Ellenáll. llások a. ltség. A szinuszosan váltakozv U = 4V U = 4V I = 0,21A

A szinuszosan vá váltakozó ltakozó feszü feszültsé ltség

Ellenállások a váltakozó áramú körben

Ueff

U eff =

U max 2

Összeállította: CSISZÁR IMRE

U (t ) = U max ⋅ sin (314,16 ⋅ t )

SZTE, Ságvári E. Gyakorló Gimnázium SZEGED, 2006. május

Induktí Induktív ellená ellenállá llás


Vizsgáljuk meg mekkora ellenállást mutat egy tekercs egyenáramú és váltakozó áramú áramkörben! (1200 menet vasmaggal)

Kísérlet: Vizsgáljuk meg hogyan függ a tekercs ellenállása a váltakozó áram frekvenciájától! (1200 menet vasmaggal)

Kísérlet:

Tapasztalat:

Egyenáramú körben:

U = 4V I = 0,21A Regyen = 19

Ω

Váltakozó áramú körben:

U = 4V I = 0,044A Rváltó = 91

Ω

A jelentıs önindukcióval rendelkezı tekercs ellenállása váltakozó áramú áramkörben lényegesen nagyobb, mint egyenáramú körben, tehát ohmos ellenállásán kívül rendelkezik másfajta áramkorlátozó hatással is.

Tapasztalat: A tekercs ellenállása a váltakozó áram frekvenciájával egyenesen arányos.

1



1200 menetes vasmag nélkül

1200 menetes vasmaggal

U = 4V I = 0,22A R = 18

U = 4V I = 0,043A R = 93

Tapasztalat: A tekercs ellenállása együtthatójával.

1200 menetes zárt vasmaggal U = 10V I = 0,023A R = 434

Kapcsoljunk egy ideális tekercset (ohmikus ellenállása nulla) szinuszosan változó feszültség generátorra. ő

Kísérlet: Vizsgáljuk meg hogyan függ a tekercs ellenállása az önindukciós együtthatójától!

Mint az ismeretes, a tekercs kivezetésein önindukciós feszültség jelenik meg, melynek nagysága:

U = −L

∆I ∆t

A tekercs áramát a generátor és ezen önindukciós feszültség együttesen határozzák meg:

U max ⋅ sin(ωt ) − L

∆I = RI ∆t

Mivel a tekercs ohmikus ellenállása nulla, ezért:

U max ⋅ sin(ωt ) = L egyenesen

arányos

az

önindukciós

Milyen I=I(t) függvény elégíti ki ezt a (differenciál)egyenletet?

Induktí Induktív ellená ellenállá llás Keressük azt az I(t) függvényt, melynek diferenciálhányados függvénye az alábbi függvény:

Induktí Induktív ellená ellenállá llás idı

szerinti

dI U = I ′(t ) = max ⋅ sin(ωt ) dt L Deriválással meggyızıdhetünk róla, hogy a keresett függvény az alábbi: U

I (t ) = −

max

ωL

⋅ cos(ωt )

∆I ∆t

I (t ) =

π U max  ⋅ sin  ωt −  ωL 2  Imax

⇒

I max =

U max U = max ωL Rte ker cs

jele: XL

Következmény: • Az ideális tekercs induktív ellenállása:

X L = ωL = 2π ⋅ f ⋅ L

(Összhangban a kísérleti tapasztalatainkal)

Mivel:

π  − cos( x ) = sin  x −  2 

• Ha csak ideális tekercs van a körben, akkor az áramerısség 90°-os (π/2) fáziskésésben van a feszültséghez képest.

ϕ=+

π 2

2


Kapacití Kapacitív ellená ellenállá llás Kísérlet:

Vizsgáljuk meg mekkora ellenállást mutat egy kondenzátor egyenáramú és váltakozó áramú áramkörben! (C=6 F) ω

U(t)=Umax·sin( t)

Tapasztalat:

Egyenáramú körben: U I ω

I(t)=Imax·sin( t - π ) 2

ϕ=+

Váltakozó áramú körben:

U = 4V I = 0A Regyen = végtelen

U = 8V I = 0,034A Rváltó = 235

Ω

A kondenzátor egyenáramú körben szakadásként viselkedik, váltakozó áramú áramkörben véges ellenállást képvisel.

