EKSPLORASI BENTUK AKAR

EKSPLORASI BENTUK AKAR Bilangan dalam bentuk akar juga sering menjadi bagian penting dalam soal-soal kompetisi matematika Beberapa pengetahuan dasar tentang bentuk akar : 1. Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif 2. 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏 , salah satu akibatnya adalah 3. Merasionalkan bentuk akar 1

a.

c.

2

=𝑎

1

𝑎

b.

𝑎

=𝑎 𝑎

1 𝑎+ 𝑏 1 𝑎+

𝑎− 𝑏

= 𝑎 2 −𝑏

𝑎− 𝑏

= 𝑏

𝑎 −𝑏

2

𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ± 2 𝑎𝑏

4.

Contoh satu penerapanya adalah 8 − 2 15 = 5 − 3 5. Dengan menggunakan rumus pengkuadratan bentuk

aljabar,

maka

𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = a + b 11 + 4 7 =

Contohnya :

22 + 2 ∙ 2 7 +

7

2

=2+ 7

6. Dengan persamaan bentuk aljabar 1 + (n – 1)n(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1) – 1)2, maka 𝑛−1 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 =𝑛 𝑛+1 −1 Contohnya : 98 ∙ 99 ∙ 100 ∙ 101 + 1 = 9900 – 1 = 9899

Contoh Soal Soal 1 [OSN 2004] Nilai dari 50502 − 49502 = …. a. 10 c. 1.000 b. 100 d. 10.000 Jawaban : c dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, a2 – b2 = (a + b)(a – b) maka bentuk 50502 – 49502 = (5050 + 4950)( 5050 – 4950) = (10000)(100) Sehingga 50502 − 49502 = 10000 ∙ 100 = 1000 Soal 2 1 1+ 2 2+ 3 1− 2 2− 3

= ....

Jawaban 1 1+ 2 2+ 3 1− 2 2− 3 1

=

1−2 4−3

Muhammad Yusuf

=

1 1+ 2 1− 2 2+ 3 2− 3

=-1

Halaman 1

Soal 3 Hasil dari : 190 + 32 + 16 adalah …. a. 208 c. 16 b. 14 d. 18 Jawaban : b 190 + 32 + 16 = 190 + 32 + 4 = 190 + 36 = 190 + 6 = 14 Soal 4 Selesaikan soal berikut 6+ 2 6− 3+ 2−1

−

2 2

=?

Jawaban 6+ 2 6− 3+ 2−1

−

2 2

= = = = =

2

6+ 2 −2 2

6− 3+ 2−1

6− 3+ 2−1

2 3+2−2 6+2 3−2 2+2 2 3− 6+2− 2 4−2 6+4 3−2 2 2 3− 6+2− 2 4 1+ 3 −2 2 1+ 3 2 1+ 3 − 2 1+ 3 4−2 2 2− 2

=2

Soal 5 Tentukan semua bilangan bulat n sehingga 𝑛 − 4 𝑛 − 19 juga merupakan bilangan bulat UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) March 2011 (Sheet 6) Jawaban Misalkan p = 𝑛 − 4 𝑛 − 19 , maka p2 = n - 4 𝑛 − 19 yang disederhanakan menjadi 𝑛 − 𝑝2 2 = 16 𝑛 − 19 Karena 16 merupakan bilangan kuadarat, maka n – 19 juga harus merupakan bilangan kuadrat. Misalkan n – 19 = m2 𝑛 − 𝑝2 2 = 16 𝑛 − 19 ⇨ 𝑚2 + 19 − 𝑝2 2 = 16𝑚2 ⇨ m2 + 19 – p2 = 4m ⇨ m2 – 4m + 19 = p2 ⇨ (m – 2)2 + 15 = p2 ⇨ p2 – (m – 2)2 = 15 ⇨ (p + m – 2)(p – m + 2) = 15 Dengan menggunakan faktor-faktor positif dari 15 yaitu (1,15), (15,1), (3,5) dan (5,3) Maka kita dapat pasangan nilai (p,m) adalah (8,9), (8,-5), (4,3) dan (1,4) Karena m adalah nilai dari 𝑛 − 19 , maka m harus positif, sehingga pasangan (p,m) yang memenuhi tinggal (8,9), (4,3) dan (4,1) Dengan memasukan nilai m ke persamaan m2 = n – 19 Muhammad Yusuf

Halaman 2

Maka kita peroleh Untuk m = 9 ⇨ n = 100 Untuk m = 3 ⇨ n = 27 Untuk m = 1 ⇨ n = 20 Soal 6 Berapakah jumlah dari bentuk berikut 1 1 1 + + ⋯+ 100 99 + 99 100 2 1+1 2 3 2+2 3 International Contest-Game MATH KANGAROO Canada, 2007 Jawaban Setiap pecahan dari penjumlahan tersebut berbentuk

