı összege zérus. A rendszer egyensúlyi állapotának egyenlete

P = G , ahol P = m ⋅ g Jelöljük a rugó hosszát l-lel, a rugóállandót (a rugó egységnyi hosszúságra feszítéséhez szükséges erı) Dvel, akkor

G K1 P = m⋅g

G = D⋅l ,

∆l

K2

vagyis a rendszer akkor van egyensúlyban, ha

P = m⋅ g = D ⋅l .

Differenciáljuk ezt az egyenletet és helyettesítsük a végtelen kis mennyiségeket véges menynyiségekkel: m l ∆l = ⋅ ∆g = ⋅ ∆g , (1) D g Ha most pl. az eszközzel délrıl észak felé haladunk, a nehézségi erı értéke nı, s ahhoz, hogy az egyensúly fennmaradjon, a rugóra erısített súly lefelé elmozdul. Az elmozdulás nem magával a nehézségi erıvel, hanem annak

∆g =

g ⋅ ∆l = C ⋅ (K 2 − K 1 ) l

változásával arányos (nyilvánvaló, hogy a ∆g mennyiséget most nem a nehézségi rendellenesség jelölésére használjuk).

86

Az (1) összefüggésbıl levezethetı, hogy a nehézségi gyorsulás értékének 1 mgal-nyi megváltozásakor ( ∆g = 1 mgal) , ami relatív értékben

∆g g

=

∆l l

=

1 ≈ 1 ⋅ 10 −6 980000

nagyságúnak felel meg, egy 0,10 – 0,20 m hosszúságú rugó megnyúlása

∆l = 10 −6 ⋅ l = (1 − 2 ) ⋅ 10 −7 m . Ha a gravimétertıl legalább 0,01 mgal pontosságot várunk el, a rugó hosszváltozását 10-9 m (1 nanométer!) nagyságrendő pontossággal kell megmérnünk. A torziós gravimétereknél azt követeljük meg, hogy a ható erık nyomatékösszege legyen zérus. Az alábbi ábrán a θ szöggel megcsavart fonál (pl. kvarcszál) hordja a CE kar végén felfüggesztett m tömeget. Jelöljük α-val a kar vízszintessel bezárt szögét, l-lel a CE kar hoszszát és τ-val a fonál anyagtól és mérettıl függı torziós együtthatóját.

Feltételezve, hogy a rugalmas erıhatásra a fonálban létrejövı nyomaték a θ szöggel egyenesen arányos, vagyis a C

θ

τ ⋅θ

α

szorzattal egyenlı, az m tömeg által létrehozott nyomaték pedig l

m

E

m ⋅ g ⋅ l ⋅ cos α , úgy a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a

τ ⋅ θ = m ⋅ g ⋅ l ⋅ cos α alakban írhatjuk fel. Ha a θ szög állandó, nyilvánvalóan

m ⋅ g ⋅ l ⋅ cos α = konst. , és a g értéke kifejezhetı. A fenti egyenlet az α lehajlási szög és a g nehézségi erı (gyorsulás) közötti kapcsolatot fejezi ki. Határozzuk meg a fenti rugalmas rendszer érzékenységét. E célból elıször logaritmáljuk, majd differenciáljuk az utolsó egyenletet. Kapjuk: ln m + ln g + ln l + ln cos α = const. Mivel az l és az m állandók, írhatjuk: dg sin α − ⋅ dα = 0 , g cos α ahonnan dg = tan α ⋅ dα . g Véges különbségekre rátérve, kapjuk:

∆g g

= tan α ⋅ ∆α .

Mivel az α szög kicsi, tan α = α és 87

∆α 1 . = ∆g g ⋅ α Következésképpen, a rendszer szögérzékenysége az α szögtıl függ és nem lineáris. Minél kisebb az α szög, annál érzékenyebb a rendszer. Az α szög növekedésének függvényében az érzékenység csökken:

 ∆α   ∆α  12′′ 3′′    = …………...  = .  ∆g  α =1o mgal  ∆g  α =4o mgal Az ilyen típusú mőszer pontossága nem haladja meg a 0,01 – 0,02 mgal-t. A kar vízszintes helyzetében (α = 0) a rendszer érzékenysége végtelen nagy és a mérés gyakorlatilag lehetetlenné válik. A torziós graviméterek még további két nagyobb csoportra oszthatók: 1) asztatikus, 2) lineáris graviméterek. Az asztatikus rendszerben a tömegre ható nehézségi erı és a rugalmas erı csak közel van az egyensúlyi helyzethez, aminek az a következménye, hogy a nehézségi erı aránylag csekély megváltozására lényegesen nagyobb alakváltozás következik be, mint amennyi a rugó minıségének megfelelne. Ennek a rendszernek elınye a csekély változások könnyebb lemérése. A lineáris rendszerben az alakváltozások nagyon kicsinyek, ezeket nehézkes optikai, vagy elektronikus úton annyira felnagyítani, hogy megfigyelhetık legyenek. Ha kicsi a mérési tartomány, csak párszáz mgal-nyi g-változás mérhetı. Így távoli, vagy nagy magasságkülönbségen lévı állomások csak több lépcsıben kapcsolhatók össze. Ebbıl a szempontból kiváló a Worden-graviméter, amely 0,02 – 0,02 mgal pontossággal 5500 mgal különbséget is mér. A graviméterek egy kisebb csoportja a nyomás alatt lévı levegı (gáz) tömeg rugalmas erejét használja, a barométer-elv felhasználásán alapul. Ezek a graviméterek egy higanyoszlop súlyának megváltozását állandó gázmennyiség térfogatának megváltozásával mérik. Ilyen graviméterrel a Potsdami Geodéziai Intézet szakemberei Németország területén több ezer ponton végeztek nehézségi gyorsulás mérést, ± 1 mgal pontossággal.

Az Eötvös-inga Az Eötvös-féle torziós inga megadja az ingarúd felfüggesztési pontján áthaladó szintfelületre a szintfelületek alakját (gömbalaktól való eltérését) jellemzı W XY és a W∆ = WYY − W XX görbületi gradienseket. Lényegét és mőködési elvét „A geoid analitikus meghatározása” c. fejezetben már ismertettük.

88

A térképezés alapfelületei A forgási ellipszoid A Föld valódi alakját a térképezés céljára – mint ahogy azt a Vetülettan tantárgyból már tudjuk – forgási ellipszoiddal helyettesítjük. Ha az ellipszoidot vonatkoztatási felületként már definiáltuk, a továbbiakban az ellipszoidot a térképezés geometriai alapfelületeként használjuk. Az alábbiakban a forgási (kéttengelyő) ellipszoidhoz kapcsolódó geometriai ismereteket tekintjük át. A folyamatos tárgyalás érdekében e fejezetben nem kerülhetı el néhány tartalmi átfedés az eddig megismert fogalmakkal. A fejezet jelölései is mutatnak némi átfedést az eddigi fejezetek jelöléseivel, de értelemszerően mást kell majd alattuk érteni. forgástengely

q b

a

Egyenlítı

a meridián-ellipszis

Ha az ellipszoidot a forgástengelyén áthaladó síkkal elmetsszük, a meridián-ellipszishez jutunk. A földi ellipszoid méretét és alakját az ellipszoid fél nagytengelyével, a-val és fél kistengelyével, b-vel adják meg (ábra). Az a és b értékekbıl levezethetık a földi ellipszoidra vonatkozó alábbi paraméterek:

q - meridiánkvadráns a−b - az ellipszoid lapultsága f = a e= e′=

a2 − b2 - elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás a2 a2 - b2 - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás b2

Összefüggések a két numerikus excentricitás között:

e′ 2 =

e2 e′ 2 2 ; e = . 1 + e′ 2 1− e2

Meghatározásuk idejétıl, helyétıl és módjától függıen az egyes ellipszoidok méretei különböznek egymástól. Az „Ellipszoidi felületi koordinátarendszer” c. fejezetben tetszıleges P földfelszíni pont helyzetét a ϕ, λ, h ellipszoidi koordinátákkal adtuk meg (ld. a jelzett fejezet ábráját). Az ellipszoi-

89

di koordináták és az ellipszoidhoz kapcsolt X, Y, Z térbeli derékszögő koordináták között az átszámítás szigorú, zárt képletekkel történik („Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi (felületi) koordináták között” c. fejezet). Definíciószerően soroljunk fel néhány további fontos fogalmat: Valamely P’Q’ ellipszoidi ív azimutja (ellipszoidi azimut) a P’ pontban az ívnek a P’ ponton átmenı meridián északi ágával bezárt α szöge, a meridián és az ív P’ pontbeli érintıi között, az óramutató járásával megegyezı irányban értelmezve.

c=

a

= a ⋅ 1 + e′ 2 =

1 − e2

a2 - pólusgörbületi sugár b

(Ellipszoidi szélességtıl függı) segédmennyiségek:

V = 1 + e′ 2 ⋅ cos 2 ϕ ; W = 1 − e 2 ⋅ sin 2 ϕ . Az ellipszoid meridián irányú görbületi sugara

M=

(

a ⋅ 1 − e2

(1 − e

2

)

⋅ sin ϕ 2

)

3 2

=

(

)

a ⋅ 1 + e′ 2

(1 + e′

2

1 2

⋅ cos ϕ 2

)

3 2

-

Az ellipszoid harántgörbületi sugara:

N=

a

(1 − e

2

⋅ sin ϕ 2

)

1 2

=

(

a ⋅ 1 + e′ 2

(1 + e′

2

)

1 2

⋅ cos ϕ 2

)

1 2

.

Kapcsolatok a segédmennyiségek között:

N=

(

)

c a ⋅ 1− e2 = ; V3 W3

N=

c a = . V W

a , N = a; ϕ = 90 o esetén, vagyis a póluson 2 ′ 1+ e 2 M = N = a ⋅ 1 + e′ = c . Innen származik c – re a pólusgörbületi sugár elnevezés.

ϕ = 0 esetén, vagyis az egyenlítın M =

A P’ és Q’ pontok távolsága az ellipszoidon a pontokat összekötı legrövidebb ellipszoidi ív, a geodéziai vonal. Az ellipszoid P’ pontbeli normálisán és a Q’ ponton átfektetett sík, valamint a Q’ pontbeli normálisán és a P’ ponton átfektetett sík által az ellipszoid felületébıl kimetszett normálmetszetek nem azonosak (ábra), mivel az ellipszoid lapultsága miatt a normálisok nem esnek egy síkba, hanem kitérı egyenesek (kivéve, ha a P’ és Q’ pontok egy meridiánon, vagy egy szélességi körön helyezkednek el). A geodéziai vonal 1/3 és 2/3 arányban osztja a két normálmetszetet és folyamatosan követi a kitérı egyenesek változását, minden egyes pontjában a görbületi sugár iránya egybeesik a felületi normálissal. Mivel ∆ értéke csekély (100 kmes távolságon is csak mintegy 0,04"), e tulajdonságnak csak az ellipszoidon, mint alapfelületen végzett számítások egyértelmősége szempontjából, az ellipszoidi koordináták és az ellipszoidi azimutok számításánál van jelentısége. Azt az ellipszoidot, amelyre az egyes országok térképezési rendszerüket vonatkoztatják, vonatkoztatási ellipszoidnak nevezzük. A vonatkoztatási ellipszoid olyan ellipszoid, amelynek földfelszíni kezdıpontja és tájékozása van, valamint ismert a geoidunduláció a kezdıpontban.

90

P’ P’Q’ normálmetszet Q’P’ normálmetszet

∆

Magyarországon a polgári célú geodéziai munkáknál és térképeknél sokáig a Bessel-féle vonatkoztatási ellipszoidot használták, 1975-tıl, az Egységes Országos Térképrendszerre történı áttéréskor a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 1967-ben elfogadott IUGG/1967 ellipszoidot vezették be.

Q’

A GPS mérések eredményei a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak. A rendszerváltás elıtt a Varsói Szerzıdés keretén belül katonai térképeit Magyarország is a Kraszovszkij-féle ellipszoidra vonatkoztatta. A vonatkoztatási ellipszoidok országonként különbözıek, de még ugyanazon országon – így Magyarországon - belül is a különbözı idıszakokban változtak. A vonatkoztatási ellipszoidok idıhöz kötöttek, tágabb értelemben ezért gyakran használják a geodéziai dátum elnevezést. Ebben az értelemben használatos pl. Magyarországon az IUGG/1967 vonatkozási ellipszoidra a HD-72 (Hungarian Datum 1972) elnevezés.

A geodézia fıfeladatai az ellipszoidon Az I. rendő vízszintes hálózatok számításakor, a mért mennyiségek ellipszoidra redukálása és a hálózat feltételes mérések szerinti kiegyenlítése után egy ismert pontból kiindulva ki kell számítani az összes ellipszoidi pont ellipszoidi koordinátáit. Az alábbi ábra szerint, ha ismertek pl. az A pont ϕΑ, λΑ ellipszoidi koordinátái, valamint az A pontból a P pont felé menı irány αAP ellipszoidi azimutja és az A és P pontok geodéziai vonal mentén értelmezett s távolsága, úgy a P pont ϕP, λP ellipszoidi koordinátáit, valamint az αPA ún. ellenazimutot az elsı geodéziai fıfeladat segítségével lehet számítani.

É

Ha a P pont koordinátáit már ismerjük, úgy további pontok koordinátái lesznek számíthatók.

αPA αAP A(ϕΑ, λΑ)

s

P(ϕP, λP)

A feladat megoldására született eljárások többsége mintegy 200 km távolságig használható, amely – az I. rendő háromszögek méreteit tekintve – teljes mértékben megfelelı. Léteznek olyan eljárások is, amelyek nagyobb, kontinentális hálózatok esetén, alkalmazhatók. Ha a forgási ellipszoidon adottak A és P pont ellipszoidi koordinátái, s belılük akarjuk számítani az s, αAP és αPA mennyiségeket, akkor ezt a feladatot második geodéziai fıfeladatnak nevezzük.

