Elektrodinamika. Publication date 1977 Szerzői jog 2002 Dr. Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly. Bírálók:

Elektrodinamika

Elektrodinamika Publication date 1977 Szerzői jog © 2002 Dr. Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly Bírálók: DR. GÁSPÁR REZSŐ - egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja DR. NAGY KÁZMÉR - egyetemi tanár, a fizikai tudományok doktora A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos! © Dr. Nagy Károly, Budapest, 1977; Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002

Tartalom 8. A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI .......................................................................................................................................................... 1 A Michelson-féle kísérlet ....................................................................................................................................................................... 3 A relativitás elve ................................................................................................................................................................................... 7 A Lorentz-transzformáció ..................................................................................................................................................................... 10 Távolságok és időtartamok relativitása ................................................................................................................................................. 13 Sebesség-összetevés .......................................................................................................................................................................... 20 9. A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR ......................................................................................................................................... 24 A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete ................................................................................................................................... 24 Általános Lorentz-transzformáció .......................................................................................................................................................... 28 Négyes vektorok ................................................................................................................................................................................. 30 Négyes tenzorok. Tenzoranalízis ......................................................................................................................................................... 33 A speciális relativitáselmélet programja ................................................................................................................................................ 38 10. RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA ............................................................................................................................................... 40 A Maxwell-egyenletek tenzor alakban .................................................................................................................................................. 40 A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei ................................................................................................................. 46 Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere .......................................................................................................................... 49 Doppler-effektus és aberráció .............................................................................................................................................................. 53 Az erősűrűség relativisztikus kifejezése ................................................................................................................................................ 57 Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora ................................................................................................................................ 59 11. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA ........................................................................................................................................................... 65 Négyes impulzus. Relativisztikus mozgásegyenletek ............................................................................................................................. 65 A tömeg és az energia közötti kapcsolat .............................................................................................................................................. 70 Variációs elv. A mozgásegyenletek kanonikus alakja ............................................................................................................................ 75 A. FÜGGELÉK ............................................................................................................................................................................................ 80 Mértékrendszerek ................................................................................................................................................................................ 80 A könyvben alkalmazott vektoralgebrai és vektoranalitikai összefüggések .............................................................................................. 85 B. FELADATGYŰJTEMÉNY ........................................................................................................................................................................ 88

iii

Az ábrák listája 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89.

................................................................................................................................................................................................................ 2 ................................................................................................................................................................................................................ 3 ................................................................................................................................................................................................................ 5 ................................................................................................................................................................................................................ 9 .............................................................................................................................................................................................................. 12 .............................................................................................................................................................................................................. 21 .............................................................................................................................................................................................................. 27 .............................................................................................................................................................................................................. 91 .............................................................................................................................................................................................................. 93 .............................................................................................................................................................................................................. 95 .............................................................................................................................................................................................................. 96 .............................................................................................................................................................................................................. 97 ............................................................................................................................................................................................................ 100 ............................................................................................................................................................................................................ 101 ............................................................................................................................................................................................................ 103 ............................................................................................................................................................................................................ 105 ............................................................................................................................................................................................................ 108 ............................................................................................................................................................................................................ 109 ............................................................................................................................................................................................................ 110 ............................................................................................................................................................................................................ 110 ............................................................................................................................................................................................................ 111 ............................................................................................................................................................................................................ 113 ............................................................................................................................................................................................................ 120 ............................................................................................................................................................................................................ 125 ............................................................................................................................................................................................................ 131

iv

A táblázatok listája 1. Elektromos és mágneses mértékegységek táblázata ................................................................................................................................ 84

v

8. fejezet - A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Könyvünk előző fejezeteiben már hangsúlyoztuk, hogy a Maxwell-féle elektrodinamika az elektromágneses erőtér fizikai szerepének a felismerésén alapszik. Nevezetesen azon, hogy az elektromágneses hatásokat az erőtér közvetíti. A tér állapot- változásai a fénysebességgel terjednek. Ez a felismerés a mechanikai világkép több mint kétszáz éves egyeduralmát döntötte meg. Az objektív anyagi világ mozgásformái nemcsak a mechanikai mozgásra korlátozottak, hanem annál sokkal gazdagabbak. Az elektromágneses erőtérnek – mint objektív fizikai realitásnak – a makroszkopikus testekétől teljesen eltérő mozgástörvényei vannak. Faraday és Maxwell elévülhetetlen érdemei éppen abban állnak, hogy az erőtérnek a szerepét és az annak állapotváltozásait leíró törvényeket felismerték. Érdekes azonban, hogy Faraday és Maxwell az erőtér új mozgástörvényeit mechanikai alapon próbálták értelmezni. Az elektromágneses hatások terjedését a rugalmas hullámokhoz hasonlóan magyarázták. 1 Felfogásuk szerint az egész világmindenséget kitölti egy rugalmas sajátságokkal rendelkező közeg, az ún. világ-éter, amelynek állapotváltozásai terjednek véges sebességgel tova mint elektromágneses hullámok. Az éter tehát ugyanolyan közvetítő közeg szerepét játszotta, mint a rugalmas testek a hanghullámok esetén. Csak a későbbi vizsgálatok derítették ki, hogy ez a hipotetikus közvetítő közeg nem létezik, és az elektromágneses hatások (elektromágneses hullámok) minden közeg nélkül a vákuumban is terjednek, ellentétben a hanghullámokkal. Tulajdonképpen ekkor vált teljessé a térelméleti felfogás diadala, amikor bebizonyosodott, hogy az elektrodinamika az elektromos és mágneses jelenségeknek a mechanikától teljesen eltérő, új dinamikáját adja. Ezek az éterre vonatkozó vizsgálatok ezen túlmenően olyan felismerésekhez vezettek, amelyek az eddigi fizikai világképünk alapjainak teljes revízióját eredményezték. Többek között a térre és az időre vonatkozó több évszázados ismereteink helytelennek bizonyultak; a newtoni mechanika törvényeiről kiderült, hogy csak közelítő jellegűek stb. Ezek az új felismerések vezettek századunk egyik legnagyobb fizikai elméletéhez, az ún. relativitáselmélethez. Könyvünk hátralevő részében ezzel az elmélettel foglalkozunk. Az éterhipotézis szerint az elektromágneses jelenségek a nyugvó éterben játszódnak le, az elektromágneses hatásoknak az éter a hordozójuk. Következésképpen a Maxwell-egyenletek is a nyugvó éterben érvényesek. Az éter tehát kitüntet egy koordináta-rendszert, amelyre vonatkoznak az elektrodinamika alapegyenletei. Az éterhez rögzített koordináta-rendszer a Newton-féle abszolút vonatkoztatási rendszer szerepét veszi át. A mechanikai tanulmányainkban megismertük, hogy mechanikai kísérlettel az abszolút vonatkoztatási rendszer nem található meg, mert az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek egyenértékűek a mechanikai jelenségek leírása szempontjából. Ez a felismerés Galilei nevéhez fűződik, és Galilei-féle relativitási elv néven ismeretes. Egyszerűen arról van szó, hogy a mozgásegyenletek az egymáshoz képest egyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerekben azonos alakúak, és ennélfogva a belőlük származó valamennyi eredmény ugyanaz ezekben a rendszerekben. A mechanikai jelenségek tehát bennük egyformán mennek végbe, és ezért az abszolút vonatkoztatási rendszer a mechanikában fikció maradt. Az éterhipotézis bevezetésével úgy tűnt, hogy elektrodinamikai kísérlettel mégiscsak megtalálható az abszolút vonatkoztatási rendszer. Ugyanis ha a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, akkor csak ebben a vonatkoztatási rendszerben izotrop a fény terjedése. Az éterhez képest mozgó koordináta-rendszerben a fénysebesség függ a vonatkoztatási rendszer sebességétől is. Tételezzük fel, hogy az elektromágneses síkhullám az x tengely irányában halad. Ekkor a térerősség-komponensek 1

A világ-éter fogalmát Fresnel vezette be még a Maxwell-elmélet előtt a fényhullámokat közvetítő közegként.

1

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI

alakúak, c a hullám terjedési sebessége az éterben. Milyen sajátságú hullámot észlel az a megfigyelő, aki a nyugvó éterhez képest állandó sebességgel mozog az x tengely mentén? Az éterben nyugvó és a hozzá képest az x tengely mentén sebességgel mozgó koordináta-rendszerben valamely P pont koordinátái között az ábrából leolvasható

összefüggés áll fenn, ha a két vonatkoztatási rendszer tengelyeinek irányát azonosnak választjuk, és t = 0-kor a két vonatkoztatási rendszer origója egybeesik, s akkor kezdi mozgását a vesszős koordináta-rendszer. A koordináták ilyen transzformációját elvégezve (65. ábra), kapjuk: .

65. ábra -

Az éterhez képest

sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerben tehát

frekvenciájú és

sebességgel haladó hullámot észlelünk. Ha a hullám a vesszős koordináta-rendszer mozgásirányával szemben halad, akkor a

frekvencia

-re változik, sebessége pedig

lesz. 2

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Az

frekvenciaváltozás Doppler-effektus néven ismeretes a hullámelméletben. A mi szempontunkból azonban most érdekesebb a hullám terjedési sebességének a megváltozása. Eszerint a fény csak a nyugvó éterben terjed minden irányban ugyanazzal a c sebességgel. Az éterhez képest mozgó vonatkoztatási rendszerben a fénysebesség iránytól függő: az x tengely mentén aszerint, hogy a mozgásiránnyal szemben vagy vele párhuzamosan terjed. A mozgásirányra merőlegesen haladó hullám sebessége változatlan. Az éterhez képest való mozgás tehát sajátos anizotrópiát eredményez az elektromágneses hullám terjedésében. Valóban úgy tűnik tehát, hogy a nyugvó éter valósítja meg a klasszikus fizika abszolút koordináta- rendszerét, és ezt a kitüntetett vonatkoztatási rendszert fénysebességméréssel meg lehet határozni. A kísérlet alapgondolata Maxwelltől származik, de csak később (1881-ben) sikerült azt A. A. Michelsonnak elvégeznie. Ez a híres Michelson-kísérlet, amely fizikai világképünkben radikális változást eredményezett.

A Michelson-féle kísérlet A kísérleti berendezés a Michelson-féle interferométer volt (66. ábra). Az F fényforrásból jövő fénysugár a 45° alatt hajló félig ezüstözött T üveglemezre esett, amely egy részét áteresztette, egy másik részét merőlegesen visszaverte. Mind az áthaladt, mind a visszavert fénysugár az l1, illetve az l2 út befutása után a T1, illetve a T2 tükrön teljesen visszaverődött, majd a T félig ezüstözött üveglemezen való visszaverődés, illetve áthaladás után az M távcsőbe jutott. A mérésnél az l1 és l2 távolságokat pontosan egyformának választották.

66. ábra -

3

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Ha a berendezés nyugszik az éterben, akkor a fénysugarak az l1 és l2 utakat ugyanazzal a c sebességgel futják be és időkésés nélkül egymást erősítve találkoznak T-ben, és jutnak a távcsőbe. Ha a készülék sebességgel mozog az éterhez képest az l1 irányban, akkor a fentiek szerint a két fénysugár más sebességgel haladva időkéséssel találkozik, és ezért fáziskülönbség lép fel közöttük. Számítsuk ki a két út megtételekor fellépő időkülönbséget. A T-től T1 felé haladó fénysugár

sebességgel terjed, ezért a

távolság befutásához szükséges idő:

((58,1). egyenlet). A visszafelé haladó fénysugár sebessége

, ezért a T1 tükörtől T-hez

((58,2). egyenlet) idő alatt érkezik. A fénysugár a TT1T utat

((58,3). egyenlet) idő alatt futja be. Most számítsuk ki a mozgásirányra merőleges l2 út kétszeres befutásához szükséges időt. Itt figyelembe kell vennünk, hogy a T2 tükör mozog a fénysugárra merőlegesen. Ezért az éterben megtett fényút a , amiből

.

4

sebességgel

derékszögű háromszög átfogójának kétszerese. A 67. ábrából leolvasható:


67. ábra -

A

út megtételéhez szükséges idő:

((58,4). egyenlet). (58,3)-ból és (58,4)-ből látszik, hogy a két fénysugár nem egy időben érkezik az M távcsőbe, a köztük fellépett időkülönbség:

((58,5). egyenlet). Ha az interferométert 90°-kal elforgatjuk úgy, hogy utána az l2 kar mutat a mozgás irányába, l1 pedig arra merőleges, akkor a két fénysugár a

((58,6). egyenlet) időkülönbséggel találkozik. Mivel a két időkülönbség nem egyenlő, az elforgatás során az interferenciaképnek meg kell változnia. Az interferenciacsíkok eltolódását az (58,5) és (58,6) különbsége határozza meg:

5


((58,7). egyenlet). Mivel a berendezés a Földdel együtt mozgott az éterben,

helyére a Föld Nap körüli keringési sebessége írandó. Ez az érték

= 30 km/s. Ezért

. Minthogy

rendkívül kicsi az 1-hez képest, (58,7)-ben sorfejtést végezve, a

-ben az elsőrendű tagnál megállhatunk:

((58,8). egyenlet). Becsüljük meg, hogy milyen mértékű lesz az interferenciacsíkok eltolódása. Ehhez az (58,8) időkülönbséget össze kell hasonlítani az alkalmazott fény

rezgésidejével. Ha az (58,8) időkülönbség éppen a rezgésidővel egyezik meg, akkor az interferenciakép egy teljes csíkszélességgel

tolódik el. Az interferencia-eltolódás tehát annyiad része a teljes csíkszélességnek, ahányad része cm, és ezért

a τ rezgésidőnek. Sárga fény esetén

. Ebből következik, hogy

m fényútnál

, vagyis éppen egy csíkszélesség az eltolódás. Ilyen nagy fényút a fénysugarak többszöri visszaverődésével érhető el. Michelson a kísérletet először 1881-ben végezte el, és nem észlelt csíkeltolódást. 1887-ben Morley-vel együtt megismételte a kísérletet, ismét sikertelenül. Ezután még többször megismételték a kísérletet, egyre gondosabb előkészítéssel és pontosabb feltételek mellett. Említésre méltó G. Joos 1935-ben elvégzett kísérletsorozata, amelynél a csíkokat fotografikus úton regisztrálta, kiküszöbölve ezáltal a vizuális megfigyelés okozta hibalehetőségeket. Azt találta, hogy a csíkeltolódás biztosan kisebb, mint 1/1000 csíkszélesség. A Joos-féle berendezés olyan érzékeny volt, hogy 1,5 km/s sebességű éterszelet már ki tudott volna mutatni. 6

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Következtetéseinket azon az alapon végeztük el, hogy a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, és a hozzá képest mozgó vonatkoztatási rendszerben anizotrop a fény terjedése. Eszerint a Michelson-féle kísérletben a berendezés 90°-os elforgatásakor az interferenciaképnek meg kellene változnia. A gondosan elvégzett kísérletek negatív eredménnyel jártak, csíkeltolódás nem tapasztalható. Mi lehet az ellentmondás magyarázata? A múlt század végén több próbálkozás történt a kísérlet negatív eredményének az értelmezésére. Ezek közül itt csak egyet említünk meg, nevezetesen a Lorentz–Fritzgerald-féle kontrakciós hipotézist. Eszerint az éterhez képest

sebességgel mozgó test mozgásirányába eső mérete

mértékben megrövidül. A kísérlet első részében az l1 kar mutat a mozgásirányba, ezért (58,5)-ben l1 helyére után az l2 kar rövidül meg, és ezért (58,6)-ban l2 helyére tehát nem várható változás az interferenciaképben.

írandó. A 90°-os elforgatás

írandó. Ennek alapján a két időkülönbség megegyezik, következésképpen

,

Érdemes megjegyezni, hogy a feltételezett hosszúságrövidülés kicsi. Ugyanis

, és így a megrövidülés az eredeti hosszúság százmilliomod részének a fele. Közvetlen méréssel ez egyébként sem állapítható meg, hiszen a feltevés szerint a testhez illesztett mérőrúd is ugyanilyen arányban megrövidül. A Lorentz–Fritzgerald-féle értelmezés tehát közvetlen méréssel nem ellenőrizhető hipotézisen alapszik. A többi próbálkozásnál is hasonló nehézségek lépnek fel. Végeredményben tehát elektrodinamikai (vagy optikai) kísérlettel sem sikerült a kitüntetett vonatkozási rendszert megállapítani. Az éterhipotézis továbbra is hipotézis maradt.

A relativitás elve A Michelson-kísérlet negatív eredményéből Albert Einstein 1905-ben azt a következtetést vonta le, hogy nem igaz az a feltevés, miszerint a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek, és csak ebben a kitüntetett vonatkoztatási rendszerben c a fénysebesség minden irányban. A tapasztalat azt mutatja, hogy a fény sebessége a Földdel együtt mozgó koordináta-rendszerben is c, és terjedése itt is izotrop. Éter nem létezik, következésképpen kitüntetett vonatkoztatási rendszer sem. A fény terjedése minden inerciarendszerben izotrop. Az inerciarendszerek teljesen egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából. Semmilyen jelenség (sem mechanikai, sem elektrodinamikai) nem tüntet ki közülük egyet sem; nincs abszolút vonatkoztatási rendszer. Az inerciarendszerek egyenértékűségében egy általános természeti elv, az ún. speciális relativitás elve mutatkozik meg. A speciális jelző arra utal, hogy egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerekre vonatkozik az egyenértékűség. A gyorsuló vonatkoztatási rendszerekre ez nem igaz, hiszen azokban tehetetlenségi erők lépnek fel, amelyek már megrontják a fény terjedésének izotrópiáját. Einstein elévülhetetlen érdeme abban van, hogy az inerciarendszerek egyenértékűségét, a relativitási elvet felismerte. Az éterhipotézist a mechanikai világképhez való görcsös ragaszkodás szülte. Einstein nagyságát mutatja, hogy tekintélyes elődeivel szemben bátran szakított a több évszázados felfogással, és nem újabb hipotézissel próbálta az éterhipotézist menteni, hanem elfogadta az objektív anyagi világot olyannak, amilyennek azt a tapasztalat mutatja. A tapasztalat pedig sohasem ismerte el az éter létjogosultságát. 7

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Einstein azt is világosan látta, hogy a probléma mélyebb gyökerei a térre és az időre vonatkozó felfogásunkkal vannak kapcsolatban. A térnek és az időnek a fogalmát a klasszikus fizikában abszolútnak tekintették. Különösen áll ez az időre. A tér két különböző helyén egy időben lejátszódó eseményt minden vonatkoztatási rendszerben egyidejűnek tekintettek. Tehát az egyidejűség fogalmának is abszolút jelentése volt. Az Einstein által elvégzett elemzésből kiderül, hogy ez a felfogás téves. Valamely eseményről a fizikus akkor tud egyértelműen beszélni, ha tudja, hogy az a tér melyik helyén, melyik időpontban játszódott le. Minden eseményt tehát négy adattal, a három helykoordinátával és az esemény időpontjával jellemzünk. Az esemény helyére és idejére vonatkozó kijelentésnek csak akkor van értelme, ha a hely és idő mértékszámai jól definiált és elvileg akárhányszor megismételhető mérés eredményeiként adódnak. A hely mérésére a méterrudak, az idő mérésére az órák szolgálnak. A helymérés eredményeként a tér minden pontjához egy számhármas rendelhető, amely az illető pont helykoordinátáit adja meg. Az időt az esemény helyén elhelyezett órával mérjük. Egyértelmű időmeghatározást akkor kapunk, ha a tér minden pontjába egyformán járó, ún. helyi órákat helyezünk, és azokat valamilyen eljárással szinkronizáljuk. Elképzelhető olyan szinkronizálási eljárás, hogy a koordináta-rendszerünk origójában elhelyezett, ún. normálórához igazítjuk a helyi órákat, és azután visszük őket a helyükre. Az ilyen módon történő szinkronizálás azonban nem tekinthető kielégítőnek, mert nincs kizárva, hogy amíg az órákat helyükre szállítjuk, mozgásuk befolyásolhatja járásukat. Az órákat tehát előbb a helyükre kell szállítanunk, és csak azután hozzáigazítani az origóban elhelyezett órához. Ehhez a következő eljárás mutatkozik kielégítőnek. A koordináta-rendszer kezdőpontjából fényjelet bocsátunk ki abban a pillanatban, amikor az ott elhelyezett óra mutatója t = 0-t mutat. A tér pontjaiban sűrűn elhelyezett megfigyelőknek olyan utasítást adunk, hogy amikor a fényjelet felvillanni látják, állítsák be óráikat a időre, ahol r az origótól mért távolságukat jelenti. Ugyanis ennyi idő alatt futja be a fény az r távolságot. Így a vonatkoztatási rendszerünk különböző helyein sűrűn elhelyezett órák egyformán járnak, és a szinkronizálás módja fizikai szempontból teljesen kielégítő. Két eseményt most már akkor mondunk egyidejűnek, ha az események helyén elhelyezett órák ugyanazon mutatóállásnál következtek be. Ezek után képzeljünk el két inerciarendszert, amelyek egymáshoz képest sebességgel mozognak pl. az x tengely mentén. Az egyiket K-val, a másikat K'-vel jelöljük. Az Einstein-féle relativitási elv szerint a fény mindkét inerciarendszerben ugyanazzal a c sebességgel terjed minden irányban. A két vonatkoztatási rendszer órái fényjelekkel szinkronizálhatók. Tételezzük fel, hogy t = 0 időpillanatban a két koordináta-rendszer tengelyei és origójuk egybeesik. A közös origóból t = 0-kor fényjelet bocsátunk ki a tér minden irányába, és mindkét rendszer megfigyelőinek azt az utasítást adjuk, hogy amikor a fényjelet felvillanni látják, állítsák óráikat az , illetve időre. A K' koordináta-rendszer ugyancsak a t = 0 pillanatban kezd el mozogni sebességgel a K-hoz képest az x tengely mentén. A 68. ábrából világosan látszik, hogy a K és K' rendszer olyan két óráját, amely a fényjel megérkezésekor helyileg egybeesik, nem ugyanarra az időre fogják beállítani, mert a K-beli órát be, és mivel

, ezért

, ugyanis közben K' origója

-re, a K'-belit pedig

-re állítják

távolsággal elmozdult a K origójához képest. A P pontban történő rövid esemény idejét

a két óra nem egyazon időpontban jelzi, hiszen az egyik t időt jelez, a másik pedig t'-t és . A fénysebesség állandóságából tehát következik, hogy egységes időről csak egy vonatkoztatási rendszeren belül lehet szó, a különböző inerciarendszerek ideje nem egyezik meg. Majd látni fogjuk, hogy az egyidejűség is általában csak egy vonatkoztatási rendszeren belül érvényes, tehát nem abszolút, hanem relatív fogalom.

