Elektrotechnika
Ballagi Áron
Bemutatkozás • Ballagi Áron egyetemi adjunktus • • • • •
Széchenyi István Egyetem, Automatizálási Tanszék C707‐es szoba Tel.: 3255 E‐mail:
[email protected] Web: http://www.sze.hu/~ballagi/elektrotechnika/
Elektrotechnika
x/2
Amivel foglalkozom: Robotok intelligens irányítása • Ipari robotok • Autonóm mobil robotok • Robot kooperáció • • • •
Fuzzy kommunikáció Szimuláció Távvezérlés Mikro robotok
Elektrotechnika
x/3
Robot szimuláció • •
Marilou Robotics Studio ICE ‐ távvezérlés
Elektrotechnika
x/4
Kísérleti mikro robotok
Elektrotechnika
x/5
Kísérleti mikro robotok
Elektrotechnika
x/6
Elektrotechnika
Elektrotechnika
x/7
Tematika • •
Villamosságtan alapjai Hálózatszámítás • •
• •
Egyenáramú hálózatok Váltakozóáramú hálózatok
Villamos és mágneses tér Villamos gépek • • • • •
Transzformátorok Aszinkron gépek Szinkron gépek Egyenáramú gépek Különleges gépek
Elektrotechnika
x/8
Irodalom • Dr. Hodossy László, Elektrotechnika c. jegyzet, Universitas‐Győr Kht. Győr, 2006. http://jegyzet.sze.hu/ • Selmeczi‐Schnöller: Villamosságtan I‐II. 49203/I‐II. KKVMF
Elektrotechnika
x/9
Követelmények • Előadás látogatása • Vizsga • Félév teljes anyagából, gyakorlat orientált, írásban
• Kreditátvitel feltételei: • Felsőfokú, leckekönyvvel és tematikával igazolt tárgy. Középiskola nem elfogadható!
• Megajánlott jegy: • Szakirányú tanulmányok igazolása bizonyítvánnyal és tematikával. • Minimum 4 (jó) szintű érdemjegy. • Beadás a 2009.09.14‐ei előadáson (után)! Elektrotechnika
x/10
Villamosságtan alapjai
Elektrotechnika
x/11
Az atom szerkezete • Atommag • Proton – pozitív töltés • Neutron ‐ semleges
• Elektronhéj • Elektronok – negatív töltés • Az elektron héjon keringő elektronok száma : 2∙K2
Elektrotechnika
12
Elektromos töltések • A villamos jelenségek alapja az elemi töltések létezése. • Proton töltés: Q = 1.6 ⋅10−19 C p • Elektron töltése: Q = −1.6 ⋅10−19 C
• A töltés
e
• jelölése: Q • mértékegysége a Coulomb, jele: C 18 • 1C = 6.25 ⋅10 e = 6.25 trillió elektron
• Az elektromos töltések egymásra ható ereje lehet vonzó és taszító – egyneműek taszítják, különneműek vonzzák egymást. • Megkülönböztetünk, pozitív és negatív töltéseket
Elektrotechnika
x/13
Vezető, szigetelő, félvezető anyagok • Vezetők • főleg a fémek és a szén • külső héjon 1÷3 elektron, könnyű leadás és felvétel
• Szigetelők • külső héjon 4 vagy több elektron, nehéz kiszakítás és helyfoglalás
• Félvezetők • vezetővel „szennyezett” szigetelő, „lyuk” alakulnak ki ahol az elektron már át tud lépni. pl. szilícium alumíniummal szennyezve
Elektrotechnika
x/14
Galvánelem • A kémiai folyamat elektron‐ hiányt, illetve –fölösleget eredményez • cink lemez – elektronfölösleg (negatív pólus) • réz lemez – elektronhiány (pozitív pólus)
Elektrotechnika
15
Töltés (elektron) áramlás • Ha a galvánelem pólusait egy fém vezetővel összekötjük, akkor az elektronok „átfolynak” cink lemezről a réz lemezre. • elektromos feszültség • elektromos áram
Elektrotechnika
16
Elektromos feszültség A Q töltés mozgatása közben végzett W munka és a Q töltés hányadosával meghatározott fizikai mennyiség a feszültség. W U=
Q
• Az elektromos feszültség valójában egy elektromos áramkör két pontja közötti töltés vagy potenciál különbség. • Más megfogalmazásban: egy elektromos mezőben létrejövő helyzeti energia, ami elektromos áramot hoz létre egy elektromos vezetőben. • jelölése: U • mértékegysége: volt, jele: V
