Fázis visszaállítása intenzitásképekből avagy Referenciamentes digitális holográfia Témakörök: - lézerszemcsék - digitális holográfia - digitális holografikus interferometria - a fázisvisszaállítás koncepciója - iteratív módszerek (Gerchberg-Saxton) - direkt módszer (inverz Poisson)
A kutatás célja: interferometria fázis-visszaállított nyalábokkal centiméteres diffúz felületű tárgyaknál
Optikai Méréstechnika Csoport
Lézerszemcsék „Megy a koherens hullám, és összetalálkozik egy halom véletlennel” Mikor jön létre? Szemcseméret egy felülettől (objektív) vagy apertúrától (szubjektív) z távolságra L
L
r=λz/L
sugár
h=7,31λ(z/L)2 félhossz
D
r=1,22λz/D
Airy-sugár
h=8λ(z/D)2 félhossz
Átlagos méret = diffrakciós limit diffrakció limitált „zaj” ÉS információhordozó a felületről
Lézerszemcsék laterális metszetben Intenzitás eloszlás szingularitások: I=0 helyeken a fázis bizonytalan és m=+/-1 topologikus töltésű „fáziscsavarodása” van I≈0 bizonytalan intenzitásmérés zajos környezetben A sötét terület gyakoribb (hisztogram) Amplitúdó eloszlás
fáziseloszlás
Holografikus rácsozat (intenzitás)
Optikai elrendezés felvételhez: interferométer
Kamera felbontásához Igazítva paraméterekkel Δx >> λ többnyire paraxiális nyalábok
Digitális holográfia - rekonstrukció
Diffrakciós integrállal (Fresnel, konvolúciós) Elhajlási rendek 0 és +/- 1, konjugáltak Fókuszálható éles kép (vetített és valós) Van fázis is, bár nem látványos, de manipulálható (!)
Digitális holografikus interferometria Két tárgyállapot – két digitális hologram – rekonstruálva U1 és U2 komplex amplitúdó az éles kép helyén: U1+U2 ~ interferencia
|U1+U2|2 intenzitás csíkok – interferogram
arg(U1+U2) direkt fáziscsíkok (ritkán látni)
Digitális holografikus interferometria Amiért szeretjük: fázistolt interferogramok fázistoló eszköz nélkül
U1+U2
U1+iU2
U1-U2
U1-iU2
Szűrés után arctan(…) fáziskép, kihajtogatás
Sikeres méréshez jó csíkkontraszt kell, ez a mérce
diffrakció
valós digitális hologram komplex!
Átjáró a fázisvisszaállításhoz
+1 rendű nyaláb
diffrakció
Ha van korrekt (!) fázis, ugyanaz elvégezhető, mint DH-val
A fázisvisszaállítás koncepciója Kéne a fázis, de nem mérhető
Holográfia – kódolás
Hol jelenik még meg a fázis?
A terjedésben!
Gauss nyaláb példák: nyak vagy nem nyak? Transport of intensity equation (TIE): Időátlagolt Poynting vektor:
S
I – intenzitás Φ - fázis
I 2
Poynting tétel szabad térben:
U=I ½ *exp(i Φ)
divS=0
Terjedés irányú z-tengely, merőleges irányok T=x,y indexszel, pár elhanyagolható tag
2
I( x , y ) z
T
[I( x , y )
T
( x , y )]
A fázisvisszaállítás koncepciója A kutatás célja: interferometria fázisvisszaállított nyalábokkal centiméteres diffúz felületű tárgyaknál - szemcsés tárgynyaláb I≈0 helyek! - CCD kamera, paraxiális geometria szemcsehossz lépésköz - lépkedés terjedési irányban mettől meddig? - közelpont felbontás - felvételek száma sok adat, mérési idő, számolás ideje, pontosság/konvergencia
Megfelelő elrendezések: referencia nélkül DH vagy ESPI azaz távoltéri objektív szemcsekép vagy kicsinyített leképezés (F#>11)
Tipikus kísérleti/szimulációs paraméterek közelpont
komplex tárgy/kép
lépésköz Kamera tartomány
- 6.7 μm x 6.7 μm CCD pixel size - 512x512 pixels in simulations, 1024x1024 pixels in experiments - Idealized linear detection - Object size up to 40 mm x 40 mm - Object-to-camera distance in the range of 2 cm to 100 cm - step length 1 mm to 5 mm – visible change in the pattern - 10 to 30 recordings – avoid stagnation - best exposure at minimum distance
Lehet gyenge inkoherens háttér Jó minőségű mechanikus mozgató megfelelő Expozíciós paraméterekre figyelni kell, hisztogramot nézni kötelező
Iteratív megoldások Solution metod for phase retrieval: modulus projection (keep phase, replace intensity, diffract to next intensity recording) - dark pixels exluded, overexposed pixels excluded, relaxation parameter (≈0.85) -number of iteration steps > 200 Non-linear operation Hogyan mérjük a konvergenciát? Hibafüggvény, komplex korreláció Gyengén konvergens
Lokális minimumok Fourier képpárra lenne a legjobb Sokféle séma, nincs nyerő
Simulation results - 1
Reconstruction of a resolution chart: - Fresnel-zone objective speckles - object size: 20 mm x 20 mm - object to camera distance 1 meter - step distance 5 mm - no. of recordings 20 (range 100 mm, 10%)
- remaining plane wave component reduces with successive iterations - resolution is below 0.1 mm - good object amplitude contrast
Simulation results - 2 Interferogram of a displacement field - Fresnel-zone objective speckles -Two series of simulated camera pictures – before and after deformation - object size 20 mm x 20 mm - object to camera distance 1 meter - step distance 5 mm - no. of recordings 10
- remaining plane wave vanishes when difference is Difference of wave fields obtained – just like in DH - low fringe contrast V = 0.2-0.3 - direct phase map is useless ( arg(U1-U2) )
Sum of wave fields
Simulation results - 3 Interferogram of a displacement field – rigid body rotation - near-field objective speckles -Two series of simulated camera pictures – before and after deformation - object size 1 mm x 1 mm - object to camera distance range -20 to 60 mm (intersects the object!) - step distance 1 mm - no. of recordings 40 0 - 40 mm camera distance
Results: - high fringe contrast - experimentally impossible setup
fringe visibility
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2
Imaging setup may be advantageous?