8


68. ábra -

Az órák egyértelmű szinkronizálása után most már megbeszélhetjük azt a kérdést is, hogy hogyan mérjük meg pl. olyan tárgyak hosszát, amelyek inerciarendszerünkhöz képest mozognak. A szokásos hosszúságmérésnél a mérendő hosszúság és a mérőrúd egymáshoz képest nyugalomban vannak, így a hosszúságmérés a hosszegység megválasztása után egyszerű feladat: a méterrudat a mérendő hossz mellé fektetjük, és a mérőszámokat leolvassuk. Ez az eljárás azonban nem alkalmazható mozgó tárgyak esetén. Ilyenkor a megmérendő mozgó léc elejének és végének egyidejű lenyomata közötti szakaszt tekintjük a léc hosszának. A mérés a következőképpen történik. A mozgó rúd mentén megfigyelőket helyezünk el sűrűn, és számukra olyan utasítást adunk, hogy közülük egy jegyezze fel azt az időpillanatot, amikor a rúd eleje éppen hozzá ér, a többi pedig azt az időpontot jegyzi fel, amikor a rúd vége érkezik hozzájuk. Természetesen az eljárás rendkívül éles kontaktusok regisztrálásával végzendő, ez azonban nem okoz különösebb elvi nehézséget. A rúd hosszán azt a távolságot értjük, amely azon két megfigyelő között van, akik közül egyik a rúd elejét, másik a végét észlelte ugyanabban a t időpillanatban. Lényegében hasonlóképpen történik valamely mozgó testen lejátszódó folyamat időtartamának a mérése is. Erre természetesen azon két óra időadatai a mérvadók, amelyek közvetlen közelében kezdődik, illetve végződik az esemény. Ez a mérési eljárás elvileg minden korlátozás nélkül elvégezhető bármely inerciarendszerben. A különböző inerciarendszerekben elvégzett mérések eredményeit a K, illetve K' vonatkoztatási rendszer megfigyelői egymással közölhetik, és az összevetésből érdekes következtetések vonhatók. Ehhez azonban az szükséges, hogy az egyes események K-ban, illetve K'-ben mért hely- és időadatai között egyértelmű kapcsolat álljon fenn. A következő pontban ezt a kapcsolatot határozzuk meg olyan két inerciarendszer között, amelyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak az x tengely mentén. Két inerciarendszer hely- és időkoordinátái közti kapcsolat ismeretének a már említett gyakorlati hasznán túlmenően elvi jelentősége is van. Ugyanis a relativitás elve szerint az inerciarendszerek a természetleírás szempontjából egyenértékűek. Ez viszont azt jelenti, hogy az egzakt természettörvényeknek minden inerciarendszerben azonos alakúnak kell lenniük, mert bármilyen alaki különbség arra mutatna, hogy az inerciarendszerek nem teljesen egyenértékűek. Az egzakt természettörvényeknek tehát invariánsnak kell lenniük azon transzformációval szemben, amely két inercarendszer hely- és időkoordinátái között állapít meg kapcsolatot. A keresett transzformáció fontossága tehát abban van, hogy az egzakt természettörvények vele szemben invariánsak. Ez a transzformáció az ún. Lorentz-transzformáció. 9


A Lorentz-transzformáció Gondoljunk el két inerciarendszert, amelyek az x tengely mentén egyenletesen mozognak egymáshoz képest. Jelöljük őket K-val, illetve K'-vel. Tételezzük fel, hogy óráikat az előző pont előírásainak megfelelően fényjelekkel szinkronizáltuk. A tér valamely pontjában lejátszódó eseményt a K rendszerben az x, y, z, t, a K'-ben az x', y', z', t' négy adattal jellemezzük. Ez azt jelenti, hogy az esemény a K rendszer x, y, z koordinátájú pontjában t időpillanatban, a K' rendszerben pedig az x', y', z' pontban t' időpillanatban történik. Keressük azt a transzformációt, amely kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták és időadatok között. A keresett összefüggésnek ki kell elégítenie a következő feltételeket: 1. A transzformációnak lineárisnak kell lennie. Ez a feltétel a tér homogenitását biztosítja. Vagyis azt, hogy a koordináta-rendszer egyik pontja sincs kitüntetve a többihez képest; történetesen a kezdőpont sem. 2. A két inerciarendszer egymáshoz képest állandó transzlációs sebességgel mozog. Ha a K' koordináta-rendszer valamely x', y', z' koordinátájú pontja K-hoz képest v sebességgel mozog, akkor a K rendszer valamely x, y, z koordinátájú pontja –v sebességgel mozog K'-höz képest. E feltevésben rejlő korlátozás a speciális relativitáselméletre jellemző. Az ún. általános relativitáselmélet – amelynek tárgyalása kívül esik könyvünk keretein – az egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszereket is figyelembe veszi. 3. A fénysebesség mindkét inerciarendszerben minden irányban ugyanaz a c érték. Ezt a tényt Michelson kísérletéből tudjuk, és már az órák szinkronizálásánál is figyelembe vettük. 4. Semmilyen fizikai méréssel nem lehet a két vonatkoztatási rendszer között valamilyen elvi különbséget találni. Az inerciarendszerek a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékűek. Ezt fejezi ki a speciális relativitás elve. A transzformációs képleteket arra a speciális esetre határozzuk meg, amikor a két rendszer x, illetve x' tengelye tartósan egybeesik, és a relatív mozgás az x tengely mentén történik: v( , 0, 0), továbbá a t = 0, ill. t' = 0 időpontban a két koordináta-rendszer kezdőpontja egybeesik. Az x és x' tengelyek akkor esnek egybe, ha y = 0, z = 0-ból következik, hogy y' = 0, z' = 0. Ezért az y-ra és z-re vonatkozó transzformációs képlet a következő alakú: ((60,1). egyenlet). A koordináta-rendszer térbeli forgásától eltekintünk, ezért megköveteljük, hogy pl. az (x, y) sík az (x', y') síkba menjen át. Így (60,1)-ből az y és z irány egyenértékűségének figyelembevételével adódik: ((60,2). egyenlet). Az α tényező azt jelenti, hogy az y vagy a z irányban fekvő egységnyi hosszúságot a K' rendszerben elvégzett mérés nem egységnyinek, hanem α-nak találja. (60,2)-ből a transzformáció megfordításával következik, hogy a K'-ben y', illetve z' irányban nyugvó léc hosszát a K rendszerbeli megfigyelő 10


-szorosnak méri. Ha ez a kölcsönösen megállapított hosszúságváltozás különböző volna, ez objektív különbséget jelentene a két inerciarendszer között, ami a 4. feltételben megfogalmazott relativitási elv miatt kizárt dolog. Ezért fenn kell állnia az , és ezáltal

összefüggésnek, amiből következik, hogy

((60,3). egyenlet). Most foglalkozzunk az x-re és t-re vonatkozó transzformációs képletekkel. Feltevésünk értelmében az x' = 0 pont a pozitív x tengely mentén sebességgel halad. Ez azt jelenti, hogy x' = 0 esetén . A 2. feltevés szerint a K rendszer origója sebességgel halad a K' rendszerhez képest. Tehát az x = 0-nak az

felel meg. E meggondolásokból következik, hogy a keresett transzformáció ilyen alakú:

((60,4). egyenlet) Látni fogjuk, hogy a 4. feltevés alapján a ϰ és ϰ' – egyelőre határozatlan – számoknak meg kell egyezniük. Tekintsünk e célból egy l hosszúságú lécet, amely a K rendszerben az x tengely mentén nyugszik, és végpontjai az x = 0 és x = l. Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K' rendszerben. Az előző pontban megbeszélt mérési eljárás szerint a léc két végpontjának egyidejű lenyomatát kell vennünk. A t' = 0 időpontban a léc két végpontjának koordinátái (60,4) szerint x' = 0, illetve nyugszik, és végpontjai

. Vegyünk most egy l hosszúságú lécet, amely a K' rendszer x' tengelye mentén

, ill. x' = l. Mérjük meg a hosszát a K rendszerben. A két végpont egyidejű lenyomata a t = 0 időpillanatban az x = 0, illetve

az koordinátájú pontok. Az első mérésnél a lécet mértékben megrövidültnek, a másodiknál -ször rövidebbnek találtuk. A 4. pontban megfogalmazott relativitási elv miatt -nak egyenlőnek kell lennie -vel, mert különben objektív különbség lenne a két inerciarendszer között. Tehát ((60,5). egyenlet). Hátra van még értékének a meghatározása. Ehhez felhasználjuk a Michelson-kísérletből leszűrt megállapítást, miszerint a fény sebessége mindkét vonatkoztatási rendszerben c-vel egyenlő minden irányban. Gondoljuk el, hogy a t = t' = 0 időpontban fényjelet adunk le a közös origóból, amelyet a P pontban levő két megfigyelő (lásd a 69. ábrát)

, illetve

időpillanatban lát felvillanni. Ezeket az értékeket (60,4)-be behelyettesítve, kapjuk:

,

. 11


69. ábra -

E két kifejezés egybevetéséből adódik:

, amiből következik:

((60,6). egyenlet). A t'-re vonatkozó transzformációs képletet (60,4)-ből kapjuk:

. A (60,6) összefüggés figyelembevételével adódik, hogy

. Ezzel tulajdonképpen meghatároztuk a keresett transzformációt. Foglaljuk össze képleteinket:

12


((60,7). egyenlet). Az inverz transzformáció ezekből egyszerűen adódik:

((60,8). egyenlet). Érdemes megjegyezni, hogy az inverz transzformáció képletei (60,7)-ből egyszerűen a mennyiségek felcserélésével adódnak.

helyettesítéssel és a vesszős és vesszőtlen

A pontszerű esemény K-ban, illetve K'-ben mért koordinátái és ideje közötti kapcsolatot megadó (60,7), illetve (60,8) transzformációs képleteket hívjuk Lorentz-transzformációnak. Lorentz volt az első, aki ezeket az összefüggéseket levezette, amikor azokat a lineáris transzformációkat kereste, amelyek az elektrodinamika alapegyenleteit invariánsul hagyják. Hasonlítsuk össze e képleteket a mechanikából ismert Galilei-féle transzformációval: . Mint tudjuk, e transzformáció a mechanika alapegyenleteit invariánsul hagyja. Látjuk, hogy a Lorentz-transzformáció a határesetben átmegy a Galilei-félébe. Ebben az esetben t = t', vagyis érvényes az abszolút egyidejűség. Az abszolút egyidejűség tehát abban az esetben állna fenn, ha végtelen sebességgel terjedő jelekkel lehetne szinkronizálni az órákat. A relativitáselmélet szerint a c fénysebesség határsebesség szerepét játssza; ennél nagyobb sebességgel terjedő jelek nem léteznek a természetben. A következő pontban látni fogjuk, hogy ha létezne olyan hatás, amely sebességgel terjedne, akkor meg lehetne adni olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben a hatás visszafelé terjedne a múltba, vagyis felcserélődne az ok és okozat természetes sorrendje. A (60,8) transzformációból közvetlenül is látszik, hogy a fénysebességnek határsebesség szerepe van. Ugyanis Két inerciarendszer tehát legfeljebb fénysebességgel mozoghat egymáshoz képest.

esetben

képzetessé válik.

Távolságok és időtartamok relativitása Már az előző pontban láttuk, hogy a mozgó léc hossza rövidebb, mint nyugalmi állapotban mért hosszúsága. Ezt a problémát a Lorentz-transzformáció alapján még egyszer megvizsgáljuk. 13

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Tekintsünk egy lécet, amely a K' rendszer x' tengelye mentén helyezkedik el, és azzal együtt mozog

sebességgel a K-hoz képest. Végpontjai a

K'-ben legyenek és . A K'-ben elvégzett hosszúságméréskor a mérőrúd és a léc egymáshoz képest nyugalomban vannak, ezért az hosszúságot a léc nyugalmi mérőszámának nevezzük. Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K rendszerben. Mozgó tágyak hosszát az 59. pontban megbeszélt eljárással mérjük meg. Nevezetesen, a kezdő- és végpont ugyanazon t időpontban mért koordinátáinak különbségét tekintjük a léc hosszának. A Lorentz-transzformáció szerint a végpontok egy időben mért koordinátáinak transzformációs képlete a következő:

. A kettő különbsége:

((61,1). egyenlet). Az

távolság a K rendszerben mért ún. mozgási mérőszám. E képletből látszik, hogy l rövidebb az l0 nyugalmi mérőszámnál:

((61,2). egyenlet). A tárgyak hossza tehát nem abszolút fogalom, hanem a koordináta-rendszertől függő. A léc hosszának csak akkor van értelme, ha azt is megmondjuk, hogy melyik koordináta-rendszerben mért hosszúságról van szó. A hosszúság mérőszámának relatív volta az egyidejűség relativitásával van igen szoros kapcsolatban, hisz – mint láttuk – a mérésnél az egyidejűséget felhasználjuk. Természetesen ugyancsak a (61,2) képletet kapjuk akkor is, ha a léc nem a K', hanem a K rendszer x tengelye mentén nyugszik, és hosszát a K' rendszerben mérjük meg. Most a két végpontnak az ugyanazon t' időpontban vett koordinátáit mérjük. A Lorentz-transzformáció szerint:

. A kettő különbsége:

14


. Mivel a léc most a K rendszerben nyugszik, ezért a hosszúság nyugalmi mérőszáma és nyugalmi mérőszám viszonyára ugyanazt kaptuk, mint előbb, vagyis a (61,2) összefüggést.

a mozgási. Látjuk, hogy a mozgási és a

A Lorentz-transzformáció (60,7), (60,8) képleteiből az is látszik, hogy a mozgásirányra merőleges koordináták nem transzformálódnak. Ebből viszont következik, hogy a tárgyak mozgásirányra merőleges méretei sem változnak, vagyis ezek mozgási és nyugalmi mérőszámai megegyeznek: ((61,3). egyenlet). Ennek természetes következménye, hogy a testek térfogatának nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg. Tekintsünk példaként egy hasábot, amely nyugszik a K' rendszerben, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és hosszúságuk: nyugalmi térfogat:

,

,

. A K'-ben mért

, a K-ban mért mozgási mérőszám pedig: . A két mérőszám közötti összefüggés (61,1) és (61,3) alapján:

((61,4). egyenlet). A testek térfogatának mozgási mérőszáma tehát ugyanolyan mértékben kisebb a nyugalminál, mint a mozgásirányba eső hosszúságé. A Lorentz-transzformáció alapján megnyugtatóan értelmezhetjük a Michelson-kísérlet negatív eredményét is. Az első esetben az l1 kar esik a mozgás irányába, tehát hossza , a 90°-os elforgatás után pedig az l2 kar lesz rövidebb: . Így az elforgatáskor nem lép fel különbség a fényutakban, és ezért az interferenciacsíkok rendszere sem változik meg. Formálisan hasonlóképpen magyarázza a kísérletet a Lorentzkontrakciós hipotézis is, de azzal az elvi különbséggel, hogy ott az egyidejűség problémája fel sem merül. Amint láttuk, ez pedig igen lényeges a relativitáselméleten alapuló helyes magyarázatnál. 15

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Foglalkozzunk most a két inerciarendszerben mért időpontok és időtartamok összehasonlításával, és vizsgáljuk meg annak néhány következményét, hogy az idő is transzformálódik. Tekintsünk két olyan pontszerű eseményt, amelyek a K' rendszerben az x' tengely két különböző pontjában egy időben (a t' időpontban) játszódnak le. A K rendszerben a két esemény nem egy időben történik! Jelölje egyik helyét x, idejét t, a másikét x2, illetve t2. A Lorentz-transzformáció szerint:

. A K-ban mért t2 – t1 időkülönbség ebből a következő:

((61,5). egyenlet). E képletből látszik, hogy ha a két esemény mozgásirányba eső koordinátái nem egyeznek meg, akkor a K rendszerbeli megfigyelő a két eseményt nem ugyanabban az időpontban észleli. Az egyidejűség tehát – amint erről már volt is szó – nem abszolút jelentésű fogalom, értelme csak egy inerciarendszeren belül van. Lényegében ezzel függ össze a távolságok mérőszámának relativitása is, mint azt előbb említettük. Tételezzük fel, hogy a K rendszer x1 pontjából t1 időpontban valamilyen hatás indul ki, amely C sebességgel terjedve, az x2 pontban t2 időben eseményt vált ki. A hatás kiindulása és az esemény kiváltása között eltelt idő:

((61,6). egyenlet). Felmerülhet az a furcsa kérdés, hogy a K'-beli megfigyelő nem észlelheti-e előbb az eseményt, és csak később a hatás kiindulását. Más szóval: a K' megfigyelői számára nem fordulhat-e meg az ok és okozat természetes sorrendje? Ehhez az kellene, hogy a K' rendszerben a negatív legyen. Képezzük (60,7)-ből a

ídőkülönbséget:

. Helyettesítsük be ide

(61,6) értékét: 16

időkülönbség


((61,7). egyenlet). Mivel a jobb oldal első és harmadik tényezője pozitív,

akkor lenne negatív, ha

, vagyis

((61,8). egyenlet). Az ok és okozat időbeli sorrendje tehát akkor fordulna meg, ha létezne olyan hatás, amely a c fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedne. A tapasztalat szerint a fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedő hatás nem létezik a természetben, ezért fennáll az a filozófiai szempontból is megnyugtató tény, hogy az ok és okozat természetes időbeli sorrendje semmilyen megfigyelő számára nem fordul meg. Gondoljunk el két eseményt, amelyek a K' rendszerben, az x' tengely ugyanazon

pontjában játszódnak le

, illetve

időpontban. A két esemény

között eltelt időt az pontban nyugvó helyi órán mérjük, ezért a különbséget az időtartam nyugalmi mérőszámának nevezzük. Az ponthoz (K'-höz) képest mozgó K rendszerben az első eseményt t1 időpontban észleli az esemény helyén levő megfigyelő, a másodikat t2-ben egy másik megfigyelő, aki éppen az esemény helyén van. (Azért másik órán történik a második esemény idejének a mérése, mert K mozog K'höz képest.) A két esemény között eltelt időtartam ún. mozgási mérőszáma: mérőszámot. (60,8) negyedik képletéből kapjuk, hogy

((61,9). egyenlet), amiből következik:

((61,10). egyenlet). 17

. A Lorentz-transzformáció alapján összehasonlíthatjuk a két

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Az időtartam mozgási mérőszáma tehát nagyobb a nyugalminál. Ezt szemléletesen úgy fejezhetjük ki, hogy a mozgó óra késik a nyugvóhoz képest. A relativitás elve szerint ugyancsak a (61,10) összefüggést kapjuk, ha a K rendszer x0 pontjában lejátszódó két esemény időtartamát (most ez a nyugalmi mérőszám) a K'-ben mért időtartammal hasonlítjuk össze. A (60,7) utolsó képlete alapján írható:

, amiből következik:

((61,11). egyenlet). Mivel most

az időtartam nyugalmi,

pedig a mozgási mérőszáma, a (61,11)-ből szintén a

((61,12). egyenlet) összefüggés adódik. A K rendszer megfigyelője azt tapasztalja, hogy a K' rendszer órái késnek. A (61,10) és a (61,12) összefüggés tehát ugyanazt a tényt fejezi ki; nevezetesen azt, hogy az időtartam is a vonatkoztatási rendszertől függő fogalom: a mozgási mérőszám a sebességtől függően nagyobb a nyugalmi mérőszámnál. Az alkalmazásokban gyakran előfordul egy fontos mennyiség: a mozgó test ún. sajátideje. Ezt az időt a testtel együtt mozgó óra méri. Az inerciarendszerek t rendszeridejétől való megkülönböztetés céljából τ-val jelöljük. A test pillanatnyi sebessége legyen . Tekintsünk két pontszerű eseményt, amelyek időben egymáshoz végtelen közel játszódnak le. A testtel együtt mozgó óra a két esemény idejét τ-nak és -nak méri. A K inderciarendszerben mért megfelelő időpontok t, illetve . Mivel végtelen rövid időtartamról van szó, ezalatt a test mozgása egyenesvonalú egyenletes mozgásnak tekinthető, és így a dτ és dt időtartamokra érvényes a (61,12) összefüggés:

((61,13). egyenlet). 18

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI A dτ sajátidőtartam invariáns mennyiség, bármely inerciarendszerre vonatkoztatjuk is a test sebességét, mert dτ-t mindig a testtel együtt mozgó óra méri. Erről egyébként közvetlenül meggyőződhetünk, ha (61,13)-at négyzetre emeljük, és a következő alakba írjuk:

((61,14). egyenlet). A test

sebességének négyzete:

. Ezt (61,14)-be beírva, kapjuk:

. A jobb oldalon levő zárójeles kifejezés pedig invariáns a (60,7), (60,8) Lorentz-transzformációval szemben, amiről egyszerű számítással könnyen meggyőződhetünk. Az időtartam relativitását kifejező (61,12) összefüggés helyességét szépen igazolja a müon élettartamára vonatkozó kísérleti érték. A müon jól ismert elemi részecske, amely a pí-mezon bomlásakor keletkezik: . (π a pí-mezont, μ a müont, pedig a mű-neutrinót jelzi.) A müon – mint általában az elemi részek legtöbbje – nem stabil részecske, hanem 2 s idő elteltével elbomlik elektronra, anti-el-neutrinóra és mű-neutrinóra: . A tapasztalat szerint a müon ezen rövid élettartama alatt 20–30 km utat megtesz. A kozmikus sugárzásból eredő müonok a sztratoszférában keletkeznek a Föld felett 20–30 km magasságban, és eljutnak a Föld felszínére, mielőtt elbomlanának. Egyszerű szorzással meggyőződhetünk arról, 2

A természetben kétfajta neutrínó létezik: az el-neutrinó a radioaktív béta-bomlásban keletkezik a pozitronnal együtt, a mű-neutrinó pedig a pí-mezon bomlásakor a müonnal együtt. Az elnevezés az elektron-neutrínó, illetve a müon-neutrinó rövidítéséből keletkezett. Az antineutrinó az elektron antirészecskéje. A kvantumelméletben majd tanulunk arról, hogy az ún. feles-spinű részecskéknek (az ún. fermionoknak) van antirészecskéjük. Az elektron antirészecskéje a pozitron.

