Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
7. lecke FELADATOK
32.) Egy munkavállaló számára a napi szabadidõ és jövedelem együttes hasznosságát az U (sz , j ) (sz 8) j függvény írja le, ahol sz a napi szabadidõ mennyisége órákban, 8 sz 24 , j pedig a napi jövedelmet (illetve az abból megvásárolható javak mint összetett jószág mennyiségét) jelöli. a) Néhány közömbösségi görbe segítségével ábrázolja a munkavállaló életminõség közömbösségi térképét! b) Milyen viszonyban van egymással a szabadidõ és a bérjavak nagysága a fenti preferenciarendszerrel rendelkezõ munkavállaló számára? Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek az életminõség közömbösségi görbéi? Hogyan alakul a helyettesítés határrátája? c) Ábrázolja az életminõség költségvetési egyenesét 300, 420 és 650 Ft-os órabér mellett! d) 300 Ft-os órabér mellett napi hány órában vállal fizetett munkát a fenti hasznossági függvénnyel jellemezhetõ munkavállaló? e) Hogyan változik a munkavállaló költségvetési egyenese, ha napi 2000 Ft nyugdíjból származó jövedelmet kap, s mindemellett 300 Ft-os órabérért továbbra is vállalhat munkát? f) Hogyan változik a munkavállaló optimális választása, ha figyelembe vesszük a napi 2000 Ft-os nem munkából származó jövedelmet is? 33.) Az alábbi ábra egy hallgató szabadidõre és diákmunkával szerzett jövedelmére vonatkozó preferenciarendszerét mutatja néhány közömbösségi görbe segítségével. j
20 000
15 000
10 000
5 000
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
sz
a) Rajzolja be a fenti ábrába a hallgató költségvetési korlátjait 500, 700, 850 és 1000 Ftos órabérek mellett! b) Határozza meg az egyes órabérekhez tartozó optimális szabadidõ, munkaidõ és jövedelem kombinációkat, majd a kapott értékeket írja be az alábbi táblázatba!
58
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Órabér szabadidõ (Ft/óra) (óra) 500 700 850 1000
Napi munkaidõ (óra)
jövedelem (Ft)
c) Ábrázolja a hallgató egyéni munkakínálati függvényét!
MEGOLDÁSOK
32.) a) Az életminõség közömbösségi görbék a szabadidõ és a bérjavak (bérjövedelem) azonos életminõséget biztosító kombinációi. Az alábbi táblázatban az U 0 19200 és az U 1 26880 hasznossági szintekhez tartozó közömbösségi görbék pontjait számoltuk ki Az U0 közömbösségi görbe esetén sz különbözõ értékeit a 19200 (sz 8) j összefüggésbe helyettesítve kaphatjuk meg az egyes sz értékekhez tartozó j nagyságokat. Hasonlóképpen generálhatók az U1 közömbösségi görbe pontjai is. U 0 = 19200 sz j
U 1 = 26880 sz j
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
19200 9600 6400 4800 3840 3200 2743 2400 2133 1920 1745 1600 1477 1371 1280 1200
26880 13440 8960 6720 5376 4480 3840 3360 2987 2688 2444 2240 2068 1920 1792 1680
j 25000
20000
U0
15000
U1
10000
5000
0 0
1
2
3
4
5 6
7
8
sz 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A táblázatban szereplõ ( sz , j ) kombinációk alapján – az azonos hasznossági szinthez tartozó pontok összekötésével – felrajzolhatjuk a munkavállaló U0 és U1 hasznossági szinthez tartozó közömbösségi görbéit (lásd a 89. ábrán). b) A szabadidõ és a bérjavak (jövedelem) a fenti munkavállaló számára korlátozottan helyettesítik egymást, mivel az életminõség közömbösségi görbéi konvexek, a helyettesítés határrátája pedig ennek következtében a szabadidõ mennyiségének növelésével egyre csökken. Minél több szabadidõvel rendelkezik ugyanis a munkavállaló, annál kevesebb bérjószágról hajlandó lemondani egy pótlólagos szabadidõegység érdekében. c) Az életminõség költségvetési egyenesének pontjait leíró j p L (24 sz ) összefüggés p L 300 ; p L 420 és p L 650 esetén rendre a következõ konkrét alakokat ölti: j 7200 300sz ; j 10080 420sz ; valamint j 15600 650 sz . Az így kapott formulákból jól látszik a költségvetési egyenesek j tengelymetszete, valamint azok meredeksége, amely az egyes munkabér értékek –1-szerese. Az sz tengelyt mindegyik költségvetési egyenes 24 óránál éri el, ekkor ugyanis a munkavállaló egyáltalán nem vállal munkát, s ily módon bérjövedelme bármely munkabér mellett zérus. A költségvetési egyenesek diagramja az alábbi ábrán látható. 59