• A feszültség „esik”
[U ] =
[W ] = 1 joule (J) = 1 volt (V) [Q ] 1 coulomb (C)
Elektrotechnika
x/17
Jellemző feszültségek Normálelem Szárazelem Akkumulátorcella Gépjármű‐akkumulátor Kéziszerszám‐motor Érinthető feszültség felső határa Lakások villamos hálózata Közúti villamos Helyiérdekű villamos Városi kábel hálózatok Erőművi generátorok Nagyvasúti vontatás Távvezetékek Országos távvezetékek Nemzetközi távvezetékek Transzkontinentális távvezetékek Elektrotechnika
1.0183 1.5 2 6‐12 24‐42 65 230 (220) 550 1000 3000‐5000 10000 25000 30000‐60000 110000 220000 750000‐1000000
V V V V V V V V V V V V V V V V
x/18
Szabványos feszültség elnevezések • 42 V‐ig törpefeszültség • 42 – 250 V kisfeszültség • 250 V felett nagyfeszültség
Elektrotechnika
x/19
Elektromos áram A vezető keresztmetszetén áthaladó Q töltés és a töltés áthaladásához szükséges t idő hányadosával meghatározott fizikai mennyiség az áramerősség I=
Q t
• Az elektromos töltések mozgását, áramlását az elektromos árammal jellemezzük. • jelölése: I • mértékegysége: amper, jele: A
1 coulomb (C) = 1 amper (A) 1 szekundum (s)
• Az áram „folyik”
Elektrotechnika
x/20
Jellemző áramerőségek Észlelhető alsó határ Halálos áramerősség (szíven áthaladva) Mosógép Vasaló Hőkandalló Szerszámgép motor Gépjármű‐indítómotor indításkor Televízióadók Nagyvasúti mozdony indításkor Alumínium elektrolízis Villám
Elektrotechnika
0.01 0.1 1‐5 2‐5 10‐20 10‐50 100‐200 100‐1000 1000‐1500 10000‐50000 50000‐100000
A A A A A A A A A A A
x/21
A villamos töltés „új” definíciója A coulomb az a villamos töltés, amely 1 amper állandó erősségű áramot vivő villamos vezető bármely keresztmetszetén 1 másodperc idő alatt áthalad. 1 C = 1 As
• Az As helyett a gyakorlatban általában az amper‐órát (Ah) használjuk 1 Ah = 3600 As
Elektrotechnika
x/22
Feladatok 1. Egy fémvezetőben Q = 2 C töltés áramlik, és közben W = 200 J munkát végez. Mekkora a feszültség a vezető két végpontja között? U=
W 200 J = = 100 V Q 2C
2. Mekkora munkát végez Q = 10 C töltés , ha U = 220 V feszültségű pontok között áramlik? W = Q ⋅ U = 10 C ⋅ 220 V = 2200 J
3. Mekkora töltés végez W = 3800 J munkát U = 190 V feszültségű pontok között? Q=
W 3800 J = = 20 C U 190 V Elektrotechnika
x/23
Feladatok 4. Mekkora munkát végez egy elektron, ha U = 1 V feszültségű pontok között „repül át”? A töltés az elektron töltése, vagyis: Q = e = 1.6 ⋅10−19 C
Az elektron által végzett munka: W = e ⋅ U = 1.6 ⋅10−19 C ⋅1 V = 1.6 ⋅10−19 J
Az atomfizikában egyetlen elektron 1 V feszültségű pontok közötti munkáját külön egységként kezelik, neve: elektronvolt, jele: eV 1 eV = 1.6 ⋅10−19 J
5. Mekkora az áramerősség az 1. példában, ha t = 0.1 s? (Q = 2 C) I=
Q 2C = = 20 A t 0.1 s Elektrotechnika
x/24
Feladatok 6. Mekkora töltés halmozódik fel egy akkumulátorban, ha I = 50 mA áramerősség t = 2 h ideig tölti? I = 50 mA = 50 ⋅ 0.001 = 0.05 A t = 2 h = 7200 s Q = I ⋅ t = 0.05 A ⋅ 7200 s = 360 C Q = 0.05 A ⋅ 2 h = 0.1 Ah
7. Mennyi idő alatt halmozódik fel Q = 60 Ah villamos töltés, ha az áramerősség I = 8 A? t=
Q 60 Ah = = 7.5 h I 8A
Elektrotechnika
x/25
Villamos hálózatok, „áramkörök” • Az egyszerű „áramkör” az áramforrásból, a fogyasztóból, a kettőt összekötő vezetékből (és egy kapcsolóból) áll.
