ENGLISH MEDIUM OF INSTRUCTION Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan - Universitas Jember By: Risky Cahyo Purnomo (110210101007) Suci Rahmawati (110210101076) SMART SOLUTION
0.1
Number Theory
0.1.1
Exercise
1. Misalkan a dan b adalah bilangan asli dengan a>b. Jika √ √ a + b, maka nilai a-b adalah...
√ 94 + 2 2013 =
p
2. Miasalkan p dan q bilangan prima. Jika diketahui persamaan x2014 −px2013 + q = 0 mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka nilai p + q adalah... 3. Koefisien x2013 pada ekspansi (1 + x)4026 + x(1 + x)4025 + x2 (1 + x)4024 + ... + x2013 (1 + x)2013 adalah... 4. Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah... 5. Buktikan bahwa 4971328 habis dibagi 24 !
0.1.2
Result
q √ 2 √ √ √ √ 1. Untuk a, b ≥ 0 berlaku ( a+ b) = a + b + 2 ab ⇔ a + b = (a + b) + 2 ab. p √ √ √ Padahal 94+2 2013 = (61+33)+2 61 × 33. Oleh karena itu, 94 + 2 2013 = √ √ √ √ a + b = 61 + 33. Sehingga a − b = 61 − 33 = 28. √
1
2. Misalkan salah satu akar bulat dari persamaan x2014 − px2013 + q = 0 adalah t. Maka diperoleh t2014 − pt2013 + q = 0 ⇔ q = t2013 (p − t). Perhatikan juga bahwa −1 dan 0 bukan merupakan akar-akar persamaan x2014 −px2013 + q = 0. Sehingga dengan mengingat bahwa q adalah bilangan prima diperoleh t = 1. Oleh karena itu, q = p − 1 ⇔ p − q = 1. Dengan keterangan ini dapat disimpulkan bahwa salah satu dari p, q harus genap. Dan karena bilangan prima genap hanya 2 maka kita peroleh q = 2 dan p = 3. Jadi, p + q = 5. 4026 3. Koefisien x2013 dari (1 + x)4026 adalah C2013 4025 Koefisien x2013 dari x(1 + x)4025 adalah C2012 4024 Koefisien x2013 dari x2 (1 + x)4024 adalah C2011
... ... ... Koefisien x2013 dari x2012 (1 + x)2014 adalah C12014 Koefisien x2013 dari x2013 (1 + x)2013 adalah C02013 Dengan menggunakan identitas, C0m + C1m+1 + C2m+2 + ... + Ckm+k = Ckm+k+1 diperoleh koefisien x2013 pada ekspansi (1 + x)4026 + x(1 + x)4025 + x2 (1 + 4026 4027 4025 = C2013 + C2013 x)4024 + ... + x2013 (1 + x)2013 yaitu, C02013 + C12014 + ... + C2012
4. Misal kedua bilangan tersebut adalah a dan b maka a2 − b2 = 2012 ⇔ (a + b)(a − b) = 2012. Oleh karena itu, (a + b) dan (a − b) adalah faktor positif dari 2012. Karena faktor positif dari 2012 adalah 1, 2, 4, 503, 1006 dan 2012. Selain itu, karena (a + b) dan (a − b) paritasnya sama maka nilai yang mungkin adalah a + b = 1006 dan a = b = 2. Sehingga diperoleh, a = 504 dan b = 502. 5. Suatu bilangan habis dibagi 2n jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n .
2
Jadi 4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16
0.2
Algebra
0.2.1
Exercise
1. Jika fungsi f didefinisikan oleh f (x) =
kx ,x 2x+3
6= − 23 , k konstanta memenuhi
f (f (x)) = x untuk setiap bilangan real x, kecuali x = − 32 maka nilai k adalah... 2. Jika diberikan (x2 − x − 1)x−2 = 1, maka banyak bilangan bulat x yang merupakan solusi dari persamaan tersebut adalah . . . 3. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang terbesar di dalam barisan bilangan tersebut? 4. Jika α, β, dan γ adalah akar-akar persamaan x3 − x − 1 = 0 tentukan 1+α 1−α
+
1+β 1−β
+
1+γ 1−γ
...
5. Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f (1) = 8 dan f (8) =. NIlai dari f (0) − f (1) + f (2) − f (3) + f (4) − f (5) + f (6) − f (7) + f (8) − f (9) adalah...