0 0
200
400
no. of iterations
600
1/53.6 rad full speckles 1/53.6 rad λ/2 roughness 1/53.6 rad λ/3 roughness 1/160.8 rad λ/3 roughness 1/53.6 rad full speckles 1/53.6 rad λ/2 roughness 1/160.8 rad λ/3 roughness
Experimental results - 1 Reconstruction of a LEGO head - Fresnel-zone objective speckles - 10 recordings - 5 mm step distance - 36 cm – 41 cm obj – cam distance - 480 iterations
Comparison with simulation results: -still good object amplitude contrast, but…
Experimental results - 2 Reconstruction of a 40 mm x 40 mm sized object – rigid body rotation - Fresnel zone objective speckles - 20 recordings - 1 mm step distance - 70 - 72 cm object - camera distance Hardly visible fringes, V<0.2 Large object large distance needed, small relative camera motion range
Experimental results - 3 Reconstruction of a 40 mm x 40 sized object – central load - image-field subjective speckles (F# = 16) - 20 recordings - 1 mm step distance - +/- 10 mm distance from image plane More friendly speckle intensity statistics, good visibility, BUT weird fringes!! Investigation results: - not the wavefront distortion of the objective (difference of wavefields – same distortion) - not mechanical instability - weirdness depends on relaxation parameter
- 10 cm behind the image plane the effect disappears, but fringe visibility decreases as well Effect of the limiting aperture of the lens on phase retrieval?
Additional experimental results: image-field phase retrieval rigid body rotation
relaxation=1, full replacement of intensity 400 lépés
2000 lépés
relaxation=0.8, partial replacement 10 000 lépés
Szimulációk távoltérben merevtest forgással 530mm 20x20mm 0,3
0,25
láthatóság
0,2
0,15
0,1
0,05
0
2000 lépés után
0
500
1000
1500
2000
lépésszám
530mm 25x25mm/20x20mm 21dbx1mm relax=1 erdes=hh
2500
Szimulációk távoltérben merevtest forgással
0,6
0,5
0,4
relax 0.7
0,3
relax 1
0,2
0,1
2000 lépés után
0 0
500
1000
1500
2000
2500
661mm 25x25mm/20x20mm 21dbx1mm relax=0,7 erdes=hh Sokkal jobb kontraszt, de nagyon esetleges az eredmény, és itt még nincs zaj
Szimulációk leképezésben merevtest forgással Szimulációban is helytelen csíkok, habár minden ideális!!!
Iteráció konvergenciája 0,01 fok elfordulás 0,5 0,45 relax 1 0,4 relax 0,85
400 lépés után
Láthatóság
0,35 0,3
relax 0,85 rnd kezdofazis 0-π 4pix szuro relax 0,85 rnd kezdofazis 0-π 10pix szuro relax 0,85 kettosrnd kezdofazis 0-π 4pix szuro relax 0,83 közép
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
relax1 0-20mm 0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
lépésszám
+/-10mm 25x25mm/20x20mm 21db erdes=hh F16 2000 lépés után
2000 lépéssel…
Szimulációk leképezésben merevtest forgással
2x zero padding relax=0,85
relax=1 62,5x62,5mm 50x50mm 0,01 fok F16
féloldalas tárgy
asszimmetrikus 0-20 mm képtáv (végső lépés képsíkban)
Direkt módszer 2
I( x , y ) T
z I( x , y )
2
[I( x , y )
( x , y )]
segédfüggvény
(x, y)
I( x , y )
T
(x, y)
(x, y)
Poisson egyenlet ψ-re I-ből
z (x, y) I( x , y )
(x, y) I( x , y )
Poisson egyenlet Φ-re ψ-ből és I-ből Osztás I(x,y)-nal, ami néha nulla vagy kicsi
Alsó levágási szint kell pl. Imax/100
Direkt módszer 2
I( x , y ) z
T
[I( x , y )
T
( x , y )]
Megoldhatóság feltételei: - pontos I(x,y) elektronikus zaj, kvantálás (8 bit vagy 10 bit) - pontos z szerinti derivált, 2-5 képből polinomillesztés, 1000x1000 „fonal” mentén Van kész program, de csak nagyon egyszerű esetekben működik Pl. két Gauss nyaláb nagy nyakkal és messze v.ö. Sok kis szemcse jó közel
Numerikus intsabilitás? Egyéb algoritmus?
VÉGE?