Elektrotechnika
x/26
Elektromos áram észlelhető hatásai • Hőhatás • Vegyi hatás • Mágneses hatás
Elektrotechnika
x/27
Áramerősség mérése (ampermérő) • Mágneses hatás alapján • állandó mágnesű, lengőtekercses műszer, Deprez‐műszer • az áramot átvezetjük a lengőtekercsen, az áramerősség nagyságával arányosan mozdul el.
• Az árammérőt mindig sorba kötjük a mérendő körbe! Elektrotechnika
x/28
A feszültség mérése (voltmérő) • Átalakított (nagy belső ellenállású) állandó mágnesű műszer
• A feszültség mindig két pont között mérhető, tehát a voltmérőt mindig a fogyasztó (vagy a mérendő szakasz) két végpontja közé, párhuzamosan kell kapcsolni Elektrotechnika
x/29
Az elektromos ellenállás
Elektrotechnika
x/30
Elektromos ellenállás ‐ kísérlet
U (V)
I (A)
V/A
10
0.22
45
20
0.44
45
50
1.1
45
70
1.54
45
100
2.2
45
150
3.3
45
220
4.8
45
U = állandó I Elektrotechnika
x/31
Elektromos ellenállás – Ohm törvénye A feszültség és az áramerősség hányadosával meghatározott fizikai mennyiség jellemző az adott vezetőre, ez az adott vezető ellenállása R=
U I
• Ohm törvénye • ellenállás jelölése: R • mértékegysége: ohm, jele: Ω
1 volt (V) V = 1 ohm (Ω= ) 1 amper (A) A
Elektrotechnika
x/32
Példák 1. Egy motortekercs ellenállását U = 6 V feszültséggel mérjük. Az áramerősség I = 8 A. Mekkora a tekercs ellenállása?
R=
U 6V = = 0.75 Ω I 8A
Elektrotechnika
x/33
Példák 2. Egy távvezetéknek kezdőpontján (táppontján), az erőműben, I = 300 A áramerősséget vezetnek be. A távvezeték ellenállása 25 Ω. Számítsuk ki, hogy a táppont és a fogyasztói pont között, vagyis a távvezetéken mekkora a feszültség esés. U = I ⋅ R = 300 ⋅ 25 = 7500 V = 7.5 kV
A vezeték mentén mérhető feszültségesés csökkenti a táppont feszültségét.
3. Mekkora egy melegvíz‐tároló fűtőtest ellenállása, ha 220 V‐on 6.36 A áramot vesz fel? R=
U 220 V = = 34.6 Ω I 6.36 A Elektrotechnika
x/34
Példák 4. Egy nedves ember testellenállása R = 2200 Ω; véletlen érintés következtében U = 220 V feszültséget hidal át. Mekkora az emberi testen áthaladó áramerősség? I=
220 V U = = 0.1 A = 100 mA R 2200 Ω
100 mA már halálos lehet!
5. Száraz körülmények között az emberi test ellenállása elérheti az R = 5000 Ω‐ot; mekkora feszültséget hidalhat át, ha legfeljebb I = 13 mA áramot engedünk át a szervezeten? U = I ⋅ R = 0.013 ⋅ 5000 = 65 V
Ez az érintési feszültség. A szabványok a megengedett érintési feszültséget 65 V‐ban szabják meg. Elektrotechnika
x/35
Példák 6. Egy U = 220 V feszültségre kapcsolt vezeték szigetelésén keresztül a föld felé I = 5 mA szivárgó áramerősséget mérünk. Mekkora a vezeték szigetelési ellenállása? R=
220 V U = = 44000 Ω = 44 kΩ I 0.005 A
A szigetelési ellenállások rendszerint megaohm (MΩ) nagyságrendűek
7. Egy ampermérő belső ellenállása 0.2 Ω; a mutató végkitéréséhez 250 mV feszültség szükséges. Mekkora áramot mérhetünk, ha a mutató végkitéréséig kileng? I=
U 250 mV 0.250 V = = = 1.25 A 0.2 Ω 0.2 Ω R Elektrotechnika
x/36
Vezeték ellenállása ‐ kísérlet 1. Mérjük meg egy A keresztmetszetű, l hosszúságú fűtőhuzal ellenállását! 2. Növeljük a huzal hosszát kétszeresére, azt tapasztaljuk, hogy az ellenállása is kétszeresére nő. 3. Növeljük a keresztmetszetét kétszeresére! A mérési adatok azt mutatják, hogy az ellenállása feleakkora lesz! R∼
