A probl´ ema eredete.
El˝ozm´enyek.
˝ ve ´szetbo ˝ l szu ¨ letett tudoma ´ ny, a Egy mu ´ projektıv geometria
A k´epz˝om˝uv´eszeti ´abr´azol´as alapprobl´em´aja. H´arom dimenzi´ os val´ os´ag, k´et dimenzi´ os t´abla, v´aszon, ...
avagy Hogyan lett a barackmagb´ ol atommag?” ”
A folyammenti kult´ur´ak k´epz˝om˝uv´eszete. Klukovits Lajos
Koncepcion´alis perspekt´ıva az egyiptomi falfestm´enyeken. Alakok szemb˝ ol ´es profilb´ ol val´ o egyidej˝ u ´abr´azol´asa (Mezopot´amia, Egyiptom).
TTIK Bolyai Int´ ezet
2015. november 17.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
1 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A probl´ ema eredete.
2015. november 17.
2 / 58
2015. november 17.
4 / 58
A probl´ ema eredete.
Egyiptomi halast´o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
Sumer mozaik.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
3 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
A probl´ ema eredete.
A probl´ ema eredete.
Kora k¨oz´epkor.
Andrej Rubljov egy ikonja.
A fest´eszet f˝o c´elja: a kereszt´eny (katolikus) doktrin´ak bemutat´asa, az egyh´az tan´ıt´asainak illusztr´al´asa, szolg´alata. Ez´ert nem volt c´el igazi h´ us-v´er” emberek ´abr´azol´asa, csak ” f¨old¨ont´ uli, ´eteri” l´enyek´e. ” Mozaikok, ortodox ikonok, a biz´anci st´ılus”. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
5 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A probl´ ema eredete.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
6 / 58
A probl´ ema eredete.
A renesz´ansz hozta v´altoz´asok:
A renesz´ansz hozta v´altoz´asok:
az eur´opai gondolkod´ok a term´eszet, az ˝ oket k¨ or¨ ulvev˝ o val´ o vil´ag fel´e fordultak, nem akartak azzal konfront´al´ odni, a k´epz˝om˝ uv´eszetben egyre ink´abb realisztikus ´abr´azol´asra t¨ orekedtek, er˝oteljesen n¨ovekedett az ig´eny az antik, els˝ odlegesen a g¨ or¨ og kult´ ura megismer´es´ere, a fest˝ok egyre ink´abb a val´ o vil´agot, a benne ´el˝ o emberekben rejl˝ o sz´eps´eget k´ıv´ant´ak ´abr´azolni. De hogyan tegy´ek ezt?
Tov´abbi ´ervek a matematika fel´e fordul´as mellett. Az el˝ obbiekb˝ ol az (is) k¨ ovetkezik, hogy a k´epeknek sz¨ uks´egk´epp matematikai tartalma is van. A kor nagy fest˝ oi, szobr´aszai ´ ep´ıt´ eszek, ´ep´ıt˝ ok is voltak, palot´akat, templomokat terveztek, ´ep´ıt´es¨ uket ir´any´ıtott´ak. Ezek mellett hadm´ ern¨ oki feladatokat is ell´attak: er˝ od´ıtm´enyeket terveztek, ´ep´ıtettek, ostromeszk¨ oz¨ oket konstru´altak.
Illusztr´aci´o 1.
´ A renesz´ansz fest˝ok a matematika fel´e fordultak, DE MIERT? A k´epeken megjelen´ıteni k´ıv´ant alakzatok: testek, fel¨ uletek, stb. ide´alis v´altozat´aval az euklideszi geometria foglalkozik. Az egyre ismertebb ´es n´epszer˝ ubb g¨ or¨ og filoz´ ofia szerint a vil´ ag megismer´ es´ enek kulcsa a matematika, hiszen az matematikai elvek szerint elrendezett. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
Leonardo egy palotaterve 7 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
8 / 58
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
Leonardo da Vinci a hadm´ern¨ok
Leonardo da Vinci
Illusztr´aci´o 2.
Ide´alis ember — ide´alis matematikai alakzatok.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
9 / 58
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
10 / 58
2015. november 17.