1 𝑛 𝑛−1+ 𝑛−1

2

, dengan n = 2, 3, ...,

100 Bentuk tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut : 1 𝑛 𝑛−1+ 𝑛−1

𝑛

⇨

1

=𝑛 = = = =

𝑛−1+ 𝑛−1

𝑛 𝑛−1− 𝑛−1

𝑛

𝑛−1− 𝑛−1

𝑛

×𝑛 𝑛

𝑛 𝑛−1− 𝑛−1

𝑛

𝑛 2 𝑛−1 − 𝑛−1 2 𝑛 𝑛 𝑛−1

𝑛− 𝑛−1

𝑛 𝑛 −1 𝑛−𝑛+1 𝑛− 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 1 1 𝑛−1

−

𝑛

Dengan semikian, bentuk soal tersebut dapat diubah menjadi 1 1 1 1 1 1 1 1 + − − + − + ⋯+ − 3 3 99 100 1 2 2 4 1 1 9 = − = 10 100 1

SOAL-SOAL KOMPETISI MATEMATIKA 1. Jika a > 0, maka A. a

B.

8

𝑎3 3

4

𝑎

𝑎 𝑎

dapat disederhanakan menjadi

𝑎9

C. a3

D.

1 8

𝑎

E. Tidak ada yang benar

2009 - Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest

2. Tentukan pangkat 4 dari

4+ 4+ 4

(A) 24 + 8√6 (B) 24 + 4√6 (C) 32 (D) 16 + 8√2 (E) Tidak ada pilihan yang benar 2009 - Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest Muhammad Yusuf

Halaman 3

3. Jika 100 − 𝑥 = 9, maka x = ..... (A) 9 (B) 91 (C) √19 (D) 97 (E) 19 Cayley Contest 2012 4. Jika 25 + 𝑥 = 6, berapakah nilai x? Euclid Contest 2011 5. Jika N =

5+2+

5−2

1−1

, maka N =?

a) 1 (b) √2 (c) √3 (d) 4 (e) Tidak ada pilihan yang benar 2011 Math Contest Level 1 - Coastal Carolina University 6. Untuk berapa banyak nilai k yang berbeda sehingga 𝑘 − 11 dan 𝑘 + 64 keduanya merupakan bilangan bulat? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) none of these 2011 Math Contest Level 1 - Coastal Carolina University 7. Diketahui x = 7 + 13 − 7 − 13 . Tentukan nilai dari 𝑥 3 − 2𝑥 − 2 2012 . (a) 28048 (b) 22024 (c) 41006 (d) 4503 (e) 86036 MATH TOURNAMENT 2012 PROBLEMS – Columbus State 8. Tentukan bilangan bulat x yang memenuhi 14 + 6 5 − 14 − 6 5 = 𝑥 MATH TOURNAMENT 2012 CIPHERING – Columbus State

9. Hitunghlah

3 + 3 + 3 + ⋯2012 Georgia Tech High School Math Competition-Ciphering Test

10.

3

5 + 2 13 + 3

A)

65 4

3

5 − 2 13 = ...

B) 4 13

6

3

C) 2

D) 1

E)

1+ 13 2

Indiana State Mathematics Contest-Comprehensive 2011 11. Hasil dari

0, 444 ⋯ 4 ditulis dalam bentuk bilangan desimal. Berapakah angka yang 100 𝑘𝑎𝑙𝑖

ke-100 setelah tanda koma? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 International Kangaroo Mathematics Contest 2010 Student Level: Class (11 & 12) 12. Manakah yang senilai dengan A) 2√2

Muhammad Yusuf

B) 2 + √2

8 2− 2

−4 2

C) 4 - √2

1 2

D) 4√2 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest – Sample for 2012

Halaman 4

1

13. Manakah yang senilai dengan 1+ A) 1

B) 4

+ 2

1 2+

+ 3

C) 9

1 3+

+⋯+ 4

1 24+ 25

D) 16 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest – Sample for 2012

14. Berapakah 4 7 + 11 − 7 ? (A) 4√7 (B) -1 (C)√7 (D) 2 (E) 11 2011 Lakehead University Math Contest – Senior Individual 15. Tentukan bilangan bulat u dan v yang memenuhi persamaan berikut 18 − 2 65 = 𝑢 − 𝑣 2012 LSU Math Contest – Open Session 26 +26 +26 +4 3

16. Manakah yang senilai dengan 1

(A)15

2

(B) 15

3

8

6∙15∙300 4

?

16

(C) 15 (D) 15 (E) 15 FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 2011-2012

17. Sederhanakanlah : 5 3 5 3 − − + 4 2 4 2 (A) -√3

(B) -√2

(C) √2

(D) √3

(E)

− 5 2

FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 2010-2011 18. Jika √36 + √x = √100, maka x = A. 2 B. 4 C. 8 D. 64 E. None of these. 2012 Marywood Mathematics Contest 19.

