Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA p. ISSN: e. ISSN: Mujiati Dwi Kartikasari

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Premium Pricing of Liability Insurance Using Random Sum Model Mujiati Dwi Kartikasari Program Studi Statistika, Universitas Islam Indonesia, Jalan Kaliurang Km 14,5 Sleman, Yogyakarta [email protected] ABSTRACT Premium pricing is one of important activities in insurance. Nonlife insurance premium is calculated from expected value of historical data claims. The historical data claims are collected so that it forms a sum of independent random number which is called random sum. In premium pricing using random sum, claim frequency distribution and claim severity distribution are combined. The combination of these distributions is called compound distribution. By using liability claim insurance data, we analyze premium pricing using random sum model based on compound distribution. Keywords: premium, nonlife insurance, random sum, claim frequency, claim severity, compound distribution.

ABSTRAK Penentuan premi merupakan salah satu kegiatan penting dalam asuransi. Premi asuransi umum dihitung dari nilai harapan data historis klaim asuransi. Data historis klaim asuransi dikumpulkan sehingga membentuk jumlahan peubah-peubah acak yang saling bebas, atau disebut jumlah acak. Dalam penentuan premi dengan model jumlah acak, distribusi frekuensi klaim dikombinasikan dengan distribusi severitas klaim. Kombinasi distribusi tersebut disebut distribusi campuran. Dengan menggunakan data klaim asuransi tanggung gugat, dilakukan analisis perhitungan premi dengan model jumlah acak berdasarkan distribusi campuran. Kata Kunci: premi, asuransi umum, jumlah acak, frekuensi klaim, severitas klaim, distribusi campuran.

kecelakaan, sakit, kerusakan, kebakaran,

Pendahuluan Bisnis

asuransi

semakin

kehilangan harta, dan lain sebagainya.

berkembang dari tahun ke tahun. Hal ini dikarenakan

setiap

kehidupan

jenis, yaitu asuransi jiwa (life insurance)

selalu berhubungan dengan risiko. Risiko

dan asuransi non-jiwa (nonlife insurance).

dapat terjadi tanpa diduga-duga. Salah

Pada asuransi jiwa, risiko yang dijamin

satu upaya untuk meminimalkan risiko

oleh perusahaan asuransi adalah risiko

adalah

Asuransi

kematian sedangkan pada asuransi non-

merupakan suatu kegiatan pemindahan

jiwa, risiko yang dijamin oleh perusahaan

risiko untuk mencegah terjadinya kerugian

asuransi

besar yang disebabkan oleh risiko-risiko

pada jenis yang diasuransikan. Asuransi

tertentu,

non-jiwa sering disebut juga sebagai

dengan

bidang

Asuransi dibedakan menjadi dua

asuransi.

seperti

risiko

kematian,

bermacam-macam

tergantung

asuransi umum (general insurance). Salah Premium Pricing of Liability Insurance Using Random Sum Model (Mujiati Dwi Kartikasari)

46


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

satu jenis asuransi non-jiwa yaitu asuransi

kerugian

tanggung gugat.

perusahaan asuransi. Untuk menghitung

Asuransi merupakan

tanggung

produk

asuransi

yang

akan

dijamin

oleh

gugat

nilai harapan premi, perlu diketahui

yang

distribusi dari data risiko, baik jumlah

memberikan jaminan perlindungan kepada

(frekuensi)

tertanggung terhadap risiko yang timbul

(severitas) risiko. Data risiko dalam

karena adanya tuntutan dari pihak lain

perusahaan asuransi biasanya berupa data

(pihak

klaim yang dibayarkan oleh perusahaan

ketiga)

aktifitas

sehubungan

dengan

personal/perusahaan

milik

risiko

maupun

besar

asuransi kepada tertanggung.

tertanggung. Secara umum, hal yang

Berbagai

penelitian

mengenai

dijamin oleh asuransi tanggung gugat

penentuan premi telah banyak dilakukan.

adalah kewajiban tertanggung membayar

Brockman dan Wright (1992), Renshaw

ganti rugi atau kompensasi atas kerugian

(1994), Haberman dan Renshaw (1996),

yang diderita oleh pihak ketiga.

dan

Premi

asuransi

merupakan

Rosenlund

prinsip

(2013)

penentuan

menggunakan

premi

dengan

nilai

harapan

sejumlah uang yang harus dibayarkan

mengkombinasikan

sebagai kewajiban dari tertanggung atas

frekuensi klaim dan severitas klaim.