l A
4. Ismételjük meg a kísérletet más‐más anyagokkal! Az R értéke anyagonként eltérő lesz – az ellenállás anyag függő!
Elektrotechnika
x/37
A vezető ellenállása – fajlagos ellenállás A vezető ellenállása a hosszával egyenesen, keresztmetszetével fordítottan arányos. A ρ arányossági tényező az anyagra jellemző fajlagos ellenállás. R=ρ
l A
• Fajlagos ellenállás • valamely anyag 1 mm2 keresztmetszetű, 1 m hosszú darabjának az ellenállása. Jele: ρ, mértékegysége: mm 2 −6 Ω
Elektrotechnika
m
= 10 Ωm
x/38
Fajlagos ellenállás
Elektrotechnika
Anyag
Vegyjel
réz
Cu
ρ ⎡ mm 2 ⎤ ⎢Ω m ⎥ ⎣ ⎦ 0.0178
alumínium Al
0.0286
ezüst
Ag
0.0160
arany
Au
0.0220
x/39
Példák 1. Egyszerű alumínium vezetékköteg hosszát kell meghatározni. A vezeték kiterítésére megfelelő hely nem áll rendelkezésre, ezért Ohm törvénye alapján ellenállásmérést végzünk. A fajlagos ellenállás ismert ρ = 0.03 Ωmm2/m, a keresztmetszet A = 25 mm2, a mért értékek: U = 6 V, I = 10 A. R=
U 6V = = 0.6 Ω I 10 A
l = R⋅
Elektrotechnika
A
ρ
= 0.6 ⋅
25 = 500 m 0.03
x/40
Példák 2. Két, egymástól 10 km‐re fekvő falut 3 mm átmérőjű, vörösrézből készített távbeszélő‐vezetékpár köt össze. Mekkora a vezetékpár ellenállása? A vezeték teljes hossza:
l = 2 ⋅10 km = 20 km = 20000 m
d 2 ⋅ π 32 ⋅ π = = 7.1 mm 2 A vezeték keresztmetszete: A = 4 4
A vezetékpár ellenállása:
R=ρ⋅
l 20000 = 0.0175 ⋅ = 49.3 Ω R 7.1
Elektrotechnika
x/41
Példák 3. Egy vasaló ellenállása R = 93 Ω, a fűtőszál hossza l = 5.9 m, fajlagos ellenállása ρ = 1.1 Ωmm2/m (króm‐nikkel). Mekkora a fűtőszál keresztmetszete? A= ρ⋅
l 5.9 = 1.1 ⋅ = 0.07 mm 2 R 93
Elektrotechnika
x/42
Az ellenállás hőmérséklet függése ‐ kísérlet 1. Mérjük meg egy fűtőszál ellenállását ϑ0 kiindulási (hideg) hőmérsékleten; jelöljük az ellenállást ekkor R0‐val! 2. Növeljük a fűtőszál hőmérsékletét ϑ1 hőmérsékletre, és közben ismét mérjük az ellenállást (R1). A hőmérséklet különbség: Δϑ = ϑ1 ‐ ϑ0. 3. A mérési adatokat táblázatba foglaljuk. Δϑ = ϑ1 ‐ ϑ0
R0
R1
[°C]
[Ω]
[Ω]
R1 − R2 R0
0
20
‐
‐
50
20
24
0.2
100
20
28
0.4
150
20
32
0.6
200
20
36
0.8
Elektrotechnika
x/43
Az ellenállás hőmérséklet függése A hőmérséklet növekedésével a fémek ellenállása arányosan növekszik. Az α arányossági tényező az anyagra jellemző hőfoktényező. R1 = R0 (1 + α ⋅ Δϑ )
Anyag
⎡1⎤
α ⎢ ⎥ ⎣ °C ⎦
Alumínium
0.0037
Réz
0.0039
• Fémeknél:
α ≈4
0
00
K
• A folyadékok, a szén és a félvezetők hőfoktényezője negatív! Hőmérséklet emelkedés hatására ellenállásuk csökken. (NTK – Negatív‐Temperatúra‐Koefficiens) Elektrotechnika
x/44
Példák 1. Egyenáramú motor réz tekercsének ellenállása ϑ0 = 10 °C‐on R0 = 1.45 Ω, felmelegedve pedig R1 = 1.886 Ω; a hőfoktényező α = 0.00392. Számítsuk ki a tekercs üzemi hőmérsékletét! R1 = R0 (1 + α ⋅ Δϑ ) Δϑ = ϑ1 − ϑ0 =
R1 − R0 1.886 − 1.45 = = 77 °C α ⋅ R0 0.00392 ⋅1.45