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– j 18000 16000 e0
14000
e1 12000
e2
10000 8000 6000 4000 2000 sz
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
d) A részfeladat megoldása a módszertani segédlet maximális életminõséget biztosító szabadidõ és bérjövedelem kombináció meghatározásával foglalkozó fejezetrészében található. e) Az életminõség költségvetési egyenese az alábbi ábrán látható módon változik meg. A függõleges tengelymetszet 2000-rel megnõ, s mivel a meredekség nem változik, az egyenes párhuzamosan eltolódik felfelé. A 2000 Ft-os napi nyugdíj akkor is rendelkezésre áll, ha a munkavállaló meg sem jelenik a munkapiacon, ezért az (sz ; j ) (24; 2000) pontban a költségvetési egyenes megtörik és egy függõleges szakasszal végzõdik. A költségvetési egyenes pontjait leíró összefüggés a következõképpen módosul: j I 0 (24 sz ) pL , ahol I0 a nem bérmunkából származó jövedelem. Az egyes paraméterek helyére a megfelelõ konkrét értékeket behelyettesítve a költségvetési egyenes egyenlete j 9200 300 sz lesz. A költségvetési egyenes alakját a 91. ábra mutatja. Az ábrán feltüntettük a korábbi – munkabéren kívüli jövedelem nélküli – költségvetési egyenest is. j 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 sz
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
f) Mivel sem a munkavállaló preferenciái, sem az órabér nem változott, az optimális választás j feltétele továbbra is MRS 300 . Változott viszont a választási lehetõségek sz 8 halmazának határát leíró egyenlet, ezért a fenti feltételbõl kifejezett j 300( sz 8) összefüggést most a j 9200 300 sz költségvetési egyenes egyenletébe kell helyettesítenünk, amely alapján az sz 19,3 optimális megoldást kapjuk. A nyugdíjban részesülõ munkavállaló tehát megjelenik ugyan a munkapiacon, azonban 300 Ft-os órabér 60
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– mellett csak napi 4,66 óra munkát vállal, amelybõl napi 1400 Ft jövedelemre tesz szert. A munkavállaló napi 3400 Ft-os összjövedelmének másik részét a 2000 Ft-os, nem munkából származó jövedelem adja. A nem munkából származó jövedelem megjelenésével a munkavállaló anélkül képes elérni magasabb életminõséget biztosító szabadidõ és fogyasztási jószág kombinációkat, hogy növelnie kellene munkavállalását. Sõt ilyen esetben még csökkenti is a munka kínálatát, azaz növeli a szabadidõ iránti keresletét. A következõ ábrán a nyugdíj nélküli és a nyugdíjból származó jövedelem melletti helyzetnek megfelelõ függvényeket és a munkavállaló optimális választását tüntettük fel. j 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 sz
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
33.) a) j 24000
20400
20 000
16800 15 000 12000 10 000
5 000
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
61
18
20
22
24
sz
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– b)
Napi Órabér szabadidõ munkaidõ (Ft/óra) (óra) (óra) 500 20 700 19 850 16 1000 18
4 5 8 6
jövedelem (Ft) 2000 3500 6800 6000
c) pL
1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
napi munkaidõ (óra)
8. lecke FELADATOK
