DIFFERENCIÁLEGYENLETRENDSZEREK ÉS A SAJÁTÉRTÉKEK ELEKTRONIKUS DIGITÁLIS MATEMATIKAI FELHASZNÁLÁSÁVAL*
KISZÁMÍTÁSA GÉP
SAJÁTÉRTÉKPROBLÉMÁI
Kivonat
OBÁDOVICS okl. a
Műszaki
Nehézipari
Egyetem
Szabó
docens; Gyula, tszv. egyetemi a. János, tszv. egyetemi docens,
Vizsgabizottság
A
Karához
benyújtott
fiz.
tud.
Dr, Dr.
értekezés értekezés
Az Az
elfogadott
kandidátusa.
tagjai:
-
dékán, Géza, tszv. egyetemi tanár, docens; Gáspár egyetemi Gyula, tszv. Szabó docens, a fiz. János, tszv. egyetemi
elnök;
Petrich
Dr.
és
értekezéséből bírálói:
értekezés
Az
Gáspár
tanárnak
Gépészmérnöki
doktori
Dr. Dr.
GYULA"
J.
középiskolai
beadásának
elfogadásának
I.
időpontja: időpontja:
tud.
kandidátusa.
február 1962. április
1962.
8.
10.
fejezet 1.§.
Ebben
a 2m-ed dolgozatban vonatkozó gált sajáténtékpvroblémáira uPulSú díffenenciálegyenletrendszerekre.
A U
a
probléma
MTA
az
Ényfstíőtdött fel.
Meg
rendű
Önadjundiwfferenciálegyenletek ([1], [2], [3]) ugyanilyen általánosítjuk. Központ egyik megbízása alapa forgó turbínalapátolc rezgését
tételeket
Számítástechnikai kellett uí. határozni
ro
*Kivonatosan **
w
Dr.
Obádovics
megjelent J.
Gyula
az oroszul, a Nehézipari
NME
ídegennyelvű
Műszaki
Egyetem
KözL,
25
Matematikai
(1965)
167-182.
Tanszékén
oldalain. docens.
195
'
r-2 a b
2
*
v
2V
')_ 1911, '
az:
"
2553
w
94 aZ?
"f?
Ha, J 992744211] A
m
A 09-21;
_
e
'
aZ
az
,
i:
'
at? Z
"d", az?
e)Z'-
s
zeAgad-L J Agmezdzrlá] +-I5I_x._,,&:9)e-+8HFU M?
aZ
aZ
.
m"!
R
parciális
differenciálegyenletrendszer
az időamelyek megoldásait, pe-remfeltételekett elégítenek
azon
nek lmrnton-ilcus és meghatározott függvényei ki. Ennek megfelelően differenciálegyenletrendszer U
alakú
megoldásait
:
V
Ezek
behelyettesítése
kerestük.
nyekre
u(Z)eÍ""
mZpeÍM,
W
után
és
u
az
függvé-
v
A
Z
EIA.,_,,U")" [(FU 4l§Í4Uz1"--7--
|A g!22ZdZ)z1']'n
e
119.031:
::
Ágai-MI,
i:
?
(EÍAl/"e? EÍA_,/Il")"
[(FU
l A993ZdZ)v']'
e
AgaFu
i:
differenciál-egyenletrendszer lett elégítenie -az u(R) u"(R+L)
=
adódott.
és
u-nak
Az
em-ell-ett
v-nek
ki
kel-
'
2
u'(R)
U"(R+Lp
u(R)
:_
MR)
4:
umtRá-L)
=
=
e
0,
u'"tR+L;
z
0
m-értékek is. Ne-mtriviális csak bizonyos megoldás ezért adódik. Ezek volt a fő feladat. megállapítása dolki lehet Használható numerikus módszereket könnyen aránylag azonban az gozni az (rí-értékek időszükségletet meghatározására, lényegtef Az. eddigi sen ha megfelelő becslés adható a lecsökkenti, sajátérték-ekre. módszerek csak akkor lehetne adni, ha egyetlen alapján ilyen becslést Ez viszont redukálnánk a nyolcadrendű problémát. differetnciálegyenletre
níellékfeltételeloet mellett
formailag
olyan
bonyolult
lenne,
hogy gyakorlatilag
használható
becslést"?
Ráadásul a szereplő függvények magasabb deriváltja! is fellépnének, ismeramelyek csak empirikusan bizonyos pontokban differenmódszereket célszerűbbnek látszott az ismert becslési tek, ezért is kiterjeszteni. az alábbiakbanEzt ismertetjük cíálegyenletrendszere-kre Itt a vizsgálandó formában általánosabb dviféfenenoiáluegyenletrenwdszert
számíthatnánk.
nem
-
-
a
szokásos
mátrixírásmód
felhasználásával
Mly] 196
:
az
i
Nly]
(1)
tekintjük,
alakban
ahol
ill.
M[y],
az
operátor
N[y]
mátrixok
részletes
alakja:
Mlyl
2
=
(a 1)"[F..tx)y"4x)í*9
(2)
(-1)"[G,(r)
(s)
1r=0
N[y]
2
=
ahol
)
m
n
2
O.
peremfeltétel-rendszert
A
ugyancsak 0
uulyl; rövidített
y('.)(xl,l(l')
0
1':
írjuk,
alakban
használva
(Mzlsln-Jm) részletesen
mely
mátrixírásmódot
(4)
kifejtve:
2m-1
UgLV]
2
(AW y(")(a)+ Bm y(")(b)]
(p
,
z
1, 2,
.
.
.
,
2m)
(5)
1'=0
F..(x) és G,,(ac)valós r-ször függvényrnátrix folytonosan differencíálható römátrix); y(x) ismeretlen (a továbbiakban oszlopvektor (továbbiakban: csak A (4) peviden adott valós konstans mátrixok. vektor), Aw, BM, remfeltétel-rendxszer függetegyetnleteitől megköveteljük, hogy lineárisan lenek legyenek egymástól. 1. Definíció: ha bármely Az (1), (4) sajátértékprobléma Önadjungált, két u differenciálhtató és a (4) peu(:c) és V v(ac) 2m-szer folytonosan ún. vektorokkal az remfeltétel-rendszert "komparatív" kielégítő
Az
-
=
=
b
(u, vm
u*M[v]dx,
=
(5)
b
(u, v)N módon
definiált
Íu* N[v]da:
=
[1] belsőszorzatokra
és
az
(u! V)IW
(v! u)JI
(u, V)N
(v, ll)N
=
s
egyenlőség
fennáll. A továbbiakban ÜV definit mátrixok. A (7) feltétel _
megállapítható.
feltesszük,
hogy
teljesülése ui. Képezzük
parciális
(u, v)M
.p(x)
és
G,,(.7c) szimmetrikus
integrálással
általában
és
pozi-
könnyen
az b
=
F
J
m
u*
2
(ev)vrF,(x)vfvr'vdx
1':0
197
kifejezést len tagjára:
és
r-szörös
alkalmazzunk
parciális
integrálást
a
szumma
egyet-
b
u*
l)"
(-
VWI")dm
[E
(e l)"
2
l
--g [u*[F,,(;r) V(")](7'-1)]2
h
I| u*
+(-1)7'*1
[mm v(")](7'*1)dx
uw [FvV(;-)](7, ,g)+ (__1)u [u*[Frv(1')](7,'_l)
:
ami:
___
ez
j; [Frvdv)](ar-3)___,
_
_
+
I)
u*(") F (x) v") dm
"l"
(3)
,.
_
(l
(v, u)" kifejezés megfelelő az utolsó kapunk; tag
A
kot
integrálásával
tagjának
hasonló
(8)-hoz
ala-
h
l V*(")I*',.(x)u(")dx
(is)
a
alakú.
(8) utolsó
tagjának
mátrixszorzat.
tényezős
feltettük
uaw) Fám) vm és
és
íntegranidusa Mivel
(*) integrandusa egy hogy szimmetrikus,
a
F, (x)-ről,
ezért
ma) na),
vw)
É
három-
így b
b
l.
u*(") F N") dac
v*(") F u") dr,
:
,
(l
(l
tehát b '
íusc[Fra-olov)
H)"
.
dx lpvuovlov;
vse
Z
(l .,.
,__
1
(z1)av+
2
c!
920
E az
differenciál-kifejezés ún. Dirichlet-féle
[Fám íuwe)
(u, V)M-
(v, lm,
_v
4,20
_v*(9) Ha rixra
198
a
hatéírfveltételek ez
az
Összeg
r-szerinti tagjának [1] megfelelő
minden átalakításnak m
yJkW-Ü [E
voolmu-1-c)
7'
2
9=0
(m)uooln.
m1
-
wHz(8a)
összegezésével
kapjuk
formát:
1
(
_1)7'4'§aíu*(í')[F"(x)V(l')J(1'P1ww
[Fám uouyu, _
az olyanok, hogy mind akkor a eltűnik, probléma
1
e
eiHb
(8b)
_
LI
M, mind
az.
Önadjungált.
N
operátor
mái?
§.
2.
Tétel:
1. és
2.,;
yk.
Az
különböző általános
két
Ezek
Önadjungált zsajátértékfeladatnak (1), (4) alakú saját-értéke; a megfelelő sajátvrektorokat értelemben ortogonális-ak [1], azaz
(yiv yk)N (7)-re való is):
Bizonyítás:
paratív
Vektorok
(Yts YIJM
=
(a sajátvektorok
tekintettel
s
M[y,*] (10) alapján
tehát
Óö
7-iNlyil
=
melyből
kapjuk,
(7)
(10)
(yn YIJN 0 feltétel
esetén
0
=
0
:
valóban:
ezért
2.,-i/lk,
Mivel
2./, i
kom-
miatt
"
A
természetesen
ÍANÍYÜ:
'**
2i(yk! yi)N
W
(74.- 7-i)(Yia yk)N következik.
(9)
a
Áh (Yi- Y/JN összefüggést
Mlykl
2.; és
Áh-
0
(Yks Yilu
(Yi Y/JJI" de
7%+
0,
=
legyen jelölje y)
Üa
:
7-i +
7-1:
(11)
íleM[y;,n] helyettesíthető
N[y/,.] helyett
és
így
n
(11) alapján
(yi Az
reláció
egyenlet 24,. következménye.
=
yklu
,
0 esetre
Ü,
:
ha
7-i,=/= 7-1;
igaz, de
is
érvényessége
akkor
A valós együtthatójú Önadjungált minden valós, ha (u, u) y sajátértéke mazán defínít függvény [1]. s+it Bizonyítás. Legyen 2 egy komplex az N[y] É 0 feltételre (_8,t valós, ti O), Ekkor =
Mivel
tartozik
(1)
és
komplex (4) együttható egy
komplex saját érték a (1), (4)-nek. Így a (7)
sajátvektor:
mátrixai hozzá tartozó y feltétel értelmében
(Y
y(x) valósak, =
u
=
E
0
a
sajátértéke való
az
tekintettel
(1), (4)-nek, ehhez
a
(u és v valós). u(ac)+iv(x). l): s it konjugált a ezért is megoldása sajátvektorral v
iv
-
§)M (§= y)AI f
v
M[y;;]
sajátérték(1), (4) alakú halvektorok komparatív
Tétel:
feladatnak
A-hoz
a
§.
3. 2.
(12)
-
:
Ü;
emellett
Mm
=
zNtyl
Mly]
ANM, 199
tehát
érvényes,
77-765 3'!)N'1(Íys y)N (7)
(ÍÍ 1)(ysy)2v (y, y)y vagyis csak valós Az (y, y)y=l=o feltétel =l= O, akkor
Ha
gyen,
i. Ísajátérték
alapján
tehetjük
;')N
(y,
y-nal
az
ezért
Vektor,
azaz
feltételeink
Alakítsuk
át
(u, u)u
az
véve,
hogy
m
t
0 1e_
=
iN[v]
-
(11, II)N+Í[(V,
rész
u)N-
V)N és
(14)
a
képzetes
v
(7) alapján
rész
zérussal
is
egyenlő,
kompavagyis
(u, u)N+ (v, m, lehet
nem
és
=
u
(y,
as)
ín
=
O.
§. alakú
(u, u);
itt
b
(_1)v
hogy
Így ugyanis =
4.
ján, figyelembe
szükséges,
miatt
(u, v)Nl +(v,
valóban
szerint
(13,
fel.
N[u]
2-
együtt az u valós (14) képzetes része
(y,
0-
e
az
uwív)N
adódik. Mivel
léphet
kézzelfoghatóvá.
-
ratív
2 it
-
ív]
e
(ll-FÍV,
=
=
tartalmát
N[u reláció
0-
+=
viszont
szerint
kifejezéseket
a
7'
-
j u=s=[lruu(xujrv-)dr
és
(8a) alap-
1
(_1)r+eu*(e)[pvuoolra'
:
24
(8)
v.
AewK+
9=0 b
j u*(1')Fvu(")dx
+
_
(l
v-szerint lánosított
összegezve ún.
megkapjuk
Dirichlet-féle
a
formulát
differenciálegyenletrendszerekre
álta-
[l]
hm
(u
,
_.2
ll)_i1
ahol m
Mohi]
í
1':0
Az
200
M0[u] kifejezést
vw
HM") Én")
dm +
Á/Íohl]
TZO
"
V
2
1
(___1)-p+9u*(9)[Fruovjoyz
ezo
Dirichlet-féle
peremrésznek
nevezzük.
1
a
1 4012 í
(15)
kapható
Ugyanígy
az I)
(u
u)N
,
u
Z
e
ahol
51131; is,
az
N.,[u]
u*(")G,.u(")dx +N0[u]
(16a)
1r=-O
41
Dirichlet-féle
peremrész
alakú,
ugyanolyan
mint
Mulul5.
§.
ndefinit", Egy (l), (4) sajátértéklproblémra íll. előjelű; "pozitív definit", megegyező sajátértéke A probléma minden íll. ha pozitív, negatív. sajátérték finit", de egyébként minden is sajátérték, sajátérték nit", ha a zérus
Definíció:
2.
és
valós
előjelű. fogalmat [l]. Bevezetjük még a nteljesdefinit" 3. Definíció: sajátlértékprobléma Egy (1) alakú vektorra den u komparatív és
0
(u. u)A1 (
minden
ha
ha
teljesdefinit,
(u, u).x' q
i.
,,negatív de,,szemidefimegegyező
0
mín-
(17)
érvényes. Tétel:
3.