ϑ1 = Δϑ + ϑ0 = 77 + 10 = 87 °C
Elektrotechnika
x/45
Egyenáramú hálózatok
Elektrotechnika
x/46
Egyenáramú hálózatok elemei • Aktív elemek • feszültséggenerátor • áramgenerátor
• Passzív elemek • ellenállás • (ideális vezeték) • (ideális szigetelés)
Elektrotechnika
x/47
Egyenáramú hálózatok elemei • Feszültséggenerátor
• Áramgenerátor
• a kapcsain mindig Ug feszültség mérhető
• Az áramgenerátoron mindig Ig áram folyik
U
I Ideális
Ug
Ig valós
Uk
Ideális
valós
I
U Elektrotechnika
48
Egyenáramú hálózatok elemei • Vezeték
• Szigetelés, szakadás
• a vezetéken sosem esik feszültség
• a szakadáson sosem folyik áram
Elektrotechnika
49
Hálózatszámítási alap törvények • Ohm törvénye
R=
U I
I=
U R
U = I ⋅R
Elektrotechnika
x/50
Hálózatszámítási alap törvények • Kirchhoff I. vagy csomóponti törvénye: • A csomópont áramainak előjelhelyes összege nulla.
I1 + I 2 − I 3 − I 4 − I 5 = 0 I1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 n
∑I j =1
j
=0
Elektrotechnika
x/51
Hálózatszámítási alap törvények • Kirchhoff II. vagy huroktörvénye: • A hurokban szereplő feszültségek előjelhelyes összege nulla.
U1 + U 2 − U 3 + U 4 − U 5 = 0 m
∑U i =1
i
=0
Elektrotechnika
x/52
Egyenáramú hálózatok kapcsolása • Soros kapcsolás
• Párhuzamos kapcsolás
• Sorosan kapcsolt elemeken az áram azonos (csomóponti törvény) I = IR
• Párhuzamosan kapcsolt elemeken a feszültség azonos U1 = U 2 = U
Elektrotechnika
53
Ellenállások soros kapcsolása
• Ohm törvénye alapján: R1 =
U U U1 U , R2 = 2 , R3 = 3 ,… Rn = n I1 I2 I3 In
• Kirchhoff csomóponti törvénye alapján: I1 = I 2 = I 3 = … = I n = I e • Kirchhoff huroktörvénye alapján:
Elektrotechnika
U1 + U 2 + U 3 + … + U n = U e
x/54
Ellenállások soros kapcsolása
Res =
U e U1 + U 2 + U 3 + … + U n = Ie Ie
Res =
U1 U 2 U 3 U + + +… + n I1 I 2 I 3 In
Res = R1 + R2 + R3 + … + Rn n
Res = ∑ Ri i =1
Sorosan kapcsolt ellenállások eredője a részellenállások összegével egyenlő Elektrotechnika
x/55
Ellenállások párhuzamos kapcsolása
• Ohm törvénye alapján: R1 =
U U U1 U , R2 = 2 , R3 = 3 ,… Rm = m I1 I2 I3 Im
• Kirchhoff csomóponti törvénye alapján: I1 + I 2 + I 3 + … + I m = I e • Kirchhoff huroktörvénye alapján:
Elektrotechnika
U1 = U 2 = U 3 = … = U m = U e
x/56
Ellenállások párhuzamos kapcsolása
U 1 1 Rep = e = = Ie I1 + I 2 + I 3 + … + I m Ie Ue Ue 1 Rep = I1 I 2 I 3 I + + +… + m U1 U 2 U 3 Um
Rep =
Rep =
1 1 1 1 1 + + +… + R1 R2 R3 Rm 1 m
1 ∑ j =1 R j
m
Ge = ∑ Gi i =1
Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő vezetése a részvezetések összegével egyenlő Elektrotechnika
x/57
Ellenállások párhuzamos kapcsolása • Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője Re12 =
Re12 =
Re12 =
1 1 1 + R1 R2 1 R ⋅R = 1 2 R2 + R1 R1 + R2 R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R2 = R2 × R1 R1 + R2
Elektrotechnika
x/58
Példák
RAB=?