keikutsertaannya di asuransi. Besarnya

Dalam makalah ini, terlebih dahulu akan

premi telah ditentukan oleh perusahaan

ditentukan distribusi frekuensi klaim dan

asuransi dengan memperhatikan keadaan

distribusi severitas klaim. Selanjutnya,

pihak tertanggung. Pembayaran premi

kedua distribusi tersebut dikombinasikan

dapat dilakukan dalam bentuk premi

sehingga dihasilkan distribusi campuran.

tunggal atau premi berkala. Premi tunggal

Distribusi campuran merupakan distribusi

(single premium) adalah premi yang

dari jumlahan peubah acak atas sejumlah

dibayarkan

awal

pembayaran klaim, atau disebut jumlah

bergabungnya tertanggung di perusahaan

acak. Berdasarkan distribusi campuran

asuransi sedangkan premi berkala (regular

yang telah diperoleh, dihitung perkiraan

premium) adalah premi yang dibayarkan

premi murni dengan menghitung nilai

secara berkala dalam periode tertentu,

harapannya.

sekali

saja

di

misalnya per bulan, per kuartal, per semester, atau per tahun. Penentuan premi merupakan salah

Makalah

ini

disusun

sebagai

berikut. Bagian 2 mengulas pengertian jumlah

acak

beserta

mean

dan

satu pokok utama dalam asuransi. Premi

variansinya. Distribusi campuran dibahas

dihitung dari nilai harapan risiko atau

dalam bagian 3. Bagian 4 mengulas fungsi

Premium Pricing of Liability Insurance Using Random Sum Model (Mujiati Dwi Kartikasari)

47


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

mean residual life. Studi kasus diuraikan

Berdasarkan asumsi-asumsi jumlah acak

pada

S , mean dan variansi S dapat ditentukan

bagian

5

dikemukakan

pada

dan

kesimpulan

bagian

terakhir

sebagai berikut: E  S   E  E  S | N 

makalah ini.



Jumlah Acak

  E  X1  X 2  n 0

Jumlah acak merupakan jumlahan



peubah-peubah acak saling bebas yang

  E  X1  X 2 

dinyatakan sebagai

  E  X1  X 2 

S  X1  X 2 

n 0 

n 0

 X N , N  0,1, 2,

 X N | N  n  Pr  N  n   X n | N  n  Pr  N  n   X n  Pr  N  n 



  nE  X  Pr  N  n 

dimana S  0 ketika N  0 (Klugman,

n 0



Panjer, dan Willmot, 2004). Peubah acak

 E  X   n Pr  N  n 

N menyatakan frekuensi klaim yang

 E X EN 

mempunyai

fungsi

massa

peluang

Pr  N  n  dengan mean E  N  dan

n 0

dan Var  S   E  Var  S | N   Var  E  S | N   E  N Var  X   Var  NE  X 

variansi Var  N  . Peubah-peubah acak

X1 , X 2 ,

, XN

menyatakan

severitas

 Var  X  E  N    E  X  Var  N  2

Distribusi Campuran

klaim dengan mean E  X  dan variansi

Seluruh uraian mengenai distribusi campuran diambil dari Klugman, Panjer,

Var  X  .

dan Willmot (2004). Distribusi campuran

Asumsi-asumsi

yang

dipenuhi jumlah acak S

harus

adalah distribusi dari jumlah acak S .

antara lain

Tahapan untuk membangun distribusi S

(Klugman, Panjer, dan Willmot, 2004): 1. bersyarat pada N  n , peubahpeubah acak X 1 , X 2 ,

adalah sebagai berikut: 1. Membangun suatu model untuk

, X N saling

distribusi

bebas dan berdistribusi identik, 2. bersyarat pada N  n , distribusi dari

peubah-peubah

X1 , X 2 ,

, X N tidak bergantung

berdasarkan

2. Membangun suatu model untuk distribusi dari

X j berdasarkan

pada data. 3. Menggunakan kedua model di atas

3. distribusi dari N tidak tergantung pada nilai-nilai X1 , X 2 ,

N

pada data.

acak

pada n ,

dari

.

untuk mendapatkan distribusi dari

S.


