Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5. lecke FELADATOK 19.) Vegyük ismét a 16. feladat h) pontjában szereplő U 2x 3 y 2 hasznossági függvénnyel rendelkező hallgatót, aki 4930 Ft-os mobilegyenlegét egy 3500Ft-os feltöltéssel megnöveli. (A változók jelentése és az árak azonosak a korábbival: x a szülőkkel, y a barátnővel folytatott beszélgetések időtartama percben, p x 29 és p y 17 .) a) Hogyan módosul a fogyasztó optimális választása? Ábrázolja a kiinduló és az új helyzetet egy koordináta rendszerben! b) Határozza meg az ICC-görbe egyenletét! Tüntesse fel az ICC-görbe grafikonját az a) ponthoz készített ábrán! c) Határozza meg x és y termék Engel-görbéjének egyenletét! Ábrázolja grafikonjaikat! 20.) Vegyük ismét a 17. feladatban szereplő fogyasztót, aki havonta 12000 Ft-ot szán x és y termék fogyasztására. A termékek egységárai kiinduló helyzetben rendre 30 és 200 Ft, a fogyasztó preferenciarendezését a két termék vonatkozásában az U ( x, y) x0,25 y 0,75 hasznossági függvény írja le. a) Hogyan változik a fogyasztó optimális választása, ha az x termék ára 40 Ft-ra nő! Ábrázolja a kiinduló és az új helyzetet egy koordináta rendszerben! b) Hogyan változik a fogyasztó optimális választása (az eredeti kiinduló helyzethez képest), ha az y termék ára 150 Ft-ra csökken! Ábrázolja a kiinduló és az új helyzetet egy koordináta rendszerben! c) Határozza meg a PCC-görbe egyenletét az x termékre vonatkozóan, majd rajzolja be a görbe grafikonját az a) ponthoz készített ábrába! d) Határozza meg a PCC-görbe egyenletét az y termékre vonatkozóan, majd rajzolja be a görbe grafikonját az b) ponthoz készített ábrába! e) Határozza meg az x termék egyéni keresleti görbéjének egyenletét, majd ábrázolja a függvényt! f) Határozza meg az x termék egyéni keresleti görbéjének egyenletét, majd ábrázolja a függvényt! 21.) * Módosítsuk a módszertani segédlet fogyasztói optimalizációval foglalkozó fejezetrészeiben megismert Kovácsék példáját az alábbiak szerint! Tegyük fel, hogy felesége megbízásából a családfő, Béla indul el virslit (x) és debrecenit (y) vásárolni. A virsli kilója továbbra is legyen 500 Ft ( p x 500 ), a debrecenié pedig 1000 Ft ( p y 1000 ). A két termékre szánt pénzmennyiségen se változtassunk, maradjon ez is 2000 Ft ( I 2000 ). Béla virslire és debrecenire vonatkozó preferenciarendezése azonban egy kicsit eltér a korábban alkalmazott U ( x, y) x y hasznossági függvény által leírttól. Béla úgy van a dologgal, hogy ha már vásárol, akkor virsliből legalább fél, debreceniből pedig legalább 1 kg-ot vesz, hasznossága pedig az U ( x, y) ( x 0,5)( y 1) összefüggés szerint alakul, ahol x 0,5 és y 1 . Béla úgy dönt, hogy a szilveszteri virsli és debreceni vásárlást saját preferenciái alapján valósítja meg. a) Határozza meg Béla optimális választását! Ábrázolja Béla költségvetési egyenesét, optimális választását, valamint néhány közömbösségi görbéjét (köztük az adott feltételek melletti maximális hasznossági szinthez tartozót is) egy arra alkalmas koordináta-rendszerben! b) Határozza meg Béla ICC-jének egyenletét! Ábrázolja az ICC-t! c) Határozza meg Béla virslire vonatkozó Engel-görbéjének egyenletét, majd ábrázolja a függvényt! 41