12 / 58
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci
N´eh´any k´ep a m˝ uv´esz sz´eles ´erdekl˝ od´esi k¨ or´enek bemutat´as´ara.
Illusztr´aci´o 3.
Magzat n´ezetek. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
Magzat, t´ep˝ oz´ar”. ” 2015. november 17.
11 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci
A n˝oi test anat´ omi´aja. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
no comment” ” 2015. november 17.
13 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
M˝ uv´ esz, m´ ern¨ ok, matematikus.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
14 / 58
A megoldand´ o probl´ ema.
Leonardo da Vinci
A fest˝ok el˝ott ´all´o probl´ema.
A kiindul´asi pont: a val´ o vil´ag 3 dimenzi´ os, de a v´aszon (a t´abla) csak k´et dimenzi´ os. ´Igy az az els˝ o k´erd´es, hogy ... I
I
hogyan ´erhet˝ o el az, hogy a k´epre n´ezve ugyanaz a benyom´asunk (l´atv´anyunk) legyen, mint a val´ os´agban? Ennek ´erdek´eben ... meg kell alkotni a perspekt´ıvikus ´abr´azol´as optikai alapjait, majd r´eszletesen kidolgozni az alkalmazand´ o elveket.
El˝ ozm´enyek, megold´asi k´ıs´erletek az ´ okori kult´ ur´akban. ´ a perspekt´ıvikus ´abr´azol´as” fel´e. Ut ” I I
Sugarak, visszaver˝ od´es?
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
15 / 58
A koncepcion´alis” perspekt´ıv´ak a folyammenti kult´ ur´akban. ” Az els˝ o optikai rendszer, az axi´ alis perspekt´ıva.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
16 / 58
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
Az els˝o k´ıs´erletek a renesz´ansz kezdet´en.
Az els˝o k´ıs´erletek a renesz´ansz kezdet´en.
Simone Martini: Angyali u¨dv¨ozlet (r´eszlet), a XIV.sz. eleje.
Duccio: a Madonna gyermek´evel, a XIII.sz. v´ege.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
17 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
18 / 58
2015. november 17.
20 / 58
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
Az els˝o k´ıs´erletek a renesz´ansz kezdet´en.
Az els˝o k´ıs´erletek a renesz´ansz kezdet´en. Axi´alis perspekt´ıva.
Megjegyz´esek a k´et k´ephez. 1
Martini k´epe. 1 2 3
2
A k´et alak m´ar nem lebeg az ´eterben”, van talaj alattuk. ” A ruh´akon red˝ oz¨ otts´eg” vehet˝o ´eszre. ” DE M´aria arca ugyanolyan, mint egy biz´anci/pravoszl´av ikon: teljesen ´erzelem mentes, pedig ...
Duccio k´epe. 1
2
Egy¨ utt l´athat´ o a kezdetleges optikai rendszer az ´okori teraszos ” perspekt´ıv´aval”. Az optikai rendszer nem teljes, az ¨osszetart´o egyenesek metsz´espontjai m´eg nem illeszkednek egyetlen egyenesre, azaz m´eg nem teljes a rendszer.
Duccio: Utols´ o vacsora. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
19 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
A kazett´as menyezet” pontosan illeszkedik a rendszerbe, de az asztal ” m´ar nem.
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
´ Ujabb elv: a centr´alis perspekt´ıva.
´ Ujabb elv: a centr´alis perspekt´ıva.
Az els˝o (nem teljesen sikeres) k´ıs´erletek.
Az els˝o (nem teljesen sikeres) k´ıs´erletek.
Giotto: Szent Ferenc hal´ala.
Duccio: Utols´ o vacsora (r´eszlet). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
21 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
22 / 58
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
´ Ujabb elv: a centr´alis perspekt´ıva.
T¨ok´eletesen kivitelezett centr´alis perspekt´ıv´ak.
Egy u´jabb — m´ar jobb — k´ıs´erlet, Uccello.
S´ark´any¨ ol˝ o Szent Gy¨ orgy Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
Raffaello: Atheni iskola. 2015. november 17.