Minden
clefínít
teljes
(1), (4) sajátértékprobléma
finít
[l]. Bizonyítás. Legyen értéke, y,r, Sajátvektorral,
uí.
x-szermt
az
érvényes [a, b]
24,- saját-
ÁkynNIynJ
i
Integráljuk
[a, b] intervallumon.
az
problémának
de-
az
ykMlyzgl
azonoaság
teljesdefínílt
valamely
akkor
pozitív
és
intervallumban Ak.
oldjuk
meg
mindkét
oldalt
zlk-ra:
(yh, ykht (Yh yzJN *****
e
**N--
a
Mivel
telj-esdefínít
a
problémáknál
bármely (u
s
komparatív
__
u)3
as)
[l], [3],, ,,Rayleigh-féle hányadoskértéke Éjgnytados helyére síajátvekborokat komparatív Í vektorok R[ 11; míatrt sajátértékek pozitívak. (lg/d (15) (16a) felhasználásával ún.
ís
*
a
"at
a
es
képzett
l
leintett? _
vektorral
mindig pozitív, az helyettesítve,
az
h_
m
2
Rlu]
2
5430
uWEuvvdx
+
%_-__m
u*(") Gpuí") dal: + a
M0[u] _-_
(19)
N0[u]
1/20
201
az alakból a Ebből hozhatjuk. sájátértékprobléma definitségtéhe feltételt feltételezve elégséges nyerhetünk, pl., hogy a számlálóban egy s levő nevezőben a mennyiségek egyenként pozitívak. 4. Definíció: Önadjungált Egy (1),. (4) alakú sajátértékprobléma Kdeíi ha az IFT, Gy mátrixok és az M0[u], N0[u] nit, ill. K-szernidefínit, Dmchlet: ill. szemidefinit féle peremrészewk pozitív alakok, Ekkor definit, igaz a ki;
alakra
é:
vetkező
kritérium: elégséges j átértékproblémák
A
K-defínit-sajátértékproblémálk
II.
további
de-finit
sa-
l
fejezet 1.
A
egyúttal
[l].
tételek
bizonyításához
§.
szükségünk
van
a
Green-féle
függ-
betöltő ún. Green-féle szerepét függvénymátrix megalkotására. lineáris A közönséges n-ed rendű inhomogén (félig homogén) peremmódon értékfeladat ismert definiált m-egoldására ([1], [2], [3'|) GTeen-féle az most hasonlóan, függvényhez
vény
Lly] r(r) (y:1,2,...,n) U_u[y]:0, R(ac) L[Y] 1, 2, .n) (y U_,L[Y] 0 =
111.
(1) (2) (3) (4)
2
z
:_-
ill. mátrix számára peremértékfeladat megoldása Green-féle konstruálni. függvénymátrixot Az L é-s Uy operátor mátrixok részletes alakja (1)-re (4) azonos alakú, csak y helyett Y áll]:
vektor,
Lm
n
U."(y)
és
(2)-re
f
É
egy
[(3)
és
(5)
Pv(m)ywcr)
z
e
szeretnénk
1
iAweyüwa)wwytvtbii,
(u
1,14...)
n)
(6)
1':0
és P,l(x) De [a,b]-ben P,.(ac) függvénymátrixok folytonosak legyenek ozszlopvektor, íll. R(ac) függ" legyen elfajuló [a, b]-ban. Az r(.7c) pertiurbáló az AuLLés B,.,u adott vénymátrix legyen folytonos, de egyébként tetszőleges; meg" valós állandó mátrixok. Az (1), (2), ill. a (3), (4) peremértékfeladat A
oldását b
y(=v)
'(;(x,
= _
amoda,
(7)
s) R(E) dE
(83
a
b i
111.
Y(x)
(m,
:
(I
202
keressük. ameGTeen-féle G(JC, i')-t ne vezzük függvénymátrixnak, definiálunk: következőképpen 1. Legyen 1, Definíció: Gx'(x, É) az a É x É E í b és a É S í x í b háac-nek és E-nek folytonos függvénye, mindegyikében romszög tartományok ac-szettúnt deriválható és ezek mindkét a parciálisan tartományban valamint
alakban
1yet
a
13116, É),
n
(v
1, 2,
r:
.
..
,
n)
(9)
31'
tartományban
mindkét
deriváltak
és
x-nek
E-nek
függvényei
folytonos
legyenek.
az GM (x, E), (v 11-2) deriváltak [a, b]-ben rögzített O, 1, 22, x deriaz E helyen legyenek folytonosak, de az (n -1)-edik 5 mellett E helyen váltnak G"'l(x, §)-nek az x ugrása, legyen P;,"1(§) nagyságú
2. A
=
.
.
.
,
=
-'
azaz
liI11[G*"*")(5+
8
E)
,
a-
G("*"1l(E-e
5)]
s,
e:
P,",
x
(10)
5-+0
A G(x, 5), adott vektor. (i O) konstans Legyen a egy tetszőlegesen 4 a 4 b az minden intervallumban S 5 mellett, rögzített függvénye 0 homogén differenmi E esetén megfelelő L[y] elégítse ki a (3)-nak ill. 0 G(:aC, E) a elégítse ki az (1)-hez tartozó L[y] ciálegyenletrendszert azaz homogén dífferenciálegyeznletjiendzszert,
3.
mint
x
=
=
L[G a] 4.
A
G(.7c,5)
tételeket,
ill.
a
a
A
ill.
0
G(:r, é),
mint
L[G]
0
=
ac-függvérnye
(11)
elégítse
ki
a
peremfel-
azaz
UyÍG (d (1), (2)
=
i:
UyíiG]
0
továbbiakban és
a 4. § kivételével (3), (4) peremértékfeladatot,
nem
hanem azonnal
mondanivalónk
Élnmáiosodikat, ..)-re. mivel
Z
0
párhuzamosan
tárgyxaljuk csak
vagy
elsőt,
az
átfogalmazható
(az
vagy
(3), (4)-re,
csak ill.
,
_
Tegyük
f1n1ció 1.-4. I
létezik (3), (á) peremértékfveladatnak Green-féle kielégítő függvénymátrixa. aldkor, hogy az
fel, hogy
a
egy
feltételeit
Megmutatjuk
az
1. de-
r
y
G(z, s) R (s) dE
F(x) által
F(x) kielégíti a dLifferennciálegyuenletrxendszert Képezzük (13) deriváltjait:
adott
teléket.
(13) és
a
perezmfelté-
b
F'(x)
=
J Címe
smedá
b
F"(x)
=
_íGmv,
s) nem
(l
203
h
Fül
b
h
1)(;1:):w..G(uwel)(_r,f)R(f)d;3;.|___+ (l
ui.
következő
a
U-nek
Cm
JC
az
derivált
előállításakor
S
ugrása
==
helyen
van
s
kell
figyelembe így
venni,
hogy
a
l.
w
_'cw
(zv)
(r, s) R (s)
d
s +
[cm
v
(x. s) R
m];
,_.,+
;
I)
Gáwx, Felhasználva
dE
s) ma)
[Gw m,
n
E)
ma];
'
.v 4
s
U
(10)-et l)
IM
(x)
_|cum
e
(JÉ, s) R (s) dg + P,;* Rcc).
alapján
Ennek
b
L[F]
W-
2
1'
2
mim U
i
1'
E)R(E)d5+R(x).
mlacvvxm, 0
z
r:
tehát való tekintettel R(x), eltűnik, L[F] (l1)-re integrál ezért G(r, E)-ve1 együtt F(a:) is kielégíti az összes peremfeltételt, a a A következőkben (3), (4) peremértékÍ-eladatnak. megoldása felGreen-féle vonatkozó és unícitására függvénymátrix exísztenciájára tételeket a mátrix és megadjuk vizsgáljuk megkonstruálásának módját. A továbbiakban feltesszük, hogy az A
jobb
oldali
=
mivel valóban s
Y
YÍI
[YÉWJ]:
.
.
.
_
_
Yn
.
'
.
U1ÍY1J
Y; .
UHlYil
s
.
'
=
és
az felcserélhető UM[Y;, 2.] páronként mátríxok. Ekkor ezekre alkalmazhatjuk Ha m-edrendű [Yziil hipvermátrix illetve tők, akkor [Y,g,] determinánsa, adható meg:
adj [Yul
É
Í-
det
UIIYH]
.
U,,[Y1]
vYguwnlmYflnrr-l)
detlYul
.
.
.
..
blokkokból
kvadratikus
[11] 1. § A. tételét: Y,-_,iblokkjai páronként
.
.
'
U,,[Y,.] álló
,
hiper-
a
adjungáltja
a
következő
felcserélhe-
képletekkel (d)
(detlYijl)
adj [Ynl (adj (detlYiJD-
X
(5)
Enls
ahol
det[Yi_;] és
hipermátrixot
adj [YU] olyan '
204
e:
iYlmYgw jelent,
.
melynek
.
.
(7)
Ym/n, blokkjai
ugyanolyan
mó-
mint az Yu blokkoktól, lahogy adj [a,-,4]közönséges adjungált függnek "elemektől. függnek az a,-_; skalár a elnevezést Ha a (7) kifejezésre "hiperdetermináns" akhasználjuk, felcserélhető blokkokból álló kor hogy a páronként mondhatjuk, hiperdeterminánsa a vihiperdetvemninánsánxak mátrix egyenlő a blokkok (közöndetermínánsával [11]. séges) nem akkor az Ha az Szinguláris, [Yij] hipermátrix [Yji] reciprokára
dcm
elemei
alábbi
adható
formula
meg: l]
[YU] 2.
Definíció:
(det
adj
:
n-ed
IS")
J
lineárisan
jo-bbról
0
=
ÍÉEA, egyenlőség csak Al mú jobbról lineárisan Ha Megjegyzés;
Ag
=
(*)
dífferenciálegye-nletrendszer nevezzük, függetlennek
homogén
lineáris
rendű
X
Az
L[Yl
megoldásait
.
=
= ..
.
YI. Yg,
.
.
,Y,,
.
(**)
O
zs
0 esetén Ezt lehetséges. A,, megoldást (*) alaprendszzerének =
független az Y,- mátrixok
.
ha
deriválhatók,
(niU-szer
n
az
szá-
nevezzük. akkor
II
ÉYl-ÜA;
0
:
(v
0, l, 2,
:
..
.
l)
n
,
i:1
egyenlőség
is
érvényes,
amely
Y,
.
.
YÉ
.
.
ÍYHIVl) alakban kezhessék mert
egy
Ezt
konkrét
úgy
pedig
.
Al
l), HA"
'
det[Y§1'i']
0;
ma)
után,
: .
.
Ekkor lineárisan
.
E;
e
kezdetifeltétel-rendszert
a
Yip" 1l(a)
z
Y;'(a)
YÍÜ-EYG)
::
::
a
det
az
0 feltétel
z-érustól pontjában elégítjük ki, hogy
Y',(a)
ne követA,- E 0 kivételével isKimutatható, teljesülése. a det interaz hogyha [YfFV] [a, b] akko-r sem ott sehol különböző,
(**)
hogy =/=
E;
Y,,(a) jobbról
a
Y,(a)
választjuk. módon oldasok
I
általánosítása
[5]
ma)
.
tehát,
Ahhoz
be, elegendő
tételek
vallum
zérus.
írható.
is
Y,, Yíz
.
[Y(',7)]+
függetlenek.
2
;
0
feltétel
ez,
0
Ysgv m)
YÍÍ" nm) teljesül,
e
o
E
Vagyis
a
m-eg-
[5], [7]. 205
Tétel:
1.
Legyen
tartozó
(3)-hoz
a
L[Y]
=
0
(14)
lineáris differenciálegy-enletrendszer egy homogén alaprenda és x b helyen előírt n). A (14a)-hez az ac 1, 2, (i álló egyenletből n-számú, független homogén lineáris egymástól lineárisan alakú. (4) peremfeltétel legyen ha -det(U_u[Y;l):l:0, akkor az létezik az Abban 1. definíció esetben, feltételének 1.-4. eleget tevő egyértelműen meghatározott G(x, E) Greenés tetszőleges a féle függvénymátrix, jobb oldal mellett (8) alatti megoldás a az peremértékfeladatnak. egyetlen megoldása A (14) mátrix általános Bizonyítás: idífferencitálegyenletrendszer meg-
n-edrendű
Y;(x),
szere:
=
=
=
...,
oldása Il
Y
É YKT) C
r
m1
ahol konstans adható meg, C,- tetsziőleges mindkét (x tartományon G(ac, é") is előállítható mátrixokkal; csak 5-től függő C,- együttható más-más,
alakban
(11)-re de
mátrix. É E és
Bi) (Ai _É1Yi(-T) Gma:ÉYmü=Éymm-m,ws
(XI.
YKT) C;
E)
+
:
47'
a
Tekintettel x
z):
F) Yi-ből,
t I
z:=1
l*1
ahol
C;
tozótól, A
Ai+ Bi, C,
r-
csak
33-től
A;
=
B; meghatározására
lembe
B,-; A; és Bi természetesen (15) ki kell, hogy elégítse
-
A
nem. az
x
S helyen
=
l.
az
definíció
függhetnek a
(14)-et
a
és
2. feltételét
5 wil-
(4)-et. figye-
véve II
ÉYÉ")(E)B,-(E)20 i
egyrenletrendszert
2wH%mw==§m1
'
Y._,
mely .
'
.
.
Y"
Én-
alakban Ez a (18) rendszer írható. B,-(S)-re böl nem képzett hipermátrix elfajuló, azaz
206
O O
B]
'
YtínMhYgn/l).__Yg1*1)'
fennáll, mert feltettük, Bi meghatározása
(w
1
_.
kapjuk,
Y,
(16)
(1'=O,1,...,n-2)
ízi
hogy után
mindig
megoldható,
det ([Y(?]) + 0, ami alkot. Y,- alapirendszert számítható A;(E) a peremfeltételekből
ha
az
Y"?-
Valóban ki.
Ui.
való
(15)-re
írhatjuk,
(12) alapján
tekintettel
UyíÉYdAiÍ
::09
hogy
(Iu
1' 2""'n)-
:(
i=1
jel közül Mivel Uy lineáris letet kapunk a
A
i
x
az
a
=
operátor
esetén
+,
mátrix,
következő
b
=
x
az
ezért
az
n
esetén
jelet használunk. A;(E)-re n egyen-
-
ismeretlen
alakban:
TI
2 U_,,[YI-]AÍ(E)
1. (,u i§1U_u[Y,-]B.-
a;
:
íwrl
A
oldala akkor
(19) jobb
je1ö1jük My-vel,
meghatározottaz egyértelműen (19) egyenletrendszer
a
'U1[Y1] .