0.2.2
Result
1. Untuk x = 1 diperoleh f (f (1)) = 1 f ( k5 ) = 1 k2 2k+15
=1
k 2 − 2k − 15 = 0 (k − 5)(k + 3) = 0 Mudah di cek bahwa k = −3 memenuhi f (f (x)) = x 3
2. Kemungkinan yang terjadi x + 2 = 0 dengan syarat x2 − x − 1 6= 0 maka (x2 − x − 1)x+2 = 1 Sehingga diperoleh x = −2 x2 − x − 1 = 1 maka x2 − x − 2 = 0 sehingga diperoleh x = −1, x = 2 x2 − x − 1 = 1 maka x2 − x = 0 sehingga diperoleh x = 0, x = 1 Tetapi jika x = 1,maka (−1)3 = −1, sehingga x = 1 tidak memenuhi. Harga x yang memenuhi adalah x = −2, −1, 0, dan 2. Dengan demikian ada 4 harga x yang memenuhi. 3. misal bilangan bulat yang dimaksud adalah a − 50, a − 49, a − 1, a, a + 1, ..., a + 49, a + 50. a − 50 + a − 49 + + a − 1 + a + a + 1 + ... + a + 49 + a + 50 = 101 101a = 101 a=1 Jadi bilangan bulat terbesar adalah a + 50 = 1 + 50 = 51 4. α + β + γ = − B =0 A αβ + αγ + βγ =
C A
=
−1 1
= −1
αβγ = − D = − −1 =1 A 1 1+α 1−α
+
1+β 1−β
+
1+γ 1−γ
=
(1+α)(1−β)(1−γ)+(1+β)(1−α)(1−γ)+(1+γ)(1−α)(1−β) (1−α)(1−β)(1−γ)
=3 − (α + β + γ) − (αβ + αγ + βγ) + 3αβγ = 3−(0)−(−1)+3(1) 1−0+(−1)−1 =−7 5. Misalkan f (x) = ax2 + bx + c maka diperoleh, a+b+c=8 64a + 8b + c = 1 4
Kurangkan persamaan pertama ada persamaan kedua sehingga diperoleh 63a + 7b = −7 ⇔ 9a + b = −1. Selain itu, f (0) − f (1) = c − (a + b + c) = −a − b f (2) − f (3) = (4a + 2b + c) − (9a + 3b + c) = −5a − b f (4) − f (5) = (16a + 4b + c) − (25a + 5b + c) = −9a − b f (6) − f (7) = (36a + 6b + c) − (49a + 7b + c) = −13a − b f (8) − f (9) = (64a + 8b + c) − (81a + 9b + c) = −17a − b Sehingga diperoleh, f (0) − f (1) + f (2) − f (3) + f (4) − f (5) + f (6) − f (7) + f (8) − f (9) = −45a − 5b = −5(9a + b) = (−5) × (−1) =5
0.3
Geometry
0.3.1
Exercise
1. DIketahui bahwa besar tiap sudut dari segi-n bertaturan adalah 179, 99◦ . Jika keliling dari segi-n tersebut adalah 36 satuan, maka panjang sisinya adalah...satuan. 2. Pada segitiga ABC diketahui panjang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak lurus sisi AB memotong sisi AB di titik D. Tentukan panjang CD... 3. Diberikan segitiga lancip ABC dengan AB > AC dan memiliki titik pusat lingkaran luar O. Garis BO dan CO memotong garis bagi ∠BAC berturutturut di titik P dan Q. Selanjutnya garis BQ dan CP berpotongan di titik R. Buktikan bahwa garis AR tegak lurus terhadap garis BC. 5
√ 4. Pada Limas beraturan T.ABCD, TA=TB=TC=TD= 3 cm dan ABCD bujur sangkar dengan sisi 2 cm, besar sudut antara bidang TAB dan bidang TCD adalah... 5. Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan AB = 3, AC = 5, dan BC = 5 serta D merupakan tittik tengah BC. JIka r dan s berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABD dan ADC maka nilai dari
0.3.2
1 r
+
1 s
adalah...
Result
1. Karena besar tiap sudut dari segi-n beraturan adalah 179, 99◦ maka diperoleh, 179, 99◦ = 180◦ − 360◦ n
360◦ n
= 0, 01◦
n = 36.000 Oleh karena itu, panjang sisi segi-36.000 beraturan tersebut ialah 0, 001 satuan. 2. Misalkan AD = x → BD = 6 − x CD2 = AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2 52 − x2 = 72 − (62 − x2 ) 24 = 36 − 12x + x2 − x2 → x = 1 CD2 = 52 − 12 √ CD = 2 6
6
36 36.000
=
3. Perhatikan sketsa di bawah ini!
Misalkan ∠BAC = α maka diperoleh ∠BOC = 2α.
