Elektrotechnika. 2. előadás. Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai Intézet

Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai Intézet

Elektrotechnika 2. előadás

Összeállította: Langer Ingrid főisk. adjunktus

Kondenzátor

C

Két egymá egymással pá párhuzamos A felü felületű letű, egymá egymástó stól d távolsá volságra lé lévő fémlemezre U feszü feszültsé ltséget kapcsolva a lemezek kö között E nagysá nagyságú homogé homogén villamos té tér alakul ki.

A  0 Q U d

Q U E  A  0 d

 F   As   0  8,86  10 12      Vm m   

As C kapacitás    F(farad) V

A kapacitás a testek töltéstároló képessége Ha a felületek között εr permittivitású anyag van, akkor a kapacitás:

d

C   0r

A d

A

+

BMF BGK MEI 2008.

2

A kondenzátor feltöltése R

Ug  UR  UC  0  UR  Ug  UC UR  I  R  I 

Ug  UC

UR

I

R

dQ dU  C C dt dt U  UC dU dQ I g  C C dt R dt dU C  R  C  UC  Ug dt Q  C  UC 

Ug[V]

C

Ug

UC

t    UC  Ug 1  e    

  R  C  I[A]

I 01

Ug 1

t    1   I Ug  Ug 1  e    R    0,63Ug

I

Ug R

e



t 

 I0  e

I  I0e

0

τ

2τ

3τ

4τ





t 

t 

t[s]

BMF BGK MEI 2008.

0 0

0,5

1 τ

1,5

2 2τ

2,5

33τ

3,5

4τ4

t[s] 4,5

3

A kondenzátor kisütése R UR  UC  0  UR  UC

UR

UR  I  R  UC  I  R

I

C

dUC 1 dQ 1 Q     I C dt C dt C dI I R  dt C RC  dI  I  dt UC 

UC

UC  Ug  e

Uc [V]



  R  C 

t 

I[A]

Ug 1

I 01

I

Ug R

e



t 

I  I0e

 I0  e





t 

t 

0 0

0,5

1 τ

1,5

2 2τ

2,5

33τ

3,5

4τ4

t[s] 4,5

0 0

BMF BGK MEI 2008.

0,5

1 τ

1,5

2 2τ

2,5

33τ

3,5

4τ4

t[s] 4,5

4

L

Induktivitás

A tekercsben folyó áramra annak megváltozásakor két feszültség hat: az áramváltozást látrehozó külső generátorfeszültség és az áramváltozását akadályozó, késleltető ( a generátor feszültséggel ellentétes irányú) önindukciós feszültség.

Ui  N 

d N di   A di  N   A   N2   dt l dt l dt L [Vs/A=H, henry] önindukciós tényező, induktivitás

A tekercsek induktivitásából adódó önindukciós képessége az áramváltozás késleltetését okozza. A tekercseknek ezt a tulajdonságát áramkörökben is felhasználják. Áramköri elemként induktivitásnak nevezzük. Ideélis induktivitás: nincs ohmos ellenállása, nincs szórt fluxusa és ha van vasmagja, az veszteség nélkül átmágnesezhető.

BMF BGK MEI 2008.

5

Induktivitás viselkedése az áramkörben Bekapcsolás UR

Ug  UR  UL  0 dI dt UL  Ug  UR  Ug  I(t)  R UL Ug  I(t )  L  dI t t   R R dt   U  Ug  I0 (1  e )  R  Ug  Ug  (1  e ) L dI L I(t)  I 0 dt   R dt t Ug  I(t )  R  L 

R

I

Ug

L



t 

I(t)  I0 (1  e )

L  R

UL  Ug  e





Uc[V]

I[A]

Ug 1

I0 1

0,63I0

0 0

0,5

1 τ

1,5

2 2τ

2,5

33τ

3,5

4τ4

t[s] 4,5

0

τ

2τ

3τ

4τ

t[s]

BMF BGK MEI 2008.

6

Induktivitás viselkedése az áramkörben Kikapcsolás UR  UL  0 I(t)  R  L 

Ug

I

UR

R

L

I(t)  I0 e

UL

t  

dI dt UL  UR  I(t)  R

L dI  R dt L I(t)dt   dI R I(t) 



UL  I0  R  e

L R



t 

UL  I0  R  e τ

I[A]

2τ

3τ



t 

4τ

0

I01

-1 I 0R

0 0

0,5

1 τ

1,5

2 2τ

2,5

33τ

3,5

4τ4

t[s] 4,5

BMF BGK MEI 2008.

7

Induktivitás és kondenzátor viselkedése egyenáramú áramkörben

BMF BGK MEI 2008.

8

Váltakozó áramú hálózatok Szinuszosan váltakozó mennyiségek:

u(t)  Umax  sin(t) u (t) i (t)

idő [sec] körfrekvencia [rad/sec] Umax

Imax

amplitudó [V]

φ

t[s ]

i(t )  Imax  sin(t  ) T

fázisszög [rad]

BMF BGK MEI 2008.