.
írható.
Ha
.
-
-
.
.
-
.
UnlYnl
(20) hipermátrixa
a
Al ;
U,[Y,,]
.
UnlYll alakban
2,
UllYll
-
-
'
.
.
.
n)
(19)
előbbiek
alapján,
M1 g
s
(20)
Mn
_An
jelöljük
-
,
a
továbbiakban
D-vel:
UilYnl
7
(21)
U,,[Yl] elfajuló, azaz ható, vagyis ebben
nem
detD az
UAY") kiszámít-egyértelműen függvénymát-
A,-(É) (20)-ból
4: O, akkor esetben egy
és
Green-féle
csakis
egy létezik. Ha a d-et D nem száO, akkor A,- a (20)-ból nem, vagy egyértelműen mítható a 4. §-ban látni ez .a a ki; mint fogjuk, sajátértékproblémáknál létezésének feltételeként sajátértékek jelentkezik. A továbbiakban mátrix tegyük fel, hogy det D i 0, akkor a Green-féle riX
=
(15) alapján
v.
GM, 5)
ha
m5:
m,
ha
x
Bi; Ai ÍÉIYÁÍ) ÍÉ1YNÍC) j:
=
í,
(22)
%1: É
íme
,..___z
G1(1* §)
C2(I
,
alakban
+,
,
ÉS)
írható.
első
másoa deriválható x-szerint, G1(x, f) n-szer folytonosan de dieriválható Ggg(x,E) ugyancsak 1)-szer, deriváltjai (n folytonosan az az (n E helyen zérussal 1)-edik (n 2)-ig bezárólag az x egyenlők, nem de már derivált, bár szintén E helyen, egyenlő zéfolytonos az a: russal, így + jelről át, a szó-bán forgó összegnek ugrása van. jelre térve A G3(x, E) mindig mivel a hiperelőállítható, (18) egyenletrendszter mátrixa nem állítcsak a detDi 0 esetben elfajuló. A G1(x, E) azonban ható elő, hiszen detD a nevezőben (20)-ból Ag-t számítva lép fel, vagyis Gq alakja:
Az
rész
dik
-
-
=
-
=
--
G,(rv, s)
2
ver-eme.
(23) 207
Ebben
számláló
a
M1 H(.T, É)
[YIYE
r:
.
.
Yn] adjD
.
(24) .Mn_
ugyancsak mindig létezik, megoldása Y,-(ac)-nek, ezért de G, is remfeltételektől,
állandó
mivel
s
Definíció:
Valamely nevezünk,
függvénymátrix
transzponálásávzal
K(x, y) függvénymátrixot
ekvivalens,
Tétel:
Leigye-n
értékfeladat,
akkor
a
(l). (2)
az
=
pe_
Ukeresztu felcserélése
a
azaz
Kfy, r).
párosrendü, Önadjungált függvénymátrix
2m
=
n
Green-féle
tartozó
hozzá
változó
független
két
K*(m, y)
a
§.
kiétváltozós ha a
szimmetrikus"-nak
2.
kombinációja
=
2. 3.
lineáris
E mellett
0. A Gg független L[H] (14)-nek_. azaz és H is függ a peremfeltételektől.
perem-
kereszt-
szimmetrikus.
[1] Ha Bizonyítás: r(x) és s(x) tetszőleges folytonos, de egyébként
L[u]
s-
két
adott,
aíxí
az
és
vektor
u(x),
r(1'),
Ilulu]
0.
sm.
Utlvl
0
b
intervallumban
v(ac) megoldása
ill.
111.
az
(25)
L[v] peremertékfeladatnak,
akkor
a
(7) megoldási
forrna
szerint
h
u(.r)
r
"j
ill.
V(.r) Az
G(ar, É) r(É)dE,
ez
feltételezése
önadjungáltság
(26)
G(.'z', É)s(É)dÉ, miatt
[l. (6), (7)]
h '
(mim és
az
u,
dl?
0
kifejezéseit
(27) (27)-be téve;
h
[r* (É) G*(.r,'E)s(a') ll
208
v*L[u|)
L[u], L[v] (25), (26) megfelelő
v, b
alakra rálás tartása
a
-s*
(E) G*(rc, É)r(.r)]
(IS 11.2"
e
()
(28)
(l
jutunk. sorrendjét. mellett
Most Ezt a; és
a második cseréljük fel az integtagra vonatkozólag sorrend azonban az eredeti meg-v integrálási formailag is végrehajthatjuk, 5 felcserélésével majd használjuk
fel
s*G*r
az
összefüggést,
r*Gs
=
b
J _ír* sége
(s) [G*(w. s)
kapjuk. Ez megkívánja
egyenletet miatt
akkor
b
az
Gcs, xn sm dadx
e
egyenlet
és
r(m)
az
s(m)
az
z
o
Vektorok
tetszőleges-
a
700, 5)
G*(9C,5)
=
GG, 90)
-
Ui. tegyük fel, hogy y(m, 5) =I=0 az a 4 m 4 b tartomány tényező eltűnését. miatt valamely (m0, 50) helyén és legyen pl. a 7,,- ) O. G(m, E) folytonossága ahol van m0 l é ő, | 5 50 l é ö négyzettartomány, m még poolyan | m Az s(m) tetszőlegessége zitív. megengedi, hogy egyetlen rendezője kivéteitöbbit zérusnak az Im lével az összes válasszuk, m0 I É ö tartományban, ) 0. az r rendezői közül az ez 1',- ) 0 kivéteUgyanígy egy pedig legyen s; l E í ő A tartotöbbi a i zérus. lével az összes 50 legyen tartományban r és s összes kívül az rendezői azonosan zéruslegyenek egyenlők mányon ) O, a taraz a négyzuettartomálnybran sal. Akkor r, yijSi függvény 1'*ys É 0. Így a kettős tartományon tomány szélén pedig integrál a tekintett lehet 0 nem O, ezért szükséges, hogy y legyen, Vagyis -
-
-
m
=
=
G*(36,É)
G(§, 90)
=
§.
3. Tekintsük
most
az
L[Y] Uy sajátértékfeladatot, l. § és 2. § feltételeit. jon.
Ekkor
a
M[Y] -1N[Y] Uy,[Ys
2
mely elégítse
Green-féle
Az
ki az I. mindössze
eltérés
függvénymátrix
A
nevezzük.
szőleges
(30)
0
1
1. a
feltételeit és az '§ -ának l paraméter fellépéséből
még
11-től is
a
G(m, E, i.)
=
O
=
í
G(m, E) használt
(29)
-
Á itt olyan paraméter, amely értéket vehet tehát az fel. Ekkor
L[Y]
z
M[Y]
e
ZN[Y]
ÜulYs 11
inhomogén
peremértékfeladyat
=
differenciálegyenleteknél mátrim
sajátértékek
a
=
azaz
.
Greevt-féle a G(m, 5,2.) függvénymátiixot, elnevezésnek ,,Green-féle megfelelően, A
függ,
előző áll-
R(m)
0
rezolvenseWnek kivételével
tet-
(31)
megoldása b
alakú. 14
Yos)
=J
G(m, s, 1)R(5)d5
(32)
a
209
módon
Ily
(30) swajátértekfelaaar
a
M[Y]
i.
w-
N[Y]
0
=
az alaprendszerében Z-tói differenciálegyernletrenclszenének Y,-(ac)mátrixok Y;(ac) Yl-(x, 2). Ezek lineáris függnek, azaz kombinációja kell, hogy az szolgáltassa: sajátÍüggvé-nymátrixot
is Y
=
2m
Mivel
kell
Y-nak
ki
megválasztani,
kell
hogy
elégíteni
z] Ci _21U_,,[Yi, 0
s
érvényes
triviálistól
Ennek
legyen.
A(Z)
==
1, 2,
(y
:
,
.
.
i.
a
sajátértékek
2m)
(33) csak
0
(34)
§.
viselkedik vizsgáljuk meg, hogy miként i. sajátértékhelyen. valamely egyszeres Legyen 11 11 sajátérték egyszeres zérushelye
a
=
Green-félei (a
mátrix
re-
(34) AU.) sajátérték--
azaz
A(/l[)
A(/'.)
=
(i.
2.1) A1(/L),ahol
-
0.
=
A1=(/'.)analitikus
.
211011)=l= O. a
úgy
Ci-ket
ha i. fellép, kionstans; a C,- il: 0 mennyiségek létezésének feltétele,
Most zolvens
Ekkor
:
ezért
egyenlete. 4.
determinánsnak,
,
(Á)
detD
esetben van. D, ha l nem lépi fel, (21)-et jelenti, akkor tőle függ. A (34) egyenlet tehát tőle és csak létezésének s a így egyúttal sajátfüggvényrnátrixok
vagyis
.
megoldása
különböző
(U|[L[Yi Áj)
det
.
peremfeltételeket, legyen, azaz hogy
a
biztosítva
ez
C;
igiYi
Z
A Green-Íéle alakra:
mátrix
rezolvens
alakja
(22)
függvénye
xl-nak
és
(23) figyelembevételével
és
(3), (4)
G(x,5,Á) Az
g-etlen zat
is
=
Gl(:v,§,).)+C._,(x,E,/Í)
vektorral
azonosan
szorzás
egyenlő ,
5
Hlmmül) _
110)
,
2.) az
a
révén
+
z:
AH)
c.
--+G.2(x,§,2).
(35a)-ból egy tetszőleges kapjuk, (ez megtehető, oszlopvektorokat szolgáltat):
való
G(ac 210
megfelelőt,
(1), (2) alaknak a
=u
G2(rc, 5, Z) az.
(35a) ac-től
mert
a
fügszor-
(35b)
A
csak
a
H 7.
és =
G; i. egész függvénye, 2; sajátértékhelyeken
szorozzuk
(Z
meg
ezért
lg-gyel
-
H ÁÉeJ -
c.
G(:z:, :, A) (a
11)
pólusa
G(ac, (E,i.) l-ban meromorf, egyébként reguláris. (35a) és (35b) egyenletet:
van,
S
1
a
a-
?
(_
(a. 21) Gitt,
410)
a
x.)
;,
(36a)
1'11.
Cún, É, Á) oc (Z
w
21)
1% u)
_
Aav) 1
A
2 kifejezés nem létezik,
oldali mátrix határértéke bal
Green-fwéle rozott
H
(A '11) GÁT 5- é) 95
(3613)
'
a
marad,
definiálva, kifejezésnek
nincs
2.1 esetre de a jobb íl-hez,
reguláris
hányados
A
=
9
/l
ha
van,
+
.
oldali
mivel
akkor
a
jól meghatáe
második
a
tag pedig
nullához
tart,
1 A
vagyis
a
bal
oldal
G(x, E, l) (A
--
2.1),ill. G(ac, á, i.) a (x.
7'!) 41101)
5915 határértéklhez
'
A
-
Áí),
"Híg"!5 ar/Íűsíí
m
41101)
A
ha
/.
-)
A
Al-hez
a
(37a, b)
amely reguláris lj-nél. sajáthogy a (37a) whatárfüggvénymátrix egy Ál-ihez tartozó a ill. (37b) egy Ui. H(x,S,/1,) íí-hez tartozó sajátvektor. 2 szerint van m-szer deriválható és az (24) értelmezve, alapfolytonosan nendszer lineáris kombinációja. A'G(x, 5, l), ill. a G(ac, E, í.) a kielégíti a (4), ill. a (2) peremfeltételt Á 4111-re, ennélfogva minden tart,
Kimutatjuk, függvénymátrix,
Uulmfv.
5
s
í) (í
O,
M]
"e
3 +
Át
A =/=
2,-
ill.
U_u[G(rc,E,/l)oz(l-21)] és
így
az
a
határesetre
is
==
O
fennáll.
g, 2.) (A U_,,[ilimzG(x, _
2.9]
U,.[lim G(x, E, A) 041-419]
0,
=
O,
=
7.97.!
H(x, E, 11), ill. a H(x, §, 2.1)a izs kielégíti a (4), ill. a (2) peremi-eltéa H(ac, E, 7.1) állandó S-nél egy lj-lhez tartozó sajátfüggvény111. Mivel HOL; 5,11) a egy 21-hez tartozó 11 egyszeres sajátvektor. májríx, létezhet két lineárisan Síüatérték, ezért nem sajátegymástól független ill. sajátvektor s így, ha a ll-hez tartozó fHggVénymátrix, Valamely sajátVagyis
a
telreket.Tehát
uggVénymátrix
Yí, ill.
sajátvektor
H(:v E, 11) ,
m
H(x, E 11) ez ,
w
yj,
akkor
a
Y1(x) C* (E)
=
=
,
y1(m)C (É, az),
(38a) (38b) 211
24-re G(ac, E, 2) és vele együtt a G(ac, á",l) (Z 11) is ker-esztszrímÁ a következik, metrikus, hogy a határfüggvénymátrix 11-re, azaz ezzel együtt H(:JC,5,21) is kenesztszímmvetríkus, i.
A
-
-
amiből
=
H*(Iy E; %1)
Í-
szükséges,
tehát
hogy
e.
A)
Y1(x)SY1* (s)
z
(39a)
(m
.
s,
Ha, alnakú
m
E. 7.)
ym) Syr (5)
77
már
tetszőleges
Ezek
Htr,
a
S mátrix
legyen, ahol a szimmetrikus figyelembevételével
5-től.
1'11
7-1)
l'a
(38a)
a
Ha, 1'11
s
S
a
(ast) függ
nem
30-től,
sem
Y1(rv)SY1*(5) +(l7-A1)H,
:
sem
írható:
/'.-ra
(40a)
'
H(.1',É,Z)oc
y1(.r)SyJ*(É) oc+(ÁZ1)II1a,
:
(cm) A
ahol
Hl
Az
S;
ismét
Z-nak
egészfüggvénye.
egy
bevezetésével
=
G(rv,E,1)
2.), (41a) Y1(%S717;L*LÉ)+G1(x,E,
:
m-
'
"l
íll. "
*
cos, s, 2.)
a
s,
-"*'
(í!
alakra jutunk, ahol Z-nak. függvénye Teljesen hasonló
3,
..