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– d) Határozza meg Béla virslire vonatkozó PCC-jének egyenletét, majd ábrázolja a görbét! e) Határozza meg Béla virslire vonatkozó keresleti görbéjének egyenletét, majd ábrázolja azt a közgazdaságtan hagyományainak megfelelő koordináta-rendszerben! 22.) Vegyük ismét a 18. feladatban szereplő háztartást! a) Határozza meg a háztartás ICC-görbéjének egyenletét! b) Határozza meg a háztartás Engel-görbéinek egyenletét! c) Határozza meg a háztartás PCC-görbéinek egyenletét! d) Határozza meg az x termék egyéni keresleti görbéjének egyenletét! 23.) András előző munkahelyén nettó 120 ezer Ft-ot keresett. Munkába minden nap autóbusszal járt (saját költségére), így havonta 40-szer vette igénybe a tömegközlekedést. Nemrég munkahelyet váltott, új helyén 150 ezer Ft-ot keres. Heti két alkalommal autóval jár dolgozni, busszal csak havonta 24-szer utazik. (A munkába járás költségét új munkáltatója sem téríti meg.) a) Határozza meg András tömegközlekedés iránti keresletének jövedelemrugalmasságát középponti (ívrugalmassági) formulával! b) Milyen kategóriába sorolható a tömegközlekedés a kapott jövedelemrugalmassági érték alapján? 24.) Egy háztartás valamely általa fogyasztott termékre (ennek fogyasztott mennyiségét I 50000 jelöljük x-szel!) vonatkozó Engel-görbéje x . 3000 a) Határozza meg a kereslet jövedelemrugalmasságát középponti formulával a 200 ezer és a 215 ezer Ft-os jövedelemszintek között! b) Határozza meg a kereslet jövedelemrugalmasságát 215 ezer Ft-os jövedelem esetén pontrugalmassági formulával! 25.) Egy benzinkúton a benzin árának 408 Ft-ról 400 Ft-ra való csökkentése következtében a naponta átlagosan értékesített mennyiség 21600 literről 21910 literre növekedett! a) Határozza meg a benzin iránti kereslet árrugalmassági mutatóját középponti formulával! Értelmezze a kapott eredményt! b) Hogyan változik a kút árbevétele az árcsökkentés következtében? 26.) Vegyük ismét a 20. feladatban szereplő fogyasztót, s használjuk a 20. feladat e) pontjában levezetett egyéni keresleti függvényt! a) Határozzuk meg a kereslet árrugalmasságát a középponti formula segítségével a 30 és 40 Ft-os árak között! b) Határozzuk meg a kereslet árrugalmasságát pontrugalmassági formulával a keresleti görbe valamely pontjában! 27.) Egy termék piacán a keresleti görbe lineáris, a vevők rezervációs ára 800 Ft/db, a piac 320 ezer db-nál telítődik. a) Határozza meg a keresleti görbe keresett mennyiségre rendezett egyenletét! b) Határozza meg a kereslet árrugalmasságát pontrugalmassági formula segítségével 500, 400 és 300 Ft-os egységárak esetén! Figyelje meg, hogyan alakul az árrugalmasság értéke a lineáris keresleti görbe mentén balról jobbra haladva! c) Mekkora a forgalmazók árbevétele az előző három ár esetén? Figyelje meg, hogyan változik az árbevétel, ha az árat 500-ról 400-ra, majd 400-ról 300-ra csökkentjük! Hogyan magyarázható ez a b) kérdésnél kapott árrugalmassági értékek alapján? 28.) Az egyetemi büfében a hamburger ára 400 Ft, a melegszendvicsé 370 Ft. A napi forgalom hamburgerből 40 db, melegszendvicsből 120. Szeptember utolsó hetében a büfé a hamburgerre akciót hirdet, az árat 350Ft-ra csökkenti. Ennek következtében a hamburgerből származó napi bevétel 3250 Ft-tal nő, a melegszendvics eladott mennyisége pedig 110 db-ra csökken. 42
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– a) Számítások nélkül állapítsa meg, hogy árrugalmasnak mondható-e a hamburger kereslete? b) Határozza meg pontosan a hamburger árrugalmassági mutatóját! c) Mekkora melegszendvics hamburger árára vonatkozó rugalmassági mutatója? Milyen a két termék viszonya?