23 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
24 / 58
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
A k´ etf´ ele perspekt´ıva.
T¨ok´eletesen kivitelezett centr´alis perspekt´ıv´ak.
T¨ok´eletesen kivitelezett centr´alis perspekt´ıv´ak.
Botticcelli: R´agalmaz´as a b´ır´ os´agon. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
D¨ urer: Szent Jeromos a dolgoz´ oszob´aj´aban. 2015. november 17.
25 / 58
A matematiz´ al´ as kezdete.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
26 / 58
2015. november 17.
28 / 58
A matematiz´ al´ as kezdete.
A fest´eszet-elm´elet kialakul´asa.
F. Brunelleschi tan´ıtv´anyai 1.
A megalap´ıt´o. Legh´ıresebbek: Donatello, Masaccio ´es Fra Filippo.
˝ Filippo Brunelleschi, aki ´ ep´ıt´eszk´ent is h´ıres volt (XV.sz.). O
Masaccio k´et k´epe.
tervezte pl. a Firenzei D´om kupol´aj´at. Egy illusztr´aci´oja (nem korabeli rajzon):
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
27 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
A matematiz´ al´ as kezdete.
A matematiz´ al´ as kezdete.
F. Brunelleschi tan´ıtv´anyai 2.
Az elm´elet kiteljesed´ese. Leone Battista Alberti 1435-¨ os della Pittura-ja az els˝ o f¨ onnmaradt fest´eszet-elm´eleti munka. Ebben a k¨ ovetkez˝ oket hangs´ ulyozta: a fest˝ onek ´ertenie kell a geometri´ahoz, meg kell tanulni a fest´eszet elm´elet´et, a perspekt´ıv´akat, azok k¨ oz¨ ul is a f´ okuszosat, majd el kell saj´at´ıtani annak gyakorlat´at.
Piero della Francesca Brunelleschi tal´an legsokoldal´ ubb tan´ıtv´anya. A sz´azad harmadik nagy elm´eleti mestere, aki, a De Prospettiva Pigendi c. k¨ onyv´eben jelent˝ osen tov´abbfejlesztette Alberti elm´elet´et. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
29 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A matematiz´ al´ as kezdete.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
30 / 58
A matematiz´ al´ as kezdete.
Piero della Francesca
Piero della Francesca a matematikus. a Trattato d’Abaco c. trakt´atus´anak k´et probl´em´aja:
Nemcsak a fest´eszet-elm´eleti munk´ass´aga jelent˝ os, hanem j´ o fest˝ o is volt.
K´et k´epe.
1. Egy ember k¨ olcs¨ on¨ oz egy m´asiknak 100 l´ır´at, ´es 3 ´ev m´ ulva 150 l´ır´at kap vissza u ´gy, hogy a kamatot ´evente a t˝ ok´ehez ´ırjuk. Mennyi a havi kamat?
Megold´as. A feladat megold´as´aban a havi kamatot denarii”-ban fejezt´ek ki, 1 ” Lira az 20 × 12 denarii. Ha a havi kamat 1 Lir´ara x denarii, akkor az ´eves kamat 12x denarii 1 Lir´ara, x ´ıgy az ´eves kamatl´ab 20 . Mindezek alapj´an az x havi kamatra a k¨ ovetkez˝ o egyenlet ´ırhat´ o f¨ ol.
x 3 100 1 + = 150, 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
31 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
32 / 58
A matematiz´ al´ as kezdete.
A matematiz´ al´ as kezdete.
Piero della Francesca a matematikus.
Piero della Francesca a matematikus.
A megold´as (folytat´as).
Francesca m´asodik probl´em´aja.