91

A gömb A Föld méreteit Newtonig visszamenıen egyetlen paraméterrel, a sugárral jellemezték. A Krisztus elıtt 3. században élt Eratosthenes volt az elsı, aki a földgömb sugarát megállapította. forgástengely

Nap

≈ 7,2

o

Alexandria R

Syene (Asszuán)

R Gömbi egyenlítı

Eratosthenes megfigyelte, hogy a nyári napforduló idején, délben Syenében (a mai Asszuán) a napsugarak egy kút fenekét megvilágították, vagyis merılegesen érkeztek a Föld felületére, míg egy teljesen hasonló idıpontban Alexandriában a teljes kör mintegy 1/50-ed részével eltértek ( ≈ 7,2 o ). Az Alexandria és Syene közötti gömbi meridiánív hosszára a két hely között áthaladó karaván haladási idejébıl és sebességébıl következtetett (mai hosszmértékben ez a távolság mintegy 672 km.). Ez nyilvánvalóan pontatlan, hiszen Alexandria és Syene nincsenek ugyanazon a meridiánon és a napsugarak nem pontosan függılegesek. Az R sugarú körben az ív és a sugár hányadosa egyenlı a középponti szög radiánban kifejezett értékével, ahonnan:

R=

672 180 o ⋅ = 5350 km . π 7,2 o

Ez az érték mintegy 16%-kal kisebb a ma ismert R = 6370 km körüli értéknél. A P’ és Q’ gömbi pontok közötti legrövidebb vonal a legnagyobb gömbi kör e két pont közé esı íve, a gömbi geodéziai vonal. Az ábrán két további gömbi vonalat ábrázolunk: az ortodrómát és a loxodrómát. Az ortodróma görög szó, szó szerinti fordításban „egyenes futást” jelent. Az a hajó, amely e vonal mentén törekszik céljának elérésére, a legrövidebb utat, vagyis a legnagyobb gömbi körívet követi. Az ortodróma és a gömbi geodéziai vonal ekvivalens kifejezések. Látjuk, hogy a meridiánokat mindig más-más szög alatt metszik, az e szerinti tájékozódás nem egyszerő. A loxodróma „ferde futást” jelent és azimutja állandó, a meridiánok és az egyenlítı mentén a legnagyobb gömbi kör, a szélességi körök mentén gömbi kör. Más irányban egy olyan csavarvonal, amely aszimptotikusan közeledik, csavarodik a pólushoz. A régi hajósok csak arra ügyeltek, hogy iránytőjük segítségével ezt a szöget tartsák. A navigálás így egyszerő, de idıveszteséges volt, a loxodróma ugyanis hosszabb, mint az ortodróma.

92

Kisebb kiterjedéső országokban, mint amilyen Magyarország is, az ellipszoid felületének egy darabját egy ún. simulógömbbel helyettesíthetik. Ez a gömb az ellipszoidot az ábrázolandó terület közepe táján megválasztott pont környezetében érinti. Az ellipszoid és a simulógömb felületei olyan közel esnek egymáshoz, hogy a mérési eredményeket közvetlenül gömbi adatoknak tekinthetjük. Ezt az ellipszoid felületéhez legjobban simuló gömböt Gauss-gömbnek nevezik. A Gauss-gömb sugara egy megfelelıen kiválasztott pontban az ellipszoid meridián irányú és harántgörbületi sugarának mértani közepe:

α

ortodróma azimut

α

α

loxodróma

R = M ⋅N =

c . V2

Az e kifejezésbıl származtatott 1 1 = 2 M ⋅N R kifejezés az ún. Gauss-féle görbület. Gauss ehhez kapcsolódó tétele szerint bármely görbe felületen, így az ellipszoidon is a felület középgörbületi sugarához viszonyítva bármilyen elemi mérető felületet, így a háromszöget is elemi mérető gömbi felülettel, így háromszöggel helyettesíthetünk. Az ellipszoid esetében annak geometriai jellemzıit (szögeit és oldalhosszait) R = M ⋅ N sugarú gömbön lévı menynyiségeknek tekinthetjük. Így, a hagyományos I. rendő hálózatok háromszögei a gömbön lévıknek tekinthetık. Az ellipszoidi szögfölösleget és a háromszögek ellipszoidi oldalhosszait ezért a továbbiakban a gömbi szögfölösleggel és a gömbi háromszögoldalakkal helyettesítjük.

A háromszögek gömbi oldalhosszainak számítása Az I. rendő vízszintes alaphálózatok kialakításának klasszikus módszere szerint általában csak az alapvonalak hosszát mérik, ill. számítják. Majd ezeket vetítik az ellipszoidra. Ahhoz viszont, hogy a hálózatot az ellipszoidon értelmezzék, szükség van minden egyes I. rendő pont ellipszoidi felületi koordinátáira. A koordináták számításához viszont minden I. rendő oldal hosszát számítani kell. Az alábbiakban az ellipszoidi oldalhosszakat gömbi oldalhosszaknak fogjuk tekinteni. Legendre kimutatta, hogy mindC C’ γ addig, amíg a gömbháromszög γ’ oldalhosszai csekélyek a Föld méreteihez viszonyítva, a gömbi a’ oldalhosszak a síkháromszögre b a b’ vonatkozó ismert összefüggésekkel vezethetık le, ha a gömbi szögeket egyenként a szögfölösβ' B’ leg 1/3-ával csökkentjük, azaz, ha β A

α

B

c

α’

A’

c’ §

93

ε ε α′ = α − ; β′ = β − ; 3

akkor

γ′=γ −

3

a = a ′;

b = b ′;

ε 3

,

c = c′ .

Eszerint, ha egy gömbi háromszögoldalt, pl. az a-t ismerjük, a másik két gömbi háromszögoldal a síkbeli szinusz-tétel felhasználásával számítható:

b = a⋅

sin β ′ ; sin α ′

c = a⋅

sin γ ′ . sin α ′

A vonatkoztatási ellipszoid meghatározása Keressük a forgási ellipszoid olyan a és e2 értékpárját, amelyre - egyrészt a fizikai valóság leképezése minél kisebb torzulásokkal jár, - másrészt az ellipszoidi magasságok viszonylag kis értékek és így, egyszerő, általában lineáris, összefüggésekkel legyenek számíthatók. Ha ezt a feladatot pusztán geometriai (szög és távolság jellegő) mérési eredményekre támaszkodva oldjuk meg, úgy a vonatkoztatási ellipszoid meghatározásának geometriai, vagy csillagászati-geodéziai (asztrogeodéziai) módszereirıl beszélünk. E módszereknek az alábbi változataival ismerkedünk meg – vázlatosan – az alábbiakban: 1) fokmérés 2) felületek módszere 3) ellipszoid méretek meghatározása szatellita-geodéziai úton.

Fokmérés A gömb sugarának Eratosthenes-féle meghatározásakor láttuk, hogy a gömb alakúnak képzelt Föld sugarának meghatározásához egy középponti szög és az ehhez tartozó ívhossz ismeretére van szükség. Mivel a forgási ellipszoid bonyolultabb felület, meghatározásához több mérésre van szükség. A XVIII. század közepén Franciaországban kezdték meg azokat a munkálatokat, amelyek során kb. 1o középponti szöghöz tartozó meridián ív meghatározására törekedtek. Ezeket a méréseket nevezték fokméréseknek. A mérések eredményei kétségtelenné tették a Föld lapultságát, a levezetett lapultság érték mintegy 1/215-nek adódott. A fokmérések eredményeként mondta állítólag XV. Lajos francia király, hogy „sajnálattal értesültem róla, uraim, hogy az Önök munkája országom jelentékeny részétıl megfosztott”. A fokmérés lényegét az ábra segítségével mutatjuk be.

94

Pólus B2 s

2

Az s1 ívhossz két végpontja A1 és B1, amelyekhez a ϕ A1 és a ϕ B1 ellipszoidi szélességek tartoznak. Hasonlóan az s2 ívhosszra A2 és B2, valamint a ϕ A 2 és a ϕ B2 .

A2

∆ϕ2

B1

M2

s1 A1

M1 ∆ϕ1

ϕB ϕA ϕB 2

2

1

ϕA

A keresett meridián-ellipszis méreteinek meghatározása végett meghatározták az s1 és s2 ívhosszakat és a hozzájuk tartozó ϕ A1 , ϕ B1 , ϕ A 2 , ϕ B2 szögeket. Ez utóbbiakból az ív két végpontjához tartozó szélességkülönbségek:

1

Egyenlítı

∆ϕ1 = ϕ B − ϕ A és ∆ϕ 2 = ϕ B − ϕ A . 1

1

2

2

A mindkét ívhez tartozó közepes ellipszoidi szélességek:

ϕ k1 =

ϕA + ϕB 1

1

2

és

ϕk 2 =

ϕA + ϕB 2

2

2

.

Mivel a mért ívek a Föld méretéhez képest elemi hosszak, a meridiánív olyan körívdarabnak tekinthetı, amelynek sugara az M meridián irányú görbületi sugár az ív középpontjában. Így felírható, hogy s s M1 = 1 és M 2 = 2 ,

∆ϕ1

∆ϕ 2

mert kör esetén a szög egyenlı a hozzá tartozó körív és a sugár hányadosával, radiánban kifejezve. Az M1 és M2 meridián irányú görbületi sugarakra, az a fél nagytengely, az e elsı numerikus excentricitás és a ϕ k 1 , ϕ k 2 mennyiségek felhasználásával felírhatjuk (ld. „A forgási ellipszoid” c. fejezetet):

M 1=

Az M 1 =

s1

∆ϕ1

és M 2 =

(

a ⋅ 1 − e2

(1 − e

s2

∆ϕ 2

2

)

⋅ sin ϕ k 1 2

)

3 2

és M 2=

(

a ⋅ 1 − e2

(1 − e

2

)

⋅ sin ϕ k 2 2

)

3 2

.

ismert értékeket a fenti képletekbe helyettesítve, a kapott két is-

meretlenes egyenletrendszerbıl az a és e2 értéke számítható. Ezzel a forgási ellipszoidot meghatároztuk. Az e2 értékét csak úgy lehet kielégítı pontossággal számítani, ha a ϕ k 1 , ϕ k 2 közepes ellipszoidi szélességek különbsége nagy. Ezért törekedtek arra, hogy az egyik ívet az egyenlítı, a másikat a sark(ok) közelében, vagyis a lehetı legnagyobb mértékben különbözı görbületi viszonyok mérjék. A meridián-darab s ívhosszát háromszögeléssel határozták meg. Itt két problémát kellett megoldani: - a háromszögelési láncolat kezdı- és végpontja nem egy meridiánon vannak, ezért a kezdı és végpont összekötı vonalát az ellipszoid kistengelyére kellett vetíteni, 95

- már a háromszögelési hálózat számításához fel kellett venni valamilyen ellipszoidot. Ha kettınél több meridián-ívdarabot mértek, az ellipszoid méreteit kiegyenlítéssel vezették le. A történelmi Magyarország vetületeinek alapfelületéül szolgáló Bessel-ellipszoid meghatározásakor Bessel tíz fokmérés anyagát használta fel. Kezdetben – az ellipszoidi hosszúság meghatározásának megbízhatatlansága miatt - kizárólag meridián irányú fokméréseket végeztek. Jóval késıbb, már az elmúlt század elején - a rádión sugárzott pontos idıjelek bevezetésével – szélességi kör mentén is végeztek fokméréseket (ábra). Az s1 és s2 hosszakat itt is háromszögelési hálózat segítségével vezették le, de, mivel a láncolat kezdı- és végpontja itt sem került ugyanarra a szélességi körre, a hosszakat itt is vetíteni kellett. A harántgörbületi sugár képletének felhasználásával a keresett ellipszoid a és e2 paraméterei között most az

s1 =

a ⋅ cos ϕ1

(1 − e

2

⋅ sin ϕ1 2

)

1 2

(

⋅ λ B1 − λ A1

)

és az s 2 =

a ⋅ cos ϕ 2

(1 − e

2

⋅ sin ϕ 2 2

)

1 2

(

⋅ λB2 − λA 2

)

Pólus

∆λ2

A 2 s2 B 2

ϕ1 = állandó

ϕ 2 = állandó

∆λ1

A1 s1

B1

összefüggések írhatók fel. E két egyenletbıl a és e2 paraméterek meghatározhatók. A számos nevezetes fokmérés eredményei közül Magyarországot Walbeck (1819) és Bessel (1841) ellipszoidja érdekelte leginkább. Az elıbbi azért, mert a 19. század utolsó harmadában a sztereografikus vetület bevezetése idején ennek az ellipszoidnak az alapulvételével vezették le Bécsbıl a Gellérthegy pont koordinátáit, amelyeket a ferdetengelyő hengervetületek bevezetéséig (1908) használtak is. A Bessel-ellipszoid pedig azért volt fontos, mert a – 2. világháború elıtti - régi háromszögelési hálózat és az arra épülı kataszteri térképek alapfelülete volt. A fokmérések eredményeképpen kapott különbözı ellipszoidok méretei jelentıs mértékben eltérnek egymástól. Ennek oka, hogy az egyes ellipszoidok meghatározásához a méréseket csak a földfelszín kis területén végezték, s így a kapott ellipszoidok csak a meghatározás helyén, egy-egy meridián, vagy szélességi kör mentén „simulnak” a Földhöz. Várhatóan annál jobb eredményt kapunk, minél nagyobb területre terjednek ki a Föld felszínén végzett mérések. Ennek a követelménynek a felületek módszere tesz eleget.

96

Felületek módszere

K

A függıvonal-elhajlások tárgyalásakor megállapítottuk, hogy valamely kiválasztott pontban a geoid és a vonatkoztatási ellipszoid egymáshoz viszonyított helyzetét a függıvonal-elhajlás mértéke fejezi ki. Ha kellıen nagy területre kiterjedı összefüggı háromszögelési hálózatot hoznak létre (ábra), amelyben a szokásos módon mérnek minden belsı szöget és meghatározzák legalább egy oldal hosszát, s amellett kiválasztott ún. asztrogeodéziai pontokon földrajzi helymeghatározást is végeznek (szintfelületi koordinátákat és azimutot határoznak meg), akkor meghatározhatják a behálózott felületdarab geoidjához legjobban simuló forgási ellipszoidot.

Φ,Λ,Α,ξ,η

ϕ j,λ j

Egy ael. és eel.2 paraméterő elızetesen felvett ellipszoidra átszámítják a háromszögelési hálózat mérési eredményeit. A számítás részleteit mellızve most, az elsı geodéziai fıfeladat sorozatos alkalmazásával számítják a kiválasztott kezdıpontból kiindulva az összes pont ellipszoidi koordinátáit. A kezdıpont célszerően a hálózat közepe táján lévı valamelyik asztrogeodéziai pont (ábránkon K). Az itt mért és a geoidra átszámított Φ, Λ, Α értékeket fogadják el általában a kezdıpont ellipszoidi koordinátáiként, azaz

Φ = ϕ , Λ = λ, A = α . A számítás befejezésekor minden egyes pontban rendelkezésre állnak a ϕ j,el., λ j,el. elızetes értékek (j = 1,2, …, az összes pont száma). Így a geoidra átszámított Φi, Λi értékeken túl a csillagászati pontokon is ismertek a ϕ i,el.., λi,el. mennyiségek (i = 1,2,…, a csillagászati pontok száma). Ezek felhasználásával „A függıvonal-elhajlás” c. fejezetben bemutatott

ξ = Φ −ϕ η = (Λ − λ ) ⋅ cos ϕ összefüggésekkel számítani lehet a függıvonal-elhajlás ξi, ηi elızetes összetevıit. A továbbiakban a legkisebb négyzetek módszere szerint az elızetesen felvett ael. és eel. értékekhez számítják a da és a de2 javításokat, az alappontok végleges függıvonal-elhajlási öszszetevıit, majd velük a végleges ellipszoidi koordinátákat. A legkisebb négyzetek elve alkalmazásakor a „legjobban simulás” feltételének a

∑ (ξ

2 i

+ η i2 ) = min .

feltételt tekintik. A simuló ellipszoidot végül az

a el. + da = a, eel.2 + de 2 = e 2 adatpár szolgáltatja. A feladat megoldására Helmert és Vening-Meinesz is dolgozott ki eljárást.