.) egyszeres
eoy
zí-ban állítható
sajátértékek
esetére,
.
t
,
A)
z.
elő
7e;'i
2
2.
2., helyen
=
G(ac, f, 2.) a további
a
így
s
Á
és
általános
Yxr(m)S,Y,*..r)
.
._
,
mm
oc
u
meromorf,
módon
(,(r
__,_
a; (mm, y1(*)7S71y)'*"+
:
+
xlí (i
2,
.
1,
Gqx
t
.
(42a)
A)
,
2.,
s
=
alakban:
Í 7
reguláris
ill. S
ÁT)
'-
G (T .t,
áhol (É; Á-blan /._N_H,
212
ZSH,
.
:
,
2)
.
.
Svy1v* 777_777
2.
2., (i sajátvértékhelyeken
meromorf, .
a
==
a
=
7
1, 2,
_
.
a
(f
+
v-
(A. *
T
,
';
,
zl M
(4210)
,
2,,
.
pedig
.
s) helyeken pólusa van.
,
reguláris,
a
további
III.
fejezet §.
1.
1.
Tétel.
Legyen
az
Mly] wíNlyl
Uuiyl
1
Os
(1)
y
O
:
(2)
sajátértékfeladat
és teljeswdefinit. Ha a Rayleigh[l. (l), (4)] Önadjungált az vektor a vektorok lhalmaféle hányadosban u(:C) befutja komparatív az a sajáíbértékfeladat első sajátvekvektor R[u]-t minimalizáló zát, akkor minelső sajátértéke tora y1; az R[u] minimuma 11; azaz pedig a feladat Z 11. [1] dig fennáll, thogy R[u] az u vektor a kiválasztás után Bizonyítás. Legyen először komparatív u ezzel az vektorral képzett R[u] egy rögzített szám. rögzített. Ekkor az az y helyett u-t, Helyettesítsük (1) differenciálegyenletrendszerbe az R-et és képezzünk i. helyett (oszlopegy n(ac) segédfüggvénymátrixot vektort) az 77 (m) (3) M[u] -RNllll összefüggés alapján. Ha a kiválassztott u vektor komparatív egybeesik egy y; sajátvektorE R u ha 17(.7c) ral, akkor 0, akkor 1.,-aés 1;(x) E 0. Fordítva, egy megoldása az 0 azaz u M[u] RN[u] egy sajátdifferencíválegyenletrendszernek, Eblbern az ecsetben tehát biztosan vektor, R pedig a (hozzá tartozó sajátérték. igaz, hogy R[u] Z 7.,. Most a kiválasztott és rögzített zárjuk ki az 17(CL')E0 les-etet, Ekkor u-val az az mos) egy rögzített folytonos Íüggvénymátríx. Így í?
=
-
=
M[v] Hamm
m),
z
(4)
Uy [v] inhomogén penemértékfeladatot
:
O
képezhetjük,
Öző
i. egy
ahol
nullától
külön-
A V megoldás most is függ: paraméter. még a Á paramétertől V mátrix nezolvens v(x, 2.). A v(:L', i.) a G(x, E, 2.) Green-féle segítségével minden megadható [II. fejezet 3. §]: sajátérték olyan Z-ra, amelyik nem =
b
v(x,1)
:_Í
h
G(a:,§,Z)n(§)d§.
(5)
a
Green-féle
Á-ban
Íüggvénymátrix, Salátértékhelyeken pólusa van, egyébként reguláris. Ennélfogva Í01ytonos rés reguláris Z-ban, legfeljebb csak a i. 15 helyeken Pezzünk egy további segédfüggvényt: A
rezolvens
meromorf
a
Á
15
=
_
=
is Ké-
v(x, i) nem.
b
fv*(x,2)n(x)dx
hm
(6)
(l
213
alakban.
(6)-ot
(4)
a
(5) alapján
és
b
w.)
_'(v*(x,
ez
2; M [v(x, m
).v*(rc, l) N [v(:v, 2)]; dm,
g
(7)
(l
ill.
a
h
(A)
(v V)M
2.:
(V v)N
-
v(:c,/Í)-val h(/'.) is folytonos hozhatjuk. kivételével. sajátértékhelyek a i. 0 Vizsgáljuk meg a h(/'.) függvényt tettük, hogy a sajátértékproblvéma teljesdefinit, az nem hiető, hiszen sajátérték. (4) szerint v(a:, O) az =
megoldása,
i.
R, akkor
=
a
és
(18)-ra
,
tekintettel
.
meg
0
(8)
a
.
kimutatjuk,
hogy
d A
(9)
0
Z
111101)
'
ad, és így
zérus-t
oldal
jobb
R(u: u)N
'-
.
.
..
mmdenutt,
már következik, pozitív, akkor hogy kell feküdni. sajátértéknek Képezzük h(Á) függvény differenciálját függvényétrtékekbkkel. (6) alapján van,
=
u(3c)
=
(u: u),ll
MR) Ha
Mivel fe]0 is; megengedi
helyen. i.
megfelelően
(7a) ennek
való
a
a
ahol
a
O és
a
R és
i.
110.) Az
integrandus
h
(20) első 77 (x)
kifejezést,
a
második
(v*(x í.) 7; (x)
r;
tagjába 2
tagba 17(x)
214
a
,
között
legalább
i." helyen
v*(:v, 2.0)o] (m)
77(x) helyett
M[v(:v Á0)] 7.1,N[V(x ÁO)] -
,
,
pedig
M[v(x, 2)]
-
7.N[V(x, 2)]
,
h(/.) ertelmezve
b -
gi
=
(4) és (3) alapján
=
I.
ezért.
x".
O
L-
(v, V)_][)
=
v(a:, R) írható
R
=
a
így
h(O)
fennáll. Ha
í.
és
Á-ban
MI),
:
U_u[v] peremértékproiblféma
reguláris
és
alakra
MIV]
(73)
,
,
dz
.
egy
számított
kifejezést definíció
v(x, i.)
=
h
Ezt
mindkét
v-re
v(x, 2.0)
(Á)
h
-
(20)
=
(v
:
mivel megtehetjük, 77(x) függvénymátrix és rendezés egyenlő. Behelyerttesítés jelölést használva:
vo
(7) feltételek
I.
Az
helyettesítsünk. szerint v és
v0)M
,
határátmenvetzet
2,09/1
jesülését
dh d 2.
vagyis mivel
h
h
(A) 4-
(5)
a )
(17) feltétel
I.
*
tel-
O,
/
(u)
bizonyítást a
2,
helyek
ugyanezen és
0 és esetben
(9) alapján
ellenkező
2.
hogy
e
is
azt
létezik.
sajátérték
írhatjuk,
(10)
véve
(V V)N
:
Ezzel a dífferencíálható
kell lenni, mert sajátértéknek fennáll. Ezzel R É 111valóban Egyúttal
.
'
figyelembe
egy
,
pedig
9
pozitív.
ezért
pozitív,
+ 7. (VÜ V)N
10) (V V0)N
"
2.0
folytonos és valamint kivételével,
mindenütt
tekintettel
,
Z
20-);
mindenütt
sajátértékhelyek váltja
(A
r"
és
Inrínwdenütt
deriváltja
h
h(/l)
(20)
,
való
képezve lim
:
Í
h
*
20 (v volN
e-
,
teljesülésére h
A
(vo v)_u
w
(4) után
=
Uí., befejeztük. 1, 2, .) 2., (i =
.
kivételével R között
h(R)
)
legalább h(0) lenne.
hogy legalább
igazoltuk,
.
deri-
egy
§.
2. Tétel: (1), (2) alakú sajátValamely Önadjungált és teljesdefínit értékproblémának megszámlálhatóan végtelen sok, valós pozitív Áj, Ág, van. A Rayleigh-féle az sajátértéke (s+ 1)-edik sajáthányados minimuma érték: vehető vektorokról, komparatív hogy ÁSH, ha kikötjük a számításba az első s számú általános értelemben sajátvektorra ortogonálísak legyenek. A többszörös sajátértékeket multiplicitásuknak megfelelően számláljuk. [l]. Először az u vektorok közül csak azokat veBizonyítás. komparatív általános értelemben gyük, amelyek az yj első sajátvektorra ortogonálisak, azaz kielégítik az. I. (9) feltételt: .
(u, y1)N
Ilyen u(ac), mely
lehelt
nem
a
0-
=
Áj-lhez
.
(12)
sajátvektor
tartozó
pl.
(w (s) yl (a); (yl (E) y1(E))N .
1106)
:
Mr) -Y1(r)
s
alakban paratív
állítható vektor.
Rayleigh-íéle Képezzük
elő, ahol w(.7c) valamely yj sajátvektortól választás után u(ac) legyen ismét rögzített, szám. hányados egy állandó az (3) szerint 1;(ac) segédfüggvénymátzáxot:
M[u] Ha r/(ac)E
O, akkor
u(x) egy
-
RN[u]
sajátvektor,
=
de
különböző akkor
komaz
(13)
na) mivel
R[u]
nem
lehet
az
első,
azért
215
sajátvektor Elegendő
második vagy valamely magasabb biztos igaz az R 2 2.2 egyenlőtlenség. a bizonyítást. véssel végezni az képezzük (4)-hez hasonlóan a
MÍV]
ÁNIV]
-
hogy legyen, tehát az 17(:c) i 0 felte-
kell tehát
17 (ív),
:
mm=0 ahol per-emértékproblémát, v(ac, 2.) megoldás alakja:
Green-féle
a
mátrix
által
rezolvens
előállított
b
:fG(a:,§,2)n(s)d5.
v(x,l) (14)-ínek
i.
pólusa
11 helyen
=
Cl"? 5: k)
YÁ-T)S1Y1*(E)"l" ÖN" g: A)
reguláris. u-nak
az
(15)
a
"á
felbontást
ezért
van,
i";
v
(14)
l
[II. fejezet, 4. §], végezzük. (15)-öt (14)-be helyettesítve N[y1]-re való ortogonalitását
G1(ac, 5,1) a Á 21 helyenmár eltűnik, mert tag integrálja az Önvadjungáltságot figyelembe
ahol
=
első
az
és
véve:
(uayüN
(yls
Lm
1
l
(11 s
y
yl)N
:
O;
:
(ll
_' '
y")!
9
11
(y1 u).lI 2.1
l
O
::
"m
9
a
-
így
(yl u).ll
1:
s
tehát
a
u)N
0
L;
s
(13) alapján b
'y1*(.s)n(§)d:
o,
:
a
vagyis b
v(x
,
2.)
G1(x,§,1)n(§)d.E.
2 _
(16)
(l
(16) a i. 2.1Amellett reguláris és további gulárís, A bizonyítás lépéseit a Képezzük =
csak
magasabb előző
az
1.
Áisajátértékekre §
szin-
végezhetjük.
szerint
b
h(/".)
s
_|'v*(x, Z)1;(x)d:i'
ll
segédfüggvényt amely az, R-helyen zaérust lyen pedig, ha v(ac, 7.1) helyett v; jelölést h
216
(21)
V"
(V1 V1)M s
_
11 (V1 V1)N *
fel,
vesz
azaz
h(R)
=
használunk: :
(V1 VÜNÍR [Víl ,
"
11%
0.
A
he-
között
O. Továbbá
)
hal)
vagyis,
hU.) deriváltja (11) szerint kell lenni, vagyis sajátértéknek
további
egy
pozitív,
tehát
2.1 és
R
RÉZ? egy második Általánosan: Ha az u
és ezzel
(u,yi)N s
álló
feltételből
számú
R[u]
á
i
0,
e:
s
Ha
ZHI.
tegrálűiató ratív
wl,
Wg,
vektorok
gonálísak
az
s
(17)
akkor
akkor
ym,
f;
u
R[y,+1]
47
/'._,+1.
§.
ín[a, b]-b-en értelmezett, független u és az választunk, kompawg függvénymátrixot ortoazokat értelemben vesszük, amelyek közönséges választott vagyis függvénymátrixra,
lineárisan
egymástól
számú
1, 2, ,s)
mve-llékfeltételrendszert,
3. Ha
létezését is igazoltuk. vektor kielégíti az
sajátérték komparatív
egyben
...,
közül számú
1?
O,
uwgdxu:
(a:a1,2,...,_s');
(18)
(l
akkor
az
hányados
választott minimuma
így
lasztásától
komparatív
u
alsó
vagy
vektorokkal
határa
függa
w
képzett Rayleigh-f-éle váfüggvénymátrixok
is:
MinR[u]
m(w1,w._,,
2
...
,
wx)
(19)
II
3. Tétel:
(1), (2) alakú saj-átértékfeladat legyen Önadjungált és telm.(w1, W), ws) jelölje a RayZeigh-féle hányados miniha számításba vesszük mindazon u alsó mumát, határát, v.agy komparatív lineárisan vektorokat, amelyek omog-oníálisak az s számú egymástól fügmátrixra. Ha w getlen w], Wg, [a, b]-ben integrálható w, függvény akkor az befutja a tekintett halmazát, (s+ 1)-edik sajátfüggvénymátrixok jesdefinit.
Az
Az
...,
érték
ZSH
=
m(w1,
max
Wg,
...,
ws).
(20)
maximum-minimum (Courant-féle [l], [2] .) princípium komBizonyítás: elő=ször, hogy van Megmutatjuk olyan megengedhető lineárisan paratív vektor, yo- sajátvektorból amely az első (s+1) számú
összeállítható:
s+1 u
_::
2'
a,y,,
.
(21)
6:1
217
Ortogonalitás
Az
miatt:
I)
u*wgdx:
Így
a
lineáris
számú
homogén vagyis azok
s
(g:1,2,...,s) a6JyÜ*wgdx:O,
E
Ü:J
&
számára,
III
s+1
feltételünk
ao-
zérusak.
mind
(21)-et
felhasználva: b
(u, ll)M
s+1
úgy?
:
s+1
bíz
ao-
y6* 2
611
általános
dl:
atMlyt:
1:1
s+1
a
2
6:1
a
sajátvektorok
s+1
Í2
:
b
A
ao- konstans (s+1) számú értékekkel, amelyek nem
van
teljesíthetők
mindig
)V1N[y1]dz.
a,
'r:l
orrtogonalitása
miatt
integrálban
az
csak
a
o
=
marad:
tag
s+1
(11 Il)M 9
o"
és
dg 10"(ya ya)N
2
:
9
a
1
:
megfelelően
ennek
s+1
(u, u)N
dáma
2
e:
yo-'N-
(jíl
Az
I.