π 2

Kapacití Kapacitív ellená ellenállá llás

Kapacití Kapacitív ellená ellenállá llás Kísérlet: Vizsgáljuk meg hogyan függ a kondenzátor ellenállása a kapacitásától!

Kísérlet: Vizsgáljuk meg hogyan függ a kondenzátor ellenállása a váltakozó áram frekvenciájától! (C=2 F)

Tapasztalat: A kondenzátor ellenállása a váltakozó áram frekvenciájával fordítottan arányos.

U = 6V I = 0,0096A R = 625

U = 6V I = 0,0037A R = 1621

12 F -os kondenzátor U = 6V I = 0,024A R = 250

6 F -os kondenzátor

2 F -os kondenzátor

Tapasztalat: A kondenzátor ellenállása fordítottan arányos a kapacitásával.

3



ő

Kapcsoljunk egy kondenzátort szinuszosan változó feszültség generátorra. A kondenzátor periódikusan feltöltıdik és kisül, a generátor feszültsége biztosítja a kondenzátor feszültségét, melynek nagysága:

Mivel:

U ′(t ) = ω ⋅ U max ⋅ cos(ωt )

Így az I(t) függvény:

I (t ) = C ⋅ ω ⋅ U max ⋅ cos(ωt ) =

U (t ) = U max ⋅ sin(ωt )

A kondenzátor töltését az I(t) erısségő töltıáram szállítja kis t idıtartam alatt Q=I · t mennyiségő töltést, tehát az áram pillanatnyi értéke:

I (t ) =

∆Q(t ) ∆(CU (t ) ) ∆U (t ) = =C ∆t ∆t ∆t

Mivel: Mint az ismeretes, a kondenzátor feszültsége arányos rá vitt töltéssel, azaz Q = C ·U.

U max ⋅ cos(ωt ) 1 ω ⋅C

π  cos(x ) = sin  x +  2 

Tehát az I(t) függvény az U(t) függvény deriváltjának segítségével számítható ki.

Kapacití Kapacitív ellená ellenállá llás U max π  ⋅ sin  ωt +  1 2  ω ⋅C

Imax

⇒

I max =

Következmény:

U max U max = 1 Rkond . ω ⋅C

U(t)=Umax·sin( t) ω

I (t ) =


jele: XC

I

1 1 • A kondenzátor kapacitív ellenállása: X C = = ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C

U

(Összhangban a kísérleti tapasztalatainkal)

• Ha csak kondenzátor van a körben, akkor az áramerısség 90°-ot (π/2) „siet” a feszültséghez képest.

ϕ=−

π

ω

I(t)=Imax·sin( t +

ϕ=−

π 2

)

π 2

2

4

ı

Soros RLRL-kör vizsgá vizsgálata

ı

Meglep feszü feszültsé ltségek Adott effektív értékő váltakozó feszültségő áramforrásra kapcsoljunk sorba egy ohmos ellenállást, egy tekercset és egy kondenzátort. Mérjük meg az effektív feszültségeket az egyes áramköri elemeken!

ULeff = 19V

zárt 1cm 68

UCeff = 16V

UReff = 5V

Kapcsoljunk sorba egy ohmos (azaz elhanyagolható önindukciójú) ellenállást és egy ideális (azaz elhanyagolható ohmos ellenállású) tekercset váltakozó feszültségre. Vizsgáljuk meg a feszültség és áram viszonyokat! 300menet

Az egyes áramköri elemekre külön-külön igaz a korábban megismert Ohm törvény:

R=

XL =

Ueff = 10V

200 1200 zárt 0,5cm 6 F

XL = 56,4

I eff U L eff

Az L tekercsre kapcsolt feszültségmérö által mutatott feszültség.

I eff


R = 58

Az ellenállás feszültsége az áramerısséggel azonos fázisban van, a tekercs feszültsége viszont egy negyed peridossal el van tolódva, ugyanis a feszültség 90°-kal siet az áramhoz képest.

Ha csak az R ellenállást kapcsoljuk be az áramkörbe: Ueff = 2V Ieff = 0,0345A

Az R ellenállásra kapcsolt feszültségmérö által mutatott feszültség.