43
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
MEGOLDÁSOK 19.) a) A fogyasztó helyettesítési határrátáját a korábbi optimális választás meghatározásakor, MUx 2 3x 2 y 2 3y a 16. feladat h) kérdésének megoldásánál már levezettük: MRS . MUy 2x 2x 3 2 y Ez, valamint az M RS
px 3y 29 vagyis optimumfeltétel most is ugyanaz, amelyet y-ra py 2x 17
58 x . Ha a fogyasztó mobilegyenlege a korábbi 4930-ról 3500 Ft-tal 51 megemelkedik, akkor pillanatnyilag 8430 Ft-ot beszélhet le, vagyis az új költségvetési egyenlet: 8430 29x 17 y . Ha ide y helyére beírjuk az optimumfeltétel jobb oldalát, majd megoldjuk az egyenletet, akkor az x opt 174,41 megoldás kapjuk x-re. Az optimális rendezve: y
y opt 198,35 érték az optimumfeltételbe vagy a költségvetési egyenes egyenletébe való visszahelyettesítéssel adódik. Egyenlegét továbbra is változatlan arányban osztja meg a két hívott fél között. Amilyen arányban nő az egyenleg, ugyanolyan arányban növekszik az x és az y beszélgetések optimális időtartama. Az alábbi ábrán halványabb színnel látható a kiinduló és sötétebb színnel a változások utáni helyzethez tartozó költségvetési egyenes, az elérhető maximális hasznossági szinthez tartozó közömbösségi görbe, valamint az optimális választás. y
600 500 400 300 200 198,35 116
100 0
102
0
100
174,41
200
300
400 x
58 x optimumfeltétel 51 bármely jövedelemszint esetén érvényes, vagyis ez adja meg a fogyasztó optimális választásait különböző jövedelemszintek esetén. Ez tehát a jövedelem-fogyasztási görbe (ICC-görbe) egyenlete. Az alábbi ábrán az ICC görbét piros színnel jelöltük. Jól látható, hogy a korábban meghatározott optimális kombinációk is rajta vannak az ICC-n. b) Amíg az árarányok és fogyasztói preferenciák nem változnak, az y
44
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– y
600 500 400 300 200 198,35 116
100 0
102
0
100
174,41
200
300
400 x
58 x optimumfeltételt kell 51 behelyettesíteni az I 29x 17 y költségvetési egyenes képletébe. Ha x termék Engel58 görbéjét szeretnénk kifejezni, akkor a fenti y x alak jobb oldalát kell a költségvetési 51 egyenesben y helyére helyettesíteni. Ha y termék Engel-görbéjét keressük, akkor pedig az x51 re rendezett x y optimumfeltétel jobb oldalát kell a költségvetési egyenesben x helyére 58 I írni. Az x és y termék Engel-görbéjére így rendre a következő formulákat kapjuk: x és 48,3 c) Az Engel-görbe egyenletének kifejezéséhez az y
I . A görbék diagramjai az alábbi ábrákon láthatók, amelyeken mindkét vizsgált 42,5 jövedelemszinthez tartozó optimális fogyasztási mennyiséget megjelöltük. y
45
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– I
12000 10000 8430
8000 6000
4930
4000 2000 0 0
I
102
50
100
50
100
174,41
150
200
250 x
12000 10000 8430
8000 6000
4930
4000 2000 0 0
116
198,35
150
200
250 y
20.) a) A kiinduló helyzethez tartozó optimális megoldást a 17. feladat a) kérdésénél már meghatároztuk. Ugyancsak itt levezettük azt is, hogy a fogyasztó helyettesítési határrátája y y 40 MRS . Most is ennek kell megegyezni az árak arányával: , amelyet y-ra 3x 3x 200 rendezve y 0,6x . A kapott optimumfeltételt az új 12000 40x 200y költségvetési egyenes egyenletébe írva, átrendezés után az x opt 75 optimális megoldás adódik. Ha ezt visszahelyettesítjük akár a költségvetési egyenes, akár az optimumfeltétel egyenletébe, jól látszik, hogy y optimális fogyasztási mennyisége x árváltozásának hatására nem módosul. Az alábbi ábrán az árváltozás előtti helyzet halvány színnel, az árváltozás utáni pedig sötétebb színnel látható.