19

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI hogy ennyi idő alatt még akkor sem tudnák megtenni ezt a távolságot, ha fénysebességgel mozognának, valójában pedig ennél valamivel kisebb sebességgel mozognak. Ugyanis . A látszólagos ellentmondás magyarázata kézenfekvő: a

s élettartam a müon nyugalmi élettartama. A laboratóriumi koordináta-rendszerhez

képest a müon nagy sebességgel mozog, ezért (61,12) alapján élettartama ebben a rendszerben nem

s, hanem

, ahol

a müon sebessége. Így az általa megtett út:

. Mivel

megközelíti a fénysebességet, a megtett l út valójában 20–30 km.

A jelenség értelmezhető a müonnal együtt mozgó koordináta-rendszerben is. Ekkor az l út rövidül meg

-szeresére.

Sebesség-összetevés Tekintsük ismét a K és K' két inerciarendszert, amelyek a közös x, x' tengely mentén mozognak egymáshoz képest fel, hogy a K' rendszerben mozog egy tömegpont

sebességgel (70. ábra). Tegyük

sebességgel. A pálya paraméteres egyenletrendszere:

((62,1). egyenlet) 20


70. ábra -

A sebességkomponensek: ((62,2). egyenlet). A tömegpont mozgását a K rendszerben az ((62,3). egyenlet) egyenletrendszer írja le. A K rendszerben mért sebességkomponensek: ((62,4). egyenlet). A klasszikus mechanika szerint a tömegpont K-beli V sebessége a K'-ben mért V' sebességnek és a K' vonatkoztatási rendszer sebességének az összege: ((62,5). egyenlet), amely komponensekkel felírva: ((62,6). egyenlet). A relativitáselmélet szerint nem ilyen egyszerű a sebességek összeadása, mert a (62,5), illetve (62,6) képletek abban az esetben lennének érvényesek, ha az idő nem transzformálódna, amikor az egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk. Mivel a Lorentz-transzformáció szerint az idő is transzformálódik, a valóságban nem a (62,5), (62,6) képletek adják helyesen a sebesség-összetevés szabályát. Az érvényes képleteket a Lorentz-transzformáció felhasználásával kapjuk. 21

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI E célból képezzük a (60,8) transzformációs képletek differenciáljait:

((62,7). egyenlet) Ezek, valamint (62,2) segítségével (62,4) a következőképpen írható: ((62,8). egyenlet) Ezeket a képleteket Einstein-féle sebesség-összetevési képleteknek nevezzük. Látható, hogy (62,8) akkor egyezik meg a klasszikus (62,6) képletekkel, ha

és

kicsi a c fénysebességhez képest. Ebben a határesetben a

, és a nevezők második tagja elhagyható az 1 mellett.

Az itt levezetett relativisztikus képletek helyességét bizonyítja a Fizeau-kísérlet. Fizeau megmérte a fénysebességet áramló vízben, és azt találta, hogy a fénysebesség az áramlás irányában:

, ha u a fény sebessége a nyugvó vízben, Fizeau-féle eredményt kapta.

a víz áramlási sebessége,

a víz törésmutatója. Később Zeeman megismételte a kísérletet, és a

Tegyük fel, hogy a víz az x tengely irányában áramlik. A K rendszer legyen a nyugvó csőhöz rögzített koordináta-rendszer, K' pedig a vízzel együtt mozgó. A K' rendszerben a fény sebessége

. A nyugvó csőhöz viszonyított fénysebesség (62,8) első képlete szerint

. Mivel

igen kicsi szám,

kifejezése így írható jó közelítéssel: 22


((62,9). egyenlet). Ez pedig megegyezik a Fizeau-kísérlet eredményével. A Fizeau-kísérlet tehát a relativisztikus sebesség-összetevés képletét igazolja. A sebesség-összetevés (62,8) képletéből érdekes következmény adódik. Tegyük fel, hogy a K'-ben mért

sebesség megegyezik a c

fénysebességgel. Mivel ehhez hozzájárul a K' rendszer sebessége, logikusan azt várnánk, hogy a K-ban mért sebesség túllépi a fénysebességet. Ez ellentmondana annak a korábbi megállapításunknak, hogy a c fénysebesség határsebesség, és azt semmilyen sebesség nem lépi túl. A (62,8) első képletébe történő

helyettesítés azonban meggyőz bennünket arról, hogy nem lép fel ilyen ellentmondás:

. Az Einstein-féle sebesség-összetevési szabály tehát megegyezésben van azzal a kiindulásul szolgált feismeréssel, hogy a fény sebessége minden inerciarendszerben ugyanaz a c érték; az semmilyen sebesség-összetevéssel nem növelhető.

23

9. fejezet - A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete A relativitáselmélet további kifejtése szempontjából igen nagy jelentősége van a Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek, az ún. négyes világnak. Ha az x, y, z három koordinátához hozzávesszük a t időt mint negyedik változót, ezáltal egy négydimenziós sokaság keletkezik. A sokaságnak egy pontját négy szám – az x, y, z és t értékeinek – megadása határozza meg. Fizikai szempontból a sokaság pontjai események hely- és időadatait jellemzik. Egy tömegpont mozgását (62,3) szerint ilyen pontok egydimenziós egymásutánja, vagyis a négydimenziós sokaság egy vonala ábrázolja. E vonal a tömegpont világvonala. Az idővel kibővített négydimenziós sokaságot négydimenziós világnak vagy Minkowski-féle négydimenziós térnek nevezzük. Mivel a természetben végbemenő mozgások mindig a háromdimenziós térben és időben mennek végbe, a fizikai események színtere nem a háromdimenziós tér, hanem az idővel mint negyedik dimenzióval kibővített négyes világ. A klasszikus fizikában az időnek kitüntetett szerepe van, nem transzformálódik, midőn egyik inerciarendszerről a másikra áttérünk. Ezért a klasszikus fizika a teret és az időt egymástól különválasztva tekintette. A relativitáselmélet az egyidejűség relativitásának felismerésével megszüntette az idő abszolút jelentését, és megállapította, hogy a háromdimenziós tér és az idő a fizikai események számára nem tekinthető külön, hanem együtt; hiszen mindegyik transzformálódik, egyik sem abszolút. A kettő egyesítésével létrejött négydimenziós világnak van abszolút jelentése. A speciális relativitáselméletben az inerciarendszereknek alapvető szerepük van: a természettörvények az inerciarendszerekben érvényesek, és azok között egy sincs kitüntetve, a természetleírás szempontjából valamennyi egyenértékű. Az inerciarendszerek egymáshoz képest egyenes pályán és állandó sebességgel mozognak. Fizikai jellemzésükhöz a tér önmagában nem elegendő, azok térben és időben egyenletesen mozognak. A tér és az idő tehát már az alapvetésnél egybekapcsolva jelenik meg. A térnek és az időnek egybekapcsolása a fizika dinamikus, a mozgást természetes állapotnak tekintő jellegével függ össze, és merőben szemben áll a sztatikus ókori fizikával. Az időnek mint negyedik dimenziónak a háromdimenziós térhez kapcsolása tehát nem formális, hanem mély fizikai tartalommal rendelkezik. A későbbiekben látni fogjuk, hogy éppen ez teszi lehetővé a tér és az idő közötti fizikai összefüggések pontos matematikai leírását. A Minkowski-féle négyes világ geometriai szerkezetének a megismeréséhez első lépésként értelmeznünk kell a négydimenziós térre jellemző metrikát. Ezen olyan összefüggést értünk, amely meghatározza a tér két pontja: (x1, y1, z1, t1) és (x2, y2, z2, t2) közötti távolságot. A keresett összefüggés a háromdimenziós tér megfelelő képletének a relativitáselvből adódó általánosításával nyerhető. A klasszikus fizika háromdimenziós tere euklideszi, két pont távolságát a ((63,1). egyenlet) képlet határozza meg. A d12 hosszúságnak legfontosabb sajátsága az, hogy invariáns a koordináta-rendszer elforgatásával szemben. 24

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR

A négydimenziós tér (x1, y1, z1, t1) és (x2, y2, z2, t2) pontjai közötti távolságot jelöljük s12-vel. Kézenfekvő megkövetelnünk, hogy az képlete tartalmazza a (63,l)-ben fellépő tagokat és ezenkívül még egy tagot a negyedik dimenzióra vonatkozóan. Alapvető követelmény, hogy s12 legyen invariáns a Lorentz-transzformációval szemben. E követelményeknek (60,7) szerint eleget tesz az ((63,2). egyenlet) kifejezés. (63,2) helyett szokás az (x, y, z, t) és az (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) végtelen szomszédos pontok közötti távolságra vonatkozó ((63,3). egyenlet) képletet használni, A (63,2), illetve (63,3) által definiált metrika jellemzi a speciális relativitáselmélet Minkowski-féle négyes terét. A háromdimenziós euklideszi tér távolságnégyzetét előállító (63,1) kifejezéssel összehasonlítva, szembetűnő az utolsó tag előtti negatív előjel. A Minkowski-féle négydimenziós tér tehát nem euklideszi, hanem ún. pszeudo-euklideszi. 2

Az időkoordináta négyzete előtti negatív előjel miatt , illetve ds nem pozitív definit, hanem lehet pozitív, negatív vagy zérus. Ennek megfelelően a Minkowski-féle négyes tér vektorait vagy elmozdulásait három csoportba lehet sorolni. A következőkben ezek tulajdonságait vizsgáljuk meg az infinitezimális négyes elmozdulás példáján. 2

a) Ha ds > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást térszerűnek nevezzük. Könnyen belátható, hogy ez az elmozdulás alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ((63,4). egyenlet) alakra hozható. Abban az inerciarendszerben, amelyben az elmozdulást (63,4) írja le, a két végponthoz tartozó események egyidejűek. Más inerciarendszerben azonban dt általában zérustól különböző, és a koordináta-rendszertől függően pozitív vagy negatív lehet. Ennélfogva az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje a koordináta-rendszertől függően más lehet. 2

2

b) Ha ds > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást időszerűnek nevezzük. Alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ds < 0 elmozdulások ((63,5). egyenlet) alakra hozhatók. Az ilyen elmozdulások jellegzetes sajátsága, hogy az időkomponens előjelét a transzformáció nem változtatja meg. Ebben az esetben az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje invariáns a Lorentz-transzformációval szemben. A leggyakoribb példa az időszerű elmozdulásokra a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó részecske világvonalának ds eleme. Ugyanis 25


((63,6). egyenlet);

ahol , és mivel , . A pontszerűnek tekintett fizikai részek (a fénykvantum és a neutrinó kivételével) a vákuumbeli fénysebességnél kisebb sebességgel mozognak, ezért világvonaluk olyan görbe, amelynek minden eleme időszerű. A (63,5) szerint van olyan koordináta-rendszer, amelyben a világvonal elemének megfelelő (dx, dy, dz, dt) elmozdulás ((63,7). egyenlet) alakú. Ebben a koordináta-rendszerben a részecske sebessége zérus, ezért ezt a részecske nyugalmi rendszerének nevezzük. A részecske nyugalmi rendszere csak abban az esetben ugyanaz minden időben, ha a világvonal egyenes, vagyis ha egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó. Egyébként a nyugalmi rendszer pillanatról pillanatra változik. Ezért helyesebb a pillanatnyi nyugalmi rendszerről beszélni. dτ a (61,13)-ban definiált sajátidőtartam, amely ds-sel a következő kapcsolatban van: ((63,8). egyenlet). 2

c) Ha ds = 0, akkor az elmozdulást nullelmozdulásnak vagy nullvektornak nevezzük. A nullelmozdulásnak bármely koordináta-rendszerben van legalább egy el nem tűnő térszerű és zérustól különböző időszerű komponense. A (63,6) összefüggésből látszik, hogy a vákuumbeli fénysebességgel mozgó részecske világvonalának minden eleme nullelmozdulás. A fénykvantum (az ún. foton) világvonala ilyen tehát. Mivel a fény állandó sebességgel terjed, a világvonala egyenes vonal, amelynek nemcsak végtelen kis elemei, hanem bármely véges része is nullvonal. Az O világpontból különböző irányokba kiinduló fényvilágvonalak egy hiperkúpfelületet alkotnak; ezt nevezzük fénykúpnak (71. ábra). Az O-ból kiinduló t > 0-nak megfelelő részt pozitív fénykúpnak, a t < 0-nak megfelelő részt negatív fénykúpnak nevezzük.

26


71. ábra -

A fénykúp a Minkowski-féle négyes teret a következő három részre osztja: I. A pozitív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Tehát azon PI pontok összessége, amelyekre vonatkozóan az nem pozitív, és időkomponense pozitív, vagyis

vektor hosszának négyzete

. II. A negatív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Azon PII pontok összessége tehát, amelyekre vonatkozóan az nem pozitív, de az időkomponense negatív:

;

.

III. A Minkowski-féle négyes tér fénykúpon kívüli része. Azon PIII pontok összessége tehát, amelyekre az vagyis

vektor hosszának négyzete

.

27

vektor hosszának négyzete pozitív,

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Mivel a relativitás elve szerint az O pontból kiinduló bármilyen hatás legfeljebb fénysebességgel terjedhet, az csak az I. tartomány PI pontjait érheti el. Másrészt, csak a II. tartomány PII pontjaiból kiinduló hatások érhetik el az O pontot. Ezzel szemben az O pont és a III. tartomány PIII pontjai között semmilyen ok-okozati összefüggés nincs. Más szóval: az O pontból kiinduló hatások a PIII pontokat nem érik el, és ez megfordítva is igaz.

Általános Lorentz-transzformáció A Minkowski-féle négydimenziós tér bevezetése után foglalkozzunk azokkal a legáltalánosabb transzformációkkal, amelyek az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérést teszik lehetővé. A (60,7), (60,8) transzformációk ugyanis speciálisak abban az értelemben, hogy a tengelyek speciális választása miatt y és z nem transzformálódik. Most meg akarunk szabadulni ettől a korlátozástól is. Minkowski nyomán bevezetjük a következő jelöléseket: ((64,1). egyenlet). A Minkowski-féle négydimenziós tér OP távolságának négyzete e jelölésekkel:

((64,2). egyenlet). Tekintsünk két inerciarendszert. Az egyiket jelöljük K-val, a másikat K'-vel. Valamely pontszerű esemény hely- és időkoordinátáit jelöljük x1, x2, x3, x4gyel, illetőleg x'1, x'2, x'3, x'4-vel. A keresett transzformáció kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták között. E kapcsolatnak olyannak kell lennie, hogy a két inerciarendszer a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékű legyen. Két vonatkoztatási rendszert akkor tekintünk egyenértékűnek, ha 1. az egyenes vonalú egyenletes mozgás a transzformáció során ugyanilyenbe megy át. Ez geometriailag azt jelenti, hogy a transzformáció a négydimenziós tér K rendszerbeli egyenesét a K'-beli egyenesbe viszi át. 2

2. s invariáns marad, vagyis

((64,3). egyenlet). Ezt a második követelményt arra alapozzuk, hogy a fénysebesség mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a c érték. Ebből közvetlenül adódik, hogy

-nak

-ba kell átmennie. Ezt mi a (64,3) alakba általánosítottuk.

Az 1. és 2. feltételt kielégítő transzformációkat nevezzük általános Lorentz-transzformációknak. 28

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Az 1. feltétel miatt a transzformációnak lineárisnak kell lennie. Ha feltételezzük, hogy xi = 0 az x'i = 0-val egybeesik, akkor a transzformációs képlet konstans tagot nem tartalmaz, tehát:

((64,4). egyenlet). A transzformációt tehát az

((64,5). egyenlet) mátrix egyértelműen meghatározza. Mivel x1, x2, x3; valamint x'1, x'2, x'3 valósak, az x4 és x'4 pedig tiszta képezetes, az elemei és a44 valósak, az ai4 és a4i (i = 1, 2, 3) elemek pedig képzetesek. A 2. feltétel további megszorítást jelent az

mátrix aik (i, k = 1, 2, 3)

mátrix elemeire. Ha (64,4)-et a (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor aik-ra a következő feltételeket kapjuk:

((64,6). egyenlet). a Weierstrass-féle δ szimbólumot jelenti: ((64,7). egyenlet). (64,6) segítségével (64,4)-ből xk kifejezhető. Szorozzuk meg (64,4)-et ais-sel és összegezzünk i-re 1-től 4-ig:

. Ez az ún. inverz-transzformációt fejezi ki:

((64,8). egyenlet). 29

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Ha (64,8)-at (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor a

((64,9). egyenlet) feltételi egyenletet kapjuk. A (64,6) egyenlet bal oldala az mátrix két oszlopában álló megfelelő elemek szorzatának összegét, (64,9) bal oldala pedig két sor elemeinek szorzatösszegét adja. A Lorentz-transzformáció mátrixának elemei tehát kielégítik a (64,6), (64,9) feltételeket. Könnyen belátható, hogy a Lorentz-transzformációk csoportot alkotnak. Két Lorentz-transzformáció egymás utáni alkalmazása ismét Lorentztranszformációt ad. A 60. pontban tárgyalt speciális Lorentz-transzformáció mátrixa a következő:

((64,10). egyenlet), ahol

. Ugyanis (64,4) és (64,10) alapján:

((64,11). egyenlet) Ezek a transzformációs képletek pedig megegyeznek (60,7)-tel.

Négyes vektorok A geometriában tanultuk, hogy a háromdimenziós térben értelmezett ún. közönséges vektorok rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy a koordináta-rendszer elforgatásakor komponenseik úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták. A megelőző elméleti fizikai tanulmányainkban a 30

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR vektorokat éppen ezzel a sajátságukkal definiáltuk. Nevezetesen: vektornak nevezünk olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták. Ennek mintájára definiáljuk az ún. négyes vektorokat a Minkowski-féle négydimenziós térben. Négyes vektor olyan négykomponensű mennyiség, amelynek komponensei a (64,4), illetve a (64,8) képlet szerint transzformálódnak. Legyen az Ai négyes vektor négy komponense a K rendszerben A1, A2, A3, A4, a K' rendszerben pedig A'1, A'2, A'3, A'4. A definíció szerint:

((65,1). egyenlet) ahol aik és ark a (64,5) mátrix elemei. Az Ai négyes vektor negyedik komponense (A4) az előző pont szerint tiszta képzetes. Két négyes vektor skaláris szorzata invariáns skalár. Legyen a két négyes vektor Ai, illetve Bk. A skaláris szorzatuk: . A (64,9) összefüggés alapján ez a következőképpen írható:

((65,2). egyenlet). Az eredeti és a transzformált négyes vektorok skaláris szorzata tehát megegyezik, vagyis invariáns. (65,2)-nek speciális esete egy négyes vektor önmagával való skaláris szorzata, vagyis négyzete:

((65,3). egyenlet). Képezzük az xi világpont τ sajátidő szerint vett differenciálhányadosát: ((65,4). egyenlet). Az így definiált u1, u2, u3, u4 négykomponensű mennyiség négyes vektor. Ugyanis a számláló úgy transzformálódik, mint az xi koordináta, a nevező pedig invariáns skalár, ezért ui úgy transzformálódik, mint xi, tehát négyes vektor. Az ui négyes vektort a tömegpont négyes sebességének nevezzük. 31


Mivel

,

((65,5). egyenlet) ahol

a hármas sebesség x, y, z komponense;

.

A négyes sebesség négyzete:

((65,6). egyenlet). A K inerciarendszerben nyugvó részecske négyes sebessége ui(0, 0, 0, ic). Ha a tömegpont

sebessége kicsi a vákuumbeli fénysebességhez képest

, akkor , és ezért az első három komponens megegyezik a háromdimenziós sebesség komponenseivel. ui tehát joggal tekinthető a sebesség négydimenziós általánosításának. Az ((65,7). egyenlet) négyes vektort a tömegpont négyes gyorsulásának nevezzük. Hogy ez négyes vektor, az az előbbiek alapján nyilvánvaló. Nézzük most a1-et részletesen: 32


((65,8). egyenlet),

ahol v a hármas sebesség, . Ha kicsi a c-hez képest – vagyis a az a3 komponensre is. A negyedik komponens:

rendű tagok elhagyhatók –, akkor

. Hasonló igaz az a2 és

((65,9). egyenlet). Könnyen belátható, hogy a négyes sebességnek és a négyes gyorsulásnak a skaláris szorzata zérus. Differenciáljuk e célból az (56,6) egyenletet a τ sajátidő szerint:

((65,10). egyenlet).