34.) Oldja meg a következõ rövid feladatokat! a) Tegyük fel, hogy idén sikerült 430 ezer Ft-ot megtakarítanunk. Úgy döntöttünk, 1 éves futamidõvel lekötjük a pénz a bankban. Tegyük fel, hogy a bank ekkora összeget, ilyen futamidõvel 7 százalékos kamatláb mellett fogad be. Mekkorára duzzad lekötött betétünk értéke lejáratkor? (A valóságban jelentkezõ esetleges bankköltségektõl és a kamatadótól a feladatok megoldása során mindvégig eltekintünk!) b) Mekkora összeget kellene elhelyeznünk ahhoz (változatlan kamatkondíciók mellett), hogy egy év múlva 500 ezer Ft legyen a bankszámlánkon? c) Most tegyük fel, hogy nemhogy megtakarítanunk nem sikerült, hanem 430 ezer Ft összegben egy éves futamidejû hitel felvételére kényszerülünk. Az egyszerûség kedvéért tegyük fel, hogy a hitelkamatláb is 7 százalékos (a valóságban ez magasabb a betéti kamatlábnál)! A bank most kifizeti az összeget, s egy év múlva kell majd visszafizetnünk a hitelt, s annak egy év alatt felhalmozódott kamatait egy összegben. Mennyit kell fizetnünk a banknak egy év múlva? d) Végül tegyük fel, hogy jövõre 500 ezer Ft-ot fogunk kapni egy már most ismert szerzõdés alapján. A pénz megérkezésére garancia van, s – mivel türelmetlen típusok vagyunk – szeretnénk már most elõre elkölteni. A bank továbbra is 7 százalékos kamatláb mellett hajlandó hitelt adni. Mekkora összegû hitelt vehetünk fel, ha a jövõ évi 500 ezer Ft-ból szeretnénk visszafizetni a felvett hitelt a kamatokkal együtt? (Most is olyan konstrukciót feltételezünk, amikor a futamidõ végén egyösszegben kell kifizetni a tartozást és a felhalmozódott kamatot.) 62
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
35.) Egy háztartás jövedelme idén 3.500.000 Ft, a jövõre várható éves jövedelem 3.922.000 Ft. Az elkövetkezendõ egy évre érvényes banki kamatláb 6%. (A késõbbi idõszakokkal nem foglalkozunk!) a) Mennyit költhet jövõre a háztartás, ha idén 3.200.000 Ft-ot költ? b) Mennyi lehet a jövõbeli költekezés nagysága, ha idén 3.700.000 Ft-ot költ? c) Mekkora a jövõ évi költekezés elvi maximális értéke? d) Mekkora az idei költekezés elvi maximális értéke? e) Mennyit költhet idén a háztartás, ha jövõbeli költekezése 3.392.000 Ft? f) Adja meg a háztartás tõkepiaci egyenesének egyenletét! Mekkora a tõkepiaci egyenes meredeksége? Értelmezze a meredekséget! g) Ábrázolja a háztartás tõkepiaci egyenesét, jelölje a tengelyeken szereplõ változókat, az induló jövedelmi allokációt, valamint az a), b), c), d) és e) pontokban kapott eredményeket is! 36.) Az elõzõ példában szereplõ bank döntése nyomán emelkedik a kamatláb: a korábbi 6%-os érték helyett 15%-ra változik. a) Adja meg a fogyasztó új tõkepiaci egyenesének egyenletét! b) Adja meg az új egyenes tengelymetszeteit! c) Ábrázolja egy új ábrában az elõzõ feladatban már ábrázolt egyenest és ennek az a) pontjában meghatározott, új kamatkondícióknak megfelelõ egyenest! d) A bank ezután (különbözõ piaci események hatására) úgy dönt, hogy csökkenti a kamatláb nagyságát, méghozzá az induló szint alá, s 1%-on rögzíti a kamatláb nagyságát. Írja fel az új egyenes egyenletét! e) Rajzolja be ezt az egyenest is az ábrába az elõzõ kettõhöz! Melyik pont közös a három egyenesen? Vonjon le következtetést arra vonatkozóan, hogyan változik a tõkepiaci egyenes alakja a kamatláb emelkedésekor és csökkenésekor! 37.) Áron jelenleg évi 5,2 millió Ft-ot keres. A kormányzat jövedelemadó-csökkentési terveinek köszönhetõen jövõre nettó keresete várhatóan 80 ezer forinttal fog emelkedni. Áron intertemporális hasznossági függvénye U (C1 , C2 ) C10,57 C20, 43 , ahol C1 a jelenbeli, C2 pedig a jövõbeli fogyasztási kiadást jelöli millió Ft-ban. a) Határozza meg Áron maximális jelenbeli és jövõbeli fogyasztását, valamint tõkepiaci egyenesének egyenletét, ha a piaci kamatláb 10%-os! Ábrázolja is a tõkepiaci egyenest egy arra alkalmas koordináta-rendszerben! b) Határozza meg Áron optimális jelenbeli és jövõbeli fogyasztását, s döntse el, hogy az adott körülmények között megtakarító vagy hitelfelvevõ pozícióban van-e! c) Hogyan változna az optimális intertemporális allokáció, ha a kamatláb 35 százalékra emelkedne?