7.,, É Ás+1
(17) feltételek érvényes
miatt
teljesülnek, a
így
(II IÚM
§
,
oldaliak
jobb
a
pozitívak,
tehát
becslés:
következő
llvs+l(u ll)N ,
,
ahonnan
R[u] Mivel
lehet,
keressük
R minimumát inkább
így még
igaz,
és
az
Hátra a
m(w1,
VVg,
van
még
VV(;"t, éspedig
.
.
.
,
w],
ws)
é
AH,
Wg,
w,
relációnak a
wg
218
megfelelően, minimál-problémájára variálásával
R[u]-nál
előállított
az
csak
kisebb
ZSH.
állítás igazolást nyert. variálása. Válasszuk
meg
speciálisan
a
Wo"
kozó
az,
hogy minR
Ezzel
AH,
2
kapott
akkor
a
jutunk maximuma.
4
s
III.
§ magasabb AH így m
2. és
=
.
sajátértékekre Vagyis 2s+1
vonataz
m-nek
r
§.
4.
4. Tétel:
(1), (2) alakú
két
Legyen
J M[y] I M[y] U_u[y]
0 és
=
bal
M[y]
Ugyanazon
minden
oldal
mellett
(Halmi akkor
a
összehasonlítási
7.§
tétel, Ui.
principiumnak.
innen
IÚM P
is
a
legyen
azonos;
az
Ü
(Hamm
[1] közvetlen (23) feltétel
b
0
(23)
igaz, hogy
következménye igaz, hogy
a
maximum-
miatt
R*[u]
g
fennáll
egyenlőtlenség
az
peremfeltétel teljesüljön
(s :1,2,...)
R[u] és
(22)
(22) is és Áj sajátértékére
ZS; Ez az ún. minimum
Z
probléma
két
a
vektorra
y
sajátértékprobléma:
lNlyl /?*N*[yI
:
komparatív
u
(l!
feltétel,
Önadjungált
minden
és
minimumra
maximumra,
azaz
AS g
teljesül
minden
Áj
s-re.
IV.
fejezet 1.§.
Az I. (1), (4) alakú feladatok sajátérték megoldását elemi függvények nem zárt alakban segítségével legtöbbször tudjuk megadni, de a sajátértékek előés sajátvektorok módszerrel "jó" közelítését valamely közelítő
állíthatjuk. Ebben
kozunk,
a
majd
fejezetben az eljárást
M[y]
a
:
szukcesszív alkalmazzuk
lNlyl
approkszimáció
módszerével
foglal-
az
(é1)'í'l[Gá(w)y(")l(")s 0 Uulyl E
(l)
=
alakú és Önadjungált lis matematikai gépen A
szukcesszív
letértek-feladatok
elektronikus digitáteljesdefinit sajátértékfeladatok történő megoldásához. kerüa módszere approkszimáció sajátértékproblémát Kiindulunk vezeti tetszőleges vissza, egy megoldására
219
Kg(ac) vektorból
további
és
K1(x),
K-_)(x),
.
határozunk
vektort
..
meg
az
l M[';Í:3ug,§*"*3'i r
Feltehető, peremértékprobléma megoldásával. (1)-nek megfelelő hogy a ezért a valamely ys sajátvektorhoz konvergálnak, 2,. sajátK,,(x) vektorok A értékért a közelítő érték Rayleigih-féle hányados mintájára képezhetjük: b.
".
i Kn*M[Kn] A
dm
Kll*N[KIl7l]
_
Ír
(3)
e
e-w
ne
,,
azt 'K,,*N[K,,]
m; IK,,*N[K,,] (l
(l
§.
2.
és teljesha olyan I. (1), (4) alakú Önadjungált eljárás finomítható, alkalmazzuk, sajátértékfeladatovkna melyeknél a peremfeltiétrelekb-en szabadon választható nem az Ko(ac) lép fel a Z. Ilyen esetben egyébként és Zn-szner vektortól [a, b]-ben folytonosan megköveteljük, hogy folytonos a deriválható peremfeltétwel-rendíszerből kielégítsen anylegyen, valamint vektorra a nyit, hogy egy tetszőleges u(x) komparatív Az
definit
(Kg u)N
(u
a
s
K0)N
s
O
:"7'
9
(Kg K0)N
)
a
0
feltételek
esetben az I. (Sb) alapján teljesüljenek. [Minden egyes állapítkell KU-nak (4) hatjuk meg, hogy milyen peremfeltételeket kielégítenie teljesüléséhez] A KO-ból (2) alapján további ki kell számított vektoroknak Ki, Kg, sokelégíteni mind a 2m számú (A gyakorlatban peremÍeltétel-rendiszert. szor célszerűbb a Kl-ből kiindulva meghatározni Kg vektort, majd a továbAz előállított az ún. biakat.) ily módon K,, vektorokkal megalkotjuk konstansokat Schwarz-féle ak [l]: .
(Ik a
Schwarz-féle
.
O, l,2,...)
_(Kl',KL,l*)Ar, konstansokból
.
pedig
ún.
az
Schwarz-féle
m,
hányadosokat:
(I
xuk+l
Az
(l)
ük
e;
és
4:
"'
s
I, (7) teljesülésére
(Ki, Klcn i+1).u
í
I
vagyis
a
(Kiwl
-
-
s
tekintettel
(Kkei-H
(Ki, Kk-,-)N belsőszorzlat I
220
való
O: l; 2-
,
9
Kibz
e"
(Ki
Kk-i+1)N:
csak
k-tól
m1
s
Ki
-1)N"
(7)
függ.
Így pl. "
"2 Az
I.
(7)
és
[Ilk is pozitív. [I. (18)] hasonlóan
így minden
hányadoshoz
v)
alakban
írhatjuk. Legyen az i. ne lépjen
(KI? K1)N
)
O,
A
páros
(K/HKIJN
:
j:
teljesülése
(17) feltételek
l.
agk és
(Kzv K0)N
y
K
aki
(Kies KOM
I
indexű
K
(Kos KzlNminden
miatt
ilyen;
7
:'
hányadosokat
pozitív: Ü,
b a
(8)
Rayleigh-féle
,
(1), (4) alakú sajátértékfeladat Önadjungált, telHja a kiindulásul peremíeltétél-rendszerben. .a (2) alapján előállíválasztott K0(x) vektorra teljesül a (4) feltétel, akkor tott K,,(ac) vektorokkal képzett yj, Schwarz-féle [(5), (6)] hányadosok egy csökkenő számsorozatot monoton alkotnak, melynek al-sólkorlnátjwa7.1, azaz
1. Tétel. jesdefinit és
I.
fel
:ÁN2Z...;21 Ha
a.
alsókorlátja sajátérték
és
11 sajátérték multíplicitású egyszeres lg ) ,u;._.+, egyenlőtlenség 12, amire a
korlátok
következő
Hk+1
Az l. tétel 4. rész 12.3 és ezek ismétlését
"
közé
Eljílykií l;
az bizonyítása 12.4 pontjaiban
itt
a
teljesül,
második akkor
sajátérték a 2.1 első
zárható:
S
Hlknl
(k
**
fejezet tételeinek lépések szerint
L-III. közölt
1: 2, ---)
(11)
felhasználásával
végezhető
[l] ezért
el,
mellőzzük. már
az első közelítőleg sajátvektort, meghatároztuk második 2.2 egyszeres multiplícítású sajátérték korlátja is kiszámítható. hasonlóan Uí. a fenti eljáráshoz olyan Hg(ac), Hűse), vektorokat határozunk K1(x)-re ortomeg, amelyek az első sajátvektorra a Schuvarz-féle gonálisak, 22-re majd képezzük hányadosokat, amelyekből a (11)-hez hasonlóan a
Megjegyzés: K,(x)-et, lakkor
Ha
a
Hk+1
"üli-Í? ____:i___1
s
12 s
llkn,
(k
:
1, 2,
...)
(12)
k+1
egyenlőtlenség rozhatjuk meg
írható az
L; é 23. Ugyanilyen eljárással multiplicitású magasabb sajátértékeket
fel, ahol
egyszeres
juk+1
hatá-
í
is.
221
§.
3.
alkalmazása
A módszer A
É W
1'
(
_
digitális
elektronikus
1)'V[F_V(m)
Z
( _1)n
_
gépre.
matematikai
;
(n)
;_
n
1
2m--1
[A1'_1ty(1')(ű)+Bq'gtyü')(bn
2
:
-1'"O
O;
(H
l, 2,
-
.
.
.
g
2!!!)
lehet: menete a. következő megoldásának sajátértékfeladat Pl. alsó 1. Meghatározzuk a (13)-hoz korlátját. (13) sajátértékeínek 0 sajátértrékproblémát, keressünk egy M[y] amelynek Á*N*[y] Uuíy] és amelyre ismertek kiszámíthatók, sajátértékei egyszerűen vagy =
=
(u. feltétel
(III. 4. §) teljesül,
ll)N* Z
Kiinduló
2.
vektorként
is
(s
t
alapján. n
Ha n 1, akkor
É
Kiszámítjuk
3.
a
=
:":: _
de
Schwarz-féle
K0N[K0]dx;
al
z]
hogy
az
már
a
meg,
NlKol
(16)
előállíthatjuk, [10].
b
b
K1N[K(,]
ds1:
:
a
a
úgy,
határozzuk
deriválásokkal alkalmazunk konstansokat:
b
(10
(15)
pusztán
O, akkor K0(:r)-et Runge-Kutta-módszert
=
(14)
1, 2, ...)
K1(x)-et adjuk meg, kielégítse és KÚ(3c)-netazután MlKul
ha
0
)
akkor
i.s* g
per-emf-eltétel-rendszert
llhlllN
t]K0N[K1]d:c,
(17;
b
az A
számításokat
pl.
:
_|K1N[K1] dx.
az
Íxznrl
_
x
X
e
+ formulával 222
végezhetjük
gfgrüwa). 2 s
[9].
(a s
b)
(18)
Rlokkzlzkzgmm
1
k
Kij*'Ki,j-! 71]
-'
á)" aszat Ö7irzmm ,__l.
zgen
v
3
g
9144
u
13
-
._
,
Í
r
al+f
/3I;Z-z
m1:
xwaag
223
4.
Képezzük
Schwarz-fél-e
a
hányadosokat: a
és
ellenőrizzük 5. Ellenőrizzük 6.
za
Állj É
_,Il2
Za*
a
Kizszámítjuk
í?!
"ü
a"1
El"
T
F2
(19)
teljesülését. lq ) Illg teljesülését.
a
t.)
M
e
x!
JEL-L"
F2
'2_
(20) '
1
V
K"; értékét. 7.
Képezzük
a
Zl-et
2.1
a
"
a
8. A feltételezett első sajátvektorra feltétel-rendszert kielégítő H1(x) kiinduló mítást a 2. lépéstől stb. A szlámitál-s menetének programját el ([8], [9], [10]): készíthetjük
(21) K,(x)-re vektorral
és a ortogonális megismételjük
perema szá-
blokkdiagram
alapján
következő
a.
Megjegyzés: nak
bloklk .a Runge-Kutta eljárás egy finomít-ott számú elsőrendű álló differenciálegyenl-etből való alkalmazás/át foglalja magába.
a) Az 5.*'18. [10] (n+ 1)
egyenletrendszerre Az eljárás alakja tel?
yÜCo)
í"
=
:
'
(13
felté-
:
(14
:
e
-
:
'"
Í
(22)
ú
-
qo kezdőértéktbe ,
egyenletrendszerre
ismétlésnél
zérus;
/l-[KU(x) 1(i(1'0l
Í
a
W
-
a
7'
224
(kezdeti
h/(xo yo) yl Ho "l" 1/2051 2 qo) + ell?) (k; hím 11/2, yl) 512 yl + (1 111) hűxo + h/2 y-z) y3 1/2 "i" (l + (kg '12) hflxo+ha 1/3) y4 U3+1/5(k4"2q3) qo+3 l1/3(k1*2qo)l "J/2k1 q, +3 [(1e1*íTj-2')(k2q1)] -(1-11,72)k2 92 + 3 [(1+1'1/2)(k3 qgl] e(1+'1'1,*2)k3 qz; + 3 ÍÜ/fvUC; 2 1/i2k4 s
'
(12
natkoztatva
f(x, y) diffenenciálegyenletre
=
=
'
'11
KHz)
y'
y0)3
=
k] kg kg k;
A
az
változatádifferenciál-
Klkcf) Ixio, ,
.
.
,
K,,(a:)]
helyébe (í
Í
lép.
(14
1,2,
.
.
.
(22) alakot
A
i
a
n)
(23)
blokkokra
Vo-
*
alkalmazva
következő:
.
a
a
számítás
menete
az
egyes
A
6.
Az
7.
Kíszámítjuk
hogy kiszámoltuk-e
Növeljük
i indexet
az
térjen Vissza. 10. Az i indexet 11. Kiszámítjuk
Ki;
beírjuk
jelöléseket
sza
11.
sza
az
a
gépet,
hogy
a
7. blokkra
A
_:_._a (25)
01191;
-
(13Í1+1v%,
(I4:1!".,;
b4:2; C3í1+lv'í/2,
aj
1,2.
*:
0 minden i-re, lépésénél q;;,(x.,) 1, 2, qi4(a1z_1), t rögzített Ki,- és qij mennyiségeket
kezdő
számítás
=
=
=
.
.
.
.
i-re.
Növeljük
16. 17. 18.
j mel-
(25)-ben
b3:1,
pedig q,-0(ac) hogy kiszámítottuk-e
Eldöntjük,
i
az
indexet
1-gyel
és
utasítjuk
a
gépet,
hogy
térjen
blokkra.
Eldöntjük, Növeljük
6.
a
rögzített
O-val.
memóriába.
a
c2:lw1i'%,
használjuk,
minden
t-esszük
b2:1,
ismétléseknél
14. 15.
felhasznál-
blokkban
ki)" értéket,
utasítjuk
és
(12:]--].'1/72,
C1:,2,
a
összes
(24)
71
s
b1:2,
vissza
11.
a
Kun + hlajlkij Újqnjeíll 1)] (Ii.1e1+3 [új (kii-bíqhi
í:
(11:1/'2,
13.
az
1-gyel
egyenlővé
és
mennyiségeket
j mellett,
hogy
[ki
:
a
:
fin
további 12.
memóriába,
a
Ktniii)
9
i-re.
minden 9.