97

Helmert eljárása lényegében a fokmérés továbbfejlesztése (általánosítása) úgy, hogy nem csupán egyes meridián, ill. szélességi kör ívdarabokhoz, hanem a geoid egyes felületdarabjaihoz számítanak simuló ellipszoidot. A Vening-Meinesz-féle eljárásnál az elıbbi megoldásnál tökéletesebb simuló helyzetet érhetnek el azzal, hogy eggyel több szabadságfokot megengedve, az ellipszoidnak a geoidhoz viszonyított három dimenziós változását teszik lehetıvé. A harmadik irány ez esetben az ellipszoid felületére merıleges. Matematikailag ez a változás azzal érhetı el, hogy kezdetben felvesznek egy elızetes Nel. geoid-ellipszoid távolságot (geoidundulációt, ami nulla is lehet) is. A simuló helyzet elérése érdekében a dN változást is megengedik és hozzáveszik a kiszámítandó ismeretlenek közé. Ily módon az ismeretlenek száma eggyel növekszik. Végeredményként megkapják a simuló ellipszoid méretét és alakját, továbbá a simuló helyzetben az N geoidundulációt, valamint az ellipszoid tájékozását jellemzı kezdı azimutot. A Magyarországon a Gauss-Krüger vetület alapfelületét szolgáltató Kraszovszkij-féle ellipszoidot is a felületek módszerével határozták meg. A Kraszovszkij-féle ellipszoid mérete és alakja igen közel van a késıbb korszerő szatellita-geodéziai úton meghatározott ellipszoidi paraméterekhez.

Ellipszoid-méretek meghatározása a szatellita-geodézia geometriai módszerével A mesterséges holdak geodéziai célú megfigyelése az utóbbi évtizedekben lehetıvé tette, hogy valamennyi földrészre kiterjedı összefüggı világhálózatok létesüljenek. Így lehetıvé vált a geoidhoz az egész Föld viszonylatában jól simuló forgási ellipszoid a és e2 paramétereinek geometriai módszerrel történı meghatározása. Az eljárás lényegében a felületek módszerének kiterjesztése arra az esetre, amikor a felület alatt az egész Földet, a hálózat pontjain pedig a világhálózat pontjait értjük. Ennek megfelelıen ismertek a világhálózati pontok valamilyen szatellita-geodéziai módszerrel (ma elsısorban a GPS-sel) meghatározott ri helyvektorai, amelyekbıl egy elızetesen megválasztott ael. és eel.2 paraméterő ellipszoidon számíthatók a pontok ϕi, el., λi, el., hi, el. elızetes ellipszoidi koordinátái. Ha a szatellita-geodéziai világhálózat n számú pontjának geometriai szintezéssel meghatározzuk a geoid (tengerszint) feletti Hi magasságait is, akkor az egyes pontokban a kétféle magassági mérıszám különbségeként számíthatjuk a geoid és az elızetesen felvett ellipszoidra vonatkozó Ni geoidundulációkat. Az

N i = hi ,el. − H i különbségekben a H i mennyiségek a természetben mért, valóságos méretek, míg a hi ,el. menynyiségek a felvett ellipszoid paramétereitıl függı (tehát valójában nem létezı) értékek. Keressük az ellipszoid paramétereinek azokat a da, de2 változásait, amelyeket a választott elızetes ael. és eel.2 értékekhez hozzáadva, olyan a és e2 mérető és alakú forgási ellipszoidot kapunk, amelynél a „legjobban simulás” feltétele most

∑N

2 i

= min .

A szintezéssel is meghatározott magasságú szatellita-geodéziai világhálózati pontokra felírt javítási egyenletrendszerbıl a legkisebb négyzetek módszerével számítható az

a el. + da = a, eel.2 + de 2 = e 2 adatpár.

98

A vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása A mesterséges holdak megfigyelésével (elsısorban a GPS-sel) létrehozott geodéziai alapponthálózatok (Magyarország esetében ez az OGPSH – Országos GPS Hálózat) esetén a vonatkoztatási rendszer (a GPS hálózatnál a WGS84) már magában foglalja a vonatkoztatási ellipszoid elhelyezését és tájékozását is. Ez a vonatkoztatási ellipszoid a „GPS vevık koordinátarendszere” és „A felsıgeodézia vonatkozási rendszerei” c. fejezetekben mondottak szerint geocentrikus. „A potenciálzavar” c. fejezetben a geocentrikus elhelyezéső ellipszoidot a nehézségi erıtérben olyan szintellipszoidként értelmeztük, amelynek középpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával, forgástengelye egybeesik a Föld forgástengelyével, tömege egyenlı a Föld tömegével, az ellipszoid felületén az U0 potenciál megegyezik a középtengerszint W0 potenciáljával. Ha vonatkoztatási ellipszoidunk nem a mesterséges holdas, hanem a hagyományos geometriai módszerekkel meghatározott geodéziai alaphálózatok alapfelülete, úgy elhelyezésének és tájékozásának adatait - a meghatározás, ill. elfogadás idejéhez kötött - ún. geodéziai dátumban foglaljuk össze. Ilyenkor a vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása háromféle módon történhet: 1) Önkényes elhelyezés és tájékozás 2) Simuló (relatív) elhelyezés és tájékozás 3) Geocentrikus (abszolút) elhelyezés és tájékozás

Önkényes elhelyezés és tájékozás E legegyszerőbb esetben a vonatkoztatási ellipszoidot egyetlen, kezdıpontnak tekintett asztrogeodéziai ponthoz és az ebbıl kiinduló irányhoz kötik. p geoid Az azimutmérés eredményére vonatkoP A zó α 0 ≡ A0 kikötéssel a geoidi és az elα0 B a lipszoidi tengelyek párhuzamosságát b biztosítjuk. A fenti feltételekkel a vonatkoztatási ellipszoidunk A pontbeli normálisa egybeesik az asztrogeodéziai O kiindulópont geoidi megfelelıjének helyi függılegesével, az ellipszoid felszíne pedig ugyanabban a pontban érinti a 90ο−ϕ0 geoidot. n Az ábrán a folytonos vonalak és a nagybetős jelölések a geoidhoz, a szaggatott vonalak és a megfelelı kisbetős ellipszoid jelölések az ellipszoidhoz tartoznak. Legyen a kezdıpontunk A. E pontban ismerjük a földrajzi helymeghatározás mérési eredményeit, azaz a Φ0 és Λ0 szintfelületi koordinátákat és egy B pont felé menı irány Α0 szintfelületi azimutját. Az elhelyezés és tájékozás ez esetben nagyon egyszerő: feltételezzük, hogy az ellipszoidi koordináták és az Α0 azimut az A pontban megegyeznek a szintfelületi koordinátákkal és azimuttal, a geoidi magasság pedig megegyezik az ellipszoidi magassággal:

ϕ 0 ≡ Φ 0 , λ 0 ≡ Λ0 , α 0 ≡ A0 , h0 ≡ H 0 . Ez más szóval azt jelenti, hogy ebben a pontban a függıvonal-elhajlás összetevıi és a geoidunduláció értékrendszerét zérus értékben vesszük fel:

99

ξ 0 = 0, η 0 ≡ 0, N 0 ≡ 0 . Az önkényes elhelyezés és tájékozás elınye egyszerősége, a földrajzi helymeghatározás minimális mérésigénye, valamint az, hogy a kezdıpont környezetében az ellipszoidra történı vetítés csak minimális torzulással jár. Hátrány ugyanakkor, hogy a kezdıponttól távolodva a torzulások egyre nagyobbak, amelyek a széleken akár megengedhetetlenek is lehetnek.

Simuló (relatív) elhelyezés és tájékozás A simuló elhelyezés és tájékozás problémája hasonló ahhoz, amivel már megismerkedtünk a „Felületek módszere” c. fejezetben. Ha ugyanis geodéziai alaphálózatunk több pontjában is végzünk földrajzi helymeghatározást, ill. mérünk szintfelületi azimutokat, esetleg magasságokat, úgy a legkisebb négyzetek módszerének az említett fejezetben a függıvonal-elhajlások összetevıire elıírt

∑ (ξ

2 i

+ η i2 ) = min .

feltétele lehetıvé teszi azt, hogy a választott vonatkoztatási ellipszoidot a hálózat egész területén a geoidhoz simuló helyzetbe hozzuk. Az említett fejezethez hasonlóan, a simuló elhelyezés is lehet két-, ill. háromdimenziós, attól függıen, hogy az ellipszoidnak csak a saját felületén, vagy arra merılegesen is lehetıvé tesszük a változásokat (csak ellipszoidi szélesség és hosszúság változása, vagy ugyanez, a magassági változással együtt). A „Felületek módszere” c. fejezethez képest ez esetben az a különbség, hogy akkor éppen az ellipszoidi paraméterek értékét kerestük a „legjobb simulás” érdekében, itt viszont fordítva, már adott (többnyire nemzetközileg ajánlott) mérető és alakú ellipszoidnak a geoidhoz legjobban simuló elhelyezkedését keressük. Így nem az ellipszoidi paramétereket, hanem adott paraméterek mellett az elhelyezés és tájékozás adatait számítjuk a kiegyenlítésbıl. Erre többféle megoldást is kidolgoztak. Wolf legkisebb négyzetek elve szerinti szabatos megoldása a Helmert-féle megoldás függıvonal-elhajlások összetevıire elıírt feltétel mellett az azimutokra vonatkozó ellentmondások összegét is bevonja a minimum-feltételbe. Ledersteger közelítı módszerében külön elégíti ki a függıvonal-elhajlásokra, valamint az azimutokra vonatkozó minimumfeltételt. Sem az önkényes, sem a simuló elhelyezés és tájékozás nem teszi lehetıvé a különbözı helyi rendszerek összekapcsolását. Két, vagy több geodéziai alaphálózat összekapcsolásának kísérletekor ugyanis ugyanazon pontok koordinátáiban olyan durva eltérések mutatkozhatnak, amelyek pl. a topográfiai dokumentációkban megengedhetetlen átfedésekhez, vagy szakadásokhoz vezethetnek. Az egyes helyi ellipszoidok közötti kapcsolat létesítésének gyakorlati igénye hozta életre az egységes, közös elhelyezéső vonatkoztatási ellipszoid bevezetésének kérdését. Ez a helyzet a Magyarországon az EOV alapfelületeként elfogadott simuló elhelyezéső és tájékozású IUGG/1967 ellipszoidon kiszámolt vízszintes geodéziai alaphálózatnál is. Többek között ennek az alaphálózatnak valamely nemzetközileg elfogadott világhálózatba történı beillesztése a felsıgeodézia egyik, ma igen aktuális és idıszerő feladata.

A geocentrikus (abszolút) elhelyezés és tájékozás A földfelszín nagyobb részeire, a kontinensekre, vagy akár az egész Földre kiterjedı geodéziai világhálózatok csak úgy alakíthatók ki, ha a korábbi, egymástól független helyi (nemzeti) hálózatok helyett a Föld bármely részén létrehozott geodéziai hálózat pontjainak koordinátáit ugyanazon, ugyanolyan mérető és alakú, elhelyezéső és tájékozású vonatkoztatási ellipszoidon értelmezzük.

100

Geocentrikus elhelyezés esetén geodéziai alaphálózatunk A kezdıpontjának koordinátái: ϕ 0,geoc. , λ0,geoc. , h0geoc. , vagyis

ϕ 0 ≡ ϕ 0,geoc. , λ0 ≡ λ0,geoc. , h0 ≡ h0,geoc. . A hálózat tájékozásához a kezdı oldal ellipszoidi azimutját földrajzi helymeghatározás útján, vagy, a kezdı oldal végpontja geocentrikus koordinátáinak ismeretében, a II. geodéziai fıfeladattal határozzák meg. Ha most a kezdı pont így elfogadott koordinátáinak és a kezdı azimutnak a függvényében az I. geodéziai fıfeladattal számítjuk a többi hálózati pont koordinátáit, akkor ez utóbbiak is geocentrikus ellipszoidi koordináták lesznek. Egy ilyen rendszerben a Föld bármely részén, akár egymástól teljesen függetlenül kialakított, (geometriai módszerekkel mért) geodéziai alaphálózatok valamennyi pontjának helyzetét, koordinátáit azonos koordináta-rendszerben tudjuk meghatározni. A pontok koordinátáinak ismeretében pedig a II. geodéziai fıfeladat összefüggéseivel egymástól bármilyen messze fekvı hálózati pontok között számíthatunk távolságot és azimutot. A geocentrikus elhelyezés egyetlen hátránya, hogy, mivel az ilyen elhelyezéső ellipszoid a Föld egész geoidjához simul, egyes helyeken akár mintegy ±130 m-rel eltérhet tıle. Ez pedig a földfelszínnek az ellipszoidra történı vetítésekor - pl. a nagy méretarányú térképezésben kedvezıtlen torzulásokhoz vezethet. A geocentrikus ellipszoidi koordinátákat jelenleg legmegbízhatóbb módon GPS mérések útján tudjuk meghatározni. A GPS mesterséges holdak pályája ugyanis Kepler 1. törvénye szerint a Föld tömegközéppontja körül alakul ki. Ezért a GPS rendszerben a mesterséges holdak pályaadatait geocentrikus elhelyezéső koordináta-rendszerben adják meg, így a GPS távolságmérési eredményeibıl a WGS84 vonatkoztatási ellipszoidra vonatkozóan mindig geocentrikus ellipszoidi koordinátákat, ill. ellipszoidi magasságokat számítanak (ill. számít maga a vevı). A geocentrikus ellipszoidi koordináták meghatározhatók az A kezdıpontban végzett földrajzi helymeghatározással és geometriai szintezéssel is. A földrajzi helymeghatározásból az A pont Φ0, Λ0 szintfelületi koordinátáit, a szintezésbıl a H0 geoid (tengerszint) feletti magasságát kapjuk meg. A geoidról az ellipszoidra történı átszámításhoz a geocentrikus függıvonalelhajlás összetevıit és a geoidundulációt a ∆g nehézségi rendellenességekbıl számíthatjuk. Velük a geocentrikus elhelyezés adatai*, „A függıvonal-elhajlás” c. fejezet

ξ = Φ −ϕ η = (Λ − λ ) ⋅ cos ϕ képletei, valamint a geoidunduláció

N = h−H képlete alapján az alábbiak:

ϕ 0 = Φ 0 − ξ 0,geoc. , λ0 = Λ0 −

η 0,geoc. , h0 = H 0 + N 0 . cos ϕ 0

A mesterséges holdakra végzett mérésekbıl levezetett geocentrikus koordináták középhibája ±1÷5 m – re tehetı. Ha valamely pont helyzetét valamely világhálózat (ITRF), vagy Európában az egységes európai hálózat keretpontjaira (EUREF) támaszkodó mérésekkel vezetjük le, *

Emlékeztetünk arra, hogy a geocentrikus függıvonal-elhajlások meghatározásáról a „Geocentrikus függıvonalelhajlás” és a „Gravimetriai módszer”, a geoidunduláció meghatározásáról pedig „A geoid pontonkénti meghatározása” és „A geoid meghatározása fizikai módszerrel” c. fejezetben volt szó.

