Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
11. tétel Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával Függvény: Ha egy A halmaz minden eleméhez hozzárendelünk egy B halmaz egy-egy elemét, akkor egy A-ból B-be rendelı függvényt kapunk. Jele: f : A → B . A = D f : értelmezési tartomány, B : képhalmaz R f = { y ∈ B ∃x ∈ A : f ( x ) = y } ⊂ B : értékkészlet
f (a ) = b Jelei: a → f (a ) a-hoz a függvény b-t rendeli, a képe b vagy b ısképe a a → b Definíció: f függvény injektív, ha különbözı elemekhez különbözıt rendel f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 f függvény szürjektív, ha minden képhalmazbeli elemnek van ısképe (azaz B=Rf)
f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Bijektív függvény invertálható (azaz a hozzárendelési szabálya megfordítható) és ha f : D f → R f és f (a ) = b , akkor f −1 : R f → D f és f −1 (b) = a Függvény vizsgálatának szempontjai: Paritás: és f ( − x ) = f ( x ) ∀x ∈ D f -re. f(x) függvény páros, ha x ∈ D f ⇔ − x ∈ D f f(x) függvény páratlan, ha x ∈ D f ⇔ − x ∈ D f és f (− x ) = −f ( x ) ∀x ∈ D f -re Periodikusság: f(x) függvény periodikus, ha ∃p > 0 : x ∈ D f ⇔ x + p ∈ D f és f ( x ) = f ( x + p) ∀x ∈ D f . Ha létezik legkisebb ilyen tulajdonságú p, akkor azt nevezzük a függvény periódusának. Monotonitás: f(x) monoton növı I-n, ha x 1 , x 2 ∈ I ⊂ D f és x 1 < x 2 , akkor f(x1) ≤ f(x2). f(x) szigorúan monoton növı I-n, ha x 1 , x 2 ∈ I ⊂ D f és x 1 < x 2 , akkor f(x1) < f(x2). f(x) monoton csökkenı I-n, ha x 1 , x 2 ∈ I ⊂ D f és x 1 < x 2 , akkor f(x1) ≥ f(x2). f(x) szigorúan monoton csökkenı I-n, ha x 1 , x 2 ∈ I ⊂ D f és x 1 < x 2 , akkor f(x1) > f(x2). Zérushely: f(x) függvény zérushelye x 0 ∈ D f , ha f (x 0 ) = 0 . (Ahol a függvény grafikonja metszi az x tengelyt.)
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Szélsıérték: f(x)-nek a-ban szigorú lokális maximuma van, ha f(x) értelmes a egy környezetében és a egy környezetében a-ban a legnagyobb a függvény. ∃δ1 > 0 (a − δ1 , a + δ1 ) ⊂ D(f ) és ∃δ > 0 ∀x ∈(a − δ , a + δ) \ { a} esetén f(x)
f(x)-nek a-ban abszolút vagy globális szigorú maximuma van, ha f(x) értelmezve van a-ban, és a függvény legnagyobb felvett értéke f(a). a ∈ Df és ∀x ∈ D f \ { a} esetén f ( x ) < f (a ) Hasonlóképpen definiálhatjuk a szigorú globális minimumot (illetve a nem szigorúkat). Korlátosság: Az f függvény felülrıl korlátos, ha ∃K ∈ R , hogy f ( x ) ≤ K ∀x ∈ D f -re ekkor K a függvény egy felsı korlátja Az f függvény alulról korlátos, ha ∃L ∈ R , hogy f ( x ) ≥ L ∀x ∈ D f -re ekkor L a függvény egy alsó korlátja Az f függvény korlátos, ha alulról és felülrıl is korlátos. ∃K ∈ R f ( x ) < K ∀x ∈ D f -re Konvexitás: Egy f függvény konvex az I ⊂ D f intervallumon, ha minden [x 1 ; x 2 ] ⊂ I intervallumon a függvény grafikonja (x 1 ; f ( x 1 ) ) és (x 2 ; f ( x 2 ) ) pontokat összekötı húr alatt halad. Egy f függvény konkáv az I ⊂ D f intervallumon, ha minden [x 1 ; x 2 ] ⊂ I intervallumon a függvény grafikonja (x 1 ; f ( x 1 ) ) és (x 2 ; f ( x 2 ) ) pontokat összekötı húr felett halad. Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi függvények:
Elsıfokú azaz lineáris függvény f ( x ) = m ⋅ x + b
m; b ∈ R
Másodfokú függvény f ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = a ⋅ (x − u ) + v 2
Abszolútértékes függvény f ( x ) = a ⋅ x − u + v a; u; v ∈ R a ≠ 0 Hatványfüggvény f ( x ) = x n
Gyökfüggvény
n∈Z n∈Z
f (x ) = n x
Elsıfokú törtfüggvény f ( x ) =
ax + b cx + d
a; b; c; d ∈ R c ≠ 0
Exponenciális függvény f ( x ) = a x
a > 0 a ≠1
Logaritmusfüggvény f ( x ) = log a x
a > 0 a ≠1
Trigonometrikus függvények
sinx, cosx, tgx, ctgx
a; b; c; u; v ∈ R a ≠ 0
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Függvénytranszformációk:
Függvény transzformációkkal egy-egy függvénytípus valamely függvényébıl a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával újabb függvényeket állíthatunk elı. f (x ) + c f(x+c) - f(x) f(-x) c ⋅ f (x ) f (c ⋅ x )
a függvény grafikonja eltolódik a (0; c ) vektorral a függvény grafikonja eltolódik a (− c;0 ) vektorral a függvény grafikonja az x tengelyre tükrözıdik a függvény grafikonja az y tengelyre tükrözıdik a függvény grafikonja a λ = c arányú x tengelyő merıleges affinitású képe lesz a függvény grafikonja a λ = 1 / c arányú y tengelyő merıleges affinitású képe lesz