46
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– y
70 60 50 45
40 30 20 10 0
75
0
100
200
300
400 x
b) A feladat az a) pontban ismertetett módon is megoldható, ehelyütt azonban egy másik, már korábban is alkalmazott módszert mutatunk be. Mivel a hasznossági függvény Cobb-Douglas típusú, ezért fogyasztónk a fogyasztásra szánt 12000 Ft-ot a kitevőknek megfelelő arányban osztja meg a két termék között. Így x termékre 3000-et, y termékre pedig 9000-et költ – bármekkora is azok ára. Ezzel jól magyarázható az a) pontban kapott eredmény is: mivel y termék ára nem változott, ezért a 9000 Ft-ból ugyanannyit tudott vásárolni, mint korábban. Most azonban pontosan az y termék ára módosul, s mivel az lecsökken 150 Ft-ra, ezért 9000 Ft-ból most már 9000 / 150 60 egységet vesz. Mivel x egységára az eredeti 30 Ft, fogyasztási mennyisége is az eredeti 100 egység. Az ábra halvány színnel a változás előtti, sötéttel a változás utáni helyzetet mutatja. y
90 80 70 60 50 45
40 30 20 10 0 0
100
200
300
400 x
c) A PCC egyenletének származtatásához az optimumfeltételből kell kiindulnunk, hiszen az optimális választás feltétele PCC minden pontjában teljesül. Mivel most azt szeretnénk képlettel kimutatni, hogy miként alakulnak az optimális választásokat x árának módosulásakor, ezért p x -et változóként kell szerepeltetnünk a képletben, míg a másik termék p y x . Adott továbbá a fogyasztó két termékre szánt jövedelme is, ára adott, vagyis 3x 200 vagyis a 12000 p x x 200y költségvetési egyenessel kell dolgoznunk, s ide kell 47
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– behelyettesítenünk a p x -re rendezett p x 200
y optimumfeltétel jobb oldalát: 3x
y x 200 y , amelyet átrendezve a PCC-görbe egyenletére y 45 -öt kapunk. 3x Ez a koordináta-rendszerben a függőleges tengely 45-ös értékéhez húzott vízszintes félegyenesként jelenik meg (lásd az ábrán pirossal), amely jól mutatja hogy bárhogy is változik az x termék ára, ez csak az x termék fogyasztott mennyiségére van hatással, y-éra nem. 12000 200
y
70 60 50 45
40 30 20 10 0
75
0
100
200
300
400 x
d) Most az y termék árát kell változóként meghagynunk az
y 30 optimumfeltételben és a 3x p y
12000 30x p y y költségvetési egyenesben. A p y ra rendezett optimumfeltételt a költségvetési egyenes egyenletébe beírva a PCC egyenletére x 100 -at kapunk (lásd az alábbi ábrán pirossal). y
90 80 70 60 50 45
40 30 20 10 0 0
100
200
300
400 x
p y x optimumfeltételből és a 3x 200 12000 p x x 200y költségvetési egyenesből származtatható, de mivel most x ára ( p x ) és
e) Az x termék egyéni keresleti görbéje ugyancsak az
48
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x optimális (keresett) mennyisége között szeretnénk kapcsolatot teremteni, ezért y-t kell kiejtetnünk az egyenletrendszerből. Ezt könnyen megtehetjük, ha y-t fejezzük ki az 3xp x optimumfeltételből: y , majd ezt írjuk be a költségvetési egyenes egyenletében y 200 3xp x 3000 helyére: 12000 p x x 200 . Innen átrendezés után az x keresleti egyenlet 200 px adódik, amely pontosan megfelel a Cobb-Douglas preferenciák esetén adódó eredménynek: fogyasztónk x termékből mindig annyit szeretne vásárolni, amennyi a termékre szánt 3000 Ftos jövedelemhányadból adott egységár mellett megvásárolható. A görbe diagramja az alábbi ábrán látható, ahol a korábban vizsgált két ár melletti kereslet nagyságát is feltüntettük. px