9

Szinuszosan váltakozó mennyiségek középértékei Effektív érték (négyzetes középérték)

i=sinωt

Ieff

Váltakozó áram/feszültség effektív értékén azt az egyenáramot/feszültséget értjük, amely ugyanakkora ellenálláson ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt fejleszt.

U2 P   I2  R R

1 T

I 2 eff 

I2=sin2ωt

I2eff

I eff 

1 T

Ieff  BMF BGK MEI 2008.



i 2 ( t ) dt

T



i 2 ( t ) dt

0

Imax 2 10

Szinuszosan váltakozó mennyiségek középértékei i=sinωt

Ieff

Abszolút középérték (egyenáramú középérték) Váltakozó áram/feszültség abszolút középértékén azt az egyenáramot/feszültséget értjük, amely ugyanannyi idő alatt ugyanannyi töltést szállít.

Q  It

Ik

1  T

T



i( t ) dt

0

2 Ik   Imax  alaktényező: BMF BGK MEI 2008.

Imax I 2    1,11 k  eff  2 Ik  Imax 2  2  11

Ellenállás, kondenzátor és tekercs váltakozó áramú körben iR(t)

i(t)  R

uR(t)

u(t) Umax  sin(t)   Imax  sin(t) R R

u(t) és i(t) fázisban vannak iC(t)

C

u(t) 

1 1 1 i ( t ) dt   I  cos  t  dt  Imax  sin(t) max C C  C

u(t)  Umax  sin(t)

uC(t)

i(t) 90°-kal siet u(t)-hoz képest iL(t)

L

u(t)  L 

di(t) d(i  sin(t)  L  max  L    Imax  cos(t) dt dt

uL(t)

u(t)  Umax  cos( t) i(t) 90°-kal késik u(t)-hoz képest

BMF BGK MEI 2008.

12

Komplex írásmód A komplex szám megadása: 1. Algebrai alak:

2. Trigonometrikus alak: 3. Exponenciális alak (Euler formula)

x  a  jb a  Re x b  Im x

x  X  (cos  j  sin) Re x  X  cos Imx  X  sin

x  X  e j X

Re x 2  Im x 2

  arctg

j2  1

Im x Re x

Im

x j

φ

Re

u( t )  U max  sin(  t   ) i( t )  I max  sin(  t     )

Komplex írásmód

u( t )  Umax  (cos  t     j  sin t   )  Umax  e j( t   ) i( t )  I max  (cos t       j  sin t     )  Imax  e j( t    )

BMF BGK MEI 2008.

13

Fázor ábra A komplex feszültség és áram t=0 időpillanatban: u ( 0 )  U max  e j   U max i( 0 )  I max  e

j(    )

 I max

Umax

Komplex amplitudó

Imax

2

A komplex amplitudót ill. annak 2 -ed részét, a komplex effektiv értéket (U) álló síkvektoru(ábrázolja, melynek neve fázor t)  U  e j( t   )

max

i(t)  Imax  e j( t   )

U

Im

φ α

I Re

Re

Mivel az áram fázishelyzetét a feszültséghez szoktuk viszonyítani, ezért célszerű a koordináta rendszer úgy felvenni, hogy a feszültségfázor a poritív valós tengely irányába essék. Ekkor α=0, a komplex effektív érték: Im

U I

φ

U  U I  I  e j BMF BGK MEI 2008.

14

Komplex impedanciák

R

U U  e jt I   I  e j t R R

Z R  R [ ] Kapacitív impedancia

C

U

1 1 1 j t jt I dt  I  e dt  I  e   jX c  I  Z c  I C C jC





ZC 

1 [ ] j C

Induktív impedancia L

dI d(I  e jt ) U L L  j  L    I  e jt  j  XL  I  ZL  I dt dt

U  Z I

Z L  j L [  ]

Általános Ohm-törvény BMF BGK MEI 2008.

15

A komplex mennyiségek bevezetésének magyarázata Számítsuk ki az alábbi áramkör egyes ágaiban folyó áramok nagyságát!

C u1

i1

~

i3

R2

L

i2

~

R3

u2

Kirchoff-törvények: Valós időfüggvények:

Komplex mennyiségek:

 i1  i2  i3  0 t

1 uc1 (0)   i1dt  R 3  i3  u1 C1 0 R 2 i2 L 2

di2  R 3i3  u2 dt

Differenciál egyenletek

 I1  I2  I3  0 1  I1  R3  I3  U1 jC1 R2 I2  jL2  I2  R3I3  U2 Algebrai egyenletek

BMF BGK MEI 2008.