48


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Distribusi campuran dari jumlah acak S adalah

FS  x   Pr  S  x 

untuk k  2,3, diskrit

dengan

0,1, 2,

, Persamaan (3) menjadi



  pn Pr  S  x | N  n 

. Pada kasus peubah acak peluang

x

FX*k  x    FX 

n 0

* k 1

y 0



  pn FX*n  x 

(1)

n 0

dimana

FX  x   Pr  X  x  merupakan

fungsi

distribusi

dari

dan

Xj

untuk x  0,1,

positif

 x  y fX  y

, dan k  2,3,

x

f X*k  x    f X 

* k 1

y 0

 x  y fX  y

untuk x  0,1,

peluang dari N . Fungsi peluang untuk

Fungsi Mean Residual Life

f S  x    pn f n 0

Pada

 x (1),

(2)

ekor (tail) distribusi. Ekor distribusi

FX*n  x 

adalah bagian dari distribusi yang ada

menyatakan konvolusi lipat n dari fungsi distribusi kumulatif X . Fungsi ini dapat diperoleh dari

kaitannya dengan nilai yang besar pada peubah acak (Klugman, Panjer, dan Willmot, 2004). Ketika memilih model distribusi untuk data risiko atau kerugian,

0, x  0, FX*0  x    1, x  0,



.

digunakan untuk melihat karakteristik dari

Persamaan

dan untuk k  1, 2,

, k  2,3,

Fungsi mean residual life dapat

distribusi campuran S adalah *n X

. Fungsi

peluang yang bersesuaiannya adalah

pn  Pr  N  n  merupakan fungsi massa



pada

ukuran ekor dapat membantu dalam penentuan model yang terbaik.

,

Untuk peubah acak severitas klaim

FX*k  x    FX 

 x  y  dFX  y  (3)

X , fungsi mean residual life merupakan

Jika X merupakan peubah acak kontinu

nilai harapan dari pembayaran per klaim

dengan peluang nol

dengan deduktibel sebesar x , dimana

* k 1



pada

nilai-nilai

negatif, maka Persamaan (3) menjadi

FX*k  x    FX  x

* k 1

0

 x  y  f X  y  dy

. Untuk k  1 , persamaan

untuk k  2,3,

X  x , dinyatakan dengan (Klugman, Panjer, dan Willmot, 2004) e  x  E  X  x | X  x 

tersebut menjadi FX*1  x   FX  x  . Fungsi



densitas peluangnya adalah

f X*k  x    f X  x

* k 1

0

 x  y  f X  y  dy

 1  F  u du x

1 F  x

.

Dalam praktik, fungsi mean residual life

e diestimasi dengan eˆn berdasarkan


49


perwakilan

sampel

selanjutnya

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

x1 , x2 ,

disebut

, xn

sebagai

yang fungsi

empirical mean residual life. Guess dan Proschan (1985) mendefinisikan fungsi empirical mean residual life sebagai berikut, n

  x  x

eˆn  x  

i  k 1

i

(4)

nk





untuk x  xk , x k 1 dan k  0,1,

, n  1.

Gambar 2. Severitas Klaim Asuransi Tanggung Gugat

Studi Kasus

Berdasarkan data yang disajikan

Data yang digunakan dalam studi kasus adalah data total klaim asuransi tanggung gugat tahun 2012-2014. Data tersebut frekuensi

berisi klaim

informasi yang

mengenai

menunjukkan

banyaknya kejadian klaim dan severitas klaim

yang

menunjukkan

besar

pembayaran klaim yang dilakukan oleh perusahaan asuransi. Data klaim asuransi tanggung gugat disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2.

pada Gambar 1 dan Gambar 2, selanjutnya akan

dilakukan

estimasi

terhadap

distribusi frekuensi dan severitas klaim. Distribusi geometri, negatif binomial, binomial

dan

Poisson

distribusi-distribusi

yang

merupakan umum

digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim sedangkan distribusi eksponensial, Gamma, Weibull, dan Pareto merupakan distribusi-distribusi

yang

umum

digunakan untuk memodelkan severitas klaim

(Tse,

2009).

Ada

beberapa

tambahan distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan severitas klaim, seperti distribusi lognormal dan distribusi Burr (Burnecki, Janczura, dan Weron, 2010). Distribusi frekuensi klaim akan disimpulkan berdasarkan nilai uji statistik Gambar 1. Frekuensi Klaim Asuransi Tanggung Gugat

dari distribusi geometri, negatif binomial, dan Poisson. Adapun hasil estimasi dan uji statistik distribusi frekuensi klaim


50


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

asuransi tanggung gugat disajikan pada

dari ketiga calon distribusi frekuensi

Tabel 1 dan Tabel 2.

klaim asuransi tanggung gugat, nilai

Tabel

loglikelihood

1.