Ezt kifejtve ´es 80-nal szorozva
Teljesen hasonl´ o az el˝ obbihez. Ebben ugyancsak 100 Lir´at 4 h´ onapra adunk k¨ olcs¨ on, s a hat´arid˝ o lej´art´aval 160 Lir´at kapunk vissza. Ism´et az egy Lir´ara sz´am´ıtott havi kamat a k´erd´es.
x 3 + 60x 2 + 1200x = 4000. Ezen (teljes) harmadfok´ u egyenlet algebrai megold´asa megtal´alhat´ oa h´ıres pisai Dardi mester trakt´atus´aban is. Megjegyz´ es. A kifejt´est mell˝ ozve egyszer˝ ubb a megold´as, de ˝ o mink´et u ´ton megadta azt.
egyenletet kell megoldani.
x = 2, 8942848510666373561608442387935. Ellen˝orizhet˝o, hogy a megold´as korrekt, pl. 3 tizedessel sz´amolva a hiba kisebb 10−3 -n´al.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
A megold´ashoz — az el˝ obbinek megfelel˝ o gondolatmenet alapj´an — most az (x + 20)4 = 256000
33 / 58
Ezt is k´etf´elek´epp oldotta meg: egyszer˝ uen gy¨ ok¨ ot vonva, majd kifejt´es ut´an Dardi egy m´asik mint´aj´at” haszn´alva, amely egy ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A matematiz´ al´ as kezdete.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
34 / 58
A matematiz´ al´ as kezdete.
Piero della Francesca a matematikus.
Tov´abbi fest´eszet-elm´eleti munk´ak. Leonardo da Vinci T¨ obb trakt´atust is ´ırt, mindegyikben hangs´ ulyozta a matematikai ismeretek, a matematikai megalapozotts´ag fontoss´ag´at.
Francesca m´asodik probl´em´aja (folytat´as).
Egyik k¨ onyv´enek mottoja: Senki olyan ne olvassa m˝ uveimet, aki nem ” matematikus.”
x 4 + 80x 3 + 2400x 2 + 32000x = 96000 alak´ u negyedfok´ u egyenlet megold´as´at jelenti. Megjegyz´ es. Dardi trakt´atus´aban k¨ ozel 200 egyenlet-t´ıpusra adott meg algebrai megold´asi elj´ar´ast, konkr´et probl´em´akat tekintve. A harmad-´es a negyedfok´ u egyenletekre vezet˝ ok csak speci´alis esetekben korrektek, de p´eld´ai ilyenek.
M´asutt: A fest´eszet c´elja a term´eszet megjelen´ıt´ese, ´es a fest´eszet ” ´ert´eke pedig az ´abr´azol´as pontoss´ag´an nyugszik. M´eg a tiszt´an k´epzeleten alapul´ o alkot´asoknak is u ´gy kell megjelennie, mintha l´etezn´enek a term´eszetben. A fest´ eszet teh´at tudom´ any, s mint minden tudom´anynak a fest´ eszetnek is a matematik´ an kell alapulnia.” M´eg k´et szentenci´aja: A gyakorlatnak szil´ard elm´eleti alapokon kell ” nyugodnia. A perspekt´ıva a fest´eszet korm´anyr´ udja ´es vez´enyl˝ o p´alc´aja.”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
35 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
36 / 58
D¨ urer.
D¨ urer.
Tov´abbi fest´eszet-elm´eleti munk´ak.
D¨urer egy illusztr´al´o metszete.
Albrecht D¨urer Underweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd (1528): N´emileg tov´abb ment a matematikai precizit´as, az ezir´any´ u ismeretek hangs´ ulyoz´as´aban: a vet¨ uletek (a k´epek) f˝ o vonalainak k¨orz˝ovel-vonalz´oval val´o megszerkeszt´es´et javasolta. N´eh´any ´erdekes technikai megold´ast is javasolt.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
37 / 58
D¨ urer.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
38 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
D¨urer egy illusztr´al´o metszete.
Els˝o nem m˝uv´eszeti alkalmaz´as: t´erk´epszerkeszt´es. A probl´ema ´es lehets´eges megold´asai. A XVI. sz´azad m´asodik fel´et˝ ol meg´el´enk¨ ult a tengerhaj´ oz´as, min´el pontosabb t´erk´epek kellettek. A probl´ema hasonl´ o a fest˝ ok´ehez: a g¨ omb (f´elg¨ omb) fel¨ ulet´et kell s´ıkban ´abr´azolni. Az els˝ o komoly megold´asi k´ıs´erletek/eredm´enyek a n´emetalf¨ oldi kartogr´afusok ´erdeme. Mindenk´eppen van torz´ıt´as, de nem mindegy, hogy mi ´es mennyire torzul. A legf˝ obb k´erd´esek: ir´anytart´as ´es t´avols´agtart´as, valamint a korrekci´ os sz´am´ıt´asok bonyolults´aga.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
39 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
40 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Gnomikus vet¨ulet.