16 × 16 × 16 × 16 = A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. None of these. 2012 Marywood Mathematics Contest

20. Diketahui bahwa x adalah bilangan bulat. Jika

𝑥 + 12 2011 − 𝑥 − 12 2011 juga

merupakan bilangan bulat, tentukan x Mathworks at Texas State University Mathworks Math Contest For Middle School Students 2011

Muhammad Yusuf

Halaman 5

21. Hitunglah 3

3

3

3

3

17 − 13 289 + 221 + 169 Nassau County Interscholastic Mathematics League Contest #3 : 2011 – 2012

22. Berapakah hasil dari √81 − √36? (A) √9 − √6 (B) 3 (C) 6 (D) √45 (E) 452012 NB Math Contest - Grade 8 7 − 48 + 5 − 24 + 3 − 8 2011 NC State Mathematical Contest

23. Tentukan nilai dari

24. Diketahui

2 4

4

5− 3

=

4

4

4

4

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 untuk semua bilangan bulat A, B, C, D.

Tentukan nilai dari A – B + C – D . 2012 OHMIO PRESSURE ROUND 3

4

25. Nyatakan dalam bentuk akar tunggal yang paling sederhana 2 4 8 2011 OHMIO PRESSURE ROUND 26. Berapakah nilai dari 1111

1 9

REMT 2012 27. Sederhanakanlah :

1 𝑥−3

−

𝑥 𝑥−9

REMT 2012 17 2  82

28.

=

412  402

Rocket City Math League 2011-2012 : Senior Division Inter-School Test 29. Sederhanakanlah

(a) 0

4+ 15

4− 15

4−

4+ 15

+ 15

(b) 2 (c) 8

(d) 19 (e) None of the above Saginaw Valley State University2009 Math Olympics – Level I 4 2

30. Rasionalkan penyebutnya :

2+ 3+ 7 4 2− 7

(a) 4/7 (b) 2 + √3 − √7 (c) −

3

(d) 2√3 + 4 +

4 21 7

(e) None of the above

SVSU – 2007 Math Olympics Level I 31.

1− 5 2+ 5

a)

7+ 5 1+ 5 4

b)

= ... 4− 5 11

c)

−4− 5 11

d)

8+4 5 11

e)

27+15 5 44

2012 SCSU MATH CONTEST : 9th and 10th Grade Test

Muhammad Yusuf

Halaman 6

32. Berapakah nilai dari

10 + 4 6 − 10 − 4 6 ?

(a) 1 (b) 4 (c) 2√6 (d) 8 6

(e) 8√6 High School Math Contest University of South Carolina January 28, 2012

33. Jika lima bilangan berikut

1 10 11 ; ; 6 20 22 Disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang berada di tengah adalah ... 11 − 10 ;

a) 11 − 10

b) 10 − 3

10 − 3 ;

1

c) 6

d)

10 20

e)

11 22

SOUTH AFRICANMATHEMATICS OLYMPIAD 2011 SECOND ROUND SENIOR SECTION: GRADES 10, 11 AND 12 34. Diberikan a =

(a) 6

(b) 2

3 − 8 dan b = 3 + 8. Maka a + b = ..... (c) 3 (d) √3 (e)√8 2011Pro2Serve Tennessee Math ContestFERMAT I

35. Tentukan nilai dari x =

1+ 1+ 1+ 1+⋯ AB EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011

36. Berapakah bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana yang senilai dengan 3

9+4 5+

3

9−4 5 BC EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011

37. Tentukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari

10 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ BEST EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011 38. Sederhanakanlah bentuk akar berikut 3

Muhammad Yusuf

1 3

3

9+ 6+ 4

Halaman 7

39. Berapakah nilai dari 19 − 192 + 19 + 192 a. √19 b. 8√3 c. 4√2 d. 8 e. 4 40. Misalkan p = 2 + 2 dan r = a. p√2 b. 2p c. 4 d. 2r

2 − 2 serta x = p + r, maka x = ...... e. r√2

41. Hitunglah hasil penjumlahan bentuk berikut :

501 + 504

−1

+ a. b. c. d. e.

1

+

504 + 507

2001 + 2004

−1

+

507 + 510

−1

+⋯

−1

501

4 1

501

3 1

501

5 1

501

2

501

42. Hitunglah (A) 1089

33 ∙ 34 ∙ 35 ∙ 36 + 1. (B) 1091 (C) 1190

(D) 1191 (E) None of the above 2008 Written test - UGA Math Contest

43. Problem 5. Express in terms of the fewest number of square roots possible: 7+4 3+ 7−4 3 2008 Ciphering test - UGA Math Contest 44. Berapakah nilai dari 2

8+2 7− 8−2 7 2011 SENIOR ‘KANGAROO’ MATHEMATICAL CHALLENGE 45. Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan 𝑎 𝑎 𝑎 = b. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari a + b. UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) October 2010 (Sheet 1) 46. Nyatakanlah bentuk

1 2011 + 20112 −1

dalam bentuk 𝑎 − 𝑏 dengan a dan b bilangan

bulat. UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) December 2011 (Sheet 3)

Muhammad Yusuf

Halaman 8