Függvényvizsgálat
Az elemi függvények tulajdonságait felhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként elıállíthatók. Definíció: Az f(x) függvény differenciálható a-ban, ha értelmes a egy környezetében, és f ( x ) − f (a ) határérték létezik és véges. lim x →a x−a f ( x ) − f (a ) Ekkor f(x) deriváltja a-ban: f ′(a ) = lim . x →a x−a
A f ′(a ) értéke megadja, hogy az f(x) hez a-ban húzott érintı meredeksége mekkora. Így az érintı egyenlete: y = f ′(a ) ⋅ ( x − a ) + f (a ) = f ′(a ) ⋅ x + f (a ) − f ′(a ) ⋅ a Ha egy függvény differenciálható a-ban, akkor a-ban folytonos is. f ′( x ) ≥ 0 egy I intervallum minden pontjára ⇔ f(x) monoton nı I felett f ′( x ) ≤ 0 egy I intervallum minden pontjára ⇔ f(x) monoton csökken I felett f ′( x ) > 0 egy I intervallum minden pontjára ⇒ f(x) szig. monoton nı I felett f ′( x ) < 0 egy I intervallum minden pontjára ⇒ f(x) szig. monoton csökken I felett f(x)-nek szélsıértéke van a-ban ⇒ f ′(a ) = 0 . Ez a szélsıértéknek csak szükséges feltétele, de nem elégséges, pl. f ( x ) = x 3 . f ′(a ) = 0 , és f ′′(a ) ≠ 0 ⇒ f(x)-nek szélsıértéke van a-ban. (elégséges feltétel) és ha f ′′(a ) > 0 , akkor a-ban a függvénynek szig. lok. minimuma van ha f ′′(a ) < 0 , akkor a-ban a függvénynek szig. lok. maximuma van vagy a monotonitásból is eldönthetı, hogy szélsıértéke van-e a függvénynek: ha f ′(a ) = 0 és elıtte egy környezetben a derivált negatív/pozitív és utána pozitív/negatív, akkor a függvénynek szigorú lokális minimuma/maximuma van.
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Konvexitás: f ′′( x ) ≥ 0 egy intervallum minden pontjára ⇔ f(x) konvex az intervallum felett f ′′( x ) ≤ 0 egy intervallum minden pontjára ⇔ f(x) konkáv az intervallum felett
ha f ′(a ) = 0 , és f ′′(a ) = 0 illetve f ′′′(a ) ≠ 0 , akkor a függvénynek a-ban inflexiós pontja van.
Elemi függvények deriváltjai: ' ' 2. (a x ) = a x ⋅ ln a 1. ( x c ) = c ⋅ x c−1
4. (sin x )' = cos x
5. (cos x )' = − sin x
3. (log a x )' =
1 1 ⋅ ln a x
' 1 sin x 6. ( tgx )' = , = 2 cos x cos x
' 1 cos x =− 2 sin x sin x
7. (ctgx )' =
Mőveleti szabályok: f, g differenciálható függvényekre
′ 1. (c ⋅ f ) = c ⋅ f ′ ′ 2. (f ± g ) = f ′ ± g′ ′ 3. (f ⋅ g ) = f ′⋅ g − f ⋅ g′ ′ f f ′⋅ g − f ⋅ g′ 4. = g2 g ′ 5. (f o g ) = (f ′ o g ) ⋅ g′
konstans kiemelhetı függvények összege tagonként deriválható függvények szorzata már nem deriválható tényezınként
hányados-függvény deriváltja, pláne nem összetett függvények deriválása, láncszabály másképpen: [ f (g ( x ) ) ] ′= f ′(g( x ) ) ⋅ g′( x )
A függvényvizsgálat lépései:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Értelmezési tartomány megállapítása (lehetıleg intervallumosan) Zérushelyek, y-tengely metszet, paritás megállapítása A függvény határértékei az értelmezési tartomány „szélein” A függvény elsı deriváltjából a monotonitás megállapítása A szélsıértékek leolvasása a monotonitásból A függvény második deriváltjából a konvexitás megállapítása Az inflexiós pontok leolvasása a konvexitásból A függvény vázlatos rajza alapján értékkészletének megállapítása
Magyar Eszter
Tétel: Az f ( x ) = x n
Emelt szintő érettségi tételek
n ∈ N + függvény deriváltja az a ∈ R helyen f ′(a ) = n ⋅ a n−1 .
Bizonyítás: definíció alapján 0 n n x −a ( x − a )( x n −1 + x n −2a + x n −3a 2 + ... + a n−1 ) f ′(a ) = lim = = lim x →a x − a x →a x−a 0
= lim ( x n−1 + x n−2a + x n−3a 2 + ... + x n −k a k −1 + ... + a n−1 ) = n ⋅ a n −1 x →a
an
an
an
an
an
Tétel: Az f ( x ) = sin x függvény deriváltja az a ∈ R helyen f ′(a ) = cos a . Bizonyítás: definíció alapján 0
sin x − sin a f ′(a ) = lim x →a x−a 0
x+a x −a 2 ⋅ cos ⋅ sin 2 2 = lim = x →a x −a x−a sin x+a 2 = lim cos = cos a ⋅ x →a x −a 2 2 sin y =1 cos a 1 mivel lim y→0 y
Alkalmazás: – szélsıérték-feladatok megoldása – függvényvizsgálat (fizikában grafikonvizsgálat) – érintı meghatározása – fizikai mennyiségek közti törvények (sebesség – út, gyorsulás – sebesség) – közgazdaságtan (rugalmasság)