101

a megbízhatóság ennél akár két nagyságrenddel is nagyobb lehet. A gravimetriai módszer alkalmazásával kapott geocentrikus (abszolút) koordináták középhibája viszont mintegy 10 m nagyságrendő, így ez a módszer, az aktuális pont környezetének gravimetriai felmértségétıl függetlenül is, a mesterséges holdak megjelenése óta inkább csak elvi jelentıségő. Az utóbbi évtizedben a világ számos országában, így Magyarországon is létrehozták az országos GPS hálózatokat (Magyarországon az OGPSH). A GPS hálózati pontokban ismertek mind a WGS84 ellipszoidi geocentrikus, mind a korábbi, hagyományos geodéziai alaphálózatok helyi ellipszoidi koordinátái. A két rendszerben ismert, ún. közös, vagy azonos pontok alapján a két rendszer között – a területi kiterjedéstıl függı pontossággal – átszámítások végezhetık. Vagyis megfelelı szoftverrel a helyi ellipszoidi koordinátákból geocentrikus WGS84 ellipszoidi, a geocentrikus WGS84 ellipszoidi koordinátákból pedig helyi ellipszoidi koordináták számíthatók.

Átszámítás vonatkoztatási ellipszoidok között Az egységes geodéziai világhálózat kialakítására irányuló törekvés ellenére a jelenlegi geodéziai gyakorlat fıképpen helyi (önkényes vagy simuló) elhelyezéső vonatkoztatási ellipszoidokat használ. Ez megköveteli, hogy az egyes helyi rendszerekben megadott φ, λ, h ellipszoidi koordinátákat és a geoidundulációkat egy másik vonatkoztatási ellipszoidra is át tudjunk számítani. Gyakran elıfordul az is, hogy ugyanazon geodéziai alaphálózat pontjainak koordinátaszámításához bevezetett geodéziai dátumot késıbb más, új dátumra kívánják felcserélni, sıt, ezzel egy idıben, más mérető és alakú alapfelületet (pl. újabb nemzetközi ellipszoidot) is be kívánnak vezetni. E felsorolt feladatok összességét győjtınéven dátummódosításnak nevezzük. A dátummódosítás történhet helyi elhelyezéső ellipszoidok, vagy helyi és geocentrikus elhelyezéső ellipszoidok között, oda-vissza vonatkozásban. A dátummódosítás nem más, mint az alaphálózati pontok ellipszoid-középpontú térbeli derékszögő koordinátái közötti koordináta-transzformáció. A helyi elhelyezéső ellipszoidok középpontja nem esik egybe, a geocentrikus ellipszoidok középpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával. Ha adottak az alaphálózati pontok ellipszoidi koordinátái és a geoidunduláció a régi rendszerben, úgy ezeket térbeli derékszögő koordinátákká kell átszámítani, majd az átszámítás utáni új ellipszoidra vonatkozó derékszögő koordinátákról át kell térni az új ellipszoid koordinátáira és a geoidundulációira. A térbeli derékszögő és az ellipszoidi koordináták közötti zárt összefüggéseket az „Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi (felületi) koordináták között” c. fejezetben vezettük le. A különbözı ellipszoidokhoz tartozó derékszögő koordinátarendszerek tengelyei vagy párhuzamosak egymással, vagy - általában kicsi, néhány másodperc nagyságrendben - eltérnek a párhuzamostól. A dátummódosítás különbözı célú, lehetséges átszámítási módszerei közül az általánosan alkalmazható, az analitikus fotogrammetriából is ismert térbeli hasonlósági transzformációval a Vetülettan tantárgyban már megismerkedtünk.

Az alapfelületek nemzetközisége A globalizálódási folyamat, Európában az Európai Unió létrejötte és fokozatos bıvülése, az egyre korszerőbb helymeghatározási módszerek, ezen belül a mesterséges holdak geodéziai célú megfigyelésének lehetısége, a GPS, s nem utolsó sorban a nemzetközi geodéziai szervezetek (IUGG) ajánlásai az utóbbi évtizedekben egyre inkább elıtérbe helyezték a geodéziai alapfelületek nemzetközi jellegét.

102

Az eddigi megfontolásaink egyértelmővé tették, hogy napjainkban a geodéziai alapfelületekkel, a vonatkoztatási ellipszoidokkal szemben támasztott követelmények az alábbiakban fogalmazhatók meg: - az ellipszoid simuljon a lehetı legjobban az egész geoidhoz, - lehetıleg legyen geocentrikus földi ellipszoid (középpontja a Föld tömegközéppontjával, kistengelye pedig a Föld forgástengelyével esik egybe), - lehetıleg minden (ill. minél több) ország ugyanazt az ellipszoidot használja. E követelmények közül legnehezebben a harmadik követelmény teljesíthetı, a gyakorlati megvalósításnak ugyanis több lényegi, részben technikai-gazdasági, részben katonai akadálya van. Az egyes országok már létrehozott geodéziai hálózataikon, a hálózatra ráépült térképrendszeren nem szívesen változtatnak, részben anyagi, de, s nem utolsósorban, érzelmi okokból sem. Magyarországon is vita tárgya volt a GPS rendszerhez kapcsolódó WGS84 vonatkoztatási ellipszoid, s a hozzá, mint alapfelülethez kapcsolódó UTM vetület bevezetése (a Gauss-Krüger vetülető katonai topográfiai térképeken pl. már mintegy 10 éve az UTM fokhálózati vonalakat is feltüntetik), de az 1:10000 méretarányú topográfiai, s az ennél nagyobb méretarányú földmérési alaptérképek vetületi rendszereként megmaradt a helyi elhelyezéső IUGG/1967 vonatkoztatási ellipszoidra épült Egységes Országos Vetület. Másrészt, a geodéziai hálózatok mindig is fontos szerepet játszottak a katonai hadviselésben (tüzérség, interkontinentális rakéták), emiatt a szembenálló felek nem hozzák nyilvánosságra geodéziai adataikat, sıt, tudatosan más alapfelületet választanak. Igaz viszont az is, hogy a technika fejlıdését a történelem során javarészt a katonai igények hozták életre, s az elért eredmények csak lassan szivárogtak át a polgári célú használatba.

A mérési eredmények redukálása az ellipszoidra Az I. rendő vízszintes alaphálózatban végrehajtott mérések eredményeit az ellipszoidra kell redukálnunk. Ekkor az ellipszoid felületén lévı vonalak, irányok, szögek, háromszögek, vagy egyéb geometriai alakzatok között fennálló összefüggések ismeretében matematikaigeometriai mőveletek végezhetık. Ilyen mőveletek lehetnek: ellipszoidi (gömbi) háromszögek, területek, szögfölösleg, ellipszoidi koordináták számítása, a hálózat kiegyenlítése, stb. Induljunk ki abból, hogy annak az ellipszoidnak, amelynek felületére a földfelszíni mérési eredményeket redukálni kívánjuk, méretei, elhelyezése és tájékozása ismertek. Matematikai szempontból nincs jelentısége annak, hogy milyen mérető, elhelyezéső és tájékozású a vonatkoztatási ellipszoidunk, gyakorlati szempontból viszont fontos, hogy eltérései a valódi földalaktól minél kisebbek legyenek és az ellipszoid felülete közel párhuzamos legyen a szintfelületekkel (a geoiddal). Ha kicsik az eltérések, lényegesen egyszerőbb a redukciós képletek levezetése, könnyebb a gyakorlati számítások végzése és a redukciók számításához szükséges bemenı adatoktól sem várunk el nagy pontosságot. A mérési eredmények vonatkoztatási ellipszoidra redukálásának két módszerét különböztetjük meg: 1) vetítési, vagy projektív módszer, 2) kifejlesztési, vagy transzlatív módszer. Az 1) esetben a vetítés a földfelszín és a redukciók között felírható, matematikailag korrekt képletek segítségével történik: az alapvonalakat az ellipszoidi normális mentén vetítik az ellipszoidra, az irányok függıvonal-elhajlás miatti redukcióit az ellipszoidi normálishoz viszonyítva számítják, a magassági javítás alapja az irányzott pont ellipszoidi normálisa mentén vett távolság, stb. 103

A 2) esetben a mérési eredményeket a geoidra redukálják, a redukciókat a földfelszín és a geoid egymáshoz viszonyított helyzetét meghatározó mennyiségek függvényében számítják. Így például, az alapvonalak redukálásakor a tengerszint (vagyis a geoid) feletti, a függıvonalak mentén értelmezett magasságokat használják, a mért szögeket semmilyen redukcióval nem látják el, stb. A geoidra redukált mennyiségeket mintegy kiterítik, kibontják (kifejlesztik) az ellipszoid felületére, azaz úgy tekintik azokat, mintha azokat az ellipszoidra redukálták volna, vagyis a redukciók számításakor a geoid és az ellipszoid eltéréseit elhanyagolják. Röviden, a vetítési módszer a földfelszín és az ellipszoid közötti összefüggések matematikailag szigorú alkalmazásán alapul, amihez elızetesen pontosan ismerni kell a vonatkoztatási ellipszoid méreteit, elhelyezését és tájékozását. A kifejlesztési módszer matematikailag bár nem korrekt, de az esetek túlnyomó többségében elfogadható redukciókhoz vezet.

A Föld felszínén mért ferde távolságok redukálása A hagyományos I. rendő háromszögelési hálózatban ez a feladat a 24 m-es invár dróttal mért alapvonalak redukálását jelentette. Ma már invár dróttal alapvonalat nem mérnek, a hagyományos hálózatok méretarányát a pontos elektronikus távmérıkkel, ma már egyre inkább a GPS vevıkkel meghatározott távolságok biztosítják. Utóbbi esetben gondot okoz, hogy a GPS-es helymeghatározás mérési eredményeit a közös pontok alapján történı átszámítások lerontják (ld. a „Térbeli hasonlósági transzformáció” c. fejezetet). Természetesen, már létezı hálózatok esetén az alapvonalakat nem mérik újra, de a már az ellipszoid felületén kiszámított hálózatba ellenırzés céljából „belemérhetnek”. Az alábbiakban egy földfelszínen mért távolság redukálásának projektív módszerrel történı módját mutatjuk be, feltételezve, hogy a ferde távolságot – elektronikus távmérés esetén - meteorológiai redukcióval módosítottuk és az esetleges külpontos távmérés eredményeit központosítottuk. Feladatunk a földfelszínen mért AB távolság redukálása a vonatkoztatási ellipszoidra, azaz az A0B0 távolság megP l fizikai föld- határozása. A redukció szemléltetéséa b dl felszín hez alakítsuk át „A kvázigeoid és a geoidunduláció” c. fejezet ábráját. A n n redukció meghatározásához itt a Hn Hk H normálmagasságot használjuk, megjea’’ b’’ kvázigeoid gyezve, hogy teljesen hasonló okfejtés lenne igaz az ortométeres magasság esetére is, azzal a különbséggel, hogy, ζk ζ szigorúan véve, az ortométeres magasB0 ságot a függıvonal mentén értelmeztük. a0 b0 Ott a kvázigeoid szerepét a geoid venné Vonatkoztatási ellipszoid át.

B

A

A0

α

s

Vegyük az AB távolság elemi hosszúságú dl (= ab) szakaszát (tetszıleges kis méret, a klaszszikus invárdrótos hosszmérés esetén 24 m). Az „ab” elemi szakaszra vonatkozó keresett redukció az alábbi három összetevıbıl áll:

− redukálás a vízszintesre (az „ab” elemi szakasz vetülete a szintfelületen), − a szintfelület és a vonatkoztatási ellipszoid nem párhuzamosságából fakadó redukció, − redukció a mért távolság vonatkoztatási ellipszoid feletti magassága miatt.

104

b

Hn

dh

θ

b0 θ b1

dl

ν a

dl0

θ

d s0

a ζ

a0

h

b kvázigeoid

ds b0 vonatkoztatási ellipszoid

b2

ds0

ρA függıvonal normális

függıvonal normális

Az ábrák jelölései: dl – az elemi ab távolság hossza, dl0 – a dl elemi hossz vetülete az „a” ponton áthaladó szintfelületen, ds0 – a dl elemi hossz vetülete az ellipszoid normálmetszetével párhuzamos „ab2” görbére a távolság síkjában, ν – a dl elemi szakasz a pontbeli vízszintesével bezárt hajlásszöge (magassági szöge), θ – relatív függıvonal-elhajlás a távolság függıleges síkjában, dh – az a és b pontok magasságkülönbsége, ds – a dl elemi távolság vetülete a vonatkoztatási ellipszoidon, ρA – az a0b0 normálmetszet görbületi sugara, h = H n + ζ , az „a” pont ellipszoidi magassága (ld. a „Normálmagasság és magassági rendellenesség” c. fejezetet). A baloldali ábrából következik, hogy dl 0 = dl ⋅ cosν

ds 0 = dl 0 − θ ⋅ dh .

és

A baloldali ábra alapján felírható az alábbi aránypár:

ρA ds = , ds0 ρ A + h Vonjuk mindkét oldalt 1-bıl:

1−

ds0 − ds ρA ds h = 1− , = . ds0 ρA + h ds0 ρA + h

Továbbá

ds 0 − ds =

h ⋅ ds 0 = ρA + h

h  h   ρ A ⋅ 1 + ρ  A 

⋅ ds 0 .

A negatív kitevıjő binomiális sor másod- és magasabb rendő tagjainak elhanyagolásával

ds 0 − ds =

h  h  h h2  ⋅ ds 0 = ⋅ 1 − ⋅ ds 0 − 2 ⋅ ds 0 . ρA  ρA  ρA ρA

105

A ds 0 = dl 0 − θ ⋅ dh kifejezést behelyettesítve és a harmadik tagot kicsinysége miatt elhanyagolva, kapjuk: h h2 dl 0 − θ ⋅ dh − ds = ⋅ dl 0 − 2 ⋅ dl 0 ,

ρA

ρA

vagy ds = dl 0 −

h

ρA

⋅ dl 0 −

h2

ρ A2

⋅ dl 0 − θ ⋅ dh , integrálással pedig s = ∫ ds .

A h értékét helyettesítsük a P pont AB távolságra vonatkozó hk átlagos magasságával. Írhatjuk: h h2 dl 0 − θ ⋅ dh − ds = k ⋅ dl 0 − k2 ⋅ dl 0 .

ρA

ρA

Áttérve a véges mennyiségekre, végül:

s = l0 +

hk

ρA

⋅ l0 −

hk2

ρ A2

⋅ l 0 − ∆h .