Gnomikus vet¨ulet.
´ os´ıkra vet´ıt¨unk. Erint˝ A jellemz˝ok. A hossz´ us´agi k¨ or¨ ok egyenesek. A f˝ ok¨ or¨ ok k´epe egyenes: a g¨ ombi geodetikusok k´epe s´ıkbeli geodetikus vonal lesz. Azaz a legr¨ ovidebb u ´tvonal k´epe egyenes vonal. Nagy h´atr´anya: a sarkok fel´e k¨ ozeledve monoton n˝ o a t´avols´ag- ´es sz¨ ogtorz´ıt´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
41 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
42 / 58
2015. november 17.
44 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Gnomikus vet¨ulet.
Sztereografikus vet¨ulet.
´ os´ıkra vet´ıt¨unk. Erint˝
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
F˝ok¨ort tartalmaz´o s´ıkra vet´ıt¨unk ( visszafel´e”) ”
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
43 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Sztereografikus vet¨ulet.
Sztereografikus vet¨ulet. A nyugati f´elteke.
A jellemz˝ok. A vet´ıt´es sz¨ogtart´o: ha k´et g¨ ombi vonal ´es k´epe a t´erk´epen ugyanakkora sz¨oget z´ar be. A legr¨ovidebb, a f˝ok¨or menti u ´tvonal nem egyenes a t´erk´epen. A torz´ıt´asok itt is er˝osen n˝ onek a sorkok fel´e haladva.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
45 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
46 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
Cilindrikus, vagy Mercator vet¨ulet.
Sztereografikus vet¨ulet.
´ ohengerre vet´ıt¨unk. Erint˝
A jellemz˝ok. Nincs a t´erk´epen olyan pont, amely a sarkoknak felelne meg. Mind a hossz´ us´agi, mind a sz´eless´egi k¨ or¨ ok egyenesk´ent jelennek meg. Nem t´avols´agtart´ o, de sz¨ ogtart´ o. Az ´alland´ o ir´anyt˝ u-´all´ashoz tartoz´ ou ´tvonalak k´epe egyenes vonal a t´erk´epen. A legr¨ ovidebb, a f˝ ok¨ ort k¨ ovet˝ ou ´tvonal k´epe nem egyenes. Ezen u ´gy seg´ıthettek a haj´ osok, hogy — kiss´e elt´erve ugyan az ´alland´ o ir´anyt˝ u-´all´ast´ ol — r¨ ovid, f˝ ok¨ ort k¨ ovet˝ ou ´tvonalakon haj´ oztak, ´ıgy u ´tvonaluk k¨ ozel egyenes lehetett, ´es optim´alis is maradt. Sajnos a sarkok fel´e k¨ ozeledve ezen a t´erk´epfajta torz´ıt´asa a leger˝ osebb.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
47 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
48 / 58
Meglep˝ o alkalmaz´ as: t´ erk´ epszerkeszt´ es.
A matematikai tartalom.
Sztereografikus vet¨ulet.
Hogyan lett mindebb˝ol egy matematikai elm´elet.
A nyugati f´elteke.
A probl´ema matematikai megfogalmaz´asa. Egy pontb´ ol (a szem) sugarak (egyenes vonalak) indulnak a t´argy ´s. pontjaihoz. Vet´ıte ¨ let, azaz a k´ A sug´arnyal´ab u ´tj´aba tett s´ıkon kialakul a vetu ep.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
49 / 58
A matematikai tartalom.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
50 / 58
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
Milyen k´erd´eseket tesz f¨ol egy matematikus itt? 1
Melyek a t´argy (az eredeti alakzat) ´es a vet¨ ulet(ek) — a nyert alakzat(ok) — k¨oz¨os tulajdons´agai?