MEGOLDÁSOK
34.) a) Betétünk értéke a futamidõre kapott kamattal gyarapszik. A 430 ezer Ft 7 százalékos kamata 430000 0, 07 30100 Ft. A bankbetét értéke lejáratkor tehát 460100 Ft lesz. Ezt természetesen úgy is kiszámolhatjuk, hogy az úgynevezett kamattényezõvel (1+i) szorozzuk meg a lekötött összeget (i a tizedes tört alakban használt kamatlábat jelöli), azaz 430000 (1 i) 430000 1, 07 460100 . b) Most fordítva kell gondolkodnunk! Elhelyezünk x Ft-ot, ez az 1,07-szeresére nõ, s 500 ezer Ft lesz belõle, vagyis x 1, 07 500000 . Innen az egyenlet mindkét oldalát 1,07-tel osztva 500000 x 467289, 7 . Egy jövõbeli pénzösszeg mai értékét jelenértéknek is nevezzük. 1, 07 Példánkban az egy év múlva esedékes 5000 ezer Ft jelenérték 467289,7 Ft. 63
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– c) Vegyük észre, hogy ez a feladat azonos az a) pontban szereplõvel, csak a szerepek megfordultak. Az a) pontban a bank játszotta azt a szerepet, amit a c)-ben az ügyfél. Az a)ban az ügyfél „hitelezte meg” 1 évig a bankot, hiszen a bank használta a fogyasztó pénzét, míg a c)-nél mindez fordítva történik: az ügyfél használja egy évig a kamat fejében a bank pénzeszközeit. d) Ez pedig pontosan a b) részfeladatnak felel meg. Próbáljuk csak ki! A 467289,7 Ft kamata 32710,3 Ft. Ha a tõkeösszeget és a kamatot együtt fizetjük vissza a futamidõ végén, akkor pontosan 500 ezer Ft-ot kell kifizetnünk. 35.) a) Ha idén 3,2 millió Ft-ot költ fogyasztásra, akkor a 3,5 milliós idei jövedelembõl 300 ezer Ft-ot takarít meg. A 300 ezer Ft-ot bankban elhelyezve egy év múlva kamattal együtt 300000 (1 0, 06) 318000 Ft-ot tud kivenni onnan. Ha ezt hozzáadjuk a jövõbeli 3922000 Ft-os jövõbeli jövedelemhez akkor az éves szinten fogyasztásra költhetõ összeg 4240000 Ft. b) 3,7 millió Ft-ot úgy tud költeni az idén, ha 3,5 milliós jövedelme mellé 200 ezer Ft összegben hitelt vesz fel. Mivel ezt jövõre kamatostól kell visszafizetni az akkori 3922000 Ftos jövedelmébõl, ezért 200000 1, 06 212000 Ft-tal kell csökkenteni azt. Így a jövõre fogyasztásra költhetõ összeg 3922000 212000 3710000 Ft. c) A jövõ évi költekezés maximális elvi értékét úgy tudjuk meghatározni, hogy feltételezzük, hogy idén egyetlen Ft-ot sem költ fogyasztásra, összes jelenbeli jövedelmét megtakarítja. A 3,5 millió Ft tõkésített értéke 3500000 1, 06 3710000 Ft. Ha ezt hozzáadjuk a következõ évi jövedelemhez, akkor 7632000 Ft-ot kapunk. Ha idén semmit sem költ, jövõre ennyit költhet. d) Ez az az eset, amikor a vizsgált háztartás az összes jövõbeli jövedelme terhére hitelt vesz fel. Legfeljebb annyi hitelt vehet fel, amelynek kamatokkal növelt, visszafizetendõ összegére fedezetet nyújt a 3922000 Ft-os jövõbeli jövedelme. A felvezetõ hitelösszeg nem más, mint a 3922000 Ft jelenértéke: 3922000 /(1 0, 06) 3700000 Ft. Ezt a jelenbeli jövedelemhez hozzáadva a jelenbeli fogyasztás maximális elvi értéke 3500000 3700000 7200000 Ft. e) Ha jövõre 3392000 Ft-ot szeretne költeni, akkor a jövõbeli jövedelmébõl még fennmaradó 3922000 3392000 530000 Ft terhére 530000 /1, 06 500000 Ft hitelt vehet fel, amelyet jelenbeli jövedelméhez hozzáadva 4 millió Ft-os jelenben elkölthetõ összeget kapunk. f) A jövõben fogyasztásra költhetõ összeg a jelenben megtakarított pénz tõkésített értékének és a jövõbeli jövedelemnek az összege, a tankönyv jelöléseivel ez formálisan C2 ( I1 C1 )(1 i) I 2 . Ide behelyettesítve a kamatlábat, a jelenbeli és jövõbeli jövedelmet, a tõkepiaci egyenes egyenlete példánkban C2 (3500000 C1 )(1 0, 06) 3922000 . (Vegyük észre, hogy a jelenbeli fogyasztás meghaladja a jelenbeli jövedelmet, akkor hitelfelvétel történik, amelynek visszafizetése csökkenti a jövõbeli jövedelembõl elfogyasztható részt! Ilyenkor az egyenlet elsõ tagja negatív lesz.) Az elõzõ formulát átrendezve C2 7632000 1, 06C1 . A tõkepiaci egyenes meredeksége a kamattényezõ -1-szerese. Ez azt jelenti, hogy ha egy 1 Ft-tal csökkentjük a jelenbeli fogyasztást, akkor a jövõbeli fogyasztásunk 1,06 Ft-tal növekedhet.