A fenti képletben l 0 = l ⋅ cos α , ahol α az AB szakaszra vonatkozó magassági szög. A függıvonal-elhajlás értékét a mért távolság mentén állandónak tekintve és az integráljelet szummával helyettesítve:

∆h = θ ⋅ ∫ dh = θ ⋅ ∑ dh , AB

AB

ahol dh az elemi szakaszokra vonatkozó magasságkülönbségek, a ∆h az A és B pontok ellipszoid feletti magasságainak, illetve – a mért távolság mentén a ζ magassági rendellenesség értékét állandónak feltételezve - tengerszint feletti magasságainak különbsége. 1 Ha pl. elıírjuk, hogy a távolsági redukció relatív középhibája ne haladja meg az 2 000 000 értéket, a ∆h = ∆H n + ∆ζ értéke nem haladhatja meg a 3 métert. A képletben ∆H n a normálmagasság-különbség, ∆ζ = ζ ′ − ζ = N − ζ a geoidunduláció és a magassági rendellenesség különbsége az AB szakaszon (ld. „A kvázigeoid és geoidunduláció” c. fejezetet).

A Föld felszínén mért szögek redukálása A szögek redukálására egyrészt a megfigyelt külsı pont magassága, másrészt az ellipszoidi és a szintfelületi normális közötti eltérés miatt van szükség. A szakirodalomban az elsı redukciót j1 – gyel, a másodikat j3 – mal szokás jelölni. Létezik még az ellipszoidi normálmetszetrıl a geodéziai vonalra való áttérés j2 – vel jelölt hatása, amelyet kicsisége miatt általában elhanyagolnak. 1) A j1 redukcióra azért van szükség, mert a megfigyelt pont nem az ellipszoidon, hanem az ellipszoid felett h magasságban helyezkedik el. Az alábbi ábrán az A pontból irányozzuk B-t. B ellipszoidi magassága h. „a” és „b” az A és B pontok ellipszoidi megfelelıi. Ha a B pont az ellipszoidon, a „b” pontban lenne (h = 0), úgy az „ab” irány αval. azimutja a Pana meridián és

106

az a, b és na pontokon átmenı sík közbezárt szöge. Mivel az irányzott B pont nincs az ellipszoidon, hanem h magasságban az ellipszoid felett, ezért a B pont irányzásakor az iránysík ABb’na helyzetet foglalja el. Az AB irány mért α mért azimutja ekkor az AaPna meridiánsík és az AaBb’na sík közbezárt szöge. A P j1 = α val. − α mért

αmért

αval.

A a

kicsi szög a megfigyelt külsı pont magassága miatti redukció, amely a ténylegesen irányzott B ponton és annak „b” ellipszoidi vetületén átmenı síkok eltérésébıl adódik.

B h

b’

Az ábra alapján a j1 értéke levezethetı:

b

j1 =

O

1 h ⋅ ρ ′′ ⋅ e 2 ⋅ ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sin 2α . 2 Mk

A fenti képletben

α = α mért ,

na

R

Mk – a közepes meridián irányú görbületi sugár, ϕ - a mérési terület közepes földrajzi szélessége, e − az elsı numerikus excentricitás.

nb

2) A földfelszínen mért vízszintes szög olyan lapszög, amelynek éle a teodolit állótengelye, azaz a függıvonal. A földfelszínen mért szög ellipszoidi megfelelıje olyan lapszög, amelynek éle az ellipszoidi normális. A redukcióra tehát a függıvonal és az ellipszoidi normális által bezárt szög, azaz a függıvonal-elhajlás miatt van szükség. A redukció nagysága:

j3 =

η ⋅ cos α − ξ ⋅ sin α tan Z

.

A képletben Z a zenitszög. A két redukció értéke az oldalhosszak függvényében a szögmásodperc tizedeiben fejezhetı ki, ami nem éri el a felsırendő szögmérések pontosságát. Az I. rendő háromszögelési hálózatokban azonban többnyire mégis figyelembe vették, szabályos jellegük miatt ugyanis hatásuk – különösen egy rosszul megválasztott mérető vonatkoztatási ellipszoid esetén – kedvezıtlenül összeadódhat.

A csillagászati adatok redukálása A földrajzi helymeghatározás (csillagászati méréseink) eredményei (szintfelületi szélesség, hosszúság) az ellipszoid felett bizonyos magasságban nem az ellipszoid felületi normálisaira, hanem a terepi mérési ponton áthaladó szintfelület normálisaira vonatkoznak. E kérdés megoldásával kapcsolatban összefoglalóan a következı megállapításokat tehetjük: 1) A függıvonal – mint tudjuk – kettıs csavarodású térgörbe, az ellipszoidra redukáláskor viszont a normál nehézségi erıtérnek a szabályos tömegeloszlás miatt a meridián síkjába esı függıvonalának görbületét kell ismernünk. 2) Az alábbi eltéréseket gyakorlatilag elhanyagolhatjuk:

107

- a P tereppont függıvonalának az ellipszoid feletti hossza és ellipszoidi magassága között, - a függıvonal érintıjének és az ellipszoid felületi normálisának iránya között, - a h magasságban lévı P terepponton átmenı ellipszoidi normális iránya és az ugyanezen a ponton átmenı függıvonal érintıjének iránya között. Emlékezzünk rá, hogy ezekkel az elhanyagolásokkal már a normálmagasság és a geoidunduláció fogalmainak ismertetésekor is éltünk. Egyedül az ellipszoidi szélességnek a h magasság függvényében bekövetkezı κ változását kell figyelembe venni a függıvonal ξ meridián irányú összetevıjének számításakor. A κ változásra a „Földfelszíni függıvonalelhajlás” c. fejezetben a

κ = 1,71 ⋅ 10 −4 ⋅ h ⋅ sin 2ϕ összefüggést írtuk fel. Az ottani megállapítás szerint a redukciót ”-ben kapjuk, ha a h-t méterben írjuk be. Ugyancsak az említett fejezet alapján az így módosított meridián irányú függıvonal-elhajlás: ξ = Φ − (ϕ + κ ) .

Az I. rendő vízszintes alaphálózat számítása A hagyományos hálózatok jelentıs része (így a magyarországi I. rendő hálózat is) szögméréses háromszögelési hálózat (léteznek trilaterációs, azaz távolságméréses háromszögelési és hosszúoldalú sokszögeléssel, vagy a különbözı módszerek kombinálásával létrehozott hálózatok is). A hálózatokat – a számítástechnika akkori (Magyarországon az 1950-es évek) fejlettségi szintjét figyelembe véve – a feltételes mérések módszere (korreláta-kiegyenlítés) szerint egyenlítették ki. Az alábbiakban a – teljesség igénye nélkül – az. I. rendő szögméréses háromszögelési hálózatban elıforduló feltételi egyenleteket foglaljuk össze. Mivel az I. rendő hálózatokat az ellipszoidon számították, ill. egyenlítették ki, a mért adatok redukálása után, de még a hálózat kiegyenlítése elıtt, a következı feladatokat kellett elvégezni: - A szögfölösleg számítása a teljes hálózat minden háromszögére, a „Gömbi szögfölösleg” c. fejezetben levezetett képlet alapján. Erre egyrészt a háromszögzárások, másrészt az ellipszoidi oldalhosszak számítása miatt volt szükség. Az egyes I. rendő háromszögek mért szögeit az adott háromszögre számított szögfölösleg egyharmadával változtatták meg (ld. „A háromszögek gömbi oldalhosszainak számítása” c. fejezetet). - Ki kellett számítani minden egyes I. rendő háromszögoldal hosszát. A számításnál figyelembe kellett venni, hogy a kezdıoldal (redukálás után) az ellipszoid ívhosszának tekintendı. Az oldalhosszak számításánál a mért szögeknek a szögfölöslegek harmadával csökkentett értékeit használták. - Ki kellett választani a hálózat ún. csillagászati kezdıpontját, s a hálózatot „A vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása” c. fejezetben leírt valamelyik módszerrel el kellett helyezni és tájékozni. A vázolt feladatok elvégzése után rendelkezésre állt: - az összes mért szögnek a szögfölösleg harmadával módosított értéke, - valamennyi háromszögoldal ellipszoidi hossza, - a háromszöghálózat kitüntetett pontjaiban a ϕ, λ ellipszoidi koordináták és egy szomszédos pontra menı irány α ellipszoidi azimutja.

108

A feltételes mérések módszere szerinti kiegyenlítés feltételi egyenletei

5

dAB 2

δAB 1

3

6 4 E

δAB

D

8 7

5

2

F

B

F

B

dAB

12

11 9

dCD

10 C

A

7 9

D

15 17

14 13

G a) láncolat

8

10

16

18

δCD

4 E

3

1 A

6

11 12 C

δCD dCD

b) centrális rendszer

A fenti ábrán az I. rendő háromszögelési hálózatok két fı alakzatát, a láncolatot és a centrális rendszert látjuk. Az ábrán a csillagászati (az ún. Laplace-) pontokat belsejükben kisebb kitöltött kört tartalmazó körrel, a többi pontot üres, kitöltetlen körrel jelöltük. A csillagászati pontokat összekötı vonalakat vastagon, a többi vonalat vékonyan rajzoltuk. Az A, B, C és D pontokon ismertek mind a szintfelületi, mind az ellipszoidi koordináták, ill. a szomszédos csillagászati pontok közötti irányok szintfelületi és ellipszoidi azimutjai. Az ellipszoidi koordinátáknak a vetületi síkban a vetületi koordináták, az α azimutoknak a δ irányszögek felelnek meg. A dAB és dCD (a régi hálózatoknál alapvonal-fejlesztı hálózatokból meghatározott) ismert, a vetületre redukált alapvonalak. Az arab számokkal jelölt szögek a háromszögenkénti szögfölösleg harmadával redukált szögei. Feltételi egyenletek az I. rendő szögméréses háromszögelési hálózatban: 1) Háromszögfeltételi egyenlet: mivel minden háromszögben az egyik szög mérése fölös mérés, azok összege a mérési hibák miatt nem lesz 180 o , így pld. az a), vagy b) ábrákon lévı ABE háromszögben az 1, 2 és 3 szögekre a feltételi egyenlet az alábbi 1 + 2 + 3 − 180 o = 0 . 2) Állomásfeltételi egyenlet: az ábra jobboldali része szerint a centrális rendszer centrumára az alábbi feltételi egyenlet írható fel: 3 + 4 + 9 + 10 + 15 + 16 − 360 o = 0 3) Oldalfeltételi egyenlet: egy tetszıleges háromszögoldal hossza, egy másik, szintén tetszıleges oldalból kiindulva, a szinusz-tétel sorozatos felírásával két úton is meghatározható. Az ábra jobboldali részén ezt nyilakkal szemléltettük. Az oldalfeltétel a két úton meghatározott érték egyenlıségét fejezi ki. Az oldalfeltételek értelemszerően centrális rendszerben fordulnak elı A fenti ábra centrális rendszerében a

d CE = d AE ⋅

sin 1 ⋅ sin 5 ⋅ sin 7 ⋅ sin 11 sin 14 ⋅ sin 18 és d CE = d AE ⋅ sin 2 ⋅ sin 6 ⋅ sin 8 ⋅ sin 12 sin 13 ⋅ sin 17

összefüggések összevetésébıl az oldalfeltételi egyenlet:

109

sin 1 ⋅ sin 5 ⋅ sin 7 ⋅ sin 11 ⋅ sin 13 ⋅ sin 17 =1 sin 2 ⋅ sin 6 ⋅ sin 8 ⋅ sin 12 ⋅ sin 14 ⋅ sin 18 Irányszög-feltételi egyenlet*: a hálózat adott azimutjából számított irányszögbıl kiindulva, a mért szögek felhasználásával egy másik adott azimutból kapott irányszög számítható. Ez a feltétel a számított és az adott irányszögek egyenlıségét fejezi ki. Az ábra láncolatában az

δ AB + 1 ± 180 o + 3 + 4 + 7 ± 180 o + 9 + 10 − δ CD = 0 , centrális rendszerében az

δ AB + 1 ± 180 o + 3 + 4 + 9 + 10 ± 180 o + 12 − δ CD = 0 irányszög-feltétel írható fel. 5) Alapvonalfeltételi egyenlet: egy adott alapvonalból kiindulva, a szögmérési eredmények felhasználásával a szinusz tétel folyamatos alkalmazásával, egy másik adott alapvonal hossza számítható. Az alapvonal feltétel a másik adott alapvonal számított és adott hosszának az egyenlıségét fejezi ki. A fenti ábra láncolatára az alapvonal feltétel a

d CD = d AB ⋅

sin 1 ⋅ sin 5 ⋅ sin 7 ⋅ sin 11 , sin 3 ⋅ sin 6 ⋅ sin 9 ⋅ sin 12

d CD = d AB ⋅

sin 2 ⋅ sin 18 ⋅ sin 14 ⋅ sin 10 sin 3 ⋅ sin 17 ⋅ sin 13 ⋅ sin 11

centrális rendszerére a

alakban írható fel. 6) Laplace-feltételi egyenlet Az

(α − A) = (λ − Λ ) ⋅ sin ϕ

alakú egyenletek a Laplace-pontok közötti irányokra írhatók fel. Abban az esetben, ha a hálózatban (vagy hálózatrészen) adott három nem szomszédos pont, az ábrán pld. az A, B és C pontok, megjelennek az ún. koordinátafeltételi egyenletek. A feltételi egyenletek lényege, hogy pld. a vázolt esetben az adott C pont ellipszoidi koordinátái megkaphatók, ha számítjuk a mért szögekbıl az irányszögeket és a szinusz-tételekbıl sorozatban a távolságokat és az I. geodéziai fıfeladat szerint számítható koordinátakülönbségeket pld. az A pont koordinátáihoz hozzáadjuk. A legkisebb négyzetek elve szerinti kiegyenlítés után megkapjuk a mért szögek mérési javításait. Ekkor az összes fentebb vázolt feltételnek teljesülnie kell. A szögméréses háromszögelési hálózat végleges koordinátáit a szögméréses elımetszéssel számítják. A hálózat feltételes mérések szerinti kiegyenlítése után az I. rendő hálózati pontok végleges koordinátáit az I. geodéziai fıfeladat egymás utáni alkalmazásával kapjuk. A szögméréses háromszögelési hálózat a különbözı alakzatok összessége, bonyolult rendszer. Az oldalfeltételeknél a kiinduló és a kapott oldalakat sokféle módon lehet kiválasztani, az alapvonal feltételek esetén a szomszédos háromszögek útjának megválasztása többféleképpen történhet. Hátrány, hogy általános esetben igen körülményes biztosítani a különbözı típusú feltételi egyenletek függetlenségét. *

A vetületi síkban – a vetületi meridiánkonvergencia ismeretében.