O-val.
Klsí-l?
Íi (K0-í*1'
:
beírjuk
és
Eldöntjük,
8.
lett,
l-gyel.
a
kij
Ír?
mennyiségeket hassuk.
egyenlővé
i indexet
Ki,"
tesszük tesszlük
egyenlővé
j indexet
5.
hogy a
j
a
indexet
számolás
l-gyel
befejeződött-e. utasítjuk a gépet,
hogy térjen
visz-
Kin helyére. a gépet, hogy térjen
visz-
és
blokkra.
Eldöntjük, hogy a számítás KM-et, mint új kvezsdöértévkvet Növeljük g értékét 1-gyel
befejeződött-e. átvisszük és
utasítjuk
5. blokkra. A számítás
a második a menetében hurkot a formula blokkok használatához szük(18) alkotják, amelyek séges lépéseket tartalmazzák. 22. A számláló és összegező rekeszekben O-t viszünk és kiszámítjuk
b)
22.-33.
a
.
len 15
konstansokat. 23. Kiszámítjuk a előző és hozzáadjuk .az összeghez. függvényértékeket 24. Eldöntjük, hogy az összegezést befejeztük-e. 25. Kíszámítjuk az új abszcísszaértékeket. 26. Növeljük térm-et l-gyel és utasítjuk a gépet, hogy a 23. blokkra vissza.
225
értékét. integrál beírjuk a memóriába. hogy az ah, mennyiségek Eldöntjük, meghatározása befejeződött-cg k indexet a l-gyel. Növeljük 1-nél. hogy k nagyobb-e Eldöntjük, a és utasítjuk 32. Kiszámítjuk a gépet, KJ1IN[K[)1'] mennyiséget hogy 22. blokkra a térjen vissza. a 33. Kiszámítjuk és utasítjuk a KMN[K1,.] mennyiséget gépet, hogy vissza. 22. blokkra a térjen 1., 2., 3., c) Klí/"Vel jelöltük a feltételezett (m-l) sajátvektorra számítás kiinduló vektort. vektorára) ortogonális (az előző (A kiinduló vektor KM.)
Kiszámítjuk
27. 28. 29. 30. 31.
az
ah. értékét
Az
...,
ÖSSZEFOGLALÁS a első 2m-ed rendű A dolgozat fejezetében differenciálegyewnletek Önadjungált vonatkozó ismert tételeket általánosítjuk sajátértékproblémáira ugyanilyen típusú differenciálegyenlét-rendszerekre. az A második fejezetben definiáljuk ún._ Green-féle függvénymátrixot, megvizsés bizonyítjuk, rendű gáljuk tulajdonságait hogy a páros Önadjungált peremértélnz. Green-féle feladathoz tartozó azaz: függvénymátrix ,,keresztszimmetrikus",
G*(ws
Glav
LÍ
-
harmadik a becslésére fejezetben sajátértékek esetére. differenciálegyesnlet-rendszerek A negyedik a fejezetben differenciálegyenlet-rendszerek cesszív módszerével való meghatározását approkszimáció
vonatkozó
A
tételeket
általáno-
sítjuk
'
sajátértékeinek tárgyaljuk, majd
a
szuk-
a
Hl
2
(_1,ar[F1jx
y('7')'x):|(") :
m)n;0
4n1)n;j[(;n(x)y(n)(x)](n);
WZÜ 211171
2
o:
lAvxaywa)+Baazay'"'(b)]
m
1. 2,....2m)
:
7':Ü
sajátértékfeladat programját,
matematikai digitális ismertetjük.
elektronikus
blokkdiagramját
ill.
történő
gépen
megoldásának
IRODALOM
[1] Collatz, L.: Eigenwertaufgaben [2] Courant-Hilbert: Metthovden
lin, 1931. [3] Kamke,
E.:
der
teclhnisclhen mit Mathematischen
Anwendungezn.
Lősungsmethoden
Differentialgleichungen,
Bd.
Physik.
und
I.
1949. Leipzig, 2. Auflage,
Lősungen,
Ber-
Leipzig,
1951.
[4] FaHTMaxep,
(D.
[5] Petrovszkij,
I.
Akadémiai
[6] JarTett, _
Kiadó. G.
TeopI/m
Beams. B.
I/L:
MaTpHu,
Előadások
a
I.
HaCTb
1954.
Mockaa,
diifferenciále-gyenletek
közönséges
elméletéről.
BP-
1951.
W.-Warner,
red-Tvisted
[7] CMupHoB,
226
P.: G.:
P.
Journal
Rypc
C.--Lester, of Applied
Bbxcuieü
MaTeMaTHKl/I.
P.
A.:
Tíhe
Mechanics, T.
III.
Vilbration orf 1953. szent.
l.
Rotating,
MOCKBa, 1957.
Taipe-
A.
[8] HnToB,
I/I.
A._Wilf,
[9] Ralston,
Proces§
A Automatic
for
Dig1ta1
S.:
Mathematical
J.: [11] Egerváry alkalmazásáról '
MamnHu
for
Digital
n
Differential Stgp-by-Step Integration Pnoc. Philos. Computmg Machme, Cambridge
SHEKTPOHHOVI
blokkokból Közl.
AMI
BHAI-IEHI/IÍÍ]
III.
álló hipemnátrixokról kötet. Bp. 1954.
nporpauN.
Y.-
Equations Sec, vol. és
in
47, azok
CI/ICTEM
JIII/ICDCDEPEHUI/IAHbHbIX BHAHEHI/IH C HOMOlllbK) MAHJI/IHbI lll/IGJPOBOÜI MATEMATI/IHECKOÜ
I/I PACHET
YPABHEHI/II/I
Comxputers,
of
CO§CTBEHHblX
HPOBJIEMbI
Methods
tha
oldal. Párom-ként felcserélhető a ráwcsdmamikában.
96-108.
1951.
H.
1960.
Wiley, [10] Gill, S.: L. an
H. A.: Kpnnnuknü, SJIeK-rponnbxe untmposbxc (DMSMZITFI/IS,1959.
-
MocKBa,
zvnuposarxvxe,
COBCTBEHHbIX
FI. 11. Oőaöostzq
ll-p.
PEBIOME
nepnoü
K CZIMOCOIIPíDKEHHHM omocnmnecn Tesncu, OŐBNHHX IIHHEÜHbIX nnqmepenunanbnbxx ypaBHennü c CI/ÍCTCMOÜ 2m-ro CBHSHHHbIX OÖOŐIILCHbI 111191 npoönem COŐCTBCHHHX snauennn nopímKa Tan HasmBo mopoü maBe (1)-(5). onpenenena gnqupepeHLuíaHbHbIX ypasnennü Tnna
B
rnaae
npoőncxxam coőcTsennux
nnccepTaunn snaqenxaü
I/ISBGCTHbIC
csnaannoü FpnHa mm pemennn Kpaeson sauaun n-ro unqyqyepenunanhnmx pacypaBHeHnü nopamca n tno tpynlcunonanbnan Fpnua, cooTBeTcTBymCMOTpCHbI ee MaTpnua qeTHoro ulaíl camoconpsmeunoü Kpaeaoü sanaue nopaznca, ,,r1epe1(peTHocnMMe'rpnuHa". B TpeTeü rnaBe K oueHKe COŐCTBCHHbIX snauennn, oöoömenbr omocnmnecn Tesncu, cncTeM onncano rum onpecnyuan nntptpepenunanbnbxx ypaBHeHnn. B ueTsepToü maBe COŐCTBEHHbIX anaqnunn cncTeM uenenne nntpcpepenunanbnbxx ypasnennn MCTOJIaMI/I nocneHa a Tamxe nnn aoBaTenbnoro npnönnmenna, pememm nporpaMMa őnok-nnarpanxma MamnHc. anckrponnoü umpposoü zuaTeMaTnqecKoü
(pyHKunoHanbx-xan MaTpnua
naeMaH c
cncTeMon
BeKTopHbxx CBOÍ/ÍCTBa
n
Tnna
MaTpnuHmx noxasano,
EIGENWERTPROBLEME DER UND BERECHNUNG EINER ELEKTRONISCHEN
Dr.
J.
DIFFERENTIALGLEICHUNGS-SYSTEME DER EIGENWERTE MITTELS DIGITALEN RECHENMASCHINE
Gy.
OBÁDOVICS
ZUSAMMENFASSUNG
des Aufsatzes werden die beukannten Thesen der bezüglich der gerwöhnlichen linearen Eigenwertprob-leme Diffezrentiaágleichun2. Grades gen für die mit den des verDifferentialgleiohungssystemen Typs (1)-(5) bundenen Im zweiten wird Abschnitt die verallvgemeinert. sog. Eígernwertprobleme Green'sche Funktionsmatrix für der dem Vektorbzw. Matrixdiffedie mit Lösung n-ten verbundenen íhre Grades Randwertprohleme Wntialgleichungssystem definiert, die zum Problem des und dass selbstadnacvhgewiesen, Elgepschaften untersucht Junglerten Randwerts Greewsche Funktionsmatrix gerader Ordnung gethörige ,,querIm
Abschnitt
ersten
Selbstadiungierten
Symmetrisch"
ist.
driwtten Ím" fur
gferte Frage dle urch
Abschnítt
der der bezügliwch Sdhátzung EigewnDer vierte Absehnitt bewhan-delt generalisiert. für die Bestimmung Eigenwerte dver Differentialgleichungssysteme der sukzessíven und es wird das bzw. Approximatúon Programm der auf einer mítelektroniscthen Rechenmaschine Lösung digítalen werden
die
Thesen
Differentialgleiwchungssysteme der
Methoden
ÉÁSSÍÍÉÍÍ-agramm 1
15*
.
22 7
PROBLEMS
EIGENVALUE SYSTEM
OF DIFFERENTIAL DETERMINING THE EIGENN ELECTRONIC DIGITAL COMPUTER
AND BY
Dr.
J.
Gy.
EGUATION VALUES
OBÁDOVICS
SUMMARY The Íirst the known theses cwhapter of the dissertation generalizes to relating of the common linear differential the eígenvalue self-adjugated pro-blems equations order them on the of 2 m-th to the extending eigenvalue prowblems related diffe. of type rential The second equation system. (1)-(5). chapter gives the definition of called function the so Green's matrix so solve the value bowundary problem connecvewctor wí-th the or matríx ted differential order equation syste-m of n'th examining and íts that Green's functíon matrix to the properties proving belonging self-adjuof even order is "cross The third eigevnvalue gated problem symmetrícal". dhapter theses to the evaluatíon the of the forr the case gene-ralizes relating eigenvalues of differentíal The fourth relates the determínation owf the equatíon chapter systems. of diwfferential of successive eigenvalues equation systems by the methods approximation afterward the or flow of solvíng chart describing program by electronic
digital
computer.
DES VALEURS DIFFERENTIELLES CALCULATRICE
PROBLEMES
Dr.
ET
PROPRES LEUR
DES CALCUL
ÉLECTRONIOUE J.
Gy.
SYSTEMES A UAIDE DIGITALE
DÉGUATIONS D'UNE
OBÁDOVICS
R É S U M É Íauteur les théses connues des chapítre généralise problémes 2 m des dífférentielles linéaires d'ordre de équatíons communes, valídité sur les de valeur relatifs au pwour problémes probpre systéme la le deuxiéme 11 définit diffé-rentielles de types (l) á (5). Dans déquatíons chapítre en de Green résoudre un de valeur matríce de fownction proxbléme marginale povur de avec des différentielle de rapport systémes déquation matrice, respectivement vewcteur Il exawmina ses et prouve 1a matrice de Green dordrewn. apparpropríétés que dordre de paír de caracté tenant au ets prowbléme de vawleur marginale ,,symétrique transversal". les théses concernant Iestimation valeurs Le trowísiéme des généralise chapítre le cas des difíérentielle. Le chapitre propre-s systémwes déquation pour quatriéme les méthodes valeurs traite de la déterminatioan sucwcessive des par dapproximation des ensuite décrit le programme, respecpropres déquatíon systémes differentielle, de la solutiown tivement le diagramwme de bloc calculatrice électrownique présente par Dans
de
valeur
digitale.
228
le
premier
propre leur étendre
A
MÜSZAKI EGYETEM NEHEZIPARI KÖZLEMENYEI KÖTET
XIV.
A
Műszaki
Nehézipari
fokozat;
ipari
Műszaki
oktatói
Egyetem cím
doktori
i11.
Egyetem
elnyeréséért KohóBánya-,
által a kandidátusa tudományok doktora, tudományok és továbbá a Nehézbenyújtott elfogadott disszertációk, és Karán doktori Gépészmernöki megvédett egyetemi
rövid
disszertációk
kivonatai
SZERKESZTŐ
Dr.
BIZOTTSÁG
BÉDA felelős
Dr.
FALK
KÁLDOR
Dr. Dr.
TAKÁCS
GYULA szerkesztő
RICHÁRD
_
MIHÁLY
GELEJI
Dr.
Dr.
ERNŐ Dr.
évekből
19w60-63-as
az
ifj. Dr.
VINCZE
ENDRE
MISKOLC 1967
SÁNDOR
SÁLYI
ISTVÁN
TERPLÁN
ZÉNÓ
ábrák
Az
legtöbbjét
a
szenkesztők
irányításával
ISTVÁNNÉ
HERCZEG műszaki
rajzoló
készítette
Saj tó
Dr.
alá
rendezte
TERPLÁN
ZÉNÓ
tanár egyetemi irányításával
Dr.
VINCZE egyetemi
9
Nehézipari
Műszaki
ENDRE
docens
Egyetem,
Miskolc
A
MÜSZAKI
NEHÉZIPARI
NYELVÜ
MAGYAR
EGYETEM
KÖZLEMÉNYEI
TARTALOMJEGYZÉK
Nándort
kandidátusa: Gyula, tszv. egyetemi tudományok docens, a műszaki keletkezésének és jelenlétének öntöttvasban Szilikátzárványok vizsgálata Drahos a műszaki kandidátusa: István, egyetemi tudományok docens, A hipoid-kúpfogaskerékpárok méretezésének geometriai alapjai Lévai a műszaki kandidátusa: egyetemi docens, IIDTE, tszv. tudományok szerszámmal és a foggörbe nem lefejthető Íoggörbe Egyenesélű evolutája kerekeknél kör .alakú hengeres Maschek okl. hevítése Hengerszimmetrikus bugák Tivadar, gépészmémök: Horváth a műszaki doktora: tszv. tanár, tudományok Zoltán, egyetemi A cinkkohászatban lejátszódó folyamatok termodinamikája
'.