60 50 40 30 20 10 0
75
0
100
200
300 x
f) Az y termék keresleti görbéje az e) pontban megismert módon, lépésről-lépésre is levezethető. De ha kihasználjuk a preferenciarendezés sajátosságait, akkor abból kiindulva, hogy a fogyasztónk az y termékre 9000 Ft-ot szán, a keresleti görbe egyenlete egyszerűen 9000 y lesz. A görbe diagramja az alábbi ábrán látható, ahol a korábban vizsgált két ár py melletti kereslet nagyságát is feltüntettük. py
300 250 200 150 100 50 0 0
20
40
45
60
80
100 y
49
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 21.) a) MU x y 1 és MU y x 0,5 alapján a helyettesítési határráta
y 1 . x 0,5 Optimális választás esetén ez megegyezik az árak arányával, ezért y 1 500 0,5 . x 0,5 1000 Átrendezés után y 0,5x 0,75 . (Ez egyben az ICC egyenlete is!) Az y-ra kapott képletet az költségvetési egyenes 2000 500 x 1000 y egyenletébe beírva átrendezés után x 1,25 adódik. Ezt az ICC-be visszaírva y 1,375 . Béla optimális választását az alábbi ábra mutatja. MRS
y 2,5
2
1,5
1
0,5
0
x 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
b) Az ICC egyenletét az a) pontban már meghatároztuk, grafikonja az alábbi ábrán látható. y 3
2,5 2
1,5
1 0,5
0
x 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
c) Az ICC y-ra kifejezett egyenletét helyettesítsük be a költségvetési egyenes formulájába, ahol most I értéke ne legyen rögzített! I 500 x 1000 0,5x 0,75 , I 750 amelyből átrendezés után az Engel-görbe x . A függvény grafikonját az alábbi ábra 1000 mutatja.
50
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– I 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
x 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
d) Az x termék PCC-jének meghatározásához annak árát (px) változónak kell tekintenünk. Az optimális választás feltétele ez alapján p y 1 x , x 0,5 1000 1000( y 1) amelyből p x . Ezt költségvetési egyenes 2000 px x 1000 y egyenletébe px x 0,5 3000 x 1000 helyére beírva átrendezés után a PCCx egyenlete y , amelyből a számláló és a 2000 x 500 3x 1 nevező 1000-rel való osztása után: y . Béla virslire vonatkozó ár-fogyasztási 2 x 0,5 görbéje az alábbi ábrán kék színnel látható. y 2,5
2
1,5
1
0,5
0
x 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
p y 1 x -ből fejezzük ki y-t, majd a x 0,5 1000 kapott összefüggést írjuk be a 2000 px x 1000 y alakú költségvetési egyenesbe y helyére. 1000 0,5 p x Átrendezés után x termék keresleti görbéjére az x összefüggés adódik. Ennek 2 px diagramját mutatja az alábbi ábra. e) A keresleti görbe képletének meghatározásához
51
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– px 2000
1500
1000
500
0
x 0
0,5
1
1,5
22.) a) A helyettesítési határráta MRS
2
2,5
3
3,5
4
4,5
MUx 2 0,2x 0,8 y 0,8 y , optimális fogyasztói 0, 2 0, 2 MUy 2 x 0,8y 4x
választás esetén ez megegyezik a termékárak arányával ( p x 435 , p y 1 , ne feledjük, hogy