2
Ha k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontb´ol k´esz´ıt¨ unk vet¨ uletet ugyanazon t´argyr´ ol, akkor melyek a k´et vet¨ ulet k¨ oz¨ os tulajdons´agai?
A probl´ema els˝o matematikai megk¨ozel´ıt´ese. Girard Desargues 1591-1661. Francia ´ep´ıt´esz ´es autodidakta matematikus, aki k´epz˝ om˝ uv´esz bar´atainak akart seg´ıteni. ˝ vetette f¨ O ol el˝ osz¨ or, hogy Euklid´esz geometri´aja nem a l´ athat´ o, hanem a tapinthat´ o vil´agot ´ırja le: p´arhuzamosok, s´ıkok, stb. Ez´ert lok´alis jelleg˝ u, nem t¨ or˝ odik azzal, hogy mi van nagy t´avols´agokra. Erre egy u ´j elm´elet kell, amely a vet´ıt´esekkel ´es a vet¨ uletekkel kapcsolatos k´erd´eseket vizsg´alja.
Els˝o matematikai t´etele. Ha k´et h´aromsz¨ og centr´alisan perspekt´ıv, akkor axi´alisan is. K´erd´es: mi van, ha a k´et h´aromsz¨ og s´ıkja p´arhuzamos? Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
51 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
52 / 58
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
Desargues t´etele.
Desargues
Elm´elet´et 1639-ben k¨ onyvben is meg´ırta, de annak egyetlen p´eld´anya sem ismert ma, munk´as´aga feled´esbe mer¨ ult. Szerencs´ere Pascal ´es la Hire megl´atogatv´an Desargues-t lem´asolt´ak k¨ onyv´et (´eppen minden p´enz¨ uket elj´atszott´ak). A XIX. sz. elej´en Monge megalkotta az ´abr´azol´ o geometri´at, majd Poncelet u ´jra f¨ olfedezi a Projekt´ıv Geometria alapjait, majd Chasles megtal´alja Desargues k¨ onyv´enek k´eziratos m´asolat´at.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
53 / 58
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
54 / 58
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
Blaise Pascal egy t´etele.
Blaise Pascal egy t´etele. Megjegyz´ es. Itt sz´ o sincs sem vet´ıt´esr˝ ol sem vet¨ uletr˝ ol. De ´atfogalmazhat´ o ilyen ´all´ıt´asra.
A t´etel ´atfogalmaz´asa. ´Irjunk egy ABCDEF hatsz¨ oget valamely k¨ orbe, ´es vet´ıts¨ uk a kapott alakzatot egy O pontb´ ol. ´Igy az A0 B 0 C 0 D 0 E 0 F 0 hatsz¨ oget kapjuk, amely egy k´ upszeletbe van ´ırva. Hosszabb´ıtsuk meg az eredeti hatsz¨ og szemk¨ ozti oldalait addig, m´ıg metszik egym´ast. Tudjuk, hogy ezek egy p egyenesre illeszkednek. Legyenek a metsz´espontok rendre P, Q, R. Ha most a vet¨ ulet hatsz¨ oggel tessz¨ uk meg ugyanezt, akkor a P 0 , Q 0 , R 0 metsz´espontokat kapjuk, amelyek szint´en egy egyenesre, q, illeszkednek. Ezen q egyenes ´es a P 0 , Q 0 , R 0 pontok a p egyenes ´es a P, Q, R pontok vet¨ ulete az O pontb´ ol. Megjegyz´ es. K¨ or helyett tetsz˝ oleges k´ upszeletre is igaz a t´etel.
Szavakban Ha egy h´ urhatsz¨og szemk¨ozti oldalait meghosszabb´ıtjuk m´ıg metszik egym´ast, akkor a kapott h´arom metsz´espont egy egyenesre illeszkedik.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
55 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
56 / 58
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
M˝ uv´ eszetb˝ ol sz¨ uletett: projekt´ıv geometria.
Blaise Pascal egy t´etele.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az el˝obbi du´alisa, Brianchon t´etele.
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
57 / 58
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Projekt´ıv geometria.
2015. november 17.
58 / 58