Estimasi Parameter Calon Distribusi Frekuensi Klaim Asuransi Tanggung Gugat Distribusi Estimasi LogParameter Likelihood p Geometri 0,02 -171,0048 43,22 r Neg. Binomial p -130,1730 0,51 Poisson  42,03 -135,4721

dari distribusi geometri

merupakan nilai yang paling kecil. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa distribusi terbaik

geometri dalam

adalah

distribusi

memodelkan

frekuensi

klaim asuransi tanggung gugat. Adapun distribusi untuk severitas

Tabel 2. Tabel Statistik Calon Distribusi Frekuensi Klaim Asuransi Tanggung Gugat Chi-Squared Test p-value Distribusi Nilai Statistik   0,05 Geometri Neg. Binomial Poisson

693,75 446,50 520,00

0,2293 0,6655 0,3238

klaim akan disimpulkan berdasarkan nilai uji statistik dari distribusi eksponensial, Gamma, Weibull, Pareto, lognormal, dan distribusi

Burr.

Namun,

sebelum

melakukan pengujian, terlebih dahulu akan digambarkan plot fungsi empirical mean residual life berdasarkan Persamaan (4).

Rumusan

uji

hipotesis

untuk

menguji kecocokan distribusi frekuensi klaim adalah sebagai berikut:

Berdasarkan Gambar 3, plot fungsi empirical mean residual life dari distribusi Gamma, lognormal, dan distribusi Burr

H 0 : Data berasal dari populasi dengan distribusi tertentu,

mempunyai pola yang hampir sama dengan

H1 : Data tidak berasal dari populasi

plot

fungsi

empirical

mean

residual life severitas klaim asuransi

dengan distribusi tertentu.

tanggung

gugat.

Nilai p-value dari uji Chi-Squared baik

distribusi

Gamma,

untuk

distribusi Burr dijadikan sebagai calon

distribusi

geometri,

negatif

Dengan

demikian,

lognormal,

dan

binomial, dan Poisson lebih besar dari

distribusi

0,05 sehingga keputusan untuk hipotesis

tanggung gugat. Hasil estimasi dan uji

di atas yaitu gagal menolak H 0 , yang

statistik distribusi severitas klaim asuransi

berarti data klaim asuransi tanggung gugat

tanggung gugat disajikan pada Tabel 3

berasal dari populasi dengan distribusi

dan Tabel 4.

severitas

klaim

asuransi

tertentu. Berdasarkan nilai loglikelihood


51


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Gambar 3. Fungsi Empirical Mean Residual Life Distribusi Severitas Klaim Tabel

3.

Estimasi Parameter Calon Distribusi Severitas Klaim Asuransi Tanggung Gugat Distribusi Estimasi LogParameter Likelihood  1,949 Gamma -220,1581  105,9  5,164 Lognormal -214,1584  0,531 0,370 k  5,718 Burr -211,6649  118,2 Rumusan uji hipotesis untuk

H1 : Data tidak berasal dari populasi dengan distribusi tertentu. Tabel 4. Tabel Statistik Calon Distribusi Severitas Klaim Asuransi Tanggung Gugat Kolmogorov-Smirnov Test Distribusi p-value Nilai   0,05 Statistik Gamma Lognormal Burr

0,1936 0,1574 0,1109

0,1174 0,3018 0,7266

menguji kecocokan distribusi severitas klaim adalah sebagai berikut:

H 0 : Data berasal dari populasi dengan distribusi tertentu,

Nilai

p-value

dari

uji

Kolmogorov-

Smirnov baik untuk distribusi Gamma, lognormal dan Burr lebih besar dari 0,05


52


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

sehingga keputusan untuk hipotesis di atas

premi asuransi tanggung gugat disajikan

yaitu gagal menolak H 0 , yang berarti data

pada Tabel 5.

klaim asuransi tanggung gugat berasal dari populasi dengan distribusi tertentu. Berdasarkan nilai loglikelihood dari ketiga calon distribusi severitas klaim asuransi tanggung gugat, nilai loglikelihood dari distribusi Gamma merupakan nilai yang paling kecil. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa distribusi Gamma adalah

distribusi

terbaik

dalam

memodelkan severitas klaim asuransi

Gambar 4. Fungsi Distribusi Premi Asuransi Tanggung Gugat

tanggung gugat. distribusi

Berdasarkan informasi pada Tabel 5,

frekuensi klaim dan severitas klaim yang

maka perkiraan premi total untuk tahun

telah

2015-2017 sebesar Rp 61.410.000, 00 .