.
-
'.
.
.
-
műszaki a docens, egyetemi vizsgálata hővezetésprobléma
Czibere Tibor, A nemlineáris
.
László,
Huszthy
.
a
tszv.
adjunktus:
egyetemi
31 43 47
-
-
kandidátusa:
tudományok potenciálelméleti
Fogpirofilnk
m1
-
61
alapon
meghatározása
számítással
a műszaki kandidátusa: docens, tudományok Szaladnya Sándor, egyetemi hidraulikus másolwóberendezés sztatikus Differenciálhenugeres egyvezérlőélíi pontosságvizsgálata Béda a műszaki kandidátusa: Módtudományok egyetemi docens, Gyula, hullám szera vizsgálatára képlékeny műszaki a Gribovszki kandidátusa: docens, tudományok László, egyetemi hőálló ötvözetekben. Maradó feszültségek Kozák a műszaki kandidátusa: docens, tudományok Imre, egyetemi Vékony alakváltozása belső korlátozott hafalú cső rugalmas-képlékeny nyomás __.__.____:_..__._.___.____
.
-
1
v.
tására .
'.
--
-
-
-
-
-
-
-
-
docens: Az S és Mn-tartalom János, egyetemi változására minőségét jellemző tulajdonságok MTA az levelező Zambó tszv. tanár, János, egyetemi legfőbb paraméterei telepítésének Az Ms acél Szombatfalvy Árpád, okl. gépészmérnök:
Vereskői öntöttvas
a
szerepe
szürke
Bányaüzemek
tagja:
-
.
rozása-------
Ádám
'.
A
okl.
Antal, földi-áram
és
("magnetotellurikus .
Obádovícs
pontjának
meghatá-
------------
J.
bányakutatómérnök, a földmágneses anizotropia")
Gyula,
értékproblémái
és
a
műszaki
tudományok jelentkező módja
kapcsolatában és meghatározási
tér
docens: egyetemi a sajátértékek
kandidátusa:
anizotropia -
Differenciálegyenlet-rendszerek kiszámítása
digitális
sajátgép
matematikai
felhasználásával
Zoltán, egyetemi alapján-----------------
Szarka
'.
.
.
Gál
A teljesítmények szénbányászatban
okl, István, mérnök-közgazdász: és lehetőségei a gessége magyar
László, szültségvizsgálata
Kapolyi
Kiegyenlítöszámítás
adjunktus:
bányarné-rnök:
okl. -
-
-
a
-
--
-
-
szüksé-
emelésének --
Bányabiztosítószerkezetek -
mátrixkalkulus
-
optikai -
-
Ie-
83
103
123
tszv. Ferenc. egyetemi Siemens-Martin-kemencék suk szempowntjábóldocens, Iván, egyetemi Tarján felmelegedésével. nyalevegö kérdés vető vizsgálata-
tanár,
Sulcz
'.
-
2
Bíró Attila, cékben
a
Péntek
'.
x
kandidátusa:
tudományok önműködő vizsgálata
-
-
-
-
-
-
szabályzá-
-
_
műszaki kandidátusa: tudományok lehűlésével illetve kapcsolatos néhány -
-
-
-
Áramlási
-
és
-
-
-
hőátadási
_
_
vizsgálat
alap__
okl. kohómérnök: és hőtechnikai
István.
Földgáz-befúvással elemzéseviszonyainak
dolgozó -
nagyolvasztó _
-_
_
flotálás levegőkiválasztásos vegyészmérnök: Károly, műszaki kandidátusa: a tudományok docens, Tibor, egyetemi álló ívelt erősen egyenes szárnyrács pwrofilos lapátokból eljárás A
okl.
Farkas Ottó, olvasztósalaltok
:.
[OC!-1
_
mélykemen-
egyetemi
docens:
összetételének
maximálisan
Vizsgálatok kialakítására
-
-
-
301
_
Méreter-
kéntelenítő -
297
._
-
Czibere tezési vezéséhez--------------__
.
263
_
bá-
A
a
-------------____.
metallurgiai Németh
-
-
kohómérnök:
okl.
műszaki
a
hőüzemének
nagy-
_
.-
Fúrt többcsatornás villamosmérnök: okl. lyukak irányított Gábor, ellenállásszelvényezése Közelszintes okl. feltárása Molnár együttes telepek Sándor, bányamé-rnök: ésfejtése--------------___ a műszaki kandidátusa: Forrai tudományok docens, egyetemi Sándor, és rekonstrukciós és ipari létebányászati főleg centralizációs Különleges, analitikus műszaki-gazdasági helyének vizsgálata sítmények telepítési a matematikai docens. kandidátusa: Vincze Endre, tudományok egyetemi és néhány alkalmegoldása függvényegyenletek trigonometriai Komplex
Márföldi
'.
áramterű
.
-_
-
-
-
-
-
-
-
_
_
._
-
,
mazása Kovács
.
--------------_-__
Ferenc,
legkedvezőbb Patvaros
-.
tusa: .
448
Steiner
egyetemi termelési
tudományos József, Bányavágathálózatok
Ferenc, egyetemi Maradékanomália-számítás
tanársegéd: kapacitásának
kritikus és Külfejtések mélységének meghatározása a műszaki kandidámunkatárs, tudományok racionális telepítése -
adiunktus, --
a -
műszaki -
-
-
-
-
-
-
tudományok -
-
-
-
-
kandidátusa: -
-
_
_
MI/IIJJKOÍIbILIíOFO.
TIXVJbI
THÍHÉÍÍOIHI
lIHC'1'TTT.VT,-X
HOIII/ITEXHI/IHECKOPO
IIPÜMMIIIZIEPIHÜCTII
(BEHPPIISI)
(JOJLBJPHxCAAHI/IIG IL-p. ,'[. Haltüopu: n
jL-p
H.
11-1)
lI.
Hccilcnulzzlullu
llyryne
.
Ocnonu
Llpaxotu:
xyóqawnnx
.
n
.
.
.
.
Crmxtamtast
.
.
.
.
.
.
.
xmmqecxnx
rn11o1r,'1,rnux
.
.
.
.
.
npsuxoíí npomaoü
c
xruc'rpy.uou'ro_xn
unnuwueunü
cmunzrrnrax
nmm-uxsx
.
pun-nemz
rcoxxouqnvxocnn)ro
nap
Jlecau:
noaunlumnouuu .
.
.
xzpnnux
nonec. IZPIIBOÍÍ nyón n cslyrlac IIOHRVIYIIJX unnrnmpnqecnnx óonnanol; Píarpen numuilprxuecnnx CHAIMPTDHÍIHBIX í). Xopeam: n 1%]mouuuaxxxnta nporzoccon, xre1'a.1.n_yprzrrr nporonamnmx T. lluóepe: Ha, neannníínoí"x Jlc(:.1e,1ona1un' npomexrm TGHJOIIpOBOIIIIOCTII IIIOTD.
ÍL-p. JL-p. jL-p.
.
sgyóu
Mautelc:
T.
1Io'rexln,11a:1:t
rr-opnn
.
.
.
ILIIJIIIIIIIPH'IC('I(OL'O
_vnpann:nnn1eí'í
.
.
.
.
nyTexu
or-none
öl
.
.
.
.
.
coporo
qyrynn
oxnoü
e .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cmmxr
c
zsommnn
Toumx
11 unxrumr
xtarnunnaxn
u
ITOSIPM,
.
105!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
102%
.
.
.
.
[L-p. H. 31141160: líaxnuní'imno xxnpnxuvrpl.x PEZBIOIIIOIXIISI pvmn11:n1; Ms cTaJn 1-1). A. CoMőczmgianbsLz: Onp0,Ie.'Ie1-un- u-ornm [l-lv. A. AOaM: AIIKBWIDOIIIHI(MarnurorosxzxyplluocIzan mnxanTponnn). r.
73%
.
.
omqyxvxonamra .
uzmccrno
47
mnma
BOJIHM Hztacluxtluníi IL-p. II. 53011: Merog: 11cc.'1e,1o1;zu11n1 1: [L-p. .'[, Fpuőocc/cu: Owrsvro-Ixxhtn uanpmrconxro Tepx1oc'roí'ír:nx cmanax fL-p. II, Koaalc: Orpaur1qeriliazr y)rpyro-ImncTnuecna:1 gtmpopxtalnn; rommcTouuofi Jannonnn Tpyóhr rrojn mnannoxr xu1_v'rpeHHero cnoücrr. n xianonertns; [I-p. H. Bepezuiceu: lirmmne cepu co,1epn-:aH11n uapvaxma
xapanwopnzgvuuunx
231 42';
.
JLHLIMPO]JBHIIIIEIJIEHOFO
rouuocTn
.
.
.
.
.
pncutyrnnqxr
nortupnoru
rn,'q)a1;;xx1uec1;oro
1:po.x11:o17i
.
.
.
JL-p. .'I. Xycmu: Orrpe_'ncaenur(sIIpO(Í)H.'Í('Í'Íayóoxs Il'(.-:-Je,1ona1nxe wznwrrluocnofí jL-p. Ill. Ca/ldÖHbílZ
zmo-
.
.
.
n
.
.
npoaranuxnuznm-u né? onpcloJeHllfí
xwrox
cncuwnxx coóoTncnnrnx nuaqenuíí LL-p 171.II. Oőczüosutt: ÍÍpOŐJHLNILI ,'1x1cpqJepeHnna.'unnax 11 pacqcr coócuwsoanhxx c unnqounü nouonuuo HIND:+ne1:'1*])0H1l0l'1 ypanuennü xrannnnbt ponofi xxarosxzvnluecnoü na oouone [L-p. JS. Capmi: Honnc-rxcalmonunfi pacueTa pacuew xlzrrpxxtmoro IIOIHJIIIOHIIJ! Tpyqzt [L-p. II. Fa/l: Hooóxo,'xn.xroc'rh u BO13NIOJHEIO(*'I'II 11pnx13no,'urre.71nnnwrxr n BHP _xfr0;[I.H0í'i IIPOMIMIIJIOIIIIOVTII Owrnuecnnqw IIPlIbTFallIH) [L-p. II. Runnüu: upenefi nanpnznvuxtsu p_xf,'r,unuuux 'rr'n:1o1301*o ,'[-p, (h, llLv/lbq: ÍÍl'c.'l(','10I'.a|IIIG poznnxm 1Ím!eHc-BÍ2lpu'o1ionm;11x HOHGÜ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
*
.
v
jL-p,
II.
muxn
Hvc.'m,1onuvxlrie
(uxnzuuuennxxxr
JL-p.
A.
aB'I'OMH'FIFIO('IÍOFO
nx
zapuuuu
Tzlpfm:
uelctyropxux
Bzzpo: An|uunHamlllorunxn Ireunx
.
nux
m-ucfi,
11-1), Ií. HeMem:
.
nmtpncon,
Bnxjlyxál
maxruoro
1-1). JT, Helznletc:
1uarysm]nmnmIH
.
.
.
_Y(','IUBIHI .
.
n
.
.
.
.
.
.
)IG'I'a.'I.TI_V[JPII'JGCIRIIX n 'ren.'tn'rexurarmcnnx rasszt c paónrauuurxx ,1_y-"rl.e.xx IIpIIjÍ)0,'[HOI'0
*Í3.'I()'J'HIIIIH
c
BHJIGIIGHIIOJXI
Bozuyxa
.
.
mn
narpeBnM
.
.
.
.
.
.
.
.
c
TC-HJUIIepGJIENIII
ycixonnn
Anzmus
.
munmnxuux
UJHYFNIHX
13 -
yoxunnnfx
-
[Lovon-
.
_7[-p_T_ ljuőepe: IIOIIETICBJIH
1-13, O.
díaplcauz:
IOMGHHBIX
fI-p.
Pacqemnuü
TypŐHHhL
MBTOIL
líccnegxoxxaunn mnaxou
.
HüHPÉLBIIGIíHOM
IIOIÍB
HBOFHyTOFO
cocTaBa .
.
Mapgóeaböu: Cermnounpoxazume
1'.
pememn, oőpaayemoü HPOÓHJIH MaKCHMBSIBHO oóeccepnnamlunx
CUJIBHO
nonyuexuxa .
npsmoü
npoemnponanrm
lIOIIaTKaMII
('
.
o
POIIpWFHHJIGIíIIH
nmxaznmt
n
IÍIÍOFOHÜHHJBIYÖH ,
n nmexma noxromonlza nJacTon ropnzaonranlxmx jL-p. 111. IVÍO/lbl-lap: Comrecmay] anaznttrrltlecltoe Macn" nanoIlccnegxosanxte JI-p, II]. (Doppau: TexzmHo-auouoxmtleclcoo rgmmxmx: n amnmi ocoómx, oópaaoxr uenwpaxxnaaaxnouurxx pexoncxrpvnnxxo)nmx n HPOMIJIILYIUHIIHX coopvaxralmfi ropumx uoxmnoucnbxx TpIIFOIIUMOTpIJ*l('('HHX iIIYHIIIIHOIIHJLHHX JL-IL i). Buliue: Pemeuno
ypawsueuníi
JI-p
tb.
Koeau:
II
HÜKOTODHB
IIDI/IMOPDI
OHpeJLeJeHIIO Rpunmecxoü
MOIIIHOCTIT HpOIHBOJICTBBIH-IOILÍ
HX
SMS)
HPYIMBHOIWIH
myónnm
OTIIDHTHX
11-1). H. Flameapouz: PRIUIOHHJIBHOG pacnonosnerllte oc-TaTnlIHofi nnoxmsmxr JÍl-p. (I). IUINEÜHEP:PacrreT
450
-
53.;
TORR
n
nanónnoe
őnaronpnirrnnü 9.31
paspaGoTnr: cewnü
ropnux
mapaócvror:
38.7
42?
NIITTEILUNGEN
FÜR
DIE
DER
UNIVERSITÁT
TECHNISCHEN
SCHWERINDUSTRIE.
MISKOLC
(UNGARN)
INHALTSVERZEICHNIS
Dr.
Gy.
Nándori:
Dr. Dr.
Dr. Dr. Dr.
Dr. Dr.
ín
Gusse-ísen
Drahos:
I.
Lévai: Mit Zahnflankenevolute
-
-
-
-
-
-
beí
-
-
-
Problems des Bíasísw
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Dr. Dr.