110

Magasságmérés Magassági mérıszámok A „Potenciálkülönbség és ortométeres magasság”, a „Normálmagasság és magassági rendellenesség”, valamint „A kvázigeoid és a geoidunduláció” c. fejezetekben már megismerkedtünk a geopotenciális érték, az ortométeres magasság, a normálmagasság, a dinamikai magasság és az ellipszoidi magasság fogalmaival. Ezeket itt nem kívánjuk (nem is kell) újradefiniálni, de, mivel a GPS-technika szerepe a magasságmeghatározásban már érezhetı, s a közeljövıben még inkább növekedni fog, ehhez kapcsolódóan e rövid fejezetben külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a megfelelı magassági mérıszám alkalmazása gondos körültekintést igényel*. Foglaljuk össze és egészítsük ki az elsı bekezdésben felsorolt fejezetekben definiált – a nehézségi erıtérben érvényes - magasságfogalmakat. Valamely földfelszíni P pont geopotenciális értéke a ponton átmenı szintfelületnek valamely 0 kezdıpont (a mareográf) és a P pont közötti (véges) magasságkülönbség: P

P

0

0

K P = W0 − WP = ∫ g ⋅ dm ≈ ∑ g i ⋅ mi **. Ennek megfelelıen valamely szintezési vonal két végpontján (pl. P és B) átmenı szintfelület potenciálkülönbsége az alábbi kifejezéssel adható meg: B

∆K PB ≈ ∑ g i ⋅ mi . P

A geopotenciális érték, ill. a geopotenciális értékek fenti különbségei nem metrikus, hanem fizikai értelemben definiált magasságok, ill. magasságkülönbségek. Valamely földfelszíni P pont ortométeres magassága a ponton átmenı szintfelület és a magassági alapszintfelület (geoid) távolsága a P pont függıvonalán mérve, a valódi nehézségi erıtérben: K 1 P H Pg = P = ⋅ ∑ g i ⋅ mi , gk gk 0 ahol, mint láttuk, g k a nehézségi erı átlagos értéke a geoid a földfelszíni P pont között a P pont függıvonalán mérve. A gk átlagos érték ismeretlen. E hiány csak bizonyos feltételezések mellett pótolható valamilyen modell alapján, egyik szokásos megoldás a nehézségi erıtér Poincaré-Prey-féle modelljének alkalmazása. Az ortométeres magasság hosszúság jellegő magassági mérıszám, hátránya az is, hogy az azonos ortométeres magasságú pontok általában nincsenek azonos szintfelületen. E hátrányt úgy próbálják kiküszöbölni, hogy a P pont geopotenciális értékét nem a nehézségi erı g k átlagos értékével, hanem valamely nemzetközi szinten elfogadott normál nehézségi erı képletbıl számított rögzített normál nehézségi erı értékkel osztják el. Így a geopotenciális *

Ádám J., Tokos T., Tóth Gy.: „Magassági mérıszámok és azok kapcsolata Magyarországon” c. tanulmánya nyomán. ** A „Potenciálkülönbség és ortométeres magasság” c fejezethez képest itt az ottani WP − W0 helyett W0 − W P különbséget írtunk, azaz az így definiált geopotenciális érték elıjele pozitív.

111

értékkel arányos nagyságú, de hosszúság jelegő magassági mérıszámot kapunk. Ilyen a „Normál magasság és magassági rendellenesség” c. fejezetben a ϕ = 45 o ellipszoidi szélességre számított dinamikai magasság:

H Pd = −

1

γ 45

⋅ KP ≈ o

P

1

γ 45

⋅ ∑ g i ⋅ mi . o

0

A normálmagasság a földfelszíni P pont geoidhoz viszonyított W0 − WP valódi potenciálkülönbségének a normál nehézségi erıtérben megfelelı P0N függıleges távolság a szintellipszoid felett: W − WP H Pn = 0 .

γk

P

W=WP Hg

U=WP

ζ N fizikai földfelszín

telluroid

h Hn

W=W0

geoid

ζ’=N

ζ

U=U0=W0 P0

∆ζ

kvázigeoid szintellipszoid

A normálmagasság az U=U0=W0 potenciálértékő szintellipszoid Q0 és a telluroid N pontja közötti távolság a normál függıvonal mentén „mérve”. A normálmagasság a mérési eredményekbıl feltevésmentesen, tetszıleges pontossággal számítható. Az ortométeres magasságtól való eltérése annyi, mint a geoid eltérése a kvázigeoidtól. Az ábrán összefoglaljuk az eddigi fogalmakat. „A csillagászati adatok redukálása” c. fejezet értelmében az áttekinthetıbb ábrázolás kedvéért elhanyagoltuk a P tereppont függıvonalának az ellipszoid feletti hossza és ellipszoidi magassága közötti, a függıvonal érintıjének és az ellipszoid felületi normálisának irányába esı tömegvonzási erı közötti és a h magasságban lévı P terepponton átmenı ellipszoidi normális iránya és az ugyanezen a ponton átmenı függıvonal közötti eltéréseket. Ezek az elhanyagolások nem befolyásolják megállapításainkat. A GPS-sel végzett helymeghatározás eredményei a földfelszíni pontok WGS84 ellipszoidi geocentrikus térbeli derékszögő koordinátái, ill. opcionálisan, a zárt képletekkel az elıbbiekbıl számítható WGS84 ellipszoidi szélessége, hosszúsága és ellipszoidi magassága. Ez a (fiktív) magassági rendszer csak geometriai értelemben adott és nem kapcsolódik a nehézségi erıtérhez, ill. annak idıbeli változásaihoz. Az ellipszoidi magasságoknak a gyakorló szakember számára szükséges geodéziai magassági értékekké történı átszámítása alapvetı fontosságú, mert a gyakorló geodéta, az úttervezı mérnök, stb. csak a tengerszint (geoid) feletti magasságokkal tud valamit kezdeni.

112

A GPS-sel meghatározott geocentrikus ellipszoid feletti magasságok és a nehézségi erıtérben érvényes feljebb felsorolt magasságfogalmak közötti alábbi összefüggésekkel ugyancsak találkoztunk már a felsorolt fejezetekben:

h = N +Hg

Hg = h−N ,

h =ζ +Hn

H n = h −ζ .

A fenti képletekben N a geoidunduláció, ζ a magassági rendellenesség (a kvázigeoid undulációja). Hasonlóan a magasságkülönbségekre

∆H g = ∆h − ∆N és ∆H n = ∆h − ∆ζ írhatók. Mivel az ellipszoid feletti h magasságok, ill. a ∆h ellipszoid feletti magasságkülönbségeket a GPS mérési eredmények feldolgozásából nagy pontossággal meghatározhatjuk, a nehézségi erıtérben érvényes és a gyakorlat számára használható magasságkülönbségek számításához az N geoidundulációk, ill. a ∆N geoidunduláció-különbségek, vagy a ζ magassági rendellenességek, ill. a ∆ζ magassági rendellenesség-különbségek szükséges pontosságú ismeretére van szükség. A felírt összefüggésekbıl következik, hogy az ortométeres és normálmagasság között fennáll a

h = H g + N = H n +ζ összefüggés. A „Kvázigeoid és geoidunduláció” fejezetben a kvázigeoid ∆ζ geoidtól való eltérésére pedig az alábbi képletet fogalmaztuk meg:

∆ζ = ζ ′ − ζ = N − ζ = H n − H g =

γ k − gk gk

⋅Hn.

Kimutatták, hogy a fenti képlet számlálója a ∆g Bf = −(γ k − g k ) földfelszíni Bouguer-féle rendellenességet tartalmazza*. Ekkor, a gk helyett a γk átlagos normál nehézségi erıt helyettesítve, írhatjuk:

∆g Bf N −ζ = H − H ≈ − ⋅ H n . (1) γk n

g

A képletben, ha a ∆g Bf -t galban és a Hn-t km egységben adjuk meg, akkor az ( N − ζ ) különbséget méterben kapjuk meg. Az ( N − ζ ) -re megadott összefüggésekkel számíthatók a normál- és az ortométeres magasságok közötti különbségek, s ezzel adott az átmenet a kétfajta magasság, ill. a geoidunduláció és a magassági rendellenesség között. A témára az Egységes Országos Magassági Alaphálózat (EOMA) tárgyalásakor még röviden visszatérünk.

*

Heiskanen, W.A. – Moritz, H.: Physical Geodesy. Freeman and Co., San Francisco, 1967.

113

Magassági alaphálózatok „S valós világtól a térkép síkjáig” c. fejezetben, a késıbbi síkban történı térképi ábrázolás lehetıvé tétele végett, a földfelszíni pontok térben elfoglalt helyét két részre bontottuk: - vízszintes (2D) modellre, valamint - magassági (1D) modellre. Az I. rendő vízszintes alaphálózatok a vízszintes modellt reprezentálják a Föld felszínén. E fejezetben a magassági modellt reprezentáló magassági hálózatokról lesz szó. A vízszintes hálózatokhoz hasonlóan, a magassági hálózatoknál is szükség van olyan keretre, amely országos kiterjedésben biztosítja a magasságok összhangját és a gyakorlat számára is meghatározott sőrőségben szolgáltatja a magassági értékeket. E nélkül elképzelhetetlen a domborzatot is ábrázoló országos térképrendszer kialakítása. De nagyobb kiterjedéső és magassági információkat igénylı mőszaki programok (úttervezés, -építés, árvízvédelem, stb.) sem végezhetık a magassági információk ismerete nélkül. A magassági hálózatok mindmáig legpontosabb mérési módszere a geometriai szintezés. A szintezéssel szemben a GPS technika jelent komoly kihívást, de az így kapott mérési eredményekbıl levezethetı tengerszint (geoid) feletti magasságok mérési megbízhatósága nem éri el a geometriai szintezését. A geometriai szintezéssel és a GPS technikával nyerhetı magassági mérıszámok kapcsolatáról az elızı fejezetben adtunk összefoglalást. A jól kialakított magassági alaphálózatok számos lényeges tulajdonságban eltérnek a vízszintes hálózatoktól. Ilyenek: - Törekedni kell arra, hogy az alappontok közötti magasságkülönbség minél kisebb legyen. Ezért a nagy magasságú helyeket (dombtetı, hegycsúcs) kerülni kell. - Az alappontok szintezési vonalak mentén helyezkednek el, ezért egyenletes területi eloszlásukat nehéz biztosítani. Két szomszédos magassági alappont közé esı vonalat szintezési vonalnak nevezzük. A szintezési vonalakat úgy kell vezetni, hogy azok megfelelıen megválasztott közlekedési útvonalak mentén helyezkedjenek el. Ha a szintezési vonal túl hosszú, azt szintezési szakaszokra osztjuk. A szintezési szakaszok hosszát úgy választják meg, hogy oda-vissza szintezésüket egy nap alatt el tudják végezni. A szintezési szakasz megengedett hossza a felsırendő (szabatos) szintezésnél mintegy 1-1,2 km.

B

m4,d4

m1,d1 1 A 3

C

4 m2,d2

II.

m5,d5

I. E

m3,d3

5

2 m ,d 6 6

D 6

III. 7

m7,d7

Több szintezési vonal összekapcsolásával a (zárt) szintezési poligonokhoz jutunk. A szintezési poligonok összessége alkotja a magassági (szintezési) hálózatot. Kettınél több szintezési vonal találkozási pontja a szintezési csomópont. Tetszıleges számú szintezési poligonból álló szintezési hálózat szigorúan kiegyenlíthetı mind a közvetett -, mind pedig a feltételes mérések szerinti kiegyenlítés módszerével.

A fenti ábra alapján az alábbiakban a feltételes mérések szerinti kiegyenlítés lényegét foglaljuk össze.

114

A feltételi egyenletek itt azt fejezik ki, hogy az egyes szintezési vonalakra vonatkozó magasságkülönbségek összege zárt poligonban zérus (a szintezési poligon zárt, ha egy tetszıleges magassági alappontból kiinduló, egymás után futó szintezési vonalak közül az utolsó a kiindulási alappontba fut be). A zérustól való eltérések a poligon záróhibák, a feltételi egyenletek ellentmondásai. A magasságkülönbségek elıjeleinek egyértelmősége végett rögzítsük nyilakkal a körüljárási irányokat! Római számokkal a poligonokat, arab számokkal a szintezési vonalakat, mj-vel a magasságkülönbségeket, dj-vel a j. vonal km-ben vett hosszát jelöljük (j = 1, 2, … , 7). Az ábra szintezési hálózatában a feltételi egyenletek az alábbiak:

m1 + m2 + m3 = 0, − m2 + m4 + m5 − m6 = 0, − m 3 + m 6 + m 7 = 0. Ha a szintezési hálózatban legalább 1 pont (az ábrán az A) magassága adott, a többi B, C, D és E pont magasságát a kiegyenlített mérési eredmények értelemszerő hozzáadásával kapjuk. A magasságok számításakor, természetesen, figyelembe kell venni, hogy ortométeres, normál, vagy dinamikai magassági rendszerben dolgozunk. Megjegyezzük, hogy a szintezési hálózatok kiegyenlítésénél az egyes szintezési vonalakra vonatkozó magasságkülönbség mérési eredményeket a távolsággal fordított arányban súlyozzák, ami azt fejezi ki, hogy a nagyobb távolságokon kapott magasságkülönbségek súlya kisebb és fordítva: c pj = . dj A képletben c célszerően, de tetszılegesen megválasztott konstans érték.

115

Gravimetriai hálózatok A gravimetriai hálózatok a gravimetriai munkák összhangját és megbízhatóságát biztosítják. Korszerő gravimetriai hálózatokat csak korszerő graviméterekkel végzett abszolút gmérésekre támaszkodva lehet létesíteni. E hálózatokat azután relatív g-mérésekkel sőrítik. Szigorú követelmény a gravimetriai értékek országos, de tágabb értelemben kontinentális, sıt az egész Földre kiterjedı összhangjának biztosítása. Kühnen és Furtwängler 1898-1904 között végzett mérései alapján 1909-ben vezették be a Potsdami Gravimetriai Rendszert. Késıbb, a megjelent abszolút g-mérı mőszerek segítségével megállapították, hogy a potsdami abszolút g-érték 140 µgal-lal nagyobb a ténylegesnél. Az IUGG moszkvai ülésén ezért bevezették az IGSN71 hálózatot (International Gravity Standartisation Net-71). Ez a hálózat 1854 pontot tartalmazott, amelyek közül 500 ponton végeztek abszolút g-mérést. Még késıbb a Nemzetközi Geodéziai Szövetség (IAG) egy 36 pontból álló globális abszolút g-hálózatot (IAGBN, International Absolut Gravity Bassistation Network) létesített. A részletes földi gravimetriai felméréseket egyre nagyobb részét váltják ki a korszerő őrtechnikákkal. Ezek között a gravimetriai hálózatok tökéletesítésében az őrgravimetria (ld. „A geoid meghatározása szatellita-geodéziai módszerekkel” c. fejezetet) jelenthet komoly áttörést.