RAB = ( R1 + R2 ) × R3 RAB =
(1000 + 500) ⋅ 300 = 250Ω 1000 + 500 + 300
Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω
Elektrotechnika
x/59
Példák
RAB=?
RAB = R1 × ( R2 + R3 + R4 ) RAB = Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω
Elektrotechnika
1000 ⋅ (500 + 300 + 200) = 500Ω 1000 + 500 + 300 + 200
x/60
Példák
RAB=?
RAB = R1 × R4 RAB = Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω
Elektrotechnika
1000 ⋅ 200 = 166.6Ω 1000 + 200
x/61
Példák
RAB=? RAB = R1 × R2 × R3 × R4
RAB =
Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω
Elektrotechnika
1 1 1 1 1 + + + 1000 500 300 200
= 88.23Ω
x/62
Példák
RAB=? RAB = 0Ω
Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω
Elektrotechnika
x/63
Példák
RAB=? RAB = R1 × R2
RAB = Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω
Elektrotechnika
1000 ⋅ 500 = 333.3Ω 1000 + 500
x/64
Példák
RAB=?
Ahol: R1 = 1 kΩ R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω R4 = 200 Ω R5 = 2 kΩ R6 = 750 Ω R7 = 1.2 kΩ
RAB =
RAB
((( R + R ) × R ) + R ) × R 5
6
4
3
2
+ R1
⎛ (2000 + 750) ⋅ 200 ⎞ + 300 ⎟ ⋅ 500 ⎜ 2000 + 750 + 200 ⎠ = ⎝ + 1000 = 1.25k Ω + ⋅ (2000 750) 200 ⎛ ⎞ + 300 ⎟ + 500 ⎜ ⎝ 2000 + 750 + 200 ⎠
Elektrotechnika
x/65
Feszültségosztó U g = U1 + U 2 U1 = I ⋅ R1 U 2 = I ⋅ R2
U 2 = I ⋅ R2 I=
Ug R1 + R2
U1 I ⋅ R1 = U 2 I ⋅ R2
U2 =
U1 R1 = U 2 R2
U2 = U g ⋅
Ug R1 + R2
⋅ R2
R2 R1 + R2
Feszültségosztóban a feszültség az ellenállásokkal egyenes arányban oszlik meg.
Elektrotechnika
x/66
Áramosztó I = I1 + I 2 I1 =
U R1
I2 =
U R2
U I1 R1 = I2 U R2 I1 R2 = I 2 R1
I2 =
U R2
U = I ⋅ Re = I ⋅ ( R1 × R2 ) = I ⋅ I2 =
R1 ⋅ R2 R1 + R2
R ⋅R 1 ⋅I ⋅ 1 2 R2 R1 + R2
I2 = I ⋅
R1 R1 + R2
Áramosztókban az áram az ellenállásokkal fordított arányban oszlik meg. Elektrotechnika
x/67
Példák U g = 10V R1 = R2 = R3 = R4 = 10Ω U2 = ?
200 R2 × ( R3 + R4 ) 10 × 20 U2 = U g ⋅ = 10 ⋅ = 10 ⋅ 30 = 4V 200 R1 + R2 × ( R3 + R4 ) 10 + 10 × 20 10 + 30 R4 U4 = U2 ⋅ = 4 ⋅ 0.5 = 2V R3 + R4 U1 = U g − U 2 = U g ⋅
R1 = 6V R1 + R2 × ( R3 + R4 ) Elektrotechnika
x/68
Példák
Ig = 4A R1 = R2 = R3 = R4 = 10Ω I2 , I4 = ?
I2 = I g ⋅
R3 + R4 8 = A = 2.6 A R2 + ( R3 + R4 ) 3
80 V = 26.6V 3 R2 4 I4 = I g − I2 = I g ⋅ = A = 1.3 A R2 + R3 + R4 3
U 2 = I 2 ⋅ R2 =
Elektrotechnika
x/69
Feszültség és áram mérése
Rm =
Um Im
Példa: Egy tipikus alapműszer végkitéréséhez tartozó értékek:
U m = 50 mV I m = 50 μ A 50 ⋅10−3V = 1000 Ω = 1 k Ω Rm = 50 ⋅10−6 A Elektrotechnika
x/70
Feszültség‐méréshatár kiterjesztése
n=
Re =
UM Um
U e U M − U m n ⋅ U m − U m (n − 1) ⋅ U m = = = = (n − 1) ⋅ Rm Im Im Im Ie
Előtétellenállás:
Re = (n − 1) ⋅ Rm
Elektrotechnika
x/71
Feszültség‐méréshatár kiterjesztése A feszültségmérő voltonkénti belső ellenállása
e=
Rm + Re ⎡ k Ω ⎤ =⎢ UM ⎣ V ⎥⎦
Példa:
e=
Rm + Re 1 k Ω + 99 k Ω kΩ = = 20 UM V 5V
az alapműszer adataival is ezt kapjuk:
e=
Rm kΩ 1 kΩ = = 20 U m 50 mV V
Elektrotechnika
x/72
Áram‐méréshatár kiterjesztése
IM Im U Um Um Um Rm Rs = s = = = = I s I M − I m n ⋅ I m − I m (n − 1) ⋅ I m (n − 1) n=
Söntellenállás:
Rs =
Rm (n − 1)
Elektrotechnika
x/73
Ellenállások csillag (Y) ‐delta (háromszög) átalakítása
I.