y 435 . Ezt átrendezve az ICC egyenlete: y 1740x . 4x 1 b) Az x termék Engel-görbéjének egyenletét az y-ra rendezett ICC költségvetési egyenesbe I való helyettesítésével kapjuk: I 435x 1740x 2175x , amelyet átrendezve x . Az 2175 y termék Engel-görbéjéhez az ICC-t x-re rendezve ( x y / 1740 ), majd a költségvetési I egyenes egyenletébe x helyére beírva y . 1,25 c) Használjuk ki a preferenciarendezés tulajdonságait! A háztartás a termékáraktól függetlenül jövedelmének 20%-át költi x termékre és 80%-át más termékekre. Így az x termék PCC-jének egyenlete y 121800 (akármennyi is x termék ára, más termékekre akkor is 121800 Ft-ot költ), az y termék PCC-jének egyenlete pedig x 70 (lásd a 20. feladat megoldását). d) A preferenciarendezés tulajdonságaiból adódóan x termék keresleti görbéjének egyenlete 0,2 152250 30450 x . px px 23.) a) A tömegközlekedéssel megvalósított utazások száma kezdetben x 0 40 , majd x 1 24 , jövedelem kezdetben I 0 120000 , majd I1 150000 . Ezeket az ívrugalmasság x I 0 I1 16 120000 150000 2,25 , ahol középponti formulájába beírva: I I x 0 x 1 30000 40 24 I I1 I 0 150000 120000 és x x 1 x 0 24 40 . b) Mivel a jövedelemrugalmassági mutató negatív, ezért András számár a tömegközlekedés a vizsgált jövedelemtartományban inferior jószág. 24.) a) Az Engel-görbe képletébe behelyettesítve a megadott jövedelmeket I 0 200000 jövedelem esetén a kereslet x 0 50 , I1 215000 mellett pedig x 1 55 . Ezeket az adatokat a középponti formulába beírva az ívrugalmasság x I 0 I1 5 200000 215000 I 1,317 . I x 0 x 1 15000 50 55 y termék összetett jószág):
52
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
dx I , ahol az első tag az Engel-görbe I szerinti deriváltja dI x dx 1 I 215000 (lásd az Engel-görbe képletét), a második tag pedig a .A dI 3000 x 55 1 215000 pontrugalmasság tehát I 1,303 . 3000 55 25.) a) Az ár kezdetben p 0 408 , majd p1 400 . Az értékesített mennyiség kezdetben q0 21600 , majd q1 21910 . Az ívrugalmasság képletébe behelyettesítve q p0 p1 310 408 400 p 0, 7196 . A vizsgált ártartományban tehát az ár 1 p q0 q1 8 21600 21960 százalékos változása a keresletben 0,7196 százalékos, ellentétes irányú változást generál. b) Mivel a kereslet árrugalmatlan, ezért az árcsökkenés hatására az értékesítésből származó árbevételnek csökkennie kell. Ennek könnyen utána is számolhatunk! A bevétel kezdetben TR0 p0 q0 408 21600 8812800 , majd TR1 p1 q1 400 21910 8764000 , így a napi bevétel 48800 Ft-tal csökken. 26.) a) A keresleti görbe képletét felhasználva (illetve a 20. feladat megoldásai alapján) p0x 30 ár mellett a kereslet x0 100 , p1x 40 esetén pedig x1 75 . A középponti b) A pontrugalmasság képlete I
x p0x p1x 25 30 40 1 . formulába behelyettesítve p x p x0 x1 10 100 75
dx p x b) A pontrugalmasság képlete p x , ahol az első tag a keresleti görbe ár szerinti dp x p dx 3000 deriváltja, vagyis . 3000 (1) px2 . Ha ezt megszorozzuk x -szel, akkor p dpx px x x Ide bármelyik előző ár-keresett mennyiség kombinációt, sőt a keresleti görbe bármely pontját beírva a kereslet árrugalmasságára -1-et kapunk. Az árrugalmasság tehát ezen keresleti görbe mentén végig egységnyi. 800 27.) a) A keresleti görbe inverz egyenlete p 800 Q 800 0, 0025Q , amelyet Q-ra 320000 átrendezve Q D 320000 400 p . dQ p p 400 . Ide kell b) A kereslet árrugalmassága pontrugalmassági formulával p dp Q Q behelyettesítenünk a megadott árakat és a hozzájuk tartozó keresett mennyiségeket. Ezek rendre a következők: p0 500 , Q0 120000 ; p1 400 , Q1 160000 ; p2 300 , 500 1, 6 ; Q2 200000 . A rugalmassági értékek ugyanebben a sorrendben: p 400 120000 400 300 p 400 1 ; p 400 0, 6 . A kereslet árrugalmassága tehát a 160000 200000 lineáris keresleti görbén balról jobbra haladva abszolút értékben egyre csökken, a görbe felső tartományában (a rezervációs ár felénél magasabb áraknál) a kereslet árrugalmas, a rezervációs ár felénél egységnyi az árrugalmasság, ez alatt árrugalmatlan a kereslet. c) TR0 p0 Q0 500 120000 60000000 ; TR1 p1 Q1 400 160000 64000000 ; TR1 p1 Q1 300 200000 60000000 . Mivel az 500-as és 400-as árak között a kereslet árrugalmas, ezért az egységár csökkentése (ami önmagában bevételcsökkentő hatású) ennél nagyobb arányú keresletnövekedést eredményez, így végső soron az árbevétel növekedéséhez 53