Berdasarkan

diperoleh,

estimasi

selanjutnya

akan

ditentukan nilai premi asuransi tanggung gugat menggunakan estimasi distribusi campuran.

Estimasi

distribusi

premi

asuransi tanggung gugat diperoleh secara numerik menggunakan metode konvolusi.

Tabel 5. Estimasi Mean dan Variansi Distribusi Premi Asuransi Tanggung Gugat Mean dan Variansi Nilai Estimasi 61,41 Mean E  S  Variansi Var  S 

1405,51

Dengan terlebih dahulu mendiskritkan distribusi

Gamma

yang

distribusi

severitas

klaim,

menerapkan diperoleh

Persamaan distribusi

merupakan kemudian (2),

premi

akan asuransi

tanggung gugat seperti disajikan pada Gambar 4. Distribusi premi asuransi tanggung gugat digunakan untuk mengestimasi nilai premi total, yaitu dengan menghitung mean dan variansi dari distribusi tersebut.

Nilai premi tersebut berasal dari hasil kali nilai harapan distribusi premi asuransi tanggung gugat dengan satuan severitas klaim. Dengan premi total tersebut, diharapkan perusahaan asuransi dapat memenuhi klaim-klaim yang diajukan dengan asumsi kejadian klaim tahun 2015, 2016, dan 2017 tidak menyimpang dari data klaim tahun 2012 sampai dengan tahun 2014.

Estimasi mean dan variansi dari distribusi


53


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Kesimpulan Kesimpulan yang dapat diperoleh berdasarkan analisis studi kasus yang telah dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Pemodelan distribusi campuran dari jumlahan

peubah

acak

dilakukan

dengan memodelkan data historis dari klaim asuransi. 2. Model distribusi campuran terbentuk dari proses konvolusi berulang antara distribusi frekuensi klaim dan severitas klaim. Hasil perhitungan menggunakan data klaim asuransi tanggung gugat diperoleh bahwa distribusi frekuensi klaim adalah geometri dan distribusi severitas klaim adalah Gamma. 3. Perhitungan

perkiraan

premi

total

untuk tahun 2015-2017 menggunakan

Burnecki, Krzysztof, Janczura, Joanna, dan Weron, Rafal, 2010, Building Loss Models, SFB 649 Economic Risk, ISSN 1860-664, HumboldtUniversität zu Berlin. Guess, F dan Proschan, F, 1985, Mean Residual Life: Theory and Applications, FSU Statistics Report M702 AFOSR Technical Report, 85-178. Haberman S dan Renshaw, A. E, 1996. Generalized Linear Models and Actuarial Science. The Statistician. 45(4), 407-436. Klugman, A. Stuart, Panjer, Harry H., dan Willmot, Gordon E., 2004, Loss Models From Data to Decisions Second Edition, 48, 140, John Wiley & Sons, New York, USA. Renshaw, Arthur E, 1994, Modelling the Claims Process in the Presence Covariates, ASTIN Bulletin, 24(2), 265-285.

data klaim asuransi tanggung gugat tahun 2012 sampai dengan 2014 dengan model jumlah acak berdasarkan distribusi campuran adalah sebesar Rp 61.410.000, 00 . Dengan premi total

tersebut,

diharapkan

perusahaan

Rosenlund, Stig, 2014, Integrating Ordinary GLM with Credibility in a Compound Poisson Model, Lecture in Indonesia November 2014, diselenggarakan oleh Institut Teknologi Bandung dan Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

asuransi dapat memenuhi klaim-klaim yang diajukan dengan asumsi kejadian klaim tahun 2015, 2016, dan 2017

Tse, Yiu Kuen, 2009, Nonlife Actuarial Models, 6, 49, Cambridge University Press, New York, USA.

tidak menyimpang dari data klaim tahun 2012 sampai dengan tahun 2014. Pustaka Brockman M. H, dan Wright, T. S, 1992, Statistical Motor Rating: Making Effective Use of Your Data. Journal of the Institute of Actuaries, 119(3), 457-543.


54

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA p. ISSN: e. ISSN: Mujiati Dwi Kartikasari

Recommend Documents