R1 + R2 = R12 × ( R23 + R13 ) =
R12 ( R23 + R13 ) R12 + R13 + R23
II.
R2 + R3 = R23 × ( R13 + R12 ) =
R23 ( R13 + R12 ) R12 + R13 + R23
III.
R1 + R3 = R13 × ( R12 + R23 ) =
R13 ( R12 + R23 ) R12 + R13 + R23
Elektrotechnika
x/74
Ellenállások csillag ‐ delta átalakítása
Delta‐csillag átalakítás:
Csillag‐delta átalakítás:
R12 ⋅ R13 Rh R ⋅R R2 = 12 23 Rh
R1 ⋅ R2 RY R ⋅R R13 = 1 3 RY
R ⋅R R3 = 13 23 Rh
R23 =
Rh = R12 + R13 + R23
1 1 1 1 = + + RY R1 R2 R3
R12 =
R1 =
Elektrotechnika
R 2 ⋅ R3 RY
x/75
Példa
RAB=?
Elektrotechnika
x/76
Példák
Rh = R1 + R3 + R5 = 1 + 1 + 1 = 3 k Ω
R6 =
R1 ⋅ R5 1 ⋅1 = = 0.3 k Ω Rh 3
R7 =
R3 ⋅ R5 1 ⋅1 = = 0.3 k Ω Rh 3
R8 =
R3 ⋅ R1 1 ⋅1 = = 0.3 k Ω Rh 3
RAB = R8 + (( R6 + R2 ) × ( R7 + R4 )) RAB = 0.3 +
Elektrotechnika
2.3 ⋅ 2.3 = 1.5 k Ω 2.3 + 2.3
77
Példák Számítsuk ki a kapcsolásban jelölt feszültségeket és áramokat
R1 = R2 = R3 = 40Ω
R4 = 60Ω R5 = 120Ω U 0 = 300V Re = R1 × R2 + R3 + R4 × R5 = 40Ω × 40Ω + 40Ω + 60Ω × 120Ω = 100Ω R1 40Ω U 0 300V I2 = I3 ⋅ = 3A ⋅ = 1,5 A I3 = = = 3A 40 40 R + R Ω + Ω 1 2 Re 100Ω R5 120Ω I4 = I3 ⋅ = 3A ⋅ = 2A 60Ω + 120Ω R4 + R5 U1 = U 2 = I 2 ⋅ R2 = 1,5 A ⋅ 40Ω = 60V
U 4 = I 4 ⋅ R4 = 2 A ⋅ 60Ω = 120V Elektrotechnika
78
Példák Számítsuk ki a kapcsolásban jelölt feszültségeket és áramokat
R1 = R2 = R3 = 30Ω R4 = R5 = 60Ω U 0 = 420V Re = R1 + R2 + R3 × R4 + R5 = 30Ω + 30Ω + 60Ω × 30Ω + 60Ω = 140Ω
I1 = I 5 =
U 0 420V = = 3A Re 140Ω
U1 = I1 ⋅ R1 = 3 A ⋅ 30Ω = 90V U15 = U 0 − U1 = 420V − 90V = 330V I 3 = I1 ⋅
60Ω R4 = 3A ⋅ = 2A 30Ω + 60Ω R3 + R4 Elektrotechnika
79
Teljesítményszámítás, hatásfok
Valamely villamos hálózati elem feszültségének és áramának szorzata a villamos teljesítmény vagy munkavégző képesség:
U2 P =U ⋅I = = I2 ⋅R R
1W = 1V ⋅1A
A villamos munka vagy energia:
W = E = P ⋅t = U ⋅ I ⋅t
1Ws = 1V ⋅1A ⋅1s
Ha egy villamos hálózatban megkülönböztethető a hasznos és az összes teljesítmény, akkor a hatásfok:
η=
Phasznos Pösszes
Elektrotechnika
80
Teljesítményillesztés Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az aktív kétpólus a legnagyobb teljesítményt szolgáltassa, tehát keressük meg a P=f(Rt) függvény maximumát! A körben folyó áram:
Ug I= Rb + Rt A terhelésre jutó teljesítmény:
P = I 2 ⋅ Rt = U g2 ⋅
Rt ( Rb + Rt ) 2
Az aktív kétpólus hatásfoka:
Phasznos I 2 ⋅ Rt Rt η= = 2 = Phasznos + Pveszteség I ( Rb + Rt ) Rb + Rt Elektrotechnika
81/x
Teljesítményillesztés Keressük meg a P=f(Rt) függvény maximumát. A függvény szélső értéke ott van, ahol: 2 dP 2 ( Rb + Rt ) − 2( Rb + Rt ) ⋅ Rt =Ug ⋅ =0 4 ( Rb + Rt ) dRt
Vagyis ahol: ( Rb + Rt ) 2 = 2 ⋅ ( Rb + Rt ) ⋅ Rt Illetve:
Rb + Rt = 2 ⋅ Rt
Azaz:
Rt = Rb