Magyarország gravimetriai alaphálózata Az elsı országos gravimetriai hálózatot a MÁELGI (Magyar Állami Eötvös Loránd Geofizikai Intézet) 1951-ben hozta létre, rugós graviméterrel végzett mérések alapján, ± 0,1 mgal megbízhatósággal, 16 ponton (MGH-50). Erre a hálózatra támaszkodva készült el a II. rendő gravimetriai hálózat 493 ponttal. Ez a hálózat szolgált alapul az ország részletes gravimetriai felméréséhez. A 60-as években az ELGI az akkor korszerő Sharpe és Worden graviméterekkel is rendelkezett. A kelet-európai országok ez irányú együttmőködését Ju. D. Boulanger fogta össze. Az együttmőködés keretében több programot hajtottak végre. Nemzetközi Gravitációs Hitelesítı Poligon (NGHP) létesítése. Ez a - relatív ingákkal végrehajtott – program ± (0,03 − 0,1) ) mgal relatív megbízhatóságú hálózatot eredményezett. Kiinduló pontja a potsdami S-2 pillér volt. Ekkor létesült Ferihegyen az az új gravimetriai fıalappont, amelynek a potsdami pillérhez viszonyított relatív megbízhatósága ± 0,03 mgal lett. A graviméterek országon belüli hitelesítésére külön Nemzeti Gravimetriai Hitelesítı Poligont hoztak létre. A pontok relatív megbízhatósága ± 0,02 mgal volt. Az új I. rendő gravimetriai hálózatot Sharpe CG2 graviméterrel mérték. E hálózat kiinduló pontjai a Ferihegy-pont és az idıközben Szegeden létesített hitelesítı pont voltak. A 19 pontból álló hálózat megbízhatósága ± (0,02 − 0,04) ) értékkel volt jellemezhetı. Az 1974-ben megkezdett mérések alapján egy 360 pontból álló II. rendő hálózatot létesítettek. A kelet-európai országok geodéziai szervezetei által kezdeményezett munkák eredményeként hazánkban elıször öt ponton végeztek abszolút g-méréseket: Siklós (1978), Budapest, Szerencs, Kıszeg (1980), Gyula (1988). A végzett munkálatok eredményeként jött létre az új MGH-80 elnevezéső felsırendő gravimetriai hálózat Az alábbi két ábra sorban az MGH-80 I. rendő és a teljes felsırendő hálózatot mutatja be.

116

117

A felsırendő hálózat kiegyenlítését 1990-re fejezték be. A kiegyenlítésbıl az egységsúlyú mérés középhibájára µ 0 = ±0,016 mgal adódott, a pontok g-értékének megbízhatósága pedig

µ g = ± (2 − 9 ) µgal közé esett. A rendszerváltás után lehetıvé vált a magyar gravimetriai hálózat összekapcsolása az Egységes Európai Gravimetriai Hálózattal (UEGN). A mérések során lehetıség nyílt több igen korszerő abszolút mőszer, így a YILA6-6 és az AXIS FG5 mőszerek használatára is. Ez tette lehetıvé az MGH-2000 gravimetriai hálózat létrehozását. Az alábbi ábrán az UEGN hálózat magyarországi részét mutatjuk be.

118

Magyarország felsırendő alaphálózatai EOVA – Egységes Országos Vízszintes Alaphálózat A címben foglalt elnevezés kapcsolódik az EOV (Egységes Országos Vetület) elnevezéshez, 1976-tól, az EOV bevezetésétıl kezdve használják. Az elnevezés azt jelenti, hogy az alapponthálózat vetületi rendszere az EOV, s minden új pontot ebben a vetületi rendszerben kell meghatározni. A GPS-sel meghatározott pontokat, valamint - ma már ritkábban - a régebbi (sztereografikus, ferdetengelyő henger) vetületi rendszerekben ismert pontokat az EOVre kell átszámítani. Az EOVA a felsırendő (elsı-, másod- és harmadrendő) vízszintes hálózati alappontok, valamint a hagyományos és a GPS módszerrel létesített, ill. a kevésbé megbízható felsırendő pontokból negyedrendő pontokká átminısített negyedrendő alappontok rendszere. Az EOVA-ba illeszkednek bele a nem országos alappontokként nyilvántartott ötödrendő, valamint a részletmérés és a térképezés feladatait közvetlenül megalapozó felmérési alappontok. Magyarország jelenlegi felsırendő hálózatát régi, 1945 elıtti felsırendő alappontok felhasználásával a második világháború után alakították ki. Általánosan kialakult szokás szerint - a hálózat együttes kiegyenlítését megkönnyítendı - elıször az ország határai mentén alakítottak ki egy átlagosan 25-30 km oldalhosszúságú, amennyire lehet egyenlı oldalú háromszögekbıl álló keretláncolatot (koszorút), amelyet a Duna-Tisza közén egy ún. merevítı láncolattal kötöttek össze (ábra). Ez Magyarország I. rendő alapponthálózata.

5 1

4

6 3 2

Laplace pontok Alapvonalak Fejlesztett háromszögoldalak

Az elsırendő alappontok többségét hegycsúcsokon helyezték el, a szomszédos pontok jó öszszelátása céljából. A méréseket nem a földi pontjelrıl, hanem az annak függılegesében elhelyezett mőszerasztalról végezték, amelyet különleges építmény, az állványos gúla tartott mereven. E gúlák biztosították egyben a pont távolról való irányozhatóságát is. A szögméréseket a Wild T3 felsırendő teodolitokkal végezték. 119

A hálózat méretarányának meghatározására 6 db, az átlagos háromszögoldal hosszánál jóval rövidebb (a gyakorlatban is alkalmazható elektronikus távolságmérés akkor még nem létezett) alapvonalat mértek, amelyekbıl egy különleges háromszögelési alakzat, az alapvonalfejlesztı hálózat segítségével hozták létre az ún. fejlesztett háromszögoldalakat. Ha a feltétlenül szükséges egy ismert oldalnál több van, ez lehetıvé teszi az ellenırzést és a hálózat szögeinek szigorú kiegyenlítését.

C

A P

B

Q

A baloldali ábrán az A és B pontok az alapvonal végpontjai, az AB az alapvonal, P és Q a Laplace pontok, PQ az elsırendő háromszögelési hálózat fejlesztett oldala. A C és D pontok az elsırendő hálózat pontjai, a PC, QC, PD és QD oldalak az elsırendő hálózat oldalai. Az AB alapvonalat mérték, ezután pusztán szögmérések alapján számították a CD oldalt (ez nem elsırendő háromszögoldal!), majd a PQ fejlesztett háromszögoldalt. Tekintettel arra, hogy itt egy viszonylag rövid mért oldalból indulunk ki, a kellemetlen hibaterjedés miatt mind az alapvonalat, mind pedig a szögeket szélsı pontossággal kellett meghatározni.

D D Ha a fejlesztett háromszögoldalakat tájékozzuk, rájuk "fel lehet főzni" az egész ország térképrendszerének alapját képezı alapponthálózatot. A fejlesztett háromszögoldalak tájékozásához az összesen 14 Laplace pontban meghatározták a szintfelületi szélességet és hosszúságot, valamint a 6 fejlesztett háromszögoldal szintfelületi azimutját. A vetületi koordinátarendszerre való áttérésnél figyelembe kellett venni a vetületi redukciókat. Az elsırendő hálózatot szögméréses háromszögeléssel határozták meg, a minden kombinációban végzett szögmérés egy változatával, az ún. Schreiber-féle szögméréssel. Mivel a mért szögek súlyát a p = n⋅i összefüggéssel számították, azok a mért irányok n számával egyenesen arányosak, s alappontonként, a különbözı számú irányok miatt, különbözıek voltak. Schreiber e problémán úgy segített, hogy a súlyokat választotta konstansnak (p=24), s a mérési ismétlések i számát csökkentette, ill. növelte az 24 i= n összefüggésnek megfelelıen. Az egyenlı súlyokkal a kiegyenlítés lényegesen egyszerőbb volt. Az elsırendő pontok koordinátáit a kiegyenlített szögértékek birtokában, pontról pontra számították. A másodrendő vízszintes alapponthálózat pontjait az elsırendő keret- és merevítı láncolat háromszögeinek súlypontja környezetében jelölték ki úgy, hogy az összes szomszédos elsırendő alapponttal az összelátás biztosított legyen. Az így kialakított háromszögek átlagos oldalhoszsza 15 km. A másodrendő hálózatban az irányméréses háromszögelés módszerét alkalmazták, az iránymérést pontonként 8-8 fordulóban végezték. Az elsırendő hálózat oldalaira tájékozó irányokat mértek. A harmadrendő vízszintes alapponthálózat pontjait az elsı- és másodrendő hálózatból kialakuló háromszögek súlypontja körül jelölték ki úgy, hogy azok átlagos távolsága 7-8 km legyen. A hálózatot az irányméréses háromszögelés módszerével mérték, 4-4 fordulóban. A

120

másod- és harmadrendő hálózatban is elsısorban a Wild T3 felsırendő teodolittal mértek, a hálózatok a közvetett mérések módszere szerint számították. A harmadrendő pontokat tartalmazó háromszögeken belül, azok súlypontja közelében, ún. negyedrendő fıpontokat is meghatároztak. A II. és III. rendő hálózatokat – az I. rendő hálózatokkal ellentétben - nem az ellipszoidon, hanem a vetületi síkon számították. Az ország belsejében az üresen maradt részeken a felsı rendő hálózatot nem a fent leírt módon létesítették. Azért, hogy a sík területeken az állványos gúlák igen magas építési költségét megtakarítsák, e területeken 1952 és 1960 között elıször egy harmadrendő, ún. kitöltı hálózatot létesítettek. Igen gondos mérés és számítás után e hálózat pontjaiból fiktív elsırendő (ún. domináns) pontokat hoztak létre. A domináns pontokból létrehozott hálózatot úgy egyenlítették ki, mintha elsırendő hálózat lett volna. A kitöltı hálózat területén értelemszerően másodrendő hálózatot sem létesítettek. Az ország most már egész területét lefedı felsırendő hálózatban homogenitási problémák merültek fel, amelyek miatt a harmadrendő hálózatot a késıbbiekben már korszerőbb mérési és számítási módszerekkel korszerősítették. A felsırendő pontoktól kb. 200-500 m távolságra lehetıleg egymásra merıleges irányban két, ún. iránypontot helyeztek el, azzal a céllal, hogy a felsırendő pontokhoz sokszögeléssel csatlakozni lehessen akkor is, ha egyéb tájékozó irány nem áll rendelkezésre.

EOMA – Egységes Országos Magassági Alaphálózat Magyarország magassági alapponthálózatának 1979-ben megindult kialakításakor egyrészt tudományos szempont, a nemzetközi kéregmozgás-vizsgálati együttmőködés játszott szerepet, másrészt pedig az, hogy a nemzetgazdaság különbözı területein folyó térképezési és építési munkák során megfelelı mennyiségő, a korábbiaknál nagyobb megbízhatóságú magassági adatra volt szükség. AZ EOMA létesítésével kapcsolatos elıírásokat a "Szabályzat az egységes országos magassági alapponthálózat létesítési munkáiról"* foglalta össze. Az EOMA alapszintfelülete a balti középtengerszint. Ez váltotta fel az ún. nadapi (adriai) középtengerszintet. Utóbbit úgy értelmezték, hogy az átmegy a Fejér megyei Nadap magassági fıalappont függılegesének az Adriai tenger szintje felett még a XIX. században meghatározott 173,8385 m-re lévı pontján. A balti és a nadapi középtengerszint feletti abszolút magasságok között az alábbi összefüggés érvényes:

H B = H A − 0,6747 m . A képletben H B a balti, H A a nadapi középtengerszint feletti magasság (ábra). Idıközben a Nadap ısjegy mellett a hálózat kiinduló pontjaként új alappontot határoztak meg (Nadap II.). Ennek magassága a balti rendszerben H B = 176,23382 m . A Föld felszíne

P HB HA

Balti középtengerszint

Nadapi középtengerszint

*

Az EOMA elsırendő hálózatát (az ún. kéregmozgási hálózatot) az alábbi ábrán mutatjuk be. Az elsırendő hálózatot 27 szintezési vonalból kialakított 11 zárt poligon alkotja. A hálózatot a szomszédos országok szintezési hálózataival csatlakozó vonalak kötik össze, amelyek további, ún. félpoligonokat alkotnak.

Országos Földügyi és Térképészeti Hivatal, Földmérési Fıosztály, 1979.

121

A félpoligonok száma 21. A hálózat csomópontjainak száma 17. A csomópontokban, valamint a vonalak megfelelıen kiválasztott helyein 40 db fıalappontot létesítettek. A vonalakon átlagosan 6 km-re egymástól helyezkednek el a kéregmozgási pontok (KKP-, vagy röviden Kpontok). A zárt poligonok átlagos területe 481 km2, a vonalak átlagos hossza 134 km.

A másodrendő hálózatot az elsırendő poligonokon belül 2-6 csomópont létesítésével alakították ki. A másodrendő szintezési vonalak végpontjai másodrendő csomópontok, vagy másodrendő csomópont és elsırendő K-pont, kivételesen két elsırendő pont. A másodrendő csomópontok is K-pontok. A másodrendő vonalakon 5-10 km-enként szintén kéregmozgási pontokat terveztek. Az elsı- és másodrendő hálózat vonalai másodrendő szintezési poligonokat alkotnak. Utóbbiakat több csomópont létesítésével harmadrendő hálózattal sőrítik. A harmadrendő vonalak végpontjai harmadrendő csomópontok, vagy harmadrendő csomópont és elsı-, vagy másodrendő K-pont, kivételesen elsı-, vagy másodrendő K-pontok. A harmadrendő hálózatban Kpontokat nem terveztek. Az EOMA észlelését igen nagy pontosságú szintezımőszerekkel kellett végezni, olyanokkal, amelyek elızetes km-es középhibája a ± 0,3 mm/km értéket nem haladja meg. Ilyenek voltak a Wild N3, a MOM NiA31 és a Zeiss Ni002 szintezımőszerek. Az alappont-szintezés szabályait szigorúan be kellett tartani, a talaj közeli rendellenes refrakció viszonyok elkerülésére az irányvonal talaj feletti minimális magasságát a másodrendő hálózatban 50 cm, a harmadrendő hálózatban 30 cm-ben maximálták. Magát a mérést HE-EH (hátra-elıre, elıre-hátra) sorrendben végezték. Mind az észlelési differenciákra, mind a poligon záróhibákra, mind az adott magasságú pontok közötti magassági záróhibákra szigorú elıírásokat fogalmaztak meg. Az Egységes Országos Magassági Alaphálózat másod- és harmadrendő vonalainak telepítése - különösen a Dunántúl nagy részén - más fontos feladatok miatt nemrégen fejezıdött be. A FÖMI KGO* 1998-ban vizsgálta - többek között az MTA Geodéziai Tudományos Bizottságá*

Földmérési és Távérzékelési Intézet Kozmikus Geodéziai Obszervatórium, Penc

122

ban is folytatott viták után - a GPS technikának a harmadrendő szintezési munkálatokban való alkalmazhatóságát. A vizsgálatok eredményeként olyan teljes mérési és feldolgozási technológiát dolgoztak ki, amely összhangban van a harmadrendő szintezések pontossági követelményeivel és amelynek eredményeként a gazdaságossági és a pontossági szempontok figyelembevételével a harmadrendő hálózat létesítését a GPS technikával fejezték be*. Mint tudjuk, a szintezés GPS-sel való kiváltásához a „Magassági mérıszámok” c. fejezetben leírtak gyakorlatban való alkalmazására van szükség. A gyakorlati alkalmazási eljárást a FÖMI KGOban dolgozták ki.