Négyes tenzorok. Tenzoranalízis A négyes vektorok bevezetése után most áttérünk a négydimenziós tér tenzorainak ismertetésére. Fizikai tanulmányainkban tenzorokkal először a rugalmasságtanban találkoztunk. A rugalmas testben fellépő feszültséget fejeztük ki tenzorokkal. A feszültségtenzor kilenc komponensből álló mennyiség:

Az első sorban álló mennyiségek a rugalmas test x tengelyre merőleges felületegységére ható erő három komponensét jelentik. A második, illetve a harmadik sorban álló mennyiségek az y, ill. a z tengelyre merőleges felületegységre ható erő komponensei. A Pik feszültségtenzor elemei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az xixk szorzat. (Pl. Pxy úgy, mint az xy szorzat.) Az elméleti fizikai tanulmányainkban a tenzoroknak ezt a sajátságát használtuk fel definiálásukra. 33

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Hasonlóan ahhoz, ahogyan a vektoroknál tettük, ennek általánosításával definiáljuk a négydimenziós tér tenzorait. A négydimenziós tér másodrendű tenzorán olyan tizenhat elemből álló Tik mennyiséget értünk, amely a (64,4) Lorentz-transz- formációkor úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat. Ha Tik (i, k = 1, 2, 3, 4) jelenti a tenzor elemeit a K-rendszerben, és T'ik (i, k = 1, 2, 3, 4) a K'-rendszerben, akkor ((66,1). egyenlet), ahol air és aks a (64,5) mátrix elemei. A Tik tenzor definíciójából következik, hogy két négyes vektor komponenseinek az AiBk szorzata tenzor; hiszen AiBk úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat. n

A másodrendű tenzor definíciója könnyen általánosítható, akárhányadrendű tenzorra. Az n-ed rendű tenzor olyan 4 elemből álló mennyiség, amelynek eleme Lorentz-transzformációkor úgy transzformálódik, mint az tenzornak, a skalárt pedig nulladrendű tenzornak tekinthetjük.

szorzat. Ennek alapján a négyes vektort elsőrendű

Gyakran előfordulnak olyan másodrendű tenzorok, amelyeknek Tik eleme megegyezik a Tki elemével: ((66,2). egyenlet). Ilyenkor a tenzort szimmetrikusnak mondjuk. Antiszimmetrikus a tenzor akkor, ha ((66,3). egyenlet). Bármely Tik tenzor felbontható szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzor összegére: ((66,4). egyenlet), ahol , . Könnyen belátható, hogy a tenzor szimmetriatulajdonsága nem változik meg a koordinátatranszformációkor, vagyis szimmetrikus tenzort a Lorentztranszformáció szimmetrikus tenzorba visz át. 34

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Tenzorok szorzásával magasabb rendű tenzort kapunk. Pl. két másodrendű tenzor szorzásából negyedrendű tenzor keletkezik. A szorzást úgy értelmezzük, hogy az egyik tenzor minden elemét megszorozzuk a másik tenzor minden elemével. ((66,5). egyenlet). Egy tenzorból alacsonyabb rendű tenzort kaphatunk azáltal, hogy két indexét azonossá tesszük, és ezekre összegezünk. Ezt az eljárást „kontrakciónak” nevezzük. Pl. a Tikl harmadrendű tenzorból vektort kapunk: ((66,6). egyenlet), vagy

. Másodrendű tenzorból kontrakcióval skalárt kapunk:

((66,7). egyenlet). Az S skalárt a Tik tenzor átlós összegének, vagy idegen szóval spurjának nevezzük. A tenzor spurja tehát invariáns mennyiség. Az eddigiekben tenzorokból algebrai műveletekkel képeztünk újabb tenzorokat. A tenzorképzés e módszereivel foglalkozik az ún. tenzoralgebra. Újabb tenzorokat kapunk akkor is, ha a tenzorokat a koordináták szerint differenciáljuk. Ezek a módszerek a tenzoranalízis körébe tartoznak.

Tekintsünk egy négyváltozós

skalárfüggvényt. Képezzük ennek

,

,

,

parciális differenciálhányadosait. Könnyen

belátható, hogy a parciális differenciálhányadosok egy Ai négyes vektor komponensei. Ehhez azt kell belátnunk, hogy a transzformálódik, mint az xr koordináta. Mivel Φ skalár, a transzformáció során csak a koordináták változnak meg. Képezzük a szerinti parciális differenciálhányadosát. A közvetett differenciálás szabálya szerint:

((66,8). egyenlet). 35

mennyiség úgy függvény

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Az

transzformációs képlet alapján

. Ezt (66,8)-ba beírva, adódik:

((66,9). egyenlet).

Ez a képlet pedig pontosan megegyezik az Ai vektor (65,1) traszformációs képletével. A Tekintsünk most egy vektorteret. Megmutatjuk, hogy a vektorok (65,1) transzformációs képletéből indulunk ki:

. Differenciáljuk ezt az összefüggést

szerint. Mivel air állandó, ezért

. Az xs koordináta (64,8) transzformációs képletéből következik, hogy . Ezt figyelembe véve, adódik: 36

komponensek tehát négyes vektort alkotnak.

parciális differenciálhányadosok egy másodrendű tenzor elemei. A négyes



(66,10) megegyezik a Tik másodrendű tenzor (66,1) transzformációs képletével. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a differenciálhányadosok valóban egy másodrendű tenzor elemei. Hasonlóan belátható, hogy egy n-ed rendű tenzor elemeinek az xk koordináták szerinti parciális differenciálhányadosai n + 1-ed rendű tenzort alkotnak. A tenzorok kontrakciójával kapcsolatban tett fenti megállapításaink alapján a

((66,11). egyenlet). A (66,11) egyenlőség bal oldalán álló mennyiséget az Ai négyes vektor négyes divergenciájának nevezzük. Ez természetes általánosítása a háromdimenziós térben definiált vektordivergenciának.

Mivel a

mellett a

is másodrendű tenzor, ezért a kettő különbsége is egy másodrendű tenzor, amelyet Fik-val jelölünk:

((66,12). egyenlet). (66,12) -ről szembetűnően látszik, hogy ez a tenzor antiszimmetrikus: . A (66,12) egyenlőség bal oldala az Ai négyes vektor négyes rotációja. A hármas vektor rotációja szintén vektor, de a négyes vektoré már nem, mert – mint láttuk – az tenzor. A Tik másodrendű tenzor elemeinek differenciálhányadosai egy harmadrendű tenzor elemei. Ebből kontrakcióval négyes vektor nyerhető:

((66,13). egyenlet). (66,13) bal oldala a Tik tenzor négyes divergenciája. 37


A speciális relativitáselmélet programja A Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek, a benne értelmezett négyes vektoroknak és négyes tenzoroknak fizikai jelentősége abban van, hogy segítségükkel a relativitáselmélet igen egyszerűen kiépíthető. A relativitás elve szerint az inerciarendszerek egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából. Ez más szóval azt jelenti, hogy az egzakt természettörvények mindegyik inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. A természettörvények tehát invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. A Lorentz-invariancia a természettörvények egzaktságának a kritériumát jelenti. Az új törvények felfedezésekor a kutató első feladata annak megállapítása, hogy a felismert törvény teljesíti-e ezt a kritériumot. A Lorentz-transzformációnak az elvégzése és a kívánt invarianciatulajdonság megállapítása fáradságos munkát jelentene minden egyes új alaptörvény felfedezésekor. Nagy könnyítést jelentene a kutatónak, ha a törvényeket olyan alakban tudná megfogalmazni, amely a Lorentz-invarianciát szemmel láthatóan mutatja. Az előző pontokban bevezetett négyes vektorok és négyes tenzorok éppen ebben adnak igen nagy segítséget. Ugyanis ha az alaptörvényeket vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában sikerül felírni, akkor az már biztosítja az egyenlet Lorentz-invarianciáját. Tegyük fel, hogy valamely természettörvény a K inerciarendszerben a ((67,1). egyenlet) tenzoregyenlet alakjában írható fel. Térjünk át a K' inerciarendszerre a (64,4) koordinátatranszformácíóval. A (67,1) alapegyenlet (66,1) alapján a ((67,2). egyenlet) egyenletbe megy át, mivel a K' rendszerbeli tenzorkomponensek a K-belinek lineáris kombinációi. A tenzoregyenlet tehát minden inerciarendszerben ugyanolyan alakú, vagyis invariáns a (64,4) Lorentz-transzformációval szemben. Ennélfogva ha a természettörvényt sikerül tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor annak Lorentz-invarianciáját már eleve biztosítottuk. Természetesen Lorentz-invariánsak a négyes vektoregyenletek is, hiszen az ((67,3). egyenlet) egyenletet a (64,4) transzformáció az ((67,4). egyenlet) egyenletbe viszi át. Mivel a relativitás elve szerint az egzakt természettörvények Lorentz-invariánsak, vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában írhatók. 38

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Ezek után kézenfekvő megvizsgálni, hogy a fizika eddigi fejezetei (mechanika, elektrodinamika) teljesítik-e az itt megfogalmazott követelményt, vagyis alaptörvényeik egzaktak-e. Ha sikerül a mechanika és elektrodinamika alapegyenleteit négyes vektor- vagy négyes tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor megnyugvással állapíthatjuk meg, hogy azok egzakt igazságokat foglalnak magukban. Ha az derülne ki, hogy ezek valamelyike nem Lorentz-invariáns, akkor ez azt mutatná, hogy az illető diszciplína csak közelítő jellegű törvényeket állapít meg. Ekkor meg kell kísérelnünk annak olyan általánosítását, amely kielégíti a relativitás elve támasztotta fenti kritériumokat. A következő pontokban ezt a programot valósítjuk meg, vagyis megvizsgáljuk az elektrodinamika, majd a mechanika alapegyenleteit a Lorentzinvariancia szempontjából.

39

10. fejezet - RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA A Maxwell-egyenletek tenzor alakban Induljunk ki a vákuumbeli Maxwell-egyenletekből. A teret az

áram-, ill. a

töltéseloszlás kelti:

((68,1). egyenlet);

((68,2). egyenlet). Az i áramsűrűség és a

töltéssűrűség között – mint ismeretes – fennáll a (68,1) egyenletből következő

((68,3). egyenlet) kontinuitási egyenlet. Könnyen belátható, hogy a (68,1), illetve a (68,2) egyenletcsoport négyes vektor-, ill. négyes tenzoregyenletbe foglalható össze. Az i áramsűrűség három komponenséből és a töltéssűrűségből egy négyes vektor képezhető. Az E és H térerősségek hat komponense pedig egy antiszimmetrikus tenzor hat független elemének fogható fel. Az i áramsűrűségből és a

töltéssűrűségből keletkező négyes vektort jelöljük si-vel, és definiáljuk a következőképpen:

((68,4). egyenlet). si-t négyes áramsűrűségnek nevezzük. Az E, H térerősségek komponenseit az Fik antiszimmetrikus tenzor elemeihez rendeljük a következőképpen:

40

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA

((68,5). egyenlet). Fik-t térerősségtenzornak nevezzük. Ezek után írjuk fel a (68,1) egyenletcsoport négy egyenletét a (68,4) négyes vektorral és a (68,5) tenzorral. Kezdjük a (68,1) első egyenletével.

. Ez az egyenlet (68,4) és (68,5) alapján így írható:

.

Itt figyelembe vettük a korábbi jelölésünket, miszerint x = x1, y = x2, z = x3, ict = x4. Az egyenlet bal oldalához hozzávehetjük a antiszimmetrikus tenzornál azonosan zérus. Így egyenletünk a következő alakot veszi fel:

. A szokásos jelöléssel ez így írható:

. A (68,1) egyenletcsoport második és harmadik egyenlete azonos szerkezetű az elsővel, ezért ennek mintájára írható:

,

. 41

tagot, amely

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA Nézzük most (68,1) negyedik egyenletét:

. Az egyenlet mindkét oldalát i-vel megszorozva, (68,5) alapján adódik:

.

A bal oldalhoz hozzávéve a

tagot, amely zérus, ez a negyedik egyenlet is az első hárommal teljesen azonos szerkezetű lesz:

. A (68,1) első Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő négyes vektoregyenletbe foglalható össze:

((68,6). egyenlet). (66,13) szerint ez valóban négyes vektoregyenlet, és azt jelenti, hogy az Fik térerősségtenzor divergenciája az si négyes áramsűrűség 4π-szeresével egyenlő. Hasonlóképpen írható át a (68,2) egyenletcsoport is. Ennek első egyenlete:

, amely (68,5) segítségével a következő alakra hozható:

. (–i)-vel szorozva és a második tagban a tenzor indexeit felcserélve, kapjuk, hogy 42


. A (68,2) második egyenletcsoport többi három egyenletének átírása is ilyen szerkezetű egyenletre vezet. A második Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő egyenletbe foglalható össze:

((68,7). egyenlet), ahol i, k, l az 1, 2, 3, 4 számokból kiválasztott számhármas: 234, 341, 412 és 123. A (68,7) egyenletben a második tag úgy keletkezik az elsőből, hogy az i, k, l indexeket ciklikusan felcseréljük. Hasonlóan adódik a harmadik tag a másodikból. Az elektrodinamika (68,1), (68,2) alapegyenleteit tehát sikerült négyes vektor-, illetve tenzoregyenletek alakjában felírnunk. Az előző pontban mondottak értelmében ez azt jelenti, hogy a Maxwell-egyenletek Lorentz-invariáns egyenletek, tehát egzakt természettörvényt fejeznek ki. A 45. pontban láttuk, hogy az elektromágneses térerősségek az A vektorpotenciálból és a

skalárpotenciálból származtathatók. Nevezetesen:

((68,8). egyenlet). Mint ismeretes, ezek az összefüggések kielégítik a második Maxwell-egyenletcsoportot. A (68,1) egyenletek pedig az elektromágneses potenciálok meghatározására szolgálnak.

((68,9). egyenlet) A (68,9) egyenletek a (68,8) összefüggésekkel együtt ekvivalensek a Maxwell-egyenletekkel. Itt is áttérhetünk a négydimenziós írásmódra minden nehézség nélkül. Az A vektorpotenciált és a vektorba: ((68,10). egyenlet). 43

skalárpotenciált összefogjuk egy Ai négyes

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA (68,8) első egyenletéből és (68,5)-ből következik:

, amely a (68,10) jelöléssel így írható:

. Hasonlóképpen adódik:

,

.

Továbbá (68,8) második egyenletéből (68,10) és (68,5) alapján adódik:

. Hasonlóképpen kapjuk:

,

.

Ezek a képletek a következő tenzorösszefüggés alakjában foghatók össze:

((68,11). egyenlet). Az Fik elektromágneses térerősségtenzor tehát az Ai elektromágneses potenciál négyes rotációja. Egyszerű számítással meggyőződhetünk róla, hogy (68,11) automatikusan kielégíti a (68,7) második Maxwell-egyenletcsoportot. Ha (68,11)-et a (68,6) Maxwell-egyenletekbe helyettesítjük, az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenleteinek négydimenziós alakját kapjuk: 44


((68,12). egyenlet). Ez az egyenlet egyszerű átalakítással a következő alakot veszi fel:

((68,13). egyenlet). Az Fik elektromágneses térnek és az Ai elektromágneses potenciáloknak (68,11) szerinti egymáshoz rendelése nem egyértelmű. Ugyanis, ha az Aihez hozzáadjuk egy tetszőleges skalártér gradiensét, az így keletkezett

((68,14). egyenlet) négyes vektor – mint elektromágneses potenciál – (68,11) alapján ugyanazt az Fik elektromágneses teret adja, mint az Ai. Ez a körülmény lehetővé teszi, hogy az Ai potenciálra olyan megszorító feltételt írjunk elő, amely a konkrét feladat megoldását egyszerűvé teszi. (68,13)-ból következik, hogy erre a célra különösen alkalmas az ún. Lorentz-feltétel kikötése:

((68,15). egyenlet). A (68,15) Lorentz-feltétellel a (68,13) alapegyenlet a következő egyszerű alakot veszi fel:

((68,16). egyenlet). A (68,16) egyenlet és a (68,15) Lorentz-feltétel az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenletének négyes vektorokkal felírt Lorentz-invariáns alakja. A (68,16) egyenlet bal oldalát gyakran más alakban is írjuk. E célból bevezetjük a

ún. d’Alembert-operátort. Ezzel (68,16) így írható: 45


((68,16'). egyenlet). Képezzük most a (68,13) egyenlet mindkét oldalának a divergenciáját:

.

A bal oldal azonosan zérus; ugyanis a Ennélfogva:

és

operátorok egymással felcserélhetők, és a második tagban az r index helyett használható az i is.

((68,17). egyenlet). Ez az egyenlet a (68,3) kontinuitási egyenletet fejezi ki négydimenziós alakban. Írjuk ki az összeget részletesen, és vegyük figyelembe a (68,4), valamint az x = x1, y = x2, z = x3, ict = x4 jelöléseket:

; –vel egyszerűsítve: . Ezzel beláttuk, hogy (68,7) valóban a kontinuitási egyenletet fejezi ki.

A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei Foglalkozzunk előbb a térerősség-komponensek transzformációs képleteivel. Az előző pontban láttuk, hogy a térerősség-komponensek (68,5) szerint az Fik antiszimmetrikus tenzor elemeivel vannak kapcsolatban. Ennélfogva, ha a K inerciarendszerről egy másik K' inerciarendszerre térünk át, a térerősség-komponensek úgy transzformálódnak, mint a megfelelő tenzorkomponensek. (66,1) szerint: 46


((69,1). egyenlet), ahol air és aks a (64,5) mátrix elemei. Speciális Lorentz-transzformáció esetén a transzformációs mátrix elemeit (64,10) adja. Nézzük először Hz transzformációját. Hz az Fik tenzor F12 elemével egyezik meg. (69,1) szerint:

((69,2). egyenlet). (64,10) figyelembevételével ez a kettős összeg a következő kifejezésre egyszerűsödik:

((69,3). egyenlet). A tenzorkomponensek helyére a térerősségek megfelelő komponenseit beírva, kapjuk, hogy

((69,4). egyenlet). Hasonlóképpen határozhatjuk meg (69,1), (64,10) és (68,5) alapján a térerősségek többi komponensének transzformációs képleteit. Az egyszerű számítást mellőzve, csak a végeredményt közöljük:

((69,5). egyenlet) Ha a K rendszerben ismerjük a térerősségeket, (69,5) alapján egyszerű számítással kapjuk a K' inerciarendszerben érvényes komponenseket. Az egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere például (69,5) szerint egyszerűen adódik a nyugvó töltés elektrosztatikus teréből (lásd a következő pontot). Határozzuk meg ezután az áramsűrűség komponenseinek és a töltéssűrűségnek a transzformációját. Mivel (68,4) szerint ezek egy négyes vektort alkotnak, Lorentz-transzformációkor a négyes vektorokra vonatkozó (65,1) képlet szerint transzformálódnak: 47


((69,6). egyenlet). (69,6) és (64,10) alapján adódik:

Az áramsűrűség háromdimenziós komponenseit és a töltéssűrűséget (68,4) alapján beírva, kapjuk, hogy

((69,7). egyenlet) Ezekben a képletekben

a K' inerciarendszernek a K rendszerhez viszonyított sebessége.

Tekintsük most azt a speciális esetet, amikor a töltés a K rendszerben nyugszik. Ebben a rendszerben áram tehát nincs. A nyugvó töltés sűrűségét jelöljük

-val.

A K' rendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog az x tengely mentén. (69,7) szerint:

((69,8). egyenlet) A mozgó töltés sűrűsége tehát nagyobb a nyugalmi töltéssűrűségnél; az áramsűrűség pedig a töltésrendszer sebességének és az ún. „mozgási” töltéssűrűségnek a szorzata. Az elektromos töltés sűrűségének

nyugalmi és

mozgási (elhagytuk a vesszős jelet) mérőszáma között (69,8) szerint a 48


((69,9). egyenlet) összefüggés áll fenn. A 61. pontban megismertük, hogy a térfogat nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg, hanem közöttük a (61,4) összefüggés érvényes: ((69,10). egyenlet). A (69,9) és a (69,10) összefüggés alapján könnyen belátható, hogy a V térfogatban ún. Lorentz-invariáns mennyiség. E célból tételezzük fel, hogy a nyugvó töltés

sűrűséggel eloszlott e töltés a koordináta-rendszertől független,

sűrűséggel tölti ki a V0 térfogatot. A benne levő töltést az

((69,11). egyenlet) integrál adja meg. A K' inerciarendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog, és a fentiek értelmében a kisebb V térfogatot ki. (69,9) és (69,10) alapján látható azonban, hogy a térfogat által bezárt töltés ugyanaz:

sűrűséggel tölti

((69,12). egyenlet). A térfogatelem mozgási mérőszáma ugyanolyan mértékben csökken, mint amilyen mértékben nő a töltéssűrűség mozgási mérőszáma a nyugalmihoz képest. Ennek következtében az elektromos töltés invariáns marad, midőn egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk.

Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere Gondoljunk el pontszerű e töltést, amely állandó sebességgel mozog inerciarendszerünk x tengelye mentén. A mozgó töltés áramot képvisel, ezért maga körül elektromos és mágneses teret kelt. Feladatul tűzzük az elektromos és a mágneses térerősség meghatározását. Mint korábban tanultuk, meg kell oldanunk az ismert mozgásállapotú töltés elektromágneses terét leíró Maxwell-egyenleteket. Sokkal egyszerűbben jutunk azonban a célhoz, ha az előző pontban megismert transzformációs képleteket használjuk. A nyugvó ponttöltés elektromos terét már ismerjük (lásd a 11. pontot), a keresett megoldást ebből egyszerű transzformációval kaphatjuk. Tegyük fel, hogy az e pontszerű töltés a K' inerciarendszer origójában nyugszik. A K rendszerben ekkor valóban sebességgel mozog az x tengely mentén. A K' rendszerben a nyugvó ponttöltésnek csak elektrosztatikus tere van. A tér erőssége az x', y', z' koordinátájú pontban: ((70,1). egyenlet), 49

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA ahol ((70,2). egyenlet). K'-ben mágneses tér nincs: ((70,3). egyenlet). Mivel a K rendszerben a töltés mozog, ebben mind elektromos, mind mágneses tér fellép. A P pontban uralkodó térerősségeket (70,l)-ből és (70,3)ból a térerősségek transzformációjával kapjuk. Most a K' rendszerről térünk át a K rendszerre, ezért (69,5) helyett az inverz transzformáció képleteit kell használnunk. Ezeket (69,5)-ből úgy kapjuk, hogy -t a -vel helyettesítjük:

((70,4). egyenlet) Ha (70,4)-be beírjuk a (70,1) és (70,3) képletekkel megadott térerősség-komponenseket, az egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses terét – tehát a keresett megoldást – kapjuk:

((70,5). egyenlet);

((70,6). egyenlet). A (70,5) és (70,6) kifejezésekben a P pont K' rendszerbeli koordinátái szerepelnek. Ezeket még ki kell fejeznünk a K rendszerben érvényes koordinátákkal. A P pont K-, illetve K'-beli koordinátái közötti kapcsolatot a (60,7) speciális Lorentz-transzformáció adja:

((70,7). egyenlet). Ebből következik: 50


((70,8). egyenlet). A térerősség-komponensek végleges kifejezését ezek (70,5)-be, illetve (70,6)-ba történő behelyettesítésével kapjuk:

((70,9). egyenlet)

((70,10). egyenlet) (70,9)-ből következik, hogy az elektromos tér erővonalai a mozgó töltésből sugárirányban mennek kifelé (ha e pozitív), de az erővonalak sűrűsége nem egyenletes. Más szóval: a tér radiális, de nem gömbszimmetrikus, ellentétben a nyugvó ponttöltés elektromos terével. Ezt a következőképpen láthatjuk be. A nyugvó ponttöltésből (tehát az O' origóból) P-hez húzott R rádiuszvektor komponensei: térerősség-komponensek úgy aránylanak egymáshoz, mint , y és z: ((70,11). egyenlet). Ez pedig azt jelenti, hogy az E elektromos térerősség R irányú, vagyis radiális. 51

, y, z. (70,9)-ből egyszerűen látható, hogy az elektromos

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA Képezzük most az elektromos térerősség abszolút értékének négyzetét:

((70,12). egyenlet). Jelöljük az R vektornak az x tengellyel bezárt szögét ϑ-val. Ekkor ((70,13). egyenlet), ahol

. (70,13)-at (70,12)-be beírva, kapjuk:

((70,14). egyenlet). Ebből látszik, hogy a térerősség abszolút értéke függ a ϑ szögtől, tehát nem gömbszimmetrikus az elektromos tér. A térerősség a ϑ = 0 irányban, vagyis az x tengely mentén a legkisebb, ϑ-val fokozatosan nő, és a irányokban, tehát a mozgásirányra merőleges síkban a legnagyobb. A gömbszimmetriától való eltérés annál jelentősebb, minél nagyobb sebességgel mozog a töltés. Ha , akkor az elektromos tér gyakorlatilag a mozgásirányra merőleges síkban különbözik zérustól. A nevezőjében a második tag elhagyható az első mellett:

határesetben pontosan ez következne be. Ugyanis

esetén

, és ezért (70,14)

. Ez pedig gyakorlatilag a

irányokban különbözik zérustól.