Huszthy:
-
-
Dr. Dr.
Dr.
-
-
-
-
-
-
Vereslcői:
J.
Ceualítát Zambó:
Einfluss
-
-
S- und Mn-Gehalts charakterísíerendem
des
-
auf
díe
-
-
--
-
Ánderung
-
des
-
61 73
83 103 123
137
díe
der
Graugusses Eígenschaften Parameter der Von Grubenbetríeben wichtígeren Anlage Á. Szombatfalvy: des des Ms-Punktes Stahls Bestímmung A. Ádám: ím. Zusamwmenhang dem erdw Erdsvtrom und dem mít Anisotropíe Feld und Bestimihre magnetíschen (Magnewtotellurísche Anísotropíe) mungsmethode J. Gy. Obádovics: und der Dífferentíalgleichungssysteme Eígenwertprobleme Rechender Mitvtels eínerelektronischen digítalen Berechnung Eígenwerte J.
-
--
Die
161 7
-
-
-
Dr.
w
-
-
-
43 47
-
Wármeleitung -
-
der
Bestimmung
-
Dr.
-
-
-
Dr.
31
-
-
-
-' durch Berechnung Zahnprofíle S. Szaladnya Statische dífferentíalzylindríscher hydGenauigkeitsprüfung mít einer raulischer Nachformvorríchtungen Führungskante Eíné von Methodc zur Gy. Béda: DÍaSUSCÍTSűI Wcllen Untersuchung L. Gribovszki: Bleíbende ín vszárínebestáíndígen L-egíerungen Spannungen I. Kozák: Deformatíon eínes Verhinderte dünwandígen elastísch-plastísche Röhres ínneren D-ruc-ks ínfolge
L.
7
-
und
Zahnflanke Rádern
níchtlínearen
3
-
Hypoíd-
von
-
-
-
-
zylíndríschen Byöcke der Zinkmetallurgíe
der
--
-
abwálzbare
ín
Prozesse
Silíkat-
von
-
Dimensíoníe-rung
zylíndrísch-symmetrischen der
-
-
XVerkzeug níchtkreísíörmígeíí
Erwármuung Z. Horváth: Thermodynamik T. Czibere: Untersuchung auf potentíaltheoretíscheír
Anwesezuheít
und -
-
geradschneídígem
Maschek:
T.
-
geometrischeíí
der
Grundlagen kegelzahnradpaaren
I.
Ewntsteahuííg
der
Untersuchung
eínschlüsísen
--
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
179
181
maschine---w---------------195 Dr.
Z.
Dr.
I.
Dl".
Szarka:
Ausgleíchsrechnung
Gál: Notwendígkeit rischen Kohlenbergbau
L.
Optísche
Kapolyi:
und
auf
Grund
-
-
Matrízenkalküls
des
Möglíchkeíten --
-
_
Spannungsprüfung
-
-
-
-
Leistung-Steígerung
der
-
_
Unga-
-
ín
Ausbauelementen
von
229
-
ím
-
237
den
Gruben----_-___----------253 Dr.
Dr.
F.
I.
Tarján: wármung
Dr.
A.
Dr.
I.
Dr.
K.
2%
Sulcz: des Prüfung lích íhrerautomatíschen
Wármebetriebs
Síemens-Maríin-Öfen
von
Regelungeiníger grundlegenden -
-
-
-
Fragen Untersuchung Grubenwetters des Abkühlung Bíró: und StrömungsWárníeübertragungsverháltnísse Péntek: der und wármetechnischen Analyse metallurgíschen eines mit Hochofens Eínblasen von arbeitenden Erdgas Németh: Flotation mit Luft-Ausscheídung bzw.
-
-
-
-
hinsicht-
-
-
-
bezüglích -
-
ín
-
-
-
der
253
Er-
-
Tíeföten
-
267
--
293
Verháltnísse -
-
--
-
-
-
-
--
-
297 301
451
Czibere:
T.
Dr.
Berechnungsverfahren stark gewölbten zwecks Prüfungen
mit
felgitters O.
Farkas:
für
Hochofenschlacken G.
Dr.
Már-földi: entiertem
S.
Dr.
Molnár:
gerten S.
Dr.
Forrai:
Mehrkanálige Strömungsfeld
Gemeinsame Flözen
E.
Vincze:
Projektíerung
der Feststellung Entschwefelung Widerstandsprofilierung und
Schau-
Zusammensetzung
maximale
Ausrichtúng
geraden
eines
-
Abbau
von
-
der
bohrlöcher
in
zueínander
von
ori-
nahegela-
-
Technisch-wwtschaíthche
Grubenorts besonderer Rekonstruktion und tration .
zur
Profilschaufeln
Löwsung
und
und
einíge
analytische Industrieanlagen Anwendungen
Untersuchung haupátsáchlich
komplexer
de; bei
AnlageKonzen-
trigonometríscher
Funktíonalgleichungen .
F.
Kovács:
kapazítát Dr.
J.
Patvaros:
Dr.
F.
Steiner:
452
krítíschen Teufe und der Bestimmung Tagebauen von Grubenstreckennetzen Rawtíonelle Anlage
von
-
Restawnomalie-Rechnung
der
günstigen
Förder381 Í585
427
PUBLICATIONS OF
THE
OF
HEAVY
THE
UNIVERSITY
TECHNICAL MISKOLC
INDUSTRIES
(HUNGARY)
INDEX
Nándori ín
Gy.
'.
Drahos:
I.
.
I.
Lévai: tooth
of -
-
-
v-
Bases
couples. .
ínto
Inve-stigating cast-iron
sions
-
-
dímensíoning be
may cxrcular
'.
T.
Maschek:
Heatíng
'.
Z.
Horváth:
Thermodynamics
of
the Examiníng of potentials theory
problem
of
of
presence
silicate
inclu-
of
bevel
hypoid
gear
-
-
which for not
curve
evolute
and
formation
-
geometrícal
the -
Tooth curve
the -
hobbed by straight wheels cylindrical cylínder profile ingots
edgewd tool
and 31
-
symmetrical the
ín
taking
place
linear
heat
conductíon
by
calculatíon
pro-cesses
43
-
ziwncíc
the
metallurgy Dr.
the
Huszthy:
L.
'.
S.
'.
Béda: Gribovszki:
L.
.
I.
'.
J,
.
method
A
Vereskői:
characterízing Zambó:
the
'.
Á.
Szombatfalvy:
A,
Ádám:
Main
S
quality
the
plastic
deternainíng the
Ms
thín
Walled
on
the
change
tube
in
-
ín
the
ste-el
relation
the
of
aniso-tropr
mines
Z.
'.
I.
coal
179
the and
currents earth íts method
LA F.
'.
I.
'.
Necessity industry mining
Kapolyi:
Photo-optícal of
Tarján: Investígation of mine cooling
atmosphuere
or '.
A.
'_
I.
.
K.
Bíró:
Stream
and
Flotation
of
heat
by
ín
outpout ín
systems
support
principal
some
and
system .._:
-
hungarían
the
mínes
Siemens--Ma-rtín
from
furnaces
-
problems
related
the
to
warming 267
-
transfer
the
increasíng
oÍ regime regulatíon
the heat automatic of
Péntek: Analysíng furnace blast working Németh:
of
analysis
Sulcz: Investigating the of view poínt
of
-
--
possibílíties
and
177
-
of ditíferential Gy. Obádovics: Eingenvalue problems equatioun the digítal computer determining eígenvalues -by electroníc Szarka: matrix based on calculus Compensating computation
Gál:
properties -
--
'.
caused
161
of
location
of
powint
presenting (magnetotelluric -
123
alloys of
íron
the
fíe-ld -
83 103
wave
137
and Mn contents of the carst grey
itself
--
cyliwnder-
edge
heat-resístíng
ín
differential
a
controllmg
-
Determining
Anisotropy
of
accuracy owne
defowmatíon
of
parameters
and geomwagtnetic determination J.
the
on
61
statical with
-
based
-
stresses
-
not
profíles
plastic-elastic of
Effect
J.
.
-
tooth
investigating
Remaining
Kozák: Limited pressur-e by internal
'.
Dr.
for
of
-
the
Determining
the Szaladnya: Examining attachmewnt hydraulic copyíng
Gy.
'.
47
Czibere:
T.
ín
relations
and
metallurgical with
natural
air
separating
gas
deep
293
furnaces
heat-technical
injection
-
of
relation -
-
-
-
a -
297 301
453
T.
.
Dimensíoning swtrongly
Czibere:
of
consisting Dr.
O.
Dvr.
G.
Dr,
S.
blast
Márföldi:
Multi-channel
field
Molnár:
S.
_
E.
Vincze: tional
F.
Kovács: ductiown
straight
a
flange
grid 321
composítion
the
of
maximally
slags
331
bore-hole
logginug
with
directed
cur-
335
-
Simultanous
and
development
working
of
nearly
horizontal
coal
--
and and
analytical reconstructional
ínve-stigatio-n mining
of the location and industrial
-
Solvin-g equatíons
and
Determinatíon of
capacity
Dr.
J.
Patvaros:
Rational
Dr.
F.
Steiner:
Calculation
454
projecting blades form
to
reswístance
Technico-econonlical Forrai: of special, maínly centralízing
plants Dr.
order
fumace
desulfurizing
seams
Dr.
ín
Investígatians
Farkas:
rent
method for arched profiled
applications
sonue
of
the
critical
míning locationw of ro-adway
of
complex
depth
and
trigownometrical
func-
favounable
pro-
most
surface of
residuals
networks
ín
mines
-
385 427
ANNALES
ILUNIVERSITE
DE
LOURDE
DE
formation
ei-la
LINDUSTRIE
DE
MISKOLC,
(HONGRIE)
TABLE
Nándort
Gy.
'.
I.
'.
I.
'.
Drahos: denbées
Principes coniques
Lévai:
i
'.
provblémes
des silicate
dans
MATIERES
la et
la
concemant. la
présence
Íonte
géométrique
dimensíonnement
du
nypoi-des
Izexannen. de tajlle droirte
outil a circulaires .
Isértude de
ínclusions
des
DES
des
de
paires
roues
-1
--
tailxlewr des pour
de dent évolut
courbe de son
a
en
roues
développanwte cylindriques
un
par
znon-
31
-
symétriques cylindriques conwditions des se déroulant Z. Horváth Les thermodynamiques processus. du zinc lors du traitemenít métallurgique de la conduction non-linéaire Ijétude du probleme de chaleur T. Czibere: de potentiel a partim de la théorie L. Huszthy: Détermination des de dent calcul profiles par Lexamen de la précision d'un machine a S. Szaladnya: statique copier hyddun au différentiel seul taillant de commande et équipé raulique cylindre Íexamen dé Ionde Une méthode Gy. Béda: pour plastique Réchauffement
Maschek:
T.
des
lingots
43
-
47 81
-
'. '.
'.
L.
.
I.
Gribovszki: chaleur Kozák:
J.
'.
de d'une
Linvestigation Ieffet
a
Vereskői: Leffet tés caractéristiques
des
.
'.
Z.
'.
I. L.
Szarka:
1
la
déiormation élastico-plastique .-intérieure
d'un
tuyau
a
pression
S et Mn de la
en
qualité princípaux
Problemes etleur calcul
Calcul
Gál: La l'industrie le
Sulcz: de
nécessité et charbownniere
Izétude soutenement Eétude leur
des valeurs afaide d'une
dégalisation
Kapolyi:
121 modification
sur
fonte
proprié-
des
grise des
sieges
-
le
et
telluriques maéthode
et
pour
par
des
sut
calculatrice le
calcul
de
matrica
daugmenter possibilités howngroise méthodes des photoélastiques les
miwnier
réglage
basé
déquations systemes digitale électronique
des
propres
conditioans
dans
rendemen-ts
les
sollicitations
agissant
-
thermiques
des
fours
Siemens-Martin
en
Iéchauífe-
touchant -
chaleur
dans
195
229
-
-
automatique de quelques ILétude I_ Tarján: questiouns fondamentales de atmosphere et le refroidissement ment miniere et transmissíon A. Bíró: Condítions rhéologíques de profonds vue
-.
a
181
Obádovics: différentielles
Gy.
sur
F.
résistant
alliages
détemniwnation
sa
J.
'.
des
Zamnbó: Les parametres du choix de la place Á. Szombatfalvy: La détermínation du poinwt Ms de Iacier A. Ádám: des relations entre les courant Lanisotropie champ géomagneétique (anisotropie magnétotellurique)
'.
'.
la
teneurs la
pour
J.
'.
dans
83 103
._._.
mince
paroi
résíduelles
Conwtraintes
73
des
fours
.
Péntek:
I.
fourneau
Németh:
thermiques ILalnalyse des conditions de gaz naturel opéré par insufflation (fair Flottatíon par séparation
'.
K,
-.
T.
Méthode Czibere: des droit composé
'.
O.
Farkas: désulfurant
'.
G.
Étude
des maxímal
.
.
S. S.
E.
Molnár:
ILétude établissemenrts centralisés---------------Vincze:
La
Kovács:
F.
a
J.
Patvaros:
'.
F.
Steiner:
critíque
301
des
-
-
de
scories
-
-
trous
aubage 321
haut-foumeau -
de
champ
d'un
-
deffet
-
331
_
courant
de
couches
quasihorizontales
direc-
mesure
-
335
et
du choíx surtout
de
la
place
349
des
revconstruits
La des
qúelques
et
déterminatio-n
explitatiorxs Emplacement
Le
domaines
dapplication
des
équations
calcul
de
a
379
de ciel
Megjelent megyei
ouvert
Mb.
'v.:
1a
profonder 381
Vállalat,
milniéres
galeries
A
385
427
-
Béda 40
Marton
de
systemes
Dr.
példányban,
Nyom-daipuaari
de
-
des
kiadó;
et
optimale
résiduelle
Íanomalíe
500
capacité
la
raticxnnel
Felelős Borsod
et
355
solution
trigonométriques
fonctionnelles '.
-
résistance
haut 297
la construction bovmbé
de forage commun des abattage analytique techníco-économique miniers et industriels spéciaux
Préparation
Forrai:
-
-
de Márföldi: Sondage des multícanal tionnel,
.
dobtenier
d'un
-
de dimensiownnemewnt pour au fortemelnt aubes profil
possibilités
métallurgiques
et
5
Gyula terjedelemben
ív
Miskolc Szilárd
-
1967
-
10162