UR(t)=URmax·sin( t) ω

Ieff = 0,0355A

Soros RLRL-kör vizsgá vizsgálata Ha csak a tekercset kapcsoljuk be az áramkörbe: Ueff = 2V

U R eff

Ieff = 0,0215A

⇒

Rered = 93 ı

Ueff = 2V

Ha a tekercset is és az R ellenállást is bekapcsoljuk az áramkörbe: ULmax

Az ellenállások összegzésére nem igaz az egyenáramú áramköröknél megismert összefüggés! Mérjük meg az egyes elemekre jutó effektív feszültséget, illetve az áramforrás feszültségét! UReff = 3V Váltakozó áramú körökben az effektív feszültségekre nem igaz ULeff = 3,2V az egyenáramú áramköröknél Ueff = 5V megismert huroktörvény!

URmax

I(t)=Imax·sin( t) UL(t)=ULmax·sin( t + π ) 2 φ

ω

ω

⇒

(pozitív, 0 és 90° között)

5



⇒

való osztással

ULeff

XL

Ueff

Rered

φ

2 -vel

A váltakozó áramú Ohm-törvény:

UReff

URmax

Mivel az egyes áramköri elemekre külön-külön igaz a korábban megismert Ohm törvény: U

I eff

I eff

Z 2 = R 2 + X L2

cos ϕ =

Illetve a feszültség és az áram közötti fázisszög:

U R eff

φ

R=

L eff

U eff

Z=

R

U eff2 = U R2 eff + U L2eff

XL =

A váltakozó áramú áramkörök eredö ellenállásának a neve: IMPEDANCIA, jele: Z

φ

Umax φ

ULmax

Így a fentihez hasonló vektprábra az ellenállásokra is igaz:

ı

A huroktörvény a feszültségek pillanatnyi értékeire fennáll, az effektív feszültségek között más összefüggés írható fel:

I eff

Soros RCRC-kör vizsgá vizsgálata

Kapcsoljunk sorba egy ohmos (azaz elhanyagolható önindukciójú) ellenállást és egy kondenzátort váltakozó feszültségre. Vizsgáljuk meg a feszültség és áram viszonyokat! 12 F 200

R Z

pozitív


Az ellenállás feszültsége az áramerısséggel azonos fázisban van, a kondenzátor feszültsége viszont egy negyed peridossal el van tolódva, ugyanis a feszültség 90°-kal késik az áramhoz képest. ω

UR(t)=URmax·sin( t)

URmax UCmax

⇒

φ

ω

I(t)=Imax·sin( t) UL(t)=ULmax·sin( t ω

Mérjük meg az egyes elemekre jutó effektív feszültséget, illetve az áramforrás feszültségét! UReff = 2,8V Váltakozó áramú körökben az effektív feszültségekre nem igaz UCeff = 3,6V az egyenáramú áramköröknél Ueff = 5V megismert huroktörvény!

π)

2

(nagatív, 0 és 90° között)

6



A huroktörvény a feszültségek pillanatnyi értékeire fennáll, az effektív feszültségek között más összefüggés írható fel: URmax

R

2 -vel való osztással

Umax φ

⇒

Umax

UCmax

XC

φ

URmax

φ

UCmax

Így a fentihez hasonló vektorábra az ellenállásokra is igaz:

Z

Z 2 = R 2 + X C2

U eff2 = U R2 eff + U C2 eff Mivel az egyes áramköri elemekre külön-külön igaz a korábban megismert Ohm törvény: U C eff

I eff

R=

cos ϕ =

U R eff

φ

XC =

Illetve a feszültség és az áram közötti fázisszög:

I eff

R Z

negatív

Soros RLCRLC-kör A soros RL és RC körök vizsgálatához hasonlóan az alábbi eredményre juthatunk:

XL

XC

Z

Z = R2 + (X L − X C )

2

φ

XL - XC

R

A feszültség és az áram közötti fázisszög:

cos ϕ =

R Z

Ha φ pozitiv akkor az áram „késik” a feszültséghez képest Ha φ negavtív, akkor az áram „siet” a feszültséghez képest

7

Ellenáll. llások a. ltség. A szinuszosan váltakozv U = 4V U = 4V I = 0,21A

Recommend Documents