A (70,10)-ből adódó ((70,15). egyenlet) arány alapján belátható, hogy a mágneses erővonalak a mozgás irányát körülfogó koaxiális körök. Irányuk – pozitív töltés esetén – a mozgás irányába nézve az óramutató járásával megegyező. 52


Doppler-effektus és aberráció Ebben a pontban az elektromágneses síkhullámok transzformációs sajátságaival foglalkozunk. Feltételezzük, hogy a K inerciarendszerben monokromatikus elektromágneses síkhullám terjed az

egységvektorral megadott irányban. A térerősségek (49,22) szerint:

((71,1). egyenlet), ahol E0, illetve H0 a helytől és időtől független amplitúdóvektor,

a hullám fázisa, amely az időnek és a helykoordinátáknak lineáris függvénye:

((71,2). egyenlet). a hullám frekvenciája, c a terjedési sebessége. Térjünk át a (60,7) speciális Lorentz-transzformációval a K'-inerciarendszerre. A térerősségek a (69,5) képlet szerint transzformálódnak:

((71,3). egyenlet) E képletekből látszik, hogy csak az amplitúdóvektorok transzformálódnak, a Φ fázis változatlan marad, ez tehát Lorentz-invariáns mennyiség. Abból a tényből, hogy a fázis invariáns, érdekes következtetések vonhatók le a hullám frekvenciájának és terjedési irányának megváltozására vonatkozóan. A fázis kifejezését átalakítjuk a szokásos x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict, továbbá a ((71,4). egyenlet) 53

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA jelölések bevezetésével:

((71,5). egyenlet) Mivel Φ invariáns skalár, és az xi vektorként transzformálódik, szorzata ad invariáns mennyiséget. (71,4)-ből következik, hogy

-nek négyes vektornak kell lennie. Ugyanis, xi-nek csak négyes vektorral való skaláris

nullvektor a Minkowski-féle négydimenziós térben:

((71,6). egyenlet). Itt figyelembe vettük az Ezek után határozzuk meg a alapján adódik:

összefüggést. vektor egyes komponenseinek transzformációs képleteit. Kezdjük a negyedik komponenssel. (65,1), valamint (64,10)

. A

értéket beírva, a frekvenciára a következő transzformációs képletet kapjuk:

((71,7). egyenlet). Ennek jelentése a következő. A K rendszerben frekvenciájú elektromágneses síkhullám terjed az n irányban. Ez felfogható úgy, hogy igen távoli hullámforrásból jön, amely a K rendszerben nyugszik. A K-hoz képest az x tengely mentén sebességgel mozgó K' rendszerben a hullám frekvenciája megváltozott. A frekvenciaváltozás annak a következménye, hogy a K'-beli megfigyelő (mérőberendezés) mozog a hullámforráshoz képest. A jelenséget Doppler-effektus néven ismerjük. A (71,7) képlet tehát a Doppler-effektusnál fellépő frekvenciaváltozásról ad számot. A (71,7) tetszőleges irányban haladó hullámra vonatkozik. 54

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA Alkalmazzuk ezt most két speciális esetre. 1. A hullám az x tengely mentén terjed. Ugyanebben az irányban (vagy vele szemben) mozog a megfigyelő is. Ekkor a megváltozott frekvencia, mivel

, a következő lesz:

((71,8). egyenlet). Ez az ún. longitudinális Doppler-effektus, amely

sebességek esetén a klasszikus fizikából ismert

((71,9). egyenlet)

képletbe megy át. A két képlet az tényezőben különbözik egymástól. Ives mérései szerint a (71,8) relativisztikus képlet írja le helyesen a longitudinális effektust. Fényforrásul nagy sebességgel mozgó csősugárionokat használt. A közeledés és távolodás frekvenciájának középértékét mérte. Ez a (71,8) képlet szerint:

. A (71,9) klasszikus képlet szerint pedig:

. Ives mérése a relativisztikus képlet helyességét erősítette meg. 2. A K'-beli megfigyelő a hullámterjedés irányára merőlegesen mozog: nx = 0. (71,7) szerint ekkor is fellép frekvenciaváltozás:

((71,10). egyenlet). Ezt nevezzük transzverzális Doppler-effektusnak. A klasszikus fizika ezt a jelenséget nem ismeri, ez teljesen relativisztikus effektus. (71,10) sorba fejtésével látszik, hogy β-ban másodrendű effektusról van szó: 55


. Kísérleti kimutatása az effektus kicsi volta miatt csak rendkívül érzékeny módszerrel lehetséges, és ezért csupán néhány évvel ezelőtt sikerült. Ezek után foglalkozzunk a

négyes vektor első három komponensének transzformációjával.

. A

behelyettesítésével:

. A frekvencia (71,7) transzformációs képletét felhasználva, adódik:

((71,11). egyenlet). Hasonló eljárással kapjuk az ny és nz transzformációs képleteit:

((71,12). egyenlet). A (71,11), (71,12) kifejezések azt jelentik, hogy a K inerciarendszerről a K' rendszerre való áttérésnél megváltozik a hullám terjedési iránya is. E képletek éppen az iránycosinusok megváltozását fejezik ki. A jelenséget aberrációnak nevezzük, és I. Bradley felfedezése (1727) óta ismerjük. Ő jött rá először, hogy az állócsillagok fényének terjedési iránya a Földről nézve, a Föld mozgása következtében megváltozik. Ennek eredményeként az állócsillagok látszólagos évi elliptikus mozgást végeznek, amely ellenképe a Föld Nap körüli mozgásának. A Doppler-effektust kifejező (71,7) képletben a ezt kifejezhetjük

-vel, és így a

frekvencia kifejezésében a K rendszerbeli

iránycosinus szerepel. A (71,11) összefüggés alapján

-re olyan képletet kapunk, amelyben már a K' rendszerben mért

((71,13). egyenlet). 56

iránycosinus szerepel. (71,11)-ből adódik:

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA Ezt (71,7)-be beírva, a Doppler-effektus végleges relativisztikus kifejezését kapjuk:


Az erősűrűség relativisztikus kifejezése Az elektromágneses tér a v sebességgel mozgó töltésrendszer térfogategységére (27,11) és (39,7) alapján

((72,1). egyenlet) erőt fejt ki. (72,1)-et Lorentz-erősűrűségnek nevezzük. A (68,4) négyes áramsűrűség-vektor és a (68,5) térerősségtenzor bevezetésével az erősűrűség x komponense a következőképpen írható:

. Mivel

, a jobb oldal kiegészíthető az

taggal. Így

((72,2). egyenlet). Hasonlóképpen írható az f erősűrűség másik két komponense is. A szokásos

,

,

jelöléssel:

((72,3). egyenlet),

((72,4). egyenlet). A négyes vektorokról és tenzorokról tanultak értelmében (72,2)–(72,4) egy négyes vektor első három komponensét jelentik. Ez a vektor az ún. négyes erősűrűség-vektor: 57


((72,5). egyenlet). A négyes erősűrűség negyedik komponensének jelentése (72,5)-bőI határozható meg:

((72,6). egyenlet). f4 (72,6) kifejezése (72,1) alapján a következőképpen írható: ((72,7). egyenlet). Mivel (v, f) azt a munkát jelenti, amelyet az elektromágneses tér a térfogategységben levő töltés 1 s alatti elmozgatásakor végez, f4 az effektussűrűség -szeresével egyenlő. Ha az effektussűrűséget w-vel jelöljük, akkor

((72,8). egyenlet). Abban az inerciarendszerben, amelyben a töltés nyugalomban van (v = 0), az erősűrűség negyedik komponense zérus: tér munkát nem végez. Ez az eredmény (72,5)-ből közvetlenül is levezethető. A töltés nyugalmi rendszerében: , mert

(k = 1, 2, 3), és csak

. Az

-nak negyedik komponense az F44 = 0 miatt eltűnik.

Az erősűrűség (72,5) kifejezéséből következik, hogy

((72,9). egyenlet). 58

. Nyugvó töltésen a

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA Ugyanis:

((72,10). egyenlet). A jobb oldalon az Fir antiszimmetrikus tenzornak és az sisr szimmetrikus tenzornak az i és r indexekre összegezett szorzata áll. Az i és r indexek felcserélésével a jobb oldalon Fir antiszimmetrikus volta miatt előjelváltozás áll elő. Másrészt a jobb oldal értéke nem változik meg az összegező indexek felcserélésekor. Ez csak úgy lehetséges, hogy a kettős összeg azonosan zérus. Ezzel igazoltuk a (72,9) egyenlet fennállását.

Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora A 9. és 56. pontban foglalkoztunk az elektromágneses tér energiájával, illetve impulzusával. Megállapítottuk, hogy az energia-, illetve impulzusmegmaradás tétele akkor áll fenn, ha az elektromágneses térnek is tulajdonítunk energiát és impulzust. Mindkét dinamikai mennyiség folytonosan oszlik el a térben, vákuum esetén

((73,1). egyenlet), illetve

((73,2). egyenlet) sűrűséggel. A két megmaradási tétel a klasszikus elektrodinamikában egymástól teljesen elkülönülten szerepel. A négydimenziós megfogalmazásból kiderül, hogy az energia- és az impulzusmegmaradás tétele szorosan összefügg egymással. A megmaradási tételek relativisztikus felírásából az energiaés impulzussűrűség transzformációs sajátsága is megállapítható. Induljunk ki az fi erősűrűség (72,5) kifejezéséből:

((73,3). egyenlet). Megmutatjuk, hogy fi egy szimmetrikus Tik tenzor négyes divergenciájaként állítható elő. E célból átalakítjuk (73,3) jobb oldalát a Maxwell-egyenletek felhasználásával. Írjuk be sk helyére a (68,6) egyenletből adódó kifejezést: 59


. Figyelembe véve az

((73,4). egyenlet) átalakítást, fi így írható:

((73,5). egyenlet). A jobb oldal második tagja az összegező indexek felcserélésével és a térerősségtenzor antiszimmetrikus voltának figyelembevételével a következőképpen átalakítható:

.

Az utolsó zárójel a (68,7) Maxwell-egyenletek alapján

-vel egyenlő. Ennélfogva:

. Ezt (73,5)-be visszahelyettesítve, adódik:

((73,6). egyenlet). Az első tagban hajtsuk végre a

,

, a másodikban a

indexcserét, amely megtehető, mert összegező indexről van szó. A jobb oldal a

((73,7). egyenlet) 60

RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA szimmetrikus tenzornak a négyes divergenciája:

((73,8). egyenlet). (73,7)-ben a Weierstrass-féle szimbólum, amely 0 vagy 1, aszerint, hogy energia-impulzus tenzorának nevezzük.

, vagy i = k. A Tik szimmetrikus tenzort az elektromágneses tér

Most megmutatjuk, hogy Tik térszerű elemei (i, k = l, 2, 3) az (56,6) Maxwell-féle feszültségtenzor elemeivel egyeznek meg. Erről a térerősségtenzor (68,5) alakjának felhasználásával győződhetünk meg. E célból először kiszámítjuk a (73,7) második tagjában szereplő kettős összeget.

((73,9). egyenlet) Ezek után írjuk fel részletesen a T11 elemet:

((73,10). egyenlet) Ez pedig megegyezik az (56,6) feszültségtenzor „11” elemével, miként állítottuk. Hasonlóképpen belátható, hogy Tik térszerű elemei valóban a Maxwell-féle feszültségtenzor megfelelő elemeivel egyeznek meg. Az energia-impulzus tenzor T4i (i = 1, 2, 3, 4) elemeinek fizikai jelentéséhez a következőképpen juthatunk. Integráljuk (73,8) mindkét oldalát i = 4 esetén egy rögzített V térfogatra:

. Mivel a térfogat rögzített, a jobb oldali második integrálból az idő szerinti differenciálás az integrál elé emelhető. Ekkor az jelöléssel írható:

. 61

,

,

,


Szorozzuk végig az egyenletet ic-vel, és vegyük figyelembe, hogy (72,7) alapján

. Így egyenletünk a következő alakot veszi fel:

((73,11). egyenlet). A bal oldalon annak az effektusnak (–1)-szerese áll, amelyet az elektromágneses tér végez, midőn a V térfogatban levő töltésrendszert v sebességgel mozgatja. Ha feltételezzük, hogy vezetők nincsenek a térben (j = 0), akkor (9,6) szerint a jobb oldalon az S Poynting-vektor felületi integráljának és a V térfogatban levő elektromágneses térenergia idő szerinti differenciálhányadosának kell állnia. Erre az eredményre akkor jutunk, ha a T4i elemeknek a következő fizikai jelentést tulajdonítjuk: ((73,12). egyenlet), ((73,13). egyenlet), ahol Sx, Sy, Sz az

energia-áramsűrűség három komponense, és

az elektromágneses tér energiasűrűsége. Ekkor (73,11) valóban a (9,6) energiaegyenlettel azonos:

((73,14). egyenlet). Képezzük most a (73,8) négyes vektor i = 1 komponensének térfogati integrálját:

((73,15). egyenlet). A bal oldalon a töltésrendszerre kifejtett erő x komponense áll. A jobb oldali első integrál integrandusza a Tx(T11, T12, T13) segédvektor hármas divergenciája, amely Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható: 62


((73,16). egyenlet). Az (56,12) egyenlettel való összehasonlításból következik, hogy a jobb oldali második integrál (–1)-szerese az elektromágneses térimpulzus x komponensének idő szerinti differenciálhányadosával egyezik meg. Eszerint ((73,17). egyenlet), ahol gx, gy, gz az elektromágneses tér

impulzussűrűségének három komponense. Ekkor (73,15) és az i = 2, 3-ra vonatkozó megfelelő egyenletek valóban az impulzustételt kifejező (56,12)– (56,14) egyenletekkel egyeznek meg:

((73,18). egyenlet) A (73,7) energia-impulzus tenzor szimmetrikus voltából egy alapvető összefüggés következik. Nevezetesen:

((73,19). egyenlet). 2

Szavakkal kifejezve: a c -tel osztott energia-áramsűrűség az impulzussűrűséggel egyezik meg. Ez az összefüggés az energia tehetetlenségének általános érvényű tételét fejezi ki. Mély fizikai tartalmával majd a relativisztikus mechanika keretei között foglalkozunk részletesebben. Az előző fejtegetésekből kitűnt, hogy az erősűrűség (73,8) alakja az energia- és impulzustételt fejezi ki differenciális formában. A relativisztikus tárgyalás tehát megmutatja, hogy e két tétel igen szorosan összefügg egymással. Ha a Tik energia-impulzus tenzor divergenciamentes, vagyis 63


((73,20). egyenlet), akkor a tér energiája és impulzusa állandó, tehát zárt fizikai rendszerről van szó.

64

11. fejezet - RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Négyes impulzus. Relativisztikus mozgásegyenletek A relativitás elve szerint az egzakt természettörvények invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. Tudjuk, hogy a klasszikus mechanika mozgásegyenletei a Galilei-féle relativitási elvnek engedelmeskednek, miszerint a Galilei-féle transzformációval szemben invariánsak. A Lorentztranszformáció megváltoztatja alakjukat, ezért a relativitáselmélet szerint nem tekinthetők egzakt természettörvényeknek. Érvényességük nem általános, hanem közelítő jellegű. Jó közelítéssel írják le a mechanikai folyamatokat abban az esetben, ha a mozgás sebessége kicsi a fény vákuumbeli sebességéhez képest. Feladatul tűzzük ki a newtoni mechanika olyan általánosítását, amely eleget tesz a relativitáselmélet követelményének, de a kis sebességek határesetében a Newton-félébe megy át. A klasszikus mechanika ((74,1). egyenlet) mozgásegyenletéből indulunk ki. A (74,1) egyenlet egy anyagi pontra vonatkozik, benne p a tömegpont impulzusát, F a rá ható erőt jelenti. A p impulzus az anyagi pont m tehetetlen tömegének és v sebességének a szorzatával egyenlő: ((74,2). egyenlet). A (74,1) egyenlet nem Lorentz-invariáns egyenlet, hiszen mindkét oldalán hármas vektor áll. Arra törekszünk, hogy a pontos mozgásegyenletet négyes vektor alakjában írjuk fel, mert ez eleve biztosítja annak Lorentz-invarianciáját. Először a hármas impulzust általánosítjuk négyes impulzussá, megtartva a „tömeg szorozva sebességgel” definíciót, de azt a négyes sebesség komponenseivel arányosnak tekintjük. ((74,3). egyenlet). E három komponenshez negyediknek hozzávesszük az

mennyiséget. Mivel ui (i = l, 2, 3, 4) négyes vektor, a

((74,4). egyenlet) négykomponensű mennyiség akkor lesz négyes vektor, ha α skalár. α jelentéséből következik, hogy az valóban invariáns skalár, ugyanis (74,3)ból adódik: 65

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

. A négyes sebességek (65,5) kifejezéseit beírva, kapjuk:

((74,5). egyenlet). Ebből viszont α fizikai jelentése leolvasható. α az anyagi pont tömegét jelenti abban a koordináta-rendszerben, amelyben az nyugalomban van (v = 0). Az α tehát a részecske nyugalmi tömege. Mivel mindig a részecskével együtt mozgó koordináta-rendszerre vonatkozik, definíciójánál fogva invariáns skalár. A nyugalmi tömeget a továbbiakban jelöljük α helyett m0-val. A (74,4) egyenlettel definiált négyes vektort nevezzük az anyagi pont négyes impulzusának. A szokásos jelöléssel írva: ((74,6). egyenlet).

Mivel

, érvényes a következő összefüggés:

((74,7). egyenlet). (74,5)-ből egy új felismerésre jutunk:

((74,8). egyenlet). Eszerint a részecske m tehetetlen tömege – a klasszikus mechanikával ellentétben – nem állandó, hanem függ a részecske sebességétől. (74,8)ból egyúttal látszik, hogy a esetben a nevező gyakorlatilag 1-nek vehető, és ekkor a tehetetlen tömeg a nyugalmi tömeggel egyezik meg. Ha a részecske sebessége a határsebességet jelentő c-hez tart, az m tehetetlen tömeg tart végtelenhez. Ezek után természetesen adódik a (74,1) mozgásegyenlet relativisztikus általánosítása. Megtartjuk az eredeti Newton-féle alapgondolatot: az impulzus idő szerinti differenciálhányadosa egyenlő a tömegpontra ható erővel, de impulzuson a (74,6) négyes impulzust értjük: ((74,9). egyenlet). 66

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Klasszikus megfelelője tulajdonképpen csak az első három komponensnek van. A négyes sebesség első három komponensét (65,5) alapján beírva, a következőt kapjuk:

((74,10). egyenlet). Ez az egyenlet a (74,1) klasszikus mozgásegyenlet relativisztikus általánosítása. Ebből szintén látszik, hogy c a határsebesség szerepét játssza, amelyet véges nyugalmi tömegű test nem érhet el, még kevésbé léphet túl. Ugyanis esetén , és így a további sebességnövelést csak végtelen nagy erővel lehetne elérni. A (74,9) egyenlet i = 4 esetén új összefüggést ad. Vele definiáljuk az erő negyedik komponensét:

((74,11). egyenlet). Egyszerű számítással belátható, hogy a jobb oldal

-vel egyenlő. Az erő negyedik komponense tehát a teljesítmény

-szerese:

((74,12). egyenlet). A (74,9) mozgásegyenletek még nem relativisztikus vektoregyenletek. A bal oldalról látszik, hogy nem négyes vektor. négyes vektor ugyan, de a dt nem invariáns. Lorentz-invariáns egyenletet kapunk, ha a bal oldalon t helyett a τ sajátidő szerinti differenciálhányadost vesszük. E célból elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát

-tel, és figyelembe vesszük a

összefüggést, ekkor:

((74,13). egyenlet). 67

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Ez az egyenlet már teljesíti az egzakt természettörvényekkel szemben támasztott követelményt, nevezetesen: négyes vektoregyenlet, tehát Lorentzinvariáns. A határesetben a klasszikus mechanika Newton-féle egyenleteibe megy át.

Az

négyes vektort Minkowski-féle erőnek nevezzük, és Ki-vel jelöljük. Tehát:

((74,14). egyenlet). Ez az egyenlet a relativisztikus mechanika mozgásegyenlete. Az első három egyenletből ismert erőhatás esetén meghatározható a részecske sebessége mint a τ sajátidő függvénye, majd abból egyszerű integrálással az függvények, vagyis a mozgás pályája. A negyedik egyenlet az m0 nyugalmi tömeg időfüggését határozza meg. m0 ugyanis általában nem állandó. Ez könnyen belátható, ha (74,14)-ben elvégezzük a differenciálást: . Szorozzuk végig az egyenletet ui-vel, majd összegezzünk i-re 1-től 4-ig: ((74,15). egyenlet).

A (65,6) szerint

. Ennélfogva

. (74,15) tehát a következő alakra hozható:

((74,16). egyenlet). Az m0 nyugalmi tömeg tehát csak abban az esetben állandó, ha

, vagyis ha a Minkowski-erő időegység alatt végzett négyes munkája zérus.