Magassági mérıszám-eltérések Magyarországon** Magyarországon a normál- és az ortométeres magasságok között az

N −ζ magassági eltérések +7,4 mm és -17,4 mm között változnak, jó összhangban a topográfiával. A normálmagasság és a ϕ = 45 o normál nehézségi erı alapján számított dinamikai magasságok eltérései -1 cm és -9 cm között változnak. Az ország túlnyomó részén a ∆ζ korrekciók értéke kisebb, mint 1 cm. Ezért itt a nehézségi rendellenesség-különbségek a GPS technika alkalmazásából származó magasságoknál elhanyagolhatók. Ott azonban, ahol a ∆ζ értékei meghaladják az 1 cm-t, ez az elhanyagolás már nem engedhetı meg. Ezt a körülményt fontos lehet figyelembe venni az EOMA I. rendő újraméréseinek feldolgozásakor, annál is inkább, mert az I. rendő magassági hálózat újramérését megkezdték.

Az Országos GPS hálózat*** Napjainkban nem szorul különösebb magyarázatra, hogy a geodézia történetében milyen mértékő változást hozott a háromdimenziós (3D) helymeghatározást lehetıvé tevı GPS. Ahhoz, hogy ezt a legkorszerőbb helymeghatározási módszert a gyakorlati geodézia szintjén tudjuk alkalmazni, megfelelı infrastruktúrára van szükség. A GPS technika esetén ez az infrastruktúra a megfelelı sőrőségő GPS hálózat. Az ún. passzív GPS hálózat állandósított pontokra épül, ez Magyarországon az Országos GPS hálózat (OGPSH). Milyen jelentıs tényezık különböztetik meg az OGPSH-t a hagyományos hálózatoktól? A fontosabbak: - Nem érvényesül a hagyományos hálózati hierarchia, az egymásra épültség. - Együtt kezeljük a vízszintes és magassági koordinátákat. - A pontok közötti összelátás nem szükséges, az égboltra való kilátás viszont mintegy 150o-os sugárkúpban igen. - A GPS által szolgáltatott koordináták geocentrikusak, azaz a Föld középpontjára vonatkoznak. A gyakorlati geodéziában viszont (vízszintes) vetületi koordinátákra, ill. tengerszint feletti magasságokra van szükség. A GPS-sel történı vízszintes helymeghatározás pontosabb, a magassági helymeghatározás pontatlanabb, mint a hagyományos hálózatokban. A vízszintes értelmő helymeghatározást rontja, hogy a pontosabb GPS eredményeket *

Dr. Borza T., Kenyeres A.: Az EOMA III. rendő vonalak GPS technikával történı meghatározása: Tesztmérések és technológia kidolgozása. Beszámoló az MTA Geodéziai Tudományos Bizottság számára, Penc, 1999. március. ** Ádám J., Tokos T., Tóth Gy.: „Magassági mérıszámok és azok kapcsolata Magyarországon” c. tanulmánya nyomán. *** E fejezet a Földmérési és Távérzékelési Intézet (Budapest, 1998) "Országos GPS hálózat" c. dokumentációja felhasználásával készült.

123

-

kell a hierarchikus hálózati felépítés miatt pontatlanabb hagyományos hálózatba transzformálni. Az OGPSH nemzetközi hálózatokkal összekapcsolható. Lehetıvé válik az eredmények egységes térinformatikai rendszerben való kezelése.

Bár az OGPSH felépítése nem hierarchikus, létrehozása a "nagyból a kicsi felé" elv alapján létesült. Elıször két lépésben egy, az Európai referencia hálózathoz (EUREF89) tartozó 5, majd további 19 pontból álló kerethálózatot hoztak létre, törekedve arra, hogy azok az ország területét nagyjából egyenletesen fedjék le. A 24 pontos hálózatot az alábbi ábrán mutatjuk be. Az öt EUREF pontot 1991 október végén, a többit közvetlenül ezután november elején határozták meg, kétfrekvenciás TRIMBLE SST vevıkkel. AGGT SATO HOLL

TARP

MISK

PENC SOPR

HAJD

GYOR BUDA

KOSZ

NADA

TISZ

PILI

MEZO DISZ

KOND

BALL REGO

CSAN OTTO

IHAR

EUREF pontok CSER CSAR

OGPSH kerethálózat pontjai

A 24 pontos hálózat sőrítésekor az OGPSH pontokat átlagosan mintegy 10 km távolságban hozták létre. Részben az állandósítási munkák költségeinek megtakarítása céljából, részben pedig azért, hogy a vízszintes alappont hálózat és a GPS hálózat "átjárható" legyen, az OGPSH pontokat döntı hányadban a vízszintes alappont hálózat IV. rendő pontjaiból választották ki (az "átjárhatóság" azt jelenti, hogy minden OGPSH pont mind WGS84, mind EOV koordinátákkal rendelkezik). Az alappontok helyét 1994-ben választották ki az alábbi szempontok alapján: -

lehetıleg gépkocsival megközelíthetı legyen, 20o felett legyen szabad kilátás az égboltra, s a közelben ne legyen rádió, TV adó és magasfeszültségő vezeték, a pont legyen szintezhetı, fennmaradása hosszú távra biztosított legyen.

A mérést 9 db GPS vevıvel statikus módszerrel végezték, külön e célra kialakított speciális technológiával, minden ponton legalább 1 órai méréssel. A keretpontokat minden szomszédos ponttal összemérték, s a mérés során törekedtek arra, hogy a meghatározandó vektorok hossza - a pontosság növelése érdekében - minél rövidebb legyen.

124

0 km

50 km

100 km

* EUREF mérés (1991) • OGPSH 1. ütem (1995) o OGPSH 2. ütem (1996-97) x OGPSH 3. ütem (1997-98)

1998-ra 3 ütemben elkészült az 1154 pontból álló, nemzetközi szempontból is kiemelkedı Országos GPS Hálózat (ábra). Az 1. ütemben 1995-re a Tiszántúl, a 2. ütemben 1996-97-ben a Duna-Tisza köze és az Északi Középhegység, végül a Dunántúl készült el. A hálózat kiegyenlítését a FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatóriumának munkatársai az általuk kidolgozott módszer szerint végezték el. Az OGPSH pontok mind WGS84 ellipszoidi, mind EOV koordinátákkal és tengerszint feletti magassággal rendelkeznek. Mivel az összesen 1154 OGPSH pontból mindössze 340-nek volt szintezett magassága, a többi pont magasságát a kisebb pontosságú trigonometriai magasságméréssel határozták meg.

125

Irodalom Dr. Ádám J, et al.: Mőholdas helymeghatározás, Mőegyetemi Kiadó, Budapest, 2004. (old. 61-73, 4.1. fejezet) Dr. Ádám J, et al.: Magassági mérıszámok és azok kapcsolata Magyarországon. http://www.fomi.hu/honlap/magyar/szaklap/2002/01/jan1.pdf Dr. Bácsatyai L: Magyarországi vetületek, Szaktudás Kiadó Ház, Budapest, 2006. http://geo.efe.hu/hun/onlinejegyzet/vetulet/vetuletek.pdf (old. 9-24; 167-195) Dr. Bácsatyai L: Geodézia erdı- és környezetmérnököknek. Geomatikai közlemények VI. MTA GGKI, Sopron, 2003. (old. 13-38., 194-198., 226-241.) http://geo.efe.hu/hun/onlinejegyzet/geod/geod.pdf Dr. Bíró P: Felsıgeodézia, http://www.agt.bme.hu/tantargyak/felso_geodezia.html Dr. Homoródi L: Felsıgeodézia, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966 Dr. Joó I: Felsıgeodézia III. (elméleti geodézia), jegyzet, Székesfehérvár , 2002. Dr. Joó I: Felsıgeodézia IV. (felsırendő mérések), jegyzet, Székesfehérvár , 2002. Szpravocsnyik geodeziszta, I. könyv. Nyedra kiadó, Moszkva, 1975. old. 259-308. Dr. Völgyesi L: A Föld nehézségi erıtere. http://sci.fgt.bme.hu/volgyesi/geofiz/5_1-2.pdf Dr. Völgyesi L: Függıvonal-elhajlás interpoláció Eötvös-inga mérések alapján. http://sci.fgt.bme.hu/%7Evolgyesi/gravity/habil.pdf Zakatov, P. Sz.: Kursz viszsej geodezii. Izd. Nedra, Moszkva, 1964.

126

Tartalomjegyzék

FELSİGEODÉZIA ------------------------------------------------------------------------------------- 0 Bevezetés --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 A felsı- és alsógeodézia határa ------------------------------------------------------------------------ 3 A valós világtól a térkép síkjáig ----------------------------------------------------------------------- 4 A felsıgeodézia koordinátarendszerei --------------------------------------------------------------- 6 Kvázi inerciális égi koordináta rendszer ------------------------------------------------------------ 6 Kvázi inerciális földi koordináta rendszer ---------------------------------------------------------- 7 Szintfelületi koordinátarendszer---------------------------------------------------------------------- 8 A földrajzi helymeghatározás elve ---------------------------------------------------------------- 9 Ellipszoidi felületi koordinátarendszer -------------------------------------------------------------10 Gömbi felületi koordináta rendszer -----------------------------------------------------------------11 Vetületi koordináta rendszerek ----------------------------------------------------------------------11 Helyi szintfelületi (horizonti, mőszer-) koordináta rendszer ------------------------------------13 GPS vevık koordinátarendszere---------------------------------------------------------------------14 Magassági (1D) koordinátarendszer ----------------------------------------------------------------14 A felsıgeodézia vonatkoztatási rendszerei ---------------------------------------------------------16 A Föld nehézségi erıtere-------------------------------------------------------------------------------17 A nehézségi erı ----------------------------------------------------------------------------------------17 A nehézségi erı potenciálja --------------------------------------------------------------------------18 Függıvonalak és szintfelületek ----------------------------------------------------------------------21 A nehézségi erı függıleges gradiense--------------------------------------------------------------24 Potenciálkülönbség és ortométeres magasság -----------------------------------------------------24 A Föld külsı nehézségi erıtere és alakja meghatározásának problémája ---------------------27 A Föld normálalakja -----------------------------------------------------------------------------------29 A normálpotenciál és a normál nehézségi erı -----------------------------------------------------29 Összefüggések a szintellipszoid paraméterei között----------------------------------------------30 Normál függıleges gradiens és normál görbület--------------------------------------------------32 A tényleges nehézségi erıtér és a normál nehézségi erıtér eltérései -------------------------34 A potenciálzavar ---------------------------------------------------------------------------------------34 A földfelszíni függıvonal-elhajlás ------------------------------------------------------------------35 Normálmagasság és magassági rendellenesség ---------------------------------------------------36 Dinamikai magasság -------------------------------------------------------------------------------37 A kvázigeoid és a geoidunduláció-------------------------------------------------------------------38 A szárazföldön mért nehézségierı-értékek átszámítása a geoidra------------------------------39 A nehézségi erı rendellenességei -------------------------------------------------------------------42 A nehézségi erı rendellenességeinek predikciója-------------------------------------------------44 A Föld szerkezete. Hidrosztatikus egyensúly és a Föld lapultsága. ----------------------------47 Izosztázia és izosztatikus rendellenesség-----------------------------------------------------------53 A függıvonal-elhajlás ----------------------------------------------------------------------------------56

127

A függıvonal-elhajlások meghatározási módszerei ----------------------------------------------58 Topográfiai módszer -------------------------------------------------------------------------------58 Csillagászati-geodéziai módszer -----------------------------------------------------------------61 Geocentrikus függıvonal-elhajlás ---------------------------------------------------------------61 Gravimetriai módszer ------------------------------------------------------------------------------63 A függıvonal-elhajlások sőrítése-----------------------------------------------------------------65

A geoid meghatározása --------------------------------------------------------------------------------69 A geoid analitikus meghatározása-------------------------------------------------------------------69 A geoid pontonkénti meghatározása ----------------------------------------------------------------71 A csillagászati szintezés ---------------------------------------------------------------------------72 A geoid meghatározása fizikai módszerrel -----------------------------------------------------74 A geoid meghatározása szatellita-geodéziai módszerekkel ----------------------------------76 A szatellita-geodézia geometriai alkalmazása-----------------------------------------------77 Dinamikai szatellita-geodéziai módszerek---------------------------------------------------77 Őrgravimetria ------------------------------------------------------------------------------------79 Szatellita-altimetria------------------------------------------------------------------------------80 A nehézségi erı mérése---------------------------------------------------------------------------------82 Abszolút g-mérés fizikai ingával --------------------------------------------------------------------83 Abszolút g-mérés ballisztikus módszerekkel ------------------------------------------------------84 Relatív nehézségi gyorsulás mérés------------------------------------------------------------------85 Relatív ingák ----------------------------------------------------------------------------------------85 Graviméterek ----------------------------------------------------------------------------------------86 Az Eötvös-inga-----------------------------------------------------------------------------------------88 A térképezés alapfelületei -----------------------------------------------------------------------------89 A forgási ellipszoid------------------------------------------------------------------------------------89 A geodézia fıfeladatai az ellipszoidon ----------------------------------------------------------91 A gömb--------------------------------------------------------------------------------------------------92 A háromszögek gömbi oldalhosszainak számítása --------------------------------------------93 A vonatkoztatási ellipszoid meghatározása --------------------------------------------------------94 Fokmérés---------------------------------------------------------------------------------------------94 Felületek módszere ---------------------------------------------------------------------------------97 Ellipszoid-méretek meghatározása a szatellita-geodézia geometriai módszerével--------98 A vonatkoztatási ellipszoid elhelyezése és tájékozása ----------------------------------------99 Önkényes elhelyezés és tájékozás-------------------------------------------------------------99 Simuló (relatív) elhelyezés és tájékozás---------------------------------------------------- 100 A geocentrikus (abszolút) elhelyezés és tájékozás---------------------------------------- 100 Átszámítás vonatkoztatási ellipszoidok között -------------------------------------------------- 102 Az alapfelületek nemzetközisége -------------------------------------------------------------- 102 A mérési eredmények redukálása az ellipszoidra ----------------------------------------------- 103 A Föld felszínén mért ferde távolságok redukálása ----------------------------------------- 104 A Föld felszínén mért szögek redukálása ----------------------------------------------------- 106 A csillagászati adatok redukálása -------------------------------------------------------------- 107 Az I. rendő vízszintes alaphálózat számítása ---------------------------------------------------- 108 A feltételes mérések módszere szerinti kiegyenlítés feltételi egyenletei ----------------- 109 Magasságmérés ---------------------------------------------------------------------------------------- 111 Magassági mérıszámok ---------------------------------------------------------------------------- 111 Magassági alaphálózatok --------------------------------------------------------------------------- 114 128

Gravimetriai hálózatok ------------------------------------------------------------------------------ 116 Magyarország gravimetriai alaphálózata--------------------------------------------------------- 116 Magyarország felsırendő alaphálózatai --------------------------------------------------------- 119 EOVA – Egységes Országos Vízszintes Alaphálózat ------------------------------------------ 119 EOMA – Egységes Országos Magassági Alaphálózat ----------------------------------------- 121 Magassági mérıszám-eltérések Magyarországon ------------------------------------------- 123 Az Országos GPS hálózat -------------------------------------------------------------------------- 123 Irodalom ---------------------------------------------------------------------------------------------- 126 Tartalomjegyzék ------------------------------------------------------------------------------------- 127

129