Ez az egyetlen szélsőérték hely a P=f(Rt) folytonos függvény 0 ≤ Rt < ∞ intervallumában, a szélsőérték maximum. A legnagyobb teljesítmény tehát: És a hatásfok:
U g2 Pmax = 4 Rb R η = b = 0,5 2 Rb
Elektrotechnika
82/x
Teljesítményillesztés A terhelésre jutó teljesítmény és hatásfok a terhelő ellenállás függvényében:
Elektrotechnika
83/x
Figyelem! A jövő heti (okt. 19.) előadás elmarad! Következő előadás október 26. MEGHÍVÓ A Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kara és a Magyar Fuzzy Társaság meghívja Önt a Second Győr Symposium on Computational Intelligence (II. Győri Számítási Intelligencia Szimpózium) tudományos előadássorozatára. Időpont és helyszín: 2009. október 19, hétfő, a Széchenyi István Egyetem VIP termében (9026 Győr, Egyetem tér 1.) Elektrotechnika
84/x
Szuperpozíció tétele • Több generátoros hálózatok számítására használható módszer • A szuperpozíció tétel csak akkor alkalmazható, ha a hálózat lineáris • A hálózat valamennyi generátorát egyszer és csakis egyszer vesszük figyelembe • A generátorok hatástalanítása (dezaktiválása):
•
•
A hálózatban található generátorokat külön‐külön, egyenként vesszük figyelembe és ezáltal részeredményeket kapunk. Valamely keresett feszültség vagy áram értékét úgy számítjuk ki, hogy a részeredmények előjelhelyes összegét képezzük. Ez utóbbi lépés a tulajdonképpeni szuperpozíció. Elektrotechnika
85/x
Példák 1. Határozzuk meg a feszültségeket a szuperpozíció tétel alkalmazásával!
Elektrotechnika
x/86
Példák 1. eset: A feszültséggenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük az áramgenerátort szakadással!
Elektrotechnika
x/87
Példák 2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral!
Elektrotechnika
x/88
Példák 2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral!
Elektrotechnika
x/89
Példák
Szuperpozíció:
Elektrotechnika
x/90
Példák 2. Határozzuk meg az R ellenállás áramát a szuperpozíció tétel alkalmazásával!
R2 I R = I1 ⋅ R + R2
U g1 I1 = R1 + R × R2
R1 R + R1
U g2 I2 = R2 + R × R1
'
'
I R'' = I 2'' ⋅
Elektrotechnika
'
I R = I R' + I R''
''
x/91
Helyettesítő generátorok tétele • Thèvenin és Norton tétele • A Thévenin‐féle helyettesítő képet akkor alkalmazzuk, ha a terhelő ellenállás jóval nagyobb a belső ellenállásnál
A Thévenin generátor:
Elektrotechnika
x/92
Helyettesítő generátorok tétele • Thèvenin és Norton tétele • Áramgenerátoros vagy Norton féle helyettesítő képet használunk akkor, ha a terhelő ellenállás sokkal kisebb, mint a belső ellenállás.
A Norton generátor:
Elektrotechnika
x/93
KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! KÉRDÉSEK? Elektrotechnika
94