Példaként írjuk fel a pontszerű, elektromosan töltött részecske relativisztikus mozgásegyenletét, ha a részecskére elektromos és mágneses tér hat. Az F erő ebben az esetben az ún. Lorentz-erő: . 68

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Képezzük a Minkowski-erő első komponensét:

. A térerősség-komponenseket az Fik tenzor megfelelő elemeivel kifejezve, (68,5) alapján írható:

. A négyes sebességek

kifejezését figyelembe véve: . Mivel

, ez a háromtagú összeg kiegészíthető az

taggal. Így a Minkowski-erő első komponensére a következő alakot kapjuk:

. Hasonlóképpen adódik a többi komponensre is, hogy

. Ezeket összefoglalva, a pontszerű töltött részecskére ható elektromágneses Minkowski-erőre a következő kifejezést kapjuk:

((74,17). egyenlet). 69

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Erről szembetűnően látszik, hogy Ki valóban négyes vektor. Az elektromosan töltött pontszerű részecske relativisztikus mozgásegyenlete tehát:


Könnyen belátható, hogy a (74,17) elektromágneses négyes erőre fennáll a m0 állandó. (74,16) és (74,17) alapján írható:

feltétel, amely a fentiek szerint azt jelenti, hogy (74,18)-ban

((74,19). egyenlet). Szemeljük ki a kettős összegnek azt a két tagját, amelyben i = 1, k = 2, illetve i = 2, k = 1: . Mivel F12 = –F21, továbbá , e két tag kiejti egymást. A kettős összeg minden tagjának van olyan párja, amellyel együtt kiesik, ezért (74,19) jobb oldala zérus, tehát m0 valóban állandó. A (74,18) mozgásegyenletben az állandó m0 kiemelhető a differenciálás alól, és ezért a mozgásegyenlet a következő alakban is írható:


Ha a tömegpontra pl. olyan erő hat, amely egy skalártér negatív gradiense, akkor m0 nem állandó. Nevezetesen, a

erő esetén

.

A tömeg és az energia közötti kapcsolat Gondoljunk el m0 nyugalmi tömegű részecskét, amely az F erő hatása alatt mozog. Mozgását a (73,14) relativisztikus mozgásegyenlettel írjuk le. Az erő a részecske mozgatásakor munkát végez, és ezáltal megnöveli annak energiáját. Az időegység alatt végzett munka (F, v). A (74,11) és (74,12) egyenletek egybevetéséből következik, hogy 70


((75,1). egyenlet). Az energiamegmaradás tétele miatt – a mondottak értelmében – a jobb oldalon a részecske E energiájának időegységre eső növekedése áll. Következésképpen az

((75,2). egyenlet) 1

mennyiség a részecske energiáját jelenti. A (74,8) képlet alapján E a következő alakba is írható: ((75,3). egyenlet). Ha a részecske

sebessége kicsi, azaz

, akkor (75,2) jobb oldalának sorba fejtésével kapjuk, hogy

((75,4). egyenlet). Mivel E nem válik zérussá a

nyugalmi állapotban, ezért az nem a részecske kinetikai energiája. Az

is zérustól különböző érték. E-t a részecske teljes energiájának, E0-t nyugalmi energiának nevezzük. Az zérus, ha a részecske mozog, ezért ezt tekintjük kinetikai energiának:

energia a nyugalmi állapotban energiakülönbség csak akkor nem

((75,5). egyenlet). Ek a

klasszikus mechanikai esetben az

ismert kifejezésbe megy át.

A (75,3) összefüggésnek mély fizikai tartalma van. Nevezetesen, az energia tehetetlenségének a tételét fejezi ki. Az E energiához tartozó tehetetlen tömeg (75,3) alapján: 1

Az integrációs állandót Einstein nyomán zérusnak vettük.

71


((75,6). egyenlet). Az energiának mindig van tehetetlensége, amelynek mértéke az

tömeg, és megfordítva, az m tehetetlen tömeg energiája

A fentiek értelmében az m0 nyugalmi tömeg is képvisel energiát, éspedig az

.

nyugalmi energiát.

A természetben lejátszódó folyamatoknál igen gyakran előfordul, hogy a rendszer energiája (vagy annak egy része) másfajta energiává alakul át. Pl. a mechanikai energia átalakulhat hőenergiává. Eközben az energiamegmaradás tétele alapján az energia mindig megmarad, csak egyik fajtából a másikba átalakul. Az átalakulás során (75,3) szerint a tömeg is megmarad, csak más alakban jelenik meg. Az energiamegmaradás tétele eszerint egyúttal kifejezi a tömegmegmaradást is. Helytelen a (75,3)-nak olyan értelmezése, mely szerint a tömeg energiává vagy fordítva: energia tömeggé alakul. A folyamatok során sohasem egyiknek a másikba, hanem egyik energiafajtának másik energiafajtává való átalakulásáról van szó, miközben mindegyiknek van (75,6) szerinti tömege, amely az energiával együtt megmaradó mennyiség. Ezt két példával világítjuk meg. Ha elektron és pozitron találkozik egymással, kölcsönhatásuk folytán gamma-sugárzássá alakulnak. A két részecske formájában jelen levő energia itt a sugárzás energiájává alakult. A sugárzásnak is van (73,19) szerint impulzusa, az impulzus pedig az áramló energia sebességének és tehetetlen tömegének a szorzatával egyezik meg. A sugárzásnak tehát van tömege. A szétsugárzás során a részecskék tömege nem tűnt el, hanem átalakult a sugárzó energia tömegévé. A természetben a fordított folyamat is végbemegy, amikor a gamma-sugárzás elektronpozitron párrá alakul. E folyamat csak akkor következik be, ha a sugárzás energiájának tömegértéke megegyezik vagy nagyobb az elektron-pozitron pár együttes nyugalmi tömegénél. Itt sem arról van szó, hogy az energia tömeggé alakul, hanem egyik megjelenési formából a másikba való átmenet fordul elő, miközben a tömeg és az energia változatlan marad. A másik példát a magfizika köréből vesszük. Mai tudásunk szerint az atommagok protonokból és neutronokból épülnek fel. Gondoljunk el egy A tömegszámú atommagot, amelyben Z proton és N neutron van: . Az atommag tömegét jelöljük M-mel, a proton tömegét Mp-vel, a neutronét Mn-nel. Az A részecskéből álló rendszer együttes tömege a protonok és neutronok tömegének összegével egyenlő: ((75,7). egyenlet). A tapasztalat azt mutatja, hogy az atommagok mért M tömege mindig kisebb, mint az alkotórészekből (75,7) szerint számított MA tömeg:

.

A hiányzó ún. tömegdefektus magyarázata (75,3) alapján adható meg. Amikor az atommagok alkotórészeikből felépülnek, bizonyos mennyiségű energia sugárzás alakjában eltávozik. Ez a kisugárzott energia (75,3) szerint tömeget visz magával, és ezért kisebb az atommag M tömege az alkotórészek MA együttes tömegénél. A mérések tanúsága szerint akarjuk bontani, éppen

energia sugárzódik ki a mag felépülésekor. Ha a magot részeire

energiát kell vele közölnünk. Ez a tapasztalat a (75,3) képlet egyik legszebb kísérleti bizonyítéka.

Az 72


((75,8). egyenlet) nyugalmi energia nem valamilyen tértől származó potenciális energia, mert minden tér jelenléte nélkül is fellép, ezért a test ún. belső energiájával egyezik meg. A belső energia megváltozásakor (75,8) szerint e test nyugalmi tömege is megváltozik. Vegyünk erre is egy példát. Tekintsünk két

egyenlő tömegű golyót, amelyek ellentétes irányú sebességgel mozognak egymással szemben. Együttes tömegük: . Tegyük fel, hogy a két golyó teljesen rugalmatlanul összeütközik egymással, vagyis az ütközés után mindkettő sebessége zérussá válik. Az együttes tömegük most . Mivel a folyamat során a tömeg megmarad:

((75,9). egyenlet). Ebből látszik, hogy a rugalmatlan ütközés során a golyó nyugalmi tömege megnőtt:

. A tömegnövekedés:

((75,10). egyenlet). Ezzel a tömegnövekedéssel együtt jár a golyó belső energiájának a megnövekedése is:

((75,11). egyenlet). A tapasztalat azt mutatja, hogy a test felmelegszik, jelezvén, hogy hőenergia képződött. Ez a hőenergia növelte meg a test belső energiáját. A (75,11) egyenlet jobb oldalán (75,5) szerint a golyó kinetikai energiájának kifejezése áll. Ez a kinetikai energia az összeütközéskor átalakult hőenergiává, és a (75,11) egyenlet szerint fedezi a test belső energiájának növekedését. Az előző pontban láttuk, hogy egy részecske impulzusának negyedik komponense (74,6) szerint:

. 73


Az energia (75,2) relativisztikus kifejezésével összehasonlítva, adódik, hogy p4 az E energia

-szerese:

((75,12). egyenlet). A pi négyes impulzus tehát a részecske

((75,13). egyenlet) hármas impulzusából és az energia -szereséből képzett négyes vektor. Éppen ezért pi-t energia-impulzus vektornak is szokás nevezni. Eszerint a részecske energiája a Lorentz-transzformációnál úgy transzformálódik, mint négyes vektor negyedik komponense. Mivel az impulzus és energia additíve tevődik össze, N részecskéből álló pontrendszer négyes impulzusa az egyes részecskék négyes impulzusának összegével egyezik meg:

((75,14). egyenlet). A klasszikus mechanikában tanultuk, hogy zárt rendszerre érvényes az impulzus- és az energiamegmaradás tétele. E két megmaradási tételt most a rendszer négyes impulzusának állandóságát kifejező ((75,15). egyenlet) egyenlet foglalja magában. Az első három egyenlet az impulzustételt, a negyedik egyenlet az energiatételt fejezi ki. A relativisztikus mechanikában a két megmaradási tétel tehát egy négyes vektoregyenletbe foglalható össze. Ugyanezt láttuk a relativisztikus elektrodinamikában is. Befejezésül a részecske relativisztikus energiájának még egy fontos kifejezését határozzuk meg. E célból a p4 (75,12) alakját behelyettesítjük a (74,4) egyenletbe:

((75,16). egyenlet). Ebből egyszerű átalakítással adódik: 74


((75,17). egyenlet), ahol

a hármas impulzus négyzete.

Variációs elv. A mozgásegyenletek kanonikus alakja A klasszikus mechanikában tanultuk, hogy a mozgásegyenletek a variációs elvből is levezethetők. Ha a valóságban bekövetkező mozgást azok a

jelöli a tömegpont koordinátáit, akkor

függvények írják le, amelyek szélső értékké teszik az

((76,1). egyenlet) integrált. Az

a Lagrange-függvény, amely konzervatív erőtér esetén a kinetikai és a potenciális energia különbségével egyenlő. t1 a mozgás

kezdetének, t2 a végének megfelelő időpont. (76,1) szélső értékének a meghatározásánál a qk koordinátákat variáljuk úgy, hogy a kezdeti és végpontban eltűnnek. Ismeretes, hogy S szélső értékéhez azok a

variációk a

függvények tartoznak, amelyek kielégítik a

((76,2). egyenlet) Lagrange-féle másodfajú egyenleteket. Megmutatható, hogy a relativisztikus mozgásegyenletek is leszármaztathatók variációs elvből. Foglalkozzunk töltött pontszerű részecskének elektromágneses térben való mozgásával. A relativisztikus mozgásegyenlet (74,10) alapján:

((76,3). egyenlet). Egyszerű számítással meggyőződhetünk arról, hogy (76,3)-at az

((76,4). egyenlet) 75

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Lagrange-függvény szolgáltatja. Ak az elektromágneses tér négyes potenciálja, amely a térerősségtenzorral

((76,5). egyenlet) kapcsolatban van;

.

Számítsuk ki a mozgásegyenlet első komponensét. Ezt a

((76,6). egyenlet) egyenlet adja. (76,4) alapulvételével kapjuk:

,

. Ezeket (76,6)-ba behelyettesítve, adódik:

.

Felhasználva a

, valamint a (76,5) összefüggést, i = 1 esetén egyenletünk a következőképpen alakítható át:

((76,7). egyenlet). 76

RELATIVISZTIKUS MECHANIKA Hasonlóképpen adódik a másik két mozgásegyenlet is x2, illetve x3 variációjával.

Ha (76,7)-ben a összefüggés figyelembevételével a t szerinti differenciálásról a τ szerintire térünk át, a (74,18) Lorentz-invariáns mozgásegyenlet első komponensét kapjuk:

((76,8). egyenlet). Ezzel igazoltuk, hogy a relativisztikus mozgásegyenletek is levezethetők variációs elvből, és egyúttal meghatároztuk a (76,4) reletivisztikus Lagrangefüggvényt. A Lagrange-függvény ismeretében felírhatjuk a Hamilton-függvényt is a klasszikus mechanikában tanult

((76,9). egyenlet) definíció alapján:

. Mivel

, ahol

az elektromágneses tér skaláris potenciálja,

((76,10). egyenlet). A mozgásegyenletek kanonikus alakban történő felírásánál a Hamilton-függvényből a sebességeket kiküszöböljük, és helyettük a

((76,11). egyenlet) egyenlettel definiált kanonikus impulzusokat vezetjük be. (76,4)-ből (76,11) alapján kapjuk, hogy 77



Ebből látszik, hogy a Pk kanonikus impulzus most nem egyezik meg a részecske

impulzusával.

Egyszerű számítással ellenőrizhető a következő egyenlőség fennállása:

((76,13). egyenlet). Ezt a kifejezést (76,10)-be behelyettesítve, a Hamilton-függvényre a következő kifejezést kapjuk:

((76,14). egyenlet). Ez a Hamilton-függvény már a Pk kanonikus impulzusoktól függ. A belőle képezett ((76,15). egyenlet) kanonikus egyenletek megegyeznek a (76,3) relativisztikus mozgásegyenlettel. A (76,11) kanonikus impulzusokból és a Hamilton-függvény P1, P2, P3, a negyedik komponens pedig

-szereséből képezzük a Pi négyes vektort úgy, hogy első három komponense legyen

. Ezekkel a (76,14) egyenlet a

((76,16). egyenlet) Lorentz-invariáns alakba írható. A (74,7) hasonló szerkezetű egyenlettel összehasonlítva, látszik, hogy a részecske pi négyes impulzusa és a Pi négyes vektor között a 78


((76,17). egyenlet) kapcsolat áll fenn. Eleketromágneses tér jelenléte nélkül .

79

A. függelék - FÜGGELÉK Mértékrendszerek A fizika az élettelen természetben végbemenő fizikai jelenségek törvényszerűségeit tanulmányozza. Ezek leírására új fogalmakat, azok jellemzésére fizikai mennyiségeket értelmez. A törvények e mennyiségek között teremtenek kapcsolatot. Helyességüket a fizikai mennyiségek mérésével ellenőrizzük. A mérésnek tehát döntő szerepe van a fizikában. Minden mennyiség mérésénél valamilyen alkalmasan választott mértékegységgel hasonlítjuk össze a megmérendő mennyiséget. A mértékegységek megválasztása önkényesen történik, azonban ennél a lehető legnagyobb ökonómiára törekszünk. Ismeretes, hogy a mechanikában három mennyiség egységének a megválasztása szükséges és elegendő a mechanikai mennyiségek méréséhez. Ezek a hosszúság, az idő és a tömeg önkényesen választott egységei. A többi mechanikai mennyiség ezekkel kifejezhető. Ha további mechanikai egységeket választanánk, akkor elveszne a közöttük fennálló kapcsolat mély fizikai tartalma. A hosszúság egységére a platina-irídium ötvözetből készített ősméter századrészét, a centimétert (cm) használjuk. Időegységül a másodpercet (s) választjuk, amelynek értelmezéséhez Földünk forgását vették alapul. Eredetileg a Föld forgásidejének 86 400-ad részét vették, de az újabb értelmezés szerint a Nap körüli keringési idő 31 556 925,9747 része. A tömeg egységeként a platina-irídium ötvözetből készített őskilogramm ezredrészét, a grammot (g) használjuk. Az így definiált mértékrendszert abszolút vagy CGS mértékrendszernek nevezzük. Az elektromos és mágneses mennyiségek méréséhez a mechanikai egységeken kívül további egységek megválasztása szükséges. Tekintettel arra, hogy a mechanikában definiált mennyiségek, mint pl. az erő, energia, teljesítmény stb. az elektromosságtanban is szerepelnek, az elektrodinamikai mértékrendszer kiépítésénél nem függetleníthetjük magunkat a mechanikában bevezetett egységektől. Azonban attól függően, hogy az elektromágneses és a mechanikai mennyiségek közötti alapvető kapcsolatok közül melyiket választjuk kiindulópontul, többféle mértékrendszert bevezethetünk. Az elektromos jelenségek régebbi tárgyalásánál az egyik legegyszerűbb összefüggésből, a két pontszerű elektromos töltés között ható erő kifejezéséből indultak ki. A régebbi elektrodinamika-tankönyvek elején ez a törvény, az ún. Coulomb-törvény állt:

((F 1,1). egyenlet). E képletben F az erő nagyságát, e1, illetve e2 a két töltést, r a közöttük levő távolságot jelenti. A tapasztalatból csak arra lehetett következtetni, hogy az erő arányos a töltések szorzatával, fordítva arányos a távolság négyzetével. k1 egy arányossági tényező. A hosszúságot és az erőt a mechanikai –2 egységekben mérjük. A távolságot tehát cm-ekben, az erőt dynekben (1 dyn= 1 cmgs ) fejezzük ki. A töltés egységére a k1 arányossági tényező megválasztásától függően különféle egységeket definiálhatunk. A legtermészetesebb az a választás, amely szerint k1 dimenziótlan mennyiség, és számértéke vákuumban 1 (k1 = l). Eszerint (F 1,1) alapján a töltés egysége az a töltésmennyiség, amely pontszerű esetben a tőle 1 cm-re levő ugyancsak pontszerű egységnyi töltésre 1 dyn erőt fejt ki vákuumban. Ezt a töltésegységet nevezzük 1 franklinnek (jele Fr). 80

FÜGGELÉK

((F 1,2). egyenlet). Az elektromos töltés egységének rögzítése után most már valamennyi elektromos mennyiség egységét könnyen megkaphatjuk. Pl. a térerősség egységét az F = eE

ismert összefüggés alapján kapjuk. Eszerint az elektromos térerősség egysége:

.

A Maxwell-egyenletek segítségével áttérhetünk a mágneses mennyiségekre is, hiszen ezek teremtenek kapcsolatot az elektromos és a mágneses térmennyiségek között. Az első Maxwell-egyenlet pl. kifejezi azt a felismerést, hogy az elektromos áram és az elektromos tér időbeli megváltozása mágneses teret kelt. A mágneses térerősség egységének megválasztása előtt ezt az egyenletet a következőképpen írhatjuk: ((F 1,3). egyenlet). Az indukciótörvényt kifejező harmadik Maxwell-egyenlet alakja pedig a következő: ((F 1,4). egyenlet). A H és B mágneses térmennyiségek dimenziója és egysége attól függ, hogy az (F 1,3) és (F 1,4) egyenletekben szereplő k2, k3, k4 állandókat hogyan választjuk. Arra törekszünk, hogy egyenleteink a lehető legegyszerűbb alakot vegyék fel. Ezért célszerűnek mutatkozik, hogy a fellépő együtthatókat dimenziótlan számoknak és értéküket esetleg egységnyinek válasszuk. Ha így definiáljuk (F 1,3) és (F 1,4) alapján a H és B egységét és dimenzióját, akkor a mágneses teret jellemző két vektortér különböző dimenziójúnak adódik. Nevezetesen:

((F 1,5). egyenlet) Ebből következik, hogy a mágneses permeabilitás ( ) nem dimenzió nélküli szám, és értéke sem egynek adódik. Az így kiépített mértékrendszert nevezzük elektrosztatikus mértékrendszernek. Ebben az elektromos Coulomb-törvény is és a Maxwell-egyenletek is egyszerű alakot vesznek fel, de a mágneses és a megfelelő elektromos mennyiségek közötti analógia elvész, és a mágneses mennyiségek közötti összefüggések bonyolultabbak lesznek. A mértékrendszer kiépítésénél követhetünk más utat is. Először a mágneses mennyiségek egységét értelmezzük, és azután a fenti két Maxwellegyenleten keresztül jutunk el az elektromos mennyiségek egységeihez. Most az ún. mágneses Coulomb-törvényből indulunk ki. (Homogénen 81

FÜGGELÉK mágnesezett hosszú mágnesrúd végei úgy viselkednek, mintha az egyik végén pozitív, a másikon negatív „mágneses pólus” lenne.) Az egymástól r távolságban levő pontszerű m1 és m2 „mágneses póluserősség” között ható erő a Coulomb-törvény szerint: ((F 1,6). egyenlet). A k5 együttható megválasztásával értelmezzük a mágneses póluserősség egységét. k5-öt vákuumban 1-nek választjuk. A póluserősség dimenziójára ekkor (F 1,6)-ból

adódik.

A mágneses térerősség egységére és dimenziójára az ((F 1,7). egyenlet) képlet alapján oersted adódik. Ezután az ismert összefüggések alapján értelmezhetők a mágneses mennyiségek, majd a fenti két Maxwell-egyenlet segítségével – az együtthatókat dimenziótlan számoknak választva – az elektromos mennyiségek egységei. A mértékrendszer kiépítésének ez az útja az előbbinek fordítottja. Most az elektromos Coulomb-törvényben szereplő együtthatóra (vagy az dielektromos állandóra) még vákuum esetén sem kapunk dimenziótlan számot, és értéke is különbözik egytől. Következésképpen ebben a mértékrendszerben az E és D vektorok különböző dimenziójúak. Ezt a mértékrendszert nevezzük elektromágneses mértékrendszernek. E két mértékrendszer közül egyik sem terjedt el általánosan, hanem egy harmadik, az ún. Gauss-féle mértékrendszer, amely a kettőt szerencsésen egyesíti magában. Ebben az elektromos mennyiségeket az elektrosztatikus, a mágneses mennyiségeket az elektromágneses mértékegységekkel fejezzük ki. Gauss a két Coulomb-törvényből indul ki, és a bennük fellépő k1, illetve k5 együtthatókat dimenziótlannak és értéküket vákuumban 1-nek veszi. Így az (F 1,3) és (F 1,4) Maxwell-egyenletek mindkét oldalán meghatározott dimenziójú elektromos, illetve mágneses mennyiségek szerepelnek. Ezért a k2, k3, k4 együtthatók nem lesznek dimenziótlan mennyiségek, hanem azok dimenziója és számértéke már meghatározott. Nevezetesen:

((F 1,8). egyenlet), ((F 1,9). egyenlet). –1

A c konstans dimenziója cm s , számértéke Kohlrausch és Weber mérései szerint

.