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– vezet. Mivel a 400-as és 300-as egységár között a kereslet árrugalmatlan, ezért az ár csökkentése itt már csökkenti az elérhető árbevételt. 28.) a) A hamburgerből származó bevétel az árcsökkentés hatására emelkedett. Ez azt jelenti, hogy a keresett mennyiség növekedése nagyobb arányú volt, mint az árcsökkenés, így a hamburger kereslete árrugalmas. b) Ahamburger sajátár-rugalmassági mutatója a következő képlettel számolható: q p 0 p1 ph ,qh h h0 1h . Ehhez a következő adatokat ismerjük a feladat szövege alapján: ph qh qh ph0 400 , qh0 40 , p1h 350 . Szükségünk van még a hamburger árváltozás utáni mennyiségére is, amelyet az árbevétel-változás összege segítségével tudunk meghatározni. A kezdeti (árváltozás előtti árbevétel) TRh0 ph0 qh0 400 40 16000 . Ez 3250 Ft-tal, 19250 Ft-
ra nő. Az új árbevételt osztva az új árral mennyiségre q1h 19250 / 400 55 db-ot kapunk. Az árrugalmasság képletébe behelyettesítve a következő megoldást kapjuk: q p 0 p1 15 400 350 ph ,qh h h0 1h 2,37 . ph qh qh 50 40 55
qm ph0 p1h 10 400 350 0, 65 . A kereszt-árrugalmassági mutató előjele a ph qm0 q1m 50 120 110 két termék helyettesítő jellegére utal. c) ph ,qm
54
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6. lecke FELADATOK 29.) Vegyük ismét a 22. feladatban szereplő háztartást! Tegyük fel, hogy a példában szereplő x termék piacán 250, a vizsgált háztartással teljesen azonos preferenciákkal és jövedelmi viszonyokkal jellemezhető fogyasztó van. Adja meg a piaci keresleti függvény képletét! 30.) Egy termék piacán két fogyasztói csoport különíthető el. Az egyik csoportba tartozó vevők az egyik egyéni keresleti görbéje q1D 500 2 p , a másikba tartozóké q2D 400 p alakú. Határozza meg a piaci keresleti görbe képletét, ha a piacon a) összesen két vevő jelenik meg, mindegyik csoportból egy-egy! b) csak az első csoportból jelennek meg vevők, összesen 100 db! c) csak a második csoportból jelennek meg vevők, összesen 200 db! d) az első fogyasztói csoportból 100, a másodikból pedig 200 db vevő jelenik meg! 31.) Egy termék piacát a Q D 9000 1, 25 p keresleti és a Q S p 2160 kínálati görbék jellemzik. A piac egyensúlyban van. a) Mekkora a fogyasztói többlet? Készítsen ábrát is, ahol sraffozással jelölje a fogyasztói többletnek megfelelő területet! b) Hogyan változna a fogyasztói többlet, ha az állam az árakat hatóságilag 4200 Ft-ban állapítaná meg? c) Tegyük fel, hogy az állam a termelőket támogatással (árkiegészítéssel) arra ösztönzi, hogy elégítsék ki a 4200 Ft-os ár mellett jelentkező összes keresletet. Hány Ft-os termelői árkiegészítésre van szükség termékegységenként? Összesen mekkora támogatást kellene nyújtani? d) Hogyan változik a fogyasztók jóléte az a) pontbeli kiinduló helyzethez képest, ha a c) pontbeli támogatáshoz szükséges adót az állam tőlük szedi be?