16

Váltakozó áramú teljesítmény P(t)=u(t)i(t) a szinuszosan változó áram teljesítménye időben periodikusan változik.

u(t)  Umax sin t  2  U  sin t , i(t)  Imax sin(t  )  2  I  sin(t  ) P(t)  2  U  I  sin t  sin( t  ), sin(t  )  sin t  cos   cos t  sin 

P(t)  U  I  (2 sin2 t  cos   2 sin t  cos t  sin ) 2

2 sin t  1  cos 2t,

2 sin t  cos t  sin 2t

Így az egyfázisú váltakozó áram pillanatnyi teljesítménye:

P ( t )  U  I  cos   (1  cos 2 t )  U  I  sin   sin 2 t

BMF BGK MEI 2008.

17

A hatásos és a meddő teljesítmény P(t)  U  I  cos   (1  cos 2t)  U  I  sin   sin 2t 2ω körfrekvenciával lengő cosinusgörbe, amelyiknek a szimmetriatengelye az időtengely felett UIcosφ magasságban van és e körül leng UIcosφ amplitudóval. Időbeli átlaga:

2ω körfrekvenciával lengő sinusgörbe, amelyiknek a szimmetriatengelye az időtengely,így átlagértéke 0. Amplitudója:

P=UIcosφ [W, watt]

Q=UIsinφ [var]*

hatásos teljesítmény

meddő teljesítmény *voltamper reaktív(=nem hatásos)

S=UI [VA,voltamper] látszólagos teljesítmény P/S=cosφ teljesítménytényező

BMF BGK MEI 2008.

18

Egyszerű váltakozó áramú körök Soros RL kapcsolás Im

R i u

Z jωL

Z  R  jL

uR

2

uL

~

Z  R  ( L )

L

2

L   arctg R

R

U

UL UR

Z ()  R  jL  R (1  j

L  )  R (1  j ) R 0

2 Z ()  R 1  2 0

()  arctg

ahol

0 

Re

Im

Re

R L

   0  Z  R

  0

   0  Z  

  90 

 0

BMF BGK MEI 2008.

19

Párhuzamos RL kapcsolás Im

1/R j

Y iR

i u

iL

R

~

Im

L

1 L

Re

IR IL

Re

I

1 1 1 1 R 1  Y()     (1  )  (1  j 0 ) ahol jC R  Z R jL R

20 1 1 Y()   1 2 Z() R 

()  arctg

Z()  R

1 1

2 0 2

 

0 

R L

   0  Z  0 ;

  90 

   0  Z  R ;

  0

0 

BMF BGK MEI 2008.

20

Soros RC kapcsolás Im

R

R

j

Z

Re

uR

i u

1 C

uC

~

Im

C

UR UC

Re

U

Z ()  R 

1 1   R (1  )  R (1  j 0 ) jC jC 

Z ()  R 1 

()  arctg

ahol

0 

1 RC

20 2

   0  Z   ;

   90 

   0  Z  R ;

  0

0 

BMF BGK MEI 2008.

21

Párhuzamos RC kapcsolás Im

Y jωC

i u

~

iR

iC

R

1/R

Re

Im

C

I

IC

IR

 1 1 1 1 Y()    jC  (1  jRC)  (1  j ) R R 0 Z () R

1 2 Y()  1 2 R 0

()  arctg

Z()  R

1 2

1

 20

ahol

0 

Re

1 RC

   0  Z  R

  0

   0  Z  0

  90

 0

BMF BGK MEI 2008.

22

Soros RLC kapcsolás jωL

R u

~

uR uL

R

R

Z

1 j C

uC

j

Re

C Im

1 1 Z ()  R  jL   R  j(L  ) jC C

Re

UC

Re

U

1 LC

Z ( 0 )  R ,

Thomson-képlet

(0 )  0

   0  Z  

  90

   0  Z  

  90

BMF BGK MEI 2008.

U

UC

Rezonáns körfrekvencia:

0 

Re UR

UR

Im

L 1 ()  arctg(  ) R CR

Z

UL UL

1 2 ) C

1 C

Im

L

Z()  R 2  (L 

  0 jωL

  0

Im

i

Im

jωL

Z

  0

R j

1 C

Im UL

Re

U UR

UC

Re 23

Párhuzamos RLC kapcsolás Im

jωC i u

~

iR

R

iL

Y

1/R

1/R

Y

iC

j

L

jωC

  0

Im

Re

1 L

C

j

1 1 1 1 1    jC   j(C  ) R L Z() R jL

Re

I

IL

Re

IC

IC

IR I

IL

  0

Im Y

jωC

Rezonáns körfrekvencia:

1 1 1 2 Y ()    (  L  ) Z() L R2

0 

1/R

1 LC

Z ( 0 )  R ,

()   Y ()  arctg(CR 

Re

1 L

Im Im

Y() 

  0

j

Thomson-képlet

(0 )  0

R )    0  Z  0  L

   0  Z  0  BMF BGK MEI 2008.

Re

Im IC

  90   90

1 L

I IR

IL

Re 24