A fizikában a Gauss-féle mértékrendszer használata az általános. Ebben minden mennyiség dimenzióját a mechanikában önkényesen megválasztott három egységgel, a cm-rel, g-mal és s-mal fejezzük ki. E három egységen kívül a többi egység leszármaztatott. Nagy előnye, hogy az univerzális 82

FÜGGELÉK állandókat nagymértékben kiküszöbölte az alapvető és leginkább használt törvényekből, és ezáltal a legvilágosabban fejezi ki a fizikai mennyiségek között fennálló mély tartalommal rendelkező összefüggéseket. Éppen emiatt alkalmazható a fizika valamennyi ágában a mechanikától az atomfizikáig. A gyakorlati életben már a mechanikai mennyiségek mérésénél elterjedt a CGS-től eltérő egységek alkalmazása. Pl. a hosszúság egységére inkább –1 használták a cm százszorosát, a métert (m); vagy a tömegegységre a g ezerszeresét, a kilogrammot (kg). A teljesítményt az erg s helyett ennek 7 10 -szeresében, a wattban fejezték ki. Az elektrotechnika kiterjedt alkalmazásával igen gyakorivá vált az áramerősség és a feszültség gyakorlati egységének a használata. Az előbbire az ampert, az utóbbira a voltot használták. Ezek után merült fel az az igény, hogy a Gauss-féle mértékrendszer helyett a gyakorlati élet számára jobban megfelelő mértékrendszert építsenek ki. Ezt a munkát következetesen Giorgi végezte el. Mechanikai egységekül a métert (m), a kilogrammot (kg) és a másodpercet (s) választotta. Ezekhez hozzávett egy negyedik egységet, az abszolút ampert, és ezzel kapcsolta az elektromos egységeket a mechanikaiakhoz a teljesítmény ((F 1,10). egyenlet) képletén keresztül. Az amper definíciója a következő: egy drótpárban akkor folyik 1 amper erősségű áram, ha az egyenes vezetők egymás 1 m –2

hosszú szakaszára 1 m távolságból vákuumban mkgs erőt fejtenek ki. Az (F 1,10) bal oldalán álló teljesítmény egysége a mechanikában leszármaztatott watt, a jobb oldalon az áramerősségé az önkényesen definiált amper, és így a feszültségre (F 1,10) szerint már nem írható elő újabb egység, azt (F 1,10)-ből kell leszármaztatni. Erre (F 1,10) alapján az 1 volt = 1 watt/amper adódik. Az elektrodinamikában megismert törvények alapján ezután minden elektromos és mágneses mennyiség egysége leszármaztatható. Ennél ismét arra törekszünk, hogy az (F 1,3) és (F 1,4) Maxwell-egyenletek alakja a lehető legegyszerűbb legyen. Mivel most k2, k3, k4 önkényesen megválasztható együtthatók, azokat egységnyi értékű 1 dimenziótlan számoknak választjuk. Ebben a Giorgi-féle (vagy MKSA) mértékrendszerben a Maxwell-egyenletek a következő alakot veszik fel:

((F 1,11). egyenlet) Az E és D, valamint a H és B térmennyiségek még vákuumban sem lesznek azonos dimenziójúak. Az anyagi egyenletek: ,

ahol illetve 1

,

;

a vákuum dielektromos állandója,

a vákuumhoz viszonyított relatív dielektromos állandó, illetve relatív mágneses permeabilitás.ű

Az MKSA mértékrendszer az elektromos és mágneses jelenségek körében megegyezik az SI-vel.

83

a vákuum mágneses permeabilitása.

,

FÜGGELÉK

1. táblázat - Elektromos és mágneses mértékegységek táblázata A mennyiség megnevezése Áramerősség Töltés

A mértékegység neve és jele az MKSA és az MSVA rendszerben amper

A

coulomb

Feszültség Elektromos térerősség Ellenállás

volt volt/m

A As

V

2

As –3

m kg s

V/m

m kg s

–3

–2

F

–1

m 2

kg

A/m

m

T

kg s

–2

–1

A

2

–2

2

–2

m kg s m kg s

3/2 1/2 –2

9

3/2 1/2 –1

3 l0 cm

As/V

A/m

amper/m

H

2

A

Mágneses térerősség

henry

s A

9

Vs/m A

–1

Vs

A

–2

Vs/A

g

1/2 1/2 –1

l0

–4

cm

–1/2 1/2 –1

l0

–11

11

2

g

–1

cm 5

–1/2 1/2 –1

–3

cm

g

4

–1/2 1/2 –1

8

3/2 1/2 –1

10 cm

g

10 cm

g

–11

cm

–1 2

s

–3

VA

10 cm g s

W

m kg s

A Coulomb-törvény most vákuum esetén is tartalmaz egy univerzális állandót:

((F 1,12). egyenlet).

84

7

2

2

s

s

2

watt

7

s

s

l0 cm g s

Teljesítmény

g

–1/2 1/2 –1

VAs

m kg s

s

3 l0 cm l0

s

cm

–2

J

s

g

2

joule

s

cm

l0

Energia

s

–2

l0

2

g

l0

V/A

–1

m

Indukciós együttható

–2

4

3 l0 cm

V/m

As/m

C/m

Wb

–1

A

A Gauss-féle rendszerre való átszámítás

V

sA

coulomb/m

weber

–1

–2

Elektromos indukció (eltolás)

Indukciófluxus

A

A

m kg s

2

Mágneses indukció tesla

–3

2

farad

Dimenzió az MSVA rendszerben A

C

ohm

Kapacitás

Dimenzió az MKSA rendszerben

–2

7

= l0 erg

–3

7

= 10 erg/s

FÜGGELÉK A Giorgi-rendszerben négy alapegység van. Lényegében ennek következménye az újabb univerzális állandó fellépte. Mivel a vákuumbeli fénysebesség , valójában csak egy újabb univerzális állandó felléptéről van szó. (Giorgi az amper definiálásával arra törekedett, hogy a állandó számértéke könnyen megjegyezhető legyen.) A Giorgi-féle mértékrendszer az elektrotechnikában általánosan elterjedt. A fizikában célszerűbb a Gauss-féle rendszer használata, és éppen emiatt ott ennek alkalmazása a szokásos. Könyvünkben mi is a Gauss-féle mértékrendszert használtuk. A gyakrabban felhasználásra kerülő fizikai mennyiségek egységeit az egyik mértékrendszerről a másikra való áttérés megkönnyítése végett táblázatban összefoglaltuk.

A könyvben alkalmazott vektoralgebrai és vektoranalitikai összefüggések 1. A kettős vektoriális szorzat felbontása: ((F 2,1). egyenlet). 2. Gauss-tétel (vagy Gauss–Osztrogradszkij-tétel): ((F 2,2). egyenlet), ahol F a K térfogatot határoló zárt felület. 3. Stokes-tétel: ((F 2,3). egyenlet), ahol az F felület a zárt L görbére illeszkedik. 4. ((F 2,4). egyenlet), 85

FÜGGELÉK ahol a dF felületelem-vektor a felület külső normálisa felé mutat. 5.

((F 2,5). egyenlet). 6. ((F 2,6). egyenlet). 7. ((F 2,7). egyenlet). 8. ((F 2,8). egyenlet). 9.

((F 2,9). egyenlet). 10. ((F 2,10). egyenlet). 11. ((F 2,11). egyenlet). 12. ((F 2,12). egyenlet). 13. 86

FÜGGELÉK

((F 2,13). egyenlet). 14. ((F 2,14). egyenlet). 15. ((F 2,15). egyenlet). A 2–4. tételekben szereplő vektorterek a szóban forgó tartományokban mindenütt regulárisak. A tételek alkalmazásánál az esetleges szinguláris pontokat ki kell rekesztenünk a tartományból, pl. a szinguláris pontot körülvevő kis gömbfelülettel, amelyet végül gondos határátmenet-képzéssel a pontra ráhúzunk. Az 1–15-ig felsorolt összefüggések bizonyításai a matematikai tanulmányokban szerepelnek, ezért ezeket itt mellőztük.

87

B. függelék - FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozzuk meg egyenletes térfogati eloszlással töltött gömb által keltett elektrosztatikus tér potenciálját és a térerősséget, azzal a feltevéssel, hogy mind a gömbön belül, mind azon kívül = l (vagyis D = E). Megoldás: Legyen tehát

Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Integrációs felületként a töltéseloszlás középpontjával azonos középpontú gömböt választunk. . A térerősségnek a töltéseloszlás gömbszimmetriája miatt csak radiális komponense van, és ez a választott integrációs felület mentén állandó. Így az integrál jele elé kihozható: . Ha r < R, akkor , és ebből . Az r > R esetben: , 88

FELADATGYŰJTEMÉNY tehát

. A térerősség tehát az egyenletesen töltött gömb határáig r-rel lineárisan növekszik, majd úgy változik, mintha az összes töltés egy pontban volna egyesítve. A potenciál:

Az állandókat a következő feltételekből határozzuk meg: 1.

esetén a potenciál legyen 0.

2. Az r = R helyen a potenciál folytonos. Ebből c2 = 0, és

. Végül tehát

2. Gondoljunk el pontszerű +e töltést, amelyet függvényében. (Tételezzük fel, hogy = l.)

sűrűségű negatív töltéseloszlás vesz körül. Határozzuk meg a térerősséget r

89

FELADATGYŰJTEMÉNY Megoldás: Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Ha az integrációs felület r sugarú gömb, melynek középpontja a pozitív ponttöltés, akkor a felület mentén a térerősségnek csak normális irányú komponense van, és ez az integrációs felületen állandó:

,

,

. A térerősség tehát exponenciálisan csökken az r távolsággal. 3. Határozzuk meg két azonos tengelyű, r1 és r2 sugarú végtelen hengerből álló hengerkondenzátor egységnyi hosszra eső kapacitását, ha a fegyverzetek közt vákuum van. Megoldás: Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Integrációs felületként a kondenzátor fegyverzeteivel azonos tengelyű r sugarú hengert veszünk. r1 < r < r2. A henger felülete mentén a térerősségnek csak normális irányú komponense van, és ez állandó. Jelöljük a hengerek hosszát L-lel (lim L =

), a belső hengeren kialakuló felületi töltéssűrűséget

, ahol H(r) az r sugarú, H(r1) az r1 sugarú henger felületét jelzi. , . 90

-val. Ekkor

FELADATGYŰJTEMÉNY A fegyverzetek közötti potenciálkülönbség:

. A hosszegység kapacitása tehát:

. 4. A végtelen kiterjedésű x = 0 vezető síkkal szemben a pozitív x tengely mentén a végtelenbe nyúló helyezkedik el. Határozzuk meg a kialakuló potenciálteret. Számítsuk ki a felületi töltéssűrűséget a síkon.

vonal menti sűrűségű töltéseloszlás

Megoldás: A végtelen vezető síkot

sűrűséggel töltött, a negatív x tengely mentén elhelyezkedő töltéseloszlással helyettesítjük (72. ábra).

72. ábra -

,

. Az első integrálban áttérünk az x – s = z jelölésre, a harmadikban s – x = z'-re: 91

FELADATGYŰJTEMÉNY

A felületi töltéssűrűség:

Ellenőrizzük, hogy a vezető sík mentén a térerősség tangenciális komponense zérus. 5. Két R sugarú gömb közül az egyik egyenletes térfogati töltéssűrűséggel, a másik egyenletes felületi töltéssűrűséggel töltött. A kialakult elektromos teret az 1. feladatban, ill. a II. fejezet 14. pontjában meghatároztuk. Számítsuk ki a tér energiáját mindkét esetben. Hasonlítsuk össze az eredményeket! Megoldás: A térfogatilag töltött gömb esetében a térerősség:

A térenergia:

. Ha az összes töltés a gömb felületén helyezkedik el, akkor 92

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Az e töltésű gömb elektromos terének energiája tehát a töltés egyenletes térfogati eloszlása esetén nagyobb, mint abban az esetben, ha az összes töltés a felületen helyezkedik el. 6. Határozzuk meg gömb alakú homogén dipoleloszlás potenciálterét a gömbön kívüli térben. (P = áll. a gömbön belül, azon kívül pedig zérus.) Megoldás: A potenciált egy Q pontban a következő összefüggés adja (21,3):

. A gömb belsejében P állandó vektor, tehát div P = 0, és így az első integrál eltűnik. A második integrálban Pn a P polarizációs vektor és a sugárirányú nr egységvektor skaláris szorzata: Pn = (P, nr). Tegyük koordináta-rendszerünk kezdőpontját a gömb középpontjába; z és x tengelyét pedig úgy, hogy a potenciálpont a z tengelyre essen, P pedig feküdjön az (xz) síkban (73. ábra). Ekkor

73. ábra -

93

FELADATGYŰJTEMÉNY A gömbfelületen futó Q' pont koordinátái:

és az nr egységvektor koordinátái a Q' pontban:

A QQ' távolság

, ahol a a potenciálpont távolsága a gömb középpontjától. Ezzel:

A kialakult tér tehát olyan, mintha az összes dipólus a gömb középpontjában volna egyesítve. 7. Gondoljunk el R sugarú gömböt, amelyet polarizált anyag tölt ki. Feltételezzük, hogy a polarizáció sugárirányú és a rádiuszvektorral arányos, tehát ,

. Határozzuk meg az általa keltett elektrosztatikus teret a gömbön kívül.

Megoldás: A potenciál a Q pontban:

,

. 94

FELADATGYŰJTEMÉNY A második integrál a gömb felületére terjesztendő ki. Ott pedig Pr = AR állandó, és a 74. ábra szerint: .

74. ábra -

A térfogati integrálban . Így

,

. A gömbön kívül tehát zérus a sztatikus tér potenciálja, és ennek megfelelően az elektromos térerősség is. 8. Kondenzátorlapok közötti teret az ábrán látható módon elválasztott kondenzátor kapacitását a szokásos elhanyagolásokkal (75. ábra).

95

és

dielektromos állandójú szigetelők töltik ki. Határozzuk meg a

FELADATGYŰJTEMÉNY

75. ábra -

Megoldás: Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját a 75. ábrán 1-gyel és 2-vel jelölt felületekre. Ha az F1 felületen levő töltésmennyiség e1, az F2n levő e2, akkor a következő összefüggések adódnak:

.

. Az I. Maxwell-egyenlet szerint azonban

, így

(belátható, ha a körintegrált a 3 jelű görbére képezzük). Ebből adódik, hogy

. Így

; 96

FELADATGYŰJTEMÉNY

. A kondenzátor kapacitása tehát:

. A két különböző dielektromos állandójú rész kapacitása tehát összegeződik. 9. Egy gömbkondenzátor fegyverzeteinek sugara R1, ill. R2. A gömbfelületek közti térrészt egy, a középponton áthaladó sík két félre osztja. Az egyik felét ε1, a másik felét ε2 dielektromos állandójú homogén közeg tölti ki (76. ábra). Határozzuk meg a kondenzátor kapacitását.

76. ábra -

Megoldás: A belső gömb felületének egyik felén legyen e1, a másikon e2 töltés. A kettő összege az R1 sugarú gömbfelület a belső gömbfelületből sugárirányban indulnak ki. A II. Maxwell-egyenlet alapján:

; továbbá

. 97

töltését adja. A D vonalak

FELADATGYŰJTEMÉNY A két szigetelő határán Er1 = Er2, ezért

. Ebből

,

. A potenciálkülönbség:

A kondenzátor kapacitása:

, ahol

a kapacitás, ha a fegyverzetek között vákuum van.

10. Mutassuk meg, hogy egy töltött kondenzátor energiája . Számítsuk ki az energiaváltozást, ha a fegyverzetek közé homogén szigetelőt helyezünk úgy, hogy közben a) a töltés változatlan marad, b) a feszültség nem változik. Megoldás: A fegyverzetek felületi töltéssűrűsége: 98

FELADATGYŰJTEMÉNY

. A kondenzátor energiája: . a) Ha a töltés változatlanul hagyásával helyezünk ε dielektromos állandójú közeget a fegyverzetek közé, akkor a feszültség ε-od részére csökken, a kapacitás pedig ε-szorosára nő: . Ennélfogva . Az energiaváltozás tehát:

. Mivel ε > 1, a kondenzátor energiája csökken. b) Ha a feszültség változatlan marad, akkor U' = εU, és így az energiaváltozás . Ebben az esetben nőtt a kondenzátor energiája. 11. Egy kockakeret élei egyenként r ellenállású vezetőből vannak. A kocka két szemben levő csúcsába ki a kockakeret eredő ellenállását. Megoldás: 99

feszültséget kapcsolunk. Számítsuk

FELADATGYŰJTEMÉNY A befolyó I erősségű áram az 1 pontban háromfelé ágazik, és mivel az élek ellenállása azonos, az 1–2 élben folyó áram erőssége I/3. A 2 pontban ez az áram két részre ágazik, a 2–3 élben folyó áram erőssége így I/6. Kövessük az áram útját az 1, 2, 3, 4 pontokon át, és írjuk fel az egyes élek feszültségeit:

,

,

.

77. ábra -

A három egyenlet összeadásával az 1 és 4 jelű szemben levő csúcsok közötti feszültséget kapjuk:

. Ebből következik, hogy az eredő ellenállás:

. 12. Kis belső ellenállású

elektromotoros erejű telep az M műszert nem tudja elég hosszú ideig i árammal ellátni. A hálózati feszültség viszont

ingadozik V1 és V2 feszültségek között (

; 78. ábra). Ezért a következőképpen járunk el. Az M műszert a teleppel párhuzamosan R ellenálláson 100

FELADATGYŰJTEMÉNY keresztül a hálózatba kapcsoljuk. R-et úgy választjuk meg, hogy V = V1 esetén a telep ne adjon áramot. Milyen áramot ad a telep V = V2 esetén? Hányszor kisebb ez i-nél?

78. ábra -

Megoldás: Alkalmazzuk Kirchhoff törvényeit: , . Az első esetben: V = V1, I2 = 0. ,

. A második esetben:

, . 101

FELADATGYŰJTEMÉNY Ebből kell I2-t meghatároznunk.

,

,

. 13. Az A és B állomások közötti távíróvezetéket n pózna tartja az A1, A2, ..., An pontokban. (A második vezeték szerepét a föld játssza.) A vonal AA1, A1A2, ..., AnB darabjainak ellenállása egyaránt R. Száraz időben a póznák tökéletesen szigetelnek. Nedves időben az egyes póznák ellenállása . Az A pontban elhelyezett telep elektromotoros ereje , belső ellenállása elhanyagolható. A B pontban rövidre zárjuk a kört. Határozzuk meg a rövidzárási áramot száraz és nedves idő esetén. Megoldás: Száraz időben:

. A nedves időben érvényes helyzetet a 79. ábra szemlélteti: A k-adik körre vonatkozó áramköri egyenlet: ,

. Az Ik függvényt keressük a következő alakban: 102

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Egyenletünkbe helyettesítve, adódik:

.

79. ábra -

Akkor lehetséges a fenti próbamegoldás, ha a zárójeles kifejezések eltűnnek, azaz

, vagyis

.

Talált megoldásunkat más alakban is írhatjuk: . Az a és b állandók helyett bevezettük A-t és β-t. A megoldásban szereplő állandókat a határfeltételek szabják meg. A jobb oldali legszélső körben: , a bal oldali legszélső áramkörben: . 103

FELADATGYŰJTEMÉNY Első feltételünkből meghatározzuk β-t:

,

; ebből adódik:

, azaz . Ezt a második határfeltételi egyenletünkbe téve, kapjuk:

. Ebből:

. A rövidzárási áram tehát:

,

ahol

. 104

FELADATGYŰJTEMÉNY 14. R sugarú kör alakú vezetőben I erősségű áram folyik. Határozzuk meg a mágneses teret a vezetőtől nagy távolságban. Megoldás: Helyezzük koordináta-rendszerünk kezdőpontját a kör középpontjába, z tengelye legyen merőleges a kör síkjára, x tengelyét pedig válasszuk úgy, hogy a potenciálpont az (x, z) síkban legyen.

.

80. ábra -

Koordináta-rendszerünkben:

. Használjuk ki, hogy

. Így az integrál alatt a nevező sorba fejthető:

. Így 105

FELADATGYŰJTEMÉNY

Hasonlóan adódik:

;

Az egyes komponensek ismeretében a köráram mágneses tere így foglalható össze vektor alakban:

, ahol k a körvezető síkjára merőleges egységvektor, mint egy dipólus tere, melynek dipolnyomatéka

a kör területe. A körvezető mágneses tere a középpontjától nagy távolságban tehát olyan, .

15. Tekintsünk egy, a tengelyével párhuzamos H mágneses térben felfüggesztett hengerkondenzátort. A kondenzátort a fegyverzetekre merőleges nagy ellenállású vezetővel kisütjük. A mágneses tér a kisütő áramra erőt fejt ki, a kondenzátor elfordul. Határozzuk meg a kondenzátor impulzusmomentumát. 106

FELADATGYŰJTEMÉNY Megoldás: A vezetőre ható erősűrűség: , j és H esetünkben egymásra merőleges vektorok, a ható erő iránya mindkettőre merőleges. A dr vezetőszakaszra ható erő abszolút értéke: . Az erőnek a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka:

, ahol r1 és r2 a hengerek sugarai. Ez forgatja el a kondenzátort. Az M forgatónyomaték miatt fellépő impulzusmomentum:

. 16. Áramkörünk két egymással párhuzamos, a, ill. b sugarú végtelen hosszú vezetőből áll. A vezetők nem mágnesezhetők, a középpontoktól mért távolságuk . Az áram ellenkező irányban folyik az egyes vezetőkben. Határozzuk meg az egységnyi hosszra eső önindukciót. Megoldás: Az áramkör felületén átmenő indukciófluxus: . Mivel

,

. A 36. pontban kapott eredmények alapján:

107

FELADATGYŰJTEMÉNY

A vezetőkön átfektetett síkon, melyre integrálni kell, a térerősségnek csak normális irányú komponense van, azaz a sík mentén koordináta-rendszerünk kezdőpontját az a sugarú vezető középpontjába. Ekkor az egységnyi hosszra eső indukciófluxus:

. Helyezzük

Ebből

. 17. Kondenzátor fegyverzetei között ionizált gáz van, amelynek dielektromos együtthatója a frekvenciától függ a következőképpen:

,

ahol , , e az ionizált részecske töltése, m a tömege, N pedig a térfogategységben levő ilyen részek száma. Bizonyítsuk be, hogy a kondenzátor komplex ellenállása formailag megegyezik a 81. ábrán látható két pólus ellenállásával. Határozzuk meg R, L és C értékét.