64
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– g) millió
C2
9 8
0; 7,632
7 6 5
3,2; 4,24
4
3,5; 3,922
3
3,7; 3,71
4; 3,392
2 1 7,2; 0 0 0
2
4
6
8 m illió C1
36.) a) C2 (3500000 C1 ) 1,15 3922000 7947000 1,15C1 b) C2 akkor maximális, ha C1 0 , vagyis C2max 7947000 1,15 0 7947000 . C1 pedig akkor maximális, ha C2 0 , így 0 7947000 1,15C1max , ahonnan C1max 6910435 . c) Az alábbi ábrán szaggatott vonallal az eredeti, elõzõ feladatbeli tõkepiaci egyenest jelöltük, folytonos vonallal pedig az új, 15 százalékos kamatláb mellettit. millió
C2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
6
8 m illió C1
d) C2 (3500000 C1 ) 1, 01 3922000 7457000 1, 01C1 e) 1 százalékos kamatláb mellett a tõkepiaci egyenes vízszintes és függõleges tengelymetszete C1max 7383168 és C2max 7457000 . Ezek alapján könnyen elkészíthetõ a diagram (lásd világos folytonos vonallal).
65
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
millió
C2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
6
8 m illió C1
Az ábráról is jól látszik, hogy a kamatláb változása a tõkepiaci egyenes elfordulását váltja ki. Ha nõ a kamatláb, az egyenes meredekebb, ha csökken, akkor laposabb lesz. Mindhárom egyenes tartalmazza az induló jövedelmek pontját, a tõkepiaci egyenes tehát e pont körül fordul el. 37.) a) Áron esetében I1 5, 2 és I 2 5,28 . Ha teljes jövõbeli jövedelme terhére hitelt vesz fel, akkor jelenbeli fogyasztásának maximuma C1max 5,2 5,28 / 1,1 10 mFt. Ha teljes jelenbeli jövedelmét megtakarítja és befekteti, akkor jövõbeli fogyasztásának maximuma C 2max 5, 2 1,1 5, 28 11 millió Ft. Áron tõkepiaci egyenesének egyenlete C 2 ( I 1 C1 )(1 i) I 2 (5,2 C1 ) 1,1 5,28 11 1,1C1 . A tõkepiaci egyenes diagramja az induló jövedelmi allokációval együtt az alábbi ábrán látható. b) Az optimális intertemporális allokáció meghatározásához képezzük a helyettesítési határrátát, amely MU 1 0,57C10, 43C 20, 43 és MU 2 0, 43C10,57 C 20, 57 hányadosa alapján 0,57C2 . Optimális választás esetén MRS megegyezik az 1 i kamattényezõ MRS 0,43C1 0,57C2 nagyságával, amely esetünkben 1,1, így 1,1 . Ezt C2-re rendezve C 2 0,8298C1 , 0, 43C1 amelyet költségvetési egyenes egyenletébe helyettesítve az optimális intertemporális allokáció C1opt 5, 7 és C2opt 4, 73 (lásd az alábbi ábrán). Áron tehát jövõbeli jövedelmének terhére félmillió Ft hitelt vesz fel.
66
Elektronikus példatár © Dr. Koppány Krisztián PhD, SZE 2012 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– c2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 c1
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
c) Ha a kamatláb 35%, akkor a költségvetési egyenes (tõkepiaci egyenes) egyenlete C2 12,3 1,35C1 , az optimumfeltétel pedig C2 1, 018421C1 . Ezek alapján az új optimális intertemporális választás C1opt 5,193 és C2opt 5, 289 . Ez azt jelenti, hogy a korábbi hitelfelvétel helyett Áron most inkább 6667 Ft-ot megtakarít, s ennek eredményeként a következõ évben ennek kamatokkal növelt értékével, 9000 Ft-tal növelheti fogyasztási lehetõségeit.
67