55
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
MEGOLDÁSOK 29.) Az egyéni keresleti görbe termékmennyiségre rendezett képletét kell megszoroznunk 30450 7612500 250-nel, így az x termék piaci keresleti görbéje QxD . 250 px px 30.) a) Ábrázoljuk először a két egyéni keresleti görbét (lásd az alábbi ábrán d1 és d2 jelzéssel)! A piaci keresleti görbe a két egyéni horizontális összegzéséből adódik. 250 Ft-os ár felett a piaci keresleti görbe azonos a második fogyasztói csoportba tartozó vevő egyéni keresleti görbéjével, hiszen ilyen árak mellett a másik vevő még nem jelenik meg a piacon (lásd a zölddel jelölt D piaci keresleti függvény felső szakaszát). 250 Ft-os ár alatt a piaci keresleti görbe megtörik, ilyenkor a piaci keresleti mennyiség a két egyéni összege, Q D q1D q2D 500 2 p 400 q 900 3 p . A képletből is jól látszik az egyéni telítődési pontok (vagyis a vízszintes tengelymetszetek) összegzéséből adódó piaci telítődési pont (vagyis a piaci keresleti görbe 900-as vízszintes tengelymetszete). p
400
250
D d1
d2 400
900
500
Q
Egy formulában összefoglalva a fentieket: 400 p, ha p 250 400 p, ha p 250 QD vagy Q D . 900 3 p, ha p 250 900 3 p, ha p 250 b) Q D 100q1D 100 (500 2 p) 50000 200 p . Az inverz függvény képlete p 250 0,005Q , amelyből jól látszik, hogy a piaci rezervációs ár nem változott (hiszen minden vevőnek egyformán 250 Ft-os az egyéni rezervációs ára! c) Q D 200q2D 200 (400 p) 80000 200 p . Az inverz függvény képlete p 200 0,0025Q . 80000 200 p, ha p 250 80000 200 p, ha p 250 d) Q D vagy Q D . 130000 400 p, ha p 250 130000 400 p, ha p 250 31.) a) Az alábbi ábrán zölddel sraffozott fogyasztói többlet meghatározásához elsőként az egyensúlyi árat és mennyiséget kell meghatároznunk. A keresett és a kínált mennyiség egyenlővé tételével 9000 1, 25 p p 2160 , átrendezés és visszahelyettesítés után 56
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
pe 4960 és Qe 2800 . A fogyasztói többlet a sraffozott derékszögű háromszög területe, (7200 4960) 2800 vagyis a területképlet felhasználásával FT 3136000 . 2 p 12 000
S
10 000
8 000 7200 6 000pt pe pmax
4 000 2160 2 000 D
0
Qe
0
2 000
Qt
4 000
6 000
8 000
10 000
Q
b) A p max 4200 -as hatósági árhoz tartozó kereslet Q D 9000 1, 25 4200 3750 . Az új (7200 4200) 3750 fogyasztói többlet FT 5625000 . A fogyasztói többlet 2489000 2 egységgel növekedett. c) Nézzük meg, milyen ár mellett jelentkezne 3750 egységnyi kínálat? 3750 pt 2160 , vagyis az egy termékért kapott vállalati bevételnek (a 4200-as eladási árnak és az államtól kapott támogatásnak együtt) pt 5910 -nek kellene lennie. Ez azt jelenti, hogy a termékegységenként szükséges támogatás mértéke t pt p max 5910 4200 1710 Ft. Ezt a támogatással piacra vitt Qt 3750 egységnyi kínálattal megszorozva az összes termelői árkiegészítés T Qt t 3750 1710 6412500 Ft. d) Ha adó formájában a vevőktől szednék be az összes vállalati támogatáshoz szükséges T összeget, akkor a vevők jóléte csökkenne, ugyanis a fogyasztói többlet b) pontban kiszámított növekedése elmarad a beszedett adó összegétől. (Ez az ábrán a fogyasztói többlet növekedés és az összes támogatásnak megfelelő területek összehasonlítása alapján is jól látható.)
57