81. ábra -

Megoldás: Jelöljük az üres kondenzátor kapacitását C0-val. Az ionizált gázzal töltött kondenzátor kapacitása:

108

; komplex ellenállása pedig:

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Számítsuk most ki a felrajzolt kör komplex ellenállását:

. Látható, hogy a

megfeleltetéssel formailag: Z = Z1. 18. Határozzuk meg a 82. ábrán látható végtelen rendszer komplex ellenállását. Számítsuk ki a feszültségeket a csomópontokban. Diszkutáljuk a kapott eredményt abban az esetben, ha Z1 tiszta induktív, Z2 pedig tiszta kapacitív ellenállás.

82. ábra -

Megoldás: Minthogy a lánc végtelen, az első ellenálláspár leválasztása után maradt lánc (83. ábra) ellenállása megegyezik az eredetivel:

. 109

FELADATGYŰJTEMÉNY

83. ábra -

Ennek megoldása:

. Vizsgáljuk most a feszültségeket. Használjuk ki ismét, hogy az n-edik ellenálláspár után álló lánc szintén Z0 ellenállású (84. ábra). A következők a viszonyok: .

84. ábra -

Minthogy bármely elágazási ponttól jobbra az ellenállás Z0, fennáll, hogy

, amiből 110

. Ezt egyenlőségünkbe írva:

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Ha a lánc elején betáplált elektromos erő

, akkor

. Vizsgáljuk most a tiszta induktivitásokból és kapacitásokból álló láncot (85. ábra): , , tehát

.

85. ábra -

Legyen

, ekkor:

. Abban az esetben, ha , a gyök alatti mennyiség pozitív, a csak induktivitásokból és kapacitásokból álló láncnak ohmos ellenállása van, tehát állandóan elnyel energiát. Hogyan lehetséges ez? Kis frekvenciák esetén a végtelen sok kapacitásból és induktivitásból álló rendszer állandóan töltődik, az újabb feszültséglökésig a lánc egyes elemeinek van idejük átadni az energiát a további tagoknak. 111

FELADATGYŰJTEMÉNY

Ha

, a komplex ellenállás tiszta képzetes.

Vizsgáljuk most a feszültségviszonyokat:

. Ha , ezért , ami azt jelenti, hogy a feszültség abszolút értéke minden csomópontban azonos: . δ negatív, ami a hullámok késleltetését jelenti. Az

tiszta valós, és

esetben:

. Tehát

, ami azt jelenti, hogy minden elágazásban kisebb a feszültség, mint a megelőzőben. A feszültség gyorsan esik a lánc mentén. ω0-nál nagyobb frekvenciákat a rendszer nem enged át. Az új feszültséghullám megjelenésekor az egyes elemek még nem tudták továbbadni tárolt energiájukat. A frekvencia függvényében az áteresztést jellemző

görbéje a 86. ábrán látható. 112

FELADATGYŰJTEMÉNY

86. ábra -

19. Egy feltöltött C kapacitású kondenzátort R ellenálláson és L önindukción át kisütünk. Feltételezve, hogy a kisülés aperiodikusan történik, számítsuk ki, mikor éri el az áram intenzitása a maximális értékét. Megoldás: Az RLC kör differenciálegyenlete:

; kezdeti feltétel: t = 0-kor I = 0. A differenciálegyenlet megoldása:

, ahol

. Mivel a kisülés a feltétel szerint aperiodikus, ezért

. I ott lesz maximális, ahol az első differenciálhányadosa zérus, tehát:

. Ebből 113

FELADATGYŰJTEMÉNY

,

, amiből t-re kapjuk:

. 20. A C kapacitású kondenzátor sorba van kötve az R ohmos ellenállással, C' sorba van kötve R'-vel. A két ág párhuzamosan rá van kötve egy akkumulátor sarkára, amelynek belső ellenállása elhanyagolható. Az akkumulátort hirtelen bekapcsoljuk, és mérjük a két kondenzátor közötti feszültséget a feltöltődés alatt. Bizonyítsuk be, hogy az tartama alatt zérus.

hányados megfelelő választása esetén a feszültségkülönbség a feltöltődés egész

Megoldás: A bekapcsolás a t = 0 időpontban történik. A két kondenzátor töltésének időbeli változását a következő egyenletek írják le: . Ezekből , . Ennek alapján a kondenzátorok feszültsége:

, 114

FELADATGYŰJTEMÉNY illetve . A két feszültség akkor egyezik meg minden időpillanatban, ha

. 21. és n törésmutatójú közegeket síkfelület választ el. E felületre merőlegesen, a z tengely irányában ω körfrekvenciájú síkhullám terjed. Mekkora légrést kell hagynunk a két közeg között, hogy ne legyen visszavert hullám? Megoldás: Felírjuk a térerősség-komponenseket az egyes közegekben, kihasználjuk, hogy a transzverzális komponensek folytonosan mennek át, és megköveteljük, hogy az as közegekben fennáll:

törésmutatójú közegben a visszavert hullám amplitúdója 0 legyen. Az 52. pontban tanultak szerint az 1-es, 2-es és 3-

A jobbra, a balra futó síkhullámot jelöl. A többi térerősség-komponens 0. A továbbiakban a 0x alsó indexet elhagyjuk. Tegyük a z tengely 0 pontját az 1-es és 2-es közegek határára, és jelöljük a légrés kiszámítandó vastagságát s-sel. Ekkor a határfeltételekből adódik a z = 0 helyen: ; 115

FELADATGYŰJTEMÉNY

; és a z = s helyen: ; . E két utóbbi egyenletből:

; ahol

. Ezt az első két egyenletbe téve, kapjuk:

. Az

eltűnésének feltétele: ,

vagyis . 116

FELADATGYŰJTEMÉNY Az A korábbi kifejezésével összehasonlítva:

, , , ,

. Tehát negyed hullámhossznak megfelelő légrést kell hagyni, hogy ne legyen visszavert hullám. 2

2

22. A Föld közelében 1 cm felületen áthaladó, Naptól származó sugárzási energiaáram kb. 0,14 watt/cm . Legyen a bolygóközi „kozmikus 2 –4 vitorláshajó” vitorlájának cm -enkénti tömege 10 g, és elhanyagolható a többi tartozék tömege. Milyen lehet a Nap sugárzásának sugárnyomása miatti maximális gyorsulás? Tételezzük fel, hogy a „vitorla” minden rá eső sugárzást teljesen visszaver. Megoldás: A térimpulzus-sűrűség és az energiaáram-sűrűség közötti összefüggés:

. A „vitorlán” való visszaverődés során az impulzus előjelet vált. A „kozmikus vitorlás” által időegységenként átvett impulzus, vagyis az erőhatás 2g:

, ahol μ a felületegység tömege. Ebből adódik: 117

FELADATGYŰJTEMÉNY

, . 23. Elektromágneses hullám terjed homogén plazmán keresztül. Közelítésként feltehető, hogy a plazmát alkotó nehéz pozitív ionok az elektromos tér rezgéseit nem követik, de a könnyű elektronok igen, és ezáltal a hullám terjedését befolyásolják. Mutassuk meg, hogy ha külső mágneses tér nincs jelen, a plazma az

kritikus frekvenciánál nagyobb frekvenciájú elektromágneses hullám számára olyan, mintha

dielektromos együtthatójú szigetelő lenne. ω a hullám körfrekvenciáját, N az elektronok számsűrűségét, e azok töltését, m pedig tömegét jelenti. Megoldás: Síkhullám esetén vákuumban , ezért az elektronokra ható Lorentz-erő mágneses tértől eredő része a elektromos rész mellett. Így az elektron mozgásegyenlete:

.

. Az elektronok konvektív áramsűrűsége:

. 118

tényező miatt elhanyagolható az

FELADATGYŰJTEMÉNY Ezt az első Maxwell-egyenletbe írva:

. Figyelembe véve, hogy

,

. Ebből az egyenletből látható, hogy a plazma az elektromágneses hullám terjedése szempontjából olyan, mintha

dielektromos együtthatójú szigetelő lenne. Igen nagy frekvenciáknál ( rezgéseit. A plazma

sajátfrekvenciájánál

)

, ugyanis ekkor az elektronok már nem tudják követni a tér

.

24. Az előző feladat eredményét felhasználva határozzuk meg merőleges beesés esetén a visszaverődési együtthatót mint a frekvencia függvényét. Ismeretes, hogy az ionoszféra a méteres hullámhosszúságú rádióhullámokat visszaveri, a néhány deciméter hullámhosszú radarhullámokat átereszti. Becsüljük meg az ionoszféra maximális elektronsűrűségét. Megoldás: a) A visszaverődési együttható:

, ahol

, 119

FELADATGYŰJTEMÉNY és így

. Ha

,

, a beeső hullám teljes egészében áthatol az ionizált rétegen. Az elektronok képtelenek követni a tér gyors rezgéseit. ω csökkenésekor

r monoton nő, és

-nál r = 1, a beeső hullám teljes egészében visszaverődik. Ha

. A visszaverődés teljes. Az

függvényt a 87. ábra szemlélteti.

.

87. ábra -

b) A még éppen áthaladó hullám hullámhosszára teljesül, hogy . Vegyük

-t. Ekkor 120

, a gyökjel alatti mennyiség negatívvá válik, ilyenkor

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Ezt

megadott kifejezésével egyenlővé téve, adódik:

, amiből

. 25. A 23. feladat alapján határozzuk meg a plazmában haladó elektromágneses síkhullám fázis- és csoportsebességét. Megoldás: A hullám fázissebessége:

. Ha , és képzetes. Ebben az esetben a térerősség már nem haladó hullám, hanem a távolsággal exponenciálisan csökkenő, időben periodikusan változó. A csoportsebesség: . Mivel

,

. 121

FELADATGYŰJTEMÉNY A plazmán áthaladó hullámvonulat csoportsebessége az előbbi képlet alapján:

. 26. Tegyük fel, hogy a plazma rétegezetten inhomogén, mint pl. a Heaviside-réteg. Az elektronsűrűség felfelé haladva nő, elér egy maximumot, és azután ismét csökken. Mutassuk meg, hogy merőleges beesés esetén a hullám éppen azon a helyen verődik vissza teljesen, ahol a sajátfrekvencia egyenlővé válik a hullám frekvenciájával. Megoldás: Ha a plazma dielektromos együtthatója nem változik nagyon gyorsan a magassággal, akkor a közeg állandó dielektromos együtthatójú rétegekből összetettnek képzelhető. Az ilyen közegben haladó hullám terjedési iránya a Snellius–Descartes-törvény alapján rétegről rétegre követhető. Ha az elektronsűrűség felfelé haladva nő, akkor csökken, tehát optikailag ritkább közegeken következik be a törés. Egy bizonyos elektronsűrűségnél bekövetkezik a teljes visszaverődés. A töréstörvény az egyes rétegekre:

. Ebből adódik: . A teljes visszaverődésnél ott verődik vissza teljesen, ahol

, tehát ezen a helyen

, mivel

. Merőleges beesés esetén

, vagyis ahol a sajátfrekvencia megegyezik a hullám frekvenciájával:

, és így

. A hullám tehát

.

27. Mutassuk meg, hogy a koordinátatengelyek elforgatása és a jobbsodrású koordináta-rendszerről balsodrásúra való áttérés is Lorentztranszformáció, de egy állandó szögsebességgel forgó rendszerre való áttérés már nem az. Megoldás: A Lorentz-transzformációnak invariánsul kell hagynia a

ívelem-négyzetet. A koordináta-rendszer elforgatásakor két szomszédos pont távolságának négyzete: 122

FELADATGYŰJTEMÉNY

2

változatlan marad. Mivel t nem változik, ezért ds valóban invariáns; a koordináta-rendszer elforgatása tehát Lorentz-transzformáció. A jobbsodrású koordináta-rendszerről balsodrásúra áttérhetünk a térbeli koordináták tükrözésével: . Ekkor

,

,

,

2

és így ds ismét invariáns, tehát ez is Lorentz-transzformáció.

Most tekintsük azt a transzformációt, amely a z tengely körül állandó ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerre való áttérést írja le: , , , . 2

Ez a transzformáció a ds ívelem négyzetalakját megváltoztatja. Ugyanis:

. Ez a transzformáció tehát nem Lorentz-transzformáció. 28. Egyirányú sebességek összetevési képlete a relativitáselmélet szerint:

. Vezessük be a sebesség helyett a gyorsaság fogalmát a következő definícióval: . Milyen összetevési képlet érvényes a gyorsaságokra? Hogyan szól gyorsaságokkal kifejezve az a megállapítás, hogy c-nél kisebb sebességek összege kisebb c-nél? Megoldás: 123

FELADATGYŰJTEMÉNY A sebesség-összetevési képletben c-vel osztva, és a gyorsaságokat behelyettesítve:

, a c sebességnek megfelelő gyorsaság: , ez pedig véges gyorsaságok összeadásából nem nyerhető. 29.

mezon élettartama 10

–16

s. Fotoemulzióban átlagosan

cm utat tesz meg elbomlásáig. Határozzuk meg a sebességét.

Megoldás: A megtett út és a sajátidő közti összefüggés:

. A számértékeket behelyettesítve:

. 30. Egy négyzet alakú vezetőben állandó elektromotoros erejű telep hatására állandó sűrűségű konduktív áram folyik. A vezetőnek elektrosztatikus töltése nincsen. Mutassuk meg, hogy az a megfigyelő, akihez képest a vezetőkör v sebességgel mozog, a vezető egyes szakaszain elektromos töltés felléptét észleli, de – a töltés Lorentz-invarianciájának megfelelően – a vezető összes töltése zérus. Megoldás: Tételezzük fel, hogy a mozgás az x tengely mentén történik. A négyes áramsűrűség komponensei a vezetővel együtt mozgó koordináta-rendszerben: . A vezetőhöz képest mozgó rendszerben: 124

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Az AB és a CD szakaszon sx = 0 (88. ábra), így ezeken

. A BC szakaszon

, ezért

.

88. ábra -

Az AD szakaszon

, ezért itt

. A vezetőhöz képest mozgó megfigyelő tehát a BC szakaszon pozitív, az AD szakaszon negatív töltés felléptét észleli. Mivel a két töltéssűrűség abszolút értékben megegyezik, csak ellentétes előjelű, az egész áramkör összes töltése a mozgó megfigyelő számára is zérus. 31. Végtelen hosszú hengeres vezető ω vonal menti töltéssűrűséggel egyenletesen töltött. A vezetőben I áram folyik. A vezetőn kívüli térben . Keressünk olyan koordináta-rendszert, amelyben vagy csak elektromos, vagy csak mágneses térerősség van. Határozzuk meg ezeket a térerősségeket. 125

FELADATGYŰJTEMÉNY Megoldás: Az elektromos tér sugárirányú, a mágneses tér erre merőleges.

.

. A transzformációs egyenletek a következó'k: ; ; itt

. Az elektromos tér akkor tűnik el, ha

. A sebesség iránya a pozitív x tengely irányával egyezik meg. Kell, hogy 0, csak akkor lehetséges, ha

teljesüljön. Ezért olyan koordináta-rendszer választása, melyben E =

. Ekkor

. Mikor

teljesül, olyan koordináta-rendszert választhatunk, melyben 126

. Ehhez az szükséges, hogy

FELADATGYŰJTEMÉNY

legyen. Most

. Ha

-hez, a fenti módon választott rendszerek sebessége

, a térerősségek pedig 0-hoz tartanak.

32. Határozzuk meg egyenletesen mozgó elektromos dipólus terét. Megoldás: Legyen a nyugvó koordináta-rendszerben a dipolmomentum p. Mozogjon a dipólus az x tengely mentén v sebességgel. A dipólussal együtt mozgó vesszős koordináta-rendszerben a négyes potenciál:

. A potenciálok transzformációs képlete: . Itt

. Az

-ket beírva, adódik:

. A dipólushoz rögzített vesszős koordinátákról áttérünk laboratóriumi koordináta-rendszerre: 127

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Vezessük be a következő hármas vektorokat:

. Ezzel

. Ebből a térerősségeket a következő összefüggések segítségével kaphatjuk: ; a gradienst és rotációt az x, y, z változók szerint kell képezni.

;

;

;

. A potenciál x és t szerinti deriváltja így foglalható össze:

, 128

FELADATGYŰJTEMÉNY amiből vektor alakban:

. A mágneses térerősség:

. Az első tag 0, a második tagban pedig: , és

miatt írhatjuk: .

33. A relativisztikus mozgásegyenlet alapján határozzuk meg egy tömegpont mozgását állandó erő hatása alatt. Mutassuk meg, hogy a tömegpont sebessége véges időtartam alatt nem érheti el a vákuumbeli fénysebességet. Megoldás: A mozgásegyenlet

. Ebből integrálással kapjuk:

. 129

FELADATGYŰJTEMÉNY

Az A integrációs állandó értéke zérus, ha t = 0-kor

. Vegyük ezt az esetet: A = 0. Egyenletünkből adódik:

,

. Ha

, akkor sorba fejtéssel a klasszikus mechanika eredményét kapjuk:

. A sebesség kifejezése a következőképpen is írható:

. Ebből látszik, hogy

, ha

.

34. A tapasztalat szerint egy foton elektron-pozitron párrá alakulhat. Mutassuk meg az energia- és impulzusegyenlet alapján, hogy a párkeltéshez még egy további részecske jelenléte szükséges. Megoldás: Ha más részecskét egyelőre nem tételezünk fel, akkor a foton Az energiaegyenlet:

energiája fedezi a keletkezett elektron-pozitron pár nyugalmi és kinetikai energiáját.

. 130

FELADATGYŰJTEMÉNY Az impulzusegyenletnek a foton mozgásirányába eső és arra merőleges komponense (89. ábra):

,

.

89. ábra -

Az energiaegyenletet c-vel osztva és az első impulzusegyenlettel összehasonlítva, látható, hogy a két egyenlet egyszerre csak a

feltételek teljesülése esetén állhat fenn. Ezek pedig nem érvényesek a c határjellege miatt. A foton impulzusát az elektron-pozitron pár egyedül nem tudja felvenni; szükség van egy újabb részecskére vagy atommagra, amely felveszi a felesleges impulzust. 35. Határozzuk meg elektromosan töltött pontszerű részecske relativisztikus mozgását a) homogén elektrosztatikus térben, b) homogén magnetosztatikus térben. Megoldás: a) Az elektromos tér legyen x irányú. A részecske mozgása síkmozgás; a pályasík legyen az xy sík. A relativisztikus mozgásegyenletek ebben az esetben: 131

FELADATGYŰJTEMÉNY

. Ebből . Ha t = 0-kor Px = 0, akkor c1 = 0, c2 = p0. A részecske sebessége: , ahol E a teljes energiája: , ahol

a részecske energiája a t = 0 időpillanatban. A sebesség x komponense:

, amiből integrálással adódik: . (Az integrációs állandót zérusnak vettük.) y-t a

egyenletből kapjuk:

. 132

FELADATGYŰJTEMÉNY A pálya egyenletét a t paraméter kiküszöbölésével kapjuk:

. A töltött részecske homogén elektrosztatikus térben tehát láncgörbén mozog. A

nem relativisztikus határesetben:

;

;

. Ez parabola egyenlete. b) A homogén magnetosztatikus tér legyen a z tengellyel párhuzamos. A mozgásegyenlet: , vagy

. (Itt felhasználtuk azt a tényt, hogy mágneses térben az E energia állandó!) A mozgásegyenlet komponensekben: , ahol . A második mozgásegyenletet i-vel szorozva és az elsőhöz hozzáadva: 133

FELADATGYŰJTEMÉNY

, amiből . A valós és képzetes részt szétválasztva: . Ezekből integrálással kapjuk, hogy , , ahol . A mozgásegyenlet z komponenséből: . A töltött részecske homogén magnetosztatikus térben tehát csigavonal mentén mozog. A csigavonal tengelye a mágneses térrel párhuzamos. Ha , vagyis ha a mágneses térre merőlegesen indítjuk el t = 0-kor a részecskét, akkor a pálya kör a mágneses térre merőleges síkban. A kör sugara: . Nem relativisztikus közelítésben:

. 134

FELADATGYŰJTEMÉNY 4

235

36. Az atommag-energia felszabadítására két lehetőség kínálkozik. Egyik a He -nek alkotórészeiből való felépítése, a másik az U Néhány atommag protonjainak, neutronjainak számát, valamint a magok tömegét az alábbi táblázat mutatja: jel

Z

n

0

P

1 4

He

2

90

Kr Ba U

N

36

140

56

235

92

mag hasítása.

m 1 1,6447 0 1,6724 2 4,2848

54 1,49211 84 2,32170 143 3,80036

–24

g

–24

g

–24

g

–22

g

–22

g

10 10 10

l0 l0

–22

10

g 4

a) Határozzuk meg, hány MeV energia szabadul fel, amikor két neutron és két proton He -gyé egyesül. b) Egy U

235

90

140

mag elhasad egy Kr -re és egy Ba

-re, és keletkezik néhány szabad neutron. Hány MeV energia szabadul fel ennél a folyamatnál? 235

c) A reaktorba kerülő urán 1%-ban tartalmazza a hasadásra képes 235-ös izotópját. Mennyi energia szabadul fel 1 g uránban levő U Mennyi 5000 kalóriás szén szolgáltat ennyi energiát?

elbomlásakor?

Megoldás: a) Felszabadul a tömegdefektusnak megfelelő energia: . b) A kezdeti állapot és végállapot tömegkülönbsége: . Az ennek megfelelő energia: . 235

23

21

c) 235 g U -ben 6 l0 db atom van. Egy grammban tehát 2,25 l0 atom van. Ha figyelembe vesszük a hasadásra képes U 19 235 koncentrációját, kapjuk, hogy 1 g uránban 2,25 10 U atommag van. Ezek elbomlásakor felszabaduló energia: . 135

235

1%-os

FELADATGYŰJTEMÉNY

Ez megfelel

kg szén elégetésekor felszabaduló energiának.

136

Elektrodinamika. Publication date 1977 Szerzői jog 2002 Dr. Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly. Bírálók:

Recommend Documents