Yang berakibat
∠OCB = 90◦ − α. Oleh karena itu, untuk membuktikan AG ⊥ BC cukup dibuktikan ∠CHG = α. Padahal kita punya, ∠CHG = ∠HCA+∠CAH = ∠OAC + ∠CAH Jadi, cukup dibuktikan ∠CAH = ∠OAB. Akan tetapi karena AD garis bagi ∠BAC maka cukup ditunjukkan ∠OAD = ∠RAD. Misalkan E adalah perpotongan garis BC dan OR maka diperoleh rasio (BDCE) harmonic. Demikian pula dengan memanfaatkan pencil P (BDCE) diperoleh rasio (OF RE) juga harmonic. Karena AD garis bagi ∠BAC dan rasio (BDCE) harmonic berakibat ∠EAD = 90◦ . Demikian pula, karena rasio (OF RE) harmonic dan ∠EAF = ∠EAD = 90◦ maka ∠OAF = ∠RAF . Oleh karena itu, ∠OAD = ∠OAF = ∠RAF = ∠RAD seperti yang diharapkan. Jadi, terbukti AG ⊥ BC. 4. T E = T F =
√
T A2 − AE 2 =
√
3−1=
7
√
2 cm
EF = 2 cm Sudut antara bidang TAB dan TCD adalah α. Dengan aturan cos2 diperoleh cos α =
T E 2 +T F 2 −EF 2 2.T E.T E
cos α =
2+2−4 2.2
=0
α = 90◦ 5. Perhatikan gambar di bawah ini!
Karena D adalah titik tengah BC dan ABC siku-siku di A maka diperoleh AD = BD = CD = 1 Luas4ABC 2
5 . 2
Selain itu, luas 4ABD=Luas 4ADC =
= 3. Ingat pula bahwa, r=
Luas4ABD 1 Keliling4ABD 2
dan s=
Luas4ADC 1 Keliling4ADC 2
maka 1 r
+
1 s
=
1 (3+4+5+5) 2
3
8
=
17 6
0.4
Probability
0.4.1
Exercise
1. Ada berapa cara menyusun semua huruf DU ARIBU DU ABELAS dengan syarat huruf I dan E berdekatan? 2. Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul angka 6 adalah.... 3. Dalam suatu pertemuan, setiap pria berjabat tangan dengan setiap orang kecuali dengan istrinya, dan tidak ada jabat tangan diantara sesama wanita. Jika yang menghadiri pertemuan tersebut ada sebanyak 13 pasang suami istri, ada berapa banyak jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut? 4. Lima buah dadu dilempar satu demi satu, lalu hasil kali lima angka yang muncul dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144? 5. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah ...
0.4.2
Result
1. Untuk memudahkan kelompokkan I dan E menjadi satu dan anggap sebagai satu huruf. Maka akan disusun 14 huruf dengan A berulang 3 kali, B berulang 2 kali, D berulang 2 kali, dan U berulang 3 kali. Jadi banyak cara menyusun keempat belas huruf itu adalah
9
14! . 3!×2!×2!×3!
Karena huruf I dan E dapat disusun dalam 2 cara maka total ada 14! 3!×2!×3!
2×14! 3!×2!×2!×3!
=
cara.
2. Tanpa mengurangi keumuman misalkan tos pertama muncul angka 6. Maka pada tos kedua sampai dengan tos keenam hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22. Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu Yang muncul angka: 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada
5! 4!
= 5 cara.
Yang muncul angka: 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada
5! 3!
= 20 cara.
Yang muncul angka: 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada
5! 2!×3!
= 10 cara.
Sehingga total ada 5 + 20 + 10 = 35 cara jika pada tos pertama muncul angka 6. Karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka 6 berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu 6 × 35 = 210 cara. 3. Perhatikan dua kasus berikut : Banyak jabat tangan di antara pria adalah C213 = 78 Banyak jabat tangan antara pria dan wanita adalah 13 × 12 = 156 Jadi, total ada 78 + 156 = 234 jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut. 4. Hasil kali 180 didapat jika angka-angka yang muncul adalah: (1, 1, 5, 6, 6), (1, 2, 3, 5, 6), (1, 3, 3, 4, 5), (2, 2, 3, 3, 5). Banyaknya permutasi mereka berturut-turut adalah 5! , 5!, 5! , 5! , 2!2! 2! 2!2!
jumlahnya adalah 30 + 120 + 60 + 30 = 240. Maka probabil-
itas didapatnya hasil kali 180 adalah 240 × ( 16 )5 = ( 240 )5 . 6 Hasil kali 144 didapat jika angka-angkanya (1, 1, 4, 6, 6), (1, 2, 2, 6, 6), (1, 2, 3, 4, 6), (1, 3, 3, 4, 4), (2, 2, 3, 3, 4), (2, 2, 2, 3, 6). Banyaknya permutasi adalah
5! 5! 5! 5! , 5! , 5!, 2!2! , 2!2! , 3! , 2!2! 2!2!
totalnya adalah 30 +
30 + 120 + 30 + 30 + 20 = 260. Probabilitas muncul hasil kali 144 adalah
10
260 × ( 16 )5 = ( 260 )5 . 6 5. Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan 2 wanita atau 2 pria dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita . Banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah 7 C4 ·5 C1 +7 C3 ·5 C2 +7 C2 +5 C3 +7 C1 +5 C4 +7 C0 +5 C5 = 35 · 5 + 35 · 10 + 21 · 10 + 7 · 5 + 1 · 1 = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771
11
